資源簡介

第45講 數(shù)列的綜合應(yīng)用
知識梳理
1、解決數(shù)列與數(shù)學(xué)文化相交匯問題的關(guān)鍵
2、新定義問題的解題思路
遇到新定義問題，應(yīng)耐心讀題，分析新定義的特點(diǎn)，弄清新定義的性質(zhì)，按新定義的要求，“照章辦事”，逐條分析、運(yùn)算、驗(yàn)證，使問題得以解決．
3、數(shù)列與函數(shù)綜合問題的主要類型及求解策略
①已知函數(shù)條件，解決數(shù)列問題，此類問題一般利用函數(shù)的性質(zhì)、圖象研究數(shù)列問題．
②已知數(shù)列條件，解決函數(shù)問題，解決此類問題一般要利用數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式、求和方法等對式子化簡變形．
注意數(shù)列與函數(shù)的不同，數(shù)列只能看作是自變量為正整數(shù)的一類函數(shù)，在解決問題時(shí)要注意這一特殊性．
4、數(shù)列與不等式綜合問題的求解策略
解決數(shù)列與不等式的綜合問題時(shí)，若是證明題，則要靈活選擇不等式的證明方法，如比較法、綜合法、分析法、放縮法等；若是含參數(shù)的不等式恒成立問題，則可分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為研究最值問題來解決．
利用等價(jià)轉(zhuǎn)化思想將其轉(zhuǎn)化為最值問題.
恒成立；
恒成立.
5、現(xiàn)實(shí)生活中涉及銀行利率、企業(yè)股金、產(chǎn)品利潤、人口增長、產(chǎn)品產(chǎn)量等問題，常常考慮用數(shù)列的知識去解決．
（1）數(shù)列實(shí)際應(yīng)用中的常見模型
①等差模型：如果增加(或減少)的量是一個(gè)固定的數(shù)，則該模型是等差模型，這個(gè)固定的數(shù)就是公差；
②等比模型：如果后一個(gè)量與前一個(gè)量的比是一個(gè)固定的數(shù)，則該模型是等比模型，這個(gè)固定的數(shù)就是公比；
③遞推數(shù)列模型：如果題目中給出的前后兩項(xiàng)之間的關(guān)系不固定，隨項(xiàng)的變化而變化，則應(yīng)考慮是第項(xiàng)與第項(xiàng)的遞推關(guān)系還是前項(xiàng)和與前項(xiàng)和之間的遞推關(guān)系．
在實(shí)際問題中建立數(shù)列模型時(shí)，一般有兩種途徑：一是從特例入手，歸納猜想，再推廣到一般結(jié)論；二是從一般入手，找到遞推關(guān)系，再進(jìn)行求解．一般地，涉及遞增率或遞減率要用等比數(shù)列，涉及依次增加或減少要用等差數(shù)列，有的問題需通過轉(zhuǎn)化得到等差或等比數(shù)列，在解決問題時(shí)要往這些方面聯(lián)系．
（2）解決數(shù)列實(shí)際應(yīng)用題的3個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)
①根據(jù)題意，正確確定數(shù)列模型；
②利用數(shù)列知識準(zhǔn)確求解模型；
③問題作答，不要忽視問題的實(shí)際意義．
6、在證明不等式時(shí)，有時(shí)把不等式的一邊適當(dāng)放大或縮小，利用不等式的傳遞性來證明，我們稱這種方法為放縮法.
放縮時(shí)常采用的方法有：舍去一些正項(xiàng)或負(fù)項(xiàng)、在和或積中放大或縮小某些項(xiàng)、擴(kuò)大（或縮小）分式的分子（或分母）.
放縮法證不等式的理論依據(jù)是：；.
放縮法是一種重要的證題技巧，要想用好它，必須有目標(biāo)，目標(biāo)可從要證的結(jié)論中去查找.
必考題型全歸納
題型一：數(shù)列在數(shù)學(xué)文化與實(shí)際問題中的應(yīng)用
例1．（2024·河南·河南省內(nèi)鄉(xiāng)縣高級中學(xué)校考模擬預(yù)測）“角谷猜想”首先流傳于美國，不久便傳到歐洲，后來一位名叫角谷靜夫的日本人又把它帶到亞洲，因而人們就順勢把它叫作“角谷猜想”.“角谷猜想”是指一個(gè)正整數(shù)，如果是奇數(shù)就乘以3再加1，如果是偶數(shù)就除以2，這樣經(jīng)過若干次運(yùn)算，最終回到1.對任意正整數(shù)，按照上述規(guī)則實(shí)施第次運(yùn)算的結(jié)果為，若，且均不為1，則（ ）
A．5或16 B．5或32
C．5或16或4 D．5或32或4
例2．（2024·河南鄭州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）北宋大科學(xué)家沈括在《夢溪筆談》中首創(chuàng)的“隙積術(shù)”，就是關(guān)于高階等差數(shù)列求和的問題．現(xiàn)有一貨物堆，從上向下查，第一層有1個(gè)貨物，第二層比第一層多2個(gè)，第三層比第二層多3個(gè)，以此類推，記第n層貨物的個(gè)數(shù)為，則使得成立的n的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
例3．（2024·四川成都·石室中學(xué)校考模擬預(yù)測）南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法》中有如下俯視圖所示的幾何體，后人稱之為“三角垛”．其最上層有1個(gè)球，第二層有3個(gè)球，第三層有6個(gè)球，第四層10個(gè)…，則第三十六層球的個(gè)數(shù)為（ ）
A．561 B．595 C．630 D．666
變式1．（2024·全國·高三專題練習(xí)）科赫曲線因形似雪花，又被稱為雪花曲線.其構(gòu)成方式如下：如圖1將線段等分為線段，如圖2.以為底向外作等邊三角形，并去掉線段，將以上的操作稱為第一次操作；繼續(xù)在圖2的各條線段上重復(fù)上述操作，當(dāng)進(jìn)行三次操作后形成如圖3的曲線.設(shè)線段的長度為1，則圖3中曲線的長度為（ ）

A．2 B． C． D．3
變式2．（2024·全國·高三專題練習(xí)）我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書里出現(xiàn)了如圖所示的表，即楊輝三角，這是數(shù)學(xué)史上的一個(gè)偉大成就在“楊輝三角”中，第n行的所有數(shù)字之和為，若去除所有為1的項(xiàng)，依次構(gòu)成數(shù)列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，...，則此數(shù)列的前34項(xiàng)和為（ ）

A．959 B．964 C．1003 D．1004
變式3．（2024·全國·高三專題練習(xí)）南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算術(shù)》中提出了高階等差數(shù)列的問題，即一個(gè)數(shù)列本身不是等差數(shù)列，但從數(shù)列中的第二項(xiàng)開始，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差構(gòu)成等差數(shù)列（則稱數(shù)列為一階等差數(shù)列），或者仍舊不是等差數(shù)列，但從數(shù)列中的第二項(xiàng)開始，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差構(gòu)成等差數(shù)列（則稱數(shù)列為二階等差數(shù)列），依次類推，可以得到高階等差數(shù)列．類比高階等差數(shù)列的定義，我們亦可定義高階等比數(shù)列，設(shè)數(shù)列1，1，2，8，64…是一階等比數(shù)列，則該數(shù)列的第8項(xiàng)是（ ）．
A． B． C． D．
【解題方法總結(jié)】
（1）解決數(shù)列與數(shù)學(xué)文化相交匯問題的關(guān)鍵
（2）解答數(shù)列應(yīng)用題需過好“四關(guān)”
題型二：數(shù)列中的新定義問題
例4．（2024·江西·江西師大附中校考三模）已知數(shù)列的通項(xiàng)，如果把數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)都去掉，余下的項(xiàng)依次排列構(gòu)成新數(shù)列為，再把數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)又去掉，余下的項(xiàng)依次排列構(gòu)成新數(shù)列為，如此繼續(xù)下去，……，那么得到的數(shù)列（含原已知數(shù)列）的第一項(xiàng)按先后順序排列，構(gòu)成的數(shù)列記為，則數(shù)列前10項(xiàng)的和為（ ）
A．1013 B．1023 C．2036 D．2050
例5．（2024·人大附中校考三模）已知數(shù)列滿足：對任意的，總存在，使得，則稱為“回旋數(shù)列”．以下結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)是（ ）
①若，則為“回旋數(shù)列”；
②設(shè)為等比數(shù)列，且公比q為有理數(shù)，則為“回旋數(shù)列”；
③設(shè)為等差數(shù)列，當(dāng)，時(shí)，若為“回旋數(shù)列”，則；
④若為“回旋數(shù)列”，則對任意，總存在，使得．
A．1 B．2 C．3 D．4
例6．（2024·湖北武漢·統(tǒng)考三模）將按照某種順序排成一列得到數(shù)列，對任意，如果，那么稱數(shù)對構(gòu)成數(shù)列的一個(gè)逆序?qū)?若，則恰有2個(gè)逆序?qū)Φ臄?shù)列的個(gè)數(shù)為（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
變式4．（2024·全國·高三專題練習(xí)）記數(shù)列的前項(xiàng)和為，若存在實(shí)數(shù)，使得對任意的，都有，則稱數(shù)列為“和有界數(shù)列”． 下列命題正確的是（ ）
A．若是等差數(shù)列，且首項(xiàng)，則是“和有界數(shù)列”
B．若是等差數(shù)列，且公差，則是“和有界數(shù)列”
C．若是等比數(shù)列，且公比，則是“和有界數(shù)列”
D．若是等比數(shù)列，且是“和有界數(shù)列”，則的公比
變式5．（2024·全國·高三專題練習(xí)）斐波那契數(shù)列又稱黃金分割數(shù)列，因數(shù)學(xué)家列昂納多 斐波那契以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為“兔子數(shù)列”.斐波那契數(shù)列用遞推的方式可如下定義：用表示斐波那契數(shù)列的第n項(xiàng)，則數(shù)列滿足： . ，記，則下列結(jié)論不正確的是（ ）
A． B．
C． D．
變式6．（2024·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測）數(shù)學(xué)家楊輝在其專著《詳解九章算術(shù)法》和《算法通變本末》中，提出了一些新的高階等差數(shù)列．其中二階等差數(shù)列是一個(gè)常見的高階等差數(shù)列、如數(shù)列2，4，7，11，16，從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差組成新數(shù)列2，3，4，5，新數(shù)列2，3，4，5為等差數(shù)列，則稱數(shù)列2，4，7，11，16為二階等差數(shù)列，現(xiàn)有二階等差數(shù)列，其前七項(xiàng)分別為2，2，3，5，8，12，17．則該數(shù)列的第20項(xiàng)為（ ）
A．173 B．171 C．155 D．151
【解題方法總結(jié)】
（1）新定義數(shù)列問題的特點(diǎn)
通過給出一個(gè)新的數(shù)列的概念，或約定一種新運(yùn)算，或給出幾個(gè)新模型來創(chuàng)設(shè)全新的問題情景，要求考生在閱讀理解的基礎(chǔ)上，依據(jù)題目提供的信息，聯(lián)系所學(xué)的知識和方法，實(shí)現(xiàn)信息的遷移，達(dá)到靈活解題的目的．
（2）新定義問題的解題思路
遇到新定義問題，應(yīng)耐心讀題，分析新定義的特點(diǎn)，弄清新定義的性質(zhì)，按新定義的要求，“照章辦事”，逐條分析、運(yùn)算、驗(yàn)證，使問題得以解決．
題型三：數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問題
例7．（2024·重慶巴南·統(tǒng)考一模）已知等比數(shù)列滿足：，.數(shù)列滿足，其前項(xiàng)和為，若恒成立，則的最小值為 .
例8．（2024·四川瀘州·四川省瀘縣第四中學(xué)校考模擬預(yù)測）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，若恒成立，則的最大值是 .
例9．（2024·河南新鄉(xiāng)·統(tǒng)考三模）已知數(shù)列滿足，，則的最小值為 ．
變式7．（2024·上海楊浦·高三復(fù)旦附中校考階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，且對于任意的正整數(shù)n，都有．若正整數(shù)k使得對任意的正整數(shù)成立，則整數(shù)k的最小值為 ．
【解題方法總結(jié)】
（1）數(shù)列與函數(shù)綜合問題的主要類型及求解策略
①已知函數(shù)條件，解決數(shù)列問題，此類問題一般利用函數(shù)的性質(zhì)、圖象研究數(shù)列問題．
②已知數(shù)列條件，解決函數(shù)問題，解決此類問題一般要利用數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式、求和方法等對式子化簡變形．
注意數(shù)列與函數(shù)的不同，數(shù)列只能看作是自變量為正整數(shù)的一類函數(shù)，在解決問題時(shí)要注意這一特殊性．
（2）數(shù)列與不等式綜合問題的求解策略
解決數(shù)列與不等式的綜合問題時(shí)，若是證明題，則要靈活選擇不等式的證明方法，如比較法、綜合法、分析法、放縮法等；若是含參數(shù)的不等式恒成立問題，則可分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為研究最值問題來解決．
利用等價(jià)轉(zhuǎn)化思想將其轉(zhuǎn)化為最值問題.
恒成立；
恒成立.
題型四：數(shù)列在實(shí)際問題中的應(yīng)用
例10．（2024·全國·高三專題練習(xí)）根據(jù)市場調(diào)查結(jié)果，預(yù)測某種家用商品從年初開始的n個(gè)月內(nèi)累積的需求量（萬件）近似地滿足關(guān)系式，按此預(yù)測，在本年度內(nèi)，需求量超過1.5萬件的月份是 .
例11．（2024·高三課時(shí)練習(xí)）某研究所計(jì)劃改建十個(gè)實(shí)驗(yàn)室，每個(gè)實(shí)驗(yàn)室的改建費(fèi)用分為裝修費(fèi)和設(shè)備費(fèi)，且每個(gè)實(shí)驗(yàn)室的裝修費(fèi)都一樣，設(shè)備費(fèi)從第一到第十實(shí)驗(yàn)室依次構(gòu)成等比數(shù)列.已知第五實(shí)驗(yàn)室比第二實(shí)驗(yàn)室的改建費(fèi)用高42萬元，第七實(shí)驗(yàn)室比第四實(shí)驗(yàn)室的改建費(fèi)用高168萬元，并要求每個(gè)實(shí)驗(yàn)室改建費(fèi)用不能超過1700萬元，則該研究所改建這十個(gè)實(shí)驗(yàn)室投入的總費(fèi)用最多需要 萬元.
例12．（2024·全國·高三專題練習(xí)）冰墩墩作為北京冬奧會的吉祥物特別受歡迎，官方旗艦店售賣冰墩墩運(yùn)動造型多功能徽章，若每天售出件數(shù)成遞增的等差數(shù)列，其中第1天售出10000件，第21天售出15000件；價(jià)格每天成遞減的等差數(shù)列，第1天每件100元，第21天每件60元，則該店第 天收入達(dá)到最高.
變式8．（2024·全國·高三專題練習(xí)）沈陽京東MALL于2022年國慶節(jié)盛大開業(yè)，商場為了滿足廣大數(shù)碼狂熱愛好者的需求，開展商品分期付款活動.現(xiàn)計(jì)劃某商品一次性付款的金額為 a 元，以分期付款的形式等額分成 n 次付清，每期期末所付款是 x 元，每期利率為 r ，則愛好者每期需要付款 ．
變式9．（2024·遼寧錦州·渤海大學(xué)附屬高級中學(xué)校考模擬預(yù)測）一件家用電器，現(xiàn)價(jià)2000元，實(shí)行分期付款，一年后還清，購買后一個(gè)月第一次付款，以后每月付款一次，每次付款數(shù)相同，共付12次，月利率為0.8%，并按復(fù)利計(jì)息，那么每期應(yīng)付款 元．（參考數(shù)據(jù)：，，，）
變式10．（2024·全國·高三專題練習(xí)）在第七十五屆聯(lián)合國大會一般性辯論上，習(xí)近平主席表示，中國將提高國家自主貢獻(xiàn)力度，采取更加有力的政策和措施，二氧化碳排放力爭于2030年前達(dá)到峰值，努力爭取2060年前實(shí)現(xiàn)碳中和．某地2020年共發(fā)放汽車牌照12萬張，其中燃油型汽車牌照10萬張，電動型汽車2萬張，從2021年起，每年發(fā)放的電動型汽車牌照按前一年的50%增長，燃油型汽車牌照比前一年減少0.5萬張，同時(shí)規(guī)定，若某年發(fā)放的汽車牌照超過15萬張，以后每年發(fā)放的電動車牌照的數(shù)量維持在這一年的水平不變.那么從2021年至2030年這十年累計(jì)發(fā)放的汽車牌照數(shù)為 萬張．
【解題方法總結(jié)】
現(xiàn)實(shí)生活中涉及銀行利率、企業(yè)股金、產(chǎn)品利潤、人口增長、產(chǎn)品產(chǎn)量等問題，常常考慮用數(shù)列的知識去解決．
（1）數(shù)列實(shí)際應(yīng)用中的常見模型
①等差模型：如果增加(或減少)的量是一個(gè)固定的數(shù)，則該模型是等差模型，這個(gè)固定的數(shù)就是公差；
②等比模型：如果后一個(gè)量與前一個(gè)量的比是一個(gè)固定的數(shù)，則該模型是等比模型，這個(gè)固定的數(shù)就是公比；
③遞推數(shù)列模型：如果題目中給出的前后兩項(xiàng)之間的關(guān)系不固定，隨項(xiàng)的變化而變化，則應(yīng)考慮是第項(xiàng)與第項(xiàng)的遞推關(guān)系還是前項(xiàng)和與前項(xiàng)和之間的遞推關(guān)系．
在實(shí)際問題中建立數(shù)列模型時(shí)，一般有兩種途徑：一是從特例入手，歸納猜想，再推廣到一般結(jié)論；二是從一般入手，找到遞推關(guān)系，再進(jìn)行求解．一般地，涉及遞增率或遞減率要用等比數(shù)列，涉及依次增加或減少要用等差數(shù)列，有的問題需通過轉(zhuǎn)化得到等差或等比數(shù)列，在解決問題時(shí)要往這些方面聯(lián)系．
（2）解決數(shù)列實(shí)際應(yīng)用題的3個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)
①根據(jù)題意，正確確定數(shù)列模型；
②利用數(shù)列知識準(zhǔn)確求解模型；
③問題作答，不要忽視問題的實(shí)際意義．
題型五：數(shù)列不等式的證明
例13．（2024·河北張家口·統(tǒng)考三模）已知數(shù)列滿足.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)記數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：.
例14．（2024·全國·高三專題練習(xí)）證明不等式．
例15．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知，，的前n項(xiàng)和為，證明：．
變式11．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知每一項(xiàng)都是正數(shù)的數(shù)列滿足，．
(1)證明：．
(2)證明：．
(3)記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，證明∶．
變式12．（2024·全國·高三專題練習(xí)）證明：．（注：．）
變式13．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列，為數(shù)列的前項(xiàng)和，且滿足，．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)證明：．
變式14．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知各項(xiàng)為正的數(shù)列滿足，，．證明：
(1)；
(2)．
變式15．（2024·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)數(shù)列滿足，．
(1)若，求實(shí)數(shù)a的值；
(2)設(shè)，若，證明：．
變式16．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)滿足，，．
(1)證明：．
(2)設(shè)是數(shù)列的前n項(xiàng)和，證明：．
【解題方法總結(jié)】
（1）構(gòu)造輔助函數(shù)（數(shù)列）證明不等式
（2）放縮法證明不等式
在證明不等式時(shí)，有時(shí)把不等式的一邊適當(dāng)放大或縮小，利用不等式的傳遞性來證明，我們稱這種方法為放縮法.
放縮時(shí)常采用的方法有：舍去一些正項(xiàng)或負(fù)項(xiàng)、在和或積中放大或縮小某些項(xiàng)、擴(kuò)大（或縮小）分式的分子（或分母）.
放縮法證不等式的理論依據(jù)是：；.
放縮法是一種重要的證題技巧，要想用好它，必須有目標(biāo)，目標(biāo)可從要證的結(jié)論中去查找.
方法1：對進(jìn)行放縮，然后求和.
當(dāng)既不關(guān)于單調(diào)，也不可直接求和，右邊又是常數(shù)時(shí)，就應(yīng)考慮對進(jìn)行放縮，使目標(biāo)變成可求和的情形，通常變?yōu)榭闪秧?xiàng)相消或壓縮等比的數(shù)列.證明時(shí)要注意對照求證的結(jié)論，調(diào)整與控制放縮的度.
方法2：添舍放縮
方法3：對于一邊是和或者積的數(shù)列不等式，可以把另外一邊的含的式子看作是一個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)的和或者積，求出該數(shù)列通項(xiàng)后再左、右兩邊一對一地比較大小，這種思路非常有效，還可以分析出放縮法證明的操作方法，易于掌握.需要指出的是，如果另外一邊不是含有的式子，而是常數(shù)，則需要尋找目標(biāo)不等式的加強(qiáng)不等式，再予以證明.
方法4：單調(diào)放縮
題型六：公共項(xiàng)問題
例16．（2024·上海嘉定·上海市嘉定區(qū)第一中學(xué)校考三模）已知，，將數(shù)列與數(shù)列的公共項(xiàng)從小到大排列得到新數(shù)列，則 .
例17．（2024·湖南邵陽·邵陽市第二中學(xué)校考模擬預(yù)測）數(shù)列和數(shù)列的公共項(xiàng)從小到大構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列，數(shù)列滿足：，則數(shù)列的最大項(xiàng)等于 .
例18．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知，將數(shù)列與數(shù)列的公共項(xiàng)從小到大排列得到新數(shù)列，則 .
變式17．（2024·重慶沙坪壩·高三重慶八中校考階段練習(xí)）將數(shù)列與的公共項(xiàng)由小到大排列得到數(shù)列，則數(shù)列的前n項(xiàng)的和為 ．
變式18．（2024·全國·高三專題練習(xí)）數(shù)列與的所有公共項(xiàng)由小到大構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列，則 .
變式19．（2024·安徽蚌埠·統(tǒng)考一模）有兩個(gè)等差數(shù)列及由這兩個(gè)等差數(shù)列的公共項(xiàng)按從小到大的順序組成一個(gè)新數(shù)列，則這個(gè)新數(shù)列的各項(xiàng)之和為 .
題型七：插項(xiàng)問題
例19．（2024·全國·高三對口高考）在數(shù)1和100之間插入n個(gè)實(shí)數(shù)，使得這個(gè)數(shù)構(gòu)成遞增的等比數(shù)列，將這個(gè)數(shù)的乘積記作，再令.則數(shù)列的通項(xiàng)公式為 .
例20．（2024·湖北襄陽·襄陽四中校考模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列中，，若在數(shù)列每相鄰兩項(xiàng)之間插入三個(gè)數(shù)，使得新數(shù)列也是一個(gè)等差數(shù)列，則新數(shù)列的第43項(xiàng)為 .
例21．（2024·福建福州·福建省福州第一中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知數(shù)列的首項(xiàng)，，.
(1)設(shè)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)在與（其中）之間插入個(gè)3，使它們和原數(shù)列的項(xiàng)構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列.記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，求.
變式20．（2024·廣東佛山·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足.
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)在相鄰兩項(xiàng)中間插入這兩項(xiàng)的等差中項(xiàng)，求所得新數(shù)列的前2n項(xiàng)和.
變式21．（2024·吉林通化·梅河口市第五中學(xué)校考模擬預(yù)測）為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，且.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)數(shù)列依次為：，規(guī)律是在和中間插入項(xiàng)，所有插入的項(xiàng)構(gòu)成以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，求數(shù)列的前100項(xiàng)的和.
變式22．（2024·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為（為正整數(shù)），且滿足是與的等差中項(xiàng)；數(shù)列滿足（，）.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)試確定的值，使得數(shù)列為等差數(shù)列；
(3)當(dāng)為等差數(shù)列時(shí)，對每個(gè)正整數(shù)，在與之間插入個(gè)2，得到一個(gè)新數(shù)列.設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，試求.
變式23．（2024·安徽滁州·校考模擬預(yù)測）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)在與之間插入個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
題型八：蛛網(wǎng)圖問題
例22．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列若（且），若對任意恒成立，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是 .
例23．（2024 虹口區(qū)校級期中）已知數(shù)列滿足：，，前項(xiàng)和為，則下列選項(xiàng)錯(cuò)誤的是　　（參考數(shù)據(jù)：，
A．是單調(diào)遞增數(shù)列，是單調(diào)遞減數(shù)列
B．
C．
D．
例24．（2024 浙江模擬）數(shù)列滿足，，，表示數(shù)列前項(xiàng)和，則下列選項(xiàng)中錯(cuò)誤的是　　
A．若，則
B．若，則遞減
C．若，則
D．若，則
變式24．（2024 浙江模擬）已知數(shù)列滿足：，，前項(xiàng)和為（參考數(shù)據(jù)：，，則下列選項(xiàng)中錯(cuò)誤的是　　
A．是單調(diào)遞增數(shù)列，是單調(diào)遞減數(shù)列
B．
C．
D．
變式25．（2024 下城區(qū)校級模擬）已知數(shù)列滿足：，且，下列說法正確的是　　
A．若，則 B．若，則
C． D．
題型九：整數(shù)的存在性問題（不定方程）
例25．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和是，且．
(1)證明：為等比數(shù)列；
(2)證明：
(3)為數(shù)列的前n項(xiàng)和，設(shè)，是否存在正整數(shù)m，k，使成立，若存在，求出m，k；若不存在，說明理由．
例26．（2024·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)是各項(xiàng)為正數(shù)且公差為的等差數(shù)列
(1)證明：依次成等比數(shù)列；
(2)是否存在，使得依次成等比數(shù)列，并說明理由；
(3)是否存在及正整數(shù)，使得依次成等比數(shù)列，并說明理由．
例27．（2024·河北石家莊·高三石家莊二中校考階段練習(xí)）數(shù)列的前項(xiàng)和為且當(dāng)時(shí)，成等差數(shù)列.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)在和之間插入個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，在數(shù)列中是否存在3項(xiàng)（其中成等差數(shù)列）成等比數(shù)列？若存在，求出這樣的3項(xiàng)；若不存在，請說明理由.
變式26．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，對任意的正整數(shù)，點(diǎn)均在函數(shù)圖象上.
(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；
(2)問中是否存在不同的三項(xiàng)能構(gòu)成等差數(shù)列？說明理由.
變式27．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，．
(1)求通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，在數(shù)列中是否存在三項(xiàng)（其中）成等比數(shù)列？若存在，求出這三項(xiàng)；若不存在，說明理由．
變式28．（2024·全國·高三專題練習(xí)）在①，，②，為的前n項(xiàng)和，這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，并解答下列問題．
已知數(shù)列滿足______．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)對大于1的正整數(shù)n，是否存在正整數(shù)m，使得，，成等比數(shù)列？若存在，求m的最小值；若不存在，請說明理由．
注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．
變式29．（2024·安徽六安·六安一中校考模擬預(yù)測）設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)在數(shù)列中是否存在不同的三項(xiàng)構(gòu)成等差數(shù)列？請說明理由．
題型十：數(shù)列與函數(shù)的交匯問題
例73．（2022 龍泉驛區(qū)校級一模）已知定義在上的函數(shù)是奇函數(shù)且滿足，，數(shù)列是等差數(shù)列，若，，則　　
A． B． C．2 D．3
例74．（2022 日照模擬）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式，則　　
A．150 B．162 C．180 D．210
例76．（2022秋 仁壽縣月考）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，，則下列結(jié)論中正確的是　　
A．， B．，
C．， D．，
題型十一：數(shù)列與導(dǎo)數(shù)的交匯問題
例79．（2022 全國模擬）函數(shù)，曲線在點(diǎn)，（1）處的切線在軸上的截距為．
（1）求；
（2）討論的單調(diào)性；
（3）設(shè)，，證明：．
例80．（2022 棗莊期末）已知函數(shù)，，曲線在點(diǎn)，（1）處的切線在軸上的截距為．
（1）求；
（2）討論函數(shù)和的單調(diào)性；
（3）設(shè)，，求證：．
題型十二：數(shù)列與概率的交匯問題
例28．（2024·湖南長沙·長沙市明德中學(xué)校考三模）甲、乙兩選手進(jìn)行一場體育競技比賽，采用局勝制的比賽規(guī)則，即先贏下局比賽者最終獲勝. 已知每局比賽甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，比賽結(jié)束時(shí)，甲最終獲勝的概率為.
(1)若，結(jié)束比賽時(shí)，比賽的局?jǐn)?shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望；
(2)若采用5局3勝制比采用3局2勝制對甲更有利，即.
(i)求的取值范圍；
(ii)證明數(shù)列單調(diào)遞增，并根據(jù)你的理解說明該結(jié)論的實(shí)際含義.
例29．（2024·全國·高三專題練習(xí)）馬爾可夫鏈?zhǔn)且蚨韲鴶?shù)學(xué)家安德烈·馬爾可夫得名，其過程具備“無記憶”的性質(zhì)，即第次狀態(tài)的概率分布只跟第次的狀態(tài)有關(guān)，與第次狀態(tài)是“沒有任何關(guān)系的”.現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)盒子，盒子中都有大小、形狀、質(zhì)地相同的2個(gè)紅球和1個(gè)黑球.從兩個(gè)盒子中各任取一個(gè)球交換，重復(fù)進(jìn)行次操作后，記甲盒子中黑球個(gè)數(shù)為，甲盒中恰有1個(gè)黑球的概率為，恰有2個(gè)黑球的概率為.
(1)求的分布列；
(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(3)求的期望.
例30．（2024·全國·高三專題練習(xí)）雅禮中學(xué)是三湘名校，學(xué)校每年一屆的社團(tuán)節(jié)是雅禮很有特色的學(xué)生活動，幾十個(gè)社團(tuán)在一個(gè)月內(nèi)先后開展豐富多彩的社團(tuán)活動，充分體現(xiàn)了雅禮中學(xué)為學(xué)生終身發(fā)展奠基的育人理念.2022年雅禮文學(xué)社舉辦了詩詞大會，在選拔賽階段，共設(shè)兩輪比賽.第一輪是詩詞接龍，第二輪是飛花令.第一輪給每位選手提供5個(gè)詩詞接龍的題目，選手從中抽取2個(gè)題目，主持人說出詩詞的上句，若選手正確回答出下句可得10分，若不能正確回答出下可得0分.
(1)已知某位選手會5個(gè)詩詞接龍題目中的3個(gè)，求該選手在第一輪得分的數(shù)學(xué)期望；
(2)已知恰有甲 乙 丙 丁四個(gè)團(tuán)隊(duì)參加飛花令環(huán)節(jié)的比賽，每一次由四個(gè)團(tuán)隊(duì)中的一個(gè)回答問題，無論答題對錯(cuò)，該團(tuán)隊(duì)回答后由其他團(tuán)隊(duì)搶答下一問題，且其他團(tuán)體有相同的機(jī)會搶答下一問題.記第次回答的是甲的概率是，若.
①求和；
②證明：數(shù)列為等比數(shù)列，并比較第7次回答的是甲和第8次回答的是甲的可能性的大小.
變式30．（2024·山西朔州·高三懷仁市第一中學(xué)校校考階段練習(xí)）一對夫妻計(jì)劃進(jìn)行為期60天的自駕游．已知兩人均能駕駛車輛,且約定:①在任意一天的旅途中,全天只由其中一人駕車,另一人休息;②若前一天由丈夫駕車,則下一天繼續(xù)由丈夫駕車的概率為,由妻子駕車的概率為;③妻子不能連續(xù)兩天駕車．已知第一天夫妻雙方駕車的概率均為．
(1)在剛開始的三天中,妻子駕車天數(shù)的概率分布列和數(shù)學(xué)期望;
(2)設(shè)在第n天時(shí),由丈夫駕車的概率為,求數(shù)列的通項(xiàng)公式．
變式31．（2024·全國·高三專題練習(xí)）某中學(xué)舉辦了詩詞大會選拔賽，共有兩輪比賽，第一輪是詩詞接龍，第二輪是飛花令．第一輪給每位選手提供5個(gè)詩詞接龍的題目，選手從中抽取2個(gè)題目，主持人說出詩詞的上句，若選手在10秒內(nèi)正確回答出下句可得10分，若不能在10秒內(nèi)正確回答出下句得0分．
(1)已知某位選手會5個(gè)詩詞接龍題目中的3個(gè)，求該選手在第一輪得分的數(shù)學(xué)期望；
(2)已知恰有甲、乙、丙、丁四個(gè)團(tuán)隊(duì)參加飛花令環(huán)節(jié)的比賽，每一次由四個(gè)團(tuán)隊(duì)中的一個(gè)回答問題，無論答題對錯(cuò)，該團(tuán)隊(duì)回答后由其他團(tuán)隊(duì)搶答下一問題，且其他團(tuán)隊(duì)有相同的機(jī)會搶答下一問題．記第n次回答的是甲的概率為，若．
①求P2，P3；
②證明：數(shù)列為等比數(shù)列，并比較第7次回答的是甲和第8次回答的是甲的可能性的大小．
變式32．（2024·江蘇南通·江蘇省如皋中學(xué)校考模擬預(yù)測）某校為減輕暑假家長的負(fù)擔(dān)，開展暑期托管，每天下午開設(shè)一節(jié)投籃趣味比賽．比賽規(guī)則如下：在A，B兩個(gè)不同的地點(diǎn)投籃．先在A處投籃一次，投中得2分，沒投中得0分；再在B處投籃兩次，如果連續(xù)兩次投中得3分，僅投中一次得1分，兩次均沒有投中得0分．小明同學(xué)準(zhǔn)備參賽，他目前的水平是在A處投籃投中的概率為p，在B處投籃投中的概率為．假設(shè)小明同學(xué)每次投籃的結(jié)果相互獨(dú)立．
(1)若小明同學(xué)完成一次比賽，恰好投中2次的概率為，求p；
(2)若，記小明同學(xué)一次比賽結(jié)束時(shí)的得分為X，求X的分布列及數(shù)列期望．
變式33．（2024·全國·高三專題練習(xí)）現(xiàn)有甲、乙、丙三個(gè)人相互傳接球，第一次從甲開始傳球，甲隨機(jī)地把球傳給乙、丙中的一人，接球后視為完成第一次傳接球；接球者進(jìn)行第二次傳球，隨機(jī)地傳給另外兩人中的一人，接球后視為完成第二次傳接球；依次類推，假設(shè)傳接球無失誤．
(1)設(shè)乙接到球的次數(shù)為，通過三次傳球，求的分布列與期望；
(2)設(shè)第次傳球后，甲接到球的概率為，
（i）試證明數(shù)列為等比數(shù)列；
（ii）解釋隨著傳球次數(shù)的增多，甲接到球的概率趨近于一個(gè)常數(shù)．
題型十三：數(shù)列與幾何的交匯問題
例31．（多選題）（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知正四面體中，，，，…，在線段上，且，過點(diǎn)作平行于直線，的平面，截面面積為，則下列說法正確的是（ ）
A．
B．為遞減數(shù)列
C．存在常數(shù)，使為等差數(shù)列
D．設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，則時(shí)，
例32．（多選題）（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知三棱錐的棱長均為，其內(nèi)有個(gè)小球，球與三棱錐的四個(gè)面都相切，球與三棱錐的三個(gè)面和球都相切，如此類推，…，球與三棱錐的三個(gè)面和球都相切（，且），球的表面積為，體積為，則（ ）
A． B．
C．?dāng)?shù)列為等差數(shù)列 D．?dāng)?shù)列為等比數(shù)列
例33．（多選題）（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列是等差數(shù)列，，，，是互不相同的正整數(shù)，且，若在平面直角坐標(biāo)系中有點(diǎn)，，，，則下列選項(xiàng)成立的有（ ）
A． B．
C．直線與直線的斜率相等 D．直線與直線的斜率不相等
變式34．（多選題）（2024·重慶·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A為坐標(biāo)原點(diǎn)，，點(diǎn)列P在圓上，若對于，存在數(shù)列，，使得，則下列說法正確的是（ ）
A．為公差為2的等差數(shù)列 B．為公比為2的等比數(shù)列
C． D．前n項(xiàng)和
變式35．（多選題）（2024·廣東·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）若直線與圓相切，則下列說法正確的是（ ）
A． B．?dāng)?shù)列為等比數(shù)列
C．?dāng)?shù)列的前10項(xiàng)和為23 D．圓不可能經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)
變式36．（多選題）（2024·全國·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，是圓上兩個(gè)不同的動點(diǎn)，是的中點(diǎn)，且滿足．設(shè)到直線的距離之和的最大值為，則下列說法中正確的是（ ）
A．向量與向量所成角為
B．
C．
D．若，則數(shù)列的前n項(xiàng)和為
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21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)第45講 數(shù)列的綜合應(yīng)用
知識梳理
1、解決數(shù)列與數(shù)學(xué)文化相交匯問題的關(guān)鍵
2、新定義問題的解題思路
遇到新定義問題，應(yīng)耐心讀題，分析新定義的特點(diǎn)，弄清新定義的性質(zhì)，按新定義的要求，“照章辦事”，逐條分析、運(yùn)算、驗(yàn)證，使問題得以解決．
3、數(shù)列與函數(shù)綜合問題的主要類型及求解策略
①已知函數(shù)條件，解決數(shù)列問題，此類問題一般利用函數(shù)的性質(zhì)、圖象研究數(shù)列問題．
②已知數(shù)列條件，解決函數(shù)問題，解決此類問題一般要利用數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式、求和方法等對式子化簡變形．
注意數(shù)列與函數(shù)的不同，數(shù)列只能看作是自變量為正整數(shù)的一類函數(shù)，在解決問題時(shí)要注意這一特殊性．
4、數(shù)列與不等式綜合問題的求解策略
解決數(shù)列與不等式的綜合問題時(shí)，若是證明題，則要靈活選擇不等式的證明方法，如比較法、綜合法、分析法、放縮法等；若是含參數(shù)的不等式恒成立問題，則可分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為研究最值問題來解決．
利用等價(jià)轉(zhuǎn)化思想將其轉(zhuǎn)化為最值問題.
恒成立；
恒成立.
5、現(xiàn)實(shí)生活中涉及銀行利率、企業(yè)股金、產(chǎn)品利潤、人口增長、產(chǎn)品產(chǎn)量等問題，常常考慮用數(shù)列的知識去解決．
（1）數(shù)列實(shí)際應(yīng)用中的常見模型
①等差模型：如果增加(或減少)的量是一個(gè)固定的數(shù)，則該模型是等差模型，這個(gè)固定的數(shù)就是公差；
②等比模型：如果后一個(gè)量與前一個(gè)量的比是一個(gè)固定的數(shù)，則該模型是等比模型，這個(gè)固定的數(shù)就是公比；
③遞推數(shù)列模型：如果題目中給出的前后兩項(xiàng)之間的關(guān)系不固定，隨項(xiàng)的變化而變化，則應(yīng)考慮是第項(xiàng)與第項(xiàng)的遞推關(guān)系還是前項(xiàng)和與前項(xiàng)和之間的遞推關(guān)系．
在實(shí)際問題中建立數(shù)列模型時(shí)，一般有兩種途徑：一是從特例入手，歸納猜想，再推廣到一般結(jié)論；二是從一般入手，找到遞推關(guān)系，再進(jìn)行求解．一般地，涉及遞增率或遞減率要用等比數(shù)列，涉及依次增加或減少要用等差數(shù)列，有的問題需通過轉(zhuǎn)化得到等差或等比數(shù)列，在解決問題時(shí)要往這些方面聯(lián)系．
（2）解決數(shù)列實(shí)際應(yīng)用題的3個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)
①根據(jù)題意，正確確定數(shù)列模型；
②利用數(shù)列知識準(zhǔn)確求解模型；
③問題作答，不要忽視問題的實(shí)際意義．
6、在證明不等式時(shí)，有時(shí)把不等式的一邊適當(dāng)放大或縮小，利用不等式的傳遞性來證明，我們稱這種方法為放縮法.
放縮時(shí)常采用的方法有：舍去一些正項(xiàng)或負(fù)項(xiàng)、在和或積中放大或縮小某些項(xiàng)、擴(kuò)大（或縮小）分式的分子（或分母）.
放縮法證不等式的理論依據(jù)是：；.
放縮法是一種重要的證題技巧，要想用好它，必須有目標(biāo)，目標(biāo)可從要證的結(jié)論中去查找.
必考題型全歸納
題型一：數(shù)列在數(shù)學(xué)文化與實(shí)際問題中的應(yīng)用
例1．（2024·河南·河南省內(nèi)鄉(xiāng)縣高級中學(xué)校考模擬預(yù)測）“角谷猜想”首先流傳于美國，不久便傳到歐洲，后來一位名叫角谷靜夫的日本人又把它帶到亞洲，因而人們就順勢把它叫作“角谷猜想”.“角谷猜想”是指一個(gè)正整數(shù)，如果是奇數(shù)就乘以3再加1，如果是偶數(shù)就除以2，這樣經(jīng)過若干次運(yùn)算，最終回到1.對任意正整數(shù)，按照上述規(guī)則實(shí)施第次運(yùn)算的結(jié)果為，若，且均不為1，則（ ）
A．5或16 B．5或32
C．5或16或4 D．5或32或4
【答案】B
【解析】由題知，因?yàn)椋瑒t有：
若為奇數(shù)，則，得，不合題意，所以為偶數(shù)，則；
若為奇數(shù)，則，得，不合題意，所以為偶數(shù)，；
若為奇數(shù)，則，得，不合題意，所以為偶數(shù)，且；
若為奇數(shù)，則，得，不合題意，所以為偶數(shù)，且；
若為奇數(shù)，則，可得；若為偶數(shù)，則.
綜上所述：或32.
故選：B
例2．（2024·河南鄭州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）北宋大科學(xué)家沈括在《夢溪筆談》中首創(chuàng)的“隙積術(shù)”，就是關(guān)于高階等差數(shù)列求和的問題．現(xiàn)有一貨物堆，從上向下查，第一層有1個(gè)貨物，第二層比第一層多2個(gè)，第三層比第二層多3個(gè)，以此類推，記第n層貨物的個(gè)數(shù)為，則使得成立的n的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【解析】由題意，，且，
累加可得，所以，
∴，得，即．
故選：C．
例3．（2024·四川成都·石室中學(xué)校考模擬預(yù)測）南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法》中有如下俯視圖所示的幾何體，后人稱之為“三角垛”．其最上層有1個(gè)球，第二層有3個(gè)球，第三層有6個(gè)球，第四層10個(gè)…，則第三十六層球的個(gè)數(shù)為（ ）
A．561 B．595 C．630 D．666
【答案】D
【解析】由題意，第一層個(gè)球，第二層個(gè)，第三層個(gè)，第四層個(gè)，
據(jù)此規(guī)律，第三十六層有小球個(gè).
故選：D
變式1．（2024·全國·高三專題練習(xí)）科赫曲線因形似雪花，又被稱為雪花曲線.其構(gòu)成方式如下：如圖1將線段等分為線段，如圖2.以為底向外作等邊三角形，并去掉線段，將以上的操作稱為第一次操作；繼續(xù)在圖2的各條線段上重復(fù)上述操作，當(dāng)進(jìn)行三次操作后形成如圖3的曲線.設(shè)線段的長度為1，則圖3中曲線的長度為（ ）

A．2 B． C． D．3
【答案】C
【解析】依題意，一條線段經(jīng)過一次操作，其長度變?yōu)樵瓉淼模?br/>因此每次操作后所得曲線長度依次排成一列，構(gòu)成以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，
所以當(dāng)進(jìn)行三次操作后的曲線長度為.
故選：C
變式2．（2024·全國·高三專題練習(xí)）我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書里出現(xiàn)了如圖所示的表，即楊輝三角，這是數(shù)學(xué)史上的一個(gè)偉大成就在“楊輝三角”中，第n行的所有數(shù)字之和為，若去除所有為1的項(xiàng)，依次構(gòu)成數(shù)列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，...，則此數(shù)列的前34項(xiàng)和為（ ）

A．959 B．964 C．1003 D．1004
【答案】A
【解析】將這個(gè)數(shù)列分組：
第一組1個(gè)數(shù)；
第二組2個(gè)數(shù)；
，
第七組7個(gè)數(shù)，這7個(gè)數(shù)的和為
第八組8個(gè)數(shù)，
前八組共36 項(xiàng)，前36項(xiàng)和為，
所以前34 項(xiàng)和為，
故選：A．
變式3．（2024·全國·高三專題練習(xí)）南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算術(shù)》中提出了高階等差數(shù)列的問題，即一個(gè)數(shù)列本身不是等差數(shù)列，但從數(shù)列中的第二項(xiàng)開始，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差構(gòu)成等差數(shù)列（則稱數(shù)列為一階等差數(shù)列），或者仍舊不是等差數(shù)列，但從數(shù)列中的第二項(xiàng)開始，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差構(gòu)成等差數(shù)列（則稱數(shù)列為二階等差數(shù)列），依次類推，可以得到高階等差數(shù)列．類比高階等差數(shù)列的定義，我們亦可定義高階等比數(shù)列，設(shè)數(shù)列1，1，2，8，64…是一階等比數(shù)列，則該數(shù)列的第8項(xiàng)是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由題意，數(shù)列1，1，2，8，64，…為，且為一階等比數(shù)列，
設(shè)，所以為等比數(shù)列，其中，，公比為，
所以，則，
所以第8項(xiàng)為．
故選：C.
【解題方法總結(jié)】
（1）解決數(shù)列與數(shù)學(xué)文化相交匯問題的關(guān)鍵
（2）解答數(shù)列應(yīng)用題需過好“四關(guān)”
題型二：數(shù)列中的新定義問題
例4．（2024·江西·江西師大附中校考三模）已知數(shù)列的通項(xiàng)，如果把數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)都去掉，余下的項(xiàng)依次排列構(gòu)成新數(shù)列為，再把數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)又去掉，余下的項(xiàng)依次排列構(gòu)成新數(shù)列為，如此繼續(xù)下去，……，那么得到的數(shù)列（含原已知數(shù)列）的第一項(xiàng)按先后順序排列，構(gòu)成的數(shù)列記為，則數(shù)列前10項(xiàng)的和為（ ）
A．1013 B．1023 C．2036 D．2050
【答案】C
【解析】根據(jù)題意，如此繼續(xù)下去，……，則得到的數(shù)列的第一項(xiàng)分別為數(shù)列的第
即得到的數(shù)列的第項(xiàng)為數(shù)列的第項(xiàng)，
因?yàn)椋傻茫?br/>所以.
故選：C.
例5．（2024·人大附中校考三模）已知數(shù)列滿足：對任意的，總存在，使得，則稱為“回旋數(shù)列”．以下結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)是（ ）
①若，則為“回旋數(shù)列”；
②設(shè)為等比數(shù)列，且公比q為有理數(shù)，則為“回旋數(shù)列”；
③設(shè)為等差數(shù)列，當(dāng)，時(shí)，若為“回旋數(shù)列”，則；
④若為“回旋數(shù)列”，則對任意，總存在，使得．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】①由可得，
由可得，取即可，則為“回旋數(shù)列”，故①正確；
②當(dāng)時(shí)，，，
由可得，故當(dāng)時(shí)，很明顯不成立，故不是“回旋數(shù)列，②錯(cuò)誤”；
③是等差數(shù)列，故，，
因?yàn)閿?shù)列是“回旋數(shù)列”，所以，即，
其中為非負(fù)整數(shù)，所以要保證恒為整數(shù)，
故為所有非負(fù)整數(shù)的公約數(shù)，且，所以，故③正確；
④由①可得當(dāng)時(shí)，為“回旋數(shù)列”，
取，，顯然不存在,使得，故④錯(cuò)誤
故選：B
例6．（2024·湖北武漢·統(tǒng)考三模）將按照某種順序排成一列得到數(shù)列，對任意，如果，那么稱數(shù)對構(gòu)成數(shù)列的一個(gè)逆序?qū)?若，則恰有2個(gè)逆序?qū)Φ臄?shù)列的個(gè)數(shù)為（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【解析】若，則，
由構(gòu)成的逆序?qū)τ校?br/>若數(shù)列的第一個(gè)數(shù)為，則至少有個(gè)逆序?qū)Γ?br/>若數(shù)列的第二個(gè)數(shù)為，
則恰有2個(gè)逆序?qū)Φ臄?shù)列為，
若數(shù)列的第三個(gè)數(shù)為，
則恰有2個(gè)逆序?qū)Φ臄?shù)列為或，
若數(shù)列的第四個(gè)數(shù)為，
則恰有2個(gè)逆序?qū)Φ臄?shù)列為，
綜上恰有2個(gè)逆序?qū)Φ臄?shù)列的個(gè)數(shù)為個(gè).
故選：B.
變式4．（2024·全國·高三專題練習(xí)）記數(shù)列的前項(xiàng)和為，若存在實(shí)數(shù)，使得對任意的，都有，則稱數(shù)列為“和有界數(shù)列”． 下列命題正確的是（ ）
A．若是等差數(shù)列，且首項(xiàng)，則是“和有界數(shù)列”
B．若是等差數(shù)列，且公差，則是“和有界數(shù)列”
C．若是等比數(shù)列，且公比，則是“和有界數(shù)列”
D．若是等比數(shù)列，且是“和有界數(shù)列”，則的公比
【答案】C
【解析】對于A，若是等差數(shù)列，且首項(xiàng)，當(dāng)d>0時(shí)，，
當(dāng)趨近于正無窮時(shí)，趨近于正無窮，則不是“和有界數(shù)列”，故A不正確．
對于B，若是等差數(shù)列，且公差，則，當(dāng)時(shí)，
當(dāng)趨近于正無窮時(shí)，趨近于正無窮，則不是“和有界數(shù)列”，故B不正確．
對于C，若是等比數(shù)列，且公比|q|<1，則，
故，則是“和有界數(shù)列”，故C正確．
對于D，若是等比數(shù)列，且是“和有界數(shù)列”，則的公比或，故D不正確．
故選：C．
變式5．（2024·全國·高三專題練習(xí)）斐波那契數(shù)列又稱黃金分割數(shù)列，因數(shù)學(xué)家列昂納多 斐波那契以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為“兔子數(shù)列”.斐波那契數(shù)列用遞推的方式可如下定義：用表示斐波那契數(shù)列的第n項(xiàng)，則數(shù)列滿足： . ，記，則下列結(jié)論不正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】依題意，數(shù)列的前10項(xiàng)依次為：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，
即，∴A正確；
當(dāng)時(shí)，，
∴B正確；
由，可得，
累加得，則，即，∴C錯(cuò)誤；
由，，
，∴，∴D正確.
故選：C.
變式6．（2024·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測）數(shù)學(xué)家楊輝在其專著《詳解九章算術(shù)法》和《算法通變本末》中，提出了一些新的高階等差數(shù)列．其中二階等差數(shù)列是一個(gè)常見的高階等差數(shù)列、如數(shù)列2，4，7，11，16，從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差組成新數(shù)列2，3，4，5，新數(shù)列2，3，4，5為等差數(shù)列，則稱數(shù)列2，4，7，11，16為二階等差數(shù)列，現(xiàn)有二階等差數(shù)列，其前七項(xiàng)分別為2，2，3，5，8，12，17．則該數(shù)列的第20項(xiàng)為（ ）
A．173 B．171 C．155 D．151
【答案】A
【解析】根據(jù)題意得新數(shù)列為，則二階等差數(shù)列 的通項(xiàng)公式為，則
故選：A.
【解題方法總結(jié)】
（1）新定義數(shù)列問題的特點(diǎn)
通過給出一個(gè)新的數(shù)列的概念，或約定一種新運(yùn)算，或給出幾個(gè)新模型來創(chuàng)設(shè)全新的問題情景，要求考生在閱讀理解的基礎(chǔ)上，依據(jù)題目提供的信息，聯(lián)系所學(xué)的知識和方法，實(shí)現(xiàn)信息的遷移，達(dá)到靈活解題的目的．
（2）新定義問題的解題思路
遇到新定義問題，應(yīng)耐心讀題，分析新定義的特點(diǎn)，弄清新定義的性質(zhì)，按新定義的要求，“照章辦事”，逐條分析、運(yùn)算、驗(yàn)證，使問題得以解決．
題型三：數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問題
例7．（2024·重慶巴南·統(tǒng)考一模）已知等比數(shù)列滿足：，.數(shù)列滿足，其前項(xiàng)和為，若恒成立，則的最小值為 .
【答案】/
【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，解得，
所以，，解得，則，
所以，，
，所以，數(shù)列為等差數(shù)列，
所以，，
則，
因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.
又因?yàn)椋实淖畲笾禐?
因此，對任意的恒成立，所以，，故的最小值為.
故答案為：.
例8．（2024·四川瀘州·四川省瀘縣第四中學(xué)校考模擬預(yù)測）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，若恒成立，則的最大值是 .
【答案】
【解析】因?yàn)椋裕?br/>所以數(shù)列是常數(shù)列，則，可得，故，
因?yàn)楹愠闪ⅲ院愠闪ⅲ春愠闪ⅲO(shè)，則，從而，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
因?yàn)椋缘淖钚≈凳牵矗?br/>所以實(shí)數(shù)的最大值為.
故答案為：.
例9．（2024·河南新鄉(xiāng)·統(tǒng)考三模）已知數(shù)列滿足，，則的最小值為 ．
【答案】6
【解析】由得，
當(dāng)時(shí)，，，…，，
將這個(gè)式子累加得，
則，時(shí)也適合，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立.
故答案為：6.
變式7．（2024·上海楊浦·高三復(fù)旦附中校考階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，且對于任意的正整數(shù)n，都有．若正整數(shù)k使得對任意的正整數(shù)成立，則整數(shù)k的最小值為 ．
【答案】
【解析】因?yàn)椋?br/>可得，
則有，
所以，
所以，
則
，
因?yàn)檎麛?shù)k使得對任意的正整數(shù)成立，
所以，
所以整數(shù)k的最小值為.
故答案為：.
【解題方法總結(jié)】
（1）數(shù)列與函數(shù)綜合問題的主要類型及求解策略
①已知函數(shù)條件，解決數(shù)列問題，此類問題一般利用函數(shù)的性質(zhì)、圖象研究數(shù)列問題．
②已知數(shù)列條件，解決函數(shù)問題，解決此類問題一般要利用數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式、求和方法等對式子化簡變形．
注意數(shù)列與函數(shù)的不同，數(shù)列只能看作是自變量為正整數(shù)的一類函數(shù)，在解決問題時(shí)要注意這一特殊性．
（2）數(shù)列與不等式綜合問題的求解策略
解決數(shù)列與不等式的綜合問題時(shí)，若是證明題，則要靈活選擇不等式的證明方法，如比較法、綜合法、分析法、放縮法等；若是含參數(shù)的不等式恒成立問題，則可分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為研究最值問題來解決．
利用等價(jià)轉(zhuǎn)化思想將其轉(zhuǎn)化為最值問題.
恒成立；
恒成立.
題型四：數(shù)列在實(shí)際問題中的應(yīng)用
例10．（2024·全國·高三專題練習(xí)）根據(jù)市場調(diào)查結(jié)果，預(yù)測某種家用商品從年初開始的n個(gè)月內(nèi)累積的需求量（萬件）近似地滿足關(guān)系式，按此預(yù)測，在本年度內(nèi)，需求量超過1.5萬件的月份是 .
【答案】7，8
【解析】因?yàn)椋?br/>所以當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，
，
化為，
解得，
可知當(dāng)或8，需求量超過1.5萬件.
故答案為：7，8.
例11．（2024·高三課時(shí)練習(xí)）某研究所計(jì)劃改建十個(gè)實(shí)驗(yàn)室，每個(gè)實(shí)驗(yàn)室的改建費(fèi)用分為裝修費(fèi)和設(shè)備費(fèi)，且每個(gè)實(shí)驗(yàn)室的裝修費(fèi)都一樣，設(shè)備費(fèi)從第一到第十實(shí)驗(yàn)室依次構(gòu)成等比數(shù)列.已知第五實(shí)驗(yàn)室比第二實(shí)驗(yàn)室的改建費(fèi)用高42萬元，第七實(shí)驗(yàn)室比第四實(shí)驗(yàn)室的改建費(fèi)用高168萬元，并要求每個(gè)實(shí)驗(yàn)室改建費(fèi)用不能超過1700萬元，則該研究所改建這十個(gè)實(shí)驗(yàn)室投入的總費(fèi)用最多需要 萬元.
【答案】4709
【解析】設(shè)第個(gè)實(shí)驗(yàn)室的設(shè)備費(fèi)為，裝修費(fèi)為，則，
由題意可得，則，解得或（舍去），
故，
∵對任意的均成立，
∴，即，
故該研究所改建這十個(gè)實(shí)驗(yàn)室投入的總費(fèi)用，
即該研究所改建這十個(gè)實(shí)驗(yàn)室投入的總費(fèi)用最多需要4709萬元.
故答案為：4709.
例12．（2024·全國·高三專題練習(xí)）冰墩墩作為北京冬奧會的吉祥物特別受歡迎，官方旗艦店售賣冰墩墩運(yùn)動造型多功能徽章，若每天售出件數(shù)成遞增的等差數(shù)列，其中第1天售出10000件，第21天售出15000件；價(jià)格每天成遞減的等差數(shù)列，第1天每件100元，第21天每件60元，則該店第 天收入達(dá)到最高.
【答案】6
【解析】設(shè)第n天售出件數(shù)為,設(shè)第n天價(jià)格為.
由題意, 均為等差數(shù)列,設(shè)公差分別為.
所以
所以.
假設(shè)第n天的收入為,則
，
所以當(dāng)時(shí), 取最大值,即第6天收入達(dá)到最高.
故答案為：6
變式8．（2024·全國·高三專題練習(xí)）沈陽京東MALL于2022年國慶節(jié)盛大開業(yè)，商場為了滿足廣大數(shù)碼狂熱愛好者的需求，開展商品分期付款活動.現(xiàn)計(jì)劃某商品一次性付款的金額為 a 元，以分期付款的形式等額分成 n 次付清，每期期末所付款是 x 元，每期利率為 r ，則愛好者每期需要付款 ．
【答案】
【解析】由題意得，
，
.
故答案為：.
變式9．（2024·遼寧錦州·渤海大學(xué)附屬高級中學(xué)校考模擬預(yù)測）一件家用電器，現(xiàn)價(jià)2000元，實(shí)行分期付款，一年后還清，購買后一個(gè)月第一次付款，以后每月付款一次，每次付款數(shù)相同，共付12次，月利率為0.8%，并按復(fù)利計(jì)息，那么每期應(yīng)付款 元．（參考數(shù)據(jù)：，，，）
【答案】176
【解析】設(shè)每期應(yīng)付款x元，第n期付款后欠款元，
則，
，…
．
因?yàn)椋裕?br/>解得，
即每期應(yīng)付款176元．
故答案為：176
變式10．（2024·全國·高三專題練習(xí)）在第七十五屆聯(lián)合國大會一般性辯論上，習(xí)近平主席表示，中國將提高國家自主貢獻(xiàn)力度，采取更加有力的政策和措施，二氧化碳排放力爭于2030年前達(dá)到峰值，努力爭取2060年前實(shí)現(xiàn)碳中和．某地2020年共發(fā)放汽車牌照12萬張，其中燃油型汽車牌照10萬張，電動型汽車2萬張，從2021年起，每年發(fā)放的電動型汽車牌照按前一年的50%增長，燃油型汽車牌照比前一年減少0.5萬張，同時(shí)規(guī)定，若某年發(fā)放的汽車牌照超過15萬張，以后每年發(fā)放的電動車牌照的數(shù)量維持在這一年的水平不變.那么從2021年至2030年這十年累計(jì)發(fā)放的汽車牌照數(shù)為 萬張．
【答案】
【解析】設(shè)每年發(fā)放燃油型車牌照數(shù)為，發(fā)放電動型車牌照數(shù)，發(fā)放牌照數(shù)為，則
成等差數(shù)列，前四項(xiàng)成等比數(shù)列，第五項(xiàng)起為常數(shù)列，，
，，
前10項(xiàng)的和為，
，，，
因?yàn)椋?br/>所以，
前10項(xiàng)的和為：.
所以從2021年至2030年這十年累計(jì)發(fā)放的汽車牌照數(shù)為.
故答案為：134.
【解題方法總結(jié)】
現(xiàn)實(shí)生活中涉及銀行利率、企業(yè)股金、產(chǎn)品利潤、人口增長、產(chǎn)品產(chǎn)量等問題，常常考慮用數(shù)列的知識去解決．
（1）數(shù)列實(shí)際應(yīng)用中的常見模型
①等差模型：如果增加(或減少)的量是一個(gè)固定的數(shù)，則該模型是等差模型，這個(gè)固定的數(shù)就是公差；
②等比模型：如果后一個(gè)量與前一個(gè)量的比是一個(gè)固定的數(shù)，則該模型是等比模型，這個(gè)固定的數(shù)就是公比；
③遞推數(shù)列模型：如果題目中給出的前后兩項(xiàng)之間的關(guān)系不固定，隨項(xiàng)的變化而變化，則應(yīng)考慮是第項(xiàng)與第項(xiàng)的遞推關(guān)系還是前項(xiàng)和與前項(xiàng)和之間的遞推關(guān)系．
在實(shí)際問題中建立數(shù)列模型時(shí)，一般有兩種途徑：一是從特例入手，歸納猜想，再推廣到一般結(jié)論；二是從一般入手，找到遞推關(guān)系，再進(jìn)行求解．一般地，涉及遞增率或遞減率要用等比數(shù)列，涉及依次增加或減少要用等差數(shù)列，有的問題需通過轉(zhuǎn)化得到等差或等比數(shù)列，在解決問題時(shí)要往這些方面聯(lián)系．
（2）解決數(shù)列實(shí)際應(yīng)用題的3個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)
①根據(jù)題意，正確確定數(shù)列模型；
②利用數(shù)列知識準(zhǔn)確求解模型；
③問題作答，不要忽視問題的實(shí)際意義．
題型五：數(shù)列不等式的證明
例13．（2024·河北張家口·統(tǒng)考三模）已知數(shù)列滿足.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)記數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：.
【解析】（1）由題意，數(shù)列滿足，
當(dāng)時(shí)，可得，解得；
當(dāng)時(shí)，可得，
兩式相減得，所以，
當(dāng)時(shí)，，適合上式，
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.
（2）令，由，
可得，
所以，
因?yàn)椋傻茫?
例14．（2024·全國·高三專題練習(xí)）證明不等式．
【解析】∵，
∴．
例15．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知，，的前n項(xiàng)和為，證明：．
【解析】證法一：∵，
∴．
證法二：∵，
當(dāng)時(shí)，，∴．
證法三：∵，
又，，∴．∴．
證法四：∵
，
∴．
變式11．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知每一項(xiàng)都是正數(shù)的數(shù)列滿足，．
(1)證明：．
(2)證明：．
(3)記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，證明∶．
【解析】（1）解法一：由題意知，．
①當(dāng)時(shí)，，，，成立．
②假設(shè)時(shí)，結(jié)論成立，即．
∵，
∴．
故時(shí)，結(jié)論也成立．
由①②可知，對于，都有成立．
解法二：，，，成立．
令，顯然單調(diào)遞減．
∵，假設(shè)，
則，即，
故，即．
故對于，都有成立．
（2）由（1）知，∴．
同理，由數(shù)學(xué)歸納法可證，．
猜測．下面給出證明．
∵，∴與異號．
注意到，知，，
即．
∴，
從而可知．
（3）
，
∴
，
∴
．
變式12．（2024·全國·高三專題練習(xí)）證明：．（注：．）
【解析】（將交錯(cuò)項(xiàng)合并求和）先考慮
．
可以放縮為等比數(shù)列
．
變式13．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列，為數(shù)列的前項(xiàng)和，且滿足，．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)證明：．
【解析】（1）對任意的，
當(dāng)時(shí)，，兩式相減．
整理得，
當(dāng)時(shí)，，
也滿足，從而．
（2）證明：證法一：因?yàn)椋?br/>所以，
．
從而；
證法二：因?yàn)椋?br/>所以，
，證畢.
變式14．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知各項(xiàng)為正的數(shù)列滿足，，．證明：
(1)；
(2)．
【解析】（1）∵，
∴，
∴．
又?jǐn)?shù)列為正項(xiàng)數(shù)列，∴與同號．
∵，∴，
∴，即，
因?yàn)閿?shù)列為正項(xiàng)數(shù)列，所以，
綜上：.
（2）要證，只需要證．
∵，
∴
，
因?yàn)椋詾檎?xiàng)數(shù)列，且，
設(shè)為等比數(shù)列，公比為，首項(xiàng)為，前項(xiàng)和為，
∴，
即，證畢.
變式15．（2024·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)數(shù)列滿足，．
(1)若，求實(shí)數(shù)a的值；
(2)設(shè)，若，證明：．
【解析】（1）數(shù)列滿足，，
，易知a不為0，解得，
，，
解得或，
由解得，由，解得．
實(shí)數(shù)的值為1．
（2）當(dāng)時(shí)，數(shù)列滿足，，
（各項(xiàng)均不為0），
，，，
，
，
，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號，
，
再證，．
當(dāng)時(shí)，，滿足．
假設(shè)當(dāng)，時(shí)有，等價(jià)于，
，，
當(dāng)時(shí)，，
只需證．
證明如下：，，
，，，
，，
，
，，
，
，
時(shí)，成立．
綜上知．
綜上所述：．
變式16．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)滿足，，．
(1)證明：．
(2)設(shè)是數(shù)列的前n項(xiàng)和，證明：．
【解析】（1）先用數(shù)學(xué)歸納法證明．
當(dāng)時(shí)結(jié)論成立，假設(shè)時(shí)結(jié)論成立，即，則，
∴．
故當(dāng)時(shí)結(jié)論也成立，由歸納原理知對成立．
作出函數(shù)的圖象，如圖，，的方程，

根據(jù)割線的位置易知，
從而．
綜上可知．
（2）∵，且，
設(shè)，，
則，∴在上單調(diào)遞減，
∴當(dāng)時(shí)，，即.
∴．
∵，∴，
∴，，
∴．
從而．
【解題方法總結(jié)】
（1）構(gòu)造輔助函數(shù)（數(shù)列）證明不等式
（2）放縮法證明不等式
在證明不等式時(shí)，有時(shí)把不等式的一邊適當(dāng)放大或縮小，利用不等式的傳遞性來證明，我們稱這種方法為放縮法.
放縮時(shí)常采用的方法有：舍去一些正項(xiàng)或負(fù)項(xiàng)、在和或積中放大或縮小某些項(xiàng)、擴(kuò)大（或縮小）分式的分子（或分母）.
放縮法證不等式的理論依據(jù)是：；.
放縮法是一種重要的證題技巧，要想用好它，必須有目標(biāo)，目標(biāo)可從要證的結(jié)論中去查找.
方法1：對進(jìn)行放縮，然后求和.
當(dāng)既不關(guān)于單調(diào)，也不可直接求和，右邊又是常數(shù)時(shí)，就應(yīng)考慮對進(jìn)行放縮，使目標(biāo)變成可求和的情形，通常變?yōu)榭闪秧?xiàng)相消或壓縮等比的數(shù)列.證明時(shí)要注意對照求證的結(jié)論，調(diào)整與控制放縮的度.
方法2：添舍放縮
方法3：對于一邊是和或者積的數(shù)列不等式，可以把另外一邊的含的式子看作是一個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)的和或者積，求出該數(shù)列通項(xiàng)后再左、右兩邊一對一地比較大小，這種思路非常有效，還可以分析出放縮法證明的操作方法，易于掌握.需要指出的是，如果另外一邊不是含有的式子，而是常數(shù)，則需要尋找目標(biāo)不等式的加強(qiáng)不等式，再予以證明.
方法4：單調(diào)放縮
題型六：公共項(xiàng)問題
例16．（2024·上海嘉定·上海市嘉定區(qū)第一中學(xué)校考三模）已知，，將數(shù)列與數(shù)列的公共項(xiàng)從小到大排列得到新數(shù)列，則 .
【答案】
【解析】因?yàn)閿?shù)列是正奇數(shù)列，
對于數(shù)列，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，設(shè)，則為偶數(shù)；
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，設(shè)，則為奇數(shù)，
所以，則，
所以.
故答案為：.
例17．（2024·湖南邵陽·邵陽市第二中學(xué)校考模擬預(yù)測）數(shù)列和數(shù)列的公共項(xiàng)從小到大構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列，數(shù)列滿足：，則數(shù)列的最大項(xiàng)等于 .
【答案】/1.75
【解析】數(shù)列和數(shù)列的公共項(xiàng)從小到大構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列為：
，該數(shù)列為首項(xiàng)為1，公差為的等差數(shù)列，
所以，
所以
因?yàn)?br/>所以當(dāng)時(shí)，，即，
又，
所以數(shù)列的最大項(xiàng)為第二項(xiàng)，其值為.
故答案為：.
例18．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知，將數(shù)列與數(shù)列的公共項(xiàng)從小到大排列得到新數(shù)列，則 .
【答案】
【解析】因?yàn)閿?shù)列是正奇數(shù)列，
對于數(shù)列，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，設(shè)，則為偶數(shù)；
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，設(shè)，則為奇數(shù)，
所以，，則，
因此，.
故答案為：.
變式17．（2024·重慶沙坪壩·高三重慶八中校考階段練習(xí)）將數(shù)列與的公共項(xiàng)由小到大排列得到數(shù)列，則數(shù)列的前n項(xiàng)的和為 ．
【答案】
【解析】由題意令，即2不是數(shù)列與的公共項(xiàng)；
令，即4是數(shù)列與的公共項(xiàng)；
令，即8不是數(shù)列與的公共項(xiàng)；
令，即16是數(shù)列與的公共項(xiàng)；
依次類推，可得數(shù)列：，
即是首項(xiàng)為4，公比為4的等比數(shù)列，
故數(shù)列的前n項(xiàng)的和為 ，
故答案為：
變式18．（2024·全國·高三專題練習(xí)）數(shù)列與的所有公共項(xiàng)由小到大構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列，則 .
【答案】
【解析】數(shù)列與分別是以為公差，為首項(xiàng)的等差數(shù)列，
則新的數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，所以，
故.
故答案為：.
變式19．（2024·安徽蚌埠·統(tǒng)考一模）有兩個(gè)等差數(shù)列及由這兩個(gè)等差數(shù)列的公共項(xiàng)按從小到大的順序組成一個(gè)新數(shù)列，則這個(gè)新數(shù)列的各項(xiàng)之和為 .
【答案】
【解析】在等差數(shù)列和等差數(shù)列
中，公共項(xiàng)按從小到大的順序組成一個(gè)新的等差數(shù)列：共項(xiàng)，它們的和為
考點(diǎn)：等差數(shù)列及其求和公式.
題型七：插項(xiàng)問題
例19．（2024·全國·高三對口高考）在數(shù)1和100之間插入n個(gè)實(shí)數(shù)，使得這個(gè)數(shù)構(gòu)成遞增的等比數(shù)列，將這個(gè)數(shù)的乘積記作，再令.則數(shù)列的通項(xiàng)公式為 .
【答案】，
【解析】記由個(gè)數(shù)構(gòu)成遞增的等比數(shù)列為，
則，，則，即
所以，
即
故答案為：，.
例20．（2024·湖北襄陽·襄陽四中校考模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列中，，若在數(shù)列每相鄰兩項(xiàng)之間插入三個(gè)數(shù)，使得新數(shù)列也是一個(gè)等差數(shù)列，則新數(shù)列的第43項(xiàng)為 .
【答案】
【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，
所以，
設(shè)在數(shù)列每相鄰兩項(xiàng)之間插入三個(gè)數(shù)所得新數(shù)列為，
則新的等差數(shù)列的公差為，首項(xiàng)為，
所以新數(shù)列的通項(xiàng)公式為，
故.
故答案為：.
例21．（2024·福建福州·福建省福州第一中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知數(shù)列的首項(xiàng)，，.
(1)設(shè)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)在與（其中）之間插入個(gè)3，使它們和原數(shù)列的項(xiàng)構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列.記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，求.
【解析】（1）因?yàn)椋?br/>所以，取倒得，
所以，即，即，
因?yàn)椋允牵牡缺葦?shù)列，
所以.
（2）在之間有2個(gè)3，之間有個(gè)3，之間有個(gè)3，之間有個(gè)3，
合計(jì)個(gè)3，
所以.
變式20．（2024·廣東佛山·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足.
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)在相鄰兩項(xiàng)中間插入這兩項(xiàng)的等差中項(xiàng)，求所得新數(shù)列的前2n項(xiàng)和.
【解析】（1）因?yàn)棰伲?br/>所以時(shí)，②，
①②得：，即，
又時(shí)，，所以也滿足上式，
故的通項(xiàng)公式為.
（2）設(shè)數(shù)列滿足．
記的前項(xiàng)和為，的前項(xiàng)和為，則．
由等比數(shù)列的求和公式得：，．
所以．
即新數(shù)列的前項(xiàng)和．
變式21．（2024·吉林通化·梅河口市第五中學(xué)校考模擬預(yù)測）為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，且.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)數(shù)列依次為：，規(guī)律是在和中間插入項(xiàng)，所有插入的項(xiàng)構(gòu)成以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，求數(shù)列的前100項(xiàng)的和.
【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，解得（舍去），
由得時(shí)，，
兩式相減得，
因?yàn)椋裕?br/>所以是等差數(shù)列，首項(xiàng)為4，公差為3，
所以；
（2）由于，
因此數(shù)列的前100項(xiàng)中含有的前13項(xiàng)，含有中的前87項(xiàng)，
所求和為.
變式22．（2024·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為（為正整數(shù)），且滿足是與的等差中項(xiàng)；數(shù)列滿足（，）.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)試確定的值，使得數(shù)列為等差數(shù)列；
(3)當(dāng)為等差數(shù)列時(shí)，對每個(gè)正整數(shù)，在與之間插入個(gè)2，得到一個(gè)新數(shù)列.設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，試求.
【解析】（1）由題意，可得，所以，
解得或（舍），則，
又，所以.
（2）由，得，
所以，，，
因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，所以，解得，
所以當(dāng)時(shí)，，由（常數(shù)）知此時(shí)數(shù)列為等差數(shù)列.
（3）因?yàn)椋耘c之間插入個(gè)2，
，所以與之間插入個(gè)2，
，所以與之間插入個(gè)2，
……
則的前項(xiàng)，由個(gè)，構(gòu)成，
所以.
變式23．（2024·安徽滁州·校考模擬預(yù)測）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)在與之間插入個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【解析】（1），
當(dāng)時(shí)，，
兩式相減可得，，
故等比數(shù)列的公比為，
，
，
故數(shù)列的通項(xiàng)公式為．
（2）由得：，，
故，即，
，
，
得：，
故．
題型八：蛛網(wǎng)圖問題
例22．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列若（且），若對任意恒成立，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是 .
【答案】
【解析】法一：不妨先由得到恒成立的必要條件，
；
，設(shè)，則，
所以，解得，故，
又，
故，
所以，得證.
法二：蛛網(wǎng)法
記函數(shù)，過定點(diǎn).
當(dāng)時(shí)，迭代收斂于點(diǎn)A，只需位于直線下方，即；
當(dāng)時(shí)，迭代收斂于點(diǎn)A，由蛛網(wǎng)圖：單調(diào)遞減，故只需
即
綜上.

故答案為：
例23．（2024 虹口區(qū)校級期中）已知數(shù)列滿足：，，前項(xiàng)和為，則下列選項(xiàng)錯(cuò)誤的是　　（參考數(shù)據(jù)：，
A．是單調(diào)遞增數(shù)列，是單調(diào)遞減數(shù)列
B．
C．
D．
【解析】解：由，得，
，
令，即，
則，
，．
作圖如下：
由圖可得：
．是單調(diào)遞增數(shù)列，是單調(diào)遞減數(shù)列，因此正確；
．，，，，
，，
，，因此正確；
．，，因此不正確；
．由不動點(diǎn)，，得，可得：，，因此正確．
故選：．
例24．（2024 浙江模擬）數(shù)列滿足，，，表示數(shù)列前項(xiàng)和，則下列選項(xiàng)中錯(cuò)誤的是　　
A．若，則
B．若，則遞減
C．若，則
D．若，則
【解析】解：（法一）對于選項(xiàng)，令，，則，令，
易知在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，此時(shí)，
又，若，則有，故選項(xiàng)正確；
對于選項(xiàng)，結(jié)合選項(xiàng)中的過程，作出遞推函數(shù)與的交點(diǎn)，可得函數(shù)的不動點(diǎn)為和1，且，
故函數(shù)在單調(diào)遞增，且，
故為吸引不動點(diǎn)，為排斥不動點(diǎn)，
故當(dāng)時(shí)，數(shù)列向吸引不動點(diǎn)靠近，單調(diào)遞減，故選項(xiàng)正確；
對于選項(xiàng)，，由選項(xiàng)，的過程可知，當(dāng)時(shí)，數(shù)列單調(diào)遞減且，故，
而顯然，故成立，故選項(xiàng)正確；
對于選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，結(jié)合選項(xiàng)，的過程及蛛網(wǎng)圖，易知數(shù)列單調(diào)遞增，
又，故當(dāng)時(shí)，，即，
故，
，
故，故選項(xiàng)錯(cuò)誤．
（法二）作出與的圖象，由蛛網(wǎng)圖可知，選項(xiàng)，正確；
若，由蛛網(wǎng)圖可知，，時(shí)，，則，
故，選項(xiàng)正確；
若，則，，比較與的大小，
，
則，選項(xiàng)錯(cuò)誤．
故選：．
變式24．（2024 浙江模擬）已知數(shù)列滿足：，，前項(xiàng)和為（參考數(shù)據(jù)：，，則下列選項(xiàng)中錯(cuò)誤的是　　
A．是單調(diào)遞增數(shù)列，是單調(diào)遞減數(shù)列
B．
C．
D．
【解析】解：由，得，
，
令，即，則，，，
作圖如下：
由圖得：
①單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，
，故正確；
②，，，，
，，
，，故正確；
③，，故錯(cuò)誤．
④由不動點(diǎn)，得，，
，，故正確．
故選：．
變式25．（2024 下城區(qū)校級模擬）已知數(shù)列滿足：，且，下列說法正確的是　　
A．若，則 B．若，則
C． D．
【解析】解：，，．
，故且，于是
與同號，
．
對于，若，則，則，，所以，故錯(cuò)誤；
對于，，
即，于是，
即數(shù)列單調(diào)遞減，
于是，
所以，
即，
，
，
故，正確；
對于，考慮函數(shù)，如圖所示
由圖可知當(dāng) 時(shí)，數(shù)列 遞減，
所以，即，所以不正確；
對于，設(shè)，則，
由上圖可知，由上圖可知，，
即，
等價(jià)于，
化簡得：，
而顯然不成立，所以不正確；
由排除法可知正確．
故選：．
題型九：整數(shù)的存在性問題（不定方程）
例25．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和是，且．
(1)證明：為等比數(shù)列；
(2)證明：
(3)為數(shù)列的前n項(xiàng)和，設(shè)，是否存在正整數(shù)m，k，使成立，若存在，求出m，k；若不存在，說明理由．
【解析】（1），，
兩式相減，得
又時(shí)，是首項(xiàng)和公比都是2的等比數(shù)列．
（2）由（1）得．
，
所以是等比數(shù)列，首項(xiàng)和公比都是，
（3）假設(shè)存在正整數(shù)m，k， 使成立，
，，
，
所以，
，又正整數(shù)m，k，
，
或或
或或.
例26．（2024·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)是各項(xiàng)為正數(shù)且公差為的等差數(shù)列
(1)證明：依次成等比數(shù)列；
(2)是否存在，使得依次成等比數(shù)列，并說明理由；
(3)是否存在及正整數(shù)，使得依次成等比數(shù)列，并說明理由．
【解析】（1）∵（）是同一個(gè)常數(shù)，
∴，，，依次構(gòu)成等比數(shù)列．
（2）令，則，，，分別為，，，（，，）．
假設(shè)存在，，使得，，，依次構(gòu)成等比數(shù)列，
則，且．
令，則，且（，），
化簡得（），且．將代入（）式，
，則．
顯然不是上面方程的解，矛盾，
∴假設(shè)不成立，
因此不存在，，使得，，，依次構(gòu)成等比數(shù)列．
（3）假設(shè)存在，及正整數(shù)，，使得，，，依次構(gòu)成等比數(shù)列，
則，且．
分別在兩個(gè)等式的兩邊同除以及，并令（，），
則，且．
將上述兩個(gè)等式兩邊取對數(shù)，得，
且．
化簡得，
且．
再將這兩式相除，化簡得（）．
令，
則．
令，
則．
令，則．
令，則．
由，，
知，，，在和上均單調(diào)．
故只有唯一零點(diǎn)，即方程（）只有唯一解，故假設(shè)不成立．
∴不存在，及正整數(shù)，，使得，，，依次構(gòu)成等比數(shù)列．
例27．（2024·河北石家莊·高三石家莊二中校考階段練習(xí)）數(shù)列的前項(xiàng)和為且當(dāng)時(shí)，成等差數(shù)列.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)在和之間插入個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，在數(shù)列中是否存在3項(xiàng)（其中成等差數(shù)列）成等比數(shù)列？若存在，求出這樣的3項(xiàng)；若不存在，請說明理由.
【解析】（1）由題意，，在數(shù)列中，當(dāng)時(shí)，成等差數(shù)列，所以，即，
所以時(shí)，，又由知時(shí)，成立，
即對任意正整數(shù)均有，
所以，從而，
即數(shù)列的通項(xiàng)公式為：.
（2）由題意及（1）得，，在數(shù)列中，，所以.
假設(shè)數(shù)列中存在3項(xiàng)（其中成等差數(shù)列）成等比數(shù)列，則，
即，化簡得，
因?yàn)槌傻炔顢?shù)列，所以，所以，化簡得，
又，所以，即，所以，所以，這與題設(shè)矛盾，所以假設(shè)不成立，
所以在數(shù)列中不存在3項(xiàng)（其中成等差數(shù)列）成等比數(shù)列.
變式26．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，對任意的正整數(shù)，點(diǎn)均在函數(shù)圖象上.
(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；
(2)問中是否存在不同的三項(xiàng)能構(gòu)成等差數(shù)列？說明理由.
【解析】（1）證明：對任意的正整數(shù)，點(diǎn)均在函數(shù)圖象上，
可得，即，
又因?yàn)椋傻茫?br/>所以數(shù)列表示首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列.
（2）不存在.
理由：由（1）得，
當(dāng)時(shí)，可得，
又因?yàn)椋裕?br/>反證法：因?yàn)椋覐牡诙?xiàng)起數(shù)列嚴(yán)格單調(diào)遞增，
假設(shè)存在使得成等差數(shù)列，
可得，即，
兩邊同除以，可得
因?yàn)槭桥紨?shù)，是奇數(shù)，所以，
所以假設(shè)不成立，即不存在不同的三項(xiàng)能構(gòu)成等差數(shù)列.
變式27．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，．
(1)求通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，在數(shù)列中是否存在三項(xiàng)（其中）成等比數(shù)列？若存在，求出這三項(xiàng)；若不存在，說明理由．
【解析】（1）由題意，
在數(shù)列中，
，
兩式相減可得，，，
由條件，，故.
∴是以1為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列.
∴.
（2）由題意及（1）得，，
在數(shù)列中，，
在數(shù)列中，，
如果滿足條件的，，存在，
則，其中，
∴，
∵，
∴，解得：，
∵
∴，與已知矛盾，所以不存在滿足條件的三項(xiàng).
變式28．（2024·全國·高三專題練習(xí)）在①，，②，為的前n項(xiàng)和，這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，并解答下列問題．
已知數(shù)列滿足______．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)對大于1的正整數(shù)n，是否存在正整數(shù)m，使得，，成等比數(shù)列？若存在，求m的最小值；若不存在，請說明理由．
注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．
【解析】（1）選擇條件①：
由，，得是首項(xiàng)為4，公差為3的等差數(shù)列，
則，又，所以．
選擇條件②：
由，可得當(dāng)時(shí)，，
又當(dāng)時(shí)，不滿足上式，所以
（2）選擇條件①：
假設(shè)存在滿足題意的正整數(shù)m，使得，，成等比數(shù)列，
則有，即，
即
因?yàn)榍遥?br/>所以當(dāng)時(shí)，．
所以存在正整數(shù)m，使得，，成等比數(shù)列，m的最小值為8
選擇條件②：
假設(shè)存在滿足題意的正整數(shù)m，使得，，成等比數(shù)列，則有，
當(dāng)時(shí)，有，即，此時(shí)n無正整數(shù)解，
當(dāng)時(shí)，，即．
因?yàn)椋圆豢赡転檎麛?shù)，
所以不存在正整數(shù)m，使得，，成等比數(shù)列
變式29．（2024·安徽六安·六安一中校考模擬預(yù)測）設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)在數(shù)列中是否存在不同的三項(xiàng)構(gòu)成等差數(shù)列？請說明理由．
【解析】（1）設(shè)的公比為，
由，兩式相除并整理得，
解得或（舍去），即，，
所以．
（2）由（1）有，，所以，
假設(shè)存在三項(xiàng)構(gòu)成等差數(shù)列，
則有，即，
左右兩邊除以，，
等式左邊為偶數(shù)，右邊為奇數(shù)，該等式顯然無解，
所以在數(shù)列中不存在不同的三項(xiàng)構(gòu)成等差數(shù)列．
題型十：數(shù)列與函數(shù)的交匯問題
例73．（2022 龍泉驛區(qū)校級一模）已知定義在上的函數(shù)是奇函數(shù)且滿足，，數(shù)列是等差數(shù)列，若，，則　　
A． B． C．2 D．3
【解析】解：函數(shù)是奇函數(shù)且滿足，
有，
則，
即，
為周期為3的函數(shù)，
數(shù)列是等差數(shù)列，若，，
，，
，
（1）（3）（5），
，，（1），
（1）（3）（5），
（1）（3）（5）（1）（3），
故選：．
例74．（2022 日照模擬）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式，則　　
A．150 B．162 C．180 D．210
【解析】解：，
可得當(dāng)時(shí)，數(shù)列遞減，時(shí)，數(shù)列遞增，
可得
．
故選：．
例76．（2022秋 仁壽縣月考）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，，則下列結(jié)論中正確的是　　
A．， B．，
C．， D．，
【解析】解：由，
可得，，即，，從而可得等差數(shù)列的公差
，
把已知的兩式相加可得
整理可得
結(jié)合上面的判斷可知
所以，而
故選：．
題型十一：數(shù)列與導(dǎo)數(shù)的交匯問題
例79．（2022 全國模擬）函數(shù)，曲線在點(diǎn)，（1）處的切線在軸上的截距為．
（1）求；
（2）討論的單調(diào)性；
（3）設(shè)，，證明：．
【解析】解：（1）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，
曲線在點(diǎn)，（1）處的切線斜率為，
切點(diǎn)為，切線方程為，
代入可得，
解得；
（2），
，當(dāng)時(shí)，，
可得在遞增；
（3）要證，
只需證，
即為，
只要證，
由在遞減，，
若，，此時(shí)，
只要證，即為，
即，
此時(shí)，由（2）知；
若，，此時(shí)，
只要證，即為，
即，
此時(shí)，由（2）知；
若，不等式顯然成立．
綜上可得，成立，
則，
由，可得，
則成立．
例80．（2022 棗莊期末）已知函數(shù)，，曲線在點(diǎn)，（1）處的切線在軸上的截距為．
（1）求；
（2）討論函數(shù)和的單調(diào)性；
（3）設(shè)，，求證：．
【解析】解：（1）對求導(dǎo)，得．
因此．又因?yàn)椋?），
所以曲線在點(diǎn)，（1）處的切線方程為，
即．
由題意，．
顯然，適合上式．
令，
求導(dǎo)得，
因此（a）為增函數(shù)：故是唯一解．
（2）由（1）可知，，，
因?yàn)椋?br/>所以為減函數(shù)．
因?yàn)椋?br/>所以為增函數(shù)．
（3）證明：由，，易得
由（2）可知，在上為減函數(shù)．
因此，當(dāng)時(shí)，，即．
令，得，即．
因此，當(dāng)時(shí)，．
所以成立．
下面證明：．
方法一：由（2）可知，在上為增函數(shù)．
因此，當(dāng)時(shí)，，
即．
因此，
即．
令，得，
即．
當(dāng)時(shí)，．
因?yàn)椋?br/>所以，所以．
所以，當(dāng)時(shí)，．
所以，當(dāng)時(shí)，成立．
綜上所述，當(dāng)時(shí)，成立．
方法二：時(shí)，因?yàn)椋?br/>所以．
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：時(shí)，．
①當(dāng)時(shí)，．
而，
因?yàn)椋裕梢姡坏仁匠闪ⅲ?br/>②假設(shè)當(dāng)時(shí)不等式成立，即．
當(dāng)時(shí)，．
因?yàn)椋窃龊瘮?shù)，
所以．
要證，只需證明．
而，
因?yàn)椋裕裕?br/>可見，時(shí)不等式成立．
由①②可知，當(dāng)時(shí)，成立．
題型十二：數(shù)列與概率的交匯問題
例28．（2024·湖南長沙·長沙市明德中學(xué)校考三模）甲、乙兩選手進(jìn)行一場體育競技比賽，采用局勝制的比賽規(guī)則，即先贏下局比賽者最終獲勝. 已知每局比賽甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，比賽結(jié)束時(shí)，甲最終獲勝的概率為.
(1)若，結(jié)束比賽時(shí)，比賽的局?jǐn)?shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望；
(2)若采用5局3勝制比采用3局2勝制對甲更有利，即.
(i)求的取值范圍；
(ii)證明數(shù)列單調(diào)遞增，并根據(jù)你的理解說明該結(jié)論的實(shí)際含義.
【解析】（1），即采用3局2勝制，所有可能取值為，
，
的分布列如下表：
2 3
所以的數(shù)學(xué)期望為.
（2）采用3局2勝制：不妨設(shè)賽滿3局，用表示3局比賽中甲勝的局?jǐn)?shù)，則，甲最終獲勝的概率為：
，
采用5局3勝制：不妨設(shè)賽滿5局，用表示5局比賽中甲勝的局?jǐn)?shù)，則，甲最終獲勝的概率為：
，
，
得.
（ii）由（i）知.
局比賽中恰好甲贏了局的概率為，
局比賽中恰好甲贏了局的概率為，
則局比賽中甲至少贏局的概率為.
考慮局比賽的前局：
如果這局比賽甲至少贏局，則無論后面結(jié)果如何都勝利，其概率為，
如果這局比賽甲贏了局，則需要后兩場至少贏一局，其概率為，
如果這局比賽甲贏了局，則需要后兩場都贏，其概率為，
因此局里甲最終獲勝的概率為：，
因此，即數(shù)列單調(diào)遞增.
該結(jié)論的實(shí)際意義是：比賽局?jǐn)?shù)越多，對實(shí)力較強(qiáng)者越有利.
例29．（2024·全國·高三專題練習(xí)）馬爾可夫鏈?zhǔn)且蚨韲鴶?shù)學(xué)家安德烈·馬爾可夫得名，其過程具備“無記憶”的性質(zhì)，即第次狀態(tài)的概率分布只跟第次的狀態(tài)有關(guān)，與第次狀態(tài)是“沒有任何關(guān)系的”.現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)盒子，盒子中都有大小、形狀、質(zhì)地相同的2個(gè)紅球和1個(gè)黑球.從兩個(gè)盒子中各任取一個(gè)球交換，重復(fù)進(jìn)行次操作后，記甲盒子中黑球個(gè)數(shù)為，甲盒中恰有1個(gè)黑球的概率為，恰有2個(gè)黑球的概率為.
(1)求的分布列；
(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(3)求的期望.
【解析】（1）（1）由題可知，的可能取值為0，1，2.由相互獨(dú)立事件概率乘法公式可知：
;;，
故的分布列如下表：
0 1 2
（2）由全概率公式可知：
，
即：，
所以，
所以，
又，
所以，數(shù)列為以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，
所以，
即：.
（3）由全概率公式可得：
,
即：,
又,
所以,
所以,
又,
所以,
所以,
所以,
所以.
例30．（2024·全國·高三專題練習(xí)）雅禮中學(xué)是三湘名校，學(xué)校每年一屆的社團(tuán)節(jié)是雅禮很有特色的學(xué)生活動，幾十個(gè)社團(tuán)在一個(gè)月內(nèi)先后開展豐富多彩的社團(tuán)活動，充分體現(xiàn)了雅禮中學(xué)為學(xué)生終身發(fā)展奠基的育人理念.2022年雅禮文學(xué)社舉辦了詩詞大會，在選拔賽階段，共設(shè)兩輪比賽.第一輪是詩詞接龍，第二輪是飛花令.第一輪給每位選手提供5個(gè)詩詞接龍的題目，選手從中抽取2個(gè)題目，主持人說出詩詞的上句，若選手正確回答出下句可得10分，若不能正確回答出下可得0分.
(1)已知某位選手會5個(gè)詩詞接龍題目中的3個(gè)，求該選手在第一輪得分的數(shù)學(xué)期望；
(2)已知恰有甲 乙 丙 丁四個(gè)團(tuán)隊(duì)參加飛花令環(huán)節(jié)的比賽，每一次由四個(gè)團(tuán)隊(duì)中的一個(gè)回答問題，無論答題對錯(cuò)，該團(tuán)隊(duì)回答后由其他團(tuán)隊(duì)搶答下一問題，且其他團(tuán)體有相同的機(jī)會搶答下一問題.記第次回答的是甲的概率是，若.
①求和；
②證明：數(shù)列為等比數(shù)列，并比較第7次回答的是甲和第8次回答的是甲的可能性的大小.
【解析】（1）設(shè)該選手答對的題目個(gè)數(shù)為，該選手在第一輪的得分為，則，易知的所有可能取值為，
則，
，
，
故的分布列為
0 1 2
，則.
（2）①由題意可知，第一次是甲回答，第二次甲不回答，
，則.
②由第次回答的是甲的概率為，得當(dāng)時(shí)，第次回答的是甲的概率為，第次回答的不是甲的概率為，
則，即，又，
是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，則
，
第7次回答的是甲的可能性比第8次回答的是甲的可能性大..
變式30．（2024·山西朔州·高三懷仁市第一中學(xué)校校考階段練習(xí)）一對夫妻計(jì)劃進(jìn)行為期60天的自駕游．已知兩人均能駕駛車輛,且約定:①在任意一天的旅途中,全天只由其中一人駕車,另一人休息;②若前一天由丈夫駕車,則下一天繼續(xù)由丈夫駕車的概率為,由妻子駕車的概率為;③妻子不能連續(xù)兩天駕車．已知第一天夫妻雙方駕車的概率均為．
(1)在剛開始的三天中,妻子駕車天數(shù)的概率分布列和數(shù)學(xué)期望;
(2)設(shè)在第n天時(shí),由丈夫駕車的概率為,求數(shù)列的通項(xiàng)公式．
【解析】（1）解:設(shè)妻子駕車天數(shù)為,則的可能取值為:,
由題意可知:,
,
,
所以的分布列如下表所示:
0 1 2
所以;
（2）假設(shè)第天,丈夫駕車的概率為,則妻子駕車的概率為,
此時(shí)第n天時(shí),由丈夫駕車的概率為,
即,則有,
所以,因?yàn)?
所以是以為首項(xiàng),為公比的等比數(shù)列,
即,故.
變式31．（2024·全國·高三專題練習(xí)）某中學(xué)舉辦了詩詞大會選拔賽，共有兩輪比賽，第一輪是詩詞接龍，第二輪是飛花令．第一輪給每位選手提供5個(gè)詩詞接龍的題目，選手從中抽取2個(gè)題目，主持人說出詩詞的上句，若選手在10秒內(nèi)正確回答出下句可得10分，若不能在10秒內(nèi)正確回答出下句得0分．
(1)已知某位選手會5個(gè)詩詞接龍題目中的3個(gè)，求該選手在第一輪得分的數(shù)學(xué)期望；
(2)已知恰有甲、乙、丙、丁四個(gè)團(tuán)隊(duì)參加飛花令環(huán)節(jié)的比賽，每一次由四個(gè)團(tuán)隊(duì)中的一個(gè)回答問題，無論答題對錯(cuò)，該團(tuán)隊(duì)回答后由其他團(tuán)隊(duì)搶答下一問題，且其他團(tuán)隊(duì)有相同的機(jī)會搶答下一問題．記第n次回答的是甲的概率為，若．
①求P2，P3；
②證明：數(shù)列為等比數(shù)列，并比較第7次回答的是甲和第8次回答的是甲的可能性的大小．
【解析】（1）設(shè)該選手答對的題目個(gè)數(shù)為，該選手在第一輪的得分為，則，
易知的所有可能取值為0，1，2，
則，
，
，
故的分布列為
0 1 2
P
則，
所以．
（2）①由題意可知，第一次是甲回答，第二次甲不回答，∴，則．
②由第n次回答的是甲的概率為，得當(dāng)n≥2時(shí)，第次回答的是甲的概率為，第次回答的不是甲的概率為，
則，
即，
又，
∴是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，
則，
∴，
∴第7次回答的是甲的可能性比第8次回答的是甲的可能性大．
變式32．（2024·江蘇南通·江蘇省如皋中學(xué)校考模擬預(yù)測）某校為減輕暑假家長的負(fù)擔(dān)，開展暑期托管，每天下午開設(shè)一節(jié)投籃趣味比賽．比賽規(guī)則如下：在A，B兩個(gè)不同的地點(diǎn)投籃．先在A處投籃一次，投中得2分，沒投中得0分；再在B處投籃兩次，如果連續(xù)兩次投中得3分，僅投中一次得1分，兩次均沒有投中得0分．小明同學(xué)準(zhǔn)備參賽，他目前的水平是在A處投籃投中的概率為p，在B處投籃投中的概率為．假設(shè)小明同學(xué)每次投籃的結(jié)果相互獨(dú)立．
(1)若小明同學(xué)完成一次比賽，恰好投中2次的概率為，求p；
(2)若，記小明同學(xué)一次比賽結(jié)束時(shí)的得分為X，求X的分布列及數(shù)列期望．
【解析】（1）設(shè)小明在處投籃為事件，在處投籃分別為
已知小明同學(xué)恰好投中2次，分三種情況
中中不中；
中不中中；
不中中中；
其概率為：，解得：.
（2）由題意可得得分的可能取值分別為，，，，
；
；
；
；
.
綜上所述可得的分布列為
5 3 2 1 0
變式33．（2024·全國·高三專題練習(xí)）現(xiàn)有甲、乙、丙三個(gè)人相互傳接球，第一次從甲開始傳球，甲隨機(jī)地把球傳給乙、丙中的一人，接球后視為完成第一次傳接球；接球者進(jìn)行第二次傳球，隨機(jī)地傳給另外兩人中的一人，接球后視為完成第二次傳接球；依次類推，假設(shè)傳接球無失誤．
(1)設(shè)乙接到球的次數(shù)為，通過三次傳球，求的分布列與期望；
(2)設(shè)第次傳球后，甲接到球的概率為，
（i）試證明數(shù)列為等比數(shù)列；
（ii）解釋隨著傳球次數(shù)的增多，甲接到球的概率趨近于一個(gè)常數(shù)．
【解析】（1）由題意知的取值為，
； ；
；
所以X的分布列為
0 1 2
所以；
（2）（i）由題意：第一次傳球后，球落在乙或丙手中，則，
時(shí)，第次傳給甲的事件是第次傳球后，球不在甲手上并且第次必傳給甲的事件，
于是有 ，即 ，
故數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列;
（ii） ，所以 ，
當(dāng)時(shí)， ，所以當(dāng)傳球次數(shù)足夠多時(shí)，球落在甲手上的概率趨向于一個(gè)常數(shù).
題型十三：數(shù)列與幾何的交匯問題
例31．（多選題）（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知正四面體中，，，，…，在線段上，且，過點(diǎn)作平行于直線，的平面，截面面積為，則下列說法正確的是（ ）
A．
B．為遞減數(shù)列
C．存在常數(shù)，使為等差數(shù)列
D．設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，則時(shí)，
【答案】ABD
【解析】由題意得，
取中點(diǎn)，連接，因?yàn)榫鶠榈冗吶切危?br/>所以，
因?yàn)椋矫妫?br/>因?yàn)槠矫妫?br/>所以，
A選項(xiàng)，過點(diǎn)做交于點(diǎn)，過點(diǎn)做交于點(diǎn)，連接，則，
故四邊形為截面，且四邊形為矩形，
由相似知識可知，，
故，所以，A正確；
B選項(xiàng)，因?yàn)椋裕?br/>故，故為遞減數(shù)列，B正確；
C選項(xiàng)，，則，
不是常數(shù)，C錯(cuò)誤；
D選項(xiàng)，，
則，
令，解得，D正確.
故選：ABD
例32．（多選題）（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知三棱錐的棱長均為，其內(nèi)有個(gè)小球，球與三棱錐的四個(gè)面都相切，球與三棱錐的三個(gè)面和球都相切，如此類推，…，球與三棱錐的三個(gè)面和球都相切（，且），球的表面積為，體積為，則（ ）
A． B．
C．?dāng)?shù)列為等差數(shù)列 D．?dāng)?shù)列為等比數(shù)列
【答案】AD
【解析】由題意知三棱錐的內(nèi)切球的球心在高上，如圖1所示，
由正三角形中心的性質(zhì)可得：，則，
設(shè)球的半徑為，則利用等體積法：，
即，解得：，所以球的體積，故選項(xiàng)正確；
如圖2所示：易知，，.
設(shè)球與平面切于點(diǎn)，球的半徑為，連接，則，
所以，即，所以，
則，所以，如此類推，.
所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，
所以，
所以，則，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；
由可得，
所以數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；
由可得，
數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，故選項(xiàng)正確；
故選：.
例33．（多選題）（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列是等差數(shù)列，，，，是互不相同的正整數(shù)，且，若在平面直角坐標(biāo)系中有點(diǎn)，，，，則下列選項(xiàng)成立的有（ ）
A． B．
C．直線與直線的斜率相等 D．直線與直線的斜率不相等
【答案】ABC
【解析】由題設(shè)，且，又是等差數(shù)列，若公差為，
，又，
所以，A正確；
由，，
又，故，B正確；
由，，故直線與直線的斜率相等，C正確；
同理，，故直線與直線的斜率相等，D錯(cuò)誤.
故選：ABC
變式34．（多選題）（2024·重慶·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A為坐標(biāo)原點(diǎn)，，點(diǎn)列P在圓上，若對于，存在數(shù)列，，使得，則下列說法正確的是（ ）
A．為公差為2的等差數(shù)列 B．為公比為2的等比數(shù)列
C． D．前n項(xiàng)和
【答案】CD
【解析】對AB，由點(diǎn)列P在圓上，則由參數(shù)方程得，則，∴.
對于，存在數(shù)列，，使得，即①，②，
①②兩式相除得，
令，則，則為以首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列.
則，AB錯(cuò)；
對C，，C對；
對D，，
，
兩式相減得，
.
∴，D對.
故選：CD.
變式35．（多選題）（2024·廣東·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）若直線與圓相切，則下列說法正確的是（ ）
A． B．?dāng)?shù)列為等比數(shù)列
C．?dāng)?shù)列的前10項(xiàng)和為23 D．圓不可能經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)
【答案】AC
【解析】圓的圓心為，半徑，
由直線與圓相切得，，
∴，，
∴是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，
前10項(xiàng)和為；
令，解得，此時(shí)圓C經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn).
綜上所述，AC選項(xiàng)正確，BD選項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選：AC
變式36．（多選題）（2024·全國·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，是圓上兩個(gè)不同的動點(diǎn)，是的中點(diǎn)，且滿足．設(shè)到直線的距離之和的最大值為，則下列說法中正確的是（ ）
A．向量與向量所成角為
B．
C．
D．若，則數(shù)列的前n項(xiàng)和為
【答案】ACD
【解析】依題意，，而點(diǎn)是弦的中點(diǎn)，則，
，而，
于是得，，即，A正確；
顯然是頂角的等腰三角形，則，B不正確；
依題意，點(diǎn)到直線的距離之和等于點(diǎn)到直線距離的2倍，
由知，點(diǎn)在以原點(diǎn)O為圓心，為半徑的圓上，則點(diǎn)到直線距離的最大值是點(diǎn)O到直線的距離加上半徑，
而點(diǎn)O到直線距離，則點(diǎn)到直線距離的最大值是，因此，，C正確；
由得，，則，
因此，數(shù)列的前n項(xiàng)和，D正確.
故選：ACD
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