資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
第二章 方程與不等式
2.1 一次方程（組）
考點分布 考查頻率 命題趨勢
考點1 等式的基本性質 ☆☆ 浙江中考數學（省卷）中，一次方程（組）的部分，考查3道題左右，分值為18分左右，通常以選填題（1題）、 計算題（1題）、 應用題（1題）的形式考查。
考點2 一元一次方程 ☆☆
考點3 二元一次方程（組） ☆☆☆
考點4 一次方程（組）的應用 ☆☆☆
浙江中考數學對于兩個方程的解法以及注意事項是必須掌握的，而在其應用上也是中考代數部分結合型較強的一類考點，也有在一次函數、二次函數的應用中解一元一次方程、二元一次方程組的工具性的考查。預計2025年各地中考還將繼續考查一次方程（組）的解法和應用題，為避免丟分，學生應扎實掌握。
2
4
■考點一　實數的分類及正負數的意義 4
■考點二　科學記數法 5
■考點三　相反數、絕對值與數軸 6
■考點四　實數的運算及其大小比較 7
■考點五　二次根式及其運算 8
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17
■考點一　等式的基本性質
1.等式的基本性質
1）等式兩邊都加上（或減去） ，所得的結果仍是等式；
2）等式兩邊都乘以（或除以） ，所得的結果仍是等式；
3）若a=b，b=c，則 （傳遞性）。
■考點二　一元一次方程
1.方程：含有 的 叫做方程．
2.方程的解：使方程左右兩邊 的 的值叫做方程的解；求方程的解的過程叫做 。
3.一元一次方程：只含有 未知數，并且未知數的次數為 ，這樣的 方程叫做一元一次方程。它的一般形式為。 注意：x前面的系數不為0。
4.一元一次方程的解：使一元一次方程左右兩邊相等的未知數的值叫做 。
5.一元一次方程的求解步驟
變形名稱 具體做法
去分母 在方程兩邊都乘以各分母的 。
去括號 先去小括號，再去中括號，最后去大括號。
移項 把含有未知數的項都移到方程的一邊，其他項都移到方程的另一邊
合并同類項 把方程化成的形式
系數化成1 在方程兩邊都除以未知數的系數，得到方程的解為
■考點三　二元一次方程（組）
1.二元一次方程：含有 未知數，并且含有未知數的項的次數都是1的 叫做二元一次方程。
2.二元一次方程的解：使二元一次方程左右兩邊相等的 叫做二元一次方程的解。
3.二元一次方程組：由兩個二元一次方程組成的方程組叫二元一次方程組。
方程組中同一個字母代表同一個量，其一般形式為。
4.解二元一次方程組的基本思想
解二元一次方程組的基本思想是 ，即將二元一次方程組轉化為一元一次方程。
5.二元一次方程組的解法
（1）代入消元法：將方程中的一個未知數用含有另一個未知數的代數式表示出來，并代入另一個方程中，消去一個未知數，化二元一次方程組為一元一次方程。
（2）加減消元法：將方程組中兩個方程通過適當變形后相加（或相減）消去其中一個未知數，化二元一次方程組為一元一次方程。
■考點四　一次方程（組）的實際應用
1.列方程（組）解應用題的一般步驟
（1）審題；（2）設出未知數；（3）列出含未知數的等式——方程；（4）解方程（組）；
（5）檢驗結果；（6）作答（不要忽略未知數的單位名稱）．
2.一次方程（組）常見的應用題型
（1）銷售打折問題：利潤售價-成本價；利潤率=×100％；
售價=標價×折扣；銷售額=售價×數量．
（2）儲蓄利息問題：利息=本金×利率×期數；本息和=本金+利息=本金×(1+利率×期數)；
貸款利息=貸款額×利率×期數．
（3）工程問題：工作量=工作效率×工作時間．
（4）行程問題：路程=速度×時間．
（5）相遇問題：全路程=甲走的路程+乙走的路程．
（6）追及問題（同地不同時出發）：前者走的路程=追者走的路程．
（7）追及問題（同時不同地出發）：前者走的路程+兩地間距離=追者走的路程．
（8）水中航行問題：順水速度=靜水速度+水流速度；逆水速度=靜水速度-水流速度．
■考點一　等式的基本性質
◇典例1：（2024·廣東·統考二模）若a，b，c為互不相等的實數，且，則下列結論正確的是( )
A． B． C． D．
◆變式訓練
1.（2023·浙江衢州·三模）已知，下列等式不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
◇典例2：（2024·貴州·中考真題）小紅學習了等式的性質后，在甲、乙兩臺天平的左右兩邊分別放入“■”“●”“▲”三種物體，如圖所示，天平都保持平衡．若設“■”與“●”的質量分別為x，y，則下列關系式正確的是（ ）
A． B． C． D．
◆變式訓練
1.（2023·河北承德·校聯考模擬預測）能運用等式的性質說明如圖事實的是（　　）
A．如果，那么（a，b，c均不為0）
B．如果，那么（a，b，c均不為0）
C．如果，那么（a，b，c均不為0）
D．如果，那么（a，b，c均不為0）
2.（2023·福建·統考模擬預測）推理是數學的基本思維方式、若推理過程不嚴謹，則推理結果可能產生錯誤．
例如，有人聲稱可以證明“任意一個實數都等于0”，并證明如下：
設任意一個實數為x，令，等式兩邊都乘以x，得．①
等式兩邊都減，得．②
等式兩邊分別分解因式，得．③
等式兩邊都除以，得．④
等式兩邊都減m，得x＝0.⑤
所以任意一個實數都等于0.
以上推理過程中，開始出現錯誤的那一步對應的序號是 ．
■考點二　一元一次方程
◇典例3：（2024·浙江紹興·二模）要使運算式子“”成立，則“”內應填入的數是（ ）
A． B．2 C． D．
◆變式訓練
1．（2024·浙江寧波·模擬預測）定義一種新運算：，若，則 ．
◇典例4：（2024·浙江杭州·模擬預測）以下是圓圓解方程的解答過程：
解：去分母，得，
去括號，得，
移項，得，
合并同類項，得，
系數化為，得．
圓圓的解答過程是否有錯誤？如果有錯誤，請寫出正確的解答過程．
◆變式訓練
1．（2024·浙江臺州·二模）以下是亮亮解方程的解答過程．
解：去分母，得．
移項，得．
合并同類項，得．
亮亮的解答過程是否有錯誤？如果有錯誤，寫出正確的解答過程．
2．（2024·浙江杭州·一模）以下是圓圓解方程的解答過程．
解：去分母，得．
去括號，得．
移項，合并同類項，得．
圓圓的解答過程是否有錯誤？如果有錯誤，寫出正確的解答過程．
■考點三　二元一次方程（組）
◇典例5：（2024·浙江·模擬預測）（1）計算：；（2）解方程組：．
◆變式訓練
1．（2023·浙江溫州·模擬預測）二元一次方程組的解為 ．
2．（2024·浙江湖州·模擬預測）（1）計算： （2）解方程
◇典例6：（2024·浙江杭州·三模）已知方程組，則的值為 ．
◆變式訓練
1．（2024·浙江衢州·模擬預測）已知是方程組的解，則的值是（ ）
A． B． C．3 D．4
2．（2024·浙江溫州·模擬預測）已知二元一次方程組，則的值為 ．
◇典例7：（2024·浙江寧波·一模）表示小于a的最大整數，表示不小于b的最小整數，若整數x、y滿足，則的平方根為（　　）
A． B． C． D．
◆變式訓練
1．（2024·浙江寧波·模擬預測）若關于x，y的方程組的解滿足，則的取值范圍是 ．
2．（2024·浙江寧波·一模）已知關于、的方程組的解為，則關于、的方程組的解為 ．
3．（2024·浙江溫州·二模）觀察以下二元一次方程組與對應的解：
二元一次方程組
解
(1)通過歸納未知數系數與解的關系，直接寫出的解．
(2)已知關于x，y的二元一次方程組（，）．
①猜想該方程組的解；②將你猜想的解代入方程組檢驗并寫出過程．
■考點四　一次方程（組）的實際應用
◇典例8：（2024·吉林長春·模擬預測）一片牧場（草以均勻的速度生長），12頭牛吃4天，9頭牛吃6天，（ ）頭牛兩天能吃完
A．20 B．21 C．30 D．18
◆變式訓練
1．（2024·浙江·二模）在《九章算術》中描述了這樣一個問題：今有客馬，日行三百里．客去忘持衣，日已三分之一，主人乃覺．持衣追及，與之而還．至家視日四分之三．問：主人馬不休，日行幾何？翻譯成現代語言是：客人的馬一天能行三百里．客人早晨離去時，忘記帶走自己的衣物．他走了三分之一日，主人才發覺．于是，主人拿著他的衣服騎上馬去追．追上交還衣服后又立即返家，此時這一天已過去了四分之三．問：主人的馬一天能跑多少里？假如主人騎馬的速度不變，則主人騎馬的速度為 里/日．
2．（2024·浙江金華·一模）高鐵站候車廳的飲水機（圖1）有溫水、開水兩個按鈕，圖2為其示意圖．小明先接溫水后再接開水，接滿的水杯，期間不計熱損失利用圖中信息解決下列問題：

物理知識：開水和溫水混合時會發生熱傳遞，開水放出的熱量等于溫水吸收的熱量，可轉化為：開水體積×開水降低的溫度=溫水體積×溫水升高的溫度． 生活經驗：飲水最佳溫度是（包括與），這一溫度最接近人體體溫．
(1)若先接溫水26秒，求再接開水的時間；
(2)設接溫水的時間為x秒，接到水杯中水的溫度為．
①若，求x的值；②求y關于x的函數關系式，并寫出達到最佳水溫時x的取值范圍．
◇典例9：（2024·浙江溫州·三模）某社區積極響應“創文”活動，購買了甲、乙兩種樹木，其中甲種樹木每棵100元，乙種樹木每棵80元，乙種樹木比甲種樹木少8棵，共用去資金8000元．設甲種樹木購買了x棵，乙種樹木購買了y棵，根據題意，可列方程組（ ）
A． B． C． D．
◆變式訓練1．（2024·浙江杭州·模擬預測）我國古代《四元玉鑒》中記載“二果問價”問題，其內容如下“九百九十九文錢，甜果苦果買一千，甜果九個十一文，苦果七個四文錢，試問甜苦果幾個，又問各該幾個錢？若設買甜果x個，買苦果y個，則下列關于x，y的二元一次方程組中符合題意的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2024·浙江杭州·二模）桿秤是我國度量衡“三大件（尺斗秤）”重要組成部分，是中華民族衡重的基本量具．桿秤依據杠桿原理制作而成，一般由秤鉤（或秤盤）、秤桿和秤砣三部分組成，秤桿上的刻度叫做“秤星”．如圖是小戚同學利用自制桿秤稱重的示意圖，使用時將貨物放在秤盤上，用手提起（相當于支點）處的秤紐，在秤桿上移動秤砣的位置，當秤桿水平平衡時，可根據秤砣在秤桿上的位置讀出貨物的質量．如圖1所示，稱量貨物甲時，秤砣在處秤桿平衡，此時可讀出貨物甲的質量是，則此時：（甲的質量秤盤質量）秤砣質量；如圖2所示，稱量貨物乙時，秤砣在處秤桿平衡，此時可讀出貨物乙的質量是．根據圖中所給數據，可以知道秤盤的質量是 克，這把桿秤的秤星E對應的刻度是 克．

3．（2024·廣東·模擬預測）每年月份，某商家都會在線上平臺開設的網店銷售荔枝和龍眼兩種水果．下表是5月份某個星期兩種水果的銷售信息（荔枝箱，龍眼箱）．
商品 荔枝 龍眼
成本/(元/箱) 30 40
售價/(元/箱) 48 60
這個星期網店銷售荔枝和龍眼共，獲利9600元，求這個星期網店銷售荔枝和龍眼各多少箱．
◇典例10：（2024·浙江寧波·一模）北魏數學家張丘建被稱“算圣”，他所著的《張丘建算經》中記載了各種計算，其中有一題：今有雞翁一值錢五，雞母一值錢三，雞雛三值錢一．百錢買百雞，問雞翁、雞母、雞雛各幾何？譯：一只公雞值5錢，一只母雞值3錢，三只小雞值1錢．現用100錢買100只雞，請問能買公雞、母雞、小雞各多少只？設公雞有只，則下列各值中不能取的數是（　　）
A．4 B．8 C．12 D．16
◆變式訓練
1．（2023·浙江溫州·模擬預測）某公司用n張相同的大長方形紙板分別按如圖所示進行裁剪，所得的正六邊形和小長方形紙板恰好能搭配成若干個有蓋直六棱柱紙盒，則n的值可能是（ ）

A．130 B．140 C．150 D．160
2．（2024·黑龍江綏化·模擬預測）學校開展“陽光體育”活動，張老師準備花費400元在體育用品商店訂購28個啞鈴，共有甲、乙、丙三種啞鈴供其選擇，它們的單價分別為20元、16元、10元，那么張老師不同的訂購方案有 種．
1.（2022·山東濱州·統考中考真題）在物理學中，導體中的電流Ⅰ跟導體兩端的電壓U，導體的電阻R之間有以下關系：去分母得，那么其變形的依據是（ ）
A．等式的性質1 B．等式的性質2 C．分式的基本性質 D．不等式的性質2
2．（2024·福建·中考真題）今年我國國民經濟開局良好，市場銷售穩定增長，社會消費增長較快，第一季度社會消費品零售總額120327億元，比去年第一季度增長，求去年第一季度社會消費品零售總額．若將去年第一季度社會消費品零售總額設為億元，則符合題意的方程是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·四川宜賓·中考真題）元朝朱世杰所著的《算學啟蒙》中，記載了這樣一道題：“良馬日行二百四十里，駑馬日行一百五十里，駑馬先行一十二日，問良馬幾何日追及之？”其大意是：快馬每天行240里，慢馬每天行150里，慢馬先行12天，問快馬幾天可追上慢馬？則快馬追上慢馬的天數是（ ）
A．5天 B．10天 C．15天 D．20天
4．（2024·湖北·中考真題）《九章算術》中記載這樣一個題：牛5頭和羊2只共值10金，牛2頭和羊5只共值8金，問牛和羊各值多少金？設每頭牛值金，每只羊值金，可列方程為（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·內蒙古呼倫貝爾·中考真題）點在直線上，坐標是二元一次方程的解，則點的位置在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．（2024·四川宜賓·中考真題）某果農將采摘的荔枝分裝為大箱和小箱銷售，其中每個大箱裝4千克荔枝，每個小箱裝3千克荔枝．該果農現采摘有32千克荔枝，根據市場銷售需求，大小箱都要裝滿，則所裝的箱數最多為（ ）
A．8箱 B．9箱 C．10箱 D．11箱
7．（2024·廣東深圳·中考真題）在明朝程大位《算法統宗》中有首住店詩：我問開店李三公，眾客都來到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．詩的大意是：一些客人到李三公的店中住宿，如果每一間客房住7人，那么有7人無房可住；如果每一間客房住9人，那么就空出一間房．設該店有客房x間，房客y人，則可列方程組為（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）校團委開展以“我愛讀書”為主題的演講比賽活動，為獎勵表現突出的學生，計劃拿出200元錢全部用于購買單價分別為8元和10元的兩種筆記本(兩種都要購買)作為獎品，則購買方案有（ ）
A．5種 B．4種 C．3種 D．2種
9．（2024·內蒙古赤峰·中考真題）用1塊A型鋼板可制成3塊C型鋼板和4塊D型鋼板；用1塊B型鋼板可制成5塊C型鋼板和2塊D型鋼板．現在需要58塊C型鋼板、40塊D型鋼板，問恰好用A型鋼板、B型鋼板各多少塊？如果設用A型鋼板x塊，用B型鋼板y塊，則可列方程組為（　　）
A． B． C． D．
10．（2024·黑龍江大興安嶺地·中考真題）國家“雙減”政策實施后，某班開展了主題為“書香滿校園”的讀書活動．班級決定為在活動中表現突出的同學購買筆記本和碳素筆進行獎勵（兩種獎品都買），其中筆記本每本3元，碳素筆每支2元，共花費28元，則共有幾種購買方案（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
11．（2023·浙江紹興·中考真題）某校購買體育器材，第一次購買籃球7個，排球5個，足球3個，共花費450元，第二次又購買同樣的籃球3個，排球2個，足球1個，共花費175元，則購買同樣的籃球、排球、足球各1個，共需花費（ ）
A．100元 B．105元 C．110元 D．125元
12．（2024·江蘇揚州·中考真題）《九章算術》是中國古代的數學專著，是《算經十書》中最重要的一部，書中第八章內容“方程”里記載了一個有趣的追及問題，可理解為：速度快的人每分鐘走米，速度慢的人每分鐘走米，現在速度慢的人先走米，速度快的人去追他．問速度快的人追上他需要 分鐘．
13．（2024·江蘇鹽城·中考真題）中國古代數學著作《增刪算法統宗》中記載的“繩索量竿”問題，大意是：現有一根竿子和一條繩索，用繩索去量竿子，繩索比竿子長5尺；若將繩索對折去量竿子，繩索就比竿子短5尺，問繩索、竿子各有多長？該問題中的竿子長為 尺．
14．（2024·浙江·中考真題）解方程組：
15．（2024·廣西·中考真題）解方程組：
16．（2024·江蘇蘇州·中考真題）解方程組：．
17．（2024·吉林·中考真題）鋼琴素有“樂器之王”的美稱，鍵盤上白色琴鍵和黑色琴鍵共有88個，白色琴鍵比黑色琴鍵多16個．求白色琴鍵和黑色琴鍵的個數．
18．（2024·陜西·中考真題）星期天，媽媽做飯，小峰和爸爸進行一次家庭衛生大掃除．根據這次大掃除的任務量，若小峰單獨完成，需；若爸爸單獨完成，需．當天，小峰先單獨打掃了一段時間后，去參加籃球訓練，接著由爸爸單獨完成剩余的打掃任務．小峰和爸爸這次一共打掃了，求這次小峰打掃了多長時間．
19．（2024·江蘇連云港·中考真題）我市將5月21日設立為連云港市“人才日”，以最大誠意禮遇人才，讓人才與城市“雙向奔赴”．活動主辦方分兩次共郵購了200把繪有西游文化的折扇作為當天一項活動的紀念品．折扇單價為8元，其中郵費和優惠方式如下表所示：
郵購數量 100以上（含100）
郵寄費用 總價的 免費郵寄
折扇價格 不優惠 打九折
若兩次郵購折扇共花費1504元，求兩次郵購的折扇各多少把？
20．（2024·安徽·中考真題）鄉村振興戰略實施以來，很多外出人員返鄉創業．某村有部分返鄉青年承包了一些田地．采用新技術種植兩種農作物．種植這兩種農作物每公頃所需人數和投入資金如表：
農作物品種 每公頃所需人數 每公頃所需投入資金（萬元）
已知農作物種植人員共位，且每人只參與一種農作物種植，投入資金共萬元．問這兩種農作物的種植面積各多少公頃？
21．（2024·浙江·中考真題）小明和小麗在跑步機上慢跑鍛煉．小明先跑，10分鐘后小麗才開始跑，小麗跑步時中間休息了兩次．跑步機上C檔比B檔快40米/分、B檔比A檔快40米/分．小明與小麗的跑步相關信息如表所示，跑步累計里程s（米）與小明跑步時間t（分）的函數關系如圖所示．
時間 里程分段 速度檔 跑步里程
小明 不分段 A檔 4000米
小麗 第一段 B檔 1800米
第一次休息
第二段 B檔 1200米
第二次休息
第三段 C檔 1600米
(1)求A，B，C各檔速度（單位：米/分）；
(2)求小麗兩次休息時間的總和（單位：分）；
(3)小麗第二次休息后，在a分鐘時兩人跑步累計里程相等，求a的值．
1．（2024·浙江寧波·模擬預測）《孫子算經》是中國古代重要的數學著作，該書第三卷記載：“今有獸六首四足，禽四首二足，上有七十六首，下有四十六足．問獸、禽各幾何？”譯文：今有一種6頭4腳的獸與一種4頭2腳的鳥，若獸與鳥共有76個頭和46只腳，問獸、鳥各多少？設獸有x個，鳥有y只，列出的方程為（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·浙江嘉興·三模）已知物體自由下落的距離可以表示為，表示物體下落的末速度，表示物體下落的時間，聲音傳播的速度為米/秒．若將一塊石頭從井口自由落下，秒后聽到它落水的聲音，測得米/秒，設石頭下落的時間為，則可列得方程（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·浙江衢州·一模）今有三人共車，二車空：二人共車，九人步．問人與車各幾何？（選自《孫子算經》）現假設有輛車，則有方程（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·浙江·模擬預測）《九章算術》是中國古代重要的數學著作，書中記載了這樣一個題目：今有牛五羊二，直金十兩.牛二羊五，直金八兩.問牛羊各直金幾何 其大意是：今有牛5頭，羊2頭，共值金10兩；牛2頭，羊5頭，共值金8兩．問牛、羊每頭各值金多少 設每頭牛值x兩金，每頭羊值y兩金，則可列方程組為( )
A． B． C． D．
5．（2024·浙江·二模）年元旦期間，小華和家人到杭州西湖景區游玩，湖邊有大小兩種游船，小華發現：2艘大船與3艘小船一次共可以滿載游客人，1艘大船與1艘小船一次共可以滿載游客人．則1艘大船可以滿載游客的人數為（ ）
A．10 B．16 C．18 D．20
6．（2023·浙江金華·模擬預測）已知滿足和的x，y也滿足，那么（　　）
A．1 B．2 C． D．
7．（2024·四川廣安·模擬預測）幻方，相傳最早見于我國的“洛書”，如圖1的洛書，每一行、每一列以及每條斜對角線上的點數之和都相等，轉換為數字如圖2所示，它是一種三階幻方．根據三階幻方規則，由圖3中已知數求出的值為（ ）
A． B．3 C． D．2
8．（2024·河北邯鄲·模擬預測）我國古代的數學專著《九章算術》中有一題：“今有生絲三十斤，干之，耗三斤十二兩……”意思是：“今有生絲30斤，干燥后損耗3斤12兩（我國古代1斤等于16兩）……”據此，若得到14斤干絲，需使用生絲x斤，則正確的是（　　）
A．依題意，得 B．依題意，得
C．需使用生絲 斤 D．得到14斤干絲，需損耗生絲 斤
9．（2024·浙江臺州·模擬預測）某樂高創客小組自制了一臺“滑輪塔吊”裝置，如圖，是平衡桿，點O處裝有滑輪組，以的速度在平衡桿上滑動．現要將置于地面且距離障礙物的物體A搬運到障礙物后的置物臺上，障礙物高為，置物臺高為，兩者寬度均為．在搬運過程中，滑輪滑動的同時，吊繩勻速收放．（物體體積、裝置和滑輪組重力及摩擦力均忽略不計）

（1）物體在上升過程中，隨著滑輪組向右滑動，吊繩勻速收起，若物體恰好能越過障礙物，則此時裝置的收繩速度為 ；（2）在（1）的基礎上，物體緩緩上升，在到達某一高度后裝置開始放繩，通過調整放繩速度，使物體順利運至置物臺．在搬運過程中，若物體恰好能以最小速度運至置物臺，物體離地面最大高度為 ．
10．（2024·浙江寧波·一模）已知二元一次方程組，則的值為 ．
11．（2023·浙江紹興·模擬預測）已知三個實數x、y、z中，x與y的平均數是127，y與z的和的是78，x與z的和的是52，則這三個數x、y、z的平均數是 ．
12．（2024·浙江寧波·模擬預測）某公司有一批貨物需要分別寄到上海和北京．某快遞公司規定：寄件不超過1千克的部分按起步價計費；寄件超過1千克部分的按千克計費．收費標準及實際收費如表：
收費標準
目的地 起步價（元） 超過1千克的部分（元/千克）
上海 a b
北京
實際收費
目的地 質量（千克） 費用（元）
上海 2 10
北京 3 23
則 ， ．
13．（2024·湖南常德·模擬預測）有7個完全相同的小球，3個完全相同的盒子，他們都不加以區別，若將這7個小球分別放入這3個盒子中，允許有盒子空著不放，則不同放法有 種．
14．（2024·河北·模擬預測）已知嘉嘉購買了紅、綠、藍三種顏色的筷子各只，將紅、綠、藍三種顏色的筷子分別放入甲、乙、丙桶中．
（1）若嘉嘉從甲桶拿出4只筷子放入乙桶中，此時乙桶中的筷子數量是甲桶筷子數量的2倍，則m的值為 ；
（2）若嘉嘉從甲、丙桶分別拿出只紅、藍筷子放入乙桶中，接下來，從乙桶拿出只筷子放入甲桶中，其中有只綠色筷子，此時乙桶中綠色筷子的數量與剩余紅色、藍色筷子的數量和相等，則的值為 ．
15．（2024·舟山·一模）許多人選擇晨跑作為鍛煉身體的一種方式，某日小明與小紅戴著智能運動手表相約在舟山濱海大道上晨跑，從相同的起點勻速跑向相同的終點，請提取以下相關信息并解決問題．
信息一：兩人佩戴某款智能運動手表中的若干數據如下：
小明出發時刻 智能手表數據 小明結束時刻 智能手表數據 小紅出發時刻 智能手表數據 小紅結束時刻 智能手表數據
時刻 步數（步） 心率（次/分鐘） 時刻 步數（步） 心率（次/分鐘） 時刻 步數（步） 心率（次/分鐘） 時刻（） 步數（步） 心率（次/分鐘）
信息二：小明每步比小紅每步多跑米，小明每分鐘比小紅多跑步，
問題：（1）起點與終點的距離為 米；
（2）跑步結束他們相約去吃早飯，請問小明要在終點處等小紅 分鐘．
16．（2023·浙江臺州·三模）解方程組：．
17．（2024·浙江·模擬預測）關于x，y的二元一次方程組的解滿足，求a的取值范圍．
18．（2024·浙江杭州·一模）某同學解方程的過程如下框：
解： 兩邊同時乘以10，得……① 合并同類項，得……② 系數化1，得……③
請寫出解答過程中最早出現錯誤的步驟序號，并寫出正確的解答過程．
19．（2024·浙江寧波·二模）（1）計算：．（2）解方程組：
20．（2024·浙江寧波·一模）根據以下素材，探索完成任務．
如何設計采購方案？
素材1 為了迎接9月末至10月初在杭州舉行的第19屆亞運會，某旅游商店購進若干明信片和吉祥物鑰匙扣已知一個吉祥物鑰匙扣的售價比一套明信片的售價高20元．
素材2 小明在該店購買了1套明信片與4個吉祥物鑰匙扣共花費130元．
素材3 已知明信片的進價為5元/套，吉祥物鑰匙扣的進價為18元/個．為了促銷，商店對吉祥物鑰匙扣進行8折銷售．臨近期中考試，某老師打算提前給學生準備獎品，在該店同時購買吉祥物鑰匙扣和明信片兩種商品若干件，本次交易商家-共獲得600元的銷售額．其中售出吉祥物鑰匙扣不少于15個．
問題解決
任務1 假設明信片的售價為x元/套，鑰匙扣的售價為y元/個，請協助解決右邊問題． 問：_______（用含的代數式表示）
任務2 基于任務1的假設和索材2的條件，請嘗試求出吉祥物鑰匙扣和明信片的售價．
任務3 【擬定設計方案】請結合素材3中的信息，幫助該老師完成此次促銷活動中可行的購買方案．在這些購買方案中，哪種方案商家獲利最高．
21．（2024·浙江嘉興·模擬預測）某城市正在實施垃圾分類制度，居民需要將垃圾分為可回收垃圾、易腐垃圾、有害垃圾和其他垃圾四類．某小區為了鼓勵居民積極參與垃圾分類，決定設立積分獎勵機制．規則如下表：
垃圾類別 可回收垃圾 易腐垃圾 有害垃圾 其他垃圾
每公斤獲得積分 a b 100 無
積分可以兌換部分商品，具體如下表：
物品 垃圾袋/卷 5元話費券/張 水果店打折券/張 小區臨時停車券/張
積分數 800 1500 2000 1000
已知2公斤可回收垃圾和1.5公斤易腐垃圾可以獲得130積分；2.5公斤可回收垃圾和2公斤易腐垃圾可獲得165積分．(1)求a，b的值；(2)小明家一季度產出了46公斤可回收垃圾，100公斤易腐垃圾，1公斤有害垃圾，將這一季度獲得的所有積分都兌換成物品，可有哪些兌換方案？
22．（2024·河南·模擬預測）課余時間，三個同學用三個盒子中放有數量不同的小球來進行游戲，并邀請老師一起來參與，他們告訴老師，已知第一個盒子中小球的個數為a，第二個盒子中小球的數量是第一個盒子中小球數量的2倍，第三個盒子中小球的數量比第二個盒子中的個數少
(1)如果現在他們每個人都從三個盒中分別拿出一些小球后，使每個盒中剩下的小球個數相等．已知從第三個盒子中拿出的小球個數比第一個盒子中拿出的小球個數多3個，而從第二個盒子中拿出小球個數是其剩下小球個數的2倍，請老師來計算從三個盒中共拿出的小球個數；
(2)若把三個盒子中的小球的個數依次寫出來得到一個多位數，將這個多位數的各數位上的數字進行調換得到新的多位數，求新的多位數與原來的多位數差的最大值．
23．（2024·山西大同·模擬預測）閱讀下列材料，并完成相應的任務．
換元法是指引入一個或幾個新的變量代替原來的某些變量，變量求出結果之后，返回去求原變量的結果，換元法是數學中重要的解題方法，對于一些較繁較難的數學問題，若能根據問題的特點進行巧妙的換元，則可以收到事半功倍的效果，下面以一個例題來說明．
例1：計算：．
解：設，則原式．
請你利用上述方法解答下列問題：(1)計算：；
(2)已知方程組的解是，則方程組的解是 ．
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第二章 方程與不等式
2.1 一次方程（組）
考點分布 考查頻率 命題趨勢
考點1 等式的基本性質 ☆☆ 浙江中考數學（省卷）中，一次方程（組）的部分，考查3道題左右，分值為18分左右，通常以選填題（1題）、 計算題（1題）、 應用題（1題）的形式考查。
考點2 一元一次方程 ☆☆
考點3 二元一次方程（組） ☆☆☆
考點4 一次方程（組）的應用 ☆☆☆
浙江中考數學對于兩個方程的解法以及注意事項是必須掌握的，而在其應用上也是中考代數部分結合型較強的一類考點，也有在一次函數、二次函數的應用中解一元一次方程、二元一次方程組的工具性的考查。預計2025年各地中考還將繼續考查一次方程（組）的解法和應用題，為避免丟分，學生應扎實掌握。
2
4
■考點一　實數的分類及正負數的意義 4
■考點二　科學記數法 5
■考點三　相反數、絕對值與數軸 6
■考點四　實數的運算及其大小比較 7
■考點五　二次根式及其運算 8
12
17
■考點一　等式的基本性質
1.等式的基本性質
1）等式兩邊都加上（或減去） 同一個數或同一個整式 ，所得的結果仍是等式；
2）等式兩邊都乘以（或除以） 同一個不等于零的數 ，所得的結果仍是等式；
3）若a=b，b=c，則 a=c （傳遞性）。
■考點二　一元一次方程
1.方程：含有 未知數 的 等式 叫做方程．
2.方程的解：使方程左右兩邊 相等 的 未知數 的值叫做方程的解；求方程的解的過程叫做 解方程 。
3.一元一次方程：只含有 一個 未知數，并且未知數的次數為 1 ，這樣的 整式 方程叫做一元一次方程。它的一般形式為。 注意：x前面的系數不為0。
4.一元一次方程的解：使一元一次方程左右兩邊相等的未知數的值叫做 一元一次方程的解 。
5.一元一次方程的求解步驟
變形名稱 具體做法
去分母 在方程兩邊都乘以各分母的 最小公倍數 。
去括號 先去小括號，再去中括號，最后去大括號。
移項 把含有未知數的項都移到方程的一邊，其他項都移到方程的另一邊
合并同類項 把方程化成的形式
系數化成1 在方程兩邊都除以未知數的系數，得到方程的解為
■考點三　二元一次方程（組）
1.二元一次方程：含有 2個 未知數，并且含有未知數的項的次數都是1的 整式方程 叫做二元一次方程。
2.二元一次方程的解：使二元一次方程左右兩邊相等的 未知數的值 叫做二元一次方程的解。
3.二元一次方程組：由兩個二元一次方程組成的方程組叫二元一次方程組。
方程組中同一個字母代表同一個量，其一般形式為。
4.解二元一次方程組的基本思想
解二元一次方程組的基本思想是 消元 ，即將二元一次方程組轉化為一元一次方程。
5.二元一次方程組的解法
（1）代入消元法：將方程中的一個未知數用含有另一個未知數的代數式表示出來，并代入另一個方程中，消去一個未知數，化二元一次方程組為一元一次方程。
（2）加減消元法：將方程組中兩個方程通過適當變形后相加（或相減）消去其中一個未知數，化二元一次方程組為一元一次方程。
■考點四　一次方程（組）的實際應用
1.列方程（組）解應用題的一般步驟
（1）審題；（2）設出未知數；（3）列出含未知數的等式——方程；（4）解方程（組）；
（5）檢驗結果；（6）作答（不要忽略未知數的單位名稱）．
2.一次方程（組）常見的應用題型
（1）銷售打折問題：利潤售價-成本價；利潤率=×100％；
售價=標價×折扣；銷售額=售價×數量．
（2）儲蓄利息問題：利息=本金×利率×期數；本息和=本金+利息=本金×(1+利率×期數)；
貸款利息=貸款額×利率×期數．
（3）工程問題：工作量=工作效率×工作時間．
（4）行程問題：路程=速度×時間．
（5）相遇問題：全路程=甲走的路程+乙走的路程．
（6）追及問題（同地不同時出發）：前者走的路程=追者走的路程．
（7）追及問題（同時不同地出發）：前者走的路程+兩地間距離=追者走的路程．
（8）水中航行問題：順水速度=靜水速度+水流速度；逆水速度=靜水速度-水流速度．
■考點一　等式的基本性質
◇典例1：（2024·廣東·統考二模）若a，b，c為互不相等的實數，且，則下列結論正確的是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】解：∵，∴，故B、C錯誤；
∵，∴，∴，
∴，故A錯誤，D正確；故選：D．
◆變式訓練
1.（2023·浙江衢州·三模）已知，下列等式不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】A. ∵，∴，故該選項正確，不符合題意；
B. ∵，∴，故該選項正確，不符合題意；
C. ∵，∴ ，故該選項正確，不符合題意；
D. ∵，且，∴，故該選項不正確，符合題意；故選：D．
◇典例2：（2024·貴州·中考真題）小紅學習了等式的性質后，在甲、乙兩臺天平的左右兩邊分別放入“■”“●”“▲”三種物體，如圖所示，天平都保持平衡．若設“■”與“●”的質量分別為x，y，則下列關系式正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】解：設“▲”的質量為a，由甲圖可得，即，
由乙圖可得，即，∴，故選C．
◆變式訓練
1.（2023·河北承德·校聯考模擬預測）能運用等式的性質說明如圖事實的是（　　）
A．如果，那么（a，b，c均不為0）
B．如果，那么（a，b，c均不為0）
C．如果，那么（a，b，c均不為0）
D．如果，那么（a，b，c均不為0）
【答案】A
【詳解】解：觀察圖形，是等式的兩邊都減去c（a，b，c均不為0），
利用等式性質1，得到，即如果，那么（a，b，c均不為0）．故選：A．
2.（2023·福建·統考模擬預測）推理是數學的基本思維方式、若推理過程不嚴謹，則推理結果可能產生錯誤．
例如，有人聲稱可以證明“任意一個實數都等于0”，并證明如下：
設任意一個實數為x，令，等式兩邊都乘以x，得．①
等式兩邊都減，得．②
等式兩邊分別分解因式，得．③
等式兩邊都除以，得．④
等式兩邊都減m，得x＝0.⑤
所以任意一個實數都等于0.
以上推理過程中，開始出現錯誤的那一步對應的序號是 ．
【答案】④
【詳解】等式的性質2為：等式兩邊同乘或除以同一個不為0的整式，等式不變，
∴第④步等式兩邊都除以，得，前提必須為，因此錯誤；故答案為：④．
■考點二　一元一次方程
◇典例3：（2024·浙江紹興·二模）要使運算式子“”成立，則“”內應填入的數是（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】A
【詳解】解：∵，∴，∴，故選：A．
◆變式訓練
1．（2024·浙江寧波·模擬預測）定義一種新運算：，若，則 ．
【答案】
【詳解】解：∵，∴，∴，解得：，故答案為：．
◇典例4：（2024·浙江杭州·模擬預測）以下是圓圓解方程的解答過程：
解：去分母，得，
去括號，得，
移項，得，
合并同類項，得，
系數化為，得．
圓圓的解答過程是否有錯誤？如果有錯誤，請寫出正確的解答過程．
【答案】圓圓解方程有錯誤，正確解答見解析
【詳解】解：圓圓解方程有錯誤，正確解答為：
去分母，得，
去括號，得，
移項，得，
合并同類項，得，
系數化為，得．
◆變式訓練
1．（2024·浙江臺州·二模）以下是亮亮解方程的解答過程．
解：去分母，得．
移項，得．
合并同類項，得．
亮亮的解答過程是否有錯誤？如果有錯誤，寫出正確的解答過程．
【答案】亮亮的解答過程有錯誤，解答過程見解析
【詳解】解：亮亮的解答過程有錯誤．
正確的解答過程：
去分母，得：，
移項，得：，
合并同類項，得：．
2．（2024·浙江杭州·一模）以下是圓圓解方程的解答過程．
解：去分母，得．
去括號，得．
移項，合并同類項，得．
圓圓的解答過程是否有錯誤？如果有錯誤，寫出正確的解答過程．
【答案】解答過程有錯誤，正確的解答過程見解析
【詳解】解：圓圓的解答過程有錯誤，正確的解答過程如下：
去分母，得：，
去括號，得，
移項，合并同類項，得，
系數化為1，得．
■考點三　二元一次方程（組）
◇典例5：（2024·浙江·模擬預測）（1）計算：；（2）解方程組：．
【答案】（1）2 （2）
【詳解】解：（1）原式；
（2），
①②得：，解得：，
將代入②得：，解得：，
故原方程組的解為．
◆變式訓練
1．（2023·浙江溫州·模擬預測）二元一次方程組的解為 ．
【答案】
【詳解】解：，
得出：，
將代入①得出：，
所以方程組的解為：，
故答案為：．
2．（2024·浙江湖州·模擬預測）（1）計算： （2）解方程
【答案】（1），（2）
【詳解】解：（1）原式
；
（2），
得：，
解得：，
把代入①得：，
解得：，
所以方程組的解為．
◇典例6：（2024·浙江杭州·三模）已知方程組，則的值為 ．
【答案】2
【詳解】解：，
，得，故答案為：2．
◆變式訓練
1．（2024·浙江衢州·模擬預測）已知是方程組的解，則的值是（ ）
A． B． C．3 D．4
【答案】D
【詳解】解：是方程組的解，
，兩個方程相減，得，故選：D．
2．（2024·浙江溫州·模擬預測）已知二元一次方程組，則的值為 ．
【答案】
【詳解】解：，得：，故答案為：．
◇典例7：（2024·浙江寧波·一模）表示小于a的最大整數，表示不小于b的最小整數，若整數x、y滿足，則的平方根為（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】解：由題意得：，解得：，
∵為整數，∴，∴，
∴的平方根是，故選：D．
◆變式訓練
1．（2024·浙江寧波·模擬預測）若關于x，y的方程組的解滿足，則的取值范圍是 ．
【答案】
【詳解】解：由可得：，所以：
把③代入②得：，解得：，
代入可得：，解得：，故答案為：．
2．（2024·浙江寧波·一模）已知關于、的方程組的解為，則關于、的方程組的解為 ．
【答案】
【詳解】解：方程組可化為，
關于、的方程組的解為，
方程組的解是，即，故答案為：．
3．（2024·浙江溫州·二模）觀察以下二元一次方程組與對應的解：
二元一次方程組
解
(1)通過歸納未知數系數與解的關系，直接寫出的解．
(2)已知關于x，y的二元一次方程組（，）．
①猜想該方程組的解；②將你猜想的解代入方程組檢驗并寫出過程．
【答案】(1)(2)①；②見解析
【詳解】（1）解：由題意可得：的解是：；
（2）解：①關于x，y的二元一次方程組的解是：；
②把代入①的左邊可得：右邊，
把代入②的左邊可得：右邊，
∴是方程組的解．
■考點四　一次方程（組）的實際應用
◇典例8：（2024·吉林長春·模擬預測）一片牧場（草以均勻的速度生長），12頭牛吃4天，9頭牛吃6天，（ ）頭牛兩天能吃完
A．20 B．21 C．30 D．18
【答案】B
【詳解】解：假設每頭牛每天吃的草量為單位“1”，草場每天生長的草為x，根據題意得：
，解得：，
設y頭牛兩天能吃完，根據題意得：，解得：，
即21頭牛兩天能吃完．故選：B．
◆變式訓練
1．（2024·浙江·二模）在《九章算術》中描述了這樣一個問題：今有客馬，日行三百里．客去忘持衣，日已三分之一，主人乃覺．持衣追及，與之而還．至家視日四分之三．問：主人馬不休，日行幾何？翻譯成現代語言是：客人的馬一天能行三百里．客人早晨離去時，忘記帶走自己的衣物．他走了三分之一日，主人才發覺．于是，主人拿著他的衣服騎上馬去追．追上交還衣服后又立即返家，此時這一天已過去了四分之三．問：主人的馬一天能跑多少里？假如主人騎馬的速度不變，則主人騎馬的速度為 里/日．
【答案】780
【詳解】解：設主人的馬的速度為x里/日，根據題意，得，
解得，即主人騎馬的速度為780里/日．故答案為：780．
2．（2024·浙江金華·一模）高鐵站候車廳的飲水機（圖1）有溫水、開水兩個按鈕，圖2為其示意圖．小明先接溫水后再接開水，接滿的水杯，期間不計熱損失利用圖中信息解決下列問題：

物理知識：開水和溫水混合時會發生熱傳遞，開水放出的熱量等于溫水吸收的熱量，可轉化為：開水體積×開水降低的溫度=溫水體積×溫水升高的溫度． 生活經驗：飲水最佳溫度是（包括與），這一溫度最接近人體體溫．
(1)若先接溫水26秒，求再接開水的時間；
(2)設接溫水的時間為x秒，接到水杯中水的溫度為．
①若，求x的值；②求y關于x的函數關系式，并寫出達到最佳水溫時x的取值范圍．
【答案】(1)12秒 (2)①②，
【詳解】（1）解：設接開水的時間的時間為秒，
根據題意得：， 解得，答：接開水的時間為12秒；
（2）解：①由題意知，溫水體積 ，開水體積為，
則，解得；
②由①得：，化簡，得，
，，
關于的函數關系式為，達到最佳水溫時的取值范圍為．
◇典例9：（2024·浙江溫州·三模）某社區積極響應“創文”活動，購買了甲、乙兩種樹木，其中甲種樹木每棵100元，乙種樹木每棵80元，乙種樹木比甲種樹木少8棵，共用去資金8000元．設甲種樹木購買了x棵，乙種樹木購買了y棵，根據題意，可列方程組（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】解：∵購進的乙種樹木比甲種樹木少8棵，∴；
∵購進這批樹木共用去資金8000元，∴．
∴根據題意可列方程組．故選：B．
◆變式訓練
1．（2024·浙江杭州·模擬預測）我國古代《四元玉鑒》中記載“二果問價”問題，其內容如下“九百九十九文錢，甜果苦果買一千，甜果九個十一文，苦果七個四文錢，試問甜苦果幾個，又問各該幾個錢？若設買甜果x個，買苦果y個，則下列關于x，y的二元一次方程組中符合題意的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】根據題意列方程．故選：C．
2．（2024·浙江杭州·二模）桿秤是我國度量衡“三大件（尺斗秤）”重要組成部分，是中華民族衡重的基本量具．桿秤依據杠桿原理制作而成，一般由秤鉤（或秤盤）、秤桿和秤砣三部分組成，秤桿上的刻度叫做“秤星”．如圖是小戚同學利用自制桿秤稱重的示意圖，使用時將貨物放在秤盤上，用手提起（相當于支點）處的秤紐，在秤桿上移動秤砣的位置，當秤桿水平平衡時，可根據秤砣在秤桿上的位置讀出貨物的質量．如圖1所示，稱量貨物甲時，秤砣在處秤桿平衡，此時可讀出貨物甲的質量是，則此時：（甲的質量秤盤質量）秤砣質量；如圖2所示，稱量貨物乙時，秤砣在處秤桿平衡，此時可讀出貨物乙的質量是．根據圖中所給數據，可以知道秤盤的質量是 克，這把桿秤的秤星E對應的刻度是 克．

【答案】
【詳解】解：設秤盤的質量為，秤砣的質量為，
由題意得：，解得：，秤盤的質量為，秤砣的質量為，
設這把桿秤的秤星E對應的刻度是克，由題意得：，解得：，
這把桿秤的秤星對應的刻度是克，故答案為：，．
3．（2024·廣東·模擬預測）每年月份，某商家都會在線上平臺開設的網店銷售荔枝和龍眼兩種水果．下表是5月份某個星期兩種水果的銷售信息（荔枝箱，龍眼箱）．
商品 荔枝 龍眼
成本/(元/箱) 30 40
售價/(元/箱) 48 60
這個星期網店銷售荔枝和龍眼共，獲利9600元，求這個星期網店銷售荔枝和龍眼各多少箱．
【答案】荔枝200箱，龍眼300箱
【詳解】解：設這個星期網店銷售荔枝x箱，龍眼y箱，依題意得：
，解得：．
答：這個星期網店銷售荔枝200箱，龍眼300箱．
◇典例10：（2024·浙江寧波·一模）北魏數學家張丘建被稱“算圣”，他所著的《張丘建算經》中記載了各種計算，其中有一題：今有雞翁一值錢五，雞母一值錢三，雞雛三值錢一．百錢買百雞，問雞翁、雞母、雞雛各幾何？譯：一只公雞值5錢，一只母雞值3錢，三只小雞值1錢．現用100錢買100只雞，請問能買公雞、母雞、小雞各多少只？設公雞有只，則下列各值中不能取的數是（　　）
A．4 B．8 C．12 D．16
【答案】D
【詳解】解：設公雞只，母雞只，則小雞只
由題意得，即 由于，，均為正整數
所以方程的正整數解只有或或故選：D．
◆變式訓練
1．（2023·浙江溫州·模擬預測）某公司用n張相同的大長方形紙板分別按如圖所示進行裁剪，所得的正六邊形和小長方形紙板恰好能搭配成若干個有蓋直六棱柱紙盒，則n的值可能是（ ）

A．130 B．140 C．150 D．160
【答案】B
【詳解】解：設剪成底面的長方形x張，則剪成側面的長方形張，
每個直六棱柱由兩個底面正六邊形和六個側面小長方形組成，
小長方形總數為正六邊形總數的3倍，，解得：，
都是正整數，且為偶數，是28的倍數，的值可能是140，故選：B．
2．（2024·黑龍江綏化·模擬預測）學校開展“陽光體育”活動，張老師準備花費400元在體育用品商店訂購28個啞鈴，共有甲、乙、丙三種啞鈴供其選擇，它們的單價分別為20元、16元、10元，那么張老師不同的訂購方案有 種．
【答案】5
【詳解】解：設訂購甲種啞鈴個，乙種啞鈴個，丙種啞鈴個，
根據題意，可得，由，可得，
整理可得，根據題意，可知，，，且均為整數，
所以，可有或或或或，
所以，張老師不同的訂購方案有5種．故答案為：5．
1.（2022·山東濱州·統考中考真題）在物理學中，導體中的電流Ⅰ跟導體兩端的電壓U，導體的電阻R之間有以下關系：去分母得，那么其變形的依據是（ ）
A．等式的性質1 B．等式的性質2 C．分式的基本性質 D．不等式的性質2
【答案】B
【分析】根據等式的性質2可得答案．
【詳解】解：去分母得，其變形的依據是等式的性質2，故選：B．
【點睛】本題考查了等式的性質2：等式的兩邊同時乘以或除以同一個不為零的數，等式仍然成立．
2．（2024·福建·中考真題）今年我國國民經濟開局良好，市場銷售穩定增長，社會消費增長較快，第一季度社會消費品零售總額120327億元，比去年第一季度增長，求去年第一季度社會消費品零售總額．若將去年第一季度社會消費品零售總額設為億元，則符合題意的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】解：將去年第一季度社會消費品零售總額設為億元，根據題意得：
，故選：A．
3．（2024·四川宜賓·中考真題）元朝朱世杰所著的《算學啟蒙》中，記載了這樣一道題：“良馬日行二百四十里，駑馬日行一百五十里，駑馬先行一十二日，問良馬幾何日追及之？”其大意是：快馬每天行240里，慢馬每天行150里，慢馬先行12天，問快馬幾天可追上慢馬？則快馬追上慢馬的天數是（ ）
A．5天 B．10天 C．15天 D．20天
【答案】D
【詳解】解：設快馬x天可以追上慢馬，據題題意：，解得：．
答：快馬20天可以追上慢馬．故選：D．
4．（2024·湖北·中考真題）《九章算術》中記載這樣一個題：牛5頭和羊2只共值10金，牛2頭和羊5只共值8金，問牛和羊各值多少金？設每頭牛值金，每只羊值金，可列方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】解：設每頭牛值x金，每頭羊值y金，
∵牛5頭，羊2頭，共值10金；牛2頭，羊5頭，共值8金，∴，故選：A．
5．（2024·內蒙古呼倫貝爾·中考真題）點在直線上，坐標是二元一次方程的解，則點的位置在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【詳解】解∶ 聯立方程組，解得，∴P的坐標為，
∴點P在第四象限，故選∶D．
6．（2024·四川宜賓·中考真題）某果農將采摘的荔枝分裝為大箱和小箱銷售，其中每個大箱裝4千克荔枝，每個小箱裝3千克荔枝．該果農現采摘有32千克荔枝，根據市場銷售需求，大小箱都要裝滿，則所裝的箱數最多為（ ）
A．8箱 B．9箱 C．10箱 D．11箱
【答案】C
【詳解】解：設用個大箱，個小箱，∴，∴，
∴方程的正整數解為：或，∴所裝的箱數最多為箱；故選C．
7．（2024·廣東深圳·中考真題）在明朝程大位《算法統宗》中有首住店詩：我問開店李三公，眾客都來到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．詩的大意是：一些客人到李三公的店中住宿，如果每一間客房住7人，那么有7人無房可住；如果每一間客房住9人，那么就空出一間房．設該店有客房x間，房客y人，則可列方程組為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】解：設該店有客房x間，房客y人；根據題意得：，故選：A．
8．（2024·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）校團委開展以“我愛讀書”為主題的演講比賽活動，為獎勵表現突出的學生，計劃拿出200元錢全部用于購買單價分別為8元和10元的兩種筆記本(兩種都要購買)作為獎品，則購買方案有（ ）
A．5種 B．4種 C．3種 D．2種
【答案】B
【詳解】解：設單價分別為8元和10元的兩種筆記本分別為個，
依題意，∴ ∵，為正整數，∴當時，，
當時，當時，當時，∴購買方案有4種，故選：B．
9．（2024·內蒙古赤峰·中考真題）用1塊A型鋼板可制成3塊C型鋼板和4塊D型鋼板；用1塊B型鋼板可制成5塊C型鋼板和2塊D型鋼板．現在需要58塊C型鋼板、40塊D型鋼板，問恰好用A型鋼板、B型鋼板各多少塊？如果設用A型鋼板x塊，用B型鋼板y塊，則可列方程組為（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】解：設用A型鋼板x塊，用B型鋼板y塊，由題意得：，故選：C．
10．（2024·黑龍江大興安嶺地·中考真題）國家“雙減”政策實施后，某班開展了主題為“書香滿校園”的讀書活動．班級決定為在活動中表現突出的同學購買筆記本和碳素筆進行獎勵（兩種獎品都買），其中筆記本每本3元，碳素筆每支2元，共花費28元，則共有幾種購買方案（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】B
【詳解】解：設購買支筆記本，個碳素筆，依題意得：，．
又，均為正整數，或或或，共有4種不同的購買方案．故選：B．
11．（2023·浙江紹興·中考真題）某校購買體育器材，第一次購買籃球7個，排球5個，足球3個，共花費450元，第二次又購買同樣的籃球3個，排球2個，足球1個，共花費175元，則購買同樣的籃球、排球、足球各1個，共需花費（ ）
A．100元 B．105元 C．110元 D．125元
【答案】A
【詳解】解：設籃球的單價為元，排球的單價為元，足球的單價為元， 依題意得，
，由（2）得：，由得：，
則購買同樣的籃球、排球、足球各1個，共需花費元，故選：A．
12．（2024·江蘇揚州·中考真題）《九章算術》是中國古代的數學專著，是《算經十書》中最重要的一部，書中第八章內容“方程”里記載了一個有趣的追及問題，可理解為：速度快的人每分鐘走米，速度慢的人每分鐘走米，現在速度慢的人先走米，速度快的人去追他．問速度快的人追上他需要 分鐘．
【答案】
【分析】本題考查了一元一次方程的運用，理解數量關系，列出方程是解題的關鍵．
根據題意，設需要分鐘追上，則速度快的人的路程等于速度慢的人的路程，由此列式求解即可．
【詳解】解：根據題意，設分鐘追上，∴，解得，，
∴速度快的人追上速度慢的人需要分鐘，故答案為： ．
13．（2024·江蘇鹽城·中考真題）中國古代數學著作《增刪算法統宗》中記載的“繩索量竿”問題，大意是：現有一根竿子和一條繩索，用繩索去量竿子，繩索比竿子長5尺；若將繩索對折去量竿子，繩索就比竿子短5尺，問繩索、竿子各有多長？該問題中的竿子長為 尺．
【答案】15
【詳解】解：設繩索長 尺，竿長 尺，
根據題意得： ．解得： 故答案為15．
14．（2024·浙江·中考真題）解方程組：
【答案】
【詳解】解：①×3＋②得，解得，
把代入①得，解得∴
15．（2024·廣西·中考真題）解方程組：
【答案】
【詳解】解：，得：，解得：，
把代入①得：，
∴方程組的解為：.
16．（2024·江蘇蘇州·中考真題）解方程組：．
【答案】
【詳解】解：得，，解得，．將代入①得．
方程組的解是
17．（2024·吉林·中考真題）鋼琴素有“樂器之王”的美稱，鍵盤上白色琴鍵和黑色琴鍵共有88個，白色琴鍵比黑色琴鍵多16個．求白色琴鍵和黑色琴鍵的個數．
【答案】白色琴鍵52個，黑色琴鍵36個
【詳解】解：設黑色琴鍵x個，則白色琴鍵個，
由題意得：，解得：，∴白色琴鍵：（個），
答：白色琴鍵52個，黑色琴鍵36個．
18．（2024·陜西·中考真題）星期天，媽媽做飯，小峰和爸爸進行一次家庭衛生大掃除．根據這次大掃除的任務量，若小峰單獨完成，需；若爸爸單獨完成，需．當天，小峰先單獨打掃了一段時間后，去參加籃球訓練，接著由爸爸單獨完成剩余的打掃任務．小峰和爸爸這次一共打掃了，求這次小峰打掃了多長時間．
【答案】小峰打掃了．
【詳解】解：設總工作量為1，小峰打掃了，爸爸打掃了，則小峰打掃任務的工作效率為，爸爸打掃任務的工作效率為，由題意，得：，解得：，
答：小峰打掃了．
19．（2024·江蘇連云港·中考真題）我市將5月21日設立為連云港市“人才日”，以最大誠意禮遇人才，讓人才與城市“雙向奔赴”．活動主辦方分兩次共郵購了200把繪有西游文化的折扇作為當天一項活動的紀念品．折扇單價為8元，其中郵費和優惠方式如下表所示：
郵購數量 100以上（含100）
郵寄費用 總價的 免費郵寄
折扇價格 不優惠 打九折
若兩次郵購折扇共花費1504元，求兩次郵購的折扇各多少把？
【答案】兩次郵購的折扇分別是40把和160把
【詳解】解：若每次購買都是100把，則．
一次購買少于100把，另一次購買多于100把．
設一次郵購折扇把，則另一次郵購折扇把．
由題意得：，解得．．
答：兩次郵購的折扇分別是40把和160把．
20．（2024·安徽·中考真題）鄉村振興戰略實施以來，很多外出人員返鄉創業．某村有部分返鄉青年承包了一些田地．采用新技術種植兩種農作物．種植這兩種農作物每公頃所需人數和投入資金如表：
農作物品種 每公頃所需人數 每公頃所需投入資金（萬元）
已知農作物種植人員共位，且每人只參與一種農作物種植，投入資金共萬元．問這兩種農作物的種植面積各多少公頃？
【答案】農作物的種植面積為公頃，農作物的種植面積為公頃．
【詳解】解：設農作物的種植面積為公頃，農作物的種植面積為公頃，
由題意可得，，解得，
答：設農作物的種植面積為公頃，農作物的種植面積為公頃．
21．（2024·浙江·中考真題）小明和小麗在跑步機上慢跑鍛煉．小明先跑，10分鐘后小麗才開始跑，小麗跑步時中間休息了兩次．跑步機上C檔比B檔快40米/分、B檔比A檔快40米/分．小明與小麗的跑步相關信息如表所示，跑步累計里程s（米）與小明跑步時間t（分）的函數關系如圖所示．
時間 里程分段 速度檔 跑步里程
小明 不分段 A檔 4000米
小麗 第一段 B檔 1800米
第一次休息
第二段 B檔 1200米
第二次休息
第三段 C檔 1600米
(1)求A，B，C各檔速度（單位：米/分）；
(2)求小麗兩次休息時間的總和（單位：分）；
(3)小麗第二次休息后，在a分鐘時兩人跑步累計里程相等，求a的值．
【答案】(1)80米/分，120米/分，160米/分(2)5分(3)42.5
【詳解】（1）解：由題意可知，檔速度為米/分，
則檔速度為米/分，檔速度為米/分；
（2）小麗第一段跑步時間為分，小麗第二段跑步時間為分，
小麗第三段跑步時間為分，
則小麗兩次休息時間的總和分；
（3）由題意可得：小麗第二次休息后，在分鐘時兩人跑步累計里程相等，
此時小麗在跑第三段，所跑時間為：（分）
可得：，解得：．
1．（2024·浙江寧波·模擬預測）《孫子算經》是中國古代重要的數學著作，該書第三卷記載：“今有獸六首四足，禽四首二足，上有七十六首，下有四十六足．問獸、禽各幾何？”譯文：今有一種6頭4腳的獸與一種4頭2腳的鳥，若獸與鳥共有76個頭和46只腳，問獸、鳥各多少？設獸有x個，鳥有y只，列出的方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】解：∵獸與鳥共有76個頭，∴；∵獸與鳥共有46只腳，∴．
∴根據題意可列方程組．故選：B．
2．（2024·浙江嘉興·三模）已知物體自由下落的距離可以表示為，表示物體下落的末速度，表示物體下落的時間，聲音傳播的速度為米/秒．若將一塊石頭從井口自由落下，秒后聽到它落水的聲音，測得米/秒，設石頭下落的時間為，則可列得方程（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】解：∵聲音傳播的速度為米/秒．若將一塊石頭從井口自由落下，秒后聽到它落水的聲音，設石頭下落的時間為∴從石頭落水時，傳到井口用的時間為，
∴從井底到井口的總路程，
將米/秒，石頭下落的時間為，代入，得，
即，故選．
3．（2024·浙江衢州·一模）今有三人共車，二車空：二人共車，九人步．問人與車各幾何？（選自《孫子算經》）現假設有輛車，則有方程（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】解：設有輛車，根據題意，得，故選：A．
4．（2024·浙江·模擬預測）《九章算術》是中國古代重要的數學著作，書中記載了這樣一個題目：今有牛五羊二，直金十兩.牛二羊五，直金八兩.問牛羊各直金幾何 其大意是：今有牛5頭，羊2頭，共值金10兩；牛2頭，羊5頭，共值金8兩．問牛、羊每頭各值金多少 設每頭牛值x兩金，每頭羊值y兩金，則可列方程組為( )
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】解：根據“牛5頭，羊2頭，共值金10兩”可得，
根據“牛2頭，羊5頭，共值金8兩”可得，可列方程組為，故選B．
5．（2024·浙江·二模）年元旦期間，小華和家人到杭州西湖景區游玩，湖邊有大小兩種游船，小華發現：2艘大船與3艘小船一次共可以滿載游客人，1艘大船與1艘小船一次共可以滿載游客人．則1艘大船可以滿載游客的人數為（ ）
A．10 B．16 C．18 D．20
【答案】C
【詳解】解：設1艘大船可以滿載游客x人，1艘小船可以滿載游客y人，
依題意得：，解得：，即1艘大船可以滿載游客的人數為人，故選：C
6．（2023·浙江金華·模擬預測）已知滿足和的x，y也滿足，那么（　　）
A．1 B．2 C． D．
【答案】B
【詳解】解：，①②得：，，
把代入①得：，解得：．
把和代入得：，解得．故選：B．
7．（2024·四川廣安·模擬預測）幻方，相傳最早見于我國的“洛書”，如圖1的洛書，每一行、每一列以及每條斜對角線上的點數之和都相等，轉換為數字如圖2所示，它是一種三階幻方．根據三階幻方規則，由圖3中已知數求出的值為（ ）
A． B．3 C． D．2
【答案】A
【詳解】解：由題意，得：，∴；故選：A．
8．（2024·河北邯鄲·模擬預測）我國古代的數學專著《九章算術》中有一題：“今有生絲三十斤，干之，耗三斤十二兩……”意思是：“今有生絲30斤，干燥后損耗3斤12兩（我國古代1斤等于16兩）……”據此，若得到14斤干絲，需使用生絲x斤，則正確的是（　　）
A．依題意，得 B．依題意，得
C．需使用生絲 斤 D．得到14斤干絲，需損耗生絲 斤
【答案】B
【詳解】解：依題意，得，解得，∴（斤），
∴若得到14斤干絲，則需使用生絲16斤，損耗生絲2斤．故選:B．
9．（2024·浙江臺州·模擬預測）某樂高創客小組自制了一臺“滑輪塔吊”裝置，如圖，是平衡桿，點O處裝有滑輪組，以的速度在平衡桿上滑動．現要將置于地面且距離障礙物的物體A搬運到障礙物后的置物臺上，障礙物高為，置物臺高為，兩者寬度均為．在搬運過程中，滑輪滑動的同時，吊繩勻速收放．（物體體積、裝置和滑輪組重力及摩擦力均忽略不計）

（1）物體在上升過程中，隨著滑輪組向右滑動，吊繩勻速收起，若物體恰好能越過障礙物，則此時裝置的收繩速度為 ；（2）在（1）的基礎上，物體緩緩上升，在到達某一高度后裝置開始放繩，通過調整放繩速度，使物體順利運至置物臺．在搬運過程中，若物體恰好能以最小速度運至置物臺，物體離地面最大高度為 ．
【答案】 3 50
【詳解】解：（1）根據題意得滑輪組向右滑動的距離為，
時間為秒，吊繩勻速收起，障礙物高為，
∴裝置的收繩速度為：，故答案為：3；
（2）由（1），設從點A到最高點的時間為，則，如圖：

設為兩個矩形的頂點，由題意得，只有貼著障礙物右側P點滑下來，滑到平臺的最右側Q點，物體恰好能以最小速度運至置物臺，
∵從點P到點Q分析，水平方向是勻速的，即，從點P到點Q，即水平方向從點C到點E，距離為，則時間為，而豎直方向的時間也為，
∵點P與點Q的豎直高度差為，∴從點P到點Q的豎直速度為，
設從點F到點Q的時間為，∴豎直下落的高度，
∵，∵水平方向從點A到點E的距離為，∴，
∴，解得：，∴，故答案為：50．
10．（2024·浙江寧波·一模）已知二元一次方程組，則的值為 ．
【答案】4
【詳解】解：對于方程組，①②得：．故答案為：4．
11．（2023·浙江紹興·模擬預測）已知三個實數x、y、z中，x與y的平均數是127，y與z的和的是78，x與z的和的是52，則這三個數x、y、z的平均數是 ．
【答案】116
【詳解】解：由題意得：，即，解得：，
x、y、z的平均數是，故答案為：116．
12．（2024·浙江寧波·模擬預測）某公司有一批貨物需要分別寄到上海和北京．某快遞公司規定：寄件不超過1千克的部分按起步價計費；寄件超過1千克部分的按千克計費．收費標準及實際收費如表：
收費標準
目的地 起步價（元） 超過1千克的部分（元/千克）
上海 a b
北京
實際收費
目的地 質量（千克） 費用（元）
上海 2 10
北京 3 23
則 ， ．
【答案】 8 2
【詳解】解：根據題意：，解得：，故答案為：8，2．
13．（2024·湖南常德·模擬預測）有7個完全相同的小球，3個完全相同的盒子，他們都不加以區別，若將這7個小球分別放入這3個盒子中，允許有盒子空著不放，則不同放法有 種．
【答案】8
【詳解】解：設放在三個盒子里的球數分別為、、，球無區別，盒子無區別，故可令，依題意有，于是，，故只有取3、4、5、6、7共五個值．
①時，，則只取3、2，相應取1、2，故有2種放法；
②時，，則只取3、2，相應取0、1，故有2種放法；
③時，，則只取2、1，相應取1、0，故有2種放法；
④時，，則只取1，相應取0，故有1種放法；
⑤時，，則只取0，相應取0，故有1種放法．
綜上所求，故有8種不同放法．故答案為：8．
14．（2024·河北·模擬預測）已知嘉嘉購買了紅、綠、藍三種顏色的筷子各只，將紅、綠、藍三種顏色的筷子分別放入甲、乙、丙桶中．
（1）若嘉嘉從甲桶拿出4只筷子放入乙桶中，此時乙桶中的筷子數量是甲桶筷子數量的2倍，則m的值為 ；
（2）若嘉嘉從甲、丙桶分別拿出只紅、藍筷子放入乙桶中，接下來，從乙桶拿出只筷子放入甲桶中，其中有只綠色筷子，此時乙桶中綠色筷子的數量與剩余紅色、藍色筷子的數量和相等，則的值為 ．
【答案】 6 2
【詳解】解：（1）∵甲、乙桶中分別有只筷子，嘉嘉從甲桶拿出4只筷子放甲乙桶中，
∴甲桶中有只筷子，乙桶中有只筷子．
∵乙桶中的筷子數量是甲桶筷子數量的2倍，∴，解得：；
（2）甲、乙、丙桶初始狀態和第一次拿放后每個桶中筷子數目情況列表如下：
甲 乙 丙
初始狀態 紅 綠 藍
第一次 紅 綠紅藍 藍
第二次：從乙桶拿出只筷子放入甲桶中，其中有只綠色筷子，
則此時乙桶中有只綠色筷子，拿出的筷子中藍色和紅色筷子共只，
則乙桶中紅色和藍色筷子剩余只，
∵乙桶中綠色筷子的數量與剩余紅色、藍色筷子的數量和相等，
∴，即，．
15．（2024·浙江舟山·一模）許多人選擇晨跑作為鍛煉身體的一種方式，某日小明與小紅戴著智能運動手表相約在舟山濱海大道上晨跑，從相同的起點勻速跑向相同的終點，請提取以下相關信息并解決問題．
信息一：兩人佩戴某款智能運動手表中的若干數據如下：
小明出發時刻 智能手表數據 小明結束時刻 智能手表數據 小紅出發時刻 智能手表數據 小紅結束時刻 智能手表數據
時刻 步數（步） 心率（次/分鐘） 時刻 步數（步） 心率（次/分鐘） 時刻 步數（步） 心率（次/分鐘） 時刻（） 步數（步） 心率（次/分鐘）
信息二：小明每步比小紅每步多跑米，小明每分鐘比小紅多跑步，
問題：（1）起點與終點的距離為 米；
（2）跑步結束他們相約去吃早飯，請問小明要在終點處等小紅 分鐘．
【答案】
【詳解】（1）設小紅每步跑米，∴小明每步跑米，
∵小明從起點到終點跑了步，小紅從起點到終點跑了步，
∴，解得：，
∴總路程為：（米）；故答案為：；
（2）∵跑完全程小明的用時為分鐘，∴小明每分鐘跑：（步），
∵小明每分鐘比小紅多跑步，∴小紅每分鐘跑：（步），
∴小紅跑完全程的時間為：（分鐘），
∴小明要在終點處等小紅的時間為：．故答案為：．
16．（2023·浙江臺州·三模）解方程組：．
【答案】
【詳解】解：，得，，解得，，
把代入得，，解得，，
∴原方程組的解為．
17．（2024·浙江·模擬預測）關于x，y的二元一次方程組的解滿足，求a的取值范圍．
【答案】
【詳解】解：，整理得得：，
把代入得，，∴，
∵，∴，解得．故a的取值范圍為．
18．（2024·浙江杭州·一模）某同學解方程的過程如下框：
解： 兩邊同時乘以10，得……① 合并同類項，得……② 系數化1，得……③
請寫出解答過程中最早出現錯誤的步驟序號，并寫出正確的解答過程．
【答案】最早出現錯誤的步驟是，正確的解法見解析．
【分析】此題主要考查了解一元一次方程，第1步是將方程中未知數的系數化為整數，而不是去分母可得出錯誤的步驟序號，先將系數化為整數得，再合并同類項，最后再將未知數的系數化為1即可得出該方程的解，熟練掌握解一元一次方程的方法和步驟是解決問題的關鍵．
【詳解】解：最早出現錯誤的步驟是，正確的解法如下：
對于方程，
將系數化為整數，得，
合并同類項，得，
系數化，得．
19．（2024·浙江寧波·二模）（1）計算：．（2）解方程組：
【答案】（1）1；（2）
【詳解】解：（1）；
（2），得，代入②，得，．
20．（2024·浙江寧波·一模）根據以下素材，探索完成任務．
如何設計采購方案？
素材1 為了迎接9月末至10月初在杭州舉行的第19屆亞運會，某旅游商店購進若干明信片和吉祥物鑰匙扣已知一個吉祥物鑰匙扣的售價比一套明信片的售價高20元．
素材2 小明在該店購買了1套明信片與4個吉祥物鑰匙扣共花費130元．
素材3 已知明信片的進價為5元/套，吉祥物鑰匙扣的進價為18元/個．為了促銷，商店對吉祥物鑰匙扣進行8折銷售．臨近期中考試，某老師打算提前給學生準備獎品，在該店同時購買吉祥物鑰匙扣和明信片兩種商品若干件，本次交易商家-共獲得600元的銷售額．其中售出吉祥物鑰匙扣不少于15個．
問題解決
任務1 假設明信片的售價為x元/套，鑰匙扣的售價為y元/個，請協助解決右邊問題． 問：_______（用含的代數式表示）
任務2 基于任務1的假設和索材2的條件，請嘗試求出吉祥物鑰匙扣和明信片的售價．
任務3 【擬定設計方案】請結合素材3中的信息，幫助該老師完成此次促銷活動中可行的購買方案．在這些購買方案中，哪種方案商家獲利最高．
【答案】任務1：；任務2：吉祥物鑰匙扣的售價為30元，明信片的售價為10元；任務3：購買吉祥物鑰匙扣15個，明信片24套商家獲利最高．
【詳解】解：任務1：一個吉祥物鑰匙扣的售價比一套明信片的售價高20元，
．故答案為：．
任務2：由素材2，得，解得，（元），
答：吉祥物鑰匙扣的售價為30元，明信片的售價為10元．
任務3：設購買吉祥物鑰匙扣個，明信片套，
根據題意，得，．是非負整數，，
吉祥物鑰匙扣每件利潤為（元），明信片每套利潤為（元），
購買吉祥物鑰匙扣15個，明信片24套，商家獲利元；
購買吉祥物鑰匙扣20個，明信片12套，商家獲利元；
購買吉祥物鑰匙扣25個，明信片0套，商家獲利元；
購買吉祥物鑰匙扣15個，明信片24套商家獲利最高．
21．（2024·浙江嘉興·模擬預測）某城市正在實施垃圾分類制度，居民需要將垃圾分為可回收垃圾、易腐垃圾、有害垃圾和其他垃圾四類．某小區為了鼓勵居民積極參與垃圾分類，決定設立積分獎勵機制．規則如下表：
垃圾類別 可回收垃圾 易腐垃圾 有害垃圾 其他垃圾
每公斤獲得積分 a b 100 無
積分可以兌換部分商品，具體如下表：
物品 垃圾袋/卷 5元話費券/張 水果店打折券/張 小區臨時停車券/張
積分數 800 1500 2000 1000
已知2公斤可回收垃圾和1.5公斤易腐垃圾可以獲得130積分；2.5公斤可回收垃圾和2公斤易腐垃圾可獲得165積分．(1)求a，b的值；(2)小明家一季度產出了46公斤可回收垃圾，100公斤易腐垃圾，1公斤有害垃圾，將這一季度獲得的所有積分都兌換成物品，可有哪些兌換方案？
【答案】(1)
(2)有兩種兌換方案：垃圾袋3卷，小區臨時停車券2張或垃圾袋3卷，水果店打折券1張
【詳解】（1）解：根據題意得：，解得：；
（2）解：共有積分為：，
設兌換垃圾袋s卷，5元話費券t張，水果店打折券m張，小區臨時停車券n張，
∴由題意得：化簡得：，
∵s，t，m，n都為非負整數，∴∴原式化為：，
∴；或，
有兩種兌換方案：垃圾袋3卷，小區臨時停車券2張或垃圾袋3卷，水果店打折券1張．
22．（2024·河南·模擬預測）課余時間，三個同學用三個盒子中放有數量不同的小球來進行游戲，并邀請老師一起來參與，他們告訴老師，已知第一個盒子中小球的個數為a，第二個盒子中小球的數量是第一個盒子中小球數量的2倍，第三個盒子中小球的數量比第二個盒子中的個數少
(1)如果現在他們每個人都從三個盒中分別拿出一些小球后，使每個盒中剩下的小球個數相等．已知從第三個盒子中拿出的小球個數比第一個盒子中拿出的小球個數多3個，而從第二個盒子中拿出小球個數是其剩下小球個數的2倍，請老師來計算從三個盒中共拿出的小球個數；
(2)若把三個盒子中的小球的個數依次寫出來得到一個多位數，將這個多位數的各數位上的數字進行調換得到新的多位數，求新的多位數與原來的多位數差的最大值．
【答案】(1)21個(2)6399
【詳解】（1）解：∵第一個盒中小球的個數為a，第二個盒子中小球的數量是第一個盒子中小球數量的2倍，∴第二個盒子中小球的個數為．
∵第三個盒中小球的個數比第二個盒中小球的個數少，
∴第三個盒中小球的個數為，
∵從第二個盒子中拿出小球個數是其剩下小球個數的2倍，
∴第二個盒中剩下的小球個數為 ，
∵每個盒中剩下的小球個數相等，∴三個盒中剩下的小球個數均為個．
，解得．∴從三個盒子中拿出的小球個數總和是
（個）；
（2）解：由（1）得：第一個盒子的個數為9，第二個盒子的個數為18，第三個盒子的個數為12，
∴得到的是五位數：91812．∴調換后得到最大的新的五位數是 98211，
∴新的多位數與原來的多位數差的最大值為．
23．（2024·山西大同·模擬預測）閱讀下列材料，并完成相應的任務．
換元法是指引入一個或幾個新的變量代替原來的某些變量，變量求出結果之后，返回去求原變量的結果，換元法是數學中重要的解題方法，對于一些較繁較難的數學問題，若能根據問題的特點進行巧妙的換元，則可以收到事半功倍的效果，下面以一個例題來說明．
例1：計算：．
解：設，則原式．
請你利用上述方法解答下列問題：(1)計算：；
(2)已知方程組的解是，則方程組的解是 ．
【答案】(1)(2)
【詳解】（1）解：依題意，設，
（2）解：方程組的解是，
同理方程組中
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