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第58講 兩條直線的位置關系
知識梳理
知識點一：兩直線平行與垂直的判定
兩條直線平行與垂直的判定以表格形式出現，如表所示．
兩直線方程 平行 垂直
（斜率存在） （斜率不存在） 或 或中有一個為0，另一個不存在．
知識點二：三種距離
1、兩點間的距離
平面上兩點的距離公式為．
特別地，原點O（0，0）與任一點P（x，y）的距離
2、點到直線的距離
點到直線的距離
特別地，若直線為l：x=m，則點到l的距離；若直線為l：y=n，則點到l的距離
3、兩條平行線間的距離
已知是兩條平行線，求間距離的方法：
（1）轉化為其中一條直線上的特殊點到另一條直線的距離．
（2）設，則與之間的距離
注：兩平行直線方程中，x，y前面對應系數要相等．
4、雙根式
雙根式型函數求解，首先想到兩點間的距離，或者利用單調性求解．
【解題方法總結】
1、點關于點對稱
點關于點對稱的本質是中點坐標公式：設點關于點的對稱點為，則根據中點坐標公式，有
可得對稱點的坐標為
2、點關于直線對稱
點關于直線對稱的點為，連接，交于點，則垂直平分，所以，且為中點，又因為在直線上，故可得，解出即可．
3、直線關于點對稱
法一：在已知直線上取兩點，利用中點坐標公式求出它們關于已知點對稱的兩點坐標，再由兩點式求出直線方程；
法二：求出一個對稱點，再利用兩對稱直線平行，由點斜式得到所求直線方程．
4、直線關于直線對稱
求直線，關于直線（兩直線不平行）的對稱直線
第一步：聯立算出交點
第二步：在上任找一點（非交點），利用點關于直線對稱的秒殺公式算出對稱點
第三步：利用兩點式寫出方程
5、常見的一些特殊的對稱
點關于軸的對稱點為，關于軸的對稱點為．
點關于直線的對稱點為，關于直線的對稱點為．
點關于直線的對稱點為，關于直線的對稱點為．
點關于點的對稱點為．
點關于直線的對稱點為，關于直線的對稱點為．
6、過定點直線系
過已知點的直線系方程（為參數）．
7、斜率為定值直線系
斜率為的直線系方程（是參數）．
8、平行直線系
與已知直線平行的直線系方程（為參數）．
9、垂直直線系
與已知直線垂直的直線系方程（為參數）．
10、過兩直線交點的直線系
過直線與的交點的直線系方程：（為參數）．
必考題型全歸納
題型一：兩直線位置關系的判定
例1．（2024·高二課時練習）直線與互相垂直，則這兩條直線的交點坐標為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】易知直線的斜率為，
由兩直線垂直條件得直線的斜率，解得；
聯立，解得；
即交點為
故選：C.
例2．（2024·江蘇南通·高二江蘇省如皋中學校考開學考試）已知過點和點的直線為l1，. 若，則的值為（ ）
A． B．
C．0 D．8
【答案】A
【解析】因為，所以，解得，又，所以，
解得.所以.
故選：A.
例3．（2024·浙江溫州·高二樂清市知臨中學校考開學考試）設直線，，則是的（ ）
A．充要條件 B．必要不充分條件
C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】C
【解析】當時，直線，，
此時，則，所以，故充分性成立；
當時，，解得或，故必要性不成立；
所以“”是“”的充分不必要條件，
故選：C.
變式1．（2024·廣東東莞·高三校考階段練習）直線：與直線：平行， 則（ ）
A．或 B． C． D．
【答案】A
【解析】因為直線：與直線：平行，
所以或，
當時，直線：，直線：，
此時直線與直線平行，滿足題意，
當時，直線：，直線：，
此時直線與直線平行，滿足題意，
故選：A.
變式2．（2024·全國·高三專題練習）已知直線：，：，則條件“”是“”的（ ）
A．充分必要條件 B．充分不必要條件
C．必要不充分條件 D．既不必要也不充分條件
【答案】B
【解析】若，則，
解得或.
故是的充分不必要條件.
故選：B
變式3．（2024·黑龍江牡丹江·牡丹江一中校考三模）已知直線，若，則（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】B
【解析】因為直線，且，則，
所以.
故選：B
變式4．（2024·全國·高三專題練習）已知A(－1，2)，B(1，3)，C(0，－2)，點D使AD⊥BC，AB∥CD，則點D的坐標為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】設D(x，y)，∵AD⊥BC，∴·＝－1，∴x＋5y－9＝0，
∵AB∥CD，∴＝，∴x－2y－4＝0，由得，，
故選：D.
變式5．（2024·甘肅隴南·高三統考期中）已知的頂點，，其垂心為，則其頂點的坐標為
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】為的垂心 ，
又，
直線斜率存在且，
設，則，解得：
本題正確選項：
變式6．（2024·全國·高三專題練習）直線，直線，下列說法正確的是（ ）
A．，使得 B．，使得
C．，與都相交 D．，使得原點到的距離為3
【答案】B
【解析】對A，要使，則，所以，解之得，此時與重合，選項A錯誤；
對B，要使，，，解之得，所以B正確；
對C，過定點，該定點在上，但是當時，與重合，所以C錯誤；
對D，，化簡得，此方程，無實數解，所以D錯誤.
故選：B.
變式7．（2024·全國·高三對口高考）設分別為中所對邊的邊長，則直線與直線的位置關系是（ ）
A．相交但不垂直 B．垂直 C．平行 D．重合
【答案】B
【解析】由題意可知直線與直線的斜率均存在且不為0，
直線的斜率，
直線的斜率，
由正弦定理可得，
所以兩直線垂直，
故選：B
【解題方法總結】
判斷兩直線的位置關系可以從斜率是否存在分類判斷，也可以按照以下方法判斷：一般地，設（不全為0），（不全為0），則：
當時，直線相交；
當時，直線平行或重合，代回檢驗；
當時，直線垂直，與向量的平行與垂直類比記憶．
題型二：兩直線的交點與距離問題
例4．（2024·全國·高三專題練習）若直線與直線的交點位于第一象限，則直線l的傾斜角的取值范圍是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】法一：聯立兩直線方程，得，解得，
所以兩直線的交點坐標為.
因為兩直線的交點在第一象限，所以，解得，
設直線l的傾斜角為θ，則，又，所以.
法二：由題意，直線l過定點，
設直線與x軸、y軸的交點分別為.
如圖，當直線l在陰影部分（不含邊界）運動時，兩直線的交點在第一象限，易知，
∴的傾斜角為，的傾斜角為.
∴直線l的傾斜角的取值范圍是.
故選：D
例5．（2024·上海浦東新·華師大二附中校考三模）已知三條直線，，將平面分為六個部分，則滿足條件的的值共有（ ）
A．個 B．2個 C．個 D．無數個
【答案】C
【解析】當三條直線交于一點時，可將平面分為六個部分，
聯立與，解得，
則將代入中，，解得，
當與平行時，滿足要求，此時，
當與平行時，滿足要求，此時，
綜上，滿足條件的的值共有3個.
故選：C
例6．（2024·全國·高三專題練習）若三條直線不能圍成三角形，則實數的取值最多有（ ）
A．個 B．個
C．個 D．個
【答案】C
【解析】三條直線不能構成三角形 至少有兩條直線平行或三條直線相交于同一點.
若∥，則；若∥，則；
若∥，則的值不存在；
若三條直線相交于同一點，
直線和聯立：，直線和交點為;
直線和聯立：，直線和交點為;
三條直線相交于同一點兩點重合或.
故實數的取值最多有個.
故選:C
變式8．（2024·江蘇宿遷·高二泗陽縣實驗高級中學校考階段練習）若點在直線上，O是原點，則OP的最小值為（ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】C
【解析】由題意可知，OP的最小值即為原點到直線的距離，
則.
故選：C
變式9．（2024·吉林長春·高二東北師大附中校考期中）已知點在直線上，則的最小值為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】就是到原點距離，
到原點距離的最小值為
則的最小值為2，
故選：B.
變式10．（2024·高二課時練習）已知點、、，且，則 .
【答案】
【解析】已知點、、，且，
則，解得.
故答案為：.
變式11．（2024·全國·高二專題練習）已知點與點間的距離為，則 ．
【答案】9或
【解析】由，
得，
即，解得或．
故答案為：9或.
變式12．（2024·全國·高二課堂例題）已知點，，，則的面積為 ．
【答案】5
【解析】設邊上的高為，則就是點C到AB所在直線的距離．
易知．
由兩點式可得邊所在直線的方程為，即．
點到直線的距離，
所以的面積為．
故答案為：5
變式13．（2024·江蘇淮安·高二統考期中）已知平面上點和直線，點P到直線l的距離為d，則 .
【答案】/4.5
【解析】依題意，直線，而點，
所以.
故答案為：
變式14．（2024·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱七十三中校考期中）點到直線的距離的最大值是 ．
【答案】
【解析】因為直線恒過點，
記，直線為直線，
則當時，此時點到直線的距離最大，
∴點到直線距離的最大值為：
.
故答案為：.
變式15．（2024·高二課時練習）過直線與直線的交點，且到點的距離為1的直線l的方程為 ．
【答案】或
【解析】解析：由解得
所以l1，l2的交點為.
顯然，直線滿足條件；
當直線斜率存在時，設直線方程為，
即，
依題意有，解得.
所以所求直線方程為或．
故答案為：或．
變式16．（2024·江西新余·高二校考開學考試）若點到直線的距離為3，則 .
【答案】
【解析】因為點到直線的距離為3，
可得，即，解得或，
又因為，所以.
故答案為：.
變式17．（2024·全國·高三專題練習）點，到直線l的距離分別為1和4，寫出一個滿足條件的直線l的方程： .
【答案】或或（填其中一個即可）
【解析】設，，連接MN，則.
以M為圓心，1為半徑作圓M，以N為圓心4為半徑作圓N，則兩圓外切，
所以兩圓有3條公切線，即符合條件的直線l有3條.
當公切線的斜率不存在時，顯然公切線的方程為.
當公切線的斜率存在時，設公切線的方程為，則有，
由①②得，所以或.
由①及得，由①及得，
所以公切線方程為或.
綜上，直線l的方程為或或.
故答案為：或或
變式18．（2024·浙江溫州·高二樂清市知臨中學校考開學考試）若兩條直線與平行，則與間的距離是 .
【答案】/
【解析】兩條直線與平行,
解得，
經檢驗時，,兩直線不重合；
所以，
則與間的距離,
故答案為：.
變式19．（2024·江蘇宿遷·高二泗陽縣實驗高級中學校考階段練行直線與之間的距離為 ．
【答案】/0.3
【解析】由題意得即
則平行直線與之間的距離為，
故答案為：
變式20．（2024·新疆·高二校聯考期末）已知不過原點的直線與直線平行，且直線與的距離為，則直線的一般式方程為 ．
【答案】
【解析】直線不過原點且與平行，可設直線，
與之間的距離，解得：或（舍），
直線的一般式方程為：.
故答案為：.
【解題方法總結】
兩點間的距離，點到直線的距離以及兩平行直線間的距離的計算，特別注意點到直線距離公式的結構．
題型三：有關距離的最值問題
例7．（2024·北京·高三強基計劃）的最小值所屬區間為（ ）
A． B．
C． D．前三個答案都不對
【答案】C
【解析】如圖，設．
根據題意，設題中代數式為M，則，
等號當P，Q分別為直線與x軸，y軸交點時取得．
因此所求最小值為13．
故選：C.
例8．（2024·全國·高三專題練習）已知實數，滿足，，，則的最小值是 ．
【答案】/
【解析】依題意，方程、分別表示以原點為圓心，2、3為半徑的圓，
令，即點分別在、上，如圖，
顯然，，即有，
，取線段中點，連接，則，
因此點在以原點為圓心，為半徑的圓上，
而，
即表示點到直線的距離和的倍，
過分別作直線的垂線，垂足分別為，過作垂直于直線于點，
于是，，
，原點到直線的距離，
顯然，當且僅當點共線，且點在線段上時取等號，
所以.
故答案為：
例9．（2024·全國·高三專題練習）如圖，平面上兩點，在直線上取兩點使，且使的值取最小，則的坐標為 ．
【答案】
【解析】關于直線的對稱點為，則有.過作平行于的直線為，由得，即此時直線為.過作，則，則.由于是常數，要使的值取最小，則的值取最小，即三點共線時最小.設，由得，即，解得（舍去.），即.設，則，解得，即，設，.由得，得，解得或（舍去），故.
故答案為：.
變式21．（2024·全國·高二專題練習）已知點分別在直線與直線上，且，點，，則的最小值為 .
【答案】
【解析】易知，作出圖象如下，過點作直線，則，
直線，過作直線，與直線交于點，易知四邊形為平行四邊形，
故，且到直線的距離等于到的距離，
設，則，解得或（舍，所以，
而，且（定值），
故只需求出的最小值即可，顯然，
故的最小值為．
故答案為：．
變式22．（2024·全國·高二課堂例題）已知直線過定點M，點在直線上，則的最小值是（ ）
A．5 B． C． D．
【答案】B
【解析】由得，所以直線l過定點，
依題意可知的最小值就是點M到直線的距離，
由點到直線的距離公式可得．
故選:B.
變式23．（2024·全國·高三專題練習）著名數學家華羅庚曾說過：“數形結合百般好，割裂分家萬事休．”事實上，有很多代數問題可以轉化為幾何問題加以解決，如：可以轉化為點到點的距離，則的最小值為（ ）．
A．3 B． C． D．
【答案】D
【解析】,
可以看作點到點的距離之和，
作點關于軸的對稱點，顯然當三點共線時，取到最小值，
最小值為間的距離.
故選：D.
變式24．（2024·貴州·校聯考模擬預測）已知，滿足，則的最小值為（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【解析】
如圖，過點作點關于線段的對稱點，則.
設，則有，解得，所以.
設，則，所以，
又，所以點到軸的距離為，
所以，可視為線段上的點到軸的距離和到的距離之和.
過作軸，顯然有，當且僅當三點共線時，和有最小值.
過點作軸，則即為最小值，與線段的交點，即為最小值時的位置.
因為，所以的最小值為.
故選：B．
變式25．（2024·江西·高三校聯考階段練習）在平面直角坐標系中，已知點，點為直線上一動點，則的最小值是（ ）
A． B．4 C．5 D．6
【答案】B
【解析】設點關于直線的對稱點為，
則，解得，
所以，
所以，
當且僅當點為線段與直線的交點時等號成立，
所以的最小值是4，
故選：B.
變式26．（2024·高二課時練習）已知點，點P在x軸上使最大，求點P的坐標．
【解析】點關于x軸的對稱點為,如圖所示，若點不在直線上則,
連接并延長交x軸于點P，即為最大值．
直線的方程是，
即.
令，得．
則點P的坐標是.
變式27．（2024·天津和平·高二天津市匯文中學校考階段練習）在直線上求一點P，使得：
(1)P到和的距離之差最大；
(2)P到和的距離之和最小.
【解析】（1）畫出直線和點和，如圖：在兩側，
作B關于直線的對稱點，連接,
則直線和直線l的交點即為P，
設D為l上異于P的一點，則 ,
故,
故最大，即此時P到和的距離之差最大，
設，則 ，解得 ，
故直線方程為，聯立 ，解得 ，
即；
（2）如圖：在同側，
作C關于直線的對稱點，連接,
則直線和直線l的交點即為P，
設E為l上異于P的一點，則 ,
故,
故最小，即此時P到和的距離之和最小.，
設，則 ，解得 ，
故直線方程為，聯立 ，解得 ，
即即；
變式28．（2024·全國·高三專題練習）已知函數的圖象恒過定點A，圓上的兩點，滿足，則的最小值為( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由題可知A為(0，1)，且P、A、Q三點共線，
設弦PQ的中點為E(x，y)，連接OE，則OE⊥PQ，即OE⊥AE，
∴，由此可得E的軌跡方程為，
即E的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，
設直線l為，
則E到l的最小距離為．
過P、E、Q分別作直線l的垂線，垂足分別為M、R、N，
則四邊形MNQP是直角梯形，且R是MN的中點， 則ER是直角梯形的中位線，
∴，
即，
即．
故選：C．
變式29．（2024·江西·高三校聯考開學考試）費馬點是指三角形內到三角形三個頂點距離之和最小的點.當三角形三個內角均小于120°時，費馬點與三個頂點連線正好三等分費馬點所在的周角，即該點所對的三角形三邊的張角相等且均為120°.根據以上性質，.則的最小值為（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】B
【解析】由題意得：的幾何意義為點到點的距離之和的最小值，
因為，，
，
所以，故三角形ABC為等腰直角三角形，，
取的中點，連接，與交于點，連接，故，，
因為，所以，故，則，
故點到三角形三個頂點距離之和最小，即取得最小值，
因為，所以，同理得：，，
，
故的最小值為.
故選：B
變式30．（2024·全國·高三專題練習）已知，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】設點為直線上的動點，
由可看作與的距離和與的距離之和，
設點則點為點關于直線的對稱點，
故，且，
所以，
當且僅當三點共線時，取等號，
所以的最小值為.
故選：C
變式31．（2024·陜西西安·高二西安市鐵一中學校考期末）設，過定點的動直線和過定點的動直線交于點，則的最大值是（ ）
A． B． C．5 D．10
【答案】C
【解析】
顯然過定點，直線可化成，則經過定點，
根據兩條直線垂直的一般式方程的條件，，
于是直線和直線垂直，又為兩條直線的交點，則，
又，由勾股定理和基本不等式，
，則，
當時，的最大值是.
故選：C
變式32．（2024·全國·高二專題練習）過定點A的動直線和過定點B的動直線交于點M，則的最大值是（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】C
【解析】由題意知過定點,
動直線即過定點，
對于直線和動直線滿足，
故兩直線垂直，
因此點M在以為直徑的圓上，，
則，
所以，
當且僅當時等號成立，
故的最大值為，
故選：C
【解題方法總結】
數學結合，利用距離的幾何意義進行轉化．
題型四：點點對稱
例10．（2024·全國·高三專題練習）已知，，點是線段的中點，則 .
【答案】
【解析】由中點坐標公式知：，，解得：，，.
故答案為：.
例11．（2024·江蘇南通·高二統考期中）已知點在軸上，點在軸上，線段的中點的坐標為，則線段的長度為 .
【答案】
【解析】在平面直角坐標系中，，
則為直角三角形，且為斜邊，
故.
故答案為：
例12．（2024·高二課時練習）設點A在x軸上，點B在y軸上，的中點是，則等于
【答案】
【解析】根據點A在x軸上，點B在y軸上，且的中點是，利用中點坐標公式得到A，B的坐標，再利用兩點間的距離公式求解.因為點A在x軸上，點B在y軸上，且的中點是，
所以，
所以，
故答案為：
變式33．（2024·高一課時練習）已知直線l與直線及直線分別交于點P，Q．若PQ的中點為點，則直線l的斜率為 ．
【答案】
【解析】設，則．由點Q在直線上，得，．故．
所以直線l的斜率為，所以
故答案為
【解題方法總結】
求點關于點中心對稱的點，由中點坐標公式得
題型五：點線對稱
例13．（2024·湖南長沙·高一周南中學校考開學考試）如下圖，一次函數的圖象與軸，軸分別交于點，，點是軸上一點，點，分別為直線和軸上的兩個動點，當周長最小時，點，的坐標分別為（ ）

A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【解析】作關于軸的對稱點，
作關于的對稱點，
連接交軸于，交于，所以，
此時周長最小，即，
由，直線方程為，所以，解得，
所以，可得直線方程為，即，
由，解得，所以，
令可，所以.
故選：C.
例14．（2024·全國·高二專題練習）若直線和直線關于直線對稱，則直線恒過定點（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因為直線過定點，
點關于直線對稱的點為，
故直線恒過定點.
故選：C
例15．（2024·全國·高二假期作業）拋物線的焦點關于直線的對稱點的坐標是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】拋物線即，其焦點坐標為，
設關于直線的對稱點的坐標是，
則，解得，則，
故選：A．
變式34．（2024·江西·高二校聯考開學考試）如圖，一束光線從出發，經過坐標軸反射兩次經過點，則總路徑長即總長為（ ）
A． B．6 C． D．
【答案】C
【解析】設點關于軸的對稱點為點，點關于軸的對稱點為點，
由光線反射知識可得三點共線，三點共線，
故四點共線，
因為點的坐標為，點的坐標為，
所以點的坐標為，點的坐標為，
由對稱的性質可得，
所以，
又，
所以.
故選：C.
變式35．（2024·四川遂寧·高二統考期末）已知點A與點關于直線對稱，則點A的坐標為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】設，因點A與點B關于直線對稱，則AB中點在直線上且直線AB與直線垂直，
則，
即點A坐標為.
故選：C
變式36．（2024·湖北·高二校聯考階段練習）在等腰直角三角形中，，點是邊上異于的一點，光線從點出發，經反射后又回到點，如圖，若光線經過的重心，則（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】C
【解析】根據題意，建立如圖所示的坐標系，可得，，
故直線的方程為，
又由，，，則 的重心為，
設，其中，點關于直線 的對稱點，則有，
解得，即，
易得關于 軸的對稱點，
由光的反射原理可知，，，四點共成直線的斜率，
故直線的方程為，
由于直線過 的重心，代入化簡可得，
解得：或 舍，即，故，
故選：C．
【解題方法總結】
求點關于直線對稱的點
方法一：（一中一垂），即線段的中點M在對稱軸上，若直線的斜率存在，則直線的斜率與對稱軸的斜率之積為－1，兩個條件建立方程組解得點
方法二：先求經過點且垂直于對稱軸的直線（法線），然后由得線段的中點，從而得
題型六：線點對稱
例16．（2024·高二課時練習）直線關于點對稱的直線的方程為 ．
【答案】
【解析】設為上任意一點，則關于點的對稱點為，
因為在直線l上，所以，即直線的方程為．
故答案為：
例17．（2024·全國·高二專題練習）直線關于點的對稱直線方程是 ．
【答案】
【解析】設對稱直線為，
則有，即
解這個方程得（舍）或.
所以對稱直線的方程中.
故答案為：.
例18．（2024·河北廊坊·高三校考階段練習）與直線關于點對稱的直線的方程為 .
【答案】
【解析】直線關于點對稱的直線的方程可設為，其中
又點到直線與到直線的距離相等
所以，即，所以或（舍）.
故所求直線方程為：.
故答案為：.
變式37．（2024·全國·高三專題練習）直線恒過定點，則直線關于點對稱的直線方程為 ．
【答案】
【解析】由得：，當時，，；
設直線關于點對稱的直線方程為，
，解得：或（舍），
直線關于點對稱的直線方程為.
故答案為：.
變式38．（2024·遼寧營口·高三統考期末）若直線：與直線關于點對稱，則當經過點時，點到直線的距離為 .
【答案】
【解析】因為直線恒過定點，
所以關于點對稱，
所以關于點的對稱點為，
此時和都在直線上，
由直線方程的兩點式可得，即，
所以點到直線的距離為．
故答案為：．
變式39．（2024·全國·高三專題練習）在平面直角坐標系xOy中，將直線l沿x軸正方向平移3個單位長度，沿y軸正方向平移5個單位長度，得到直線l1.再將直線l1沿x軸正方向平移1個單位長度，沿y軸負方向平移2個單位長度，又與直線l重合.若直線l與直線l1關于點（2，3）對稱，則直線l的方程是 .
【答案】6x－8y＋1＝0
【解析】根據平移得到l1：y＝k（x－3）＋5＋b和直線：y＝kx＋3－4k＋b，解得k＝，再根據對稱解得b＝，計算得到答案.由題意知直線l的斜率存在，設直線l的方程為y＝kx＋b，
則直線l1：y＝k（x－3）＋5＋b，平移后的直線方程為y＝k（x－3－1）＋b＋5－2
即y＝kx＋3－4k＋b，∴b＝3－4k＋b，解得k＝ ，
∴直線l的方程為y＝x＋b，直線l1為y＝x＋＋b
取直線l上的一點 ，則點P關于點（2，3）的對稱點為 ，
，解得b＝.
∴直線l的方程是 ，即6x－8y＋1＝0.
故答案為：6x－8y＋1＝0
【解題方法總結】
求直線l關于點中心對稱的直線
求解方法是：在已知直線l上取一點關于點中心對稱得，再利用，由點斜式方程求得直線的方程（或者由，且點到直線l及的距離相等來求解）．
題型七：線線對稱
例19．（2024·全國·高三專題練習）已知直線，直線，若直線關于直線l的對稱直線為，則直線的方程為 ．
【答案】.
【解析】由題意知，設直線，在直線上取點，
設點關于直線的對稱點為，
則， 解得，即，
將代入的方程得，
所以直線的方程為.
故答案為：
例20．（2024·全國·高三專題練習）若動點A，B分別在直線l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移動，則AB的中點M到原點的距離的最小值為(　　)
A．3 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】先求出點M所在直線的方程為l：x＋y＋m＝0，再求出m的值和原點到直線l的距離即得解.依題意知AB的中點M的集合為與直線l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0距離都相等的直線，
則M到原點的距離的最小值為原點到該直線的距離．
設點M所在直線的方程為l：x＋y＋m＝0，
根據平行線間的距離公式得
所以|m＋7|＝|m＋5|，所以m＝－6，
即l：x＋y－6＝0.
根據點到直線的距離公式得M到原點的距離的最小值為.
故選：A.
例21．（2024·全國·高三專題練習）直線關于直線對稱的直線方程是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】在直線上任取一點，設點關于直線的對稱點為，
則，解得，即，
因為點在直線上，
所以，即，
所以所求直線方程為，
故選：A.
變式40．（2024·全國·高三專題練習）設直線與關于直線對稱，則直線的方程是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】聯立，得，
取直線上一點，設點關于直線的對稱點為，則，解得：，
直線的斜率，所以直線的方程為，
整理為：.
故選：A
變式41．（2024·全國·高三專題練習）直線關于直線對稱的直線為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】設所求直線上的任意一點為
則關于直線對稱點為
點在直線上
滿足直線方程，即
直線關于直線對稱的直線為
故選：C
變式42．（2024·全國·高三專題練習）如果直線與直線關于直線對稱，那么（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】在上取一點，
則由題意可得其關于直線的對稱點在上，
所以，得，
在上取一點，
則其關于直線的對稱點在上，
所以，得，
綜上，
故選：A
變式43．（2024·全國·高三專題練習）求直線x＋2y－1＝0關于直線x＋2y＋1＝0對稱的直線方程（ ）
A．x＋2y－3＝0 B．x＋2y＋3＝0
C．x＋2y－2＝0 D．x＋2y＋2＝0
【答案】B
【解析】設對稱直線方程為，
，解得或（舍去）.
所以所求直線方程為.
故選：B
變式44．（2024·全國·高三專題練習）若兩條平行直線：與：之間的距離是，則直線關于直線對稱的直線方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因為直線：與：，
所以，
又兩條平行直線：與：之間的距離是，
所以解得
即直線：，：，
設直線關于直線對稱的直線方程為，
則，解得，
故所求直線方程為，
故選：A
變式45．（2024·全國·高三專題練習）兩直線方程為，，則關于對稱的直線方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】設所求直線上任一點，關于直線的對稱點，，
則，解出
點在直線上， 將式代入，得，
化簡得，即為關于對稱的直線方程．
故選：C
【解題方法總結】
求直線l關于直線對稱的直線
若直線，則，且對稱軸與直線l及之間的距離相等．
此時分別為，由，求得，從而得．
若直線l與不平行，則．在直線l上取異于Q的一點，然后求得關于直線對稱的點，再由兩點確定直線（其中）．
題型八：直線系方程
例22．（2024·全國·高三專題練習）已知兩直線和的交點為，則過兩點的直線方程為 .
【答案】
【解析】依題意兩直線和的交點為，
所以在直線上，
所以過兩點所在直線方程為.
故答案為：
例23．（2024·全國·高三專題練習）經過直線3x－2y＋1＝0和直線x＋3y＋4＝0的交點，且平行于直線x－y＋4＝0的直線方程為 ．
【答案】x－y＝0.
【解析】設直線方程為3x－2y＋1＋λ(x＋3y＋4)＝0，再求出的值即得解.過兩直線交點的直線方程可設為3x－2y＋1＋λ(x＋3y＋4)＝0，
即(3＋λ)x＋(3λ－2)y＋4λ＋1＝0，
因為它與直線x－y＋4＝0平行，
所以3＋λ＋3λ－2＝0，
即λ＝－，
故所求直線為x－y＝0.
故答案為：x－y＝0.
例24．（2024·全國·高三專題練習）已知坐標原點為O，過點作直線n不同時為零的垂線，垂足為M，則的取值范圍是 ．
【答案】
【解析】根據題意，直線，即，
則有，解可得，則直線恒過點．
設，又由與直線垂直，且為垂足，
則點的軌跡是以為直徑的圓，其方程為，
所以；即的取值范圍是；
故答案為．
變式46．（2024·高二課時練習）經過點和兩直線；交點的直線方程為 .
【答案】
【解析】設所求直線方程為，
點在直線上，
，
解得，
所求直線方程為，即．
故答案為：.
變式47．（2024·全國·高二課堂例題）若直線l經過兩直線和的交點，且斜率為，則直線l的方程為 ．
【答案】
【解析】設直線l的方程為（其中為常數），即 ①．
又直線l的斜率為，則，解得．
將代入①式并整理，得，此即所求直線l的方程．
故答案為：.
變式48．（2024·全國·高一專題練習）設直線經過和的交點，且與兩坐標軸圍成等腰直角三角形，則直線的方程為 .
【答案】或
【解析】方法一：由，得，
所以兩條直線的交點坐標為（14，10）,
由題意可得直線的斜率為1或-1，
所以直線的方程為或，
即或.
方法二：設直線的方程為，整理得，
由題意，得，解得或，
所以直線的方程為或.
故答案為：或.
變式49．（2024·高二課時練習）經過直線3x+2y+6=0和2x+5y-7=0的交點，且在兩坐標軸上的截距相等的直線方程為 .
【答案】x+y+1=0或3x+4y=0
【解析】由題意可設所求直線方程為，即
令，得
令，得
∵所求直線方程在兩坐標軸上的截距相等
∴，即或
∴所求直線方程為或
故答案為或
【解題方法總結】
利用直線系方程求解．
【解題方法總結】
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21世紀教育網(www.21cnjy.com)第58講 兩條直線的位置關系
知識梳理
知識點一：兩直線平行與垂直的判定
兩條直線平行與垂直的判定以表格形式出現，如表所示．
兩直線方程 平行 垂直
（斜率存在） （斜率不存在） 或 或中有一個為0，另一個不存在．
知識點二：三種距離
1、兩點間的距離
平面上兩點的距離公式為．
特別地，原點O（0，0）與任一點P（x，y）的距離
2、點到直線的距離
點到直線的距離
特別地，若直線為l：x=m，則點到l的距離；若直線為l：y=n，則點到l的距離
3、兩條平行線間的距離
已知是兩條平行線，求間距離的方法：
（1）轉化為其中一條直線上的特殊點到另一條直線的距離．
（2）設，則與之間的距離
注：兩平行直線方程中，x，y前面對應系數要相等．
4、雙根式
雙根式型函數求解，首先想到兩點間的距離，或者利用單調性求解．
【解題方法總結】
1、點關于點對稱
點關于點對稱的本質是中點坐標公式：設點關于點的對稱點為，則根據中點坐標公式，有
可得對稱點的坐標為
2、點關于直線對稱
點關于直線對稱的點為，連接，交于點，則垂直平分，所以，且為中點，又因為在直線上，故可得，解出即可．
3、直線關于點對稱
法一：在已知直線上取兩點，利用中點坐標公式求出它們關于已知點對稱的兩點坐標，再由兩點式求出直線方程；
法二：求出一個對稱點，再利用兩對稱直線平行，由點斜式得到所求直線方程．
4、直線關于直線對稱
求直線，關于直線（兩直線不平行）的對稱直線
第一步：聯立算出交點
第二步：在上任找一點（非交點），利用點關于直線對稱的秒殺公式算出對稱點
第三步：利用兩點式寫出方程
5、常見的一些特殊的對稱
點關于軸的對稱點為，關于軸的對稱點為．
點關于直線的對稱點為，關于直線的對稱點為．
點關于直線的對稱點為，關于直線的對稱點為．
點關于點的對稱點為．
點關于直線的對稱點為，關于直線的對稱點為．
6、過定點直線系
過已知點的直線系方程（為參數）．
7、斜率為定值直線系
斜率為的直線系方程（是參數）．
8、平行直線系
與已知直線平行的直線系方程（為參數）．
9、垂直直線系
與已知直線垂直的直線系方程（為參數）．
10、過兩直線交點的直線系
過直線與的交點的直線系方程：（為參數）．
必考題型全歸納
題型一：兩直線位置關系的判定
例1．（2024·高二課時練習）直線與互相垂直，則這兩條直線的交點坐標為（ ）
A． B．
C． D．
例2．（2024·江蘇南通·高二江蘇省如皋中學校考開學考試）已知過點和點的直線為l1，. 若，則的值為（ ）
A． B．
C．0 D．8
例3．（2024·浙江溫州·高二樂清市知臨中學校考開學考試）設直線，，則是的（ ）
A．充要條件 B．必要不充分條件
C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件
變式1．（2024·廣東東莞·高三校考階段練習）直線：與直線：平行， 則（ ）
A．或 B． C． D．
變式2．（2024·全國·高三專題練習）已知直線：，：，則條件“”是“”的（ ）
A．充分必要條件 B．充分不必要條件
C．必要不充分條件 D．既不必要也不充分條件
變式3．（2024·黑龍江牡丹江·牡丹江一中校考三模）已知直線，若，則（ ）
A． B．0 C．1 D．2
變式4．（2024·全國·高三專題練習）已知A(－1，2)，B(1，3)，C(0，－2)，點D使AD⊥BC，AB∥CD，則點D的坐標為（ ）
A． B．
C． D．
變式5．（2024·甘肅隴南·高三統考期中）已知的頂點，，其垂心為，則其頂點的坐標為
A． B． C． D．
變式6．（2024·全國·高三專題練習）直線，直線，下列說法正確的是（ ）
A．，使得 B．，使得
C．，與都相交 D．，使得原點到的距離為3
變式7．（2024·全國·高三對口高考）設分別為中所對邊的邊長，則直線與直線的位置關系是（ ）
A．相交但不垂直 B．垂直 C．平行 D．重合
【解題方法總結】
判斷兩直線的位置關系可以從斜率是否存在分類判斷，也可以按照以下方法判斷：一般地，設（不全為0），（不全為0），則：
當時，直線相交；
當時，直線平行或重合，代回檢驗；
當時，直線垂直，與向量的平行與垂直類比記憶．
題型二：兩直線的交點與距離問題
例4．（2024·全國·高三專題練習）若直線與直線的交點位于第一象限，則直線l的傾斜角的取值范圍是（　　）
A． B．
C． D．
例5．（2024·上海浦東新·華師大二附中校考三模）已知三條直線，，將平面分為六個部分，則滿足條件的的值共有（ ）
A．個 B．2個 C．個 D．無數個
例6．（2024·全國·高三專題練習）若三條直線不能圍成三角形，則實數的取值最多有（ ）
A．個 B．個
C．個 D．個
變式8．（2024·江蘇宿遷·高二泗陽縣實驗高級中學校考階段練習）若點在直線上，O是原點，則OP的最小值為（ ）
A． B．2 C． D．4
變式9．（2024·吉林長春·高二東北師大附中校考期中）已知點在直線上，則的最小值為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
變式10．（2024·高二課時練習）已知點、、，且，則 .
變式11．（2024·全國·高二專題練習）已知點與點間的距離為，則 ．
變式12．（2024·全國·高二課堂例題）已知點，，，則的面積為 ．
變式13．（2024·江蘇淮安·高二統考期中）已知平面上點和直線，點P到直線l的距離為d，則 .
變式14．（2024·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱七十三中校考期中）點到直線的距離的最大值是 ．
變式15．（2024·高二課時練習）過直線與直線的交點，且到點的距離為1的直線l的方程為 ．
變式16．（2024·江西新余·高二校考開學考試）若點到直線的距離為3，則 .
變式17．（2024·全國·高三專題練習）點，到直線l的距離分別為1和4，寫出一個滿足條件的直線l的方程： .
變式18．（2024·浙江溫州·高二樂清市知臨中學校考開學考試）若兩條直線與平行，則與間的距離是 .
變式19．（2024·江蘇宿遷·高二泗陽縣實驗高級中學校考階段練行直線與之間的距離為 ．
變式20．（2024·新疆·高二校聯考期末）已知不過原點的直線與直線平行，且直線與的距離為，則直線的一般式方程為 ．
【解題方法總結】
兩點間的距離，點到直線的距離以及兩平行直線間的距離的計算，特別注意點到直線距離公式的結構．
題型三：有關距離的最值問題
例7．（2024·北京·高三強基計劃）的最小值所屬區間為（ ）
A． B．
C． D．前三個答案都不對
例8．（2024·全國·高三專題練習）已知實數，滿足，，，則的最小值是 ．
例9．（2024·全國·高三專題練習）如圖，平面上兩點，在直線上取兩點使，且使的值取最小，則的坐標為 ．
變式21．（2024·全國·高二專題練習）已知點分別在直線與直線上，且，點，，則的最小值為 .
變式22．（2024·全國·高二課堂例題）已知直線過定點M，點在直線上，則的最小值是（ ）
A．5 B． C． D．
變式23．（2024·全國·高三專題練習）著名數學家華羅庚曾說過：“數形結合百般好，割裂分家萬事休．”事實上，有很多代數問題可以轉化為幾何問題加以解決，如：可以轉化為點到點的距離，則的最小值為（ ）．
A．3 B． C． D．
變式24．（2024·貴州·校聯考模擬預測）已知，滿足，則的最小值為（ ）
A． B． C．1 D．
變式25．（2024·江西·高三校聯考階段練習）在平面直角坐標系中，已知點，點為直線上一動點，則的最小值是（ ）
A． B．4 C．5 D．6
變式26．（2024·高二課時練習）已知點，點P在x軸上使最大，求點P的坐標．
變式27．（2024·天津和平·高二天津市匯文中學校考階段練習）在直線上求一點P，使得：
(1)P到和的距離之差最大；
(2)P到和的距離之和最小.
變式28．（2024·全國·高三專題練習）已知函數的圖象恒過定點A，圓上的兩點，滿足，則的最小值為( )
A． B．
C． D．
變式29．（2024·江西·高三校聯考開學考試）費馬點是指三角形內到三角形三個頂點距離之和最小的點.當三角形三個內角均小于120°時，費馬點與三個頂點連線正好三等分費馬點所在的周角，即該點所對的三角形三邊的張角相等且均為120°.根據以上性質，.則的最小值為（ ）
A．4 B． C． D．
變式30．（2024·全國·高三專題練習）已知，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
變式31．（2024·陜西西安·高二西安市鐵一中學校考期末）設，過定點的動直線和過定點的動直線交于點，則的最大值是（ ）
A． B． C．5 D．10
變式32．（2024·全國·高二專題練習）過定點A的動直線和過定點B的動直線交于點M，則的最大值是（ ）
A． B．3 C． D．
【解題方法總結】
數學結合，利用距離的幾何意義進行轉化．
題型四：點點對稱
例10．（2024·全國·高三專題練習）已知，，點是線段的中點，則 .
例11．（2024·江蘇南通·高二統考期中）已知點在軸上，點在軸上，線段的中點的坐標為，則線段的長度為 .
例12．（2024·高二課時練習）設點A在x軸上，點B在y軸上，的中點是，則等于
變式33．（2024·高一課時練習）已知直線l與直線及直線分別交于點P，Q．若PQ的中點為點，則直線l的斜率為 ．
【解題方法總結】
求點關于點中心對稱的點，由中點坐標公式得
題型五：點線對稱
例13．（2024·湖南長沙·高一周南中學校考開學考試）如下圖，一次函數的圖象與軸，軸分別交于點，，點是軸上一點，點，分別為直線和軸上的兩個動點，當周長最小時，點，的坐標分別為（ ）

A．， B．，
C．， D．，
例14．（2024·全國·高二專題練習）若直線和直線關于直線對稱，則直線恒過定點（ ）
A． B． C． D．
例15．（2024·全國·高二假期作業）拋物線的焦點關于直線的對稱點的坐標是（ ）
A． B． C． D．
變式34．（2024·江西·高二校聯考開學考試）如圖，一束光線從出發，經過坐標軸反射兩次經過點，則總路徑長即總長為（ ）
A． B．6 C． D．
變式35．（2024·四川遂寧·高二統考期末）已知點A與點關于直線對稱，則點A的坐標為（ ）
A． B．
C． D．
變式36．（2024·湖北·高二校聯考階段練習）在等腰直角三角形中，，點是邊上異于的一點，光線從點出發，經反射后又回到點，如圖，若光線經過的重心，則（ ）
A． B． C．1 D．2
【解題方法總結】
求點關于直線對稱的點
方法一：（一中一垂），即線段的中點M在對稱軸上，若直線的斜率存在，則直線的斜率與對稱軸的斜率之積為－1，兩個條件建立方程組解得點
方法二：先求經過點且垂直于對稱軸的直線（法線），然后由得線段的中點，從而得
題型六：線點對稱
例16．（2024·高二課時練習）直線關于點對稱的直線的方程為 ．
例17．（2024·全國·高二專題練習）直線關于點的對稱直線方程是 ．
例18．（2024·河北廊坊·高三校考階段練習）與直線關于點對稱的直線的方程為 .
變式37．（2024·全國·高三專題練習）直線恒過定點，則直線關于點對稱的直線方程為 ．
變式38．（2024·遼寧營口·高三統考期末）若直線：與直線關于點對稱，則當經過點時，點到直線的距離為 .
變式39．（2024·全國·高三專題練習）在平面直角坐標系xOy中，將直線l沿x軸正方向平移3個單位長度，沿y軸正方向平移5個單位長度，得到直線l1.再將直線l1沿x軸正方向平移1個單位長度，沿y軸負方向平移2個單位長度，又與直線l重合.若直線l與直線l1關于點（2，3）對稱，則直線l的方程是 .
【解題方法總結】
求直線l關于點中心對稱的直線
求解方法是：在已知直線l上取一點關于點中心對稱得，再利用，由點斜式方程求得直線的方程（或者由，且點到直線l及的距離相等來求解）．
題型七：線線對稱
例19．（2024·全國·高三專題練習）已知直線，直線，若直線關于直線l的對稱直線為，則直線的方程為 ．
例20．（2024·全國·高三專題練習）若動點A，B分別在直線l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移動，則AB的中點M到原點的距離的最小值為(　　)
A．3 B．2 C．3 D．4
例21．（2024·全國·高三專題練習）直線關于直線對稱的直線方程是（　　）
A． B．
C． D．
變式40．（2024·全國·高三專題練習）設直線與關于直線對稱，則直線的方程是（　　）
A． B．
C． D．
變式41．（2024·全國·高三專題練習）直線關于直線對稱的直線為（ ）
A． B． C． D．
變式42．（2024·全國·高三專題練習）如果直線與直線關于直線對稱，那么（ ）
A． B． C． D．
變式43．（2024·全國·高三專題練習）求直線x＋2y－1＝0關于直線x＋2y＋1＝0對稱的直線方程（ ）
A．x＋2y－3＝0 B．x＋2y＋3＝0
C．x＋2y－2＝0 D．x＋2y＋2＝0
變式44．（2024·全國·高三專題練習）若兩條平行直線：與：之間的距離是，則直線關于直線對稱的直線方程為（ ）
A． B．
C． D．
變式45．（2024·全國·高三專題練習）兩直線方程為，，則關于對稱的直線方程為（ ）
A． B．
C． D．
【解題方法總結】
求直線l關于直線對稱的直線
若直線，則，且對稱軸與直線l及之間的距離相等．
此時分別為，由，求得，從而得．
若直線l與不平行，則．在直線l上取異于Q的一點，然后求得關于直線對稱的點，再由兩點確定直線（其中）．
題型八：直線系方程
例22．（2024·全國·高三專題練習）已知兩直線和的交點為，則過兩點的直線方程為 .
例23．（2024·全國·高三專題練習）經過直線3x－2y＋1＝0和直線x＋3y＋4＝0的交點，且平行于直線x－y＋4＝0的直線方程為 ．
例24．（2024·全國·高三專題練習）已知坐標原點為O，過點作直線n不同時為零的垂線，垂足為M，則的取值范圍是 ．
變式46．（2024·高二課時練習）經過點和兩直線；交點的直線方程為 .
變式47．（2024·全國·高二課堂例題）若直線l經過兩直線和的交點，且斜率為，則直線l的方程為 ．
變式48．（2024·全國·高一專題練習）設直線經過和的交點，且與兩坐標軸圍成等腰直角三角形，則直線的方程為 .
變式49．（2024·高二課時練習）經過直線3x+2y+6=0和2x+5y-7=0的交點，且在兩坐標軸上的截距相等的直線方程為 .
【解題方法總結】
利用直線系方程求解．
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