資源簡介

第50講 外接球、內切球、棱切球
知識梳理
知識點一：正方體、長方體外接球
1、正方體的外接球的球心為其體對角線的中點，半徑為體對角線長的一半．
2、長方體的外接球的球心為其體對角線的中點，半徑為體對角線長的一半．
3、補成長方體
（1）若三棱錐的三條側棱兩兩互相垂直，則可將其放入某個長方體內，如圖1所示．
（2）若三棱錐的四個面均是直角三角形，則此時可構造長方體，如圖2所示．
（3）正四面體可以補形為正方體且正方體的棱長，如圖3所示．
（4）若三棱錐的對棱兩兩相等，則可將其放入某個長方體內，如圖4所示
圖1 圖2 圖3 圖4
知識點二：正四面體外接球
如圖，設正四面體的的棱長為，將其放入正方體中，則正方體的棱長為，顯然正四面體和正方體有相同的外接球．正方體外接球半徑為，即正四面體外接球半徑為．
知識點三：對棱相等的三棱錐外接球
四面體中，，，，這種四面體叫做對棱相等四面體，可以通過構造長方體來解決這類問題．
如圖，設長方體的長、寬、高分別為，則，三式相加可得而顯然四面體和長方體有相同的外接球，設外接球半徑為，則，所以．
知識點四：直棱柱外接球
如圖1，圖2，圖3，直三棱柱內接于球（同時直棱柱也內接于圓柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）
圖1 圖2 圖3
第一步：確定球心的位置，是的外心，則平面；
第二步：算出小圓的半徑，（也是圓柱的高）；
第三步：勾股定理：，解出
知識點五：直棱錐外接球
如圖，平面，求外接球半徑．
解題步驟：
第一步：將畫在小圓面上，為小圓直徑的一個端點，作小圓的直徑，連接，則必過球心；
第二步：為的外心，所以平面，算出小圓的半徑(三角形的外接圓直徑算法：利用正弦定理，得)，；
第三步：利用勾股定理求三棱錐的外接球半徑：①；
②．
知識點六：正棱錐與側棱相等模型
1、正棱錐外接球半徑： ．
2、側棱相等模型：
如圖，的射影是的外心
三棱錐的三條側棱相等
三棱錐的底面在圓錐的底上，頂點點也是圓錐的頂點．
解題步驟：
第一步：確定球心的位置，取的外心，則三點共線；
第二步：先算出小圓的半徑，再算出棱錐的高（也是圓錐的高）；
第三步：勾股定理：，解出．
知識點七：側棱為外接球直徑模型
方法：找球心，然后作底面的垂線，構造直角三角形．
知識點八：共斜邊拼接模型
如圖，在四面體中，，，此四面體可以看成是由兩個共斜邊的直角三角形拼接而形成的，為公共的斜邊，故以“共斜邊拼接模型”命名之．設點為公共斜邊的中點，根據直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半的結論可知，，即點到，，，四點的距離相等，故點就是四面體外接球的球心，公共的斜邊就是外接球的一條直徑．
知識點九：垂面模型
如圖1所示為四面體，已知平面平面，其外接球問題的步驟如下：
（1）找出和的外接圓圓心，分別記為和．
（2）分別過和作平面和平面的垂線，其交點為球心，記為．
（3）過作的垂線，垂足記為，連接，則．
（4）在四棱錐中，垂直于平面，如圖2所示，底面四邊形的四個頂點共圓且為該圓的直徑．
圖1 圖2
知識點十：最值模型
這類問題是綜合性問題，方法較多，常見方法有：導數法，基本不等式法，觀察法等
知識點十一：二面角模型
如圖1所示為四面體，已知二面角大小為，其外接球問題的步驟如下：
（1）找出和的外接圓圓心，分別記為和．
（2）分別過和作平面和平面的垂線，其交點為球心，記為．
（3）過作的垂線，垂足記為，連接，則．
（4）在四棱錐中，垂直于平面，如圖2所示，底面四邊形的四個頂點共圓且為該圓的直徑．
知識點十二：坐標法
對于一般多面體的外接球，可以建立空間直角坐標系，設球心坐標為，利用球心到各頂點的距離相等建立方程組，解出球心坐標，從而得到球的半徑長．坐標的引入，使外接球問題的求解從繁瑣的定理推論中解脫出來，轉化為向量的計算，大大降低了解題的難度．
知識點十三：圓錐圓柱圓臺模型
1、球內接圓錐
如圖，設圓錐的高為，底面圓半徑為，球的半徑為．通常在中，由勾股定理建立方程來計算．如圖，當時，球心在圓錐內部；如圖，當時，球心在圓錐外部．和本專題前面的內接正四棱錐問題情形相同，圖2和圖3兩種情況建立的方程是一樣的，故無需提前判斷．
由圖、圖可知，或，故，所以．
2、球內接圓柱
如圖，圓柱的底面圓半徑為，高為，其外接球的半徑為，三者之間滿足．
3、球內接圓臺
，其中分別為圓臺的上底面、下底面、高．
知識點十四：錐體內切球
方法：等體積法，即
知識點十五：棱切球
方法：找切點，找球心，構造直角三角形
必考題型全歸納
題型一：外接球之正方體、長方體模型
例1．（2024·云南昆明·高一?？计谀┱襟w的表面積為96，則正方體外接球的表面積為
【答案】
【解析】設正方體的棱長為，因為正方體的表面積為，可得，解得，
則正方體的對角線長為，
設正方體的外接球的半徑為，可得，解得，
所以外接球的表面積為.
故答案為：.
例2．（2024·吉林·高一校聯考期末）已知正方體的頂點都在球面上，若正方體棱長為，則球的表面積為 ．
【答案】
【解析】該球為正方體外接球，其半徑與正方體棱長之間的關系為，
由，可得，所以球的表面積.
答案：
例3．（2024·全國·高一專題練習）已知長方體的頂點都在球表面上，長方體中從一個頂點出發的三條棱長分別為2，3，4則球的表面積是
【答案】
【解析】由題意可知：長方體的長寬高為2，3，4，所以長方體的體對角線長為：，故長方體的外接球的半徑為，球的表面積為：，
故答案為：
變式1．（2024·湖南長沙·高一長郡中學?？计谥校╅L方體的外接球的表面積為，，，則長方體的體積為 .
【答案】
【解析】因為長方體的外接球的表面積為，
設球的半徑為，由題意，，，
長方體的外接球的一條直徑為.
因為，，所以，，
則長方體的體積為.
故答案為：
變式2．（2024·天津靜?！じ咭恍？计谥校┰陂L方體中，，，，則長方體外接球的表面積為 ．
【答案】
【解析】由題意，根據長方體外接球的性質，可得，
，該長方體的外接球的表面積.
故答案為：.
題型二：外接球之正四面體模型
例4．（2024·湖北宜昌·宜昌市夷陵中學?？寄M預測）已知正四面體ABCD的表面積為，且A，B，C，D四點都在球O的球面上，則球O的體積為 ．
【答案】
【解析】正四面體各面都是全等的等邊三角形，設正四面體的棱長為a，
所以該正四面體的表面積為，所以，
又正方體的面對角線可構成正四面體，
若正四面體棱長為，可得正方體的棱長為1，
所以正方體的外接球即為該正四面體的外接球，所以外接球的直徑為，半徑為，
所以球O的體積為．
故答案為：
例5．（2024·浙江·高二校聯考期中）正四面體的所有頂點都在同一個表面積是36π的球面上，則該正四面體的棱長是 ．
【答案】
【解析】如圖所示：
因為正四面體內接于球，則相應的一個正方體內接球，設正方體為，
則正四面體為，
設球的半徑為R，則，
解得，
所以則正方體的棱長為，
所以正四面體的棱長為，
故答案為：
例6．（2024·全國·高三專題練習）棱長為的正四面體的外接球體積為 .
【答案】
【解析】如圖，棱長為的正四面體可以嵌入到棱長為的立方體中，所以正四面體的外接球與所嵌入的立方體的外接球相同.
設立方體的外接球半徑為，則，
所以立方體外接球的體積.
故正四面體的外接球體積為.
故答案為：
變式3．（2024·全國·高一假期作業）正四面體和邊長為1的正方體有公共頂點，，則該正四面體的外接球的體積為 .
【答案】
【解析】由圖可知正四面體的外接球的體積等于正方體的外接球的體積，求正方體外接球體積即可．
如圖，由題可得正四面體與正四面體全等，
所以正四面體的外接球的體積等于正四面體的外接球的體積，
也即是正方體的外接球的體積，
因為正方體棱長為1，所以外接球直徑為，
所以正方體的外接球的體積為：，
所以正四面體的外接球的體積為．
故答案為：．
變式4．（2024·安徽池州·高二池州市第一中學校考期中）正四面體中，其側面積與底面積之差為，則該正四面體外接球的體積為 .
【答案】
【解析】設正四面體的邊長為，則該正四面體每個面的面積為，
正四面體的側面積與底面積之差為，解得.
如下圖所示：
過點作平面，垂足為點，連接，可知外接球球心在上，
設球的半徑為，的外接圓半徑為，，
由圖可知，，即，解得.
因此，正四面體的外接球體積為.
故答案為：.
題型三：外接球之對棱相等的三棱錐模型
例7．（2024·高一單元測試）在四面體中，若，，，則四面體的外接球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由題意可采用割補法，考慮到四面體ABCD的四個面為全等的三角形，
所以可在其每個面補上一個以，2，為三邊的三角形作為底面，且以分別x，y，z長、兩兩垂直的側棱的三棱錐，從而可得到一個長、寬、高分別為x，y，z的長方體，并且x2+y2＝3，x2+z2＝5，y2+z2＝4，則有（2R）2＝x2+y2+z2＝6（R為球的半徑），得2R2＝3，
所以球的表面積為S＝4πR2＝6π．
故答案為．
例8．（2024·河南·開封高中校考模擬預測）已知四面體ABCD中，，，，則四面體ABCD外接球的體積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】設四面體的外接球的半徑為,
則四面體在一個長寬高為的長方體中，如圖，
則故，
故四面體ABCD外接球的體積為，
故選：C
例9．（2024·廣東揭陽·高二校聯考期中）在三棱錐中，，，，則該三棱錐的外接球表面積是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因為，
所以可以將三棱錐如圖放置于一個長方體中，如圖所示：
設長方體的長、寬、高分別為a、b、c，
則有，整理得，
則該棱錐外接球的半徑即為該長方體外接球的半徑，
所以有，
所以所求的球體表面積為：．
故選：A．
變式5．（2024·全國·高三專題練習）如圖，在三棱錐中，，，，則三棱錐外接球的體積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由題意，，，，將三棱錐放到長方體中，可得長方體的三條對角線分別為，2，，
設長方體的長、寬、高分別為，
則，，，
解得，，．
所以三棱錐外接球的半徑．
三棱錐外接球的體積．
故選：C
題型四：外接球之直棱柱模型
例10．（2024·陜西安康·統考三模）已知矩形ABCD的周長為36，把它沿圖中的虛線折成正六棱柱，當這個正六棱柱的體積最大時，它的外接球的表面積為 ．
【答案】52π
【解析】設正六棱柱的底面邊長為x，高為y，則，
正六棱柱的體積，
當且僅當，即時，等號成立，此時正六棱柱的外接球的球心在其上下底面中心的連線的中點，
其半徑為，∴外接球的表面積為．
故答案為：．
例11．（2024·黑龍江齊齊哈爾·高一齊齊哈爾市第八中學校校考階段練習）設直三棱柱的所有頂點都在一個表面積是的球面上，且，則此直三棱柱的表面積是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】設，因為，所以.
于是（是外接圓的半徑），.
又球心到平面的距離等于側棱長的一半，
所以球的半徑為.
所以球的表面積為，解得.
因此.
于是直三棱柱的表面積是
.
故選：D.
例12．（2024·全國·高三專題練習）在直三棱柱中，為等腰直角三角形，若三棱柱的體積為32，則該三棱柱外接球表面積的最小值為（ ）
A．12π B．24π C．48π D．96π
【答案】C
【解析】設為等腰直角三角形的直角邊為，三棱柱的高為，
則，所以，則，
外接圓的半徑為，
所以棱柱外接球的半徑為，
令，則，則，
在上單調遞減，在上單調遞增，
所以當時，，
則該三棱柱外接球表面積最小值為.
故選：C.
變式6．（2024·湖北咸寧·高二鄂南高中?？茧A段練習）已知正三棱柱的體積為，則其外接球表面積的最小值為（　　）
A．12π B．6π C．16π D．8π
【答案】A
【解析】設正三棱柱底邊為，高為，外接球半徑為，如圖所示，取上下底面正三角形的
的中心分別為（D在中線CE的三等分點靠E處），易知三棱柱的外接球球心在的中點處.
故
由題意可得:
外接球表面積為：
當且僅當時取得最小值.
故選：A
變式7．（2024·全國·高三專題練習）在三棱柱中，已知，側面，且直線與底面所成角的正弦值為,則此三棱柱的外接球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】三棱柱如圖所示，
因為，所以該三棱柱為直三棱柱.
因為側面，所以三條側棱兩兩互相垂直.
所以為直線與底面所成角，
所以，則.
因為所以.
將三棱柱補成長方體，設外接球的半徑為，
所以，
所以.
故選D.
變式8．（2024·新疆昌吉·高三校考期末）已知正三棱柱所有棱長都為6，則此三棱柱外接球的表面積為（ ）
A． B．60 C． D．
【答案】D
【解析】如圖，為棱的中點，為正△的中心，為外接球的球心
根據直棱柱外接球的性質可知∥，，外接球半徑，
∵正△的邊長為6，則
∴
外接球的表面積.
故選：D．
題型五：外接球之直棱錐模型
例13．（2024·安徽宣城·高一統考期末）在三棱錐中，△ABC是邊長為3的等邊三角形，側棱PA⊥平面ABC，且，則三棱錐的外接球表面積為 ．
【答案】
【解析】根據已知，底面是邊長為3的等邊三角形，平面，
可得此三棱錐外接球，即以為底面以為高的正三棱柱的外接球．
設正三棱柱的上下底面的中心分別為，則外接球的球心為的中點，
的外接圓半徑為，，
所以球的半徑為，
所以四面體外接球的表面積為，
故答案為：．
例14．（2024·江蘇南京·高二統考期末）在三棱錐中，面，為等邊三角形，且，則三棱錐的外接球的表面積為 ．
【答案】
【解析】因為是直三棱錐，底面是正三角形，所以可以將圖補形成為正三棱柱，如圖所示，
此三棱錐外接球，即為以為底面以為高的正三棱柱的外接球，
設球心為O，作平面，則為的外接圓圓心，連接，則，
設的外接圓半徑為r，三棱錐外接球半徑為R，
由正弦定理，得，所以，
中，，所以，解得，
所以．
故答案為：．
例15．（2024·四川成都·高一成都七中?？茧A段練習）已知三棱錐，其中平面，則三棱錐外接球的表面積為 .
【答案】
【解析】根據題意設底面的外心為G，O為球心，所以平面ABC，
因為平面ABC，所以，
設是PA中點，因為，所以，
因為平面平面ABC，所以，因此，
因此四邊形ODAG是平行四邊形，故，
∵，∴，
又外接圓的半徑，由正弦定理得，
所以該外接球的半徑滿足，
所以外接球的表面積為.
故答案為：．
變式9．（2024·陜西商洛·鎮安中學校考模擬預測）在三棱錐中，為等邊三角形，平面，若，則三棱錐外接球的表面積的最小值為 .
【答案】/
【解析】設，則，
取正三角形的外心為，設四面體的外接球球心為，
連接，則平面，
又平面，則，
則平面截球所得截面為大圓，又，
則
又底面外接圓的半徑，
所以三棱錐外接球的半徑.
當時，有最小值，
所以三棱錐外接球的表面積的最小值為.
故答案為：
變式10．（2024·陜西榆林·高二?？茧A段練習）已知三棱錐中，平面，，異面直線與所成角的余弦值為，則三棱錐的外接球的表面積為 ．
【答案】/
【解析】如圖，
分別取、、、的中點、、、，
連接、、、、，可得，，
則為異面直線與所成角，∴，
由面，而，故面，面，則，
設，可得，，，，則，
在中，由余弦定理，可得，
，解得，
設底面三角形的中心為，三棱錐的外接球的球心為，
連接，則平面，
由底面三角形是邊長為2的等邊三角形，可得，
∴為三棱錐外接球的球心，∴，則，，
又，可得，
則三棱錐的外接球的半徑．
∴三棱錐的外接球的表面積為．
故答案為：．
變式11．（2024·江蘇鎮江·高三江蘇省鎮江中學?？茧A段練習）如圖，在四棱錐中，底面為菱形，底面，為對角線與的交點，若，，則三棱錐的外接球的體積為 .
【答案】
【解析】取中點，中點，連接，則，
因為底面，所以平面，
因為四邊形是菱形，則，所以是的外心，
又底面，平面，所以，
所以到四點距離相等，即為三棱錐的外接球球心．
又，，所以，
所以，
所以三棱錐的外接球體積為．
故答案為：．
變式12．（2024·四川綿陽·綿陽中學?？级＃┰谒睦忮F中，平面BCDE，，，，且，則該四棱錐的外接球的表面積為 .
【答案】
【解析】連接，
因為，，所以在直徑為的圓上，
取的中點，即四邊形外接圓的圓心，
在中，即，解得，
所以四邊形外接圓的直徑即外接圓的直徑為，
所以，
因為平面BCDE，所以四棱錐的外接球的球心與底面的距離為，
所以四棱錐的外接球的半徑為，對應的表面積為
故答案為：
變式13．（2024·廣東韶關·高二統考期末）三棱錐中,平面,,,,則三棱錐外接球的體積是 ．
【答案】
【解析】如圖,將三棱錐還原成直三棱柱,設三棱柱的外接球球心為,分別為上下底面的外心,則為的中點,為底面外接圓的半徑,
所以球心O到面的距離為,
由正弦定理有:
,
所以,
.
故答案為:.
題型六：外接球之正棱錐、正棱臺模型
例16．（2024·山東濱州·高一?？计谥校┮阎睦忮F的底面邊長為，側棱長為6，則該四棱錐的外接球的體積為 ．
【答案】
【解析】如圖，是正四棱錐的高，而，則，
，顯然正四棱錐的外接球的球心O在直線上，
令，則，
在中，，解得，
所以該四棱錐的外接球體積為.
故答案為：
例17．（2024·福建福州·高一福建省福州屏東中學校考期末）已知正三棱錐的頂點都在球O的球面上，其側棱與底面所成角為，且，則球O的表面積為
【答案】
【解析】如圖，正三棱錐中，設點Q為的中心，則PQ⊥平面ABC，
∴，∴，PQ＝3．
球心O在直線PQ上，連接AO，設球O的半徑為r，
則，，
在中，，即，解得，
∴球O的表面積為．
故答案為：.
例18．（2024·河南商丘·高一商丘市第一高級中學校聯考期末）在正三棱錐中，點D在棱上，且滿足，，若，則三棱錐外接球的表面積為 .
【答案】
【解析】在正三棱錐中，取的中點E，連接，，如圖，
由，，得，，又，平面，，
則平面，而平面，于是，又，,平面，
因此平面，而平面，從而，，且，
由，得，，由于兩兩垂直，
則以為棱的長方體與三棱錐有相同的外接球，
于是三棱錐外接球的半徑為，
所以三棱錐外接球的表面積為.
故答案為：
變式14．（2024·云南保山·高一統考期末）已知正三棱錐的側棱與底面所成的角為，高為，則該三棱錐外接球的表面積為 .
【答案】/
【解析】設頂點P在底面的投影為（為等邊的中心），則該三棱錐外接球的球心O在上，連接，
因為底面，則側棱與底面所成的角為，可得，
設棱錐外接球的半徑為R，
因為，即，解得，
所以外接球的表面積為.
故答案為：.
變式15．（2024·廣東佛山·高一佛山市南海區第一中學?？茧A段練習）已知正三棱錐中，，，該三棱錐的外接球體積為 ．
【答案】
【解析】在正三棱錐中為等邊三角形，頂點在底面的射影為底面的重心，所以，
又，，所以，所以，同理可得、，
即，，兩兩垂直，把該三棱錐補成一個正方體，該三棱錐的外接球就是正方體的外接球，
正方體的體對角線就是外接球的直徑，易得三棱錐的外接球半徑，
所以三棱錐的外接球體積.
故答案為：
變式16．（2024·陜西咸陽·武功縣普集高級中學?？寄M預測）如圖，在正三棱臺中，，，，則正三棱臺的外接球表面積為（ ）

A．64 B． C． D．
【答案】B
【解析】設外接球球心為，等邊三角形的外心為，等邊三角形的外心為，
三點共線，則是正三棱臺的高，
設臺體的高為，設外接球的半徑為，
過作，垂足為，根據正棱臺的性質可知，
所以平面，平面，所以，
設等邊三角形的外接圓半徑為，由正弦定理得.
設等邊三角形的外接圓半徑為，由正弦定理得.
在直角三角形中，，
所以.
當球心O在線段上，則，解得，
當球心O在的延長線上時，則，無解，
所以正三棱臺的外接球表面積為.
故選：B
變式17．（2024·遼寧·高三校聯考期末）正四棱臺高為2，上下底邊長分別為2和4，所有頂點在同一球面上，則球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
如圖所示，，，
為外接球球心，設外接球半徑為R，分別為棱臺上下底面的中心，
則，
由勾股定理得：，，
設，則，，
故，解得：，
故，
故球的表面積為.
故選:B
變式18．（2024·貴州六盤水·高一?？茧A段練習）已知正四棱錐的底面邊長為6，側棱長為，則該四棱錐外接球的表面積為 ．
【答案】
【解析】如圖所示：
連接交于點，連接，則平面ABCD，
因為正四棱錐的底面邊長為6，側棱長為，
所以，
設外接球的半徑為R，易知球心O在線段上，
在中，，即，
解得，
所以外接球的表面積為，
故答案為：
變式19．（2024·山西晉中·高三祁縣中學?？茧A段練習）在正四棱錐中，，若四棱錐的體積為，則該四棱錐外接球的體積為 ．
【答案】
【解析】如圖所示：
作平面，垂足為H．連接，則H為的中點．
設，則，，從而，故四棱錐的體積為，解得．
由題意可知正四棱錐外接球的球心O在上，連接．
設正四棱錐外接球的半徑為R，
則，即
解得，故該四棱錐外接球的體積為．
故答案為：
變式20．（2024·湖北·高三統考階段練習）在正四棱臺中，，．當該正四棱臺的體積最大時，其外接球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
圖1
設底邊長為a，原四棱錐的高為h，如圖1，分別是上下底面的中心，連結，，，根據邊長關系，知該棱臺的高為，則，
由，且四邊形為直角梯形，，，可得，則，
當且僅當，即時等號成立，此時棱臺的高為1.
上底面外接圓半徑，下底面半徑，設球的半徑為R，顯然球心M在所在的直線上.
顯然球心M在所在的直線上.
圖2
當棱臺兩底面在球心異側時，即球心M在線段上，如圖2，設，則，，顯然
則，有，即
解得，舍去.
圖3
當棱臺兩底面在球心異側時，顯然球心M在線段的延長線上，如圖3，設，則，顯然
即，即
解得，，
此時，外接球的表面積為.
故選：D.
題型七：外接球之側棱相等的棱錐模型
例19．（2024·安徽安慶·校聯考模擬預測）三棱錐中，，，，則該三棱錐外接球的表面積為 ．
【答案】
【解析】因為，，所以由余弦定理可得，解得，所以，
所以是以為斜邊的直角三角形，
因為，
所以點P在平面內的射影是的外心，
即斜邊的中點，且平面平面，
于是的外心即為三棱錐的外接球的球心，
因此的外接圓半徑等于三棱錐的外接球半徑．
因為，，
所以，
于是，
根據正弦定理知的外接圓半徑R滿足，
所以三棱錐的外接球半徑為，
因此三棱錐的外接球的表面積為．
故答案為：
例20．（2024·江蘇常州·高三華羅庚中學?？茧A段練習）在三棱錐中，，二面角的大小為，則三棱錐的外接球的表面積為 ．
【答案】/
【解析】取的中點，連接，因為，
所以和都是等邊三角形，所以，
所以是二面角的平面角，即，
設球心為，和的中心分別為，則平面，平面，
因為，公共邊，所以≌，
所以，
因為，所以，
所以，
所以三棱錐的外接球的表面積為
故答案為：
例21．（2024·河北承德·高一校聯考階段練習）已知三棱錐的各側棱長均為，且，則三棱錐的外接球的表面積為 .
【答案】
【解析】如圖：
過P點作平面ABC的垂線，垂足為M，則都是直角三角形，
又，同理可得，，
所以M點是的外心；
又，是以斜邊的直角三角形，
在底面的射影為斜邊的中點，如下圖：
則，設三棱錐外接球的球心為，半徑為，
則在上，則，即，得，外接球的表面積為；
故答案為：
變式21．（2024·吉林長春·高一長春市解放大路學校校考期末）已知三棱錐P-ABC的四個頂點在球O的球面上，，△ABC是邊長為的正三角形，E，F分別是PA，AB的中點，，則球O的體積為 .
【答案】
【解析】設，則，
因為，則，
在中，因為，則，
由余弦定理可得，
即，解得，
可知，即，所以兩兩垂直，
可以把三棱錐P-ABC轉化為邊長為1的正方體，可知球O即為正方體的外接球，
其體對角線即為外接球的直徑，即，
所以球O的體積.
故答案為：.
變式22．（2024·全國·高三專題練習）已知在三棱錐中，，，則該三棱錐外接球的體積為
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】取中點為，連接，易知
在中：
又平面
為外心球心在上
設半徑為，球心為
在中：
故答案選A
變式23．（2024·全國·高一專題練習）如圖，在三棱錐中，，，二面角的大小為，則三棱錐的外接球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如圖1，過作垂足為，取的中點，連接
過作∥,且=，連接，則
∵△為等邊三角形，則
∴，，根據題意可得
∵，則
由題意可得，則，則
如圖2，∵，則頂點在平面的投影為△的外接圓圓心，則三棱錐的外接球的球心在直線上，連接
，則
∴△的外接圓半徑，則
設棱錐的外接球的半徑為，則
即，解得
三棱錐的外接球的表面積為
故選：D．
變式24．（2024·全國·高三專題練習）在四面體中，，，則四面體的外接球的表面積為（ ）
A． B． C．s D．
【答案】D
【解析】作出圖形，根據題中數據證明出平面平面，并找出球心的位置，列等式求出外接球的半徑，結合球的表面積公式可得出結果.如下圖所示：
取的中點，連接、，設和的外心分別為點、，分別過點、作平面和平面的垂線交于點，則點為外接球球心，
由題意可知，和都是邊長為的等邊三角形，
為的中點，，且，
，，，
，平面，平面，平面平面，
易得，，
平面，平面，，
同理可得，則四邊形為菱形，，菱形為正方形，
平面，平面，，
所以外接球的半徑為，
因此，四面體的外接球的表面積為.
故選：D.
題型八：外接球之圓錐、圓柱、圓臺模型
例22．（2024·浙江臺州·高二校聯考期末）已知圓錐的底面半徑為1，母線長為2，則該圓錐的外接球的體積為 .
【答案】
【解析】由題設，圓錐體的高為，
若外接球的半徑為，則，可得，
所以圓錐的外接球的體積為.
故答案為：.
例23．（2024·黑龍江哈爾濱·哈爾濱三中?？寄M預測）已知某圓錐的軸截面為正三角形，側面積為，該圓錐內接于球，則球的表面積為 .
【答案】/
【解析】作圓錐的軸截面，則該軸截面等邊△的外接圓圓心即為圓錐的外接球球心，且△ABC外接圓半徑等于圓錐的外接球半徑，如下圖所示，
因為圓錐的側面積，所以,
設球的半徑為R，由正弦定理得，
因此，這個球的表面積為.
故答案為：
例24．（2024·河北石家莊·高二?？茧A段練習）一個圓柱的底面直徑與高都等于一個球的直徑，則圓柱的表面積與球的表面積之比為 .
【答案】
【解析】設球的半徑為，則圓柱的表面積，
球的表面積，所以.
故答案為：.
變式25．（2024·重慶·統考模擬預測）如圖所示，已知一個球內接圓臺，圓臺上、下底面的半徑分別為和，球的體積為，則該圓臺的側面積為（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】設球的半徑為，則，所以，，
取圓臺的軸截面，如下圖所示：
設圓臺的上、下底面圓心分別為、，則、分別為、的中點，
連接、、、、、，則，
由垂徑定理可知，，，
所以，，，
因為，，，所以，，
所以，，所以，，
所以，，則，
因此，圓臺的側面積為，
故選：D.
變式26．（2024·云南·高三校聯考開學考試）已知圓臺的上下底面圓的半徑分別為3，4，母線長為，若該圓臺的上下底面圓的圓周均在球O的球面上，則球O的體積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由題得圓臺的高為，
設圓臺的上下底面圓心為，，，球的半徑為，
當圓臺的兩個底面在球心異側時，，
所以，
解得，；
當圓臺的兩個底面在球心同側時，，
，
解得，，
此時，不合題意，舍去，
故球的體積，
故選：B．
變式27．（2024·陜西西安·高一?？计谥校┤鐖D所示，一個球內接圓臺，已知圓臺上 下底面的半徑分別為3和4，球的表面積為，則該圓臺的體積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因為圓臺外接球的表面積，所以球的半徑，
設圓臺的上 下底面圓心分別為，在上 下底面圓周上分別取點，
連接，如圖，
因為圓臺上 下底面的半徑分別為3和4，
所以，，
所以，,
所以，
所以圓臺體積.
故選：D.
題型九：外接球之垂面模型
例25．（2024·江西九江·高一?？计谀┤鐖D，三棱錐中，平面平面BCD，是邊長為2的等邊三角形，，.若A，B，C，D四點在某個球面上，則該球體的表面積為 .

【答案】/
【解析】作出底面的外心，側面的外心，取中點，
連接，因為平面平面，面平面，
因為是邊長為2的等邊三角形，所以，
又因為平面，所以平面，
由球的性質可得平面，所以，
同理，所以四邊形為平行四邊形，
故，
在中，因為，，則，
設的外接圓半徑為，根據正弦定理有，則，
設三棱錐外接球的半徑為，則，
則外接球的表面積為.
故答案為：.
例26．（2024·四川樂山·高二期末）已知正邊長為1，將繞旋轉至，使得平面平面，則三棱錐的外接球表面積為 ．
【答案】
【解析】如圖，
取BC中點G，連接AG,DG，則，，
分別取與的外心E,F分別過E,F作平面ABC與平面DBC的垂線，相交于O，則O為四面體的球心，
由，
所以正方形OEGF的邊長為，則，
所以四面體的外接球的半徑，
球O的表面積為．
故答案為：．
例27．（2024·河南平頂山·高一統考期末）在三棱錐中，平面平面，點是的中點，，則三棱錐的外接球的表面積為 .
【答案】
【解析】因為，所以的外接圓圓心即點，三棱錐外接球球心在過點與平面垂直的直線上，
由于平面平面即球心在平面內，
所以球心即為的外接圓圓心，球的半徑即為的外接圓半徑.
因為，所以，從而.
設，在中，根據余弦定理有，所以，
由正弦定理得，所以，所以三棱錐的外接球的表面積為.
故答案為：
變式28．（2024·江蘇·高一專題練習）如圖，在直三棱柱中，．設D為的中點，三棱錐的體積為，平面平面，則三棱柱外接球的表面積為 ．
【答案】
【解析】取的中點E，連接AE，如圖．
因為，所以．
又面面，面面，且面，
所以面，面，所以．
在直三棱柱中，面ABC，面ABC，所以．
又AE，面，且AE，相交，所以面，面，
所以．
設，則，解得，
所以．
所以三棱柱外接球的表面積．
故答案為：
變式29．（2024·河南開封·開封高中?？寄M預測）如圖,在三棱錐中,平面平面ABC,,,,為等邊三角形,則三棱錐外接球的表面積為 ．
【答案】
【解析】因為平面平面,平面平面,平面,所以平面;
如圖,因為,所以三角形的外心即為中點,
過三角形的外心作平面的垂線,
過三角形的外心作平面的垂線,
則兩垂線必相交于球心,連接,則外接球半徑.
在中,,,
所以,
所以表面積.
故答案為:.
變式30．（2024·湖北十堰·高一統考期末）如圖，在平面四邊形中，，沿對角線將折起，使平面平面，連接，得到三棱錐，則三棱錐外接球表面積的最小值為 .

【答案】
【解析】在平面四邊形中設，
即在Rt中，.
在等腰中，.設外接圓圓心為，外接圓半徑為，由正弦定理可得.
設三棱錐外接球球心為，則平面.
又平面平面，平面平面，平面，，
所以平面，則，所以四邊形為直角梯形.
設外接球的半徑為，在平面四邊形中，過做于，
在中，為的中點，，
由，
所以
.
令，則，
因為，當且僅當，即時（滿足）等號成立.
所以，
所以外接球表面積的最小值為.
故答案為：
變式31．（2024·河南安陽·高一統考期末）在三棱錐中，平面平面，，且，是等邊三角形，則該三棱錐外接球的表面積為 ．
【答案】
【解析】如圖所示，作中點，連接、，
在上作的中心，
過點作平面的垂線，
在垂線上取一點，使得，
因為三棱錐底面是等邊三角形，
是的中心，
所以三棱錐外接球球心在過點的平面垂線上，
又因，則即為球心，
因為平面平面，，，
平面平面，，
所以平面，
，
，
，，
設球的半徑為，
則，
，
即，解得，
故三棱錐外接球的表面積為.
故答案為：
變式32．（2024·云南臨滄·高二?？计谥校┤鐖D，已知矩形中，，現沿折起，使得平面平面，連接，得到三棱錐，則其外接球的體積為 ．

【答案】
【解析】設，由矩形的性質可知：，
則三棱錐的外接球的球心即為，半徑，
所以三棱錐的外接球的體積.
故答案為：.
變式33．（2024·全國·高三校聯考開學考試）在三棱錐中，平面平面，底面是邊長為3的正三角形，若該三棱錐外接球的表面積為，則該三棱錐體積的最大值為 .
【答案】
【解析】依題意，點是三棱錐外接球的球心，設球的半徑為是外接圓的圓心，
設圓的半徑為，點到底面的距離為，
由題意，可得，則.
因為是邊長為3的正三角形，
所以由正弦定理，可得，則.
所以三棱錐的體積為，
三棱錐的體積取最大值則需要最大.
由題意可知，點在過且與底面（此處底面為水平）垂直的截面圓的圓周上運動，當點運動到該圓的最高點時，最大.
取的中點，連接，過點作.如圖所示，
由圓的對稱性可知，此時，則.
又平面平面，且平面平面平面，
所以平面.
因為在中，，
又，
所以.
易得四邊形為矩形，
所以.
因為在中，，
所以，
所以.
故答案為：.
變式34．（2024·四川樂山·統考三模）在三棱錐中，，平面平面ABC，則三棱錐的外接球表面積的最小值為 ．
【答案】
【解析】
如圖，取中點，連接，，
由，則，，
由面面ABC，面面ABC，面，所以面ABC，
而面，所以，
設，，則，
易知，，
取外接圓的圓心，易知在直線上，設外接圓半徑為，
由正弦定理，，
同理，取外接圓的圓心，則在直線上，，
過，分別做平面和平面的垂線交于點，
易證，，
∴，為三棱錐外接球的球心.
①當時，，，，
，分別在線段，上，易知，
設三棱錐外接球的半徑為，則，
，
由基本不等式，，
當且僅當，即時，等號成立.
②當時，，，，
，分別在線段，的延長線上，如下圖所示，
此時，，
∵，∴，且無最小值.
綜上所述，的最小值為，
∴三棱錐的外接球表面積的最小值為.
故答案為：.
變式35．（2024·湖南衡陽·校聯考模擬預測）在平面四邊形中，，沿對角線將折起，使平面平面，得到三棱錐，則三棱錐外接球表面積的最小值為 .
【答案】
【解析】在平面圖形中設，即Rt中，
.在中，.
設外接圓圓心為，外接圓半徑為，
由正弦定理可得.
設三棱錐外接球球心為，則平面.
又平面平面，交線為平面
四邊形為直角梯形.
設外接球的半徑為，在平面中，過做于，
在中，為的中點，
.
令，則
，
當且僅當時，即時（滿足）等號成立.
所以球表面積最小值為.
故答案為：.
題型十：外接球之二面角模型
例28．（2024·廣東陽江·高三統考開學考試）在三棱錐中，，，二面角的平面角為，則三棱錐外接球表面積的最小值為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】當D在△ACD的外接圓上動的時候，該三棱錐的外接球不變，
故可使D點動到一個使得DA=DC的位置，取AC的中點M，連接，
因為，DA=DC，所以，，故即為二面角的平面角，
△ACB的外心為O1，過O1作平面ABC的垂線，過△ACD的外心M作平面ACD的垂線，兩條垂線均在平面BMD內，它們的交點就是球心O，畫出平面BMD，如圖所示；
在平面ABC內，設，則，，
因為，所以，所以，
所以
令，則，
所以，當且僅當時取等，
故選:B
例29．（2024·浙江麗水·高二統考期末）在四面體PABC中，，是邊長為2的等邊三角形，若二面角的大小為，則四面體的外接球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】設正的重心為，則是正的外接圓的圓心，
取的中點，因為，所以是的外接圓的圓心，
過作平面，過作平面，，如圖，
則為四面體的外接球的球心，
又二面角的大小為，則，
又在正中，，
則在中，，
設四面體PABC的外接球的半徑為，
則，
所以四面體PABC的外接球的表面積為.
故選：C.
例30．（2024·廣東·校聯考模擬預測）已知四棱錐平面，二面角的大小為.若點均在球的表面上，則該球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因為，所以，
因為點均在球的表面上，
所以四邊形內接于圓，所以，所以，
因為平面，平面，所以，
又平面，所以平面，
平面，所以，又，
所以二面角的平面角為，所以，
在中，因為，所以，
由余弦定理可得：，
即，即或（舍去），
所以，所以外接圓的直徑為：，
即四邊形外接圓的直徑為，
因為平面，所以，四棱錐外接球的半徑為：
所以四面體外接球的表面積為.
故選：B.
變式36．（2024·福建·高一福建師大附中校考期末）在四面體中，與都是邊長為6的等邊三角形，且二面角的大小為，則四面體外接球的表面積是（ ）
A．52π B．54π C．56π D．60π
【答案】A
【解析】如圖所示，取的中點，連接，分別取和的外心與，
過兩點分別作平面和平面的垂線，交于點，
則就是外接球的球心，連接，
則為二面角的平面角，即，
則是等邊三角形，其邊長為，，
在中，，所以，
又由，所以，
所以四面體的外接球的表面積為.
故選：A.
變式37．（2024·甘肅張掖·高臺縣第一中學?？寄M預測）圖1為兩塊大小不同的等腰直角三角形紙板組成的平面四邊形ABCD，其中小三角形紙板的斜邊AC與大三角形紙板的一條直角邊長度相等，小三角形紙板的直角邊長為a，現將小三角形紙板ACD沿著AC邊折起，使得點D到達點M的位置，得到三棱錐，如圖2．若二面角的大小為，則所得三棱錐M－ABC的外接球的表面積為（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如圖，取AC的中點E，AB的中點F，連接ME，EF．
因為，所以．易知，因為，
所以，所以．
過點E作OE⊥平面MAC，過點F作OF⊥平面ABC，
，連接OA，易知E，F兩點分別是△MAC和△ABC的外心，
所以點O是三棱錐的外接球的球心．
因為，所以，，
所以，因為，，
所以，所以，
又，所以，
則三棱錐的外接球的半徑為，
所以外接球的表面積．
故選：C.
變式38．（2024·全國·高三專題練習）如圖1，在中，，，，，沿將折起，使得二面角為60°，得到三棱錐，如圖2，若，則三棱錐的外接球的表面積為（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因為，，，平面，平面，所以平面．
又平面，則，因為平面，平面，所以．
又，平面，平面，所以平面．
又平面，所以，即90°．因為為60°，所以60°，
在中，，可得，．
易知，的四個頂點可以與一個長方體的四個頂點重合，
如圖所示，則該長方體的外接球即為的外接球，球心PC的中點，
，表面積為，故A正確．
故選：A.
變式39．（2024·湖南岳陽·統考三模）已知三棱錐的所有頂點都在球的球面上，，二面角的大小為，若球的表面積等于，則三棱錐的體積等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】取的中點，連接，
因為，所以到的距離相等，
故即為球心．
由球的表面積等于，設外接球半徑為，故，
解得，過作垂直于于點，
因為，，所以，同理，
過點作，且，則，是二面角的平面角，，過點作，垂足為點.
因為，，且兩直線在平面內，所以平面，
又平面，所以，,且兩直線在平面內，所以平面，
則為三棱錐的高，
故三棱錐的高為，
其中，
所以三棱錐的體積．
故選：B.
變式40．（2024·全國·高一專題練習）在三棱錐中，，二面角為，則三棱錐外接球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如圖所示，設E，F，G分別是BC，AC，BD的中點，則，
因為，所以，
則二面角的平面角為，且平面EFG，
又因為，所以，所以，
因為平面EFG，所以，所以平面ABC．
又因為F是外接圓的圓心，所以FG經過球心，且G是外接圓的圓心，
所以G是三棱錐外接球的球心，
設外接球的半徑為，則，
故三棱錐外接球的表面積．
故選：D.
題型十一：外接球之側棱為球的直徑模型
例31．（2024·貴州黔東南·高二凱里一中?？计谥校┮阎忮F的所有頂點都在球的球面上，是球的直徑.若平面平面，，，三棱錐的體積為，則球的體積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】取的中點，連接，
因為，，所以，.
因為平面平面，所以平面.
設，
所以，
所以球的體積為.
故選：
例32．（2024·四川巴中·高三統考期末）已知三棱錐的體積為，，，若是其外接球的直徑，則球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由是其外接球的直徑，得中點是外接球球心，設是的外心，則平面，且等于到平面的距離的一半．求出中長（用余弦定理），由正弦定理求得外接圓半徑，求出面積，求體積求出，從而可得外接圓半徑，得表面積．如圖，是中點，則是外接球球心，設是的外心，則平面，且等于到平面的距離的一半．
∵，，∴，
，，
，，
，
∴，
．
故選：D.
例33．（2024·重慶九龍坡·高二重慶市育才中學校考期中）已知三棱錐的所有頂點都在球的球面上,為球的直徑,是邊長為的等邊三角形,三棱錐的體積為,則球的表面積為( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】畫出其立體圖像,如圖:
設中點為
為球的直徑,故點為三棱錐外接球的球心.
設外接圓的圓心為
是邊長為,故外接圓半徑為:.
故
是邊長為的等邊三角形
根據三角形面積公式可得:
三棱錐的體積為
根據三棱錐體積公式可得:
可得,解得:
根據幾何關系可知:
在中,有
根據球的表面積公式為
故選:A.
變式41．（2024·重慶·校聯考一模）已知三棱錐各頂點均在球上，為球的直徑，若，，三棱錐的體積為4，則球的表面積為
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】求解出面積后，利用三棱錐的體積，構造方程，求解出點到底面的距離，從而可知的長度；利用正弦定理得到，勾股定理得到球的半徑，從而求得球的表面積.原題如下圖所示：
由，得：
則
設外接圓圓心為，則
由正弦定理可知，外接圓半徑：
設到面距離為
由為球直徑可知：
則
球的半徑
球的表面積
本題正確選項：
變式42．（2024·河北唐山·統考三模）三棱錐的四個頂點都在球面上，是球的直徑，，，則該球的表面積為
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如圖：由題意，是球的直徑，
，，
，，
，
，
，
球的半徑為，
球的表面積為，
故選：．
變式43．（2024·河南南陽·統考模擬預測）已知三棱錐的所有頂點都在球的球面上，是球的直徑.若平面平面，，，三棱錐的體積為，則球的體積為
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
連接AO,BO因為PA=AC,PB=BC,所以和為等腰三角形,又因為為球O的直徑,所以O為PC的中點,所以,又因為平面PCA平面PCB,所以BO,又因為所以平面PBC,設半徑為r，則
，所以，故選B．
變式44．（2024·福建莆田·高三統考期中）三棱錐的各頂點均在球上，為該球的直徑，，三棱錐的體積為，則球的表面積為
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
如圖，，
三棱錐的體積為，
所以，
解得三棱錐的高為，
設為三角形的外接圓的圓心，
連接，則平面，
因為為該球的直徑，
所以，
連接，由正弦定理可知三角形的外接圓的直徑為
，
由勾股定理可得球半徑
球的表面積為，故選D.
變式45．（2024·全國·高三專題練習）已知三棱錐的四個頂點均在某球面上，為該球的直徑，是邊長為4的等邊三角形，三棱錐的體積為，則該三棱錐的外接球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
根據題意作出圖形如圖示.設球心為O，球的半徑r.
過三點的小圓的圓心為，則⊥平面，延長交球于點，則平面.所以.
因為為的中點，所以
因為是邊長為4的等邊三角形，所以.且.
由勾股定理得：.
所以.
所以三棱錐的體積為，解得：.
所以該三棱錐的外接球的表面積為.
故選：D
變式46．（2024·湖南長沙·高三長郡中學?？茧A段練習）已知是球的直徑，是球球面上的兩點，且，若三棱錐的體積為，則球的表面積為
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】設球心為是球心的直徑，是的中點，，設到面距離為，則，即，由正弦定理可得外接圓直徑為球半徑為，球表面積為，故選D.
題型十二：外接球之共斜邊拼接模型
例34．（2022·江西·高二階段練習（理））如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面是菱形， 底面ABCD， 是對角線與的交點，若，，則三棱錐的外接球的體積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：∵底面ABCD為菱形，∴ ，又 底面ABCD，∴ ，
∴ 平面PBD，∴，即，
取PC的中點M，如下圖：
連結BM，OM，在中，MB=MC=MP=PC，
在中MO=PC，
∴點M為三棱椎P-BOC的外接球的球心，
在 中，由于 ，O是AC的中點，所以是等腰三角形，
，
外接球半徑為 ，外接球的體積為 ；
故選：B．
例35．（2022·安徽·蕪湖一中高二期中）已知三棱錐中，，，，，，則此三棱錐的外接球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因為，，，則，所以，
又因為，，，則，所以，
由，，，則，所以，
又由，，，則，所以，
可得為三棱錐的外接球的直徑，
又由，
所以此三棱錐的外接球半徑為，
所以球的表面積為．
故選：C．
例36．（2022·江西贛州·高二期中（理））在三棱錐中，若該三棱錐的體積為，則三棱錐外球的體積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如圖所示：
設SC的中點為O，AB的中點為D，連接OA、OB、OD，
因為，
所以，
則，
所以O為其外接球的球心，設球的半徑為R，
因為，，
所以，
所以，
因為，
所以平面AOB，
所以，
解得，
所以其外接球的體積為，
故選：D
變式47．在矩形中，，沿將矩形折成一個直二面角，則四面體的外接球的體積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】設矩形對角線的交點為，則由矩形對角線互相平分，可知．
∴點到四面體的四個頂點的距離相等，即點為四面體的外接球的球心，如圖2所示．
∴外接球的半徑．故．選C．
變式48．三棱錐中，平面平面， ，，，則三棱錐的外接球的半徑為
【答案】1
【解析】是公共的斜邊，的中點是球心 ，球半徑為．
題型十三：外接球之坐標法模型
例37．（2024·浙江·高二校聯考階段練習）空間直角坐標系中，則四面體ABCD外接球體積是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】取，則是長方體，
其對角線長為，
∴四面體外接球半徑為．
，
故選：B．
例38．（2024·貴州·統考模擬預測）如圖，某環保組織設計一款苗木培植箱，其外形由棱長為2（單位：）的正方體截去四個相同的三棱錐（截面為等腰三角形）后得到.若將該培植箱置于一球形環境中，則該球表面積的最小值為
【答案】
【解析】如圖將正方體補全，依題意可得、、、為正方體底面邊上的中點，
要使球的表面積最小，即為求的外接球的表面積，
如圖建立空間直角坐標系，則，，則幾何體外接球的球心必在上、下底面中心的連線上，
設球心為，球的半徑為，則，
即，解得，
所以，
所以外接球的表面積，即該球表面積的最小值為.
故答案為：
例39．（2024·河南開封·開封高中?？家荒＃┤鐖D，在三棱錐中，為等邊三角形，三棱錐的體積為，則三棱錐外接球的表面積為 .
【答案】
【解析】
過C作面于H，
則三棱錐的體積為，所以，
取AD中點M，連接CM，MH，
因為為等邊三角形，所以，
又面，面，所以，
又，所以面，
面，所以，
在中，所以
以AB，AD為軸，垂直于AB，AD方向為軸，建立如圖所示空間坐標系，
設球心，在面的投影為，
由得，
所以N為的外接圓圓心，所以N為斜邊的中點，故設
由得，解得，
所以，
故外接球的表面積為，
故答案為：
變式49．（2024·全國·高三專題練習）如圖①，在中，，，D，E分別為，的中點，將沿折起到的位置，使，如圖②.若F是的中點，則四面體的外接球體積是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】依題意，，，平面，所以平面，又，如圖建立空間直角坐標系，則、、、、、，依題意為直角三角形，所以的外接圓的圓心在的中點，設外接球的球心為，半徑為，則，即，解得，所以，所以外接球的體積；
故選：B
變式50．（2024·湖北武漢·高一武漢外國語學校（武漢實驗外國語學校）期末）如圖，已知四棱錐，底面是邊長為3的正方形，面，，，，若，則四棱錐外接球表面積為（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】以為坐標原點，以，，所在直線分別為，，軸，建立空間直角坐標系，設，
則，，，，，
則，，，
于是，
則，∴，四棱錐外接球直徑為，故其表面積為．
故選：B.
變式51．（2024·河南鄭州·模擬預測）在長方體中中，，AD＝2，M是棱的中點，過點B，M，的平面交棱AD于點N，點P為線段上一動點，則三棱錐外接球表面積的最小值為 ．
【答案】
【解析】設三棱錐外接球球心為，半徑為R，
則在過直角斜邊的中點與平面垂直的直線上，且滿足.
以D為原點，為x軸，為y軸，為z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，
則，
設球心，，又，
設，，則，
由，得，
則，由，，可得，
又，所以當時，取最小值，最小值為，
所以三棱錐外接球表面積的最小值為.
故答案為：.
變式52．（2024·湖南郴州·高二統考期末）如圖，棱長為2的正方體中，E，F分別為棱 的中點，G為面對角線上一個動點，則三棱錐的外接球表面積的最小值為 .
【答案】
【解析】以DA，DC，分別為x軸，y軸，z軸建系.
則，設，球心，
，又.
聯立以上兩式，得，所以時，，為最小值，
外接球表面積最小值為.
故答案為：.
變式53．（2024·廣東陽江·高三陽春市第一中學階段練習）已知正方體的棱長為2，點是線段上的動點，則三棱錐的外接球半徑的取值范圍為 ．
【答案】
【解析】如圖，以為原點建立空間直角坐標系，
則，
設為的中點，為三棱錐外接球的球心，
則為外接圓的圓心，平面，，
設，
則，
所以，
化簡得，
所以，
所以球的半徑.
故答案為：.
題型十四：外接球之空間多面體
例40．（2024·全國·高三專題練習）自2015年以來，貴陽市著力建設“千園之城”，構建貼近生活、服務群眾的生態公園體系，著力將“城市中的公園”升級為“公園中的城市”．截至目前，貴陽市公園數量累計達到1025個．下圖為貴陽市某公園供游人休息的石凳，它可以看做是一個正方體截去八個一樣的四面體得到的，如果被截正方體的的棱長為，則石凳所對應幾何體的外接球的表面積為 ．
【答案】
【解析】
設正方體的中心為，為棱的中點，連接，
則為矩形的對角線的交點，
則，
同理，到其余各棱的中點的距離也為，
故石凳所對應幾何體的外接球的半徑為20，其表面積為，
故答案為：
例41．（2024·山東青島·高一山東省青島第五十八中學?？茧A段練習）截角四面體是一種半正八面體，可由四面體經過適當的截角，即截去四面體的四個頂點所產生的多面體.如圖所示，將棱長為3的正四面體沿棱的三等分點作平行于底面的截面得到所有棱長均為1的截角四面體，則該截角四面體的外接球表面積為 .
【答案】
【解析】因為棱長為的正四面體的高為，
所以截角四面體上下底面距離為，
序曲其外接球的半徑為，等邊三角形的中心為，正六邊形的中心為，則垂直于平面與平面，則,
所以，解得，
所以該截角四面體的外接球的表面積為,
故答案為：
例42．（2024·寧夏銀川·銀川二中校考一模）把一個棱長都是6的正四棱錐（底面是正方形，頂點在底面的射影是正方形的中心）每條棱三等分，沿與正四棱錐頂點相鄰的三等分點做截面，將正四棱錐截去四個小正四面體和一個小正四棱錐（如圖所示），則剩下的幾何體的外接球的表面積等于 ．
【答案】
【解析】設正四棱錐底面的正方形為，頂點為，棱的三等分點為點和點，棱的三等分點為點和點，連接與交于點，連接，，，，，則底面，如圖所示，
因為正四棱錐的棱長是6，即，
所以，
所以，
即，
所以正四棱錐的外接球的球心為點，，
又因為，，，
所以，則,
同理可證，則,
又因為，，，
所以，則，
同理可證出該幾何體其他頂點到點的距離都相等，
故剩下的幾何體的外接球的球心也為點，
，
所以在中，，
解得，
即剩下的幾何體的外接球的半徑為，
故剩下的幾何體的外接球的表面積：，
故答案為：．
變式54．（2024·山東濟南·高一山東省濟南市萊蕪第一中學?？茧A段練習）取兩個相互平行且全等的正n邊形，將其中一個旋轉一定角度，連接這兩個多邊形的頂點，使得側面均為等邊三角形，我們把這種多面體稱作“n角反棱柱”.當n=4時，得到如圖所示棱長均為2的“四角反棱柱”，則該“四角反棱柱”外接球的表面積等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如圖所示：設上下底面的中心分別為，設該“四角反棱柱”外接球的球心是，
顯然是的中點，設的中點為，連接，
過做，垂足為，
因為，，
所以，
在直角三角形中，，
所以有，于是有，
在直角三角形中，，
所以該“四角反棱柱”外接球的表面積等于，
故選：B
題型十五：與球有關的最值問題
例43．（2024·江西撫州·統考模擬預測）如圖，直三棱柱中，，棱柱的側棱足夠長，點P在棱上，點在上，且，則當△的面積取最小值時，三棱錐的外接球的體積為 .
【答案】
【解析】如圖所示，取的中點為，連接，
因為三棱柱為直棱柱，所以平面ABC，
因為平面，所以，
又因為且，平面，所以平面，
因為平面，所以，
又因為且，平面，所以平面，
因為平面，所以，
設，在直角中，，同理，
所以，整理得到，
又由
，
當且僅當時等號成立，即時，的面積取最小值，
因為平面，平面，所以，所以，
又因為為直角三角形，故，所以為三棱錐的外接球的球心，
設外接球的半徑為，可得外接球的直徑為，
所以外接球的體積為.
故答案為：.
例44．（2024·全國·學軍中學校聯考二模）如圖，直三棱柱中，，點在棱上，且，當的面積取最小值時，三棱錐的外接球的表面積為 .
【答案】
【解析】由余弦定理得：
設，則，
由得：，解得：，
因為，故
由基本不等式得：當且僅當，且時，即時取最小值.底面三角形外接圓半徑，
.
故答案為：
例45．（2024·湖南長沙·高三長沙一中?？茧A段練習）正方體的棱長為2，點平面，點是線段的中點，若，則當的面積取得最小值時，三棱錐外接球的體積為 .
【答案】
【解析】如圖以為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標系，取的中點，連接，，，
得，，，，，所以，，
，因為，，所以
，，所以平面，因為，點又在平面上，所以點在
直線上，則，當的面積取得最小值時，線段的長度即為點到直
線的距離，即時，面積最小，由，，為直角三角形，可得
，，，過點作交平面于點，連接，，可以得
到直三棱柱，向外構建長方體，則三棱錐外接球即可以為長方
體的外接球，設外接球的半徑為，所以，即
，則外接球體積為.
故答案為：
變式55．（2024·廣東深圳·高三深圳中學?？奸_學考試）如圖，直三棱柱中，⊥，，，點P在棱上，且，當的面積取最小值時，三棱錐的外接球的表面積為 ．
【答案】
【解析】由勾股定理得：，
設BP=x，，則，，
，
由得：，解得：，
因為，故
由基本不等式得：，
當且僅當，即時，等號成立，
將三棱錐補形為長方體，則三棱錐的外接球即該長方體的外接球，
其中長方體的外接球的直徑為，
故半徑為，故三棱錐的外接球的表面積為.
故答案為：
變式56．（2024·黑龍江齊齊哈爾·高一校聯考期末）已知三棱錐的四個頂點均在同一個球面上，底面為等腰直角三角形且，若該三棱錐體積的最大值為，則其外接球的表面積為 .
【答案】
【解析】如圖所示：設球心為所在圓面的圓心為，則平面．
因為為等腰直角三角形且，所以是中點；所以當三棱錐體積最大時，為射線與球的交點，所以；因為，設球的半徑為，所以，所以，解得：，所以球的表面積為.
故答案為：．
變式57．（2024·四川瀘州·高三四川省瀘縣第一中學?？茧A段練習）已知四棱錐S－ABCD中，底面ABCD為正方形，側面SAB為等邊三角形，AB＝3，則當四棱錐的體積取得最大值時，其外接球的表面積為 ．
【答案】
【解析】依題意可知，當側面底面ABCD時，四棱錐S－ABCD的體積最大．
設球心為O，半徑為R，正方形ABCD和外接圓的圓心分別為，，正方形ABCD外接圓半徑為，則平面ABCD，平面SAB．
因為和正方形ABCD的邊長均為3，設AB的中點為E，
所以，，
由勾股定理得，
所以球O的表面積．
故答案為：
變式58．（2024·湖南長沙·高三寧鄉一中校考階段練習）在三棱錐中，底面，，，為的中點，若三棱錐的頂點均在球的球面上，是球上一點，且三棱錐體積的最大值是，則球的體積為 .
【答案】/
【解析】正中，為的中點，則，而平面，平面，即，
而，平面，則平面，平面，有，又，
因此，與的斜邊中點到點A，B，M，P的距離相等，即三棱錐外接球球心為中點，
從而，點O是三棱錐外接球球心，設球的半徑為，有，
的外接圓圓心為的中點，設為，連接，則平面，如圖，
則有，即到平面的距離為，
因此到平面距離的最大值為，
又，即有，解得，，，
所以球的體積為.
故答案為：
變式59．（2024·江西南昌·南昌十中校考模擬預測）點，，，在同一個球的球面上，，若四面體體積的最大值為，則這個球的表面積為 .
【答案】/
【解析】依題意，三角形為正三角形，面積為，
設四面體的高為，則，解得，
設球心為O,三角形的外接圓圓心，當四面體體積最大時，三點共線，如圖，
三角形所在平面截球得到的圓為三角形的外接圓，其半徑，
連接球心和三角形的外接圓圓心，則平面，設球的半徑為，
，
，解得，
這個球的表面積為，
故答案為：
題型十六：內切球之正方體、正棱柱模型
例46．（2024·廣東肇慶·高一?？茧A段練習）棱長為2的正方體的內切球的球心為，則球的體積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】正方體的內切球的球心為，由對稱性可知為正方體的中心，球半徑為1，
即球的體積為.
故選：B.
例47．（2024·河北邯鄲·高一大名縣第一中學?？茧A段練習）已知直三棱柱存在內切球，若，則該三棱柱外接球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因為，故，
故的內切圓的半徑為.
因為直三棱柱存在內切球，故直三棱柱的高即為內切球的直徑.
而內切球的半徑即為底面三角形內切圓的半徑，故內切球的半徑為1，
故直三棱柱的高為2.
將直三棱柱補成如圖所示的長方體，則外接球的直徑即為該長方體的體對角線，
故外接球的半徑為，
故外接球的的表面積為.
故選：D.
例48．（2024·山西太原·高一?？茧A段練習）已知正方體的內切球(球與正方體的六個面都相切)的體積是，則該正方體的體積為（ ）
A．4 B．16 C．8 D．64
【答案】D
【解析】根據球的體積公式，，解得.
因為正方體的內切球直徑等于正方體的棱長，所以正方體的棱長為，故正方體的體積為.
故選：D.
變式60．（2024·全國·高一專題練習）若一個正三棱柱存在外接球與內切球，則它的外接球與內切球體積之比為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】設正三棱柱底面正三角形的邊長為a，則正三棱柱的內切球半徑等于正三角形的內切圓半
徑，則內切球的半徑，正三棱柱的高．
設正三角形的外接圓半徑為R，易得，
所以外接球的半徑．
所以它的外接球與內切球體積之比為．
故選：C
變式61．（2024·遼寧·高二沈陽二中校聯考開學考試）在正三棱柱中，D是側棱上一點，E是側棱上一點，若線段的最小值是﹐且其內部存在一個內切球（與該棱柱的所有面均相切），則該棱柱的外接球表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】設正三棱柱的底面邊長為高為，
對三個側面進行展開如圖，
要使線段的最小值是，則連接（左下角，右上角），
此時在連接線上，故①，
因為正三棱柱內部存在一個半徑為的內切球，
所以整理得，
將代入①可得，
所以正三棱柱的底面外接圓半徑為，
所以正三棱柱的外接球半徑為，
所以該棱柱的外接球表面積為
故選：B
變式62．（2024·全國·高一專題練習）若一個正六棱柱既有外接球又有內切球，則該正六棱柱的外接球和內切球的表面積的比值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如圖：分別為底面中心，為的中點，為的中點
設正六棱柱的底面邊長為
若正六棱柱有內切球，則，即內切球的半徑
，即外接球的半徑
則該正六棱柱的外接球和內切球的表面積的比值為
故選：C．
變式63．（2024·全國·高三專題練習）已知點O到直三棱柱各面的距離都相等，球O是直三棱柱的內切球，若球O的表面積為，的周長為4，則三棱錐的體積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】設直三棱柱的高為h，AB＝c，BC＝a，AC＝b，內切球O的半徑為r，則h＝2r，
由題意可知球O的表面積為，解得r＝2，∴h＝4，
又△ABC的周長為4，即a＋b＋c＝4，
∴連接OA，OB，OC，可將直三棱柱分成5個棱錐，
即三個以原來三棱柱側面為底面，內切球球心為頂點的四棱錐，
兩個以原來三棱柱底面為底面，內切球球心為頂點的的三棱錐，
∴由體積相等可得直三棱柱的體積為h＝ahr＋bhr＋chr＋2×r，
即4＝（a＋b＋c）hr＋，∴＝，
∴三棱錐的體積為h＝×4×4＝．
故選：B．
題型十七：內切球之正四面體模型
例49．（2024·高一課時練習）邊長為的正四面體內切球的體積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】將棱長為的正四面體補成正方體，則該正方體的棱長為，
，
設正四面體的內切球半徑為，正四面體每個面的面積均為，
由等體積法可得，解得，
因此，該正四面體的內切球的體積為.
故選：D.
例50．（2024·全國·高三專題練習）已知正四面體的棱長為，則其內切球的表面積為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】設正四面體內切球球心為，內切球半徑為，取中點，作平面于，則為中心，
則，.
，，
，
又，，
內切球表面積.
故選：.
例51．（2024·江蘇·高一專題練習）正四面體的棱長為，則它的內切球與外接球的表面積之比為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】依題意，正四面體的內切球與外接球球心重合，記為，令正的中心為，連接，
顯然點在上，令正四面體的內切球與外接球半徑分別為，即，
而，則，
在中，，解得，，
所以它的內切球與外接球的表面積之比為.
故選：D
題型十八：內切球之棱錐模型
例52．（2024·安徽·高二馬鞍山二中校聯考階段練習）已知矩形中，，沿著對角線將折起，使得點不在平面內，當時，求該四面體的內切球和外接球的表面積比值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】取中點，由矩形的性質可知，
即為該四面體的外接球的球心，故外接球的半徑；
因為，，平面，
可得平面，
平面，則，
且，，平面，
可得平面，
平面，則，故該四面體的四個面都是直角三角形，
設四面體的內切球的半徑為，
因為內切球與四面體的四個面都相切，故滿足，
則，解得；
因此該四面體的內切球和外接球的表面積的比值為.
故選：C.
例53．（2024·廣西·高二校聯考期中）已知四棱錐的各棱長均為2，則其內切球表面積為（ ）

A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因為四棱錐的各棱長均為2，所以四棱錐是正四棱錐，
則，
過P作底面垂線，垂足為H，則，
所以，則，
故其內切圓表面積為，
故選：B．
例54．（2024·湖北武漢·高二校聯考階段練習）如圖，在三棱錐中，，，若三棱錐的內切球的表面積為，則此三棱錐的體積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】連接，并延長交底面于點，連接，并延長交于，
在三棱錐中，，，
三棱錐是正四面體，是的中心，平面，
三棱錐的內切球的表面積為，
，解得球的半徑，
設，則，，
，
，，，
解得，，
此三棱錐的體積為.
故選：D.
變式64．（2024·河南濮陽·高一濮陽一高?？茧A段練習）在三棱錐中，平面，且，若球在三棱錐的內部且與四個面都相切（稱球為三棱錐的內切球），則球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因為平面，平面，平面，平面，
所以，，，
又，
所以平面，所以，
所以均為直角三角形，
設球的半徑為r，則，
而，，
所以，解得，
所以球的表面積為，
故選：A.
變式65．（2024·福建龍巖·統考模擬預測）如圖，已知正方體的棱長為2，以其所有面的中心為頂點的多面體為正八面體，則該正八面體的內切球表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根據圖形，已知正方體的棱長為2，易知正八面體的棱長為正方體面對角線長的一半，
即為，
如圖，
在正八面體中連接，，，可得，，互相垂直平分，為正八面體的中心，平面，平面，則，，.
在中，，
則該正八面體的體積，
該八面體的表面積
設正八面體的內切球半徑為，
，即，解得，
.
故選：C.
變式66．（2024·浙江寧波·高一慈溪中學校聯考期末）在《九章算術》中，將四個面都是直角三角形的四面體稱為鱉臑.在鱉臑中，平面，，且，則其內切球表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
因為四面體四個面都為直角三角形，平面，
所以，，
設四面體內切球的球心為，半徑為，
則
所以，
因為四面體的表面積為，
又因為四面體的體積，
所以，
所以內切球表面積.
故選：C.
題型十九：內切球之圓錐、圓臺模型
例55．（2024·全國·高三專題練習）在Rt中，.以斜邊為旋轉軸旋轉一周得到一個幾何體，則該幾何體的內切球的體積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由題意該幾何體是兩個共底面的圓錐的組合體，如圖是其軸截面，
由對稱性知其內切球球心在上，到的距離相等為球的半徑，設其為，
因為是直角，所以是正方形，即，
由得，即，解得，
球體積為．
故選：C．
例56．（2024·天津·統考二模）已知一個圓錐的高為，底面直徑為，其內有一球與該圓錐的側面和底面都相切，則此球的體積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】圓錐的母線長為，取圓錐的軸截面如下圖所示：
設該圓錐的內切球的半徑為，則，
所以，，
因此，球的體積為.
故選：C.
例57．（2024·全國·高一專題練習）已知某圓錐的母線長為2，其軸截面為直角三角形，則下列關于該圓錐的說法中錯誤的是（ ）
A．圓錐的體積為 B．圓錐的表面積為
C．圓錐的側面展開圖是圓心角為的扇形 D．圓錐的內切球表面積為
【答案】B
【解析】由題設，底面直徑，故半徑為，體高為，
所以圓錐的體積為，A正確；
圓錐的表面積為，B錯誤；
底面周長為，側面展開扇形半徑為2，故圓心角為，C正確；
由軸截面是腰長為2的等腰直角三角形，圓錐的內切球最大截面為其內切圓，
所以內切球半徑為，故球體表面積為，D正確.
故選：B
變式67．（2024·貴州貴陽·高二校考階段練習）已知圓錐內切球（與圓錐側面、底面均相切的球）的半徑為2，當該圓錐的表面積最小時，其外接球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】設圓錐的頂點為，底面圓的圓心為，內切球圓心為，
則，，
因為⊥，⊥，所以∽，則，
設，，
故，由得：，
由得：，
故，所以，，
解得：，
所以圓錐的表面積為，
令，，
當時，，當時，，
故在上單調遞減，在上單調遞增，
故在時取得最小值，，
此時，，
設圓錐的外接球球心為，連接，設，
則，
由勾股定理得：，即，
解得：，故其外接球的表面積為.
故選：A
變式68．（2024·全國·高一專題練習）已知圓錐的底面半徑為2，高為，則該圓錐的內切球表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如圖，圓錐與內切球的軸截面圖，點為球心，內切球的半徑為，為切點，設，即
由條件可知，，
中，，即，解得：，
所以圓錐內切球的表面積.
故選：D
變式69．（2024·安徽宣城·高二校聯考開學考試）如圖，正四棱臺的上 下底面邊長分別為分別為，的中點，8個頂點構成的十面體恰有內切球，則該內切球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】該十面體及內切球的正投影為等腰梯形與內切圓，設內切圓的半徑為，
如圖所示，，
所以，
可得，
故該內切球的表面積為.
故選：A
變式70．（2024·湖北咸寧·高二統考期末）已知球內切于圓臺（即球與該圓臺的上、下底面以及側面均相切），且圓臺的上、下底面半徑，則圓臺的體積與球的體積之比為（ ）

A． B． C．2 D．
【答案】B
【解析】如圖為該幾何體的軸截面，其中圓是等腰梯形的內切圓，設圓與梯形的腰相切于點，與上、下底的分別切于點，，
設球的半徑為，圓臺上下底面的半徑為，.注意到與均為角平分線，因此，
從而，故.設臺體體積為，球體體積為，
則.
故選：B
題型二十：棱切球之正方體、正棱柱模型
例58．（2024·山東菏澤·高一山東省鄄城縣第一中學校考階段練習）已知球與一正方體的各條棱相切，同時該正方體內接于球，則球與球的表面積之比為（ ）
A．2：3 B．3：2 C． D．
【答案】A
【解析】設正方體棱長為，
因為球與正方體的各條棱相切，所以球的直徑大小為正方體的面對角線長度，
即半徑；
正方體內接于球，則球的直徑大小為正方體的體對角線長度，即半徑；
所以球與球的表面積之比為.
故選：A.
例59．（2024·全國·高三專題練習）已知正三棱柱的體積為18，若存在球O與三棱柱的各棱均相切，則球O的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】設正三棱柱的底面邊長為，高為，上底面中心為，下底面中心為，
連接，則球的球心在的中點上，設球切棱于，切棱于，
則、分別為所在棱的中點，
由題意，①
因為，，
又，所以，
所以，解得，②
聯立①②可得，
所以球的半徑為，
所以球O的表面積為，
故選：C.
例60．（2024·全國·高三專題練習）已知球與棱長為的正方體的各條棱都相切，則球內接圓柱的側面積的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由題意知球的直徑等于正方體面的對角線長，
所以球的半徑，設圓柱的高為，則底面圓半徑，
所以
當時取得最大值，且最大值為.
故選
變式71．（吉林省吉林市2024屆高三第四次數學（理）調研試題）已知正三棱柱(底面為正三角形且側棱與底面垂直)，它的底面邊長為2，若存在一個球與此正三棱柱的所有棱都相切，則此正三棱柱的側棱長為 .
【答案】2
【解析】如圖，作正三棱柱的中截面正，作上下底面三角形內切圓，
與正三棱柱的所有棱都相切的球必過的外接圓和上下底面內切圓，
取上下底面內切圓心 ，連接，取中點，為的外心，
以為球心，以為半徑的球，此球即為與正三棱柱的球，
于是，，
所以，，
故答案為：2
變式72．（福建省三明市2024屆高三上學期期末質量檢測數學試題）已知直三棱柱的側棱長為，底面為等邊三角形.若球O與該三棱柱的各條棱都相切，則球O的體積為 .
【答案】
【解析】由題意三棱柱是正三棱柱，分別是棱柱下底面和上底面的中心，由對稱性知中點為球的球心，取中點（為切點），則（等于到棱距離．設球半徑為，
由正三角形性質知，
與底面垂直，則必與底面上直線垂直，因此，解得，
球體積為．
故答案為：．
變式73．已知正三棱柱，若有一半徑為4的球與正三棱柱的各條棱均相切，則正三棱柱的側棱長為 .
【答案】
【解析】設底面△ABC外接圓圓心G,如圖
因為△ABC的外接圓即為球的大圓，且，
則GA=GB=GC=4，從而正△ABC邊長,
設球心，由題意知E、D在球面上，,
F為DE中點，則，
在中，，
側棱，
故答案為：
變式74．（廣東省茂名市五校聯盟2024屆高三上學期第二次聯考數學試題）已知正三棱柱的高等于1.一個球與該正三棱柱的所有棱都相切，則該球的體積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如圖，作正三棱柱的中截面正△，作上下底面三角形內切圓，
與正三棱柱的所有棱都相切的球必過△的外接圓和上下底面內切圓，
取上下底面內切圓心、，連接，取中點，為△的外心，
以為球心，以為半徑的球，此球即為與正三棱柱所有棱都相切的球，
∴，，，
在直角△OMN中，由得，，，
∴球的半徑，
∴球的體積.
故選：B.
題型二十一：棱切球之正四面體模型
例61．（2024·全國·高一期中）已知某棱長為的正四面體的各條棱都與同一球面相切，則該球與此正四面體的體積之比為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如圖，正方體中，棱長為，
所以，四面體是棱長為的正四面體，
當正四面體的各條棱都與同一球面相切時，該球為正方體的內切球，半徑為，
所以，該球的體積為，
因為正四面體的體積為，
所以，該球與此正四面體的體積之比為.
故選：A
例62．（2024·陜西西安·高一校聯考期中）所有棱長均相等的三棱錐構成一個正四面體，則該正四面體的內切球與外接球的體積之比為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
如圖，設為正三角形的中心，連接，
根據對稱性可知正四面體的內切球和外接球共球心且球心在線段上，
連接，設正四面體的棱長為，則，
故．
設外接球的半徑為，則，
故，解得，
故內切球的半徑為，所以，
故內切球與外接球的體積之比為，
故選：A．
例63．（2024·江西南昌·高二進賢縣第一中學校考期中）球與棱長為的正四面體各條棱都相切，則該球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】將正四面體補形為一個正方體如圖所示（紅色線條表示正四面體），則正四面體的棱為正方體的面對角線，
因為球與正四面體的各條棱都相切，所以球與正方體的各個面都相切，所以所求的球為正方體的內切球，
又因為正方體的棱長為，所以球的半徑，
所以球的表面積為：，
故選：C.
變式75．（2024·貴州貴陽·校聯考模擬預測）已知球的表面積為，若球與正四面體的六條棱均相切，則此四面體的體積為（ ）
A．9 B． C． D．
【答案】A
【解析】由，，將正四面體放到正方體中，正方體的內切球即與正四面體的六條棱均相切，，正方體的棱長為，則正四面體棱長為，高，，
故選:A．
變式76．（2024·全國·高三專題練習）正四面體P-ABC的棱長為4，若球O與正四面體的每一條棱都相切，則球O的表面積為（ ）
A．2π B．8π C． D．12π
【答案】B
【解析】將正四面體補成一個正方體球與正四面體的棱都相切．
則球與正方體的內切球，設正方體邊長為，
故選：B.
題型二十二：棱切球之正棱錐模型
例64．（河南省名校2022-2024學年高二下學期5月聯考數學試題）已知棱長均為的多面體由上 下全等的正四棱錐和拼接而成，其中四邊形為正方形，如圖所示，記該多面體的外接球半徑為，該多面體的棱切球（與該多面體的所有棱均相切的球）的半徑為，則 ．

【答案】
【解析】在多面體中，為正方形的中心，如圖所示：
由題意可知既是多面體的外接球的球心，也是棱切球的球心，
過點作于點，在中，，
，所以，
所以，
所以
故答案為：
例65．（河南省多所名校2022-2024學年高三下學期3月月考文科數學試題）在正三棱錐中，，，若球O與三棱錐的六條棱均相切，則球O的表面積為 ．
【答案】
【解析】如圖示：
取的中心E，連接PE，則平面ABC，且與棱均相切的球的球心O在PE上.
連接AE并延長交BC于D，則D為BC的中點，，連接OD.
因為平面ABC，所有.
因為平面，平面，，所有平面.
因為平面，所有
.過O作，交PA于點F.
球O的半徑為r，則.
由題意：為正三角形，因為，所以，，.
因為，，所以，所以.
設，所以，因為，所以，解得:，所以，故球O的表面積為．
故答案為：
例66．（安徽省馬鞍山市2024屆高三下學期第二次教學質量監測理科數學試題）球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直徑被截下的線段長叫做球缺的高，球缺的體積公式，其中為球的半徑，為球缺的高.若一球與一所有棱長為6的正四棱錐的各棱均相切，則該球與該正四棱錐的公共部分的體積為 .
【答案】
【解析】如圖，
取的中點，的中點，的中心為，連接，，，
一球與一所有棱長為6的正四棱錐的各棱均相切，
可得，，
所以球的半徑為3，是正三角形，邊長為6，中心為，
連接，，，
，
所以球缺的高為：，
該球與該正四棱錐的公共部分的體積為：
.
故答案為：.
變式77．（2024·全國·高三專題練習）正三棱錐的底面邊長為，側棱長為，若球H與正三棱錐所有的棱都相切，則這個球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】設底面的外接圓的圓心為，連接，延長交于，
球H與棱分別切于，設球H的半徑為，
則，，
而底面，所以，可得，
在直角三角形中，，，
在直角三角形中，，
所以，即有，解得，
則這個球的表面積為．
故選：B
變式78．（2024·全國·高三專題練習）在三棱錐中，，，兩兩垂直，，若球與三棱錐各棱均相切，則該球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如圖示，以A為原點，分別為x、y、z軸正方向建立空間直角坐標系.
則，，，.
設與三棱錐各棱均相切的球的球心為，半徑為r，過O作OO1⊥面ABD于O1，則.
在底面ABD中，即平面xoy內，直線BD方程為：，，所以，所以，即①.
過O作OE⊥AB于E，過O作OF⊥AC于F，過O作OG⊥AD于G，過O1作O1H⊥DB于H.
由得：②.
同理可得：③，④.
②③④聯立可得.
把與①聯立，解得：.
所以該球的表面積為.
故選：D
變式79．（2024·湖北武漢·高一武漢市第一中學?？茧A段練習）與正三棱錐6條棱都相切的球稱為正三棱錐的棱切球.若正三棱錐的底面邊長為，側棱長為3，則此正三棱錐的棱切球半徑為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如圖三棱柱為正三棱錐，且底面邊長，側棱
設正三棱錐的棱切球球心為，半徑為，則頂點在底面的投影為也為的中心，取的中點，連接，過點作垂足為，則，設，
在中，
因為為的中心，則，，
在中即；
在中，，即，
在中，，則；
在中，，則，
在中，，則，
又因為，則，化簡得，
由得解得.
故選：C.
變式80．（2024·江蘇·高一專題練習）在正三棱錐中，，若球與三棱錐的六條棱均相切，則球的表面積為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】取的中心，連接，
則平面，且與棱均相切的球的球心在上，
連接并延長交于，則為的中點，，
連接，易證，
過作，交于點，
設球的半徑為，則，
由題意易求得，
由勾股定理得，
在中，，所以，
設，則，
因為，從而，所以，
所以，
故球的表面積為.
題型二十三：多球相切問題
例67．（2024·浙江溫州·樂清市知臨中學校考二模）如今中國被譽為基建狂魔，可謂是逢山開路，遇水架橋.公路里程 高鐵里程雙雙都是世界第一.建設過程中研制出用于基建的大型龍門吊 平衡盾構機等國之重器更是世界領先.如圖是某重器上一零件結構模型，中間最大球為正四面體的內切球，中等球與最大球和正四面體三個面均相切，最小球與中等球和正四面體三個面均相切，已知正四面體棱長為，則模型中九個球的表面積和為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如圖，取的中點，連接，，則，，
過點作⊥底面，垂足在上，且，
所以，故，
點為最大球的球心，連接并延長，交于點，則⊥，
設最大球的半徑為，則，
因為∽，所以，即，解得，
即，則，故
設最小球的球心為，中間球的球心為，則兩球均與直線相切，設切點分別為，
連接，則分別為最小球和中間球的半徑，長度分別設為，
則，則，
又，所以，解得，
又，故，解得，
所以，
模型中九個球的表面積和為.
故選：B
例68．（2024·江西贛州·高一江西省龍南中學?？计谀┮阎拿骟w的棱長為12，先在正四面體內放入一個內切球，然后再放入一個球，使得球與球及正四面體的三個側面都相切，則球的體積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
如圖，正四面體，設點是底面的中心，點是的中點，連接.
則由已知可得，平面，球心在線段上，球切平面的切點在線段上，分別設為.
則易知，，設球的半徑分別為.
因為，根據重心定理可知，.
，，，，.
由可得，，
即，解得，，所以.
由可得，，
即，解得，
所以，球的體積為.
故選：A.
例69．（2024·山東德州·高一德州市第一中學校考期末）如圖是某零件結構模型，中間大球為正四面體的內切球，小球與大球和正四面體三個面均相切，若，則該模型中一個小球的體積為（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如圖所示，
設為大球的球心，大球的半徑為，大正四面體的底面中心為，棱長為，高為，
的中點為，連接，，，，，，
則，正四面體的高.
因為，所以，所以，
設小球的半徑為，小球也可看作一個小的正四面體的內切球，
且小正四面體的高，所以，
所以小球的體積為.
故選：C
變式81．（2024·全國·高三專題練習）如圖，在一個底面邊長為2，側棱長為的正四棱錐中，大球內切于該四棱錐，小球與大球及四棱錐的四個側面相切，則小球的表面積為 ．
【答案】
【解析】設O為正方形ABCD的中心，AB的中點為M，連接PM，OM，PO，則，，，
如圖，在截面PMO中，設N為球與平面PAB的切點，則N在PM上，
且，設球的半徑為R，則，
∵，∴，則，，∴，
設球與球相切于點Q，則，
設球的半徑為r，同理可得，∴，
故小球的表面積.
故答案為：
變式82．（2024·全國·高一專題練習）棱長為的正四面體內切一球，然后在正四面體和該球形成的空隙處各放入一個小球，則這樣一個小球的表面積最大為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
如圖，由題意知球和正四面體的三個側面以及內切球都相切時半徑最大，設內切球球心為，半徑為，空隙處的最大球球心為，半徑為，
為的中心，易知面，為中點，球和球分別與面相切于和.
易得，，，
由，
可得，
又，，
故，，，
又由和相似，可得，即，解得，
即小球的最大半徑為.
所以小球的表面積最大值為.
故選：A
變式83．（2024·全國·高三專題練習）已知球是棱長為24的正四面體的內切球，球與球外切且與正四面體的三個側面都相切，則球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如圖，設球的半徑為，球半徑為，由正四面體的性質，取中點，連接，是棱錐的高，且與兩球分別切于點，交于，則與底面垂直，是底面中心．記正四面體棱長為，則，，
在中，，
由
，所以，解得，
又由（它們在平面內都與垂直）得，
即，，代入解得，
所以球的表面積為．
故選：A．
變式84．（2024·全國·高一專題練習）四個半徑為2的球剛好裝進一個正四面體容器內，此時正四面體各面與球相切，則這個正四面體外接球的表面積為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】如圖1所示，正四面體ABCD中，AH⊥底面BCD，E、F、G、K為四個球的球心，M為CD中點，連接BM，AM，易知B、H、M三點共線，直線AH交平面EFG于點，連接，交GF于點N，則N為GF的中點，因為內切球半徑為2，故EF=4，畫出截面ABM如圖2所示，正四棱錐EFGK外接球球心設為O，則正四面體ABCD的外接球球心與正四面體EFGK外接球球心重合，設正四面體ABCD的外接球半徑為R，正四面體EFGK外接球半徑為r，在圖2中，EK=4，，，，所以
由，即，解得：
所以
過點E作EP⊥BM于點P，則EP=2
則△BEP∽△
∴，
解得：
∴
∴正四面體ABCD的外接球表面積
故選：A.
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4第50講 外接球、內切球、棱切球
知識梳理
知識點一：正方體、長方體外接球
1、正方體的外接球的球心為其體對角線的中點，半徑為體對角線長的一半．
2、長方體的外接球的球心為其體對角線的中點，半徑為體對角線長的一半．
3、補成長方體
（1）若三棱錐的三條側棱兩兩互相垂直，則可將其放入某個長方體內，如圖1所示．
（2）若三棱錐的四個面均是直角三角形，則此時可構造長方體，如圖2所示．
（3）正四面體可以補形為正方體且正方體的棱長，如圖3所示．
（4）若三棱錐的對棱兩兩相等，則可將其放入某個長方體內，如圖4所示
圖1 圖2 圖3 圖4
知識點二：正四面體外接球
如圖，設正四面體的的棱長為，將其放入正方體中，則正方體的棱長為，顯然正四面體和正方體有相同的外接球．正方體外接球半徑為，即正四面體外接球半徑為．
知識點三：對棱相等的三棱錐外接球
四面體中，，，，這種四面體叫做對棱相等四面體，可以通過構造長方體來解決這類問題．
如圖，設長方體的長、寬、高分別為，則，三式相加可得而顯然四面體和長方體有相同的外接球，設外接球半徑為，則，所以．
知識點四：直棱柱外接球
如圖1，圖2，圖3，直三棱柱內接于球（同時直棱柱也內接于圓柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）
圖1 圖2 圖3
第一步：確定球心的位置，是的外心，則平面；
第二步：算出小圓的半徑，（也是圓柱的高）；
第三步：勾股定理：，解出
知識點五：直棱錐外接球
如圖，平面，求外接球半徑．
解題步驟：
第一步：將畫在小圓面上，為小圓直徑的一個端點，作小圓的直徑，連接，則必過球心；
第二步：為的外心，所以平面，算出小圓的半徑(三角形的外接圓直徑算法：利用正弦定理，得)，；
第三步：利用勾股定理求三棱錐的外接球半徑：①；
②．
知識點六：正棱錐與側棱相等模型
1、正棱錐外接球半徑： ．
2、側棱相等模型：
如圖，的射影是的外心
三棱錐的三條側棱相等
三棱錐的底面在圓錐的底上，頂點點也是圓錐的頂點．
解題步驟：
第一步：確定球心的位置，取的外心，則三點共線；
第二步：先算出小圓的半徑，再算出棱錐的高（也是圓錐的高）；
第三步：勾股定理：，解出．
知識點七：側棱為外接球直徑模型
方法：找球心，然后作底面的垂線，構造直角三角形．
知識點八：共斜邊拼接模型
如圖，在四面體中，，，此四面體可以看成是由兩個共斜邊的直角三角形拼接而形成的，為公共的斜邊，故以“共斜邊拼接模型”命名之．設點為公共斜邊的中點，根據直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半的結論可知，，即點到，，，四點的距離相等，故點就是四面體外接球的球心，公共的斜邊就是外接球的一條直徑．
知識點九：垂面模型
如圖1所示為四面體，已知平面平面，其外接球問題的步驟如下：
（1）找出和的外接圓圓心，分別記為和．
（2）分別過和作平面和平面的垂線，其交點為球心，記為．
（3）過作的垂線，垂足記為，連接，則．
（4）在四棱錐中，垂直于平面，如圖2所示，底面四邊形的四個頂點共圓且為該圓的直徑．
圖1 圖2
知識點十：最值模型
這類問題是綜合性問題，方法較多，常見方法有：導數法，基本不等式法，觀察法等
知識點十一：二面角模型
如圖1所示為四面體，已知二面角大小為，其外接球問題的步驟如下：
（1）找出和的外接圓圓心，分別記為和．
（2）分別過和作平面和平面的垂線，其交點為球心，記為．
（3）過作的垂線，垂足記為，連接，則．
（4）在四棱錐中，垂直于平面，如圖2所示，底面四邊形的四個頂點共圓且為該圓的直徑．
知識點十二：坐標法
對于一般多面體的外接球，可以建立空間直角坐標系，設球心坐標為，利用球心到各頂點的距離相等建立方程組，解出球心坐標，從而得到球的半徑長．坐標的引入，使外接球問題的求解從繁瑣的定理推論中解脫出來，轉化為向量的計算，大大降低了解題的難度．
知識點十三：圓錐圓柱圓臺模型
1、球內接圓錐
如圖，設圓錐的高為，底面圓半徑為，球的半徑為．通常在中，由勾股定理建立方程來計算．如圖，當時，球心在圓錐內部；如圖，當時，球心在圓錐外部．和本專題前面的內接正四棱錐問題情形相同，圖2和圖3兩種情況建立的方程是一樣的，故無需提前判斷．
由圖、圖可知，或，故，所以．
2、球內接圓柱
如圖，圓柱的底面圓半徑為，高為，其外接球的半徑為，三者之間滿足．
3、球內接圓臺
，其中分別為圓臺的上底面、下底面、高．
知識點十四：錐體內切球
方法：等體積法，即
知識點十五：棱切球
方法：找切點，找球心，構造直角三角形
必考題型全歸納
題型一：外接球之正方體、長方體模型
例1．（2024·云南昆明·高一?？计谀┱襟w的表面積為96，則正方體外接球的表面積為
例2．（2024·吉林·高一校聯考期末）已知正方體的頂點都在球面上，若正方體棱長為，則球的表面積為 ．
例3．（2024·全國·高一專題練習）已知長方體的頂點都在球表面上，長方體中從一個頂點出發的三條棱長分別為2，3，4則球的表面積是
變式1．（2024·湖南長沙·高一長郡中學?？计谥校╅L方體的外接球的表面積為，，，則長方體的體積為 .
變式2．（2024·天津靜?！じ咭恍？计谥校┰陂L方體中，，，，則長方體外接球的表面積為 ．
題型二：外接球之正四面體模型
例4．（2024·湖北宜昌·宜昌市夷陵中學校考模擬預測）已知正四面體ABCD的表面積為，且A，B，C，D四點都在球O的球面上，則球O的體積為 ．
例5．（2024·浙江·高二校聯考期中）正四面體的所有頂點都在同一個表面積是36π的球面上，則該正四面體的棱長是 ．
例6．（2024·全國·高三專題練習）棱長為的正四面體的外接球體積為 .
變式3．（2024·全國·高一假期作業）正四面體和邊長為1的正方體有公共頂點，，則該正四面體的外接球的體積為 .
變式4．（2024·安徽池州·高二池州市第一中學?？计谥校┱拿骟w中，其側面積與底面積之差為，則該正四面體外接球的體積為 .
題型三：外接球之對棱相等的三棱錐模型
例7．（2024·高一單元測試）在四面體中，若，，，則四面體的外接球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
例8．（2024·河南·開封高中?？寄M預測）已知四面體ABCD中，，，，則四面體ABCD外接球的體積為（ ）
A． B． C． D．
例9．（2024·廣東揭陽·高二校聯考期中）在三棱錐中，，，，則該三棱錐的外接球表面積是（ ）
A． B． C． D．
變式5．（2024·全國·高三專題練習）如圖，在三棱錐中，，，，則三棱錐外接球的體積為（ ）
A． B． C． D．
題型四：外接球之直棱柱模型
例10．（2024·陜西安康·統考三模）已知矩形ABCD的周長為36，把它沿圖中的虛線折成正六棱柱，當這個正六棱柱的體積最大時，它的外接球的表面積為 ．
例11．（2024·黑龍江齊齊哈爾·高一齊齊哈爾市第八中學校?？茧A段練習）設直三棱柱的所有頂點都在一個表面積是的球面上，且，則此直三棱柱的表面積是（ ）
A． B． C． D．
例12．（2024·全國·高三專題練習）在直三棱柱中，為等腰直角三角形，若三棱柱的體積為32，則該三棱柱外接球表面積的最小值為（ ）
A．12π B．24π C．48π D．96π
變式6．（2024·湖北咸寧·高二鄂南高中?？茧A段練習）已知正三棱柱的體積為，則其外接球表面積的最小值為（　　）
A．12π B．6π C．16π D．8π
變式7．（2024·全國·高三專題練習）在三棱柱中，已知，側面，且直線與底面所成角的正弦值為,則此三棱柱的外接球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
變式8．（2024·新疆昌吉·高三校考期末）已知正三棱柱所有棱長都為6，則此三棱柱外接球的表面積為（ ）
A． B．60 C． D．
題型五：外接球之直棱錐模型
例13．（2024·安徽宣城·高一統考期末）在三棱錐中，△ABC是邊長為3的等邊三角形，側棱PA⊥平面ABC，且，則三棱錐的外接球表面積為 ．
例14．（2024·江蘇南京·高二統考期末）在三棱錐中，面，為等邊三角形，且，則三棱錐的外接球的表面積為 ．
例15．（2024·四川成都·高一成都七中?？茧A段練習）已知三棱錐，其中平面，則三棱錐外接球的表面積為 .
變式9．（2024·陜西商洛·鎮安中學?？寄M預測）在三棱錐中，為等邊三角形，平面，若，則三棱錐外接球的表面積的最小值為 .
變式10．（2024·陜西榆林·高二校考階段練習）已知三棱錐中，平面，，異面直線與所成角的余弦值為，則三棱錐的外接球的表面積為 ．
變式11．（2024·江蘇鎮江·高三江蘇省鎮江中學?？茧A段練習）如圖，在四棱錐中，底面為菱形，底面，為對角線與的交點，若，，則三棱錐的外接球的體積為 .
變式12．（2024·四川綿陽·綿陽中學?？级＃┰谒睦忮F中，平面BCDE，，，，且，則該四棱錐的外接球的表面積為 .
變式13．（2024·廣東韶關·高二統考期末）三棱錐中,平面,,,,則三棱錐外接球的體積是 ．
題型六：外接球之正棱錐、正棱臺模型
例16．（2024·山東濱州·高一?？计谥校┮阎睦忮F的底面邊長為，側棱長為6，則該四棱錐的外接球的體積為 ．
例17．（2024·福建福州·高一福建省福州屏東中學?？计谀┮阎忮F的頂點都在球O的球面上，其側棱與底面所成角為，且，則球O的表面積為
例18．（2024·河南商丘·高一商丘市第一高級中學校聯考期末）在正三棱錐中，點D在棱上，且滿足，，若，則三棱錐外接球的表面積為 .
變式14．（2024·云南保山·高一統考期末）已知正三棱錐的側棱與底面所成的角為，高為，則該三棱錐外接球的表面積為 .
變式15．（2024·廣東佛山·高一佛山市南海區第一中學?？茧A段練習）已知正三棱錐中，，，該三棱錐的外接球體積為 ．
變式16．（2024·陜西咸陽·武功縣普集高級中學?？寄M預測）如圖，在正三棱臺中，，，，則正三棱臺的外接球表面積為（ ）

A．64 B． C． D．
變式17．（2024·遼寧·高三校聯考期末）正四棱臺高為2，上下底邊長分別為2和4，所有頂點在同一球面上，則球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
變式18．（2024·貴州六盤水·高一?？茧A段練習）已知正四棱錐的底面邊長為6，側棱長為，則該四棱錐外接球的表面積為 ．
變式19．（2024·山西晉中·高三祁縣中學校考階段練習）在正四棱錐中，，若四棱錐的體積為，則該四棱錐外接球的體積為 ．
變式20．（2024·湖北·高三統考階段練習）在正四棱臺中，，．當該正四棱臺的體積最大時，其外接球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
題型七：外接球之側棱相等的棱錐模型
例19．（2024·安徽安慶·校聯考模擬預測）三棱錐中，，，，則該三棱錐外接球的表面積為 ．
例20．（2024·江蘇常州·高三華羅庚中學?？茧A段練習）在三棱錐中，，二面角的大小為，則三棱錐的外接球的表面積為 ．
例21．（2024·河北承德·高一校聯考階段練習）已知三棱錐的各側棱長均為，且，則三棱錐的外接球的表面積為 .
變式21．（2024·吉林長春·高一長春市解放大路學校?？计谀┮阎忮FP-ABC的四個頂點在球O的球面上，，△ABC是邊長為的正三角形，E，F分別是PA，AB的中點，，則球O的體積為 .
變式22．（2024·全國·高三專題練習）已知在三棱錐中，，，則該三棱錐外接球的體積為
A． B． C． D．
變式23．（2024·全國·高一專題練習）如圖，在三棱錐中，，，二面角的大小為，則三棱錐的外接球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
變式24．（2024·全國·高三專題練習）在四面體中，，，則四面體的外接球的表面積為（ ）
A． B． C．s D．
題型八：外接球之圓錐、圓柱、圓臺模型
例22．（2024·浙江臺州·高二校聯考期末）已知圓錐的底面半徑為1，母線長為2，則該圓錐的外接球的體積為 .
例23．（2024·黑龍江哈爾濱·哈爾濱三中?？寄M預測）已知某圓錐的軸截面為正三角形，側面積為，該圓錐內接于球，則球的表面積為 .
例24．（2024·河北石家莊·高二?？茧A段練習）一個圓柱的底面直徑與高都等于一個球的直徑，則圓柱的表面積與球的表面積之比為 .
變式25．（2024·重慶·統考模擬預測）如圖所示，已知一個球內接圓臺，圓臺上、下底面的半徑分別為和，球的體積為，則該圓臺的側面積為（ ）

A． B． C． D．
變式26．（2024·云南·高三校聯考開學考試）已知圓臺的上下底面圓的半徑分別為3，4，母線長為，若該圓臺的上下底面圓的圓周均在球O的球面上，則球O的體積為（ ）
A． B． C． D．
變式27．（2024·陜西西安·高一?？计谥校┤鐖D所示，一個球內接圓臺，已知圓臺上 下底面的半徑分別為3和4，球的表面積為，則該圓臺的體積為（ ）
A． B． C． D．
題型九：外接球之垂面模型
例25．（2024·江西九江·高一?？计谀┤鐖D，三棱錐中，平面平面BCD，是邊長為2的等邊三角形，，.若A，B，C，D四點在某個球面上，則該球體的表面積為 .

例26．（2024·四川樂山·高二期末）已知正邊長為1，將繞旋轉至，使得平面平面，則三棱錐的外接球表面積為 ．
例27．（2024·河南平頂山·高一統考期末）在三棱錐中，平面平面，點是的中點，，則三棱錐的外接球的表面積為 .
變式28．（2024·江蘇·高一專題練習）如圖，在直三棱柱中，．設D為的中點，三棱錐的體積為，平面平面，則三棱柱外接球的表面積為 ．
變式29．（2024·河南開封·開封高中?？寄M預測）如圖,在三棱錐中,平面平面ABC,,,,為等邊三角形,則三棱錐外接球的表面積為 ．
變式30．（2024·湖北十堰·高一統考期末）如圖，在平面四邊形中，，沿對角線將折起，使平面平面，連接，得到三棱錐，則三棱錐外接球表面積的最小值為 .

變式31．（2024·河南安陽·高一統考期末）在三棱錐中，平面平面，，且，是等邊三角形，則該三棱錐外接球的表面積為 ．
變式32．（2024·云南臨滄·高二校考期中）如圖，已知矩形中，，現沿折起，使得平面平面，連接，得到三棱錐，則其外接球的體積為 ．

變式33．（2024·全國·高三校聯考開學考試）在三棱錐中，平面平面，底面是邊長為3的正三角形，若該三棱錐外接球的表面積為，則該三棱錐體積的最大值為 .
變式34．（2024·四川樂山·統考三模）在三棱錐中，，平面平面ABC，則三棱錐的外接球表面積的最小值為 ．
變式35．（2024·湖南衡陽·校聯考模擬預測）在平面四邊形中，，沿對角線將折起，使平面平面，得到三棱錐，則三棱錐外接球表面積的最小值為 .
題型十：外接球之二面角模型
例28．（2024·廣東陽江·高三統考開學考試）在三棱錐中，，，二面角的平面角為，則三棱錐外接球表面積的最小值為（ ）
A． B．
C． D．
例29．（2024·浙江麗水·高二統考期末）在四面體PABC中，，是邊長為2的等邊三角形，若二面角的大小為，則四面體的外接球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
例30．（2024·廣東·校聯考模擬預測）已知四棱錐平面，二面角的大小為.若點均在球的表面上，則該球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
變式36．（2024·福建·高一福建師大附中?？计谀┰谒拿骟w中，與都是邊長為6的等邊三角形，且二面角的大小為，則四面體外接球的表面積是（ ）
A．52π B．54π C．56π D．60π
變式37．（2024·甘肅張掖·高臺縣第一中學?？寄M預測）圖1為兩塊大小不同的等腰直角三角形紙板組成的平面四邊形ABCD，其中小三角形紙板的斜邊AC與大三角形紙板的一條直角邊長度相等，小三角形紙板的直角邊長為a，現將小三角形紙板ACD沿著AC邊折起，使得點D到達點M的位置，得到三棱錐，如圖2．若二面角的大小為，則所得三棱錐M－ABC的外接球的表面積為（ ）

A． B． C． D．
變式38．（2024·全國·高三專題練習）如圖1，在中，，，，，沿將折起，使得二面角為60°，得到三棱錐，如圖2，若，則三棱錐的外接球的表面積為（ ）

A． B． C． D．
變式39．（2024·湖南岳陽·統考三模）已知三棱錐的所有頂點都在球的球面上，，二面角的大小為，若球的表面積等于，則三棱錐的體積等于（ ）
A． B．
C． D．
變式40．（2024·全國·高一專題練習）在三棱錐中，，二面角為，則三棱錐外接球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
題型十一：外接球之側棱為球的直徑模型
例31．（2024·貴州黔東南·高二凱里一中?？计谥校┮阎忮F的所有頂點都在球的球面上，是球的直徑.若平面平面，，，三棱錐的體積為，則球的體積為（ ）
A． B． C． D．
例32．（2024·四川巴中·高三統考期末）已知三棱錐的體積為，，，若是其外接球的直徑，則球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
例33．（2024·重慶九龍坡·高二重慶市育才中學?？计谥校┮阎忮F的所有頂點都在球的球面上,為球的直徑,是邊長為的等邊三角形,三棱錐的體積為,則球的表面積為( )
A． B． C． D．
變式41．（2024·重慶·校聯考一模）已知三棱錐各頂點均在球上，為球的直徑，若，，三棱錐的體積為4，則球的表面積為
A． B． C． D．
變式42．（2024·河北唐山·統考三模）三棱錐的四個頂點都在球面上，是球的直徑，，，則該球的表面積為
A． B． C． D．
變式43．（2024·河南南陽·統考模擬預測）已知三棱錐的所有頂點都在球的球面上，是球的直徑.若平面平面，，，三棱錐的體積為，則球的體積為
A． B． C． D．
變式44．（2024·福建莆田·高三統考期中）三棱錐的各頂點均在球上，為該球的直徑，，三棱錐的體積為，則球的表面積為
A． B． C． D．
變式45．（2024·全國·高三專題練習）已知三棱錐的四個頂點均在某球面上，為該球的直徑，是邊長為4的等邊三角形，三棱錐的體積為，則該三棱錐的外接球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
變式46．（2024·湖南長沙·高三長郡中學?？茧A段練習）已知是球的直徑，是球球面上的兩點，且，若三棱錐的體積為，則球的表面積為
A． B． C． D．
題型十二：外接球之共斜邊拼接模型
例34．（2022·江西·高二階段練習（理））如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面是菱形， 底面ABCD， 是對角線與的交點，若，，則三棱錐的外接球的體積為（ ）
A． B． C． D．
例35．（2022·安徽·蕪湖一中高二期中）已知三棱錐中，，，，，，則此三棱錐的外接球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
例36．（2022·江西贛州·高二期中（理））在三棱錐中，若該三棱錐的體積為，則三棱錐外球的體積為（ ）
A． B． C． D．
變式47．在矩形中，，沿將矩形折成一個直二面角，則四面體的外接球的體積為（ ）
A． B． C． D．
變式48．三棱錐中，平面平面， ，，，則三棱錐的外接球的半徑為
題型十三：外接球之坐標法模型
例37．（2024·浙江·高二校聯考階段練習）空間直角坐標系中，則四面體ABCD外接球體積是（ ）
A． B． C． D．
例38．（2024·貴州·統考模擬預測）如圖，某環保組織設計一款苗木培植箱，其外形由棱長為2（單位：）的正方體截去四個相同的三棱錐（截面為等腰三角形）后得到.若將該培植箱置于一球形環境中，則該球表面積的最小值為
例39．（2024·河南開封·開封高中?？家荒＃┤鐖D，在三棱錐中，為等邊三角形，三棱錐的體積為，則三棱錐外接球的表面積為 .
變式49．（2024·全國·高三專題練習）如圖①，在中，，，D，E分別為，的中點，將沿折起到的位置，使，如圖②.若F是的中點，則四面體的外接球體積是（ ）
A． B． C． D．
變式50．（2024·湖北武漢·高一武漢外國語學校（武漢實驗外國語學校）期末）如圖，已知四棱錐，底面是邊長為3的正方形，面，，，，若，則四棱錐外接球表面積為（ ）

A． B． C． D．
變式51．（2024·河南鄭州·模擬預測）在長方體中中，，AD＝2，M是棱的中點，過點B，M，的平面交棱AD于點N，點P為線段上一動點，則三棱錐外接球表面積的最小值為 ．
變式52．（2024·湖南郴州·高二統考期末）如圖，棱長為2的正方體中，E，F分別為棱 的中點，G為面對角線上一個動點，則三棱錐的外接球表面積的最小值為 .
變式53．（2024·廣東陽江·高三陽春市第一中學階段練習）已知正方體的棱長為2，點是線段上的動點，則三棱錐的外接球半徑的取值范圍為 ．
題型十四：外接球之空間多面體
例40．（2024·全國·高三專題練習）自2015年以來，貴陽市著力建設“千園之城”，構建貼近生活、服務群眾的生態公園體系，著力將“城市中的公園”升級為“公園中的城市”．截至目前，貴陽市公園數量累計達到1025個．下圖為貴陽市某公園供游人休息的石凳，它可以看做是一個正方體截去八個一樣的四面體得到的，如果被截正方體的的棱長為，則石凳所對應幾何體的外接球的表面積為 ．
例41．（2024·山東青島·高一山東省青島第五十八中學校考階段練習）截角四面體是一種半正八面體，可由四面體經過適當的截角，即截去四面體的四個頂點所產生的多面體.如圖所示，將棱長為3的正四面體沿棱的三等分點作平行于底面的截面得到所有棱長均為1的截角四面體，則該截角四面體的外接球表面積為 .
例42．（2024·寧夏銀川·銀川二中?？家荒＃┌岩粋€棱長都是6的正四棱錐（底面是正方形，頂點在底面的射影是正方形的中心）每條棱三等分，沿與正四棱錐頂點相鄰的三等分點做截面，將正四棱錐截去四個小正四面體和一個小正四棱錐（如圖所示），則剩下的幾何體的外接球的表面積等于 ．
變式54．（2024·山東濟南·高一山東省濟南市萊蕪第一中學?？茧A段練習）取兩個相互平行且全等的正n邊形，將其中一個旋轉一定角度，連接這兩個多邊形的頂點，使得側面均為等邊三角形，我們把這種多面體稱作“n角反棱柱”.當n=4時，得到如圖所示棱長均為2的“四角反棱柱”，則該“四角反棱柱”外接球的表面積等于（ ）
A． B． C． D．
題型十五：與球有關的最值問題
例43．（2024·江西撫州·統考模擬預測）如圖，直三棱柱中，，棱柱的側棱足夠長，點P在棱上，點在上，且，則當△的面積取最小值時，三棱錐的外接球的體積為 .
例44．（2024·全國·學軍中學校聯考二模）如圖，直三棱柱中，，點在棱上，且，當的面積取最小值時，三棱錐的外接球的表面積為 .
例45．（2024·湖南長沙·高三長沙一中校考階段練習）正方體的棱長為2，點平面，點是線段的中點，若，則當的面積取得最小值時，三棱錐外接球的體積為 .
變式55．（2024·廣東深圳·高三深圳中學校考開學考試）如圖，直三棱柱中，⊥，，，點P在棱上，且，當的面積取最小值時，三棱錐的外接球的表面積為 ．
變式56．（2024·黑龍江齊齊哈爾·高一校聯考期末）已知三棱錐的四個頂點均在同一個球面上，底面為等腰直角三角形且，若該三棱錐體積的最大值為，則其外接球的表面積為 .
變式57．（2024·四川瀘州·高三四川省瀘縣第一中學校考階段練習）已知四棱錐S－ABCD中，底面ABCD為正方形，側面SAB為等邊三角形，AB＝3，則當四棱錐的體積取得最大值時，其外接球的表面積為 ．
變式58．（2024·湖南長沙·高三寧鄉一中校考階段練習）在三棱錐中，底面，，，為的中點，若三棱錐的頂點均在球的球面上，是球上一點，且三棱錐體積的最大值是，則球的體積為 .
變式59．（2024·江西南昌·南昌十中?？寄M預測）點，，，在同一個球的球面上，，若四面體體積的最大值為，則這個球的表面積為 .
題型十六：內切球之正方體、正棱柱模型
例46．（2024·廣東肇慶·高一校考階段練習）棱長為2的正方體的內切球的球心為，則球的體積為（ ）
A． B． C． D．
例47．（2024·河北邯鄲·高一大名縣第一中學?？茧A段練習）已知直三棱柱存在內切球，若，則該三棱柱外接球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
例48．（2024·山西太原·高一?？茧A段練習）已知正方體的內切球(球與正方體的六個面都相切)的體積是，則該正方體的體積為（ ）
A．4 B．16 C．8 D．64
變式60．（2024·全國·高一專題練習）若一個正三棱柱存在外接球與內切球，則它的外接球與內切球體積之比為（ ）
A． B． C． D．
變式61．（2024·遼寧·高二沈陽二中校聯考開學考試）在正三棱柱中，D是側棱上一點，E是側棱上一點，若線段的最小值是﹐且其內部存在一個內切球（與該棱柱的所有面均相切），則該棱柱的外接球表面積為（ ）
A． B． C． D．
變式62．（2024·全國·高一專題練習）若一個正六棱柱既有外接球又有內切球，則該正六棱柱的外接球和內切球的表面積的比值為（ ）
A． B． C． D．
變式63．（2024·全國·高三專題練習）已知點O到直三棱柱各面的距離都相等，球O是直三棱柱的內切球，若球O的表面積為，的周長為4，則三棱錐的體積為（ ）
A． B． C． D．
題型十七：內切球之正四面體模型
例49．（2024·高一課時練習）邊長為的正四面體內切球的體積為（ ）
A． B． C． D．
例50．（2024·全國·高三專題練習）已知正四面體的棱長為，則其內切球的表面積為（ ）
A． B．
C． D．
例51．（2024·江蘇·高一專題練習）正四面體的棱長為，則它的內切球與外接球的表面積之比為（ ）
A． B． C． D．
題型十八：內切球之棱錐模型
例52．（2024·安徽·高二馬鞍山二中校聯考階段練習）已知矩形中，，沿著對角線將折起，使得點不在平面內，當時，求該四面體的內切球和外接球的表面積比值為（ ）
A． B． C． D．
例53．（2024·廣西·高二校聯考期中）已知四棱錐的各棱長均為2，則其內切球表面積為（ ）

A． B．
C． D．
例54．（2024·湖北武漢·高二校聯考階段練習）如圖，在三棱錐中，，，若三棱錐的內切球的表面積為，則此三棱錐的體積為（ ）
A． B． C． D．
變式64．（2024·河南濮陽·高一濮陽一高?？茧A段練習）在三棱錐中，平面，且，若球在三棱錐的內部且與四個面都相切（稱球為三棱錐的內切球），則球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
變式65．（2024·福建龍巖·統考模擬預測）如圖，已知正方體的棱長為2，以其所有面的中心為頂點的多面體為正八面體，則該正八面體的內切球表面積為（ ）
A． B． C． D．
變式66．（2024·浙江寧波·高一慈溪中學校聯考期末）在《九章算術》中，將四個面都是直角三角形的四面體稱為鱉臑.在鱉臑中，平面，，且，則其內切球表面積為（ ）
A． B． C． D．
題型十九：內切球之圓錐、圓臺模型
例55．（2024·全國·高三專題練習）在Rt中，.以斜邊為旋轉軸旋轉一周得到一個幾何體，則該幾何體的內切球的體積為（ ）
A． B． C． D．
例56．（2024·天津·統考二模）已知一個圓錐的高為，底面直徑為，其內有一球與該圓錐的側面和底面都相切，則此球的體積為（ ）
A． B． C． D．
例57．（2024·全國·高一專題練習）已知某圓錐的母線長為2，其軸截面為直角三角形，則下列關于該圓錐的說法中錯誤的是（ ）
A．圓錐的體積為 B．圓錐的表面積為
C．圓錐的側面展開圖是圓心角為的扇形 D．圓錐的內切球表面積為
變式67．（2024·貴州貴陽·高二?？茧A段練習）已知圓錐內切球（與圓錐側面、底面均相切的球）的半徑為2，當該圓錐的表面積最小時，其外接球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
變式68．（2024·全國·高一專題練習）已知圓錐的底面半徑為2，高為，則該圓錐的內切球表面積為（ ）
A． B． C． D．
變式69．（2024·安徽宣城·高二校聯考開學考試）如圖，正四棱臺的上 下底面邊長分別為分別為，的中點，8個頂點構成的十面體恰有內切球，則該內切球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
變式70．（2024·湖北咸寧·高二統考期末）已知球內切于圓臺（即球與該圓臺的上、下底面以及側面均相切），且圓臺的上、下底面半徑，則圓臺的體積與球的體積之比為（ ）

A． B． C．2 D．
題型二十：棱切球之正方體、正棱柱模型
例58．（2024·山東菏澤·高一山東省鄄城縣第一中學校考階段練習）已知球與一正方體的各條棱相切，同時該正方體內接于球，則球與球的表面積之比為（ ）
A．2：3 B．3：2 C． D．
例59．（2024·全國·高三專題練習）已知正三棱柱的體積為18，若存在球O與三棱柱的各棱均相切，則球O的表面積為（ ）
A． B． C． D．
例60．（2024·全國·高三專題練習）已知球與棱長為的正方體的各條棱都相切，則球內接圓柱的側面積的最大值為（ ）
A． B． C． D．
變式71．（吉林省吉林市2024屆高三第四次數學（理）調研試題）已知正三棱柱(底面為正三角形且側棱與底面垂直)，它的底面邊長為2，若存在一個球與此正三棱柱的所有棱都相切，則此正三棱柱的側棱長為 .
變式72．（福建省三明市2024屆高三上學期期末質量檢測數學試題）已知直三棱柱的側棱長為，底面為等邊三角形.若球O與該三棱柱的各條棱都相切，則球O的體積為 .
變式73．已知正三棱柱，若有一半徑為4的球與正三棱柱的各條棱均相切，則正三棱柱的側棱長為 .
變式74．（廣東省茂名市五校聯盟2024屆高三上學期第二次聯考數學試題）已知正三棱柱的高等于1.一個球與該正三棱柱的所有棱都相切，則該球的體積為（ ）
A． B． C． D．
題型二十一：棱切球之正四面體模型
例61．（2024·全國·高一期中）已知某棱長為的正四面體的各條棱都與同一球面相切，則該球與此正四面體的體積之比為（ ）
A． B． C． D．
例62．（2024·陜西西安·高一校聯考期中）所有棱長均相等的三棱錐構成一個正四面體，則該正四面體的內切球與外接球的體積之比為（ ）
A． B． C． D．
例63．（2024·江西南昌·高二進賢縣第一中學?？计谥校┣蚺c棱長為的正四面體各條棱都相切，則該球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
變式75．（2024·貴州貴陽·校聯考模擬預測）已知球的表面積為，若球與正四面體的六條棱均相切，則此四面體的體積為（ ）
A．9 B． C． D．
變式76．（2024·全國·高三專題練習）正四面體P-ABC的棱長為4，若球O與正四面體的每一條棱都相切，則球O的表面積為（ ）
A．2π B．8π C． D．12π
題型二十二：棱切球之正棱錐模型
例64．（河南省名校2022-2024學年高二下學期5月聯考數學試題）已知棱長均為的多面體由上 下全等的正四棱錐和拼接而成，其中四邊形為正方形，如圖所示，記該多面體的外接球半徑為，該多面體的棱切球（與該多面體的所有棱均相切的球）的半徑為，則 ．

例65．（河南省多所名校2022-2024學年高三下學期3月月考文科數學試題）在正三棱錐中，，，若球O與三棱錐的六條棱均相切，則球O的表面積為 ．
例66．（安徽省馬鞍山市2024屆高三下學期第二次教學質量監測理科數學試題）球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直徑被截下的線段長叫做球缺的高，球缺的體積公式，其中為球的半徑，為球缺的高.若一球與一所有棱長為6的正四棱錐的各棱均相切，則該球與該正四棱錐的公共部分的體積為 .
變式77．（2024·全國·高三專題練習）正三棱錐的底面邊長為，側棱長為，若球H與正三棱錐所有的棱都相切，則這個球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
變式78．（2024·全國·高三專題練習）在三棱錐中，，，兩兩垂直，，若球與三棱錐各棱均相切，則該球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
變式79．（2024·湖北武漢·高一武漢市第一中學?？茧A段練習）與正三棱錐6條棱都相切的球稱為正三棱錐的棱切球.若正三棱錐的底面邊長為，側棱長為3，則此正三棱錐的棱切球半徑為（ ）
A． B． C． D．
變式80．（2024·江蘇·高一專題練習）在正三棱錐中，，若球與三棱錐的六條棱均相切，則球的表面積為（ ）
A． B．
C． D．
題型二十三：多球相切問題
例67．（2024·浙江溫州·樂清市知臨中學?？级＃┤缃裰袊蛔u為基建狂魔，可謂是逢山開路，遇水架橋.公路里程 高鐵里程雙雙都是世界第一.建設過程中研制出用于基建的大型龍門吊 平衡盾構機等國之重器更是世界領先.如圖是某重器上一零件結構模型，中間最大球為正四面體的內切球，中等球與最大球和正四面體三個面均相切，最小球與中等球和正四面體三個面均相切，已知正四面體棱長為，則模型中九個球的表面積和為（ ）
A． B． C． D．
例68．（2024·江西贛州·高一江西省龍南中學?？计谀┮阎拿骟w的棱長為12，先在正四面體內放入一個內切球，然后再放入一個球，使得球與球及正四面體的三個側面都相切，則球的體積為（ ）
A． B． C． D．
例69．（2024·山東德州·高一德州市第一中學?？计谀┤鐖D是某零件結構模型，中間大球為正四面體的內切球，小球與大球和正四面體三個面均相切，若，則該模型中一個小球的體積為（ ）

A． B． C． D．
變式81．（2024·全國·高三專題練習）如圖，在一個底面邊長為2，側棱長為的正四棱錐中，大球內切于該四棱錐，小球與大球及四棱錐的四個側面相切，則小球的表面積為 ．
變式82．（2024·全國·高一專題練習）棱長為的正四面體內切一球，然后在正四面體和該球形成的空隙處各放入一個小球，則這樣一個小球的表面積最大為（ ）
A． B． C． D．
變式83．（2024·全國·高三專題練習）已知球是棱長為24的正四面體的內切球，球與球外切且與正四面體的三個側面都相切，則球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
變式84．（2024·全國·高一專題練習）四個半徑為2的球剛好裝進一個正四面體容器內，此時正四面體各面與球相切，則這個正四面體外接球的表面積為（ ）
A． B．
C． D．
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