資源簡介

第35講 平面向量的概念與坐標運算
知識梳理
知識點一．向量的有關(guān)概念
（1）定義：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的長度（或模）．
（2）向量的模：向量的大小，也就是向量的長度，記作．　　　　　　　　　　　　　　　　　　
（3）特殊向量：
①零向量：長度為0的向量，其方向是任意的．
②單位向量：長度等于1個單位的向量．
③平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共線向量．規(guī)定：與任一向量平行．
④相等向量：長度相等且方向相同的向量．
⑤相反向量：長度相等且方向相反的向量．
知識點二．向量的線性運算和向量共線定理
（1）向量的線性運算
運算 定義 法則（或幾何意義） 運算律
加法 求兩個向量和的運算 三角形法則平行四邊形法則 ①交換律 ②結(jié)合律
減法 求與的相反向量的和的運算叫做與的差 三角形法則
數(shù)乘 求實數(shù)與向量的積的運算 （1） （2）當時，與的方向相同；當時，與的方向相同； 當時，
【注意】
（1）向量表達式中的零向量寫成，而不能寫成0．
（2）兩個向量共線要區(qū)別與兩條直線共線，兩個向量共線滿足的條件是：兩個向量所在直線平行或重合，而在直線中，兩條直線重合與平行是兩種不同的關(guān)系．
（3）要注意三角形法則和平行四邊形法則適用的條件，運用平行四邊形法則時兩個向量的起點必須重合，和向量與差向量分別是平行四邊形的兩條對角線所對應(yīng)的向量；運用三角形法則時兩個向量必須首尾相接，否則就要把向量進行平移，使之符合條件．
（4）向量加法和減法幾何運算應(yīng)該更廣泛、靈活如：，，．
知識點三．平面向量基本定理和性質(zhì)
1、共線向量基本定理
如果，則；反之，如果且，則一定存在唯一的實數(shù)，使．（口訣：數(shù)乘即得平行，平行必有數(shù)乘）．
2、平面向量基本定理
如果和是同一個平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于該平面內(nèi)的任一向量，都存在唯一的一對實數(shù)，使得，我們把不共線向量，叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底，記為，叫做向量關(guān)于基底的分解式．
注意：由平面向量基本定理可知：只要向量與不共線，平面內(nèi)的任一向量都可以分解成形如的形式，并且這樣的分解是唯一的．叫做，的一個線性組合．平面向量基本定理又叫平面向量分解定理，是平面向量正交分解的理論依據(jù)，也是向量的坐標表示的基礎(chǔ)．
推論1：若，則．
推論2：若，則．
3、線段定比分點的向量表達式
如圖所示，在中，若點是邊上的點，且（），則向量．在向量線性表示（運算）有關(guān)的問題中，若能熟練利用此結(jié)論，往往能有“化腐朽為神奇”之功效，建議熟練掌握．
4、三點共線定理
平面內(nèi)三點A，B，C共線的充要條件是：存在實數(shù)，使，其中，為平面內(nèi)一點．此定理在向量問題中經(jīng)常用到，應(yīng)熟練掌握．
A、B、C三點共線
存在唯一的實數(shù)，使得；
存在唯一的實數(shù)，使得；
存在唯一的實數(shù)，使得；
存在，使得．
5、中線向量定理
如圖所示，在中，若點D是邊BC的中點，則中線向量，反之亦正確．
知識點四．平面向量的坐標表示及坐標運算
（1）平面向量的坐標表示．
在平面直角坐標中，分別取與軸，軸正半軸方向相同的兩個單位向量作為基底，那么由平面向量基本定理可知，對于平面內(nèi)的一個向量，有且只有一對實數(shù)使，我們把有序?qū)崝?shù)對叫做向量的坐標，記作．
（2）向量的坐標表示和以坐標原點為起點的向量是一一對應(yīng)的，即有
向量向量點．
（3）設(shè)，，則，，即兩個向量的和與差的坐標分別等于這兩個向量相應(yīng)坐標的和與差．
若，為實數(shù)，則，即實數(shù)與向量的積的坐標，等于用該實數(shù)乘原來向量的相應(yīng)坐標．
（4）設(shè)，，則=，即一個向量的坐標等于該向量的有向線段的終點的坐標減去始點坐標．
知識點五．平面向量的直角坐標運算
①已知點，，則，
②已知，，則，，
，．
，
【解題方法總結(jié)】
（1）向量的三角形法則適用于任意兩個向量的加法，并且可以推廣到兩個以上的非零向量相加，稱為多邊形法則．一般地，首尾順次相接的多個向量的和等于從第一個向量起點指向最后一個向量終點的向量．
即．
（2），當且僅當至少有一個為時，向量不等式的等號成立．
（3）特別地：或當且僅當至少有一個為時或者兩向量共線時，向量不等式的等號成立．
（4）減法公式：，常用于向量式的化簡．
（5）、、三點共線，這是直線的向量式方程．
必考題型全歸納
題型一：平面向量的基本概念
例1．（2024·全國·高三專題練習(xí)）下列說法中正確的是（ ）
A．單位向量都相等
B．平行向量不一定是共線向量
C．對于任意向量，必有
D．若滿足且與同向，則
【答案】C
【解析】依題意，
對于A，單位向量模都相等，方向不一定相同，故錯誤；
對于B，平行向量就是共線向量，故錯誤；
對于C，若同向共線，，
若反向共線，，
若不共線，根據(jù)向量加法的三角形法則及
兩邊之和大于第三邊知.
綜上可知對于任意向量，必有，故正確；
對于D，兩個向量不能比較大小，故錯誤.
故選：C.
例2．（2024·全國·高三專題練習(xí)）給出如下命題：
①向量的長度與向量的長度相等；
②向量與平行，則與的方向相同或相反；
③兩個有共同起點而且相等的向量，其終點必相同；
④兩個公共終點的向量，一定是共線向量；
⑤向量與向量是共線向量，則點，，，必在同一條直線上．
其中正確的命題個數(shù)是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】對于①，向量與向量，長度相等，方向相反，故①正確；
對于②，向量與平行時，或為零向量時，不滿足條件，故②錯誤；
對于③，兩個有共同起點且相等的向量，其終點也相同，故③正確；
對于④，兩個有公共終點的向量，不一定是共線向量，故④錯誤；
對于⑤，向量與是共線向量，點，，，不一定在同一條直線上，故⑤錯誤．
綜上，正確的命題是①③．
故選：B．
例3．（2024·全國·高三專題練習(xí)）下列命題中正確的是（ ）
A．若，則 B．
C．與的方向相反 D．若，則
【答案】B
【解析】對于A選項，由于任意兩個向量不能比大小，故A錯；
對于B選項，，故B對；
對于C選項，與的方向相同，故C錯；
對于D選項，若，但、、的方向不確定，故D錯.
故選：B.
變式1．（2024·全國·高三專題練習(xí)）下列說法正確的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則不是共線向量
【答案】C
【解析】A. 因為向量不能比較大小，所以該選項錯誤；
B. 若，則不一定相等，有可能它們方向不同，但是模相等，所以該選項錯誤；
C. 若，則，所以該選項正確；
D. 若，則也有可能是共線向量，有可能方向相同模不相等，有可能方向相反，所以該選項錯誤.
故選：C
變式2．（2024·全國·高三對口高考）給出下列四個命題：
①若，則；
②若，則A，B，C，D是一個平行四邊形的四個頂點；
③若，則；
④若，，則；
其中正確的命題的個數(shù)為（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】D
【解析】①若，只能說明模相等，它們方向不一定相同或相反，錯；
②若，若且，即A，B，C，D是一個平行四邊形的四個頂點，若四點共線，不能構(gòu)成平行四邊形，錯；
③若，即、分別為相等向量，故，對；
④若，，當為零向量時不一定成立，錯.
故選：D
變式3．（2024·全國·高三對口高考）若，則，，（ ）
A．都是非零向量時也可能無法構(gòu)成一個三角形
B．一定不可能構(gòu)成三角形
C．都是非零向量時能構(gòu)成三角形
D．一定可構(gòu)成三角形
【答案】A
【解析】ACD選項，若非零向量共線時，也能滿足，但無法構(gòu)成一個三角形，A正確，CD錯誤；
B選項，當非零向量兩兩不共線時，可構(gòu)成三角形，B錯誤.
故選：A
【解題方法總結(jié)】
準確理解平面向量的基本概念是解決向量題目的關(guān)鍵．共線向量即為平行向量，非零向量平行具有傳遞性，兩個向量方向相同或相反就是共線向量，與向量長度無關(guān)，兩個向量方向相同且長度相等，就是相等向量．共線向量或相等向量均與向量起點無關(guān)．
題型二：平面向量的線性表示
例4．（2024·山東泰安·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在中，點為中點，點在上且.記，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如圖所示：

由，
所以，
又，
，
又因為為中點，
，
則，
故選：B.
例5．（2024·河北邯鄲·統(tǒng)考三模）已知等腰梯形滿足，與交于點，且，則下列結(jié)論錯誤的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
依題意，顯然，故有，
即，，則，故A正確；
又四邊形是等腰梯形，故，即，故B正確；
在中，，故C正確；
又，所以D錯誤；
故選：D.
例6．（2024·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知為所在平面內(nèi)一點，且滿足，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】如圖，
因為，所以是線段的四等分點，且,
所以,
故A,B錯誤；
由，可得，故C正確，D錯誤，
故選:C.
變式4．（2024·河北·高三學(xué)業(yè)考試）化簡所得的結(jié)果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】.
故選：C
變式5．（2024·貴州貴陽·校聯(lián)考模擬預(yù)測）在中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
由D為中點，根據(jù)向量的運算法則，
可得，
在中，.
故選:D．
變式6．（2024·貴州黔東南·高三校考階段練習(xí)）已知在平行四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是邊CD，BC的中點，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如圖所示，由中位線定理和平行四邊形的性質(zhì)得：
，
故選：D
變式7．（2024·山東濱州·校考模擬預(yù)測）如圖所示，點E為的邊AC的中點，F(xiàn)為線段BE上靠近點B的四等分點，則=（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
.
故選：C.
變式8．（2024·全國·高三專題練習(xí)）在平行四邊形中，對角線與交于點，若，則（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】B
【解析】在平行四邊形中，，所以．
故選：B．
變式9．（2024·河南·襄城高中校聯(lián)考三模）已知等腰梯形ABCD中，，，BC的中點為E，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】∵，
∴，
∴，
∴．
故選：B.
【解題方法總結(jié)】
（1）兩向量共線問題用向量的加法和減法運算轉(zhuǎn)化為需要選擇的目標向量即可，而此類問題又以“爪子型”為幾何背景命題居多，故熟練掌握“爪子型”公式更有利于快速解題．
（2）進行向量運算時，要盡可能轉(zhuǎn)化到平行四邊形或三角形中，選用從同一頂點出發(fā)的基本向量或首尾相接的向量，運用向量加、減法運算及數(shù)乘運算來求解．
（3）除了充分利用相等向量、相反向量和線段的比例關(guān)系外，有時還需要利用三角形中位線、相似三角形對應(yīng)邊成比例等平面幾何的性質(zhì)，把未知向量轉(zhuǎn)化為與已知向量有直接關(guān)系的向量來求解．
題型三：向量共線的運用
例7．（2024·廣東廣州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在中，是邊上一點，且是上一點，若，則實數(shù)的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由，得出，
由得
，
因為三點共線，所以，解得.
故選：D.
例8．（2024·湖南長沙·長沙市實驗中學(xué)校考三模）如圖，在中，M為線段的中點，G為線段上一點，，過點G的直線分別交直線，于P，Q兩點，，，則的最小值為（ ）．
A． B． C．3 D．9
【答案】B
【解析】因為M為線段的中點，所以，又因為，所以，
又，，所以，
又三點共線，所以，即，
所以，
當且僅當，即時取等號.
故選：B.
例9．（2024·山西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在中，D是BC邊中點，CP的延長線與AB交于AN，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】設(shè)，
則，
因為N，P，C三點共線，
所以，解得，
所以，所以.
故選：B.
變式10．（2024·全國·高三專題練習(xí)）如圖所示，已知點G是△ABC的重心，過點G作直線分別與AB，AC兩邊交于M，N兩點，設(shè)x＝，y＝，則的值為（ ）
A．3 B．4
C．5 D．6
【答案】A
【解析】由題意且，而x＝，y＝，
所以，
又G是△ABC的重心，故，
所以，可得，即.
故選：A
變式11．（2024·重慶沙坪壩·高三重慶一中校考階段練習(xí)）在中，為上一點，為線段上任一點（不含端點），若，則的最小值是（ ）
A．8 B．10 C．13 D．16
【答案】D
【解析】由題意，如下示意圖知：，且，又，
所以，故且，
故，
僅當，即時等號成立.
所以的最小值是16.
故選：D
變式12．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知向量、不共線，且，若與共線，則實數(shù)的值為（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【解析】因為與共線，則存在，使得，即，
因為向量、不共線，則，整理可得，即，
解得或.
故選：C.
變式13．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知直線上有三點，，，為外一點，又等差數(shù)列的前項和為，若，則（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】A
【解析】點、、是直線上不同的三點，
存在非零實數(shù)，使；
若，
，；
；
數(shù)列是等差數(shù)列，
；
．
故選：A．
變式14．（2024·全國·高三對口高考）設(shè)兩個非零向量與不共線．
(1)若，，求證三點共線．
(2)試確定實數(shù)，使和共線．
【解析】（1）因為，，，
所以
所以，共線，
又因為它們有公共點，
所以三點共線；
（2）因為和共線，
所以存在實數(shù)，使，
所以，
即 .
又，是兩個不共線的非零向量，
所以
所以，
所以或.
變式15．（2024·全國·高三對口高考）如圖所示，在△ABC中，D，F(xiàn)分別是BC，AC的中點，.
(1)用表示；
(2)求證：B，E，F(xiàn)三點共線．
【解析】（1）在△ABC中，D，F(xiàn)分別是BC，AC的中點，
則，
故，
，
，
；
（2）證明：因為，，
所以，
所以，
又因有公共點，
所以B，E，F(xiàn)三點共線．
【解題方法總結(jié)】
要證明A，B，C三點共線，只需證明與共線，即證=（）．若已知A，B，C三點共線，則必有與共線，從而存在實數(shù)，使得=．
題型四：平面向量基本定理及應(yīng)用
例10．（2024·上海·高三專題練習(xí)）設(shè)是兩個不平行的向量，則下列四組向量中，不能組成平面向量的一個基底的是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
【答案】C
【解析】依題意，不共線，
A選項，不存在使，
所以和可以組成基底.
B選項，不存在使，
所以和可以組成基底.
C選項，，
所以和不能構(gòu)成基底.
D選項，不存在使，
所以和可以組成基底.
故選：C
例11．（2024·四川成都·四川省成都市玉林中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知向量是平面內(nèi)所有向量的一組基底，則下面的四組向量中，不能作為基底的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】對于A，假設(shè)共線，則存在，使得，
因為不共線，所以沒有任何一個能使該等式成立，
即假設(shè)不成立，也即不共線，則能作為基底；
對于B，假設(shè)共線，則存在，使得，
即無解，所以沒有任何一個能使該等式成立，
即假設(shè)不成立，也即不共線，則能作為基底；
對于C，因為，所以兩向量共線，
不能作為一組基底，C錯誤；
對于D，假設(shè)共線，則存在，
使得，
即無解，所以沒有任何一個能使該等式成立，
即假設(shè)不成立，也即不共線，則能作為基底，
故選:C.
例12．（2024·河北滄州·校考模擬預(yù)測）在中，點為與的交點，，則（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】B
【解析】因為，所以為中點，
三點共線，故可設(shè)，即，
整理得，
因為，所以，即，
三點共線，
可得，
所以，解得，
可得，則，.
故選：B
變式16．（2024·全國·模擬預(yù)測）如圖，在中，，，其中，，若AM與BN相交于點Q，且，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由題意得，
因為Q，M，A三點共線，由三點共線可得向量的線性表示中的系數(shù)之和為1，
所以，
化簡整理得．
故選：C．
變式17．（2024·廣東汕頭·統(tǒng)考三模）如圖，點D、E分別AC、BC的中點，設(shè)，，F(xiàn)是DE的中點，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因為點D、E分別AC、BC的中點，F(xiàn)是DE的中點，
所以 .
即.
故選：C.
變式18．（2024·山西大同·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在△ABC中，D為BC中點，M為AD中點，，則（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【解析】
因為是的中點，所以，.
又因為是的中點，
所以，，
又，所以，，所以．
故選：A．
變式19．（2024·廣東·統(tǒng)考模擬預(yù)測）古希臘數(shù)學(xué)家帕波斯在其著作《數(shù)學(xué)匯編》的第五卷序言中，提到了蜂巢，稱蜜蜂將它們的蜂巢結(jié)構(gòu)設(shè)計為相同并且拼接在一起的正六棱柱結(jié)構(gòu)，從而儲存更多的蜂蜜，提升了空間利用率，體現(xiàn)了動物的智慧，得到世人的認可.已知蜂巢結(jié)構(gòu)的平面圖形如圖所示，則（ ）

A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】以D為坐標原點，建立如圖所示的平面直角坐標系.

不妨設(shè)，則，，，，，
故，，.
設(shè)，則，
解得，
所以.
故選：B.
變式20．（2024·吉林長春·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在平行四邊形中，M，N分別為，上的點，且，，連接，交于P點，若，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】在中，取為平面的基底，
由，得，
由，得，
由，知，
由，得，
因此，則，解得，
所以.
故選：C
變式21．（2024·湖北黃岡·浠水縣第一中學(xué)校考模擬預(yù)測）如圖，在四邊形中，，，點在線段上，且，設(shè)，，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】在梯形中，，且，則，
因為在線段上，且，則，
，
所以，.
故選：D.
變式22．（2024·安徽·校聯(lián)考二模）如圖，在中，點D為線段BC的中點，點E，F(xiàn)分別是線段AD上靠近D，A的三等分點，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，則①；
，則②；
①②兩式相加，，即，
故選：C.
變式23．（2024·全國·模擬預(yù)測）如圖，平行四邊形中，與相交于點，，若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因為平行四邊形中，與相交于點，可得為的中點，
由，可得為的中點，所以，
可得，
又由，所以，所以.
故選：B．
【解題方法總結(jié)】
應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加法、減法或數(shù)乘運算，基本方法有兩種：
（1）運用向量的線性運算法則對待求向量不斷進行化簡，直至用基底表示為止．
（2）將向量用含參數(shù)的基底表示，然后列方程或方程組，利用基底表示向量的唯一性求解．
（3）三點共線定理：A，B，P三點共線的充要條件是：存在實數(shù)，使，其中，O為AB外一點．
題型五：平面向量的直角坐標運算
例13．（2024·全國·高三對口高考）為平行四邊形的對角線，，則____．
【答案】
【解析】

如圖在平行四邊形中，
，
在中，，
所以，
故答案為：.
例14．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知向量，，，且，則_____.
【答案】
【解析】，
由可知 解得故．
故答案為：
例15．（2024·四川綿陽·模擬預(yù)測）已知，，且，則點M的坐標為______.
【答案】
【解析】由題意得，所以.
設(shè)，則，
所以，解得 ，
故點M的坐標為.
故答案為：
變式24．（2024·全國·高三專題練習(xí)）如圖，已知平面內(nèi)有三個向量，，，其中與和的夾角分別為和，且，，若，則________．
【答案】8
【解析】如圖所示，過點作向量的平行線與它們的延長線分別交于兩點，
所以四邊形平行四邊形，則，
因為向量與和的夾角分別為和，
即,則,
在直角中，，，所以，
在直角中，，，所以，
又由，可得，
又因為，所以，
所以．
故答案為：8．
變式25．（2024·河南·鄭州一中校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知向量，，且，則實數(shù)______．
【答案】±1
【解析】由題意，得，所以，解得．
故答案為：±1.
變式26．（2024·全國·高三對口高考）已知向量．若實數(shù)k與向量滿足，則可以是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】設(shè)，
因為向量，
所以，
又，
所以，
時不成立，所以，
所以，
選項A，不滿足，
選項B，不滿足，
選項C，不滿足，
選項D，滿足，
故選：D.
變式27．（2024·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在正六邊形ABCDEF中，直線ED上的點M滿足，則（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【解析】在正六邊形ABCDEF中，以A為原點，
分別以所在直線為軸建立平面直角坐標系，
不妨令，則，
,
由，可得，解之得
故選：B
變式28．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·校聯(lián)考三模）如圖，在四邊形ABCD中，，，，，，，則（ ）

A． B．2 C．3 D．6
【答案】A
【解析】以A為坐標原點，以為x軸，過點A作的垂線為y軸，建立平面直角坐標系，

則,
故,
則由可得，
即，
故，
故選：A
變式29．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知為坐標原點，，若、，則與共線的單位向量為（ ）
A． B．或
C．或 D．
【答案】C
【解析】由得，即，，
，
，
，
與同向的單位向量為，反向的單位向量為．
故選：C．
【解題方法總結(jié)】
（1）向量的坐標運算主要是利用向量加、減、數(shù)乘運算法則進行，若已知有向線段兩端點的坐標，則應(yīng)先求向量的坐標．
（2）解題過程中，常利用向量相等則其坐標相同這一原則，通過列方程（組）來進行求解．
題型六：向量共線的坐標表示
例16．（2024·黑龍江哈爾濱·哈爾濱三中校考模擬預(yù)測）在平面直角坐標系中，向量，，，若A，B，C三點共線，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因為A，B，C三點共線，
則，，
即，
則，解得.
故選：C
例17．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知，且三點共線，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由，得,
因為三點共線，所以，即，解得.
所以.
故選：A.
例18．（2024·甘肅定西·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知向量，，若向量，且與的夾角為鈍角，寫出一個滿足條件的的坐標為______.
【答案】（答案不唯一）
【解析】設(shè)，
因為向量，且與的夾角為鈍角，
所以，所以，
不妨令，則，故，
故答案為：（答案不唯一）.
變式30．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知向量，，向量，，若，則實數(shù)______.
【答案】
【解析】根據(jù)題意可知，不共線
若，則，使得，即
則可得，解得
故答案為：．
變式31．（2024·北京·北京四中校考模擬預(yù)測）已知向量，若，則實數(shù)______.
【答案】
【解析】因為向量且，
所以,解得，
故答案為：
變式32．（2024·上海普陀·上海市宜川中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知，，若與互相平行，則實數(shù)的值是__________．
【答案】
【解析】因為，
所以，解得，
故答案為：．
變式33．（2024·全國·高三對口高考）已知向量．若與共線，則實數(shù)__________．
【答案】
【解析】由題意知向量，
故，
由于與共線，故，
故答案為：
變式34．（2024·重慶沙坪壩·重慶南開中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知，若與平行，則實數(shù)______________．
【答案】/
【解析】因為，
所以，，
因為與平行，所以，得.
故答案為：.
變式35．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知點 ，O為坐標原點，則AC與OB的交點P的坐標為________.
【答案】(3,3)
【解析】法一:由O，P，B三點共線，可設(shè),
則,
又，
由共線，得，
解得 ，所以,
所以點P的坐標為(3,3),
故答案為：
法二:設(shè)點P(x,y)，則 ，因為，且 與共線，
所以 ，即x=y.
又 ， ，且共線，
所以 ，解得x=y=3，
所以點P的坐標為(3,3)，
故答案為：
【解題方法總結(jié)】
（1）兩平面向量共線的充要條件有兩種形式：①若，，則的充要條件是；②若，則．
（2）向量共線的坐標表示既可以判定兩向量平行，也可以由平行求參數(shù)．當兩向量的坐標均非零時，也可以利用坐標對應(yīng)成比例來求解
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21世紀教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)第35講 平面向量的概念與坐標運算
知識梳理
知識點一．向量的有關(guān)概念
（1）定義：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的長度（或模）．
（2）向量的模：向量的大小，也就是向量的長度，記作．　　　　　　　　　　　　　　　　　　
（3）特殊向量：
①零向量：長度為0的向量，其方向是任意的．
②單位向量：長度等于1個單位的向量．
③平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共線向量．規(guī)定：與任一向量平行．
④相等向量：長度相等且方向相同的向量．
⑤相反向量：長度相等且方向相反的向量．
知識點二．向量的線性運算和向量共線定理
（1）向量的線性運算
運算 定義 法則（或幾何意義） 運算律
加法 求兩個向量和的運算 三角形法則平行四邊形法則 ①交換律 ②結(jié)合律
減法 求與的相反向量的和的運算叫做與的差 三角形法則
數(shù)乘 求實數(shù)與向量的積的運算 （1） （2）當時，與的方向相同；當時，與的方向相同； 當時，
【注意】
（1）向量表達式中的零向量寫成，而不能寫成0．
（2）兩個向量共線要區(qū)別與兩條直線共線，兩個向量共線滿足的條件是：兩個向量所在直線平行或重合，而在直線中，兩條直線重合與平行是兩種不同的關(guān)系．
（3）要注意三角形法則和平行四邊形法則適用的條件，運用平行四邊形法則時兩個向量的起點必須重合，和向量與差向量分別是平行四邊形的兩條對角線所對應(yīng)的向量；運用三角形法則時兩個向量必須首尾相接，否則就要把向量進行平移，使之符合條件．
（4）向量加法和減法幾何運算應(yīng)該更廣泛、靈活如：，，．
知識點三．平面向量基本定理和性質(zhì)
1、共線向量基本定理
如果，則；反之，如果且，則一定存在唯一的實數(shù)，使．（口訣：數(shù)乘即得平行，平行必有數(shù)乘）．
2、平面向量基本定理
如果和是同一個平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于該平面內(nèi)的任一向量，都存在唯一的一對實數(shù)，使得，我們把不共線向量，叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底，記為，叫做向量關(guān)于基底的分解式．
注意：由平面向量基本定理可知：只要向量與不共線，平面內(nèi)的任一向量都可以分解成形如的形式，并且這樣的分解是唯一的．叫做，的一個線性組合．平面向量基本定理又叫平面向量分解定理，是平面向量正交分解的理論依據(jù)，也是向量的坐標表示的基礎(chǔ)．
推論1：若，則．
推論2：若，則．
3、線段定比分點的向量表達式
如圖所示，在中，若點是邊上的點，且（），則向量．在向量線性表示（運算）有關(guān)的問題中，若能熟練利用此結(jié)論，往往能有“化腐朽為神奇”之功效，建議熟練掌握．
4、三點共線定理
平面內(nèi)三點A，B，C共線的充要條件是：存在實數(shù)，使，其中，為平面內(nèi)一點．此定理在向量問題中經(jīng)常用到，應(yīng)熟練掌握．
A、B、C三點共線
存在唯一的實數(shù)，使得；
存在唯一的實數(shù)，使得；
存在唯一的實數(shù)，使得；
存在，使得．
5、中線向量定理
如圖所示，在中，若點D是邊BC的中點，則中線向量，反之亦正確．
知識點四．平面向量的坐標表示及坐標運算
（1）平面向量的坐標表示．
在平面直角坐標中，分別取與軸，軸正半軸方向相同的兩個單位向量作為基底，那么由平面向量基本定理可知，對于平面內(nèi)的一個向量，有且只有一對實數(shù)使，我們把有序?qū)崝?shù)對叫做向量的坐標，記作．
（2）向量的坐標表示和以坐標原點為起點的向量是一一對應(yīng)的，即有
向量向量點．
（3）設(shè)，，則，，即兩個向量的和與差的坐標分別等于這兩個向量相應(yīng)坐標的和與差．
若，為實數(shù)，則，即實數(shù)與向量的積的坐標，等于用該實數(shù)乘原來向量的相應(yīng)坐標．
（4）設(shè)，，則=，即一個向量的坐標等于該向量的有向線段的終點的坐標減去始點坐標．
知識點五．平面向量的直角坐標運算
①已知點，，則，
②已知，，則，，
，．
，
【解題方法總結(jié)】
（1）向量的三角形法則適用于任意兩個向量的加法，并且可以推廣到兩個以上的非零向量相加，稱為多邊形法則．一般地，首尾順次相接的多個向量的和等于從第一個向量起點指向最后一個向量終點的向量．
即．
（2），當且僅當至少有一個為時，向量不等式的等號成立．
（3）特別地：或當且僅當至少有一個為時或者兩向量共線時，向量不等式的等號成立．
（4）減法公式：，常用于向量式的化簡．
（5）、、三點共線，這是直線的向量式方程．
必考題型全歸納
題型一：平面向量的基本概念
例1．（2024·全國·高三專題練習(xí)）下列說法中正確的是（ ）
A．單位向量都相等
B．平行向量不一定是共線向量
C．對于任意向量，必有
D．若滿足且與同向，則
例2．（2024·全國·高三專題練習(xí)）給出如下命題：
①向量的長度與向量的長度相等；
②向量與平行，則與的方向相同或相反；
③兩個有共同起點而且相等的向量，其終點必相同；
④兩個公共終點的向量，一定是共線向量；
⑤向量與向量是共線向量，則點，，，必在同一條直線上．
其中正確的命題個數(shù)是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
例3．（2024·全國·高三專題練習(xí)）下列命題中正確的是（ ）
A．若，則 B．
C．與的方向相反 D．若，則
變式1．（2024·全國·高三專題練習(xí)）下列說法正確的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則不是共線向量
變式2．（2024·全國·高三對口高考）給出下列四個命題：
①若，則；
②若，則A，B，C，D是一個平行四邊形的四個頂點；
③若，則；
④若，，則；
其中正確的命題的個數(shù)為（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
變式3．（2024·全國·高三對口高考）若，則，，（ ）
A．都是非零向量時也可能無法構(gòu)成一個三角形
B．一定不可能構(gòu)成三角形
C．都是非零向量時能構(gòu)成三角形
D．一定可構(gòu)成三角形
【解題方法總結(jié)】
準確理解平面向量的基本概念是解決向量題目的關(guān)鍵．共線向量即為平行向量，非零向量平行具有傳遞性，兩個向量方向相同或相反就是共線向量，與向量長度無關(guān)，兩個向量方向相同且長度相等，就是相等向量．共線向量或相等向量均與向量起點無關(guān)．
題型二：平面向量的線性表示
例4．（2024·山東泰安·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在中，點為中點，點在上且.記，則（ ）
A． B． C． D．
例5．（2024·河北邯鄲·統(tǒng)考三模）已知等腰梯形滿足，與交于點，且，則下列結(jié)論錯誤的是（ ）
A． B．
C． D．
例6．（2024·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知為所在平面內(nèi)一點，且滿足，則（ ）
A． B．
C． D．
變式4．（2024·河北·高三學(xué)業(yè)考試）化簡所得的結(jié)果是（ ）
A． B． C． D．
變式5．（2024·貴州貴陽·校聯(lián)考模擬預(yù)測）在中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點，則（ ）
A． B．
C． D．
變式6．（2024·貴州黔東南·高三校考階段練習(xí)）已知在平行四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是邊CD，BC的中點，則（ ）
A． B． C． D．
變式7．（2024·山東濱州·校考模擬預(yù)測）如圖所示，點E為的邊AC的中點，F(xiàn)為線段BE上靠近點B的四等分點，則=（ ）
A． B． C． D．
變式8．（2024·全國·高三專題練習(xí)）在平行四邊形中，對角線與交于點，若，則（ ）
A． B．2 C． D．
變式9．（2024·河南·襄城高中校聯(lián)考三模）已知等腰梯形ABCD中，，，BC的中點為E，則（ ）
A． B．
C． D．
【解題方法總結(jié)】
（1）兩向量共線問題用向量的加法和減法運算轉(zhuǎn)化為需要選擇的目標向量即可，而此類問題又以“爪子型”為幾何背景命題居多，故熟練掌握“爪子型”公式更有利于快速解題．
（2）進行向量運算時，要盡可能轉(zhuǎn)化到平行四邊形或三角形中，選用從同一頂點出發(fā)的基本向量或首尾相接的向量，運用向量加、減法運算及數(shù)乘運算來求解．
（3）除了充分利用相等向量、相反向量和線段的比例關(guān)系外，有時還需要利用三角形中位線、相似三角形對應(yīng)邊成比例等平面幾何的性質(zhì)，把未知向量轉(zhuǎn)化為與已知向量有直接關(guān)系的向量來求解．
題型三：向量共線的運用
例7．（2024·廣東廣州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在中，是邊上一點，且是上一點，若，則實數(shù)的值為（ ）
A． B． C． D．
例8．（2024·湖南長沙·長沙市實驗中學(xué)校考三模）如圖，在中，M為線段的中點，G為線段上一點，，過點G的直線分別交直線，于P，Q兩點，，，則的最小值為（ ）．
A． B． C．3 D．9
例9．（2024·山西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在中，D是BC邊中點，CP的延長線與AB交于AN，則（ ）
A． B． C． D．
變式10．（2024·全國·高三專題練習(xí)）如圖所示，已知點G是△ABC的重心，過點G作直線分別與AB，AC兩邊交于M，N兩點，設(shè)x＝，y＝，則的值為（ ）
A．3 B．4
C．5 D．6
變式11．（2024·重慶沙坪壩·高三重慶一中校考階段練習(xí)）在中，為上一點，為線段上任一點（不含端點），若，則的最小值是（ ）
A．8 B．10 C．13 D．16
變式12．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知向量、不共線，且，若與共線，則實數(shù)的值為（ ）
A． B． C．或 D．或
變式13．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知直線上有三點，，，為外一點，又等差數(shù)列的前項和為，若，則（ ）
A． B．3 C． D．
變式14．（2024·全國·高三對口高考）設(shè)兩個非零向量與不共線．
(1)若，，求證三點共線．
(2)試確定實數(shù)，使和共線．
變式15．（2024·全國·高三對口高考）如圖所示，在△ABC中，D，F(xiàn)分別是BC，AC的中點，.
(1)用表示；
(2)求證：B，E，F(xiàn)三點共線．
【解題方法總結(jié)】
要證明A，B，C三點共線，只需證明與共線，即證=（）．若已知A，B，C三點共線，則必有與共線，從而存在實數(shù)，使得=．
題型四：平面向量基本定理及應(yīng)用
例10．（2024·上海·高三專題練習(xí)）設(shè)是兩個不平行的向量，則下列四組向量中，不能組成平面向量的一個基底的是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
例11．（2024·四川成都·四川省成都市玉林中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知向量是平面內(nèi)所有向量的一組基底，則下面的四組向量中，不能作為基底的是（ ）
A． B．
C． D．
例12．（2024·河北滄州·校考模擬預(yù)測）在中，點為與的交點，，則（ ）
A．0 B． C． D．
變式16．（2024·全國·模擬預(yù)測）如圖，在中，，，其中，，若AM與BN相交于點Q，且，則（ ）
A． B． C． D．
變式17．（2024·廣東汕頭·統(tǒng)考三模）如圖，點D、E分別AC、BC的中點，設(shè)，，F(xiàn)是DE的中點，則（ ）
A． B． C． D．
變式18．（2024·山西大同·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在△ABC中，D為BC中點，M為AD中點，，則（ ）
A． B． C．1 D．
變式19．（2024·廣東·統(tǒng)考模擬預(yù)測）古希臘數(shù)學(xué)家帕波斯在其著作《數(shù)學(xué)匯編》的第五卷序言中，提到了蜂巢，稱蜜蜂將它們的蜂巢結(jié)構(gòu)設(shè)計為相同并且拼接在一起的正六棱柱結(jié)構(gòu)，從而儲存更多的蜂蜜，提升了空間利用率，體現(xiàn)了動物的智慧，得到世人的認可.已知蜂巢結(jié)構(gòu)的平面圖形如圖所示，則（ ）

A． B．
C． D．
變式20．（2024·吉林長春·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在平行四邊形中，M，N分別為，上的點，且，，連接，交于P點，若，，則（ ）
A． B． C． D．
變式21．（2024·湖北黃岡·浠水縣第一中學(xué)校考模擬預(yù)測）如圖，在四邊形中，，，點在線段上，且，設(shè)，，則（ ）
A． B．
C． D．
變式22．（2024·安徽·校聯(lián)考二模）如圖，在中，點D為線段BC的中點，點E，F(xiàn)分別是線段AD上靠近D，A的三等分點，則（ ）
A． B． C． D．
變式23．（2024·全國·模擬預(yù)測）如圖，平行四邊形中，與相交于點，，若，則（ ）
A． B． C． D．
【解題方法總結(jié)】
應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加法、減法或數(shù)乘運算，基本方法有兩種：
（1）運用向量的線性運算法則對待求向量不斷進行化簡，直至用基底表示為止．
（2）將向量用含參數(shù)的基底表示，然后列方程或方程組，利用基底表示向量的唯一性求解．
（3）三點共線定理：A，B，P三點共線的充要條件是：存在實數(shù)，使，其中，O為AB外一點．
題型五：平面向量的直角坐標運算
例13．（2024·全國·高三對口高考）為平行四邊形的對角線，，則____．
例14．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知向量，，，且，則_____.
例15．（2024·四川綿陽·模擬預(yù)測）已知，，且，則點M的坐標為______.
變式24．（2024·全國·高三專題練習(xí)）如圖，已知平面內(nèi)有三個向量，，，其中與和的夾角分別為和，且，，若，則________．
變式25．（2024·河南·鄭州一中校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知向量，，且，則實數(shù)______．
變式26．（2024·全國·高三對口高考）已知向量．若實數(shù)k與向量滿足，則可以是（ ）
A． B．
C． D．
變式27．（2024·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在正六邊形ABCDEF中，直線ED上的點M滿足，則（ ）
A．1 B． C． D．
變式28．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·校聯(lián)考三模）如圖，在四邊形ABCD中，，，，，，，則（ ）

A． B．2 C．3 D．6
變式29．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知為坐標原點，，若、，則與共線的單位向量為（ ）
A． B．或
C．或 D．
【解題方法總結(jié)】
（1）向量的坐標運算主要是利用向量加、減、數(shù)乘運算法則進行，若已知有向線段兩端點的坐標，則應(yīng)先求向量的坐標．
（2）解題過程中，常利用向量相等則其坐標相同這一原則，通過列方程（組）來進行求解．
題型六：向量共線的坐標表示
例16．（2024·黑龍江哈爾濱·哈爾濱三中校考模擬預(yù)測）在平面直角坐標系中，向量，，，若A，B，C三點共線，則的值為（ ）
A． B． C． D．
例17．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知，且三點共線，則（ ）
A． B． C． D．
例18．（2024·甘肅定西·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知向量，，若向量，且與的夾角為鈍角，寫出一個滿足條件的的坐標為______.
變式30．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知向量，，向量，，若，則實數(shù)______.
變式31．（2024·北京·北京四中校考模擬預(yù)測）已知向量，若，則實數(shù)______.
變式32．（2024·上海普陀·上海市宜川中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知，，若與互相平行，則實數(shù)的值是__________．
變式33．（2024·全國·高三對口高考）已知向量．若與共線，則實數(shù)__________．
變式34．（2024·重慶沙坪壩·重慶南開中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知，若與平行，則實數(shù)______________．
變式35．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知點 ，O為坐標原點，則AC與OB的交點P的坐標為________.
【解題方法總結(jié)】
（1）兩平面向量共線的充要條件有兩種形式：①若，，則的充要條件是；②若，則．
（2）向量共線的坐標表示既可以判定兩向量平行，也可以由平行求參數(shù)．當兩向量的坐標均非零時，也可以利用坐標對應(yīng)成比例來求解
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