資源簡(jiǎn)介

第54講 空間向量及其應(yīng)用
知識(shí)梳理
知識(shí)點(diǎn)一：空間向量及其加減運(yùn)算
（1）空間向量
在空間，我們把具有大小和方向的量叫做空間向量，向量的大小叫做向量的長(zhǎng)度或模．空間向量也可用有向線(xiàn)段表示，有向線(xiàn)段的長(zhǎng)度表示向量的模，若向量的起點(diǎn)是，終點(diǎn)是，則向量也可以記作，其模記為或．
（2）零向量與單位向量
規(guī)定長(zhǎng)度為0的向量叫做零向量，記作．當(dāng)有向線(xiàn)段的起點(diǎn)與終點(diǎn)重合時(shí)，．
模為1的向量稱(chēng)為單位向量．
（3）相等向量與相反向量
方向相同且模相等的向量稱(chēng)為相等向量．在空間，同向且等長(zhǎng)的有向線(xiàn)段表示同一向量或相等向量．空間任意兩個(gè)向量都可以平移到同一個(gè)平面，成為同一平面內(nèi)的兩個(gè)向量．
與向量長(zhǎng)度相等而方向相反的向量，稱(chēng)為的相反向量，記為．
（4）空間向量的加法和減法運(yùn)算
①，．如圖所示．
②空間向量的加法運(yùn)算滿(mǎn)足交換律及結(jié)合律
，
知識(shí)點(diǎn)二：空間向量的數(shù)乘運(yùn)算
（1）數(shù)乘運(yùn)算
實(shí)數(shù)與空間向量的乘積稱(chēng)為向量的數(shù)乘運(yùn)算．當(dāng)時(shí)，與向量方向相同；當(dāng)時(shí)，向量與向量方向相反．的長(zhǎng)度是的長(zhǎng)度的倍．
（2）空間向量的數(shù)乘運(yùn)算滿(mǎn)足分配律及結(jié)合律
，．
（3）共線(xiàn)向量與平行向量
如果表示空間向量的有向線(xiàn)段所在的直線(xiàn)互相平行或重合，則這些向量叫做共線(xiàn)向量或平行向量，平行于，記作．
（4）共線(xiàn)向量定理
對(duì)空間中任意兩個(gè)向量，，的充要條件是存在實(shí)數(shù)，使．
（5）直線(xiàn)的方向向量
如圖8-153所示，為經(jīng)過(guò)已知點(diǎn)且平行于已知非零向量的直線(xiàn)．對(duì)空間任意一點(diǎn)，點(diǎn)在直線(xiàn)上的充要條件是存在實(shí)數(shù)，使①，其中向量叫做直線(xiàn)的方向向量，在上取，則式①可化為②
①和②都稱(chēng)為空間直線(xiàn)的向量表達(dá)式，當(dāng)，即點(diǎn)是線(xiàn)段的中點(diǎn)時(shí)，，此式叫做線(xiàn)段的中點(diǎn)公式．
（6）共面向量
如圖8-154所示，已知平面與向量，作，如果直線(xiàn)平行于平面或在平面內(nèi)，則說(shuō)明向量平行于平面．平行于同一平面的向量，叫做共面向量．
（7）共面向量定理
如果兩個(gè)向量，不共線(xiàn)，那么向量與向量，共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)，使．
推論：①空間一點(diǎn)位于平面內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(duì)，使；或?qū)臻g任意一點(diǎn)，有，該式稱(chēng)為空間平面的向量表達(dá)式．
②已知空間任意一點(diǎn)和不共線(xiàn)的三點(diǎn)，，，滿(mǎn)足向量關(guān)系式（其中）的點(diǎn)與點(diǎn)，，共面；反之也成立．
知識(shí)點(diǎn)三：空間向量的數(shù)量積運(yùn)算
（1）兩向量夾角
已知兩個(gè)非零向量，，在空間任取一點(diǎn)，作，，則叫做向量，的夾角，記作，通常規(guī)定，如果，那么向量，互相垂直，記作．
（2）數(shù)量積定義
已知兩個(gè)非零向量，，則叫做，的數(shù)量積，記作，即．零向量與任何向量的數(shù)量積為0，特別地，．
（3）空間向量的數(shù)量積滿(mǎn)足的運(yùn)算律：
，（交換律）；
（分配律）．
知識(shí)點(diǎn)四：空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算及應(yīng)用
（1）設(shè)，，則；
；
；
；
；
．
（2）設(shè)，，則．
這就是說(shuō)，一個(gè)向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示該向量的有向線(xiàn)段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減起點(diǎn)的坐標(biāo)．
（3）兩個(gè)向量的夾角及兩點(diǎn)間的距離公式．
①已知，，則；
；
；
；
②已知，，則，
或者．其中表示與兩點(diǎn)間的距離，這就是空間兩點(diǎn)的距離公式．
（4）向量在向量上的投影為．
知識(shí)點(diǎn)五：法向量的求解與簡(jiǎn)單應(yīng)用
（1）平面的法向量：
如果表示向量的有向線(xiàn)段所在直線(xiàn)垂直于平面，則稱(chēng)這個(gè)向量垂直于平面，記作，如果，那么向量叫做平面的法向量．
幾點(diǎn)注意：
①法向量一定是非零向量；②一個(gè)平面的所有法向量都互相平行；③向量是平面的法向量，向量是與平面平行或在平面內(nèi)，則有．
第一步：寫(xiě)出平面內(nèi)兩個(gè)不平行的向；
第二步：那么平面法向量，滿(mǎn)足．
（2）判定直線(xiàn)、平面間的位置關(guān)系
①直線(xiàn)與直線(xiàn)的位置關(guān)系：不重合的兩條直線(xiàn)，的方向向量分別為，．
若∥，即，則；
若，即，則．
②直線(xiàn)與平面的位置關(guān)系：直線(xiàn)的方向向量為，平面的法向量為，且．
若∥，即，則；
若，即，則．
（3）平面與平面的位置關(guān)系
平面的法向量為，平面的法向量為．
若∥，即，則；若⊥，即，則⊥．
知識(shí)點(diǎn)六：空間角公式．
（1）異面直線(xiàn)所成角公式：設(shè)，分別為異面直線(xiàn)，上的方向向量，為異面直線(xiàn)所成角的大小，則．
（2）線(xiàn)面角公式：設(shè)為平面的斜線(xiàn)，為的方向向量，為平面的法向量，為
與所成角的大小，則．
（3）二面角公式：
設(shè)，分別為平面，的法向量，二面角的大小為，則或（需要根據(jù)具體情況判斷相等或互補(bǔ)），其中．
知識(shí)點(diǎn)七：空間中的距離
求解空間中的距離
（1）異面直線(xiàn)間的距離：兩條異面直線(xiàn)間的距離也不必尋找公垂線(xiàn)段，只需利用向量的正射影性質(zhì)直接計(jì)算．
如圖，設(shè)兩條異面直線(xiàn)的公垂線(xiàn)的方向向量為，這時(shí)分別在上任取兩點(diǎn)，則向量在上的正射影長(zhǎng)就是兩條異面直線(xiàn)的距離．則即兩異面直線(xiàn)間的距離，等于兩異面直線(xiàn)上分別任取兩點(diǎn)的向量和公垂線(xiàn)方向向量的數(shù)量積的絕對(duì)值與公垂線(xiàn)的方向向量模的比值．
（2）點(diǎn)到平面的距離
為平面外一點(diǎn)（如圖），為平面的法向量，過(guò)作平面的斜線(xiàn)及垂線(xiàn)．
【解題方法總結(jié)】
用向量法可以證點(diǎn)共線(xiàn)、線(xiàn)共點(diǎn)、線(xiàn)（或點(diǎn)）共面、兩直線(xiàn)（或線(xiàn)與面、面與面）垂直的問(wèn)題，也可以求空間角和距離．因此，凡涉及上述類(lèi)型的問(wèn)題，都可以考慮利用向量法求解，且其解法一般都比較簡(jiǎn)單．
用向量法解題的途徑有兩種：一種是坐標(biāo)法，即通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系，確定出一些點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求出向量的坐標(biāo)，再進(jìn)行坐標(biāo)運(yùn)算；另一種是基底法，即先選擇基向量（除要求不共面外，還要能夠便于表示所求的目標(biāo)向量，并優(yōu)先選擇相互夾角已知的向量作為基底，如常選擇幾何體上共點(diǎn)而不共面的三條棱所在的向量為基底），然后將有關(guān)向量用基底向量表示，并進(jìn)行向量運(yùn)算．
必考題型全歸納
題型一：空間向量的加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算
例1．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）下列命題中是假命題的是（ ）
A．任意向量與它的相反向量不相等
B．和平面向量類(lèi)似，任意兩個(gè)空間向量都不能比較大小
C．如果，則
D．兩個(gè)相等的向量，若起點(diǎn)相同，則終點(diǎn)也相同
例2．（2024·全國(guó)·高三對(duì)口高考）如圖所示，在平行六面體中，為與的交點(diǎn)，若，，，則（ ）

A． B．
C． D．
例3．（2024·福建福州·福建省福州第一中學(xué)?？既＃┰谌忮FP-ABC中，點(diǎn)O為△ABC的重心，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別為側(cè)棱PA，PB，PC的中點(diǎn)，若，，，則=（ ）
A． B． C． D．
變式1．（2024·高三課時(shí)練習(xí)）如圖.空間四邊形OABC中，，點(diǎn)M在OA上，且滿(mǎn)足，點(diǎn)N為BC的中點(diǎn)，則（ ）
A． B．
C． D．
變式2．（2024·湖南長(zhǎng)沙·高三校聯(lián)考期中）如圖，M在四面體OABC的棱BC的中點(diǎn)，點(diǎn)N在線(xiàn)段OM上，且，設(shè)，，，則下列向量與相等的向量是（ ）
A． B．
C． D．
變式3．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在四面體中，是的重心，是上的一點(diǎn)，且，若，則為（ ）
A． B．
C． D．
變式4．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知在空間單位正交基底下，是空間的一組單位正交基底，是空間的另一組基底.若向量在基底下的坐標(biāo)為，則向量在基底下的坐標(biāo)為（ ）
A． B． C． D．
【解題方法總結(jié)】
空間向量的運(yùn)算包括空間向量的加法、減法、數(shù)乘、數(shù)量積的幾何意義及坐標(biāo)運(yùn)算，可以類(lèi)比平面向量的運(yùn)算法則．
題型二：空間共線(xiàn)向量定理的應(yīng)用
例4．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）若空間中任意四點(diǎn)O，A，B，P滿(mǎn)足，其中m＋n＝1，則（ ）
A．P∈AB B．P AB
C．點(diǎn)P可能在直線(xiàn)AB上 D．以上都不對(duì)
例5．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知，則下列向量中與平行的是（ ）
A． B． C． D．
例6．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）向量，分別是直線(xiàn)，的方向向量，且，，若，則（ ）
A．， B．，
C．， D．，
變式5．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）若點(diǎn)，，在同一條直線(xiàn)上，則（ ）
A．21 B．4 C．4 D．10
變式6．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知，，如果與為共線(xiàn)向量，則（ ）
A． B． C． D．
變式7．（2024·浙江·高三專(zhuān)題練習(xí)）若、、三點(diǎn)共線(xiàn)，則（ ）．
A．
B．
C．
D．
【解題方法總結(jié)】
空間共線(xiàn)向量定理：．
利用此定理可解決立體幾何中的平行問(wèn)題．
題型三：空間向量的數(shù)量積運(yùn)算
例7．（多選題）（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知向量，，則下列正確的是（ ）
A． B． C． D．
例8．（多選題）（2024·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱七十三中?？计谥校┤鐖D，在平行六面體中，其中以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)均為6，且彼此夾角都是，下列說(shuō)法中不正確的是（ ）

A．
B．
C．向量與夾角是
D．向量與所成角的余弦值為
例9．（多選題）（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）四面體中，，，，，，平面與平面的夾角為，則的值可能為（ ）
A． B． C． D．
變式8．（多選題）（2024·?？寄M預(yù)測(cè)）在平行六面體中，已知，，則（ ）
A．直線(xiàn)與所成的角為
B．線(xiàn)段的長(zhǎng)度為
C．直線(xiàn)與所成的角為
D．直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為
變式9．（多選題）（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）空間直角坐標(biāo)系中，已知，，，，則（ ）
A．
B．是等腰直角三角形
C．與平行的單位向量的坐標(biāo)為或
D．在方向上的投影向量的坐標(biāo)為
變式10．（多選題）（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知空間向量，，下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．若，則
B．若，則
C．若在上的投影向量為，則
D．若與夾角為銳角，則
變式11．（2024·黑龍江哈爾濱·哈爾濱三中?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，平行六面體中，，，，，則線(xiàn)段的長(zhǎng)為 .

變式12．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知空間向量，，則在方向上的投影向量為 .
變式13．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知是棱長(zhǎng)為2的正方體內(nèi)切球的一條直徑，則 ．
變式14．（2024·全國(guó)·高三對(duì)口高考）已知向量，若，則 ．
變式15．（2024·上?！じ呷龑?zhuān)題練習(xí)）已知空間向量，，，若，則 ．
變式16．（2024·上海·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知向量，向量，則與的夾角的大小為 .
【解題方法總結(jié)】
；
求模長(zhǎng)時(shí)，可根據(jù)；
求空間向量夾角時(shí)，可先求其余弦值．要判斷空間兩向量垂直時(shí)，可以求兩向量的數(shù)量積是否為0，即．
為銳角；為鈍角．由此，通常通過(guò)計(jì)算的值來(lái)判斷兩向量夾角是銳角還是鈍角．
題型四：證明三點(diǎn)共線(xiàn)
例10．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在四面體OABC中，點(diǎn)M，N分別為OA、BC的中點(diǎn)，若，且G、M、N三點(diǎn)共線(xiàn)，則 ．
例11．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知點(diǎn)A（1，2，3），B（0，1，2），C（﹣1，0，λ），若A，B，C三點(diǎn)共線(xiàn)，則 ．
例12．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在平行六面體中，，．
(1)求證：、、三點(diǎn)共線(xiàn)；
(2)若點(diǎn)是平行四邊形的中心，求證：、、三點(diǎn)共線(xiàn)．
變式17．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在長(zhǎng)方體中，M為的中點(diǎn)，N在AC上，且，E為BM的中點(diǎn).求證：，E，N三點(diǎn)共線(xiàn).
【解題方法總結(jié)】
先構(gòu)造共起點(diǎn)的向量，，然后證明存在非零實(shí)數(shù)，使得．
題型五：證明多點(diǎn)共面的方法
例13．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）下面關(guān)于空間向量的說(shuō)法正確的是（ ）
A．若向量平行，則所在直線(xiàn)平行
B．若向量所在直線(xiàn)是異面直線(xiàn)，則不共面
C．若A，B，C，D四點(diǎn)不共面，則向量，不共面
D．若A，B，C，D四點(diǎn)不共面，則向量，，不共面
例14．（2024·江蘇常州·高三?？茧A段練習(xí)）以下四組向量在同一平面的是（ ）
A．、、 B．、、
C．、、 D．、、
例15．（2024·全國(guó)·高三對(duì)口高考）已知，若三向量共面，則等于（ ）
A． B．9 C． D．
變式18．（2024·江西·校聯(lián)考二模）在四棱錐中，棱長(zhǎng)為2的側(cè)棱垂直底面邊長(zhǎng)為2的正方形，為棱的中點(diǎn)，過(guò)直線(xiàn)的平面分別與側(cè)棱、相交于點(diǎn)、，當(dāng)時(shí)，截面的面積為（ ）
A． B．2 C． D．3
變式19．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）為空間任意一點(diǎn)，若，若四點(diǎn)共面，則（ ）
A． B． C． D．
變式20．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知空間、、、四點(diǎn)共面，且其中任意三點(diǎn)均不共線(xiàn)，設(shè)為空間中任意一點(diǎn)，若，則（ ）
A． B． C． D．
變式21．（2024·廣東廣州·高三執(zhí)信中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖所示的木質(zhì)正四棱錐模型，過(guò)點(diǎn)A作一個(gè)平面分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，G，若，則的值為（ ）
A． B． C． D．
變式22．（2024·甘肅平?jīng)觥じ呷y(tǒng)考期中）對(duì)于空間任意一點(diǎn)和不共線(xiàn)的三點(diǎn)，有如下關(guān)系：，則（ ）
A．四點(diǎn)必共面 B．四點(diǎn)必共面
C．四點(diǎn)必共面 D．五點(diǎn)必共面
變式23．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知A、B、C三點(diǎn)不共線(xiàn)，對(duì)平面外的任一點(diǎn)O，下列條件中能確定點(diǎn)M與點(diǎn)A、B、C一定共面的是（ ）
A． B．
C． D．
變式24．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，正四棱錐的底面邊長(zhǎng)和高均為2，，分別為，的中點(diǎn)．
(1)若點(diǎn)是線(xiàn)段上的點(diǎn)，且，判斷點(diǎn)是否在平面內(nèi)，并證明你的結(jié)論；
(2)求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值．
變式25．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在幾何體ABCDE中，ABC，BCD，CDE均為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，平面ABC⊥平面BCD，平面DCE⊥平面BCD．求證：A，B，D，E四點(diǎn)共面；
變式26．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，四邊形為正方形，若平面平面，，，.
(1)求二面角A－CF－D的余弦值；
(2)判斷點(diǎn)D與平面CEF的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.
變式27．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在邊長(zhǎng)為3的正方體中，點(diǎn)P，Q，R分別在棱，，上，且.
（1）求點(diǎn)D到平面的距離；
（2）若平面與線(xiàn)段的交點(diǎn)為N，求的值.
變式28．（2024·四川成都·石室中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖四棱錐，且，平面平面，且是以為直角的等腰直角三角形，其中為棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上，且.

(1)求證：四點(diǎn)共面；
【解題方法總結(jié)】
要證明多點(diǎn)（如，，，）共面，可使用以下方法解題．
先作出從同一點(diǎn)出發(fā)的三個(gè)向量（如，，），然后證明存在兩個(gè)實(shí)數(shù)，使得．
題型六：證明直線(xiàn)和直線(xiàn)平行
例16．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）如圖所示，在四棱錐中，底面為矩形，平面，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，，求證：．

例17．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）已知棱長(zhǎng)為1的正方體在空間直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，分別為棱的中點(diǎn)，求證：.
例18．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，四邊形ABCD和ABEF都是平行四邊形，且不共面，M，N分別是AC，BF的中點(diǎn)，求證：.
變式29．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在四棱錐中，平面ABCD⊥平面PCD，底面ABCD為梯形．，，且，，．若M是棱PA的中點(diǎn)，則對(duì)于棱BC上是否存在一點(diǎn)F，使得MF與PC平行．
【解題方法總結(jié)】
將證線(xiàn)線(xiàn)平行轉(zhuǎn)化為證兩向量共線(xiàn)．設(shè)是兩條不重合的直線(xiàn)，它們的方向向量分別為，則．
題型七：證明直線(xiàn)和平面平行
例19．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在蘇州博物館有一類(lèi)典型建筑八角亭，既美觀又利于采光，其中一角如圖所示，為多面體，，，，底面，四邊形是邊長(zhǎng)為2的正方形且平行于底面，，，的中點(diǎn)分別為，，，．
(1)證明：平面；
例20．（2024·廣東潮州·高三校考階段練習(xí)）如圖，四棱錐中，底面ABCD為矩形，平面ABCD，E為PD的中點(diǎn)．
(1)證明：//平面AEC
例21．（2024·天津?yàn)I海新·高三校考期中）如圖，且，，且，且，平面，.

(1)若為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，求證：平面；
變式30．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面平面，，，，，分別是，的中點(diǎn)．

(1)求證：平面；
變式31．（2024·陜西漢中·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四棱錐中，底面ABCD為正方形，平面ABCD，E為PD的中點(diǎn)，.

(1)求證：PB平面AEC；
變式32．（2024·全國(guó)·高三對(duì)口高考）如圖所示的幾何體中，四邊形是等腰梯形，，，平面，，.

(1)求二面角的余弦值；
(2)在線(xiàn)段AB（含端點(diǎn)）上，是否存在一點(diǎn)P，使得平面.若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
【解題方法總結(jié)】
（1）利用共面向量定理．設(shè)為平面內(nèi)不共線(xiàn)的兩個(gè)向量，證明存在兩個(gè)實(shí)數(shù)，使得，則．
（2）轉(zhuǎn)化為證明直線(xiàn)和平面內(nèi)的某一直線(xiàn)平行．
（3）轉(zhuǎn)化為證明直線(xiàn)的方向向量與平面的法向量垂直（此方法最常用）．
題型八：證明平面與平面平行
例22．（2024·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）如圖所示，正四棱的底面邊長(zhǎng)1，側(cè)棱長(zhǎng)4，中點(diǎn)為，中點(diǎn)為．求證：平面平面.

例23．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在直四棱柱中，底面為等腰梯形，，，，，是棱的中點(diǎn)．求證：平面平面.
例24．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）如圖所示，平面PAD⊥平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F(xiàn)，G分別是線(xiàn)段PA，PD，CD的中點(diǎn)，求證：平面EFG∥平面PBC．
變式33．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）在正方體中，分別是的中點(diǎn)，試建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求證：平面平面.
【解題方法總結(jié)】
（1）證明兩平面內(nèi)有兩條相交直線(xiàn)分別平行．
（2）轉(zhuǎn)化為證兩平面的法向量平行（常用此方法）．
題型九：證明直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直
例25．（2024·山西太原·高二統(tǒng)考期中）如圖，在平行六面體中，.
(1)求的長(zhǎng)；
(2)求證：.
例26．（2024·北京海淀·高二校考期中）已知三棱錐（如圖1）的平面展開(kāi)圖（如圖2）中，四邊形為邊長(zhǎng)為的正方形，和均為正三角形.在三棱錐中：
(1)求點(diǎn)到平面的距離；
(2)若點(diǎn)在棱上，滿(mǎn)足，點(diǎn)在棱上，且，求的取值范圍.
例27．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，平行六面體的所有棱長(zhǎng)均為，底面為正方形，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在平面內(nèi)．
(1)若為中點(diǎn)，求證：；
(2)若平面，求線(xiàn)段長(zhǎng)度的最小值．
變式34．（2024·湖南長(zhǎng)沙·雅禮中學(xué)?？家荒＃┬比庵母骼忾L(zhǎng)都為2，，點(diǎn)在下底面ABC的投影為AB的中點(diǎn)O．
(1)在棱（含端點(diǎn)）上是否存在一點(diǎn)D使？若存在，求出BD的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(1)在棱（含端點(diǎn)）上是否存在一點(diǎn)使？若存在，求出的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
變式35．（2024·貴州遵義·統(tǒng)考三模）如圖，棱臺(tái)中，，底面ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，連接，BD，.

(1)證明：；
變式36．（2024·江西鷹潭·高三貴溪市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在三棱柱中，平面ABC，，，D為的中點(diǎn)，交于點(diǎn)E．
(1)證明：；
變式37．（2024·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第六中學(xué)校校考三模）已知直三棱柱中，側(cè)面為正方形，，E，F(xiàn)分別為AC和的中點(diǎn)，D為棱上的動(dòng)點(diǎn)..

(1)證明：；

(1)證明：.
【解題方法總結(jié)】
設(shè)直線(xiàn)的方向向量為，則．
這里要特別指出的是，用向量法證明兩直線(xiàn)尤其是兩異面直線(xiàn)垂直是非常有效的方法．
題型十：證明直線(xiàn)與平面垂直
例28．（2024·內(nèi)蒙古烏蘭察布·校考三模）如圖，在四棱錐中，底面，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，，，分別是，的中點(diǎn)．

(1)求證：平面；
例29．（2024·吉林通化·梅河口市第五中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，已知直三棱柱為的中點(diǎn)，為側(cè)棱上一點(diǎn)，且，三棱柱的體積為32．

(1)過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，求證：平面；
例30．（2024·上海黃浦·上海市大同中學(xué)校考三模）如圖，直三棱柱中，，，，D為BC的中點(diǎn)，E為上的點(diǎn)，且．

(1)求證：BE⊥平面；
變式38．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，直三棱柱的側(cè)面為正方形，，E，F(xiàn)分別為，的中點(diǎn)，．
(1)證明：平面；
【解題方法總結(jié)】
（1）證明直線(xiàn)和平面內(nèi)的兩天相交直線(xiàn)垂直．
（2）證明直線(xiàn)和平面內(nèi)的任一直線(xiàn)垂直．
（3）轉(zhuǎn)化為證明直線(xiàn)與平面的法向量共線(xiàn)．
題型十一：證明平面和平面垂直
例31．（2024·廣東深圳·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在正方體中，如圖、分別是，的中點(diǎn)．

(1)求證：平面平面；
例32．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知在直三棱柱中，其中為的中點(diǎn)，點(diǎn)是上靠近的四等分點(diǎn)，與底面所成角的余弦值為．

(1)求證：平面平面；
例33．（2024·北京豐臺(tái)·北京豐臺(tái)二中?？既＃┤鐖D，在四棱錐中，平面，，，，.為的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，且.
(1)求證：平面平面；
變式39．（2024·北京·北京四中?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，正三棱柱中，分別是棱上的點(diǎn)，.

(1)證明：平面平面；
變式40．（2024·江西新余·高三江西省分宜中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面ABCD是菱形，，，，底面ABCD，，點(diǎn)E在棱PD上，且.
(1)證明：平面平面ACE；
變式41．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在底面是矩形的四棱錐中，平面，，，是PD的中點(diǎn).
(1)求證：平面平面PAD；
變式42．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，已知四棱錐的底面是平行四邊形，側(cè)面是等邊三角形，.
(1)求證：平面平面；
(2)設(shè)為側(cè)棱上一點(diǎn)，四邊形是過(guò)兩點(diǎn)的截面，且平面，是否存在點(diǎn)，使得平面平面？若存在，求的值；若不存在，說(shuō)明理由.
變式43．（2024·江蘇·統(tǒng)考三模）如圖，三棱錐P－ABC的底面為等腰直角三角形，∠ABC＝90°，AB＝2．D，E分別為AC，BC的中點(diǎn)，PD⊥平面ABC，點(diǎn)M在線(xiàn)段PE上．
(1)再?gòu)臈l件①、②、③、④四個(gè)條件中選擇兩個(gè)作為已知，使得平面MBD⊥平面PBC，并給予證明；
(2)在（1）的條件下，求直線(xiàn)BP與平面MBD所成的角的正弦值．
條件①：；
條件②：∠PED＝60°；
條件③：PM＝3ME：
條件④：PE＝3ME．
【解題方法總結(jié)】
（1）轉(zhuǎn)化為證明兩平面的法向量互相垂直
（2）轉(zhuǎn)化為證明一平面內(nèi)的一條直線(xiàn)垂直于另一個(gè)平面．
題型十二：求兩異面直線(xiàn)所成角
例34．（2024·寧夏銀川·銀川一中?？寄M預(yù)測(cè)）在正四棱柱中，底面邊長(zhǎng)為1，高為3，則異面直線(xiàn)與AD所成角的余弦值是 .
例35．（2024·江西鷹潭·貴溪市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知正方體的棱長(zhǎng)為1，是棱的中點(diǎn)，為棱上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），記 面直線(xiàn)與所成的角為，則的取值范圍是 .
例36．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在三棱錐P－ABC中，底面ABC，底面ABC為正三角形，PA＝AB，則異面直線(xiàn)PB與AC所成角的余弦值為
變式44．（2024·四川成都·石室中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在三棱錐中，底面，.點(diǎn)、、分別為棱、、的中點(diǎn)，是線(xiàn)段的中點(diǎn)，，.

(1)求證：平面；
(2)已知點(diǎn)在棱上，且直線(xiàn)與直線(xiàn)所成角的余弦值為，求線(xiàn)段的長(zhǎng)．
變式45．（2024·湖北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在四棱錐中，底面ABCD為正方形，平面平面，，.

(1)證明：平面平面；
(2)若E為PC的中點(diǎn)，異面直線(xiàn)BE與PA所成角為，求四棱錐的體積.
變式46．（2024·全國(guó)·高三對(duì)口高考）如圖，圖1，四棱錐中，底面，面是直角梯形，M為側(cè)棱上一點(diǎn)．該四棱錐的俯視圖和側(cè)（左）視圖如圖2所示．

(1)證明：平面；
(2)證明：平面；
(3)線(xiàn)段上是否存在點(diǎn)N，使與所成角的余弦值為？若存在，找到所有符合要求的點(diǎn)N，并求的長(zhǎng)；若不存在，說(shuō)明理由．
【解題方法總結(jié)】
設(shè)兩異面直線(xiàn)a和b的方向向量為和，利用求角余弦公式可求得和的夾角，由于兩向量所成角的范圍是，而兩異面直線(xiàn)所成角的范圍是．所以．
題型十三：求直線(xiàn)與平面所成角
例37．（2024·湖南長(zhǎng)沙·高三長(zhǎng)郡中學(xué)校考假期作業(yè)）如圖所示，直三棱柱中，，，.

(1)求證：；
(2)求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值.
例38．（2024·廣東河源·高三校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）如圖，在四棱錐中，分別為的中點(diǎn)，連接.

(1)當(dāng)為上不與點(diǎn)重合的一點(diǎn)時(shí)，證明：平面；
(2)已知分別為的中點(diǎn)，是邊長(zhǎng)為的正三角形，四邊形是面積為的矩形，當(dāng)時(shí)，求與平面所成角的正弦值.
例39．（2024·山西運(yùn)城·高三?？茧A段練習(xí)）在如圖所示的多面體中，四邊形為正方形，四點(diǎn)共面，且和均為等腰直角三角形，，平面平面，.

(1)求證：直線(xiàn)平面；
(2)求平面與平面夾角的余弦值；
(3)若點(diǎn)在直線(xiàn)上，求直線(xiàn)與平面所成角的最大值.
變式47．（2024·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知三棱柱中，是的中點(diǎn)，是線(xiàn)段上一點(diǎn).

(1)求證：；
(2)設(shè)是棱上的動(dòng)點(diǎn)（不包括邊界），當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值.
變式48．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，四棱錐的底面為正方形，，平面，分別是線(xiàn)段的中點(diǎn)，是線(xiàn)段上的一點(diǎn).

(1)求證：平面平面；
(2)若直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為，且點(diǎn)不是線(xiàn)段的中點(diǎn)，求三棱錐體積.
變式49．（2024·福建漳州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，是圓的直徑，點(diǎn)是圓上異于，的點(diǎn)，平面，，，，分別為，的中點(diǎn)，平面與平面的交線(xiàn)為，在圓上.

(1)在圖中作出交線(xiàn)（說(shuō)明畫(huà)法，不必證明），并求三棱錐的體積；
(2)若點(diǎn)滿(mǎn)足，且與平面所成角的正弦值為，求的值.
【解題方法總結(jié)】
設(shè)為平面的斜線(xiàn)，為的方向向量，為平面的法向量，為與所成角的大小，則．
題型十四：求平面與平面所成角
例40．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖1，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝4，BC＝2，∠DAB＝60°，點(diǎn)E，F(xiàn)在以AD為直徑的半圓上，且，將半圓沿AD翻折如圖2．

(1)求證：EF∥平面ABCD；
(2)當(dāng)多面體ABE﹣DCF的體積為4時(shí)，求平面ABE與平面CDF夾角的余弦值．
例41．（2024·黑龍江大慶·高三大慶中學(xué)校考開(kāi)學(xué)考試）如圖，在四棱錐中，底面ABCD是菱形，，，，底面ABCD，，點(diǎn)E在棱PD上，且

(1)證明：平面平面ACE；
(2)求平面PAC與平面ACE所成角的余弦值．
例42．（2024·山西運(yùn)城·山西省運(yùn)城中學(xué)校?？级＃┤鐖D，在三棱柱中，側(cè)面為菱形，，，.

(1)證明：平面平面；
(2)求平面與平面夾角的余弦值.
變式50．（2024·寧夏石嘴山·統(tǒng)考一模）如圖，在四棱錐中，側(cè)面底面，底面為菱形，．

(1)若四棱錐的體積為1，求的長(zhǎng)；
(2)求平面與平面所成二面角的正弦值．
變式51．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在三棱臺(tái)中，為中點(diǎn)，，，.
(1)求證：平面；
(2)若，，平面與平面所成二面角大小為，求三棱錐的體積.
變式52．（2024·四川成都·高三四川省成都市第四十九中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖，四棱錐中，底面是矩形，，，且側(cè)面底面，側(cè)面底面，點(diǎn)F是PB的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)E在邊BC上移動(dòng)，且．

(1)證明：底面；
(2)當(dāng)點(diǎn)E在BC邊上移動(dòng)，使二面角為時(shí)，求二面角的余弦值．
【解題方法總結(jié)】
（1）在平面內(nèi)，，在平面β內(nèi)，（是交線(xiàn)的方向向量），其方向如圖所示，則二面角的平面角的余弦值為．
（2）設(shè)是二面角的兩個(gè)半平面的法向量，其方向一個(gè)指向二面角內(nèi)側(cè)，另一個(gè)指向二面角的外側(cè)，則二面角的余弦值為．
題型十五：求點(diǎn)面距、線(xiàn)面距、面面距
例43．（2024·山東青島·高三統(tǒng)考期中）如圖，四棱錐中，底面ABCD為正方形，為等邊三角形，面底面ABCD，E為AD的中點(diǎn).

(1)求證：；
(2)在線(xiàn)段BD上存在一點(diǎn)F，使直線(xiàn)AP與平面PEF所成角的正弦值為.
①確定點(diǎn)F的位置；
②求點(diǎn)C到平面PEF的距離.
例44．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，已知菱形和矩形所在的平面互相垂直，，
.
(1)求直線(xiàn)與平面的夾角；
(2)求點(diǎn)到平面的距離.
例45．（2024·廣東東莞·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖所示，在四棱錐中，側(cè)面是正三角形，且與底面垂直，平面，，是棱上的動(dòng)點(diǎn).

(1)當(dāng)是棱的中點(diǎn)時(shí)，求證：平面；
(2)若，，求點(diǎn)到平面距離的范圍.
變式53．（2024·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，側(cè)面是邊長(zhǎng)為的正三角形，平面平面，．

(1)求證：平行四邊形為矩形；
(2)若為側(cè)棱的中點(diǎn)，且平面與平面所成角的余弦值為，求點(diǎn)到平面的距離．
變式54．（2024·湖北·模擬預(yù)測(cè)）如圖所示的多面體是由底面為的長(zhǎng)方體被截面所截得到的，其中，，，，則點(diǎn)到平面的距離為（ ）
A． B． C． D．
變式55．（2024·云南昆明·昆明市第三中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，已知是側(cè)棱長(zhǎng)和底面邊長(zhǎng)均等于的直三棱柱，是側(cè)棱的中點(diǎn).則點(diǎn)到平面的距離為（ ）
A． B． C． D．
變式56．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）兩平行平面分別經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O和點(diǎn)，且兩平面的一個(gè)法向量，則兩平面間的距離是（ ）
A． B． C． D．
變式57．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）空間直角坐標(biāo)系中、、）、，其中，，，，已知平面平面，則平面與平面間的距離為（ ）
A． B． C． D．
變式58．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在棱長(zhǎng)為的正方體中，則平面與平面之間的距離為
A． B．
C． D．
變式59．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）如圖所示，在長(zhǎng)方體中，，則直線(xiàn)到平面的距離是（ ）
A．5 B．8 C． D．
變式60．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知是棱長(zhǎng)為1的正方體，則平面與平面的距離為 ．
變式61．（2024·高二單元測(cè)試）在直三棱柱中，，，D是AC的中點(diǎn)，則直線(xiàn)到平面的距離為 ．
變式62．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在長(zhǎng)方體中，，， 分別是 的中點(diǎn)，則直線(xiàn)到平面的距離為 .
變式63．（2024·浙江溫州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在棱長(zhǎng)為1的正方體中，E為線(xiàn)段的中點(diǎn)，F(xiàn)為線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，則直線(xiàn)FC到平面的距離為 ．
變式64．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，為線(xiàn)段的中點(diǎn)，F(xiàn)為線(xiàn)段的中點(diǎn)．
(1)求直線(xiàn)到直線(xiàn)的距離；
(2)求直線(xiàn)到平面的距離．
【解題方法總結(jié)】
如圖所示，平面的法向量為，點(diǎn)是平面內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)是平面外的任意一點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離，就等于向量在法向量方向上的投影的絕對(duì)值，即或
題型十六：點(diǎn)到直線(xiàn)距離、異面直線(xiàn)的距離
例46．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在三棱柱中，底面是邊長(zhǎng)為的正三角形，，頂點(diǎn)在底面的射影為底面正三角形的中心，P，Q分別是異面直線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，則P，Q兩點(diǎn)間距離的最小值是（ ）
A． B．2 C． D．
例47．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在長(zhǎng)方體中，，，，則異面直線(xiàn)與之間的距離是（ ）
A． B． C． D．
例48．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，平面，底面為正方形，且，為棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，且，則的中點(diǎn)到直線(xiàn)的距離是 ．
變式65．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知空間中三點(diǎn)，則點(diǎn)A到直線(xiàn)的距離為 ．
變式66．（2024·福建莆田·高三莆田一中校考期中）已知空間中三點(diǎn)，，，則點(diǎn)C到直線(xiàn)AB的距離為 ．
變式67．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在長(zhǎng)方體中，，，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，則點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為 ．
變式68．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，多面體是由長(zhǎng)方體一分為二得到的，，，，點(diǎn)D是中點(diǎn)，則異面直線(xiàn)與的距離是 ．
變式69．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在正方體中，AB＝1，M，N分別是棱AB，的中點(diǎn)，E是BD的中點(diǎn)，則異面直線(xiàn)，EN間的距離為 .
變式70．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，正四棱錐的棱長(zhǎng)均為2，點(diǎn)E為側(cè)棱PD的中點(diǎn)．若點(diǎn)M，N分別為直線(xiàn)AB，CE上的動(dòng)點(diǎn)，則MN的最小值為 ．
變式71．（2024·湖南邵陽(yáng)·高三湖南省邵東市第一中學(xué)校考階段練習(xí)）在棱長(zhǎng)為的正方體中，點(diǎn)是線(xiàn)段上的動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)到直線(xiàn)距離的最小值為
變式72．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在如圖所示實(shí)驗(yàn)裝置中，正方形框架的邊長(zhǎng)都是1，且平面平面，活動(dòng)彈子分別在正方形對(duì)角線(xiàn)，上移動(dòng)，則長(zhǎng)度的最小值是 ．
變式73．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知直三棱柱中，側(cè)面為正方形.，E，F(xiàn)分別為AC和的中點(diǎn)，.
(1)求四棱錐的體積；
(2)是否存在點(diǎn)D在直線(xiàn)上，使得異面直線(xiàn)BF，DE的距離為1 若存在，求出此時(shí)線(xiàn)段DE的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
【解題方法總結(jié)】
設(shè)兩條異面直線(xiàn)的公垂線(xiàn)的方向向量為，這時(shí)分別在上任取兩點(diǎn)，則向量在上的正射影長(zhǎng)就是兩條異面直線(xiàn)的距離．則即兩異面直線(xiàn)間的距離，等于兩異面直線(xiàn)上分別任取兩點(diǎn)的向量和公垂線(xiàn)方向向量的數(shù)量積的絕對(duì)值與公垂線(xiàn)的方向向量模的比值
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21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)第54講 空間向量及其應(yīng)用
知識(shí)梳理
知識(shí)點(diǎn)一：空間向量及其加減運(yùn)算
（1）空間向量
在空間，我們把具有大小和方向的量叫做空間向量，向量的大小叫做向量的長(zhǎng)度或模．空間向量也可用有向線(xiàn)段表示，有向線(xiàn)段的長(zhǎng)度表示向量的模，若向量的起點(diǎn)是，終點(diǎn)是，則向量也可以記作，其模記為或．
（2）零向量與單位向量
規(guī)定長(zhǎng)度為0的向量叫做零向量，記作．當(dāng)有向線(xiàn)段的起點(diǎn)與終點(diǎn)重合時(shí)，．
模為1的向量稱(chēng)為單位向量．
（3）相等向量與相反向量
方向相同且模相等的向量稱(chēng)為相等向量．在空間，同向且等長(zhǎng)的有向線(xiàn)段表示同一向量或相等向量．空間任意兩個(gè)向量都可以平移到同一個(gè)平面，成為同一平面內(nèi)的兩個(gè)向量．
與向量長(zhǎng)度相等而方向相反的向量，稱(chēng)為的相反向量，記為．
（4）空間向量的加法和減法運(yùn)算
①，．如圖所示．
②空間向量的加法運(yùn)算滿(mǎn)足交換律及結(jié)合律
，
知識(shí)點(diǎn)二：空間向量的數(shù)乘運(yùn)算
（1）數(shù)乘運(yùn)算
實(shí)數(shù)與空間向量的乘積稱(chēng)為向量的數(shù)乘運(yùn)算．當(dāng)時(shí)，與向量方向相同；當(dāng)時(shí)，向量與向量方向相反．的長(zhǎng)度是的長(zhǎng)度的倍．
（2）空間向量的數(shù)乘運(yùn)算滿(mǎn)足分配律及結(jié)合律
，．
（3）共線(xiàn)向量與平行向量
如果表示空間向量的有向線(xiàn)段所在的直線(xiàn)互相平行或重合，則這些向量叫做共線(xiàn)向量或平行向量，平行于，記作．
（4）共線(xiàn)向量定理
對(duì)空間中任意兩個(gè)向量，，的充要條件是存在實(shí)數(shù)，使．
（5）直線(xiàn)的方向向量
如圖8-153所示，為經(jīng)過(guò)已知點(diǎn)且平行于已知非零向量的直線(xiàn)．對(duì)空間任意一點(diǎn)，點(diǎn)在直線(xiàn)上的充要條件是存在實(shí)數(shù)，使①，其中向量叫做直線(xiàn)的方向向量，在上取，則式①可化為②
①和②都稱(chēng)為空間直線(xiàn)的向量表達(dá)式，當(dāng)，即點(diǎn)是線(xiàn)段的中點(diǎn)時(shí)，，此式叫做線(xiàn)段的中點(diǎn)公式．
（6）共面向量
如圖8-154所示，已知平面與向量，作，如果直線(xiàn)平行于平面或在平面內(nèi)，則說(shuō)明向量平行于平面．平行于同一平面的向量，叫做共面向量．
（7）共面向量定理
如果兩個(gè)向量，不共線(xiàn)，那么向量與向量，共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)，使．
推論：①空間一點(diǎn)位于平面內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(duì)，使；或?qū)臻g任意一點(diǎn)，有，該式稱(chēng)為空間平面的向量表達(dá)式．
②已知空間任意一點(diǎn)和不共線(xiàn)的三點(diǎn)，，，滿(mǎn)足向量關(guān)系式（其中）的點(diǎn)與點(diǎn)，，共面；反之也成立．
知識(shí)點(diǎn)三：空間向量的數(shù)量積運(yùn)算
（1）兩向量夾角
已知兩個(gè)非零向量，，在空間任取一點(diǎn)，作，，則叫做向量，的夾角，記作，通常規(guī)定，如果，那么向量，互相垂直，記作．
（2）數(shù)量積定義
已知兩個(gè)非零向量，，則叫做，的數(shù)量積，記作，即．零向量與任何向量的數(shù)量積為0，特別地，．
（3）空間向量的數(shù)量積滿(mǎn)足的運(yùn)算律：
，（交換律）；
（分配律）．
知識(shí)點(diǎn)四：空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算及應(yīng)用
（1）設(shè)，，則；
；
；
；
；
．
（2）設(shè)，，則．
這就是說(shuō)，一個(gè)向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示該向量的有向線(xiàn)段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減起點(diǎn)的坐標(biāo)．
（3）兩個(gè)向量的夾角及兩點(diǎn)間的距離公式．
①已知，，則；
；
；
；
②已知，，則，
或者．其中表示與兩點(diǎn)間的距離，這就是空間兩點(diǎn)的距離公式．
（4）向量在向量上的投影為．
知識(shí)點(diǎn)五：法向量的求解與簡(jiǎn)單應(yīng)用
（1）平面的法向量：
如果表示向量的有向線(xiàn)段所在直線(xiàn)垂直于平面，則稱(chēng)這個(gè)向量垂直于平面，記作，如果，那么向量叫做平面的法向量．
幾點(diǎn)注意：
①法向量一定是非零向量；②一個(gè)平面的所有法向量都互相平行；③向量是平面的法向量，向量是與平面平行或在平面內(nèi)，則有．
第一步：寫(xiě)出平面內(nèi)兩個(gè)不平行的向；
第二步：那么平面法向量，滿(mǎn)足．
（2）判定直線(xiàn)、平面間的位置關(guān)系
①直線(xiàn)與直線(xiàn)的位置關(guān)系：不重合的兩條直線(xiàn)，的方向向量分別為，．
若∥，即，則；
若，即，則．
②直線(xiàn)與平面的位置關(guān)系：直線(xiàn)的方向向量為，平面的法向量為，且．
若∥，即，則；
若，即，則．
（3）平面與平面的位置關(guān)系
平面的法向量為，平面的法向量為．
若∥，即，則；若⊥，即，則⊥．
知識(shí)點(diǎn)六：空間角公式．
（1）異面直線(xiàn)所成角公式：設(shè)，分別為異面直線(xiàn)，上的方向向量，為異面直線(xiàn)所成角的大小，則．
（2）線(xiàn)面角公式：設(shè)為平面的斜線(xiàn)，為的方向向量，為平面的法向量，為
與所成角的大小，則．
（3）二面角公式：
設(shè)，分別為平面，的法向量，二面角的大小為，則或（需要根據(jù)具體情況判斷相等或互補(bǔ)），其中．
知識(shí)點(diǎn)七：空間中的距離
求解空間中的距離
（1）異面直線(xiàn)間的距離：兩條異面直線(xiàn)間的距離也不必尋找公垂線(xiàn)段，只需利用向量的正射影性質(zhì)直接計(jì)算．
如圖，設(shè)兩條異面直線(xiàn)的公垂線(xiàn)的方向向量為，這時(shí)分別在上任取兩點(diǎn)，則向量在上的正射影長(zhǎng)就是兩條異面直線(xiàn)的距離．則即兩異面直線(xiàn)間的距離，等于兩異面直線(xiàn)上分別任取兩點(diǎn)的向量和公垂線(xiàn)方向向量的數(shù)量積的絕對(duì)值與公垂線(xiàn)的方向向量模的比值．
（2）點(diǎn)到平面的距離
為平面外一點(diǎn)（如圖），為平面的法向量，過(guò)作平面的斜線(xiàn)及垂線(xiàn)．
【解題方法總結(jié)】
用向量法可以證點(diǎn)共線(xiàn)、線(xiàn)共點(diǎn)、線(xiàn)（或點(diǎn)）共面、兩直線(xiàn)（或線(xiàn)與面、面與面）垂直的問(wèn)題，也可以求空間角和距離．因此，凡涉及上述類(lèi)型的問(wèn)題，都可以考慮利用向量法求解，且其解法一般都比較簡(jiǎn)單．
用向量法解題的途徑有兩種：一種是坐標(biāo)法，即通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系，確定出一些點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求出向量的坐標(biāo)，再進(jìn)行坐標(biāo)運(yùn)算；另一種是基底法，即先選擇基向量（除要求不共面外，還要能夠便于表示所求的目標(biāo)向量，并優(yōu)先選擇相互夾角已知的向量作為基底，如常選擇幾何體上共點(diǎn)而不共面的三條棱所在的向量為基底），然后將有關(guān)向量用基底向量表示，并進(jìn)行向量運(yùn)算．
必考題型全歸納
題型一：空間向量的加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算
例1．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）下列命題中是假命題的是（ ）
A．任意向量與它的相反向量不相等
B．和平面向量類(lèi)似，任意兩個(gè)空間向量都不能比較大小
C．如果，則
D．兩個(gè)相等的向量，若起點(diǎn)相同，則終點(diǎn)也相同
【答案】A
【解析】對(duì)于A，零向量的相反向量是它本身，A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，空間向量是有向線(xiàn)段，不能比較大小，B正確；
對(duì)于C，如果，則，C正確；
對(duì)于D，兩個(gè)相等的向量，若起點(diǎn)相同，則終點(diǎn)也相同，D正確.
故選：A.
例2．（2024·全國(guó)·高三對(duì)口高考）如圖所示，在平行六面體中，為與的交點(diǎn)，若，，，則（ ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因?yàn)闉榕c的交點(diǎn)，所以，
故.
故選：D
例3．（2024·福建福州·福建省福州第一中學(xué)?？既＃┰谌忮FP-ABC中，點(diǎn)O為△ABC的重心，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別為側(cè)棱PA，PB，PC的中點(diǎn)，若，，，則=（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】取中點(diǎn)為，
三個(gè)式子相加可得,
又
,
故選：D

變式1．（2024·高三課時(shí)練習(xí)）如圖.空間四邊形OABC中，，點(diǎn)M在OA上，且滿(mǎn)足，點(diǎn)N為BC的中點(diǎn)，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】.
故選：D.
變式2．（2024·湖南長(zhǎng)沙·高三校聯(lián)考期中）如圖，M在四面體OABC的棱BC的中點(diǎn)，點(diǎn)N在線(xiàn)段OM上，且，設(shè)，，，則下列向量與相等的向量是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因?yàn)镸在四面體OABC的棱BC的中點(diǎn)，所以，
又點(diǎn)N在線(xiàn)段OM上，且，
故點(diǎn)為的三等分點(diǎn)，所以，
所以.
故選與相等的向量的向量是；
故選：A.
變式3．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在四面體中，是的重心，是上的一點(diǎn)，且，若，則為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，所以，
是的重心，則，
所以，
因?yàn)?br/>所以，
若，則．
故選：D．
變式4．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知在空間單位正交基底下，是空間的一組單位正交基底，是空間的另一組基底.若向量在基底下的坐標(biāo)為，則向量在基底下的坐標(biāo)為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】設(shè)向量在基底下的坐標(biāo)為，則，
又向量在基底下的坐標(biāo)為，則，
所以，即，
所以解得
所以向量在基底下的坐標(biāo)為.
故選：C.
【解題方法總結(jié)】
空間向量的運(yùn)算包括空間向量的加法、減法、數(shù)乘、數(shù)量積的幾何意義及坐標(biāo)運(yùn)算，可以類(lèi)比平面向量的運(yùn)算法則．
題型二：空間共線(xiàn)向量定理的應(yīng)用
例4．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）若空間中任意四點(diǎn)O，A，B，P滿(mǎn)足，其中m＋n＝1，則（ ）
A．P∈AB B．P AB
C．點(diǎn)P可能在直線(xiàn)AB上 D．以上都不對(duì)
【答案】A
【解析】因?yàn)閙＋n＝1，所以m＝1－n，
所以，即，
即，所以與共線(xiàn)．
又，有公共起點(diǎn)A，
所以P，A，B三點(diǎn)在同一直線(xiàn)上，即P∈AB.
故選：A.
例5．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知，則下列向量中與平行的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因?yàn)?，所以與平行.
故選：B.
例6．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）向量，分別是直線(xiàn)，的方向向量，且，，若，則（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【解析】因?yàn)椋裕裕?，解得?
故選：C.
變式5．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）若點(diǎn)，，在同一條直線(xiàn)上，則（ ）
A．21 B．4 C．4 D．10
【答案】C
【解析】，
∵點(diǎn)，，在同一條直線(xiàn)上
∴∥則
解得
∴
故選：C．
變式6．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知，，如果與為共線(xiàn)向量，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因?yàn)榕c為共線(xiàn)向量，
所以，
故選：D
變式7．（2024·浙江·高三專(zhuān)題練習(xí)）若、、三點(diǎn)共線(xiàn)，則（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】∵，，
由題意得，則，
∴、，∴，
故選:A．
【解題方法總結(jié)】
空間共線(xiàn)向量定理：．
利用此定理可解決立體幾何中的平行問(wèn)題．
題型三：空間向量的數(shù)量積運(yùn)算
例7．（多選題）（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知向量，，則下列正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【解析】向量，，則，A正確；
顯然，B正確；
由數(shù)量積的定義得，C錯(cuò)誤；
顯然，則，即有，D錯(cuò)誤.
故選：AB
例8．（多選題）（2024·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱七十三中?？计谥校┤鐖D，在平行六面體中，其中以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)均為6，且彼此夾角都是，下列說(shuō)法中不正確的是（ ）

A．
B．
C．向量與夾角是
D．向量與所成角的余弦值為
【答案】CD
【解析】在平行六面體中，其中以頂點(diǎn)為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)均為6 ，且彼此夾角都是，
.
對(duì)于A，
，， A正確；
對(duì)于B，
，
，即，B正確；
對(duì)于C，連接，由題意可知是等邊三角形，則，
，且向量與的夾角是，
向量與夾角是，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，，
，
，
，D錯(cuò)誤.
故選：CD

例9．（多選題）（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）四面體中，，，，，，平面與平面的夾角為，則的值可能為（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【解析】在四面體中，，，則是二面角的平面角，如圖，
，而，，，
，
因?yàn)槠矫媾c平面的夾角為，則當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
所以的值可能為，.
故選：AD
變式8．（多選題）（2024·校考模擬預(yù)測(cè)）在平行六面體中，已知，，則（ ）
A．直線(xiàn)與所成的角為
B．線(xiàn)段的長(zhǎng)度為
C．直線(xiàn)與所成的角為
D．直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為
【答案】AC
【解析】設(shè)，則，且，
對(duì)于A，，
，
所以直線(xiàn)與所成的角為，故A正確；
對(duì)于B，因?yàn)椋?br/>所以，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，因?yàn)椋?br/>所以，故C正確；
對(duì)于D，連接，交于點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，
因?yàn)椋?br/>所以，
又因平面，所以平面，
又平面，所以平面平面，
作，垂足為，
因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面?br/>所以平面，
則與平面所成的角為，
在中，，所以，
即直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為，故D錯(cuò)誤.
故選：AC.
變式9．（多選題）（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）空間直角坐標(biāo)系中，已知，，，，則（ ）
A．
B．是等腰直角三角形
C．與平行的單位向量的坐標(biāo)為或
D．在方向上的投影向量的坐標(biāo)為
【答案】AC
【解析】根據(jù)空間向量的線(xiàn)性運(yùn)算，
，選項(xiàng)A正確；
計(jì)算可得，三條邊不相等，選項(xiàng)B不正確；
與平行的單位向量為：
選項(xiàng)C正確；
在方向上的投影向量與向量共線(xiàn)，，選項(xiàng)D不正確，
故選：AC.
變式10．（多選題）（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知空間向量，，下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．若，則
B．若，則
C．若在上的投影向量為，則
D．若與夾角為銳角，則
【答案】ABD
【解析】對(duì)于A：，，
即：，
解得：.
故A選項(xiàng)正確；
對(duì)于B：，
，解得：.
故B選項(xiàng)正確；
對(duì)于C：在上的投影向量為：，
即，代入坐標(biāo)化簡(jiǎn)可得：，無(wú)解，
故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于D：與夾角為銳角，
，解得：，
且與不共線(xiàn)，即，解得：，
所以與夾角為銳角時(shí)，解得：.
故D選項(xiàng)正確；
故選：ABD.
變式11．（2024·黑龍江哈爾濱·哈爾濱三中?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，平行六面體中，，，，，則線(xiàn)段的長(zhǎng)為 .

【答案】1
【解析】由題可得, ，,
所以,且,
因?yàn)?
所以
，
所以，
故答案為:1.
變式12．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知空間向量，，則在方向上的投影向量為 .
【答案】
【解析】，與同向的單位向量，
在方向上的投影向量為.
故答案為：.
變式13．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知是棱長(zhǎng)為2的正方體內(nèi)切球的一條直徑，則 ．
【答案】2
【解析】因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為2，所以其內(nèi)切球的半徑．
又球心一定在該正方體的體對(duì)角線(xiàn)的中點(diǎn)處，且體對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)為，
所以設(shè)該正方體的內(nèi)切球的球心為O，則，
易知，
所以．
故答案為：
變式14．（2024·全國(guó)·高三對(duì)口高考）已知向量，若，則 ．
【答案】
【解析】設(shè)向量，
，，設(shè)與的夾角為，，
，.
故答案為：.
變式15．（2024·上?！じ呷龑?zhuān)題練習(xí)）已知空間向量，，，若，則 ．
【答案】
【解析】，
，，，
解得，
故答案為：.
變式16．（2024·上?！じ呷龑?zhuān)題練習(xí)）已知向量，向量，則與的夾角的大小為 .
【答案】
【解析】因?yàn)?，?br/>所以，
因?yàn)?，所?
故答案為：.
【解題方法總結(jié)】
；
求模長(zhǎng)時(shí)，可根據(jù)；
求空間向量夾角時(shí)，可先求其余弦值．要判斷空間兩向量垂直時(shí)，可以求兩向量的數(shù)量積是否為0，即．
為銳角；為鈍角．由此，通常通過(guò)計(jì)算的值來(lái)判斷兩向量夾角是銳角還是鈍角．
題型四：證明三點(diǎn)共線(xiàn)
例10．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在四面體OABC中，點(diǎn)M，N分別為OA、BC的中點(diǎn)，若，且G、M、N三點(diǎn)共線(xiàn)，則 ．
【答案】
【解析】
若G、M、N三點(diǎn)共線(xiàn)，則存在實(shí)數(shù)，使得，又點(diǎn)M，N分別為OA、BC的中點(diǎn)，則，，則，則，解得，則.
故答案為：.
例11．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知點(diǎn)A（1，2，3），B（0，1，2），C（﹣1，0，λ），若A，B，C三點(diǎn)共線(xiàn)，則 ．
【答案】1
【解析】由題意，點(diǎn)A（1，2，3），B（0，1，2），C（﹣1，0，λ），
所以,
若A，B，C三點(diǎn)共線(xiàn)，則，即，解得.
故答案為：1．
例12．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在平行六面體中，，．
(1)求證：、、三點(diǎn)共線(xiàn)；
(2)若點(diǎn)是平行四邊形的中心，求證：、、三點(diǎn)共線(xiàn)．
【解析】（1）由題意，，，
故
,
,
故，由于有公共點(diǎn)A，
故A、、三點(diǎn)共線(xiàn)；
（2）由題意，點(diǎn)是平行四邊形的中心，
故
，
故 ,因?yàn)橛泄颤c(diǎn)D，
故、、三點(diǎn)共線(xiàn)．
變式17．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在長(zhǎng)方體中，M為的中點(diǎn)，N在AC上，且，E為BM的中點(diǎn).求證：，E，N三點(diǎn)共線(xiàn).
【解析】由圖作出如圖所示長(zhǎng)方體

由題可得，，
，
所以，所以，E，N三點(diǎn)共線(xiàn).
【解題方法總結(jié)】
先構(gòu)造共起點(diǎn)的向量，，然后證明存在非零實(shí)數(shù)，使得．
題型五：證明多點(diǎn)共面的方法
例13．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）下面關(guān)于空間向量的說(shuō)法正確的是（ ）
A．若向量平行，則所在直線(xiàn)平行
B．若向量所在直線(xiàn)是異面直線(xiàn)，則不共面
C．若A，B，C，D四點(diǎn)不共面，則向量，不共面
D．若A，B，C，D四點(diǎn)不共面，則向量，，不共面
【答案】D
【解析】向量平行，所在直線(xiàn)可以重合，也可以平行，A錯(cuò)誤；
可以通過(guò)平移將空間中任意兩個(gè)向量平移到一個(gè)平面內(nèi)，因此空間任意兩個(gè)向量都是共面的，BC錯(cuò)誤；
顯然AB，AC，AD是空間中有公共端點(diǎn)A，但不共面的三條線(xiàn)段，所以向量，，不共面，D正確.
故選：D
例14．（2024·江蘇常州·高三?？茧A段練習(xí)）以下四組向量在同一平面的是（ ）
A．、、 B．、、
C．、、 D．、、
【答案】B
【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，設(shè)，所以，，無(wú)解；
對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)?，故B選項(xiàng)中的三個(gè)向量共面；
對(duì)于C選項(xiàng)，設(shè)，所以，，無(wú)解；
對(duì)于D選項(xiàng)，設(shè)，所以，，矛盾.
故選：B.
例15．（2024·全國(guó)·高三對(duì)口高考）已知，若三向量共面，則等于（ ）
A． B．9 C． D．
【答案】D
【解析】∵，，共面，
∴設(shè)（為實(shí)數(shù)），即，
∴，解得．
故選：D.
變式18．（2024·江西·校聯(lián)考二模）在四棱錐中，棱長(zhǎng)為2的側(cè)棱垂直底面邊長(zhǎng)為2的正方形，為棱的中點(diǎn)，過(guò)直線(xiàn)的平面分別與側(cè)棱、相交于點(diǎn)、，當(dāng)時(shí)，截面的面積為（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】A
【解析】由題意，平面，四邊形為正方形，
如圖，建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz，

則，，，，，，，
設(shè)，，則，
又，，所以，則，
由題意，四點(diǎn)共面，所以，
所以，解得，
所以，，所以，
所以，即，
所以，
所以，
又，
所以，即，
所以，
所以，
所以截面的面積為.
故選：A
變式19．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）為空間任意一點(diǎn)，若，若四點(diǎn)共面，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】若A，B，C，P四點(diǎn)共面，則存在有序?qū)崝?shù)對(duì)，使，
所以，
整理得：，
又由題知，
由空間向量的基本定理知：
解得
所以.
故選：C.
變式20．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知空間、、、四點(diǎn)共面，且其中任意三點(diǎn)均不共線(xiàn)，設(shè)為空間中任意一點(diǎn)，若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
由、、、四點(diǎn)共面，且其中任意三點(diǎn)均不共線(xiàn)
可得，解之得
故選：D
變式21．（2024·廣東廣州·高三執(zhí)信中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖所示的木質(zhì)正四棱錐模型，過(guò)點(diǎn)A作一個(gè)平面分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，G，若，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，，， (a、b>0)，則，，，，
∴，，
由題意四點(diǎn)共面，則有，其中，
設(shè)，
∴
由方程組，即，解得，
所以，
故選：C.
變式22．（2024·甘肅平?jīng)觥じ呷y(tǒng)考期中）對(duì)于空間任意一點(diǎn)和不共線(xiàn)的三點(diǎn)，有如下關(guān)系：，則（ ）
A．四點(diǎn)必共面 B．四點(diǎn)必共面
C．四點(diǎn)必共面 D．五點(diǎn)必共面
【答案】B
【解析】對(duì)于空間任一點(diǎn)和不共線(xiàn)三點(diǎn)，若點(diǎn)滿(mǎn)足且，則四點(diǎn)共面.
而，其中，所以四點(diǎn)共面.
故選：B.
變式23．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知A、B、C三點(diǎn)不共線(xiàn)，對(duì)平面外的任一點(diǎn)O，下列條件中能確定點(diǎn)M與點(diǎn)A、B、C一定共面的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】M與A、B、C共面的條件是，且，
故B選項(xiàng)正確，
故選：B
變式24．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，正四棱錐的底面邊長(zhǎng)和高均為2，，分別為，的中點(diǎn)．
(1)若點(diǎn)是線(xiàn)段上的點(diǎn)，且，判斷點(diǎn)是否在平面內(nèi)，并證明你的結(jié)論；
(2)求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值．
【解析】（1）連接、交于，連接，由正四棱錐的性質(zhì)可得平面，底面為正方形，則，
所以以為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，
所以，，
又，得，，
所以，
所以、、、四點(diǎn)共面，即點(diǎn)在平面內(nèi)．
（2）由（1）可得，
設(shè)平面的法向量，由，得，
令，則，，所以，
所以，
所以直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為．
變式25．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在幾何體ABCDE中，ABC，BCD，CDE均為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，平面ABC⊥平面BCD，平面DCE⊥平面BCD．求證：A，B，D，E四點(diǎn)共面；
【解析】
取的中點(diǎn)，連接，取的中點(diǎn)，連接，
因?yàn)槠矫嫫矫?，且平面平面?br/>而為等邊三角形，所以，因此平面，
因?yàn)槠矫嫫矫?，且平面平面?br/>又因?yàn)闉榈冗吶切?，所以，因此平面?br/>又因?yàn)槠矫?，因此?br/>又因?yàn)闉榈冗吶切?，所以，因此兩兩垂直?br/>從而以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線(xiàn)為軸，所在直線(xiàn)為軸，所在直線(xiàn)為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
又因?yàn)榫鶠檫呴L(zhǎng)為2的等邊三角形，所以，，，
設(shè)，則，，，
由于，所以，解得，
因此，所以，，，
所以，由空間向量基本定理可知：共面，所以四點(diǎn)共面；
變式26．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，四邊形為正方形，若平面平面，，，.
(1)求二面角A－CF－D的余弦值；
(2)判斷點(diǎn)D與平面CEF的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.
【解析】（1）因?yàn)槠矫嫫矫妫医痪€(xiàn)為，
因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，所以，于是平面?br/>以為原點(diǎn)，所在方向分別為軸，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系.
設(shè)，容易得到，
所以，，，，
，，設(shè)平面的法向量為，
由，可取，
又，，設(shè)平面的法向量為，
由，可取，
所以，
所以二面角的的余弦值為.
（2）點(diǎn)在平面外，證明如下，連接ED，
因?yàn)?，，?br/>設(shè)，則，
即，顯然此方程組無(wú)解，
所以四點(diǎn)，，，不共面，即點(diǎn)在平面外.
變式27．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在邊長(zhǎng)為3的正方體中，點(diǎn)P，Q，R分別在棱，，上，且.
（1）求點(diǎn)D到平面的距離；
（2）若平面與線(xiàn)段的交點(diǎn)為N，求的值.
【解析】（1）如圖，以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，的方向?yàn)閤，y，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，，.
設(shè)平面的法向量為，
則，代入可得，
令，則，，所以，
故點(diǎn)D到平面的距離為.
（2）因?yàn)辄c(diǎn)N在平面內(nèi)，可設(shè)（其中m，n為常數(shù)），
又與共線(xiàn)，可設(shè)，由圖可得，
即，
整理得，
由①③可得④，
由②③可得⑤，
聯(lián)立④⑤解得，代入②可得，
所以，即.
變式28．（2024·四川成都·石室中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）如圖四棱錐，且，平面平面，且是以為直角的等腰直角三角形，其中為棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上，且.

(1)求證：四點(diǎn)共面；
【解析】（1）由，且，
取的中點(diǎn)，連接，則，且，
所以，又是以為直角的等腰直角三角形，
所以.
過(guò)點(diǎn)作，垂足為，則點(diǎn)為的中點(diǎn)，且，
因?yàn)槠矫嫫矫妫移矫嫫矫妫?br/>所以平面，故以所在的直線(xiàn)分別為軸，軸，過(guò)點(diǎn)作垂直于平面的軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
則，，，
因?yàn)闉槔獾闹悬c(diǎn)，所以，又因?yàn)辄c(diǎn)在棱上，且，
所以，則，，，
令，
則，解得，
故，則共面，且向量有公共點(diǎn)，
所以四點(diǎn)共面.
【解題方法總結(jié)】
要證明多點(diǎn)（如，，，）共面，可使用以下方法解題．
先作出從同一點(diǎn)出發(fā)的三個(gè)向量（如，，），然后證明存在兩個(gè)實(shí)數(shù)，使得．
題型六：證明直線(xiàn)和直線(xiàn)平行
例16．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）如圖所示，在四棱錐中，底面為矩形，平面，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，，求證：．

【解析】證法一：由題意知，直線(xiàn)兩兩垂直，
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線(xiàn)分別為軸 軸 軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，
則，
所以，
所以，又，故．
證法二：由題意可得
，
又，所以．
例17．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）已知棱長(zhǎng)為1的正方體在空間直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，分別為棱的中點(diǎn)，求證：.
【解析】因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為1， 分別為棱的中點(diǎn)，
所以有， ， ， ，
所以，，則有，所以.
例18．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，四邊形ABCD和ABEF都是平行四邊形，且不共面，M，N分別是AC，BF的中點(diǎn)，求證：.
【解析】（方法1）因?yàn)镸，N分別是AC，BF的中點(diǎn)，且四邊形ABCD和ABEF都是平行四邊形，
則有，又，
兩式相加得：，因此與共線(xiàn)，而直線(xiàn)與不重合，
所以.
（方法2）因?yàn)镸，N分別是AC，BF的中點(diǎn)，且四邊形ABCD和ABEF都是平行四邊形，
，
因此與共線(xiàn)，而直線(xiàn)與不重合，
所以.
變式29．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在四棱錐中，平面ABCD⊥平面PCD，底面ABCD為梯形．，，且，，．若M是棱PA的中點(diǎn)，則對(duì)于棱BC上是否存在一點(diǎn)F，使得MF與PC平行．
【解析】在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，
因?yàn)槠矫嫫矫妫移矫嫫矫?，平面?br/>可得平面，
又由，所以?xún)蓛纱怪保?br/>以為原點(diǎn)，以所在的直線(xiàn)分別為軸、軸和軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，
由，，，
可得，
假設(shè)上存在點(diǎn)，使得，
設(shè)，其中，
因?yàn)槭抢獾闹悬c(diǎn)，可得，
又由，
所以，
設(shè)，可得，此方程組無(wú)解，所以假設(shè)不成立，
所以對(duì)于上任意一點(diǎn)，與都不平行，
即在線(xiàn)段上不存在點(diǎn)，使得與平行．
【解題方法總結(jié)】
將證線(xiàn)線(xiàn)平行轉(zhuǎn)化為證兩向量共線(xiàn)．設(shè)是兩條不重合的直線(xiàn)，它們的方向向量分別為，則．
題型七：證明直線(xiàn)和平面平行
例19．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在蘇州博物館有一類(lèi)典型建筑八角亭，既美觀又利于采光，其中一角如圖所示，為多面體，，，，底面，四邊形是邊長(zhǎng)為2的正方形且平行于底面，，，的中點(diǎn)分別為，，，．
(1)證明：平面；
【解析】（1）過(guò)點(diǎn)作的平行線(xiàn)，由題意可知以為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，，，，，，，．
設(shè)平面的法向量為，，，，，令，則，
∵，
∴，平面.
例20．（2024·廣東潮州·高三?？茧A段練習(xí)）如圖，四棱錐中，底面ABCD為矩形，平面ABCD，E為PD的中點(diǎn)．
(1)證明：//平面AEC
【解析】（1）以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，
由幾何關(guān)系有：，
則直線(xiàn)的方向向量為：，，
設(shè)平面的法向量，則：，
據(jù)此可得：平面的一個(gè)法向量為，
結(jié)合可知：，即
據(jù)此可得：平面.
例21．（2024·天津?yàn)I海新·高三校考期中）如圖，且，，且，且，平面，.

(1)若為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，求證：平面；
【解析】（1）證明：因?yàn)?，，平面?br/>而、平面，所以，，
因此以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以、、的方向?yàn)檩S，軸，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，

因?yàn)榍?，且，?br/>所以， ，，， ，，，，，
設(shè)為平面的法向量，，，
則，不妨令，可得；
又，所以，得，
又直線(xiàn)平面，平面．
變式30．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面平面，，，，，分別是，的中點(diǎn)．

(1)求證：平面；
【解析】（1）證明：由題意，在矩形中，，，，
，分別是，的中點(diǎn)，
，，
在四棱錐中，面面，面面，，平面
面，
面，，
，，，
面，面，，
面，面，，
以，，所在直線(xiàn)分別為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，
,0,，,0,，,4,，,4,，,0,，,2,，,2,，
,0,，面的一個(gè)法向量為，
，平面，平面．
變式31．（2024·陜西漢中·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四棱錐中，底面ABCD為正方形，平面ABCD，E為PD的中點(diǎn)，.

(1)求證：PB平面AEC；
【解析】（1）因?yàn)槠矫鍭BCD，且平面ABCD，則，
即AB，AD，AP兩兩互相垂直，
如圖，以A為原點(diǎn)，以AB，AD，AP分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則，
可得，，.
設(shè)平面AEC的法向量為，
則，取，可得，
所以平面AEC的一個(gè)法向量為，
可知，即，
又因?yàn)槠矫鍭EC，所以PB//平面AEC，
變式32．（2024·全國(guó)·高三對(duì)口高考）如圖所示的幾何體中，四邊形是等腰梯形，，，平面，，.

(1)求二面角的余弦值；
(2)在線(xiàn)段AB（含端點(diǎn)）上，是否存在一點(diǎn)P，使得平面.若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
【解析】（1）過(guò)作于，由于，則,由于,且四邊形是等腰梯形，所以,在三角形中，由余弦定理可得，所以,故,

以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，為軸，軸，過(guò)點(diǎn)作的平行線(xiàn)為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，
設(shè)面的法向量，
則，即，取，得．
設(shè)面的法向量，
則，即，則取，得．
，
由幾何體的特征可知二面角的平面角為銳角，
二面角的余弦值為．
（2），,， 面，
面．
設(shè),
若平面，則 ,所以，
所以
【解題方法總結(jié)】
（1）利用共面向量定理．設(shè)為平面內(nèi)不共線(xiàn)的兩個(gè)向量，證明存在兩個(gè)實(shí)數(shù)，使得，則．
（2）轉(zhuǎn)化為證明直線(xiàn)和平面內(nèi)的某一直線(xiàn)平行．
（3）轉(zhuǎn)化為證明直線(xiàn)的方向向量與平面的法向量垂直（此方法最常用）．
題型八：證明平面與平面平行
例22．（2024·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）如圖所示，正四棱的底面邊長(zhǎng)1，側(cè)棱長(zhǎng)4，中點(diǎn)為，中點(diǎn)為．求證：平面平面.

【解析】以為原點(diǎn)，，，所在直線(xiàn)為坐標(biāo)軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖

則,0,，,1,，,0,，,0,，,1,，,1,，
，，同理，
平面，平面，平面，
平面，平面，平面，
又平面
平面與平面平行．
例23．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在直四棱柱中，底面為等腰梯形，，，，，是棱的中點(diǎn)．求證：平面平面.
【解析】因?yàn)?，是棱的中點(diǎn)，
所以，所以為正三角形.
因?yàn)闉榈妊菪危?br/>所以.
取的中點(diǎn)，連接，
則，所以.
以為原點(diǎn)，所在直線(xiàn)分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則，
所以，，，，
所以，，
又不重合，不重合，
所以，，
因?yàn)槠矫妫?平面，
所以平面，平面，
又，平面，
所以平面平面
例24．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）如圖所示，平面PAD⊥平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F(xiàn)，G分別是線(xiàn)段PA，PD，CD的中點(diǎn)，求證：平面EFG∥平面PBC．
【解析】因?yàn)槠矫鍼AD⊥平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，△PAD是直角三角形，
所以AB，AP，AD兩兩垂直，
以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AP所在直線(xiàn)分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，E(0，0，1)，F(xiàn)(0，1，1)，G(1，2，0)．
所以，，，，
設(shè)是平面EFG的法向量，
則，，即，得，
令，則，，所以，
設(shè)是平面PBC的法向量，
由，，即，得，
令，則，，所以，
所以，所以平面EFG∥平面PBC．
變式33．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）在正方體中，分別是的中點(diǎn)，試建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求證：平面平面.
【解析】證明:　如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線(xiàn)分別為x軸、y軸、z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系．設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，
則有，，， ， ， ，
于是， ，，，
顯然有，，所以，，
由，平面，平面，平面，
同理平面， 平面，，
所以平面平面
【解題方法總結(jié)】
（1）證明兩平面內(nèi)有兩條相交直線(xiàn)分別平行．
（2）轉(zhuǎn)化為證兩平面的法向量平行（常用此方法）．
題型九：證明直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直
例25．（2024·山西太原·高二統(tǒng)考期中）如圖，在平行六面體中，.
(1)求的長(zhǎng)；
(2)求證：.
【解析】（1）
則.
（2）證明：
故.
例26．（2024·北京海淀·高二?？计谥校┮阎忮F（如圖1）的平面展開(kāi)圖（如圖2）中，四邊形為邊長(zhǎng)為的正方形，和均為正三角形.在三棱錐中：
(1)求點(diǎn)到平面的距離；
(2)若點(diǎn)在棱上，滿(mǎn)足，點(diǎn)在棱上，且，求的取值范圍.
【解析】（1）
如圖，取，中點(diǎn)，，連接，，，
∵展開(kāi)圖中四邊形為邊長(zhǎng)為的正方形，為中點(diǎn)，
∴，，
又和均為正三角形，∴，，
∵，∴，
∵，平面，平面,
∴平面，
設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，
，解得，
所以點(diǎn)到平面的距離為.
（2）
如圖，以為原點(diǎn)，分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，
，，，，，，,
∵，∴，，
設(shè)，則,
∵，∴，整理得，
∵，∴，
∴的范圍為.
例27．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，平行六面體的所有棱長(zhǎng)均為，底面為正方形，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在平面內(nèi)．
(1)若為中點(diǎn)，求證：；
(2)若平面，求線(xiàn)段長(zhǎng)度的最小值．
【解析】（1）由已知，，，，
所以，
，
，
因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，
所以，
又，
所以，
所以
所以
（2）連接，，
∵，
∴，
∵，
∴，
連接，
由正方形的性質(zhì)可得三點(diǎn)共線(xiàn)，為的中點(diǎn)，
所以，
由第一問(wèn)，
平面，，
所以平面，
以為坐標(biāo)原點(diǎn)， 所在直線(xiàn)為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系
、、、、
，
設(shè)平面法向量為，，
則，所以，
∴，
令，則，．
∴為平面的一個(gè)法向量，
因?yàn)辄c(diǎn)在平面內(nèi)，
故設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，
因?yàn)椋?br/>所以，
，則，
所以，
所以當(dāng)時(shí)，有最小值，最小值為.
變式34．（2024·湖南長(zhǎng)沙·雅禮中學(xué)?？家荒＃┬比庵母骼忾L(zhǎng)都為2，，點(diǎn)在下底面ABC的投影為AB的中點(diǎn)O．
(1)在棱（含端點(diǎn)）上是否存在一點(diǎn)D使？若存在，求出BD的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
【解析】（1）連接，因?yàn)?，為的中點(diǎn)，所以，
由題意知平面ABC，
又，，所以，
以O(shè)點(diǎn)為原點(diǎn)，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，
由得，同理得，
設(shè)，得，
又，，
由，得，
得，又，∴，
∴存在點(diǎn)D且滿(mǎn)足條件；
60．（2024·湖北襄陽(yáng)·襄陽(yáng)四中?？寄M預(yù)測(cè)）斜三棱柱的各棱長(zhǎng)都為，點(diǎn)在下底面的投影為的中點(diǎn).

(1)在棱（含端點(diǎn)）上是否存在一點(diǎn)使？若存在，求出的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
【解析】（1）因?yàn)辄c(diǎn)在下底面的投影為的中點(diǎn)，故平面，
連接，由題意為正三角形，故,
以為原點(diǎn)，分別為軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系：

則，，
設(shè)，可得，
，
假設(shè)在棱（含端點(diǎn)）上存在一點(diǎn)使，
則，
則；
變式35．（2024·貴州遵義·統(tǒng)考三模）如圖，棱臺(tái)中，，底面ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，連接，BD，.

(1)證明：；
【解析】（1）
由題意，該棱臺(tái)是正四棱臺(tái).
連接交于，以所在直線(xiàn)為軸，經(jīng)過(guò)且垂直于平面的直線(xiàn)為軸，交上底面于，連接，建立空間直角坐標(biāo)系如圖.
根據(jù)正四棱臺(tái)的性質(zhì)，過(guò)作底面的垂線(xiàn)，則垂足在上.
根據(jù)題干數(shù)據(jù)，，為上底面正方形對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)的一半，
顯然，故，又，則，故.
于是，，則，于是
變式36．（2024·江西鷹潭·高三貴溪市實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，在三棱柱中，平面ABC，，，D為的中點(diǎn)，交于點(diǎn)E．
(1)證明：；
【解析】（1）由于平面ABC，，所以?xún)蓛纱怪保式⑷鐖D所示的空間直角坐標(biāo)系，
則,
，所以故
變式37．（2024·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第六中學(xué)校校考三模）已知直三棱柱中，側(cè)面為正方形，，E，F(xiàn)分別為AC和的中點(diǎn)，D為棱上的動(dòng)點(diǎn)..

(1)證明：；
【解析】（1）因?yàn)槿庵侵比庵?，所以底面?br/>又底面，所以，，
又因?yàn)椋裕?br/>又，平面，所以平面，
又平面，所以，即兩兩垂直，
以為原點(diǎn)，分別以所在直線(xiàn)為軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則
，，，，，，，，設(shè)，
所以，，
因?yàn)椋?br/>所以，即.
51．（2024·江西·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面，底面是矩形，，分別是的中點(diǎn)，.

(1)證明：.
【解析】（1）解法一：如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，
則，
.
因?yàn)?，所?
【解題方法總結(jié)】
設(shè)直線(xiàn)的方向向量為，則．
這里要特別指出的是，用向量法證明兩直線(xiàn)尤其是兩異面直線(xiàn)垂直是非常有效的方法．
題型十：證明直線(xiàn)與平面垂直
例28．（2024·內(nèi)蒙古烏蘭察布·?？既＃┤鐖D，在四棱錐中，底面，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，，，分別是，的中點(diǎn)．

(1)求證：平面；
【解析】（1）因?yàn)榈酌妫酌?，且底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，
所以?xún)蓛纱怪保?br/>以為原點(diǎn)，所在直線(xiàn)為軸，軸，軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，，，
所以，，，
設(shè)平面的法向量，
則，取可得，所以平面的一個(gè)法向量為，
因?yàn)?，所以平?
例29．（2024·吉林通化·梅河口市第五中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，已知直三棱柱為的中點(diǎn)，為側(cè)棱上一點(diǎn)，且，三棱柱的體積為32．

(1)過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，求證：平面；
【解析】（1）由直三棱柱，得平面，又，
可得三棱柱的體積，得．
如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，
則，
則．設(shè)，則，故．
因?yàn)椋裕裕獾茫矗?br/>證明：由，得，.
所以．又因?yàn)槠矫鍭CQ，平面ACQ，，所以平面．
例30．（2024·上海黃浦·上海市大同中學(xué)?？既＃┤鐖D，直三棱柱中，，，，D為BC的中點(diǎn)，E為上的點(diǎn)，且．

(1)求證：BE⊥平面；
【解析】（1）在直三棱柱中，，顯然射線(xiàn)兩兩垂直，
以點(diǎn)為原點(diǎn)，射線(xiàn)的方向分別為軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，
因?yàn)椋?，D為BC的中點(diǎn)，E為上的點(diǎn)，且，
則，，
于是，即，
而平面，
所以BE⊥平面.
變式38．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，直三棱柱的側(cè)面為正方形，，E，F(xiàn)分別為，的中點(diǎn)，．
(1)證明：平面；
【解析】（1）因?yàn)槿庵鶠橹比庵?br/>所以，又因?yàn)?，，所以?br/>因?yàn)椋矫妫?br/>所以平面，
因?yàn)槠矫?，所以?br/>因?yàn)闉檎叫危裕?br/>故以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則，
因?yàn)?，?br/>所以，，
因?yàn)槠矫?，?br/>所以平面，
【解題方法總結(jié)】
（1）證明直線(xiàn)和平面內(nèi)的兩天相交直線(xiàn)垂直．
（2）證明直線(xiàn)和平面內(nèi)的任一直線(xiàn)垂直．
（3）轉(zhuǎn)化為證明直線(xiàn)與平面的法向量共線(xiàn)．
題型十一：證明平面和平面垂直
例31．（2024·廣東深圳·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在正方體中，如圖、分別是，的中點(diǎn)．

(1)求證：平面平面；
【解析】（1）設(shè)棱長(zhǎng)為，以為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，，
所以，，，，
設(shè)平面的法向量，則，取，得，
設(shè)平面的法向量，則，取，得，
所以，則平面平面．
例32．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知在直三棱柱中，其中為的中點(diǎn)，點(diǎn)是上靠近的四等分點(diǎn)，與底面所成角的余弦值為．

(1)求證：平面平面；
【解析】（1）取的中點(diǎn)，連，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，，
所以四邊形為平行四邊形，所以，
因?yàn)榕c底面所成角的余弦值為，所以與底面所成角的余弦值為，
因?yàn)槿庵鶠橹比庵?，所以平面，所以是與底面所成角，所以，所以，所以，
又，所以是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，
取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連，則，，平面，
以為原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S建立空間直角坐標(biāo)系：
則，，，，，，，，，
，，，，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，平面的一個(gè)法向量為，
則，得，令，得，，
，令，得，，，
因?yàn)?，所以?br/>所以平面平面.
例33．（2024·北京豐臺(tái)·北京豐臺(tái)二中?？既＃┤鐖D，在四棱錐中，平面，，，，.為的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，且.
(1)求證：平面平面；
【解析】（1）如圖，以為原點(diǎn)，分別以，為軸，軸，過(guò)作平行線(xiàn)為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，，，
所以，，因?yàn)?，所以?br/>所以，即，
所以，，
設(shè)平面的法向量為，則，
令，則，所以，
平面的法向量為，則，
令，則，所以，
所以，所以，
所以平面平面.
變式39．（2024·北京·北京四中校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，正三棱柱中，分別是棱上的點(diǎn)，.

(1)證明：平面平面；
【解析】（1）證明：取的中點(diǎn),連接，
在正三棱柱中，不妨設(shè);
以為原點(diǎn)，分別為軸和軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，
則,，
；
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則, ，
取，則，即；
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則,
即，取得.
因?yàn)?，所以平面平面?br/>變式40．（2024·江西新余·高三江西省分宜中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面ABCD是菱形，，，，底面ABCD，，點(diǎn)E在棱PD上，且.
(1)證明：平面平面ACE；
【解析】（1）證明：已知底面ABCD是菱形，，
又平面ABCD，所以BO，CO，PO互相垂直，
故可以以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
由，，可知相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)如下：
，，，，，
易知平面PBD的一個(gè)法向量為，
因?yàn)椋裕?br/>故平面PBD，
從而平面平面ACE.
變式41．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在底面是矩形的四棱錐中，平面，，，是PD的中點(diǎn).
(1)求證：平面平面PAD；
【解析】（1）由題可知，以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示
則
所以
所以即,
所以即,
又,平面PAD,所以平面PAD,
又平面，所以平面平面PAD.
變式42．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，已知四棱錐的底面是平行四邊形，側(cè)面是等邊三角形，.
(1)求證：平面平面；
(2)設(shè)為側(cè)棱上一點(diǎn)，四邊形是過(guò)兩點(diǎn)的截面，且平面，是否存在點(diǎn)，使得平面平面？若存在，求的值；若不存在，說(shuō)明理由.
【解析】（1）證明：在中，因，
所以，所以，又，
且，平面，所以平面，
又平面，
所以平面平面.
（2）假設(shè)存在點(diǎn)，使得平面平面.
取中點(diǎn)為，連接，則，
因?yàn)槠矫嫫矫妫?br/>平面平面，
所以平面.
如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，
不妨設(shè)，則，，則，
設(shè)是平面的法向量，則，取.
設(shè)，其中.
則
連接，因平面平面，平面平面，故取與同向的單位向量.
設(shè)是平面的法向量，
則，取.
由平面平面，知，有，解得.
故在側(cè)棱上存在點(diǎn)，使得平面平面.
變式43．（2024·江蘇·統(tǒng)考三模）如圖，三棱錐P－ABC的底面為等腰直角三角形，∠ABC＝90°，AB＝2．D，E分別為AC，BC的中點(diǎn)，PD⊥平面ABC，點(diǎn)M在線(xiàn)段PE上．
(1)再?gòu)臈l件①、②、③、④四個(gè)條件中選擇兩個(gè)作為已知，使得平面MBD⊥平面PBC，并給予證明；
(2)在（1）的條件下，求直線(xiàn)BP與平面MBD所成的角的正弦值．
條件①：；
條件②：∠PED＝60°；
條件③：PM＝3ME：
條件④：PE＝3ME．
【解析】（1）因PD⊥平面ABC，平面ABC，平面ABC，則，
又由題可知，則如圖，建立以D為原點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，
設(shè)，.
則，，，，.
故.
設(shè)平面MBD法向量為，
則，令，可得；
設(shè)平面PBC法向量為，
則，可令，可得.
要使平面MBD⊥平面PBC，需滿(mǎn)足.
注意到條件①，
PD⊥平面ABC，平面ABC，，又由題可知，則條件②，
條件③，條件④.
則當(dāng)條件①④成立或條件②③成立時(shí)，都有，即可以使平面MBD⊥平面PBC；
（2）由（1），當(dāng)選擇①④時(shí)，，，.
則，平面MBD法向量為，
設(shè)BP與平面MBD所成角為，則；
當(dāng)選擇②③時(shí)，，，.
則，平面MBD法向量，
設(shè)BP與平面MBD所成角為，則；
【解題方法總結(jié)】
（1）轉(zhuǎn)化為證明兩平面的法向量互相垂直
（2）轉(zhuǎn)化為證明一平面內(nèi)的一條直線(xiàn)垂直于另一個(gè)平面．
題型十二：求兩異面直線(xiàn)所成角
例34．（2024·寧夏銀川·銀川一中?？寄M預(yù)測(cè)）在正四棱柱中，底面邊長(zhǎng)為1，高為3，則異面直線(xiàn)與AD所成角的余弦值是 .
【答案】
【解析】，即為異面直線(xiàn)與AD所成的角，

連接，在中，
正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為1，高為3，
，
，，
∴，，
.
故異面直線(xiàn)與AD所成角的余弦值是．
故答案為：．
例35．（2024·江西鷹潭·貴溪市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知正方體的棱長(zhǎng)為1，是棱的中點(diǎn)，為棱上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），記 面直線(xiàn)與所成的角為，則的取值范圍是 .
【答案】
【解析】方法1：取的中點(diǎn)N，連接，如圖所示，

則，面，
所以異面直線(xiàn)AB與EG所成角即為，，
設(shè)，（），
所以，
又因?yàn)椋?br/>所以，
所以，即： .
方法2：如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，
所以，，
所以，（），
又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，；當(dāng)或時(shí)，，
所以，
又因?yàn)椋?br/>所以.
故答案為：.
例36．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在三棱錐P－ABC中，底面ABC，底面ABC為正三角形，PA＝AB，則異面直線(xiàn)PB與AC所成角的余弦值為
【答案】
【解析】設(shè) ，則 ，
；
故答案為： .
變式44．（2024·四川成都·石室中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在三棱錐中，底面，.點(diǎn)、、分別為棱、、的中點(diǎn)，是線(xiàn)段的中點(diǎn)，，.

(1)求證：平面；
(2)已知點(diǎn)在棱上，且直線(xiàn)與直線(xiàn)所成角的余弦值為，求線(xiàn)段的長(zhǎng)．
【解析】（1）證明：因?yàn)榈酌妫?br/>如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)，以、、所在直線(xiàn)分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則、、、、、、、，
，，
設(shè)平面的法向量為，則，
取，可得，
又因?yàn)椋瑒t，所以，，
又因?yàn)槠矫?，所以，平?
（2）依題意，設(shè)，則，
所以，，，
由已知，得，
整理可得，解得或，
所以，線(xiàn)段的長(zhǎng)為或.
變式45．（2024·湖北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在四棱錐中，底面ABCD為正方形，平面平面，，.

(1)證明：平面平面；
(2)若E為PC的中點(diǎn)，異面直線(xiàn)BE與PA所成角為，求四棱錐的體積.
【解析】（1）證明：過(guò)點(diǎn)D作，垂足為點(diǎn)F，
因?yàn)槠矫嫫矫鍼AB，平面平面，平面，
所以平面PAB，平面PAB，所以，
因?yàn)?，又平面PAD，，所以平面PAD，
因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫?
（2）如圖，以點(diǎn)D為原點(diǎn)，DA為X軸，DC為Y軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則、、、，
設(shè)，
則，因?yàn)?，所以?br/>所以，，
因?yàn)楫惷嬷本€(xiàn)BE與PA所成角為，所以，
化簡(jiǎn)得，解得（舍），所以；
所以，平面ABCD，
四棱錐，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，棱錐的高為2，
所以四棱錐的體積為.
變式46．（2024·全國(guó)·高三對(duì)口高考）如圖，圖1，四棱錐中，底面，面是直角梯形，M為側(cè)棱上一點(diǎn)．該四棱錐的俯視圖和側(cè)（左）視圖如圖2所示．

(1)證明：平面；
(2)證明：平面；
(3)線(xiàn)段上是否存在點(diǎn)N，使與所成角的余弦值為？若存在，找到所有符合要求的點(diǎn)N，并求的長(zhǎng)；若不存在，說(shuō)明理由．
【解析】（1）根據(jù)俯視圖可知，，，，
所以，，
因?yàn)榈酌?，底面，所以?br/>因?yàn)椋矫妫?br/>所以平面.
（2）因?yàn)榈酌媸侵苯翘菪危鶕?jù)俯視圖可知，，
在直角三角形中，由，，，得，所以，
在直角三角形中，，，，所以，，
根據(jù)側(cè)視圖可知，，，
因?yàn)榈酌?，底面，所以，?br/>以為原點(diǎn)，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系：
則，，，，，，，，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則，取，得，，，
因?yàn)?，所以?br/>又平面，所以平面.

（3）假設(shè)線(xiàn)段上存在點(diǎn)N，使與所成角的余弦值為，
設(shè)，則，
則，
依題意可得，解得或，
所以點(diǎn)位于點(diǎn)處或位于的中點(diǎn)處，
所以或.
【解題方法總結(jié)】
設(shè)兩異面直線(xiàn)a和b的方向向量為和，利用求角余弦公式可求得和的夾角，由于兩向量所成角的范圍是，而兩異面直線(xiàn)所成角的范圍是．所以．
題型十三：求直線(xiàn)與平面所成角
例37．（2024·湖南長(zhǎng)沙·高三長(zhǎng)郡中學(xué)?？技倨谧鳂I(yè)）如圖所示，直三棱柱中，，，.

(1)求證：；
(2)求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值.
【解析】（1）證明：因?yàn)槿庵鶠橹比庵?，且，?br/>在直角與直角中，可得，
所以，所以，
所以，所以.
因?yàn)榈酌?，底面，所以?br/>又，，且平面，所以平面，
又因?yàn)槠矫妫裕?br/>因?yàn)?，且平面，所以平面?br/>又因?yàn)槠矫?，所?
（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，分別為，，軸建立的空間直角坐標(biāo)系，
如圖所示，則，，，，
則，，，
設(shè)平面的法向量為，則，
令，可得 ，所以平面的一個(gè)法向量為.
設(shè)直線(xiàn)與平面所成角的大小為，
則.
故直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為.

例38．（2024·廣東河源·高三校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）如圖，在四棱錐中，分別為的中點(diǎn)，連接.

(1)當(dāng)為上不與點(diǎn)重合的一點(diǎn)時(shí)，證明：平面；
(2)已知分別為的中點(diǎn)，是邊長(zhǎng)為的正三角形，四邊形是面積為的矩形，當(dāng)時(shí)，求與平面所成角的正弦值.
【解析】（1）因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以，
因?yàn)槠矫?，平面?br/>所以//平面.
（2）因?yàn)槭钦切?，為的中點(diǎn)，
所以，又因?yàn)椋?br/>所以平面，平面，所以，
因?yàn)樗倪呅问蔷匦?，所以，即直線(xiàn)兩兩垂直，
以為坐標(biāo)系的原點(diǎn)，射線(xiàn)分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，

因?yàn)樗倪呅问敲娣e為的矩形，，所以，
由已知得，，，，，
所以，，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，，
∴，∴，令，得，.
∴，設(shè)與平面所成的角為，
則.
所以與平面所成角的正弦值為.
例39．（2024·山西運(yùn)城·高三?？茧A段練習(xí)）在如圖所示的多面體中，四邊形為正方形，四點(diǎn)共面，且和均為等腰直角三角形，，平面平面，.

(1)求證：直線(xiàn)平面；
(2)求平面與平面夾角的余弦值；
(3)若點(diǎn)在直線(xiàn)上，求直線(xiàn)與平面所成角的最大值.
【解析】（1）因?yàn)楹途鶠榈妊苯侨切危遥?br/>所以，
所以，
又平面平面，
所以平面.
（2）連接，因?yàn)樗倪呅螢檎叫危?br/>所以，
因?yàn)槠矫嫫矫嫫矫?，平面平面?br/>所以平面，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

因?yàn)椋?，?br/>設(shè)平面的法向量為，
則，得，令，則，
設(shè)平面的法向量，
由，
令，得，
因?yàn)椋?br/>所以平面與平面夾角的余弦值是.
（3）設(shè)，則，
設(shè)與平面所成的角為，則
要使最大，則，
所以時(shí)等號(hào)成立，
所以，所以與平面所成角的最大值為.
變式47．（2024·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知三棱柱中，是的中點(diǎn)，是線(xiàn)段上一點(diǎn).

(1)求證：；
(2)設(shè)是棱上的動(dòng)點(diǎn)（不包括邊界），當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值.
【解析】（1）證明：連接

，，是的中點(diǎn)
，是的中點(diǎn)
，
，
平面
平面，平面，，
在三棱柱中，，
，，
，
平面，
平面，．
（2）連接，由（1）可知，
平面，平面
平面，
，要使的面積最小，則最小，
又，△是等腰直角三角形
即時(shí)，最小，是的中點(diǎn)，
如圖，建立以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線(xiàn)分別為，，軸的空間直角坐標(biāo)系：

則，，，,0,，
設(shè),,，則，即，得，，，
即,,，
，則，
，,,，
設(shè)平面的法向量為,,，
由，得，即，令，則，，即，
設(shè)直線(xiàn)與平面所成角為，
則,，
即直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為．
變式48．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，四棱錐的底面為正方形，，平面，分別是線(xiàn)段的中點(diǎn)，是線(xiàn)段上的一點(diǎn).

(1)求證：平面平面；
(2)若直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為，且點(diǎn)不是線(xiàn)段的中點(diǎn)，求三棱錐體積.
【解析】（1）連接，
分別是線(xiàn)段的中點(diǎn)，，
底面四邊形為正方形，，
平面，平面，，
又，平面，平面，
，平面，
又平面，平面平面.
（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線(xiàn)為軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，，
設(shè)，，
則，，，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則，令，解得：，，；
設(shè)直線(xiàn)與平面所成角為，
，
解得：或（舍），，
平面，平面，；
，，平面，平面，
到平面的距離為，
.

變式49．（2024·福建漳州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，是圓的直徑，點(diǎn)是圓上異于，的點(diǎn)，平面，，，，分別為，的中點(diǎn)，平面與平面的交線(xiàn)為，在圓上.

(1)在圖中作出交線(xiàn)（說(shuō)明畫(huà)法，不必證明），并求三棱錐的體積；
(2)若點(diǎn)滿(mǎn)足，且與平面所成角的正弦值為，求的值.
【解析】（1）過(guò)點(diǎn)作交圓于點(diǎn)，（ ，分別為，的中點(diǎn)，所以,又，所以,故為平面與平面的交線(xiàn)）
因?yàn)槭菆A的直徑，所以，，
所以，所以四邊形為矩形，
因?yàn)椋?，所以?br/>因?yàn)槠矫妫瑸榈闹悬c(diǎn)，
所以點(diǎn)到平面的距離為，
所以
（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，的方向作為軸，軸，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

則，，，，，
所以，，，
，
設(shè)平面的法向量為，則
即，不妨取，得
因?yàn)榕c平面所成角的正弦值為，
所以
所以，所以或
【解題方法總結(jié)】
設(shè)為平面的斜線(xiàn)，為的方向向量，為平面的法向量，為與所成角的大小，則．
題型十四：求平面與平面所成角
例40．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖1，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝4，BC＝2，∠DAB＝60°，點(diǎn)E，F(xiàn)在以AD為直徑的半圓上，且，將半圓沿AD翻折如圖2．

(1)求證：EF∥平面ABCD；
(2)當(dāng)多面體ABE﹣DCF的體積為4時(shí)，求平面ABE與平面CDF夾角的余弦值．
【解析】（1）證明：連接，，，六邊形為正六邊形，則，

在翻折過(guò)程中，，平面，平面，
所以平面．
（2）連接，分別交于，，則，，
翻折過(guò)程中，平面，平面，，
，，所以平面，同理平面，
所以平面平面．又因?yàn)椋?br/>則三棱柱為直三棱柱，，，
且，，．
設(shè)，所以，
．
所以，即，，，為二面角的平面角，
即平面平面．以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在的直線(xiàn)為，，軸，
建立空間直角坐標(biāo)系如圖，

則,,，，，,2,，,3,，,2,，
，
設(shè)平面的一個(gè)法向量，有，
令得，同理可得平面的法向量，
設(shè)平面與平面的夾角為，觀察圖可知其為銳角，則，
所以平面與平面的夾角的余弦值為．
例41．（2024·黑龍江大慶·高三大慶中學(xué)校考開(kāi)學(xué)考試）如圖，在四棱錐中，底面ABCD是菱形，，，，底面ABCD，，點(diǎn)E在棱PD上，且

(1)證明：平面平面ACE；
(2)求平面PAC與平面ACE所成角的余弦值．
【解析】（1）因?yàn)槠矫鍭BCD，且平面ABCD，則
又因?yàn)锳BCD為菱形，則，
且，平面PBD，
所以平面PBD，則平面，
故平面平面PBD.
（2）由題意可知：，平面ABCD，
故以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，
設(shè)，則，
可得，解得，即，
可得，
因?yàn)椋瑒t，解得，所以，
由題意可知：平面PAC的一個(gè)法向量為，
設(shè)平面ACE的一個(gè)法向量，可得，
則，
令，則，可得
則，
所以平面PAC與平面ACE所成角的余弦值為.
例42．（2024·山西運(yùn)城·山西省運(yùn)城中學(xué)校?？级＃┤鐖D，在三棱柱中，側(cè)面為菱形，，，.

(1)證明：平面平面；
(2)求平面與平面夾角的余弦值.
【解析】（1）如圖，連接，交于，連接.
因?yàn)閭?cè)面為菱形，所以，且為的中點(diǎn).又，故.
又，且，所以，所以.又，所以，所以.
因?yàn)槠矫?，，所以平?
又平面，所以平面平面.

（2）由（1）知，兩兩互相垂直，因此以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線(xiàn)分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，.
故，，.
設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則有，即，令，則.
設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則有，即，令，則.因?yàn)槠矫嫫矫妫砸彩瞧矫娴囊粋€(gè)法向量.
所以.
所以平面與平面夾角的余弦值.

變式50．（2024·寧夏石嘴山·統(tǒng)考一模）如圖，在四棱錐中，側(cè)面底面，底面為菱形，．

(1)若四棱錐的體積為1，求的長(zhǎng)；
(2)求平面與平面所成二面角的正弦值．
【解析】（1）如圖，過(guò)作于，連接，
因?yàn)閭?cè)面底面，且側(cè)面底面面，
所以底面，
設(shè)，因?yàn)椋?br/>所以，
在菱形中，，則為等邊三角形，
則，
所以四棱錐的體積，
解得；
（2）取的中點(diǎn)，連接，則，
以的方向?yàn)檩S的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，
則，
，
設(shè)平面的法向量為，
則，令，得，
設(shè)平面的法向量為，
，令，得，
則，
故平面與平面所成二面角的正弦值為.
變式51．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在三棱臺(tái)中，為中點(diǎn)，，，.
(1)求證：平面；
(2)若，，平面與平面所成二面角大小為，求三棱錐的體積.
【解析】（1）在三棱臺(tái)中，為中點(diǎn)，則，
又，，
，四邊形為平行四邊形，，
又，，
，，，
，平面，平面.
（2），，，
又，，平面，平面，
連接，，，為中點(diǎn)，；
以為正交基底，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，
設(shè)，則，，
，，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則，令，解得：，，；
又平面的一個(gè)法向量，
，解得：，即，
平面，平面平面，平面，
.
變式52．（2024·四川成都·高三四川省成都市第四十九中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖，四棱錐中，底面是矩形，，，且側(cè)面底面，側(cè)面底面，點(diǎn)F是PB的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)E在邊BC上移動(dòng)，且．

(1)證明：底面；
(2)當(dāng)點(diǎn)E在BC邊上移動(dòng)，使二面角為時(shí)，求二面角的余弦值．
【解析】（1）證明：因?yàn)閭?cè)面底面，且側(cè)面底面，底面是矩形，，底面，所以面，
面，所以，
同理，側(cè)面底面，且側(cè)面底面，
底面是矩形，，底面，所以面，
面，所以，
底面，，所以底面ABCD．
（2）因?yàn)榈酌鍭BCD，點(diǎn)F是PB的中點(diǎn)，且，所以．
因?yàn)閭?cè)面，且，則側(cè)面，側(cè)面，所以，
側(cè)面，，所以側(cè)面，
側(cè)面，，
所以為二面角的平面角，
當(dāng)時(shí)，中，由，得，
因?yàn)锳D，AB，AP三線(xiàn)兩兩垂直，分別以AD，AB，AP為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，

，，，，，，，
設(shè)平面FAE的法向量為，則，即，
令，得，，則；
設(shè)平面PAE的法向量為， 由，即，
令，得，，所以，
設(shè)二面角為，則．
【解題方法總結(jié)】
（1）在平面內(nèi)，，在平面β內(nèi)，（是交線(xiàn)的方向向量），其方向如圖所示，則二面角的平面角的余弦值為．
（2）設(shè)是二面角的兩個(gè)半平面的法向量，其方向一個(gè)指向二面角內(nèi)側(cè)，另一個(gè)指向二面角的外側(cè)，則二面角的余弦值為．
題型十五：求點(diǎn)面距、線(xiàn)面距、面面距
例43．（2024·山東青島·高三統(tǒng)考期中）如圖，四棱錐中，底面ABCD為正方形，為等邊三角形，面底面ABCD，E為AD的中點(diǎn).

(1)求證：；
(2)在線(xiàn)段BD上存在一點(diǎn)F，使直線(xiàn)AP與平面PEF所成角的正弦值為.
①確定點(diǎn)F的位置；
②求點(diǎn)C到平面PEF的距離.
【解析】（1）取中點(diǎn)，連接，,
為等邊三角形,
,
面底面，
面底面，
面，
面，
，
，
，
又，
面，
面，
，

（2）①如圖以為原點(diǎn)，為軸，為軸建立空間

直角坐標(biāo)系.設(shè)，
，，，,,
，，，，
，
設(shè)是平面的一個(gè)法向量
則有，
令解得：
因?yàn)橹本€(xiàn)與平面所成角的正弦值為
即
解得，所以點(diǎn)的位置是線(xiàn)段上靠近的三等分點(diǎn)，
②，，
，
點(diǎn)到平面的距離.
例44．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，已知菱形和矩形所在的平面互相垂直，，
.
(1)求直線(xiàn)與平面的夾角；
(2)求點(diǎn)到平面的距離.
【解析】（1）設(shè)，因?yàn)榱庑魏途匦嗡诘钠矫婊ハ啻怪保砸椎闷矫妫?br/>以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線(xiàn)為軸，所在直線(xiàn)為軸，過(guò)點(diǎn)且平行于的方向?yàn)檩S正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，

由已知得，，
因?yàn)檩S垂直于平面，因此可令平面的一個(gè)法向量為，
又，設(shè)直線(xiàn)與平面的夾角為，
則有，即，
所以直線(xiàn)與平面的夾角為.
（2）由（1）空間直角坐標(biāo)系，得，，所以，，
可設(shè)平面的法向量為，則，得，
令，得，，即，
又因?yàn)椋?br/>所以點(diǎn)到平面的距離為.
例45．（2024·廣東東莞·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖所示，在四棱錐中，側(cè)面是正三角形，且與底面垂直，平面，，是棱上的動(dòng)點(diǎn).

(1)當(dāng)是棱的中點(diǎn)時(shí)，求證：平面；
(2)若，，求點(diǎn)到平面距離的范圍.
【解析】（1）證明：因?yàn)槠矫妫矫?，且平面平面，所?
取的中點(diǎn)，連接、，
因?yàn)槭抢獾闹悬c(diǎn)，所以，且，
因?yàn)榍?，所以，且?br/>所以，四邊形為平行四邊形，則，
因?yàn)槠矫?，平面，所以平?
（2）取的中點(diǎn)，連接.
因?yàn)槭钦切?，所?
又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面?br/>所以，平面，
因?yàn)椋?，為的中點(diǎn)，所以，且，
所以，四邊形為平行四邊形，則，
因?yàn)椋瑒t，
以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線(xiàn)分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則、、、，所以，
設(shè)，其中，
則，
設(shè)平面的法向量，
所以，
令，得，
設(shè)點(diǎn)到平面距離為，.
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，，則，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.
綜上，點(diǎn)到平面距離的取值范圍是.
變式53．（2024·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，側(cè)面是邊長(zhǎng)為的正三角形，平面平面，．

(1)求證：平行四邊形為矩形；
(2)若為側(cè)棱的中點(diǎn)，且平面與平面所成角的余弦值為，求點(diǎn)到平面的距離．
【解析】（1）取中點(diǎn)，連接，為正三角形，則，
面面，面面，面，則面，

面，故，又，面，，
所以面，面，故，則平行四邊形為矩形.
（2）如下圖，以為原點(diǎn)，為軸，為軸建立坐標(biāo)系，設(shè)，
則，，，，，
所以，，

設(shè)面的法向量為，則，令，則，
設(shè)面的法向量為，則，令，則，
由，解得，
則面的法向量為，，
點(diǎn)到平面的距離.
變式54．（2024·湖北·模擬預(yù)測(cè)）如圖所示的多面體是由底面為的長(zhǎng)方體被截面所截得到的，其中，，，，則點(diǎn)到平面的距離為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】以D為原點(diǎn)，分別以DA，DC，DF所在直線(xiàn)為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz，
則，
∴，.
設(shè)為平面的法向量，，
由，得，
令z=1，∴，
所以.
又，
∴點(diǎn)C到平面AEC1F的距離d=.
故選：C.
變式55．（2024·云南昆明·昆明市第三中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，已知是側(cè)棱長(zhǎng)和底面邊長(zhǎng)均等于的直三棱柱，是側(cè)棱的中點(diǎn).則點(diǎn)到平面的距離為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】取的中點(diǎn)，連接，
因?yàn)闉榈冗吶切?，為的中點(diǎn)，則，
以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、的方向分別為、、軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則、、、，
設(shè)平面的法向量為，，，
由，取，可得，
，所以，點(diǎn)到平面的距離為.
故選：A.
變式56．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）兩平行平面分別經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O和點(diǎn)，且兩平面的一個(gè)法向量，則兩平面間的距離是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵兩平行平面分別經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O和點(diǎn)，
且兩平面的一個(gè)法向量，
∴兩平面間的距離．
故選：A
變式57．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）空間直角坐標(biāo)系中、、）、，其中，，，，已知平面平面，則平面與平面間的距離為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由已知得，，，設(shè)向量與向量、都垂直，則
，即，取，，
又平面平面，則平面與平面間的距離為，
故選：A.
變式58．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在棱長(zhǎng)為的正方體中，則平面與平面之間的距離為
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則，，，，
所以，，，
設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，
即，解得，故，
顯然平面平面，
所以平面與平面之間的距離．
變式59．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）如圖所示，在長(zhǎng)方體中，，則直線(xiàn)到平面的距離是（ ）
A．5 B．8 C． D．
【答案】C
【解析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線(xiàn)分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．
則．設(shè)．設(shè)平面的法向量為，
由，得
，∴可?。?br/>又，∴點(diǎn)到平面的距離為,
∥，平面，平面，
∴∥平面，
到平面的距離為．
故選：C
變式60．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知是棱長(zhǎng)為1的正方體，則平面與平面的距離為 ．
【答案】/
【解析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線(xiàn)分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，
可得，
因?yàn)椋瑒t，
所以，
因?yàn)槠矫妫矫?，平面，平面?br/>所以平面，平面，
又，平面，
所以平面平面，
所以平面與平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，
設(shè)平面的法向量為，則，
令，可得，所以，
又因?yàn)?，所以?br/>所以平面與平面的距離為．
故答案為：．
變式61．（2024·高二單元測(cè)試）在直三棱柱中，，，D是AC的中點(diǎn)，則直線(xiàn)到平面的距離為 ．
【答案】
【解析】連與交于，則為的中點(diǎn)，連，因?yàn)镈是AC的中點(diǎn)，則，
因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面?br/>所以直線(xiàn)到平面的距離就等于點(diǎn)B1到平面的距離．
因?yàn)?，D是AC的中點(diǎn)，所以，
以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，過(guò)平行于的直線(xiàn)為軸，
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，，，
，，，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則，則，令，得，則，
所以所求距離為.

故答案為：.
變式62．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在長(zhǎng)方體中，，， 分別是 的中點(diǎn)，則直線(xiàn)到平面的距離為 .
【答案】
【解析】以D為原點(diǎn)，DC，DA，所在直線(xiàn)分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，
由題，則，，
因?yàn)? 分別是 的中點(diǎn)，
所以，，，
則，所以，所以平面，所以點(diǎn)E到平面的距離即為直線(xiàn)到平面的距離，
設(shè)平面的法向量為，則，
因?yàn)?，所以，取，則，，
所以是平面的一個(gè)法向量，
又向量，所以點(diǎn)E到平面的距離為，
即直線(xiàn)到平面的距離為.
故答案為：
變式63．（2024·浙江溫州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在棱長(zhǎng)為1的正方體中，E為線(xiàn)段的中點(diǎn)，F(xiàn)為線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，則直線(xiàn)FC到平面的距離為 ．
【答案】/
【解析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，
故，故，
而平面，平面，故平面，
故直線(xiàn)FC到平面的距離為即為到平面的距離.
設(shè)平面的法向量為，
又，故，取，則，
而，故到平面的距離為，
故答案為：.
變式64．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，為線(xiàn)段的中點(diǎn)，F(xiàn)為線(xiàn)段的中點(diǎn)．
(1)求直線(xiàn)到直線(xiàn)的距離；
(2)求直線(xiàn)到平面的距離．
【解析】（1）建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
，，
因?yàn)?，所以，即?br/>所以點(diǎn)到直線(xiàn)的距離即為直線(xiàn)到直線(xiàn)的距離，
，，
，，
所以直線(xiàn)到直線(xiàn)的距離為；
（2）因?yàn)?，平面，平面，所以平面?br/>所以直線(xiàn)到平面的距離等于到平面的距離，
,，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則，即，取，可得，
所以到平面的距離為，
所以直線(xiàn)到平面的距離為.
【解題方法總結(jié)】
如圖所示，平面的法向量為，點(diǎn)是平面內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)是平面外的任意一點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離，就等于向量在法向量方向上的投影的絕對(duì)值，即或
題型十六：點(diǎn)到直線(xiàn)距離、異面直線(xiàn)的距離
例46．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在三棱柱中，底面是邊長(zhǎng)為的正三角形，，頂點(diǎn)在底面的射影為底面正三角形的中心，P，Q分別是異面直線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，則P，Q兩點(diǎn)間距離的最小值是（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【解析】如圖，是底面正的中心，平面，平面，則，
，則，又，，
，直線(xiàn)交于點(diǎn)，，
以直線(xiàn)為軸，為軸，過(guò)平行于的直線(xiàn)為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，
則，，，，
，，，
，
設(shè)與和都垂直，
則，取，則，，
P，Q兩點(diǎn)間距離的最小值即為異面直線(xiàn)與間的距離等于．
故選：D．
例47．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在長(zhǎng)方體中，，，，則異面直線(xiàn)與之間的距離是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
如圖所示，以為原點(diǎn)，所在直線(xiàn)為軸如圖建立空間直角坐標(biāo)系
則
設(shè)直線(xiàn)與的公垂線(xiàn)的方向向量為
則
不妨令
又
則異面直線(xiàn)與之間的距離
故選：D
例48．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，平面，底面為正方形，且，為棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，且，則的中點(diǎn)到直線(xiàn)的距離是 ．
【答案】/
【解析】因?yàn)槠矫妫酌鏋檎叫危?br/>以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線(xiàn)分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則點(diǎn)、、，
，，，
所以，，
所以，的中點(diǎn)到直線(xiàn)的距離.
故答案為：.
變式65．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知空間中三點(diǎn)，則點(diǎn)A到直線(xiàn)的距離為 ．
【答案】
【解析】，
,
，
，
設(shè)點(diǎn)A到直線(xiàn)的距離為，則
.
故答案為：.
變式66．（2024·福建莆田·高三莆田一中?？计谥校┮阎臻g中三點(diǎn)，，，則點(diǎn)C到直線(xiàn)AB的距離為 ．
【答案】
【解析】依題意得，，
則點(diǎn)C到直線(xiàn)AB的距離為
.
故答案為：.
變式67．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在長(zhǎng)方體中，，，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，則點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為 ．
【答案】
【解析】以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，
則，
所以
所以點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為：
，
即點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為．
故答案為：．
變式68．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，多面體是由長(zhǎng)方體一分為二得到的，，，，點(diǎn)D是中點(diǎn)，則異面直線(xiàn)與的距離是 ．
【答案】#
【解析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，,為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則,,,,
∴,,
設(shè)是，的公垂線(xiàn)方向上的單位向量，
則，即①，
，即②，
易知③，
聯(lián)立解得，，或，，；
不妨取，
又∵,
則異面直線(xiàn)與的距離，
故答案為：.
變式69．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在正方體中，AB＝1，M，N分別是棱AB，的中點(diǎn)，E是BD的中點(diǎn)，則異面直線(xiàn)，EN間的距離為 .
【答案】
【解析】
以為原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S建立空間直角坐標(biāo)系，易知，
，設(shè)同時(shí)垂直于，由，令，得，
又，則異面直線(xiàn)，EN間的距離為.
故答案為：.
變式70．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，正四棱錐的棱長(zhǎng)均為2，點(diǎn)E為側(cè)棱PD的中點(diǎn)．若點(diǎn)M，N分別為直線(xiàn)AB，CE上的動(dòng)點(diǎn)，則MN的最小值為 ．
【答案】
【解析】
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則有：
，，，，，
可得：
設(shè)，且
則有：，
可得：
則有：
故
則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，
故答案為：
變式71．（2024·湖南邵陽(yáng)·高三湖南省邵東市第一中學(xué)校考階段練習(xí)）在棱長(zhǎng)為的正方體中，點(diǎn)是線(xiàn)段上的動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)到直線(xiàn)距離的最小值為
【答案】
【解析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)， 所在的直線(xiàn)為軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出與兩異面直線(xiàn)和都垂直的向量，再由在方向上的投影，即為點(diǎn)到直線(xiàn)距離的最小值.
以為坐標(biāo)原點(diǎn)， 所在的直線(xiàn)為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖：
，，，，
，，
點(diǎn)點(diǎn)到直線(xiàn)距離的最小值為兩異面直線(xiàn)和間的距離，
設(shè)他們的公垂線(xiàn)所在的向量為，
由，令，則，，
所以，，
則兩異面直線(xiàn)和間的距離為：
故答案為：
變式72．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在如圖所示實(shí)驗(yàn)裝置中，正方形框架的邊長(zhǎng)都是1，且平面平面，活動(dòng)彈子分別在正方形對(duì)角線(xiàn)，上移動(dòng)，則長(zhǎng)度的最小值是 ．
【答案】
【解析】是異面直線(xiàn)，上兩點(diǎn)，的最小值即為兩條異面直線(xiàn)間距離.
平面平面，，平面平面，
平面，又，則以為坐標(biāo)原點(diǎn)可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，
，，，
設(shè)異面直線(xiàn)，的公垂向量，
則，令，則，，，
，即的最小值為.
故答案為：.
變式73．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知直三棱柱中，側(cè)面為正方形.，E，F(xiàn)分別為AC和的中點(diǎn)，.
(1)求四棱錐的體積；
(2)是否存在點(diǎn)D在直線(xiàn)上，使得異面直線(xiàn)BF，DE的距離為1 若存在，求出此時(shí)線(xiàn)段DE的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
【解析】（1）
∵側(cè)面為正方形，∴，
又，且，面，
∴平面，又，
∴平面，取BC中點(diǎn)G，
則，∴平面.
∴.
（2）以為原點(diǎn)，分別以BA，BC，所在直線(xiàn)建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，
則，，，
設(shè)，則，，.
設(shè)與，均垂直的向量為，
則，即，取，
∴異面直線(xiàn)BF，DE的距離，解得或.
∴或.
故存在點(diǎn)D在直線(xiàn)上，使得異面直線(xiàn)BF，DE的距離為1，且此時(shí)或.
【解題方法總結(jié)】
設(shè)兩條異面直線(xiàn)的公垂線(xiàn)的方向向量為，這時(shí)分別在上任取兩點(diǎn)，則向量在上的正射影長(zhǎng)就是兩條異面直線(xiàn)的距離．則即兩異面直線(xiàn)間的距離，等于兩異面直線(xiàn)上分別任取兩點(diǎn)的向量和公垂線(xiàn)方向向量的數(shù)量積的絕對(duì)值與公垂線(xiàn)的方向向量模的比值．
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