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第19章　矩形、菱形與正方形
19.1　矩形
1.矩形的性質　第1課時　矩形的性質
1.矩形的定義
定　　義：有一個內角為直角的　　　　　　　叫做矩形.
2.矩形的性質
性質定理1：矩形的四個角都是　　　　.
性質定理2：矩形的對角線　　　　.
類型之一　矩形的定義
　如圖，在 ABCD中，M為AD的中點，BM＝CM，求證：四邊形ABCD是矩形.
類型之二　矩形的四個角都是直角
　[2024·陜西]如圖，四邊形ABCD是矩形，點E和點F在邊BC上，且BE＝CF，求證：AF＝DE.
類型之三　矩形的對角線相等
　如圖，矩形ABCD被對角線AC、BD分成四個小三角形，這四個小三角形的周長之和是68，AC＝10，則矩形ABCD的周長是　　　　.
　如圖，在矩形ABCD中，過點C作CE∥BD，交AB的延長線于點E.求證：AC＝EC.
1.在下列說法中，矩形不一定具有的性質是(　　)
A.對角相等 B.是軸對稱圖形
C.是中心對稱圖形 D.對角線互相垂直
2.如圖，在矩形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，AB＝2 cm，AC＝4 cm.
(1)根據“矩形的對角線　　　　”，可以得到BD＝　　　cm；
(2)根據“矩形的對角線　　　　　　”，可以得到AO＝BO＝AC＝　　　cm，且AB＝2 cm，所以△AOB是　　　　三角形.
1.如圖，在矩形ABCD中，下列說法不一定正確的是 (　　)
第1題圖
A.AD∥BC
B.AB＝CD
C.對角線AC與BD互相平分
D.對角線AC⊥BD
2.如圖是一張矩形紙片ABCD，AB＝10，AD＝4.若用剪刀沿∠ABC的平分線BE剪下，則DE的長為 (　　)
第2題圖
A.4 B.5 C.6 D.7
3.[2024·甘肅]如圖，在矩形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，∠ABD＝60°，AB＝2，則AC的長為 (　　)
A.6 B.5 C.4 D.3
4.[2022·蘇州]如圖，將矩形ABCD沿對角線AC折疊，點B的對應點為點E，AE與CD交于點F.
(1)求證：△DAF≌△ECF；
(2)若∠FCE＝40°，求∠CAB的度數.
5.(邏輯推理)如圖，在矩形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，DE平分∠ADC，交BC于點E，連結OE，且∠ODE＝15°.
　
(1)求證：CO＝CE；
(2)求∠OED的度數.
參考答案
【預習導航】
1.平行四邊形　2.直角　相等
【歸類探究】
【例1】略
【例2】略
【例3】28
【例4】略
【當堂測評】
1.D
2.(1)相等　4　(2)互相平分　2　等邊
【分層訓練】
1.D　2.C　3.C
4.(1)略　(2)∠CAB＝25°
5.(1)略　(2)∠OED＝30°
。第19章　矩形、菱形與正方形
19.1　矩形
1.矩形的性質　第2課時　矩形的性質的運用
矩形的性質
定理1：矩形的四個角都是　　　　.
定理2：矩形的對角線　　　　　　　　　.
類型之一　與矩形的性質有關的計算
　如圖，矩形ABCD的兩條對角線相交于點O，∠AOD＝120°，AC＝6 cm.
(1)△AOB是　　　　三角形；
(2)求矩形ABCD各邊的長.
類型之二　與矩形的性質有關的證明
　如圖，在矩形ABCD中，F是邊BC上一點，AF＝BC，DE⊥AF，垂足是E，連結DF.求證：
(1)△DEA≌△ABF；
(2)DF是∠EDC的平分線.
類型之三　與矩形的性質有關的創新應用
　如圖，點P是矩形ABCD的邊AD上的一個動點，矩形的兩條邊AB、BC的長分別為6和8，過點P分別作AC和BD的垂線，垂足分別為E、F，則PE＋PF的值為　　.
1.[2024·南通]如圖，直線a∥b，矩形ABCD的頂點A在直線b上，若∠2＝41°，則∠1的度數為 (　　)
A.41° B.51° C.49° D.59°
第1題圖
2.如圖，矩形ABCD的邊AB的長為4，點M為邊BC的中點，∠AMD＝90°，則矩形ABCD的周長是　　　　.
第2題圖
1.如圖，在矩形ABCD中，點E、F分別在邊BC、CD上.若AB＝3，BC＝4，BE＝1，AE⊥EF，則EF的長為　　.
第1題圖
2.如圖，在矩形ABCD中，AC與BD相交于點O，DE⊥AC于點E.若∠AOD＝110°，則∠CDE的度數為　　　　　.
第2題圖
3.[2024·德陽期中]如圖，延長矩形ABCD的邊BC至點E，使CE＝BD，連結AE.
(1)若∠ADB＝40°，求∠E的度數；
(2)若AB＝3，CE＝5，求AE的長.
4.如圖，將矩形紙片ABCD沿直線EF折疊，使點C落在邊AD的中點C'處，點B落在點B'處，若AB＝9，BC＝6，則FC'的長為 (　　)
A. B.4 C.4.5 D.5
5.如圖，在矩形ABCD中，點E在邊AD上，連結BE、EC，且EC平分∠BED.
(1)△BEC是否為等腰三角形？請給出證明.
(2)若AB＝1，∠ABE＝45°，求DE的長.
6.(推理能力)某研究性學習小組在探究矩形的折紙問題時，將一塊直角三角板的直角頂點繞著矩形ABCD(AB＜BC)的對角線交點O旋轉(圖1→圖2→圖3)，圖中M、N分別為直角三角板的直角邊與矩形ABCD的邊CD、BC的交點.
(1)該學習小組中一名成員意外地發現：在圖1(三角板的一直角邊與OD重合)中，BN2＝CD2＋CN2；在圖3(三角板的一直角邊與OC重合)中，CN2＝BN2＋CD2.請你對這名成員在圖1和圖3中發現的結論選擇其一說明理由.
(2)試探究圖2中BN、CN、CM、DM這四條線段之間的關系，寫出你的結論，并說明理由.
參考答案
【預習導航】
直角　互相平分且相等
【歸類探究】
【例1】(1)等邊
(2)AB＝CD＝3cm，AD＝BC＝cm.
【例2】略
【例3】
【當堂測評】
1.C　2.24
【分層訓練】
1.　2.35°
3.(1)∠E＝20°　(2)AE＝
4.D
5.(1)△BEC是等腰三角形.證明略.
(2)DE＝－1.
6.(1)略　(2)BN2＋DM2＝CM2＋CN2.理由略.
。

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