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第17章　函數(shù)及其圖象
17.5　實(shí)踐與探索
第3課時(shí)　建立函數(shù)模型解決實(shí)際問題
建立函數(shù)模型解決實(shí)際問題
步　　驟：(1)通過實(shí)驗(yàn)、測(cè)量獲得數(shù)量足夠多的兩個(gè)變量的對(duì)應(yīng)值；
(2)建立合適的平面直角坐標(biāo)系，在坐標(biāo)系中，以各對(duì)應(yīng)值為坐標(biāo)描點(diǎn)，并用描點(diǎn)法畫出函數(shù)的圖象；
(3)觀察圖象特征，判定函數(shù)的類型.
類型之一　建立函數(shù)模型解決實(shí)際問題
　[2023·上虞區(qū)模擬]水龍頭關(guān)閉不嚴(yán)會(huì)造成滴水，為了調(diào)查漏水量與漏水時(shí)間的關(guān)系，小敏進(jìn)行了以下實(shí)驗(yàn)研究：在滴水的水龍頭下放置一個(gè)能顯示水量的容器，每5min記錄一次容器中的水量，下表是小敏30min內(nèi)收集到的一組數(shù)據(jù).
時(shí)間x(min) 0 5 10 15 20 25 30
水量y(mL) 0 4 8 12 16 20 24
　　為了描述漏水量與漏水時(shí)間的關(guān)系，現(xiàn)有以下兩種函數(shù)模型可供選擇：y＝kx＋b(k≠0)，y＝(k≠0).
(1)在平面直角坐標(biāo)系中描出表中數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，畫出這個(gè)函數(shù)的圖象，選出最符合實(shí)際的函數(shù)模型，求出相應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；
(2)當(dāng)容器內(nèi)水量顯示的讀數(shù)為160mL時(shí)，求漏水時(shí)間；
(3)在這種漏水狀態(tài)下，請(qǐng)你估算一天的漏水量.
類型之二　利用一次函數(shù)進(jìn)行方案設(shè)計(jì)
　“綠水青山就是金山銀山”.為了保護(hù)環(huán)境和提高果樹產(chǎn)量，某果農(nóng)計(jì)劃從甲、乙兩個(gè)倉庫用汽車向A、B兩個(gè)果園運(yùn)送有機(jī)化肥.甲、乙兩個(gè)倉庫分別可運(yùn)出80 t和100 t有機(jī)化肥；A、B兩個(gè)果園分別需用110 t和70 t有機(jī)化肥.兩個(gè)倉庫到A、B兩個(gè)果園的路程如下表所示：
果園 路程(km)
甲倉庫 乙倉庫
A果園 15 25
B果園 20 20
　　設(shè)甲倉庫運(yùn)往A果園x t有機(jī)化肥，汽車每噸每千米的運(yùn)費(fèi)為2元.
(1)根據(jù)題意，填寫下表：
果園 運(yùn)量(t) 運(yùn)費(fèi)(元)
甲倉庫 乙倉庫 甲倉庫 乙倉庫
A果園 x 　　　　　　　 　　　　　 　　　　　 　　　　　　　
B果園 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　 　　　　　　 　　　　　 　　　　　　
(2)設(shè)總運(yùn)費(fèi)為y元，求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式，當(dāng)甲倉庫運(yùn)往A果園多少噸有機(jī)化肥時(shí)，總運(yùn)費(fèi)最省？最省的總運(yùn)費(fèi)是多少元？
【點(diǎn)悟】 在生產(chǎn)生活中，經(jīng)常會(huì)涉及求最大利潤、最省費(fèi)用等問題，這類問題經(jīng)常利用函數(shù)來解答，其步驟一般是先求出函數(shù)的表達(dá)式，再求出自變量的取值范圍，最后根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求出最大值或最小值.
[2023·陜西四模]某施工隊(duì)承接了一項(xiàng)修路任務(wù)，每天下班前登記施工進(jìn)度，下表記錄了開工5天以來的修路情況，其中x表示開工的天數(shù)，y表示剩余未修道路的長度.
x(天) 1 2 3 4 5
y(km) 2.1 1.8 1.5 1.2 0.9
為描述剩余未修道路長度與開工天數(shù)的關(guān)系，現(xiàn)有以下兩種函數(shù)關(guān)系式可供選擇：y＝kx＋b(k≠0)，y＝(k≠0).
(1)請(qǐng)?jiān)谌鐖D所示的平面直角坐標(biāo)系中描出表中數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，再選出最符合實(shí)際的函數(shù)模型，求出相應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式，并判斷其他點(diǎn)是否在所求函數(shù)圖象上；
(2)若想要比原計(jì)劃提前一天完成施工任務(wù)，求之后幾天平均每天比原計(jì)劃多修的長度.
1.[2024·達(dá)州]為拓寬銷售渠道，助力鄉(xiāng)村振興，某鄉(xiāng)鎮(zhèn)幫助農(nóng)戶將A、B兩個(gè)品種的柑橘加工包裝成禮盒再出售.已知每件A品種柑橘禮盒比B品種柑橘禮盒的售價(jià)少20元，且出售25件A品種柑橘禮盒和15件B品種柑橘禮盒的總價(jià)共3500元.
(1)求A、B兩種柑橘禮盒的單價(jià).
(2)已知加工A、B兩種柑橘禮盒每件的成本分別為50元、60元，鄉(xiāng)鎮(zhèn)計(jì)劃在某農(nóng)產(chǎn)品展銷活動(dòng)中售出A、B兩種柑橘禮盒共1000盒，且A品種柑橘禮盒售出的數(shù)量不超過B品種柑橘禮盒售出數(shù)量的1.5倍，總成本不超過54050元.若要使農(nóng)戶收益最大，該鄉(xiāng)鎮(zhèn)應(yīng)怎樣安排A、B兩種柑橘禮盒的銷售方案？農(nóng)戶在這次農(nóng)產(chǎn)品展銷活動(dòng)中的最大收益為多少元？
2.某市A、B兩個(gè)蔬菜基地得知C、D兩個(gè)災(zāi)民安置點(diǎn)分別急需蔬菜240t和260t的消息后，決定調(diào)運(yùn)蔬菜支援災(zāi)區(qū).已知A蔬菜基地有蔬菜200t，B蔬菜基地有蔬菜300t，現(xiàn)將這些蔬菜全部調(diào)往C、D兩個(gè)災(zāi)區(qū)安置點(diǎn)，從A地運(yùn)往C、D兩處的費(fèi)用分別為每噸20元和25元，從B地運(yùn)往C、D兩處的費(fèi)用分別為每噸15元和18元.設(shè)從B地運(yùn)往C處的蔬菜為xt.
(1)請(qǐng)?zhí)顚懴卤恚煤瑇的代數(shù)式填空，結(jié)果要化簡；
C D 總計(jì)(t)
A 　　　　　　　 　　　　　　 200
B x 　　　　　　　 300
總計(jì)(t) 240 260 500
(2)設(shè)A、B兩個(gè)蔬菜基地的總運(yùn)費(fèi)為w元，求出w與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出總運(yùn)費(fèi)最小的調(diào)運(yùn)方案；
(3)經(jīng)過搶修，從B地到C處的路況得到進(jìn)一步改善，縮短了運(yùn)輸時(shí)間，運(yùn)費(fèi)每噸減少m元(m＞0)，其余線路的運(yùn)費(fèi)不變，試討論總運(yùn)費(fèi)最小的調(diào)運(yùn)方案.
3.(模型觀念、應(yīng)用意識(shí))《九章算術(shù)》中記載，浮箭漏(示意圖如圖1)出現(xiàn)于漢武帝時(shí)期，它由供水壺和箭壺組成，箭壺內(nèi)裝有箭尺，水勻速地從供水壺流到箭壺，箭壺中的水位逐漸上升，箭尺勻速上浮，可通過讀取箭尺讀數(shù)計(jì)算時(shí)間.某學(xué)校STEAM小組仿制了一套浮箭漏，并從函數(shù)角度進(jìn)行了如下實(shí)驗(yàn)探究：
圖1
【實(shí)驗(yàn)觀察】實(shí)驗(yàn)小組通過觀察，每2小時(shí)記錄一次箭尺讀數(shù)，得到下表：
供水時(shí)間 x(h) 0 2 4 6 8
箭尺讀數(shù) y(cm) 6 18 30 42 54
【探索發(fā)現(xiàn)】(1)建立平面直角坐標(biāo)系，如圖2，橫軸表示供水時(shí)間x，縱軸表示箭尺讀數(shù)y.
①描出以表格中數(shù)據(jù)為坐標(biāo)的各點(diǎn).
②觀察上述各點(diǎn)的分布規(guī)律，判斷它們是否在同一條直線上，如果在同一條直線上，求出這條直線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；如果不在同一條直線上，請(qǐng)說明理由.
圖2
【結(jié)論應(yīng)用】(2)應(yīng)用上述發(fā)現(xiàn)的規(guī)律估算：
①供水時(shí)間達(dá)到12h時(shí)，箭尺的讀數(shù)為多少厘米？
②如果本次實(shí)驗(yàn)記錄的開始時(shí)間是上午8：00，那當(dāng)箭尺讀數(shù)為90cm時(shí)是幾點(diǎn)鐘？(箭尺最大讀數(shù)為100cm)
參考答案
【歸類探究】
【例1】 (1)y＝x，作圖略.
(2)當(dāng)容器內(nèi)水量顯示的讀數(shù)為160mL時(shí)，漏水時(shí)間為200min.
(3)在這種漏水狀態(tài)下，可估算一天的漏水量為1152mL.
【例2】(1)(110－x)　2×15x　2×25×(110－x)　(80－x)　(x－10)　2×20×(80－x)　2×20×(x－10)
(2)y＝－20x＋8300，當(dāng)甲倉庫運(yùn)往A果園80 t有機(jī)化肥時(shí)，總運(yùn)費(fèi)最省，最省的總運(yùn)費(fèi)是6700元.
【當(dāng)堂測(cè)評(píng)】
(1)y＝－0.3x＋2.4，其他點(diǎn)都在所求函數(shù)圖象上，作圖略.
(2)之后2天平均每天比原計(jì)劃多修0.15km.
【分層訓(xùn)練】
1.(1)A種柑橘禮盒每件的售價(jià)為80元/件，B種柑橘禮盒每件的售價(jià)為100元/件.
(2)應(yīng)該安排銷售A種柑橘禮盒595盒，B種柑橘禮盒405盒，農(nóng)戶在這次農(nóng)產(chǎn)品展銷活動(dòng)中的最大收益為34050元.
2.(1)(240－x)　(x－40)　(300－x)　(300－x)
(2)w＝2x＋9200，調(diào)運(yùn)方案：A地調(diào)往C處200t，調(diào)往D處0t，B地調(diào)往C處40t，調(diào)往D處260t.
(3)0＜m＜2，(2)中調(diào)運(yùn)方案總費(fèi)用最小；當(dāng)m＝2時(shí)，在40≤x≤240的前提下調(diào)運(yùn)方案的總費(fèi)用不變；當(dāng)2＜m＜15時(shí)，x＝240總費(fèi)用最小，其調(diào)運(yùn)方案如下：A地調(diào)往C處0t，調(diào)往D處200t，B地調(diào)往C處240t，調(diào)往D處60t.
3.(1)①略　②y＝6x＋6
(2)①供水時(shí)間達(dá)到12h時(shí)，箭尺的讀數(shù)為78cm.　②當(dāng)箭尺讀數(shù)為90cm時(shí)是22：00.
。第17章　函數(shù)及其圖象
17.5　實(shí)踐與探索
第2課時(shí)　一元一次不等式(組)與一次函數(shù)的關(guān)系
一次函數(shù)y＝kx＋b(k≠0)與一元一次方程、一元一次不等式的關(guān)系
規(guī)　　律：函數(shù)y＝kx＋b(k≠0)中，當(dāng)函數(shù)值等于0時(shí)，自變量x的值就是方程kx＋b＝0(k≠0)的解；當(dāng)函數(shù)值y＞0時(shí)，自變量x的取值范圍就是一元一次不等式kx＋b＞0的解集；當(dāng)函數(shù)值y＜0時(shí)，自變量x的取值范圍就是一元一次不等式kx＋b＜0的解集.
應(yīng)　　用：利用函數(shù)y＝kx＋b(k≠0)的圖象可求方程kx＋b＝0(k≠0)的解及kx＋b＞0或kx＋b＜0的解集.
類型之一　一次函數(shù)與方程(不等式)的關(guān)系
　作出一次函數(shù)y＝2x－5的圖象，觀察圖象，回答下列問題：
(1)當(dāng)x取何值時(shí)，2x－5＝0？
(2)當(dāng)x取何值時(shí)，2x－5＞0？
(3)當(dāng)x取何值時(shí)，2x－5＜0？
類型之二　一次函數(shù)與方程(不等式)的關(guān)系的應(yīng)用
　如圖，直線y＝kx＋b經(jīng)過點(diǎn)A(5，0)、B(1，4).
(1)求直線AB的函數(shù)表達(dá)式；
(2)若直線y＝2x－4與直線AB相交于點(diǎn)C，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
(3)根據(jù)圖象，寫出關(guān)于x的不等式2x－4＜kx＋b的解集.
1.如圖，直線y＝kx＋b交坐標(biāo)軸于A(－2，0)、B(0，3)兩點(diǎn)，則不等式kx＋b＞0的解集是 (　　)
A.x＞3 B.－2＜x＜3
C.x＜－2 D.x＞－2
第1題圖
2.函數(shù)y＝kx＋b和函數(shù)y＝ax＋m的圖象如圖所示，求下列不等式(組)的解集.
第2題圖
(1)kx＋b＜ax＋m的解集是__________；
(2)的解集是____________；
(3)的解集是__________；
(4)的解集是_______________.
1.已知甲、乙兩彈簧的長度y(cm)與所掛物體質(zhì)量x(kg)之間的函數(shù)表達(dá)式分別是y1＝k1x＋b1，y2＝k2x＋b2，圖象如圖所示.當(dāng)所掛物體質(zhì)量均為2 kg時(shí)，甲、乙兩彈簧的長度y1與y2的大小關(guān)系為(　　)
A.y1＞y2
B.y1＝y(tǒng)2
C.y1＜y2
D.不能確定
2.如圖，直線y＝－x＋m與y＝nx＋4n(n≠0)的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為－2，則關(guān)于x的不等式－x＋m＞nx＋4n＞0的整數(shù)解為 (　　)
第2題圖
A.x＝－1 B.x＝－5
C.x＝－4 D.x＝－3
3.如圖，直線y1＝kx＋b過點(diǎn)A(0，2)，且與直線y2＝mx交于點(diǎn)B(1，m)，則關(guān)于x的不等式組的解集為_____________.
第3題圖
4.[2024春·龍泉驛區(qū)期中]某大型電影院提供會(huì)員卡購票服務(wù)和單次購票服務(wù).會(huì)員卡購票服務(wù)需要支付會(huì)員費(fèi)60元，之后每次購票可以享受會(huì)員價(jià)40元/張；而單次購票服務(wù)則按原價(jià)50元/張購買.會(huì)員卡購票觀影總費(fèi)用為y1(元)，單次購票觀影總費(fèi)用為y2(元).
(1)分別寫出y1，y2與觀影次數(shù)x(次)之間的關(guān)系式；
(2)在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象；
(3)根據(jù)觀影次數(shù)，你認(rèn)為選用哪種服務(wù)更合算？
5.(模型觀念)[2022春·東坡區(qū)期中]如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y＝kx＋b的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(－2，6)，且與x軸相交于點(diǎn)B，與正比例函數(shù)y＝3x的圖象相交于點(diǎn)C，點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為1.
(1)k＝_________，b＝_______；
(2)直接寫出方程組的解是　；
(3)直接寫出不等式組的解集是_____________；
(4)在y軸找一點(diǎn)P，使得△PBC周長最小，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為　　.
參考答案
【歸類探究】
【例1】(1)x＝　(2)x＞　(3)x＜
【例2】(1)y＝－x＋5　(2)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(3，2).
(3)x＜3
【當(dāng)堂測(cè)評(píng)】
1.D
2.(1)x＜1　(2)x＜－2　(3)x＞3　(4)－2＜x＜3
【分層訓(xùn)練】
1.A　2.D　3.1＜x≤2
4.(1)y1＝60＋40x，y2＝50x.
(2)略
(3)當(dāng)x＝6時(shí)，兩種服務(wù)所需費(fèi)用一樣；當(dāng)x＜6時(shí)，選擇單次購票服務(wù)；當(dāng)x＞6時(shí)，選擇會(huì)員卡服務(wù).
5.(1)－1　4　(2)　(3)0＜x＜4　(4)
。第17章　函數(shù)及其圖象
17.5　實(shí)踐與探索
第1課時(shí)　二元一次方程組與一次函數(shù)的關(guān)系
用圖象法解二元一次方程組
交點(diǎn)坐標(biāo)：二元一次方程組的一組解是對(duì)應(yīng)的兩個(gè)一次函數(shù)的圖象交點(diǎn)的坐標(biāo)，從而可畫出對(duì)應(yīng)的兩個(gè)函數(shù)的圖象(兩條直線)，找出它們的交點(diǎn)的坐標(biāo)，即為方程組的解.
步　　驟：(1)先把方程組中的兩個(gè)二元一次方程化為一次函數(shù)的形式：y＝k1x＋b1和y＝k2x＋b2；
(2)建立平面直角坐標(biāo)系，畫出這兩個(gè)函數(shù)的圖象；
(3)寫出這兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，這兩個(gè)數(shù)值就是二元一次方程組的解，其中橫坐標(biāo)為x，縱坐標(biāo)為y.
類型之一　用圖象法解方程組
　用圖象法解方程組：
【點(diǎn)悟】 當(dāng)兩函數(shù)圖象無交點(diǎn)時(shí)，意味著相應(yīng)的方程組無解；當(dāng)兩函數(shù)圖象重合時(shí)，意味著相應(yīng)的方程組有無數(shù)組解.
類型之二　圖象法在實(shí)際問題中的應(yīng)用
　某健身房暑假期間推出健身優(yōu)惠月活動(dòng)，活動(dòng)方案如下：
方案一：不購買會(huì)員卡健身，每次收費(fèi)10元；
方案二：購買會(huì)員卡健身，需交會(huì)員費(fèi)120元，每次另收費(fèi)4元.
設(shè)健身次數(shù)為x(次)，按照方案一所需費(fèi)用為y1(元)，且y1＝k1x(k1≠0)；按照方案二所需費(fèi)用為y2(元)，且y2＝k2x＋b(k2≠0)，其函數(shù)圖象如圖所示.
(1)填空：k1＝________，k2＝_______，b＝_________.
(2)兩種方案的函數(shù)圖象交于點(diǎn)A，請(qǐng)解釋點(diǎn)A的實(shí)際意義.
(3)若某同學(xué)暑假期間準(zhǔn)備健身30次，選擇哪種方案所需費(fèi)用較少？請(qǐng)說明理由.
1.若方程組沒有解，則一次函數(shù)y＝2－x與y＝－x的圖象必定(　　)
A.重合 B.平行
C.相交 D.無法確定
2.如圖，一次函數(shù)y＝k1x＋b1的圖象l1與y＝k2x＋b2的圖象l2相交于點(diǎn)P，則方程組 的解是 (　　)
A. B.
C. D.
3.直線y＝ax＋b(a≠0)過點(diǎn)A(0，1)、B(2，0)，則關(guān)于x的方程ax＋b＝0的解為 (　　)
A.x＝0 B.x＝1
C.x＝2 D.x＝3
1.如圖，直線y＝x＋5和直線y＝ax＋b相交于點(diǎn)P，根據(jù)圖象可知，方程x＋5＝ax＋b的解是 (　　)
第1題圖
A.x＝20 B.x＝5
C.x＝25 D.x＝15
2.用圖象法解某二元一次方程組時(shí)，在同一平面直角坐標(biāo)系中作出相應(yīng)的兩個(gè)一次函數(shù)的圖象如圖所示，則所解的二元一次方程組是 (　　)
第2題圖
A. B.
C. D.
3.[2024·揚(yáng)州]如圖，已知一次函數(shù)y＝kx＋b(k≠0)的圖象分別與x軸、y軸交于A、B兩點(diǎn).若OA＝2，OB＝1，則關(guān)于x的方程kx＋b＝0的解為____________.
4.已知一次函數(shù)y＝3x與y＝－2x＋b的交點(diǎn)為，a，則方程組的解為 .
5.[2023春·恩陽區(qū)期中]如圖，直線l1：y＝x＋5交y軸、x軸于A、B兩點(diǎn)，直線l2：y＝－x－1交y軸、x軸于C、D兩點(diǎn)，直線l1、l2相交于點(diǎn)P.
(1)方程組的解是　；
(2)求直線l1、l2與x軸圍成的三角形的面積；
(3)過點(diǎn)P的直線把△PAC的面積二等分，直接寫出這條直線的函數(shù)表達(dá)式.
6.[2022·丘北縣一模]某通信公司推出了兩種上網(wǎng)的收費(fèi)方式供用戶選擇：
方案一：套餐費(fèi)＋流量費(fèi)；
方案二：僅收流量費(fèi)，無套餐費(fèi).
如圖，射線l1、射線l2分別表示通信公司每月按方案一、方案二收費(fèi)y1(元)和y2(元)與當(dāng)月用戶使用流量x(G)的函數(shù)關(guān)系.
(1)分別求出y1、y2與x的函數(shù)表達(dá)式；
(2)若某用戶今年2月份已使用流量少于10G，但其2月份的上網(wǎng)費(fèi)超過40元，那么該用戶采用了哪種收費(fèi)方式上網(wǎng)？
7.(應(yīng)用意識(shí))[2024春·巴中期末]2024年清明節(jié)，某校七年級(jí)師生乘大客車去通江王坪川陜革命根據(jù)地紅軍烈士陵園研學(xué).該年級(jí)師生8：00從學(xué)校出發(fā)，13：00到達(dá)目的地，可是小明同學(xué)在學(xué)校因其他事情耽誤，錯(cuò)過了出發(fā)時(shí)間，于是小明爸爸開私家車沿同一路線送他去目的地，他們9：00出發(fā).甲車代表大客車，乙車代表私家車，汽車離學(xué)校的距離y(km)與時(shí)間t(h)的關(guān)系如圖所示.
(1)學(xué)校距離目的地_________km.
(2)乙車出發(fā)多少小時(shí)后追上甲車？
(3)在什么時(shí)刻，兩車相距40千米？
參考答案
【歸類探究】
【例1】
【例2】(1)10　4　120
(2)點(diǎn)A的實(shí)際意義為：當(dāng)健身20次時(shí)，兩種方案所需費(fèi)用相同，均為200元.
(3)若健身30次，方案一所需費(fèi)用為300元；方案二所需費(fèi)用為30×4＋120＝240(元).∵300＞240，∴選擇方案二所需費(fèi)用較少.
【當(dāng)堂測(cè)評(píng)】
1.B　2.A　3.C
【分層訓(xùn)練】
1.A　2.A　3.x＝－2
4.
5.(1)　(2)　(3)y＝x＋2
6.(1)y1＝3x＋10，y2＝6x.
(2)該用戶采用了方案二上網(wǎng).
7.(1)300
(2)乙車出發(fā)1.5小時(shí)后追上甲車.
(3)在8：40，9：30，11：30，12：20時(shí)，兩車相距40km.
。

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