資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
第二章 方程與不等式
2.2 分式方程
考點分布 考查頻率 命題趨勢
考點1分式方程的解法 ☆☆☆ 浙江中考數學（省卷）中，分式方程的部分，考查2道題，分值為10分左右，通常以選填題（1題）、 應用題（1題）的形式考查。對于分式方程的復習，需要學生熟練掌握分式方程的解法和實際應用，整體來說難度中等，分式方程含參問題難度稍微高些，但考查頻率不算太高。
考點2 分式方程的實際應用 ☆☆
中考本考點考查內容以分式方程解法、分式方程含參問題、分式方程的應用題為主，既有單獨考查，也有和一次函數、二次函數結合考察，年年考查，預計2025年各地中考還將繼續考查分式方程解法、分式方程含參問題（較難）、分式方程的應用題，為避免丟分，學生應扎實掌握。
2
2
■考點一　分式方程的解法 2
■考點二　分式方程的應用 8
14
21
■考點一　分式方程的解法
1．分式方程的概念：分母中含有 未知數 的方程叫做分式方程．
注意：“分母中含有未知數”是分式方程與整式方程的根本區別，是判定一個方程為分式方程的依據。
2．分式方程的解法
（1）解分式方程的基本思路是將分式方程化為 整式 方程，具體做法是去分母，即方程兩邊同乘以各分式的最簡公分母．
（2）解分式方程的步驟：①找 最簡公分母 ，當分母是多項式時，先分解因式；②去分母，方程兩邊都乘最簡公分母，約去分母，化為整式方程；③解整式方程；④ 驗根 ．
3．增根
在方程變形時，有時可能產生不適合原方程的根，這種根叫做方程的 增根 。由于可能產生增根，所以解分式方程要驗根，其方法是將根代入最簡公分母中，使 最簡公分母為零 的根是增根，否則是原方程的根．
注意：增根雖然不是方程的根，但它是分式方程去分母后變形而成的整式方程的根。若這個整式方程本身無解，當然原分式方程就一定無解。
■考點二　分式方程的應用
1. 列分式方程解應用題的一般步驟：①審題（找等量關系）；②設未知數；③列分式方程；④解分式方程；⑤檢驗（一驗分式方程，二驗實際問題）；⑥答。
2. 分式方程的應用主要涉及工程問題，有工作量問題、行程問題、利潤問題等。
每個問題中涉及到三個量的關系，如：工作時間＝，時間＝，總利潤=單件利潤×銷售量，利潤率=利潤÷成本×100%等。
■考點一　分式方程的解法
◇典例1：（2024·浙江臺州·二模）解方程：．
【答案】
【詳解】解：兩邊同時乘，得：，解得：，
經檢驗，是原分式方程的解．
◆變式訓練
1．（2024·浙江·三模）解下列方程：(1)； (2)．
【答案】(1)， (2)
【詳解】（1）解：
或,
解得：，；
（2）
兩邊同時乘以得：
解方程得：，
經檢驗：是原方程的解，
∴原方程的解為．
2．（2024·浙江杭州·一模）（1）計算： （2）解方程：
【答案】（1）3；（2）
【詳解】（1）
；
（2）
去分母得，
解得：
經檢驗，是原方程的解．
◇典例2：（2024·浙江金華·模擬預測）小華化簡分式出現了錯誤，解答過程如下：
解：去分母得：①
去括號得：②
移項得：③
合并同類項得：④
系數化為1得：⑤
經檢驗，是原分式方程的解．
請指出錯誤步驟（一步即可），并寫出正確的解答過程．
【答案】從① 步開始出錯，正確的解析過程見詳解
【詳解】解：去分母時，等式兩邊的各項都要乘以公分母，
∴在去分母時應為：，故從①步開始出錯；
正確的解析過程如下，方程兩邊同時乘以，去分母得，
去括號得，
移項得，
合并同類項得，
系數化為1得，
檢驗，當時，原分式方程的分母不為0，有意義，∴是原分式方程的解．
◆變式訓練
1．（2024·浙江金華·二模）小汪解答“解分式方程：”的過程如下：
你認為他的解題過程正確嗎？若正確，請檢驗；若不正確，請指出錯誤（從第幾步開始錯），并寫出正確的解答過程．
解：去分母得：…①， 去括號得：…②， 移項得：…③， 合并同類項得：…④， 系數化為1得：…⑤， 經檢驗，是原分式方程的解．
【答案】第①步開始錯，正解見解析
【詳解】不正確，從第①步開始錯，正確步驟如下：
原方程去分母得：，
去括號得：，
移項得：，
合并同類項得：，
檢驗：當時，，
故原方程的解為．
2．（2024·浙江溫州·一模）小丁和小迪分別解方程過程如下：
小丁： 解：去分母，得 去括號，得 合并同類項，得 解得 ∴原方程的解是 小迪 解：去分母，得 去括號得 合并同類項得 解得 經檢驗，是方程的增根，原方程無解
老師批改時說小丁和小迪的解題過程有錯誤，請你把小丁和小迪開始錯誤的步驟劃上橫線，然后寫出正確的解答過程．
【答案】小丁和小迪的解法都是第一步錯誤；見解析
【分析】本題考查分式方程的解法，根據解分式方程的步驟進行計算并判斷和解答即可．
【詳解】解：小丁和小迪的解法都是第一步錯誤．
正確解法如下：去分母得：，
移項，合并同類項得： 解得：
檢驗：將代入中可得：，故原分式方程的解是．
◇典例4：（2024·浙江舟山·一模）小紅帶著數學興趣小組研究分式，下列說法正確的是（ ）
A．當時， B．當時，
C．當時， D．當越來越大時，的值越來越接近于1
【答案】D
【詳解】解：當時，，原說法錯誤，選項A不符合題意；
當時，去分母得，解得，經檢驗是方程的解，原說法錯誤，選項B不符合題意；
當時，∵，∴，原說法錯誤，選項C不符合題意；
當越來越大時，的值越來越接近于1，說法正確，選項D符合題意；故選：D．
◆變式訓練
1．（2024·四川達州·模擬預測）對于實數、，定義一種新運算“”為：，這里等式右邊是實數運算．例如：，則方程解的情況是（ ）
A． B． C． D．無解
【答案】D
【詳解】解：由題意可得，，∵，∴，
去分母得，解得：，
把代入得，，∴原方程無解，故選；D．
2．（2024·浙江·模擬預測）仔細觀察下面的等式，試解答下面的題目：
（1）解方程：，解得 ；（2）解方程：，解得 ．
【答案】 4或
【詳解】（1），，
可得或，故答案為：或；
（2），
，
故可得 故答案為：
3．（2024·河北滄州·模擬預測）在如圖所示的正方形數陣中規定運算：，若，則 ，此時關于 的分式方程的解為 ．
【答案】
【詳解】解：由題意可得，即，解得：，
則分式方程為，去分母得：，解得：，
檢驗：當時，，故分式方程的解為，故答案為：；．
◇典例4：（2024·浙江杭州·一模）已知關于的分式方程的解是非負數，則的取值范圍是 ，時，分式方程的解為 ．
【答案】 且 /2
【詳解】解：原方程去分母得：，解得：，
∵原方程的解是非負數，∴且，解得：且；
當時，，檢驗：當時，，
故此時原方程的解為，故答案為：且；．
◆變式訓練
1．（2023·黑龍江·統考中考真題）若分式方程的解為負數，則a的取值范圍是（ ）
A．且 B．且 C．且 D．且
【答案】D
【詳解】解：去分母得：，解得：，
∵分式方程的解是負數，∴，，即，
解得：且，故選：D．
2.（2024·安徽六安·九年級校考期末）若關于x的分式方程有增根，則m的值為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【詳解】去分母得：，解得
∵分式方程有增根，∴，即，∴增根為3，，
把代入整式方程得：，解得．故選：D．
3.（2024·四川遂寧·模擬預測）若關于x的方程無解，則m的值為（ ）
A．0 B．4或6 C．6 D．0或4
【答案】D
【詳解】方程兩邊同乘，得，整理得，
原方程無解，當時，；
當時，或，此時，，解得或，
當時，無解；當時，，解得；
綜上，m的值為0或4；故選：D．
4．（2024·湖北·模擬預測）若分式方程的解為整數，則整數___________．
【答案】
【分析】直接移項后通分合并同類項，化簡、用來表示，再根據解為整數來確定的值．
【詳解】解：，
整理得：
若分式方程的解為整數，
為整數，當時，解得：，經檢驗：成立；
當時，解得：，經檢驗：分母為0沒有意義，故舍去；
綜上:，故答案是：．
■考點二　分式方程的應用
◇典例5：（2024·浙江溫州·二模）某地發生地震后，受災地區急需大量物資．某帳篷生產企業接到任務后，加大生產投入，提高效率，實際每天生產帳篷比原計劃多100頂．已知現在生產2000頂帳篷所用的時間與原計劃生產1500頂的時間相同，設該企業現在每天生產帳篷x頂，可列出方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】解：設該企業現在每天生產帳篷x頂，則原計劃每天生產頂，根據題意得，
故選：D．
◆變式訓練
1．（2024·浙江杭州·二模）某工程需要在規定時間內完成，如果甲工程隊單獨做，恰好如期完成；如果乙工程隊單獨做，則多用3天，現在甲、乙兩隊合做2天，剩下的由乙隊單獨做，恰好如期完成，求規定時間．如果設規定日期為x天，下面所列方程中正確的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】解：設規定日期為x天，甲工程隊單獨做，恰好如期完成；如果乙工程隊單獨做，則多用3天，∴乙完成的天數是天，∴甲的工作效率為，乙的工作效率為，
現在甲、乙兩隊合做2天，∴剩下的工作量為，
剩下的由乙隊單獨做，恰好如期完成，∴，
整理得，， 故選：C ．
2．（2024·浙江臺州·一模）某校組織七年級學生赴勞動實踐基地開展勞動實踐活動，全程36千米．因堵車大巴車晚到，推遲了10分鐘出發，途中大巴車平均每小時比原計劃多走，結果正好按原計劃到達目的地．設大巴車原計劃平均速度為x千米/時，則可列方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】解：途中大巴車平均每小時比原計劃多走，且大巴車原計劃的平均速度為千米時，
大巴車實際的平均速度為千米時．根據題意得：．故選：D．
3．（2024·浙江臺州·二模）我國古代著作《四元玉鑒》記載“買椽多少”問題：“六貫二百一十錢，請人去買幾株椽．每 株腳錢三文足，無錢準與一株椽．其大意：現請人代買一批椽，這批椽的價錢為6210文．如果每株椽的運費是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的運費恰好等于一株椽的 價錢，試問6210文能買多少株椽？若設這批椽的數量為x株，則可列分式方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】解：少拿一株椽后，剩下的椽的運費恰好等于一株椽的價錢，且這批椽的數量為株，
每株椽的價錢為文．根據題意得：．故選：B．
◇典例6：（2024·河南駐馬店·三模）小王和小李兩位同學準備用720元班費給班里買一定數量的籃球，已知甲、乙兩個商店某種品牌的籃球標價相同，如下是兩位同學了解到的具體情況：
下面是兩位同學分別列出來的兩個方程：
小王：；小李：；其中的x表示的意義為（ ）
A．均為籃球的數量
B．均為籃球的單價
C．小王方程中的x表示籃球的數量，小李方程中的x表示籃球的單價
D．小王方程中的x表示籃球的單價，小李方程中的x表示籃球的數量
【答案】C
【詳解】解：由0.7所處位置可得出，小王所列方程中，x表示籃球的數量，小李方程中的x表示籃球的單價，所以，只有選項C中的x表示的意義正確，故選：C
◆變式訓練
1．（2024·山西運城·三模）隨著科學技術的不斷發展，“無人機”在農業生產中得到廣泛應用．經實踐調查，一架無人機每小時噴灑農藥的畝數是一個人每小時噴灑農藥畝數的倍，120畝的農田利用一架無人機噴灑比一個人噴灑節約13小時，則一架無人機平均每小時噴灑農藥（ ）
A．32畝 B．45畝 C．60畝 D．75畝
【答案】C
【詳解】解：設一個人平均每小時噴灑農藥x畝，則一架無人機平均每小時噴灑農藥畝，
根據題意得：，解得：，經檢驗，是原方程的解，且符合題意，
則一架無人機平均每小時噴灑農藥畝，故選C
2．（2024·浙江杭州·二模）某書店分別用400元和500元兩次購進同一種書，第二次數量比第一次多10本，且兩次進價相同，則該書店第一次購進 本．
【答案】40
【詳解】解：設第一次購進x本書，則第二次購進本書，則
，解得，經檢驗，是分式方程的解，且符合題意，故答案為40．
3．（2024·浙江杭州·一模）某水果店搞促銷活動，對某種水果打8折出售，若用40元錢買這種水果，可以比打折前多買2斤，則該水果打折前的單價為 元/斤．
【答案】5
【詳解】解：設該水果打折前的單價為元斤，則打折后的單價為元斤，
根據題意得：，解得：，經檢驗，是所列方程的解，且符合題意，
該水果打折前的單價為5元斤．故答案為：5．
◇典例7：（2024·浙江溫州·三模）如圖某戶外俱樂部計劃組織成員到露營基地進行野餐活動，準備租賃，兩款野餐墊．已知款野餐墊單價是款的倍，用元租款比租款多張．
(1)求，兩款野餐墊的租賃單價．(2)該俱樂部用元租這兩款野餐墊且恰好全部用完，每張野餐墊都坐滿，最多能提供多少人就坐？寫出此時的租賃方案．
【答案】(1)款野餐墊的租賃單價為元，則款野餐墊單價是元
(2)最多提供人就坐；租款野餐墊張，則租款野餐墊張
【詳解】（1）解：設款野餐墊的租賃單價為元，則款野餐墊單價是元，根據題意得，
解得：，經檢驗是原方程的解，∴元，
答：款野餐墊的租賃單價為元，則款野餐墊單價是元；
（2）解：設租款野餐墊張，則租款野餐墊張，
∵是正整數，∴
設提供人就坐，根據題意得，
∴當取得最大值時，，∴
此時的租賃方案為：租款野餐墊張，則租款野餐墊張．
答：最多提供人就坐；租款野餐墊張，則租款野餐墊張．
◆變式訓練
1．（2024·浙江衢州·模擬預測）常山“雙柚汁”因為口感清新，營養價值豐富而深受市民的喜愛，某超市購進兩種不同品牌的雙柚汁，品牌總花費元，單價元箱，品牌總花費元，單價元箱，其中品牌雙柚汁比品牌多箱．(1)求品牌購進的數量；(2)該超市分別以元和元的單價銷售、兩種品牌的雙柚汁，在品牌售出一半，品牌售出后，超市決定加大銷售力度，對品牌按買箱送箱捆綁銷售，品牌每箱降價元銷售；①用含的代數式表示兩種品牌的雙柚汁全部售完后的銷售額；②若超市的總利潤不低于元，求的最大值．
【答案】(1)100箱 (2)①元；②的最大值為元
【詳解】（1）解：由題意可知，品牌購進箱，品牌購進箱，
品牌雙柚汁比品牌多箱，，解得，
經檢驗，是分式方程的解，品牌購進箱；
（2）解：①由（1）可知，品牌購進箱，品牌購箱，
品牌售出一半，即箱，每箱元共銷售元，品牌售出即箱，每箱元共銷售元，
品牌按買箱送箱，剩余箱可湊個箱送箱，共銷售元，
品牌每箱降價元銷售，即每箱售價元，剩余產品共銷售元，
全部售完后的銷售額元；
②由題意得： 解得：，的最大值為10元．
2．（2024·重慶渝北·模擬預測）某工廠有40名工人，生產甲、乙兩種摩托車配套零件，每個工人每天能加工甲種零件30個，或乙種零件20個．
(1)若1個甲零件和2個乙零件配套成一個完整的部件，應怎樣安排工人才能使一天生產的零件正好配套？(2)該工廠將這種完整的部件銷售給摩配公司，一月份的銷售總額為30萬元，受市場影響，二月份該工廠將一個完整部件的銷售單價在一月份的基礎上提高了，銷量比一月份少了500個，結果二月份的銷售總額比一月份多了3萬元，求一月份每個完整部件的銷售單價為多少元？
【答案】(1)應安排10名工人生產甲零部件，30名工人生產乙零部件，才能使生產出來的兩種零部件剛好配套 (2)一月份每個完整部件的銷售單價為50元
【詳解】（1）解：設應安排名工人生產甲零部件，名工人生產乙零部件，才能使生產出來的兩種零部件剛好配套．依題意，得．解得，所以．
答：應安排10名工人生產甲零部件，30名工人生產乙零部件，才能使生產出來的兩種零部件剛好配套．
（2）解：設一月份每個完整部件的銷售單價為y萬元，則二月份每個完整部件的銷售單價為萬元，依題意，得，解得：萬元元，
經檢驗：是方程的解，且符合題意，故一月份每個完整部件的銷售單價為50元．
1．（2024·四川瀘州·中考真題）分式方程的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】解：，
，
，
，
，
，
經檢驗是該方程的解，故選：D．
2．（2024·黑龍江綏化·中考真題）一艘貨輪在靜水中的航速為，它以該航速沿江順流航行所用時間，與以該航速沿江逆流航行所用時間相等，則江水的流速為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】解：設江水的流速為，根據題意可得：，解得：，
經檢驗：是原方程的根，答：江水的流速為．故選：D．
3．（2024·四川廣元·中考真題）我市把提升城市園林綠化水平作為推進城市更新行動的有效抓手，從2023年開始通過拆違建綠、見縫插綠等方式在全域打造多個小而美的“口袋公園”．現需要購買A、B兩種綠植，已知A種綠植單價是B種綠植單價的3倍，用6750元購買的A種綠植比用3000元購買的B種綠植少50株．設B種綠植單價是x元，則可列方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】解：設B種綠植單價是x元，則A種綠植單價是元，根據題意得：
，故選：C．
4．（2024·四川達州·中考真題）甲乙兩人各自加工120個零件，甲由于個人原因沒有和乙同時進行，乙先加工30分鐘后，甲開始加工．甲為了追趕上乙的進度，加工的速度是乙的倍，最后兩人同時完成．求乙每小時加工零件多少個？設乙每小時加工個零件．可列方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】解：設乙每小時加工個零件，則甲每小時加工個零件，
由題意得，故選：D．
5．（2024·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）如果關于的分式方程的解是負數，那么實數的取值范圍是（ ）
A．且 B． C． D．且
【答案】A
【詳解】解：方程兩邊同時乘以得，，解得，
∵分式方程的解是負數，∴，∴，
又∵，∴，∴，∴，∴且，故選：．
6．（2024·黑龍江大興安嶺地·中考真題）已知關于x的分式方程無解，則k的值為（ ）
A．或 B． C．或 D．
【答案】A
【分析】本題考查了解分式方程無解的情況，理解分式方程無解的意義是解題的關鍵．先將分式方程去分母，化為整式方程，再分兩種情況分別求解即可．
【詳解】解：去分母得，，整理得，，
當時，方程無解，
當時，令，解得，
所以關于x的分式方程無解時，或．故選：A．
7．（2024·四川遂寧·中考真題）分式方程的解為正數，則的取值范圍（ ）
A． B．且 C． D．且
【答案】B
【詳解】解：方程兩邊同時乘以得，，解得，
∵分式方程的解為正數，∴，∴，
又∵，即，∴，∴的取值范圍為且，故選：．
8．（2024·山東·中考真題）為提高生產效率，某工廠將生產線進行升級改造，改造后比改造前每天多生產100件，改造后生產600件的時間與改造前生產400件的時間相同，則改造后每天生產的產品件數為（ ）
A．200 B．300 C．400 D．500
【答案】B
【詳解】解：設改造后每天生產的產品件數為，則改造前每天生產的產品件數為，
根據題意，得：，解得：，經檢驗是分式方程的解，且符合題意，
答：改造后每天生產的產品件數．故選：B．
9．（2024·浙江·中考真題）若，則 。
【答案】
【詳解】解：去分母得：，移項合并得：，解得：，
經檢驗，是分式方程的解，故答案為：
10．（2024·黑龍江牡丹江·中考真題）若分式方程的解為正整數，則整數m的值為 ．
【答案】
【詳解】解：，化簡得：，
去分母得：，移項合并得：，解得：，
由方程的解是正整數，得到為正整數，即或，
解得：或（舍去，會使得分式無意義）．故答案為：．
11．（2024·四川達州·中考真題）若關于的方程無解，則的值為 ．
【答案】或2
【詳解】解：去分母得：，解得：，
∵關于的方程無解，∴當或時，分式方程無解，
解得：或（經檢驗是原方程的解），
即或，無解．故答案為：或2．
12.（2023·浙江嘉興·統考中考真題）小丁和小迪分別解方程過程如下：
小丁： 解：去分母，得 去括號，得 合并同類項，得 解得 ∴原方程的解是 小迪： 解：去分母，得 去括號得 合并同類項得 解得 經檢驗，是方程的增根，原方程無解
你認為小丁和小迪的解法是否正確？若正確，請在框內打“√”；若錯誤，請在框內打“×”，并寫出你的解答過程．
【答案】都錯誤，見解析
【詳解】小丁和小迪的解法都錯誤；
解：去分母，得，
去括號，得，
解得，，經檢驗：是方程的解．
【點睛】本題考查分式方程的解法，熟練掌握解分式方程的步驟是解題的關鍵．
13．（2024·廣東廣州·中考真題）解方程：．
【答案】
【詳解】解：，
去分母得：，
去括號得：，
移項得：，
合并同類項得：，
解得：，
經檢驗，是原方程的解，
該分式方程的解為．
14．（2024·江蘇常州·中考真題）書畫裝裱，是指為書畫配上襯紙、卷軸以便張貼、欣賞和收藏，是我國具有民族傳統的一門特殊藝術．如圖，一幅書畫在裝裱前的大小是，裝裱后，上、下、左、右邊襯的寬度分別是am、bm、cm、dm．若裝裱后與的比是，且，，，求四周邊襯的寬度．
【答案】上、下、左、右邊襯的寬度分別是
【詳解】解：由題意，得：，，
∵與的比是，∴，解得：，經檢驗是原方程的解．
∴上、下、左、右邊襯的寬度分別是．
15．（2024·黑龍江大慶·中考真題）為了健全分時電價機制，引導電動汽車在用電低谷時段充電，某市實施峰谷分時電價制度，用電高峰時段（簡稱峰時）：7：00—23：00，用電低谷時段（簡稱谷時）：23：00—次日7：00，峰時電價比谷時電價高元/度．市民小萌的電動汽車用家用充電樁充電，某月的峰時電費為50元，谷時電費為30元，并且峰時用電量與谷時用電量相等，求該市谷時電價．
【答案】該市谷時電價元/度
【詳解】解：設該市谷時電價為元/度，則峰時電價元/度，根據題意得，，
解得：，經檢驗是原方程的解，答：該市谷時電價元/度．
16．（2024·山東泰安·中考真題）隨著快遞行業的快速發展，全國各地的農產品有了更廣闊的銷售空間，某農產品加工企業有甲、乙兩個組共名工人．甲組每天加工件農產品，乙組每天加工件農產品，已知乙組每人每天平均加工的農產品數量是甲組每人每天平均加工農產品數量的倍，求甲、乙兩組各有多少名工人？
【答案】甲組有名工人，乙組有名工人
【詳解】解：設甲組有名工人，則乙組有名工人．
根據題意得：，解答：，
經檢驗，是所列方程的解，且符合題意，．
答：甲組有名工人，乙組有名工人．
17．（2024·山東威海·中考真題）某公司為節能環保，安裝了一批型節能燈，一年用電千瓦·時．后購進一批相同數量的型節能燈，一年用電千瓦·時．一盞型節能燈每年的用電量比一盞型節能燈每年用電量的倍少千瓦·時．求一盞型節能燈每年的用電量．
【答案】千瓦·時
【詳解】解：設一盞型節能燈每年的用電量為千瓦·時，
則一盞型節能燈每年的用電量為千瓦·時
整理得 解得 經檢驗：是原分式方程的解．
答：一盞型節能燈每年的用電量為千瓦·時.
18．（2024·廣西·中考真題）綜合與實踐：在綜合與實踐課上，數學興趣小組通過洗一套夏季校服，探索清洗衣物的節約用水策略．
【洗衣過程】步驟一：將校服放進清水中，加入洗衣液，充分浸泡揉搓后擰干；
步驟二：將擰干后的校服放進清水中，充分漂洗后擰干．重復操作步驟二，直至校服上殘留洗衣液濃度達到洗衣目標．
假設第一次漂洗前校服上殘留洗衣液濃度為，每次擰干后校服上都殘留水．
濃度關系式：．其中、分別為單次漂洗前、后校服上殘留洗衣液濃度；w為單次漂洗所加清水量（單位：）
【洗衣目標】經過漂洗使校服上殘留洗衣液濃度不高于
【動手操作】請按要求完成下列任務：(1)如果只經過一次漂洗，使校服上殘留洗衣液濃度降為，需要多少清水？(2)如果把清水均分，進行兩次漂洗，是否能達到洗衣目標？
(3)比較（1）和（2）的漂洗結果，從洗衣用水策略方面，說說你的想法．
【答案】(1)只經過一次漂洗，使校服上殘留洗衣液濃度降為，需要清水．
(2)進行兩次漂洗，能達到洗衣目標；(3)兩次漂洗的方法值得推廣學習
【詳解】（1）解：把，代入得，
解得．經檢驗符合題意；
∴只經過一次漂洗，使校服上殘留洗衣液濃度降為，需要清水．
（2）解：第一次漂洗：把，代入，∴，
第二次漂洗：把，代入，
∴，而，∴進行兩次漂洗，能達到洗衣目標；
（3）解：由（1）（2）的計算結果發現：經過兩次漂洗既能達到洗衣目標，還能大幅度節約用水，
∴從洗衣用水策略方面來講，采用兩次漂洗的方法值得推廣學習．
19．（2024·重慶·中考真題）為促進新質生產力的發展，某企業決定投入一筆資金對現有甲、乙兩類共30條生產線的設備進行更新換代．
(1)為鼓勵企業進行生產線的設備更新，某市出臺了相應的補貼政策．根據相關政策，更新1條甲類生產線的設備可獲得3萬元的補貼，更新1條乙類生產線的設備可獲得2萬元的補貼．這樣更新完這30條生產線的設備，該企業可獲得70萬元的補貼．該企業甲、乙兩類生產線各有多少條？
(2)經測算，購買更新1條甲類生產線的設備比購買更新1條乙類生產線的設備需多投入5萬元，用200萬元購買更新甲類生產線的設備數量和用180萬元購買更新乙類生產線的設備數量相同，那么該企業在獲得70萬元的補貼后，還需投入多少資金更新生產線的設備？
【答案】(1)該企業甲類生產線有10條，則乙類生產線各有20條；(2)需要更新設備費用為萬元
【詳解】（1）解：設該企業甲類生產線有條，則乙類生產線各有條，則，
解得：，則；答：該企業甲類生產線有10條，則乙類生產線各有20條；
（2）解：設購買更新1條甲類生產線的設備為萬元，則購買更新1條乙類生產線的設備為萬元，則，解得：，經檢驗：是原方程的根，且符合題意；則，
則還需要更新設備費用為（萬元）；
20．（2024·重慶·中考真題）某工程隊承接了老舊小區改造工程中1000平方米的外墻粉刷任務，選派甲、乙兩人分別用、兩種外墻漆各完成總粉刷任務的一半．據測算需要、兩種外墻漆各300千克，購買外墻漆總費用為15000元，已知種外墻漆每千克的價格比種外墻漆每千克的價格多2元．(1)求、兩種外墻漆每千克的價格各是多少元？(2)已知乙每小時粉刷外墻面積是甲每小時粉刷外墻面積的，乙完成粉刷任務所需時間比甲完成粉刷任務所需時間多5小時．問甲每小時粉刷外墻的面積是多少平方米？
【答案】(1)種外墻漆每千克的價格為元，則種外墻漆每千克的價格為元．
(2)甲每小時粉刷外墻的面積是平方米．
【詳解】（1）解：設種外墻漆每千克的價格為元，則種外墻漆每千克的價格為元，
∴，解得：，∴，
答：種外墻漆每千克的價格為元，種外墻漆每千克的價格為元．
（2）設甲每小時粉刷外墻面積為平方米，則乙每小時粉刷外墻面積是平方米；
∴，解得：，經檢驗：是原方程的根且符合題意，
答：甲每小時粉刷外墻的面積是平方米．
1．（2024·山東臨沂·模擬預測）當比多1時，（ ）
A．4 B．6 C． D．
【答案】B
【詳解】解：∵比多1 ∴即 ∴
經檢驗是的解故選：B
2．（2023·江蘇蘇州·模擬預測）甲，乙二人分別從相距千米的兩地以相同的速度同時相向而行，相遇后，二人繼續前進，乙的速度不變，甲每小時比原來多走千米，結果甲到達地后乙還需分鐘才能到達地，求乙每小時走多少千米？（ ）
A． B．或 C． D．
【答案】C
【詳解】解：設甲，乙相遇前甲每小時走x千米，相遇后甲每小時走千米，則乙每小時走x千米，根據題意得：甲乙相遇前的速度一樣，可知甲乙相遇時，都是走了總路程的一半即10千米，
則，即，
整理得：，解得：或（舍去），
當時，，是原分式方程的解，則乙每小時走4千米，故選：C．
3．（2024·上海·模擬預測）野豪豬內卷會用6000元購進一批試卷，每套試卷含數理化三科，每套以比進價高10元的優惠價格賣給成員，在銷售過程中，因多出5套試卷，以每套10元的白菜價送給了其他同學，最后野豪豬內卷會盈利950元，則一套試卷的進價為（ ）
A．50元 B．100元 C．120元 D．240元
【答案】A
【詳解】解：設每套試卷的進價為元，則每套試卷的售價為元，
根據題意得，整理得，
解得，（不合題意，舍去），經檢驗，是原方程的解，且符合題意；
答：每套試卷的進價為50元，故選：A．
4．（2024·浙江金華·三模）在課外活動跳繩時，相同時間內小季跳下，小范比小季多跳下，已知小范每分鐘比小季多跳下，設小季每分鐘跳下，可列出方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】解：設小季每分鐘跳下，那么小范每分鐘跳，
根據題意得：，故選：B．
5．（2024·浙江臺州·二模）為進一步深入開展“五水共治”工作，提升水環境質量，某工程隊承擔了黃灣塘河3000米河道的消淤任務，為了減少施工對居民生活的影響，實際施工時每天的工作效率比原計劃增加了，結果提前10天完成這一任務，設原計劃每天完成x 米的清淤任務，則所列出的方程正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【詳解】解：設原計劃每天完成x米的清淤任務，則實際施工時每天完成米的清淤任務，
根據題意，得，故選：D．
6．（2024·浙江·一模）如圖，分別表示某一品牌燃油汽車和電動汽車所需費用y（單位：元）與行駛路程S（單位：千米）的關系，已知燃油汽車每千米所需的費用比燃氣汽車每千米所需的費用的2倍少0.1元，設電動汽車每千米所需的費用為x元，則可列方程為（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】解：由題意得：燃油汽車每千米所需的費用為元，
由函數圖象可知，燃油汽車所需費用為25元時與燃氣汽車所需費用為10元時，所行駛的路程相等，
則可列方程為，故選：A．
7．（2023·浙江寧波·模擬預測）如圖，裝裱一幅寬、長的矩形畫，要使裝裱完成后的大矩形與原矩形畫相似，裝裱上去的上下部分寬都為，若裝裱上去的左右部分的寬都為，則（ ）
A．9 B．12 C．16 D．18
【答案】A
【詳解】解：根據題意，大矩形的長為：（），寬為：，
∵大矩形與原矩形畫相似，∴或，
解得，或（不符合題意，舍去），
檢驗，當時，原分式方程的分母不為0，有意義，∴，故選：A ．
8．（2024·山東菏澤·校考三模）對于實數和，定義一種新運算“”為：，這里等式右邊是實數運算．例如：．則方程的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】由題意化簡：，∴，解得：，
經檢驗：是原分式方程的解，故選：．
9．（2023·黑龍江雞西·校考模擬預測）若關于的分式方程的解為正實數，則實數的取值范圍是（ ）
A．且 B．且 C． D．且
【答案】D
【詳解】解：，方程兩邊同乘得，，解得，，
，，由題意得，，解得，，
實數的取值范圍是：且．故選：D．
10．（2023·黑龍江綏化·統考二模）若關于x的分式方程無解，則m的值為（　　）
A．0 B．2或4 C．4 D．0或2
【答案】D
【詳解】解：方程兩邊同乘，得，整理得，
∵原方程無解，∴當時，；
當時，此時，，當時，無解；當時，，解得；
綜上，m的值為0或2；故選：D．
11．（2024·河北滄州·校考模擬預測）“若關于的方程無解，求的值．”尖尖和丹丹的做法如下（如圖1和圖2）：

下列說法正確的是（ ）
A．尖尖對，丹丹錯 B．尖尖錯，丹丹對 C．兩人都錯 D．兩人的答案合起來才對
【答案】D
【詳解】解：由題意可得，去分母可得，，移項合并同類項得，，
當時，即時方程無解，
當時，即時，，
∵方程無解，
即是方程的增根，可得：，解得：，
∴，解得：，故選D；
12．（2023·浙江寧波·模擬預測）定義一種新運算：對于任意的非零實數a，b，．若，則x的值為 ．
【答案】/
【分析】本題主要考查了新定義下的實數運算，解分式方程，利用因式分解解高次方程，正確理解題意得到關于x的方程是解題的關鍵．根據新定義可得，由此建立方程解方程即可．
【詳解】解：∵，∴，
又∵，∴，∴，∴，∴，
∵即，∴，解得，
經檢驗是方程的解，故答案為：．
13．（2024·廣東 校考二模）解分式方程 ．
【答案】
【詳解】解：方程可變為，，
方程兩邊都乘以最簡公分母得，，
去括號，得，解得，
檢驗：當時，，∴原方程的解是．
14．（2023·浙江·模擬預測）已知關于的方程的方程恰好有一個實數解，求的值及方程的解．
【答案】, 或，；或或，或，
【詳解】解：兩邊同乘,得，
若，
若，由題意，知，
解得，
當時，，當時，，
若方程有兩不等實根，則其中一個為增根，
當時，，，
當時，，．
15．（2024·浙江杭州·模擬預測）小王同學解分式方程的過程，請指出他解答過程中最先出現的錯誤步驟的序號，并寫出正確的解答過程．
解：去分母得：①
去括號得：②
移項得：③
合并同類項得：④
系數化為1得：⑤
是原分式方程的解⑥
【答案】錯誤的步驟是①、②，正確解答見解析
【詳解】解：錯誤的步驟是①、②，正確解答如下：
去分母得：，
去括號得：，
移項得：，
合并同類項得：，
解得：，
檢驗：當時，，
所以分式方程的解為．
16．（2024·浙江·一模）微信名“文游臺”和“高郵湖”的兩個同學計劃一起用60元在網店購買一些簽字筆，請根據他們如圖的聊天截屏信息，求出第一家網店每支簽字筆的單價．
【答案】第一家網店每支簽字筆的價格是10元
【詳解】解：設第一家網店每支簽字筆的單價是x元，現在每支簽字筆的價格是元，
依題意得：，解得：，
經檢驗：是原方程的解，
答：第一家網店每支簽字筆的價格是10元．
17．（2024·山西長治·模擬預測）平遙推光漆器是中國四大名漆器之一，以手掌推光和描金彩繪技藝著稱，是山西省著名的漢族傳統手工藝品，歷史悠久，它始于唐開元年間，盛于明清，距今已有一千二百余年的歷史，隨著中國網絡快速發展，平遙漆器博物館不斷向線上拓展．某漆器廠計劃制作3000個“漆器”擺件進行網上銷售，為了盡快完成任務，實際平均每天完成的數案量是原計劃的1.5倍，結果提前5天完成任務，問原計劃平均每天制作多少個“漆器”擺件？
【答案】200個
【詳解】解：設原計劃平均每天制作個“漆器”擺件，
由題意得：，解得：，
經檢驗，是原方程的解，且符合題意，
答：原計劃平均每天制作200個“漆器”擺件．
18．（2024·江蘇鹽城·二模）學校器材室購買了一批籃球和足球、已知 ，購買足球共花費750元，購買籃球共花費900元，購買足球的數量比購買籃球的數量多15個．
請從①籃球的單價是足球單價的3倍；②足球的單價是籃球單價的2倍；③籃球的單價比足球的單價貴60元；這3個選項中選擇一個作為條件（填序號），并求出足球的單價．
【答案】①；足球的單價為30元
【詳解】解：選擇①籃球的單價是足球單價的3倍，理由如下：
設足球的單價為元，則籃球的單價為元，
由題意得：，解得：，
經檢驗，是原方程的解，且符合題意，
即足球的單價為30元，故答案為：①（答案不唯一）．
19．（2024·重慶銅梁·一模）某建筑公司承建一段6000米的高速路，計劃由甲、乙兩個工程隊同時施工，12天可完成總工程，已知甲工程隊每天比乙工程隊少施工100米．根據以上信息，解答下列問題：(1)求甲、乙兩個工程隊計劃每天各施工多少米？(2)實際施工時，因為遭遇雨季，甲、乙兩個工程隊平均每天的施工量比計劃都減少了m米，甲乙同時施工，完成總工程時，甲工程隊施工總量是乙工程隊施工總量的，求甲、乙兩個工程隊實際每天各施工多少米？
【答案】(1)甲工程隊計劃每天施工200米，乙工程隊計劃每天施工300米
(2)甲工程隊實際每天施工100米，乙工程隊實際每天施工200米
【詳解】（1）設甲工程隊計劃每天施工米，則乙工程隊計劃每天施工米，
根據題意得：，解得，，
甲工程隊計劃每天施工200米，乙工程隊計劃每天施工300米；
（2）完成總工程時，甲工程隊施工總量是乙工程隊施工總量的，
甲工程隊施工總量為，乙工程隊施工總量為；
根據題意得，解得，經檢驗，是原方程的解，符合題意，
，，
甲工程隊實際每天施工100米，乙工程隊實際每天施工200米．
20．（2024·安徽馬鞍山·三模）李師傅的廂式大卡車的自重為18噸，車廂的容積為，負責將兩種產品從甲地運往乙地，兩種產品部分規格參數如下表：
每件產品的重量（噸） 每件產品的體積
1.2
1.5
(1)若滿載，單獨運輸產品的件數是產品的1.5倍，求的值；
(2)本月李師傅要將兩種產品共20件一次性運往乙地．在以往運輸過程中，發現途中經過的某座跨江大殜上有如圖所示的限重標志牌，顯示載重后總重量超過45噸的車輛禁止通行，通過計算，李師傅發現這趟運輸正好不超載，求這次運輸各裝載兩種產品多少件？
【答案】(1)(2)這次運輸裝載產品10件，產品10件
【詳解】（1）解：由題意，得，解得，
經檢驗，為原分式方程的解且符合題意，；
（2）解：設這次運輸裝載產品件，則這次運輸裝載產品件，
由題意，得，解得，，
答：這次運輸裝載產品10件，產品10件．
21．（2024·黑龍江·校考模擬預測）某商場欲購進A和B兩種家電，已知B種家電的進價比A種家電的進價每件多100元，經計算，用1萬元購進A種家電的件數與用1.2萬元購進B種家電的件數相同．請解答下列問題：(1)這兩種家電每件的進價分別是多少元？(2)若該商場欲購進兩種家電共100件，總金額不超過53500元，且A種家電不超過67件，則該商場有哪幾種購買方案？(3)在（2）的條件下，若A和B兩種家電的售價分別是每件600元和750元，該商場從這100件中拿出兩種家電共10件獎勵優秀員工，其余家電全部售出后仍獲利5050元，請直接寫出這10件家電中B種家電的件數．
【答案】(1)A種家電每件的進價為500元，B種家電每件的進價為600元
(2)共有三種購買方案，方案一：購進A種家電65件，B種家電35件，方案二：購進A種家電66件，B種家電34件，方案三：購進A種家電67件，B種家電33件
(3)這10件家電中B種家電的件數4件
【詳解】（1）設A種家電每件進價為x元，B種家電每件進價為元．
根據題意，得． 解得．
經檢驗是原分式方程的解． ．
答：A種家電每件的進價為500元，B種家電每件的進價為600元；
（2）設購進A種家電a件，購進B種家電件．
根據題意，得． 解得．，．
為正整數，，則， 共有三種購買方案，
方案一：購進A種家電65件，B種家電35件，
方案二：購進A種家電66件，B種家電34件，
方案三：購進A種家電67件，B種家電33件；
（3）解：設A種家電拿出件，則B種家電拿出件，
根據（1）和（2）及題意，當購進A種家電65件，B種家電35件時，得：
，
整理得：，解得：，不符合實際；
當購進A種家電66件，B種家電34件時，得：
，
整理得：，解得：，不符合實際；
當購進A種家電67件，B種家電33件時，得：
，
整理得：，
解得：，符合實際；則B種家電拿出件．
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第二章 方程與不等式
2.2 分式方程
考點分布 考查頻率 命題趨勢
考點1分式方程的解法 ☆☆☆ 浙江中考數學（省卷）中，分式方程的部分，考查2道題，分值為10分左右，通常以選填題（1題）、 應用題（1題）的形式考查。對于分式方程的復習，需要學生熟練掌握分式方程的解法和實際應用，整體來說難度中等，分式方程含參問題難度稍微高些，但考查頻率不算太高。
考點2 分式方程的實際應用 ☆☆
中考本考點考查內容以分式方程解法、分式方程含參問題、分式方程的應用題為主，既有單獨考查，也有和一次函數、二次函數結合考察，年年考查，預計2025年各地中考還將繼續考查分式方程解法、分式方程含參問題（較難）、分式方程的應用題，為避免丟分，學生應扎實掌握。
2
2
■考點一　分式方程的解法 2
■考點二　分式方程的應用 8
14
21
■考點一　分式方程的解法
1．分式方程的概念：分母中含有 的方程叫做分式方程．
注意：“分母中含有未知數”是分式方程與整式方程的根本區別，是判定一個方程為分式方程的依據。
2．分式方程的解法
（1）解分式方程的基本思路是將分式方程化為 方程，具體做法是去分母，即方程兩邊同乘以各分式的最簡公分母．
（2）解分式方程的步驟：①找 ，當分母是多項式時，先分解因式；②去分母，方程兩邊都乘最簡公分母，約去分母，化為整式方程；③解整式方程；④ ．
3．增根
在方程變形時，有時可能產生不適合原方程的根，這種根叫做方程的 。由于可能產生增根，所以解分式方程要驗根，其方法是將根代入最簡公分母中，使 的根是增根，否則是原方程的根．
注意：增根雖然不是方程的根，但它是分式方程去分母后變形而成的整式方程的根。若這個整式方程本身無解，當然原分式方程就一定無解。
■考點二　分式方程的應用
1. 列分式方程解應用題的一般步驟：①審題（找等量關系）；②設未知數；③列分式方程；④解分式方程；⑤檢驗（一驗分式方程，二驗實際問題）；⑥答。
2. 分式方程的應用主要涉及工程問題，有工作量問題、行程問題、利潤問題等。
每個問題中涉及到三個量的關系，如：工作時間＝，時間＝，總利潤=單件利潤×銷售量，利潤率=利潤÷成本×100%等。
■考點一　分式方程的解法
◇典例1：（2024·浙江臺州·二模）解方程：．
◆變式訓練
1．（2024·浙江·三模）解下列方程：(1)； (2)．
2．（2024·浙江杭州·一模）（1）計算： （2）解方程：
◇典例2：（2024·浙江金華·模擬預測）小華化簡分式出現了錯誤，解答過程如下：
解：去分母得：①
去括號得：②
移項得：③
合并同類項得：④
系數化為1得：⑤
經檢驗，是原分式方程的解．
請指出錯誤步驟（一步即可），并寫出正確的解答過程．
◆變式訓練
1．（2024·浙江金華·二模）小汪解答“解分式方程：”的過程如下：
你認為他的解題過程正確嗎？若正確，請檢驗；若不正確，請指出錯誤（從第幾步開始錯），并寫出正確的解答過程．
解：去分母得：…①， 去括號得：…②， 移項得：…③， 合并同類項得：…④， 系數化為1得：…⑤， 經檢驗，是原分式方程的解．
2．（2024·浙江溫州·一模）小丁和小迪分別解方程過程如下：
小丁： 解：去分母，得 去括號，得 合并同類項，得 解得 ∴原方程的解是 小迪 解：去分母，得 去括號得 合并同類項得 解得 經檢驗，是方程的增根，原方程無解
老師批改時說小丁和小迪的解題過程有錯誤，請你把小丁和小迪開始錯誤的步驟劃上橫線，然后寫出正確的解答過程．
◇典例4：（2024·浙江舟山·一模）小紅帶著數學興趣小組研究分式，下列說法正確的是（ ）
A．當時， B．當時，
C．當時， D．當越來越大時，的值越來越接近于1
◆變式訓練
1．（2024·四川達州·模擬預測）對于實數、，定義一種新運算“”為：，這里等式右邊是實數運算．例如：，則方程解的情況是（ ）
A． B． C． D．無解
2．（2024·浙江·模擬預測）仔細觀察下面的等式，試解答下面的題目：
（1）解方程：，解得 ；（2）解方程：，解得 ．
3．（2024·河北滄州·模擬預測）在如圖所示的正方形數陣中規定運算：，若，則 ，此時關于 的分式方程的解為 ．
◇典例4：（2024·浙江杭州·一模）已知關于的分式方程的解是非負數，則的取值范圍是 ，時，分式方程的解為 ．
◆變式訓練
1．（2023·黑龍江·統考中考真題）若分式方程的解為負數，則a的取值范圍是（ ）
A．且 B．且 C．且 D．且
2.（2024·安徽六安·九年級校考期末）若關于x的分式方程有增根，則m的值為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3.（2024·四川遂寧·模擬預測）若關于x的方程無解，則m的值為（ ）
A．0 B．4或6 C．6 D．0或4
4．（2024·湖北·模擬預測）若分式方程的解為整數，則整數___________．
■考點二　分式方程的應用
◇典例5：（2024·浙江溫州·二模）某地發生地震后，受災地區急需大量物資．某帳篷生產企業接到任務后，加大生產投入，提高效率，實際每天生產帳篷比原計劃多100頂．已知現在生產2000頂帳篷所用的時間與原計劃生產1500頂的時間相同，設該企業現在每天生產帳篷x頂，可列出方程為（ ）
A． B． C． D．
◆變式訓練
1．（2024·浙江杭州·二模）某工程需要在規定時間內完成，如果甲工程隊單獨做，恰好如期完成；如果乙工程隊單獨做，則多用3天，現在甲、乙兩隊合做2天，剩下的由乙隊單獨做，恰好如期完成，求規定時間．如果設規定日期為x天，下面所列方程中正確的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2024·浙江臺州·一模）某校組織七年級學生赴勞動實踐基地開展勞動實踐活動，全程36千米．因堵車大巴車晚到，推遲了10分鐘出發，途中大巴車平均每小時比原計劃多走，結果正好按原計劃到達目的地．設大巴車原計劃平均速度為x千米/時，則可列方程為（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·浙江臺州·二模）我國古代著作《四元玉鑒》記載“買椽多少”問題：“六貫二百一十錢，請人去買幾株椽．每 株腳錢三文足，無錢準與一株椽．其大意：現請人代買一批椽，這批椽的價錢為6210文．如果每株椽的運費是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的運費恰好等于一株椽的 價錢，試問6210文能買多少株椽？若設這批椽的數量為x株，則可列分式方程為（ ）
A． B． C． D．
◇典例6：（2024·河南駐馬店·三模）小王和小李兩位同學準備用720元班費給班里買一定數量的籃球，已知甲、乙兩個商店某種品牌的籃球標價相同，如下是兩位同學了解到的具體情況：
下面是兩位同學分別列出來的兩個方程：
小王：；小李：；其中的x表示的意義為（ ）
A．均為籃球的數量
B．均為籃球的單價
C．小王方程中的x表示籃球的數量，小李方程中的x表示籃球的單價
D．小王方程中的x表示籃球的單價，小李方程中的x表示籃球的數量
◆變式訓練
1．（2024·山西運城·三模）隨著科學技術的不斷發展，“無人機”在農業生產中得到廣泛應用．經實踐調查，一架無人機每小時噴灑農藥的畝數是一個人每小時噴灑農藥畝數的倍，120畝的農田利用一架無人機噴灑比一個人噴灑節約13小時，則一架無人機平均每小時噴灑農藥（ ）
A．32畝 B．45畝 C．60畝 D．75畝
2．（2024·浙江杭州·二模）某書店分別用400元和500元兩次購進同一種書，第二次數量比第一次多10本，且兩次進價相同，則該書店第一次購進 本．
3．（2024·浙江杭州·一模）某水果店搞促銷活動，對某種水果打8折出售，若用40元錢買這種水果，可以比打折前多買2斤，則該水果打折前的單價為 元/斤．
◇典例7：（2024·浙江溫州·三模）如圖某戶外俱樂部計劃組織成員到露營基地進行野餐活動，準備租賃，兩款野餐墊．已知款野餐墊單價是款的倍，用元租款比租款多張．
(1)求，兩款野餐墊的租賃單價．(2)該俱樂部用元租這兩款野餐墊且恰好全部用完，每張野餐墊都坐滿，最多能提供多少人就坐？寫出此時的租賃方案．
◆變式訓練
1．（2024·浙江衢州·模擬預測）常山“雙柚汁”因為口感清新，營養價值豐富而深受市民的喜愛，某超市購進兩種不同品牌的雙柚汁，品牌總花費元，單價元箱，品牌總花費元，單價元箱，其中品牌雙柚汁比品牌多箱．(1)求品牌購進的數量；(2)該超市分別以元和元的單價銷售、兩種品牌的雙柚汁，在品牌售出一半，品牌售出后，超市決定加大銷售力度，對品牌按買箱送箱捆綁銷售，品牌每箱降價元銷售；①用含的代數式表示兩種品牌的雙柚汁全部售完后的銷售額；②若超市的總利潤不低于元，求的最大值．
2．（2024·重慶渝北·模擬預測）某工廠有40名工人，生產甲、乙兩種摩托車配套零件，每個工人每天能加工甲種零件30個，或乙種零件20個．
(1)若1個甲零件和2個乙零件配套成一個完整的部件，應怎樣安排工人才能使一天生產的零件正好配套？(2)該工廠將這種完整的部件銷售給摩配公司，一月份的銷售總額為30萬元，受市場影響，二月份該工廠將一個完整部件的銷售單價在一月份的基礎上提高了，銷量比一月份少了500個，結果二月份的銷售總額比一月份多了3萬元，求一月份每個完整部件的銷售單價為多少元？
1．（2024·四川瀘州·中考真題）分式方程的解是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·黑龍江綏化·中考真題）一艘貨輪在靜水中的航速為，它以該航速沿江順流航行所用時間，與以該航速沿江逆流航行所用時間相等，則江水的流速為（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·四川廣元·中考真題）我市把提升城市園林綠化水平作為推進城市更新行動的有效抓手，從2023年開始通過拆違建綠、見縫插綠等方式在全域打造多個小而美的“口袋公園”．現需要購買A、B兩種綠植，已知A種綠植單價是B種綠植單價的3倍，用6750元購買的A種綠植比用3000元購買的B種綠植少50株．設B種綠植單價是x元，則可列方程是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·四川達州·中考真題）甲乙兩人各自加工120個零件，甲由于個人原因沒有和乙同時進行，乙先加工30分鐘后，甲開始加工．甲為了追趕上乙的進度，加工的速度是乙的倍，最后兩人同時完成．求乙每小時加工零件多少個？設乙每小時加工個零件．可列方程為（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）如果關于的分式方程的解是負數，那么實數的取值范圍是（ ）
A．且 B． C． D．且
6．（2024·黑龍江大興安嶺地·中考真題）已知關于x的分式方程無解，則k的值為（ ）
A．或 B． C．或 D．
7．（2024·四川遂寧·中考真題）分式方程的解為正數，則的取值范圍（ ）
A． B．且 C． D．且
8．（2024·山東·中考真題）為提高生產效率，某工廠將生產線進行升級改造，改造后比改造前每天多生產100件，改造后生產600件的時間與改造前生產400件的時間相同，則改造后每天生產的產品件數為（ ）
A．200 B．300 C．400 D．500
9．（2024·浙江·中考真題）若，則 。
10．（2024·黑龍江牡丹江·中考真題）若分式方程的解為正整數，則整數m的值為 ．
11．（2024·四川達州·中考真題）若關于的方程無解，則的值為 ．
12.（2023·浙江嘉興·統考中考真題）小丁和小迪分別解方程過程如下：
小丁： 解：去分母，得 去括號，得 合并同類項，得 解得 ∴原方程的解是 小迪： 解：去分母，得 去括號得 合并同類項得 解得 經檢驗，是方程的增根，原方程無解
你認為小丁和小迪的解法是否正確？若正確，請在框內打“√”；若錯誤，請在框內打“×”，并寫出你的解答過程．
13．（2024·廣東廣州·中考真題）解方程：．
14．（2024·江蘇常州·中考真題）書畫裝裱，是指為書畫配上襯紙、卷軸以便張貼、欣賞和收藏，是我國具有民族傳統的一門特殊藝術．如圖，一幅書畫在裝裱前的大小是，裝裱后，上、下、左、右邊襯的寬度分別是am、bm、cm、dm．若裝裱后與的比是，且，，，求四周邊襯的寬度．
15．（2024·黑龍江大慶·中考真題）為了健全分時電價機制，引導電動汽車在用電低谷時段充電，某市實施峰谷分時電價制度，用電高峰時段（簡稱峰時）：7：00—23：00，用電低谷時段（簡稱谷時）：23：00—次日7：00，峰時電價比谷時電價高元/度．市民小萌的電動汽車用家用充電樁充電，某月的峰時電費為50元，谷時電費為30元，并且峰時用電量與谷時用電量相等，求該市谷時電價．
16．（2024·山東泰安·中考真題）隨著快遞行業的快速發展，全國各地的農產品有了更廣闊的銷售空間，某農產品加工企業有甲、乙兩個組共名工人．甲組每天加工件農產品，乙組每天加工件農產品，已知乙組每人每天平均加工的農產品數量是甲組每人每天平均加工農產品數量的倍，求甲、乙兩組各有多少名工人？
17．（2024·山東威海·中考真題）某公司為節能環保，安裝了一批型節能燈，一年用電千瓦·時．后購進一批相同數量的型節能燈，一年用電千瓦·時．一盞型節能燈每年的用電量比一盞型節能燈每年用電量的倍少千瓦·時．求一盞型節能燈每年的用電量．
18．（2024·廣西·中考真題）綜合與實踐：在綜合與實踐課上，數學興趣小組通過洗一套夏季校服，探索清洗衣物的節約用水策略．
【洗衣過程】步驟一：將校服放進清水中，加入洗衣液，充分浸泡揉搓后擰干；
步驟二：將擰干后的校服放進清水中，充分漂洗后擰干．重復操作步驟二，直至校服上殘留洗衣液濃度達到洗衣目標．
假設第一次漂洗前校服上殘留洗衣液濃度為，每次擰干后校服上都殘留水．
濃度關系式：．其中、分別為單次漂洗前、后校服上殘留洗衣液濃度；w為單次漂洗所加清水量（單位：）
【洗衣目標】經過漂洗使校服上殘留洗衣液濃度不高于
【動手操作】請按要求完成下列任務：(1)如果只經過一次漂洗，使校服上殘留洗衣液濃度降為，需要多少清水？(2)如果把清水均分，進行兩次漂洗，是否能達到洗衣目標？
(3)比較（1）和（2）的漂洗結果，從洗衣用水策略方面，說說你的想法．
19．（2024·重慶·中考真題）為促進新質生產力的發展，某企業決定投入一筆資金對現有甲、乙兩類共30條生產線的設備進行更新換代．
(1)為鼓勵企業進行生產線的設備更新，某市出臺了相應的補貼政策．根據相關政策，更新1條甲類生產線的設備可獲得3萬元的補貼，更新1條乙類生產線的設備可獲得2萬元的補貼．這樣更新完這30條生產線的設備，該企業可獲得70萬元的補貼．該企業甲、乙兩類生產線各有多少條？
(2)經測算，購買更新1條甲類生產線的設備比購買更新1條乙類生產線的設備需多投入5萬元，用200萬元購買更新甲類生產線的設備數量和用180萬元購買更新乙類生產線的設備數量相同，那么該企業在獲得70萬元的補貼后，還需投入多少資金更新生產線的設備？
20．（2024·重慶·中考真題）某工程隊承接了老舊小區改造工程中1000平方米的外墻粉刷任務，選派甲、乙兩人分別用、兩種外墻漆各完成總粉刷任務的一半．據測算需要、兩種外墻漆各300千克，購買外墻漆總費用為15000元，已知種外墻漆每千克的價格比種外墻漆每千克的價格多2元．(1)求、兩種外墻漆每千克的價格各是多少元？(2)已知乙每小時粉刷外墻面積是甲每小時粉刷外墻面積的，乙完成粉刷任務所需時間比甲完成粉刷任務所需時間多5小時．問甲每小時粉刷外墻的面積是多少平方米？
1．（2024·山東臨沂·模擬預測）當比多1時，（ ）
A．4 B．6 C． D．
2．（2023·江蘇蘇州·模擬預測）甲，乙二人分別從相距千米的兩地以相同的速度同時相向而行，相遇后，二人繼續前進，乙的速度不變，甲每小時比原來多走千米，結果甲到達地后乙還需分鐘才能到達地，求乙每小時走多少千米？（ ）
A． B．或 C． D．
3．（2024·上海·模擬預測）野豪豬內卷會用6000元購進一批試卷，每套試卷含數理化三科，每套以比進價高10元的優惠價格賣給成員，在銷售過程中，因多出5套試卷，以每套10元的白菜價送給了其他同學，最后野豪豬內卷會盈利950元，則一套試卷的進價為（ ）
A．50元 B．100元 C．120元 D．240元
4．（2024·浙江金華·三模）在課外活動跳繩時，相同時間內小季跳下，小范比小季多跳下，已知小范每分鐘比小季多跳下，設小季每分鐘跳下，可列出方程為（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·浙江臺州·二模）為進一步深入開展“五水共治”工作，提升水環境質量，某工程隊承擔了黃灣塘河3000米河道的消淤任務，為了減少施工對居民生活的影響，實際施工時每天的工作效率比原計劃增加了，結果提前10天完成這一任務，設原計劃每天完成x 米的清淤任務，則所列出的方程正確的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024·浙江·一模）如圖，分別表示某一品牌燃油汽車和電動汽車所需費用y（單位：元）與行駛路程S（單位：千米）的關系，已知燃油汽車每千米所需的費用比燃氣汽車每千米所需的費用的2倍少0.1元，設電動汽車每千米所需的費用為x元，則可列方程為（　　）
A． B． C． D．
7．（2023·浙江寧波·模擬預測）如圖，裝裱一幅寬、長的矩形畫，要使裝裱完成后的大矩形與原矩形畫相似，裝裱上去的上下部分寬都為，若裝裱上去的左右部分的寬都為，則（ ）
A．9 B．12 C．16 D．18
8．（2024·山東菏澤·校考三模）對于實數和，定義一種新運算“”為：，這里等式右邊是實數運算．例如：．則方程的解是（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·黑龍江雞西·校考模擬預測）若關于的分式方程的解為正實數，則實數的取值范圍是（ ）
A．且 B．且 C． D．且
10．（2023·黑龍江綏化·統考二模）若關于x的分式方程無解，則m的值為（　　）
A．0 B．2或4 C．4 D．0或2
11．（2024·河北滄州·校考模擬預測）“若關于的方程無解，求的值．”尖尖和丹丹的做法如下（如圖1和圖2）：

下列說法正確的是（ ）
A．尖尖對，丹丹錯 B．尖尖錯，丹丹對 C．兩人都錯 D．兩人的答案合起來才對
12．（2023·浙江寧波·模擬預測）定義一種新運算：對于任意的非零實數a，b，．若，則x的值為 ．
13．（2024·廣東 校考二模）解分式方程 ．
14．（2023·浙江·模擬預測）已知關于的方程的方程恰好有一個實數解，求的值及方程的解．
15．（2024·浙江杭州·模擬預測）小王同學解分式方程的過程，請指出他解答過程中最先出現的錯誤步驟的序號，并寫出正確的解答過程．
解：去分母得：①
去括號得：②
移項得：③
合并同類項得：④
系數化為1得：⑤
是原分式方程的解⑥
16．（2024·浙江·一模）微信名“文游臺”和“高郵湖”的兩個同學計劃一起用60元在網店購買一些簽字筆，請根據他們如圖的聊天截屏信息，求出第一家網店每支簽字筆的單價．
17．（2024·山西長治·模擬預測）平遙推光漆器是中國四大名漆器之一，以手掌推光和描金彩繪技藝著稱，是山西省著名的漢族傳統手工藝品，歷史悠久，它始于唐開元年間，盛于明清，距今已有一千二百余年的歷史，隨著中國網絡快速發展，平遙漆器博物館不斷向線上拓展．某漆器廠計劃制作3000個“漆器”擺件進行網上銷售，為了盡快完成任務，實際平均每天完成的數案量是原計劃的1.5倍，結果提前5天完成任務，問原計劃平均每天制作多少個“漆器”擺件？
18．（2024·江蘇鹽城·二模）學校器材室購買了一批籃球和足球、已知 ，購買足球共花費750元，購買籃球共花費900元，購買足球的數量比購買籃球的數量多15個．
請從①籃球的單價是足球單價的3倍；②足球的單價是籃球單價的2倍；③籃球的單價比足球的單價貴60元；這3個選項中選擇一個作為條件（填序號），并求出足球的單價．
19．（2024·重慶銅梁·一模）某建筑公司承建一段6000米的高速路，計劃由甲、乙兩個工程隊同時施工，12天可完成總工程，已知甲工程隊每天比乙工程隊少施工100米．根據以上信息，解答下列問題：(1)求甲、乙兩個工程隊計劃每天各施工多少米？(2)實際施工時，因為遭遇雨季，甲、乙兩個工程隊平均每天的施工量比計劃都減少了m米，甲乙同時施工，完成總工程時，甲工程隊施工總量是乙工程隊施工總量的，求甲、乙兩個工程隊實際每天各施工多少米？
20．（2024·安徽馬鞍山·三模）李師傅的廂式大卡車的自重為18噸，車廂的容積為，負責將兩種產品從甲地運往乙地，兩種產品部分規格參數如下表：
每件產品的重量（噸） 每件產品的體積
1.2
1.5
(1)若滿載，單獨運輸產品的件數是產品的1.5倍，求的值；
(2)本月李師傅要將兩種產品共20件一次性運往乙地．在以往運輸過程中，發現途中經過的某座跨江大殜上有如圖所示的限重標志牌，顯示載重后總重量超過45噸的車輛禁止通行，通過計算，李師傅發現這趟運輸正好不超載，求這次運輸各裝載兩種產品多少件？
21．（2024·黑龍江·校考模擬預測）某商場欲購進A和B兩種家電，已知B種家電的進價比A種家電的進價每件多100元，經計算，用1萬元購進A種家電的件數與用1.2萬元購進B種家電的件數相同．請解答下列問題：(1)這兩種家電每件的進價分別是多少元？(2)若該商場欲購進兩種家電共100件，總金額不超過53500元，且A種家電不超過67件，則該商場有哪幾種購買方案？(3)在（2）的條件下，若A和B兩種家電的售價分別是每件600元和750元，該商場從這100件中拿出兩種家電共10件獎勵優秀員工，其余家電全部售出后仍獲利5050元，請直接寫出這10件家電中B種家電的件數．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
21世紀教育網(www.21cnjy.com)

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