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第19章　矩形、菱形與正方形
19.3　正方形
1.正方形的性質
性　　質：(1)正方形的　　　　　都相等；
(2)正方形的　　　　　都是直角；
(3)正方形的對角線　　　　　　　　　　　.
注　　意：正方形是中心對稱圖形，對稱中心是　　　　　　　　　　，也是軸對稱圖形，它有　　　條對稱軸.
2.正方形的判定方法
定理1：有一個角是　　　　的菱形是正方形.
定理2：有一組鄰邊　　　　的矩形是正方形.
類型之一　正方形的性質
　如圖，在正方形ABCD的外側作等邊三角形ADE，連結BE、CE.
(1)求證：△BAE≌△CDE；
(2)求∠AEB的度數.
類型之二　正方形的判定
　[2022·邵陽]如圖，在菱形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，點E、F在對角線BD上，且BE＝DF，OE＝OA.求證：四邊形AECF是正方形.
類型之三　正方形的性質與判定的綜合運用
　如圖，E、F、M、N分別是正方形ABCD四條邊上的點，AE＝BF＝CM＝DN，四邊形EFMN是什么圖形？證明你的結論.
1.在四邊形ABCD中，O是對角線AC與BD的交點.下列條件能判定這個四邊形為正方形的是 (　　)
A.AD∥BC，∠B＝∠D
B.AC＝BD，AB＝CD，AD＝BC
C.OA＝OC，OB＝OD，AB＝BC
D.OA＝OB＝OC＝OD，AC⊥BD
2.如圖，四邊形ABCD是正方形，延長BC至點E，使CE＝CA，連結AE交CD于點F，則∠AFC的度數是 (　　)
第2題圖
A.150° B.125°
C.135° D.112.5°
3.[2023春·北京期中]如圖，在正方形ABCD中，E是對角線BD上的一點，且BE＝AB，連結CE、AE，則∠AEC的度數為　　　　　　.
第3題圖
1.[2024·連云港]如圖，正方形中有一個由若干個矩形組成的對稱圖案，其中正方形邊長是80cm，則圖中陰影圖形的周長是 (　　)
第1題圖
A.440cm B.320cm
C.280cm D.160cm
2.[2024·新疆]如圖，在正方形ABCD中，若面積S矩形AEOH＝12，周長C矩形OFCG＝16，則S正方形EBFO＋S正方形HOGD＝　　　　.
第2題圖
3.[2022·恩施州]如圖，已知四邊形ABCD是正方形，G為線段AD上任意一點，CE⊥BG于點E，DF⊥CE于點F.求證：DF＝BE＋EF.
4.如圖，E是正方形ABCD對角線BD上一點，連結AE、CE，并延長CE交AD于點F.
(1)求證：△ABE≌△CBE；
(2)若∠AEC＝140°，求∠DFE的度數.
5.如圖1，在正方形ABCD中，E、F分別是邊AD、DC上的點，且AF⊥BE，垂足為G.
(1)求證：AF＝BE.
(2)如圖2，在正方形ABCD中，M、N、P、Q分別是邊AB、BC、CD、DA上的點，且MP⊥NQ.MP與NQ是否相等？請說明理由.
　　　　
6.如圖，正方形ABCD的對角線AC與BD相交于點O，AB＝3，E為OC上一點，OE＝1，連結BE，過點A作AF⊥BE于點F，與BD交于點G.
(1)BE與AG相等嗎？若相等，請證明；若不相等，請說明理由.
(2)求AF的長.
7.如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分線，O為AB的中點，過點A作直線AE交DO的延長線于點E，使∠EAB＝∠C，連結BE.
(1)求證：BC∥AE.
(2)求證：四邊形AEBD是矩形.
(3)當△ABC滿足什么條件時，四邊形AEBD是正方形？請說明理由.
8.(推理能力)[2024春·仁壽縣校級月考]如圖，在正方形ABCD中，CF平分正方形的外角，點E在BC上.
(1)若AE＝EF，求證：AE⊥EF；
(2)若AE⊥EF，求證：AE＝EF.
參考答案
【預習導航】
1.(1)四條邊　(2)四個角　(3)相等且互相垂直平分　兩條對角線的交點　4
2.直角　相等
【歸類探究】
【例1】(1)略　(2)∠AEB＝15°
【例2】略
【例3】四邊形EFMN是正方形.證明略.
【當堂測評】
1.D　2.D　3.135°
【分層訓練】
1.A　2.40　3.略
4.(1)略　(2)∠DFE＝65°
5.(1)略　(2)MP＝NQ.理由略.
6.(1)BE＝AG.證明略.　(2)AF＝
7.(1)略　(2)略
(3)當△ABC滿足∠BAC＝90°時，四邊形AEBD是正方形.理由略.
8.略
。

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