資源簡介

第49講 直線、平面垂直的判定與性質
知識梳理
知識點1：直線與平面垂直的定義
如果一條直線和這個平面內的任意一條直線都垂直，那稱這條直線和這個平面相互垂直．
知識點2：判定定理（文字語言、圖形語言、符號語言）
文字語言 圖形語言 符號語言
判斷定理 一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直
面⊥面 線⊥面 兩個平面垂直，則在一個平面內垂直于交線的直線與另一個平面垂直
平行與垂直的關系 一條直線與兩平行平面中的一個平面垂直，則該直線與另一個平面也垂直
平行與垂直的關系 兩平行直線中有一條與平面垂直，則另一條直線與該平面也垂直
知識點3：性質定理（文字語言、圖形語言、符號語言）
文字語言 圖形語言 符號語言
性質定理 垂直于同一平面的兩條直線平行
文字語言 圖形語言 符號語言
垂直與平行的關系 垂直于同一直線的兩個平面平行
線垂直于面的性質 如果一條直線垂直于一個平面，則該直線與平面內所有直線都垂直
知識點4：平面與平面垂直的定義
如果兩個相交平面的交線與第三個平面垂直，又這兩個平面與第三個平面相交所得的兩條交線互相垂直．（如圖所示，若，且，則）
一般地，兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直．
知識點5：判定定理（文字語言、圖形語言、符號語言）
文字語言 圖形語言 符號語言
判定定理 一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直
知識點6：性質定理（文字語言、圖形語言、符號語言）
文字語言 圖形語言 符號語言
性質定理 兩個平面垂直，則一個平面內垂直于交線的直線與另一個平面垂直
【解題方法總結】
線線線面面面
（1）證明線線垂直的方法
①等腰三角形底邊上的中線是高；
②勾股定理逆定理；
③菱形對角線互相垂直；
④直徑所對的圓周角是直角；
⑤向量的數量積為零；
⑥線面垂直的性質；
⑦平行線垂直直線的傳遞性（）．
（2）證明線面垂直的方法
①線面垂直的定義；
②線面垂直的判定（）；
③面面垂直的性質（）；
平行線垂直平面的傳遞性（）；
⑤面面垂直的性質（）．
（3）證明面面垂直的方法
①面面垂直的定義；
②面面垂直的判定定理（）．
空間中的線面平行、垂直的位置關系結構圖如圖所示，由圖可知，線面垂直在所有關系中處于核心位置．
必考題型全歸納
題型一：垂直性質的簡單判定
例1．（2024·甘肅蘭州·校考模擬預測）設是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，則下列說法正確的是（）
A．若，則
B．若，則
C．若，則
D．若，則
例2．（2024·重慶·統考模擬預測）已知l，m，n表示不同的直線，，，表示不同的平面，則下列四個命題正確的是（）
A．若，且，則 B．若，，，則
C．若，且，則 D．若，，，則
例3．（2024·陜西咸陽·統考二模）已知，是兩條不同的直線，，是兩個不同的平面，有以下四個命題：
①若∥，，則∥， ②若，，則，
③若，，則∥， ④若，，，則
其中正確的命題是（）
A．②③ B．②④ C．①③ D．①②
變式1．（2024·河南·校聯考模擬預測）已知是兩個不同的平面，是兩條不同的直線，則下列命題中正確的是（）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
變式2．（2024·陜西咸陽·統考模擬預測）如圖所示的菱形中，對角線交于點，將沿折到位置，使平面平面.以下命題:
①；
②平面平面；
③平面平面；
④三棱錐體積為.
其中正確命題序號為（ ）
A．①②③ B．②③ C．③④ D．①②④
變式3．（2024·廣西南寧·武鳴縣武鳴中學校考三模）已知l，m，n是三條不同的直線，，是不同的平面，則下列條件中能推出的是（）
A．，，且
B．，，，且，
C．，，，且
D．，，且
【解題方法總結】
此類問題可以轉化為一個正方體的棱、面等，進而進行排除．
題型二：證明線線垂直
例4．（2024·貴州黔東南·凱里一中校考模擬預測）如圖，在三棱柱中，，．
證明：；
例5．（2024·廣東深圳·統考二模）如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面，點是的中點.
證明：；
例6．（2024·河南·校聯考模擬預測）已知三棱柱中，是的中點，是線段上一點.
求證：；
變式4．（2024·福建寧德·校考模擬預測）圖1是由直角梯形ABCD和以CD為直徑的半圓組成的平面圖形，，，．E是半圓上的一個動點，當△CDE周長最大時，將半圓沿著CD折起，使平面平面ABCD，此時的點E到達點P的位置，如圖2．
求證：；
變式5．（2024·河南·校聯考模擬預測）如圖，已知三棱柱中，，，，是的中點，是線段上一點.
(1)求證：；
(2)設是棱上的動點（不包括邊界），當的面積最小時，求棱錐的體積.
變式6．（2024·貴州畢節·校考模擬預測）在梯形中，，，，，如圖1.沿對角線將折起，使點到達點的位置，為的中點，如圖2.
證明：.
【解題方法總結】
題型三：證明線面垂直
(1)求證：平面；
(2)求四棱錐的體積.
例7．（2024·云南·校聯考模擬預測）如圖，在四棱錐中，已知，.
(1)證明：平面；
例8．（2024·云南昭通·校聯考模擬預測）如圖，在三棱錐中，平面ABD，E為AB的中點，，.
(1)證明：平面CED；
例9．（2024·內蒙古赤峰·赤峰二中校聯考模擬預測）如圖1，在五邊形中，四邊形為正方形，，，如圖2，將沿折起，使得A至處，且．
(1)證明：平面；
變式7．（2024·重慶巴南·統考一模）如圖所示，在三棱錐中，已知平面，平面平面．
(1)證明：平面；
變式8．（2024·廣東廣州·統考三模）如圖，在幾何體中，矩形所在平面與平面互相垂直，且，，．
(1)求證：平面；
變式9．（2024·天津津南·天津市咸水沽第一中學校考模擬預測）如圖，在三棱柱中，平面平面，是的中點，且.
(1)證明：平面；
【解題方法總結】
垂直關系中線面垂直是重點．
線垂面哪里找
線垂面有何用
證明線面垂直常用兩種方法．
方法一：線面垂直的判定．
線線垂直線面垂直，符號表示為：，那么．
方法二：面面垂直的性質．
面面垂直線面垂直，符號表示為：，那么．
題型四：證明面面垂直
例10．（2024·山西運城·山西省運城中學校校考二模）如圖，在三棱柱中，側面為菱形，，，.
(1)證明：平面平面；
例11．（2024·貴州貴陽·校聯考三模）如圖所示，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，，，，.
(1)求證：平面平面；
例12．（2024·西藏日喀則·統考一模）如圖，已知直角梯形與，，，，AD⊥AB，，G是線段上一點.
(1)平面⊥平面ABF
變式10．（2024·廣東梅州·統考三模）如圖所示，在幾何體中，平面，點在平面的投影在線段上，，，，平面.
(1)證明：平面平面.
變式11．（2024·河北張家口·統考三模）如圖，在三棱柱中，側面為菱形，.
(1)證明：平面平面；
變式12．（2024·陜西西安·西安市大明宮中學校考模擬預測）如圖，在長方體中，為棱的中點．
(1)證明：平面平面；
(2)畫出平面與平面的交線，并說明理由；
(3)求過三點的平面將四棱柱分成的上、下兩部分的體積之比．
變式13．（2024·云南·云南師大附中校考模擬預測）如圖，為圓錐的頂點，A，為底面圓上兩點，，為中點，點在線段上，且.
(1)證明：平面平面；
變式14．（2024·江蘇南京·南京市第一中學校考模擬預測）在如圖所示的空間幾何體中，與均是等邊三角形，直線平面，直線平面，.
(1)求證：平面平面；
【解題方法總結】
主要證明方法是利用面面垂直的判定定理（線面垂直面面垂直）．證明時，先從現有的直線中尋找平面的垂線，若圖中不存在這樣的直線，則可通過作輔助線來解決．
題型五：垂直關系的綜合應用
例13．（2024·貴州銅仁·統考二模）如圖，在直三棱柱中，，．
(1)試在平面內確定一點H，使得平面，并寫出證明過程；
例14．（2024·全國·校聯考模擬預測）如圖，在正三棱柱（側棱垂直于底面，且底面三角形是等邊三角形）中，，、、分別是，，的中點．
(1)求證：平面平面；
(2)在線段上是否存在一點使平面？若存在，確定點的位置；若不存在，也請說明理由．
例15．（2024·天津·耀華中學校考二模）如圖，在三棱錐A﹣BCD中，頂點A在底面BCD上的射影O在棱BD上，AB＝AD＝，BC＝BD＝2，∠CBD＝90°，E為CD的中點．
（1）求證：AD⊥平面ABC；
（2）求二面角B﹣AE﹣C的余弦值；
（3）已知P是平面ABD內一點，點Q為AE中點，且PQ⊥平面ABE，求線段PQ的長．
變式15．（2024·全國·校聯考模擬預測）如圖，在正方體中，，.
（1）求證：；
（2）在線段上，是否存在點，使得平面？并說明理由.
變式16．（2024·江西贛州·統考模擬預測）如圖，在三棱柱中，側面是矩形，側面是菱形，，、分別為棱、的中點，為線段的中點.
(1)證明：平面；
(2)在棱上是否存在一點，使平面平面？若存在，請指出點的位置，并證明你的結論；若不存在，請說明理由.
變式17．（2024·安徽淮北·統考一模）如圖，已知四棱錐的底面是平行四邊形，側面PAB是等邊三角形，，，．
(1)求證：面面ABCD；
(2)設Q為側棱PD上一點，四邊形BEQF是過B，Q兩點的截面，且平面BEQF，是否存在點Q，使得平面平面PAD？若存在，確定點Q的位置；若不存在，說明理由．
變式18．（2024·河北邯鄲·統考二模）如圖，直三棱柱ABC A1B1C1中，D，E分別是棱BC，AB的中點，點F在棱CC1上，已知AB＝AC，AA1＝3，BC＝CF＝2．
（1）求證：C1E平面ADF；
（2）設點M在棱BB1上，當BM為何值時，平面CAM⊥平面ADF．
【解題方法總結】
（1）三種垂直的綜合問題，一般通過作輔助線進行線線、線面、面面垂直間的轉化．
（2）對于線面關系中的存在性問題，首先假設存在，然后在該假設條件下，利用線面關系的相關定理、性質進行推理論證
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21世紀教育網(www.21cnjy.com)第49講 直線、平面垂直的判定與性質
知識梳理
知識點1：直線與平面垂直的定義
如果一條直線和這個平面內的任意一條直線都垂直，那稱這條直線和這個平面相互垂直．
知識點2：判定定理（文字語言、圖形語言、符號語言）
文字語言 圖形語言 符號語言
判斷定理 一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直
面⊥面 線⊥面 兩個平面垂直，則在一個平面內垂直于交線的直線與另一個平面垂直
平行與垂直的關系 一條直線與兩平行平面中的一個平面垂直，則該直線與另一個平面也垂直
平行與垂直的關系 兩平行直線中有一條與平面垂直，則另一條直線與該平面也垂直
知識點3：性質定理（文字語言、圖形語言、符號語言）
文字語言 圖形語言 符號語言
性質定理 垂直于同一平面的兩條直線平行
文字語言 圖形語言 符號語言
垂直與平行的關系 垂直于同一直線的兩個平面平行
線垂直于面的性質 如果一條直線垂直于一個平面，則該直線與平面內所有直線都垂直
知識點4：平面與平面垂直的定義
如果兩個相交平面的交線與第三個平面垂直，又這兩個平面與第三個平面相交所得的兩條交線互相垂直．（如圖所示，若，且，則）
一般地，兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直．
知識點5：判定定理（文字語言、圖形語言、符號語言）
文字語言 圖形語言 符號語言
判定定理 一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直
知識點6：性質定理（文字語言、圖形語言、符號語言）
文字語言 圖形語言 符號語言
性質定理 兩個平面垂直，則一個平面內垂直于交線的直線與另一個平面垂直
【解題方法總結】
線線線面面面
（1）證明線線垂直的方法
①等腰三角形底邊上的中線是高；
②勾股定理逆定理；
③菱形對角線互相垂直；
④直徑所對的圓周角是直角；
⑤向量的數量積為零；
⑥線面垂直的性質；
⑦平行線垂直直線的傳遞性（）．
（2）證明線面垂直的方法
①線面垂直的定義；
②線面垂直的判定（）；
③面面垂直的性質（）；
平行線垂直平面的傳遞性（）；
⑤面面垂直的性質（）．
（3）證明面面垂直的方法
①面面垂直的定義；
②面面垂直的判定定理（）．
空間中的線面平行、垂直的位置關系結構圖如圖所示，由圖可知，線面垂直在所有關系中處于核心位置．
必考題型全歸納
題型一：垂直性質的簡單判定
例1．（2024·甘肅蘭州·校考模擬預測）設是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，則下列說法正確的是（）
A．若，則
B．若，則
C．若，則
D．若，則
【答案】D
【解析】當，時，可能有，但也有可能或，故A選項錯誤；
當，時，可能有，但也有可能或，故選項B錯誤；
在如圖所示的正方體中，
取為，為，為平面，為平面，這時滿足，，，但不成立，故選項C錯誤；
當，，時，必有，從而，故選項D正確；
故選：D.
例2．（2024·重慶·統考模擬預測）已知l，m，n表示不同的直線，，，表示不同的平面，則下列四個命題正確的是（）
A．若，且，則 B．若，，，則
C．若，且，則 D．若，，，則
【答案】C
【解析】對于選項A：若，且，則l，m可能平行、相交或異面，并不一定垂直，故A錯誤；
對于選項B：若，，，則m，n可能平行、相交或異面，并不一定平行，故B錯誤；
對于選項C：若，且，根據線面垂直可得：，故C正確；
對于選項D：若，，但不能得到，
所以雖然，不能得到，故D錯誤；
故選：C.
例3．（2024·陜西咸陽·統考二模）已知，是兩條不同的直線，，是兩個不同的平面，有以下四個命題：
①若∥，，則∥， ②若，，則，
③若，，則∥， ④若，，，則
其中正確的命題是（）
A．②③ B．②④ C．①③ D．①②
【答案】A
【解析】對于①，當∥，時，∥或，所以①錯誤，
對于②，當，時，由面面垂直的判定定理可得，所以②正確，
對于③，當，時，有∥，所以③正確，
對于④，當，，時，如圖所示，∥，所以④錯誤，
故選：A
變式1．（2024·河南·校聯考模擬預測）已知是兩個不同的平面，是兩條不同的直線，則下列命題中正確的是（）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
【答案】D
【解析】對于A，可能會出現，或與相交但不垂直的情況，所以A不正確；
對于B，可能平行、可能異面，所以B不正確；
對于C，若，仍然滿足且，所以C不正確；
對于D，，則，再由，可得,可知D正確.
故選：D.
變式2．（2024·陜西咸陽·統考模擬預測）如圖所示的菱形中，對角線交于點，將沿折到位置，使平面平面.以下命題:
①；
②平面平面；
③平面平面；
④三棱錐體積為.
其中正確命題序號為（ ）
A．①②③ B．②③ C．③④ D．①②④
【答案】D
【解析】如圖：
因為四邊形是菱形，，
所以，為的中點，
所以，，，面，
所以面，又面，所以，即①正確；
由①知面，又面，所以平面平面，即②正確；
如圖：
取的中點為，連接，，依題意，，
所，，所以是二面角的平面角，
又因為平面平面，平面平面，
所以面，和是邊長為2的正三角形，
所以，且有，
所以在中，，
又和是兩全等的等腰三角形，，
的中點為，所以，
由已知可得是邊長為2的正三角形，得，
則在中，容易算得，，，
所以，所以二面角不是直二面角，故③錯誤；
由已知可得是邊長為2的正三角形，又由上得面，
所以三棱錐的高即為，，是邊長為2的正三角形，
所以三棱錐的體積為，故④正確.
故選：D.
變式3．（2024·廣西南寧·武鳴縣武鳴中學校考三模）已知l，m，n是三條不同的直線，，是不同的平面，則下列條件中能推出的是（）
A．，，且
B．，，，且，
C．，，，且
D．，，且
【答案】D
【解析】對于A，，，且，，可以平行、相交不垂直、垂直，A不正確；
對于B，，，，且，，當不相交時，l不一定與垂直，則不一定與垂直，B不正確；
對于C，，，，且，顯然直線與無關系，，可以平行、相交不垂直、垂直，C不正確；
對于D，由，，得，又，根據面面垂直的判定知，D正確．
故選：D
【解題方法總結】
此類問題可以轉化為一個正方體的棱、面等，進而進行排除．
題型二：證明線線垂直
例4．（2024·貴州黔東南·凱里一中校考模擬預測）如圖，在三棱柱中，，．
(1)證明：；
【解析】（1）取的中點，連接，，
，，，，
又，平面，平面，
而平面，
；
例5．（2024·廣東深圳·統考二模）如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面，點是的中點.
(1)證明：；
【解析】（1）證明：因為，點是的中點，所以.
因為平面平面，所以平面平面，
因為四邊形為矩形，所以，
因為平面平面，平面，
所以平面，所以，
因為，平面，
所以平面，
因為平面，所以.
例6．（2024·河南·校聯考模擬預測）已知三棱柱中，是的中點，是線段上一點.
(1)求證：；
【解析】（1）證明：連接
，，是的中點
，是的中點
，
，
平面
平面，平面，，
在三棱柱中，，
，，
，
平面，
平面，．
變式4．（2024·福建寧德·校考模擬預測）圖1是由直角梯形ABCD和以CD為直徑的半圓組成的平面圖形，，，．E是半圓上的一個動點，當△CDE周長最大時，將半圓沿著CD折起，使平面平面ABCD，此時的點E到達點P的位置，如圖2．
(1)求證：；
【解析】（1）如下圖，過點D作交于點，連結，
因為，，．
所以，，，由,
所以，
因為平面平面ABCD，平面平面，平面,
所以平面，又平面，
所以.
變式5．（2024·河南·校聯考模擬預測）如圖，已知三棱柱中，，，，是的中點，是線段上一點.
(1)求證：；
(2)設是棱上的動點（不包括邊界），當的面積最小時，求棱錐的體積.
【解析】（1）連接，
，為中點，.
又，，，且.
，
，，
又，，平面，
平面，又平面，.
由已知，，，
又，平面，平面.
而，平面，.
（2）由（1）可知，.
又，平面，平面，
又，平面，.
所以，又在棱上移動，
當時，最小，此時面積最小.
在中，，，則，，.
在中，過做于，則，
，平面，于是可得.
.
變式6．（2024·貴州畢節·校考模擬預測）在梯形中，，，，，如圖1.沿對角線將折起，使點到達點的位置，為的中點，如圖2.
(1)證明：.
【解析】（1）因為，，所以，
所以，所以，則，
又，所以為等邊三角形，所以，又為的中點，
連接交于點，則，，
所以，所以，即，
則折起后，，，平面，
所以平面，平面，所以.
【解題方法總結】
題型三：證明線面垂直
13．（2024·陜西榆林·陜西省神木中學校考三模）如圖，在四棱柱中，底面，底面滿足，且，.
(1)求證：平面；
(2)求四棱錐的體積.
【解析】（1）由底面，平面，
所以，
又因為，.
滿足，可得，
又，平面，
所以平面.
（2）由（1）中，且，，可得，
因此，即，
又平面，，
可得平面，平面，
即，
又，平面，
所以平面，即為四棱錐的高，
即四棱錐的體積..
例7．（2024·云南·校聯考模擬預測）如圖，在四棱錐中，已知，.
(1)證明：平面；
【解析】（1）在中，，
所以.
所以，故，則.
又，即.
平面，
所以平面.
例8．（2024·云南昭通·校聯考模擬預測）如圖，在三棱錐中，平面ABD，E為AB的中點，，.
(1)證明：平面CED；
【解析】（1）因為平面，平面，所以，
又因為為的中點，所以是的中線，
所以，且，平面，
所以平面.
例9．（2024·內蒙古赤峰·赤峰二中校聯考模擬預測）如圖1，在五邊形中，四邊形為正方形，，，如圖2，將沿折起，使得A至處，且．
(1)證明：平面；
【解析】（1）由題意得，，，
因為，則，
又，面，所以面，
又面，則，
又，，平面，平面，
所以平面．
變式7．（2024·重慶巴南·統考一模）如圖所示，在三棱錐中，已知平面，平面平面．
(1)證明：平面；
【解析】（1）過點作于點，
因為平面平面，且平面平面，平面，
所以平面，
又平面，所以，
又平面，平面，
所以，
又因為，，平面，
所以平面．
變式8．（2024·廣東廣州·統考三模）如圖，在幾何體中，矩形所在平面與平面互相垂直，且，，．
(1)求證：平面；
【解析】（1）在矩形中，，
又平面平面，平面平面=，平面，
所以平面，
又平面，
所以，
在矩形中，,
又，所以,
所以.
又，平面，
所以平面；
變式9．（2024·天津津南·天津市咸水沽第一中學校考模擬預測）如圖，在三棱柱中，平面平面，是的中點，且.
(1)證明：平面；
【解析】（1）連接，
由題意可知：為等邊三角形，且是的中點，
所以，
因為平面平面，平面平面，，
所以平面，
且平面，可得，
，平面，
所以平面.
【解題方法總結】
垂直關系中線面垂直是重點．
線垂面哪里找
線垂面有何用
證明線面垂直常用兩種方法．
方法一：線面垂直的判定．
線線垂直線面垂直，符號表示為：，那么．
方法二：面面垂直的性質．
面面垂直線面垂直，符號表示為：，那么．
題型四：證明面面垂直
例10．（2024·山西運城·山西省運城中學校校考二模）如圖，在三棱柱中，側面為菱形，，，.
(1)證明：平面平面；
【解析】（1）如圖，連接，交于，連接.
因為側面為菱形，所以，且為的中點.又，故.
又，且，所以，所以.又，所以，所以.
因為平面，，所以平面.
又平面，所以平面平面.
例11．（2024·貴州貴陽·校聯考三模）如圖所示，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，，，，.
(1)求證：平面平面；
【解析】（1）四邊形為直角梯形，，，
又，，平面，平面，
又平面，；
作，
，，，，
又，，
，，，
，平面，平面，
平面，平面平面.
例12．（2024·西藏日喀則·統考一模）如圖，已知直角梯形與，，，，AD⊥AB，，G是線段上一點.
(1)平面⊥平面ABF
【解析】（1）因為，，，AF、AB平面ABF，
所以AD⊥平面ABF，又AD平面ABCD，
所以平面⊥平面ABF.
變式10．（2024·廣東梅州·統考三模）如圖所示，在幾何體中，平面，點在平面的投影在線段上，，，，平面.
(1)證明：平面平面.
【解析】（1）由題知，平面平面，過點作的垂線，垂足為，連接，
又因為平面平面，所以平面.
因為平面，所以，則共面.
因為平面，平面，平面平面，
所以，則四邊形為平行四邊形，所以.
因為，，所以，
因為，所以，
由正弦定理得，即，
所以，因為，所以，
所以，即.
因為平面，平面，所以，
又因為,平面，所以平面.
因為，所以平面.
因為平面，所以平面平面.
變式11．（2024·河北張家口·統考三模）如圖，在三棱柱中，側面為菱形，.
(1)證明：平面平面；
【解析】（1）連、交于，則為、的中點，連，
因為，所以，
因為側面為菱形，，，
所以，，所以，即，
因為，平面，
所以平面，因為平面，
所以平面平面.
變式12．（2024·陜西西安·西安市大明宮中學校考模擬預測）如圖，在長方體中，為棱的中點．
(1)證明：平面平面；
(2)畫出平面與平面的交線，并說明理由；
(3)求過三點的平面將四棱柱分成的上、下兩部分的體積之比．
【解析】（1）在長方體中， ，
與都是等腰直角三角形，
，，
平面平面，，
又面，面，
又平面平面平面；
（2）延長與的延長線相交于，連接，
則即為平面與平面的交線，理由如下：
平面，平面，
平面與平面的交線為；
（3）令與的交點為，
則三棱臺的體積為，
為棱的中點，為的中點，
是的中點，是的中點，
，
，，
三棱臺的體積為，
過 三點的平面將四棱柱分成的上部分的體積為.
過三點的平面將四棱柱分成的上、下兩部分的體積之比為.
變式13．（2024·云南·云南師大附中校考模擬預測）如圖，為圓錐的頂點，A，為底面圓上兩點，，為中點，點在線段上，且.
(1)證明：平面平面；
【解析】（1）設圓O的半徑為r，
在中，，，，
故，又，故，
在中，由余弦定理得，
所以，即；
圓錐中，底面，底面，故，
又，所以平面，
又平面，所以平面平面.
變式14．（2024·江蘇南京·南京市第一中學校考模擬預測）在如圖所示的空間幾何體中，與均是等邊三角形，直線平面，直線平面，.
(1)求證：平面平面；
【解析】（1）
如圖1，設平面與直線的交點為，連接，.
因為直線平面，直線平面，平面，平面，
所以，.
因為，平面，平面，
所以平面.
因為平面，平面，
所以，.
又因為與均是等邊三角形，
所以為中點，且二面角的平面角為.
在平面四邊形中，
因為，
所以，
所以平面平面.
【解題方法總結】
主要證明方法是利用面面垂直的判定定理（線面垂直面面垂直）．證明時，先從現有的直線中尋找平面的垂線，若圖中不存在這樣的直線，則可通過作輔助線來解決．
題型五：垂直關系的綜合應用
例13．（2024·貴州銅仁·統考二模）如圖，在直三棱柱中，，．
(1)試在平面內確定一點H，使得平面，并寫出證明過程；
【解析】（1）取棱BC的中點D，連接，AD．在等腰直角△ABC中，，
又，平面，故平面．
又平面，故平面平面，這兩個平面的交線為．
在中，作，則有平面；
例14．（2024·全國·校聯考模擬預測）如圖，在正三棱柱（側棱垂直于底面，且底面三角形是等邊三角形）中，，、、分別是，，的中點．
(1)求證：平面平面；
(2)在線段上是否存在一點使平面？若存在，確定點的位置；若不存在，也請說明理由．
【解析】（1）（1）證明：、、分別是，，的中點．
，四邊形為平行四邊形，可得，
因為平面；平面；
平面；
同理可得平面；
又，平面，
平面平面．
（2）假設在線段上存在一點使平面．
四邊形是正方形，因此點為點．
不妨取，如圖建立空間直角坐標系，則，，，，
，，
，．
所以，，又，平面，所以平面，
在線段上存在一點，使平面，其中點為點．
例15．（2024·天津·耀華中學校考二模）如圖，在三棱錐A﹣BCD中，頂點A在底面BCD上的射影O在棱BD上，AB＝AD＝，BC＝BD＝2，∠CBD＝90°，E為CD的中點．
（1）求證：AD⊥平面ABC；
（2）求二面角B﹣AE﹣C的余弦值；
（3）已知P是平面ABD內一點，點Q為AE中點，且PQ⊥平面ABE，求線段PQ的長．
【解析】（1）因為頂點A在底面BCD上的投影O在棱BD上，
所以AO⊥平面BCD，
因為AO 平面ABD，
所以平面ABD⊥平面BCD，
因為∠CBD＝90°，
所以BC⊥BD，
因為平面ABD∩平面BCD＝BD，BC 平面BCD，
所以BC⊥平面ABD，
又AD 平面ABD，
所以BC⊥AD，
由AB＝AD＝，BD＝2，得，
所以AD⊥AB，
因為AB∩BC＝B，AB 平面ABC，BC 平面ABC，
所以AD⊥平面ABC．
（2）連接OE，因為O為BD的中點，E為CD的中點，OE∥BC，所以OE⊥BD，
如圖，以O為坐標原點，分別以OE，OD，OA為x軸，y軸，z軸為正方向，建立空間直角坐標系，
則O（0，0，0），A（0，0，1），B（0，﹣1，0），C（2，﹣1，0），D（0，1，0），E
（1，0，0），
，，，
設平面ABE的一個法向量＝（x，y，z），
取x＝1，得＝（1，﹣1，1），
設平面ACE的一個法向量＝（a，b，c），
取c＝1，則，
設二面角B﹣AE﹣C的平面角為θ，由圖知二面角為銳角，
則cosθ＝＝．
所以二面角B﹣AE﹣C的余弦值為．
（3）設P（0，y，z），Q（，0，），
因為PQ⊥平面ABE，∴．
∴，＝λ（1，﹣1，1）．
∴ y＝，z＝0，∴ P（0，，0）
∴ PQ＝
變式15．（2024·全國·校聯考模擬預測）如圖，在正方體中，，.
（1）求證：；
（2）在線段上，是否存在點，使得平面？并說明理由.
【解析】（1）如圖，連接，因為，，所以，分別為，的中點，所以，
又，所以.
（2）如圖，取的中點，連接，，
因為平面，所以，又，所以.
因為，，所以.
因為，所以平面，
所以在線段上，存在點，使得平面.
變式16．（2024·江西贛州·統考模擬預測）如圖，在三棱柱中，側面是矩形，側面是菱形，，、分別為棱、的中點，為線段的中點.
(1)證明：平面；
(2)在棱上是否存在一點，使平面平面？若存在，請指出點的位置，并證明你的結論；若不存在，請說明理由.
【解析】（1）證明：取的中點，連接、、，
因為且，故四邊形為平行四邊形，所以，且，
因為為的中點，則且，
因為、分別為、的中點，所以，且，
所以，且，故四邊形為平行四邊形，所以，，
因為平面，平面，所以，平面，
因為、分別為、的中點，所以，，
因為平面，平面，所以，平面，
因為，、平面，所以，平面平面，
因為平面，故平面.
（2）當點為的中點時，平面平面，
因為四邊形為矩形，則，因為，則，
因為四邊形為菱形，則，
因為，則為等邊三角形，
因為為的中點，所以，，
因為，、平面，所以，平面，
因為平面，所以，平面平面，
因此，當點為的中點時，平面平面.
變式17．（2024·安徽淮北·統考一模）如圖，已知四棱錐的底面是平行四邊形，側面PAB是等邊三角形，，，．
(1)求證：面面ABCD；
(2)設Q為側棱PD上一點，四邊形BEQF是過B，Q兩點的截面，且平面BEQF，是否存在點Q，使得平面平面PAD？若存在，確定點Q的位置；若不存在，說明理由．
【解析】（1）在中，因為，，
所以，，
所以，則，即，
又，，面PAB，
所以面PAB，又面ABCD，
所以面面ABCD；
（2）假設存在點Q，使得平面平面PAD；
如圖，以A為原點，分別以，為x，y軸的正方向建立空間直角坐標系，
設，則，，，，
，，，，
設是平面PAD的法向量，則，取，
設，其中．
則
連接EF，因平面BEQF，平面PAC，平面平面，故，
取與同向的單位向量，
設是平面BEQF的法向量，
則，取．
由平面平面PAD，知，有，解得．
故在側棱PD上存在點Q且當時，使得平面平面PAD．
變式18．（2024·河北邯鄲·統考二模）如圖，直三棱柱ABC A1B1C1中，D，E分別是棱BC，AB的中點，點F在棱CC1上，已知AB＝AC，AA1＝3，BC＝CF＝2．
（1）求證：C1E平面ADF；
（2）設點M在棱BB1上，當BM為何值時，平面CAM⊥平面ADF．
【解析】（1）證明：連接CE交AD于O，連接OF．
因為CE，AD為ABC的中線，
則O為ABC的重心，
故，
故OFC1E，
因為OF 平面ADF，C1E 平面ADF，
所以C1E平面ADF；
（2）當BM＝1時，平面CAM⊥平面ADF．
證明如下：因為AB＝AC，D為BC的中點，
故AD⊥BC．在直三棱柱ABC A1B1C1中，
BB1⊥平面ABC，BB1 平面B1BCC1，
故平面B1BCC1⊥平面ABC．
又平面B1BCC1∩平面ABC＝BC，AD 平面ABC，
所以AD⊥平面B1BCC1，
又CM 平面B1BCC1，
故AD⊥CM．
又BM＝1，BC＝2，CD＝1，FC＝2，
故RtCBM≌RtFCD．
易證CM⊥DF，又DF∩AD＝D，DF，AD 平面ADF，
故CM⊥平面ADF．
又CM 平面CAM，
故平面CAM⊥平面ADF．
【解題方法總結】
（1）三種垂直的綜合問題，一般通過作輔助線進行線線、線面、面面垂直間的轉化．
（2）對于線面關系中的存在性問題，首先假設存在，然后在該假設條件下，利用線面關系的相關定理、性質進行推理論證
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