資源簡介

第31講 的取值范圍與最值問題
知識梳理
1、在區(qū)間內(nèi)沒有零點
同理，在區(qū)間內(nèi)沒有零點
2、在區(qū)間內(nèi)有個零點
同理在區(qū)間內(nèi)有個零點
3、在區(qū)間內(nèi)有個零點
同理在區(qū)間內(nèi)有個零點
4、已知一條對稱軸和一個對稱中心，由于對稱軸和對稱中心的水平距離為，則．
5、已知單調(diào)區(qū)間，則.
必考題型全歸納
題型一：零點問題
例1．（2024·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)，若對于任意實數(shù)，函數(shù)在區(qū)間上至少有3個零點，至多有4個零點，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因為為任意實數(shù)，故函數(shù)的圖象可以任意平移，從而研究函數(shù)在區(qū)間上的零點問題，即研究函數(shù)在任意一個長度為的區(qū)間上的零點問題，
令，得，則它在軸右側(cè)靠近坐標原點處的零點分別為，，，，，，
則它們相鄰兩個零點之間的距離分別為，，，，，
故相鄰四個零點之間的最大距離為，相鄰五個零點之間的距離為，
所以要使函數(shù)在區(qū)間上至少有3個零點，至多有4個零點，則需相鄰四個零點之間的最大距離不大于，相鄰五個零點之間的距離大于，
即，解得.
故選：C
例2．（2024·全國·高一專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)，在區(qū)間上至少有2個不同的零點，至多有3個不同的零點，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】函數(shù)，在區(qū)間上至少有2個不同的零點，至多有3個不同的零點，即在區(qū)間上至少有2個不同的根，至多有3個不同的根，
，
如圖：
①當，則，得無解；
②當，則，求得；
③當時，則，求得；
④當時，區(qū)間長度超過了正弦函數(shù)的兩個最小正周期長度，故方程在區(qū)間上至少有4個根，不滿足題意；
綜上，可得或；
故選：D.
例3．（2024·河北·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）設(shè)函數(shù)，若對于任意實數(shù)，在區(qū)間上至少有2個零點，至多有3個零點，則的取值范圍是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】令，則
令，則
則問題轉(zhuǎn)化為在區(qū)間上至少有兩個，至少有三個t，使得，求的取值范圍.
作出和的圖像，觀察交點個數(shù)，
可知使得的最短區(qū)間長度為2π，最長長度為，
由題意列不等式的：
解得：.
故選：B
變式1．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的圖象是由（）的圖象向右平移個單位得到的，若在上僅有一個零點，則的取值范圍是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由題知，函數(shù)在上僅有一個零點，
所以，所以，
令，得，即.
若第一個正零點，則（矛盾），
因為函數(shù)在上僅有一個零點，
所以，解得.
故選：C.

變式2．（2024·全國·高三專題練習(xí)）記函數(shù)的最小正周期為.若，為的零點，則的最小值為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】C
【解析】因為的最小正周期為，且，
所以，
因為，所以，
所以，
因為為的零點，
所以，
所以，解得，
因為，所以的最小值為4，
故選：C
變式3．（2024·全國·模擬預(yù)測）若函數(shù)在上有3個零點，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】令，則
當時，，即，
當時，，矛盾，
所以，且，又，
所以，且，
所以．
所以，因為，
所以函數(shù)的正零點從小到大依次為：，，，，
因為函數(shù)在上有3個零點，
所以
所以．
故選：D．
題型二：單調(diào)問題
例4．（2024·四川成都·石室中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，且在上單調(diào)，則的取值集合為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】關(guān)于點對稱，所以，
所以①；
，而在上單調(diào)，
所以，②；
由①②得的取值集合為.
故選：C
例5．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，是函數(shù)的一個零點，是函數(shù)的一條對稱軸，若在區(qū)間上單調(diào)，則的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】設(shè)函數(shù)的最小正周期為，
因為是函數(shù)的一個零點，是函數(shù)的一條對稱軸，
則，其中，所以，，，
因為函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，則，所以，.
所以，的可能取值有：、、、、.
（i）當時，，，
所以，，則，
，，所以，，
當時，，所以，
函數(shù)在上不單調(diào)，不合乎題意；
（ii）當時，，，
所以，，則，
，，所以，，
當時，，所以，
函數(shù)在上單調(diào)遞減，合乎題意.
因此，的最大值為.
故選：A.
例6．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·校考模擬預(yù)測）若直線是曲線的一條對稱軸，且函數(shù)在區(qū)間[0，]上不單調(diào)，則的最小值為（ ）
A．9 B．7 C．11 D．3
【答案】C
【解析】因直線是曲線的一條對稱軸，則，即，
由得，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，
而函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，則，解得，
所以的最小值為11.
故選：C
變式4．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的一個對稱中心為，在區(qū)間上不單調(diào)，則的最小正整數(shù)值為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】由函數(shù)的一個對稱中心為，
可得，
所以，，
，，
，
由在區(qū)間上不單調(diào)，
所以在區(qū)間上有解，
所以，在區(qū)間上有解，
所以，
所以，，
又，所以，
所以，
當時，，
此時的最小正整數(shù)為.
故選：B
變式5．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)在上單調(diào)，且，則的可能取值（ ）
A．只有1個 B．只有2個
C．只有3個 D．有無數(shù)個
【答案】C
【解析】設(shè)的最小正周期為T，則由函數(shù)在上單調(diào)，可得，即．
因為，所以.
由在上單調(diào)，且，得的一個零點為，即為的一個對稱中心.
因為，所以為的一條對稱軸.
因為，所以有以下三種情況：
①，則；
②當時，則，符合題意；
③，則，符合題意．
因為，不可能滿足其他情況.
故的可能取值只有3個．
故選：C
題型三：最值問題
例7．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，且在區(qū)間上只取得一次最大值，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】依題意，函數(shù)，，
因為在區(qū)間上單調(diào)遞增，由，則，
于是且，解得且，即，
當時，，因為在區(qū)間上只取得一次最大值，
因此，解得，
所以的取值范圍是.
故選：B
例8．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，若，且在上有最大值，沒有最小值，則的最大值為______．
【答案】17
【解析】由，且在上有最大值，沒有最小值，可得， 所以.
由在上有最大值，沒有最小值，可得，解得，又，當時，，則的最大值為17，,
故答案為：17
例9．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)在處取得最大值，且，若函數(shù)在上是單調(diào)的，則的最大值為______．
【答案】/11.25
【解析】由題意，函數(shù)
滿足，，
可得，，
兩式相減得，其中，
解得，
又由，可得，
即，解得，
故m的最大值為8，
此時取得最大值．
故答案為：
變式6．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)在（0，2]上有最大值和最小值，且取得最大值和最小值的自變量的值都是唯一的，則的取值范圍是___________.
【答案】
【解析】易知時不滿足題意，
由Z，得Z，
當時，第2個正最值點，解得，
第3個正最值點，解得，故；
當時，第2個正最值點，解得，
第3個正最值點，解得，故.
綜上，的取值范圍是.
故答案為：
變式7．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的最大值為2，則使函數(shù)在區(qū)間上至少取得兩次最大值，則取值范圍是_______
【答案】/
【解析】，因為，，故，原式為，當取到最大值時，，當，取得前兩次最大值時，分別為0和1，時，，，此時需滿足，解得.
故答案為：
變式8．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)在上有最大值，無最小值，則的取值范圍是________．
【答案】
【解析】．
由題可知，，所以，
當時，，
因為函數(shù)在上有最大值，無最小值，
所以存在，使得
整理得，（）.
因為，所以，解得.
故答案為：.
題型四：極值問題
例10．（2024·全國·高三專題練習(xí)）記函數(shù)的最小正周期為T．若為的極小值點，則的最小值為__________．
【答案】14
【解析】 因為所以最小正周期，
又所以，即；
又為的極小值點，所以，解得，因為，所以當時；
故答案為：14
例11．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，，函數(shù)在上有且僅有一個極小值但沒有極大值，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵，∴．又，∴．
當時，函數(shù)取到最小值，此時，．解得，．
所以當時，.
故選：C．
例12．（2024·山西運城·高三統(tǒng)考期中）已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且僅有一個極小值，且方程在區(qū)間內(nèi)有3個不同的實數(shù)根，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因為，所以，若在區(qū)間內(nèi)有且僅有一個極小值，則.若方程在區(qū)間內(nèi)有3個不同的實數(shù)根，則，所以，由，解得.
所以的取值范圍是.
故選：C
變式9．（2024·全國·校聯(lián)考三模）已知函數(shù)，.若函數(shù)只有一個極大值和一個極小值，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】令，因為，所以則問題轉(zhuǎn)化為在上只有一個極大值和一個極小值，
因為函數(shù)只有一個極大值和一個極小值，則，即，又，所以，所以
則解得故
故選：C
變式10．（2024·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)在上有唯一的極大值，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】方法一：當時，，
因為函數(shù)在上有唯一的極大值，
所以函數(shù)在上有唯一極大值，
所以，，解得.
故選：C
方法二：令，，則，，
所以，函數(shù)在軸右側(cè)的第一個極大值點為，第二個極大值點為，
因為函數(shù)在上有唯一的極大值，
所以，解得.
故選：C
變式11．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且僅有一個極大值，且方程在區(qū)間內(nèi)有4個不同的實數(shù)根，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由題意，函數(shù)，
因為，所以，
若在區(qū)間內(nèi)有且僅有一個極大值，則，解得；若方程在區(qū)間內(nèi)有4個不同的實數(shù)根，
則，解得．
綜上可得，實數(shù)的取值范圍是．
故選：C.
題型五：對稱性
例13．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間[0，]上有且僅有3條對稱軸，則的取值范圍是（ ）
A．（，] B．（，] C．[，） D．[，）
【答案】C
【解析】，
令，，則，，
函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，]上有且僅有3條對稱軸，即有3個整數(shù)k符合，
，得，則，
即，∴.
故選：C.
例14．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·校考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，若在區(qū)間上有且僅有個零點和條對稱軸，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】函數(shù) ，
令，由，則，
又函數(shù)在區(qū)間上有且僅有個零點和條對稱軸，
即在區(qū)間上有且僅有個零點和條對稱軸，
作出的圖象如下，
所以，得．
故選：D．
例15．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間上有且僅有4條對稱軸，下列四個結(jié)論正確的是（ ）
A．在區(qū)間上有且僅有3個不同的零點
B．的最小正周期可能是
C．的取值范圍是
D．在區(qū)間上單調(diào)遞增
【答案】C
【解析】函數(shù)，
令，，得，，
函數(shù)在區(qū)間,上有且僅有4條對稱軸，即有4個整數(shù)滿足，
得，可得，1，2，3，
則，
，即的取值范圍是，故C正確；
，，由于得，，
當時，在區(qū)間上有且僅有4個不同的零點，故A錯誤；
周期，由，得，
，的最小正周期不可能是，故B錯誤；
，，
又，，
又，在區(qū)間上不一定單調(diào)遞增，故D錯誤．
故選：C
變式12．（2024·浙江衢州·高一統(tǒng)考期末）函數(shù)在區(qū)間上恰有兩條對稱軸，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，
令，，則，，
函數(shù)在區(qū)間[0，]上有且僅有2條對稱軸，即有2個整數(shù)k符合，
，得，則，
即，∴.
故選：D.
變式13．（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·高三呼市二中校考階段練習(xí)）已知函數(shù)在內(nèi)有且僅有三條對稱軸，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】時，函數(shù)，則，函數(shù)在內(nèi)有且僅有三條對稱軸，則：滿足，解得，即實數(shù)的取值范圍是.
題型六：性質(zhì)的綜合問題
例16．（2024·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)（，），已知，且對于任意的都有，若在上單調(diào)，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵ ，，
∴ ，，
又對于任意的都有，
∴ ，，
∴ ，又，
∴ 或，
當時， ，且，
當時，，
若，則，
∴在上不單調(diào)，C錯誤，
當時， ，且，
當時，，
若，則，
∴在上不單調(diào)，A錯誤，
當時，，
若，則，
∴在上單調(diào)，D正確，
故選：D.
例17．（2024·全國·高一專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)，已知在[有且僅有4個零點，下述四個結(jié)論：①在有且僅有2個零點；②在有且僅有2個零點；③的取值范圍是；④在單調(diào)遞增，其中正確個數(shù)是（ ）
A．0個 B．1個 C．2個 D．3個
【答案】D
【解析】由時，得到，根據(jù)在[有且僅有4個零點，則在第4個零點和第5個零點之間，然后利用余弦函數(shù)的性質(zhì)求解.當時，
，
因為在[有且僅有4個零點，
所以在第4個零點和第5個零點之間，
所以，
解得，故③正確；
當時，，又，
，結(jié)合知最多有3個零點，故①錯誤；
當時，，又，
，結(jié)合有且僅有2個零點，故②正確；
當時，，因為，所以，則，所以在單調(diào)遞增，故④正確；
故選：D
例18．（多選題）（2024·福建漳州·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)在上有且僅有條對稱軸；則（ ）
A．
B．可能是的最小正周期
C．函數(shù)在上單調(diào)遞增
D．函數(shù)在上可能有個或個零點
【答案】AD
【解析】；
對于A，當時，，
在上有且僅有條對稱軸，，解得：，
即，A正確；
對于B，若是的最小正周期，則，不能是的最小正周期，B錯誤；
對于C，當時，；
，，，
，當時，不是單調(diào)函數(shù)，C錯誤；
對于D，當時，，
，；
當時，在上有個零點；
當時，在上有個零點；
在上可能有個或個零點，D正確.
故選：AD.
變式14．（多選題）（2024·廣東汕頭·統(tǒng)考一模）知函數(shù)，則下述結(jié)論中正確的是（ ）
A．若在有且僅有個零點，則在有且僅有個極小值點
B．若在有且僅有個零點，則在上單調(diào)遞增
C．若在有且僅有個零點，則的范圍是
D．若的圖象關(guān)于對稱，且在單調(diào)，則的最大值為
【答案】ACD
【解析】令，由，可得出，
作出函數(shù)在區(qū)間上的圖象，如下圖所示：
對于A選項，若在有且僅有個零點，則在有且僅有個極小值點，A選項正確；
對于C選項，若在有且僅有個零點，則，解得，C選項正確；
對于B選項，若，則，
所以，函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，B選項錯誤；
對于D選項，若的圖象關(guān)于對稱，則，.
，，，.
當時，，當時，，
此時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，合乎題意，D選項正確.
故選：ACD.
變式15．（多選題）（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，則下述結(jié)論中錯誤的是（ ）
A．若f（x）在[0，2π]有且僅有4個零點，則f（x）在[0，2π]有且僅有2個極小值點
B．若f（x）在[0，2π]有且僅有4個零點，則f（x）在上單調(diào)遞增
C．若f（x）在[0，2π]有且僅有4個零點，則ω的范圍是
D．若f（x）圖象關(guān)于對稱，且在單調(diào)，則ω的最大值為11
【答案】BD
【解析】因為,因為 在有且僅有個零點，所以 ，所以.所以選項C正確；
此時，在有且僅有 個極小值點，故選項A正確；
因為，
因為，所以當時，所以 ，此時函數(shù)不是單調(diào)函數(shù)，所以選項B錯誤；
若的圖象關(guān)于對稱，則，.
，，，.
當時，，當時，，
此時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，故的最大值為9．故選項D錯誤.
故選：BD
變式16．（多選題）（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)在上有且僅有三個對稱軸，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．函數(shù)在上單調(diào)遞增.
B．不可能是函數(shù)的圖像的一個對稱中心
C．的范圍是
D．的最小正周期可能為
【答案】AB
【解析】的對稱軸方程為：
上有且僅有三個對稱軸，，.
A選項：，所以A正確；
B選項：若是f(x)的一個對稱中心，則：
，，，所以k不存在，B正確；
C選項:由上解得，所以C錯誤；
D選項：，所以D錯誤.
故選：AB.
變式17．（多選題）（2024·河北唐山·唐山市第十中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知函數(shù)的最小正周期，，且在處取得最大值.下列結(jié)論正確的有（ ）
A．
B．的最小值為
C．若函數(shù)在上存在零點，則的最小值為
D．函數(shù)在上一定存在零點
【答案】ACD
【解析】A選項，因在處取得最大值，則圖象關(guān)于對稱，則
，故A正確；
B選項，最小正周期，則，，
則或，又在處取得最大值，
則，則或，
其中，則的最小值為，故B錯誤；
C選項，由A選項分析結(jié)合，可知時，
可取，令，
則，其中.
當時，不存在相應(yīng)的，當時，，則存在滿足題意；
由A選項分析結(jié)合，可知時，
可取，令，
則，
當時，不存在相應(yīng)的，當時，，則存在滿足題意，
綜上可知的最小值為，故C正確；
D選項，由C分析可知，時，可取，
此時，，存在零點；
時，可取，
此時，，存在零點；
當時，，注意到，
則此時函數(shù)在上一定存在零點，
綜上在上一定存在零點，故D正確.
故選：ACD
變式18．（多選題）（2024·全國·高一專題練習(xí)）記函數(shù)的最小正周期為T，若，在區(qū)間恰有三個零點，則關(guān)于下列說法正確的是（ ）
A．在上有且僅有1個最大值點 B．在上有且僅有2個最小值點
C．在上單調(diào)遞增 D．的取值范圍為
【答案】AD
【解析】由題意函數(shù)的最小正周期為T，則，
由可得，即，
由于，故，
由在區(qū)間恰有三個零點，
而時，，
結(jié)合函數(shù)的圖象如圖示：
則在原點右側(cè)的零點依次為，
則，
即的取值范圍為，D正確；
由于時，，，
結(jié)合圖象可知，僅在時取得最大值，
故在有且僅有1個最大值點，A正確；
由A的分析可知，在時取得最小值，
由于，故可能取到，也可能取不到，
故在可能有1個最小值點，也可能有2個最小值點，B錯誤；
當時，，
由于，所以，
因為在上單調(diào)遞減，C錯誤；
故選：
變式19．（多選題）（2024·全國·高一專題練習(xí)）下列說法正確的是（ ）
A．函數(shù)在上單調(diào)遞增
B．函數(shù)的最大值是1
C．若函數(shù)，對任意，都有，并且在區(qū)間上不單調(diào)，則的最小值是4
D．若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)沒有零點，則的取值可以是
【答案】BC
【解析】對于A，由，得，所以，
又，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，故A錯誤；
對于B，，
當時，函數(shù)取得最大值，最大值為1，故B正確；
對于C，由知，函數(shù)的對稱軸為，
所以Z)，解得Z)，由知，
當時，，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，不符合題意；
當時，，，函數(shù)在上不單調(diào)，故的最小值為4，故C正確；
對于D，，
當時，，由，得，當時，為函數(shù)的零點，故D錯誤.
故選：BC.
變式20．（多選題）（2024·江西九江·高一德安縣第一中學(xué)校考期中）已知函數(shù)（其中，），，恒成立，且函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，那么下列說法正確的是（ ）
A．存在，使得是偶函數(shù) B．
C．是的整數(shù)倍 D．的最大值是6
【答案】BC
【解析】對于A,∵，成立，∴，
整理得，解得，
，
假設(shè)存在，使得是偶函數(shù)，則，
即，該式左側(cè)為偶數(shù)，不可能等于5，矛盾,故A錯誤；
對于B，因為，函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，
∴，故B正確；
對于C，∵，∴是的整數(shù)倍，故C正確；
對于D，∵函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，∴，即，
當時，由，整理得，
故無解，故D錯誤．
故選：BC
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21世紀教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)第31講 的取值范圍與最值問題
知識梳理
1、在區(qū)間內(nèi)沒有零點
同理，在區(qū)間內(nèi)沒有零點
2、在區(qū)間內(nèi)有個零點
同理在區(qū)間內(nèi)有個零點
3、在區(qū)間內(nèi)有個零點
同理在區(qū)間內(nèi)有個零點
4、已知一條對稱軸和一個對稱中心，由于對稱軸和對稱中心的水平距離為，則．
5、已知單調(diào)區(qū)間，則.
必考題型全歸納
題型一：零點問題
例1．（2024·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)，若對于任意實數(shù)，函數(shù)在區(qū)間上至少有3個零點，至多有4個零點，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
例2．（2024·全國·高一專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)，在區(qū)間上至少有2個不同的零點，至多有3個不同的零點，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
例3．（2024·河北·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）設(shè)函數(shù)，若對于任意實數(shù)，在區(qū)間上至少有2個零點，至多有3個零點，則的取值范圍是（　　）
A． B． C． D．
變式1．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的圖象是由（）的圖象向右平移個單位得到的，若在上僅有一個零點，則的取值范圍是（ ）．
A． B．
C． D．
變式2．（2024·全國·高三專題練習(xí)）記函數(shù)的最小正周期為.若，為的零點，則的最小值為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
變式3．（2024·全國·模擬預(yù)測）若函數(shù)在上有3個零點，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
題型二：單調(diào)問題
例4．（2024·四川成都·石室中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，且在上單調(diào)，則的取值集合為（ ）
A． B． C． D．
例5．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，是函數(shù)的一個零點，是函數(shù)的一條對稱軸，若在區(qū)間上單調(diào)，則的最大值是（ ）
A． B． C． D．
例6．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·校考模擬預(yù)測）若直線是曲線的一條對稱軸，且函數(shù)在區(qū)間[0，]上不單調(diào)，則的最小值為（ ）
A．9 B．7 C．11 D．3
變式4．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的一個對稱中心為，在區(qū)間上不單調(diào)，則的最小正整數(shù)值為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
變式5．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)在上單調(diào)，且，則的可能取值（ ）
A．只有1個 B．只有2個
C．只有3個 D．有無數(shù)個
題型三：最值問題
例7．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，且在區(qū)間上只取得一次最大值，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
例8．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，若，且在上有最大值，沒有最小值，則的最大值為______．
例9．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)在處取得最大值，且，若函數(shù)在上是單調(diào)的，則的最大值為______．
變式6．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)在（0，2]上有最大值和最小值，且取得最大值和最小值的自變量的值都是唯一的，則的取值范圍是___________.
變式7．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的最大值為2，則使函數(shù)在區(qū)間上至少取得兩次最大值，則取值范圍是_______
變式8．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)在上有最大值，無最小值，則的取值范圍是________．
題型四：極值問題
例10．（2024·全國·高三專題練習(xí)）記函數(shù)的最小正周期為T．若為的極小值點，則的最小值為__________．
例11．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，，函數(shù)在上有且僅有一個極小值但沒有極大值，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
例12．（2024·山西運城·高三統(tǒng)考期中）已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且僅有一個極小值，且方程在區(qū)間內(nèi)有3個不同的實數(shù)根，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
變式9．（2024·全國·校聯(lián)考三模）已知函數(shù)，.若函數(shù)只有一個極大值和一個極小值，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
變式10．（2024·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)在上有唯一的極大值，則（ ）
A． B． C． D．
變式11．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且僅有一個極大值，且方程在區(qū)間內(nèi)有4個不同的實數(shù)根，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
題型五：對稱性
例13．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間[0，]上有且僅有3條對稱軸，則的取值范圍是（ ）
A．（，] B．（，] C．[，） D．[，）
例14．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·校考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，若在區(qū)間上有且僅有個零點和條對稱軸，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
例15．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間上有且僅有4條對稱軸，下列四個結(jié)論正確的是（ ）
A．在區(qū)間上有且僅有3個不同的零點
B．的最小正周期可能是
C．的取值范圍是
D．在區(qū)間上單調(diào)遞增
變式12．（2024·浙江衢州·高一統(tǒng)考期末）函數(shù)在區(qū)間上恰有兩條對稱軸，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
變式13．（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·高三呼市二中校考階段練習(xí)）已知函數(shù)在內(nèi)有且僅有三條對稱軸，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
題型六：性質(zhì)的綜合問題
例16．（2024·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)（，），已知，且對于任意的都有，若在上單調(diào)，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
例17．（2024·全國·高一專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)，已知在[有且僅有4個零點，下述四個結(jié)論：①在有且僅有2個零點；②在有且僅有2個零點；③的取值范圍是；④在單調(diào)遞增，其中正確個數(shù)是（ ）
A．0個 B．1個 C．2個 D．3個
例18．（多選題）（2024·福建漳州·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)在上有且僅有條對稱軸；則（ ）
A．
B．可能是的最小正周期
C．函數(shù)在上單調(diào)遞增
D．函數(shù)在上可能有個或個零點
變式14．（多選題）（2024·廣東汕頭·統(tǒng)考一模）知函數(shù)，則下述結(jié)論中正確的是（ ）
A．若在有且僅有個零點，則在有且僅有個極小值點
B．若在有且僅有個零點，則在上單調(diào)遞增
C．若在有且僅有個零點，則的范圍是
D．若的圖象關(guān)于對稱，且在單調(diào)，則的最大值為
變式15．（多選題）（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，則下述結(jié)論中錯誤的是（ ）
A．若f（x）在[0，2π]有且僅有4個零點，則f（x）在[0，2π]有且僅有2個極小值點
B．若f（x）在[0，2π]有且僅有4個零點，則f（x）在上單調(diào)遞增
C．若f（x）在[0，2π]有且僅有4個零點，則ω的范圍是
D．若f（x）圖象關(guān)于對稱，且在單調(diào)，則ω的最大值為11
變式16．（多選題）（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)在上有且僅有三個對稱軸，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．函數(shù)在上單調(diào)遞增.
B．不可能是函數(shù)的圖像的一個對稱中心
C．的范圍是
D．的最小正周期可能為
變式17．（多選題）（2024·河北唐山·唐山市第十中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知函數(shù)的最小正周期，，且在處取得最大值.下列結(jié)論正確的有（ ）
A．
B．的最小值為
C．若函數(shù)在上存在零點，則的最小值為
D．函數(shù)在上一定存在零點
變式18．（多選題）（2024·全國·高一專題練習(xí)）記函數(shù)的最小正周期為T，若，在區(qū)間恰有三個零點，則關(guān)于下列說法正確的是（ ）
A．在上有且僅有1個最大值點 B．在上有且僅有2個最小值點
C．在上單調(diào)遞增 D．的取值范圍為
變式19．（多選題）（2024·全國·高一專題練習(xí)）下列說法正確的是（ ）
A．函數(shù)在上單調(diào)遞增
B．函數(shù)的最大值是1
C．若函數(shù)，對任意，都有，并且在區(qū)間上不單調(diào)，則的最小值是4
D．若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)沒有零點，則的取值可以是
變式20．（多選題）（2024·江西九江·高一德安縣第一中學(xué)校考期中）已知函數(shù)（其中，），，恒成立，且函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，那么下列說法正確的是（ ）
A．存在，使得是偶函數(shù) B．
C．是的整數(shù)倍 D．的最大值是6
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