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第33講 解三角形圖形問題
知識梳理
解決三角形圖形類問題的方法：
方法一：兩次應用余弦定理是一種典型的方法，充分利用了三角形的性質(zhì)和正余弦定理的性質(zhì)解題；
方法二：等面積法是一種常用的方法，很多數(shù)學問題利用等面積法使得問題轉(zhuǎn)化為更為簡單的問題，相似是三角形中的常用思路；
方法三：正弦定理和余弦定理相結(jié)合是解三角形問題的常用思路；
方法四：構(gòu)造輔助線作出相似三角形，結(jié)合余弦定理和相似三角形是一種確定邊長比例關(guān)系的不錯選擇；
方法五：平面向量是解決幾何問題的一種重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的運算法則可以將其與余弦定理充分結(jié)合到一起；
方法六：建立平面直角坐標系是解析幾何的思路，利用此方法數(shù)形結(jié)合充分挖掘幾何性質(zhì)使得問題更加直觀化.
必考題型全歸納
題型一：妙用兩次正弦定理
例1．（2024·全國·高三專題練習）如圖，四邊形中，，，設.
（1）若面積是面積的4倍，求；
（2）若，求.
例2．（2024·湖北黃岡·高一統(tǒng)考期末）如圖，四邊形中，，，設．
（1）若面積是面積的倍，求;
（2）若，求.
例3．（2024·全國·高三專題練習）在①，②，③這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并解答.
已知在四邊形ABCD中，，，且______.
(1)證明：；
(2)若，求四邊形ABCD的面積.
變式1．（2024·甘肅金昌·高一永昌縣第一高級中學校考期中）如圖，在平面四邊形ABCD中，.
(1)當時，求的面積.
(2)當時，求.
變式2．（2024·廣東廣州·高一統(tǒng)考期末）如圖，在平面四邊形中，．
(1)若，求的面積；
(2)若，求．
變式3．（2024·廣東·統(tǒng)考模擬預測）在平面四邊形中，，.
（1）若，，求的長；
（2）若，求的值.
變式4．（2024·江蘇徐州·高一統(tǒng)考期末）在①，②，③的面積
這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并完成解答.
在中，角、、的對邊分別為、、，已知______.
(1)求角；
(2)若點在邊上，且，，求.
注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分
變式5．（2024·廣東深圳·深圳市高級中學校考模擬預測）記的內(nèi)角、、的對邊分別為、、，已知.
(1)求；
(2)若點在邊上，且，，求.
變式6．（2024·廣東揭陽·高三校考階段練習）在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，且.
(1)求角；
(2)若是內(nèi)一點，，，，，求．
題型二：兩角使用余弦定理
例4．（2024·全國·高一專題練習）如圖，四邊形中，，．
(1)求；
(2)若，求．
例5．（2024·全國·高一專題練習）如圖，在梯形ABCD中，，．
(1)求證：；
(2)若，，求梯形ABCD的面積．
例6．（2024·河北·校聯(lián)考一模）在中，，，點D為的中點，連接并延長到點E，使.
(1)若，求的余弦值；
(2)若，求線段的長.
變式7．（2024·全國·模擬預測）在銳角中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，.
(1)求角；
(2)若點在上，，，求的值.
變式8．（2024·浙江舟山·高一舟山中學校考階段練習）如圖，在梯形中，，.
(1)求證：；
(2)若，，求的長度.
題型三：張角定理與等面積法
例7．（2024·全國·高三專題練習）已知△ABC中，分別為內(nèi)角的對邊，且.
(1)求角的大小；
(2)設點為上一點，是 的角平分線，且，，求 的面積.
例8．（2024·貴州黔東南·凱里一中校考三模）已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．
(1)求A的大小；
(2)設點D為BC上一點，AD是△ABC的角平分線，且，，求△ABC的面積．
例9．（2024·山東濰坊·統(tǒng)考模擬預測）在中，設角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，且．
（1）求；
（2）若D為上點，平分角A，且，，求．
變式9．（2024·安徽淮南·統(tǒng)考二模）如圖，在中，，，且點在線段上．
(1)若，求的長；
(2)若，，求的面積．
變式10．（2024·江西撫州·江西省臨川第二中學校考二模）如圖，在中，，，點在線段上.
（1）若，求的長；
（2）若，的面積為，求的值.
變式11．（2024·全國·高一專題練習）已知函數(shù)，其圖像上相鄰的最高點和最低點間的距離為．
(1)求函數(shù)的解析式；
(2)記的內(nèi)角的對邊分別為，，，．若角的平分線交于，求的長．
變式12．（2024·吉林通化·梅河口市第五中學校考模擬預測）已知銳角的內(nèi)角的對邊分別為，且．
(1)求；
(2)若，角的平分線交于點，，求的面積．
題型四：角平分線問題
例10．（2024·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第一二二中學校校考模擬預測）在中，已知，的平分線與邊交于點，的平分線與邊交于點，.
(1)若，求的面積；
(2)若，求.
例11．（2024·河北衡水·河北衡水中學校考模擬預測）銳角的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，，
(1)求的值及的面積；
(2)的平分線與BC交于D，，求a的值．
例12．（2024·山東泰安·統(tǒng)考模擬預測）在中，角A、B、C的對邊分別是a、b、c，且.
(1)求角C的大小；
(2)若的平分線交AB于點D，且，，求的面積.
變式13．（2024·河北唐山·唐山市第十中學校考模擬預測）如圖，在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，，角C的平分線交AB于點D，且，.

(1)求的大小；
(2)求.
變式14．（2024·廣東深圳·校考二模）記的內(nèi)角A B C的對邊分別為a b c，已知.
(1)證明：；
(2)若角B的平分線交AC于點D，且，，求的面積.
變式15．（2024·海南·校聯(lián)考模擬預測）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，點M在邊上，是角A的平分線，，．
(1)求A；
(2)若，求的長．
變式16．（2024·四川·校聯(lián)考模擬預測）在①；②這兩個條件中任選一個作為已知條件，補充在下面的橫線上，并給出解答．
注：若選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．
已知中，角的對邊分別為，點D為邊的中點，，且________．
(1)求a的值；
(2)若的平分線交于點E，求的周長．
題型五：中線問題
例13．（2024·浙江杭州·統(tǒng)考一模）已知中角 、、所對的邊分別為、、，且滿足，．
(1)求角A；
(2)若，邊上中線，求的面積．
例14．（2024·四川內(nèi)江·校考模擬預測）在△ABC中，D是邊BC上的點，，，AD平分∠BAC，△ABD的面積是△ACD的面積的兩倍．
(1)求△ACD的面積；
(2)求△ABC的邊BC上的中線AE的長．
例15．（2024·四川綿陽·統(tǒng)考二模）在中，角所對的邊分別為，，．
(1)求的值；
(2)若，求邊上中線的長．
變式17．（2024·廣東廣州·統(tǒng)考一模）在中，內(nèi)角的對邊分別為，.
(1)求；
(2)若的面積為，求邊上的中線的長.
變式18．（2024·安徽宣城·安徽省宣城中學校考模擬預測）中，已知.邊上的中線為.
(1)求；
(2)從以下三個條件中選擇兩個，使存在且唯一確定，并求和的長度.
條件①：；條件②；條件③.
變式19．（2024·遼寧沈陽·東北育才雙語學校校考一模）如圖，設中角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，AD為BC邊上的中線，已知且，．
(1)求b邊的長度；
(2)求的面積；
(3)設點E，F(xiàn)分別為邊AB，AC上的動點（含端點），線段EF交AD于G，且的面積為面積的，求的取值范圍．
變式20．（2024·廣東廣州·統(tǒng)考三模）在①；②這兩個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并作答.
問題：已知中，分別為角所對的邊，__________.
(1)求角的大小；
(2)已知，若邊上的兩條中線相交于點，求的余弦值.
注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.
題型六：高問題
例16．（2024·海南海口·海南華僑中學校考模擬預測）已知的內(nèi)角A，，的對邊分別為，，，，.
(1)若，證明：；
(2)若邊上的高為，求的周長.
例17．（2024·重慶·統(tǒng)考模擬預測）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，，．
(1)求；
(2)若，邊上的高線長，求．
例18．（2024·四川自貢·統(tǒng)考三模）的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若．
(1)求A；
(2)若BC上的高，求．
變式21．（2024·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考一模）已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．
(1)求A；
(2)若，且BC邊上的高為，求a．
變式22．（2024·遼寧撫順·統(tǒng)考模擬預測）已知中，點在邊上，滿足，且，的面積與面積的比為．
(1)求的值；
(2)若，求邊上的高的值．
題型七：重心性質(zhì)及其應用
例19．（2024·全國·高三專題練習）已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．
(1)求的最小值；
(2)若M為的重心，，求．
例20．（2024·河南開封·開封高中校考模擬預測）記的內(nèi)角的對邊分別為，已知為的重心．
(1)若，求的長；
(2)若，求的面積．
例21．（2024·廣西欽州·高三校考階段練習）在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且．
(1)求角的大小
(2)若，點是的重心，且，求內(nèi)切圓的半徑．
變式23．（2024·全國·高三專題練習）設a，b，c分別為的內(nèi)角A，B，C的對邊，AD為BC邊上的中線，c＝1，，．
(1)求AD的長度；
(2)若E為AB上靠近B的四等分點，G為的重心，連接EG并延長與AC交于點F，求AF的長度．
變式24．（2024·四川內(nèi)江·高三威遠中學校校考期中）的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為．
(1)求A的大小；
(2)M為內(nèi)一點，的延長線交于點D，___________，求的面積．
請在下面三個條件中選擇一個作為已知條件補充在橫線上，使存在，并解決問題．
①M為的重心，；
②M為的內(nèi)心，；
③M為的外心，．
變式25．（2024·全國·高三專題練習）在①；②這兩個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并加以解答．
在中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，已知______．
(1)求角A的大小；
(2)若為銳角三角形，且其面積為，點G為重心，點M為線段的中點，點N在線段上，且，線段與線段相交于點P，求的取值范圍．
注：如果選擇多個方案分別解答，按 第一個方案解答計分．
題型八：外心及外接圓問題
例22．（2024·湖南長沙·長沙市實驗中學校考二模）在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a，b，c是公差為2的等差數(shù)列.
(1)若，求的面積.
(2)是否存在正整數(shù)b，使得的外心在的外部 若存在，求b的取值集合；若不存在，請說明理由.
例23．（2024·全國·高三專題練習）在ABC中，三內(nèi)角A，B，C對應的邊分別為a，b，c，a＝6．
(1)求bcosC＋ccosB的值；
(2)若O是ABC的外心，且，求ABC外接圓的半徑．
例24．（2024·全國·高三專題練習）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c；，.
（1）求的值；
（2）若的外心在其外部，，求外接圓的面積.
變式26．（2024·高三統(tǒng)考階段練習）在中，角，，對應的三邊分別為，，，，，，為的外心，連接，，．
（1）求的面積；
（2）過作邊的垂線交于點，連接，試求的值．
題型九：兩邊夾問題
例25．（2024·全國·高三專題練習）在中，角所對的邊分別為，若，則的值是（ ）
A． B． C． D．
例26．（2024·河北唐山·高三校考階段練習）在中，、、分別是、、所對邊的邊長.若，則的值是（ ）.
A．1 B． C． D．2
例27．（2024·全國·高三專題練習）在中，已知邊所對的角分別為，若，則 _________________
變式27．（2024·江蘇蘇州·吳江中學模擬預測）在中，已知邊所對的角分別為，若，則_____．
變式28．（2024·湖南長沙·高二長沙一中校考開學考試）在中，已知邊、、所對的角分別為、、，若，，則的面積______.
變式29．（2024·全國·高三專題練習）在中，若，則角__．
變式30．（2024·全國·高三專題練習）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，設S是△ABC的面積，若﹣，則角A的值為_______．
題型十：內(nèi)心及內(nèi)切圓問題
例28．（2024·福建泉州·高三福建省泉州第一中學校考期中）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為，I為△ABC的內(nèi)心，延長線段AI交BC于點D，此時
(1)求；
(2)若∠ADB=，求.
例29．（2024·山西·高三校聯(lián)考階段練習）已知中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，,.
(1)求；
(2)若，M為的內(nèi)心，求的面積.
例30．（2024·廣東佛山·華南師大附中南海實驗高中校考模擬預測）在中，角，，所對的邊分別為，，．已知．
(1)求的值；
(2)若的內(nèi)切圓半徑為，，求．
變式31．（2024·遼寧鞍山·統(tǒng)考模擬預測）在中，角、、所對的邊分別為、、，已知.
(1)求；
(2)若，的內(nèi)切圓半徑為，求的周長.
變式32．（2024·全國·高三專題練習）已知在中，其角、、所對邊分別為、、，且滿足．
(1)若，求的外接圓半徑；
(2)若，且，求的內(nèi)切圓半徑
變式33．（2024·全國·高三專題練習）已知的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，，，內(nèi)切圓半徑，則________
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21世紀教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)第33講 解三角形圖形問題
知識梳理
解決三角形圖形類問題的方法：
方法一：兩次應用余弦定理是一種典型的方法，充分利用了三角形的性質(zhì)和正余弦定理的性質(zhì)解題；
方法二：等面積法是一種常用的方法，很多數(shù)學問題利用等面積法使得問題轉(zhuǎn)化為更為簡單的問題，相似是三角形中的常用思路；
方法三：正弦定理和余弦定理相結(jié)合是解三角形問題的常用思路；
方法四：構(gòu)造輔助線作出相似三角形，結(jié)合余弦定理和相似三角形是一種確定邊長比例關(guān)系的不錯選擇；
方法五：平面向量是解決幾何問題的一種重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的運算法則可以將其與余弦定理充分結(jié)合到一起；
方法六：建立平面直角坐標系是解析幾何的思路，利用此方法數(shù)形結(jié)合充分挖掘幾何性質(zhì)使得問題更加直觀化.
必考題型全歸納
題型一：妙用兩次正弦定理
例1．（2024·全國·高三專題練習）如圖，四邊形中，，，設.
（1）若面積是面積的4倍，求；
（2）若，求.
【解析】（1）設，則，，，由題意，
則，所以.
（2）由正弦定理，中，，即①
中，，即②
①÷②得：，化簡得
，所以.
例2．（2024·湖北黃岡·高一統(tǒng)考期末）如圖，四邊形中，，，設．
（1）若面積是面積的倍，求;
（2）若，求.
【解析】（1）設，
則，，，
由題意，
則，
所以.
（2）由正弦定理，在中，，
即①
在中，，
即②
②÷①得：，
，化簡得，
所以.
例3．（2024·全國·高三專題練習）在①，②，③這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并解答.
已知在四邊形ABCD中，，，且______.
(1)證明：；
(2)若，求四邊形ABCD的面積.
【解析】（1）方案一：選條件①.
在中，由正弦定理得，，
在中，由正弦定理得，，
因為，所以，
因為，所以，
因為，所以，
因為，所以.
因為，
，
所以，
即，
所以，
所以.
方案二：選條件②.
在中，由正弦定理得，，
在中，由正弦定理得，，
因為，所以，
因為，所以.
因為，所以.
因為，
，
，
所以，
即，
所以，
所以.
方案三：選條件③.
因為，，且，，
所以
在中，由正弦定理得，，
在中，由正弦定理得，，
因為，所以，
因為，所以，
因為，所以.
因為，
，
所以，
即，
所以，
所以.
（2）選擇①②③，答案均相同，
由（1）可設，則，
在中，由余弦定理得，
，
在中，由余弦定理得，
，
因為，
所以，解得或（舍去），
所以，
所以，
所以四邊形ABCD的面積.
變式1．（2024·甘肅金昌·高一永昌縣第一高級中學校考期中）如圖，在平面四邊形ABCD中，.
(1)當時，求的面積.
(2)當時，求.
【解析】（1）當時，在中，，
由余弦定理得，
即，解得，
所以，
因為，則，
又，
所以的面積是.
（2）在中，由正弦定理得，
即，
在中，由正弦定理得，即，
則，整理得，
因為，
所以，
因為，所以.
變式2．（2024·廣東廣州·高一統(tǒng)考期末）如圖，在平面四邊形中，．
(1)若，求的面積；
(2)若，求．
【解析】（1）因為，
由余弦定理得，即，
由余弦定理得，
所以，
所以的面積
（2）在中，由正弦定理得，即①，
在中，由正弦定理得，即②，
①②聯(lián)立可得，
因為，所以
變式3．（2024·廣東·統(tǒng)考模擬預測）在平面四邊形中，，.
（1）若，，求的長；
（2）若，求的值.
【解析】（1）在中，因為，所以，
在中，，
在中，由余弦定理得
，
所以.
（2）設，在中，，
因為，所以，
于是，
因為，
所以，，
在中，由正弦定理得，
所以，
于是，
即，
所以，
因為，所以.
變式4．（2024·江蘇徐州·高一統(tǒng)考期末）在①，②，③的面積
這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并完成解答.
在中，角、、的對邊分別為、、，已知______.
(1)求角；
(2)若點在邊上，且，，求.
注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分
【解析】（1）若選擇①：因為，結(jié)合余弦定理，
得，即，
由正弦定理可得，所以，
又，所以，所以，即，
又，所以；
若選擇②：因為，
結(jié)合正弦定理可得，
即，
，
即，
又，，故，即，
所以，即，
因為，，所以，得；
若選擇③：條件即，
又，，
所以，
即，所以，
又因為，則，所以，
又因為，所以.
（2）設，則.

因為，，故，
所以，
在中，由正弦定理可得，即，
在中，同理可得，，
因為，所以，即，
整理得，即.
變式5．（2024·廣東深圳·深圳市高級中學校考模擬預測）記的內(nèi)角、、的對邊分別為、、，已知.
(1)求；
(2)若點在邊上，且，，求.
【解析】（1）因為，
由余弦定理可得，
化簡可得，由余弦定理可得，
因為，所以，.
（2）因為，則為銳角，所以，，
因為，所以，，
所以，，
設，則，
在和中，由正弦定理得，，
因為，上面兩個等式相除可得，
得，即，
所以，.
變式6．（2024·廣東揭陽·高三校考階段練習）在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，且.
(1)求角；
(2)若是內(nèi)一點，，，，，求．
【解析】（1）因為，
所以由正弦定理得；
，，，則；
（2）
，，；
在中，由正弦定理得：；
在中，由正弦定理得：；
，
即，
題型二：兩角使用余弦定理
例4．（2024·全國·高一專題練習）如圖，四邊形中，，．
(1)求；
(2)若，求．
【解析】（1）中，設，則，解得
，；
（2）設，則
設，，
中，
中，
，，可得，化簡得，即
又，，即
，解得
例5．（2024·全國·高一專題練習）如圖，在梯形ABCD中，，．
(1)求證：；
(2)若，，求梯形ABCD的面積．
【解析】（1）連接BD．
因為，所以．
在中，由正弦定理得，①
在中，由正弦定理得，②
由，，結(jié)合①②可得．
（2）由（1）知，，
，又，所以，則．
連接BD，
在中，由余弦定理得
；
在中，由余弦定理得
，
所以，解得或．
當時，連接AC，在中，由余弦定理，得
，
所以，而此時，故不滿足題意，經(jīng)檢驗滿足題意，
此時梯形ABCD的高，
當時，梯形ABCD的面積；
所以梯形ABCD的面積為．
例6．（2024·河北·校聯(lián)考一模）在中，，，點D為的中點，連接并延長到點E，使.
(1)若，求的余弦值；
(2)若，求線段的長.
【解析】（1）因為，，所以，
因為，所以，
設，則，即，
解得，所以，
在中，由余弦定理知，.
（2）在中，由余弦定理知，，
所以，化簡得，解得，
因為是的中點，所以，
在中，由余弦定理知，，
所以，
因為，所以，
在中，由余弦定理知，
，
連接，在中，由余弦定理知，
，
所以.

變式7．（2024·全國·模擬預測）在銳角中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，.
(1)求角；
(2)若點在上，，，求的值.
【解析】（1）因為，
所以，解得或（舍去），
所以，即，
因為，所以.
（2）如圖，因為，，設，，

在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，
因為，所以，
即，所以，
所以，
因為，所以，
所以.
變式8．（2024·浙江舟山·高一舟山中學校考階段練習）如圖，在梯形中，，.
(1)求證：；
(2)若，，求的長度.
【解析】（1）證明：在中，由正弦定理得，
即，
因為，所以，所以，
在中，由正弦定理得，
即，所以.
又，所以，即.
（2）由（1）知.
在中，由余弦定理得
，故.
所以.
在中，由余弦定理得，
即，整理可得，解得或.
又因為為梯形，所以.
題型三：張角定理與等面積法
例7．（2024·全國·高三專題練習）已知△ABC中，分別為內(nèi)角的對邊，且.
(1)求角的大小；
(2)設點為上一點，是 的角平分線，且，，求 的面積.
【解析】（1）在△ABC中，由正弦定理及得：，..
由余弦定理得，
又，所以
（2） 是的角平分線，，
由可得
因為，，即有，，
故
例8．（2024·貴州黔東南·凱里一中校考三模）已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．
(1)求A的大小；
(2)設點D為BC上一點，AD是△ABC的角平分線，且，，求△ABC的面積．
【解析】（1）因為
所以根據(jù)正弦定理得：
即
由余弦定理得：
故
又
所以．
（2）因為AD是△ABC的角平分線，由，
得：，
所以
故．
例9．（2024·山東濰坊·統(tǒng)考模擬預測）在中，設角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，且．
（1）求；
（2）若D為上點，平分角A，且，，求．
【解析】（1）因為，
由正弦定理可得，整理得，
由余弦定理，可得，
又因為，可得．
（2）因為D為上點，平分角，則，
又由，
可得，
又因為，可得，解得，
因為，所以．
變式9．（2024·安徽淮南·統(tǒng)考二模）如圖，在中，，，且點在線段上．
(1)若，求的長；
(2)若，，求的面積．
【解析】（1）由，可得，
所以或（舍去），
所以，
因為，所以，
由正弦定理可得：，所以．
（2）由，得，所以，
因為，，所以，
由余弦定理得，
即，，
可得或（舍去），
所以，
所以．
變式10．（2024·江西撫州·江西省臨川第二中學校考二模）如圖，在中，，，點在線段上.
（1）若，求的長；
（2）若，的面積為，求的值.
【解析】（1）∵，
∴，
又∵，
∴.
在中，，
∴.
（2）∵，
∴，
，
又，
∴，
∵，
∴，
∵，
，
，
∴，
在中，
由余弦定理得.
∴，
∴.
變式11．（2024·全國·高一專題練習）已知函數(shù)，其圖像上相鄰的最高點和最低點間的距離為．
(1)求函數(shù)的解析式；
(2)記的內(nèi)角的對邊分別為，，，．若角的平分線交于，求的長．
【解析】（1）因為，
設函數(shù)的周期為，由題意，即，解得，
所以.
（2）由得：，即，解得，
因為，所以，
因為的平分線交于，
所以，即，可得，
由余弦定理得：，，而，
得，因此.
變式12．（2024·吉林通化·梅河口市第五中學校考模擬預測）已知銳角的內(nèi)角的對邊分別為，且．
(1)求；
(2)若，角的平分線交于點，，求的面積．
【解析】（1）因為，由正弦定理得，整理得，
又由余弦定理得．
因為，所以．
（2）如圖所示，因為，
所以．
又因為，所以．
由余弦定理得，
聯(lián)立方程組，可得，即，
解得或（舍去），
所以．
題型四：角平分線問題
例10．（2024·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第一二二中學校校考模擬預測）在中，已知，的平分線與邊交于點，的平分線與邊交于點，.
(1)若，求的面積；
(2)若，求.
【解析】（1）因為，所以，
則，
則.
設，則，
在中，由余弦定理得，
即，即，
又，所以，
所以的面積.
（2）因為，，
所以，，
因為，
所以
，
在中，由正弦定理得，即，所以.
例11．（2024·河北衡水·河北衡水中學校考模擬預測）銳角的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，，
(1)求的值及的面積；
(2)的平分線與BC交于D，，求a的值．
【解析】（1）根據(jù)題意，結(jié)合正弦定理邊角互化得，
即，因為B，，
所以，，
所以，因為在銳角中， ，所以．
所以，因為，
所以，解得，
所以的面積.
（2）因為的平分線與BC交于D，，所以，
即，所以，由于，
所以，所以，所以．
例12．（2024·山東泰安·統(tǒng)考模擬預測）在中，角A、B、C的對邊分別是a、b、c，且.
(1)求角C的大小；
(2)若的平分線交AB于點D，且，，求的面積.
【解析】（1）由已知可得，
,
整理得，，
因為，所以，
所以，
即，
因為，所以.
（2）由題意得，,即，所以.
法一：
在中，，
所以.在中，，
所以，
即，
將代入整理得，解得或.
若，則，，,，
所以在中，得,
同理可得,即和都為鈍角，不符合題意，排除.
所以，，
.
法二：
因為，
所以，所以.
因為，所以，
所以.
變式13．（2024·河北唐山·唐山市第十中學校考模擬預測）如圖，在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，，角C的平分線交AB于點D，且，.

(1)求的大小；
(2)求.
【解析】（1）由正弦定理得，
即，
因為，
所以，
因為，所以，即，
因為，所以，
所以.
（2）已知角C的平分線交AB于點D，且，.
在中，由正弦定理得,
在中，由正弦定理得,
因為，，所以，
所以.
設，由余弦定理得，
即，
解得，
因為，
所以,
解得.
變式14．（2024·廣東深圳·校考二模）記的內(nèi)角A B C的對邊分別為a b c，已知.
(1)證明：；
(2)若角B的平分線交AC于點D，且，，求的面積.
【解析】（1）由正弦定理得：
所以可化為,
因為,
，所以
所以，
所以，即，
所以；
（2）角B的平分線交AC于點D，且，,
由角平分線定理可得，,
,又，
由余弦定理得：，，
在中，由余弦定理得：，
所以.
所以.
變式15．（2024·海南·校聯(lián)考模擬預測）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，點M在邊上，是角A的平分線，，．
(1)求A；
(2)若，求的長．
【解析】（1）在中，由及正弦定理得，
又，所以，
又，
所以．
（2）已知是角A的平分線，,，
則，所以，
所以，
如圖，過M作交于點D，易知為正三角形，
所以，，．
在中，由余弦定理得，
．
變式16．（2024·四川·校聯(lián)考模擬預測）在①；②這兩個條件中任選一個作為已知條件，補充在下面的橫線上，并給出解答．
注：若選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．
已知中，角的對邊分別為，點D為邊的中點，，且________．
(1)求a的值；
(2)若的平分線交于點E，求的周長．
【解析】（1）若選①：由可得,
又,
故,
而，故，
又，所以；
設，則，

在中，由余弦定理得,
即，
在中，由余弦定理得,
即，和聯(lián)立解得，
則；
若選②：，設，則，
在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，
因為，所以，
即，解得，
故.
（2）由（1）可知，選①可得；選②可得，則，
故由，
可得，
解得，
故在中，，
即,
故的周長為.
題型五：中線問題
例13．（2024·浙江杭州·統(tǒng)考一模）已知中角 、、所對的邊分別為、、，且滿足，．
(1)求角A；
(2)若，邊上中線，求的面積．
【解析】（1） ，
所以由正弦定理得，
，
，即，
，，
，；
（2），
則， 即，
而，邊上中線，
故，解得，
．
例14．（2024·四川內(nèi)江·校考模擬預測）在△ABC中，D是邊BC上的點，，，AD平分∠BAC，△ABD的面積是△ACD的面積的兩倍．
(1)求△ACD的面積；
(2)求△ABC的邊BC上的中線AE的長．
【解析】（1）由已知及正弦定理可得：，
化簡得：．
又因為：
，所以， 所以，
所以△ACD的面積為．
（2）由（1）可知，因為AE是△ABC的邊BC上的中線，
所以，
所以，
所以△ABC的邊BC上的中線AE的長為．
例15．（2024·四川綿陽·統(tǒng)考二模）在中，角所對的邊分別為，，．
(1)求的值；
(2)若，求邊上中線的長．
【解析】（1）由正弦定理得：，
，
，，，又，
，解得：.
（2），，
由余弦定理得：，
，，，即邊上中線的長為.
變式17．（2024·廣東廣州·統(tǒng)考一模）在中，內(nèi)角的對邊分別為，.
(1)求；
(2)若的面積為，求邊上的中線的長.
【解析】（1）因為，
所以，
所以，
即，
所以，
由余弦定理及得：
，
又，
所以，
即，
所以，
所以.
（2）由，
所以，
由（1），
所以，
因為為邊上的中線，
所以，
所以
，
所以，
所以邊上的中線的長為：.
變式18．（2024·安徽宣城·安徽省宣城中學校考模擬預測）中，已知.邊上的中線為.
(1)求；
(2)從以下三個條件中選擇兩個，使存在且唯一確定，并求和的長度.
條件①：；條件②；條件③.
【解析】（1）因為，
則，
，
又，解得：，故.
（2）由（1）得，
又余弦定理得：，所以，
而條件①中，所以，顯然不符合題意，即條件①錯誤，
由條件②，條件③，解得，
由余弦定理可得，所以.
在中，由正弦定理可得，解得，
又，所以，
因為為邊上的中線，所以，
在中，由余弦定理可得，解得.
故.
變式19．（2024·遼寧沈陽·東北育才雙語學校校考一模）如圖，設中角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，AD為BC邊上的中線，已知且，．
(1)求b邊的長度；
(2)求的面積；
(3)設點E，F(xiàn)分別為邊AB，AC上的動點（含端點），線段EF交AD于G，且的面積為面積的，求的取值范圍．
【解析】（1）由已知條件可知：
在中，由正弦定理
得
在中，由余弦定理
得
，又
（2）設
為BC邊上中線
則
①
或
由①，得
（3）設，，（）
，
根據(jù)三點共線公式，得
（，為∠BAC）
變式20．（2024·廣東廣州·統(tǒng)考三模）在①；②這兩個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并作答.
問題：已知中，分別為角所對的邊，__________.
(1)求角的大小；
(2)已知，若邊上的兩條中線相交于點，求的余弦值.
注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.
【解析】（1）若選①，，由正弦定理得，又，
則，又，即，又，則；
若選②，由正弦定理得，又，則，
即，則，又，則；
（2）
以為坐標原點，所在直線為軸，過點垂直于的直線為軸，建立如圖所示平面直角坐標系，易得，
由可得，則，則，
則.
題型六：高問題
例16．（2024·海南海口·海南華僑中學校考模擬預測）已知的內(nèi)角A，，的對邊分別為，，，，.
(1)若，證明：；
(2)若邊上的高為，求的周長.
【解析】（1）由已知可得，
由正弦定理可得，，
所以有.
又，所以，.
又，所以.
，
，
.
又，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
則.
（2）由題意得的面積.
又，則.
由余弦定理，
得，
所以，.
所以，的周長為.
例17．（2024·重慶·統(tǒng)考模擬預測）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，，．
(1)求；
(2)若，邊上的高線長，求．
【解析】（1）由已知得
；
（2），
，
，
，
，
，
，
，
，又，
，
，
，
，
.
例18．（2024·四川自貢·統(tǒng)考三模）的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若．
(1)求A；
(2)若BC上的高，求．
【解析】（1）由題意得：，
則由余弦定理得，
因為,所以．
（2）由，則，所以，
則由正弦定理得，則，
又，
即，則．
變式21．（2024·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考一模）已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．
(1)求A；
(2)若，且BC邊上的高為，求a．
【解析】（1）因為，
所以由余弦定理得，
由正弦定理得，
由于，
整理得．
又因為，所以，即，
因為，所以，
所以，即．
（2）由得，
又，所以，，
由余弦定理知，
解得.
變式22．（2024·遼寧撫順·統(tǒng)考模擬預測）已知中，點在邊上，滿足，且，的面積與面積的比為．
(1)求的值；
(2)若，求邊上的高的值．
【解析】（1）∵，
∴為的平分線，
在與中，根據(jù)正弦定理可得：
兩式相比可得：
又的面積與面積的比為，
∴，
即，且，
由得，
∴且為銳角，∴．
故答案為：
（2）由（1）知為銳角，且，
因此，
又，所以在中由余弦定理得，
解得：，
∵∴．
故答案為：
題型七：重心性質(zhì)及其應用
例19．（2024·全國·高三專題練習）已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．
(1)求的最小值；
(2)若M為的重心，，求．
【解析】（1）因為，所以，
當且僅當，即時，等號成立.
（2）
記邊的中點為，邊的中點為，邊的中點為，因為點為的重心，
所以，
在中，，為邊的中點，所以，所以，設，則，
在中，，即，
在中，，即，
在中，，即，
消去x，y得，又，所以，
從而解得，即，
在中，，
所以，
在中，，
所以，
所以.
例20．（2024·河南開封·開封高中校考模擬預測）記的內(nèi)角的對邊分別為，已知為的重心．
(1)若，求的長；
(2)若，求的面積．
【解析】（1）因為，
所以，，
所以，
因為，
所以，
因為，
所以，，
因為，整理得，解得，
所以
（2）由（1）知，記邊的中點為
因為為的重心，，
所以，邊上的中線長為，即，
因為，
所以，
因為，
所以，當為銳角時，，則由得，解得或，不滿足題意，舍去；
當為鈍角時，，則由得，解得或，
所以，當，的面積為
當，的面積為.
例21．（2024·廣西欽州·高三校考階段練習）在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且．
(1)求角的大小
(2)若，點是的重心，且，求內(nèi)切圓的半徑．
【解析】（1）因為，
由正弦定理可得，
即，
又，所以，所以，即，
又，所以，所以，解得
（2）因為點是的重心，所以，
所以，
即，解得或舍．
由余弦定理得，解得．
設內(nèi)切圓的圓心，半徑為，則
即，
即，
解得，即內(nèi)切圓的半徑為．
變式23．（2024·全國·高三專題練習）設a，b，c分別為的內(nèi)角A，B，C的對邊，AD為BC邊上的中線，c＝1，，．
(1)求AD的長度；
(2)若E為AB上靠近B的四等分點，G為的重心，連接EG并延長與AC交于點F，求AF的長度．
【解析】（1）依據(jù)題意，由可得
，則，，
，，解得，
，解得AD為
（2）G為的重心，，，
，，，， ，
變式24．（2024·四川內(nèi)江·高三威遠中學校校考期中）的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為．
(1)求A的大小；
(2)M為內(nèi)一點，的延長線交于點D，___________，求的面積．
請在下面三個條件中選擇一個作為已知條件補充在橫線上，使存在，并解決問題．
①M為的重心，；
②M為的內(nèi)心，；
③M為的外心，．
【解析】（1）∵，∴，即
由正弦定理得，，即，
∵，∴，∴，又，∴，∴
（2）設外接圓半徑為，則根據(jù)正弦定理得，，
若選①：∵M為該三角形的重心，則D為線段的中點且，
又，∴，
即， 又由余弦定理得，即，解得，∴；
若選②：∵M為的內(nèi)心，∴，由得，∵，∴，即，
由余弦定理可得，即，∴，
即，∵，∴， ∴．
若選③：M為的外心，則為外接圓半徑，，與所給條件矛盾，故不能選③.
變式25．（2024·全國·高三專題練習）在①；②這兩個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并加以解答．
在中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，已知______．
(1)求角A的大小；
(2)若為銳角三角形，且其面積為，點G為重心，點M為線段的中點，點N在線段上，且，線段與線段相交于點P，求的取值范圍．
注：如果選擇多個方案分別解答，按 第一個方案解答計分．
【解析】（1）若選①，
由正弦定理可得
即，又，所以，即，
因為，所以；
若選②，即，
即，
所以，即，所以，即，
因為，所以；
（2）依題意，，
所以，
因為、、三點共線，故設，
同理、、三點共線，故設，
所以，解得，
所以，
則，
因為，所以，
又為銳角三角形，
當為銳角，則，即，
即，即，即，所以，
當為銳角，則，即，
即，即，即，即，所以，
綜上可得，
又，則
因為，所以，而在上單調(diào)遞減，所以，
即，即，所以，則.
題型八：外心及外接圓問題
例22．（2024·湖南長沙·長沙市實驗中學校考二模）在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a，b，c是公差為2的等差數(shù)列.
(1)若，求的面積.
(2)是否存在正整數(shù)b，使得的外心在的外部 若存在，求b的取值集合；若不存在，請說明理由.
【解析】（1），由正弦定理得，
a，b，c是公差為2的等差數(shù)列，，，
，，，，
，
，且，，
故的面積為.
（2）假設存在正整數(shù)b，使得的外心在的外部，則為鈍角三角形，
依題意可知，則C為鈍角，則，
所以，解得，
，，
，
存在正整數(shù)b，使得的外心在的外部，此時整數(shù)b的取值集合為.
例23．（2024·全國·高三專題練習）在ABC中，三內(nèi)角A，B，C對應的邊分別為a，b，c，a＝6．
(1)求bcosC＋ccosB的值；
(2)若O是ABC的外心，且，求ABC外接圓的半徑．
【解析】（1）
.
（2）設ABC外接圓的半徑是R．
因此
例24．（2024·全國·高三專題練習）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c；，.
（1）求的值；
（2）若的外心在其外部，，求外接圓的面積.
【解析】（1）依題意，由余弦定理得，
，，
，
所以或.
當時，.
當時，.
（2）若的外心在其外部，則不符合題意.
當時，，為鈍角，符合題意.
，
設三角形外接圓的半徑為，由正弦定理得，
所以外接圓的面積為.
變式26．（2024·高三統(tǒng)考階段練習）在中，角，，對應的三邊分別為，，，，，，為的外心，連接，，．
（1）求的面積；
（2）過作邊的垂線交于點，連接，試求的值．
【解析】（1）

在中，，則，
，
(是到的距離）
（2）
又
題型九：兩邊夾問題
例25．（2024·全國·高三專題練習）在中，角所對的邊分別為，若，則的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因為，即，
所以，
可得，
所以，
由正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的性質(zhì)，可得且，
因為且，
所以，解得，所以，
又由正弦定理可得.
故選：C.
例26．（2024·河北唐山·高三校考階段練習）在中，、、分別是、、所對邊的邊長.若，則的值是（ ）.
A．1 B． C． D．2
【答案】B
【解析】因為，所以，
所以，
即
所以，所以，所以，故選B.
例27．（2024·全國·高三專題練習）在中，已知邊所對的角分別為，若，則 _________________
【答案】
【解析】由正弦定理得 ，由余弦定理得,即
因為
所以
變式27．（2024·江蘇蘇州·吳江中學模擬預測）在中，已知邊所對的角分別為，若，則_____．
【答案】-1
【解析】由得
由正弦定理得 ，
由余弦定理得,即 因為
所以
變式28．（2024·湖南長沙·高二長沙一中校考開學考試）在中，已知邊、、所對的角分別為、、，若，，則的面積______.
【答案】
【解析】正弦定理得，
由余弦定理得，
即，
因為，
故，
故可得，當且僅當，即時取得.
也即當時取得等號，
所以，即.
所以的面積為.
故答案為：.
變式29．（2024·全國·高三專題練習）在中，若，則角__．
【答案】
【解析】，，
即，
，，
，等價于且，
為的內(nèi)角，所以且，即．
則是等腰直角三角形，．
故答案為：．
變式30．（2024·全國·高三專題練習）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，設S是△ABC的面積，若﹣，則角A的值為_______．
【答案】
【解析】在中，由三角形的面積且，
所以，
又由余弦定理，
所以，
即，
由于，所以，則，
根據(jù)三角函數(shù)的值域，可知只有，所以，即，
故答案為.
題型十：內(nèi)心及內(nèi)切圓問題
例28．（2024·福建泉州·高三福建省泉州第一中學校考期中）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為，I為△ABC的內(nèi)心，延長線段AI交BC于點D，此時
(1)求；
(2)若∠ADB=，求.
【解析】(1)I為△ABC的內(nèi)心，則，
根據(jù)正弦定理：，，
，故，故.
(2)設，則，，
，故，
化簡得到，，故，，，，
故
例29．（2024·山西·高三校聯(lián)考階段練習）已知中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，,.
(1)求；
(2)若，M為的內(nèi)心，求的面積.
【解析】（1），由正弦定理得，
∴，得，.
∴，
∵A為三角形內(nèi)角，，
∴.
（2）由（1）可得，
∵，∴，，
∴，
，由正弦定理，
解得，，
則有.
設內(nèi)切圓半徑為r，則，，
∴.
例30．（2024·廣東佛山·華南師大附中南海實驗高中校考模擬預測）在中，角，，所對的邊分別為，，．已知．
(1)求的值；
(2)若的內(nèi)切圓半徑為，，求．
【解析】（1）因為，
所以，
即，
又，所以，
所以，
又，即.
（2）由余弦定理得，①
設的內(nèi)切圓半徑為，
由等面積公式得．
即．
整理得，②
聯(lián)立①②，解得，，
所以．
變式31．（2024·遼寧鞍山·統(tǒng)考模擬預測）在中，角、、所對的邊分別為、、，已知.
(1)求；
(2)若，的內(nèi)切圓半徑為，求的周長.
【解析】（1）因為，
由正弦定理可得，①
因為，所以，
代入①式整理得，
又因為、，，則，所以，
又因為，解得.
（2）由（1）知，，因為內(nèi)切圓半徑為，
所以，即，
所以，②，
由余弦定理得，所以③，
聯(lián)立②③，得，解得，
所以的周長為.
變式32．（2024·全國·高三專題練習）已知在中，其角、、所對邊分別為、、，且滿足．
(1)若，求的外接圓半徑；
(2)若，且，求的內(nèi)切圓半徑
【解析】（1）因為，所以，
所以，
因為，所以，
所以，
因為，所以，所以，
因為，所以，
所以，所以外接圓半徑．
所以.
（2）因為，由題可知，所以，
又因為，可得，
因為．
由的面積，得．
變式33．（2024·全國·高三專題練習）已知的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，，，內(nèi)切圓半徑，則________.
【答案】
【解析】由
所以 ①
，
即 ②
由①②得，,
.
故答案為：
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