資源簡介

第46講 空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征、表面積
與體積
知識梳理
知識點(diǎn)一：構(gòu)成空間幾何體的基本元素—點(diǎn)、線、面
（1）空間中，點(diǎn)動成線，線動成面，面動成體．
（2）空間中，不重合的兩點(diǎn)確定一條直線，不共線的三點(diǎn)確定一個平面，不共面的四點(diǎn)確定一個空間圖形或幾何體（空間四邊形、四面體或三棱錐）．
知識點(diǎn)二：簡單凸多面體—棱柱、棱錐、棱臺
1、棱柱：兩個面互相平面，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱．
（1）斜棱柱：側(cè)棱不垂直于底面的棱柱；
（2）直棱柱：側(cè)棱垂直于底面的棱柱；
（3）正棱柱：底面是正多邊形的直棱柱；
（4）平行六面體：底面是平行四邊形的棱柱；
（5）直平行六面體：側(cè)棱垂直于底面的平行六面體；
（6）長方體：底面是矩形的直平行六面體；
（7）正方體：棱長都相等的長方體．
2、棱錐：有一個面是多邊形，其余各面是有一個公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的多面體叫做棱錐．
（1）正棱錐：底面是正多邊形，且頂點(diǎn)在底面的射影是底面的中心；
（2）正四面體：所有棱長都相等的三棱錐．
3、棱臺：用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面和截面之間的部分叫做棱臺，由正棱錐截得的棱臺叫做正棱臺．
簡單凸多面體的分類及其之間的關(guān)系如圖所示．
知識點(diǎn)三：簡單旋轉(zhuǎn)體—圓柱、圓錐、圓臺、球
1、圓柱：以矩形的一邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的幾何體叫做圓柱．
2、圓柱：以直角三角形的一條直角邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，將其旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的幾何體叫做圓錐．
3、圓臺：用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面和截面之間的部分叫做圓臺．
4、球：以半圓的直徑所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體叫做球體，簡稱為球（球面距離：經(jīng)過兩點(diǎn)的大圓在這兩點(diǎn)間的劣弧長度）．
知識點(diǎn)四：組合體
由柱體、錐體、臺體、球等幾何體組成的復(fù)雜的幾何體叫做組合體．
知識點(diǎn)五：表面積與體積計算公式
表面積公式
表面積 柱體 為直截面周長
錐體
臺體
球
體積公式
體積 柱體
錐體
臺體
球
知識點(diǎn)六：空間幾何體的直觀圖
1、斜二測畫法
斜二測畫法的主要步驟如下：
（1）建立直角坐標(biāo)系．在已知水平放置的平面圖形中取互相垂直的，，建立直角坐標(biāo)系．
（2）畫出斜坐標(biāo)系．在畫直觀圖的紙上（平面上）畫出對應(yīng)圖形．在已知圖形平行于軸的線段，在直觀圖中畫成平行于，，使（或），它們確定的平面表示水平平面．
（3）畫出對應(yīng)圖形．在已知圖形平行于軸的線段，在直觀圖中畫成平行于軸的線段，且長度保持不變；在已知圖形平行于軸的線段，在直觀圖中畫成平行于軸，且長度變?yōu)樵瓉淼囊话悖珊喕癁椤皺M不變，縱減半”．
（4）擦去輔助線．圖畫好后，要擦去軸、軸及為畫圖添加的輔助線（虛線）．被擋住的棱畫虛線．
注：直觀圖和平面圖形的面積比為．
2、平行投影與中心投影
平行投影的投影線是互相平行的，中心投影的投影線相交于一點(diǎn)．
必考題型全歸納
題型一：空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征
例1．（2024·安徽·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知幾何體，“有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形”是“幾何體為棱柱”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】由棱柱定義知棱柱有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形，故滿足必要性；
但有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體不一定是棱柱，
例如兩個底面全等的斜棱柱拼接的幾何體不是棱柱，如圖所示：
，
故不滿足充分性，
故選：B
例2．（2024·全國·高三對口高考）設(shè)有三個命題；甲：底面是平行四邊形的四棱柱是平行六面體；乙：底面是矩形的平行六面體是長方體；丙：直四棱柱是平行六面體．以上命題中真命題的個數(shù)為（ ）
A．0個 B．1個 C．2個 D．3個
【答案】B
【解析】由平行六面體的定義可得底面是平行四邊形的四棱柱是平行六面體；命題甲正確；
底面是矩形的平行六面體的側(cè)棱不一定垂直于底面，故該幾何體不一定為長方體，
命題乙錯誤；
直四棱柱的底面不一定為平行四邊形，故直四棱柱不一定是平行六面體，命題丙錯誤；
正確的命題只有一個.
故選：B
例3．（2024·全國·高三專題練習(xí)）下列命題：
①有兩個面平行，其他各面都是平行四邊形的幾何體叫做棱柱；
②有兩側(cè)面與底面垂直的棱柱是直棱柱；
③過斜棱柱的側(cè)棱作棱柱的截面，所得圖形不可能是矩形；
④所有側(cè)面都是全等的矩形的四棱柱一定是正四棱柱．
其中正確命題的個數(shù)為（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【解析】①如圖1，滿足有兩個面平行，其他各面都是平行四邊形，
顯然不是棱柱，故①錯誤；
②如圖2，滿足兩側(cè)面與底面垂直，但不是直棱柱，②錯誤；
③如圖3，四邊形為矩形，
即過斜棱柱的側(cè)棱作棱柱的截面，所得圖形可能是矩形，③錯誤；
④所有側(cè)面都是全等的矩形的四棱柱不一定是正四棱柱，因為兩底面不一定是正方形，④錯誤．
故選：A
變式1．（2024·新疆·統(tǒng)考模擬預(yù)測）下列命題中正確的是（ ）
A．有兩個平面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱.
B．各個面都是三角形的幾何體是三棱錐.
C．夾在圓柱的兩個平行截面間的幾何體還是一個旋轉(zhuǎn)體.
D．圓錐的頂點(diǎn)與底面圓周上任意一點(diǎn)的連線都是母線.
【答案】D
【解析】如圖所示的幾何體滿足兩個平面平行，其余各面都是平行四邊形，但它不是棱柱，A錯；
正八面體的各面都是三角形，不是三棱錐，B錯；
如果兩個平行截面與圓柱的底面平行，則是旋轉(zhuǎn)體，如果這兩個平行截面與圓柱的底面不平行，則不是旋轉(zhuǎn)體．C錯；
根據(jù)圓錐的定義，D正確．
故選：D．
變式2．（2024·全國·高三專題練習(xí)）下列說法正確的是（ ）
A．三角形的直觀圖是三角形 B．直四棱柱是長方體
C．平行六面體不是棱柱 D．兩個平面平行，其余各面是梯形的多面體是棱臺
【答案】A
【解析】對A，根據(jù)直觀圖的定義，三角形的直觀圖是三角形，故A對；
對B，底面是長方形的直四棱柱是長方體，故B錯；
對C，平行六面體一定是棱柱，故C錯；
兩個平面平行，其余各面是梯形的多面體，當(dāng)側(cè)棱延長后不交于同一點(diǎn)時，不是棱臺，故D錯；
故選：A
變式3．（2024·全國·高三專題練習(xí)）給出下列命題：
①在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點(diǎn)，則這兩點(diǎn)的連線是圓柱的母線；
②直角三角形繞其任一邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體都是圓錐；
③棱臺的上、下底面可以不相似，但側(cè)棱長一定相等.
其中正確命題的個數(shù)是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】①不一定，只有當(dāng)這兩點(diǎn)的連線平行于軸時才是母線；
②不一定，當(dāng)以斜邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸時，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的幾何體不是圓錐，如圖所示，它是由兩個同底圓錐組成的幾何體；
③錯誤，棱臺的上、下底面相似且是對應(yīng)邊平行的多邊形，各側(cè)棱延長線交于一點(diǎn)，但是側(cè)棱長不一定相等.
故選：A.
變式4．（2024·全國·高三專題練習(xí)）如圖所示，觀察四個幾何體，其中判斷正確的是（ ）
A． 是棱臺 B． 是圓臺
C． 不是棱柱 D． 是棱錐
【答案】D
【解析】對A，側(cè)棱延長線不交于一點(diǎn)，不符合棱臺的定義，所以A錯誤；
對B，上下兩個面不平行，不符合圓臺的定義，所以B錯誤；
對C，將幾何體豎直起來看，符合棱柱的定義，所以C錯誤；
對D，符合棱錐的定義，正確．
故選：D．
【解題方法總結(jié)】
空間幾何體結(jié)構(gòu)特征的判斷技巧
（1）緊扣結(jié)構(gòu)特征是判斷的關(guān)鍵，依據(jù)條件構(gòu)建幾何模型，在條件不變的情況下，變換模型中的線面關(guān)系或增加線、面等基本元素，然后再依據(jù)題意判定．
（2）說明一個命題是錯誤的，只要舉出一個反例即可．
題型二：空間幾何體的表面積
例4．（2024·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知某圓錐的母線長、底面圓的直徑都等于球的半徑，則球與圓錐的表面積之比為（ ）
A．8 B． C． D．
【答案】B
【解析】設(shè)圓錐的母線長為，底面圓的半徑為，球的半徑為，則，即，，
球的表面積，圓錐的表面積，
則.
故選：B.
例5．（2024·河南鄭州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在一個正六棱柱中挖去一個圓柱后，剩余部分幾何體如圖所示．已知正六棱柱的底面正六邊形邊長為3cm，高為4cm，內(nèi)孔半徑為1cm，則此幾何體的表面積是（ ）．

A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】所求幾何體的側(cè)面積為，
上下底面面積為，
挖去圓柱的側(cè)面積為，
則所求幾何體的表面積為．
故選：C．
例6．（2024·安徽安慶·安慶一中校考三模）陀螺起源于我國，最早出土的石制陀螺是在山西夏縣發(fā)現(xiàn)的新石器時代遺址.如圖所示的是一個陀螺立體結(jié)構(gòu)圖.已知，底面圓的直徑，圓柱體部分的高，圓錐體部分的高，則這個陀螺的表面積（單位：）是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由題意可得圓錐體的母線長為，
所以圓錐體的側(cè)面積為，
圓柱體的側(cè)面積為，
圓柱的底面面積為，
所以此陀螺的表面積為，
故選：C.
變式5．（2024·西藏拉薩·統(tǒng)考一模）位于徐州園博園中心位置的國際館（一云落雨），使用現(xiàn)代科技霧化“造云”，打造溫室客廳，如圖，這個國際館中3個展館的頂部均采用正四棱錐這種經(jīng)典幾何形式，表達(dá)了理性主義與浪漫主義的對立與統(tǒng)一.其中最大的是3號展館，其頂部所對應(yīng)的正四棱錐底面邊長為19.2m，高為9m，則該正四棱錐的側(cè)面面積與底面面積之比約為（ ）（參考數(shù)據(jù)：）
A．2 B．1.71 C．1.37 D．1
【答案】C
【解析】如圖，設(shè)H為底面正方形ABCD的中心，G為BC的中點(diǎn)，連接PH，HG，PG，
則，，
所以，
則，
故選：C.
變式6．（2024·湖南長沙·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）為了給熱愛朗讀的師生提供一個安靜獨(dú)立的環(huán)境，某學(xué)校修建了若干“朗讀亭”.如圖所示，該朗讀亭的外形是一個正六棱柱和正六棱錐的組合體，正六棱柱兩條相對側(cè)棱所在的軸截面為正方形，若正六棱錐的高與底面邊長的比為，則正六棱錐與正六棱柱的側(cè)面積的比值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】設(shè)正六邊形的邊長為，由題意正六棱柱的高為，
因為正六棱錐的高與底面邊長的比為，所以正六棱錐的高為，正六棱錐的母線長為，
正六棱錐的側(cè)面積；
正六棱柱的側(cè)面積，
所以.
故選：B.
變式7．（2024·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測）《九章算術(shù)》是我國古代的數(shù)學(xué)名著.其“商功”中記載：“正四面形棱臺（即正四棱臺）建筑物為方亭.”現(xiàn)有如圖所示的烽火臺，其主體部分為一方亭，將它的主體部分抽象成的正四棱臺（如圖所示），其中上底面與下底面的面積之比為，方亭的高為棱臺上底面邊長的倍.已知方亭的體積為，則該方亭的表面積約為（ ）（，，）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】設(shè)方亭相應(yīng)的正四棱臺的上底面邊長，則，棱臺的高，
所以，解得，
所以正四棱臺的上底面邊長為，下底面邊長為，棱臺的高為，
所以方亭的斜高為，
由于各側(cè)面均為相等的等腰梯形，所以，
所以方亭的表面積.
故選：C
變式8．（2024·甘肅張掖·高臺縣第一中學(xué)校考模擬預(yù)測）仿鈞玫瑰紫釉盤是收藏于北京故宮博物院的一件明代宣德年間產(chǎn)的瓷器．該盤盤口微撇，弧腹，圈足．足底切削整齊．通體施玫瑰紫釉，釉面棕眼密集，美不勝收．仿鈞玫瑰紫釉盤的形狀可近似看成是圓臺和圓柱的組合體，其口徑為15.5cm，足徑為9.2cm，頂部到底部的高為4.1cm，底部圓柱高為0.7cm，則該仿鈞玫瑰紫釉盤圓臺部分的側(cè)面積約為（ ）（參考數(shù)據(jù)：π的值取3，）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】方法1：設(shè)該圓臺的母線長為l，高為h，兩底面圓的半徑分別為R，r（其中），
則，，，
所以，故圓臺部分的側(cè)面積為．

故選：D
方法2（估算法）：若按底面直徑為15.5cm，高為3.4cm的圓柱估算圓臺部分的側(cè)面積得，易知圓臺的側(cè)面積應(yīng)大于所估算的圓柱的側(cè)面積，故此仿鈞玫瑰紫釉盤圓臺部分的側(cè)面積大于，對照各選項可知只有D符合．
故選：D
【解題方法總結(jié)】
（1）多面體的表面積是各個面的面積之和．
（2）旋轉(zhuǎn)體的表面積是將其展開后，展開圖的面積與底面面積之和．
（3）組合體的表面積求解時注意對銜接部分的處理．
題型三：空間幾何體的體積
例7．（2024·廣東梅州·統(tǒng)考三模）在馬致遠(yuǎn)的《漢宮秋》楔子中寫道：“氈帳秋風(fēng)迷宿草，穹廬夜月聽悲笳.”氈帳是古代北方游牧民族以為居室、氈制帷幔.如圖所示，某氈帳可視作一個圓錐與圓柱的組合體，圓錐的高為4，側(cè)面積為，圓柱的側(cè)面積為，則該氈帳的體積為（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】設(shè)圓柱的底面半徑為，高為，圓錐的母線長為，
因為圓錐的側(cè)面積為，所以，即.
因為，所以聯(lián)立解得（負(fù)舍）.
因為圓柱的側(cè)面積為，所以，即，解得，
所以該氈帳的體積為.
故選：A.
例8．（2024·重慶沙坪壩·高三重慶一中校考階段練習(xí)）若某圓錐的側(cè)面展開圖是一個半徑為2的半圓面，其內(nèi)接正四棱柱的高為，則此正四棱柱的體積是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】設(shè)圓錐底面半徑為，因為母線長為,
則半圓弧長底面周長，
所以，圓錐的高為
如圖，設(shè)，則，設(shè)，則，
因為，
∴，
所以，
∴，，
故選：C．

例9．（2024·山東青島·高三統(tǒng)考期中）已知正四棱錐的各頂點(diǎn)都在同一個球面上，球的體積為，則該正四棱錐的體積最大值為（ ）
A．18 B． C． D．27
【答案】B
【解析】如圖，設(shè)正四棱錐的底面邊長，高，外接球的球心為，則，
因為球的體積為，所以球的半徑為，
在中，，即，
所以正四棱錐的體積為
整理得，則，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以在上遞增，在上遞減，
所以當(dāng)時，函數(shù)取得最大值，
故選：B

變式9．（2024·湖北武漢·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）攢尖是我國古代建筑中屋頂?shù)囊环N結(jié)構(gòu)形式，宋代稱為最尖，清代稱攢尖，通常有圓形攢尖 三角攢尖 四角攢尖 八角攢尖，也有單檐和重檐之分，多見于亭閣式建筑 園林建筑.下面以四角攢尖為例，如圖，它的屋頂部分的輪廓可近似看作一個正四棱錐.已知正四棱錐的底面邊長為米，側(cè)棱長為5米，則其體積為（ ）立方米.

A． B．24 C． D．72
【答案】B
【解析】如圖所示，在正四棱錐中，連接于，則為正方形的中心，
連接，則底面邊長，對角線，.
又，故高.
故該正四棱錐體積為.

故選：B
變式10．（2024·廣東河源·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）最早的測雨器記載見于南宋數(shù)學(xué)家秦九韶所著的《數(shù)書九章》（1247年）.該書第二章為“天時類”，收錄了有關(guān)降水量計算的四個例子，分別是“天池測雨”、“圓罌測雨”、“峻積驗雪”和“竹器驗雪”.如圖“竹器驗雪”法是下雪時用一個圓臺形的器皿收集雪量（平地降雪厚度器皿中積雪體積除以器皿口面積），已知數(shù)據(jù)如圖（注意：單位），則平地降雪厚度的近似值為（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如圖所示，可求得器皿中雪表面的半徑為，
所以平地降雪厚度的近似值為.
故選：C
變式11．（2024·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖是我國古代量糧食的器具“升”，其形狀是正四棱臺，上、下底面邊長分別為20cm和10cm，側(cè)棱長為cm．“升”裝滿后用手指或筷子沿升口刮平，這叫“平升”．則該“升”的“平升”約可裝（ ）

A．1.5L B．1.7L C．2.3L D．2.7L
【答案】C
【解析】根據(jù)題意畫出正四棱臺的直觀圖，其中底面是邊長為20的正方形，底面是邊長為10的正方形，側(cè)棱，記底面和底面的中心分別為和，則是正四棱臺的高.

過作平面的垂線，垂足為，則且，，
所以，，
故，
所以棱臺的高，
由棱臺的體積公式得．
故選：C .
【解題方法總結(jié)】
求空間幾何體的體積的常用方法
公式法 規(guī)則幾何體的體積，直接利用公式
割補(bǔ)法 把不規(guī)則的幾何體分割成規(guī)則的幾何體，或者把不規(guī)則的幾何體補(bǔ)成規(guī)則的幾何體
等體積法 通過選擇合適的底面來求幾何體體積的一種方法，特別是三棱錐的體積
題型四：直觀圖
例10．（2024·遼寧錦州·渤海大學(xué)附屬高級中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知用斜二測畫法畫梯形OABC的直觀圖如圖所示，，，，軸，，為的三等分點(diǎn)，則四邊形OABC繞y軸旋轉(zhuǎn)一周形成的空間幾何體的體積為 ．

【答案】
【解析】在直觀圖中，，所以在還原圖中，，如圖，

在直觀圖中，，為的三等分點(diǎn)，
所以在還原圖中，，D為OA的三等分點(diǎn)，
又在直觀圖中，軸，
所以在還原圖中，軸，則，
所以，則，
故，，所以四邊形OABC是等腰梯形，
所以四邊形OABC繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的空間幾何體的體積等于一個圓臺的體積減去一個圓錐的體積，
即．
故答案為：.
例11．（2024·全國·高三對口高考）若正用斜二測畫法畫出的水平放置圖形的直觀圖為，當(dāng)?shù)拿娣e為時，的面積為 ．
【答案】
【解析】是正的斜二測畫法的水平放置圖形的直觀圖，如圖所示，

設(shè)，
則的面積為，，
的面積為．
故答案為：．
例12．（2024·四川成都·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）用斜二測畫法畫出的某平面圖形的直觀圖如圖所示，邊與平行于軸.已知四邊形的面積為，則原平面圖形的面積為 .
【答案】
【解析】根據(jù)題意得，原四邊形為一個直角梯形，
且，，，
，
則，
所以，.
故答案為：.
變式12．（2024·全國·高三專題練習(xí)）如圖，是用斜二測畫法得到的△AOB的直觀圖，其中則AB的長度為 ．
【答案】
【解析】把直觀圖還原為,如圖所示：
根據(jù)直觀圖畫法規(guī)則知,,
所以的長度為.
故答案為：.
變式13．（2024·上海浦東新·高三上海市川沙中學(xué)校考期末）有一塊多邊形的菜地，它的水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖是直角梯形（如圖所示）.，則這塊菜地的面積為
【答案】
【解析】
過作于，
在直觀圖中，，，，
所以，，
故原平面圖形的上底為 ，下底，高為，
所以這塊菜地的面積為，
故答案為：.
變式14．（2024·上海寶山·高三上海交大附中校考開學(xué)考試）我們知道一條線段在“斜二測”畫法中它的長度可能會發(fā)生變化的，現(xiàn)直角坐標(biāo)系平面上一條長為4cm線段AB按“斜二測”畫法在水平放置的平面上畫出為，則最短長度為 cm（結(jié)果用精確值表示）
【答案】
【解析】如圖1所示，可以將平面內(nèi)所有長為4的線段平移至圖中點(diǎn)為起點(diǎn)，則它們的終點(diǎn)形成以為圓心，半徑為4的圓周.
以兩條互相垂直的直徑為坐標(biāo)軸，建立平面直角坐標(biāo)系.
然后在斜二測畫法下畫出該圓的直觀圖，如圖2，形成一個橢圓，
由斜二測的性質(zhì)可知，在圖2，該橢圓長半軸為4，且經(jīng)過點(diǎn)，
易知且，所以，
設(shè)橢圓的方程為：，將代入得：，解得.
由橢圓的性質(zhì)可知，橢圓上的點(diǎn)中，短軸端點(diǎn)到原點(diǎn)的距離最小，即即為所求.
故答案為：.
變式15．（2024·陜西延安·校考一模）如圖，梯形ABCD是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，其中，，，則原圖形的面積為 ．
【答案】
【解析】因為，， ，
所以，，
所以．
故答案為：．
變式16．（2024·全國·高三專題練習(xí)）如圖，用斜二測畫法畫一個水平放置的平面圖形的直觀圖為一個正方形，則原來圖形的面積是 ．
【答案】
【解析】由直觀圖可知，在直觀圖中,正方形的對角線長為，由斜二測畫法的特點(diǎn)，知該平面圖形的直觀圖的原圖形如圖所示
所以原圖圖形為平行四邊形，底面邊長為，位于軸的對角線長為，
所以原來圖形的面積為.
故答案為：.
【解題方法總結(jié)】
斜二測法下的直觀圖與原圖面積之間存在固定的比值關(guān)系：．
題型五：展開圖
例13．（2024·山東青島·統(tǒng)考三模）已知圓錐的底面半徑為1，側(cè)面展開圖為半圓，則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的表面積為 ．
【答案】/
【解析】設(shè)圓錐母線長為，由題意，，
圓錐內(nèi)半徑最大的球與圓錐相切，
作出圓錐的軸截面，截球得大圓為圓錐軸截面三角形的內(nèi)切圓，是切點(diǎn)，如圖，易知是圓錐的高，在上，
由得，因此，所以，
，
所以圓錐內(nèi)半徑最大的球的表面積為，
故答案為：．
例14．（2024·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在直三棱柱的側(cè)面展開圖中，B，C是線段AD的三等分點(diǎn)，且．若該三棱柱的外接球O的表面積為12π，則 ．
【答案】
【解析】由該三棱柱的外接球O的表面積為12π，設(shè)外接球得半徑為，則，解得，
由題意，取上下底面三角形得中心，分別為，得中點(diǎn)即為外接圓圓心，作圖如下：
則，平面，，
平面，，
在等邊中，，
在中，，
.
故答案為：.
例15．（2024·上海普陀·高三統(tǒng)考期中）2022年4月16日，神舟十三號載人飛船返回艙在東風(fēng)著陸場預(yù)定區(qū)域成果著陸．如圖，在返回過程中使用的主降落傘外表面積達(dá)到1200平方米，若主降落傘完全展開后可以近似看著一個半球，則完全展開后傘口的直徑約為 米（精確到整數(shù)）
【答案】28
【解析】設(shè)主降落傘展開后所在球體的半徑為，由題可得，解得，
故完全展開后傘口的直徑約為米.
故答案為：.
變式17．（2024·山東淄博·統(tǒng)考一模）已知圓錐的底面半徑為1，其側(cè)面展開圖為一個半圓，則該圓錐的體積為 ．
【答案】/
【解析】∵圓錐的底面半徑為1，∴側(cè)面展開圖的弧長為，
又∵側(cè)面展開圖是半圓，∴側(cè)面展開圖的半徑為2，即圓錐的母線長為2，故圓錐的高為，故體積
故答案為：
變式18．（2024·安徽·蚌埠二中校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，在三棱錐P-ABC的平面展開圖中，，，，，，則三棱錐外接球表面積為 ．
【答案】14π
【解析】由題意可知，，，，，
在BCF中，，則，
因為，所以，
在三棱錐P-ABC外接球的球心為O，，，記PA中點(diǎn)為O，，即三棱錐P-ABC外接球的球心為點(diǎn)O，
半徑，所以外接球表面積為14π．
故答案為：14π
變式19．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知三棱錐P－ABC的底面ABC為等邊三角形．如圖，在三棱錐P－ABC的平面展開圖中，P，F(xiàn)，E三點(diǎn)共線，B，C，E三點(diǎn)共線，，，則PB＝ ．
【答案】
【解析】由題意可知，△CEF為等邊三角形，所以，則，
由可知，
在△PCF中，由正弦定理得：．
在△PCE中，由余弦定理得：，
解得或（舍去），
所以，
則，，
在△PBE中，由余弦定理得，
所以．
故答案為：
變式20．（2024·安徽黃山·統(tǒng)考一模）如圖，在四棱錐P-ABCD的平面展開圖中，正方形ABCD的邊長為4，是以AD為斜邊的等腰直角三角形，，則該四棱錐外接球被平面PBC所截的圓面的面積為 .
【答案】
【解析】該幾何體的直觀圖如下圖所示
分別取的中點(diǎn)，連接
又，所以由線面垂直的判定定理得出平面
以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系
，
設(shè)四棱錐外接球的球心
，，解得
設(shè)平面的法向量為
，取，則
四棱錐外接球的球心到面的距離為
又，所以平面PBC所截的圓的半徑
所以平面PBC所截的圓面的面積為.
故答案為：
變式21．（2024·山西大同·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在三棱錐的平面展開圖中，，，，，，則三棱錐的外接球的表面積為 ．

【答案】
【解析】還原出如圖所示的三棱錐，

，，平面，
設(shè)平面的截面圓心為，半徑為，球心為，球半徑為，
在中，由余弦定理可得，則，
這由正弦定理得，，
，
，
外接球的表面積.
故答案為：.
【解題方法總結(jié)】
多面體表面展開圖可以有不同的形狀，應(yīng)多實踐，觀察并大膽想象立體圖形與表面展開圖的關(guān)系，一定先觀察立體圖形的每一個面的形狀．
題型六：最短路徑問題
例16．（2024·福建福州·高一福建省福州屏東中學(xué)校考期末）如圖，一豎立在地面上的圓錐形物體的母線長為4，一只小蟲從圓錐的底面圓上的點(diǎn)P出發(fā)，繞圓錐爬行一周后回到點(diǎn)P處，若該小蟲爬行的最短路程為，則這個圓錐的體積為（　　）.

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】作出該圓錐的側(cè)面展開圖，如圖所示：

該小蟲爬行的最短路程為，
由余弦定理可得，．設(shè)底面圓的半徑為r，
則有，解得．∴這個圓錐的高為，
這個圓錐的體積為．
故選：C．
例17．（2024·陜西寶雞·高一統(tǒng)考期末）盲盒是一種深受大眾喜愛的玩具，某盲盒生產(chǎn)廠商要為棱長為的正四面體魔方設(shè)計一款正方體的包裝盒，需要保證該魔方可以在包裝盒內(nèi)任意轉(zhuǎn)動，則包裝盒的棱長最短為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如圖所示，根據(jù)題意可得，
設(shè)的中點(diǎn)為，底面的重心為，為外接球的球心，
則有底面，，，
且，其中為外接球的半徑，
在直角中，可得，
在直角中，，且，
所以，解得，
所以正方體的最短棱長為.
故選：A.

例18．（2024·全國·高一專題練習(xí)）如圖，已知正四棱椎的側(cè)棱長為，側(cè)面等腰三角形的頂角為，則從A點(diǎn)出發(fā)環(huán)繞側(cè)面一周后回到A點(diǎn)的最短路程為（ ）

A． B． C． D．6
【答案】D
【解析】把正四棱錐的側(cè)面沿著SA剪開，得到它的側(cè)面展開圖(如圖).
要使路程最短，必須沿著線段前行.
在中，，，則.
作于H，則，，.
故選：D.

變式22．（2024·安徽·高二馬鞍山二中校聯(lián)考階段練習(xí)）我們知道立體圖形上的最短路徑問題通常是把立體圖形展開成平面圖形，連接兩點(diǎn)，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短確定最短路線.請根據(jù)此方法求函數(shù)的最小值（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根據(jù)函數(shù)的表達(dá)式可知，構(gòu)造三棱錐，其中，且，
由余弦定理可得，，，
的最小值即為的最小值，
將三棱錐按照展開可得展開圖，且，
故的最小值為.
故選：A.

變式23．（2024·全國·高三專題練習(xí)）盲盒是一種深受大眾喜愛的玩具，某盲盒生產(chǎn)廠商要為棱長為的正四面體魔方設(shè)計一款正方體的包裝盒，需要保證該魔方可以在包裝盒內(nèi)任意轉(zhuǎn)動，則包裝盒的棱長最短為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如圖是棱長為的正四面體，
由題意， ，設(shè)的中點(diǎn)為，底面 的重心為，為外接球的球心，
則有 底面， ， ，
，是外接球半徑，
在 中， ，
在 中， ，，
，解得 ，
即正方體的最短棱長為.
故選：B.
變式24．（2024·山東濟(jì)寧·高一校考階段練習(xí)）如圖，一個矩形邊長為1和4，繞它的長為的邊旋轉(zhuǎn)二周后所得如圖的一開口容器（下表面密封），是中點(diǎn)，現(xiàn)有一只媽蟻位于外壁處，內(nèi)壁處有一米粒，若這只螞蟻要先爬到上口邊沿再爬到點(diǎn)處取得米粒，則它所需經(jīng)過的最短路程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】依題意可得圓柱的底面半徑，高
將圓柱的側(cè)面（一半）展開后得矩形，其中，，
問題轉(zhuǎn)化為在上找一點(diǎn)，使最短，
作關(guān)于的對稱點(diǎn)，連接，令與交于點(diǎn)，
則得的最小值就是為．
故選：A
變式25．（2024·全國·高一專題練習(xí)）如圖所示，在正三棱柱中，，，由頂點(diǎn)沿棱柱側(cè)面(經(jīng)過棱)到達(dá)頂點(diǎn)，與的交點(diǎn)記為，則從點(diǎn)經(jīng)點(diǎn)到的最短路線長為（ ）
A． B． C．4 D．
【答案】B
【解析】如圖，沿側(cè)棱將正三棱柱的側(cè)面展開
由側(cè)面展開圖可知，當(dāng)，，三點(diǎn)共線時，從點(diǎn)經(jīng)點(diǎn)到的路線最短．
所以最短路線長為.
故選：B.
變式26．（2024·河北·高三專題練習(xí)）如圖，正方體的棱長為，點(diǎn)為的中點(diǎn)，在對角面上取一點(diǎn)，使最小，其最小值為
【答案】
【解析】取中點(diǎn)，連接
則
（當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時取等號）
又
的最小值為：
本題正確結(jié)果：
【解題方法總結(jié)】
此類最大路徑問題：大膽展開，把問題變?yōu)槠矫鎯牲c(diǎn)間線段最短問題
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21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)第46講 空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征、表面積
與體積
知識梳理
知識點(diǎn)一：構(gòu)成空間幾何體的基本元素—點(diǎn)、線、面
（1）空間中，點(diǎn)動成線，線動成面，面動成體．
（2）空間中，不重合的兩點(diǎn)確定一條直線，不共線的三點(diǎn)確定一個平面，不共面的四點(diǎn)確定一個空間圖形或幾何體（空間四邊形、四面體或三棱錐）．
知識點(diǎn)二：簡單凸多面體—棱柱、棱錐、棱臺
1、棱柱：兩個面互相平面，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱．
（1）斜棱柱：側(cè)棱不垂直于底面的棱柱；
（2）直棱柱：側(cè)棱垂直于底面的棱柱；
（3）正棱柱：底面是正多邊形的直棱柱；
（4）平行六面體：底面是平行四邊形的棱柱；
（5）直平行六面體：側(cè)棱垂直于底面的平行六面體；
（6）長方體：底面是矩形的直平行六面體；
（7）正方體：棱長都相等的長方體．
2、棱錐：有一個面是多邊形，其余各面是有一個公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的多面體叫做棱錐．
（1）正棱錐：底面是正多邊形，且頂點(diǎn)在底面的射影是底面的中心；
（2）正四面體：所有棱長都相等的三棱錐．
3、棱臺：用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面和截面之間的部分叫做棱臺，由正棱錐截得的棱臺叫做正棱臺．
簡單凸多面體的分類及其之間的關(guān)系如圖所示．
知識點(diǎn)三：簡單旋轉(zhuǎn)體—圓柱、圓錐、圓臺、球
1、圓柱：以矩形的一邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的幾何體叫做圓柱．
2、圓柱：以直角三角形的一條直角邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，將其旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的幾何體叫做圓錐．
3、圓臺：用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面和截面之間的部分叫做圓臺．
4、球：以半圓的直徑所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體叫做球體，簡稱為球（球面距離：經(jīng)過兩點(diǎn)的大圓在這兩點(diǎn)間的劣弧長度）．
知識點(diǎn)四：組合體
由柱體、錐體、臺體、球等幾何體組成的復(fù)雜的幾何體叫做組合體．
知識點(diǎn)五：表面積與體積計算公式
表面積公式
表面積 柱體 為直截面周長
錐體
臺體
球
體積公式
體積 柱體
錐體
臺體
球
知識點(diǎn)六：空間幾何體的直觀圖
1、斜二測畫法
斜二測畫法的主要步驟如下：
（1）建立直角坐標(biāo)系．在已知水平放置的平面圖形中取互相垂直的，，建立直角坐標(biāo)系．
（2）畫出斜坐標(biāo)系．在畫直觀圖的紙上（平面上）畫出對應(yīng)圖形．在已知圖形平行于軸的線段，在直觀圖中畫成平行于，，使（或），它們確定的平面表示水平平面．
（3）畫出對應(yīng)圖形．在已知圖形平行于軸的線段，在直觀圖中畫成平行于軸的線段，且長度保持不變；在已知圖形平行于軸的線段，在直觀圖中畫成平行于軸，且長度變?yōu)樵瓉淼囊话悖珊喕癁椤皺M不變，縱減半”．
（4）擦去輔助線．圖畫好后，要擦去軸、軸及為畫圖添加的輔助線（虛線）．被擋住的棱畫虛線．
注：直觀圖和平面圖形的面積比為．
2、平行投影與中心投影
平行投影的投影線是互相平行的，中心投影的投影線相交于一點(diǎn)．
必考題型全歸納
題型一：空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征
例1．（2024·安徽·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知幾何體，“有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形”是“幾何體為棱柱”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
例2．（2024·全國·高三對口高考）設(shè)有三個命題；甲：底面是平行四邊形的四棱柱是平行六面體；乙：底面是矩形的平行六面體是長方體；丙：直四棱柱是平行六面體．以上命題中真命題的個數(shù)為（ ）
A．0個 B．1個 C．2個 D．3個
例3．（2024·全國·高三專題練習(xí)）下列命題：
①有兩個面平行，其他各面都是平行四邊形的幾何體叫做棱柱；
②有兩側(cè)面與底面垂直的棱柱是直棱柱；
③過斜棱柱的側(cè)棱作棱柱的截面，所得圖形不可能是矩形；
④所有側(cè)面都是全等的矩形的四棱柱一定是正四棱柱．
其中正確命題的個數(shù)為（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
變式1．（2024·新疆·統(tǒng)考模擬預(yù)測）下列命題中正確的是（ ）
A．有兩個平面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱.
B．各個面都是三角形的幾何體是三棱錐.
C．夾在圓柱的兩個平行截面間的幾何體還是一個旋轉(zhuǎn)體.
D．圓錐的頂點(diǎn)與底面圓周上任意一點(diǎn)的連線都是母線.
變式2．（2024·全國·高三專題練習(xí)）下列說法正確的是（ ）
A．三角形的直觀圖是三角形 B．直四棱柱是長方體
C．平行六面體不是棱柱 D．兩個平面平行，其余各面是梯形的多面體是棱臺
變式3．（2024·全國·高三專題練習(xí)）給出下列命題：
①在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點(diǎn)，則這兩點(diǎn)的連線是圓柱的母線；
②直角三角形繞其任一邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體都是圓錐；
③棱臺的上、下底面可以不相似，但側(cè)棱長一定相等.
其中正確命題的個數(shù)是（ ）
A． B． C． D．
變式4．（2024·全國·高三專題練習(xí)）如圖所示，觀察四個幾何體，其中判斷正確的是（ ）
A． 是棱臺 B． 是圓臺
C． 不是棱柱 D． 是棱錐
【解題方法總結(jié)】
空間幾何體結(jié)構(gòu)特征的判斷技巧
（1）緊扣結(jié)構(gòu)特征是判斷的關(guān)鍵，依據(jù)條件構(gòu)建幾何模型，在條件不變的情況下，變換模型中的線面關(guān)系或增加線、面等基本元素，然后再依據(jù)題意判定．
（2）說明一個命題是錯誤的，只要舉出一個反例即可．
題型二：空間幾何體的表面積
例4．（2024·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知某圓錐的母線長、底面圓的直徑都等于球的半徑，則球與圓錐的表面積之比為（ ）
A．8 B． C． D．
例5．（2024·河南鄭州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在一個正六棱柱中挖去一個圓柱后，剩余部分幾何體如圖所示．已知正六棱柱的底面正六邊形邊長為3cm，高為4cm，內(nèi)孔半徑為1cm，則此幾何體的表面積是（ ）．

A． B．
C． D．
例6．（2024·安徽安慶·安慶一中校考三模）陀螺起源于我國，最早出土的石制陀螺是在山西夏縣發(fā)現(xiàn)的新石器時代遺址.如圖所示的是一個陀螺立體結(jié)構(gòu)圖.已知，底面圓的直徑，圓柱體部分的高，圓錐體部分的高，則這個陀螺的表面積（單位：）是（ ）

A． B．
C． D．
變式5．（2024·西藏拉薩·統(tǒng)考一模）位于徐州園博園中心位置的國際館（一云落雨），使用現(xiàn)代科技霧化“造云”，打造溫室客廳，如圖，這個國際館中3個展館的頂部均采用正四棱錐這種經(jīng)典幾何形式，表達(dá)了理性主義與浪漫主義的對立與統(tǒng)一.其中最大的是3號展館，其頂部所對應(yīng)的正四棱錐底面邊長為19.2m，高為9m，則該正四棱錐的側(cè)面面積與底面面積之比約為（ ）（參考數(shù)據(jù)：）
A．2 B．1.71 C．1.37 D．1
變式6．（2024·湖南長沙·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）為了給熱愛朗讀的師生提供一個安靜獨(dú)立的環(huán)境，某學(xué)校修建了若干“朗讀亭”.如圖所示，該朗讀亭的外形是一個正六棱柱和正六棱錐的組合體，正六棱柱兩條相對側(cè)棱所在的軸截面為正方形，若正六棱錐的高與底面邊長的比為，則正六棱錐與正六棱柱的側(cè)面積的比值為（ ）
A． B． C． D．
變式7．（2024·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測）《九章算術(shù)》是我國古代的數(shù)學(xué)名著.其“商功”中記載：“正四面形棱臺（即正四棱臺）建筑物為方亭.”現(xiàn)有如圖所示的烽火臺，其主體部分為一方亭，將它的主體部分抽象成的正四棱臺（如圖所示），其中上底面與下底面的面積之比為，方亭的高為棱臺上底面邊長的倍.已知方亭的體積為，則該方亭的表面積約為（ ）（，，）
A． B． C． D．
變式8．（2024·甘肅張掖·高臺縣第一中學(xué)校考模擬預(yù)測）仿鈞玫瑰紫釉盤是收藏于北京故宮博物院的一件明代宣德年間產(chǎn)的瓷器．該盤盤口微撇，弧腹，圈足．足底切削整齊．通體施玫瑰紫釉，釉面棕眼密集，美不勝收．仿鈞玫瑰紫釉盤的形狀可近似看成是圓臺和圓柱的組合體，其口徑為15.5cm，足徑為9.2cm，頂部到底部的高為4.1cm，底部圓柱高為0.7cm，則該仿鈞玫瑰紫釉盤圓臺部分的側(cè)面積約為（ ）（參考數(shù)據(jù)：π的值取3，）

A． B． C． D．
【解題方法總結(jié)】
（1）多面體的表面積是各個面的面積之和．
（2）旋轉(zhuǎn)體的表面積是將其展開后，展開圖的面積與底面面積之和．
（3）組合體的表面積求解時注意對銜接部分的處理．
題型三：空間幾何體的體積
例7．（2024·廣東梅州·統(tǒng)考三模）在馬致遠(yuǎn)的《漢宮秋》楔子中寫道：“氈帳秋風(fēng)迷宿草，穹廬夜月聽悲笳.”氈帳是古代北方游牧民族以為居室、氈制帷幔.如圖所示，某氈帳可視作一個圓錐與圓柱的組合體，圓錐的高為4，側(cè)面積為，圓柱的側(cè)面積為，則該氈帳的體積為（ ）

A． B． C． D．
例8．（2024·重慶沙坪壩·高三重慶一中校考階段練習(xí)）若某圓錐的側(cè)面展開圖是一個半徑為2的半圓面，其內(nèi)接正四棱柱的高為，則此正四棱柱的體積是（ ）
A． B． C． D．
例9．（2024·山東青島·高三統(tǒng)考期中）已知正四棱錐的各頂點(diǎn)都在同一個球面上，球的體積為，則該正四棱錐的體積最大值為（ ）
A．18 B． C． D．27
變式9．（2024·湖北武漢·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）攢尖是我國古代建筑中屋頂?shù)囊环N結(jié)構(gòu)形式，宋代稱為最尖，清代稱攢尖，通常有圓形攢尖 三角攢尖 四角攢尖 八角攢尖，也有單檐和重檐之分，多見于亭閣式建筑 園林建筑.下面以四角攢尖為例，如圖，它的屋頂部分的輪廓可近似看作一個正四棱錐.已知正四棱錐的底面邊長為米，側(cè)棱長為5米，則其體積為（ ）立方米.

A． B．24 C． D．72
變式10．（2024·廣東河源·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）最早的測雨器記載見于南宋數(shù)學(xué)家秦九韶所著的《數(shù)書九章》（1247年）.該書第二章為“天時類”，收錄了有關(guān)降水量計算的四個例子，分別是“天池測雨”、“圓罌測雨”、“峻積驗雪”和“竹器驗雪”.如圖“竹器驗雪”法是下雪時用一個圓臺形的器皿收集雪量（平地降雪厚度器皿中積雪體積除以器皿口面積），已知數(shù)據(jù)如圖（注意：單位），則平地降雪厚度的近似值為（ ）

A． B． C． D．
變式11．（2024·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖是我國古代量糧食的器具“升”，其形狀是正四棱臺，上、下底面邊長分別為20cm和10cm，側(cè)棱長為cm．“升”裝滿后用手指或筷子沿升口刮平，這叫“平升”．則該“升”的“平升”約可裝（ ）

A．1.5L B．1.7L C．2.3L D．2.7L
【解題方法總結(jié)】
求空間幾何體的體積的常用方法
公式法 規(guī)則幾何體的體積，直接利用公式
割補(bǔ)法 把不規(guī)則的幾何體分割成規(guī)則的幾何體，或者把不規(guī)則的幾何體補(bǔ)成規(guī)則的幾何體
等體積法 通過選擇合適的底面來求幾何體體積的一種方法，特別是三棱錐的體積
題型四：直觀圖
例10．（2024·遼寧錦州·渤海大學(xué)附屬高級中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知用斜二測畫法畫梯形OABC的直觀圖如圖所示，，，，軸，，為的三等分點(diǎn)，則四邊形OABC繞y軸旋轉(zhuǎn)一周形成的空間幾何體的體積為 ．

例11．（2024·全國·高三對口高考）若正用斜二測畫法畫出的水平放置圖形的直觀圖為，當(dāng)?shù)拿娣e為時，的面積為 ．
例12．（2024·四川成都·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）用斜二測畫法畫出的某平面圖形的直觀圖如圖所示，邊與平行于軸.已知四邊形的面積為，則原平面圖形的面積為 .
變式12．（2024·全國·高三專題練習(xí)）如圖，是用斜二測畫法得到的△AOB的直觀圖，其中則AB的長度為 ．
變式13．（2024·上海浦東新·高三上海市川沙中學(xué)校考期末）有一塊多邊形的菜地，它的水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖是直角梯形（如圖所示）.，則這塊菜地的面積為
變式14．（2024·上海寶山·高三上海交大附中校考開學(xué)考試）我們知道一條線段在“斜二測”畫法中它的長度可能會發(fā)生變化的，現(xiàn)直角坐標(biāo)系平面上一條長為4cm線段AB按“斜二測”畫法在水平放置的平面上畫出為，則最短長度為 cm（結(jié)果用精確值表示）
變式15．（2024·陜西延安·校考一模）如圖，梯形ABCD是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，其中，，，則原圖形的面積為 ．
變式16．（2024·全國·高三專題練習(xí)）如圖，用斜二測畫法畫一個水平放置的平面圖形的直觀圖為一個正方形，則原來圖形的面積是 ．
【解題方法總結(jié)】
斜二測法下的直觀圖與原圖面積之間存在固定的比值關(guān)系：．
題型五：展開圖
例13．（2024·山東青島·統(tǒng)考三模）已知圓錐的底面半徑為1，側(cè)面展開圖為半圓，則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的表面積為 ．
例14．（2024·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在直三棱柱的側(cè)面展開圖中，B，C是線段AD的三等分點(diǎn)，且．若該三棱柱的外接球O的表面積為12π，則 ．
例15．（2024·上海普陀·高三統(tǒng)考期中）2022年4月16日，神舟十三號載人飛船返回艙在東風(fēng)著陸場預(yù)定區(qū)域成果著陸．如圖，在返回過程中使用的主降落傘外表面積達(dá)到1200平方米，若主降落傘完全展開后可以近似看著一個半球，則完全展開后傘口的直徑約為 米（精確到整數(shù)）
變式17．（2024·山東淄博·統(tǒng)考一模）已知圓錐的底面半徑為1，其側(cè)面展開圖為一個半圓，則該圓錐的體積為 ．
變式18．（2024·安徽·蚌埠二中校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，在三棱錐P-ABC的平面展開圖中，，，，，，則三棱錐外接球表面積為 ．
變式19．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知三棱錐P－ABC的底面ABC為等邊三角形．如圖，在三棱錐P－ABC的平面展開圖中，P，F(xiàn)，E三點(diǎn)共線，B，C，E三點(diǎn)共線，，，則PB＝ ．
變式20．（2024·安徽黃山·統(tǒng)考一模）如圖，在四棱錐P-ABCD的平面展開圖中，正方形ABCD的邊長為4，是以AD為斜邊的等腰直角三角形，，則該四棱錐外接球被平面PBC所截的圓面的面積為 .
變式21．（2024·山西大同·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在三棱錐的平面展開圖中，，，，，，則三棱錐的外接球的表面積為 ．

【解題方法總結(jié)】
多面體表面展開圖可以有不同的形狀，應(yīng)多實踐，觀察并大膽想象立體圖形與表面展開圖的關(guān)系，一定先觀察立體圖形的每一個面的形狀．
題型六：最短路徑問題
例16．（2024·福建福州·高一福建省福州屏東中學(xué)校考期末）如圖，一豎立在地面上的圓錐形物體的母線長為4，一只小蟲從圓錐的底面圓上的點(diǎn)P出發(fā)，繞圓錐爬行一周后回到點(diǎn)P處，若該小蟲爬行的最短路程為，則這個圓錐的體積為（　　）.

A． B． C． D．
例17．（2024·陜西寶雞·高一統(tǒng)考期末）盲盒是一種深受大眾喜愛的玩具，某盲盒生產(chǎn)廠商要為棱長為的正四面體魔方設(shè)計一款正方體的包裝盒，需要保證該魔方可以在包裝盒內(nèi)任意轉(zhuǎn)動，則包裝盒的棱長最短為（ ）
A． B． C． D．
例18．（2024·全國·高一專題練習(xí)）如圖，已知正四棱椎的側(cè)棱長為，側(cè)面等腰三角形的頂角為，則從A點(diǎn)出發(fā)環(huán)繞側(cè)面一周后回到A點(diǎn)的最短路程為（ ）

A． B． C． D．6
變式22．（2024·安徽·高二馬鞍山二中校聯(lián)考階段練習(xí)）我們知道立體圖形上的最短路徑問題通常是把立體圖形展開成平面圖形，連接兩點(diǎn)，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短確定最短路線.請根據(jù)此方法求函數(shù)的最小值（ ）
A． B． C． D．
變式23．（2024·全國·高三專題練習(xí)）盲盒是一種深受大眾喜愛的玩具，某盲盒生產(chǎn)廠商要為棱長為的正四面體魔方設(shè)計一款正方體的包裝盒，需要保證該魔方可以在包裝盒內(nèi)任意轉(zhuǎn)動，則包裝盒的棱長最短為（ ）
A． B． C． D．
變式24．（2024·山東濟(jì)寧·高一校考階段練習(xí)）如圖，一個矩形邊長為1和4，繞它的長為的邊旋轉(zhuǎn)二周后所得如圖的一開口容器（下表面密封），是中點(diǎn)，現(xiàn)有一只媽蟻位于外壁處，內(nèi)壁處有一米粒，若這只螞蟻要先爬到上口邊沿再爬到點(diǎn)處取得米粒，則它所需經(jīng)過的最短路程為（ ）
A． B． C． D．
變式25．（2024·全國·高一專題練習(xí)）如圖所示，在正三棱柱中，，，由頂點(diǎn)沿棱柱側(cè)面(經(jīng)過棱)到達(dá)頂點(diǎn)，與的交點(diǎn)記為，則從點(diǎn)經(jīng)點(diǎn)到的最短路線長為（ ）
A． B． C．4 D．
變式26．（2024·河北·高三專題練習(xí)）如圖，正方體的棱長為，點(diǎn)為的中點(diǎn)，在對角面上取一點(diǎn)，使最小，其最小值為
【解題方法總結(jié)】
此類最大路徑問題：大膽展開，把問題變?yōu)槠矫鎯牲c(diǎn)間線段最短問題
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