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第17章　函數(shù)及其圖象
17.4　反比例函數(shù)
2.反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)
1.反比例函數(shù)圖象的畫法
步　　驟：__________、__________、__________.
注　　意：(1)列表時(shí)，自變量的值應(yīng)對稱地選取絕對值相等而符號相反的數(shù)值，這樣既便于計(jì)算，又易于描點(diǎn).列表時(shí)盡可能多取一些數(shù)值，描的點(diǎn)越多，連線就越方便.
(2)連線時(shí)，必須用光滑的曲線順次連結(jié)各點(diǎn).
(3)反比例函數(shù)圖象由斷開的兩支曲線組成，與x軸、y軸沒有交點(diǎn).
2.反比例函數(shù)y＝(k≠0)的圖象和性質(zhì)
圖　　象：雙曲線，且關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱.
性　　質(zhì)：(1)當(dāng)k＞0時(shí)，函數(shù)的圖象在第____________象限，在每個(gè)象限內(nèi)，曲線從左向右__________，也就是在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而__________；
(2)當(dāng)k＜0時(shí)，函數(shù)的圖象在第____________象限，在每個(gè)象限內(nèi)，曲線從左向右__________，也就是在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而__________.
注　　意：反比例函數(shù)的增減性是指在同一象限內(nèi)的增減性.
類型之一　畫反比例函數(shù)的圖象
　畫函數(shù)y＝－(x＜0)的圖象.
(1)補(bǔ)全過程.
①列表：
x … －6 －5 －4 －3 －2 －1 …
y … 　 　 　 　 …
②描點(diǎn)并連線.
(2)從圖象可以看出，曲線從左向右__________，當(dāng)x由小變大時(shí)，y隨之__________.
類型之二　反比例函數(shù)的性質(zhì)
　已知點(diǎn)(－2，a)、(2，b)、(3，c)在函數(shù)y＝(k＞0)的圖象上，則下列判斷正確的是(　　)
A.a＜b＜c B.b＜a＜c
C.a＜c＜b D.c＜b＜a
類型之三　反比例函數(shù)的應(yīng)用
　教室里的飲水機(jī)接通電源就進(jìn)入自動程序，開機(jī)加熱時(shí)每分鐘上升10 ℃，加熱到100 ℃停止加熱，水溫開始下降，此時(shí)水溫y(℃)與開機(jī)后用時(shí)x(min)成反比例關(guān)系，直至水溫降到30 ℃，飲水機(jī)關(guān)機(jī)，飲水機(jī)關(guān)機(jī)后即刻自動開機(jī)，重復(fù)上述自動程序.若在水溫為30 ℃時(shí)接通電源，水溫y(℃)與時(shí)間x(min)的關(guān)系如圖所示.
(1)分別寫出水溫上升和下降階段y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
(2)怡萱同學(xué)想喝高于50 ℃的水，她最多需要等待多長時(shí)間？
1.[2024·重慶A卷]已知點(diǎn)(－3，2)在反比例函數(shù)y＝(k≠0)的圖象上，則k的值為 (　　)
A.－3 B.3 C.－6 D.6
2.[2024·廣西]已知點(diǎn)M(x1，y1)、N(x2，y2)在反比例函數(shù)y＝的圖象上，若x1＜0＜x2，則有 (　　)
A.y1＜0＜y2 B.y2＜0＜y1
C.y1＜y2＜0 D.0＜y1＜y2
3.(1)函數(shù)y＝的圖象在第____________象限，在每一象限內(nèi)，y隨x的增大而__________；
(2)函數(shù)y＝－的圖象在第____________象限，在每一象限內(nèi)，y隨x的增大而__________；
(3)函數(shù)y＝，當(dāng)x＞0時(shí)，圖象在第________象限，y隨x的增大而__________.
1.已知反比例函數(shù)y＝，則下列描述不正確的是 (　　)
A.圖象位于第一、三象限
B.圖象必經(jīng)過點(diǎn)4，
C.圖象不可能與坐標(biāo)軸相交
D.y隨x的增大而減小
2.[2024·天津]若點(diǎn)A(x1，－1)、B(x2，1)、C(x3，5)都在反比例函數(shù)y＝的圖象上，則x1、x2、x3的大小關(guān)系是 (　　)
A.x1＜x2＜x3 B.x1＜x3＜x2
C.x3＜x2＜x1 D.x2＜x1＜x3
3.[2024·安徽]已知反比例函數(shù)y＝(k≠0)與一次函數(shù)y＝2－x的圖象的一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，則k的值為 (　　)
A.－3 B.－1 C.1 D.3
4.已知反比例函數(shù)y＝.
(1)若函數(shù)的圖象位于第一、三象限，則k的取值范圍是__________；
(2)若在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而增大，則k的取值范圍是__________.
5.[2024·威海]如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y1＝ax＋b(a≠0)與雙曲線y2＝(k≠0)交于點(diǎn)A(－1，m)、B(2，－1)，則滿足y1≤y2的x的取值范圍是_____________________.
6.[2024·內(nèi)江]如圖，一次函數(shù)y＝ax＋b的圖象與反比例函數(shù)y＝的圖象相交于A、B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為(－2，3)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3，n).
(1)求這兩個(gè)函數(shù)的表達(dá)式；
(2)根據(jù)圖象，直接寫出關(guān)于x的不等式ax＋b＜的解集.
7.[2022·德陽]一次函數(shù)y＝ax＋1與反比例函數(shù)y＝－在同一坐標(biāo)系中的大致圖象是 (　　)
8.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形的中心在原點(diǎn)O，且正方形的一組對邊與x軸平行，點(diǎn)P(2a，a)是反比例函數(shù)y＝的圖象與正方形的一個(gè)交點(diǎn)，則圖中陰影部分的面積是_______.
9.[2022·常州]如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y＝2x＋b的圖象分別與x軸、y軸交于點(diǎn)A、B，與反比例函數(shù)y＝(x＞0)的圖象交于點(diǎn)C，連結(jié)OC.已知點(diǎn)B(0，4)，△BOC的面積是2.
(1)求b、k的值；
(2)求△AOC的面積.
10.(模型觀念)通過實(shí)驗(yàn)研究發(fā)現(xiàn)：初中生在數(shù)學(xué)課上聽課注意力指標(biāo)隨上課時(shí)間的變化而變化，上課開始時(shí)，學(xué)生興趣激增，中間一段時(shí)間，學(xué)生的興趣保持平穩(wěn)狀態(tài)，隨后開始分散.學(xué)生注意力指標(biāo)y隨時(shí)間x(min)變化的函數(shù)圖象如圖所示，當(dāng)0≤x＜10和10≤x＜20時(shí)，圖象是線段；當(dāng)20≤x≤45時(shí)，圖象是反比例函數(shù)圖象的一部分.
(1)求點(diǎn)A對應(yīng)的指標(biāo)值.
(2)張老師在一節(jié)課上講解一道數(shù)學(xué)綜合題需要17min，他能否經(jīng)過適當(dāng)?shù)陌才?，使學(xué)生在聽這道綜合題的講解時(shí)，注意力指標(biāo)都不低于36？請說明理由.
參考答案
【預(yù)習(xí)導(dǎo)航】
1.列表　描點(diǎn)　連線
2.(1)一、三　下降　減小　(2)二、四　上升
增大
【歸類探究】
【例1】(1)①1　　　2　3　6?、谧鲌D略
(2)上升　變大
【例2】C
【例3】(1)y＝y(tǒng)與x的函數(shù)關(guān)系式每min重復(fù)出現(xiàn)一次.
(2)她最多需要等待 min.
【當(dāng)堂測評】
1.C　2.A
3.(1)一、三　減小　(2)二、四　增大　(3)一　減小
【分層訓(xùn)練】
1.D　2.B　3.A　4.(1)k＜4　(2)k＞4
5.－1≤x＜0或x≥2
6.(1)反比例函數(shù)的表達(dá)式為y＝－，一次函數(shù)的表達(dá)式為y＝－x＋1.
(2)－2＜x＜0或x＞3
7.B　8.4
9.(1)b＝4，k＝6　(2)6
10.(1)點(diǎn)A對應(yīng)的指標(biāo)值為20.
(2)張老師能經(jīng)過適當(dāng)?shù)陌才牛箤W(xué)生在聽這道綜合題的講解時(shí)，注意力指標(biāo)都不低于36.理由略.
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