資源簡(jiǎn)介

第16講 極值與最值
知識(shí)梳理
知識(shí)點(diǎn)一：極值與最值
1、函數(shù)的極值
函數(shù)在點(diǎn)附近有定義，如果對(duì)附近的所有點(diǎn)都有，則稱是函數(shù)的一個(gè)極大值，記作．如果對(duì)附近的所有點(diǎn)都有，則稱是函數(shù)的一個(gè)極小值，記作．極大值與極小值統(tǒng)稱為極值，稱為極值點(diǎn)．
求可導(dǎo)函數(shù)極值的一般步驟
（1）先確定函數(shù)的定義域；
（2）求導(dǎo)數(shù)；
（3）求方程的根；
（4）檢驗(yàn)在方程的根的左右兩側(cè)的符號(hào)，如果在根的左側(cè)附近為正，在右側(cè)附近為負(fù)，那么函數(shù)在這個(gè)根處取得極大值；如果在根的左側(cè)附近為負(fù)，在右側(cè)附近為正，那么函數(shù)在這個(gè)根處取得極小值．
注：①可導(dǎo)函數(shù)在點(diǎn)處取得極值的充要條件是：是導(dǎo)函數(shù)的變號(hào)零點(diǎn)，即，且在左側(cè)與右側(cè)，的符號(hào)導(dǎo)號(hào)．
②是為極值點(diǎn)的既不充分也不必要條件，如，，但不是極值點(diǎn)．另外，極值點(diǎn)也可以是不可導(dǎo)的，如函數(shù)，在極小值點(diǎn)是不可導(dǎo)的，于是有如下結(jié)論：為可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)；但為的極值點(diǎn)．
2、函數(shù)的最值
函數(shù)最大值為極大值與靠近極小值的端點(diǎn)之間的最大者；函數(shù)最小值為極小值與靠近極大值的端點(diǎn)之間的最小者．
導(dǎo)函數(shù)為
（1）當(dāng)時(shí)，最大值是與中的最大者；最小值是與中的最小者．
（2）當(dāng)時(shí)，最大值是與中的最大者；最小值是與中的最小者．
一般地，設(shè)是定義在上的函數(shù)，在內(nèi)有導(dǎo)數(shù)，求函數(shù)在上的最大值與最小值可分為兩步進(jìn)行：
（1）求在內(nèi)的極值（極大值或極小值）；
（2）將的各極值與和比較，其中最大的一個(gè)為最大值，最小的一個(gè)為最小值．
注：①函數(shù)的極值反映函數(shù)在一點(diǎn)附近情況，是局部函數(shù)值的比較，故極值不一定是最值；函數(shù)的最值是對(duì)函數(shù)在整個(gè)區(qū)間上函數(shù)值比較而言的，故函數(shù)的最值可能是極值，也可能是區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值；
②函數(shù)的極值點(diǎn)必是開區(qū)間的點(diǎn)，不能是區(qū)間的端點(diǎn)；
③函數(shù)的最值必在極值點(diǎn)或區(qū)間端點(diǎn)處取得．
【解題方法總結(jié)】
（1）若函數(shù)在區(qū)間D上存在最小值和最大值，則
不等式在區(qū)間D上恒成立；
不等式在區(qū)間D上恒成立；
不等式在區(qū)間D上恒成立；
不等式在區(qū)間D上恒成立；
（2）若函數(shù)在區(qū)間D上不存在最大（小）值，且值域?yàn)椋瑒t
不等式在區(qū)間D上恒成立．
不等式在區(qū)間D上恒成立．
（3）若函數(shù)在區(qū)間Ｄ上存在最小值和最大值，即，則對(duì)不等式有解問(wèn)題有以下結(jié)論：
不等式在區(qū)間D上有解；
不等式在區(qū)間D上有解；
不等式在區(qū)間D上有解；
不等式在區(qū)間D上有解；
（4）若函數(shù)在區(qū)間D上不存在最大（小）值，如值域?yàn)椋瑒t對(duì)不等式有解問(wèn)題有以下結(jié)論：
不等式在區(qū)間D上有解
不等式在區(qū)間D上有解
（5）對(duì)于任意的，總存在，使得；
（6）對(duì)于任意的，總存在，使得；
（7）若存在，對(duì)于任意的，使得；
（8）若存在，對(duì)于任意的，使得；
（9）對(duì)于任意的，使得；
（10）對(duì)于任意的，使得；
（11）若存在，總存在，使得
（12）若存在，總存在，使得．
必考題型全歸納
題型一：求函數(shù)的極值與極值點(diǎn)
【例1】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若函數(shù)存在一個(gè)極大值與一個(gè)極小值滿足，則至少有（ ）個(gè)單調(diào)區(qū)間.
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【解析】若函數(shù)存在一個(gè)極大值與一個(gè)極小值，則至少有3個(gè)單調(diào)區(qū)間，
若有3個(gè)單調(diào)區(qū)間，
不妨設(shè)的定義域?yàn)椋簦渲锌梢詾椋梢詾椋?br/>則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，（若定義域?yàn)閮?nèi)不連續(xù)不影響總體單調(diào)性），
故，不合題意，
若，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，有，不合題意；
若有4個(gè)單調(diào)區(qū)間，
例如的定義域?yàn)椋瑒t，
令，解得或，
則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
故函數(shù)存在一個(gè)極大值與一個(gè)極小值，且，滿足題意，此時(shí)有4個(gè)單調(diào)區(qū)間，
綜上所述：至少有4個(gè)單調(diào)區(qū)間.
故選：B.
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知定義在R上的函數(shù)f（x），其導(dǎo)函數(shù)的大致圖象如圖所示，則下列敘述正確的是（ ）
A．
B．函數(shù)在x＝c處取得最大值，在處取得最小值
C．函數(shù)在x＝c處取得極大值，在處取得極小值
D．函數(shù)的最小值為
【答案】C
【解析】由題圖可知，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，
又a因?yàn)椋耶?dāng)時(shí)，；當(dāng)c當(dāng)x>e時(shí)，．所以函數(shù)在x＝c處取得極大值，但不一定取得最大值，在x＝e處取得極小值，不一定是最小值，故B不正確，C正確．
由題圖可知，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在[d，e]上單調(diào)遞減，從而，所以D不正確．
故選：C．
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，則“在上有兩個(gè)零點(diǎn)”是“在上有兩個(gè)極值點(diǎn)”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】D
【解析】只有當(dāng)在上有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)時(shí)，在上才有兩個(gè)極值點(diǎn)，故充分性不成立；若在上有兩個(gè)極值點(diǎn)，則在上有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，則在上至少有兩個(gè)零點(diǎn)，故必要性不成立.綜上，“在上有兩個(gè)零點(diǎn)”是“在上有兩個(gè)極值點(diǎn)”的既不充分也不必要條件，
故選：D.
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3】（2024·廣西南寧·南寧三中校考一模）設(shè)函數(shù)，，為的導(dǎo)函數(shù)．
(1)當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)作曲線的切線，求切點(diǎn)坐標(biāo)；
(2)若，，且和的零點(diǎn)均在集合中，求的極小值．
【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，求導(dǎo)得，
設(shè)過(guò)點(diǎn)作曲線的切線的切點(diǎn)為，則，
于是切線方程為，即，因?yàn)榍芯€過(guò)點(diǎn)，
即有，解得或，所以切點(diǎn)坐標(biāo)為，.
（2）當(dāng)，時(shí)，，
求導(dǎo)得，令，得或，
依題意，，都在集合中，且，，
當(dāng)時(shí)，，且，則，，，
當(dāng)時(shí)，，且，則，，不符合題意，
因此，，，，
當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
于是函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值為.
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練4】（2024·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．
(1)證明：當(dāng)時(shí)，有唯一的極值點(diǎn)為，并求取最大值時(shí)的值；
(2)當(dāng)時(shí)，討論極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)．
【解析】（1）證明：當(dāng)，時(shí)，，可得的定義域?yàn)椋?br/>且，令，解得，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時(shí)，有唯一的極小值，即有唯一的極值點(diǎn)為，
由，
令，設(shè)，可得，
由，解得，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
所以當(dāng)，即時(shí)，有唯一的極大值，即取得最大值，
所以當(dāng)?shù)淖畲笾禃r(shí)，.
（2）當(dāng)時(shí)，的定義域?yàn)椋遥?br/>①當(dāng)時(shí)，時(shí)恒成立，此時(shí)單調(diào)遞增，
所以極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為個(gè)；
②當(dāng)時(shí)，設(shè)，即
（i）當(dāng)，即時(shí)，可得，即對(duì)恒成立，即在上無(wú)變號(hào)零點(diǎn)，所以此時(shí)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為個(gè)；
（ii）當(dāng)，即時(shí)，
設(shè)的兩零點(diǎn)為，且，，，可得
即在上有個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，所以此時(shí)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為個(gè)；
綜上所述，當(dāng)時(shí)，的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為；
當(dāng)時(shí)，的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為.
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練5】（2024·江蘇無(wú)錫·校聯(lián)考三模）已知函數(shù).求的極值；
【解析】因?yàn)楹瘮?shù)，所以，
設(shè)，，
所以在上單調(diào)遞增.
又，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.
又因?yàn)閷?duì)恒成立，
所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.
即在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，
故，沒(méi)有極小值.
【解題方法總結(jié)】
1、因此，在求函數(shù)極值問(wèn)題中，一定要檢驗(yàn)方程根左右的符號(hào)，更要注意變號(hào)后極大值與極小值是否與已知有矛盾．
2、原函數(shù)出現(xiàn)極值時(shí)，導(dǎo)函數(shù)正處于零點(diǎn)，歸納起來(lái)一句話：原極導(dǎo)零．這個(gè)零點(diǎn)必須穿越軸，否則不是極值點(diǎn)．判斷口訣：從左往右找穿越（導(dǎo)函數(shù)與軸的交點(diǎn)）；上坡低頭找極小，下坡抬頭找極大．
題型二：根據(jù)極值、極值點(diǎn)求參數(shù)
【例2】（2024·貴州·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)在處取得極大值4，則（ ）
A．8 B． C．2 D．
【答案】B
【解析】因?yàn)椋裕?br/>所以，解得，
經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意，所以.
故選：B
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練6】（2024·陜西商洛·統(tǒng)考三模）若函數(shù)無(wú)極值，則的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因?yàn)椋裕驗(yàn)闊o(wú)極值，所以，解得，所以a的取值范圍為．
故選：A.
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練7】（2024·湖南長(zhǎng)沙·高三長(zhǎng)沙一中校考階段練習(xí)）函數(shù)在區(qū)間上存在極值，則的最大值為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】函數(shù)的定義域?yàn)椋?br/>，
令，，
所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，
所以，
又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，則，
，
所以存在唯一，使得，
所以函數(shù)在時(shí)，時(shí)，
所以函數(shù)在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，
所以要使函數(shù)在區(qū)間上存在極值，
所以的最大值為3，
故選:B.
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練8】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)在處取得極小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因?yàn)楹瘮?shù)，
則，
要使函數(shù)在處取得極小值，則，
故選：B.
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練9】（2024·廣東梅州·梅州市梅江區(qū)梅州中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】的定義域是，，
令，
所以在區(qū)間遞減；在區(qū)間遞增.
要使有兩個(gè)極值點(diǎn)，則，
此時(shí)，
構(gòu)造函數(shù)，
所以在上遞增，所以，
所以，
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍.
故選：D
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練10】（2024·江蘇揚(yáng)州·高三揚(yáng)州市新華中學(xué)校考開學(xué)考試）若x＝a是函數(shù)的極大值點(diǎn)，則a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，
令，得：
當(dāng) ，即
此時(shí)在區(qū)間單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，符合x＝a是函數(shù)的極大值點(diǎn)，
反之，當(dāng) ，即，此時(shí)在區(qū)間單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，x＝a是函數(shù)的極小值點(diǎn)，不符合題意；
當(dāng) ，即，恒成立，函數(shù)在上單調(diào)遞增，無(wú)極值點(diǎn).
綜上得：.
故選：A.
【解題方法總結(jié)】
根據(jù)函數(shù)的極值（點(diǎn)）求參數(shù)的兩個(gè)要領(lǐng)
（1）列式：根據(jù)極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為0和極值這兩個(gè)條件列方程組，利用待定系數(shù)法求解；
（2）驗(yàn)證：求解后驗(yàn)證根的合理性．
題型三：求函數(shù)的最值（不含參）
【例3】（2024·山東淄博·山東省淄博實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考三模）已知函數(shù).
(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
(2)求在區(qū)間上的最大值；
【解析】（1）因?yàn)椋?br/>所以，則，又，
所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為.
（2）令，
則，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增.
因?yàn)椋?br/>所以，使得.
所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
又，，
所以.
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練11】（2024·云南昆明·高三昆明一中校考階段練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間上最大值為M，最小值為m，則的值是_______.
【答案】
【解析】由題意， ，，在上，
故函數(shù)單調(diào)遞增，所以，，，
故的值是.
故答案為：
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練12】（2024·遼寧葫蘆島·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)，則的最大值是________．
【答案】
【解析】因?yàn)椋?br/>所以
.
當(dāng)時(shí)，，
所以在單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，
所以在單調(diào)遞減；
所以.
故答案為：.
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練13】（2024·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，，則函數(shù)的最小值為______.
【答案】/0.5
【解析】因?yàn)椋?br/>所以，
記，，
則，因?yàn)椋裕?br/>所以在上單調(diào)遞增，所以，
所以在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，
故當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值為，
故答案為：
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練14】（2024·山西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，且，則的最小值為__________.
【答案】1
【解析】因?yàn)椋裕裕遥?br/>所以，
設(shè)，，
則，因?yàn)椋裕谏蠟樵龊瘮?shù)，
因?yàn)椋裕瑒t，所以，
所以，
令，則，
令，則，則在上為增函數(shù)，
令得，即，
則存在唯一實(shí)數(shù)，使得，即，
所以當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，
所以在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，
所以.
所以的最小值為.
故答案為：.
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練15】（2024·海南海口·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知正實(shí)數(shù)，滿足：，則的最小值為______.
【答案】
【解析】由可得：,
所以，，
設(shè)，，
所以在上單調(diào)遞增，所以，
則，所以，
所以，所以，令，
令，解得：；令，解得：；
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以.
故的最小值為.
故答案為：.
【解題方法總結(jié)】
求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值時(shí)，在得到極值的基礎(chǔ)上，結(jié)合區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值，與的各極值進(jìn)行比較得到函數(shù)的最值．
題型四：求函數(shù)的最值（含參）
【例4】（2024·天津和平·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)，，其中.
(1)若曲線在處的切線與曲線在處的切線平行，求的值；
(2)若時(shí)，求函數(shù)的最小值；
(3)若的最小值為，證明：當(dāng)時(shí)，.
【解析】（1）因?yàn)椋?br/>所以，，
所以，，
因?yàn)閮蓷l切線平行，所以，解得
（2）由（1）可知，令，即，
即，即，又，解得，
令，解得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以時(shí)，函數(shù)的最小值為.
（3）證明：因?yàn)椋?br/>令，則，即，
所以當(dāng)時(shí)解得，所以在上單調(diào)遞增，
令，解得，所以在上單調(diào)遞減，
所以在處取得極小值即最小值，
所以，
即的最小值為的解析式為，，
則，令，解得，
所以當(dāng)時(shí)，即在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，即在上單調(diào)遞增，
所以在處取得極大值即最大值，即，
所以，即當(dāng)時(shí)，總有.
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練16】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，．討論函數(shù)的最值；
【解析】函數(shù)的定義域?yàn)椋?br/>當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，無(wú)最值；
當(dāng)時(shí)，令，得，所以在上單調(diào)遞減；
令，得，所以在單調(diào)遞增，
所以的最小值為，無(wú)最大值．
綜上，當(dāng)時(shí)，無(wú)最值；當(dāng)時(shí)，的最小值為，無(wú)最大值．
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練17】（2024·四川成都·成都七中校考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，其中．
(1)若a=2，求的單調(diào)區(qū)間；
(2)已知，求的最小值．（參考數(shù)據(jù)：）
【解析】（1）由題設(shè)，則，且，
所以，
當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，
所以的減區(qū)間為，增區(qū)間為.
（2）由題意，
所以，即，
又，且，
當(dāng)或時(shí)，或時(shí)，
所以、上遞減，、上遞增，
又極小值，故最小值為.
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練18】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)在上的單調(diào)性；
(2)當(dāng)時(shí)，求在內(nèi)的最大值；
【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，，且．
當(dāng)時(shí)，，，則，
即，故函數(shù)在上單調(diào)遞增．
（2），
令，則，
由且，可得，，則，在內(nèi)單調(diào)遞增，
所以，
又當(dāng)時(shí)，，
所以，在內(nèi)單調(diào)遞增，
故．
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練19】（2024·湖南長(zhǎng)沙·湖南師大附中校考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．
(1)若存在最大值M，證明：；
(2)在（1）的條件下，設(shè)函數(shù)，求的最小值（用含M，k的代數(shù)式表示）．
【解析】（1）的定義域?yàn)椋?br/>，
記，易知單調(diào)遞增，
又因?yàn)椋?br/>所以存在，使得，
①當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以無(wú)最大值，即不符題意；
②當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，
因?yàn)椋裕裕?br/>所以，即．
（2）由（1）可知，且，所以，
，令，
則，令，解得，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
當(dāng)時(shí)，，又，
所以存在，使得，
可知，
因?yàn)椋裕裕?br/>由（1）可知，，即，
因?yàn)椋裕?br/>所以．
設(shè)，易知單調(diào)遞增，且，
所以，
所以，
即的最小值為．
【解題方法總結(jié)】
若所給的閉區(qū)間含參數(shù)，則需對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，通過(guò)對(duì)參數(shù)分類討論，判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而得到函數(shù)的最值．
題型五：根據(jù)最值求參數(shù)
【例5】（2024·四川宜賓·統(tǒng)考三模）已知函數(shù).
(1)討論函數(shù)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)；
(2)若，的最小值是，求實(shí)數(shù)m的所有可能值.
【解析】（1）函數(shù)的定義域是，求導(dǎo)得，
令，求導(dǎo)得，遞減，
遞增，，
①當(dāng)時(shí)，，遞減，遞增，有1個(gè)極小值點(diǎn)；
②當(dāng)時(shí)，，
令，則，函數(shù)在上遞增，，即，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，使得，
令，有，令，，
即有在上遞增，，函數(shù)在上遞增，，則，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，使得，
因此遞減，遞增，
遞減，遞增，有3個(gè)極值點(diǎn)，
所以當(dāng)時(shí)，恰有一個(gè)極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，恰有三個(gè)極值點(diǎn).
（2）由（1）知，①當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
，即，令，
，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，則；
②當(dāng)時(shí)，，使得，，使得，
遞減，遞增，
遞減，遞增，
其中，則，
顯然符合要求，即有，
綜上提，
所以m的所有可能值是上的實(shí)數(shù).
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練20】（2024·山東·山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考一模）若函數(shù)在區(qū)間上存在最小值，則整數(shù)的取值可以是______．
【答案】（答案不唯一，、均可）
【解析】因?yàn)椋瑒t.
由可得，由可得或，
所以，函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為、，
所以，函數(shù)的極大值為，極小值為，
令，其中，則，解得，
因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上存在最小值，則，解得，
所以，整數(shù)的取值集合為.
故答案為：（答案不唯一，、均可）.
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練21】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若函數(shù)在區(qū)間上有最小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍為________.
【答案】
【解析】，
所以在和上，，函數(shù)單調(diào)遞減；
在上，，函數(shù)單調(diào)遞增；
且
當(dāng)時(shí)，，
即，
所以在區(qū)間上有最小值，則：
解得.
故答案為：
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練22】（2024·福建泉州·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知函數(shù)的最小值為0，則a的取值范圍為______________．
【答案】
【解析】函數(shù)定義域?yàn)椋@然，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，，因此，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，其取值集合為，
函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)值集合為，因此存在，使得，
而，于是，不符合題意，
當(dāng)時(shí)，，令，，當(dāng)時(shí)，，
即在上單調(diào)遞增，，，即有，
當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，因此，
當(dāng)時(shí)，，顯然當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
，不符合題意，
綜上得，，
所以則a的取值范圍為.
故答案為：
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練23】（2024·江蘇南通·高三校考開學(xué)考試）若函數(shù)的最小值為，則______．
【答案】
【解析】當(dāng)時(shí)，，
，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
所以解得，與矛盾；
當(dāng)時(shí)，，
(i)若，即，
則有在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，
所以解得，與矛盾；
(ii)若，即，
則有在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，
所以解得，滿足題意；
綜上，，
故答案為:.
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練24】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若函數(shù)在區(qū)間上存在最大值，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_______
【答案】
【解析】因?yàn)椋?br/>且函數(shù)在區(qū)間上存在最大值，
故只需滿足，
所以，
解得．
故答案為：
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練25】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，若函數(shù)在上存在最小值.則實(shí)數(shù)的取值范圍是________.
【答案】
【解析】，，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)或時(shí)，，單調(diào)遞增，
∴在處取得極小值，在處取得極大值.
令，解得或，
又∵函數(shù)在上存在最小值，且為開區(qū)間，
所以，解得.
即的取值范圍是.
故答案為：.
題型六：函數(shù)單調(diào)性、極值、最值得綜合應(yīng)用
【例6】（2024·天津河北·統(tǒng)考二模）已知，函數(shù)，其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
(2)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(3)求證：函數(shù)存在極值點(diǎn)，并求極值點(diǎn)的最小值.
【解析】（1）當(dāng)時(shí)，,,
,,
曲線在點(diǎn)處的切線方程,
切線方程.
（2）當(dāng)時(shí)，，
則
令，得；
令，得；
所以，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為．
（3）
令，因?yàn)椋?br/>所以方程，有兩個(gè)不相等的實(shí)根，
又因?yàn)椋?br/>所以，
令，列表如下:
- 0 +
減 極小值 增
所以存在極值點(diǎn).
所以存在使得成立，
所以存在使得，
所以存在使得對(duì)任意的有解，因此需要討論等式左邊的關(guān)于的函數(shù)，
記，
所以，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增．
所以當(dāng)時(shí)，的最小值為．
所以需要，
即需要，
即需要，
即需要
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且，
所以需要，
故的最小值是e．
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練26】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，其中．
(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在內(nèi)的極值；
(2)若函數(shù)在上的最小值為5，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【解析】（1）由題意得，當(dāng)時(shí)，，
則，
令，得，，
，在內(nèi)隨x變化而變化的情況如下表所示：
x 1
+ 0
單調(diào)遞增 極大值9 單調(diào)遞減
故在內(nèi)的極大值為9，無(wú)極小值；
（2），
①當(dāng)時(shí)，，且不恒為0，
所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以在上，，
由題意，則，解得，與矛盾，
②當(dāng)時(shí)，，且不恒為0，
所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，
所以在上，，符合題意，
③當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以在上，，
由題意，則，即，即，
即，解得或，與矛盾，
綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為．
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練27】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知．
(1)求函數(shù)在內(nèi)的極值點(diǎn)；
(2)求函數(shù)在上的最值．
【解析】（1）由得．
令，解得，，即，．
又，所以，．
，隨x變化而變化的情況如下表所示：
x
+ 0 - 0 +
↑ 極大值 ↓ 極小值 ↑
所以函數(shù)在內(nèi)的極大值點(diǎn)為，極小值點(diǎn)為．
（2）由題知．，
記，
則．
因?yàn)椋裕郑?br/>所以，所以函數(shù)單調(diào)遞增，，
所以當(dāng)時(shí)，，即，函數(shù)單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，即，函數(shù)單調(diào)遞增．
，
，
，
顯然，所以函數(shù)在上的最小值為，最大值為．
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練28】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)，已知是函數(shù)的極值點(diǎn)．
(1)若函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
(2)討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；
(3)求在內(nèi)的最值．
【解析】（1）由已知可得，.
因?yàn)槭呛瘮?shù)的極值點(diǎn)，
所以當(dāng)時(shí)，，即，所以.
此時(shí)有，.
令，，
則在上恒成立，
所以，即在上單調(diào)遞減.
又當(dāng)時(shí)，，
所以時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；
時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減.
所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值，所以，
所以．
則，
所以，．
因?yàn)椋?
設(shè)，
要使在內(nèi)單調(diào)遞減，則應(yīng)有在內(nèi)恒成立，
只需在內(nèi)恒成立，只需在上的最小值即可．
當(dāng)時(shí)，滿足條件；
當(dāng)時(shí)，，
此時(shí)，函數(shù)在處有最小值，
所以，解得，所以；
當(dāng)時(shí)，，
此時(shí)，要使在上恒成立，
所以只需，解得，所以.
綜上可知，實(shí)數(shù)m的取值范圍為．
（2）由已知可得，，
則.
因?yàn)椋裕?
當(dāng)時(shí)，有.
當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減.
故的極大值為.
又，
由零點(diǎn)存在性定理知，可知在內(nèi)存在一個(gè)零點(diǎn).
又，
故函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)．
（3）由題可得（且），
則.
設(shè)，則，
令，解得，
當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，所以在內(nèi)單調(diào)遞增.
所以，故恒成立.
又因?yàn)楫?dāng)且時(shí)，，
所以恒成立，所以在上單調(diào)遞減，
故在內(nèi)的最大值為，最小值為．
題型七：不等式恒成立與存在性問(wèn)題
【例7】（2024·貴州黔東南·凱里一中校考模擬預(yù)測(cè)）若存在實(shí)數(shù)（），使得關(guān)于x的不等式對(duì)恒成立，則b的最大值是_________.
【答案】
【解析】當(dāng)，且時(shí)，由，得.
設(shè)，則.
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減.
所以，得，
等價(jià)于，而，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.
所以，則，
所以，
解得，所以b的最大值是.
故答案為：
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練29】（2024·陜西安康·高三陜西省安康中學(xué)校考階段練習(xí)）若不等式 對(duì)恒成立，則a的取值范圍是______.
【答案】
【解析】令 ，則
，
令，，則 ,
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，
所以,當(dāng)x趨近于0時(shí)，趨近于，所以，
令，，，則，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以，
若恒成立，即恒成立，所以，所以；
故答案為：.
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練30】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若存在，使得不等式成立，則m的取值范圍為______
【答案】
【解析】存在，要使成立，即，，
令，，即，
又，設(shè)，，
則，則在內(nèi)單調(diào)遞增，
，則，在內(nèi)單調(diào)遞增，
，故m的取值范圍為．
故答案為：.
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練31】（2024·浙江金華·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）對(duì)任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為___________.
【答案】
【解析】原題等價(jià)于，.
令，，則.
當(dāng)時(shí)，.
當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減.
所以，函數(shù)在處取得唯一極大值，也是最大值.
又，所以.
令，，則.
當(dāng)時(shí)，.
因?yàn)椋?br/>所以，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.
所以，函數(shù)在處取得唯一極小值，也是最小值.
所以，當(dāng)時(shí)，有.
要使時(shí)，有恒成立，則應(yīng)有.
故答案為：.
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練32】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，是上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，取得極值．
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極大值；
(2)若對(duì)任意，都有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(3)若對(duì)任意，，都有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【解析】（1）是上的奇函數(shù)，
，即，得恒成立，
可得，即，
又當(dāng)時(shí)，取得極值，，
解得，故函數(shù)，導(dǎo)函數(shù)，
令解得，當(dāng)或時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為，
故當(dāng)時(shí)，取到極大值
（2），對(duì)任意，都有成立，只需在時(shí)恒成立，
構(gòu)造函數(shù)，，則有，
令可得或，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，取到極大值，又，故的最大值為8，
故實(shí)數(shù)的取值范圍為：；
（3）若對(duì)任意，，都有成立，
即在區(qū)間上的最大值都小于或等于的最小值，
由（1）可知：當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，
故當(dāng)時(shí)，函數(shù)取到極小值，也是該區(qū)間的最小值，
而為開口向上的拋物線，對(duì)稱軸為，故當(dāng)時(shí)取最大值，
由，解得
故實(shí)數(shù)的取值范圍為：
【解題方法總結(jié)】
在不等式恒成立或不等式有解條件下求參數(shù)的取值范圍，一般利用等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想其轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值或值域問(wèn)題加以求解，可采用分離參數(shù)或不分離參數(shù)法直接移項(xiàng)構(gòu)造輔助函數(shù)．
1．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）函數(shù)在區(qū)間的最小值、最大值分別為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，
所以在區(qū)間和上，即單調(diào)遞增；
在區(qū)間上，即單調(diào)遞減，
又，，，
所以在區(qū)間上的最小值為，最大值為.
故選：D
2．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，則（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【解析】因?yàn)楹瘮?shù)定義域?yàn)椋砸李}可知，，，而，所以，即，所以，因此函數(shù)在上遞增，在上遞減，時(shí)取最大值，滿足題意，即有．
故選：B.
3．（2021·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）設(shè)，若為函數(shù)的極大值點(diǎn)，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】若，則為單調(diào)函數(shù)，無(wú)極值點(diǎn)，不符合題意，故.
有和兩個(gè)不同零點(diǎn)，且在左右附近是不變號(hào)，在左右附近是變號(hào)的.依題意，
為函數(shù)的極大值點(diǎn)，在左右附近都是小于零的.
當(dāng)時(shí)，由，，畫出的圖象如下圖所示：
由圖可知，，故.
當(dāng)時(shí)，由時(shí)，，畫出的圖象如下圖所示：
由圖可知，，故.
綜上所述，成立.
故選：D
21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)第16講 極值與最值
知識(shí)梳理
知識(shí)點(diǎn)一：極值與最值
1、函數(shù)的極值
函數(shù)在點(diǎn)附近有定義，如果對(duì)附近的所有點(diǎn)都有，則稱是函數(shù)的一個(gè)極大值，記作．如果對(duì)附近的所有點(diǎn)都有，則稱是函數(shù)的一個(gè)極小值，記作．極大值與極小值統(tǒng)稱為極值，稱為極值點(diǎn)．
求可導(dǎo)函數(shù)極值的一般步驟
（1）先確定函數(shù)的定義域；
（2）求導(dǎo)數(shù)；
（3）求方程的根；
（4）檢驗(yàn)在方程的根的左右兩側(cè)的符號(hào)，如果在根的左側(cè)附近為正，在右側(cè)附近為負(fù)，那么函數(shù)在這個(gè)根處取得極大值；如果在根的左側(cè)附近為負(fù)，在右側(cè)附近為正，那么函數(shù)在這個(gè)根處取得極小值．
注：①可導(dǎo)函數(shù)在點(diǎn)處取得極值的充要條件是：是導(dǎo)函數(shù)的變號(hào)零點(diǎn)，即，且在左側(cè)與右側(cè)，的符號(hào)導(dǎo)號(hào)．
②是為極值點(diǎn)的既不充分也不必要條件，如，，但不是極值點(diǎn)．另外，極值點(diǎn)也可以是不可導(dǎo)的，如函數(shù)，在極小值點(diǎn)是不可導(dǎo)的，于是有如下結(jié)論：為可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)；但為的極值點(diǎn)．
2、函數(shù)的最值
函數(shù)最大值為極大值與靠近極小值的端點(diǎn)之間的最大者；函數(shù)最小值為極小值與靠近極大值的端點(diǎn)之間的最小者．
導(dǎo)函數(shù)為
（1）當(dāng)時(shí)，最大值是與中的最大者；最小值是與中的最小者．
（2）當(dāng)時(shí)，最大值是與中的最大者；最小值是與中的最小者．
一般地，設(shè)是定義在上的函數(shù)，在內(nèi)有導(dǎo)數(shù)，求函數(shù)在上的最大值與最小值可分為兩步進(jìn)行：
（1）求在內(nèi)的極值（極大值或極小值）；
（2）將的各極值與和比較，其中最大的一個(gè)為最大值，最小的一個(gè)為最小值．
注：①函數(shù)的極值反映函數(shù)在一點(diǎn)附近情況，是局部函數(shù)值的比較，故極值不一定是最值；函數(shù)的最值是對(duì)函數(shù)在整個(gè)區(qū)間上函數(shù)值比較而言的，故函數(shù)的最值可能是極值，也可能是區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值；
②函數(shù)的極值點(diǎn)必是開區(qū)間的點(diǎn)，不能是區(qū)間的端點(diǎn)；
③函數(shù)的最值必在極值點(diǎn)或區(qū)間端點(diǎn)處取得．
【解題方法總結(jié)】
（1）若函數(shù)在區(qū)間D上存在最小值和最大值，則
不等式在區(qū)間D上恒成立；
不等式在區(qū)間D上恒成立；
不等式在區(qū)間D上恒成立；
不等式在區(qū)間D上恒成立；
（2）若函數(shù)在區(qū)間D上不存在最大（小）值，且值域?yàn)椋瑒t
不等式在區(qū)間D上恒成立．
不等式在區(qū)間D上恒成立．
（3）若函數(shù)在區(qū)間Ｄ上存在最小值和最大值，即，則對(duì)不等式有解問(wèn)題有以下結(jié)論：
不等式在區(qū)間D上有解；
不等式在區(qū)間D上有解；
不等式在區(qū)間D上有解；
不等式在區(qū)間D上有解；
（4）若函數(shù)在區(qū)間D上不存在最大（小）值，如值域?yàn)椋瑒t對(duì)不等式有解問(wèn)題有以下結(jié)論：
不等式在區(qū)間D上有解
不等式在區(qū)間D上有解
（5）對(duì)于任意的，總存在，使得；
（6）對(duì)于任意的，總存在，使得；
（7）若存在，對(duì)于任意的，使得；
（8）若存在，對(duì)于任意的，使得；
（9）對(duì)于任意的，使得；
（10）對(duì)于任意的，使得；
（11）若存在，總存在，使得
（12）若存在，總存在，使得．
必考題型全歸納
題型一：求函數(shù)的極值與極值點(diǎn)
【例1】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若函數(shù)存在一個(gè)極大值與一個(gè)極小值滿足，則至少有（ ）個(gè)單調(diào)區(qū)間.
A．3 B．4 C．5 D．6
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知定義在R上的函數(shù)f（x），其導(dǎo)函數(shù)的大致圖象如圖所示，則下列敘述正確的是（ ）
A．
B．函數(shù)在x＝c處取得最大值，在處取得最小值
C．函數(shù)在x＝c處取得極大值，在處取得極小值
D．函數(shù)的最小值為
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，則“在上有兩個(gè)零點(diǎn)”是“在上有兩個(gè)極值點(diǎn)”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3】（2024·廣西南寧·南寧三中校考一模）設(shè)函數(shù)，，為的導(dǎo)函數(shù)．
(1)當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)作曲線的切線，求切點(diǎn)坐標(biāo)；
(2)若，，且和的零點(diǎn)均在集合中，求的極小值．
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練4】（2024·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．
(1)證明：當(dāng)時(shí)，有唯一的極值點(diǎn)為，并求取最大值時(shí)的值；
(2)當(dāng)時(shí)，討論極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)．
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練5】（2024·江蘇無(wú)錫·校聯(lián)考三模）已知函數(shù).求的極值；
【解題方法總結(jié)】
1、因此，在求函數(shù)極值問(wèn)題中，一定要檢驗(yàn)方程根左右的符號(hào)，更要注意變號(hào)后極大值與極小值是否與已知有矛盾．
2、原函數(shù)出現(xiàn)極值時(shí)，導(dǎo)函數(shù)正處于零點(diǎn)，歸納起來(lái)一句話：原極導(dǎo)零．這個(gè)零點(diǎn)必須穿越軸，否則不是極值點(diǎn)．判斷口訣：從左往右找穿越（導(dǎo)函數(shù)與軸的交點(diǎn)）；上坡低頭找極小，下坡抬頭找極大．
題型二：根據(jù)極值、極值點(diǎn)求參數(shù)
【例2】（2024·貴州·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)在處取得極大值4，則（ ）
A．8 B． C．2 D．
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練6】（2024·陜西商洛·統(tǒng)考三模）若函數(shù)無(wú)極值，則的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練7】（2024·湖南長(zhǎng)沙·高三長(zhǎng)沙一中校考階段練習(xí)）函數(shù)在區(qū)間上存在極值，則的最大值為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練8】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)在處取得極小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練9】（2024·廣東梅州·梅州市梅江區(qū)梅州中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍（ ）
A． B．
C． D．
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練10】（2024·江蘇揚(yáng)州·高三揚(yáng)州市新華中學(xué)校考開學(xué)考試）若x＝a是函數(shù)的極大值點(diǎn)，則a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【解題方法總結(jié)】
根據(jù)函數(shù)的極值（點(diǎn)）求參數(shù)的兩個(gè)要領(lǐng)
（1）列式：根據(jù)極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為0和極值這兩個(gè)條件列方程組，利用待定系數(shù)法求解；
（2）驗(yàn)證：求解后驗(yàn)證根的合理性．
題型三：求函數(shù)的最值（不含參）
【例3】（2024·山東淄博·山東省淄博實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考三模）已知函數(shù).
(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
(2)求在區(qū)間上的最大值；
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練11】（2024·云南昆明·高三昆明一中校考階段練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間上最大值為M，最小值為m，則的值是_______.
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練12】（2024·遼寧葫蘆島·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)，則的最大值是________．
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練13】（2024·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，，則函數(shù)的最小值為______.
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練14】（2024·山西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，且，則的最小值為__________.
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練15】（2024·海南海口·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知正實(shí)數(shù)，滿足：，則的最小值為______.
【解題方法總結(jié)】
求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值時(shí)，在得到極值的基礎(chǔ)上，結(jié)合區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值，與的各極值進(jìn)行比較得到函數(shù)的最值．
題型四：求函數(shù)的最值（含參）
【例4】（2024·天津和平·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)，，其中.
(1)若曲線在處的切線與曲線在處的切線平行，求的值；
(2)若時(shí)，求函數(shù)的最小值；
(3)若的最小值為，證明：當(dāng)時(shí)，.
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練16】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，．討論函數(shù)的最值；
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練17】（2024·四川成都·成都七中校考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，其中．
(1)若a=2，求的單調(diào)區(qū)間；
(2)已知，求的最小值．（參考數(shù)據(jù)：）
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練18】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)在上的單調(diào)性；
(2)當(dāng)時(shí)，求在內(nèi)的最大值；
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練19】（2024·湖南長(zhǎng)沙·湖南師大附中校考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．
(1)若存在最大值M，證明：；
(2)在（1）的條件下，設(shè)函數(shù)，求的最小值（用含M，k的代數(shù)式表示）．
【解題方法總結(jié)】
若所給的閉區(qū)間含參數(shù)，則需對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，通過(guò)對(duì)參數(shù)分類討論，判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而得到函數(shù)的最值．
題型五：根據(jù)最值求參數(shù)
【例5】（2024·四川宜賓·統(tǒng)考三模）已知函數(shù).
(1)討論函數(shù)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)；
(2)若，的最小值是，求實(shí)數(shù)m的所有可能值.
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練20】（2024·山東·山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考一模）若函數(shù)在區(qū)間上存在最小值，則整數(shù)的取值可以是______．
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練21】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若函數(shù)在區(qū)間上有最小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍為________.
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練22】（2024·福建泉州·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知函數(shù)的最小值為0，則a的取值范圍為______________．
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練23】（2024·江蘇南通·高三校考開學(xué)考試）若函數(shù)的最小值為，則______．
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練24】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若函數(shù)在區(qū)間上存在最大值，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_______
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練25】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，若函數(shù)在上存在最小值.則實(shí)數(shù)的取值范圍是________.
題型六：函數(shù)單調(diào)性、極值、最值得綜合應(yīng)用
【例6】（2024·天津河北·統(tǒng)考二模）已知，函數(shù)，其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
(2)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(3)求證：函數(shù)存在極值點(diǎn)，并求極值點(diǎn)的最小值.
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練26】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，其中．
(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在內(nèi)的極值；
(2)若函數(shù)在上的最小值為5，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練27】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知．
(1)求函數(shù)在內(nèi)的極值點(diǎn)；
(2)求函數(shù)在上的最值．
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練28】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)，已知是函數(shù)的極值點(diǎn)．
(1)若函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
(2)討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；
(3)求在內(nèi)的最值．
題型七：不等式恒成立與存在性問(wèn)題
【例7】（2024·貴州黔東南·凱里一中校考模擬預(yù)測(cè)）若存在實(shí)數(shù)（），使得關(guān)于x的不等式對(duì)恒成立，則b的最大值是_________.
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練29】（2024·陜西安康·高三陜西省安康中學(xué)校考階段練習(xí)）若不等式 對(duì)恒成立，則a的取值范圍是______.
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練30】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若存在，使得不等式成立，則m的取值范圍為______
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練31】（2024·浙江金華·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）對(duì)任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為___________.
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練32】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，是上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，取得極值．
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極大值；
(2)若對(duì)任意，都有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(3)若對(duì)任意，，都有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【解題方法總結(jié)】
在不等式恒成立或不等式有解條件下求參數(shù)的取值范圍，一般利用等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想其轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值或值域問(wèn)題加以求解，可采用分離參數(shù)或不分離參數(shù)法直接移項(xiàng)構(gòu)造輔助函數(shù)
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