資源簡介

第57講 直線的方程
知識梳理
知識點一：直線的傾斜角和斜率
1、直線的傾斜角
若直線與軸相交，則以軸正方向為始邊，繞交點逆時針旋轉直至與重合所成的角稱為直線的傾斜角，通常用表示
（1）若直線與軸平行（或重合），則傾斜角為
（2）傾斜角的取值范圍
2、直線的斜率
設直線的傾斜角為，則的正切值稱為直線的斜率，記為
（1）當時，斜率不存在；所以豎直線是不存在斜率的
（2）所有的直線均有傾斜角，但是不是所有的直線均有斜率
（3）斜率與傾斜角都是刻畫直線的傾斜程度，但就其應用范圍，斜率適用的范圍更廣（與直線方程相聯(lián)系）
（4）越大，直線越陡峭
（5）傾斜角與斜率的關系
當時，直線平行于軸或與軸重合；
當時，直線的傾斜角為銳角，傾斜角隨的增大而增大；
當時，直線的傾斜角為鈍角，傾斜角隨的增大而減小；
3、過兩點的直線斜率公式
已知直線上任意兩點，，則
（1）直線的斜率是確定的，與所取的點無關．
（2）若，則直線的斜率不存在，此時直線的傾斜角為90°
4、三點共線．
兩直線的斜率相等→三點共線；反過來，三點共線，則直線的斜率相等（斜率存在時）或斜率都不存在．
知識點二：直線的方程
1、直線的截距
若直線與坐標軸分別交于，則稱分別為直線的橫截距，縱截距
（1）截距：可視為直線與坐標軸交點的簡記形式，其取值可正，可負，可為0（不要顧名思義誤認為與“距離”相關）
（2）橫縱截距均為0的直線為過原點的非水平非豎直直線
2、直線方程的五種形式
名稱 方程 適用范圍
點斜式 不含垂直于軸的直線
斜截式 不含垂直于軸的直線
兩點式 不含直線和直線
截距式 不含垂直于坐標軸和過原點的直線
一般式 平面直角坐標系內的直線都適用
3、求曲線（或直線）方程的方法：
在已知曲線類型的前提下，求曲線（或直線）方程的思路通常有兩種：
（1）直接法：尋找決定曲線方程的要素，然后直接寫出方程，例如在直線中，若用直接法則需找到兩個點，或者一點一斜率
（2）間接法：若題目條件與所求要素聯(lián)系不緊密，則考慮先利用待定系數法設出曲線方程，然后再利用條件解出參數的值（通常條件的個數與所求參數的個數一致）
4、線段中點坐標公式
若點的坐標分別為且線段的中點的坐標為，則，此公式為線段的中點坐標公式．
5、兩直線的夾角公式
若直線與直線的夾角為，則.
必考題型全歸納
題型一：傾斜角與斜率的計算
例1．（2024·四川眉山·仁壽一中校考模擬預測）已知是直線的傾斜角，則的值為（ ）
A． B． C． D．
例2．（2024·重慶·重慶南開中學校考模擬預測）已知直線的一個方向向量為，則直線的傾斜角為（ ）
A． B． C． D．
例3．（2024·江蘇宿遷·高二泗陽縣實驗高級中學校考階段練習）經過兩點的直線的傾斜角是（ ）
A． B． C． D．
變式1．（2024·全國·高二專題練習）如圖，若直線的斜率分別為，則（ ）

A． B．
C． D．
變式2．（2024·全國·高二專題練習）直線的傾斜角為（ ）
A． B． C． D．
變式3．（2024·全國·高二課堂例題）過兩點，的直線的傾斜角是135°，則y等于（ ）
A．1 B．5 C． D．
變式4．（2024·高二課時練習）直線l經過，兩點，那么直線l的斜率的取值范圍為（ ）．
A． B． C． D．
變式5．（2024·全國·高三專題練習）函數的圖像上有一動點，則在此動點處切線的傾斜角的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【解題方法總結】
正確理解傾斜角的定義，明確傾斜角的取值范圍，熟記斜率公式，根據該公式求出經過兩點的直線斜率，當時，直線的斜率不存在，傾斜角為，求斜率可用，其中為傾斜角，由此可見傾斜角與斜率相互關聯(lián)，不可分割．牢記“斜率變化分兩段，是其分界，遇到斜率要謹記，存在與否要討論”．這可通過畫正切函數在上的圖像來認識．
題型二：三點共線問題
例4．（2024·全國·高二專題練習）已知三點在同一條直線上，則實數的值為（ ）
A．2 B．4 C．8 D．12
例5．（2024·遼寧營口·高二校考階段練習）若三點，，共線，則實數的值是（ ）
A．6 B． C． D．2
例6．（2024·重慶渝中·高二重慶復旦中學校考階段練習）若三點（2，2），（，0），（0，），（）共線，則的值為（ ）
A．1 B． C． D．
變式6．（2024·全國·高三專題練習）若平面內三點A(1，－a)，B(2，a2)，C(3，a3)共線，則a＝（ ）
A．1±或0 B．或0
C． D．或0
【解題方法總結】
斜率是反映直線相對于軸正方向的傾斜程度的，直線上任意兩點所確定的方向不變，即在同一直線上任意不同的兩點所確定的斜率相等．這正是利用斜率可證三點共線的原因．
題型三：過定點的直線與線段相交問題
例7．（2024·吉林·高三校考期末）已知點.若直線與線段相交,則的取值范圍是（ ）
A． B．
C．或 D．
例8．（2024·高三課時練習）已知點和，直線與線段相交，則實數的取值范圍是（ ）
A．或 B．
C． D．
例9．（2024·全國·高三專題練習）已知，，若直線與線段有公共點，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
變式7．（2024·全國·高三專題練習）已知點，若直線與線段沒有交點，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
變式8．（2024·全國·高三專題練習）已知直線和以為端點的線段相交，則實數的取值范圍是（ ）
A． B．
C．或 D．或或
變式9．（2024·全國·高三專題練習）已知，，直線過點且與線段相交，則直線的斜率的取值范圍是（ ）
A．或 B．
C．或 D．
變式10．（2024·全國·高三對口高考）已知點，若直線與的延長線（有方向）相交，則的取值范圍為 ．
變式11．（2024·全國·高三專題練習）已知,，點是線段AB上的動點，則的取值范圍是 .
變式12．（2024·全國·高三專題練習）在線段上運動，已知，則的取值范圍是 .
【解題方法總結】
一般地，若已知，過點作垂直于軸的直線，過點的任一直線的斜率為，則當與線段不相交時，夾在與之間；當與線段相交時，在與的兩邊．
題型四：直線的方程
例10．（2024·全國·高三專題練習）過點且方向向量為的直線的方程為（ ）
A． B．
C． D．
例11．（2024·全國·高三專題練習）過點的直線在兩坐標軸上的截距之和為零，則該直線方程為（ ）
A． B．
C．或 D．或
例12．（2024·吉林白山·撫松縣第一中學校考模擬預測）對方程表示的圖形，下列敘述中正確的是（ ）
A．斜率為2的一條直線
B．斜率為的一條直線
C．斜率為2的一條直線，且除去點（,6）
D．斜率為的一條直線，且除去點（,6）
變式13．（2024·全國·高三專題練習）經過點且傾斜角為的直線的方程是（ ）
A． B．
C． D．
變式14．（2024·全國·高三專題練習）方程表示的直線可能是（ ）
A． B．
C． D．
變式15．（2024·全國·高三專題練習）已知過定點直線在兩坐標軸上的截距都是正值，且截距之和最小，則直線的方程為（ ）
A． B． C． D．
變式16．（2024·全國·高三專題練習）若直線l的方程中，，，則此直線必不經過（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
變式17．（2024·全國·高三專題練習）已知直線的傾斜角為，且在軸上的截距為，則直線的方程為（　　）
A． B．
C． D．
【解題方法總結】
要重點掌握直線方程的特征值（主要指斜率、截距）等問題；熟練地掌握和應用直線方程的幾種形式，尤其是點斜式、斜截式和一般式．
題型五：直線與坐標軸圍成的三角形問題
例13．（2024·全國·高三專題練習）若一條直線經過點，并且與兩坐標軸圍成的三角形面積為1，則此直線的方程為 ．
例14．（2024·全國·高三專題練習）已知直線l過點M(2,1)，且分別與x軸的正半軸、y軸的正半軸交于A，B兩點，O為原點，當△AOB面積最小時，直線l的方程為 .
例15．（2024·全國·高三專題練習）已知直線的方程為：．
(1)求證：不論為何值，直線必過定點；
(2)過點引直線，使它與兩坐標軸的負半軸所圍成的三角形面積最小，求的方程．
變式18．（2024·全國·高三專題練習）直線l過點，且分別與軸正半軸交于、B兩點，O為原點.
(1)當面積最小時，求直線l的方程；
(2)求的最小值及此時直線l的方程.
變式19．（2024·全國·高三專題練習）在平面直角坐標系中，直線過定點，且與軸的正半軸交于點，與軸的正半軸交于點.
（1）當取得最小值時，求直線的方程；
（2）求面積的最小值.
變式20．（2024·北京懷柔·高二北京市懷柔區(qū)第一中學校考期中）已知直線經過點，為坐標原點．
(1)若直線過點，求直線的方程，并求直線與兩坐標軸圍成的三角形面積；
(2)如果直線在兩坐標軸上的截距之和為，求直線的方程．
變式21．（2024·高二單元測試）已知直線l過點，與x軸正半軸交于點A 與y軸正半軸交于點B.
（1）求面積最小時直線l的方程（其中O為坐標原點）；
（2）求的最小值及取得最小值時l的直線方程.
變式22．（2024·江西吉安·高二吉安一中校考階段練習）過點的動直線交軸的正半軸于點，交軸正半軸于點.
（Ⅰ）求(為坐標原點)的面積最小值，并求取得最小值時直線的方程.
（Ⅱ）設是的面積取得最小值時的內切圓上的動點，求的取值范圍.
變式23．（2024·河南洛陽·高二洛寧縣第一高級中學校考階段練習）已知直線：．
（1）求經過的定點坐標；
（2）若直線交軸負半軸于點，交軸正半軸于點．
①的面積為，求的最小值和此時直線的方程；
②當取最小值時，求直線的方程．
變式24．（2024·河南鄭州·高二宜陽縣第一高級中學校聯(lián)考階段練習）已知直線經過定點P．
(1)證明：無論k取何值，直線l始終過第二象限；
(2)若直線l交x軸負半軸于點A，交y軸正半軸于點B，當取最小值時，求直線l的方程．
變式25．（2024·江蘇宿遷·高二泗陽縣實驗高級中學校考階段練習）已知直線過定點，且交軸負半軸于點 交軸正半軸于點．點為坐標原點．
（1）若的面積為4，求直線的方程；
（2）求的最小值，并求此時直線的方程；
（3）求的最小值，并求此時直線的方程．
【解題方法總結】
（1）由于已知直線的傾斜角（與斜率有關）及直線與坐標軸圍成的三角形的面積（與截距有關），因而可選擇斜截式直線方程，也可選用截距式直線方程，故有“題目決定解法”之說．
（2）在求直線方程時，要恰當地選擇方程的形式，每種形式都具有特定的結論，所以根據已知條件恰當地選擇方程的類型往往有助于問題的解決．例如：已知一點的坐標，求過這點的直線方程，通常選用點斜式，再由其他條件確定該直線在y軸上的截距；已知截距或兩點，選擇截距式或兩點式．在求直線方程的過程中，確定的類型后，一般采用待定系數法求解，但要注意對特殊情況的討論，以免遺漏．
題型六：兩直線的夾角問題
例16．（2024·上海浦東新·高三上海市川沙中學校考期末）直線與直線所成夾角的余弦值等于
例17．（2024·高三課時練習）直線與直線相交，則這兩條直線的夾角大小為 .
例18．（2024·上海寶山·高三統(tǒng)考階段練習）已知直線，則與的夾角大小是 .
變式26．（2024·重慶·高考真題）曲線與在交點處切線的夾角是 ．（用弧度數作答）
變式27．（2024·全國·模擬預測）等腰三角形兩腰所在直線的方程分別為與，原點在等腰三角形的底邊上，則底邊所在直線的斜率為 ．
變式28．（2024·全國·高三專題練習）兩條直線，的夾角平分線所在直線的方程是 ．
【解題方法總結】
若直線與直線的夾角為，則.
題型七：直線過定點問題
例19．（2024·四川綿陽·綿陽南山中學實驗學校校考模擬預測）已知直線過定點A，直線過定點，與相交于點，則 ．
例20．（2024·全國·高三專題練習）已知實數滿足，則直線過定點 .
例21．（2024·陜西咸陽·統(tǒng)考二模）直線恒過定點A，則A點的坐標為 ．
變式29．（2024·遼寧營口·高二校考階段練習）直的方程為，則該直線過定點 ．
變式30．（2024·上海寶山·高二統(tǒng)考期末）若實數、、成等差數列，則直線必經過一個定點，則該定點坐標為 .
【解題方法總結】
合并參數
題型八：軌跡方程
例22．（2024·全國·高三對口高考）在平面直角坐標系中，已知的頂點坐標分別為、、，點在直線上運動，動點滿足，求點的軌跡方程．
例23．（2024·安徽蚌埠·統(tǒng)考三模）如圖，在平行四邊形中，點是原點，點和點的坐標分別是、，點是線段上的動點.
(1)求所在直線的一般式方程；
(2)當在線段上運動時，求線段的中點的軌跡方程.
例24．（2024·湖北咸寧·高二鄂南高中校考階段練習）如圖，已知點是直線上任意一點，點是直線上任意一點，連接，在線段上取點使得.
(1)求動點的軌跡方程；
(2)已知點，是否存在點，使得？若存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由.
變式31．（2024·全國·高三專題練習）已知，，動點M與A，B兩點連線的斜率分別為、，若，求動點M的軌跡方程
變式32．（2024·高二課時練習）在中，，求的平分線所在直線的方程.
變式33．（2024·江蘇·高二假期作業(yè)）已知動點C到兩個定點的距離相等，求點C的軌跡方程．
變式34．（2024·全國·高三專題練習）已知是坐標原點，.若點滿足，其中，且，求點的軌跡方程.
【解題方法總結】
（1）直接法：尋找決定曲線方程的要素，然后直接寫出方程，例如在直線中，若用直接法則需找到兩個點，或者一點一斜率
（2）間接法：若題目條件與所求要素聯(lián)系不緊密，則考慮先利用待定系數法設出曲線方程，然后再利用條件解出參數的值（通常條件的個數與所求參數的個數一致）
題型九：中點公式
例25．（2024·河南鄭州·高二鄭州市第九中學校考階段練習）已知點A，B分別是直線和直線上的點，點P為的中點，設點P的軌跡為曲線C．
（1）求曲線C的方程；
（2）過點的直線與曲線C，x軸分別交于點M，N，若點D為的中點，求直線的方程.
例26．（2024·全國·高三專題練習）已知直線 ：過定點，若直線被直線和軸截得的線段恰好被定點平分，求的值.
例27．（2024·江蘇泰州·高三泰州中學校考階段練習）已知直線.
(1)求證：直線經過定點，并求出定點P；
(2)經過點P有一條直線l，它夾在兩條直線與之間的線段恰被P平分，求直線l的方程.
變式35．（2024·全國·高三專題練習）過點P(0，1)作直線l，使它被直線l1：和l2：截得的線段恰好被點P平分，求直線l的方程.
變式36．（2024·全國·高三專題練習）已知直線l：（2+m）x+（1+2m）y+4–3m=0．
（1）求證：不論m為何實數，直線l恒過一定點M；
（2）過定點M作一條直線l1，使夾在兩坐標軸之間的線段被M點平分，求直線l1的方程．
變式37．（2024·全國·高三專題練習）過點作直線，使它被兩直線和所截得的線段恰好被M所平分，求此直線的方程.
【解題方法總結】
若點的坐標分別為且線段的中點的坐標為，則
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21世紀教育網(www.21cnjy.com)第57講 直線的方程
知識梳理
知識點一：直線的傾斜角和斜率
1、直線的傾斜角
若直線與軸相交，則以軸正方向為始邊，繞交點逆時針旋轉直至與重合所成的角稱為直線的傾斜角，通常用表示
（1）若直線與軸平行（或重合），則傾斜角為
（2）傾斜角的取值范圍
2、直線的斜率
設直線的傾斜角為，則的正切值稱為直線的斜率，記為
（1）當時，斜率不存在；所以豎直線是不存在斜率的
（2）所有的直線均有傾斜角，但是不是所有的直線均有斜率
（3）斜率與傾斜角都是刻畫直線的傾斜程度，但就其應用范圍，斜率適用的范圍更廣（與直線方程相聯(lián)系）
（4）越大，直線越陡峭
（5）傾斜角與斜率的關系
當時，直線平行于軸或與軸重合；
當時，直線的傾斜角為銳角，傾斜角隨的增大而增大；
當時，直線的傾斜角為鈍角，傾斜角隨的增大而減小；
3、過兩點的直線斜率公式
已知直線上任意兩點，，則
（1）直線的斜率是確定的，與所取的點無關．
（2）若，則直線的斜率不存在，此時直線的傾斜角為90°
4、三點共線．
兩直線的斜率相等→三點共線；反過來，三點共線，則直線的斜率相等（斜率存在時）或斜率都不存在．
知識點二：直線的方程
1、直線的截距
若直線與坐標軸分別交于，則稱分別為直線的橫截距，縱截距
（1）截距：可視為直線與坐標軸交點的簡記形式，其取值可正，可負，可為0（不要顧名思義誤認為與“距離”相關）
（2）橫縱截距均為0的直線為過原點的非水平非豎直直線
2、直線方程的五種形式
名稱 方程 適用范圍
點斜式 不含垂直于軸的直線
斜截式 不含垂直于軸的直線
兩點式 不含直線和直線
截距式 不含垂直于坐標軸和過原點的直線
一般式 平面直角坐標系內的直線都適用
3、求曲線（或直線）方程的方法：
在已知曲線類型的前提下，求曲線（或直線）方程的思路通常有兩種：
（1）直接法：尋找決定曲線方程的要素，然后直接寫出方程，例如在直線中，若用直接法則需找到兩個點，或者一點一斜率
（2）間接法：若題目條件與所求要素聯(lián)系不緊密，則考慮先利用待定系數法設出曲線方程，然后再利用條件解出參數的值（通常條件的個數與所求參數的個數一致）
4、線段中點坐標公式
若點的坐標分別為且線段的中點的坐標為，則，此公式為線段的中點坐標公式．
5、兩直線的夾角公式
若直線與直線的夾角為，則.
必考題型全歸納
題型一：傾斜角與斜率的計算
例1．（2024·四川眉山·仁壽一中校考模擬預測）已知是直線的傾斜角，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】法一：由題意可知，（為銳角），∴，
法二：由題意可知，（為銳角）∴，
．
故選：B．
例2．（2024·重慶·重慶南開中學校考模擬預測）已知直線的一個方向向量為，則直線的傾斜角為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由題意可得：直線的斜率，即直線的傾斜角為.
故選：A
例3．（2024·江蘇宿遷·高二泗陽縣實驗高級中學校考階段練習）經過兩點的直線的傾斜角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】經過兩點的直線的斜率為，
因為直線的傾斜角大于等于小于，
故經過兩點的直線的傾斜角是，
故選：D
變式1．（2024·全國·高二專題練習）如圖，若直線的斜率分別為，則（ ）

A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】解析 設直線的傾斜角分別為，
則由圖知，
所以，
即．
故選：A
變式2．（2024·全國·高二專題練習）直線的傾斜角為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】直線的傾斜角為，因為直線的斜率為，
，所以.
故選：C.
變式3．（2024·全國·高二課堂例題）過兩點，的直線的傾斜角是135°，則y等于（ ）
A．1 B．5 C． D．
【答案】D
【解析】由斜率公式得，且直線的傾斜角是135°，
所以，即，解得．
故選：D.
變式4．（2024·高二課時練習）直線l經過，兩點，那么直線l的斜率的取值范圍為（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，故那么直線l的斜率的取值范圍為.
故選：B
變式5．（2024·全國·高三專題練習）函數的圖像上有一動點，則在此動點處切線的傾斜角的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】設切線的傾斜角為，則，∵，
∴切線的斜率，則.
故選：B
【解題方法總結】
正確理解傾斜角的定義，明確傾斜角的取值范圍，熟記斜率公式，根據該公式求出經過兩點的直線斜率，當時，直線的斜率不存在，傾斜角為，求斜率可用，其中為傾斜角，由此可見傾斜角與斜率相互關聯(lián)，不可分割．牢記“斜率變化分兩段，是其分界，遇到斜率要謹記，存在與否要討論”．這可通過畫正切函數在上的圖像來認識．
題型二：三點共線問題
例4．（2024·全國·高二專題練習）已知三點在同一條直線上，則實數的值為（ ）
A．2 B．4 C．8 D．12
【答案】D
【解析】由題意，三點中任意兩點的直線斜率相等，得，解得．
故答案為：D.
例5．（2024·遼寧營口·高二校考階段練習）若三點，，共線，則實數的值是（ ）
A．6 B． C． D．2
【答案】C
【解析】因為三點，，共線，
所以，
可得：，
即，解得；
故選：C
例6．（2024·重慶渝中·高二重慶復旦中學校考階段練習）若三點（2，2），（，0），（0，），（）共線，則的值為（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【解析】因為三點（2，2），（，0），（0，），（）共線，所以，即，所以=，故選C．
變式6．（2024·全國·高三專題練習）若平面內三點A(1，－a)，B(2，a2)，C(3，a3)共線，則a＝（ ）
A．1±或0 B．或0
C． D．或0
【答案】A
【解析】由題意知kAB＝kAC，即，即a(a2－2a－1)＝0，解得a＝0或a＝1±.
故選：A．
【解題方法總結】
斜率是反映直線相對于軸正方向的傾斜程度的，直線上任意兩點所確定的方向不變，即在同一直線上任意不同的兩點所確定的斜率相等．這正是利用斜率可證三點共線的原因．
題型三：過定點的直線與線段相交問題
例7．（2024·吉林·高三校考期末）已知點.若直線與線段相交,則的取值范圍是（ ）
A． B．
C．或 D．
【答案】D
【解析】由已知直線恒過定點,
如圖所示,若與線段相交,則,
因為,
所以.
故選:D.
例8．（2024·高三課時練習）已知點和，直線與線段相交，則實數的取值范圍是（ ）
A．或 B．
C． D．
【答案】A
【解析】直線方程可整理為：，則直線恒過定點，
，，
直線與線段相交，直線的斜率或.
故選：A.
例9．（2024·全國·高三專題練習）已知，，若直線與線段有公共點，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由于直線 的斜率為， 且經過定點， 設此定點為.
而直線 的斜率為 ， 直線 的斜率為 ，
要使直線與線段有公共點，只需.
故選 ：C.
變式7．（2024·全國·高三專題練習）已知點，若直線與線段沒有交點，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】直線過定點，且，
由圖可知直線與線段沒有交點時，斜率滿足，
解得，
故選：B．
變式8．（2024·全國·高三專題練習）已知直線和以為端點的線段相交，則實數的取值范圍是（ ）
A． B．
C．或 D．或或
【答案】C
【解析】直線，即，其恒過定點，
根據題意，作圖如下：
數形結合可知，當直線過點時，其斜率取得最小值，
當直線過點時，其斜率取得最大值，
故，解得.
故選：C.
變式9．（2024·全國·高三專題練習）已知，，直線過點且與線段相交，則直線的斜率的取值范圍是（ ）
A．或 B．
C．或 D．
【答案】A
【解析】如圖，，由題可知應滿足；同理，由題可知應滿足.
故選：A
變式10．（2024·全國·高三對口高考）已知點，若直線與的延長線（有方向）相交，則的取值范圍為 ．
【答案】
【解析】如下圖所示，
由題知，
直線過點.
當時，直線化為，一定與相交，所以，
當時，，考慮直線的兩個極限位置.
①經過，即直線，則；
②與直線平行，即直線，則，
因為直線與的延長線相交，
所以，解得，所以.
故答案為：.
變式11．（2024·全國·高三專題練習）已知,，點是線段AB上的動點，則的取值范圍是 .
【答案】
【解析】如圖所示：
因為,，
所以，，
，
因為點是線段AB上的動點，
所以.
故答案為：
變式12．（2024·全國·高三專題練習）在線段上運動，已知，則的取值范圍是 .
【答案】
【解析】表示線段上的點與連線的斜率，
因為
所以由圖可知的取值范圍是．
故答案為：
【解題方法總結】
一般地，若已知，過點作垂直于軸的直線，過點的任一直線的斜率為，則當與線段不相交時，夾在與之間；當與線段相交時，在與的兩邊．
題型四：直線的方程
例10．（2024·全國·高三專題練習）過點且方向向量為的直線的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由題意可知直線的斜率，由點斜式方程得，
所求直線的方程為，即．
故選：A
例11．（2024·全國·高三專題練習）過點的直線在兩坐標軸上的截距之和為零，則該直線方程為（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】D
【解析】解法一 當直線過原點時，滿足題意，此時直線方程為，即；
當直線不過原點時，設直線方程為，
因為直線過點，所以，
解得，此時直線方程為.
故選：
解法二 易知直線斜率不存在或直線斜率為0時不符合題意.
設直線方程為，
則時，，時，，
由題意知，
解得或，即直線方程為或.
故選：
例12．（2024·吉林白山·撫松縣第一中學校考模擬預測）對方程表示的圖形，下列敘述中正確的是（ ）
A．斜率為2的一條直線
B．斜率為的一條直線
C．斜率為2的一條直線，且除去點（,6）
D．斜率為的一條直線，且除去點（,6）
【答案】C
【解析】方程成立的條件知，
當時，方程變形為，由直線方程的點斜式知它表示一條斜率為2的直線,但要除去點（,6），
故選:C
變式13．（2024·全國·高三專題練習）經過點且傾斜角為的直線的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由傾斜角為知，直線的斜率，
因此，其直線方程為，即
故選：B
變式14．（2024·全國·高三專題練習）方程表示的直線可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】當時，直線的斜率，該直線在軸上的截距，
故選：A.
變式15．（2024·全國·高三專題練習）已知過定點直線在兩坐標軸上的截距都是正值，且截距之和最小，則直線的方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】直線可變?yōu)椋赃^定點，又因為直線在兩坐標軸上的截距都是正值，可知，
令，所以直線與軸的交點為，
令，所以直線與軸的交點為，
所以，
當且僅當即時取等，所以此時直線為：.
故選：C.
變式16．（2024·全國·高三專題練習）若直線l的方程中，，，則此直線必不經過（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【解析】由，，，
知直線斜率，在軸上截距為，
所以此直線必不經過第三象限.
故選：C
變式17．（2024·全國·高三專題練習）已知直線的傾斜角為，且在軸上的截距為，則直線的方程為（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因為直線的傾斜角為，所以直線的斜率，
又直線在軸上的截距為，所以直線的方程為；
故選：C
【解題方法總結】
要重點掌握直線方程的特征值（主要指斜率、截距）等問題；熟練地掌握和應用直線方程的幾種形式，尤其是點斜式、斜截式和一般式．
題型五：直線與坐標軸圍成的三角形問題
例13．（2024·全國·高三專題練習）若一條直線經過點，并且與兩坐標軸圍成的三角形面積為1，則此直線的方程為 ．
【答案】或
【解析】由題意可知該直線不經過原點，且存在斜率且不為零，
所以設直線方程為，因為該直線過點，
所以有，
因為該直線與兩坐標軸圍成的三角形面積為1，
所以有，或，
當時，，或，
當時，，此時方程為：，
當時，，此時方程為：，
當時，，
故答案為：或
例14．（2024·全國·高三專題練習）已知直線l過點M(2,1)，且分別與x軸的正半軸、y軸的正半軸交于A，B兩點，O為原點，當△AOB面積最小時，直線l的方程為 .
【答案】x＋2y－4＝0
【解析】法一，利用截距式設出直線方程，再利用基本不等式求面積最小時的直線方程；法二顯然存在，設(其中)求出坐標，然后求解三角形的面積，再利用基本不等式求解面積的最小值時的直線方程.法一　設直線l：，且a＞0，b＞0，因為直線l過點M(2,1)，所以，則≥，故ab≥8，
故S△AOB的最小值為×ab＝×8＝4，
當且僅當＝時取等號，此時a＝4，b＝2，
故直線l：，即x＋2y－4＝0.
法二　設直線l的方程為y－1＝k(x－2)(k＜0)， ，B(0,1－2k)，
S△AOB＝ (1－2k) ＝≥ (4＋4)＝4，
當且僅當－4k＝－ ，即k＝－時，等號成立，
故直線l的方程為y－1＝－ (x－2)，即x＋2y－4＝0.
故答案為：.
例15．（2024·全國·高三專題練習）已知直線的方程為：．
(1)求證：不論為何值，直線必過定點；
(2)過點引直線，使它與兩坐標軸的負半軸所圍成的三角形面積最小，求的方程．
【解析】（1）證明：直線的方程為：
提參整理可得：．
令，可得，
不論為何值，直線必過定點.
（2）設直線的方程為．
令 則，
令．則，
直線與兩坐標軸的負半軸所圍成的三角形面積．
當且僅當，即時，三角形面積最小．
此時的方程為．
變式18．（2024·全國·高三專題練習）直線l過點，且分別與軸正半軸交于、B兩點，O為原點.
(1)當面積最小時，求直線l的方程；
(2)求的最小值及此時直線l的方程.
【解析】（1）設直線，且
∵直線過點
則
當且僅當即時取等號
所以的最小值為，
直線1即.
（2）由
∴，
當且僅當即時取等號，
∴此時直線,
故的最小值為9，此時直線l的方程.
變式19．（2024·全國·高三專題練習）在平面直角坐標系中，直線過定點，且與軸的正半軸交于點，與軸的正半軸交于點.
（1）當取得最小值時，求直線的方程；
（2）求面積的最小值.
【解析】（1）設直線的傾斜角為（為銳角），
由P點做x軸，y軸垂線，垂足分別為E，F，則PE=2，PF=3,
，
則，
所以當時，取得最小值，
此時直線的方程為；
（2）矩形OFPE面積為3×2=6，，
，
當且僅當時取等號，
所以面積的最小值為12.
變式20．（2024·北京懷柔·高二北京市懷柔區(qū)第一中學校考期中）已知直線經過點，為坐標原點．
(1)若直線過點，求直線的方程，并求直線與兩坐標軸圍成的三角形面積；
(2)如果直線在兩坐標軸上的截距之和為，求直線的方程．
【解析】（1）由題意得：直線斜率，直線方程為：，即；
當時，；當時，；
與兩坐標軸圍成的三角形面積.
（2）由題意知：直線在兩坐標軸的截距不為，可設，
則，解得：，，即.
變式21．（2024·高二單元測試）已知直線l過點，與x軸正半軸交于點A 與y軸正半軸交于點B.
（1）求面積最小時直線l的方程（其中O為坐標原點）；
（2）求的最小值及取得最小值時l的直線方程.
【解析】（1）設l的方程為，由直線過點知，即，由基本不等式得，即，當且僅當時等號成立，
又知，所以時等號成立，
此時l直線的方程為，
即面積最小時直線l的方程為.
（2）易知直線l的斜率存在，所以可設直線l的方程為，所以得，，所以，得，等號成立時有k，得，
此時直線的方程為，即.
故的最小值是24，取最小值時直線l的方程是.
變式22．（2024·江西吉安·高二吉安一中校考階段練習）過點的動直線交軸的正半軸于點，交軸正半軸于點.
（Ⅰ）求(為坐標原點)的面積最小值，并求取得最小值時直線的方程.
（Ⅱ）設是的面積取得最小值時的內切圓上的動點，求的取值范圍.
【解析】（Ⅰ）設斜率為，則得.
,
由，，.
（Ⅱ）面積最小時，，
直角內切圓半徑，圓心為，
內切圓方程為
設，則，其中.
,當時，，當時，
的范圍是
變式23．（2024·河南洛陽·高二洛寧縣第一高級中學校考階段練習）已知直線：．
（1）求經過的定點坐標；
（2）若直線交軸負半軸于點，交軸正半軸于點．
①的面積為，求的最小值和此時直線的方程；
②當取最小值時，求直線的方程．
【解析】（1）由可得：，
由可得，所以經過的定點坐標；
（2）直線：，
令可得；令，可得，
所以，
由可得：，
①的面積
，
當且僅當即時等號成立，的最小值為，
此時直線的方程為：即；
②設直線的傾斜角為，則，可得，，
所以，
令，
因為，可得，，
，
將兩邊平方可得：，
所以，
所以，
因為在上單調遞增，所以
，所以，此時，
可得，所以，
所以直線的方程為.
變式24．（2024·河南鄭州·高二宜陽縣第一高級中學校聯(lián)考階段練習）已知直線經過定點P．
(1)證明：無論k取何值，直線l始終過第二象限；
(2)若直線l交x軸負半軸于點A，交y軸正半軸于點B，當取最小值時，求直線l的方程．
【解析】（1）證明：由可得：，
由 可得，所以l經過定點；
即直線l過定點,且定點在第二象限，
所以無論k取何值，直線l始終經過第二象限．
（2）設直線l的傾斜角為，則，
可得，
所以，
令，
因為，可得，
即，
將兩邊平方可得：，
所以，
所以，
因為在上單調遞增，所以，
故，所以，當且僅當時取等號，
此時，
可得，所以，
所以直線的方程為．
變式25．（2024·江蘇宿遷·高二泗陽縣實驗高級中學校考階段練習）已知直線過定點，且交軸負半軸于點 交軸正半軸于點．點為坐標原點．
（1）若的面積為4，求直線的方程；
（2）求的最小值，并求此時直線的方程；
（3）求的最小值，并求此時直線的方程．
【解析】設，，.
（1）設，因為過點，所以，
所以，由解得，
所以直線的方程為，即；
（2），
所以，
當且僅當，時取等號，所以直線的方程為；
（3）依題意可知三點共線，在線段上（且與不重合），
所以
，
當且僅當，時取等號，所以直線的方程為．
【解題方法總結】
（1）由于已知直線的傾斜角（與斜率有關）及直線與坐標軸圍成的三角形的面積（與截距有關），因而可選擇斜截式直線方程，也可選用截距式直線方程，故有“題目決定解法”之說．
（2）在求直線方程時，要恰當地選擇方程的形式，每種形式都具有特定的結論，所以根據已知條件恰當地選擇方程的類型往往有助于問題的解決．例如：已知一點的坐標，求過這點的直線方程，通常選用點斜式，再由其他條件確定該直線在y軸上的截距；已知截距或兩點，選擇截距式或兩點式．在求直線方程的過程中，確定的類型后，一般采用待定系數法求解，但要注意對特殊情況的討論，以免遺漏．
題型六：兩直線的夾角問題
例16．（2024·上海浦東新·高三上海市川沙中學校考期末）直線與直線所成夾角的余弦值等于
【答案】
【解析】直線，即，則其斜率為，傾斜角為；
直線，即，則其斜率，
設直線的傾斜角為，則，
又，所以，
所以，，而，
所以兩直線的夾角為，
又因為，
則
所以，
故所求夾角的余弦值為.
故答案為：.
例17．（2024·高三課時練習）直線與直線相交，則這兩條直線的夾角大小為 .
【答案】
【解析】直線的斜率為，其傾斜角為鈍角；
直線的斜率為，其傾斜角為銳角.
設這兩條直線的夾角大小為，
則
，
由于，所以.
故答案為：
例18．（2024·上海寶山·高三統(tǒng)考階段練習）已知直線，則與的夾角大小是 .
【答案】
【解析】設直線與的夾角為（），
因為，
所以兩直線的斜率分別為，
所以，
因為，
所以，
故答案為：
變式26．（2024·重慶·高考真題）曲線與在交點處切線的夾角是 ．（用弧度數作答）
【答案】
【解析】由消元可得，，解得，
所以兩曲線只有一個交點,
由可得，所以，
由可得，所以，
由直線的夾角公式可得，
由知，.
故答案為：
變式27．（2024·全國·模擬預測）等腰三角形兩腰所在直線的方程分別為與，原點在等腰三角形的底邊上，則底邊所在直線的斜率為 ．
【答案】3
【解析】，，設底邊為
由題意，到所成的角等于到所成的角于是有，解得，
故答案為：3.
變式28．（2024·全國·高三專題練習）兩條直線，的夾角平分線所在直線的方程是 ．
【答案】
【解析】因為直線的傾斜角為，的傾斜角為，且
由解得兩直線的交點坐標為，所以可設兩直線夾角平分線所在直線的方程為：．
∴，解得，即兩直線夾角平分線所在直線的方程為：．
故答案為：．
【解題方法總結】
若直線與直線的夾角為，則.
題型七：直線過定點問題
例19．（2024·四川綿陽·綿陽南山中學實驗學校校考模擬預測）已知直線過定點A，直線過定點，與相交于點，則 ．
【答案】13
【解析】對于直線，即，
令，則，則，可得直線過定點，
對于直線，即，
令，則，則，可得直線過定點，
因為，則，即，
所以.
故答案為：13.
例20．（2024·全國·高三專題練習）已知實數滿足，則直線過定點 .
【答案】
【解析】由實數滿足，可得,
代入直線方程，可得，
聯(lián)立方程組，解得，
所以直線過定點.
故答案為：.
例21．（2024·陜西咸陽·統(tǒng)考二模）直線恒過定點A，則A點的坐標為 ．
【答案】
【解析】直線，
令，則，則直線恒過定點.
故答案為：.
變式29．（2024·遼寧營口·高二校考階段練習）直的方程為，則該直線過定點 ．
【答案】
【解析】即，令得，
直線過定點，
故答案為：
變式30．（2024·上海寶山·高二統(tǒng)考期末）若實數、、成等差數列，則直線必經過一個定點，則該定點坐標為 .
【答案】
【解析】因為實數、、成等差數列，所以，即，
所以直線必過點.
故答案為：
【解題方法總結】
合并參數
題型八：軌跡方程
例22．（2024·全國·高三對口高考）在平面直角坐標系中，已知的頂點坐標分別為、、，點在直線上運動，動點滿足，求點的軌跡方程．
【解析】設點、，直線的斜率為，
直線的方程為，即，
，，，，
由可得，
所以，，可得，
因為點在直線上，則，即，整理可得，
因此，點的軌跡方程為.
例23．（2024·安徽蚌埠·統(tǒng)考三模）如圖，在平行四邊形中，點是原點，點和點的坐標分別是、，點是線段上的動點.
(1)求所在直線的一般式方程；
(2)當在線段上運動時，求線段的中點的軌跡方程.
【解析】（1），所在直線的斜率為：.
所在直線方程是，即；
（2）設點的坐標是，點的坐標是，
由平行四邊形的性質得點的坐標是，
是線段的中點，，，
于是有，，
點在線段上運動，
，
，即，
由得，
線段的中點的軌跡方程為.
例24．（2024·湖北咸寧·高二鄂南高中校考階段練習）如圖，已知點是直線上任意一點，點是直線上任意一點，連接，在線段上取點使得.
(1)求動點的軌跡方程；
(2)已知點，是否存在點，使得？若存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由.
【解析】（1）設，，，
由，
，
又，
得：，
把①②代入上式得，即為點的軌跡方程.
（2）設，由，得，
又點滿足，
聯(lián)立得方程組，解得或.
故存在點滿足條件，點的坐標為或.
變式31．（2024·全國·高三專題練習）已知，，動點M與A，B兩點連線的斜率分別為、，若，求動點M的軌跡方程
【解析】設，則，，又，
∴，
當，且時，恒成立；當時，；
綜上，M的軌跡方程為(且)或().
變式32．（2024·高二課時練習）在中，，求的平分線所在直線的方程.
【解析】設為的平分線上的任意一點.
因為，
所以邊所在直線的方程為，邊所在直線的方程為.
由角平分線的性質得，
所以或，
即或.
由圖形可知，即，
所以不合題意，故舍去.
故的平分線所在直線的方程為.
變式33．（2024·江蘇·高二假期作業(yè)）已知動點C到兩個定點的距離相等，求點C的軌跡方程．
【解析】設C點坐標為由C到兩個定點的距離相等，
則
兩邊平方，化簡得，
所以點C的軌跡方程為．
變式34．（2024·全國·高三專題練習）已知是坐標原點，.若點滿足，其中，且，求點的軌跡方程.
【解析】設，則，，
即，解得
即
【解題方法總結】
（1）直接法：尋找決定曲線方程的要素，然后直接寫出方程，例如在直線中，若用直接法則需找到兩個點，或者一點一斜率
（2）間接法：若題目條件與所求要素聯(lián)系不緊密，則考慮先利用待定系數法設出曲線方程，然后再利用條件解出參數的值（通常條件的個數與所求參數的個數一致）
題型九：中點公式
例25．（2024·河南鄭州·高二鄭州市第九中學校考階段練習）已知點A，B分別是直線和直線上的點，點P為的中點，設點P的軌跡為曲線C．
（1）求曲線C的方程；
（2）過點的直線與曲線C，x軸分別交于點M，N，若點D為的中點，求直線的方程.
【解析】（1）設點，，，
因為點P為的中點，可得，，
又由，，
兩式相加，可得，所以，即，
所以曲線C的方程為.
（2）根據題意，設，，
因為點為的中點，所以，解得，，
即，所以直線的方程為，整理得，
即直線的方程.
例26．（2024·全國·高三專題練習）已知直線 ：過定點，若直線被直線和軸截得的線段恰好被定點平分，求的值.
【解析】
則直線過定點
設直線與直線交于點，與軸交于點，依題意為中點
在中令，則，即
所以，
即，將其代入直線中可得
解之得
例27．（2024·江蘇泰州·高三泰州中學校考階段練習）已知直線.
(1)求證：直線經過定點，并求出定點P；
(2)經過點P有一條直線l，它夾在兩條直線與之間的線段恰被P平分，求直線l的方程.
【解析】（1）證明：將直線l的方程改寫為，
令，且，
兩式聯(lián)立，解得，，
所以直線過定點.
（2）如圖，
設直線l夾在直線，之間的部分是AB，且AB被平分，
設點A，B的坐標分別是，，
則有，，
又A，B兩點分別在直線，上，
所以，，
由以上四個式子解得，，即，
所以直線AB的方程為.
變式35．（2024·全國·高三專題練習）過點P(0，1)作直線l，使它被直線l1：和l2：截得的線段恰好被點P平分，求直線l的方程.
【解析】設l1與l的交點為A(a，8-2a)，則由題意知，點A關于點P的對稱點B(-a，2a-6)在l2上，
代入l2的方程得:-a-3(2a-6)＋10＝0，解得a＝4，
即點A(4，0)在直線l上，
∴直線l的方程為即x＋4y-4＝0.
變式36．（2024·全國·高三專題練習）已知直線l：（2+m）x+（1+2m）y+4–3m=0．
（1）求證：不論m為何實數，直線l恒過一定點M；
（2）過定點M作一條直線l1，使夾在兩坐標軸之間的線段被M點平分，求直線l1的方程．
【解析】（1）將直線l：（2+m）x+（1+2m）y+4–3m=0化為m（x+2y–3）+2x+y+4=0，
∴由題意，令，解得，
∴直線l恒過定點M（）．
（2）設所求直線l1的方程為y–=k（x+），直線l1與x軸、y軸交于A、B兩點，
則A（–，0）B（0，）．
∵AB的中點為M，∴，解得k=．
∴所求直線l1的方程為y–（x+），
即30x–33y+220=0．
所求直線l1的方程為30x–33y+220=0．
變式37．（2024·全國·高三專題練習）過點作直線，使它被兩直線和所截得的線段恰好被M所平分，求此直線的方程.
【解析】(解法1)由于過點M(0，1)且與x軸垂直的直線顯然不合題意，故可設所求直線方程為y＝kx＋1，與已知兩條直線l1、l2分別交于A、B兩點，聯(lián)立方程組xA＝，xB＝，∵點M平分線段AB，∴xA＋xB＝2xM，
即有＋＝0，解得k＝－.故所求的直線方程為x＋4y－4＝0.
(解法2)設所求的直線與已知兩條直線l1、l2分別交于A、B兩點，∵點B在直線l2：2x＋y－8＝0上，∴設B(t，8－2t)，由于M(0，1)是線段AB的中點，∴根據中點坐標公式得A(－t，2t－6)，
而A點在直線l1：x－3y＋10＝0上，∴(－t)－3(2t－6)＋10＝0，解之得t＝4，∴B(4，0)．
故所求直線方程為x＋4y－4＝0.
【解題方法總結】
若點的坐標分別為且線段的中點的坐標為，則
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