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第17章　函數及其圖象
17.1　變量與函數
第1課時　變量與函數
1.變量與常量
變　　量：在某一個變化過程中，____________________的量，叫做變量.
常　　量：在某一個變化過程中，______________________的量，叫做常量.
2.函數的概念
函　　數：一般地，如果在一個______________中，有兩個變量，例如x和y，對于x的______________，y都有______________與之對應，那么y就叫做x的函數.x是自變量，y是因變量.
3.函數關系的表示方法
方　　法：____________、____________、____________.
類型之一　常量與變量
　[2022·廣東]水中漣漪(圓形水波)不斷擴大，記它的半徑為r，則圓周長C與r的關系式為C＝2πr.下列判斷正確的是 (　　)
A.2是變量 B.π是變量
C.r是變量 D.C是常量
類型之二　函數的概念
　下列式子中，y是x的函數的有 (　　)
①y＝1；②y＝x2；③y2＝x；④y＝｜x｜；⑤y＝；⑥y＝2x.
A.2個 B.3個 C.4個 D.5個
類型之三　函數的三種表示方法
　在一次實驗中，小明把一根彈簧的上端固定，在其下端懸掛物體.下面是測得的彈簧長度y(cm)與所掛物體重量x(kg)的一組對應值.
所掛物體重量x(kg) 0 1 2 3 4 5
彈簧長度y(cm) 18 20 22 24 26 28
(1)上表反映了哪兩個變量之間的關系？哪個是自變量？哪個是因變量？
(2)當所掛物體重量為3 kg時，彈簧多長？不掛重物時呢？
(3)若所掛重物為7 kg(在允許范圍內)，則此時的彈簧長度是多少？
1.以21 m/s的速度向上拋一個小球，小球的高度h(m)與小球運動的時間t(s)之間的關系是h＝21t－4.9 t2.下列說法正確的是(　　)
A.4.9是常量，21、t、h是變量
B.21、4.9是常量，t、h是變量
C.t、h是常量，21、4.9是變量
D.4.9、t、h是常量，21是變量
2.小明給在北京的姑姑打電話，電話費隨時間的變化而變化.在這個問題中，因變量是 (　　)
A.時間 B.電話費 C.電話 D.距離
3.小強在學校秋季田徑運動會100 m比賽中，平均速度為v＝，其中__________是變量，_______隨著_______的變化而變化，_______是自變量，_______是_______的函數.
1.超市某種商品的單價為70元/件，若買x件該商品的總價為y元，則其中的常量是 (　　)
A.70 B.x
C.y D.不確定
2.燒開水時，水溫(℃)與時間(min)的關系如下表所示：
時間 (min) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 …
水溫 (℃) 5 11 19 30 42 55 70 85 95 100 …
這個表格反映了變量__________與__________之間的關系，其中__________是自變量，__________是因變量.
3.同一溫度的華氏度數y(℉)與攝氏度數x(℃)之間的函數關系是y＝x＋32.若某一溫度的攝氏度數值與華氏度數值恰好相等，則此溫度的攝氏度數是__________℃.
4.如圖是一位患者的體溫記錄圖，看圖回答下列問題：
(1)自變量是__________，因變量是__________；
(2)護士每隔_______小時給患者量一次體溫；
(3)這位患者的最高體溫是__________℃，最低體溫是__________℃；
(4)這位患者在4月8日12時的體溫是__________℃；
(5)圖中的橫虛線表示__________________.
5.指出下列函數關系式中的常量、自變量、因變量和函數.
(1)V＝πR2h(R為已知數)；
(2)h＝v0t－2.1t2(v0為已知數).
6.(模型觀念)某易拉罐廠設計一種易拉罐，在設計過程中發現符合要求的易拉罐的底面半徑(cm)與用鋁量(cm3)有如下關系：
底面半徑x(cm) 1.6 2.0 2.4 2.8 3.2 3.6 4.0
用鋁量y(cm3) 6.9 6.0 5.6 5.5 5.7 6.0 6.5
(1)上表反映了哪兩個變量之間的關系？哪個是自變量？哪個是因變量？
(2)當易拉罐底面半徑為2.4 cm時，易拉罐需要的用鋁量是多少？
(3)根據表格中的數據，你認為易拉罐的底面半徑為多少時比較適宜？說說你的理由.
(4)說一說易拉罐底面半徑對所需用鋁量的影響.
參考答案
【預習導航】
1.可以取不同數值　取值始終保持不變
2.變化過程　每一個值　唯一的值
3.解析法　列表法　圖象法
【歸類探究】
【例1】C
【例2】C
【例3】(1)反映了彈簧長度y與所掛物體重量x之間的關系；其中所掛物體重量x是自變量，彈簧長度y是因變量.
(2)當所掛物體重量為3 kg時，彈簧長24 cm；當不掛重物時，彈簧長18 cm.
(3)所掛重物為7 kg(在允許范圍內)的彈簧長度為32cm.
【當堂測評】
1.B　2.B　3.v、t　v　t　t　v　t
【分層訓練】
1.A
2.水溫　時間　時間　水溫
3.－40
4.(1)時間　體溫　(2)6　(3)39.5　36.8　(4)37.5　(5)人的正常體溫
5.(1)π、R2為常量，h是自變量，V是因變量，V是h的函數.
(2)v0、－2.1是常量，t是自變量，h是因變量，h是t的函數.
6.(1)反映了易拉罐底面半徑和用鋁量的關系，易拉罐底面半徑為自變量，用鋁量為因變量.
(2)當底面半徑為2.4 cm時，易拉罐的用鋁量為5.6 cm3.
(3)易拉罐底面半徑為2.8 cm時比較適宜，因為此時用鋁量較少，成本低.
(4)當易拉罐底面半徑在1.6～2.8 cm之間變化時，用鋁量隨半徑的增大而減小，當易拉罐底面半徑在2.8～4.0 cm之間變化時，用鋁量隨半徑的增大而增大.
。第17章　函數及其圖象
17.1變量與函數
第2課時　函數自變量的取值范圍
自變量的取值范圍
注　　意：(1)自變量的取值必須使含自變量的表達式有意義；
(2)實際問題中，自變量的取值必須使實際問題有意義.
方　　法：(1)當表達式是整式時，自變量的取值范圍是全體實數；
(2)當表達式是分式且分母中含自變量時，解不等式(分母不等于0)，得出自變量的取值范圍.
類型之一　求函數自變量的取值范圍
　分別求出自變量x的取值范圍：
(1)y＝(x＋1)(x－2)；
(2)y＝.
類型之二　求函數值
　當x＝－2和x＝3時，分別求出下列函數的函數值：
(1)y＝；
(2)y＝x2－x－2.
類型之三　求函數關系式
　如圖，點P是長方形ABCD的邊AB上的一動點(不與點A、B重合)，連結CP.已知AB＝10cm，AD＝4cm，AP＝xcm，梯形APCD的面積為y cm2.
(1)求y與x之間的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；
(2)當AP＝5 cm時，梯形APCD的面積是多少？
1.函數y＝中，自變量x的取值范圍是 (　　)
A.x≠－4 B.x≠4
C.x≤－4 D.x≤4
2.已知函數y＝3x－1，當x＝3時，y的值是 (　　)
A.6 B.7 C.8 D.9
3.汽車由A地駛往相距240km的B地，它的平均速度是60km/h，則汽車距B地的路程s(km)與行駛時間t(h)的函數關系式及自變量t的取值范圍是 (　　)
A.s＝240－60t(0≤t≤4)
B.s＝240－60t(t＞0)
C.s＝60t(0≤t≤4)
D.s＝60t(t＜4)
4.[2024·濱州]若函數y＝的表達式在實數范圍內有意義，則自變量x的取值范圍是__________.
1.若等腰三角形的周長為60 cm，底邊長為x cm，一腰長為y cm，則y與x的函數關系式及自變量x的取值范圍是 (　　)
A.y＝60－2x(0＜x＜60)
B.y＝60－2x(0＜x＜30)
C.y＝(60－x)(0＜x＜60)
D.y＝(60－x)(0＜x＜30)
2.寄一封質量在20 g以內的平信，郵寄費為0.8元，則寄n封這樣的平信所需郵寄費y(元)與n(封)之間的函數關系式是_____________；當n＝15時，函數值為________，它的實際意義是____________________________________________.
3.火車從上海駛往相距1 260 km的北京，它的平均速度是120 km/h，則火車距北京的路程s(km)與行駛時間t(h)的函數關系式為____________________，其中自變量t的取值范圍是________________.
4.[2024春·重慶期中]如圖是若干個粗細均勻的鐵環組成的鏈條，已知每個鐵環長4cm，鐵環粗0.5cm，鐵環間處于最大限度的拉伸狀態.設x個鐵環長為ycm，則y與x之間的關系式為______________.
5.分別寫出下列各問題中的函數關系式及自變量的取值范圍.
(1)學校食堂現庫存糧食21 000 kg，平均每天消耗糧食200 kg，求庫存糧食y(kg)與食用的天數x(天)之間的函數關系式.
(2)一根彈簧原長12 cm，每掛1 kg的物體，就伸長0.5 cm.已知彈簧所掛物體的質量不能超過20 kg，求彈簧長度y(cm)與所掛物體質量x(kg)之間的函數關系式.
(3)為慶祝建校80周年，學校組織合唱會演，八年級共站成10排，第一排10人，后面每排比前排多1人，求每排人數m與這排的排數n之間的函數關系式.
6.已知兩個變量x、y之間的關系如圖所示.
(1)當x分別取0、、3時，求函數y的值；
(2)當y分別取0、、3時，求自變量x的值.
7.(模型觀念)如圖，在邊長為2的正方形ABCD的邊BC上有一點P從點B運動到點C.設BP＝x，四邊形APCD的面積為y.
(1)寫出y與x之間的函數關系式，并求出x的取值范圍；
(2)當x為何值時，四邊形APCD的面積為3？
參考答案
【歸類探究】
【例1】(1)x為全體實數.　(2)x≠
【例2】(1)當x＝－2時，y＝－1.5；當x＝3時，y＝11.
(2)當x＝－2時，y＝4；當x＝3時，y＝4.
【例3】(1)y＝2x＋20，其中0＜x＜10.
(2)當AP＝5 cm時，梯形APCD的面積為30 cm2.
【當堂測評】
1.B　2.C　3.A　4.x≠1
【分層訓練】
1.D
2.y＝0.8n　12　寄15封質量在20 g以內的平信需郵寄費12元
3.s＝1 260－120t　0≤t≤10.5
4.y＝3x＋1
5.(1)y＝21 000－200x(0≤x≤105)
(2)y＝12＋0.5x(0≤x≤20)
(3)m＝9＋n(1≤n≤10且n為整數)
6.(1)當x＝0時，y＝1；當x＝時，y＝；當x＝3時，y＝2.
(2)當y＝0時，x＋1＝0，解得x＝－1.當y＝時，分三種情況討論：①x＋1＝，解得x＝；②＝，解得x＝；③x－1＝，解得x＝.當y＝3時，x－1＝3，解得x＝4.
7.(1)y＝4－x(0≤x≤2)
(2)當x＝1時，四邊形APCD的面積為3.
。

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