資源簡介

第48講 直線、平面平行的判定與性質
知識梳理
知識點一：直線和平面平行
1、定義
直線與平面沒有公共點，則稱此直線與平面平行，記作∥
2、判定方法（文字語言、圖形語言、符號語言）
文字語言 圖形語言 符號語言
線∥線線∥面 如果平面外的一條直線和這個平面內的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行（簡記為“線線平行線面平行
面∥面線∥面 如果兩個平面平行，那么在一個平面內的所有直線都平行于另一個平面
3、性質定理（文字語言、圖形語言、符號語言）
文字語言 圖形語言 符號語言
線∥面線∥線 如果一條直線和一個平面平行，經過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線就和交線平行
知識點二：兩個平面平行
1、定義
沒有公共點的兩個平面叫作平行平面，用符號表示為：對于平面和，若，則∥
2、判定方法（文字語言、圖形語言、符號語言）
文字語言 圖形語言 符號語言
判定定理線∥面面∥面 如果一個平面內有兩條相交的直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行（簡記為“線面平行面面平行
線面面∥面 如果兩個平面同垂直于一條直線，那么這兩個平面平行 ∥
3、性質定理（文字語言、圖形語言、符號語言）
文字語言 圖形語言 符號語言
面//面 線//面 如果兩個平面平行，那么在一個平面中的所有直線都平行于另外一個平面
性質定理 如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么他們的交線平行（簡記為“面面平行線面平行”）
面//面 線面 如果兩個平面中有一個垂直于一條直線，那么另一個平面也垂直于這條直線
【解題方法總結】
線線平行、線面平行、面面平行的轉換如圖所示．
（1）證明直線與平面平行的常用方法：
①利用定義，證明直線與平面沒有公共點，一般結合反證法證明；
②利用線面平行的判定定理，即線線平行線面平行．輔助線的作法為：平面外直線的端點進平面，同向進面，得平行四邊形的對邊，不同向進面，延長交于一點得平行于第三邊的線段；
③利用面面平行的性質定理，把面面平行轉化成線面平行；
（2）證明面面平行的常用方法：
①利用面面平行的定義，此法一般與反證法結合；
②利用面面平行的判定定理；
③利用兩個平面垂直于同一條直線；
④證明兩個平面同時平行于第三個平面．
（3）證明線線平行的常用方法：①利用直線和平面平行的判定定理；②利用平行公理；
必考題型全歸納
題型一：平行的判定
例1．（2024·湖南岳陽·高三湖南省岳陽縣第一中學校考開學考試）若、是兩個不重合的平面，
①若內的兩條相交直線分別平行于內的兩條直線，則；
②設、相交于直線，若內有一條直線垂直于，則；
③若外一條直線與內的一條直線平行，則；
以上說法中成立的有（　　）個．
A．0 B．1 C．2 D．3
例2．（2024·全國·高三對口高考）過直線l外兩點作與l平行的平面，那么這樣的平面（ ）
A．不存在 B．只有一個 C．有無數個 D．不能確定
例3．（2024·福建泉州·校聯考模擬預測）如圖，點A，B，C，M，N為正方體的頂點或所在棱的中點，則下列各圖中，不滿足直線平面ABC的是（ ）
A． B．
C． D．
變式1．（2024·湖南岳陽·高三湖南省岳陽縣第一中學校考開學考試）a，b，c為三條不重合的直線，，，為三個不重合的平面，現給出下面六個命題：
①，，則；②若，，則；
③，，則；④若，，則；
⑤若，，則；⑥若，，則．
其中真命題的個數是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
變式2．（2024·全國·高三專題練習）設，為兩個不同的平面，則∥的一個充分條件是（ ）
A．內有無數條直線與平行 B．，垂直于同一個平面
C．，平行于同一條直線 D．，垂直于同一條直線
【解題方法總結】
排除法：畫一個正方體，在正方體內部或表面找線或面進行排除．
題型二：線面平行構造之三角形中位線法
例4．（2024·廣東河源·高三校聯考開學考試）如圖，在四棱錐中，分別為的中點，連接．

（1）當為上不與點重合的一點時，證明：平面；
例5．（2024·貴州畢節·?？寄M預測）如圖，在三棱柱中，側面是矩形，，，分別為棱的中點，為線段的中點．

（1）證明：平面．
（2）若三棱錐的體積為1，求．
例6．（2024·黑龍江大慶·統考二模）如圖所示，在正四棱錐中，底面ABCD的中心為O，PD邊上的垂線BE交線段PO于點F，．

（1）證明：//平面PBC；
變式3．（2024·全國·高三專題練習）如圖，四棱錐中，四邊形ABCD為梯形，，，，，，M，N分別是PD，PB的中點．
（1）求證：直線平面ABCD；
變式4．（2024·陜西漢中·高三統考期末）如圖，在三棱柱中，平面，且，點是棱的中點．

（1）求證：平面；
（2）求三棱錐的體積．
變式5．（2024·全國·高三專題練習）如圖，在四棱錐中，四邊形是正方形，，平面，點是棱的中點，點是棱上的一點，且．

（1）求證：平面；
（2）求點到平面的距離．
變式6．（2024·新疆昌吉·高三?？紝W業考試）如圖，在正方體中，是棱的中點．

（1）證明：平面；
（2）若正方體棱長為2，求三棱錐的體積．
【解題方法總結】
（1）初學者可以拿一把直尺放在位置（與平齊），如圖一；
（2）然后把直尺平行往平面方向移動，直到直尺第一次落在平面內停止，如圖二；
（3）此時剛好經過點（這里熟練后可以直接憑數感直接找到點），此時直尺所在的位置就是我們要找的平行線，直尺與相交于點，連接，如圖三；
（4）此時長度有長有短，連接并延長剛好交于一點，剛好構成型模型（為中點，則也為中點，若為等分點，則也為對應等分點），，如圖四．
圖一 圖二 圖三 圖四
題型三：線面平行構造之平行四邊形法
例7．（2024·天津濱海新·高三?？计谥校┤鐖D，四棱錐的底面是菱形，平面底面，，分別是，的中點，，，．
（1）求證：平面；
例8．（2024·全國·高三專題練習）如圖，四棱臺的底面是菱形，且，平面，，，．
（1）求證：平面；
（2）求三棱錐的體積．
例9．（2024·全國·高三專題練習）如圖，在正三棱柱中，分別是，，的中點，，的邊長為2．
（1）求證：：平面；
變式7．（2024·重慶沙坪壩·高三重慶南開中學?？茧A段練習）如圖，在三棱柱中，底面，，，，、分別為棱、的中點，，．
（1）求證：平面；
變式8．（2024·天津紅橋·高三天津市復興中學校考階段練習）如圖所示，在四棱錐中，平面，，E是PD的中點．
（1）求證：；
（2）求證：平面；
（3）若M是線段上一動點，則線段上是否存在點N，使平面？說明理由．
【解題方法總結】
（1）初學者可以拿一把直尺放在位置，如圖一；
（2）然后把直尺平行往平面方向移動，直到直尺第一次落在平面內停止，如圖二；
（3）此時剛好經過點（這里熟練后可以直接憑數感直接找到點），此時直尺所在的位置就是我們要找的平行線，直尺與相交于點O，連接， 如圖三；
（4）此時長度相等（感官上相等即可，若感覺有長有短則考慮法一A型的平行），連接，剛好構成平行四邊形型模型（為中點，O也為中點，為三角形中位線），，如圖四．
圖一 圖二 圖三 圖四
題型四：線面平行轉化為面面平行
例10．（2024·全國·高三專題練習）如圖，在四棱錐中，平面，且四邊形是正方形，，，分別是棱，，的中點．
（1）求證：平面；
（2）若，求點到平面的距離．
例11．（2024·全國·模擬預測）如圖，在多面體中，四邊形是菱形，且有，，，平面，．
（1）求證：平面；
例12．（2024·江西贛州·統考模擬預測）如圖，在三棱柱中，側面是矩形，側面是菱形，，、分別為棱、的中點，為線段的中點．
（1）證明：平面；
變式9．（2024·上?！つM預測）直四棱柱，，AB⊥AD，AB＝2，AD＝3，DC＝4
（1）求證：；
變式10．（2024·廣東深圳·高三深圳外國語學校?？奸_學考試）如圖，多面體中，四邊形為矩形，二面角的大小為，，，，．
（1）求證：平面；
變式11．（2024·全國·高三對口高考）已知正方形和正方形，如圖所示，、分別是對角線、上的點，且．求證：平面．

【解題方法總結】
本法原理：已知平面平面，則平面里的任意直線均與平面平行
題型五：利用線面平行的性質證明線線平行
例13．（2024·河南·高三校聯考階段練習）已知四棱錐，底面為菱形平面，為上一點．
（1）平面平面，證明：；
例14．（2024·河南·高三校聯考階段練習）已知四棱錐，底面為菱形，平面，，，為上一點．
（1）平面平面，證明：．
（2）當直線與平面的夾角為時，求三棱錐的體積．
例15．（2024·重慶萬州·統考模擬預測）如圖1所示，在四邊形中，，為上一點，，，將四邊形沿折起，使得，得到如圖2所示的四棱錐．
（1）若平面平面，證明：；
變式12．（2024·北京東城·高三北京市第十一中學?？茧A段練習）如圖所示，在直三棱柱中，，，點、分別為棱、的中點，點是線段上的點（不包括兩個端點）．
（1）設平面與平面相交于直線，求證：；
變式13．（2024·全國·高三專題練習）如圖，四棱錐的底面邊長為8的正方形，四條側棱長均為．點分別是棱上共面的四點，平面平面，平面．證明：．
變式14．（2024·江蘇揚州·江蘇省高郵中學?？寄M預測）如圖，三棱臺中，，是的中點，點在線段上，，平面平面．
（1）證明：；
【解題方法總結】
如果一條直線和一個平面平行，經過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線就和交線平行
題型六：面面平行的證明
例16．（2024·河南鄭州·高三鄭州外國語學校校考階段練習）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD，AB＝AD，PA⊥PD，AD⊥CD，∠BAD＝60°，M，N分別為AD，PA的中點．
（1）證明：平面BMN∥平面PCD；
例17．（2024·山東臨沂·高三?？茧A段練習）如圖，在多面體中，是正方形，，，，為棱的中點．
（1）求證：平面平面；
（1）求證：平面平面；
例18．（2024·甘肅定西·統考模擬預測）如圖，在四棱錐中，底面ABCD是邊長為2的菱形，，AC與BD交于點O，底面ABCD，，點E，F分別是棱PA，PB的中點，連接OE，OF，EF．
（1）求證：平面平面PCD；
（2）求三棱錐的體積．
變式15．（2024·四川南充·統考三模）如圖所示，已知是圓錐底面的兩條直徑，為劣弧的中點．
（1）證明：；
（2）若，為線段上的一點，且，求證：平面平面．
【解題方法總結】
常用證明面面平行的方法是在一個平面內找到兩條相交直線與另一個平面分別平行或找一條直線同時垂直于這兩個平面．證明面面平行關鍵是找到兩組相交直線分別平行．
題型七：面面平行的性質
例19．（2024·全國·高三專題練習）如圖，在四棱柱中，底面為梯形，，平面與交于點．求證：．
例20．（2024·遼寧·朝陽市第一高級中學校聯考三模）如圖，直四棱柱被平面所截，截面為CDEF，且，，，平面EFCD與平面ABCD所成角的正切值為．
（1）證明：；
例21．（2024·安徽滁州·安徽省定遠中學校考二模）如圖，在三棱柱中，四邊形是邊長為4的菱形．，點D為棱AC上動點（不與A，C重合），平面B1BD與棱A1C1交于點E．
（1）求證：；
變式16．（2024·北京·高三專題練習）如圖，在多面體中，面是正方形，平面，平面平面，，，，四點共面，，．
（1）求證：；
變式17．（2024·全國·高三專題練習）在如圖所示的圓柱中，AB，CD分別是下底面圓O，上底面圓的直徑，AD，BC是圓柱的母線，E為圓O上一點，P為DE上一點，且平面BCE．
（1）求證：；
【解題方法總結】
如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么他們的交線平行（簡記為“面面平行線面平行”）
題型八：平行關系的綜合應用
例22．（2024·全國·高三專題練習）已知正方體中， 分別為對角線 上的點，且．
（1）求證：平面；
（2）若是上的點，的值為多少時，能使平面平面？請給出證明．
例23．（2024·全國·高三專題練習）如圖、三棱柱的側棱垂直于底面，是邊長為2的正三角形，，點在線段上且，點是線段上的動點．當為多少時，直線平面？
例24．（2024·福建福州·福州四中?？寄M預測）如圖，在直三棱柱中，，且，點在線段（含端點）上運動，設．
（1）當平面時，求實數的值；
變式18．（2024·湖南長沙·高一長沙市實驗中學校考期中）如圖所示，四邊形EFGH為空間四邊形ABCD的一個截面，若截面為平行四邊形．
（1）求證：AB∥平面EFGH；
（2）若AB＝4，CD＝6，求四邊形EFGH周長的取值范圍．
變式19．（2024·全國·高三專題練習）如圖，在四棱錐中，為邊的中點，異面直線與所成的角為．
（1）在直線上找一點，使得直線平面，并求的值；
變式20．（2024·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學?？茧A段練習）如圖所求，四棱錐，底面為平行四邊形，為的中點，為中點．
（1）求證：平面；
（2）已知點在上滿足平面，求的值．
【解題方法總結】
證明平行關系的常用方法
熟練掌握線線、線面、面面平行關系間的相互轉化是解決線線、線面、面面平行的綜合問題的關鍵．面面平行判定定理的推論也是證明面面平行的一種常用方法
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21世紀教育網(www.21cnjy.com)第48講 直線、平面平行的判定與性質
知識梳理
知識點一：直線和平面平行
1、定義
直線與平面沒有公共點，則稱此直線與平面平行，記作∥
2、判定方法（文字語言、圖形語言、符號語言）
文字語言 圖形語言 符號語言
線∥線線∥面 如果平面外的一條直線和這個平面內的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行（簡記為“線線平行線面平行
面∥面線∥面 如果兩個平面平行，那么在一個平面內的所有直線都平行于另一個平面
3、性質定理（文字語言、圖形語言、符號語言）
文字語言 圖形語言 符號語言
線∥面線∥線 如果一條直線和一個平面平行，經過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線就和交線平行
知識點二：兩個平面平行
1、定義
沒有公共點的兩個平面叫作平行平面，用符號表示為：對于平面和，若，則∥
2、判定方法（文字語言、圖形語言、符號語言）
文字語言 圖形語言 符號語言
判定定理線∥面面∥面 如果一個平面內有兩條相交的直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行（簡記為“線面平行面面平行
線面面∥面 如果兩個平面同垂直于一條直線，那么這兩個平面平行 ∥
3、性質定理（文字語言、圖形語言、符號語言）
文字語言 圖形語言 符號語言
面//面 線//面 如果兩個平面平行，那么在一個平面中的所有直線都平行于另外一個平面
性質定理 如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么他們的交線平行（簡記為“面面平行線面平行”）
面//面 線面 如果兩個平面中有一個垂直于一條直線，那么另一個平面也垂直于這條直線
【解題方法總結】
線線平行、線面平行、面面平行的轉換如圖所示．
（1）證明直線與平面平行的常用方法：
①利用定義，證明直線與平面沒有公共點，一般結合反證法證明；
②利用線面平行的判定定理，即線線平行線面平行．輔助線的作法為：平面外直線的端點進平面，同向進面，得平行四邊形的對邊，不同向進面，延長交于一點得平行于第三邊的線段；
③利用面面平行的性質定理，把面面平行轉化成線面平行；
（2）證明面面平行的常用方法：
①利用面面平行的定義，此法一般與反證法結合；
②利用面面平行的判定定理；
③利用兩個平面垂直于同一條直線；
④證明兩個平面同時平行于第三個平面．
（3）證明線線平行的常用方法：①利用直線和平面平行的判定定理；②利用平行公理；
必考題型全歸納
題型一：平行的判定
例1．（2024·湖南岳陽·高三湖南省岳陽縣第一中學?？奸_學考試）若、是兩個不重合的平面，
①若內的兩條相交直線分別平行于內的兩條直線，則；
②設、相交于直線，若內有一條直線垂直于，則；
③若外一條直線與內的一條直線平行，則；
以上說法中成立的有（　?。﹤€．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】對于①，設平面，且，
由直線與平面平行的判定定理可知，，
再由平面與平面平行的判定定理可知，則①正確；
對于②，設、交于直線，若內有一條直線垂直于，
則、可能垂直也可能不垂直，則②錯誤；
對于③，由直線與平面平行的判定定理可知，則③正確，
故選：．
例2．（2024·全國·高三對口高考）過直線l外兩點作與l平行的平面，那么這樣的平面（ ）
A．不存在 B．只有一個 C．有無數個 D．不能確定
【答案】D
【解析】過直線l外兩點作與l平行的平面，
如果兩點所在的直線與已知直線相交，則這樣的平面不存在；
如果兩點所在的直線與已知直線平行，則這樣的平面有無數個；
如果兩點所在的直線與已知直線異面，則這樣的平面只有一個．
因此只有D正確．
故選：D．
例3．（2024·福建泉州·校聯考模擬預測）如圖，點A，B，C，M，N為正方體的頂點或所在棱的中點，則下列各圖中，不滿足直線平面ABC的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】對于A，由正方體的性質可得，平面ABC，平面ABC，
所以直線平面ABC，能滿足；
對于B，作出完整的截面ADBCEF，由正方體的性質可得，平面ABC，平面ABC，所以直線平面ABC，能滿足；

對于C，作出完整的截面ABCD，由正方體的性質可得，平面ABC，平面ABC，
所以直線平面ABC，能滿足；

對于D，作出完整的截面，如下圖ABNMHC，可得MN在平面ABC內，不能得出平行，不能滿足．
故選：D．
變式1．（2024·湖南岳陽·高三湖南省岳陽縣第一中學校考開學考試）a，b，c為三條不重合的直線，，，為三個不重合的平面，現給出下面六個命題：
①，，則；②若，，則；
③，，則；④若，，則；
⑤若，，則；⑥若，，則．
其中真命題的個數是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【解析】，，為三條不重合的直線，，，為三個不重合的平面，
①，，則，滿足直線與直線平行的傳遞性，所以①正確；
②，，則，可能平行，可能相交，也可能異面，所以②不正確；
③，，則，可能平行，也可能相交，所以③不正確；
④，，則，滿足平面與平面平行的性質，所以④正確；
⑤，，則或，所以⑤不正確；
⑥，，則或，所以⑥不正確；
故選：C．
變式2．（2024·全國·高三專題練習）設，為兩個不同的平面，則∥的一個充分條件是（ ）
A．內有無數條直線與平行 B．，垂直于同一個平面
C．，平行于同一條直線 D．，垂直于同一條直線
【答案】D
【解析】對于A：內有無數條直線與平行推不出∥，只有內所有直線與平行才能推出，故A錯誤；
對于B：，垂直于同一平面，得到∥或與相交，故B錯誤；
對于C：，平行于同一條直線，得到∥或與相交，故C錯誤；
對于D：因為垂直與同一條直線的兩平面平行，故，垂直于同一條直線可得∥，故：D正確．
故選：D
【解題方法總結】
排除法：畫一個正方體，在正方體內部或表面找線或面進行排除．
題型二：線面平行構造之三角形中位線法
例4．（2024·廣東河源·高三校聯考開學考試）如圖，在四棱錐中，分別為的中點，連接．

（1）當為上不與點重合的一點時，證明：平面；
【解析】（1）因為分別為的中點，所以，
因為平面，平面，
所以//平面．
例5．（2024·貴州畢節·?？寄M預測）如圖，在三棱柱中，側面是矩形，，，分別為棱的中點，為線段的中點．

（1）證明：平面．
（2）若三棱錐的體積為1，求．
【解析】（1）連接，交于點，連接，
由題意，四邊形為平行四邊形，所以，
因為E為中點，∴，
∴與相似，且相似比為，
∴，又∵，為，中點，∴，
所以，又平面，平面，
所以平面．

（2）由
由（1）平面， 則點與到平面的距離相等．
所以，
由側面是矩形，則，又，且，
平面，平面，
所以平面，是的中點，
所以到平面的距離為，
又，則，
所以，
所以．
例6．（2024·黑龍江大慶·統考二模）如圖所示，在正四棱錐中，底面ABCD的中心為O，PD邊上的垂線BE交線段PO于點F，．

（1）證明：//平面PBC；
【解析】（1）證明：如圖，延長FO至點M，使，連接MD，
∵底面ABCD的中心為O，∴平面ABCD，∴，
∵，，
∴，
∴，∴，∴，∴
而，∴，∴，
∵平面PBC，平面PBC，∴平面PBC；
變式3．（2024·全國·高三專題練習）如圖，四棱錐中，四邊形ABCD為梯形，，，，，，M，N分別是PD，PB的中點．
（1）求證：直線平面ABCD；
【解析】（1）連接BD，M，N分別是PD，PB的中點．
，
又平面，平面
直線平面
變式4．（2024·陜西漢中·高三統考期末）如圖，在三棱柱中，平面，且，點是棱的中點．

（1）求證：平面；
（2）求三棱錐的體積．
【解析】（1）連接交于點，連接，

是的中點，是的中點，
∴，
平面，平面，
∴平面；
（2）過作于，
平面，平面，
，
又平面，
平面，
在等邊中，是的中點，，
．
所以三棱錐的體積為．
變式5．（2024·全國·高三專題練習）如圖，在四棱錐中，四邊形是正方形，，平面，點是棱的中點，點是棱上的一點，且．

（1）求證：平面；
（2）求點到平面的距離．
【解析】（1）連接交于，連接，如圖所示．

因為四邊形是正方形，所以是的中點，又點是棱的中點，
所以是的中位線，所以，
又平面，平面，所以平面．
（2）因為平面，，平面，所以，，
又，，，平面，所以平面，
又，平面，所以，．
在中，，，是的中點，所以，，
又，，，平面，
所以平面，所以是三棱錐的高．
在中，，，，所以，
所以，所以，
得，，，
．
在中，，，，
所以，所以，
所以．
設點到平面的距離為，所以，解得，
即點到平面的距離為．
變式6．（2024·新疆昌吉·高三?？紝W業考試）如圖，在正方體中，是棱的中點．

（1）證明：平面；
（2）若正方體棱長為2，求三棱錐的體積．
【解析】（1）連接交于，連接，如圖，

因為在正方體中，底面是正方形，則是的中點，
又是的中點，則是的中位線，故，
又面，面，所以平面．
（2）因為正方體中，平面，
所以．
【解題方法總結】
（1）初學者可以拿一把直尺放在位置（與平齊），如圖一；
（2）然后把直尺平行往平面方向移動，直到直尺第一次落在平面內停止，如圖二；
（3）此時剛好經過點（這里熟練后可以直接憑數感直接找到點），此時直尺所在的位置就是我們要找的平行線，直尺與相交于點，連接，如圖三；
（4）此時長度有長有短，連接并延長剛好交于一點，剛好構成型模型（為中點，則也為中點，若為等分點，則也為對應等分點），，如圖四．
圖一 圖二 圖三 圖四
題型三：線面平行構造之平行四邊形法
例7．（2024·天津濱海新·高三?？计谥校┤鐖D，四棱錐的底面是菱形，平面底面，，分別是，的中點，，，．
（1）求證：平面；
【解析】（1）證明：取中點，連接，因為分別是的中點，所以，
又因為底面是菱形，是的中點，所以，
所以，所以四邊形是平行四邊形，所以，
又平面，平面，所以平面．
例8．（2024·全國·高三專題練習）如圖，四棱臺的底面是菱形，且，平面，，，．
（1）求證：平面；
（2）求三棱錐的體積．
【解析】（1）連接交于點，連接，
幾何體為四棱臺，四點共面，且平面，平面，
平面平面，；
四邊形和均為菱形，，，，
，四邊形為平行四邊形，，
又平面，平面，平面．
（2）連接交于，
平面，平面平面，平面，
又平面，，
，，平面，平面；
四邊形為菱形，，，，
．
例9．（2024·全國·高三專題練習）如圖，在正三棱柱中，分別是，，的中點，，的邊長為2．
（1）求證：：平面；
【解析】（1）證明：取的中點，連接，，
根據題意可得，且，，
由三棱柱得性質知，所以，則四邊形是平行四邊形，
所以，
因為面，面，
所以面．
變式7．（2024·重慶沙坪壩·高三重慶南開中學?？茧A段練習）如圖，在三棱柱中，底面，，，，、分別為棱、的中點，，．
（1）求證：平面；
【解析】（1）證明：取中點，連接、．
因為是的中點，且，故為的重心，
所以、、共線，且，
又，故，所以，
因為且，則四邊形為平行四邊形，故且，
因為、分別為、的中點，所以，且，
則四邊形為平行四邊形，所以，所以，
又平面，平面，所以面．
變式8．（2024·天津紅橋·高三天津市復興中學?？茧A段練習）如圖所示，在四棱錐中，平面，，E是PD的中點．
（1）求證：；
（2）求證：平面；
（3）若M是線段上一動點，則線段上是否存在點N，使平面？說明理由．
【解析】（1）在四棱錐中，平面，平面，平面，
平面平面，所以；
（2）如下圖，取為中點，連接，由E是PD的中點，
所以且，由（1）知，又，
所以且，所以四邊形為平行四邊形，故，
而平面，平面，則平面．
（3）取中點N，連接，，
因為E，N分別為，的中點，所以，
因為平面，平面，所以平面，
線段存在點N，使得平面，理由如下：
由（2）知：平面，又，平面，平面，
所以平面平面，又M是上的動點，平面，
所以平面，所以線段存在點N，使得平面．
【解題方法總結】
（1）初學者可以拿一把直尺放在位置，如圖一；
（2）然后把直尺平行往平面方向移動，直到直尺第一次落在平面內停止，如圖二；
（3）此時剛好經過點（這里熟練后可以直接憑數感直接找到點），此時直尺所在的位置就是我們要找的平行線，直尺與相交于點O，連接， 如圖三；
（4）此時長度相等（感官上相等即可，若感覺有長有短則考慮法一A型的平行），連接，剛好構成平行四邊形型模型（為中點，O也為中點，為三角形中位線），，如圖四．
圖一 圖二 圖三 圖四
題型四：線面平行轉化為面面平行
例10．（2024·全國·高三專題練習）如圖，在四棱錐中，平面，且四邊形是正方形，，，分別是棱，，的中點．
（1）求證：平面；
（2）若，求點到平面的距離．
【解析】（1）連接，
∵是正方形，，分別是棱，的中點，
∴，，
∴四邊形是平行四邊形，∴，
∵是的中點，∴，
∵平面，平面，
∴平面，平面，
∵，直線在平面內，
∴平面平面，∵平面，
∴平面．
（2）∵平面，，
∴平面，
過C在平面內，作，垂足為，則，
∵，又直線FG，BF在平面內，
∴平面，
∴的長是點C到平面的距離，
∵中，，
∴由等面積可得，
∴點C到平面的距離為．
例11．（2024·全國·模擬預測）如圖，在多面體中，四邊形是菱形，且有，，，平面，．
（1）求證：平面；
【解析】（1）因為四邊形是菱形，
所以，
又平面，平面，
所以平面，
因為，平面，平面，
所以平面，
又因為，平面，
所以平面平面，
又平面，
所以平面．
例12．（2024·江西贛州·統考模擬預測）如圖，在三棱柱中，側面是矩形，側面是菱形，，、分別為棱、的中點，為線段的中點．
（1）證明：平面；
【解析】（1）證明：取的中點，連接、、，
因為且，故四邊形為平行四邊形，所以，且，
因為為的中點，則且，
因為、分別為、的中點，所以，且，
所以，且，故四邊形為平行四邊形，所以，，
因為平面，平面，所以，平面，
因為、分別為、的中點，所以，，
因為平面，平面，所以，平面，
因為，、平面，所以，平面平面，
因為平面，故平面．
變式9．（2024·上?！つM預測）直四棱柱，，AB⊥AD，AB＝2，AD＝3，DC＝4
（1）求證：；
【解析】（1）由題意得，，
平面，平面，
平面，平面
而，平面平面，
又平面平面
變式10．（2024·廣東深圳·高三深圳外國語學校校考開學考試）如圖，多面體中，四邊形為矩形，二面角的大小為，，，，．
（1）求證：平面；
【解析】（1）證明：因為四邊形是矩形，所以，，
因為平面，平面，所以平面，
因為，平面，平面，所以平面，
因為，、平面，則平面平面，
因為平面，所以，平面．
變式11．（2024·全國·高三對口高考）已知正方形和正方形，如圖所示，、分別是對角線、上的點，且．求證：平面．

【解析】證明：過點作交于點，連接，
因為，則，
又因為，則，所以，，
因為四邊形為矩形，則，所以，，
因為，平面，平面，所以，平面，
因為，平面，平面，所以，平面，
因為，、平面，所以，平面平面，
因為平面，所以，平面．
【解題方法總結】
本法原理：已知平面平面，則平面里的任意直線均與平面平行
題型五：利用線面平行的性質證明線線平行
例13．（2024·河南·高三校聯考階段練習）已知四棱錐，底面為菱形平面，為上一點．
（1）平面平面，證明：；
【解析】（1）證明：因為平面平面，
所以平面，
又因為平面平面，所以．
例14．（2024·河南·高三校聯考階段練習）已知四棱錐，底面為菱形，平面，，，為上一點．
（1）平面平面，證明：．
（2）當直線與平面的夾角為時，求三棱錐的體積．
【解析】（1）因為平面平面，
所以平面，平面，
又因為平面平面，所以．
（2）過點作的垂線，垂足為，則，
因為平面，所以平面，
若點為中點，則點為的中點，
此時，
所以直線與平面的夾角為，
即點為中點時滿足題意，
因為平面，所以平面，所以，
又因為，，平面，
所以平面，所以點到平面的距離為，
故
例15．（2024·重慶萬州·統考模擬預測）如圖1所示，在四邊形中，，為上一點，，，將四邊形沿折起，使得，得到如圖2所示的四棱錐．
（1）若平面平面，證明：；
【解析】（1）在圖1中，因為，，，
所以，，又，
所以，
因為，，
所以，故，
在圖2中，因為，平面，平面，
所以平面，
因為平面，平面平面，所以；
變式12．（2024·北京東城·高三北京市第十一中學?？茧A段練習）如圖所示，在直三棱柱中，，，點、分別為棱、的中點，點是線段上的點（不包括兩個端點）．
（1）設平面與平面相交于直線，求證：；
【解析】（1）證明：因為點、分別為棱、的中點，則，
在三棱柱中，四邊形為平行四邊形，所以，，則，
因為平面，平面，所以，平面，
因為平面，平面平面，所以，，故．
變式13．（2024·全國·高三專題練習）如圖，四棱錐的底面邊長為8的正方形，四條側棱長均為．點分別是棱上共面的四點，平面平面，平面．證明：．
【解析】因為∥平面，平面，且平面平面，所以∥，
因為∥平面，平面，且平面平面，
所以∥，所以∥．
變式14．（2024·江蘇揚州·江蘇省高郵中學?？寄M預測）如圖，三棱臺中，，是的中點，點在線段上，，平面平面．
（1）證明：；
【解析】（1）證明：取的中點，連接，，
因為是的中點，所以，，
因為三棱臺中，，，，
所以，，即四邊形為平行四邊形，所以，
因為平面，平面，所以平面，
因為平面，平面平面，所以．
【解題方法總結】
如果一條直線和一個平面平行，經過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線就和交線平行
題型六：面面平行的證明
例16．（2024·河南鄭州·高三鄭州外國語學校?？茧A段練習）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD，AB＝AD，PA⊥PD，AD⊥CD，∠BAD＝60°，M，N分別為AD，PA的中點．
（1）證明：平面BMN∥平面PCD；
【解析】（1）證明：連接BD，如圖
∵AB＝AD，∠BAD＝60°，
∴△ABD為等邊三角形，
∵M為AD的中點，
∴BM⊥AD，
∵AD⊥CD，
又CD，BM 平面ABCD，
BM∥CD，
又BM平面PCD，CD 平面PCD，
∴BM∥平面PCD，
∵M，N分別為AD，PA的中點，
∴MN∥PD，
又MN平面PCD，PD 平面PCD，
∴MN∥平面PCD．
又BM，MN 平面BMN，BM∩MN＝M，
∴平面BMN∥平面PCD．
例17．（2024·山東臨沂·高三?？茧A段練習）如圖，在多面體中，是正方形，，，，為棱的中點．
（1）求證：平面平面；
【解析】（1）連交于，則為的中點，
因為為的中點，所以，
因為平面，平面，所以平面，
因為，，所以四邊形是平行四邊形，所以，
因為平面，平面，所以平面，
因為，平面，所以平面平面．
32．（2024·河北·統考模擬預測）在圓柱中，等腰梯形為底面圓的內接四邊形，且，矩形是該圓柱的軸截面，為圓柱的一條母線，．
（1）求證：平面平面；
【解析】（1）在圓柱中，，平面，平面，
故平面；
連接，因為等腰梯形為底面圓的內接四邊形，，
故，
則為正三角形，故，則，
平面，平面，
故平面；
又平面，
故平面平面．
例18．（2024·甘肅定西·統考模擬預測）如圖，在四棱錐中，底面ABCD是邊長為2的菱形，，AC與BD交于點O，底面ABCD，，點E，F分別是棱PA，PB的中點，連接OE，OF，EF．
（1）求證：平面平面PCD；
（2）求三棱錐的體積．
【解析】（1）因為底面ABCD是菱形，AC與BD交于點O
所以O為AC中點，
點E是棱PA的中點，F分別是棱PB的中點，
所以OE為三角形的中位線，OF為三角形的中位線，
所以，，
平面，平面，平面，
平面，平面，平面，
而，平面，平面，
平面平面PCD．
（2）因為底面ABCD是邊長為2的菱形，，
所以為等邊三角形，
所以，
因為底面ABCD，
底面ABCD，底面ABCD，
所以，，
所以和均為直角三角形，
所以，，
所以，
所以，
所以，
設點到平面的距離為，
根據體積相等法可知，
所以，
所以．
，
故三棱錐的體積為．
變式15．（2024·四川南充·統考三模）如圖所示，已知是圓錐底面的兩條直徑，為劣弧的中點．
（1）證明：；
（2）若，為線段上的一點，且，求證：平面平面．
【解析】（1）連接并延長交于，如圖所示，
為劣弧的中點，
是的角平分線，
平分，
，
，
又在圓錐中，平面，平面，
，
，平面，且，
平面，
又平面，
．
（2）設交于，顯然平分，且，
又，
，
在中，，
為的中點，
同理，
，
又，
，
，
平面，且平面，
平面，
又在平面中，，
，
又平面，且平面，
平面，
又，平面，且，
平面平面．
【解題方法總結】
常用證明面面平行的方法是在一個平面內找到兩條相交直線與另一個平面分別平行或找一條直線同時垂直于這兩個平面．證明面面平行關鍵是找到兩組相交直線分別平行．
題型七：面面平行的性質
例19．（2024·全國·高三專題練習）如圖，在四棱柱中，底面為梯形，，平面與交于點．求證：．
【解析】由四棱柱可知，，平面，平面，
所以平面；
又，平面，平面，
所以平面；
又，平面，平面；
所以平面平面，
又平面平面，平面平面，
所以．
例20．（2024·遼寧·朝陽市第一高級中學校聯考三模）如圖，直四棱柱被平面所截，截面為CDEF，且，，，平面EFCD與平面ABCD所成角的正切值為．
（1）證明：；
【解析】（1）在直四棱柱中，平面平面，
平面，平面，則，
而，又，因此，
則四邊形是平行四邊形，，
所以．
例21．（2024·安徽滁州·安徽省定遠中學校考二模）如圖，在三棱柱中，四邊形是邊長為4的菱形．，點D為棱AC上動點（不與A，C重合），平面B1BD與棱A1C1交于點E．
（1）求證：；
【解析】（1），
且平面，平面，
平面，
又平面，且平面平面，
；
變式16．（2024·北京·高三專題練習）如圖，在多面體中，面是正方形，平面，平面平面，，，，四點共面，，．
（1）求證：；
【解析】（1）因為平面平面，，，，四點共面，
且平面平面，平面平面，
所以．
變式17．（2024·全國·高三專題練習）在如圖所示的圓柱中，AB，CD分別是下底面圓O，上底面圓的直徑，AD，BC是圓柱的母線，E為圓O上一點，P為DE上一點，且平面BCE．
（1）求證：；
【解析】（1）如圖，連接，，
因為為母線，
所以，
又平面，
所以平面．
因為平面，
所以平面平面．
又因為平面平面，平面平面，
所以，
因為是的中點，
所以是的中點，
即．
【解題方法總結】
如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么他們的交線平行（簡記為“面面平行線面平行”）
題型八：平行關系的綜合應用
例22．（2024·全國·高三專題練習）已知正方體中， 分別為對角線 上的點，且．
（1）求證：平面；
（2）若是上的點，的值為多少時，能使平面平面？請給出證明．
【解析】（1）連結并延長與的延長線交于點，
因為四邊形為正方形，
所以，
故，
所以，
又因為，
所以，
所以．
又平面，平面，
故平面．
（2）當的值為時，能使平面平面．
證明：因為，
即有，
故．
所以．
又平面，平面，
所以平面，
又，平面．
所以平面平面．
例23．（2024·全國·高三專題練習）如圖、三棱柱的側棱垂直于底面，是邊長為2的正三角形，，點在線段上且，點是線段上的動點．當為多少時，直線平面？
【解析】當點是線段上靠近點的三等分點，即時，平面．
過點作交于點，過點作交于點，連接，
平面，平面，
平面，
，面，平面，
平面，
又，平面，平面，
∴平面平面，
平面，
平面．
∴，
當時，平面．
例24．（2024·福建福州·福州四中?？寄M預測）如圖，在直三棱柱中，，且，點在線段（含端點）上運動，設．
（1）當平面時，求實數的值；
【解析】（1）如圖，連接，交于點，連接，
為的中點，且平面平面，
平面平面，，
為的中點，即實數的值為．
變式18．（2024·湖南長沙·高一長沙市實驗中學校考期中）如圖所示，四邊形EFGH為空間四邊形ABCD的一個截面，若截面為平行四邊形．
（1）求證：AB∥平面EFGH；
（2）若AB＝4，CD＝6，求四邊形EFGH周長的取值范圍．
【解析】（1）∵四邊形EFGH為平行四邊形，
∴EF∥HG．
∵HG 平面ABD，EF 平面ABD，
∴EF∥平面ABD．
又∵EF 平面ABC，平面ABD∩平面ABC＝AB，
∴EF∥AB，又∵AB 平面EFGH，EF 平面EFGH，
∴AB∥平面EFGH．
（2）設，
∵EF∥AB，FG∥CD，∴，
則＝＝＝1－，∴．
∵四邊形EFGH為平行四邊形，
∴四邊形EFGH的周長l＝2＝12－x．
又∵0即四邊形EFGH周長的取值范圍是（8，12）．
變式19．（2024·全國·高三專題練習）如圖，在四棱錐中，為邊的中點，異面直線與所成的角為．
（1）在直線上找一點，使得直線平面，并求的值；
【解析】（1）在四棱錐中，，異面直線與所成的角為．
即，又為兩相交直線，則平面
取PD中點F，連接EF，又，則，則平面
又四邊形中，，
則，則三直線兩兩互相垂直
以E為原點，分別以ED、EB、EF所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標系如圖：
設，則，， ，，
，，，
設平面PBE的一個法向量為，
則，即，令，則，則
設，則
由直線平面，可得，即
則，解之得，則，又，則
變式20．（2024·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學?？茧A段練習）如圖所求，四棱錐，底面為平行四邊形，為的中點，為中點．
（1）求證：平面；
（2）已知點在上滿足平面，求的值．
【解析】（1）證明：連結交于，連結，
因在中，為中點，為中點，則FO ．
又平面，平面，故平面；
（2）如圖連結交延長線于，連結交于，
連結，，，EN．
因，則四點共面．
又平面，平面平面，
則，四邊形為平行四邊形，可得 為中點．
則為BG中點．
即EN為中位線，則ENPG，．
又DN，則四邊形EFDN為平行四邊形，ENFD．
從而FDPG，．
【解題方法總結】
證明平行關系的常用方法
熟練掌握線線、線面、面面平行關系間的相互轉化是解決線線、線面、面面平行的綜合問題的關鍵．面面平行判定定理的推論也是證明面面平行的一種常用方法
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