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第18章　平行四邊形
18.1　平行四邊形的性質(zhì)
第4課時(shí)　平行四邊形的性質(zhì)定理的綜合
平行四邊形的性質(zhì)定理
定　　義：平行四邊形的對(duì)邊　　　　.
定　　理1：平行四邊形的對(duì)邊　　　　.
定　　理2：平行四邊形的對(duì)角　　　　.
定　　理3：平行四邊形的對(duì)角線(xiàn)　　　　　　.
推　　論：兩條平行線(xiàn)之間的距離處處　　　　.
類(lèi)型　平行四邊形的性質(zhì)定理的綜合[
　[2024春·達(dá)川期末]如圖，在 ABCD中，E、F分別是AB、CD上的點(diǎn)，且BE＝DF，連結(jié)EF交BD于點(diǎn)O，延長(zhǎng)EF交AD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)G.
(1)求證：BO＝DO；
(2)若BD⊥AD，∠BEG＝90°，∠A＝45°，F(xiàn)G＝，求AD的長(zhǎng).
　如圖，在 ABCD中，E是對(duì)角線(xiàn)BD上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作CF∥BD，且CF＝DE，連結(jié)AE、BF.求證：AE＝BF.
1.如圖，在 ABCD中，DB＝DC，∠C＝70°，AE⊥BD于點(diǎn)E，則∠DAE的度數(shù)為　　　　　.
第1題圖
2.如圖，在 ABCD中，AB＝5，BD＝12，∠ABD＝90°，對(duì)角線(xiàn)AC與BD相交于點(diǎn)O，E為AD上一點(diǎn)，連結(jié)EO.若△EDO的周長(zhǎng)比四邊形ABOE的周長(zhǎng)大3，則ED的長(zhǎng)為　.
第2題圖
3.[2024·重慶模擬]如圖，在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線(xiàn)AC與BD相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作OE⊥AC交AD于點(diǎn)E.若AE＝2，DE＝1，AB＝，則AC的長(zhǎng)為　　　.
1.如圖，在 ABCD中，對(duì)角線(xiàn)AC與BD相交于點(diǎn)O，AE⊥BD于點(diǎn)E，CF⊥BD于點(diǎn)F.
(1)求證：△ABE≌△CDF；
(2)若∠BAC＝90°，AB＝，AC＝2，求BD的長(zhǎng).
2.[2024春·瀘縣期末]如圖，在 ABCD中，對(duì)角線(xiàn)AC與BD相交于點(diǎn)O，AC＝2AB＝10，點(diǎn)M為OD的中點(diǎn)，若CM＝4，則AD的長(zhǎng)為 (　　)
A. B.9 C. D.10
3.[2022春·青羊區(qū)期末]如圖，在 ABCD中，∠BAD的平分線(xiàn)交CD于點(diǎn)E，連結(jié)BE并延長(zhǎng)，交AD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，且AB＝AF.
(1)求證：D是AF的中點(diǎn)；
(2)若AE＝4，BE＝2，求BC的長(zhǎng).
4.(推理能力)如圖，在 ABCD中，分別以邊BC、CD為腰作△BCF、△CDE，使BC＝BF，CD＝DE，∠CBF＝∠CDE，連結(jié)AF、AE.
(1)求證：△ABF≌△EDA；
(2)若AF⊥AE，求證：BF⊥BC.
參考答案
【預(yù)習(xí)導(dǎo)航】
平行　相等　相等　互相平分　相等
【歸類(lèi)探究】
【例1】(1)略　(2)AD＝4
【例2】略
【當(dāng)堂測(cè)評(píng)】
1.20°　2.　3.2
【分層訓(xùn)練】
1.(1)略　(2)BD＝6　2.C
3.(1)略　(2)BC＝　4.略
。第18章　平行四邊形
18.1　平行四邊形的性質(zhì)
第2課時(shí)　平行四邊形的性質(zhì)定理1、2的綜合
平行四邊形的性質(zhì)定理
定　　義：平行四邊形的對(duì)邊　　　　.
定　　理1：平行四邊形的對(duì)邊　　　　.
定　　理2：平行四邊形的對(duì)角　　　　.
推　　論：兩條平行線(xiàn)之間的距離處處　　　　.
類(lèi)型　平行四邊形的性質(zhì)定理1、2的綜合運(yùn)用
　[2024·新疆]如圖，已知 ABCD.
(1)尺規(guī)作圖：請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)，作∠A的平分線(xiàn)交CD于點(diǎn)E；(要求：不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡)
(2)在(1)的條件下，求證：△ADE是等腰三角形.
　如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，AE平分∠BAD，交DC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E.求證：DA＝DE.
1.如圖，在 ABCD中，BC＝BD，∠C＝74°，則∠ADB的度數(shù)是 (　　)
第1題圖
A.16° B.22° C.32° D.68°
2.如圖，在 ABCD中，連結(jié)AC，∠ABC＝∠CAD＝45°，AB＝2，則BC的長(zhǎng)是(　　)
第2題圖
A. B.2 C. D.4
3.如圖，在 ABCD中，AB＝10 cm，邊AB上的高DH＝4 cm，BC＝6 cm，DF為邊BC上的高，則DF的長(zhǎng)為　cm.
第3題圖
4.如圖，在 ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于點(diǎn)E，∠D＝58°，則∠AEC的度數(shù)是　　　　　　.
第4題圖
1.[2022·內(nèi)江]如圖，在 ABCD中，已知AB＝12，AD＝8，∠ABC的平分線(xiàn)BM交邊CD于點(diǎn)M，則DM的長(zhǎng)為　　　.
第1題圖
2.如圖，在 ABCD中，∠ABC的平分線(xiàn)交AD于點(diǎn)E，∠BCD的平分線(xiàn)交AD于點(diǎn)F，若AB＝3，AD＝4，則EF的長(zhǎng)是　　　.
第2題圖
3.如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)P是CD上一點(diǎn)，且AP和BP分別平分∠DAB和∠CBA.
(1)∠APB＝　　　　°；
(2)如果AD＝5 cm，AP＝8 cm，求△APB的周長(zhǎng).
4.[2023·宜興市一模]如圖，在 ABCD中，E是邊BC上一點(diǎn)，連結(jié)AE、AC、ED，AC與ED相交于點(diǎn)O，AE＝AB.求證：
(1)AC＝DE；
(2)OE＝OC.
5.(推理能力)如圖，在 ABCD中，∠ABC的平分線(xiàn)交CD于點(diǎn)F，∠ADC的平分線(xiàn)交AB于點(diǎn)E，連結(jié)BD.
(1)求證：DE＝BF；
(2)若∠A＝60°，AE＝2EB，AD＝4，求線(xiàn)段BD的長(zhǎng).
參考答案
【預(yù)習(xí)導(dǎo)航】
平行　相等　相等　相等
【歸類(lèi)探究】
【例1】(1)作圖略　(2)略
【例2】略
【當(dāng)堂測(cè)評(píng)】
1.C　2.C　3.　4.119°
【分層訓(xùn)練】
1.4　2.2　3.(1)90　(2)24cm　4.略
5.(1)略　(2)BD＝
。第18章　平行四邊形
18.1　平行四邊形的性質(zhì)
第1課時(shí)　平行四邊形的性質(zhì)定理1、2
1.平行四邊形的概念
定　　義：有兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形.
表示方法：如圖，平行四邊形ABCD記作“ ABCD”，讀作“平行四邊形ABCD”.
易錯(cuò)點(diǎn)：不能誤認(rèn)為一組對(duì)邊平行的四邊形是平行四邊形.
2.平行四邊形的性質(zhì)定理1、2
性質(zhì)定理1：平行四邊形的對(duì)邊　　　　.
性質(zhì)定理2：平行四邊形的對(duì)角　　　　.
注　　意：平行四邊形是中心對(duì)稱(chēng)圖形，對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)為對(duì)稱(chēng)中心.
3.兩條平行線(xiàn)之間的距離
定　　義：兩條直線(xiàn)平行，其中一條直線(xiàn)上的　　　　　　到另一條　　　　　　　，叫做這兩條平行線(xiàn)之間的距離.
性　　質(zhì)：兩條平行線(xiàn)之間的距離　　　　　　.
注　　意：距離是指垂線(xiàn)段的長(zhǎng)度.
類(lèi)型之一　平行四邊形性質(zhì)的證明
　如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形.求證： ABCD的對(duì)邊相等，對(duì)角相等.
類(lèi)型之二　平行四邊形性質(zhì)的應(yīng)用
　如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，點(diǎn)E、A、C、F在同一直線(xiàn)上，AE＝CF.求證：
(1)△ADE≌△CBF；
(2)ED∥BF.
1.在 ABCD中，∠B＝4∠A，則∠C的度數(shù)是　　　　　.
2.已知直線(xiàn)a∥b∥c，a與b的距離是5cm，b與c的距離是3cm，則a與c的距離是　　　　　　　　　.
3.在 ABCD中，若AB＝2x＋1，BC＝3x，CD＝x＋4，則 ABCD的周長(zhǎng)是　　　　.
1.[2022·瀘州]如圖，E、F分別是 ABCD的邊AB、CD上的點(diǎn)，AE＝CF.求證：DE＝BF.
2.[2024·吉林]如圖，在 ABCD中，點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)，連結(jié)CO并延長(zhǎng)，交DA的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E.求證：AE＝BC.
3.如圖，在 ABCD中，點(diǎn)E在AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上，點(diǎn)F在CD的延長(zhǎng)線(xiàn)上，滿(mǎn)足BE＝DF.連結(jié)EF，分別與BC、AD交于點(diǎn)G、H.求證：EG＝FH.
4.(推理能力)如圖，在 ABCD中，AE、CF分別平分∠BAD和∠DCB，交對(duì)角線(xiàn)BD于點(diǎn)E、F.
(1)若∠BCF＝60°，求∠ABC的度數(shù)；
(2)求證：BE＝DF.
參考答案
【預(yù)習(xí)導(dǎo)航】
2.相等　相等
3.任意一點(diǎn)　直線(xiàn)的距離　處處相等
【歸類(lèi)探究】
【例1】略
【例2】略
【當(dāng)堂測(cè)評(píng)】
1.36°　2.8cm或2cm　3.32
【分層訓(xùn)練】
1.略　2.略　3.略
4.(1)∠ABC＝60°　(2)略
。第18章　平行四邊形
18.1　平行四邊形的性質(zhì)
第3課時(shí)　平行四邊形的性質(zhì)定理3
平行四邊形的性質(zhì)定理3
性質(zhì)定理3：平行四邊形的對(duì)角線(xiàn)　　　　　　.
說(shuō)　　明：(1)互相平分指兩線(xiàn)段有公共的中點(diǎn)；
(2)如果一條直線(xiàn)過(guò)平行四邊形兩條對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)，則這條直線(xiàn)被一組對(duì)邊截下的線(xiàn)段以對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)為中點(diǎn)，且這條直線(xiàn)平分平行四邊形的面積.
方法技巧：(1)利用對(duì)角線(xiàn)互相平分可以解決有關(guān)中點(diǎn)或線(xiàn)段相等的問(wèn)題；
(2)平行四邊形的性質(zhì)常與平行線(xiàn)、三角形、面積等有關(guān)知識(shí)綜合在一起進(jìn)行論證和計(jì)算.
類(lèi)型之一　平行四邊形的對(duì)角線(xiàn)互相平分
　如圖， ABCD的對(duì)角線(xiàn)相交于點(diǎn)O，兩條對(duì)角線(xiàn)的和為36，CD的長(zhǎng)為7，求△OCD的周長(zhǎng).
類(lèi)型之二　平行四邊形的性質(zhì)與勾股定理的綜合
　如圖，在 ABCD中，BD⊥AB，AB＝12 cm，AC＝26 cm，求AD、BD、BC及CD的長(zhǎng).
1.[2024·貴州]如圖， ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC與BD相交于點(diǎn)O，則下列結(jié)論一定正確的是 (　　)
第1題圖
A.AB＝BC B.AD＝BC
C.OA＝OB D.AC⊥BD
2.如圖， ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC與BD相交于點(diǎn)O，AD＝8，BD＝12，AC＝6，則△OBC的周長(zhǎng)為 (　　)
第2題圖
A.13 B.17 C.20 D.26
3.如圖，在 ABCD中，AB＝8，BC＝10，則△AOB的周長(zhǎng)比△BOC的周長(zhǎng)少　　　.
第3題圖
4.如圖， ABCD的對(duì)角線(xiàn)相交于點(diǎn)O，且AD≠CD，過(guò)點(diǎn)O作OM⊥AC，交AD于點(diǎn)M.如果△CDM的周長(zhǎng)為8，那么 ABCD的周長(zhǎng)是　　　　.
第4題圖
1.如圖， ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC與BD相交于點(diǎn)O，下列結(jié)論正確的是(　　)
A.＝4S△AOB
B.AC＝BD
C. ABCD是軸對(duì)稱(chēng)圖形
D.AC⊥BD
2.[2024春·巴中期末]在 ABCD中，對(duì)角線(xiàn)AC與BD相交于點(diǎn)O，若AC＝8，BD＝6，則邊AB的取值范圍是 (　　)
A.1＜AB＜7 B.2＜AB＜14
C.6＜AB＜8 D.3＜AB＜4
3.如圖，在 ABCD中，對(duì)角線(xiàn)AC與BD相交于點(diǎn)O，分別過(guò)點(diǎn)A、C作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分別為點(diǎn)E、F，AC平分∠DAE.
(1)若∠AOE＝50°，則∠ACB＝　　　　°；
(2)求證：AE＝CF.
4.(創(chuàng)新意識(shí))【教材呈現(xiàn)】如圖是華師版八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)教材第77頁(yè)的部分內(nèi)容.
平行四邊形的性質(zhì)定理3　平行四邊形的對(duì)角線(xiàn)互相平分. 我們可以用演繹推理證明這個(gè)結(jié)論. 已知：如圖1， ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC和BD相交于點(diǎn)O. 求證：OA＝OC，OB＝OD. 圖1 觀(guān)察圖形，OA與OC、OB與OD分別屬于哪兩個(gè)三角形？
請(qǐng)根據(jù)教材提示，結(jié)合圖1，寫(xiě)出完整的證明過(guò)程.
【性質(zhì)應(yīng)用】如圖2，在 ABCD中，對(duì)角線(xiàn)AC與BD相交于點(diǎn)O，EF過(guò)點(diǎn)O且與邊AD、BC分別相交于點(diǎn)E、F.求證：OE＝OF.
圖2
【拓展提升】在【性質(zhì)應(yīng)用】的條件下，連結(jié)AF，若EF⊥AC，△ABF的周長(zhǎng)是13，則 ABCD的周長(zhǎng)是　　　　.
參考答案
【預(yù)習(xí)導(dǎo)航】
互相平分
【歸類(lèi)探究】
【例1】25
【例2】AD＝BC＝ cm，BD＝10 cm，CD＝12 cm.
【當(dāng)堂測(cè)評(píng)】
1.B　2.B　3.2　4.16
【分層訓(xùn)練】
1.A　2.A
3.(1)40　(2)略
4.【教材呈現(xiàn)】略　【性質(zhì)應(yīng)用】略　【拓展提升】26
。

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