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第18章　平行四邊形
18.2　平行四邊形的判定
第2課時　平行四邊形的判定定理3
平行四邊形的判定定理3
定理3：對角線　　　　　　的四邊形是平行四邊形.
拓展：兩組對角　　　　　　的四邊形是平行四邊形.
注　　意：平行四邊形識別方法要靈活選擇.
(1)若知一組對邊相等，可選擇定理1或定理2；
(2)若知一組對邊平行，可選擇定理2或定義；
(3)若知對角線，可選擇定理3.
類型　對角線互相平分的四邊形是平行四邊形
　如圖，在四邊形ABCD中，OA＝OC，OB＝OD.求證：四邊形ABCD是平行四邊形.
　[2023·江蘇月考]如圖，在四邊形ABCD中，AD＝12，OD＝OB＝5，AC＝26，∠ADB＝90°.
(1)求線段OC的長；
(2)求證：四邊形ABCD為平行四邊形.
　如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，E、F是對角線AC上的兩點，且AF＝CE.
(1)求證：四邊形DEBF是平行四邊形；
(2)若AB＝CE，∠BAC＝82°，∠ABE＝25°，求∠EDF的度數.
1.如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC和BD相交于點O.下列條件不能判定四邊形ABCD是平行四邊形的是 (　　)
A.AB∥DC，AD∥BC
B.AB＝DC，AD＝BC
C.AB∥DC，AD＝BC
D.OA＝OC，OB＝OD
第1題圖
2.[2024·蓮湖區校級一模]如圖，已知AB∥CD，增加下列條件可以使四邊形ABCD成為平行四邊形的是 (　　)
A.∠1＝∠2 B.AD＝BC
C.OA＝OC D.AD＝AB
第2題圖
1.[2024·河北]下面是嘉嘉作業本上的一道習題及解答過程：
已知：如圖，在△ABC中，AB＝AC，AE平分△ABC的外角∠CAN，M是AC的中點，連結BM并延長交AE于點D，連結CD. 求證：四邊形ABCD是平行四邊形. 證明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠3. ∵∠CAN＝∠ABC＋∠3，∠CAN＝∠1＋∠2，∠1＝∠2， ∴①　　　　. 又∵∠4＝∠5，MA＝MC， ∴△MAD≌△MCB(②　　　　)， ∴MD＝MB，∴四邊形ABCD是平行四邊形.
若以上解答過程正確，①，②應分別為 (　　)
A.∠1＝∠3，A.A.S.
B.∠1＝∠3，A.S.A.
C.∠2＝∠3，A.A.S.
D.∠2＝∠3，A.S.A.
2.如圖， ABCD的對角線AC與BD相交于點O，且E、F、G、H分別是OA、OB、OC、OD的中點.求證：四邊形EFGH是平行四邊形.
3.如圖，在 ABCD中，AC與BD相交于點O，AE⊥BD，BM⊥AC，CN⊥BD，DF⊥AC.求證：MN∥EF.
4.如圖，在四邊形ABCD中，AC與BD相交于點O，延長AD至點E，連結EO并延長，交CB的延長線于點F，∠E＝∠F，AD＝BC.
(1)求證：O是線段AC的中點：
(2)連結AF、EC，證明四邊形AFCE是平行四邊形.
5.(模型觀念、推理能力)如圖，在 ABCD中，∠DAB＝60°，點E、F分別在CD、AB的延長線上，連結AE、CF，AE＝AD，CF＝CB.
(1)求證：四邊形AFCE是平行四邊形.
(2)若去掉已知條件中的“∠DAB＝60°”，上述結論還成立嗎？若成立，請寫出證明過程；若不成立，請說明理由.
參考答案
【預習導航】
互相平分　分別相等
【歸類探究】
【例1】略
【例2】(1)OC的長是13.　(2)略
【例3】(1)略　(2)∠EDF＝24°
【當堂測評】
1.C　2.C
【分層訓練】
1.D　2.略　3.略　4.略
5.(1)略　(2)結論還成立.證明略.
。第18章　平行四邊形
18.2　平行四邊形的判定
第1課時　平行四邊形的判定定理1、2
平行四邊形的判定定理1、2
定理1：兩組對邊分別　　　　的四邊形是平行四邊形.
定理2：一組對邊　　　　　　　的四邊形是平行四邊形.
注　　意：若四邊形一組對邊平行，另一組對邊相等，不能判定該四邊形是平行四邊形.
類型之一　兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形
　如圖，在四邊形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC.求證：四邊形ABCD是平行四邊形.
　如圖，在四邊形ABCD中，AB＝CD，BD⊥AD，垂足為點D，DB⊥BC，垂足為點B.求證：四邊形ABCD是平行四邊形.
類型之二　一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形
　如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD.求證：四邊形ABCD是平行四邊形.
1.對于四邊形ABCD，下列條件不能判定該四邊形為平行四邊形的是 (　　)
A.AB∥DC且AD∥BC
B.AB＝DC且AD＝BC
C.AB∥DC且AD＝BC
D.AB∥DC且AB＝DC
2.[2022·河北]依據所標數據，下列一定為平行四邊形的是 (　　)
3.在四邊形ABCD中，AB＝4，BC＝5，當CD＝　　　，DA＝　　　時，四邊形ABCD是平行四邊形.
1.小敏不慎將一塊平行四邊形玻璃打碎成如圖所示的四塊，為了能在商店配到一塊與原來相同的平行四邊形玻璃，她帶了兩塊碎玻璃，其編號應該是 (　　)
A.①② B.①④
C.③④ D.②③
2.[2023春·南京期中]求證：一組對邊平行，一組對角相等的四邊形是平行四邊形.(請寫出已知、求證并完成證明)
已知：如圖，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　.
求證：　　　　　　　　　　　　　　　.
3.[2024·武漢]如圖，在 ABCD中，點E、F分別在邊BC、AD上，AF＝CE.
(1)求證：△ABE≌△CDF.
(2)連結EF.請添加一個與線段相關的條件，使四邊形ABEF是平行四邊形.
4.如圖，點B、F、C、E在同一條直線上，FB＝CE，AB∥ED，AC∥FD，AD交BE于點O.求證：AD與BE互相平分.
5.(推理能力)如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＝12cm，BC＝15cm.點P自點A向點D以1cm/s的速度運動，到D點即停止；點Q自點C向點B以2cm/s的速度運動，到B點即停止，點P、Q同時出發，設運動時間為t(s).
(1)用含t的代數式表示：
AP＝　　　cm；DP＝　　　　　　　　cm；BQ＝　　　　　　　　　cm；CQ＝　　　　cm.
(2)當t為何值時，四邊形APQB是平行四邊形？
(3)當t為何值時，四邊形PDCQ是平行四邊形？
參考答案
【預習導航】
相等　平行且相等
【歸類探究】
【例1】略
【例2】略
【例3】略
【當堂測評】
1.C　2.D　3.4　5
【分層訓練】
1.D
2.在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠A＝∠C　四邊形ABCD是平行四邊形　證明略
3.(1)略　(2)添加BE＝CE(方法不唯一)
4.略
5.(1)t　(12－t)　(15－2t)　2t
(2)當t＝5時，四邊形APQB是平行四邊形.
(3)當t＝4時，四邊形PDCQ是平行四邊形.
。第18章　平行四邊形
18.2　平行四邊形的判定
第4課時　平行四邊形的性質與判定的綜合
1.平行四邊形的性質
定義：平行四邊形的對邊　　　　.
定理1：平行四邊形的對邊　　　　.
定理2：平行四邊形的對角　　　　.
定理3：平行四邊形的對角線　　　　　　.
推論：兩條平行線之間的距離處處　　　　.
2.平行四邊形的判定定理
定義：兩組對邊分別　　　　的四邊形是平行四邊形.
定理1：兩組對邊分別　　　　的四邊形是平行四邊形.
定理2：一組對邊　　　　　　　的四邊形是平行四邊形.
定理3：對角線互相　　　　的四邊形是平行四邊形.
類型　平行四邊形的性質與判定的綜合
　如圖，在 ABCD中，E、F是對角線BD上的兩點，BF＝DE，點G、H分別在BA和DC的延長線上，且AG＝CH，連結GE、EH、HF、FG.求證：四邊形GEHF是平行四邊形.
　如圖，在 ABCD中，O是對角線AC的中點，EF過點O，與AD、BC分別相交于點E、F，GH過點O，與AB、CD分別相交于點G、H，連結EG、FG、FH、EH.求證：四邊形EGFH是平行四邊形.
1.如圖，在 ABCD中，E、F分別是AD、BC的中點，連結BE、EF、DF，則圖中平行四邊形共有 (　　)
A.2個 B.4個 C.6個 D.8個
2.如圖，在 ABCD中，E、F是對角線AC上的兩點，且AE＝CF.下列結論：①BE＝DF；②BE∥DF；③AB＝DE；④四邊形EBFD為平行四邊形；⑤S△ADE＝S△ABE；⑥AF＝CE.其中正確的是 (　　)
A.①⑥ B.①②④⑥
C.①②③④ D.①②④⑤⑥
1.[2024春·海州區期末]如圖，在 ABCD中，AC與BD相交于點O，分別過點A作AE⊥BD于點E，在BD上取點F，連結CF，使∠DCF＝∠BAE.連結AF、CE.
(1)求證：四邊形AECF是平行四邊形；
(2)若AF＝10，EF＝8，BE＝4，求△BEC的面積.
2.[2022春·信都區期末]如圖，在 ABCD中，對角線AC與BD相交于點O.
(1)若AC＝12，BD＝14，求AD的取值范圍.
(2)若∠ACB＝40°，AC＝BC，求∠ADC的度數.
(3)點E在CA的延長線上，點F在AC的延長線上，且AE＝CF，點G、H均在線段BD上，且BG＝DH，連結EG、GF、FH、HE.求證：四邊形EGFH是平行四邊形.
3.如圖，在四邊形ABCD中，∠ACB＝∠CAD＝90°，點E在BC上，∠AEB＋∠D＝180°，過點E作EF⊥AE交AB于點F.
(1)求證：四邊形AECD是平行四邊形；
(2)若AE平分∠BAC，AF＝5，AE＝，求AD的長.
　
4.(模型觀念，推理能力)[2024春·金沙期末]如圖，在 ABCD中，連結對角線AC，AF、CG分別是∠CAD、∠ACD的平分線，AF與CG相交于點O，E為BC上一點，且∠BAE＝∠DCG.
(1)如圖1，若△ACD是等邊三角形，OC＝2，求△ACD的面積；
(2)如圖2，若△ACD是等腰直角三角形，且∠CAD＝90°，求證：AC＝CE＋2OF.
圖1
圖2
參考答案
【預習導航】
平行　相等　相等　互相平分　相等　平行　相等　平行且相等　平分
【歸類探究】
【例1】略
【例2】略
【當堂測評】
1.B　2.D
【分層訓練】
1.(1)略　(2)12
2.(1)1＜AD＜13　(2)∠ADC＝70°　(3)略
3.(1)略　(2)AD＝2
4.(1)3　(2)略
。第18章　平行四邊形
18.2　平行四邊形的判定
第3課時　平行四邊形的判定的綜合
平行四邊形的判定定理
定義：兩組對邊分別　　　　的四邊形是平行四邊形.
定理1：兩組對邊分別　　　　的四邊形是平行四邊形.
定理2：一組對邊　　　　　　　的四邊形是平行四邊形.
定理3：對角線互相　　　　的四邊形是平行四邊形.
類型之一　平行四邊形的判定
　如圖，在四邊形ABCD中，∠ADB＝∠CBD，∠ABD＝∠CDB，利用三種方法證明四邊形ABCD是平行四邊形.
類型之二　平行四邊形的性質與判定的綜合
　如圖，在 ABCD中，AF＝CH，DE＝BG.求證：四邊形EFGH是平行四邊形.
[2022·株洲]如圖，點E在四邊形ABCD的邊AD上，連結CE并延長，交BA的延長線于點F，AE＝DE，FE＝CE.
(1)求證：△AEF≌△DEC；
(2)若AD∥BC，求證：四邊形ABCD為平行四邊形.
1.[2024·達州]如圖，線段AC與BD相交于點O，且AB∥CD，AE⊥BD于點E.
(1)尺規作圖：過點C作BD的垂線，垂足為F，連結AF、CE；(不寫作法，保留作圖痕跡，并標明相應的字母)
(2)若AB＝CD，請判斷四邊形AECF的形狀，并說明理由.(若前問未完成，可畫草圖完成此問)
2.[2023·綿陽]如圖， ABCD的對角線AC與BD相交于點O，點E、F在AC上，且AE＝CF.
(1)求證：BE∥DF.
(2)過點O作OM⊥BD，垂足為O，交DF于點M，連結BM.若△BFM的周長為12，求四邊形BEDF的周長.
3.(推理能力)如圖，已知△ABC是等邊三角形，點D、F分別在邊BC、AB上，∠EFB＝60°，EF＝DC.
(1)求證：四邊形EFCD是平行四邊形；
(2)連結BE，若BF＝EF，求證：AE＝AD.
參考答案
【預習導航】
平行　相等　平行且相等　平分
【歸類探究】
【例1】略
【例2】略
【當堂測評】
略
【分層訓練】
1.(1)略
(2)四邊形AECF為平行四邊形.理由略.
2.(1)略　(2)四邊形BEDF的周長為24.
3.略
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