資源簡介

第32講 解三角形
知識梳理
知識點一：基本定理公式
（1）正余弦定理：在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，R為△ABC外接圓半徑，則
定理 正弦定理 余弦定理
公式 ； ； ．
常見變形 （1），，； （2），，； ； ； ．
（2）面積公式：
（r是三角形內切圓的半徑，并可由此計算R，r．）
知識點二：相關應用
（1）正弦定理的應用
①邊化角，角化邊
②大邊對大角 大角對大邊
③合分比：
（2）內角和定理：
①
同理有：，．
②；
③斜三角形中，
④；
⑤在中，內角成等差數列．
知識點三：實際應用
（1）仰角和俯角
在視線和水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，在水平線下方的角叫俯角（如圖①）．
（2）方位角
從指北方向順時針轉到目標方向線的水平角，如B點的方位角為α（如圖②）．
（3）方向角：相對于某一正方向的水平角．
（1）北偏東α，即由指北方向順時針旋轉α到達目標方向（如圖③）．
（2）北偏西α，即由指北方向逆時針旋轉α到達目標方向．
（3）南偏西等其他方向角類似．
（4）坡角與坡度
（1）坡角：坡面與水平面所成的二面角的度數（如圖④，角θ為坡角）．
（2）坡度：坡面的鉛直高度與水平長度之比（如圖④，i為坡度）．坡度又稱為坡比．
【解題方法總結】
1、方法技巧：解三角形多解情況
在△ABC中，已知a，b和A時，解的情況如下：
A為銳角 A為鈍角或直角
圖形
關系式
解的個數 一解 兩解 一解 一解 無解
2、在解三角形題目中，若已知條件同時含有邊和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要選擇“邊化角”或“角化邊”，變換原則常用：
（1）若式子含有的齊次式，優先考慮正弦定理，“角化邊”；
（2）若式子含有的齊次式，優先考慮正弦定理，“邊化角”；
（3）若式子含有的齊次式，優先考慮余弦定理，“角化邊”；
（4）代數變形或者三角恒等變換前置；
（5）含有面積公式的問題，要考慮結合余弦定理使用；
（6）同時出現兩個自由角（或三個自由角）時，要用到．
3、三角形中的射影定理
在 中，；；．
必考題型全歸納
題型一：正弦定理的應用
例1．（2024·福建龍巖·高三校聯考期中）在中，角所對的邊分別為，若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因為，所以，
因為，所以．
故選：C.
例2．（2024·全國·高三專題練習）在中，設命題p：，命題q：是等邊三角形，那么命題p是命題q的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】C
【解析】由正弦定理可知，若t，
則，
即a＝tc，b＝ta，c＝bt，
即abc＝t3abc，即t＝1，
則a＝b＝c，即是等邊三角形，
若是等邊三角形，則A＝B＝C，則1成立，
即命題p是命題q的充要條件，
故選：C.
例3．（2024·河南·襄城高中校聯考三模）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若且，，則（ ）
A． B． C．8 D．4
【答案】D
【解析】在中，由可得，
即
所以，因為，
所以，且，
所以，又，可得，
由正弦定理可得．
故選：D.
變式1．（2024·全國·高三專題練習）在中，內角的對邊分別是，若，且，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由題意結合正弦定理可得，
即，
整理可得，由于，故，
據此可得，
則.
故選：C.
變式2．（2024·河南鄭州·高三鄭州外國語中學?？茧A段練習），，分別為內角，，的對邊．已知，，則外接圓的面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因為，由正弦定理得，可得．
設外接圓的半徑為，則，即，
故外接圓的面積為．
故選：B.
變式3．（2024·甘肅蘭州·高三蘭州五十一中校考期中）△ABC的三個內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由正弦定理得，化簡得，
則，
故選：B
變式4．（2024·寧夏·高三六盤山高級中學?？计谥校┰谥?，內角A，B，C所對的邊分別是a，b，c．若，則的值為（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【解析】依題意，
由正弦定理得.
故選：A
變式5．（2024·河南·洛寧縣第一高級中學校聯考模擬預測）△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，，則c＝（ ）
A．4 B．6 C． D．
【答案】D
【解析】因為，根據正弦定理得
，
移項得，
即，即，
則根據正弦定理有．
故選：D.
【解題方法總結】
（1）已知兩角及一邊求解三角形；
（2）已知兩邊一對角；．
（3）兩邊一對角，求第三邊．
題型二：余弦定理的應用
例4．（2024·全國·高三專題練習）已知的內角所對的邊分別為滿足且，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由題，,
又，，，
故選：A.
例5．（2024·河南·高三統考階段練習）在中，角的對邊分別為，若，則（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【解析】由正弦定理，得，
又，所以，
所以，因為，所以或，
故選：C.
例6．（2024·全國·高三專題練習）設△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，且，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因為，由正弦定理有，
根據余弦定理有，
且，故有，即，
又，所以.
故選：D .
變式6．（2024·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學?？茧A段練習）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，則（ ）
A．0 B．1 C．2 D．
【答案】A
【解析】由余弦定理以及可得：，
又在三角形中有，即，
所以
故.
故選：A．
變式7．（2024·全國·高三專題練習）在中，角的對邊分別為，且，則的值為（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】A
【解析】因為，
所以，由正弦定理與余弦定理得，化簡得.
故選：A
【解題方法總結】
（1）已知兩邊一夾角或兩邊及一對角，求第三邊．
（2）已知三邊求角或已知三邊判斷三角形的形狀，先求最大角的余弦值，
若余弦值
題型三：判斷三角形的形狀
例7．（2024·甘肅酒泉·統考三模）在中內角的對邊分別為，若，則的形狀為（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
【答案】D
【解析】由正弦定理，余弦定理及得，
，即，
則，即
或為等腰三角形或直角三角形．
故選：D.
例8．（2024·全國·高三專題練習）在中，角，，的對邊分別為，，，且，則形狀為（ ）
A．銳角三角形 B．直角三角形
C．鈍角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】C
【解析】，
所以由正弦定理可得
所以，
所以，
所以，
所以，
在三角形中，
所以，
所以為鈍角，
故選：C.
例9．（2024·全國·高三專題練習）在中，若，則的形狀為（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
【答案】D
【解析】由正弦定理，以及二倍角公式可知，,
即，整理為，
即，得，或,
所以的形狀為等腰三角形或直角三角形.
故選：D
變式8．（2024·全國·高三專題練習）設的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，且，則的形狀為（ ）
A．銳角三角形 B．直角三角形
C．鈍角三角形 D．等腰三角形
【答案】B
【解析】因為，
所以，
又，所以，
因為，由正弦定理得，
則，
則，
所以為有一個角為的直角三角形.
故選：B.
變式9．（2024·河南周口·高三校考階段練習）已知的三個內角所對的邊分別為．若，則該三角形的形狀一定是（ ）
A．鈍角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．銳角三角形
【答案】C
【解析】因為，
由正弦定理（為外接圓的直徑），
可得，
所以．
又因為，所以．即為等腰三角形.
故選：C
變式10．（2024·全國·高三專題練習）設的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若則的形狀為（ ）
A．等腰三角形 B．等腰三角形或直角三角形
C．直角三角形 D．銳角三角形
【答案】B
【解析】由得,
由二倍角公式可得或，
由于在，,所以或,故為等腰三角形或直角三角形
故選：B
變式11．（2024·北京·高三101中學校考階段練習）設的內角，，所對的邊分別為，，，若，則的形狀為（ ）
A．等腰直角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形 D．等邊三角形
【答案】C
【解析】已知等式利用正弦定理化簡得：，
整理得：，即，
，即，
，
，
，，
則或，即為等腰三角形或直角三角形．
故選：C．
【解題方法總結】
（1）求最大角的余弦，判斷是銳角、直角還是鈍角三角形．
（2）用正弦定理或余弦定理把條件的邊和角都統一成邊或角，判斷是等腰、等邊還是直角三角形．
題型四：正、余弦定理與的綜合
例10．（2024·河南南陽·統考二模）銳角是單位圓的內接三角形，角的對邊分別為，且，則等于（ ）
A．2 B． C． D．1
【答案】C
【解析】由，
得，
由余弦定理，可得，
又由正弦定理，可得，
所以，
得，又，所以，所以.
又，所以，
故選：C
例11．（2024·河北唐山·高三開灤第二中學?？茧A段練習）在中，角，，所對的邊分別為，，，.
(1)求證：；
(2)若，求.
【解析】（1）在中，因為，
由正弦定理可得，化簡可得，
由余弦定理可得，當且僅當時取等號，所以，因為角是的內角，所以，
所以.
（2）由
，則，
即，所以，又，
所以，在中，由余弦定理可得，
.
例12．（2024·重慶·統考三模）已知的內角、、的對邊分別為、、，．
(1)求；
(2)若，求．
【解析】（1）因為，
所以，所以，
即，
由正弦定理可得，
由余弦定理可得，
所以，
即，
所以.
（2）由題意可知，又，可得，
所以，即為等腰三角形，
由，解得或，
因為，所以，所以，
所以.
變式12．（2024·山東濱州·統考二模）已知的三個角，，的對邊分別為，，，且．
(1)若，求；
(2)求的值．
【解析】（1）若，則．
因為，
所以，
，
整理得．
解得（舍），，
因為，所以．
（2）因為．
所以
，
整理得
由正弦定理得，
由余弦定理得，
即，
所以．
變式13．（2024·全國·高三專題練習）在中，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因為，
所以由正弦定理得，即，
則，故，
又，所以.
故選：B.
變式14．（2024·青?！ばＢ摽寄M預測）在中，內角A，B，C所對應的邊分別是a，b，c，若的面積是，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由余弦定理可得：
由條件及正弦定理可得：
，
所以，則．
故選：A
變式15．（2024·全國·校聯考三模）已知a，b，c分別為的內角A，B，C的對邊，.
(1)求證：a，b，c成等比數列；
(2)若，求的值.
【解析】（1）因為，
所以.
所以.
根據余弦定理，得，
所以.
所以.
所以a，b，c成等比數列.
（2）由余弦定理，得.
因為，所以由正弦定理，得.
所以.
所以.
變式16．（2024·天津武清·天津市武清區楊村第一中學?？寄M預測）在中，角，，所對的邊分別為，，，已知
(1)求角的大?。?br/>(2)若，，求邊及的值．
【解析】（1）因為，可得，
所以由正弦定理可得，
又為三角形內角，，
所以，
因為，，，
所以，可得，
所以；
（2）因為，，，
所以由正弦定理，可得，
所以為銳角，，，，
由余弦定理，可得，
整理可得，解得或（舍去），
所以．
【解題方法總結】
先利用平面向量的有關知識如向量數量積將向量問題轉化為三角函數形式，再利用三角函數轉化求解．
題型五：解三角形的實際應用
方向1：距離問題
例13．（2024·全國·高三專題練習）山東省科技館新館目前成為濟南科教新地標（如圖1），其主體建筑采用與地形吻合的矩形設計，將數學符號“”完美嵌入其中，寓意無限未知 無限發展 無限可能和無限的科技創新.如圖2，為了測量科技館最高點A與其附近一建筑物樓頂B之間的距離，無人機在點C測得點A和點B的俯角分別為75°，30°，隨后無人機沿水平方向飛行600米到點D，此時測得點A和點B的俯角分別為45°和60°（A，B，C，D在同一鉛垂面內），則A，B兩點之間的距離為______米.
【答案】
【解析】由題意，，所以，
所以在中，，，
又，所以，
在中，由正弦定理得，，所以，
在中，，
由余弦定理得，，
所以.
故答案為：
例14．（2024·安徽阜陽·高三安徽省臨泉第一中學?？计谥校┮挥慰驮谔幫娫谡狈较蛴幸凰诒逼?5°方向的處有一寺廟，此游客騎車向西行后到達處，這時塔和寺廟分別在北偏東30°和北偏西15°，則塔與寺廟的距離為______.
【答案】
【解析】如圖，在中，由題意可知，，可得.
在中，，，，∴，
∴.
在中，
，
∴.
故答案為：.
例15．（2024·河南鄭州·高三統考期末）如圖，為了測量兩點間的距離，選取同一平面上的，兩點，測出四邊形各邊的長度（單位：km）：，，，，且四點共圓，則的長為_________ .
【答案】7
【解析】∵四點共圓，圓內接四邊形的對角和為 ﹒
∴ ，
∴由余弦定理可得 ，
，
∵，即 ，
∴ ,解得,
故答案為：7
變式17．（2024·山東東營·高三廣饒一中?？茧A段練習）如圖，一條巡邏船由南向北行駛，在A處測得燈塔底部C在北偏東方向上，勻速向北航行20分鐘到達B處，此時測得燈塔底部C在北偏東方向上，測得塔頂P的仰角為 ，已知燈塔高為．則巡邏船的航行速度為______．
【答案】
【解析】由題意知在 中，,故,即，
解得 ，
在 中， ，
則，而 ，
所以，
所以，
即船的航行速度是每小時千米，
故答案為：
方向2：高度問題
例16．（2024·重慶·統考模擬預測）如圖，某中學某班級課外學習興趣小組為了測量某座山峰的高度，先在山腳處測得山頂處的仰角為，又利用無人機在離地面高的處（即），觀測到山頂處的仰角為，山腳處的俯角為，則山高_________m．

【答案】
【解析】依題意，則，,，
故，，
在中，由正弦定理得，即，
解得，則.

故答案為：
例17．（2024·河南·校聯考模擬預測）中國古代數學名著《海島算經》記錄了一個計算山高的問題（如圖1）：今有望海島，立兩表齊，高三丈，前后相去千步，令后表與前表相直.從前表卻行一百二十三步，人目著地取望島峰，與表末參合.從后表卻行百二十七步，人目著地取望島峰，亦與表末參合.問島高及去表各幾何 假設古代有類似的一個問題，如圖2，要測量海島上一座山峰的高度AH，立兩根高48丈的標桿BC和DE，兩竿相距BD=800步，D，B，H三點共線且在同一水平面上，從點B退行100步到點F，此時A，C，F三點共線，從點D退行120步到點G，此時A，E，G三點也共線，則山峰的高度AH=_________步.（古制單位:180丈=300步）

【答案】3280
【解析】由題可知步，步，步.步.
在RtAHF中，在RtAHG中.
所以，，
則.
所以步.
故答案為：3280
例18．（2024·全國·高三專題練習）為了培養學生的數學建模和應用能力，某校數學興趣小組對學校雕像“月亮上的讀書女孩”進行測量，在正北方向一點測得雕塑最高點仰角為30°，在正東方向一點測得雕塑最高點仰角為45°，兩個測量點之間距離約為米，則雕塑高為______
【答案】
【解析】如圖所示，正北方向測量點為C，正東方向測量點為D，雕塑最高點為B，
其中A，C，D三點位于同一水平面，
由題意可知且，
設，在直角中，可得，
在直角中，可得，
在直角中，可得，解得，
故雕塑高為.
故答案為：
變式18．（2024·全國·模擬預測）山西應縣木塔（如圖1）是世界上現存最古老、最高大的木塔，是中國古建筑中的瑰寶，是世界木結構建筑的典范．如圖2，某校數學興趣小組為測量木塔的高度，在木塔的附近找到一建筑物，高為米，塔頂在地面上的射影為，在地面上再確定一點（，，三點共線），測得約為57米，在點處測得塔頂的仰角分別為30°和60°，則該小組估算的木塔的高度為__________米．
【答案】
【解析】如圖，過點A作作垂線，垂足為，
由題意可知，，米，
設米，則米，米，
∵，則，解得，
所以估算木塔的高度為米．
故答案為：.
方向3：角度問題
例19．（2024·福建廈門·高三廈門一中?？计谥校┳闱蚴且豁椇苁軞g迎的體育運動．如圖，某標準足球場的B底線寬碼，球門寬碼，球門位于底線的正中位置．在比賽過程中，攻方球員帶球運動時，往往需要找到一點P，使得最大，這時候點P就是最佳射門位置．當攻方球員甲位于邊線上的點O處時，根據場上形勢判斷，有、兩條進攻線路可供選擇．若選擇線路，則甲帶球______碼時，到達最佳射門位置．
【答案】/
【解析】過點作于點，于點，如圖所示，
設，則 ，由題可知，，，
易得四邊形為矩形，
所以，，，
所以，
則，，
所以
，
設，則，
所以，
因為，當且僅當時等號成立，即，
所以當時，即，最大，
由題可知，，
因為在上單調遞增，
所以最大時，最大，
所以時，到達最佳射門位置，
故答案為：．
例20．（2024·全國·高三專題練習）當太陽光線與水平面的傾斜角為時，一根長為的竹竿，要使它的影子最長，則竹竿與地面所成的角________．
【答案】
【解析】作出示意圖如下如，
設竹竿與地面所成的角為，影子長為，依據正弦定理可得，
所以，因為，所以要使最大，
只需，即，所以時，影子最長．
答案為：.
例21．（2024·全國·高三專題練習）游客從某旅游景區的景點A處至景點C處有兩條線路．線路1是從A沿直線步行到C，線路2是先從A沿直線步行到景點B處，然后從B沿直線步行到C．現有甲、乙兩位游客從A處同時出發勻速步行，甲的速度是乙的速度的倍，甲走線路2，乙走線路1，最后他們同時到達C處．經測量，AB＝1 040 m，BC＝500 m，則sin∠BAC等于________．
【答案】
【解析】依題意，設乙的速度為x m/s，
則甲的速度為x m/s，
因為AB＝1 040 m，BC＝500 m，
所以＝，解得AC＝1 260 m．
在△ABC中，由余弦定理得，
cos∠BAC＝＝＝，
所以sin∠BAC＝＝＝．
故答案為：.
變式19．（2024·全國·高三專題練習）最大視角問題是1471年德國數學家米勒提出的幾何極值問題，故最大視角問題一般稱為“米勒問題”.如圖，樹頂A離地面a米，樹上另一點B離地面b米，在離地面米的C處看此樹，離此樹的水平距離為___________米時看A，B的視角最大.
【答案】
【解析】過C作，交AB于D，如圖所示：
則，
設，
在中，，
在中，，
所以，
當且僅當，即時取等號，
所以取最大值時，最大，
所以當離此樹的水平距離為米時看A，B的視角最大.
故答案為：
【解題方法總結】
根據題意畫出圖形，將題設已知、未知顯示在圖形中，建立已知、未知關系，利用三角知識求解．
題型六：倍角關系
例22．（2024·全國·高三專題練習）記的內角的對邊分別為，已知.
(1)證明：；
(2)若，求的面積.
【解析】（1）證明：由及正弦定理得：，
整理得，.
因為，
所以，
所以或，
所以或（舍），
所以.
（2）由及余弦定理得:，
整理得，
又因為，可解得，
則，所以△是直角三角形，
所以△的面積為.
例23．（2024·全國·模擬預測）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c（a，b，c互不相等），且滿足.
（1）求證：；
（2）若，求.
【解析】（1）證明：因為，由正弦定理，得，
所以，所以.
又因為，，所以或.
若，又，所以，與a，b，c互不相等矛盾，
所以.
（2）由（1）知，所以.
因為，所以，則，
可得.
又因為
所以.
因為，所以，所以，
所以，
解得，
又，得.
例24．（2024·江蘇·高三江蘇省前黃高級中學校聯考階段練習）在中，角、、的對邊分別為、、，若．
(1)求證：；
(2)若，點為邊上一點，，，求邊長．
【解析】（1），
，
或
當時，，，即，
綜上
（2），，，
，
，
設，，，，
在中：
，
變式20．（2024·陜西咸陽·武功縣普集高級中學?？寄M預測）已知分別是的角的對邊，.
(1)求證：；
(2)求的取值范圍.
【解析】（1）由正弦定理及知，
，
由余弦定理得，，
或.
.
（2）由（1）和正弦定理得，
，
，
設，則，則，
設，
則在上單調遞增，則，
即.
的取值范圍為.
變式21．（2024·四川·成都市錦江區嘉祥外國語高級中學?？既＃┮阎謩e為銳角ABC內角的對邊，．
(1)證明：；
(2)求的取值范圍．
【解析】（1）∵．
∴，
∴，
因為為銳角三角形內角，所以，，
所以，
所以，即；
（2）由題意得，解得，
所以，
由正弦定理得，
因為函數在上單調遞減，
所以當時，，
所以當時，，
所以，
∴的取值范圍為．
變式22．（2024·福建三明·高三統考期末）非等腰的內角、、的對應邊分別為、、，且.
(1)證明：；
(2)若，證明：.
【解析】（1）由正弦定理，得，
，由，
則.
（2）由，則為銳角，，
則，去分母得，
則，由則.
由（1）有，得.
解方程組，消元，
則，可得，
要證，即證，
只需證，
即證，
即證，由，此不等式成立，得證.
另令，，又，
求導得，則在遞增，
則，得證.
題型七：三角形解的個數
例25．（2024·貴州·統考模擬預測）中，角的對邊分別是，，.若這個三角形有兩解，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由正弦定理可得，.
要使有兩解，即有兩解，則應有，且，
所以，
所以.
故選：B．
例26．（2024·全國·高三專題練習）在△ABC中，a=18，b=24，∠A=45°，此三角形解的情況為（ ）
A．一個解 B．二個解 C．無解 D．無法確定
【答案】B
【解析】因為，如圖所示：
所以，即，所以三角形解的情況為二個解.
故選：B
例27．（2024·河南南陽·高三統考期中）在中，，，. 若滿足條件的有且只有一個，則的可能取值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由正弦定理，即，所以，
因為只有一解，
若，則，
若顯然滿足題意，
所以或，所以或，
解得或；
故選：D
變式23．（2024·全國·高三專題練習）在中，內角所對的邊分別為，則下列條件能確定三角形有兩解的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】對于A：由正弦定理可知，
∵，∴，故三角形有一解；
對于B：由正弦定理可知，，
∵，∴，故三角形有兩解；
對于C：由正弦定理可知，
∵為鈍角，∴B一定為銳角，故三角形有一解；
對于D：由正弦定理可知，，故故三角形無解.
故選：B.
變式24．（2024·北京朝陽·高三專題練習）在下列關于的四個條件中選擇一個，能夠使角被唯一確定的是：（ ）
①
②；
③；
④.
A．①② B．②③ C．②④ D．②③④
【答案】B
【解析】對于①，因為，所以或，故①錯誤；
對于②，因為在上單調，所以角被唯一確定，
故②正確；
對于③，因為，，所以，
所以，所以，又，由正弦定理有
，所以，所以角被唯一確定，故③正確；
對于④，因為，
所以，所以如圖，不唯一，故④錯誤.故A，C，D錯誤.
故選：B.
變式25．（2024·全國·高三專題練習）設在中，角A、B、C所對的邊分別為a，b，c，若滿足的不唯一，則m的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由正弦定理，即，所以，
因為不唯一，即有兩解，所以且，即，
所以，所以，即；
故選：A
變式26．（2024·全國·高三專題練習）在中，，，若該三角形有兩個解，則邊范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因為三角形有兩個解，所以，
所以，所以.
故選：D
變式27．（2024·全國·高三專題練習）若滿足的恰有一個，則實數k的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由正弦定理可得，
故，
由且恰有一個，
故或，
所以或，即．
故選：B
【解題方法總結】
三角形解的個數的判斷：已知兩角和一邊，該三角形是確定的，其解是唯一的；已知兩邊和一邊的對角，該三角形具有不唯一性，通常根據三角函數值的有界性和大邊對大角定理進行判斷．
題型八：三角形中的面積與周長問題
例28．（2024·全國·高三對口高考）在中，若，且，則的面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因為且，所以，
所以，所以的面積.
故選：B
例29．（2024·河南·襄城高中校聯考三模）在中，內角A，，所對的邊分別為，，，，為上一點，，，則的面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
如圖所示，在中，由，得．
又，即，
所以，
化簡得．①
在中，由余弦定理得，，②
由①②式，解得．由，得，
將其代入②式，得，解得，
故的面積．
故選：D
例30．（2024·四川成都·?？寄M預測）在中，，，分別為角，，的對邊，已知，，且，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，
由正弦定理可得，
整理可得，
所以，
為三角形內角，，
∴，∵，，則，故B錯誤；
∵，，
，解得，
由余弦定理得，
解得或（舍去），故C正確，D錯誤.
又，所以，則三角形為等邊三角形，
所以，則，故A錯誤.
故選：C.
變式28．（2024·河北石家莊·統考三模）已知中，角，，的對邊長分別是，，，，且.
(1)證明：；
(2)若，求外接圓的面積
【解析】（1）由已知，，
∴，
∴，
∴，
∴，
易知上式中，，，
∴由上式得，即.
（2）∵，
∴由正弦定理和余弦定理得，，
化簡得，∴.
又∵，，
∴，是以為斜邊，為直角的直角三角形，
∴外接圓的直徑，外接圓的半徑，
∴外接圓的面積.
變式29．（2024·全國·高三專題練習）已知的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．
(1)證明：是等腰三角形；
(2)若的面積為，且，求的周長．
【解析】(1)在中，，
由射影定理得，，
所以是等腰三角形．
(2)在中，因且，則，
又，即，由(1)知，則有，
在中，由余弦定理得：，解得，
又，則a，b，c能構成三角形，符合題意，，
所以的周長為.
變式30．（2024·全國·高三專題練習）在①；②.
這兩個條件中任選一個，補充在下面問題中，并解答.
已知的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若的面積，，___________，求.
注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.
【解析】選①：
在中，由射影定理及得：，解得，
因，則，由得：，解得，
由余弦定理得：，解得，
所以.
選②：
在中，由正弦定理及得：，
因，即，則有，而，，
于是得，則，由得：，解得，
由余弦定理得：，解得，
所以.
變式31．（2024·湖南長沙·周南中學?？级＃┮阎蛄浚ǎǎ?
(1)求函數的最大值及相應x的值；
(2)在△ABC中，角A為銳角且，，BC=2，求的面積.
【解析】（1）依題意，，
即，
所以，當，
即，時，取最大值 ；
（2）由（1）及得：，
即，
由，則，
因此，，則，
而，有，所以，
在中，由正弦定理得，
，
，
所以的面積為.
變式32．（2024·海南?？凇ずＤ先A僑中學?？寄M預測）已知的內角A，，的對邊分別為，，，，.
(1)若，證明：；
(2)若邊上的高為，求的周長.
【解析】（1）由已知可得，
由正弦定理可得，，
所以有.
又，所以，.
又，所以.
，
，
.
又，，函數在上單調遞減，
則.
（2）由題意得的面積.
又，則.
由余弦定理，
得，
所以，.
所以，的周長為.
變式33．（2024·安徽·合肥一中校聯考模擬預測）記的內角，，的對邊分別為，，，已知.
(1)求的值；
(2)若，，求的值.
【解析】（1）因為，
所以
.
（2）因為，所以，
因為，即，所以，
再由余弦定理知，即，
即，解得或，
所以或（負值舍去）.
變式34．（2024·吉林長春·東北師大附中?？寄M預測）已知中角的對邊分別為，．
(1)求；
(2)若，且的面積為，求周長．
【解析】（1）由和正弦定理可得，
，
因為，所以，
所以，，，
，；
（2），，
又，
，
，
的周長為.
【解題方法總結】
解三角形時，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或邊的一次式時，則考慮用正弦定理，以上特征都不明顯時，則要考慮兩個定理都有可能用到
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21世紀教育網(www.21cnjy.com)第32講 解三角形
知識梳理
知識點一：基本定理公式
（1）正余弦定理：在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，R為△ABC外接圓半徑，則
定理 正弦定理 余弦定理
公式 ； ； ．
常見變形 （1），，； （2），，； ； ； ．
（2）面積公式：
（r是三角形內切圓的半徑，并可由此計算R，r．）
知識點二：相關應用
（1）正弦定理的應用
①邊化角，角化邊
②大邊對大角 大角對大邊
③合分比：
（2）內角和定理：
①
同理有：，．
②；
③斜三角形中，
④；
⑤在中，內角成等差數列．
知識點三：實際應用
（1）仰角和俯角
在視線和水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，在水平線下方的角叫俯角（如圖①）．
（2）方位角
從指北方向順時針轉到目標方向線的水平角，如B點的方位角為α（如圖②）．
（3）方向角：相對于某一正方向的水平角．
（1）北偏東α，即由指北方向順時針旋轉α到達目標方向（如圖③）．
（2）北偏西α，即由指北方向逆時針旋轉α到達目標方向．
（3）南偏西等其他方向角類似．
（4）坡角與坡度
（1）坡角：坡面與水平面所成的二面角的度數（如圖④，角θ為坡角）．
（2）坡度：坡面的鉛直高度與水平長度之比（如圖④，i為坡度）．坡度又稱為坡比．
【解題方法總結】
1、方法技巧：解三角形多解情況
在△ABC中，已知a，b和A時，解的情況如下：
A為銳角 A為鈍角或直角
圖形
關系式
解的個數 一解 兩解 一解 一解 無解
2、在解三角形題目中，若已知條件同時含有邊和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要選擇“邊化角”或“角化邊”，變換原則常用：
（1）若式子含有的齊次式，優先考慮正弦定理，“角化邊”；
（2）若式子含有的齊次式，優先考慮正弦定理，“邊化角”；
（3）若式子含有的齊次式，優先考慮余弦定理，“角化邊”；
（4）代數變形或者三角恒等變換前置；
（5）含有面積公式的問題，要考慮結合余弦定理使用；
（6）同時出現兩個自由角（或三個自由角）時，要用到．
3、三角形中的射影定理
在 中，；；．
必考題型全歸納
題型一：正弦定理的應用
例1．（2024·福建龍巖·高三校聯考期中）在中，角所對的邊分別為，若，則（ ）
A． B． C． D．
例2．（2024·全國·高三專題練習）在中，設命題p：，命題q：是等邊三角形，那么命題p是命題q的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
例3．（2024·河南·襄城高中校聯考三模）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若且，，則（ ）
A． B． C．8 D．4
變式1．（2024·全國·高三專題練習）在中，內角的對邊分別是，若，且，則（ ）
A． B． C． D．
變式2．（2024·河南鄭州·高三鄭州外國語中學?？茧A段練習），，分別為內角，，的對邊．已知，，則外接圓的面積為（ ）
A． B． C． D．
變式3．（2024·甘肅蘭州·高三蘭州五十一中?？计谥校鰽BC的三個內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，則（ ）
A． B． C． D．
變式4．（2024·寧夏·高三六盤山高級中學?？计谥校┰谥?，內角A，B，C所對的邊分別是a，b，c．若，則的值為（ ）
A． B． C．1 D．
變式5．（2024·河南·洛寧縣第一高級中學校聯考模擬預測）△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，，則c＝（ ）
A．4 B．6 C． D．
【解題方法總結】
（1）已知兩角及一邊求解三角形；
（2）已知兩邊一對角；．
（3）兩邊一對角，求第三邊．
題型二：余弦定理的應用
例4．（2024·全國·高三專題練習）已知的內角所對的邊分別為滿足且，則（ ）
A． B．
C． D．
例5．（2024·河南·高三統考階段練習）在中，角的對邊分別為，若，則（ ）
A． B． C．或 D．或
例6．（2024·全國·高三專題練習）設△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，且，則（ ）
A． B． C． D．
變式6．（2024·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學?？茧A段練習）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，則（ ）
A．0 B．1 C．2 D．
變式7．（2024·全國·高三專題練習）在中，角的對邊分別為，且，則的值為（ ）
A．1 B． C． D．2
【解題方法總結】
（1）已知兩邊一夾角或兩邊及一對角，求第三邊．
（2）已知三邊求角或已知三邊判斷三角形的形狀，先求最大角的余弦值，
若余弦值
題型三：判斷三角形的形狀
例7．（2024·甘肅酒泉·統考三模）在中內角的對邊分別為，若，則的形狀為（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
例8．（2024·全國·高三專題練習）在中，角，，的對邊分別為，，，且，則形狀為（ ）
A．銳角三角形 B．直角三角形
C．鈍角三角形 D．等腰直角三角形
例9．（2024·全國·高三專題練習）在中，若，則的形狀為（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
變式8．（2024·全國·高三專題練習）設的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，且，則的形狀為（ ）
A．銳角三角形 B．直角三角形
C．鈍角三角形 D．等腰三角形
變式9．（2024·河南周口·高三校考階段練習）已知的三個內角所對的邊分別為．若，則該三角形的形狀一定是（ ）
A．鈍角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．銳角三角形
變式10．（2024·全國·高三專題練習）設的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若則的形狀為（ ）
A．等腰三角形 B．等腰三角形或直角三角形
C．直角三角形 D．銳角三角形
變式11．（2024·北京·高三101中學校考階段練習）設的內角，，所對的邊分別為，，，若，則的形狀為（ ）
A．等腰直角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形 D．等邊三角形
【解題方法總結】
（1）求最大角的余弦，判斷是銳角、直角還是鈍角三角形．
（2）用正弦定理或余弦定理把條件的邊和角都統一成邊或角，判斷是等腰、等邊還是直角三角形．
題型四：正、余弦定理與的綜合
例10．（2024·河南南陽·統考二模）銳角是單位圓的內接三角形，角的對邊分別為，且，則等于（ ）
A．2 B． C． D．1
例11．（2024·河北唐山·高三開灤第二中學?？茧A段練習）在中，角，，所對的邊分別為，，，.
(1)求證：；
(2)若，求.
例12．（2024·重慶·統考三模）已知的內角、、的對邊分別為、、，．
(1)求；
(2)若，求．
變式12．（2024·山東濱州·統考二模）已知的三個角，，的對邊分別為，，，且．
(1)若，求；
(2)求的值．
變式13．（2024·全國·高三專題練習）在中，，則（ ）
A． B． C． D．
變式14．（2024·青海·校聯考模擬預測）在中，內角A，B，C所對應的邊分別是a，b，c，若的面積是，則（ ）
A． B． C． D．
變式15．（2024·全國·校聯考三模）已知a，b，c分別為的內角A，B，C的對邊，.
(1)求證：a，b，c成等比數列；
(2)若，求的值.
變式16．（2024·天津武清·天津市武清區楊村第一中學?？寄M預測）在中，角，，所對的邊分別為，，，已知
(1)求角的大??；
(2)若，，求邊及的值．
【解題方法總結】
先利用平面向量的有關知識如向量數量積將向量問題轉化為三角函數形式，再利用三角函數轉化求解．
題型五：解三角形的實際應用
方向1：距離問題
例13．（2024·全國·高三專題練習）山東省科技館新館目前成為濟南科教新地標（如圖1），其主體建筑采用與地形吻合的矩形設計，將數學符號“”完美嵌入其中，寓意無限未知 無限發展 無限可能和無限的科技創新.如圖2，為了測量科技館最高點A與其附近一建筑物樓頂B之間的距離，無人機在點C測得點A和點B的俯角分別為75°，30°，隨后無人機沿水平方向飛行600米到點D，此時測得點A和點B的俯角分別為45°和60°（A，B，C，D在同一鉛垂面內），則A，B兩點之間的距離為______米.
例14．（2024·安徽阜陽·高三安徽省臨泉第一中學?？计谥校┮挥慰驮谔幫娫谡狈较蛴幸凰诒逼?5°方向的處有一寺廟，此游客騎車向西行后到達處，這時塔和寺廟分別在北偏東30°和北偏西15°，則塔與寺廟的距離為______.
例15．（2024·河南鄭州·高三統考期末）如圖，為了測量兩點間的距離，選取同一平面上的，兩點，測出四邊形各邊的長度（單位：km）：，，，，且四點共圓，則的長為_________ .
變式17．（2024·山東東營·高三廣饒一中校考階段練習）如圖，一條巡邏船由南向北行駛，在A處測得燈塔底部C在北偏東方向上，勻速向北航行20分鐘到達B處，此時測得燈塔底部C在北偏東方向上，測得塔頂P的仰角為 ，已知燈塔高為．則巡邏船的航行速度為______．
方向2：高度問題
例16．（2024·重慶·統考模擬預測）如圖，某中學某班級課外學習興趣小組為了測量某座山峰的高度，先在山腳處測得山頂處的仰角為，又利用無人機在離地面高的處（即），觀測到山頂處的仰角為，山腳處的俯角為，則山高_________m．

例17．（2024·河南·校聯考模擬預測）中國古代數學名著《海島算經》記錄了一個計算山高的問題（如圖1）：今有望海島，立兩表齊，高三丈，前后相去千步，令后表與前表相直.從前表卻行一百二十三步，人目著地取望島峰，與表末參合.從后表卻行百二十七步，人目著地取望島峰，亦與表末參合.問島高及去表各幾何 假設古代有類似的一個問題，如圖2，要測量海島上一座山峰的高度AH，立兩根高48丈的標桿BC和DE，兩竿相距BD=800步，D，B，H三點共線且在同一水平面上，從點B退行100步到點F，此時A，C，F三點共線，從點D退行120步到點G，此時A，E，G三點也共線，則山峰的高度AH=_________步.（古制單位:180丈=300步）

例18．（2024·全國·高三專題練習）為了培養學生的數學建模和應用能力，某校數學興趣小組對學校雕像“月亮上的讀書女孩”進行測量，在正北方向一點測得雕塑最高點仰角為30°，在正東方向一點測得雕塑最高點仰角為45°，兩個測量點之間距離約為米，則雕塑高為______
變式18．（2024·全國·模擬預測）山西應縣木塔（如圖1）是世界上現存最古老、最高大的木塔，是中國古建筑中的瑰寶，是世界木結構建筑的典范．如圖2，某校數學興趣小組為測量木塔的高度，在木塔的附近找到一建筑物，高為米，塔頂在地面上的射影為，在地面上再確定一點（，，三點共線），測得約為57米，在點處測得塔頂的仰角分別為30°和60°，則該小組估算的木塔的高度為__________米．
方向3：角度問題
例19．（2024·福建廈門·高三廈門一中校考期中）足球是一項很受歡迎的體育運動．如圖，某標準足球場的B底線寬碼，球門寬碼，球門位于底線的正中位置．在比賽過程中，攻方球員帶球運動時，往往需要找到一點P，使得最大，這時候點P就是最佳射門位置．當攻方球員甲位于邊線上的點O處時，根據場上形勢判斷，有、兩條進攻線路可供選擇．若選擇線路，則甲帶球______碼時，到達最佳射門位置．
例20．（2024·全國·高三專題練習）當太陽光線與水平面的傾斜角為時，一根長為的竹竿，要使它的影子最長，則竹竿與地面所成的角________．
例21．（2024·全國·高三專題練習）游客從某旅游景區的景點A處至景點C處有兩條線路．線路1是從A沿直線步行到C，線路2是先從A沿直線步行到景點B處，然后從B沿直線步行到C．現有甲、乙兩位游客從A處同時出發勻速步行，甲的速度是乙的速度的倍，甲走線路2，乙走線路1，最后他們同時到達C處．經測量，AB＝1 040 m，BC＝500 m，則sin∠BAC等于________．
變式19．（2024·全國·高三專題練習）最大視角問題是1471年德國數學家米勒提出的幾何極值問題，故最大視角問題一般稱為“米勒問題”.如圖，樹頂A離地面a米，樹上另一點B離地面b米，在離地面米的C處看此樹，離此樹的水平距離為___________米時看A，B的視角最大.
【解題方法總結】
根據題意畫出圖形，將題設已知、未知顯示在圖形中，建立已知、未知關系，利用三角知識求解．
題型六：倍角關系
例22．（2024·全國·高三專題練習）記的內角的對邊分別為，已知.
(1)證明：；
(2)若，求的面積.
例23．（2024·全國·模擬預測）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c（a，b，c互不相等），且滿足.
（1）求證：；
（2）若，求.
例24．（2024·江蘇·高三江蘇省前黃高級中學校聯考階段練習）在中，角、、的對邊分別為、、，若．
(1)求證：；
(2)若，點為邊上一點，，，求邊長．
變式20．（2024·陜西咸陽·武功縣普集高級中學?？寄M預測）已知分別是的角的對邊，.
(1)求證：；
(2)求的取值范圍.
變式21．（2024·四川·成都市錦江區嘉祥外國語高級中學校考三模）已知分別為銳角ABC內角的對邊，．
(1)證明：；
(2)求的取值范圍．
變式22．（2024·福建三明·高三統考期末）非等腰的內角、、的對應邊分別為、、，且.
(1)證明：；
(2)若，證明：.
題型七：三角形解的個數
例25．（2024·貴州·統考模擬預測）中，角的對邊分別是，，.若這個三角形有兩解，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
例26．（2024·全國·高三專題練習）在△ABC中，a=18，b=24，∠A=45°，此三角形解的情況為（ ）
A．一個解 B．二個解 C．無解 D．無法確定
例27．（2024·河南南陽·高三統考期中）在中，，，. 若滿足條件的有且只有一個，則的可能取值是（ ）
A． B． C． D．
變式23．（2024·全國·高三專題練習）在中，內角所對的邊分別為，則下列條件能確定三角形有兩解的是（ ）
A．
B．
C．
D．
變式24．（2024·北京朝陽·高三專題練習）在下列關于的四個條件中選擇一個，能夠使角被唯一確定的是：（ ）
①
②；
③；
④.
A．①② B．②③ C．②④ D．②③④
變式25．（2024·全國·高三專題練習）設在中，角A、B、C所對的邊分別為a，b，c，若滿足的不唯一，則m的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
變式26．（2024·全國·高三專題練習）在中，，，若該三角形有兩個解，則邊范圍是（ ）
A． B． C． D．
變式27．（2024·全國·高三專題練習）若滿足的恰有一個，則實數k的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【解題方法總結】
三角形解的個數的判斷：已知兩角和一邊，該三角形是確定的，其解是唯一的；已知兩邊和一邊的對角，該三角形具有不唯一性，通常根據三角函數值的有界性和大邊對大角定理進行判斷．
題型八：三角形中的面積與周長問題
例28．（2024·全國·高三對口高考）在中，若，且，則的面積為（ ）
A． B． C． D．
例29．（2024·河南·襄城高中校聯考三模）在中，內角A，，所對的邊分別為，，，，為上一點，，，則的面積為（ ）
A． B． C． D．
例30．（2024·四川成都·校考模擬預測）在中，，，分別為角，，的對邊，已知，，且，則（ ）
A． B． C． D．
變式28．（2024·河北石家莊·統考三模）已知中，角，，的對邊長分別是，，，，且.
(1)證明：；
(2)若，求外接圓的面積
變式29．（2024·全國·高三專題練習）已知的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．
(1)證明：是等腰三角形；
(2)若的面積為，且，求的周長．
變式30．（2024·全國·高三專題練習）在①；②.
這兩個條件中任選一個，補充在下面問題中，并解答.
已知的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若的面積，，___________，求.
注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.
變式31．（2024·湖南長沙·周南中學?？级＃┮阎蛄浚?，），（，），.
(1)求函數的最大值及相應x的值；
(2)在△ABC中，角A為銳角且，，BC=2，求的面積.
變式32．（2024·海南?？凇ずＤ先A僑中學校考模擬預測）已知的內角A，，的對邊分別為，，，，.
(1)若，證明：；
(2)若邊上的高為，求的周長.
變式33．（2024·安徽·合肥一中校聯考模擬預測）記的內角，，的對邊分別為，，，已知.
(1)求的值；
(2)若，，求的值.
變式34．（2024·吉林長春·東北師大附中?？寄M預測）已知中角的對邊分別為，．
(1)求；
(2)若，且的面積為，求周長．
【解題方法總結】
解三角形時，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或邊的一次式時，則考慮用正弦定理，以上特征都不明顯時，則要考慮兩個定理都有可能用到
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