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第60講 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系
知識梳理
一．直線與圓的位置關(guān)系
直線與圓的位置關(guān)系有3種，相離，相切和相交
二．直線與圓的位置關(guān)系判斷
（1）幾何法（圓心到直線的距離和半徑關(guān)系）
圓心到直線的距離，則：
直線與圓相交，交于兩點(diǎn)，；
直線與圓相切；
直線與圓相離
（2）代數(shù)方法（幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題即交點(diǎn)個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程根個數(shù)）
由，
消元得到一元二次方程，判別式為，則：
直線與圓相交；
直線與圓相切；
直線與圓相離．
三．兩圓位置關(guān)系的判斷
用兩圓的圓心距與兩圓半徑的和差大小關(guān)系確定，具體是：
設(shè)兩圓的半徑分別是，（不妨設(shè)），且兩圓的圓心距為，則：
兩圓相交；
兩圓外切；
兩圓相離
兩圓內(nèi)切；
兩圓內(nèi)含（時(shí)兩圓為同心圓）
設(shè)兩個圓的半徑分別為，，圓心距為，則兩圓的位置關(guān)系可用下表來表示：
位置關(guān)系 相離 外切 相交 內(nèi)切 內(nèi)含
幾何特征
代數(shù)特征 無實(shí)數(shù)解 一組實(shí)數(shù)解 兩組實(shí)數(shù)解 一組實(shí)數(shù)解 無實(shí)數(shù)解
公切線條數(shù) 4 3 2 1 0
【解題方法總結(jié)】
關(guān)于圓的切線的幾個重要結(jié)論
（1）過圓上一點(diǎn)的圓的切線方程為．
（2）過圓上一點(diǎn)的圓的切線方程為
（3）過圓上一點(diǎn)的圓的切線方程為
（4）求過圓外一點(diǎn)的圓的切線方程時(shí)，應(yīng)注意理解：
①所求切線一定有兩條；
②設(shè)直線方程之前，應(yīng)對所求直線的斜率是否存在加以討論．設(shè)切線方程為，利用圓心到切線的距離等于半徑，列出關(guān)于的方程，求出值．若求出的值有兩個，則說明斜率不存在的情形不符合題意；若求出的值只有一個，則說明斜率不存在的情形符合題意．
必考題型全歸納
題型一：直線與圓的位置關(guān)系的判斷
例1．（2024·四川成都·成都七中?？家荒＃﹫A：與直線：的位置關(guān)系為（ ）
A．相切 B．相交 C．相離 D．無法確定
【答案】A
【解析】圓：的圓心為，半徑，
直線：即，則圓心到直線的距離，
所以直線與圓相切.
故選：A
例2．（2024·全國·高三對口高考）若直線與圓相交，則點(diǎn)（ ）
A．在圓上 B．在圓外 C．在圓內(nèi) D．以上都有可能
【答案】B
【解析】直線與圓有兩個不同的交點(diǎn)，則圓心到直線的距離小于半徑，即：
，即，
據(jù)此可得：點(diǎn)與圓的位置關(guān)系是點(diǎn)在圓外.
故選：B.
例3．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)為圓上的動點(diǎn)，則直線與圓的位置關(guān)系為（ ）
A．相交 B．相離 C．相切 D．相切或相交
【答案】C
【解析】利用圓心距和半徑的關(guān)系來確定直線與圓的位置關(guān)系.
由題意可得，于是，所以直線和圓相切.
故選: C.
變式1．（2024·全國·高三專題練習(xí)）直線與圓的位置關(guān)系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相離 D．無法確定
【答案】A
【解析】已知直線過定點(diǎn)，
將點(diǎn)代入圓的方程可得，
可知點(diǎn)在圓內(nèi)，
所以直線與圓相交.
故選：A.
變式2．（2024·陜西寶雞·統(tǒng)考二模）直線l：與曲線C：的交點(diǎn)個數(shù)為（ ）
A．0 B．1 C．2 D．無法確定
【答案】B
【解析】曲線C：是圓心在上，半徑的圓，
則圓心與直線l的距離，
，
曲線C與直線l相切，即只有一個交點(diǎn)，
故選：B
變式3．（2024·寧夏銀川·銀川一中?？级＃┲本€與圓的位置關(guān)系為（ ）
A．相離 B．相切 C．相交 D．不能確定
【答案】C
【解析】由直線得，
令，得，
故直線恒過點(diǎn)，
又，
即點(diǎn)在圓內(nèi)，
故直線與圓的位置關(guān)系為相交.
故選：C.
【解題方法總結(jié)】
判斷直線與圓的位置關(guān)系的常見方法
（1）幾何法：利用d與r的關(guān)系．
（2）代數(shù)法：聯(lián)立方程之后利用Δ判斷．
（3）點(diǎn)與圓的位置關(guān)系法：若直線恒過定點(diǎn)且定點(diǎn)在圓內(nèi)，可判斷直線與圓相交．
題型二：弦長與面積問題
例4．（2024·重慶沙坪壩·高三重慶一中?？茧A段練習(xí)）已知直線：與圓：交于，兩點(diǎn)，則 ．
【答案】
【解析】由，故圓心，半徑為，
所以，圓心到直線的距離為，
∴．
故答案為：
例5．（2024·河南鄭州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知圓，直線與圓C相交于M，N兩點(diǎn)，則 ．
【答案】/
【解析】由，得，則圓的圓心為，半徑，
所以圓心到直線的距離為
所以，解得．
故答案為：
例6．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知直線與交于A，B兩點(diǎn)，寫出滿足“面積為”的m的一個值 ．
【答案】（中任意一個皆可以）
【解析】設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，由弦長公式得，
所以，解得：或，
由，所以或，解得：或．
故答案為：（中任意一個皆可以）．
變式4．（2024·江西南昌·高三南昌市八一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）圓心在直線上，與軸相切，且被直線截得的弦長為的圓的方程為 .
【答案】或
【解析】設(shè)所求圓的圓心為，半徑為，
圓與軸相切，，
又圓心到直線的距離，
，解得：或，
所求圓的圓心為或，半徑，
圓的方程為或.
故答案為：或.
變式5．（2024·廣東廣州·統(tǒng)考三模）寫出經(jīng)過點(diǎn)且被圓截得的弦長為的一條直線的方程 ．
【答案】或
【解析】圓的方程可化為，圓心為，半徑．
當(dāng)過點(diǎn)的直線的斜率不存在時(shí)，直線方程為，此時(shí)圓心在直線上，弦長，不滿足題意，
所以過點(diǎn)的直線的斜率存在，設(shè)過點(diǎn)的直線的方程為，即，則
圓心到直線的距為，
依題意，即，解得或，
故所求直線的方程為或．
故答案為：或．
變式6．（2024·廣東深圳·?？级＃┻^點(diǎn)且被圓所截得的弦長為的直線的方程為 .
【答案】
【解析】圓，即，
圓心為，半徑，
若弦長，則圓心到直線的距離，
顯然直線的斜率存在，設(shè)直線方程為，即，
所以，解得，所以直線方程為.
故答案為：
變式7．（2024·湖北黃岡·浠水縣第一中學(xué)?？既＃┮阎本€l：被圓C：所截得的弦長為整數(shù)，則滿足條件的直線l有 條.
【答案】9
【解析】將直線l的方程整理可得，易知直線恒過定點(diǎn)；
圓心，半徑；
所以當(dāng)直線過圓心時(shí)弦長取最大值，此時(shí)弦長為直徑；
易知，當(dāng)圓心與的連線與直線l垂直時(shí)，弦長最小，如下圖所示；
此時(shí)弦長為，所以截得的弦長為整數(shù)可?。?br/>由對稱性可知，當(dāng)弦長為時(shí)，各對應(yīng)兩條，共8條，
當(dāng)弦長為8時(shí)，只有直徑1條，
所以滿足條件的直線l共有9條.
故答案為：9
變式8．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知A，B分別為圓與圓上的點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則面積的最大值為 .
【答案】/
【解析】設(shè)M：，則半徑為1；
圓N：，則，半徑為2.
以O(shè)N為直徑畫圓，延長BO交圓于F，連接FE，NE，NF，
如圖:
則，又，所以F為BO的中點(diǎn)，
由對稱性可得，
，及，
所以，
故當(dāng)最大時(shí)，最大，
故轉(zhuǎn)化為在半徑為1的內(nèi)接三角形OEF的面積的最大值問題，
對于一個單位圓內(nèi)接三角形的面積，
，又，，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即三角形為等邊三角形時(shí)等號成立，
此時(shí)，
所以，
即三角形OEF的面積的最大值為，
所以最大值為.
故答案為：
變式9．（2024·廣東廣州·廣州市從化區(qū)從化中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知直線與圓交于A，兩點(diǎn)，若是圓上的一動點(diǎn)，則面積的最大值是 .
【答案】/
【解析】，則圓C的圓心為，半徑為，
圓心C到直線l（弦AB）的距離為，
則，
則到弦AB的距離的最大值為，
則面積的最大值是.
故答案為：
變式10．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知圓的方程為，若直線與圓相交于兩點(diǎn)，則的面積為 .
【答案】12
【解析】圓：，得圓心為，半徑為，
圓心到直線的距離，因此，
所以.
故答案為：.
變式11．（2024·全國·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過點(diǎn)的直線l與圓相交于M，N兩點(diǎn)，若，則直線l的斜率為 .
【答案】
【解析】由題意得，直線的斜率存在，設(shè)，，直線MN的方程為，與聯(lián)立，得，，得，，.因?yàn)椋?，則，于是，（由點(diǎn)A及C在y軸上可判斷出，同號）
所以，兩式消去，得，滿足，所以.
故答案為：
變式12．（2024·廣東惠州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在圓內(nèi)，過點(diǎn)的最長弦和最短弦分別為和，則四邊形的面積為 ．
【答案】
【解析】圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程為：，
則圓心半徑，由題意知最長弦為過點(diǎn)的直徑，最短弦為過點(diǎn)和這條直徑垂直的弦，即，且，圓心和點(diǎn)之間的距離為1，
故，
所以四邊形ABCD的面積為．
故答案為：
【解題方法總結(jié)】
弦長問題
①利用垂徑定理：半徑，圓心到直線的距離，弦長具有的關(guān)系，這也是求弦長最常用的方法．
②利用交點(diǎn)坐標(biāo)：若直線與圓的交點(diǎn)坐標(biāo)易求出，求出交點(diǎn)坐標(biāo)后，直接用兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算弦長．
③利用弦長公式：設(shè)直線，與圓的兩交點(diǎn)，將直線方程代入圓的方程，消元后利用根與系數(shù)關(guān)系得弦長：．
題型三：切線問題、切線長問題
例7．（2024·遼寧錦州·?？家荒＃懗鲆粭l與圓和曲線都相切的直線的方程： .
【答案】（答案不唯一）
【解析】設(shè)切線與圓相切于點(diǎn)，則，
切線的方程為，即，
將與聯(lián)立，可得，
令，
聯(lián)立解得或或或
所以切線的方程為或或或.
故答案為：（答案不唯一）
例8．（2024·河南開封·統(tǒng)考三模）已知點(diǎn)，，經(jīng)過B作圓的切線與y軸交于點(diǎn)P，則 ．
【答案】
【解析】如圖所示，設(shè)圓心為C點(diǎn)，則，
，則點(diǎn)在圓上，且，
由與圓相切可得：，則，，
則，故，則，
從而可得,
故答案為：.
例9．（2024·全國·高三專題練習(xí)）經(jīng)過點(diǎn)且與圓相切的直線方程為 ．
【答案】
【解析】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，
當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線方程為，不符合題意；
當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，即，
因?yàn)橹本€與圓相切，
所以圓心到直線的距離相等，即，
化簡得，
解得，，
綜上：直線方程為：，
故答案為：
變式13．（2024·福建寧德·校考模擬預(yù)測）已知圓C：，直線l的橫縱截距相等且與圓C相切﹐則直線l的方程為 ．
【答案】，或，或
【解析】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，
因?yàn)橹本€l的橫縱截距相等，所以直線的斜率存在，
當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線的方程為，因?yàn)橹本€l與圓C相切，
此時(shí)圓心到直線的距離等于半徑，可得，解得，所以切線方程為；
當(dāng)直線不過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線的方程為，因?yàn)橹本€l與圓C相切，
此時(shí)圓心到直線的距離等于半徑，可得，解得，所以切線方程為或，
綜上所述，直線l的方程為，或，或.
故答案為：，或，或.
變式14．（2024·福建福州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）寫出經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)且和圓相切的一條直線的方程 .
【答案】（或，寫出一個方程即可）
【解析】拋物線的焦點(diǎn)為，圓的圓心為，半徑為2.
記過點(diǎn)的直線為l，當(dāng)l斜率不存在時(shí)，由圖可知l與圓相切，此時(shí)l的方程為；
當(dāng)l斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為，即，
因?yàn)橹本€l與圓相切，所以，解得
所以l的方程為，即.
故答案為：（或，寫出一個方程即可）
變式15．（2024·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測）過點(diǎn)且與圓：相切的直線方程為
【答案】或
【解析】將圓方程化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，得圓心，半徑為，
當(dāng)過點(diǎn)的直線斜率不存在時(shí)，直線方程為 是圓的切線，滿足題意；
當(dāng)過點(diǎn)的直線斜率存在時(shí)，
可設(shè)直線方程為，即，
利用圓心到直線的距離等于半徑得，解得，
即此直線方程為，
故答案為：或 ．
變式16．（2024·湖北·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知過點(diǎn)作圓的切線，則切線長為 .
【答案】
【解析】由圓，可得圓心，半徑，
設(shè)切點(diǎn)為，因?yàn)椋傻茫?br/>所以切線長為.
故答案為：.
變式17．（2024·江蘇無錫·校聯(lián)考三模）已如，是拋物線上的動點(diǎn)（異于頂點(diǎn)），過作圓的切線，切點(diǎn)為，則的最小值為 .
【答案】3
【解析】依題意，設(shè)，有，圓的圓心，半徑，
于是，
因此，表示拋物線上的點(diǎn)到y(tǒng)軸距離與到定點(diǎn)的距離的和，
而點(diǎn)在拋物線內(nèi)，當(dāng)且僅當(dāng)是過點(diǎn)垂直于y軸的直線與拋物線的交點(diǎn)時(shí)，取得最小值3，
所以的最小值為3.
故答案為：3.
變式18．（2024·吉林通化·梅河口市第五中學(xué)?？寄M預(yù)測）由直線上一點(diǎn)向圓引切線，則切線長的最小值為 ．
【答案】
【解析】設(shè)過點(diǎn)的切線與圓相切于點(diǎn)，連接，則，
圓的圓心為，半徑為，則，
當(dāng)與直線垂直時(shí)，取最小值，且最小值為，
所以，，即切線長的最小值為.
故答案為：.
變式19．（2024·山西朔州·高三懷仁市第一中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）若在圓C：上存在一點(diǎn)P，使得過點(diǎn)P作圓M：的切線長為，則r的取值范圍為 ．
【答案】
【解析】設(shè)點(diǎn)，過點(diǎn)作圓M：的切線，切點(diǎn)為，
由題意可知：，因?yàn)辄c(diǎn)，
所以，化簡整理可得：，
所以，因?yàn)椋?br/>所以，解得：，
所以的取值范圍為，
故答案為：.
變式20．（2024·天津?yàn)I海新·天津市濱海新區(qū)塘沽第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知圓與直線相交所得圓的弦長是，若過點(diǎn)作圓的切線，則切線長為 .
【答案】
【解析】由，得，
則圓心為，半徑為，
圓心到直線的距離為，
因?yàn)閳A與直線相交所得圓的弦長是，
所以，解得或（舍去），
所以圓心為，半徑為，
所以與間的距離為，
所以所求的切線長為，
故答案為：.
變式21．（2024·天津南開·統(tǒng)考二模）若直線與圓相切，則 .
【答案】/0.75
【解析】由題意圓心為，半徑為2，
所以，解得．
故答案為：．
變式22．（2024·湖北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，，過x軸上一點(diǎn)P分別作兩圓的切線，切點(diǎn)分別是M，N，當(dāng)取到最小值時(shí)，點(diǎn)P坐標(biāo)為 .
【答案】
【解析】的圓心為，半徑，
的圓心為，半徑，
設(shè)，則，
所以，
取，
則，
當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取等號，
此時(shí)直線：
令，則，，
故答案為：
【解題方法總結(jié)】
（1）圓的切線方程的求法
①點(diǎn)在圓上，
法一：利用切線的斜率與圓心和該點(diǎn)連線的斜率的乘積等于，即．
法二：圓心到直線的距離等于半徑．
②點(diǎn)在圓外，則設(shè)切線方程：，變成一般式：，因?yàn)榕c圓相切，利用圓心到直線的距離等于半徑，解出．
注意：因?yàn)榇藭r(shí)點(diǎn)在圓外，所以切線一定有兩條，即方程一般是兩個根，若方程只有一個根，則還有一條切線的斜率不存在，務(wù)必要把這條切線補(bǔ)上．
（2）常見圓的切線方程
過圓上一點(diǎn)的切線方程是；
過圓上一點(diǎn)的切線方程是．
題型四：切點(diǎn)弦問題
例10．（2024·浙江·高三浙江省富陽中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）從拋物線上一點(diǎn)作圓：得兩條切線，切點(diǎn)為，則當(dāng)四邊形面積最小時(shí)直線方程為 .
【答案】
【解析】如圖，由題可知 ，，由對稱性可知，
所以求四邊形的最小面積即求的最小值
設(shè)，，則
當(dāng)，即時(shí)，，四邊形的最小面積為
所以
所以以為直徑的圓的方程為：
則為以圓和以為直徑的圓的公共弦
如圖所示
兩圓方程作差得：
所以直線方程為
故答案為：
例11．（2024·貴州·高三凱里一中校聯(lián)考開學(xué)考試）已知圓，過直線上任意一點(diǎn)，作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為兩點(diǎn)，則的最小值為 .
【答案】
【解析】由題意得，圓的圓心為，半徑為，
如圖所示，
根據(jù)圓的切線長公式，可得，
則，
當(dāng)取最小值時(shí)，取最小值，此時(shí)，則，
則.
故答案為：.
例12．（2024·北京·高三強(qiáng)基計(jì)劃）如圖，過橢圓上一點(diǎn)M作圓的兩條切線，過切點(diǎn)的直線與坐標(biāo)軸于P，Q兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則面積的最小值為（ ）
A． B． C． D．前三個答案都不對
【答案】B
【解析】設(shè)點(diǎn)，由于點(diǎn)M在橢圓上，所以，
由切點(diǎn)弦方程，
所以，
由于，
當(dāng)時(shí)，上述不等式取等號，取得最大值3，此時(shí)面積取得最小值．
故選：B.
變式23．（2024·山東泰安·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知直線與圓，過直線上的任意一點(diǎn)向圓引切線，設(shè)切點(diǎn)為，若線段長度的最小值為，則實(shí)數(shù)的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】圓，設(shè)，
則，則，，
則，所以圓心到直線的距離是，
，得，．
故選：A．
變式24．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)在直線上，過點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，則圓心到直線的距離的最大值為（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【解析】由題意可得的圓心到直線的距離為，
即與圓相離；
設(shè)為直線上的一點(diǎn)，則，
過點(diǎn)P作圓的切線，切點(diǎn)分別為，則有，
則點(diǎn)在以為直徑的圓上，
以為直徑的圓的圓心為 ，半徑為，
則其方程為，變形可得 ，
聯(lián)立，可得：，
又由，則有 ，
變形可得 ，
則有，可得，故直線恒過定點(diǎn)，
設(shè)，由于，故點(diǎn)在內(nèi)，
則時(shí)，C到直線的距離最大，
其最大值為,
故選∶B
變式25．（2024·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測）若圓關(guān)于直線對稱，動點(diǎn)在直線上，過點(diǎn)引圓的兩條切線、，切點(diǎn)分別為、，則直線恒過定點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由題意可知：圓的圓心在直線上，
即有 ，
設(shè)點(diǎn) ，則 ，
故以為直徑的圓的方程為： ，
將和相減，
即可得直線的方程，即 ，
則直線恒過定點(diǎn)，
故選：C
變式26．（多選題）（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知圓：，點(diǎn)M在拋物線：上運(yùn)動，過點(diǎn)引直線與圓相切，切點(diǎn)分別為，則下列選項(xiàng)中能取到的值有（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】BC
【解析】解析：如圖，
連接，題意，，而，而，則垂直平分線段，
于是得四邊形面積為面積的2倍，
從而得，
即，
設(shè)點(diǎn)，而，
則，即，
所以，即，得，
所以的取值范圍為．故選BC．
變式27．（2024·江蘇南京·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）過拋物線上一點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)為、，則當(dāng)四邊形的面積最小時(shí)，直線的方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】連接、，
圓的圓心為，半徑為，易知圓心為拋物線的焦點(diǎn)，
設(shè)點(diǎn)，則，則，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，此時(shí)點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，
由圓的幾何性質(zhì)可得，，由切線長定理可得，
則，所以，，
所以，，
此時(shí)點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，且圓關(guān)于軸對稱，此時(shí)點(diǎn)、也關(guān)于軸對稱，
則軸，
在中，，，，則，
所以，，因此，直線的方程為.
故選：C.
【解題方法總結(jié)】
過圓外一點(diǎn)作圓的兩條切線，則兩切點(diǎn)所在直線方程為
過曲線上，做曲線的切線，只需把替換為，替換為，替換為，替換為即可，因此可得到上面的結(jié)論．
題型五：圓上的點(diǎn)到直線距離個數(shù)問題
例13．（2024·貴州貴陽·高三貴陽一中?？计谀┤魣A上有四個不同的點(diǎn)到直線的距離為，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，
設(shè)與直線平行且到直線的距離為的直線的方程為，
則，解得或，
所以，直線、均與圓相交，
所以，，解得，
因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故選：C.
例14．（2024·陜西咸陽·高三武功縣普集高級中學(xué)校考階段練習(xí)）圓C：上恰好存在2個點(diǎn)，它到直線的距離為1，則R的一個取值可能為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】圓C：的圓心，半徑R
點(diǎn)C到直線的距離為
圓C上恰好存在2個點(diǎn)到直線的距離為1，則
故選：B
例15．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知圓O：x2＋y2＝4上到直線l：x＋y＝a的距離等于1的點(diǎn)至少有2個，則a的取值范圍為(　　)
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由圓的方程可知圓心為，半徑為2，因?yàn)閳A上的點(diǎn)到直線的距離等于1的點(diǎn)至少有2個，所以圓心到直線的距離，即，解得，故選A.
變式28．（2024·全國·高三專題練習(xí)）若圓上恰有2個點(diǎn)到直線的距離為1，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因?yàn)閳A心到直線的距離，
故要滿足題意，只需，解得.
故選：A.
變式29．（1991·全國·高考真題）圓上到直線的距離為的點(diǎn)共有
A．個 B．個 C．個 D．個
【答案】C
【解析】求出圓的圓心和半徑，比較圓心到直線的距離和圓的半徑的關(guān)系即可得解.圓可變?yōu)椋?br/>圓心為，半徑為，
圓心到直線的距離，
圓上到直線的距離為的點(diǎn)共有個.
故選：C.
變式30．（2024·全國·高三專題練習(xí)）若圓上僅有4個點(diǎn)到直線的距離為1，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】到已知直線的距離為1的點(diǎn)的軌跡，是與已知直線平行且到它的距離等于1的兩條直線，根據(jù)題意可得這兩條平行線與有4個公共點(diǎn)，由此利用點(diǎn)到直線的距離公式加以計(jì)算，可得的取值范圍．作出到直線的距離為1的點(diǎn)的軌跡，得到與直線平行，
且到直線的距離等于1的兩條直線，
圓的圓心為原點(diǎn)，
原點(diǎn)到直線的距離為，
兩條平行線中與圓心距離較遠(yuǎn)的一條到原點(diǎn)的距離為，
又圓上有4個點(diǎn)到直線的距離為1，
兩條平行線與圓有4個公共點(diǎn)，即它們都與圓相交．
由此可得圓的半徑，
即，實(shí)數(shù)的取值范圍是．
故選：．
【解題方法總結(jié)】
臨界法
題型六：直線與圓位置關(guān)系中的最值（范圍）問題
例16．（2024·湖北·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知點(diǎn)在圓運(yùn)動，若對任意點(diǎn)，在直線上均存在兩點(diǎn)，使得恒成立，則線段長度的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如圖，
由題可知，圓心為點(diǎn)，半徑為1，
若直線上存在兩點(diǎn)，使得恒成立，
則始終在以為直徑的圓內(nèi)或圓上，點(diǎn)到直線的距離為，
所以長度的最小值為.
故選：D
例17．（2024·河南洛陽·高三伊川縣第一高中校聯(lián)考開學(xué)考試）已知圓，點(diǎn)在直線上，過點(diǎn)作直線與圓相切于點(diǎn)，則的周長的最小值為 .
【答案】/
【解析】由圓知圓心，半徑，
因?yàn)榕c圓相切于點(diǎn)，所以，
所以，所以越小，越小，
當(dāng)時(shí)，最小，
因?yàn)閳A心到直線的距離為，所以的最小值為6，
此時(shí)，，，
故的周長的最小值為.
故答案為：.
例18．（2024·河北石家莊·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，正方形的邊長為4，是邊上的一動點(diǎn)，交于點(diǎn)，且直線平分正方形的周長，當(dāng)線段的長度最小時(shí)，點(diǎn)到直線的距離為 .

【答案】
【解析】根據(jù)題意平分正方形周長，可得恒過正方形的中心，設(shè)的中心為點(diǎn)，由可知，點(diǎn)的軌跡是以為直徑的圓，
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸建立直角坐標(biāo)系，
則，，，，
以為直徑的圓的方程為，
設(shè)為圓心，可知坐標(biāo)為，當(dāng)最小時(shí)，，，三點(diǎn)共線，
可知此時(shí)直線的方程為，
則點(diǎn)到直線的距離為.
故答案為：.
變式31．（2024·廣東梅州·高三大埔縣虎山中學(xué)?？茧A段練習(xí)）直線分別與軸，軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在圓上，則面積的取值范圍是 .
【答案】
【解析】對于，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以，
所以，
圓的圓心，半徑，
圓心到直線的距離為，
所以點(diǎn)P到直線的距離的最大值，
點(diǎn)P到直線的距離的最小值，
所以面積的最大值為，
面積的最小值為，
所以面積的取值范圍是，
故答案為：
變式32．（2024·上海徐匯·高三上海民辦南模中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若，則的最小值為 .
【答案】
【解析】曲線表示的是以點(diǎn)為圓心，以為半徑的圓，
表示點(diǎn)到點(diǎn)的距離，
表示點(diǎn)到直線的距離，設(shè)點(diǎn)在直線上的射影點(diǎn)為，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)、、三點(diǎn)共線且點(diǎn)為線段與圓的交點(diǎn)時(shí)，等號成立，
故的最小值為.
故答案為：.
變式33．（2024·湖北武漢·武漢二中校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知圓與直線相切，函數(shù)過定點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的兩條互相垂直的弦，則四邊形面積的最大值為 .
【答案】5
【解析】由題意圓與直線相切，
圓心為，半徑為，
函數(shù)過定點(diǎn)
如圖連接OA、OD作垂足分別為E、F，
，
四邊形OEMF為矩形，
已知，，
設(shè)圓心O到AC、BD的距離分別為、，
則
四邊形ABCD的面積為：，
從而：，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)即取等號，
故四邊形ABCD的面積最大值是5，
故答案為：5.
變式34．（2024·遼寧大連·大連二十四中校考模擬預(yù)測）已知是平面內(nèi)的三個單位向量，若，則的最小值是 ．
【答案】
【解析】均為單位向量且，不妨設(shè)，，且，
，，
，
的幾何意義表示的是點(diǎn)到和兩點(diǎn)的距離之和的2倍，
點(diǎn)在單位圓內(nèi)，點(diǎn)在單位圓外，
則點(diǎn)到和兩點(diǎn)的距離之和的最小值即為和兩點(diǎn)間距離，
所求最小值為.
故答案為：.
變式35．（2024·安徽池州·高三池州市第一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知，直線為上的動點(diǎn)，過點(diǎn)作的切線，切點(diǎn)為，當(dāng)最小時(shí)，直線的方程為 .
【答案】
【解析】圓的方程可化為，則圓心，半徑，
可得點(diǎn)到直線的距離為，
所以直線與圓相離，
依圓的知識可知，四點(diǎn)四點(diǎn)共圓，且，
所以，
原題意等價(jià)于取到最小值，
當(dāng)直線時(shí)，，此時(shí)最小.
的直線方程為：，
與聯(lián)立，解得：，即，
則的中點(diǎn)為，
所以以為直徑的圓的方程為，即，
兩圓的方程相減可得：，
即直線的方程為.
故答案為：.
變式36．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知，點(diǎn)A為直線上的動點(diǎn)，過點(diǎn)A作直線與相切于點(diǎn)P，若，則的最小值為 .
【答案】
【解析】
設(shè)，，連接，所以，且，
所以，
，
所以求的最小值可轉(zhuǎn)化為求到兩點(diǎn)和距離和的最小值，如圖，連接即可，所以，
故答案為：.
變式37．（2024·廣東佛山·華南師大附中南海實(shí)驗(yàn)高中?？寄M預(yù)測）若直線與相交于點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)為，則|PM|的最大值為 ．
【答案】
【解析】直線過定點(diǎn)，直線過定點(diǎn)，
顯然這兩條直線互相垂直，因此在以為直徑的圓上，設(shè)該圓的圓心為，
顯然點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以該圓的方程為，
由圓的切線性質(zhì)可知：，要想|PM|的值最大，只需的值最大，
當(dāng)點(diǎn)在如下圖位置時(shí)，的值最大，即，
所以|PM|的最大值為，
故答案為：
變式38．（2024·河南·高三信陽高中校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)的圖象恒過定點(diǎn)A，圓上兩點(diǎn)，滿足，則的最小值為 ．
【答案】
【解析】因?yàn)闀r(shí)，，
所以函數(shù)的圖象過定點(diǎn)，
因?yàn)椋?br/>所以點(diǎn)三點(diǎn)共線，，
因?yàn)椋瑸閳A上兩點(diǎn)，
所以點(diǎn)為過點(diǎn)的直線與圓的兩個交點(diǎn)，
設(shè)線段的中點(diǎn)為，則，
因?yàn)楸硎军c(diǎn)，到
直線的距離和，
表示表示點(diǎn)到直線的距離，
分別過點(diǎn)作與直線垂直，垂足為，
則，
所以，
因?yàn)?，直線過點(diǎn)，所以，
所以，
所以，化簡可得，
即點(diǎn)在圓上，
所以點(diǎn)的軌跡為以為圓心，半徑為的圓，
所以點(diǎn)到直線的距離的最小值為，
所以，
所以，
所以，
故答案為：.
變式39．（2024·四川成都·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知圓C：與直線l：交與A，B兩點(diǎn)，當(dāng)|AB|最小值時(shí)，直線l的一般式方程是 .
【答案】
【解析】由圓的方程可得圓心為，直線的方程可整理為，令，解得，所以直線過定點(diǎn)，當(dāng)垂直直線時(shí)，最小，所以，解得，所以直線的方程為，即.
故答案為：.
變式40．（2024·北京西城·高三北京市回民學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知圓與直線相交于兩點(diǎn)，則的最小值是 .
【答案】
【解析】根據(jù)題意，圓即，
圓心的坐標(biāo)為，半徑，
直線，即，恒過定點(diǎn)，
又由圓的方程為，則點(diǎn)在圓內(nèi)，
分析可得：當(dāng)直線與垂直時(shí)，弦最小，
此時(shí)，
則的最小值為；
故答案為：.
變式41．（2024·寧夏石嘴山·石嘴山市第三中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知分別是圓，圓上動點(diǎn)，是直線上的動點(diǎn)，則的最小值為 ．
【答案】3
【解析】，，
，，，
設(shè)關(guān)于的對稱點(diǎn)為，
則，解得，即.
所以圓關(guān)于直線的對稱圓：
因?yàn)椋?br/>所以.
故答案為：3
變式42．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知實(shí)數(shù)x，y滿足：，則的取值范圍是 ．
【答案】
【解析】解法一：因?yàn)?，所以令，?br/>則，，
故，其中，，因?yàn)椋?br/>所以，
所以，
故的取值范圍為．
解法二：因?yàn)閳A心到直線的距離，
所以圓心上的點(diǎn)到直線的距離的取值范圍為，
又因?yàn)椋?br/>所以的取值范圍是．
故答案為：．
變式43．（2024·福建福州·高三福建省福州格致中學(xué)?？计谥校┮阎菆A上兩點(diǎn)，若，則的最大值為 .
【答案】4
【解析】由，得為等腰直角三角形，
設(shè)為的中點(diǎn)，則，且，
則點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上，
表示兩點(diǎn)到直線的距離之和，
兩點(diǎn)到直線的距離之和等于中點(diǎn)到直線的距離的2倍，
點(diǎn)到直線的距離為，
所以點(diǎn)直線的距離的最大值為，
所以的最大值為，
所以的最大值為.
故答案為：4.
變式44．（2024·廣東廣州·高三廣州市白云中學(xué)?？计谥校┮阎狿是直線上的動點(diǎn)，是圓的兩條切線，A，B是切點(diǎn)，C是圓心，那么四邊形面積的最小值為 ．
【答案】
【解析】，即，圓心為，半徑，
，即最小時(shí)，面積最小.
，故四邊形面積的最小值為.
故答案為：
變式45．（2024·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)，，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P滿足，若直線上存在點(diǎn)Q使得，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】設(shè)，
，
，即．
點(diǎn)P的軌跡為以原點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓面．
若直線上存在點(diǎn)Q使得，
則PQ為圓的切線時(shí)最大，
，即．
圓心到直線的距離，
或．
故選：C．
變式46．（2024·四川成都·四川省成都市玉林中學(xué)校考模擬預(yù)測）德國數(shù)學(xué)家米勒曾提出最大視角問題，這一問題一般的描述是：已知點(diǎn)，是的邊上的兩個定點(diǎn)，是邊上的一個動點(diǎn)，當(dāng)在何處時(shí)，最大？問題的答案是：當(dāng)且僅當(dāng)?shù)耐饨訄A與邊相切于點(diǎn)時(shí)最大，人們稱這一命題為米勒定理.已知點(diǎn)，的坐標(biāo)分別是，，是軸正半軸上的一動點(diǎn).若的最大值為，則實(shí)數(shù)的值為（ ）
A．2 B．3 C．或 D．2或4
【答案】C
【解析】根據(jù)米勒定理，當(dāng)最大時(shí)，的外接圓與軸正半軸相切于點(diǎn).
設(shè)的外接圓的圓心為，則，圓的半徑為.
因?yàn)闉椋裕礊榈冗吶切危?br/>所以，即或，解得或.
故選：C.
變式47．（2024·新疆烏魯木齊·統(tǒng)考三模）已知直線與軸和軸分別交于A，兩點(diǎn)，以點(diǎn)A為圓心，2為半徑的圓與軸的交點(diǎn)為（在點(diǎn)A右側(cè)），點(diǎn)在圓上，當(dāng)最大時(shí)，的面積為（ ）
A． B．8 C． D．
【答案】A
【解析】如圖所示，不難發(fā)現(xiàn)當(dāng)BP為圓的一條位于AB下方的切線時(shí)滿足最大，
由題意可得，不妨設(shè)，
則A到BP的距離為，或（舍去）.
則，
此時(shí)到BP的距離為，
所以的面積為
故選：A
變式48．（2024·江西贛州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知圓C：，圓是以圓上任意一點(diǎn)為圓心，半徑為1的圓．圓C與圓交于A，B兩點(diǎn)，則當(dāng)最大時(shí)，（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】D
【解析】依題意，在中，，如圖，
顯然，是銳角，，又函數(shù)在上遞增，
因此當(dāng)且僅當(dāng)公共弦最大時(shí)，最大，此時(shí)弦為圓的直徑，
在中，，所以.
故選：D
變式49．（2024·上海黃浦·高三上海市敬業(yè)中學(xué)?？计谥校┮阎c(diǎn)P在圓上，點(diǎn)，，則錯誤的是（ ）
A．點(diǎn)P到直線AB的距離小于10 B．點(diǎn)P到直線AB的距離大于2
C．當(dāng)最小時(shí)， D．當(dāng)最大時(shí)，
【答案】B
【解析】圓的圓心為，半徑為4，
直線的方程為，即，
圓心到直線的距離為，
則點(diǎn)到直線的距離的最小值為，最大值為，
所以點(diǎn)到直線的距離小于10，但不一定大于2，故選項(xiàng)A正確，B錯誤；
如圖所示，當(dāng)最大或最小時(shí)，與圓相切，點(diǎn)位于時(shí)最小，位于時(shí)最大），
連接，，可知，，，
由勾股定理可得，故選項(xiàng)CD正確．
故選：B．
變式50．（2024·廣東珠海·高二珠海市第一中學(xué)校考期末）德國數(shù)學(xué)家米勒曾提出過如下的“最大視角原理”：對定點(diǎn)、和在直線上的動點(diǎn)，當(dāng)與的外接圓相切時(shí)，最大．若，，是軸正半軸上一動點(diǎn)，當(dāng)對線段的視角最大時(shí)，的外接圓的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】設(shè)，則，，
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立,解得，，
設(shè)的外接圓的方程為，
則，解得，，，
的外接圓的方程為．
故選：．
【解題方法總結(jié)】
直線上的點(diǎn)與圓上的點(diǎn)的最近或最遠(yuǎn)距離問題，這樣的題目往往要轉(zhuǎn)化為直線上的點(diǎn)與圓心距離的最近和最遠(yuǎn)距離再加減半徑長的問題．
題型七：圓與圓的位置關(guān)系
例19．（2024·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知直線與圓相切，則滿足條件的直線l的條數(shù)為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】由已知直線，
則原點(diǎn)到直線l的距離為，
由直線l與圓相切，
則滿足條件的直線l即為圓和圓的公切線，
因?yàn)閳A和圓外切，
所以這兩個圓有兩條外公切線和一條內(nèi)公切線，
所以滿足條件的直線l有3條．
故選: B．
例20．（2024·黑龍江大慶·統(tǒng)考三模）已知直線是圓的切線，并且點(diǎn)到直線的距離是2，這樣的直線有（ ）
A．1條 B．2條 C．3條 D．4條
【答案】D
【解析】由已知可得，圓心，半徑.
由點(diǎn)到直線的距離是2，所以直線是以為圓心，為半徑的圓的切線，
又直線是圓的切線，
所以，直線是圓與圓的公切線.
因?yàn)椋?br/>所以，兩圓外離，所以兩圓的公切線有4條，
即滿足條件的直線有4條.
故選：D.
例21．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知圓：，圓：，則與的位置關(guān)系是（ ）
A．外切 B．內(nèi)切 C．相交 D．外離
【答案】C
【解析】圓的圓心為，
圓的圓心為，
所以
所以圓與的位置關(guān)系是相交.
故選: C.
變式51．（2024·全國·高三專題練習(xí)）圓：與圓：公切線的條數(shù)為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】根據(jù)題意，圓：，即，
其圓心為，半徑；
圓：，即，
其圓心為，半徑，
兩圓的圓心距，所以兩圓相外切，
其公切線條數(shù)有3條．
故選：C．
變式52．（2024·山西·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知圓：的圓心到直線的距離為，則圓與圓：的公切線共有（ ）
A．0條 B．1條 C．2條 D．3條
【答案】B
【解析】圓：的圓心為，半徑為a，
所以圓心到直線的距離為，解得或．
因?yàn)椋?
所以圓：的圓心為，半徑為．
圓：的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
圓心坐標(biāo)為，半徑，
圓心距，所以兩圓相內(nèi)切．
所以兩圓的公切線只有1條.
故選：B．
變式53．（2024·甘肅蘭州·蘭州五十九中?？寄M預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C：x2＋y2－4x＝0及點(diǎn)A(－1,0)，B(1,2)，在圓C上存在點(diǎn)P，使得|PA|2＋|PB|2＝12，則點(diǎn)P的個數(shù)為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】設(shè)P(x,y)，則(x－2)2＋y2＝4，|PA|2＋|PB|2＝(x＋1)2＋(y－0)2＋(x－1)2＋(y－2)2＝12，即x2＋y2－2y－3＝0，即x2＋(y－1)2＝4，圓心為，半徑為2，又圓圓心為，半徑為2，
因?yàn)椋?br/>所以圓(x－2)2＋y2＝4與圓x2＋(y－1)2＝4相交，所以點(diǎn)P的個數(shù)為2.
故選：B.
變式54．（2024·全國·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知兩點(diǎn)，到直線的距離分別是1與4，則滿足條件的直線共有（ ）
A．1條 B．2條 C．3條 D．4條
【答案】C
【解析】分別以為圓心，以為半徑作圓，
因?yàn)椋?br/>所以兩圓外切，有三條公切線，即滿足條件的直線共有3條，
故選：C
變式55．（2024·湖南常德·常德市一中?？级＃┮阎獔A和兩點(diǎn)，若圓C上存在點(diǎn)P，使得，則a的最小值為（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】C
【解析】由，得點(diǎn)P在圓上，故點(diǎn)P在圓上，又點(diǎn)P在圓C上，所以，兩圓有交點(diǎn)，
因?yàn)閳A的圓心為原點(diǎn)O，半徑為a，圓C的圓心為，半徑為1，
所以，又，所以，
解得，所以a的最小值為4.
故選：C.
變式56．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知圓C1：x2＋y2＋4ax＋4a2－4＝0和圓C2：x2＋y2－2by＋b2－1＝0只有一條公切線，若a，b∈R且ab≠0，則＋的最小值為（ ）
A．3 B．8 C．4 D．9
【答案】D
【解析】因?yàn)閳AC1：x2＋y2＋4ax＋4a2－4＝0和圓C2：x2＋y2－2by＋b2－1＝0只有一條公切線，
所以兩圓相內(nèi)切，其中C1(－2a，0)，r1＝2；C2(0，b)，r2＝1，故|C1C2|＝，由題設(shè)可知，
當(dāng)且僅當(dāng)a2＝2b2時(shí)等號成立．
故選：D.
【解題方法總結(jié)】
已知兩圓半徑分別為，兩圓的圓心距為，則：
（1）兩圓外離；
（2）兩圓外切；
（3）兩圓相交；
（4）兩圓內(nèi)切；
（5）兩圓內(nèi)含；
題型八：兩圓的公共弦問題
例22．（2024·天津和平·耀華中學(xué)校考二模）圓與圓的公共弦所在的直線方程為 ．
【答案】
【解析】聯(lián)立，兩式相減得.
故答案為：
例23．（2024·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）若圓與圓交于P，Q兩點(diǎn)，則直線PQ的方程為 .
【答案】
【解析】∵圓與圓相交，則兩圓方程之差即為直線PQ的方程，
將與作差得，
整理得，
即直線PQ的方程為.
故答案為：.
例24．（2024·天津?yàn)I海新·統(tǒng)考三模）已知圓：與圓：，若兩圓相交于A，B兩點(diǎn)，則
【答案】
【解析】圓的方程為，即①，
又圓：②，
②－①可得兩圓公共弦所在的直線方程為
圓的圓心到直線的距離，
所以．
故答案為: .
變式57．（2024·天津和平·耀華中學(xué)?？家荒＃﹫A與圓的公共弦的長為 ．
【答案】
【解析】將圓與圓的方程作差可得，
所以，兩圓相交弦所在直線的方程為，
圓的圓心為原點(diǎn)，半徑為，
原點(diǎn)到直線的距離為，
所以，兩圓的公共弦長為.
故答案為：.
變式58．（2024·浙江麗水·高三浙江省麗水中學(xué)校聯(lián)考期末）已知圓與圓相交于兩點(diǎn)，則 .
【答案】
【解析】將圓與圓的方程相減，
即得的方程為 ，
則的圓心為，半徑為，
則到直線的距離為 ，
故，
故答案為：
變式59．（2024·吉林通化·高三梅河口市第五中學(xué)?？计谀┮阎獔A與圓相交于兩點(diǎn)，則 .
【答案】
【解析】因?yàn)閳A與圓相交于兩點(diǎn)，
所以直線AB的方程為：，
即，
圓心到弦AB的距離，
所以，
故答案為：.
【解題方法總結(jié)】
兩圓的公共弦方程為兩圓方程相減可得．
題型九：兩圓的公切線問題
例25．（2024·全國·高三專題練習(xí)）點(diǎn)，到直線l的距離分別為1和4，寫出一個滿足條件的直線l的方程： .
【答案】或或（填其中一個即可）
【解析】設(shè)，，連接MN，則.
以M為圓心，1為半徑作圓M，以N為圓心4為半徑作圓N，則兩圓外切，
所以兩圓有3條公切線，即符合條件的直線l有3條.
當(dāng)公切線的斜率不存在時(shí)，顯然公切線的方程為.
當(dāng)公切線的斜率存在時(shí)，設(shè)公切線的方程為，則有，
由①②得，所以或.
由①及得，由①及得，
所以公切線方程為或.
綜上，直線l的方程為或或.
故答案為：或或
例26．（2024·湖南岳陽·統(tǒng)考三模）寫出與圓和都相切的一條直線方程 ．
【答案】或中任何一個答案均可
【解析】圓的圓心為，半徑為，
圓的圓心為，半徑為，
則，
所以兩圓外離，
由兩圓的圓心都在軸上，則公切線的斜率一定存在，
設(shè)公切線方程為，即，
則有，
解得或或或
所以公切線方程為或.
故答案為：.（答案不唯一，寫其它三條均可）
例27．（2024·湖北黃岡·浠水縣第一中學(xué)校考模擬預(yù)測）寫出與圓和圓都相切的一條直線的方程 .
【答案】（答案不唯一，或均可以）
【解析】圓的圓心為，半徑為1；圓的圓心為，半徑為4，圓心距為，所以兩圓外切，
如圖，有三條切線，易得切線的方程為；
因?yàn)椋?，所以，設(shè)，即，則到的距離，解得（舍去）或，所以；
可知和關(guān)于對稱，聯(lián)立，解得在上，
在上取點(diǎn)，設(shè)其關(guān)于的對稱點(diǎn)為，則，
解得，則，
所以直線，即，
綜上，切線方程為或或.
故答案為：（答案不唯一，或均可以）
變式60．（2024·湖北·模擬預(yù)測）已知圓與圓有三條公切線，則 ．
【答案】或
【解析】圓的圓心為，半徑為，
圓的圓心為，半徑為，
因?yàn)閳A與圓有三條公切線，所以兩圓外切，
所以
即
當(dāng)時(shí)，，即
解得或（舍去）
當(dāng)時(shí)，，即
解得或（舍去）
當(dāng)時(shí)，，即
解得（舍去）
綜上，或
故答案為：或
變式61．（2024·遼寧沈陽·東北育才學(xué)校?？寄M預(yù)測）已知圓，圓圓與圓相切，并且兩圓的一條外公切線的斜率為7，則為 .
【答案】
【解析】根據(jù)題意作出如下圖形：
AB為兩圓的公切線，切點(diǎn)分別為A,B.
當(dāng)公切線AB與直線平行時(shí)，公切線AB斜率不為7，即
不妨設(shè)
過作AB的平行線交于點(diǎn)E，則：，且
,
直線的斜率為：，
所以直線AB與直線的夾角正切為：.
在直角三角形中，，所以，
又,整理得：，
解得：，又，解得：，，
所以=.
變式62．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)，，符合點(diǎn)A，B到直線l的距離分別為1，3的直線方程為 （寫出一條即可）．
【答案】或或或（寫出一條即可）
【解析】由題意可知直線l是圓與圓的公切線，
因?yàn)閮蓤A為外離關(guān)系，所以滿足條件的直線l有四條．
當(dāng)直線l是兩圓的外公切線時(shí)，由幾何性質(zhì)（相似三角形的性質(zhì)）易知直線l過點(diǎn)．
設(shè)直線l的方程為，則，解得，
此時(shí)直線l的方程為或．
當(dāng)直線l是兩圓的內(nèi)公切線時(shí)，由幾何性質(zhì)（相似三角形的性質(zhì)）易知直線l過點(diǎn)，
設(shè)直線l的方程為，則，解得，
此時(shí)直線l的方程為或．
故答案為：或或或（寫出一條即可）．
變式63．（2024·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）圓與x軸交于A，B兩點(diǎn)(A在B的左側(cè))，點(diǎn)N滿足，直線與圓M和點(diǎn)N的軌跡同時(shí)相切，則直線l的斜率為 ．
【答案】
【解析】對于圓，令，得，解得或，
則，．
設(shè)，∵，∴，
則，整理得，
則點(diǎn)N的軌跡是圓心為，半徑為的圓．
又圓M的方程為，則圓M的圓心為，半徑為．
∵，∴兩圓相交，
設(shè)直線l與圓M和點(diǎn)N軌跡圓E切點(diǎn)分別為C，D，
連接CM，DE，過M作DE的垂線，垂足為點(diǎn)F，則四邊形CDFM為矩形，
∵，，∴，
則，
則兩圓公切線CD的斜率即為直線FM的斜率為．
故答案為：.
【解題方法總結(jié)】
待定系數(shù)法
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21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)第60講 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系
知識梳理
一．直線與圓的位置關(guān)系
直線與圓的位置關(guān)系有3種，相離，相切和相交
二．直線與圓的位置關(guān)系判斷
（1）幾何法（圓心到直線的距離和半徑關(guān)系）
圓心到直線的距離，則：
直線與圓相交，交于兩點(diǎn)，；
直線與圓相切；
直線與圓相離
（2）代數(shù)方法（幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題即交點(diǎn)個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程根個數(shù)）
由，
消元得到一元二次方程，判別式為，則：
直線與圓相交；
直線與圓相切；
直線與圓相離．
三．兩圓位置關(guān)系的判斷
用兩圓的圓心距與兩圓半徑的和差大小關(guān)系確定，具體是：
設(shè)兩圓的半徑分別是，（不妨設(shè)），且兩圓的圓心距為，則：
兩圓相交；
兩圓外切；
兩圓相離
兩圓內(nèi)切；
兩圓內(nèi)含（時(shí)兩圓為同心圓）
設(shè)兩個圓的半徑分別為，，圓心距為，則兩圓的位置關(guān)系可用下表來表示：
位置關(guān)系 相離 外切 相交 內(nèi)切 內(nèi)含
幾何特征
代數(shù)特征 無實(shí)數(shù)解 一組實(shí)數(shù)解 兩組實(shí)數(shù)解 一組實(shí)數(shù)解 無實(shí)數(shù)解
公切線條數(shù) 4 3 2 1 0
【解題方法總結(jié)】
關(guān)于圓的切線的幾個重要結(jié)論
（1）過圓上一點(diǎn)的圓的切線方程為．
（2）過圓上一點(diǎn)的圓的切線方程為
（3）過圓上一點(diǎn)的圓的切線方程為
（4）求過圓外一點(diǎn)的圓的切線方程時(shí)，應(yīng)注意理解：
①所求切線一定有兩條；
②設(shè)直線方程之前，應(yīng)對所求直線的斜率是否存在加以討論．設(shè)切線方程為，利用圓心到切線的距離等于半徑，列出關(guān)于的方程，求出值．若求出的值有兩個，則說明斜率不存在的情形不符合題意；若求出的值只有一個，則說明斜率不存在的情形符合題意．
必考題型全歸納
題型一：直線與圓的位置關(guān)系的判斷
例1．（2024·四川成都·成都七中?？家荒＃﹫A：與直線：的位置關(guān)系為（ ）
A．相切 B．相交 C．相離 D．無法確定
例2．（2024·全國·高三對口高考）若直線與圓相交，則點(diǎn)（ ）
A．在圓上 B．在圓外 C．在圓內(nèi) D．以上都有可能
例3．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)為圓上的動點(diǎn)，則直線與圓的位置關(guān)系為（ ）
A．相交 B．相離 C．相切 D．相切或相交
變式1．（2024·全國·高三專題練習(xí)）直線與圓的位置關(guān)系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相離 D．無法確定
變式2．（2024·陜西寶雞·統(tǒng)考二模）直線l：與曲線C：的交點(diǎn)個數(shù)為（ ）
A．0 B．1 C．2 D．無法確定
變式3．（2024·寧夏銀川·銀川一中?？级＃┲本€與圓的位置關(guān)系為（ ）
A．相離 B．相切 C．相交 D．不能確定
【解題方法總結(jié)】
判斷直線與圓的位置關(guān)系的常見方法
（1）幾何法：利用d與r的關(guān)系．
（2）代數(shù)法：聯(lián)立方程之后利用Δ判斷．
（3）點(diǎn)與圓的位置關(guān)系法：若直線恒過定點(diǎn)且定點(diǎn)在圓內(nèi)，可判斷直線與圓相交．
題型二：弦長與面積問題
例4．（2024·重慶沙坪壩·高三重慶一中?？茧A段練習(xí)）已知直線：與圓：交于，兩點(diǎn)，則 ．
例5．（2024·河南鄭州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知圓，直線與圓C相交于M，N兩點(diǎn)，則 ．
例6．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知直線與交于A，B兩點(diǎn)，寫出滿足“面積為”的m的一個值 ．
變式4．（2024·江西南昌·高三南昌市八一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）圓心在直線上，與軸相切，且被直線截得的弦長為的圓的方程為 .
變式5．（2024·廣東廣州·統(tǒng)考三模）寫出經(jīng)過點(diǎn)且被圓截得的弦長為的一條直線的方程 ．
變式6．（2024·廣東深圳·校考二模）過點(diǎn)且被圓所截得的弦長為的直線的方程為 .
變式7．（2024·湖北黃岡·浠水縣第一中學(xué)?？既＃┮阎本€l：被圓C：所截得的弦長為整數(shù)，則滿足條件的直線l有 條.
變式8．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知A，B分別為圓與圓上的點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則面積的最大值為 .
變式9．（2024·廣東廣州·廣州市從化區(qū)從化中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知直線與圓交于A，兩點(diǎn)，若是圓上的一動點(diǎn)，則面積的最大值是 .
變式10．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知圓的方程為，若直線與圓相交于兩點(diǎn)，則的面積為 .
變式11．（2024·全國·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過點(diǎn)的直線l與圓相交于M，N兩點(diǎn)，若，則直線l的斜率為 .
變式12．（2024·廣東惠州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在圓內(nèi)，過點(diǎn)的最長弦和最短弦分別為和，則四邊形的面積為 ．
【解題方法總結(jié)】
弦長問題
①利用垂徑定理：半徑，圓心到直線的距離，弦長具有的關(guān)系，這也是求弦長最常用的方法．
②利用交點(diǎn)坐標(biāo)：若直線與圓的交點(diǎn)坐標(biāo)易求出，求出交點(diǎn)坐標(biāo)后，直接用兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算弦長．
③利用弦長公式：設(shè)直線，與圓的兩交點(diǎn)，將直線方程代入圓的方程，消元后利用根與系數(shù)關(guān)系得弦長：．
題型三：切線問題、切線長問題
例7．（2024·遼寧錦州·校考一模）寫出一條與圓和曲線都相切的直線的方程： .
例8．（2024·河南開封·統(tǒng)考三模）已知點(diǎn)，，經(jīng)過B作圓的切線與y軸交于點(diǎn)P，則 ．
例9．（2024·全國·高三專題練習(xí)）經(jīng)過點(diǎn)且與圓相切的直線方程為 ．
變式13．（2024·福建寧德·?？寄M預(yù)測）已知圓C：，直線l的橫縱截距相等且與圓C相切﹐則直線l的方程為 ．
變式14．（2024·福建福州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）寫出經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)且和圓相切的一條直線的方程 .
變式15．（2024·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測）過點(diǎn)且與圓：相切的直線方程為
變式16．（2024·湖北·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知過點(diǎn)作圓的切線，則切線長為 .
變式17．（2024·江蘇無錫·校聯(lián)考三模）已如，是拋物線上的動點(diǎn)（異于頂點(diǎn)），過作圓的切線，切點(diǎn)為，則的最小值為 .
變式18．（2024·吉林通化·梅河口市第五中學(xué)?？寄M預(yù)測）由直線上一點(diǎn)向圓引切線，則切線長的最小值為 ．
變式19．（2024·山西朔州·高三懷仁市第一中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）若在圓C：上存在一點(diǎn)P，使得過點(diǎn)P作圓M：的切線長為，則r的取值范圍為 ．
變式20．（2024·天津?yàn)I海新·天津市濱海新區(qū)塘沽第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知圓與直線相交所得圓的弦長是，若過點(diǎn)作圓的切線，則切線長為 .
變式21．（2024·天津南開·統(tǒng)考二模）若直線與圓相切，則 .
變式22．（2024·湖北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，，過x軸上一點(diǎn)P分別作兩圓的切線，切點(diǎn)分別是M，N，當(dāng)取到最小值時(shí)，點(diǎn)P坐標(biāo)為 .
【解題方法總結(jié)】
（1）圓的切線方程的求法
①點(diǎn)在圓上，
法一：利用切線的斜率與圓心和該點(diǎn)連線的斜率的乘積等于，即．
法二：圓心到直線的距離等于半徑．
②點(diǎn)在圓外，則設(shè)切線方程：，變成一般式：，因?yàn)榕c圓相切，利用圓心到直線的距離等于半徑，解出．
注意：因?yàn)榇藭r(shí)點(diǎn)在圓外，所以切線一定有兩條，即方程一般是兩個根，若方程只有一個根，則還有一條切線的斜率不存在，務(wù)必要把這條切線補(bǔ)上．
（2）常見圓的切線方程
過圓上一點(diǎn)的切線方程是；
過圓上一點(diǎn)的切線方程是．
題型四：切點(diǎn)弦問題
例10．（2024·浙江·高三浙江省富陽中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）從拋物線上一點(diǎn)作圓：得兩條切線，切點(diǎn)為，則當(dāng)四邊形面積最小時(shí)直線方程為 .
例11．（2024·貴州·高三凱里一中校聯(lián)考開學(xué)考試）已知圓，過直線上任意一點(diǎn)，作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為兩點(diǎn)，則的最小值為 .
例12．（2024·北京·高三強(qiáng)基計(jì)劃）如圖，過橢圓上一點(diǎn)M作圓的兩條切線，過切點(diǎn)的直線與坐標(biāo)軸于P，Q兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則面積的最小值為（ ）
A． B． C． D．前三個答案都不對
變式23．（2024·山東泰安·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知直線與圓，過直線上的任意一點(diǎn)向圓引切線，設(shè)切點(diǎn)為，若線段長度的最小值為，則實(shí)數(shù)的值是（ ）
A． B． C． D．
變式24．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)在直線上，過點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，則圓心到直線的距離的最大值為（ ）
A． B． C．1 D．
變式25．（2024·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測）若圓關(guān)于直線對稱，動點(diǎn)在直線上，過點(diǎn)引圓的兩條切線、，切點(diǎn)分別為、，則直線恒過定點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）
A． B． C． D．
變式26．（多選題）（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知圓：，點(diǎn)M在拋物線：上運(yùn)動，過點(diǎn)引直線與圓相切，切點(diǎn)分別為，則下列選項(xiàng)中能取到的值有（ ）
A．2 B． C． D．
變式27．（2024·江蘇南京·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）過拋物線上一點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)為、，則當(dāng)四邊形的面積最小時(shí)，直線的方程為（ ）
A． B． C． D．
【解題方法總結(jié)】
過圓外一點(diǎn)作圓的兩條切線，則兩切點(diǎn)所在直線方程為
過曲線上，做曲線的切線，只需把替換為，替換為，替換為，替換為即可，因此可得到上面的結(jié)論．
題型五：圓上的點(diǎn)到直線距離個數(shù)問題
例13．（2024·貴州貴陽·高三貴陽一中?？计谀┤魣A上有四個不同的點(diǎn)到直線的距離為，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
例14．（2024·陜西咸陽·高三武功縣普集高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）圓C：上恰好存在2個點(diǎn)，它到直線的距離為1，則R的一個取值可能為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
例15．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知圓O：x2＋y2＝4上到直線l：x＋y＝a的距離等于1的點(diǎn)至少有2個，則a的取值范圍為(　　)
A． B．
C． D．
變式28．（2024·全國·高三專題練習(xí)）若圓上恰有2個點(diǎn)到直線的距離為1，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
變式29．（1991·全國·高考真題）圓上到直線的距離為的點(diǎn)共有
A．個 B．個 C．個 D．個
變式30．（2024·全國·高三專題練習(xí)）若圓上僅有4個點(diǎn)到直線的距離為1，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【解題方法總結(jié)】
臨界法
題型六：直線與圓位置關(guān)系中的最值（范圍）問題
例16．（2024·湖北·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知點(diǎn)在圓運(yùn)動，若對任意點(diǎn)，在直線上均存在兩點(diǎn)，使得恒成立，則線段長度的最小值是（ ）
A． B． C． D．
例17．（2024·河南洛陽·高三伊川縣第一高中校聯(lián)考開學(xué)考試）已知圓，點(diǎn)在直線上，過點(diǎn)作直線與圓相切于點(diǎn)，則的周長的最小值為 .
例18．（2024·河北石家莊·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，正方形的邊長為4，是邊上的一動點(diǎn)，交于點(diǎn)，且直線平分正方形的周長，當(dāng)線段的長度最小時(shí)，點(diǎn)到直線的距離為 .

變式31．（2024·廣東梅州·高三大埔縣虎山中學(xué)?？茧A段練習(xí)）直線分別與軸，軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在圓上，則面積的取值范圍是 .
變式32．（2024·上海徐匯·高三上海民辦南模中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若，則的最小值為 .
變式33．（2024·湖北武漢·武漢二中校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知圓與直線相切，函數(shù)過定點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的兩條互相垂直的弦，則四邊形面積的最大值為 .
變式34．（2024·遼寧大連·大連二十四中?？寄M預(yù)測）已知是平面內(nèi)的三個單位向量，若，則的最小值是 ．
變式35．（2024·安徽池州·高三池州市第一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知，直線為上的動點(diǎn)，過點(diǎn)作的切線，切點(diǎn)為，當(dāng)最小時(shí)，直線的方程為 .
變式36．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知，點(diǎn)A為直線上的動點(diǎn)，過點(diǎn)A作直線與相切于點(diǎn)P，若，則的最小值為 .
變式37．（2024·廣東佛山·華南師大附中南海實(shí)驗(yàn)高中校考模擬預(yù)測）若直線與相交于點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)為，則|PM|的最大值為 ．
變式38．（2024·河南·高三信陽高中校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)的圖象恒過定點(diǎn)A，圓上兩點(diǎn)，滿足，則的最小值為 ．
變式39．（2024·四川成都·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知圓C：與直線l：交與A，B兩點(diǎn)，當(dāng)|AB|最小值時(shí)，直線l的一般式方程是 .
變式40．（2024·北京西城·高三北京市回民學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知圓與直線相交于兩點(diǎn)，則的最小值是 .
變式41．（2024·寧夏石嘴山·石嘴山市第三中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知分別是圓，圓上動點(diǎn)，是直線上的動點(diǎn)，則的最小值為 ．
變式42．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知實(shí)數(shù)x，y滿足：，則的取值范圍是 ．
變式43．（2024·福建福州·高三福建省福州格致中學(xué)?？计谥校┮阎菆A上兩點(diǎn)，若，則的最大值為 .
變式44．（2024·廣東廣州·高三廣州市白云中學(xué)?？计谥校┮阎狿是直線上的動點(diǎn)，是圓的兩條切線，A，B是切點(diǎn)，C是圓心，那么四邊形面積的最小值為 ．
變式45．（2024·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)，，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P滿足，若直線上存在點(diǎn)Q使得，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
變式46．（2024·四川成都·四川省成都市玉林中學(xué)校考模擬預(yù)測）德國數(shù)學(xué)家米勒曾提出最大視角問題，這一問題一般的描述是：已知點(diǎn)，是的邊上的兩個定點(diǎn)，是邊上的一個動點(diǎn)，當(dāng)在何處時(shí)，最大？問題的答案是：當(dāng)且僅當(dāng)?shù)耐饨訄A與邊相切于點(diǎn)時(shí)最大，人們稱這一命題為米勒定理.已知點(diǎn)，的坐標(biāo)分別是，，是軸正半軸上的一動點(diǎn).若的最大值為，則實(shí)數(shù)的值為（ ）
A．2 B．3 C．或 D．2或4
變式47．（2024·新疆烏魯木齊·統(tǒng)考三模）已知直線與軸和軸分別交于A，兩點(diǎn)，以點(diǎn)A為圓心，2為半徑的圓與軸的交點(diǎn)為（在點(diǎn)A右側(cè)），點(diǎn)在圓上，當(dāng)最大時(shí)，的面積為（ ）
A． B．8 C． D．
變式48．（2024·江西贛州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知圓C：，圓是以圓上任意一點(diǎn)為圓心，半徑為1的圓．圓C與圓交于A，B兩點(diǎn)，則當(dāng)最大時(shí)，（ ）
A．1 B． C． D．2
變式49．（2024·上海黃浦·高三上海市敬業(yè)中學(xué)?？计谥校┮阎c(diǎn)P在圓上，點(diǎn)，，則錯誤的是（ ）
A．點(diǎn)P到直線AB的距離小于10 B．點(diǎn)P到直線AB的距離大于2
C．當(dāng)最小時(shí)， D．當(dāng)最大時(shí)，
變式50．（2024·廣東珠?！じ叨楹Ｊ械谝恢袑W(xué)校考期末）德國數(shù)學(xué)家米勒曾提出過如下的“最大視角原理”：對定點(diǎn)、和在直線上的動點(diǎn)，當(dāng)與的外接圓相切時(shí)，最大．若，，是軸正半軸上一動點(diǎn)，當(dāng)對線段的視角最大時(shí)，的外接圓的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【解題方法總結(jié)】
直線上的點(diǎn)與圓上的點(diǎn)的最近或最遠(yuǎn)距離問題，這樣的題目往往要轉(zhuǎn)化為直線上的點(diǎn)與圓心距離的最近和最遠(yuǎn)距離再加減半徑長的問題．
題型七：圓與圓的位置關(guān)系
例19．（2024·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知直線與圓相切，則滿足條件的直線l的條數(shù)為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
例20．（2024·黑龍江大慶·統(tǒng)考三模）已知直線是圓的切線，并且點(diǎn)到直線的距離是2，這樣的直線有（ ）
A．1條 B．2條 C．3條 D．4條
例21．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知圓：，圓：，則與的位置關(guān)系是（ ）
A．外切 B．內(nèi)切 C．相交 D．外離
變式51．（2024·全國·高三專題練習(xí)）圓：與圓：公切線的條數(shù)為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
變式52．（2024·山西·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知圓：的圓心到直線的距離為，則圓與圓：的公切線共有（ ）
A．0條 B．1條 C．2條 D．3條
變式53．（2024·甘肅蘭州·蘭州五十九中校考模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C：x2＋y2－4x＝0及點(diǎn)A(－1,0)，B(1,2)，在圓C上存在點(diǎn)P，使得|PA|2＋|PB|2＝12，則點(diǎn)P的個數(shù)為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
變式54．（2024·全國·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知兩點(diǎn)，到直線的距離分別是1與4，則滿足條件的直線共有（ ）
A．1條 B．2條 C．3條 D．4條
變式55．（2024·湖南常德·常德市一中?？级＃┮阎獔A和兩點(diǎn)，若圓C上存在點(diǎn)P，使得，則a的最小值為（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
變式56．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知圓C1：x2＋y2＋4ax＋4a2－4＝0和圓C2：x2＋y2－2by＋b2－1＝0只有一條公切線，若a，b∈R且ab≠0，則＋的最小值為（ ）
A．3 B．8 C．4 D．9
【解題方法總結(jié)】
已知兩圓半徑分別為，兩圓的圓心距為，則：
（1）兩圓外離；
（2）兩圓外切；
（3）兩圓相交；
（4）兩圓內(nèi)切；
（5）兩圓內(nèi)含；
題型八：兩圓的公共弦問題
例22．（2024·天津和平·耀華中學(xué)?？级＃﹫A與圓的公共弦所在的直線方程為 ．
例23．（2024·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）若圓與圓交于P，Q兩點(diǎn)，則直線PQ的方程為 .
例24．（2024·天津?yàn)I海新·統(tǒng)考三模）已知圓：與圓：，若兩圓相交于A，B兩點(diǎn)，則
變式57．（2024·天津和平·耀華中學(xué)?？家荒＃﹫A與圓的公共弦的長為 ．
變式58．（2024·浙江麗水·高三浙江省麗水中學(xué)校聯(lián)考期末）已知圓與圓相交于兩點(diǎn)，則 .
變式59．（2024·吉林通化·高三梅河口市第五中學(xué)?？计谀┮阎獔A與圓相交于兩點(diǎn)，則 .
【解題方法總結(jié)】
兩圓的公共弦方程為兩圓方程相減可得．
題型九：兩圓的公切線問題
例25．（2024·全國·高三專題練習(xí)）點(diǎn)，到直線l的距離分別為1和4，寫出一個滿足條件的直線l的方程： .
例26．（2024·湖南岳陽·統(tǒng)考三模）寫出與圓和都相切的一條直線方程 ．
例27．（2024·湖北黃岡·浠水縣第一中學(xué)校考模擬預(yù)測）寫出與圓和圓都相切的一條直線的方程 .
變式60．（2024·湖北·模擬預(yù)測）已知圓與圓有三條公切線，則 ．
變式61．（2024·遼寧沈陽·東北育才學(xué)校校考模擬預(yù)測）已知圓，圓圓與圓相切，并且兩圓的一條外公切線的斜率為7，則為 .
變式62．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)，，符合點(diǎn)A，B到直線l的距離分別為1，3的直線方程為 （寫出一條即可）．
變式63．（2024·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）圓與x軸交于A，B兩點(diǎn)(A在B的左側(cè))，點(diǎn)N滿足，直線與圓M和點(diǎn)N的軌跡同時(shí)相切，則直線l的斜率為 ．
【解題方法總結(jié)】
待定系數(shù)法
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