資源簡介

第39講 復數
知識梳理
知識點一、復數的概念
（1）叫虛數單位，滿足，當時，．
（2）形如的數叫復數，記作．
①復數與復平面上的點一一對應，叫z的實部，b叫z的虛部；Z點組成實軸；叫虛數；且，z叫純虛數，純虛數對應點組成虛軸（不包括原點）．兩個實部相等，虛部互為相反數的復數互為共軛復數．
②兩個復數相等（兩復數對應同一點）
③復數的模：復數的模，也就是向量的模，即有向線段的長度，其計算公式為，顯然，．
知識點二、復數的加、減、乘、除的運算法則
1、復數運算
（1）
（2）
其中，叫z的模；是的共軛復數．
（3）．
實數的全部運算律（加法和乘法的交換律、結合律、分配律及整數指數冪運算法則）都適用于復數．
注意：復數加、減法的幾何意義
以復數分別對應的向量為鄰邊作平行四邊形，對角線表示的向量就是復數所對應的向量．對應的向量是．
2、復數的幾何意義
（1）復數對應平面內的點；
（2）復數對應平面向量；
（3）復平面內實軸上的點表示實數，除原點外虛軸上的點表示虛數，各象限內的點都表示復數．
（4）復數的模表示復平面內的點到原點的距離．
3、復數的三角形式
（1）復數的三角表示式
一般地，任何一個復數都可以表示成形式，其中是復數的模；是以軸的非負半軸為始邊，向量所在射線（射線）為終邊的角，叫做復數的輻角．叫做復數的三角表示式，簡稱三角形式．
（2）輻角的主值
任何一個不為零的復數的輻角有無限多個值，且這些值相差的整數倍．規定在范圍內的輻角的值為輻角的主值．通常記作，即．復數的代數形式可以轉化為三角形式，三角形式也可以轉化為代數形式．
（3）三角形式下的兩個復數相等
兩個非零復數相等當且僅當它們的模與輻角的主值分別相等．
（4）復數三角形式的乘法運算
①兩個復數相乘，積的模等于各復數的模的積，積的輻角等于各復數的輻角的和，即
．
②復數乘法運算的三角表示的幾何意義
復數對應的向量為，把向量繞點按逆時針方向旋轉角（如果，就要把繞點按順時針方向旋轉角），再把它的模變為原來的倍，得到向量，表示的復數就是積．
（5）復數三角形式的除法運算
兩個復數相除，商的模等于被除數的模除以除數的模所得的商，商的輻角等于被除數的輻角減去除數的輻角所得的差，即．
必考題型全歸納
題型一：復數的概念
例1．（2024·河南安陽·統考三模）已知的實部與虛部互為相反數，則實數（ ）
A． B． C． D．
例2．（2024·浙江紹興·統考二模）已知復數滿足，其中為虛數單位，則的虛部為（ ）
A． B． C． D．
例3．（2024·海南海口·校聯考一模）若復數為純虛數，則實數的值為（ ）
A．2 B．2或 C． D．
例4．（多選題）（2024·河南安陽·安陽一中校考模擬預測）若復數，則（ ）
A． B．z的實部與虛部之差為3
C． D．z在復平面內對應的點位于第四象限
例5．（2024·遼寧·校聯考一模）若是純虛數，，則的實部為______.
【解題方法總結】
無論是復數模、共軛復數、復數相等或代數運算都要認清復數包括實部和虛部兩部分，所以在解決復數有關問題時要將復數的實部和虛部都認識清楚．
題型二：復數的運算
例6．（2024·黑龍江哈爾濱·哈師大附中統考三模）已知復數，則（ ）
A． B．1 C． D．
例7．（2024·河北衡水·模擬預測）若，則（ ）
A． B．
C． D．
例8．（2024·陜西榆林·高三綏德中學校考階段練習）已知復數z滿足，則（ ）
A． B． C． D．
例9．（2024·全國·模擬預測）已知復數滿足，則（ ）
A． B． C． D．
【解題方法總結】
設，則
（1）
（2）
（3）
題型三：復數的幾何意義
例10．（2024·河南鄭州·三模）復平面內，復數對應的點位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
例11．（2024·全國·高三專題練習）已知復數與在復平面內對應的點關于實軸對稱，則（ ）
A． B． C． D．
例12．（2024·湖北·校聯考三模）如圖，正方形OABC中，點A對應的復數是，則頂點B對應的復數是（ ）
A． B． C． D．
例13．（2024·全國·校聯考模擬預測）在復平面內，設復數，對應的點分別為，，則（ ）
A．2 B． C． D．1
【解題方法總結】
復數的幾何意義在于復數的實質是復平面上的點，其實部、虛部分別是該點的橫坐標、縱坐標，這是研究復數幾何意義的最重要的出發點．
題型四：復數的相等與共軛復數
例14．（2024·湖北·黃岡中學校聯考模擬預測）已知（是虛數單位）是關于的方程的一個根，則（ ）
A．9 B．1 C． D．
例15．（2024·貴州貴陽·統考模擬預測）已知，，，若，則（ ）
A．， B．，
C．， D．，
例16．（2024·四川宜賓·統考三模）已知復數，且，其中a是實數，則（ ）
A． B． C． D．
例17．（2024·湖北·模擬預測）已知復數滿足，則的共軛復數的虛部為（ ）
A．2 B． C．4 D．
例18．（2024·四川宜賓·統考三模）已知復數，且，其中a，b是實數，則（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【解題方法總結】
復數相等：
共軛復數：．
題型五：復數的模
例19．（2024·河南·統考二模）若，則_______．
例20．（2024·上海浦東新·統考三模）已知復數滿足，則__________．
例21．（2024·遼寧鐵嶺·校聯考模擬預測）設復數，滿足，，則=__________.
【解題方法總結】
題型六：復數的三角形式
例22．（2024·四川成都·成都七中統考模擬預測）1748年，瑞士數學家歐拉發現了復指數函數和三角函數的關系，并寫出以下公式（x∈R，i為虛數單位），這個公式在復變論中占有非常重要的地位，被譽為“數學中的天橋”．根據此公式，下面四個結果中不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
例23．（2024·全國·高三專題練習）任何一個復數都可以表示成的形式，通常稱之為復數的三角形式．法國數學家棣莫弗發現：，我們稱這個結論為棣莫弗定理．則（ ）
A．1 B． C． D．i
例24．（2024·河南·統考模擬預測）歐拉公式把自然對數的底數e、虛數單位i、三角函數聯系在一起，充分體現了數學的和諧美．若復數z滿足，則的虛部為（ ）
A． B． C．1 D．
例25．（2024·全國·高三專題練習）棣莫弗公式（其中i為虛數單位）是由法國數學家棣莫弗（1667-1754年）發現的，根據棣莫弗公式可知，復數在復平面內所對應的點位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解題方法總結】
一般地，任何一個復數都可以表示成形式，其中是復數的模；是以軸的非負半軸為始邊，向量所在射線（射線）為終邊的角，叫做復數的輻角．叫做復數的三角表示式，簡稱三角形式．
題型七：與復數有關的最值問題
例26．（2024·上海閔行·上海市七寶中學校考模擬預測）若，則的最大值與最小值的和為___________.
例27．（2024·陜西西安·西安中學校考模擬預測）在復平面內，已知復數滿足，為虛數單位，則的最大值為____________.
例28．（2024·全國·模擬預測）設是復數且，則的最小值為（ ）
A．1 B． C． D．
例29．（2024·重慶·統考二模）復平面內復數滿足，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
例30．（2024·全國·校聯考三模）已知復數滿足，則的最大值為（ ）
A． B． C．4 D．
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知識梳理
知識點一、復數的概念
（1）叫虛數單位，滿足，當時，．
（2）形如的數叫復數，記作．
①復數與復平面上的點一一對應，叫z的實部，b叫z的虛部；Z點組成實軸；叫虛數；且，z叫純虛數，純虛數對應點組成虛軸（不包括原點）．兩個實部相等，虛部互為相反數的復數互為共軛復數．
②兩個復數相等（兩復數對應同一點）
③復數的模：復數的模，也就是向量的模，即有向線段的長度，其計算公式為，顯然，．
知識點二、復數的加、減、乘、除的運算法則
1、復數運算
（1）
（2）
其中，叫z的模；是的共軛復數．
（3）．
實數的全部運算律（加法和乘法的交換律、結合律、分配律及整數指數冪運算法則）都適用于復數．
注意：復數加、減法的幾何意義
以復數分別對應的向量為鄰邊作平行四邊形，對角線表示的向量就是復數所對應的向量．對應的向量是．
2、復數的幾何意義
（1）復數對應平面內的點；
（2）復數對應平面向量；
（3）復平面內實軸上的點表示實數，除原點外虛軸上的點表示虛數，各象限內的點都表示復數．
（4）復數的模表示復平面內的點到原點的距離．
3、復數的三角形式
（1）復數的三角表示式
一般地，任何一個復數都可以表示成形式，其中是復數的模；是以軸的非負半軸為始邊，向量所在射線（射線）為終邊的角，叫做復數的輻角．叫做復數的三角表示式，簡稱三角形式．
（2）輻角的主值
任何一個不為零的復數的輻角有無限多個值，且這些值相差的整數倍．規定在范圍內的輻角的值為輻角的主值．通常記作，即．復數的代數形式可以轉化為三角形式，三角形式也可以轉化為代數形式．
（3）三角形式下的兩個復數相等
兩個非零復數相等當且僅當它們的模與輻角的主值分別相等．
（4）復數三角形式的乘法運算
①兩個復數相乘，積的模等于各復數的模的積，積的輻角等于各復數的輻角的和，即
．
②復數乘法運算的三角表示的幾何意義
復數對應的向量為，把向量繞點按逆時針方向旋轉角（如果，就要把繞點按順時針方向旋轉角），再把它的模變為原來的倍，得到向量，表示的復數就是積．
（5）復數三角形式的除法運算
兩個復數相除，商的模等于被除數的模除以除數的模所得的商，商的輻角等于被除數的輻角減去除數的輻角所得的差，即．
必考題型全歸納
題型一：復數的概念
例1．（2024·河南安陽·統考三模）已知的實部與虛部互為相反數，則實數（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由于,
的實部與虛部互為相反數，故，
故選：A
例2．（2024·浙江紹興·統考二模）已知復數滿足，其中為虛數單位，則的虛部為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因為，所以
所以的虛部為.
故選：A.
例3．（2024·海南海口·校聯考一模）若復數為純虛數，則實數的值為（ ）
A．2 B．2或 C． D．
【答案】C
【解析】因為復數為純虛數，則有，解得，
所以實數的值為.
故選：C
例4．（多選題）（2024·河南安陽·安陽一中校考模擬預測）若復數，則（ ）
A． B．z的實部與虛部之差為3
C． D．z在復平面內對應的點位于第四象限
【答案】ACD
【解析】∵，
∴z的實部與虛部分別為4，，
，A正確；
z的實部與虛部之差為5，B錯誤；
，C正確；
z在復平面內對應的點為，位于第四象限，D正確．
故選：ACD．
例5．（2024·遼寧·校聯考一模）若是純虛數，，則的實部為______.
【答案】1
【解析】是純虛數，且，則有，故，實部為1.
故答案為：1.
【解題方法總結】
無論是復數模、共軛復數、復數相等或代數運算都要認清復數包括實部和虛部兩部分，所以在解決復數有關問題時要將復數的實部和虛部都認識清楚．
題型二：復數的運算
例6．（2024·黑龍江哈爾濱·哈師大附中統考三模）已知復數，則（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】A
【解析】依題意，，則，
所以.
故選：A
例7．（2024·河北衡水·模擬預測）若，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由已知得，
故.
故選：B.
例8．（2024·陜西榆林·高三綏德中學校考階段練習）已知復數z滿足，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因為，
所以．
故選：A.
例9．（2024·全國·模擬預測）已知復數滿足，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解法一：由得，所以，故選．
解法二：由得，所以，即，
故選：．
【解題方法總結】
設，則
（1）
（2）
（3）
題型三：復數的幾何意義
例10．（2024·河南鄭州·三模）復平面內，復數對應的點位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【解析】由題得，即復平面內對應的點為，在第一象限.
故選：A．
例11．（2024·全國·高三專題練習）已知復數與在復平面內對應的點關于實軸對稱，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因為復數與在復平面內對應的點關于實軸對稱，所以，
所以．
故選：B．
例12．（2024·湖北·校聯考三模）如圖，正方形OABC中，點A對應的復數是，則頂點B對應的復數是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由題意得：,不妨設C點對應的復數為，則,
由，得，
即C點對應的復數為，
由得：B點對應復數為.
故選：A．
例13．（2024·全國·校聯考模擬預測）在復平面內，設復數，對應的點分別為，，則（ ）
A．2 B． C． D．1
【答案】C
【解析】由題意，知，，所以，所以．
故選：C.
【解題方法總結】
復數的幾何意義在于復數的實質是復平面上的點，其實部、虛部分別是該點的橫坐標、縱坐標，這是研究復數幾何意義的最重要的出發點．
題型四：復數的相等與共軛復數
例14．（2024·湖北·黃岡中學校聯考模擬預測）已知（是虛數單位）是關于的方程的一個根，則（ ）
A．9 B．1 C． D．
【答案】B
【解析】已知（是虛數單位）是關于的方程的一個根，
則，即，即，
解得，故.
故選：．
例15．（2024·貴州貴陽·統考模擬預測）已知，，，若，則（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【解析】由已知可得，，，
所以，
所以有，解得或.
故選：C.
例16．（2024·四川宜賓·統考三模）已知復數，且，其中a是實數，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因為，所以，
所以，
所以，解得.
故選:B.
例17．（2024·湖北·模擬預測）已知復數滿足，則的共軛復數的虛部為（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】B
【解析】設，則，
則，即，
所以，解得，
所以，
所以的共軛復數的虛部為.
故選：B.
例18．（2024·四川宜賓·統考三模）已知復數，且，其中a，b是實數，則（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【解析】因為，所以，則由得：
，即，
故，解得：.
故選：B.
【解題方法總結】
復數相等：
共軛復數：．
題型五：復數的模
例19．（2024·河南·統考二模）若，則_______．
【答案】
【解析】由可得，
故，則，
故答案為：
例20．（2024·上海浦東新·統考三模）已知復數滿足，則__________．
【答案】
【解析】設，則，
所以，解得，
當時，，故，
；
當時，，故，
故答案為：-8
例21．（2024·遼寧鐵嶺·校聯考模擬預測）設復數，滿足，，則=__________.
【答案】
【解析】方法一：設，，
，
，又，所以，，
.
故答案為：.
方法二：如圖所示，設復數所對應的點為,,
由已知,
∴平行四邊形為菱形，且都是正三角形，∴，
∴.
【解題方法總結】
題型六：復數的三角形式
例22．（2024·四川成都·成都七中統考模擬預測）1748年，瑞士數學家歐拉發現了復指數函數和三角函數的關系，并寫出以下公式（x∈R，i為虛數單位），這個公式在復變論中占有非常重要的地位，被譽為“數學中的天橋”．根據此公式，下面四個結果中不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】對于A，當時，因為，所以，故選項A正確；
對于B，，
故選項B正確；
對于C，由，，
所以,得出，故選項C正確；
對于D，由C的分析得，推不出，故選項D錯誤．
故選：D．
例23．（2024·全國·高三專題練習）任何一個復數都可以表示成的形式，通常稱之為復數的三角形式．法國數學家棣莫弗發現：，我們稱這個結論為棣莫弗定理．則（ ）
A．1 B． C． D．i
【答案】B
【解析】，
；
故選：B．
例24．（2024·河南·統考模擬預測）歐拉公式把自然對數的底數e、虛數單位i、三角函數聯系在一起，充分體現了數學的和諧美．若復數z滿足，則的虛部為（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【解析】由歐拉公式知：
，，
，
的虛部為．
故選：B
例25．（2024·全國·高三專題練習）棣莫弗公式（其中i為虛數單位）是由法國數學家棣莫弗（1667-1754年）發現的，根據棣莫弗公式可知，復數在復平面內所對應的點位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【解析】由棣莫弗公式知，
，
復數在復平面內所對應的點的坐標為，位于第三象限．
故選：C．
【解題方法總結】
一般地，任何一個復數都可以表示成形式，其中是復數的模；是以軸的非負半軸為始邊，向量所在射線（射線）為終邊的角，叫做復數的輻角．叫做復數的三角表示式，簡稱三角形式．
題型七：與復數有關的最值問題
例26．（2024·上海閔行·上海市七寶中學校考模擬預測）若，則的最大值與最小值的和為___________.
【答案】
【解析】由幾何意義可得：復數表示以（）為圓心的半徑為1的圓，
則.
故答案為：
例27．（2024·陜西西安·西安中學校考模擬預測）在復平面內，已知復數滿足，為虛數單位，則的最大值為____________.
【答案】6
【解析】令且，則，即復數對應點在原點為圓心，半徑為1的圓上，
而，即點到定點距離的最大值，
所以的最大值為.
故答案為：
例28．（2024·全國·模擬預測）設是復數且，則的最小值為（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【解析】根據復數模的幾何意義可知，表示復平面內以為圓心，1為半徑的圓，而表示復數到原點的距離，
由圖可知，.
故選：C
例29．（2024·重慶·統考二模）復平面內復數滿足，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因為，
所以點是以，為焦點，半實軸長為1的雙曲線，則，
所以點的軌跡方程為，
設，
所以，當且僅當時取等號，
所以的最小值為．
故選：B．
例30．（2024·全國·校聯考三模）已知復數滿足，則的最大值為（ ）
A． B． C．4 D．
【答案】B
【解析】因為，所以，所以，所以的最大值為．
故選：B
【解題方法總結】
利用幾何意義進行轉化
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