資源簡介

第47講 空間點、直線、平面之間的位置關系
知識梳理
知識點一．四個公理
公理1：如果一條直線上的兩點在一個平面內，那么這條直線在此平面內．
注意：（1）此公理是判定直線在平面內的依據；（2）此公理是判定點在面內的方法
公理2：過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面．
注意：（1）此公理是確定一個平面的依據；（2）此公理是判定若干點共面的依據
推論①：經過一條直線和這條直線外一點，有且只有一個平面；
注意：（1）此推論是判定若干條直線共面的依據
（2）此推論是判定若干平面重合的依據
（3）此推論是判定幾何圖形是平面圖形的依據
推論②：經過兩條相交直線，有且只有一個平面；
推論③：經過兩條平行直線，有且只有一個平面；
公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線．
注意：（1）此公理是判定兩個平面相交的依據
（2）此公理是判定若干點在兩個相交平面的交線上的依據（比如證明三點共線、三線共點）
（3）此推論是判定幾何圖形是平面圖形的依據
公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行．
知識點二．直線與直線的位置關系
位置關系 相交（共面） 平行（共面） 異面
圖形
符號 a∥b
公共點個數 1 0 0
特征 兩條相交直線確定一個平面 兩條平行直線確定一個平面 兩條異面直線不同在如何一個平面內
知識點三．直線與平面的位置關系：有直線在平面內、直線與平面相交、直線與平面平行三種情況．
位置關系 包含（面內線） 相交（面外線） 平行（面外線）
圖形
符號 ∥
公共點個數 無數個 1 0
知識點四．平面與平面的位置關系：有平行、相交兩種情況．
位置關系 平行 相交（但不垂直） 垂直
圖形
符號 ∥ ，
公共點個數 0 無數個公共點且都在唯一的一條直線上 無數個公共點且都在唯一的一條直線上
知識點五．等角定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補．
必考題型全歸納
題型一：證明“點共面”、“線共面”或“點共線”及“線共點”
例1．（2024·山西大同·高一校考期中）如圖所示，在空間四邊形中，，分別為，的中點，，分別在，上，且，求證：

(1)，，，四點共面；
(2)與的交點在直線上．
例2．（2024·陜西西安·高一校考期中）（1）已知直線，直線與，都相交，求證：過，，有且只有一個平面；
（2）如圖，在空間四邊形中，，分別是，的中點，，分別是邊，上的點，且.求證：直線，，相交于一點.

例3．（2024·河南信陽·高一校聯考期中）如圖，在正方體中，E，F分別是上的點，且.

(1)證明：四點共面；
(2)設，證明：A，O，D三點共線.
變式1．（2024·全國·高一專題練習）如圖所示，在空間四邊形ABCD中，E，F分別為AB，AD的中點，G，H分別在BC，CD上，且.求證：
(1)E F G H四點共面；
(2)EG與HF的交點在直線AC上.
變式2．（2024·云南楚雄·高一統考期中）如圖，在正四棱臺中，E，F，G，H分別為棱，，AB，BC的中點．

(1)證明E，F，G，H四點共面；
(2)證明GE，FH，相交于一點．
變式3．（2024·全國·高三專題練習）如圖所示，在正方體中，E，F分別是的中點．
(1)求證：三線交于點P；
(2)在（1）的結論中，G是上一點，若FG交平面ABCD于點H，求證：P，E，H三點共線．
【解題方法總結】
共面、共線、共點問題的證明
（1）證明共面的方法：先確定一個平面，然后再證其余的線（或點）在這個平面內．
（2）證明共線的方法：先由兩點確定一條直線，再證其他各點都在這條直線上．
（3）證明共點的方法：先證其中兩條直線交于一點，再證其他直線經過該點．
題型二：截面問題
例4．（2024·全國·高三對口高考）如圖，正方體的棱長為，動點P在對角線上，過點P作垂直于的平面，記這樣得到的截面多邊形（含三角形）的周長為y，設，則當時，函數的值域為（ ）

A． B． C． D．
例5．（2024·北京東城·高三北京市第十一中學校考階段練習）如圖，正方體的棱長為1，E，F，G分別為線段上的動點（不含端點），

①異面直線與AF所成角可以為
②當G為中點時，存在點E，F使直線與平面AEF平行
③當E，F為中點時，平面AEF截正方體所得的截面面積為
④存在點G，使點C與點G到平面AEF的距離相等
則上述結論正確的是（ ）
A．①③ B．②④ C．②③ D．①④
例6．（2024·河南·模擬預測）在正方體中，M，N分別為AD，的中點，過M，N，三點的平面截正方體所得的截面形狀為（ ）
A．六邊形 B．五邊形 C．四邊形 D．三角形
變式4．（2024·河南·模擬預測）在正方體中，分別為，的中點，則下列結論正確的個數為（ ）
①平面 ；②；③直線與所成角的余弦值為
④過三點的平面截正方體所得的截面為梯形
A．1 B．2 C．3 D．4
變式5．（2024·上海閔行·高三上海市七寶中學校考階段練習）在棱長為2的正方體中，E，F分別為AB，BC的中點，對于如下命題：①異面直線與所成角的余弦值為；②點P為正方形內一點，當平面時，DP的最小值為；③過點，E，F的平面截正方體所得的截面周長為；④當三棱錐的所有頂點都在球O的表面上時，球O的體積為．則正確的命題個數為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
變式6．（2024·河南新鄉·統考三模）如圖，在棱長為2的正方體中，是棱的中點，過三點的截面把正方體分成兩部分，則這兩部分中大的體積與小的體積的比值為（ ）
A． B． C． D．
變式7．（2024·新疆·校聯考二模）已知在直三棱柱中，E，F分別為，的中點，，，，，如圖所示，若過A、E、F三點的平面作該直三棱柱的截面，則所得截面的面積為（ ）
A． B． C． D．
變式8．（2024·新疆阿克蘇·校考一模）已知，，是正方體的棱，，的中點，則平面截正方體所得的截面是（ ）
A．三角形 B．四邊形 C．五邊形 D．六邊形
變式9．（2024·重慶沙坪壩·高三重慶一中校考期中）在棱長為3的正方體中，點Р是側面上的點，且點Р到棱與到棱AD的距離均為1，用過點Р且與垂直的平面去截該正方體，則截面在正方體底面ABCD的投影多邊形的面積是（ ）
A． B．5 C． D．8
【解題方法總結】
（1）作截面應遵循的三個原則：①在同一平面上的兩點可引直線；②凡是相交的直線都要畫出它們的交點；③凡是相交的平面都要畫出它們的交線．
（2）作交線的方法有如下兩種：①利用基本事實3作交線；
②利用線面平行及面面平行的性質定理去尋找線面平行及面面平行，然后根據性質作出交線．
題型三：異面直線的判定
例7．（2024·全國·高三對口高考）兩條直線分別和異面直線都相交，則直線的位置關系是（ ）
A．一定是異面直線 B．一定是相交直線
C．可能是平行直線 D．可能是異面直線，也可能是相交直線
例8．（2024·全國·高三專題練習）如圖，已知正方體，點在直線上，為線段的中點，則下列命題中假命題為（ ）
A．存在點，使得
B．存在點，使得
C．直線始終與直線異面
D．直線始終與直線異面
例9．（2024·四川綿陽·高三綿陽南山中學實驗學校校考階段練習）在底面半徑為1的圓柱中，過旋轉軸作圓柱的軸截面ABCD，其中母線AB=2，E是弧BC的中點，F是AB的中點，則（ ）
A．AE=CF，AC與EF是共面直線
B．，AC與EF是共面直線
C．AE=CF，AC與EF是異面直線
D．，AC與EF是異面直線
變式10．（2024·上海浦東新·高三華師大二附中校考階段練習）已知正方體中，，，分別是棱，，的中點，是線段上的動點，則下列直線中，始終與直線異面的是（ ）
A． B． C． D．
變式11．（2024·上海·高三校聯考階段練習）如圖所示，正三棱柱的所有棱長均為1，點P、M、N分別為棱、AB、的中點，點Q為線段MN上的動點．當點Q由點N出發向點M運動的過程中，以下結論中正確的是（ ）
A．直線與直線CP可能相交 B．直線與直線CP始終異面
C．直線與直線CP可能垂直 D．直線與直線BP不可能垂直
變式12．（2024·吉林長春·高三長春市第六中學校考期末）如圖，在底面為正方形的棱臺中，、、、分別為棱，，，的中點，對空間任意兩點、，若線段與線段、都不相交，則稱點與點可視，下列選項中與點可視的為（ ）
A． B． C． D．
【解題方法總結】
判定空間兩條直線是異面直線的方法如下：
（1）直接法：平面外一點A與平面內一點B的連線和平面內不經過B點的直線是異面直線．
（2）間接法：平面兩條不可能共面（平行，相交）從而得到兩線異面．
題型四：異面直線所成的角
例10．（2024·全國·高三專題練習）如圖,在正方體中,點E,F分別是棱AD,的中點,則異面直線與BF所成角的大小為 ．
例11．（2024·高三課時練習）已知正四面體ABCD中,E是AB的中點,則異面直線CE與BD所成角的大小為 ．
例12．（2024·新疆喀什·高三統考期中）如圖是一個正方體的平面展開圖，在這個正方體中，下列說法中，正確的序號是 .
（1）直線與直線相交；
（2）直線與直線平行；
（3）直線與直線是異面直線；
（4）直線與直線成角.
變式13．（2024·全國·高三專題練習）如圖，將正方體沿交于一頂點的三條棱的中點截去一小塊，八個頂點共截去八小塊，得到八個面為正三角形、六個面為正方形的“阿基米德多面體”，則異面直線與所成角的大小是
變式14．（2024·全國·高三對口高考）線段的兩端分別在直二面角的兩個面內，且與這兩個面都成角，則直線與所成的角等于 ．
變式15．（2024·全國·高三專題練習）如圖，等腰梯形沿對角線翻折，得到空間四邊形，若，則直線與所成角的大小可能為 .（寫出一個值即可）
【解題方法總結】
（1）點、直線、平面位置關系的判定，注意構造幾何體（長方體、正方體）模型來判斷，常借助正方體為模型．
（2）求異面直線所成的角的三個步驟
一作：根據定義作平行線，作出異面直線所成的角．
二證：證明作出的角是異面直線所成的角．
三求：解三角形，求出所作的角．
題型五：平面的基本性質
例13．（多選題）（2024·湖北荊門·荊門市龍泉中學校考模擬預測）已知，是兩個不同的平面，則下列命題正確的是（ ）
A．若，且，則
B．若A，B，C是平面內不共線三點，，，則
C．若且，則直線
D．若直線，直線，則a與b為異面直線
例14．（多選題）（2024·全國·高三專題練習）有下列命題：
①經過三點確定一個平面；
②梯形可以確定一個平面；
③兩兩相交的三條直線最多可以確定三個平面；
④如果兩個平面有三個公共點，則這兩個平面重合．
其中正確命題是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
例15．（多選題）（2024·全國·高三專題練習）我們知道，平面幾何中有些正確的結論在空間中不一定成立．下面給出的平面幾何中的四個真命題， 在空間中仍然成立的有（ ）
A．平行于同一條直線的兩條直線必平行
B．垂直于同一條直線的兩條直線必平行
C．一個角的兩邊分別平行于另一個角的兩邊，那么這兩個角相等或互補
D．一個角的兩邊分別垂直于另一個角的兩邊，那么這兩個角相等或互補
變式16．（多選題）（2024·重慶沙坪壩·高三重慶市第七中學校校考階段練習）下列命題中錯誤的是（ ）
A．空間三點可以確定一個平面
B．三角形一定是平面圖形
C．若A，，，既在平面內，又在平面內，則平面和平面重合
D．四條邊都相等的四邊形是平面圖形
變式17．（多選題）（2024·全國·模擬預測）如圖，點，，，分別是正方體中棱，，，的中點，則（ ）
A． B．
C．直線，是異面直線 D．直線，是相交直線
變式18．（多選題）（2024·全國·高三專題練習）如圖，正方體的棱長為1，線段上有兩個動點E、F，且，則下列結論中正確的是（ ）
A．線段上存在點E、F使得 B．平面ABCD
C．的面積與的面積相等 D．三棱錐A-BEF的體積為定值
題型六：等角定理
例16．（2024·河南新鄉·新鄉市第一中學校考模擬預測）在棱長均相等的四面體中，為棱不含端點上的動點，過點A的平面與平面平行若平面與平面，平面的交線分別為，，則，所成角的正弦值的最大值為 ．
例17．（2024·全國·高三專題練習）過正方體的頂點在空間作直線，使與平面和直線所成的角都等于，則這樣的直線共有 條．
例18．（2024·高三課時練習）若空間兩個角與的兩邊對應平行，當時，則 ．
變式19．（2024·全國·高三專題練習）設和的兩邊分別平行，若，則的大小為 .
變式20．（2024·全國·高三專題練習）空間四邊形的對角線互相垂直且相等，順次連接這個四邊形各邊中點，所組成的四邊形是 .
變式21．（2024·江西吉安·高一校聯考期末）已知空間中兩個角，且，若，則 .
變式22．（2024·黑龍江齊齊哈爾·高一校聯考期末）已知空間中兩個角，，且角與角的兩邊分別平行，若，則 ．
【解題方法總結】
空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補
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21世紀教育網(www.21cnjy.com)第47講 空間點、直線、平面之間的位置關系
知識梳理
知識點一．四個公理
公理1：如果一條直線上的兩點在一個平面內，那么這條直線在此平面內．
注意：（1）此公理是判定直線在平面內的依據；（2）此公理是判定點在面內的方法
公理2：過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面．
注意：（1）此公理是確定一個平面的依據；（2）此公理是判定若干點共面的依據
推論①：經過一條直線和這條直線外一點，有且只有一個平面；
注意：（1）此推論是判定若干條直線共面的依據
（2）此推論是判定若干平面重合的依據
（3）此推論是判定幾何圖形是平面圖形的依據
推論②：經過兩條相交直線，有且只有一個平面；
推論③：經過兩條平行直線，有且只有一個平面；
公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線．
注意：（1）此公理是判定兩個平面相交的依據
（2）此公理是判定若干點在兩個相交平面的交線上的依據（比如證明三點共線、三線共點）
（3）此推論是判定幾何圖形是平面圖形的依據
公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行．
知識點二．直線與直線的位置關系
位置關系 相交（共面） 平行（共面） 異面
圖形
符號 a∥b
公共點個數 1 0 0
特征 兩條相交直線確定一個平面 兩條平行直線確定一個平面 兩條異面直線不同在如何一個平面內
知識點三．直線與平面的位置關系：有直線在平面內、直線與平面相交、直線與平面平行三種情況．
位置關系 包含（面內線） 相交（面外線） 平行（面外線）
圖形
符號 ∥
公共點個數 無數個 1 0
知識點四．平面與平面的位置關系：有平行、相交兩種情況．
位置關系 平行 相交（但不垂直） 垂直
圖形
符號 ∥ ，
公共點個數 0 無數個公共點且都在唯一的一條直線上 無數個公共點且都在唯一的一條直線上
知識點五．等角定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補．
必考題型全歸納
題型一：證明“點共面”、“線共面”或“點共線”及“線共點”
例1．（2024·山西大同·高一校考期中）如圖所示，在空間四邊形中，，分別為，的中點，，分別在，上，且，求證：

(1)，，，四點共面；
(2)與的交點在直線上．
【解析】（1）：：：，，
，分別為，的中點，，，
，，，四點共面．
（2）、不是、的中點，
，且，
與必相交，設交點為，
平面，平面，
平面，且平面，
平面平面，，
與的交點在直線上．
例2．（2024·陜西西安·高一校考期中）（1）已知直線，直線與，都相交，求證：過，，有且只有一個平面；
（2）如圖，在空間四邊形中，，分別是，的中點，，分別是邊，上的點，且.求證：直線，，相交于一點.

【解析】（1）證明：設直線與，分別交于點，
如圖1，

因為，所以確定一個平面，記為平面，
因為點直線，點直線，所以，，
所以直線，即平面，所以過，，有且只有一個平面；
（2）在空間四邊形中，連接，
因為分別為的中點，則，且，
又由，則，且，
故，且，故四邊形為梯形，與交于一點，
設與交于點，如圖2，

由于平面，點在平面內，同理點在平面內，
又因為平面平面，
所以點在直線上，
故直線相交于一點.
例3．（2024·河南信陽·高一校聯考期中）如圖，在正方體中，E，F分別是上的點，且.

(1)證明：四點共面；
(2)設，證明：A，O，D三點共線.
【解析】（1）證明：如圖，連接.

在正方體中，，所以，
又，且，
所以四邊形是平行四邊形，所以，
，所以四點共面；
（2）證明：由，，又平面，平面，
同理平面ABCD，又平面平面，
，即A，O，D三點共線.
變式1．（2024·全國·高一專題練習）如圖所示，在空間四邊形ABCD中，E，F分別為AB，AD的中點，G，H分別在BC，CD上，且.求證：
(1)E F G H四點共面；
(2)EG與HF的交點在直線AC上.
【解析】（1）∵，∴.
∵E，F分別為AB，AD的中點，∴，且，
∴，∴E，F，G，H四點共面.
（2）∵G，H不是BC，CD的中點，∴，∴，
由（1）知，故EFHG為梯形.
∴EG與FH必相交，設交點為M，
∴平面ABC，平面ACD，
∴平面ABC，且平面ACD，
∴，即GE與HF的交點在直線AC上.
變式2．（2024·云南楚雄·高一統考期中）如圖，在正四棱臺中，E，F，G，H分別為棱，，AB，BC的中點．

(1)證明E，F，G，H四點共面；
(2)證明GE，FH，相交于一點．
【解析】（1）證明：連接AC，，如圖所示，

因為為正四棱臺，所以，
又E，F，G，H分別為棱，，AB，BC的中點，所以，，
則，所以E，F，G，H四點共面．
（2）因為，所以，所以EFHG為梯形，則EG與FH必相交．
設，因為平面，所以平面，
因為平面，所以平面，
又平面平面，所以，
則GE，FH，交于一點．
變式3．（2024·全國·高三專題練習）如圖所示，在正方體中，E，F分別是的中點．
(1)求證：三線交于點P；
(2)在（1）的結論中，G是上一點，若FG交平面ABCD于點H，求證：P，E，H三點共線．
【解析】（1）證明：連接，，
正方體中，E，F分別是的中點，
∴且，
∵且，
∴且，
∴EC與相交，設交點為P，
∵PEC，EC平面ABCD，∴P平面ABCD；
又∵，平面，∴平面，
∴P為兩平面的公共點，
∵平面平面，∴，
∴三線交于點P；
（2）
在（1）的結論中，G是上一點，FG交平面ABCD于點H，
則FH平面，∴平面，又平面ABCD，
∴平面平面ABCD，
同理，平面平面ABCD，
平面平面ABCD，
∴P，E，H都在平面與平面ABCD的交線上，
∴P，E，H三點共線．
【解題方法總結】
共面、共線、共點問題的證明
（1）證明共面的方法：先確定一個平面，然后再證其余的線（或點）在這個平面內．
（2）證明共線的方法：先由兩點確定一條直線，再證其他各點都在這條直線上．
（3）證明共點的方法：先證其中兩條直線交于一點，再證其他直線經過該點．
題型二：截面問題
例4．（2024·全國·高三對口高考）如圖，正方體的棱長為，動點P在對角線上，過點P作垂直于的平面，記這樣得到的截面多邊形（含三角形）的周長為y，設，則當時，函數的值域為（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】

如圖，連接， ，平面，平面，則，
又，，平面，平面，
所以平面，又平面，所以，
同理，，平面，平面，所以平面，
因此平面與平面重合或平行，
取的中點，連接，則，，
同理可證平面，由于，，所以三棱錐是正三棱錐，
與平面的交點是的中心，
正方體棱長為，則，，
所以，所以，
由棱錐的平行于底面的截面的性質知，當平面從平面平移到平面時，，即，
，，顯然，


平面過平面再平移至平面時，如圖，把正方形沿旋轉到與正方形在同一平面內，
如圖，則共線，由正方形性質得，同理，，
因此此種情形下，截面的周長與截面的周長相等，平移平面，一直到平面位置處，
由正方體的對稱性，接著平移時，截面周長逐漸減少到，
綜上，的值域是．
故選：A.
例5．（2024·北京東城·高三北京市第十一中學校考階段練習）如圖，正方體的棱長為1，E，F，G分別為線段上的動點（不含端點），

①異面直線與AF所成角可以為
②當G為中點時，存在點E，F使直線與平面AEF平行
③當E，F為中點時，平面AEF截正方體所得的截面面積為
④存在點G，使點C與點G到平面AEF的距離相等
則上述結論正確的是（ ）
A．①③ B．②④ C．②③ D．①④
【答案】C
【解析】對①：因為//，故與的夾角即為與的夾角，
又當與重合時，取得最大值，為；
當與點重合時，取得最小值，設其為，則，故；
又點不能與重合，故，故①錯誤；
對②：當為中點時，存在分別為的中點，滿足//面，證明如下：
取的中點為，連接，如下所示：

顯然//，又面面，故//面；
又易得//，面面，故//面；
又面，故面//面，
又面，故//面，故②正確；
對③：連接，如下所示：

因為////，故面即為平面截正方體所得截面；
又，故該截面為等腰梯形，又，，
故截面面積，故③正確；
對④：連接，取其中點為，如下所示：

要使得點到平面的距離等于點到平面的距離，只需經過的中點，
顯然當點分別為所在棱的中點時，不存在這樣的點滿足要求，故④錯誤.
故選：C.
例6．（2024·河南·模擬預測）在正方體中，M，N分別為AD，的中點，過M，N，三點的平面截正方體所得的截面形狀為（ ）
A．六邊形 B．五邊形 C．四邊形 D．三角形
【答案】B
【解析】
在上取點，且，取中點為，連接.
在上取點，且，連結.
因為，，
所以，所以.
又，所以，所以，
所以，.
因為分別為的中點，所以，且.
根據正方體的性質，可知，且，
所以，，且，
所以，四邊形是平行四邊形，
所以，，所以.
同理可得，.
所以，五邊形即為所求正方體的截面.
故選：B.
變式4．（2024·河南·模擬預測）在正方體中，分別為，的中點，則下列結論正確的個數為（ ）
①平面 ；②；③直線與所成角的余弦值為
④過三點的平面截正方體所得的截面為梯形
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】連接，交于點，則是的中點，連接，由于是中點，可得，
所以四邊形是平行四邊形，所以,
又平面，平面，所以平面，即①正確；
連接，則，在正方體中，平面，又平面，所以,
又，平面，平面，所以平面，若，則平面或平面，而與平面相交，所以與不垂直，即②錯誤；
由于，所以為直線與所成角（或補角），
設正方體棱長為2，
則,所以由余弦定理得，即③正確；
因為平面與平面平行，則過三點的截面與這兩個平面的交線平行，由于其中一條交線是,另一交線過點，所以在平面內作與平行（是靠近的四等分點），連接，同理作出與平行（是靠近的三等分點），從而得到截面，可知截面是五邊形，即④錯誤；
綜上，正確的個數是2個.
故選：B.
變式5．（2024·上海閔行·高三上海市七寶中學校考階段練習）在棱長為2的正方體中，E，F分別為AB，BC的中點，對于如下命題：①異面直線與所成角的余弦值為；②點P為正方形內一點，當平面時，DP的最小值為；③過點，E，F的平面截正方體所得的截面周長為；④當三棱錐的所有頂點都在球O的表面上時，球O的體積為．則正確的命題個數為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】對于①，，
在中即為異面直線與所成的角，
，
異面直線與所成的角的余弦值為．故①錯誤；
對于②，取的中點的中點，取的中點，連接，，，
，
同理可得，
又面，面，面，面，
面，面，
又，面，
面面，
又面，面，
軌跡為線段，
在中，過作，此時取得最小值，
在中，，，，
在中，，，，
在中，，，，
如圖，在中，．故②正確；
對于③，過點的平面截正方體，
平面平面，則過點的平面必與、各交于一點，
設過點的平面必與與分別交于、，
過點的平面與平面和平面分別交于與，，同理可得，
如圖過點的平面截正方體所得的截面圖形為五邊形，
如圖以為原點，分別以方向為軸 軸 軸正方向建立空間直角坐標系，
設，，
則，，，，，
，，，，
，，
，解得，
，，
，，
在中，，，，同理：，
在中，，，，同理：
在中，，，
，
即過點的平面截正方體所得的截面周長為．故③正確；
對于④，如圖所示，取的中點，則，過作，
且使得，則為三棱錐的外接球的球心，
所以為外接球的半徑，
在中，，
，則，
．故④正確，
故選：C．
變式6．（2024·河南新鄉·統考三模）如圖，在棱長為2的正方體中，是棱的中點，過三點的截面把正方體分成兩部分，則這兩部分中大的體積與小的體積的比值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】連接，設平面與平面交于，
因為平面平面，平面與平面交于，
則，又，
則，又是棱的中點，則F是BC的中點.
，,
，
，故.
故選：A.
變式7．（2024·新疆·校聯考二模）已知在直三棱柱中，E，F分別為，的中點，，，，，如圖所示，若過A、E、F三點的平面作該直三棱柱的截面，則所得截面的面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解析：延長，且與相交于，連接EG，并與相交于，連接FD，則四邊形AEDF為所求的截面.
在中，由，，得.
在中，由，，得.
因為為的中點，所以由平面幾何知識可知，.
所以，，即為AG的中點，所以.
又由，可得，
又，，所以.
在中，由，，得，所以.
所以在中，有，，，
即，所以.又注意到，
，
則四邊形AEDF的面積為.
故選：B．
變式8．（2024·新疆阿克蘇·校考一模）已知，，是正方體的棱，，的中點，則平面截正方體所得的截面是（ ）
A．三角形 B．四邊形 C．五邊形 D．六邊形
【答案】D
【解析】如圖所示，分別取，，的中點，，，連接 ，，，，，，則，.
，.
同理可得，.
由基本事實及其三個推論得，，，，，六點共面，
所以平面截正方體所得的截面是六邊形.
故選：D.
變式9．（2024·重慶沙坪壩·高三重慶一中校考期中）在棱長為3的正方體中，點Р是側面上的點，且點Р到棱與到棱AD的距離均為1，用過點Р且與垂直的平面去截該正方體，則截面在正方體底面ABCD的投影多邊形的面積是（ ）
A． B．5 C． D．8
【答案】C
【解析】
由題意可以作出與垂直的平面，
利用面面平行可作出過點P且平行于平面的平面GJKLNM，
則平面GJKLNM與垂直，
作出點M，N的投影O，Q，
平面AOQCKJ的面積S即為所求，
已知正方體棱長為3，點Р到棱與到棱AD的距離均為1，
所以點G，J，K，L，N，M均為各棱的三等分點
，
故選：C.
【解題方法總結】
（1）作截面應遵循的三個原則：①在同一平面上的兩點可引直線；②凡是相交的直線都要畫出它們的交點；③凡是相交的平面都要畫出它們的交線．
（2）作交線的方法有如下兩種：①利用基本事實3作交線；
②利用線面平行及面面平行的性質定理去尋找線面平行及面面平行，然后根據性質作出交線．
題型三：異面直線的判定
例7．（2024·全國·高三對口高考）兩條直線分別和異面直線都相交，則直線的位置關系是（ ）
A．一定是異面直線 B．一定是相交直線
C．可能是平行直線 D．可能是異面直線，也可能是相交直線
【答案】D
【解析】已知直線與是異面直線，直線與直線分別與兩條直線與直線相交于點，

根據題意可得當點與點重合時，兩條直線相交，當點與點不重合時，兩條直線異面，
所以直線的位置關系是異面或相交.
故選:D．
例8．（2024·全國·高三專題練習）如圖，已知正方體，點在直線上，為線段的中點，則下列命題中假命題為（ ）
A．存在點，使得
B．存在點，使得
C．直線始終與直線異面
D．直線始終與直線異面
【答案】C
【解析】正方體中，易得平面，因為點在直線上，為線段的中點，
當點和點重合時，平面，，故A正確；
連接、，當點為線段的中點時，為三角形的中位線，即，故B正確；
平面，當點和點重合時，平面，所以直線和在同一平面內，故C錯誤；
平面，平面，，所以直線始終與直線不相交，且不平行，
所以直線與直線是異面直線，故D正確；
故選：C
例9．（2024·四川綿陽·高三綿陽南山中學實驗學校校考階段練習）在底面半徑為1的圓柱中，過旋轉軸作圓柱的軸截面ABCD，其中母線AB=2，E是弧BC的中點，F是AB的中點，則（ ）
A．AE=CF，AC與EF是共面直線
B．，AC與EF是共面直線
C．AE=CF，AC與EF是異面直線
D．，AC與EF是異面直線
【答案】D
【解析】如圖，在底面半徑為1的圓柱中，母線，，是的中點，則，
因為是的中點，又，則，
，，
，
在中，是的中點，是的中點，，
與是共面直線，
若AC與EF是共面直線，則在同一平面，顯然矛盾，故AC與EF是異面直線
故選：D．
變式10．（2024·上海浦東新·高三華師大二附中校考階段練習）已知正方體中，，，分別是棱，，的中點，是線段上的動點，則下列直線中，始終與直線異面的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】對于選項A，面，面，面，所以直線與異面；
對于選項B，當與重合時，因為，又，，分別是棱，，的中點，所以，所以，選項B錯誤；
對于選項C，連接，在正方體中，易得且，所以與相交，即當與重合時，與相交，選項C錯誤；
對于選項D，取中點，連交于，連，因為且，所以且，故當與重合時，與相交，選項D錯誤.
故選：A.
變式11．（2024·上海·高三校聯考階段練習）如圖所示，正三棱柱的所有棱長均為1，點P、M、N分別為棱、AB、的中點，點Q為線段MN上的動點．當點Q由點N出發向點M運動的過程中，以下結論中正確的是（ ）
A．直線與直線CP可能相交 B．直線與直線CP始終異面
C．直線與直線CP可能垂直 D．直線與直線BP不可能垂直
【答案】B
【解析】在正三棱柱中，
因為點M、N分別為棱AB、的中點，所以，
又平面，平面，
所以平面，
因為平面，，，
所以四點不共面，
所以直線與直線CP始終異面，故A錯誤，B正確；
對于C，設，
則，
，
若直線與直線CP垂直，則，
即，
所以，
即，解得，
因為，所以不存在點使得直線與直線CP垂直，故C錯誤；
對于D，連接，
因為為的中點，所以，
又因平面，平面，
所以，
因為平面，
所以平面，
又平面，所以，
所以當點在的位置時，直線與直線BP垂直，故D錯誤.
故選：B.
變式12．（2024·吉林長春·高三長春市第六中學校考期末）如圖，在底面為正方形的棱臺中，、、、分別為棱，，，的中點，對空間任意兩點、，若線段與線段、都不相交，則稱點與點可視，下列選項中與點可視的為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根據棱臺的性質可知，連接、、、、，
因為、分別為棱，的中點，
所以，又底面為正方形，所以，所以，所以四邊形為梯形，
所以與相交，與相交，故B、C錯誤；
因為，所以四邊形是梯形，所以與相交，故A錯誤；
因為為梯形，為的中點，即，則、、、四點不共面，所以與不相交，
若與相交，則、、、四點共面，
顯然、、、四點共面，平面，所以、、、四點不共面，即假設不成立，
所以與不相交，即點與點可視，故D正確．
故選：D．
【解題方法總結】
判定空間兩條直線是異面直線的方法如下：
（1）直接法：平面外一點A與平面內一點B的連線和平面內不經過B點的直線是異面直線．
（2）間接法：平面兩條不可能共面（平行，相交）從而得到兩線異面．
題型四：異面直線所成的角
例10．（2024·全國·高三專題練習）如圖,在正方體中,點E,F分別是棱AD,的中點,則異面直線與BF所成角的大小為 ．
【答案】
【解析】取中點為,連接,記與交點為,如圖所示:
因為G,F分別是棱,的中點,
所以,且,故四邊形為平行四邊形,
所以,所以與BF所成角即為與所成角,
因為正方體,E,G是棱AD,的中點,
所以,
所以,即,
因為,所以,
所以,
故與所成角為,即與BF所成角為.
故答案為:
例11．（2024·高三課時練習）已知正四面體ABCD中,E是AB的中點,則異面直線CE與BD所成角的大小為 ．
【答案】
【解析】解:由題知,取中點為，連接如圖所示:
不妨設正四面體棱為6,
根據分別為中點得：，
因為與為等邊三角形,
所以，故，同理，
在中,由余弦定理可得:
，
故,
因為,
所以異面直線CE與BD所成角，即直線CE與所成角，即,
故異面直線CE與BD所成角為.
故答案為:
例12．（2024·新疆喀什·高三統考期中）如圖是一個正方體的平面展開圖，在這個正方體中，下列說法中，正確的序號是 .
（1）直線與直線相交；
（2）直線與直線平行；
（3）直線與直線是異面直線；
（4）直線與直線成角.
【答案】（3）（4）/(4)(3)【解析】由正方體的平面展開圖可得正方體，
可得與為異面直線，故（1）錯誤；
與為異面直線，故（2）錯誤；
直線與直線是異面直線，故（3）正確；
連接，，由正方體的性質可得，所以為異面直線與直線所成的角，因為為等邊三角形，所以，即直線與直線所成角為，故（4）正確；
故答案為：（3）（4）．
變式13．（2024·全國·高三專題練習）如圖，將正方體沿交于一頂點的三條棱的中點截去一小塊，八個頂點共截去八小塊，得到八個面為正三角形、六個面為正方形的“阿基米德多面體”，則異面直線與所成角的大小是
【答案】
【解析】如圖所示，由題可知，四邊形和均為正方形，為正三角形，
，，
或其補角為異面直線與所成角，
而為正三角形，
，
即異面直線與所成角的大小是.
故答案為：.
變式14．（2024·全國·高三對口高考）線段的兩端分別在直二面角的兩個面內，且與這兩個面都成角，則直線與所成的角等于 ．
【答案】/
【解析】如圖：

過分別作棱的垂線，垂足設為連結，
由直線垂直于平面的性質定理知，.
所以.
作且，則為直線與所成的角.
連結，可得，，所以，
所以三角形為直角三角形.
設，，所以，
所以.
直線與所成的角等于.
故答案為：.
變式15．（2024·全國·高三專題練習）如圖，等腰梯形沿對角線翻折，得到空間四邊形，若，則直線與所成角的大小可能為 .（寫出一個值即可）
【答案】（答案在內即可）
【解析】由題意，補全等腰梯形為正三角形，則直線與所成角的大小為直線與所成角，易得當等腰梯形沿對角線翻折時，的軌跡為以為頂點，為高的圓錐側面，設，在上取使得，則直線與所成角即，故，因為，，故，故，故只需寫出內的角度即可，如

故答案為：（答案在內即可）
【解題方法總結】
（1）點、直線、平面位置關系的判定，注意構造幾何體（長方體、正方體）模型來判斷，常借助正方體為模型．
（2）求異面直線所成的角的三個步驟
一作：根據定義作平行線，作出異面直線所成的角．
二證：證明作出的角是異面直線所成的角．
三求：解三角形，求出所作的角．
題型五：平面的基本性質
例13．（多選題）（2024·湖北荊門·荊門市龍泉中學校考模擬預測）已知，是兩個不同的平面，則下列命題正確的是（ ）
A．若，且，則
B．若A，B，C是平面內不共線三點，，，則
C．若且，則直線
D．若直線，直線，則a與b為異面直線
【答案】ABC
【解析】對于A，由根據且，則是平面和平面的公共點，
又，由基本事實3（公理2）可得，故A正確；
對于B，由基本事實1（公理3）：過不在一條直線上的三個點，有且只有一個平面，
又，且，則，故B正確；
對于C，由基本事實2（公理1）：如果一條直線上的兩個點在一個平面內，那么這條直線在這個平面內，故C正確；
對于D，由于平面和平面位置不確定，則直線與直線位置亦不確定，可能異面、相交、平行、重合，故D錯誤.
故選：ABC.
例14．（多選題）（2024·全國·高三專題練習）有下列命題：
①經過三點確定一個平面；
②梯形可以確定一個平面；
③兩兩相交的三條直線最多可以確定三個平面；
④如果兩個平面有三個公共點，則這兩個平面重合．
其中正確命題是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】BC
【解析】對于①，經過不共線的三點確定一個平面，故①不正確；
對于②，因為梯形的兩底邊平行，經過兩條平行直線確定一個平面，故②正確；
對于③，當三條直線交于不同的三點時，三條直線只確定一個平面；當三條直線交于一點時，三條直線最多確定三個平面，故③正確；
對于④，當兩個平面的三個公共點在一條直線上時，這兩個平面相交于這條直線，不一定重合，故④不正確.
故選：BC
例15．（多選題）（2024·全國·高三專題練習）我們知道，平面幾何中有些正確的結論在空間中不一定成立．下面給出的平面幾何中的四個真命題， 在空間中仍然成立的有（ ）
A．平行于同一條直線的兩條直線必平行
B．垂直于同一條直線的兩條直線必平行
C．一個角的兩邊分別平行于另一個角的兩邊，那么這兩個角相等或互補
D．一個角的兩邊分別垂直于另一個角的兩邊，那么這兩個角相等或互補
【答案】AC
【解析】根據線線平行具有傳遞性可知A正確；
空間中垂直于同一條直線的兩條直線，位置關系可能是異面、相交、平行，故B錯誤；
根據定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補可知C正確；
如圖，且，
則但和的關系不確定，
故D錯誤.
故選：AC
變式16．（多選題）（2024·重慶沙坪壩·高三重慶市第七中學校校考階段練習）下列命題中錯誤的是（ ）
A．空間三點可以確定一個平面
B．三角形一定是平面圖形
C．若A，，，既在平面內，又在平面內，則平面和平面重合
D．四條邊都相等的四邊形是平面圖形
【答案】ACD
【解析】對于A：若空間中三點共線，則無法確定平面，故A錯誤；
對于B：三角形一定是平面圖形，故B正確；
對于C：若A，，，既在平面內，又在平面內，則此四點可能在平面與平面的交線上，無法確定平面和平面是否重合，故C錯誤；
對于D：四條邊都相等的四邊形可能是空間四邊形，故D錯誤；
故選：ACD
變式17．（多選題）（2024·全國·模擬預測）如圖，點，，，分別是正方體中棱，，，的中點，則（ ）
A． B．
C．直線，是異面直線 D．直線，是相交直線
【答案】BD
【解析】如圖，取棱的中點，的中點，連接，，，，，，，
在正方體中，∵，
∴，，，四點共面，同理可得，，，四點共面，，，，四點共面，
∴，，，，，六點共面，均在平面內，
∵，，
，，平面，
∴與是相交直線．由正方體的結構特征及中位線定理可得，
∴，即．
故選：BD．
變式18．（多選題）（2024·全國·高三專題練習）如圖，正方體的棱長為1，線段上有兩個動點E、F，且，則下列結論中正確的是（ ）
A．線段上存在點E、F使得 B．平面ABCD
C．的面積與的面積相等 D．三棱錐A-BEF的體積為定值
【答案】BD
【解析】如圖所示，AB與為異面直線，故AE與BF也為異面直線，A錯誤；
，故平面ABCD，故B正確；
由圖可知，點A和點B到EF的距離是不相等的，C錯誤；
連結BD交AC于O，則AO為三棱錐A-BEF的高，
，
三棱錐A-BEF的體積為為定值，D正確；
故選：BD.
題型六：等角定理
例16．（2024·河南新鄉·新鄉市第一中學校考模擬預測）在棱長均相等的四面體中，為棱不含端點上的動點，過點A的平面與平面平行若平面與平面，平面的交線分別為，，則，所成角的正弦值的最大值為 ．
【答案】/
【解析】連接,
由題意知過點A的平面與平面平行，平面與平面，平面的交線分別為，，
由于平面平面，平面平面，平面平面，
所以，，
所以或其補角即為，所成的平面角，
設正四棱錐的棱長為，，，則，
在中，
由余弦定理得，
同理求得，
故在中，，
，
由于，則，進而，
當時取等號，
故的最小值為，進而，
故的最大值為，
故答案為：．
例17．（2024·全國·高三專題練習）過正方體的頂點在空間作直線，使與平面和直線所成的角都等于，則這樣的直線共有 條．
【答案】2
【解析】在正方體中，與平面垂直，再根據等角定理，問題可以轉化為過點A與、都成的直線有幾條．
考慮到，夾角為，所以同一平面的角平分線與，的夾角大小為，
因為，從而存在兩條直線滿足條件．而，的外角為120度，所以不存在外角平分線滿足條件．
綜上，滿足條件的直線共2條．
故答案為：2.
例18．（2024·高三課時練習）若空間兩個角與的兩邊對應平行，當時，則 ．
【答案】60°或120°
【解析】當空間兩個角與的兩邊對應平行，且兩邊的方向完全一致時，；
當空間兩個角與的兩邊對應平行，且兩邊方向不完全一致時，.
故答案為：60°或120°
變式19．（2024·全國·高三專題練習）設和的兩邊分別平行，若，則的大小為 .
【答案】45°或135°/135°或45°
【解析】根據等角定理：一個角的兩邊平行于另外一個角的兩邊，則這兩個角相等或互補.
故答案為：45°或135°.
變式20．（2024·全國·高三專題練習）空間四邊形的對角線互相垂直且相等，順次連接這個四邊形各邊中點，所組成的四邊形是 .
【答案】正方形
【解析】連接、，
、、、分別為各邊的中點，
，，，，
，，
四邊形是平行四邊形，
，且，
，且，
四邊形是正方形；
故答案為：正方形．
變式21．（2024·江西吉安·高一校聯考期末）已知空間中兩個角，且，若，則 .
【答案】或
【解析】因為兩個角，且，
則的兩邊分別平行，
所以相等或互補，
又，所以或
故答案為：或
變式22．（2024·黑龍江齊齊哈爾·高一校聯考期末）已知空間中兩個角，，且角與角的兩邊分別平行，若，則 ．
【答案】或
【解析】根據等角定理知：或，
若，則或.
故答案為：或
【解題方法總結】
空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補
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