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第19章　矩形、菱形與正方形
19.1　矩形
2.矩形的判定　第2課時(shí)　矩形的判定的運(yùn)用
矩形的判定方法
定　　義：有一個(gè)角是　　　　的平行四邊形是矩形.
定理1：有三個(gè)角是　　　　的四邊形是矩形.
定理2：對(duì)角線　　　　的平行四邊形是矩形.
類型　矩形判定的運(yùn)用
　 如圖，在 ABCD中，E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，連結(jié)AF、CE.
(1)求證：△BEC≌△DFA；
(2)連結(jié)AC，當(dāng)AC＝BC時(shí)，判斷四邊形AECF是什么特殊四邊形，并證明你的結(jié)論.
　如圖，已知 ABCD，延長(zhǎng)AB到點(diǎn)E，使BE＝AB，連結(jié)BD、ED、EC，ED＝AD.求證：
(1)BE＝CD；
(2)四邊形BECD是矩形.
1.如圖，四邊形ABCD的對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，已知下列6個(gè)條件：①AB∥DC；②AB＝DC；③AC＝BD；④∠ABC＝90°；⑤OA＝OC；⑥OB＝OD.從中選出3個(gè)，則不能使四邊形ABCD成為矩形的一組是 (　　)
A.①②③ B.②③④
C.②⑤⑥ D.④⑤⑥
第1題圖
2.如圖，AB∥CD，PM、PN、QM、QN分別為∠APQ、∠BPQ、∠CQP、∠DQP的平分線，則四邊形PMQN是　　　　.
第2題圖
1.如圖，將 ABCD的邊AB延長(zhǎng)至點(diǎn)E，使BE＝AB，連結(jié)DE、EC、BD，DE交BC于點(diǎn)O.
(1)求證：BD＝EC；
(2)若∠BOD＝2∠A，求證：四邊形BECD是矩形.
2.如圖，在△ABC中，AC＝9，AB＝12，BC＝15，P為邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，PG⊥AC于點(diǎn)G，PH⊥AB于點(diǎn)H，連結(jié)GH.
(1)求證：四邊形AGPH是矩形.
(2)在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，GH的長(zhǎng)度是否存在最小值？若存在，請(qǐng)求出最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
3.(推理能力)[2024春·宜賓期末]如圖，ON為∠AOB中的一條射線，點(diǎn)P在邊OA上，PH⊥OB于點(diǎn)H，交ON于點(diǎn)Q，PM∥OB交ON于點(diǎn)M，MD⊥OB于點(diǎn)D，QR∥OB交MD于點(diǎn)R，連結(jié)PR交QM于點(diǎn)S.
(1)求證：四邊形PQRM為矩形；
(2)若OP＝PR，試探究∠AOB與∠BON的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.
參考答案
【預(yù)習(xí)導(dǎo)航】
直角　直角　相等
【歸類探究】
【例1】(1)略　(2)四邊形AECF是矩形.證明略.
【例2】略
【當(dāng)堂測(cè)評(píng)】
1.C　2.矩形
【分層訓(xùn)練】
1.略
2.(1)略　(2)GH的最小長(zhǎng)度為.
3.(1)略　(2)∠AOB＝3∠BON.理由略.
。第19章　矩形、菱形與正方形
19.1　矩形
2.矩形的判定　第1課時(shí)　矩形的判定
矩形的判定方法
定　　義：　　　　　　　　　的平行四邊形是矩形.
判定定理1：有三個(gè)角是直角的　　　　　是矩形.
判定定理2：對(duì)角線相等的　　　　　　　是矩形.
類型之一　有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形
　如圖，在 ABCD中，AF、BH、CH、DF分別是∠BAD、∠ABC、∠BCD、∠ADC的平分線.求證：四邊形EFGH為矩形.
類型之二　對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形
　求證：對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形.(請(qǐng)寫(xiě)出已知、求證并完成證明)
　如圖，在 ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E、F在BD上，AE∥CF，連結(jié)AF、CE.
(1)求證：四邊形AECF為平行四邊形；
(2)若∠EAO＋∠CFD＝180°，求證：四邊形AECF是矩形.
1.下列說(shuō)法中，能判定四邊形是矩形的是 (　　)
A.有兩個(gè)角為直角的四邊形
B.對(duì)角線互相平分的四邊形
C.對(duì)角線相等的四邊形
D.四個(gè)角都相等的四邊形
2.[2024·瀘州]已知四邊形ABCD是平行四邊形，下列條件中，不能判定 ABCD為矩形的是 (　　)
A.∠A＝90° B.∠B＝∠C
C.AC＝BD D.AC⊥BD
3.[2022·甘肅]如圖，在四邊形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，在不添加任何輔助線的前提下，要想四邊形ABCD成為一個(gè)矩形，只需添加的一個(gè)條件是　　　　　　　　　　　　　　　.
1.[2024春·綿陽(yáng)期末]如圖，在 ABCD中，點(diǎn)E、F分別在BC、AD上，BE＝DF，AC＝EF.求證：四邊形AECF是矩形.
2.[2024春·響水縣期末]如圖，在 ABCD中，點(diǎn)E、F分別在邊BC、AD上，且BE＝DF，連結(jié)AE、CF，分別過(guò)點(diǎn)E、F作EH⊥CF于點(diǎn)H，F(xiàn)G⊥AE于點(diǎn)G.求證：四邊形EGFH是矩形.
3.[2024·貴州]如圖，四邊形ABCD的對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，AD∥BC，∠ABC＝90°，有下列條件：
①AB∥CD，②AD＝BC.
(1)請(qǐng)從以上①②中任選1個(gè)作為條件，求證：四邊形ABCD是矩形；
(2)在(1)的條件下，若AB＝3，AC＝5，求四邊形ABCD的面積.
4.(推理能力)如圖，在等邊三角形ABC中，D是邊BC的中點(diǎn)，以AD為邊作等邊三角形ADE.
(1)∠CAE的度數(shù)為　　　　　；
(2)取邊AB的中點(diǎn)F，連結(jié)CF、CE，求證：四邊形AFCE是矩形.
參考答案
【預(yù)習(xí)導(dǎo)航】
有一個(gè)角是直角　四邊形　平行四邊形
【歸類探究】
【例1】略
【例2】略
【例3】略
【當(dāng)堂測(cè)評(píng)】
1.D　2.D　3.∠A＝90°(答案不唯一)
【分層訓(xùn)練】
1.略　2.略
3.(1)略　(2)12
4.(1)30°　(2)略
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