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第19章　矩形、菱形與正方形
19.2　菱形
2.菱形的判定　第2課時(shí)　菱形的判定定理2
菱形的判定方法
定　　義：有一組鄰邊相等的　　　　　　　是菱形.
定理1：四條邊都相等的　　　　　是菱形.
定理2：　　　　　　　　　的平行四邊形是菱形.
類型之一　利用“對(duì)角線互相垂直的平行四邊形”證明菱形
　[2024春·東坡區(qū)期末]如圖，在 ABCD中，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)E、F在對(duì)角線BD上，且BE＝DF.
(1)求證：AE＝CF；
(2)連結(jié)CE，AF，若AC⊥BD，求證：四邊形AECF為菱形.
類型之二　菱形的判定與性質(zhì)的綜合運(yùn)用
　如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，對(duì)角線BD的垂直平分線與邊AD、BC分別相交于點(diǎn)M、N.
(1)求證：四邊形BNDM是菱形；
(2)若∠C＝90°，BC＝16，CD＝8，求四邊形BNDM的周長(zhǎng).
1.下列條件中，能判斷四邊形是菱形的是 (　　)
A.對(duì)角線互相垂直且相等的四邊形
B.對(duì)角線互相垂直的四邊形
C.對(duì)角線相等的平行四邊形
D.對(duì)角線互相平分且垂直的四邊形
2.如圖，在 ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，下列條件中，不能判斷這個(gè)平行四邊形是菱形的是 (　　)
A.AB＝AD
B.∠BAC＝∠DAC
C.∠BAC＝∠ABD
D.AC⊥BD
1.[2024·上海]如圖，四邊形ABCD為矩形，過點(diǎn)A、C作對(duì)角線BD的垂線，過點(diǎn)B、D作對(duì)角線AC的垂線.如果四條垂線拼成一個(gè)四邊形，那這個(gè)四邊形為 (　　)
A.菱形 B.矩形
C.直角梯形 D.等腰梯形
2.[2024·廣西]如圖，兩張寬度均為3cm的紙條交叉疊放在一起，交叉形成的銳角為60°，則重合部分構(gòu)成的四邊形ABCD的周長(zhǎng)為　　　cm.
3.[2022·北京]如圖，在 ABCD中，AC與BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E、F在AC上，AE＝CF.
(1)求證：四邊形EBFD是平行四邊形；
(2)若∠BAC＝∠DAC，求證：四邊形EBFD是菱形.
4.(推理能力)[2024·重慶B卷]在學(xué)習(xí)了矩形與菱形的相關(guān)知識(shí)后，小明同學(xué)進(jìn)行了更深入的研究，他發(fā)現(xiàn)，過矩形的一條對(duì)角線的中點(diǎn)作這條對(duì)角線的垂線，與矩形兩邊相交的兩點(diǎn)和這條對(duì)角線的兩個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成的四邊形是菱形，可利用證明三角形全等得到此結(jié)論.根據(jù)他的想法與思路，完成以下作圖與填空：
(1)如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)O是對(duì)角線AC的中點(diǎn).用尺規(guī)過點(diǎn)O作AC的垂線，分別交AB、CD于點(diǎn)E、F，連結(jié)AF、CE.(不寫作法，保留作圖痕跡)
(2)已知：矩形ABCD，點(diǎn)E、F分別在AB，CD上，EF經(jīng)過對(duì)角線AC的中點(diǎn)O，且EF⊥AC.求證：四邊形AECF是菱形.
證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB∥CD.
∴①　　　　　　　　　　　，∠OCF＝∠OAE.
∵點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)，
∴②　　　　　　　，
∴△CFO≌△AEO(A.A.S.)，
∴③　　　　　　　.
又∵OA＝OC，
∴四邊形AECF是平行四邊形.
∵EF⊥AC，
∴平行四邊形AECF是菱形.
進(jìn)一步思考，如果四邊形ABCD是平行四邊形呢？請(qǐng)你模仿題中表述，寫出你猜想的結(jié)論：④　　　　　　　　　　　　.
參考答案
【預(yù)習(xí)導(dǎo)航】
平行四邊形　四邊形　對(duì)角線互相垂直
【歸類探究】
【例1】略
【例2】(1)略　(2)40
【當(dāng)堂測(cè)評(píng)】
1.D　2.C
【分層訓(xùn)練】
1.A　2.8　3.略
4.(1)作圖略
(2)∠OFC＝∠OEA　OC＝OA　OF＝OE　四邊形AECF是菱形
。第19章　矩形、菱形與正方形
19.2　菱形
2.菱形的判定　第1課時(shí)　菱形的判定定理1
菱形的判定方法
定　　義：有一組鄰邊相等的　　　　　　　是菱形.
定理1：四條邊都相等的　　　　　是菱形.
類型之一　利用菱形的定義判定菱形
　如圖，在 ABCD中，點(diǎn)E、F分別在AD、BC上，且BE平分∠ABC，EF∥AB.求證：四邊形ABFE是菱形.
　如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AM⊥BC，垂足為點(diǎn)M，AN⊥DC，垂足為點(diǎn)N.若∠BAD＝∠BCD，AM＝AN.求證：四邊形ABCD是菱形.
類型之二　利用“四邊相等”判定菱形
　如圖，AC＝8，分別以點(diǎn)A、C為圓心，以5為半徑作弧，兩條弧分別相交于點(diǎn)B、D，連結(jié)AB、BC、CD、DA，連結(jié)BD交AC于點(diǎn)O.
(1)判斷四邊形ABCD的形狀，并說明理由；
(2)求BD的長(zhǎng).
1.下列選項(xiàng)中能使 ABCD成為菱形的是 (　　)
A.AB＝CD B.AB＝BC
C.∠BAD＝90° D.AC＝BD
2.如圖，四邊形 ABCD 是軸對(duì)稱圖形，且直線 AC 是對(duì)稱軸，AB∥CD，則下列結(jié)論：①AC⊥BD；②AD∥BC；③四邊形 ABCD 是菱形；④△ABD≌ △CDB.其中正確的是　　　　　　(填序號(hào)).
1.下列命題中，正確的是 (　　)
A.有一個(gè)角是60°的平行四邊形是菱形
B.有一組鄰邊相等的四邊形是菱形
C.有兩邊相等的平行四邊形是菱形
D.四條邊相等的四邊形是菱形
2.如圖，AC是 ABCD的對(duì)角線，當(dāng)它滿足以下：①∠1＝∠2；②∠2＝∠3；③∠B＝∠3；④∠1＝∠3中某一條件時(shí)，平行四邊形ABCD是菱形，這個(gè)條件是 (　　)
A.①或② B.②或③
C.③或④ D.①或④
3.如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＝CD，E是對(duì)角線BD上一點(diǎn)，且EA＝EC.求證：四邊形ABCD是菱形.
4.如圖，在△ABC中，AB＝AC，M是邊BC的中點(diǎn)，MD⊥AB，ME⊥AC，DF⊥AC，EG⊥AB，垂足分別為點(diǎn)D、E、F、G，DF、EG相交于點(diǎn)P.試判斷四邊形MDPE的形狀，并說明理由.
5.(模型觀念)如圖，在 ABCD中，E為邊BC上的一點(diǎn)，連結(jié)AE、BD，且AE＝AB.
(1)求證：∠ABE＝∠EAD；
(2)若∠AEB＝2∠ADB，求證：四邊形ABCD是菱形.
參考答案
【預(yù)習(xí)導(dǎo)航】
平行四邊形　四邊形
【歸類探究】
【例1】略
【例2】略
【例3】(1)四邊形ABCD為菱形.理由略.
(2)BD＝6
【當(dāng)堂測(cè)評(píng)】
1.B　2.①②③④
【分層訓(xùn)練】
1.D　2.D　3.略
4.四邊形MDPE是菱形.理由略.
5.略
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