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第44講 數列求和
知識梳理
一．公式法
（1）等差數列的前n項和，推導方法：倒序相加法．
（2）等比數列的前n項和，推導方法：乘公比，錯位相減法．
（3）一些常見的數列的前n項和：
①；
②；
③；
④
二．幾種數列求和的常用方法
（1）分組轉化求和法：一個數列的通項公式是由若干個等差或等比或可求和的數列組成的，則求和時可用分組求和法，分別求和后相加減．
（2）裂項相消法：把數列的通項拆成兩項之差，在求和時中間的一些項可以相互抵消，從而求得前n項和．
（3）錯位相減法：如果一個數列的各項是由一個等差數列和一個等比數列的對應項之積構成的，那么求這個數列的前項和即可用錯位相減法求解．
（4）倒序相加法：如果一個數列與首末兩端等“距離”的兩項的和相等或等于同一個常數，那么求這個數列的前項和即可用倒序相加法求解．
【解題方法總結】
常見的裂項技巧
積累裂項模型1：等差型
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
（10）
（11）
（12）
積累裂項模型2：根式型
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
積累裂項模型3：指數型
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6），設，易得，
于是
（7）
積累裂項模型4：對數型
積累裂項模型5：三角型
（1）
（2）
（3）
（4），
則
積累裂項模型6：階乘
（1）
（2）
常見放縮公式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）；
（9）；
（10）
；
（11）
；
（12）；
（13）．
（14）．
必考題型全歸納
題型一：通項分析法
例1．（2024·全國·高三專題練習）求和．
例2．數列9，99，999，的前項和為　　
A． B． C． D．
例3．求數列1，，，，，的前項之和．
變式1．（2024·全國·高三專題練習）數列的前n項和為 .
變式2．（2024·全國·高三對口高考）數列的前n項和 .
變式3．（2024·全國·高三專題練習）年意大利數學家列昂那多斐波那契以兔子繁殖為例，引人“兔子數列”，又稱斐波那契數列，即該數列中的數字被人們稱為神奇數，在現代物理，化學等領域都有著廣泛的應用若此數列各項被除后的余數構成一新數列，則數列的前項的和為 .
【解題方法總結】
先分析數列通項的特點，再選擇合適的方法求和是求數列的前項和問題應該強化的意識．
題型二：公式法
例4．（2024·重慶沙坪壩·高三重慶一中校考階段練習）已知數列為等差數列，數列為等比數列，且，若．
(1)求數列，的通項公式；
(2)設由，的公共項構成的新數列記為，求數列的前5項之和．
例5．（2024·湖北武漢·統考模擬預測）已知是數列的前項和，，．
(1)求數列的通項公式；
(2)若，求數列的前項和．
例6．（2024·寧夏銀川·高三銀川一中階段練習）已知等差數列的前四項和為10，且成等比數列
(1)求通項公式
(2)設，求數列的前項和
【解題方法總結】
針對數列的結構特征，確定數列的類型，符合等差或等比數列時，直接利用等差、等比數列相應公式求解．
題型三：錯位相減法
例7．（2024·廣東茂名·高三茂名市第一中學校考階段練習）已知數列滿足且
(1)若存在一個實數，使得數列為等差數列，請求出的值；
(2)在（1）的條件下，求出數列的前n項和．
例8．（2024·四川綿陽·高三鹽亭中學校考階段練習）設數列 的前 項和為 ，且 ; 數列 為等差數列，且 .
(1)求數列 的通項公式.
(2)若 ，求數列 的前 項和 .
例9．（2024·湖南長沙·高三湖南師大附中校考階段練習）已知數列的首項為1，且.
(1)求數列的通項公式；
(2)若為前項的和，求.
變式4．（2024·西藏日喀則·統考一模）已知數列的前項和為，且.
(1)求，并求數列的通項公式；
(2)若，求數列的前項和.
變式5．（2024·廣東東莞·校考三模）已知數列和，，，.
(1)求證數列是等比數列；
(2)求數列的前項和.
變式6．（2024·廣東廣州·廣州市從化區從化中學校考模擬預測）設數列的前項和為，已知，且數列是公比為的等比數列.
(1)求數列的通項公式；
(2)若，求其前項和
【解題方法總結】
錯位相減法求數列的前n項和
（1）適用條件
若是公差為的等差數列，是公比為的等比數列，求數列{an·bn}的前n項和．
（2）基本步驟
（3）注意事項
①在寫出與的表達式時，應特別注意將兩式“錯位對齊”，以便下一步準確寫出；
②作差后，應注意減式中所剩各項的符號要變號．
等差乘等比數列求和，令，可以用錯位相減法．
①
②
得：．
整理得：．
題型四：分組求和法
例10．（2024·貴州貴陽·高三貴陽一中校考期末）已知數列和滿足：，，，，其中．
(1)求證：；
(2)求數列的前項和．
例11．（2024·廣東深圳·高三北師大南山附屬學校校考階段練習）已知數列的前n項和為，且滿足，，.
(1)求數列的通項公式；
(2)設數列滿足，，，按照如下規律構造新數列：，求數列的前2n項和.
例12．（2024·重慶巴南·統考一模）已知數列的首項，且滿足.
(1)求證：是等比數列；
(2)求數列的前項和.
變式7．（2024·江蘇鎮江·高三江蘇省鎮江中學校考階段練習）已知等差數列的前n項和為，數列為等比數列，滿足是與的等差中項.
(1)求數列的通項公式；
(2)設，求數列的前20項和.
變式8．（2024·海南·高三校聯考期末）已知數列滿足，．
(1)求數列的通項公式；
(2)若，求數列的前項和．
變式9．（2024·吉林通化·梅河口市第五中學校考模擬預測）為數列的前項和，已知，且.
(1)求數列的通項公式；
(2)數列依次為：，規律是在和中間插入項，所有插入的項構成以3為首項，3為公比的等比數列，求數列的前100項的和.
變式10．（2024·福建福州·福建省福州第一中學校考模擬預測）已知數列的首項，，.
(1)設，求數列的通項公式；
(2)在與（其中）之間插入個3，使它們和原數列的項構成一個新的數列.記為數列的前n項和，求.
變式11．（2024·廣東梅州·高三大埔縣虎山中學校考階段練習）已知各項均為正數的數列{an}中，a1=1且滿足，數列{bn}的前n項和為Sn，滿足2Sn+1=3bn.
(1)求數列{an}，{bn}的通項公式；
(2)設，求數列的前n項和Sn；
(3)若在bk與bk+1之間依次插入數列{an}中的k項構成新數列：b1，a1，b2，a2，a3，b3，a4，a5，a6，b4，……，求數列{cn}中前50項的和T50.
【解題方法總結】
（1）分組轉化求和
數列求和應從通項入手，若無通項，則先求通項，然后通過對通項變形，轉化為等差數列或等比數列或可求前n項和的數列求和．
（2）分組轉化法求和的常見類型
題型五：裂項相消法
例13．（2024·海南省直轄縣級單位·文昌中學校考模擬預測）已知數列的前項和，且.
(1)求數列的通項公式；
(2)求數列的前項和.
例14．（2024·寧夏石嘴山·統考一模）已知是數列的前項和，且．
(1)求數列的通項公式；
(2)若，求數列的前項和．
例15．（2024·江西贛州·高三校聯考階段練習）已知等差數列的前項和為，且，.
(1)求數列的通項公式；
(2)求數列的前項和，并證明：.
變式12．（2024·全國·高三專題練習）在數列中，已知，．
(1)求；
(2)若，為的前n項和，證明：．
變式13．（2024·四川遂寧·射洪中學校考模擬預測）已知數列的前n項和為，且．
(1)求的通項公式；
(2)若，求數列的前n項和．
變式14．（2024·陜西商洛·鎮安中學校考模擬預測）已知公差為正數的等差數列的前項和為，且成等比數列.
(1)求和.
(2)設，求數列的前項和.
變式15．（2024·全國·高三專題練習）已知為數列的前項和，．
(1)求數列的通項公式；
(2)設，記的前項和為，證明：．
變式16．（2024·全國·高三專題練習）已知數列滿足．
(1)證明為等差數列，并的通項公式；
(2)設，求數列的前項和．
變式17．（2024·福建漳州·統考模擬預測）已知數列的前項和為，且，.
(1)求的通項公式；
(2)記數列的前項和為，求集合中元素的個數.
變式18．（2024·安徽黃山·屯溪一中校考模擬預測）設數列的前項和為，且.
(1)求；
(2)記，數列的前項和為，求.
變式19．（2024·全國·高三專題練習）已知數列．
(1)求數列的通項公式；
(2)若數列滿足，求數列的前項和
變式20．（2024·江西南昌·江西師大附中校考三模）已知是數列的前項和，滿足，且.
(1)求；
(2)若，求數列的前項和.
變式21．（2024·浙江·校聯考模擬預測）已知數列滿足.
(1)求數列的通項；
(2)設為數列的前項和，求證．
變式22．（2024·安徽·合肥一中校聯考模擬預測）設數列的前n項和為，已知，，．
(1)證明：數列是等差數列；
(2)記，為數列的前n項和，求．
變式23．（2024·湖北武漢·華中師大一附中校考模擬預測）已知數列滿足．
(1)求數列的通項公式；
(2)求的前項和．
【解題方法總結】
裂裂 項相 消法 求和 （1）基本步驟 （2）裂項原則 一般是前邊裂幾項，后邊就裂幾項，直到發現被消去項的規律為止． （3）消項規律 消項后前邊剩幾項，后邊就剩幾項，前邊剩第幾項，后邊就剩倒數第幾項．
題型六：倒序相加法
例16．（2024·江蘇鹽城·鹽城市伍佑中學校考模擬預測）已知數列的項數為，且，則的前n項和為 ．
例17．（2024·廣西玉林·統考三模）已知函數，若函數，數列為等差數列，，則 ．
例18．（2024·高三課時練習）設函數，利用課本中推導等差數列前n項和的方法，求得的值為 .
變式24．（2024·全國·高三專題練習）已知，則 .
變式25．（2024·江西宜春·高三校考開學考試）德國大數學家高斯年少成名，被譽為數學屆的王子，19歲的高斯得到了一個數學史上非常重要的結論，就是《正十七邊形尺規作圖之理論與方法》．在其年幼時，對的求和運算中，提出了倒序相加法的原理，該原理基于所給數據前后對應項的和呈現一定的規律生成，因此，此方法也稱之為高斯算法，現有函數，設數列滿足，若，則的前n項和 ．
變式26．（2024·全國·高三專題練習）設函數，，．則數列的前n項和 ．
變式27．（2024·全國·高三專題練習）已知數列的前n項和為，且，設函數，則 ．
變式28．（2024·全國·高三專題練習）“數學王子”高斯是近代數學奠基者之一，他的數學研究幾乎遍及所有領域，并且高斯研究出很多數學理論，比如高斯函數 倒序相加法 最小二乘法 每一個階代數方程必有個復數解等.若函數，設，則 .
【解題方法總結】
將一個數列倒過來排列，當它與原數列相加時，若有規律可循，并且容易求和，則這樣的數列求和時可用倒序相加法（等差數列前項和公式的推導即用此方法）．
題型七：并項求和
例19．（2024·北京海淀·高三專題練習）已知數列的前項和為，則 ．
例20．（2024·全國·高三專題練習）已知的前項和為，，，則 .
例21．（2024·江西·校聯考模擬預測）記為等差數列的前項和，已知，.
(1)求的通項公式；
(2)記，求數列的前30項的和.
變式29．（2024·河南·襄城高中校聯考三模）在等比數列中，，且，，成等差數列．
(1)求的通項公式；
(2)設，數列的前n項和為，求滿足的k的值．
變式30．（2024·河北滄州·校考模擬預測）已知正項數列的前項和為，滿足.
(1)求數列的通項公式；
(2)若，求數列的前項和.
變式31．（2024·河北·滄縣中學模擬預測）已知數列為等差數列，為其前n項和，若．
(1)求數列的通項公式；
(2)若，求數列的前18項和．
【解題方法總結】
兩兩并項或者四四并項
題型八：先放縮后裂項求和
例22．（2024·天津·一模）已知數列是等差數列，其前n項和為，，；數列的前n項和為，.
(1)求數列，的通項公式；
(2)求數列的前n項和；
(3)求證：.
例23．（2024·天津市寶坻區第一中學二模）已知為等差數列，前n項和為是首項為2的等比數列，且公比大于0，．
(1)和的通項公式；
(2)求數列的前8項和；
(3)證明：．
例24．（2024·浙江·效實中學模擬預測）設各項均為正數的數列的前項和為，滿足.
(1)求的值：
(2)求數列的通項公式：
(3)證明：對一切正整數，有.
變式32．（2024·廣東汕頭·一模）已知數列的前n項和為，.
(1)證明：數列為等比數列，并求數列的前n項和為；
(2)設，證明：.
【解題方法總結】
先放縮后裂項，放縮的目的是為了“求和”，這也是湊配放縮形式的目標．
題型九：分段數列求和
例25．（2024·全國·高三專題練習）已知為等差數列，為等比數列，．
(1)求和的通項公式；
(2)記的前n項和為，求證：；
(3)對任意的正整數n，設，求數列的前項和．
例26．（2024·天津津南·天津市咸水沽第一中學校考模擬預測）已知是單調遞增的等差數列，其前項和為.是公比為的等比數列..
(1)求和的通項公式；
(2)設，求數列的前項和.
例27．（2024·湖南·校聯考模擬預測）已知等比數列的公比，前n項和為，滿足：.
(1)求的通項公式；
(2)設，求數列的前項和.
變式33．（2024·湖南常德·高三常德市一中校考階段練習）已知數列，，為數列的前n項和，，若，，且，.
(1)求數列的通項公式；
(2)若數列的通項公式為，令為的前n項的和，求.
變式34．（2024·湖南衡陽·衡陽市八中校考模擬預測）已知等差數列與等比數列的前項和分別為：，且滿足：，
(1)求數列的通項公式；
(2)若求數列的前項的和.
變式35．（2024·湖南岳陽·統考三模）已知等比數列的前n項和為，其公比，，且．
(1)求數列的通項公式；
(2)已知，求數列的前n項和．
【解題方法總結】
（1）分奇偶各自新數列求和
（2）要注意處理好奇偶數列對應的項：
①可構建新數列；②可“跳項”求和
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21世紀教育網(www.21cnjy.com)第44講 數列求和
知識梳理
一．公式法
（1）等差數列的前n項和，推導方法：倒序相加法．
（2）等比數列的前n項和，推導方法：乘公比，錯位相減法．
（3）一些常見的數列的前n項和：
①；
②；
③；
④
二．幾種數列求和的常用方法
（1）分組轉化求和法：一個數列的通項公式是由若干個等差或等比或可求和的數列組成的，則求和時可用分組求和法，分別求和后相加減．
（2）裂項相消法：把數列的通項拆成兩項之差，在求和時中間的一些項可以相互抵消，從而求得前n項和．
（3）錯位相減法：如果一個數列的各項是由一個等差數列和一個等比數列的對應項之積構成的，那么求這個數列的前項和即可用錯位相減法求解．
（4）倒序相加法：如果一個數列與首末兩端等“距離”的兩項的和相等或等于同一個常數，那么求這個數列的前項和即可用倒序相加法求解．
【解題方法總結】
常見的裂項技巧
積累裂項模型1：等差型
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
（10）
（11）
（12）
積累裂項模型2：根式型
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
積累裂項模型3：指數型
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6），設，易得，
于是
（7）
積累裂項模型4：對數型
積累裂項模型5：三角型
（1）
（2）
（3）
（4），
則
積累裂項模型6：階乘
（1）
（2）
常見放縮公式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）；
（9）；
（10）
；
（11）
；
（12）；
（13）．
（14）．
必考題型全歸納
題型一：通項分析法
例1．（2024·全國·高三專題練習）求和．
【解析】∵
，
∴．
例2．數列9，99，999，的前項和為　　
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】數列通項，
．
故選：．
例3．求數列1，，，，，的前項之和．
【解析】由于，
所以前項之和
．
變式1．（2024·全國·高三專題練習）數列的前n項和為 .
【答案】
【解析】觀察數列得到，
所以前n項和
.
故答案為：.
變式2．（2024·全國·高三對口高考）數列的前n項和 .
【答案】
【解析】由題意，，
所以
故答案為：
變式3．（2024·全國·高三專題練習）年意大利數學家列昂那多斐波那契以兔子繁殖為例，引人“兔子數列”，又稱斐波那契數列，即該數列中的數字被人們稱為神奇數，在現代物理，化學等領域都有著廣泛的應用若此數列各項被除后的余數構成一新數列，則數列的前項的和為 .
【答案】
【解析】由數列，，，，，，，，，，各項除以的余數，
可得數列為，，，，，，，，，，，，，，1，，
所以數列是周期為的數列，
一個周期中八項和為，
又因為，
所以數列的前項的和.
故答案為：.
【解題方法總結】
先分析數列通項的特點，再選擇合適的方法求和是求數列的前項和問題應該強化的意識．
題型二：公式法
例4．（2024·重慶沙坪壩·高三重慶一中校考階段練習）已知數列為等差數列，數列為等比數列，且，若．
(1)求數列，的通項公式；
(2)設由，的公共項構成的新數列記為，求數列的前5項之和．
【解析】（1）設數列的公差為，數列的公比為，
因為
則，解得，
所以，
因為，
所以，則，
所以，
因為，所以，，
所以．
（2）設數列的第項與數列的第項相等，
則，，，
所以，，，
因為，，
所以當時，，當時，，則，當時，，
當時，，則，當時，，
當時，，則，當時，
當時，，則，當時，
當時，，則，
故的前5項之和．
例5．（2024·湖北武漢·統考模擬預測）已知是數列的前項和，，．
(1)求數列的通項公式；
(2)若，求數列的前項和．
【解析】（1）由，則，
兩式相減得：，
整理得：，
即時，，
所以時，，
又時，，得，也滿足上式．
故．
（2）由（1）可知：．
記，設數列的前項和．
當時，；
當時，
綜上：
例6．（2024·寧夏銀川·高三銀川一中階段練習）已知等差數列的前四項和為10，且成等比數列
(1)求通項公式
(2)設，求數列的前項和
【解析】（1）設等差數列的公差為，則，即，
又成等比數列，所以，即，
整理得，得或，
若，則，，
若，則，得，，.
綜上所述：或.
（2）若，則，；
若，則，.
【解題方法總結】
針對數列的結構特征，確定數列的類型，符合等差或等比數列時，直接利用等差、等比數列相應公式求解．
題型三：錯位相減法
例7．（2024·廣東茂名·高三茂名市第一中學校考階段練習）已知數列滿足且
(1)若存在一個實數，使得數列為等差數列，請求出的值；
(2)在（1）的條件下，求出數列的前n項和．
【解析】（1）假設存在實數符合題意，則必為與無關的常數.
因為.
要使是與無關的常數，
則，可得.
故存在實數，使得數列為等差數列.
（2）由，且，
由（1）知等差數列的公差，
所以，即，
所以
記：，
有，
兩式相減，得，
故.
例8．（2024·四川綿陽·高三鹽亭中學校考階段練習）設數列 的前 項和為 ，且 ; 數列 為等差數列，且 .
(1)求數列 的通項公式.
(2)若 ，求數列 的前 項和 .
【解析】（1）當時，，得.
當時，兩式相減有
即.
因為，所以數列是以為首項，公比為的等比數列.
則.
所以數列的通項公式為.
（2）在等差數列中，設首項為公差為，
則解得
所以.
則
①
②
所以①②得
即
解得
例9．（2024·湖南長沙·高三湖南師大附中校考階段練習）已知數列的首項為1，且.
(1)求數列的通項公式；
(2)若為前項的和，求.
【解析】（1）因為，
所以.
兩式作差得，
整理得.
令，得，故對任意都成立.
所以的首項為1，故，所以是公比為2的等比數列.
所以的通項公式是.
（2）由（1）得，
所以.
所以.
又，
作差得，
，
.
變式4．（2024·西藏日喀則·統考一模）已知數列的前項和為，且.
(1)求，并求數列的通項公式；
(2)若，求數列的前項和.
【解析】（1）由題意①，
當時；當時；
當時，②，
①－②得，
當時，也適合上式，所以，所以時，
兩式相減得，故數列是以2為首項，2為公比的等比數列，
所以.
（2）由（1）得，
③，
④，
③－④得：，
所以 .
變式5．（2024·廣東東莞·校考三模）已知數列和，，，.
(1)求證數列是等比數列；
(2)求數列的前項和.
【解析】（1）由，，得，
整理得，而，
所以數列是以為首項，公比為的等比數列
（2）由（1）知，∴，
∴，
設，則，
兩式相減得，
從而
∴.
變式6．（2024·廣東廣州·廣州市從化區從化中學校考模擬預測）設數列的前項和為，已知，且數列是公比為的等比數列.
(1)求數列的通項公式；
(2)若，求其前項和
【解析】（1）因為，
所以由題意可得數列是首項為1，公比為的等比數列，
所以，即，
所以，
兩式作差得：，
化簡得：即，
所以，
所以數列是以為首項，以3為公比的等比數列，
故數列的通項公式為；
（2）方法一：
設，
則有，比較系數得，
所以
所以，
所以，
所以.
方法二：
因為，
所以，
所以，
所以
，
所以.
【解題方法總結】
錯位相減法求數列的前n項和
（1）適用條件
若是公差為的等差數列，是公比為的等比數列，求數列{an·bn}的前n項和．
（2）基本步驟
（3）注意事項
①在寫出與的表達式時，應特別注意將兩式“錯位對齊”，以便下一步準確寫出；
②作差后，應注意減式中所剩各項的符號要變號．
等差乘等比數列求和，令，可以用錯位相減法．
①
②
得：．
整理得：．
題型四：分組求和法
例10．（2024·貴州貴陽·高三貴陽一中校考期末）已知數列和滿足：，，，，其中．
(1)求證：；
(2)求數列的前項和．
【解析】（1）證明：因為①，②，
①②可得，且，
所以，數列為常數列，且③，
①②可得，且，
所以，數列為等比數列，且該數列的首項為，公比為，
所以，④，
③④可得，則，
所以，.
（2）由（1）可知，，
則
.
例11．（2024·廣東深圳·高三北師大南山附屬學校校考階段練習）已知數列的前n項和為，且滿足，，.
(1)求數列的通項公式；
(2)設數列滿足，，，按照如下規律構造新數列：，求數列的前2n項和.
【解析】（1）當時，由且得
當時，由得，所以.
所以，故，
又當時，，適合上式.
所以.
（2）因為， ，
所以數列的偶數項構成以為首項 2為公比的等比數列.
故數列的前2n項的和，
所以數列的前2n項和為.
例12．（2024·重慶巴南·統考一模）已知數列的首項，且滿足.
(1)求證：是等比數列；
(2)求數列的前項和.
【解析】（1）因為，即，
則，
又因為，可得，
所以數列表示首項為，公比為的等比數列.
（2）由（1）知，所以.
所以
，
當為偶數時，可得；
當為奇數時，可得；
綜上所述：.
變式7．（2024·江蘇鎮江·高三江蘇省鎮江中學校考階段練習）已知等差數列的前n項和為，數列為等比數列，滿足是與的等差中項.
(1)求數列的通項公式；
(2)設，求數列的前20項和.
【解析】（1）設等差數列的公差為d，等比數列的公比為q，
因為，所以，解得，所以，
由題意知：，因為，所以，
解得，所以；
（2）由（1）得，
.
變式8．（2024·海南·高三校聯考期末）已知數列滿足，．
(1)求數列的通項公式；
(2)若，求數列的前項和．
【解析】（1）由，得，
故，
所以數列是以6為首項，2為公比的等比數列，
所以，
故．
（2），
所以
變式9．（2024·吉林通化·梅河口市第五中學校考模擬預測）為數列的前項和，已知，且.
(1)求數列的通項公式；
(2)數列依次為：，規律是在和中間插入項，所有插入的項構成以3為首項，3為公比的等比數列，求數列的前100項的和.
【解析】（1）當時，，解得（舍去），
由得時，，
兩式相減得，
因為，所以，
所以是等差數列，首項為4，公差為3，
所以；
（2）由于，
因此數列的前100項中含有的前13項，含有中的前87項，
所求和為.
變式10．（2024·福建福州·福建省福州第一中學校考模擬預測）已知數列的首項，，.
(1)設，求數列的通項公式；
(2)在與（其中）之間插入個3，使它們和原數列的項構成一個新的數列.記為數列的前n項和，求.
【解析】（1）因為，，
所以，取倒得，
所以，即，即，
因為，所以是，的等比數列，
所以.
（2）在之間有2個3，之間有個3，之間有個3，之間有個3，
合計個3，
所以.
變式11．（2024·廣東梅州·高三大埔縣虎山中學校考階段練習）已知各項均為正數的數列{an}中，a1=1且滿足，數列{bn}的前n項和為Sn，滿足2Sn+1=3bn.
(1)求數列{an}，{bn}的通項公式；
(2)設，求數列的前n項和Sn；
(3)若在bk與bk+1之間依次插入數列{an}中的k項構成新數列：b1，a1，b2，a2，a3，b3，a4，a5，a6，b4，……，求數列{cn}中前50項的和T50.
【解析】（1）由
得：
∵
是首項，公差為2的等差數列
∴
又當時，得
當，由…①
…②
由①－②整理得：，
∵，
∴，
∴，
∴數列是首項為1，公比為3的等比數列，故；
（2）
（3）依題意知：新數列中，（含）前面共有：項．
由，（）得：，
∴新數列中含有數列的前9項：，，……，，含有數列的前41項：，，，……，；
∴．
【解題方法總結】
（1）分組轉化求和
數列求和應從通項入手，若無通項，則先求通項，然后通過對通項變形，轉化為等差數列或等比數列或可求前n項和的數列求和．
（2）分組轉化法求和的常見類型
題型五：裂項相消法
例13．（2024·海南省直轄縣級單位·文昌中學校考模擬預測）已知數列的前項和，且.
(1)求數列的通項公式；
(2)求數列的前項和.
【解析】（1）當時，，
當時，
因為對也成立.
所以，所以數列是等差數列，
則公差，
故.
（2）因為，
所以，
故.
例14．（2024·寧夏石嘴山·統考一模）已知是數列的前項和，且．
(1)求數列的通項公式；
(2)若，求數列的前項和．
【解析】（1）時，，
時，
經驗證時滿足，
；
（2），
.
例15．（2024·江西贛州·高三校聯考階段練習）已知等差數列的前項和為，且，.
(1)求數列的通項公式；
(2)求數列的前項和，并證明：.
【解析】（1）設公差為，
由題意得
解得∴.
（2）由（1）知，
∴，
.
∵，
∴.
變式12．（2024·全國·高三專題練習）在數列中，已知，．
(1)求；
(2)若，為的前n項和，證明：．
【解析】（1）
而，是公比為首項為的等比數列，
,
.
（2）,,,
，
，
.
變式13．（2024·四川遂寧·射洪中學校考模擬預測）已知數列的前n項和為，且．
(1)求的通項公式；
(2)若，求數列的前n項和．
【解析】（1）由已知①，
當時，，即，解得，
當時，②，
①②得，即，
所以數列是以為首項，為公比的等比數列，
所以；
（2）因為，
所以
.
變式14．（2024·陜西商洛·鎮安中學校考模擬預測）已知公差為正數的等差數列的前項和為，且成等比數列.
(1)求和.
(2)設，求數列的前項和.
【解析】（1）設等差數列的公差為，
因為，成等比數列，
所以，即，
得，
解得或（舍），
所以，
所以，
.
（2）由（1）得，，
所以.
變式15．（2024·全國·高三專題練習）已知為數列的前項和，．
(1)求數列的通項公式；
(2)設，記的前項和為，證明：．
【解析】（1）當時，，則，
因為，
所以，
兩式相減得： ，
所以，，
，，則，即也適合上式，
所以是以5為首項，公比為2的等比數列，
故：，
故；
（2）由（1）得
，
故
，
當時，，故.
變式16．（2024·全國·高三專題練習）已知數列滿足．
(1)證明為等差數列，并的通項公式；
(2)設，求數列的前項和．
【解析】（1）證明：因為，所以，即
所以是以為首項，為公差的等差數列，則，
所以；
（2）
.
變式17．（2024·福建漳州·統考模擬預測）已知數列的前項和為，且，.
(1)求的通項公式；
(2)記數列的前項和為，求集合中元素的個數.
【解析】（1）因為，所以，
所以
所以，即.
又因為，所以，
所以.
（2）因為，
所以
令，得，
所以集合中元素的個數為.
變式18．（2024·安徽黃山·屯溪一中校考模擬預測）設數列的前項和為，且.
(1)求；
(2)記，數列的前項和為，求.
【解析】（1）由，
當時，，解得，
當時，，
所以，
整理得：，①
所以有，②
①-②可得，
所以為等差數列，
因為，所以公差為，
所以.
（2），
∴
.
變式19．（2024·全國·高三專題練習）已知數列．
(1)求數列的通項公式；
(2)若數列滿足，求數列的前項和
【解析】（1）由得，，
所以時，，
故，又，則，當時，成立，
所以，．
（2）由（1）知，，
所以，
，
因為，
于是，
所以，．
故數列的前項和為．
變式20．（2024·江西南昌·江西師大附中校考三模）已知是數列的前項和，滿足，且.
(1)求；
(2)若，求數列的前項和.
【解析】（1）因為，顯然，
所以，即，
所以
，
所以，又當時，也滿足，所以.
（2）由（1）知，則當時，，
又也滿足，所以，
則，
則.
變式21．（2024·浙江·校聯考模擬預測）已知數列滿足.
(1)求數列的通項；
(2)設為數列的前項和，求證．
【解析】（1）由，且，則，
所以，而，
即，所以數列為等比數列，公比為2，
所以，所以.
（2），
由得，，
所以，
即，
所以，
所以，
所以
，
因為，所以.
變式22．（2024·安徽·合肥一中校聯考模擬預測）設數列的前n項和為，已知，，．
(1)證明：數列是等差數列；
(2)記，為數列的前n項和，求．
【解析】（1）因為，
所以，即
所以
（為常數），
所以數列是等差數列．
（2）由（1）知，即.
所以，
所以為公比為的等比數列，
又，
所以，
因為，
所以，
所以數列的前項和為：
．
變式23．（2024·湖北武漢·華中師大一附中校考模擬預測）已知數列滿足．
(1)求數列的通項公式；
(2)求的前項和．
【解析】（1）由，得，
令，有，，
當時，，
又滿足上式，于是，則，
當時，，
又滿足上式，因此，
所以數列的通項公式是．
（2）由（1）知，，
所以．
【解題方法總結】
裂裂 項相 消法 求和 （1）基本步驟 （2）裂項原則 一般是前邊裂幾項，后邊就裂幾項，直到發現被消去項的規律為止． （3）消項規律 消項后前邊剩幾項，后邊就剩幾項，前邊剩第幾項，后邊就剩倒數第幾項．
題型六：倒序相加法
例16．（2024·江蘇鹽城·鹽城市伍佑中學校考模擬預測）已知數列的項數為，且，則的前n項和為 ．
【答案】
【解析】因為，又，
所以
又因為，
所以，即.
故答案為：.
例17．（2024·廣西玉林·統考三模）已知函數，若函數，數列為等差數列，，則 ．
【答案】44
【解析】由題意，可得，
設等差數列的前項和為，公差為，
則，解得，
則，根據等差中項的性質，可得，
則
，
同理可得，，，，，
∴．
故答案為：
例18．（2024·高三課時練習）設函數，利用課本中推導等差數列前n項和的方法，求得的值為 .
【答案】11
【解析】因，
設，則，故.
故答案為：11
變式24．（2024·全國·高三專題練習）已知，則 .
【答案】4042
【解析】由，令可得，，
且，
則，
所以，函數關于點對稱，即
由已知，，
又
兩式相加可得，
所以，.
故答案為：4042.
變式25．（2024·江西宜春·高三校考開學考試）德國大數學家高斯年少成名，被譽為數學屆的王子，19歲的高斯得到了一個數學史上非常重要的結論，就是《正十七邊形尺規作圖之理論與方法》．在其年幼時，對的求和運算中，提出了倒序相加法的原理，該原理基于所給數據前后對應項的和呈現一定的規律生成，因此，此方法也稱之為高斯算法，現有函數，設數列滿足，若，則的前n項和 ．
【答案】
【解析】由得，
，
由，
得，
故，
故，
所以，
則，
兩式相減得：
故，
故答案為：
變式26．（2024·全國·高三專題練習）設函數，，．則數列的前n項和 ．
【答案】
【解析】由題設，，
所以，
即且n ≥ 2，
當時，，
當時，，
所以，
故答案為：.
變式27．（2024·全國·高三專題練習）已知數列的前n項和為，且，設函數，則 ．
【答案】/
【解析】∵①，
∴當時，②，
①－②得，∴；
當時，，∴，此時仍然成立，
∴．
∴當n=1時，；
當時，，
當n=1時，上式也成立，故．
由于，
設
則，
∴．
故答案為：．
變式28．（2024·全國·高三專題練習）“數學王子”高斯是近代數學奠基者之一，他的數學研究幾乎遍及所有領域，并且高斯研究出很多數學理論，比如高斯函數 倒序相加法 最小二乘法 每一個階代數方程必有個復數解等.若函數，設，則 .
【答案】46
【解析】因為函數的定義域為，
設是函數圖象上的兩點，其中，且，則有，
從而當時，有：，當時，，
，
相加得
所以，又，
所以對一切正整數，有；
故有.
故答案為：46.
【解題方法總結】
將一個數列倒過來排列，當它與原數列相加時，若有規律可循，并且容易求和，則這樣的數列求和時可用倒序相加法（等差數列前項和公式的推導即用此方法）．
題型七：并項求和
例19．（2024·北京海淀·高三專題練習）已知數列的前項和為，則 ．
【答案】36
【解析】由題意可得為奇數時，，
兩式相減得；
為偶數時，，兩式相加得，
故.
故答案為：36
例20．（2024·全國·高三專題練習）已知的前項和為，，，則 .
【答案】
【解析】當時，則為偶數，為偶數，
可得，，
兩式相加可得：，
故
，
解得.
故答案為：.
例21．（2024·江西·校聯考模擬預測）記為等差數列的前項和，已知，.
(1)求的通項公式；
(2)記，求數列的前30項的和.
【解析】（1）設公差為，則，解得，，
所以.
（2），
所以，
所以
.
變式29．（2024·河南·襄城高中校聯考三模）在等比數列中，，且，，成等差數列．
(1)求的通項公式；
(2)設，數列的前n項和為，求滿足的k的值．
【解析】（1）設的公比為q，由，得，解得，
由，，成等差數列，得，即，解得，
所以數列的通項公式是．
（2）由（1）知，，，
當k為偶數時，，令，得；
當k為奇數時，，令，得，
所以或37.
變式30．（2024·河北滄州·校考模擬預測）已知正項數列的前項和為，滿足.
(1)求數列的通項公式；
(2)若，求數列的前項和.
【解析】（1），
當時，，兩式子作差可得
，
又，所以，
可得數列為公差為2 的等差數列，
當時，，
所以，數列的通項公式為.
（2），
，
所以，數列的前項和.
變式31．（2024·河北·滄縣中學模擬預測）已知數列為等差數列，為其前n項和，若．
(1)求數列的通項公式；
(2)若，求數列的前18項和．
【解析】(1)設等差數列的公差為．則
，解得.
故數列的通項公式為．
(2)由（1）知，，
所以.
因為當時，，
．
所以數列的前18項和為.
【解題方法總結】
兩兩并項或者四四并項
題型八：先放縮后裂項求和
例22．（2024·天津·一模）已知數列是等差數列，其前n項和為，，；數列的前n項和為，.
(1)求數列，的通項公式；
(2)求數列的前n項和；
(3)求證：.
【解析】(1)數列是等差數列，設公差為d，
，
化簡得，
解得，，
∴，.
由已知，
當時，，解得，
當時，，
∴，，
即，
∴數列構成首項為3，公比為3的等比數列，
∴，.
(2)由（1）可得，，
∴，
∴
(3)由（1）可得，，
則，
方法一：
∵，
∴，
令，
，
兩式相減可得
，
∴，
∴
方法二：
∵時，
，
根據“若，，則”，可得，
∴，
令，
，
兩式相減可得
，
∴
∴，
∴
方法三：
令，下一步用分析法證明“”
要證，即證，
即證，
即證，
當，顯然成立，
∴，
∴
例23．（2024·天津市寶坻區第一中學二模）已知為等差數列，前n項和為是首項為2的等比數列，且公比大于0，．
(1)和的通項公式；
(2)求數列的前8項和；
(3)證明：．
【解析】(1)解：設等差數列的公差為d，等比數列的公比為q．
由已知，得，而，所以．又因為，解得．所以．
由，可得①．由，得②，聯立①②，解得，由此可得．
所以，的通項公式為的通項公式為．
(2)解：設數列的前n項和為，由，得，所以
，
，
上述兩式相減，得
．
得．
所以，數列的前n項和為
當時，．
(3)解：由（1）得，所以：
當時，，不等式成立；
當時，，所以，不等式成立；
當時，，
所以，
，
所以，得證．
例24．（2024·浙江·效實中學模擬預測）設各項均為正數的數列的前項和為，滿足.
(1)求的值：
(2)求數列的通項公式：
(3)證明：對一切正整數，有.
【解析】(1)令，，則舍去，
所以.
(2)，
因為數列各項均為正數，舍去，
，當時，
，
(3)令
，
所以
變式32．（2024·廣東汕頭·一模）已知數列的前n項和為，.
(1)證明：數列為等比數列，并求數列的前n項和為；
(2)設，證明：.
【解析】(1)當時，，即
由，則
兩式相減可得，即
所以，即
數列為等比數列
則，所以
則
(2)
所以
【解題方法總結】
先放縮后裂項，放縮的目的是為了“求和”，這也是湊配放縮形式的目標．
題型九：分段數列求和
例25．（2024·全國·高三專題練習）已知為等差數列，為等比數列，．
(1)求和的通項公式；
(2)記的前n項和為，求證：；
(3)對任意的正整數n，設，求數列的前項和．
【解析】（1）設等差數列的公差為，等比數列的公比為q．
由，，可得．
所以的通項公式為．
因為，，
所以，
又因為，
所以，解得，
從而的通項公式為．
（2）證明：由（1）可得，
所以，，
所以，
所以．
（3）當n為奇數時，，
當n為偶數時，，
對任意的正整數n，有，
設，①
所以， ②
所以由①②得：，
所以，即：，
所以，
所以數列的前項和為.
例26．（2024·天津津南·天津市咸水沽第一中學校考模擬預測）已知是單調遞增的等差數列，其前項和為.是公比為的等比數列..
(1)求和的通項公式；
(2)設，求數列的前項和.
【解析】（1）設等差數列的公差為，
由題意可得：，解得或（舍去），
所以.
（2）由（1）可得，
當為奇數時，則，
設，
則，
兩式相減得
，
所以；
當為偶數時，則，
設，
所以；
綜上所述：，
當為奇數時，則
；
當為偶數時，則
；
綜上所述：.
例27．（2024·湖南·校聯考模擬預測）已知等比數列的公比，前n項和為，滿足：.
(1)求的通項公式；
(2)設，求數列的前項和.
【解析】（1）法一：
因為是公比的等比數列，
所以由，得，即，
兩式相除得，整理得，即，
解得或，又，所以，故，
所以，
法二：因為是公比的等比數列，
所以由得，即，則，，解得或（舍去），
故，則，所以.
（2）當為奇數時，，
當為偶數時，，
所以
.
變式33．（2024·湖南常德·高三常德市一中校考階段練習）已知數列，，為數列的前n項和，，若，，且，.
(1)求數列的通項公式；
(2)若數列的通項公式為，令為的前n項的和，求.
【解析】（1），
因為，所以，
又，所以是公比為2，首項為2的等比數列，
，，
，
綜上，是公差為1，首項為1的等差數列，
．
（2）令，
①②，得，
，
．
變式34．（2024·湖南衡陽·衡陽市八中校考模擬預測）已知等差數列與等比數列的前項和分別為：，且滿足：，
(1)求數列的通項公式；
(2)若求數列的前項的和.
【解析】（1），解得：
設等差數列的公差為，等比數列的首項為，公比為
，，
，則：
又，得：
（2）
數列的前項的和：.
變式35．（2024·湖南岳陽·統考三模）已知等比數列的前n項和為，其公比，，且．
(1)求數列的通項公式；
(2)已知，求數列的前n項和．
【解析】（1）因為是等比數列，公比為，則 ，
所以，解得，
由，可得，解得，
所以數列的通項公式為．
（2）由（1）得，
當n為偶數時，
；
當n為奇數時；
綜上所述：.
【解題方法總結】
（1）分奇偶各自新數列求和
（2）要注意處理好奇偶數列對應的項：
①可構建新數列；②可“跳項”求和
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