資源簡介

第59講 圓的方程
知識梳理
知識點一：基本概念
平面內到定點的距離等于定長的點的集合（軌跡）叫圓．
知識點二：基本性質、定理與公式
1、圓的四種方程
（1）圓的標準方程：，圓心坐標為（a，b），半徑為
（2）圓的一般方程：，圓心坐標為，半徑
（3）圓的直徑式方程：若，則以線段AB為直徑的圓的方程是
（4）圓的參數方程：
①的參數方程為（為參數）；
②的參數方程為（為參數）．
注意：對于圓的最值問題，往往可以利用圓的參數方程將動點的坐標設為（為參數，為圓心，r為半徑），以減少變量的個數，建立三角函數式，從而把代數問題轉化為三角問題，然后利用正弦型或余弦型函數的有界性求解最值．
2、點與圓的位置關系判斷
（1）點與圓的位置關系：
①點P在圓外；
②點P在圓上；
③點P在圓內．
（2）點與圓的位置關系：
①點P在圓外；
②點P在圓上；
③點P在圓內．
必考題型全歸納
題型一：求圓多種方程的形式
例1．（2024·貴州銅仁·統考模擬預測）過、兩點，且與直線相切的圓的方程可以是（ ）
A． B．
C． D．
例2．（2024·全國·高三專題練習）已知圓的圓心為，其一條直徑的兩個端點恰好在兩坐標軸上，則這個圓的方程是（ ）
A． B．
C． D．
例3．（2024·全國·高三專題練習）已知圓心為的圓與直線相切，則該圓的標準方程是（ ）
A． B．
C． D．
變式1．（2024·河北邢臺·高三統考期末）已知圓與直線相切，則圓關于直線對稱的圓的方程為（ ）
A． B．
C． D．
變式2．（2024·山東東營·高三廣饒一中校考階段練習）過拋物線的焦點F的直線交拋物線于A、B兩點，分別過A、B兩點作準線的垂線，垂足分別為兩點，以線段為直徑的圓C過點，則圓C的方程為（ ）
A． B．
C． D．
變式3．（2024·全國·高三專題練習）求過兩點，且圓心在直線上的圓的標準方程是（ ）
A． B．
C． D．
變式4．（2024·吉林四平·高三四平市第一高級中學校考階段練習）已知直線恒過定點P，則與圓C：有公共的圓心且過點P的圓的標準方程為（　　）
A． B．
C． D．
變式5．（2024·全國·高三專題練習）圓C：關于直線對稱的圓的方程是（ ）
A． B．
C． D．
變式6．（2024·重慶·高三重慶一中校考階段練習）德國數學家米勒曾提出過如下的“最大視角定理”（也稱“米勒定理”）：若點是的邊上的兩個定點，C是邊上的一個動點，當且僅當的外接圓與邊相切于點C時，最大．在平面直角坐標系中，已知點，，點F是y軸負半軸的一個動點，當最大時，的外接圓的方程是（ ）．
A． B．
C． D．
變式7．（2024·陜西西安·高三校考階段練習）過點作圓的兩條切線，切點分別為A，B，則的外接圓方程是（ ）
A． B．
C． D．
變式8．（2024·四川成都·高三成都七中校考開學考試）已知，則外接圓的方程為（ ）
A． B． C． D．
【解題方法總結】
（1）求圓的方程必須具備三個獨立的條件，從圓的標準方程上來講，關鍵在于求出圓心坐標（a，b）和半徑r；從圓的一般方程來講，必須知道圓上的三個點．因此，待定系數法是求圓的方程常用的方法．
（2）用幾何法來求圓的方程，要充分運用圓的幾何性質，如圓心在圓的任一條弦的垂直平分線上，半徑、弦心距、弦長的一半構成直角三角形等．
題型二：直線系方程和圓系方程
例4．（2024·全國·高三專題練習）圓心在直線x-y-4＝0上，且經過兩圓x2+y2+6x-4＝0和x2+y2+6y-28＝0的交點的圓的方程為（ ）
A．x2+y2-x+7y-32＝0 B．x2+y2-x+7y-16＝0
C．x2+y2-4x+4y+9＝0 D．x2+y2-4x+4y-8＝0
例5．（2024·高二課時練習）過圓與的交點，且圓心在直線上的圓的方程是 ．
例6．（2024·江蘇·高二專題練習）曲線與的四個交點所在圓的方程是 ．
變式9．（2024·安徽銅陵·高二銅陵一中校考期中）經過直線與圓的交點，且過點的圓的方程為 .
變式10．（2024·高二校考課時練習）過兩圓與的交點和點的圓的方程是 .
變式11．（2024·浙江杭州·高二校考期末）已知一個圓經過直線與圓的兩個交點，并且有最小面積，則此圓的方程為 .
變式12．（2024·江西九江·高一統考期中）經過兩圓和的交點，且圓心在直線上的圓的方程為
變式13．（2024·浙江紹興·高二統考期中）已知圓過直線和圓的交點，且原點在圓上．則圓的方程為 ．
【解題方法總結】
求過兩直線交點（兩圓交點或直線與圓交點）的直線方程（圓系方程）一般不需求其交點，而是利用它們的直線系方程（圓系方程）．
（1）直線系方程：若直線與直線相交于點P，則過點P的直線系方程為：
簡記為：
當時，簡記為：（不含）
（2）圓系方程：若圓與圓相交于A，B兩點，則過A，B兩點的圓系方程為：
簡記為：，不含
當時，該圓系退化為公共弦所在直線（根軸）
注意：與圓C共根軸l的圓系
題型三：與圓有關的軌跡問題
例7．（2024·全國·高三專題練習）點，點是圓上的一個動點，則線段的中點的軌跡方程是（ ）
A． B．
C． D．
例8．（2024·湖南郴州·統考模擬預測）已知A，B是：上的兩個動點，P是線段的中點，若，則點P的軌跡方程為（ ）
A． B．
C． D．
例9．（2024·全國·高三專題練習）古希臘數學家阿波羅尼奧斯的著作《圓錐曲線論》中給出圓的另一種定義：平面內，到兩個定點距離之比值為常數的點的軌跡是圓，我們稱之為阿波羅尼奧斯圓．已知點P到的距離是點P到的距離的2倍．求點P的軌跡方程；
變式14．（2024·全國·高三專題練習）已知是圓內的一點是圓上兩動點，且滿足，求矩形頂點Q的軌跡方程．
變式15．（1977·福建·高考真題）動點到兩定點和的距離的比等于2，求動點P的軌跡方程，并說明這軌跡是什么圖形．
變式16．（2024·安徽合肥·高三合肥一中校考階段練習）已知圓C：.
(1)若不過原點的直線l與圓C相切，且在x軸，y軸上的截距相等，求直線l的一般式方程；
(2)從圓C外一點向圓引一條切線，切點為M，O為坐標原點，且有，求點P的軌跡方程.
變式17．（2024·全國·高三專題練習）由圓外一點引圓的割線交圓于兩點，求弦AB的中點M的軌跡方程.
變式18．（2024·全國·高三專題練習）已知圓，平面上一動點滿足：且，．求動點的軌跡方程；
變式19．（2024·全國·高三專題練習）在邊長為1的正方形ABCD中，邊AB、BC上分別有一個動點Q、R，且．求直線AR與DQ的交點P的軌跡方程．
變式20．（2024·全國·高三專題練習）已知的斜邊為，且.求：
(1)直角頂點的軌跡方程；
(2)直角邊的中點的軌跡方程.
變式21．（2024·高二課時練習）如圖，已知點A(-1，0)與點B(1，0)，C是圓x2+y2=1上異于A，B兩點的動點，連接BC并延長至D，使得|CD|=|BC|，求線段AC與OD的交點P的軌跡方程.

變式22．（2024·高二課時練習）已知點是圓上的定點，點是圓內一點，、為圓上的動點．
(1)求線段AP的中點的軌跡方程．
(2)若，求線段中點的軌跡方程．
【解題方法總結】
要深刻理解求動點的軌跡方程就是探求動點的橫縱坐標x，y的等量關系，根據題目條件，直接找到或轉化得到與動點有關的數量關系，是解決此類問題的關鍵所在．
題型四：用二元二次方程表示圓的一般方程的充要條件
例10．（2024·河南·高三階段練習）“”是“方程表示圓”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
例11．（2024·上海奉賢·高三校考階段練習）已知：圓的方程為，點不在圓上，也不在圓的圓心上，方程，則下面判斷正確的是（ ）
A．方程表示的曲線不存在
B．方程表示與同心且半徑不同的圓
C．方程表示與相交的圓
D．當點在圓外時，方程表示與相離的圓
例12．（2024·高三課時練習）關于x、y的方程表示一個圓的充要條件是（ ）.
A．，且
B．，且
C．，且，
D．，且，
變式23．（2024·全國·高三專題練習）若方程表示圓，則實數的取值范圍是（ ）
A． B．
C．或 D．或
變式24．（2024·全國·高三專題練習）已知方程表示圓，則實數m的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
變式25．（2024·四川綿陽·高三綿陽南山中學實驗學校校考階段練習）若圓：過坐標原點，則實數的值為（ ）
A．2或1 B．-2或-1 C．2 D．-1
變式26．（2024·全國·高三專題練習）若方程x2＋y2＋2λx＋2λy＋2λ2―λ＋1＝0表示圓，則λ的取值范圍是（ ）
A．(1，＋∞) B．
C．(1，＋∞)∪ D．R
變式27．（2024·高二課時練習）若，使曲線是圓，則（ ）
A． B． C．或 D．
【解題方法總結】
方程表示圓的充要條件是，故在解決圓的一般式方程的有關問題時，必須注意這一隱含條件．在圓的一般方程中，圓心為，半徑
題型五：點與圓的位置關系判斷
例13．（2024·甘肅定西·統考模擬預測）若點在圓的外部，則a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
例14．（2024·全國·高三專題練習）已知點在圓C：的外部，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
例15．（2024·四川自貢·高一統考期中）點P在單位圓⊙O上（O為坐標原點），點，，則的最大值為（ ）
A． B． C．2 D．3
變式28．（2024·全國·高二專題練習）點與圓的位置關系是（ ）
A．點在圓上 B．點在圓內 C．點在圓外 D．不確定
變式29．（2024·全國·高二專題練習）若點在圓的內部，則a的取值范圍是（　　）.
A． B． C． D．
變式30．（2024·全國·高二專題練習）已知圓，直線l：，若l與圓O相交，則（ ）．
A．點在l上 B．點在圓O上
C．點在圓O內 D．點在圓O外
【解題方法總結】
在處理點與圓的位置關系問題時，應注意圓的不同方程形式對應的不同判斷方法，另外還應注意其他約束條件，如圓的一般方程的隱含條件對參數的制約．
題型六：數形結合思想的應用
例16．（2024·高二校考單元測試）若直線與曲線有兩個不同的交點，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
例17．（2024·遼寧營口·高二校考階段練習）已知曲線與直線有兩個不同的交點，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
例18．（2024·山西晉城·高二晉城市第一中學校校考開學考試）直線與曲線有兩個不同的交點，則實數的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
變式31．（2024·全國·高二專題練習）直線與曲線的交點個數為（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
變式32．（2024·高二單元測試）若兩條直線：，：與圓的四個交點能構成矩形，則（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
變式33．（2024·寧夏銀川·銀川一中校考二模）曲線，要使直線與曲線有四個不同的交點，則實數的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
變式34．（2024·吉林白山·統考二模）若過點且斜率為k的直線l與曲線有且只有一個交點，則實數k的值不可能是( )
A． B． C． D．2
變式35．（2024·全國·高三專題練習）若直線與曲線有兩個交點，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
變式36．（2024·安徽合肥·合肥市第七中學校考三模）已知是定義在上的奇函數，其圖象關于點對稱，當時，，若方程的所有根的和為6，則實數k的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
變式37．（2024·湖北·高三校聯考期末）廣為人知的太極圖，其形狀如陰陽兩魚互糾在一起，因而被習稱為“陰陽魚太極圖”如圖是放在平面直角坐標系中的“太極圖”整個圖形是一個圓形區域．其中黑色陰影區域在y軸左側部分的邊界為一個半圓．已知符號函數，則當時，下列不等式能表示圖中陰影部分的是（ ）
A． B．
C． D．
【解題方法總結】
研究曲線的交點個數問題常用數形結合法，即需要作出兩種曲線的圖像．在此過程中，尤其要注意需對代數式進行等價變形，以防出現錯誤．
題型七：與圓有關的對稱問題
例19．（2024·高二單元測試）圓關于直線對稱，則 ．
例20．（2024·西藏日喀則·統考一模）已知圓關于直線對稱，圓交于、兩點，則
例21．（2024·全國·高三專題練習）已知圓上存在兩點關于直線對稱，則的最小值是 ．
變式38．（2024·北京·高三人大附中校考階段練習）已知圓C與圓D：關于直線對稱，則圓C的方程為 ．
變式39．（2024·全國·高三專題練習）已知圓上存在兩點關于直線對稱，則的最小值是 ．
變式40．（2024·全國·高三專題練習）已知函數的圖像上有且僅有兩個不同的點關于直線的對稱點在的圖像上，則實數k的取值范圍是 ．
變式41．（2024·全國·高三專題練習）已知圓的標準方程是，圓關于直線對稱，則圓與圓的位置關系為 ．
變式42．（2024·全國·高三專題練習）若圓關于直線和直線都對稱，則D＋E的值為 ．
變式43．（2024·全國·高三校聯考階段練習）已知直線與曲線交于兩點，且這兩點關于直線對稱， .
【解題方法總結】
（1）圓的軸對稱性：圓關于直徑所在的直線對稱
（2）圓關于點對稱：
①求已知圓關于某點對稱的圓的方程，只需確定所求圓的圓心，即可寫出標準方程
②兩圓關于某點對稱，則此點為兩圓圓心連線的中點
（3）圓關于直線對稱：
①求已知圓關于某條直線對稱的圓的方程，只需確定所求圓的圓心，即可寫出標準方程
②兩圓關于某條直線對稱，則此直線為兩圓圓心連線的垂直平分線
題型八：圓過定點問題
例22．（2024·全國·高三專題練習）若拋物線與坐標軸分別交于三個不同的點、、，則的外接圓恒過的定點坐標為
例23．（2024·全國·高三專題練習）已知二次函數的圖像與坐標軸有三個不同的交點，經過這三個交點的圓記為，則圓經過定點的坐標為 （其坐標與無關）
例24．（2024·重慶·高考真題）動圓的圓心在拋物線y2=8x上，且動圓恒與直線x+2=0相切，則動圓必過點 ．
變式44．（2024·浙江溫州·高三階段練習）已知動圓圓心在拋物線上，且動圓恒與直線相切，則此動圓必過定點____
變式45．（2024·全國·高二專題練習）對任意實數，圓恒過定點，則定點坐標為 ．
變式46．（2024·江西·高考真題）設有一組圓：．下列四個命題其中真命題的序號是
①存在一條定直線與所有的圓均相切；
②存在一條定直線與所有的圓均相交；
③存在一條定直線與所有的圓均不相交；
④所有的圓均不經過原點．
變式47．（2024·全國·高二專題練習）對任意實數，圓恒過定點，則其坐標為 .
21世紀教育網(www.21cnjy.com)第59講 圓的方程
知識梳理
知識點一：基本概念
平面內到定點的距離等于定長的點的集合（軌跡）叫圓．
知識點二：基本性質、定理與公式
1、圓的四種方程
（1）圓的標準方程：，圓心坐標為（a，b），半徑為
（2）圓的一般方程：，圓心坐標為，半徑
（3）圓的直徑式方程：若，則以線段AB為直徑的圓的方程是
（4）圓的參數方程：
①的參數方程為（為參數）；
②的參數方程為（為參數）．
注意：對于圓的最值問題，往往可以利用圓的參數方程將動點的坐標設為（為參數，為圓心，r為半徑），以減少變量的個數，建立三角函數式，從而把代數問題轉化為三角問題，然后利用正弦型或余弦型函數的有界性求解最值．
2、點與圓的位置關系判斷
（1）點與圓的位置關系：
①點P在圓外；
②點P在圓上；
③點P在圓內．
（2）點與圓的位置關系：
①點P在圓外；
②點P在圓上；
③點P在圓內．
必考題型全歸納
題型一：求圓多種方程的形式
例1．（2024·貴州銅仁·統考模擬預測）過、兩點，且與直線相切的圓的方程可以是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因為、，則線段的垂直平分線所在直線的方程為，
設圓心為，則圓的半徑為，
又因為，所以，，
整理可得，解得或，
當時，，此時圓的方程為；
當時，，此時圓的方程為.
綜上所述，滿足條件的圓的方程為或.
故選：C.
例2．（2024·全國·高三專題練習）已知圓的圓心為，其一條直徑的兩個端點恰好在兩坐標軸上，則這個圓的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】設直徑的兩個端點分別，
圓心C為點由中點坐標公式，得，解得
∴半徑，
∴圓的方程是即
故選：A.
例3．（2024·全國·高三專題練習）已知圓心為的圓與直線相切，則該圓的標準方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因為圓心為的圓與直線相切，所以圓心到直線的距離等于半徑，即，
所以該圓的標準方程是．
故選：A
變式1．（2024·河北邢臺·高三統考期末）已知圓與直線相切，則圓關于直線對稱的圓的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由圓的圓心為原點，半徑為5，
又圓與直線相切，
則到直線的距離為，
則，解得，
設過且與垂直的直線為，
則：，
聯立，
得直線l與的交點為，
設圓心關于點的對稱點為，
由中點公式有
所以圓心關于點的對稱點為，
因此圓C關于直線l對稱的圓的方程為：，
故選：D.
變式2．（2024·山東東營·高三廣饒一中校考階段練習）過拋物線的焦點F的直線交拋物線于A、B兩點，分別過A、B兩點作準線的垂線，垂足分別為兩點，以線段為直徑的圓C過點，則圓C的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】拋物線的焦點，準線：，設，令弦AB的中點為E，
而圓心C是線段的中點，又，即有，，
顯然直線AB不垂直于y軸，設直線，由消去x得：，
則，，點E的縱坐標為，
于是得圓C的半徑，圓心，而圓C過點，
則有，即，解得，
因此圓C的圓心，半徑，圓C的方程為.
故選：B
變式3．（2024·全國·高三專題練習）求過兩點，且圓心在直線上的圓的標準方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】設圓心坐標為C（2b+2，b），由圓過兩點A（0，4），B（4，6），可得|AC|=|BC|，
即，解得，
可得圓心為（4，1），半徑為5，則所求圓的方程為．
故選：D．
變式4．（2024·吉林四平·高三四平市第一高級中學校考階段練習）已知直線恒過定點P，則與圓C：有公共的圓心且過點P的圓的標準方程為（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】直線，即，
由解得，即，圓C：的圓心，，
所以所求圓的標準方程為.
故選：B
變式5．（2024·全國·高三專題練習）圓C：關于直線對稱的圓的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由圓C：，可知圓心坐標：，半徑為，
因為點關于直線的對稱點為，
所以圓C：關于直線對稱的圓的方程是
，
故選：C
變式6．（2024·重慶·高三重慶一中校考階段練習）德國數學家米勒曾提出過如下的“最大視角定理”（也稱“米勒定理”）：若點是的邊上的兩個定點，C是邊上的一個動點，當且僅當的外接圓與邊相切于點C時，最大．在平面直角坐標系中，已知點，，點F是y軸負半軸的一個動點，當最大時，的外接圓的方程是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由米勒定理知當最大時，的外接圓與軸負半軸相切，此時圓心位于第四象限，
因為點，，
所以圓心在直線上，
又圓與軸負半軸相切，
所以圓的半徑為3，
設圓心為，，
則，解得，
又，
所以
所以的外接圓的方程是，
故選：A．
變式7．（2024·陜西西安·高三校考階段練習）過點作圓的兩條切線，切點分別為A，B，則的外接圓方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由圓，得到圓心，由題意知O、A、B、P四點共圓，的外接圓即四邊形的外接圓， 又，從而的中點坐標為所求圓的圓心，為所求圓的半徑，所以所求圓的方程為.
故選：A
變式8．（2024·四川成都·高三成都七中校考開學考試）已知，則外接圓的方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】設外接圓的方程為
則有，解之得
則外接圓的方程為
故選：D
【解題方法總結】
（1）求圓的方程必須具備三個獨立的條件，從圓的標準方程上來講，關鍵在于求出圓心坐標（a，b）和半徑r；從圓的一般方程來講，必須知道圓上的三個點．因此，待定系數法是求圓的方程常用的方法．
（2）用幾何法來求圓的方程，要充分運用圓的幾何性質，如圓心在圓的任一條弦的垂直平分線上，半徑、弦心距、弦長的一半構成直角三角形等．
題型二：直線系方程和圓系方程
例4．（2024·全國·高三專題練習）圓心在直線x-y-4＝0上，且經過兩圓x2+y2+6x-4＝0和x2+y2+6y-28＝0的交點的圓的方程為（ ）
A．x2+y2-x+7y-32＝0 B．x2+y2-x+7y-16＝0
C．x2+y2-4x+4y+9＝0 D．x2+y2-4x+4y-8＝0
【答案】A
【解析】根據題意知，所求圓經過圓x2+y2+6x-4＝0和圓x2+y2+6y-28＝0的交點，
設其方程為(x2+y2+6x-4)+λ(x2+y2+6y-28)＝0，
即(1+λ)x2+(1+λ)y2+6x+6λy-4-28λ＝0，其圓心坐標為，，
又由圓心在直線x-y-4＝0上，所以--4＝0，
解得λ＝-7，
所以所求圓的方程為：(-6)x2+(-6)y2+6x-42y+192＝0，即x2+y2-x+7y-32＝0，
故選：A．
例5．（2024·高二課時練習）過圓與的交點，且圓心在直線上的圓的方程是 ．
【答案】
【解析】設圓的方程為，
則，
即，所以圓心坐標為，
把圓心坐標代入，可得，
所以所求圓的方程為．
故答案為：.
例6．（2024·江蘇·高二專題練習）曲線與的四個交點所在圓的方程是 ．
【答案】
【解析】根據題意得到：，化簡得到答案.，，故，
化簡整理得到：，即.
故答案為：.
變式9．（2024·安徽銅陵·高二銅陵一中校考期中）經過直線與圓的交點，且過點的圓的方程為 .
【答案】
【解析】設過已知直線和圓的交點的圓系方程為：
∵所求圓過點
∴
解得
所以圓的方程為，化簡得.
故答案為：.
變式10．（2024·高二校考課時練習）過兩圓與的交點和點的圓的方程是 .
【答案】
【解析】設所求圓的方程為：
將代入得：
所求圓的方程為：
本題正確結果：
變式11．（2024·浙江杭州·高二校考期末）已知一個圓經過直線與圓的兩個交點，并且有最小面積，則此圓的方程為 .
【答案】
【解析】可設圓的方程為,
即,
此時圓心坐標為,
當圓心在直線上時，圓的半徑最小，從而面積最小，
,
解得,
則所求圓的方程為，
故答案為.
變式12．（2024·江西九江·高一統考期中）經過兩圓和的交點，且圓心在直線上的圓的方程為
【答案】
【解析】由題可先設出圓系方程；，則圓心坐標為； ，又圓心在直線上，可得；解得.
所以圓的方程為：.
故答案為：.
變式13．（2024·浙江紹興·高二統考期中）已知圓過直線和圓的交點，且原點在圓上．則圓的方程為 ．
【答案】
【解析】根據題意可設圓的方程為：，因為原點在圓上，故.所以所求圓的方程為.
考點：直線與圓的位置關系，圓的標準方程.
【解題方法總結】
求過兩直線交點（兩圓交點或直線與圓交點）的直線方程（圓系方程）一般不需求其交點，而是利用它們的直線系方程（圓系方程）．
（1）直線系方程：若直線與直線相交于點P，則過點P的直線系方程為：
簡記為：
當時，簡記為：（不含）
（2）圓系方程：若圓與圓相交于A，B兩點，則過A，B兩點的圓系方程為：
簡記為：，不含
當時，該圓系退化為公共弦所在直線（根軸）
注意：與圓C共根軸l的圓系
題型三：與圓有關的軌跡問題
例7．（2024·全國·高三專題練習）點，點是圓上的一個動點，則線段的中點的軌跡方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】設點的坐標為，因為點是線段的中點，
可得，點在圓上，
則，即.
故選：A.
例8．（2024·湖南郴州·統考模擬預測）已知A，B是：上的兩個動點，P是線段的中點，若，則點P的軌跡方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因為中點為P，所以，又，所以，
所以點P在以C為圓心，4為半徑的圓上，其軌跡方程為.
故選：C.
例9．（2024·全國·高三專題練習）古希臘數學家阿波羅尼奧斯的著作《圓錐曲線論》中給出圓的另一種定義：平面內，到兩個定點距離之比值為常數的點的軌跡是圓，我們稱之為阿波羅尼奧斯圓．已知點P到的距離是點P到的距離的2倍．求點P的軌跡方程；
【解析】設點，
點P到的距離是點P到的距離的2倍，可得，
即，整理得，
所以點P的軌跡方程為；
變式14．（2024·全國·高三專題練習）已知是圓內的一點是圓上兩動點，且滿足，求矩形頂點Q的軌跡方程．
【解析】連接AB，PQ，設AB與PQ交于點M，如圖所示．
因為四邊形APBQ為矩形，所以M為AB，PQ的中點，連接OM.
由垂徑定理可知
設
由此可得①
又在中，
有②
由①②得
故點M的軌跡是圓．
因為點M是PQ的中點，設
則
代入點M的軌跡方程中得，
整理得，即為所求點Q的軌跡方程．
變式15．（1977·福建·高考真題）動點到兩定點和的距離的比等于2，求動點P的軌跡方程，并說明這軌跡是什么圖形．
【解析】由題意可知：，
又，和，
所以，
化簡得即，
所以動點P的軌跡是以為圓心，半徑是4的圓
變式16．（2024·安徽合肥·高三合肥一中校考階段練習）已知圓C：.
(1)若不過原點的直線l與圓C相切，且在x軸，y軸上的截距相等，求直線l的一般式方程；
(2)從圓C外一點向圓引一條切線，切點為M，O為坐標原點，且有，求點P的軌跡方程.
【解析】（1）由配方得，所以圓C的圓心，半徑為，
因為直線l在x軸，y軸上的截距相等，所以設直線l為，即，
則由直線l與圓C相切得，解得或，
∴直線l的方程為或.
（2）由圓上切點的性質知，
又因為，所以，
所以，整理得，
故點P的軌跡方程為.
變式17．（2024·全國·高三專題練習）由圓外一點引圓的割線交圓于兩點，求弦AB的中點M的軌跡方程.
【解析】［方法一］：【通性通法】【最優解】直接法
設弦的中點的坐標為,連接、,則．
在中,由勾股定理有，而在圓內，
所以弦AB的中點M的軌跡方程為.
［方法2］：定義法
因為是的中點,所以,所以點的軌跡是以為直徑的圓,圓心為,半徑為，所以該圓的方程為:,化簡得
［方法3］：交軌法
易知過點的割線的斜率必然存在，設過點的割線的斜率為,
則過點的割線方程為:.
∵且過原點,∴的方程為
這兩條直線的交點就是點的軌跡.兩方程相乘消去,化簡,得:，
其中.
［方法4］：參數法
設過點的割線方程為:,它與圓的兩個交點為、
的中點為，設.
由可得，，所以，，即有，，消去，
可求得點的軌跡方程為：，．
［方法5］：點差法
設,則.
∵.兩式相減,整理,得.
所以,即為的斜率，
而的斜率又可表示為,化簡并整理,得.
其中.
【整體點評】方法一：直接根據軌跡的求法，建系、設點、列式、化簡、檢驗即可解出，是該類型題的常規方法，也是最優解；
方法二：根據題設條件,判斷并確定軌跡的曲線類型,運用待定系數法求出曲線方程；
方法三：將問題轉化為求兩直線的交點軌跡問題；
方法四：將動點坐標表示成某一中間變量（參數）的函數，再設法消去參數；
方法五：根據曲線和方程的對應關系，點在曲線上則點的坐標滿足方程，用點差法思想，設而不求．
變式18．（2024·全國·高三專題練習）已知圓，平面上一動點滿足：且，．求動點的軌跡方程；
【解析】設，由，
所以，整理得，
即動點的軌跡方程．
變式19．（2024·全國·高三專題練習）在邊長為1的正方形ABCD中，邊AB、BC上分別有一個動點Q、R，且．求直線AR與DQ的交點P的軌跡方程．
【解析】分別以AB，AD邊所在的直線為x軸、y軸建立直角坐標系．
如圖所示，則點、、、，
設動點，，
由知：，則．
當時，直線AR：①，直線DQ：，則②，
①×②得：，化簡得．
當時，點P與原點重合，坐標也滿足上述方程．
故點P的軌跡方程為．
變式20．（2024·全國·高三專題練習）已知的斜邊為，且.求：
(1)直角頂點的軌跡方程；
(2)直角邊的中點的軌跡方程.
【解析】（1）設，因為三點不共線，所以，
因為，所以，
又因為，所以，
整理得，即，
所以直角頂點的軌跡方程為.
（2）設，
因為，是線段的中點，
由中點坐標公式得，所以，
由（1）知，點的軌跡方程為，
將代入得，即
所以動點的軌跡方程為.
變式21．（2024·高二課時練習）如圖，已知點A(-1，0)與點B(1，0)，C是圓x2+y2=1上異于A，B兩點的動點，連接BC并延長至D，使得|CD|=|BC|，求線段AC與OD的交點P的軌跡方程.

【解析】設動點P(x，y)，由題意可知P是△ABD的重心，由A(-1，0)，B(1，0)，
令動點C(x0，y0)，則D(2x0-1，2y0)，
由重心坐標公式得，
則代入，
整理得
故所求軌跡方程為.
變式22．（2024·高二課時練習）已知點是圓上的定點，點是圓內一點，、為圓上的動點．
(1)求線段AP的中點的軌跡方程．
(2)若，求線段中點的軌跡方程．
【解析】（1）設中點為，
由中點坐標公式可知，點坐標為
∵點在圓上，∴．
故線段中點的軌跡方程為．
（2）設的中點為，在中，，
設為坐標原點，則，所以，
所以．
故線段中點的軌跡方程為．
【解題方法總結】
要深刻理解求動點的軌跡方程就是探求動點的橫縱坐標x，y的等量關系，根據題目條件，直接找到或轉化得到與動點有關的數量關系，是解決此類問題的關鍵所在．
題型四：用二元二次方程表示圓的一般方程的充要條件
例10．（2024·河南·高三階段練習）“”是“方程表示圓”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】因為方程，即表示圓，
等價于0，解得或.
故“”是“方程表示圓”的充分不必要條件.
故選：A
例11．（2024·上海奉賢·高三校考階段練習）已知：圓的方程為，點不在圓上，也不在圓的圓心上，方程，則下面判斷正確的是（ ）
A．方程表示的曲線不存在
B．方程表示與同心且半徑不同的圓
C．方程表示與相交的圓
D．當點在圓外時，方程表示與相離的圓
【答案】B
【解析】因為為圓，設，點，其圓心為，半徑為，
而的方程為，即，
因此上述方程中，圓心亦為，半徑為，所以與圓是同心且半徑不同的圓.
故選：B.
例12．（2024·高三課時練習）關于x、y的方程表示一個圓的充要條件是（ ）.
A．，且
B．，且
C．，且，
D．，且，
【答案】D
【解析】關于x、y的方程表示一個圓的充要條件是
，即，且，.
故選：D
變式23．（2024·全國·高三專題練習）若方程表示圓，則實數的取值范圍是（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】C
【解析】若方程表示圓，則，
解得：或.
故選：C
變式24．（2024·全國·高三專題練習）已知方程表示圓，則實數m的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因為方程表示圓，
所以，解得.
故選：D
變式25．（2024·四川綿陽·高三綿陽南山中學實驗學校校考階段練習）若圓：過坐標原點，則實數的值為（ ）
A．2或1 B．-2或-1 C．2 D．-1
【答案】C
【解析】∵表示圓，
∴
∴.
又圓過原點，
∴，
∴或（舍去）；
.
故選:C.
變式26．（2024·全國·高三專題練習）若方程x2＋y2＋2λx＋2λy＋2λ2―λ＋1＝0表示圓，則λ的取值范圍是（ ）
A．(1，＋∞) B．
C．(1，＋∞)∪ D．R
【答案】A
【解析】因為方程x2＋y2＋2λx＋2λy＋2λ2―λ＋1＝0表示圓，所以D2＋E2―4F＞0，
即4λ2＋4λ2―4(2λ2―λ＋1)＞0，解不等式得λ＞1，即λ的取值范圍是(1，＋∞)．
故選：A.
變式27．（2024·高二課時練習）若，使曲線是圓，則（ ）
A． B． C．或 D．
【答案】A
【解析】由題意，，
因為，所以或，
當時，方程為，
化簡得，
此時，不表示圓；
當時，方程為，
化簡得，
此時，表示圓.
所以.
故選：A
【解題方法總結】
方程表示圓的充要條件是，故在解決圓的一般式方程的有關問題時，必須注意這一隱含條件．在圓的一般方程中，圓心為，半徑
題型五：點與圓的位置關系判斷
例13．（2024·甘肅定西·統考模擬預測）若點在圓的外部，則a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】依題意，方程可以表示圓，則，得；
由點在圓的外部可知：，得.
故.
故選：C
例14．（2024·全國·高三專題練習）已知點在圓C：的外部，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由，得，
則，解得：①，
又∵點在圓的外部，
∴，即，解得或②，
由①②得，
故選：B．
例15．（2024·四川自貢·高一統考期中）點P在單位圓⊙O上（O為坐標原點），點，，則的最大值為（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】C
【解析】如圖所示：
設，因為，
所以，
則，即，
因為點P在圓上，
所以，
令，得，
，即，
解得，
所以的最大值為2，
故選：C
變式28．（2024·全國·高二專題練習）點與圓的位置關系是（ ）
A．點在圓上 B．點在圓內 C．點在圓外 D．不確定
【答案】C
【解析】因為，所以點在圓外，
故選：C
變式29．（2024·全國·高二專題練習）若點在圓的內部，則a的取值范圍是（　　）.
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由題可知，半徑，所以，把點代入方程，
則，解得，所以故a的取值范圍是.
故選：D
變式30．（2024·全國·高二專題練習）已知圓，直線l：，若l與圓O相交，則（ ）．
A．點在l上 B．點在圓O上
C．點在圓O內 D．點在圓O外
【答案】D
【解析】由已知l與圓O相交，,可知圓心到直線的距離小于半徑，
則有，故，
把代入，所以點不在直線l上，故A錯誤；
又，則點在圓O外，故D正確.
故選：D．
【解題方法總結】
在處理點與圓的位置關系問題時，應注意圓的不同方程形式對應的不同判斷方法，另外還應注意其他約束條件，如圓的一般方程的隱含條件對參數的制約．
題型六：數形結合思想的應用
例16．（2024·高二校考單元測試）若直線與曲線有兩個不同的交點，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】直線恒過定點，
曲線表示以點為圓心，半徑為1，且位于直線右側的半圓（包括點，）．
當直線經過點時，與曲線有兩個不同的交點，此時，直線記為；
當與半圓相切時，由，得，切線記為．
分析可知當時，與曲線有兩個不同的交點，
故選：A．
例17．（2024·遼寧營口·高二校考階段練習）已知曲線與直線有兩個不同的交點，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】曲線整理得，
則該曲線表示圓心為，半徑為1的圓的上半部分，直線，即，
則令，解得，則其過定點，
如圖，當時，曲線與直線有兩個不同的交點，
由，得或，所以，
，
所以實數的取值范圍是.
故選：C．
例18．（2024·山西晉城·高二晉城市第一中學校校考開學考試）直線與曲線有兩個不同的交點，則實數的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由可得，整理可得，其中，
所以，曲線表示圓的下半圓，如下圖所示：
當直線與曲線相切時，由圖可知，，
且有，解得，
當直線過點時，則有，
由圖可知，當時，直線與曲線有兩個公共點，
故選：B.
變式31．（2024·全國·高二專題練習）直線與曲線的交點個數為（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】B
【解析】因為曲線就是或，表示一條直線與一個圓，
聯立，解得，即直線與直線有一個交點；此時，沒有意義.
聯立，解得或，所以直線與有兩個交點.
所以直線與曲線的交點個數為2個.
故選：B
變式32．（2024·高二單元測試）若兩條直線：，：與圓的四個交點能構成矩形，則（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【解析】由題意直線平行，且與圓的四個交點構成矩形，
則可知圓心到兩直線的距離相等，
由圓的圓心為：，
圓心到的距離為：
，
圓心到的距離為：
，
所以，
由題意，
所以，
故選：A.
變式33．（2024·寧夏銀川·銀川一中校考二模）曲線，要使直線與曲線有四個不同的交點，則實數的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由題意得：，即，即曲線上的點為圓上或圓外的點，
由得：或，
由得：或或或，
由此可得曲線的圖象如下圖所示，
由圖象可知：當時，直線與曲線有四個不同交點；
實數的取值范圍為.
故選：B.
變式34．（2024·吉林白山·統考二模）若過點且斜率為k的直線l與曲線有且只有一個交點，則實數k的值不可能是( )
A． B． C． D．2
【答案】B
【解析】如圖，
曲線即表示以O為圓心，2為半徑的上半圓，
因為直線即與半圓相切，所以，解得．
因為所以，
又直線l與曲線有且只有一個交點，所以或，
所以實數k的取值范圍是
故選：B
變式35．（2024·全國·高三專題練習）若直線與曲線有兩個交點，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】表示的曲線是圓心為，半徑為的圓在軸以及右側的部分，如圖所示：
直線必過定點，
當直線與圓相切時，直線和圓恰有一個交點，
即，結合直線與半圓的相切可得，
當直的斜率不存在時，即時，直線和曲線恰有兩個交點，
所以要使直線和曲線有兩個交點，
則.
故選：B.
變式36．（2024·安徽合肥·合肥市第七中學校考三模）已知是定義在上的奇函數，其圖象關于點對稱，當時，，若方程的所有根的和為6，則實數k的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】方程的根轉化為
和的圖象的公共點的橫坐標，
因為兩個圖象均關于點對稱，
要使所有根的和為6，則兩個圖象有且只有3個公共點．
因為時，，
所以，所以圖象為圓的一部分，
作出和的圖象如圖所示．
當時，只需直線與圓相切，
所以，可得；
當時，只需直線與圓相離，
所以，解得得或（舍）．
故k的取值范圍是．
故選：A．
變式37．（2024·湖北·高三校聯考期末）廣為人知的太極圖，其形狀如陰陽兩魚互糾在一起，因而被習稱為“陰陽魚太極圖”如圖是放在平面直角坐標系中的“太極圖”整個圖形是一個圓形區域．其中黑色陰影區域在y軸左側部分的邊界為一個半圓．已知符號函數，則當時，下列不等式能表示圖中陰影部分的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】對于A選項，當時，，即表示圓內部及邊界，顯然不滿足，故錯誤；
對于C選項，當時，，即表示圓外部及邊界，滿足；
當時，，即表示圓的內部及邊界，滿足，故正確；
對于B選項，當時，，即表示圓內部及邊界，顯然不滿足，故錯誤；
對于D選項，當時，，即表示圓外部及邊界，顯然不滿足，故錯誤；
故選：C
【解題方法總結】
研究曲線的交點個數問題常用數形結合法，即需要作出兩種曲線的圖像．在此過程中，尤其要注意需對代數式進行等價變形，以防出現錯誤．
題型七：與圓有關的對稱問題
例19．（2024·高二單元測試）圓關于直線對稱，則 ．
【答案】3
【解析】由可得圓的標準方程為：，
則由題意得直線過圓心，代入直線方程有，解得，
故答案為：3.
例20．（2024·西藏日喀則·統考一模）已知圓關于直線對稱，圓交于、兩點，則
【答案】2
【解析】圓，即，圓心，半徑，
因為圓關于直線對稱，所以，解得，
所以，圓心，半徑，
則圓心到軸的距離，所以.
故答案為：
例21．（2024·全國·高三專題練習）已知圓上存在兩點關于直線對稱，則的最小值是 ．
【答案】2
【解析】圓上存在兩點關于直線對稱，所以直線過圓心，有，即.
，當且僅當，即時等號成立.
∴，即，所以時，的最小值為2.
故答案為：2
變式38．（2024·北京·高三人大附中校考階段練習）已知圓C與圓D：關于直線對稱，則圓C的方程為 ．
【答案】
【解析】因為，
設圓C的圓心為，
又因為圓C與圓D關于直線對稱，
即圓心與關于直線對稱，
所以，解得，
所以，圓C的方程為
變式39．（2024·全國·高三專題練習）已知圓上存在兩點關于直線對稱，則的最小值是 ．
【答案】16
【解析】由圓的對稱性可得，直線必過圓心，所以，
所以，
當且僅當，即時取等號，
則的最小值是16
故答案為：16
變式40．（2024·全國·高三專題練習）已知函數的圖像上有且僅有兩個不同的點關于直線的對稱點在的圖像上，則實數k的取值范圍是 ．
【答案】
【解析】
由，解得，
又關于直線的對稱直線為，
則題設等價于函數的圖像和的圖象有兩個交點.
易得等價于，
畫出和的圖象，設直線和相切，
由，解得或（舍），
又當直線過點時，，
結合圖象可知，當時，
函數的圖像和的圖象有兩個交點.
故答案為：.
變式41．（2024·全國·高三專題練習）已知圓的標準方程是，圓關于直線對稱，則圓與圓的位置關系為 ．
【答案】相交
【解析】由圓的方程知其圓心，半徑；
由圓的方程知其圓心，半徑；
圓關于直線對稱，
直線過圓心，即，解得：，
圓心，；
兩圓圓心距，則，
又，，，即，
圓與圓相交.
故答案為：相交.
變式42．（2024·全國·高三專題練習）若圓關于直線和直線都對稱，則D＋E的值為 ．
【答案】4
【解析】圓的圓心為，
因為圓關于直線和直線都對稱，
所以圓心在直線上，也在直線上，
所以，
解得，
所以，
故答案為：4
變式43．（2024·全國·高三校聯考階段練習）已知直線與曲線交于兩點，且這兩點關于直線對稱， .
【答案】1
【解析】∵直線與曲線交于兩點，且這兩點關于直線對稱，
∴圓心在直線上，
∴，
又∵兩直線垂直，
∴,
∴.
故答案為：1
【解題方法總結】
（1）圓的軸對稱性：圓關于直徑所在的直線對稱
（2）圓關于點對稱：
①求已知圓關于某點對稱的圓的方程，只需確定所求圓的圓心，即可寫出標準方程
②兩圓關于某點對稱，則此點為兩圓圓心連線的中點
（3）圓關于直線對稱：
①求已知圓關于某條直線對稱的圓的方程，只需確定所求圓的圓心，即可寫出標準方程
②兩圓關于某條直線對稱，則此直線為兩圓圓心連線的垂直平分線
題型八：圓過定點問題
例22．（2024·全國·高三專題練習）若拋物線與坐標軸分別交于三個不同的點、、，則的外接圓恒過的定點坐標為
【答案】
【解析】設拋物線交軸于點，交軸于點、，
由題意可知，由韋達定理可得，，
所以，線段的中點為，設圓心為，
由可得，解得，
，則，則，
所以，圓的方程為，
整理可得，
方程組的解為.
因此，的外接圓恒過的定點坐標為.
故答案為：.
例23．（2024·全國·高三專題練習）已知二次函數的圖像與坐標軸有三個不同的交點，經過這三個交點的圓記為，則圓經過定點的坐標為 （其坐標與無關）
【答案】和
【解析】二次函數的圖像與坐標軸有三個不同的交點，記為，易知，滿足，，，，設圓方程為，則
，
①－②得，，∴，從而，
代入③得，
∴圓方程為，
整理得，
由得或．
∴圓過定點和．
例24．（2024·重慶·高考真題）動圓的圓心在拋物線y2=8x上，且動圓恒與直線x+2=0相切，則動圓必過點 ．
【答案】（2，0）
【解析】先由拋物線的標準方程寫出其焦點坐標，準線方程，再結合拋物線的定義得出焦點必在動圓上，從而解決問題．
拋物線y2=8x的焦點F（2，0），
準線方程為x+2=0，
故圓心到直線x+2=0的距離即半徑等于圓心到焦點F的距離，
所以F在圓上．
故答案為（2，0）．
點評：主要考查知識點：拋物線，本小題主要考查圓與拋物線的綜合、拋物線的定義等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想．屬于基礎題．
變式44．（2024·浙江溫州·高三階段練習）已知動圓圓心在拋物線上，且動圓恒與直線相切，則此動圓必過定點____
【答案】
【解析】設動圓的圓心到直線的距離為r，
因為動圓圓心在拋物線上，且拋物線的準線為，
所以動圓圓心到直線的距離與到焦點的距離相等，
所以點一定在動圓上，即動圓必過定點.
故答案為：.
變式45．（2024·全國·高二專題練習）對任意實數，圓恒過定點，則定點坐標為 ．
【答案】或
【解析】，即，
令，解得，，或，，
所以定點的坐標是或．
故答案為：或.
變式46．（2024·江西·高考真題）設有一組圓：．下列四個命題其中真命題的序號是
①存在一條定直線與所有的圓均相切；
②存在一條定直線與所有的圓均相交；
③存在一條定直線與所有的圓均不相交；
④所有的圓均不經過原點．
【答案】②④
【解析】根據題意得：圓心坐標為，
圓心在直線上，故存在直線與所有圓都相交，選項②正確；
考慮兩圓的位置關系：
圓：圓心，半徑為，
圓：圓心，即，半徑為，
兩圓的圓心距，
兩圓的半徑之差，
任取或時，（）， 含于之中，選項①錯誤；
若取無窮大，則可以認為所有直線都與圓相交，選項③錯誤，
將帶入圓的方程,則有，即（），
因為左邊為奇數，右邊為偶數，故不存在使上式成立，即所有圓不過原點，選項④正確．
故答案為②④.
變式47．（2024·全國·高二專題練習）對任意實數，圓恒過定點，則其坐標為 .
【答案】、
【解析】由由得，故，解得或.
故填：、.
【解題方法總結】
特殊值法
本資料陳飛老師主編，可聯系微信：renbenjiaoyu2 ,加入陳老師高中數學永久QQ資料群下載（群內99%以上資料為純word解析版），群內資料每周持續更新！
高一資料群內容：
1、高一上學期同步講義（word+PDF）
2、高一下學期同步講義（word+PDF）
3、寒暑假預習講義（word+PDF）
4、專題分類匯編（純word解析版）
5、全國名校期中期末考試卷（純word解析版）
6、期中期末考試串講（word+PDF）
…………………………………………
更多內容不斷完善
高二資料群內容：
1、高二上學期同步講義（word+PDF）
2、高二下學期同步講義（word+PDF）
3、寒暑假預習講義（word+PDF）
4、專題分類匯編（純word解析版）
5、全國名校期中期末考試卷（純word解析版）
6、期中期末考試串講（word+PDF）
…………………………………………
更多內容不斷完善
高三資料群內容：
1、高三大一輪復習講義（word+PDF）
2、高三二輪沖刺講義（word+PDF）
3、高三三輪押題（純word解析版）
4、高考真題分類匯編（純word解析版）
5、專題分類匯編（純word解析版）
6、圓錐曲線專題（word+PDF）
7、導數專題（word+PDF）
8、全國名校期中期末一模二模（純word解析版）
…………………………………………
更多內容不斷完善
21世紀教育網(www.21cnjy.com)

展開更多......

收起↑