資源簡介

第36講 平面向量的數量積及運算
知識梳理
知識點一．平面向量的數量積
（1）平面向量數量積的定義
已知兩個非零向量與，我們把數量叫做與的數量積（或內積），記作，即=，規定：零向量與任一向量的數量積為0．　　　　　　　　　　　　
（2）平面向量數量積的幾何意義
①向量的投影：叫做向量在方向上的投影數量，當為銳角時，它是正數；當為鈍角時，它是負數；當為直角時，它是0．
②的幾何意義：數量積等于的長度與在方向上射影的乘積．
③設，是兩個非零向量，它們的夾角是與是方向相同的單位向量，，過的起點和終點，分別作所在直線的垂線，垂足分別為，得到，我們稱上述變換為向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量．記為．
知識點二．數量積的運算律
已知向量、、和實數，則：
①；
②；
③．
知識點三．數量積的性質
設、都是非零向量，是與方向相同的單位向量，是與的夾角，則
①．②．
③當與同向時，；當與反向時，．
特別地，或．
④．⑤．
知識點四．數量積的坐標運算
已知非零向量，，為向量、的夾角．
結論 幾何表示 坐標表示
模
數量積
夾角
的充要 條件
的充要 條件
與 的關系 （當且僅當時等號成立）
知識點五、向量中的易錯點
（1）平面向量的數量積是一個實數，可正、可負、可為零，且．
（2）當時，由不能推出一定是零向量，這是因為任一與垂直的非零向量都有．
當時，且時，也不能推出一定有，當是與垂直的非零向量，是另一與垂直的非零向量時，有，但．
（3）數量積不滿足結合律，即，這是因為是一個與共線的向量，而是一個與共線的向量，而與不一定共線，所以不一定等于，即凡有數量積的結合律形式的選項，一般都是錯誤選項．
（4）非零向量夾角為銳角（或鈍角）．當且僅當且（或，且
【解題方法總結】
（1）在上的投影是一個數量，它可以為正，可以為負，也可以等于0．
（2）數量積的運算要注意時，，但時不能得到或，因為時，也有．
（3）根據平面向量數量積的性質：，，等，所以平面向量數量積可以用來解決有關長度、角度、垂直的問題．
（4）若、、是實數，則（）；但對于向量，就沒有這樣的性質，即若向量、、滿足（），則不一定有，即等式兩邊不能同時約去一個向量，但可以同時乘以一個向量．
（5）數量積運算不適合結合律，即，這是由于表示一個與共線的向量，表示一個與共線的向量，而與不一定共線，因此與不一定相等．
必考題型全歸納
題型一：平面向量的數量積運算
例1．（2024·吉林四平·高三四平市第一高級中學校考期末）已知向量，滿足，且與的夾角為，則（ ）
A．6 B．8 C．10 D．14
例2．（2024·全國·高三專題練習）已知，，向量在方向上投影向量是，則為（ ）
A．12 B．8 C．-8 D．2
例3．（2024·湖南長沙·周南中學校考二模）已知菱形ABCD的邊長為1，，G是菱形ABCD內一點，若，則（　 ）
A． B．1 C． D．2
變式1．（2024·云南昆明·高三昆明一中校考階段練習）已知單位向量，且，若，，則（ ）
A．1 B．12 C．或2 D．或1
變式2．（2024·廣東·校聯考模擬預測）將向量繞坐標原點順時針旋轉得到，則（ ）
A． B．
C． D．
變式3．（2024·全國·高三專題練習）正方形的邊長是2，是的中點，則（ ）
A． B．3 C． D．5
變式4．（2024·天津和平·高三耀華中學校考階段練習）如圖，在中，，，為上一點，且滿足，若，，則的值為（ ）.

A． B． C． D．
變式5．（2024·陜西西安·西北工業大學附屬中學校考模擬預測）已知向量，滿足同向共線，且，，則（ ）
A．3 B．15 C．或15 D．3或15
變式6．（2024·吉林長春·東北師大附中校考模擬預測）在矩形中，與相交于點，過點作于，則（ ）
A． B． C． D．
【解題方法總結】
（1）求平面向量的數量積是較為常規的題型，最重要的方法是緊扣數量積的定義找到解題思路．
（2）平面向量數量積的幾何意義及坐標表示，分別突出了它的幾何特征和代數特征，因而平面向量數量積是中學數學較多知識的交匯處，因此它的應用也就十分廣泛．
（3）平面向量的投影問題，是近幾年的高考熱點問題，應熟練掌握其公式：向量在向量方向上的投影為．
（4）向量運算與整式運算的同與異（無坐標的向量運算）
同：；；公式都可通用
異：整式：，僅僅表示數；向量：（為與的夾角）
，使用范圍廣泛，通常是求模或者夾角．
，通常是求最值的時候用．
題型二：平面向量的夾角
例4．（2024·河南駐馬店·統考二模）若單位向量，滿足，則向量，夾角的余弦值為____________．
例5．（2024·四川·校聯考模擬預測）若是夾角為的兩個單位向量，則與的夾角大小為________.
例6．（2024·重慶·高三重慶一中校考階段練習）已知向量和滿足：，，，則與的夾角為__________．
變式7．（2024·上海楊浦·復旦附中校考模擬預測）若向量與不共線也不垂直， 且， 則向量夾角________.
變式8．（2024·上海長寧·上海市延安中學校考三模）已知是同一個平面上的向量，若，且，則__________.
變式9．（2024·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學校考階段練習）已知向量，滿足，，，則向量與的夾角大小為___________.
變式10．（2024·四川·校聯考模擬預測）已知向量，，，則向量與的夾角為______．
變式11．（2024·湖南長沙·雅禮中學校考模擬預測）已知向量，，若非零向量與，的夾角均相等，則的坐標為___（寫出一個符合要求的答案即可）
【解題方法總結】
求夾角，用數量積，由得，進而求得向量的夾角．
題型三：平面向量的模長
例7．（2024·湖北·荊門市龍泉中學校聯考模擬預測）已知平面向量，，滿足，，且.若，則（ ）
A． B． C． D．
例8．（2024·陜西咸陽·武功縣普集高級中學校考模擬預測）已知，是非零向量，，，向量在向量方向上的投影為，則________.
例9．（2024·海南·高三校聯考期末）已知向量，滿足，，，則__________．
變式12．（2024·四川南充·閬中中學校考二模）已知為單位向量，且滿足，則______.
變式13．（2024·河南駐馬店·統考三模）已知平面向量滿足,且，則=_________________ ．
變式14．（2024·全國·高三專題練習）已知向量滿足，，則______．
變式15．（2024·河南鄭州·模擬預測）已知點O為坐標原點，，，點P在線段AB上，且，則點P的坐標為______．
變式16．（2024·廣西·高三校聯考階段練習）已知，，若，則______．
【解題方法總結】
求模長，用平方，．
題型四：平面向量的投影、投影向量
例10．（2024·上海寶山·高三上海交大附中校考期中）已知向量，，則在方向上的數量投影為______.
例11．（2024·上海虹口·華東師范大學第一附屬中學校考三模）已知若向量在向量方向上的數量投影為，則實數_______．
例12．（2024·全國·高三專題練習）已知向量，為單位向量，當向量、的夾角等于時，則向量在向量上的投影向量是________．
變式17．（2024·云南昆明·高三昆明一中校考階段練習）已知向量，向量，則向量在向量方向上的投影為_________.
變式18．（2024·新疆喀什·統考模擬預測）已知向量，滿足，，，則向量在向量方向上的投影為______.
變式19．（2024·全國·高三專題練習）已知非零向量 滿足，且向量在向量方向的投影向量是，則向量與的夾角是________.
變式20．（2024·全國·模擬預測）已知向量，則向量在向量上的投影向量為__________.
【解題方法總結】
設，是兩個非零向量，它們的夾角是與是方向相同的單位向量，，過的起點和終點，分別作所在直線的垂線，垂足分別為，得到，我們稱上述變換為向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量．記為．
題型五：平面向量的垂直問題
例13．（2024·四川巴中·南江中學校考模擬預測）已知向量，若，則___________.
例14．（2024·全國·高三專題練習）已知向量，，，其中，為單位向量，且，若______，則.
注：填上你認為正確的一種條件即可，不必考慮所有可能的情形.
例15．（2024·江西宜春·高三校聯考期末）設非零向量，的夾角為．若，且，則____________．
變式21．（2024·江西南昌·高三統考開學考試）已知兩單位向量的夾角為，若，且，則實數_________．
變式22．（2024·海南·校考模擬預測）已知為單位向量，向量在向量上的投影向量是，且，則實數的值為______．
變式23．（2024·全國·模擬預測）向量，且，則實數_________．
變式24．（2024·全國·高三專題練習）非零向量，，若，則______.
變式25．（2024·河南開封·校考模擬預測）已知向量，若，則________．
變式26．（2024·海南海口·海南華僑中學校考模擬預測）已知向量，不共線，，，寫出一個符合條件的向量的坐標：______.
變式27．（2024·河南開封·統考三模）已知向量，，若，則______.
【解題方法總結】
題型六：建立坐標系解決向量問題
例16．（2024·全國·高三專題練習）已知，，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
例17．（2024·安徽合肥·合肥市第七中學校考三模）以邊長為2的等邊三角形ABC每個頂點為圓心，以邊長為半徑，在另兩個頂點間作一段圓弧，三段圓弧圍成曲邊三角形，已知P為弧AC上的一點，且，則的值為（ ）

A． B．
C． D．
例18．（2024·黑龍江哈爾濱·哈師大附中校考模擬預測）下圖是北京2022年冬奧會會徽的圖案，奧運五環的大小和間距如圖所示．若圓半徑均為12，相鄰圓圓心水平路離為26，兩排圓圓心垂直距離為11．設五個圓的圓心分別為、、、、，則的值為（ ）

A． B． C． D．
變式28．（2024·陜西安康·陜西省安康中學校考模擬預測）如圖，在圓內接四邊形中，.若為的中點，則的值為（ ）
A．-3 B． C． D．3
變式29．（2024·安徽合肥·合肥市第八中學校考模擬預測）如圖，已知是面積為的等邊三角形，四邊形是面積為2的正方形，其各頂點均位于的內部及三邊上，且恰好可在內任意旋轉，則當時，（ ）

A． B． C． D．
變式30．（2024·河南安陽·統考三模）已知正方形的邊長為為正方形的中心，是的中點，則（ ）
A． B． C． D．1
【解題方法總結】
邊長為的等邊三角形 已知夾角的任意三角形 正方形 矩形
平行四邊形 直角梯形 等腰梯形 圓
建系必備（1）三角函數知識；（2）向量三點共線知識．
題型七：平面向量的實際應用
例19．（2024·江西宜春·高三校考階段練習）一質點受到同一平面上的三個力，，（單位：牛頓）的作用而處于平衡狀態，已知，成120°角，且，的大小都為6牛頓，則的大小為______牛頓.
例20．（2024·內蒙古赤峰·統考三模）如圖所示，把一個物體放在傾斜角為的斜面上，物體處于平衡狀態，且受到三個力的作用，即重力，垂直斜面向上的彈力，沿著斜面向上的摩擦力.已知：，則的大小為___________.
例21．（2024·全國·高三專題練習）如圖所示，一個物體被兩根輕質細繩拉住，且處于平衡狀態.已知兩條繩上的拉力分別是，，且，與水平夾角均為，，則物體的重力大小為___________.
變式31．（2024·全國·高三專題練習）兩同學合提一捆書，提起后書保持靜止，如圖所示，則與大小之比為___________．
變式32．（2024·浙江·高三專題練習）一條漁船距對岸，以的速度向垂直于對岸的方向劃去，到達對岸時，船的實際行程為，則河水的流速是________．
【解題方法總結】
用向量方法解決實際問題的步驟
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21世紀教育網(www.21cnjy.com)第36講 平面向量的數量積及運算
知識梳理
知識點一．平面向量的數量積
（1）平面向量數量積的定義
已知兩個非零向量與，我們把數量叫做與的數量積（或內積），記作，即=，規定：零向量與任一向量的數量積為0．　　　　　　　　　　　　
（2）平面向量數量積的幾何意義
①向量的投影：叫做向量在方向上的投影數量，當為銳角時，它是正數；當為鈍角時，它是負數；當為直角時，它是0．
②的幾何意義：數量積等于的長度與在方向上射影的乘積．
③設，是兩個非零向量，它們的夾角是與是方向相同的單位向量，，過的起點和終點，分別作所在直線的垂線，垂足分別為，得到，我們稱上述變換為向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量．記為．
知識點二．數量積的運算律
已知向量、、和實數，則：
①；
②；
③．
知識點三．數量積的性質
設、都是非零向量，是與方向相同的單位向量，是與的夾角，則
①．②．
③當與同向時，；當與反向時，．
特別地，或．
④．⑤．
知識點四．數量積的坐標運算
已知非零向量，，為向量、的夾角．
結論 幾何表示 坐標表示
模
數量積
夾角
的充要 條件
的充要 條件
與 的關系 （當且僅當時等號成立）
知識點五、向量中的易錯點
（1）平面向量的數量積是一個實數，可正、可負、可為零，且．
（2）當時，由不能推出一定是零向量，這是因為任一與垂直的非零向量都有．
當時，且時，也不能推出一定有，當是與垂直的非零向量，是另一與垂直的非零向量時，有，但．
（3）數量積不滿足結合律，即，這是因為是一個與共線的向量，而是一個與共線的向量，而與不一定共線，所以不一定等于，即凡有數量積的結合律形式的選項，一般都是錯誤選項．
（4）非零向量夾角為銳角（或鈍角）．當且僅當且（或，且
【解題方法總結】
（1）在上的投影是一個數量，它可以為正，可以為負，也可以等于0．
（2）數量積的運算要注意時，，但時不能得到或，因為時，也有．
（3）根據平面向量數量積的性質：，，等，所以平面向量數量積可以用來解決有關長度、角度、垂直的問題．
（4）若、、是實數，則（）；但對于向量，就沒有這樣的性質，即若向量、、滿足（），則不一定有，即等式兩邊不能同時約去一個向量，但可以同時乘以一個向量．
（5）數量積運算不適合結合律，即，這是由于表示一個與共線的向量，表示一個與共線的向量，而與不一定共線，因此與不一定相等．
必考題型全歸納
題型一：平面向量的數量積運算
例1．（2024·吉林四平·高三四平市第一高級中學校考期末）已知向量，滿足，且與的夾角為，則（ ）
A．6 B．8 C．10 D．14
【答案】B
【解析】`
由，且與的夾角為，
所以
.
故選：B.
例2．（2024·全國·高三專題練習）已知，，向量在方向上投影向量是，則為（ ）
A．12 B．8 C．-8 D．2
【答案】A
【解析】在方向上投影向量為，
，.
故選：A
例3．（2024·湖南長沙·周南中學校考二模）已知菱形ABCD的邊長為1，，G是菱形ABCD內一點，若，則（　 ）
A． B．1 C． D．2
【答案】A
【解析】在菱形ABCD，菱形ABCD的邊長為1，，
所以，
所以，則為等邊三角形，因為，
所以，設點M為BC的中點，則，所以，
所以G，A，M三點共線，所以AM為BC的中線，
所以，
同理可得點AB，AC的中線過點G，
所以點G為的重心，故，
在等邊中，M為BC的中點，則，
所以.
故選：A

變式1．（2024·云南昆明·高三昆明一中校考階段練習）已知單位向量，且，若，，則（ ）
A．1 B．12 C．或2 D．或1
【答案】D
【解析】由題意單位向量，且，可知與的夾角為，
因為，所以或，
故當時，；
當時，，
故選：D.
變式2．（2024·廣東·校聯考模擬預測）將向量繞坐標原點順時針旋轉得到，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因為，所以，
因為向量繞坐標原點順時針旋轉得到，
所以向量與向量的夾角為，且，
所以
.
故選：B
變式3．（2024·全國·高三專題練習）正方形的邊長是2，是的中點，則（ ）
A． B．3 C． D．5
【答案】B
【解析】方法一：以為基底向量，可知，
則，
所以；
方法二：如圖，以為坐標原點建立平面直角坐標系，
則，可得，
所以；
方法三：由題意可得：，
在中，由余弦定理可得，
所以.
故選：B.
變式4．（2024·天津和平·高三耀華中學校考階段練習）如圖，在中，，，為上一點，且滿足，若，，則的值為（ ）.

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵，，
即且，
∴，
又C、P、D共線，有，即，
即，而，
∴
∴=.
故選：C
變式5．（2024·陜西西安·西北工業大學附屬中學校考模擬預測）已知向量，滿足同向共線，且，，則（ ）
A．3 B．15 C．或15 D．3或15
【答案】D
【解析】因為向量，滿足同向共線，所以設，
又因為，，所以，
所以或，即或.
①當時，；
②當時，；
所以的值為3或15.
故選：D.
變式6．（2024·吉林長春·東北師大附中校考模擬預測）在矩形中，與相交于點，過點作于，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】建立如圖所示直角坐標系：

則，
設，則
且，
，解得，
，
在矩形中，為的中點，
所以，由，
所以，
，
故選：D.
【解題方法總結】
（1）求平面向量的數量積是較為常規的題型，最重要的方法是緊扣數量積的定義找到解題思路．
（2）平面向量數量積的幾何意義及坐標表示，分別突出了它的幾何特征和代數特征，因而平面向量數量積是中學數學較多知識的交匯處，因此它的應用也就十分廣泛．
（3）平面向量的投影問題，是近幾年的高考熱點問題，應熟練掌握其公式：向量在向量方向上的投影為．
（4）向量運算與整式運算的同與異（無坐標的向量運算）
同：；；公式都可通用
異：整式：，僅僅表示數；向量：（為與的夾角）
，使用范圍廣泛，通常是求模或者夾角．
，通常是求最值的時候用．
題型二：平面向量的夾角
例4．（2024·河南駐馬店·統考二模）若單位向量，滿足，則向量，夾角的余弦值為____________．
【答案】/
【解析】設向量，的夾角為，因為，所以．
又，所以，所以．
故答案為：
例5．（2024·四川·校聯考模擬預測）若是夾角為的兩個單位向量，則與的夾角大小為________.
【答案】/
【解析】是夾角為的兩個單位向量，則，
，
，
，，
，.
故答案為：
例6．（2024·重慶·高三重慶一中校考階段練習）已知向量和滿足：，，，則與的夾角為__________．
【答案】/
【解析】記向量和的夾角為，將平方得到：
或，
又因為，即．
故答案為：.
變式7．（2024·上海楊浦·復旦附中校考模擬預測）若向量與不共線也不垂直， 且， 則向量夾角________.
【答案】
【解析】由題意可得： ，
故： ，即向量 與的夾角為 .
故答案為：
變式8．（2024·上海長寧·上海市延安中學校考三模）已知是同一個平面上的向量，若，且，則__________.
【答案】
【解析】設，則，，
故，
，
則，，，故，
設，，則，
又，解得，故.
故答案為：.
變式9．（2024·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學校考階段練習）已知向量，滿足，，，則向量與的夾角大小為___________.
【答案】
【解析】由于，所以，
所以，
所以為銳角，所以.
故答案為：
變式10．（2024·四川·校聯考模擬預測）已知向量，，，則向量與的夾角為______．
【答案】
【解析】，則，則，又，則
故答案為：.
變式11．（2024·湖南長沙·雅禮中學校考模擬預測）已知向量，，若非零向量與，的夾角均相等，則的坐標為___（寫出一個符合要求的答案即可）
【答案】（1，1），答案不唯一，只需滿足橫縱坐標相等即可.
【解析】設，因為，，
所以，
，
因為與，的夾角均相等，所以，
所以，
化簡得，所以，
因為為非零向量，可取，此時.
故答案為：（1，1），答案不唯一，只需滿足橫縱坐標相等即可.
【解題方法總結】
求夾角，用數量積，由得，進而求得向量的夾角．
題型三：平面向量的模長
例7．（2024·湖北·荊門市龍泉中學校聯考模擬預測）已知平面向量，，滿足，，且.若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】令，則，可得，
所以.
故選：A
例8．（2024·陜西咸陽·武功縣普集高級中學校考模擬預測）已知，是非零向量，，，向量在向量方向上的投影為，則________.
【答案】2
【解析】∵，∴，∴，
∵向量在向量方向上的投影為，∴，
∴，
∴，
∴.
故答案為：2
例9．（2024·海南·高三校聯考期末）已知向量，滿足，，，則__________．
【答案】
【解析】因為，，，則，
所以，所以，解得：，
.
故答案為：.
變式12．（2024·四川南充·閬中中學校考二模）已知為單位向量，且滿足，則______.
【答案】
【解析】為單位向量，且滿足，所以，
即，解得，
所以.
故答案為：.
變式13．（2024·河南駐馬店·統考三模）已知平面向量滿足,且，則=_________________ ．
【答案】
【解析】由,得,
所以.
故答案為：
變式14．（2024·全國·高三專題練習）已知向量滿足，，則______．
【答案】
【解析】由，得，即 ①．
又由，得，
即，代入①，得，
整理，得，所以．
故答案為：
變式15．（2024·河南鄭州·模擬預測）已知點O為坐標原點，，，點P在線段AB上，且，則點P的坐標為______．
【答案】
【解析】由題知，，設，
，，，，
，，
，，則直線方程為，
設點坐標為，，
，，
求解可得，，，即點坐標為.
故答案為：
變式16．（2024·廣西·高三校聯考階段練習）已知，，若，則______．
【答案】
【解析】因為，且，
所以，解得，所以，
所以，
所以.
故答案為：
【解題方法總結】
求模長，用平方，．
題型四：平面向量的投影、投影向量
例10．（2024·上海寶山·高三上海交大附中校考期中）已知向量，，則在方向上的數量投影為______.
【答案】
【解析】因為向量，，
所以在方向上的數量投影為.
故答案為：.
例11．（2024·上海虹口·華東師范大學第一附屬中學校考三模）已知若向量在向量方向上的數量投影為，則實數_______．
【答案】3
【解析】由條件可知，向量在向量方向上的數量投影為，
解得：.
故答案為：3
例12．（2024·全國·高三專題練習）已知向量，為單位向量，當向量、的夾角等于時，則向量在向量上的投影向量是________．
【答案】
【解析】因為向量、的夾角等于，
所以向量在向量上的投影向量是，
故答案為：.
變式17．（2024·云南昆明·高三昆明一中校考階段練習）已知向量，向量，則向量在向量方向上的投影為_________.
【答案】
【解析】.
故答案為：
變式18．（2024·新疆喀什·統考模擬預測）已知向量，滿足，，，則向量在向量方向上的投影為______.
【答案】2
【解析】因為，所以，又，，
所以，所以，
所以向量在向量方向上的投影為.
故答案為：
變式19．（2024·全國·高三專題練習）已知非零向量 滿足，且向量在向量方向的投影向量是，則向量與的夾角是________.
【答案】
【解析】因為，所以，即①.
因為向量在向量方向的投影向量是，
所以.所以②，
將①代入②得，，又，所以.
故答案為：
變式20．（2024·全國·模擬預測）已知向量，則向量在向量上的投影向量為__________.
【答案】
【解析】設，因為
所以
所以
則向量在向量上的投影向量為：.
故答案為：.
【解題方法總結】
設，是兩個非零向量，它們的夾角是與是方向相同的單位向量，，過的起點和終點，分別作所在直線的垂線，垂足分別為，得到，我們稱上述變換為向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量．記為．
題型五：平面向量的垂直問題
例13．（2024·四川巴中·南江中學校考模擬預測）已知向量，若，則___________.
【答案】/
【解析】由題意可得，
因為，
則，解得.
故答案為：
例14．（2024·全國·高三專題練習）已知向量，，，其中，為單位向量，且，若______，則.
注：填上你認為正確的一種條件即可，不必考慮所有可能的情形.
【答案】1（答案不唯一）
【解析】因為是相互垂直的單位向量，不妨設
，即 ，
，即 ，即向量的端點在圓心為，半徑為 的圓周上，
故可以取 ，即；
故答案為：1.
例15．（2024·江西宜春·高三校聯考期末）設非零向量，的夾角為．若，且，則____________．
【答案】60°/
【解析】由題設，
所以，又，
所以.
故答案為：
變式21．（2024·江西南昌·高三統考開學考試）已知兩單位向量的夾角為，若，且，則實數_________．
【答案】/-0.8
【解析】因為單位向量的夾角為，所以；
因為，所以
，所以．
故答案為：.
變式22．（2024·海南·校考模擬預測）已知為單位向量，向量在向量上的投影向量是，且，則實數的值為______．
【答案】/
【解析】因為向量在上的投影向量為，所以，
又為單位向量，所以，
因為，所以，
所以，所以，
故，
故答案為：.
變式23．（2024·全國·模擬預測）向量，且，則實數_________．
【答案】
【解析】因為向量，所以，
又，
所以，得，
解得．
故答案為：.
變式24．（2024·全國·高三專題練習）非零向量，，若，則______.
【答案】/-0.5
【解析】因為，所以，
由題易知，，
所以.
故答案為：
變式25．（2024·河南開封·校考模擬預測）已知向量，若，則________．
【答案】
【解析】因為，，所以，
又，所以，解得.
故答案為：
變式26．（2024·海南海口·海南華僑中學校考模擬預測）已知向量，不共線，，，寫出一個符合條件的向量的坐標：______.
【答案】（答案不唯一）
【解析】由題意得，，則，設，
得，且，滿足條件的向量的坐標可以為（答案不唯一或者）.
故答案為：（答案不唯一）
變式27．（2024·河南開封·統考三模）已知向量，，若，則______.
【答案】13
【解析】∵，，，
又∵，
∴，解得.
故答案為：13
【解題方法總結】
題型六：建立坐標系解決向量問題
例16．（2024·全國·高三專題練習）已知，，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】設的夾角為，，，
，，，又，
不妨設，，
，所以，即，
，
由，
當時，即時，有最小值．
故選：B
例17．（2024·安徽合肥·合肥市第七中學校考三模）以邊長為2的等邊三角形ABC每個頂點為圓心，以邊長為半徑，在另兩個頂點間作一段圓弧，三段圓弧圍成曲邊三角形，已知P為弧AC上的一點，且，則的值為（ ）

A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】如圖所示，以B為坐標原點，直線BC為x軸，過點B且垂直于BC的直線為y軸，
建立平面直角坐標系，則，，
由，得，
所以，，
所以．

故選：C.
例18．（2024·黑龍江哈爾濱·哈師大附中校考模擬預測）下圖是北京2022年冬奧會會徽的圖案，奧運五環的大小和間距如圖所示．若圓半徑均為12，相鄰圓圓心水平路離為26，兩排圓圓心垂直距離為11．設五個圓的圓心分別為、、、、，則的值為（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】建立如圖所示的平面直角坐標系，做軸于點，所以，
由已知可得，，，
所以，，，
所以.
故選：B.

變式28．（2024·陜西安康·陜西省安康中學校考模擬預測）如圖，在圓內接四邊形中，.若為的中點，則的值為（ ）
A．-3 B． C． D．3
【答案】C
【解析】連接，由余弦定理知，所以.
由正弦定理得，所以為圓的直徑，
所以，所以，從而，
又，所以為等邊三角形，
以為原點，以所在直線為軸，所在直線為軸建立如圖所示的平面直角坐標系.
則，
所以.
故選：C.
變式29．（2024·安徽合肥·合肥市第八中學校考模擬預測）如圖，已知是面積為的等邊三角形，四邊形是面積為2的正方形，其各頂點均位于的內部及三邊上，且恰好可在內任意旋轉，則當時，（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因為是面積為的等邊三角形，記邊長為，所以，解得，記內切圓的半徑為，根據，
可得：，解得，因為正方形的面積為2，所以正方形邊長為，
記正方形外接圓半徑為，所以其外接圓直徑等于正方形的對角線2，即，
根據正方形的對稱性和等邊三角形的對稱性可知.正方形外接圓即為等邊三角形的內切圓，
因為正方形可在內任意旋轉，
可知正方形各個頂點均在該的內切圓上，
以的底邊為軸，以的垂直平分線為軸建立平面直角坐標系如圖所示：
故可知，
圓的方程為，
故設，
即，，，

故選:A.
變式30．（2024·河南安陽·統考三模）已知正方形的邊長為為正方形的中心，是的中點，則（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【解析】如圖，以為坐標原點，所在直線為軸，軸，建立平面直角坐標系，則，，，所以，，所以
故選：C.
【解題方法總結】
邊長為的等邊三角形 已知夾角的任意三角形 正方形 矩形
平行四邊形 直角梯形 等腰梯形 圓
建系必備（1）三角函數知識；（2）向量三點共線知識．
設，是兩個非零向量，它們的夾角是與是方向相同的單位向量，，過的起點和終點，分別作所在直線的垂線，垂足分別為，得到，我們稱上述變換為向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量．記為．
題型七：平面向量的實際應用
例19．（2024·江西宜春·高三校考階段練習）一質點受到同一平面上的三個力，，（單位：牛頓）的作用而處于平衡狀態，已知，成120°角，且，的大小都為6牛頓，則的大小為______牛頓.
【答案】6
【解析】設三個力，，分別對于的向量為：
則由題知
所以
所以
又
所以
所以的大小為：6
故答案為：6
例20．（2024·內蒙古赤峰·統考三模）如圖所示，把一個物體放在傾斜角為的斜面上，物體處于平衡狀態，且受到三個力的作用，即重力，垂直斜面向上的彈力，沿著斜面向上的摩擦力.已知：，則的大小為___________.
【答案】N
【解析】由題設，N，
故答案為：N.
例21．（2024·全國·高三專題練習）如圖所示，一個物體被兩根輕質細繩拉住，且處于平衡狀態.已知兩條繩上的拉力分別是，，且，與水平夾角均為，，則物體的重力大小為___________.
【答案】8
【解析】設，的合力為，則，
∵，的夾角為，
∴，
∴，
∵物體平衡狀態.∴物體的重力大小為=8.
故答案為：8.
變式31．（2024·全國·高三專題練習）兩同學合提一捆書，提起后書保持靜止，如圖所示，則與大小之比為___________．
【答案】
【解析】物體處于平衡狀態，所以水平方向的合力為0
所以，所以
故答案為：
變式32．（2024·浙江·高三專題練習）一條漁船距對岸，以的速度向垂直于對岸的方向劃去，到達對岸時，船的實際行程為，則河水的流速是________．
【答案】
【解析】如圖，用表示河水的流速，表示船的速度，
則為船的實際航行速度．
由圖知，，，則．
又，
所以．
即河水的流速是．
故答案為：.
【解題方法總結】
用向量方法解決實際問題的步驟
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