資源簡介

第42講 等比數列及其前n項和
知識梳理
知識點一．等比數列的有關概念
（1）定義：如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一常數（不為零），那么這個數列就叫做等比數列．這個常數叫做等比數列的公比，通常用字母表示，定義的表達式為．
（2）等比中項：如果，，成等比數列，那么叫做與的等比中項．
即是與的等比中項 ，，成等比數列 ．
知識點二．等比數列的有關公式
（1）等比數列的通項公式
設等比數列的首項為，公比為，則它的通項公式．
推廣形式：
（2）等比數列的前n項和公式
等比數列的公比為，其前項和為
注①等比數列的前項和公式有兩種形式，在求等比數列的前項和時，首先要判斷公比是否為1，再由的情況選擇相應的求和公式，當不能判斷公比是否為1時，要分與兩種情況討論求解．
②已知（項數），則利用求解；已知，則利用求解．
③，為關于的指數型函數，且系數與常數互為相反數．
知識點三．等比數列的性質
（1）等比中項的推廣．
若時，則，特別地，當時，．
（2）①設為等比數列，則（為非零常數），，仍為等比數列．
②設與為等比數列，則也為等比數列．
（3）等比數列的單調性（等比數列的單調性由首項與公比決定）．
當或時，為遞增數列；
當或時，為遞減數列．
（4）其他衍生等比數列．
若已知等比數列，公比為，前項和為，則：
①等間距抽取
為等比數列，公比為．
②等長度截取
為等比數列，公比為（當時，不為偶數）．
【解題方法總結】
（1）若，則．
（2）若，（項數相同）是等比數列，則，，，，仍是等比數列．
（3）在等比數列中，等距離取出若干項也構成一個等比數列，即為
等比數列，公比為．
（4）公比不為－1的等比數列的前項和為，則，，仍成等比數列，其公比為．
（5）為等比數列，若，則成等比數列．
（6）當，時，是成等比數列的充要條件，此時．
（7）有窮等比數列中，與首末兩項等距離的兩項的積相等．特別地，若項數為奇數時，還等于中間
項的平方．
（8）若為正項等比數列，則為等差數列．
（9）若為等差數列，則為等比數列．
（10）若既是等差數列又是等比數列是非零常數列．
必考題型全歸納
題型一：等比數列的基本運算
例1．（2024·北京·高三匯文中學校考階段練習）在等比數列中，，，則等于（ ）
A．9 B．72 C．9或70 D．9或
【答案】D
【解析】由題意，，
在等比數列中，，，
設公比為，
，即，解得或，
∴，
當時，，
當時，.
故選：D.
例2．（2024·全國·高三專題練習）已知遞增的等比數列中，前3項的和為7，前3項的積為8，則的值為（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】D
【解析】由前3項的和為7，得
前3項的積為8，得，即，
則，代入，得，即，解得或，
因為為遞增的等比數列，
所以，則，
所以，
故選：D．
例3．（2024·浙江溫州·樂清市知臨中學校考模擬預測）已知等比數列的前n項和為，公比為q，且，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因為，
所以，
所以，
所以，
解得，A錯誤，C錯誤，D正確，
所以， B錯誤；
故選：D.
變式1．（2024·四川遂寧·射洪中學校考模擬預測）在等比數列中，若，，則公比q應為（ ）
A． B． C． D．－2
【答案】D
【解析】因為，解得q＝－2.
故選：D
變式2．（2024·全國·高三專題練習）設等比數列的各項均為正數，前n項和，若，，則（ ）
A． B． C．15 D．40
【答案】C
【解析】由題知,
即,即,即.
由題知,所以.
所以.
故選:C.
變式3．（2024·全國·高三對口高考）已知數列是等比數列，，則該數列的以及依次為（ ）
A．682， B．， C．682，或 D．，或
【答案】C
【解析】根據題意，得，
解方程得，或，
，或.
故選：C
變式4．（2024·江西撫州·統考模擬預測）已知正項等比數列{}的前n項和為，若，則=（ ）
A．64 B．81 C．128 D．192
【答案】B
【解析】由等比數列的性質可知，所以，
由，得，所以，解得或（舍去），
所以.
故選：B.
變式5．（2024·江西·校聯考模擬預測）已知等比數列的前4項和為，，則（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】A
【解析】設等比數列的公比為，若，則，與題意矛盾；
所以，則，解得，
所以．
故選：A．
【解題方法總結】
等比數列基本量運算的解題策略
（1）等比數列基本量的運算是等比數列中的一類基本問題，等比數列中有五個量，，，，，
一般可以“知三求二”，通過列方程（組）便可迎刃而解．
（2）等比數列的前項和公式涉及對公比的分類討論：
當時，；當時，．
題型二：等比數列的判定與證明
例4．（2024·全國·高三專題練習）甲、乙兩個容器中分別盛有濃度為10％，20％的某種溶液500ml，同時從甲、乙兩個容器中取出100ml溶液，將其倒入對方的容器并攪勻，這稱為一次調和．記，，經次調和后，甲、乙兩個容器的溶液濃度分別為，．
(1)試用，表示，．
(2)證明：數列是等比數列，并求出，的通項．
【解析】（1）由題意，經次調和后甲、乙兩個容器中的溶液濃度分別為，
所以，．
（2）由（1）知，，，
可得，
所以數列是等比數列，
因為％，所以 ①，
又因為 ②．
聯立①②得，．
例5．（2024·全國·高三專題練習）已知數列滿足，，其中為的前n項和．證明：
(1)是等比數列．
(2)．
【解析】（1）∵，∴，
兩式相減得：，即．
∴．
當時，，即
又∵，∴是以為首項，為公比的等比數列．
（2）由（1）得，所以
令，
則．
不等式左邊的前2n項和．
又，∴原不等式得證．
例6．（2024·安徽亳州·蒙城第一中學校聯考模擬預測）甲、乙、丙三個小學生相互拋沙包，第一次由甲拋出，每次拋出時，拋沙包者等可能的將沙包拋給另外兩個人中的任何一個，設第（）次拋沙包后沙包在甲手中的方法數為，在丙手中的方法數為.
(1)求證：數列為等比數列，并求出的通項；
(2)求證：當n為偶數時，.
【解析】（1）由題意知：第n次拋沙包后的拋沙包方法數為，
第次拋沙包后沙包在甲手中的方法數為，若第n次拋沙包后沙包在甲手中，則第次拋沙包后，沙包不可能在甲手里，只有第n次拋沙包后沙包在乙或丙手中，
故，且
故，
，
所以數列為等比數列，
由，得，
，
，
，
……………，
以上各式相加，
可得；
（2）由題意知：第n次拋沙包后沙包在乙、丙手中的情況數相等均為，
則，
∵當n為偶數時，，
∴.
變式6．（2024·廣東東莞·校考三模）已知數列和，，，.
(1)求證數列是等比數列；
(2)求數列的前項和.
【解析】（1）由，，得，
整理得，而，
所以數列是以為首項，公比為的等比數列
（2）由（1）知，∴，
∴，
設，則，
兩式相減得，
從而
∴.
變式7．（2024·全國·高三專題練習）設數列的首項，且，
記.
(1)求；
(2)判斷數列是否為等比數列，并證明你的結論；
(3)求.
【解析】（1）由題意可知：
（2）由，
而，
若，則，顯然不能是等比數列，
若，則是以為首項，為公比的等比數列.
（3）由（2）可知，若，則為常數列，各項均為0，故；
若，則是以為首項，為公比的等比數列，
則由等比數列的求和公式得：=.
變式8．（2024·全國·高三專題練習）已知數列、滿足，，，，且，.
(1)求證：是等比數列；
(2)若是遞增數列，求實數的取值范圍.
【解析】（1）由題可知：，，
故可得，又，∴，
∴，所以是首項為1，公比為的等比數列.
（2）方法一：
∵是遞增數列，
∴對任意恒成立，
∵，∴
則對任意恒成立，
即對任意恒成立，
由（1）知，
∴對任意恒成立，
因為當時取得最大值，且最大值為1，
所以，即實數的取值范圍為.
方法二：
得
即，又，
故數列為首項，公差的等差數列，
所以，
又由（1）知，所以，
因為是遞增數列，所以對任意恒成立.
所以，
所以，所以，
因為當時取得最大值，且最大值為1，
所以，即實數的取值范圍為.
變式9．（2024·全國·高三專題練習）數列的前和滿足 ，
(1)求的值及與的關系；
(2)求證：是等比數列，并求出的通項公式.
【解析】（1）因為，
所以，又，
所以，故
當時，，
得；
（2）由（1）知，
則有，
由于，故，
所以，
所以數列是以2為首項，2為公比的等比數列，
所以，
所以.
變式10．（2024·云南·校聯考三模）已知數列有遞推關系，，記，若數列的遞推式形如（且），也即分子中不再含有常數項.
(1)求實數的值；
(2)證明：為等比數列，并求其首項和公比.
【解析】（1）因為，所以，
，
由已知得，
所以，解得或，
因為，所以.
（2）由（1）知，，
，，
，，
因為，
所以數列為等比數列，首項為，公比為.
變式11．（2024·福建廈門·統考模擬預測）已知數列滿足．
(1)證明是等比數列；
(2)若，求的前項和．
【解析】（1）由題意得．
又因為，所以．
所以是以為首項，為公比的等比數列.
（2）由（1）得．
所以．
所以
.
變式12．（2024·山東濰坊·三模）已知數列和滿足．
(1)證明：和都是等比數列；
(2)求的前項和．
【解析】（1）因為，，
所以，，
又由，得，，
所以數列是首項為，公比為的等比數列，
數列是首項為，公比為的等比數列．
（2）由（1）得，，
所以，，
所以，
所以．
【解題方法總結】
等比數列的判定方法
定義法 若（為非零常數，或（為非零常數且，），則是等比數列
中項公式法 若數列中，且，則是等比數列
通項公式法 若數列的通項公式可寫成（均為非零常數，），則是等比數列
前項和公式法 若數列的前項和（為非零常數，），則是等比數列
題型三：等比數列項的性質應用
例7．（2024·全國·高三對口高考）已知等比數列的前n項和為，則__________.
【答案】
【解析】由題意可得，，
，故有.
故答案為：
例8．（2024·山東泰安·統考二模）若m，n是函數的兩個不同零點，且m，n，這三個數可適當排序后成等差數列，也可適當排序后成等比數列，則__________.
【答案】
【解析】由題可得，
則成等比數列，得.
又不妨設，則成等差數列，得.
結合，可得，解得或（舍去），即.
故答案為：
例9．（2024·全國·高三專題練習）已知數列中，，，且、是函數的兩個零點，則___________.
【答案】
【解析】因為在數列中，，，則，所以，，
所以，數列為等比數列，且該數列的首項為，公比為，
因為、是函數的兩個零點，
由韋達定理可得，
因為，可得，所以，，
由等比中項的性質可得，因此，.
故答案為：.
變式13．（2024·高三課時練習）已知等比數列的公比，該數列前9項的乘積為1，則______．
【答案】16
【解析】由題意得：，
故，故，
所以.
故答案為：16
變式14．（2024·江西·校聯考二模）在正項等比數列中，與是方程 的兩個根，則_________ .
【答案】5
【解析】因為與是方程 的兩個根，所以，
因為為正項等比數列，所以，
所以，
故答案為：5.
變式15．（2024·全國·高三專題練習）等比數列中，，，則公比q的值為_____________.
【答案】或
【解析】∵，，
∴是方程的兩根，
∴或，
∵，
∴或，
∴或
故答案為：或
變式16．（2024·全國·高三專題練習）在和之間插入三個數，使這五個數組成正項等比數列，則中間三個數的積等于_____________.
【答案】27
【解析】依題意，，所以，所以或（舍去），
所以.
故答案為：
變式17．（2024·四川成都·高三四川省成都市玉林中學校考階段練習）若數列是等比數列，且，則__________．
【答案】4
【解析】根據等比數列的性質，有，
則，解得，
所以．
故答案為：4．
變式18．（2024·全國·高三專題練習）已知正項數列是公比不等于1的等比數列，且，若，則__________.
【答案】
【解析】由題意可知，，所以；
由等比數列性質可得；
又因為函數，所以，
即，所以；
令，則；
所以，
即.
故答案為：
變式19．（2024·四川成都·統考二模）已知等比數列的首項為，且，則__________.
【答案】
【解析】設等比數列的公比為，因為，根據等比數列的通項公式的計算得到：，所以.由等比數列的性質得到：.
故答案為128.
變式20．（2024·重慶·高三階段練習）在等比數列中，，則______________．
【答案】240
【解析】因為，
所以，
所以；
.
故填240.
【解題方法總結】
（1）在解決等比數列的有關問題時，要注意挖掘隱含條件、利用性質，特別是性質“若，則．”，可以減少運算量，提高解題速度．
（2）在應用相應性質解題時，要注意性質成立的前提條件，有時需要進行適當變形．此外，解題時注意設而不求思想的運用．
題型四：等比數列前n項和的性質
例10．（2024·全國·高三對口高考）已知數列為等比數列，為其前n項和.若，，則的值為__________.
【答案】40
【解析】因為，，所以，，
則等比數列的公比，
所以，，也是等比數列，
所以，，也是等比數列，
所以，即，
解得或，
又，所以.
故答案為：40.
例11．（2024·河北滄州·統考模擬預測）已知等比數列的前項和為，若，，則______.
【答案】510
【解析】因為數列為等比數列，由等比數列的性質知，
，，，…，，…構成首項為，公比為的等比數列，且是該等比數列的前8項和，
所以.
故答案為：510.
例12．（2024·高三課時練習）已知是正項等比數列的前n項和，，則的最小值為______．
【答案】
【解析】設公比為.
當時，，則，此時有；
當時，
因為，，，
所以，，
所以，，
所以，
當時，有最小值為.
綜上所述，的最小值為.
故答案為：.
變式21．（2024·全國·高三專題練習）已知數列是等比數列，是其前項和，且，，則______.
【答案】600
【解析】設等比數列的公比為
因為等比數列的前n項和為，所以，，，成等比數列，
因為，，所以，
解得或，因為，
所以，則，
由，，成等比數列，
可得即，解得，
故答案為：600
變式22．（2024·全國·高三專題練習）設正項等比數列的前項和為，若，則的值為______.
【答案】91
【解析】方法一：等比數列中，，，成等比數列，
則，，成等比數列，∴，∴，
∴.
方法二：設公比為，由題意顯然且,所以，
∴，
故答案為：.
變式23．（2024·全國·高三專題練習）設正項等比數列的前項和為，且，則公比__________.
【答案】/
【解析】由，得.
又正項等比數列的前項和為，故，
∴，
∵數列{an}是等比數列，
∴
故，解得：
因為等比數列{an}為正項數列，所以，故
故答案為：
變式24．（2024·重慶·高三統考階段練習）已知等比數列的前項和為，，，則___________.
【答案】/
【解析】設等比數列的公比為q，由，
得，
故，
所以.
故答案為：.
變式25．（2024·全國·高三專題練習）已知正項等比數列的前項和為，若，，則，的等差中項為__________.
【答案】/
【解析】設，因為為等比數列，所以，，成等比數列.
因為，，所以，解得或（舍去）.
所以，的等差中項為.
故答案為：.
變式26．（2024·江西南昌·南昌十中校考模擬預測）已知等比數列的前項和為，若，，則的值為_______
【答案】
【解析】設等比數列的公比為.
若，當為偶數時，，不合乎題意，所以，，
由等比數列片段和的性質可知，、、、成等比數列，
且公比為，所以，，，
因此，.
故答案為：.
【解題方法總結】
（1）等比數列中，所有奇數項之和與所有偶數項之和具有的性質，設公比為．
①若共有項，則；②若共有項，．
（2）等比數列中，表示它的前項和．當時，有也成等比數列，公比為．
題型五：求數列的通項
例13．（2024·廣西玉林·統考三模）記數列的前n項和為，已知向量，，若，且，則通項為________．
【答案】
【解析】∵，∴，
當時，，得，
當時，，，
兩式作差得：，即，
所以是以為公比，1為首項的等比數列，
則，
又不符合上式，所以.
故答案為：.
例14．（2024·內蒙古包頭·高三統考期末）已知數列和滿足，，，.則數列的通項______.
【答案】
【解析】，，
又，
所以數列是以3為首項，2為公比的等比數列
故答案為：
例15．（2024·上海浦東新·高三校考開學考試）設冪函數，數列滿足：，且（），則數列的通項__．
【答案】
【解析】∵，∴，
∵，∴數列各項均為正數，且各項均不為，
∴，
∴數列各項均不為，∴，
∴，
∴數列是首項為，公比為的等比數列，
∴，
∴.
故答案為：.
變式27．（2024·江蘇·高三專題練習）寫出一個滿足前5項的和為31，且遞減的等比數列的通項___________．
【答案】（答案不唯一）
【解析】不妨設，依題意數列是遞減的等比數列，所以，
又，所以取公比，所以，滿足題意，所以.
故答案為：（答案不唯一）.
變式28．（2024·山西太原·統考模擬預測）已知數列的前項和為且滿足，則數列的通項_______．
【答案】
【解析】先求得時；再由可得時,兩式作差可得,進而求解.當時,,解得；
由,可知當時,,兩式相減,得,即,
所以數列是首項為,公比為的等比數列,
所以,
故答案為:
變式29．（2024·上海·高三專題練習）數列的前項和為，則數列的通項___________．
【答案】
【解析】當時，，兩式相減得，所以當時，是以為首項，公比為的等比數列，所以，不滿足上式，所以.
考點：數列已知求.
【思路點晴】已知求是一種非常常見的題型，這些題都是由與前項和的關系來求數列的通項公式，可由數列的通項與前項和的關系是，注意：當時，若適合，則的情況可并入時的通項；當時，若不適合，則用分段函數的形式表示．
變式30．（2024·內蒙古包頭·高三統考期中）已知數列{}的通項與前n項和之間滿足關系則=__________
【答案】
【解析】當時，，所以；
當時，
整理得，即是以為公比的等比數列，
所以，當n=1時也符合，
故答案為：
變式31．（2024·上海·高三專題練習）數列的通項的通項，由與中公共項，并按原順序組成一個新的數列，求的前項和.
【解析】設，即.，即為奇數，，∴．
【解題方法總結】
（1）等比數列的通項公式
設等比數列的首項為，公比為，則它的通項公式．
推廣形式：
（2）等比數列的前n項和公式
等比數列的公比為，其前項和為
題型六：奇偶項求和問題的討論
例16．（2024·湖南長沙·長郡中學校聯考模擬預測）已知數列滿足，且
(1)設，求數列的通項公式；
(2)設數列的前n項和為，求使得不等式成立的n的最小值．
【解析】（1）因為
所以，，，所以．
又因為，所以，所以．
因為，所以，
又因為，所以，所以，所以，
即，
所以，
又因為，所以，所以，
所以數列是以2為首項，2為公比的等比數列，
所以，即．
（2）由（1）可知，所以，
所以，
又因為，所以，
即，所以，
所以，
因為，
，
所以是一個增數列，
因為，，
所以滿足題意的n的最小值是20．
例17．（2024·河北·模擬預測）已知數列滿足，
(1)記，證明：數列為等比數列；
(2)記，求數列的前項和．
【解析】（1）由題意可得：，且，
則，
所以數列是以首項，公比的等比數列.
（2）由（1）可知：，即，
可得：
，
所以，
即，則，
可得，
則，
兩式相減得：，
所以.
例18．（2024·山東濟寧·統考二模）已知數列的前項和為，且．
(1)求數列的通項公式;
(2)若，求數列的前項和．
【解析】（1）由，得
所以數列為等差數列．所以，得．
所以公差．所以．
（2）當為奇數時，．當為偶數時．
所以
變式32．（2024·天津南開·統考二模）設為等比數列，為公差不為零的等差數列，且，，.
(1)求和的通項公式；
(2)記的前項和為，的前項和為，證明：；
(3)記，求.
【解析】（1）設等比數列的公比為，等差數列的公差為，
依題意，，即，解得.
所以.
因為，，所以，從而.
（2）由（1）知，，所以.
因為，
所以.
（3）
因為，
所以
．
變式33．（2024·湖南邵陽·統考三模）記為等差數列{}的前n項和，已知，數列{}滿足.
(1)求數列{}與數列{}的通項公式；
(2)數列{}滿足，n為偶數，求{}前2n項和.
【解析】（1）設等差數列的公差為d，
，即，，.
，①
，②
所以①-②得，，
.當時，，符合.
.
（2），依題有：
.
記，則.
記，
則
.
所以.
變式34．（2024·全國·高三專題練習）已知各項為正數的等比數列滿足.
(1)求數列的通項公式；
(2)設，，求數列的前2n項和.
【解析】（1）設首項為，公比為q.
因，則.
又各項為正數，則，故；
（2）由（1）及題意可得，；
當為奇數時，；
則當為偶數時，.
.
變式35．（2024·湖南長沙·長沙市實驗中學校考三模）已知數列滿足：，且對任意的，
(1)求，的值，并證明數列是等比數列；
(2)設，求數列的前項和.
【解析】（1），.
由題意得，
又，所以數列是等比數列.
（2）由（1）知.
運用分組求和，可得
.
變式36．（2024·全國·高三專題練習）已知數列滿足，，記，求數列的通項公式．
【解析】因為數列滿足，，則，
因為，所以，，
所以，數列是首項為，公比為的等比數列，
所以，，
因為，
所以，.
所以，當為偶數時，設，則，所以，；
當為奇數時，設，則，
此時，.
綜上所述，.
【解題方法總結】
求解等比數列的前項和，要準確地記住求和公式，并合理選取公式，尤其是要注意其項數的值；對于奇偶項通項不統一問題要注意分類討論．主要是從為奇數、偶數進行分類．
題型七：等差數列與等比數列的綜合應用
例19．（2024·全國·高三專題練習）已知數列為等差數列，，，前項和為，數列滿足，求證：
(1)數列為等差數列；
(2)數列中任意三項均不能構成等比數列.
【解析】（1）因為數列為等差數列，，，
所以數列的公差為，，
則，又，
，故數列為等差數列.
（2）證明：假設數列中存在不同三項構成等比數列，
不妨設、、（、、均不相等）成等比數列，即，
由數列的通項公式可得，
將此式展開可得，
所以有，即，
所以，，所以，，
化簡整理得，，與假設矛盾，
故數列中任意三項均不能構成等比數列.
例20．（2024·遼寧錦州·高三渤海大學附屬高級中學校考期末）在等差數列中，．
(1)求等差數列的通項公式；
(2)設數列是首項為1，公比為2的等比數列，求數列的前項和．
【解析】（1）設等差數列的公差為，
由題知，則，解得
．
（2）設數列的通項公式為，
則，
，
則
．
例21．（2024·全國·高三專題練習）已知為等差數列的前項和，且，___________.在①，，成等比數列，②，③數列為等差數列，這三個條件中任選一個填入橫線，使得條件完整，并解答：
(1)求；
(2)若，求數列的前項和.
注：如果選擇多個條件分別解答，則按第一個解答計分.
【解析】（1）設等差數列的公差為
選擇①：由題意得，
故，解得，
所以.
選擇②：由題意得，即
解得，
所以.
選擇③：由題意得，
故，解得，
所以.
（2）由當為奇數時，，得數列的前項中奇數項的和為
，
由當為偶數時，，
得數列的前項中偶數項的和為
，
故.
變式37．（2024·四川資陽·統考一模）已知等比數列的前項和為，且，，（其中）成等差數列．問：，，是否成等差數列？并說明理由．
【解析】，，成等差數列.
理由如下：設等比數列的公比為q，
由于，，（其中）成等差數列，
所以，
若，則有，，顯然不成立，故公比．
于是有，
即有，即，故有．
則
，即，成立，
所以，，成等差數列.
變式38．（2024·江蘇·高考真題）已知是等差數列，是公比為q的等比數列，，，記為數列的前n項和.
(1)若（m，k是大于2正整數），求證：；
(2)若（i是某一正整數），求證：q是整數，且數列中每一項都是數列中的項；
(3)是否存在這樣的正數q，使等比數列中有三項成等差數列？若存在，寫出一個q的值，并加以說明；若不存在，請說明理由.
【解析】（1）設數列的公差為，由，可得，；
因為，故，，
故.
（2），由可得，
解得或，但，故，因為為正整數，故是整數；
設數列中任意一項為，只要證明數列中存在某一項，
使得即可，即方程關于有正整數解即可.
則，，
也即，
若，則，那么，；
若，則（舍）；
若，則（舍）；
若，則為正整數，又因為，故只要考慮時的情況，此時是正整數.
數列中任意一項與數列中的第項相等，故結論成立.
（3）設數列中有三項成等差數列，
則有，設，則，
令，則，，因為，故（舍去負根），
故存在使得中有三項成等差數列.
變式39．（2024·河南開封·高三校考階段練習）公差不為0的等差數列中，，且成等比數列.
(1)求數列的通項公式；
(2)若為等差數列的前項和，求使成立的的最大值.
【解析】（1）因為，所以，
設等差數列的公差為，
由，則，解得，
所以.
（2）由可得，
由 得
又，所以的最大值為13.
變式40．（2024·全國·高三專題練習）已知是遞增的等比數列，且，．
(1)求數列的通項公式；
(2)在與之間插入個數，使這個數組成一個公差為的等差數列，在數列中是否存在項（其中成等差數列）成等比數列.若存在，求出這樣的項；若不存在，請說明理由．
【解析】（1）設等比數列的公比為，
是遞增的等比數列且，；
則，解得：（舍）或；
.
（2）由題意知：，即；
假設存在項（其中成等差數列）成等比數列，則，
即；
成等差數列，，代入上式得：，
，化簡得：，，不合題意；
綜上所述：不存在項（其中成等差數列）成等比數列.
變式41．（2024·全國·高三專題練習）設數列的前n項和為，，，.
(1)證明：為等差數列；
(2)設，在和之間插入n個數，使這個數構成公差為的等差數列，求的前n項和.
【解析】（1）證明：因為時，，
則，
即，，·
因為，·
則①，
所以②，
則①②得，
即，·
所以為等差數列.
（2）由（1）可得的首項為，公差為，所以，
所以，
所以，則，
記的前n項和為，
則①，
所以②，
則①②得，·
所以，·
所以.·
【解題方法總結】
（1）等差數列與等比數列的相互轉化：等差數列通過指數運算轉化為正項等比數列，正項等比數列通過對數運算轉化為等差數列．
（2）等差數列和等比數列的交匯，若一個數列既是等差數列又是等比數列，則該數列為非零常數數列．
題型八：等比數列的范圍與最值問題
例22．（2024·上海閔行·上海市七寶中學校考二模）已知數列為等比數列，首項，公比，則下列敘述不正確的是（ ）
A．數列的最大項為 B．數列的最小項為
C．數列為嚴格遞增數列 D．數列為嚴格遞增數列
【答案】D
【解析】對于A，由題意知：當為偶數時，；
當為奇數時，，，最大；
綜上所述：數列的最大項為，A正確；
對于B，當為偶數時，，，最小；
當為奇數時，；
綜上所述：數列的最小項為，B正確；
對于C，，，
，
，，，
數列為遞增數列，C正確；
對于D，，，
；
，，，又，
，數列為遞減數列，D錯誤.
故選：D.
例23．（2024·全國·高三專題練習）設是公比為的等比數列，其前項的積為，并且滿足條件：，，．給出下列結論：①；②；③；④使成立的最小的自然數n等于199．其中正確結論的編號是（ ）
A．①②③ B．①④ C．②③④ D．①③④
【答案】D
【解析】對于①：，
，
，
，
．
又，
，且，
，故①正確；
對于②：，故②錯誤；
對于③：，故③正確；
對于④：，
，故④正確．
故選：D．
例24．（2024·廣西·統考模擬預測）已知正項等比數列滿足，則取最大值時的值為（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】B
【解析】設等比數列的公比為，有，
由函數單調遞增，且，可得.
有，由數列單調遞減，
所以取得最大值時的值為9，
故選：B.
變式42．（2024·陜西西安·統考三模）已知數列是無窮等比數列，若，則數列的前n項和（ ）．
A．無最大值，有最小值 B．有最大值，有最小值
C．有最大值，無最小值 D．無最大值，無最小值
【答案】C
【解析】若公比為，則，又，故，
所以為單調遞增數列且，則在時取最大值，但無最小值.
故選：C
變式43．（2024·全國·高三專題練習）已知數列滿足，，則數列是（　　）
A．遞增數列 B．遞減數列 C．常數列 D．不能確定
【答案】A
【解析】因為滿足，
所以數列是公比為的等比數列，
所以，
又因為，
所以單調遞增，
故選：A
變式44．（2024·全國·高三專題練習）已知是遞增的等比數列，且，則其公比滿足（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】是等比數列，故，當時， 各項正負項間隔,為擺動數列,故,顯然，
由得，又是遞增的等比數列，故為遞減數列,由指數函數的單調性知.
故選:D
變式45．（2024·貴州銅仁·高三統考期末）已知等比數列的各項均為正數且公比大于1，前n項積為，且，則使得的n的最小值為（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【解析】設公比為，則，
由，得，
因為，所以為遞增數列，
所以，
所以，，
，，
，，
，，
所以n的最小為8.
故選：D．
變式46．（2024·全國·高三專題練習）設無窮等比數列的前項和為，若，則（ ）
A．為遞減數列 B．為遞增數列
C．數列有最大項 D．數列有最小項
【答案】D
【解析】設等比數列的公比為，由已知，則，
由可得且，
對于AB選項，若，，
當為奇數時，，此時，則，
當為偶數時，，此時，則，
此時數列不單調，AB都錯；
對于CD選項，，
當時，此時數列單調遞增，則有最小項，無最大項；
當時，若為正奇數時，，則，
此時單調遞減，則；
當為正偶數時，，則，此時單調遞增，則.
故當時，的最大值為，最小值為.
綜上所述，有最小項.
故選：D.
變式47．（2024·全國·高三專題練習）設等比數列的公比為q，其前n項和為，并且滿足條件，則下列結論正確的是（ ）
A． B． C． D．的最大值為
【答案】B
【解析】若，，
，
則與矛盾，
若，，
，
則與矛盾，
，
故B正確；
，則，
，故A錯誤；
，
單調遞增，故D錯誤；
，
，故C錯誤．
故選：B．
變式48．（2024·全國·高三專題練習）設等比數列的公比為，其前項和為，前項積為，并滿足條件，，則下列結論正確的是（ ）
A． B．是數列中的最大值
C． D．數列無最大值
【答案】C
【解析】等比數列的公比為，則，由，則有，必有，
又由，即，又，則有或，
又當時，可得，由，則與矛盾
所以，則有，
由此分析選項：
對于A，，故，故A錯誤；
對于B，等比數列中，，，所以數列單調遞減，又因為，所以前項積為中，是數列中的最大項，故B錯誤；
對于C，等比數列中，則，則，故C正確；
對于D，由B的結論知是數列中的最大項，故D錯誤.
故選：C.
變式49．（2024·江西贛州·高三校聯考階段練習）設公比為的等比數列的前項和為，前項積為，且，，，則下列結論正確的是（ ）
A． B．
C．是數列中的最大值 D．數列無最大值
【答案】B
【解析】當時，則，不合乎題意；
當時，對任意的，，且有，可得，
可得，此時，與題干不符，不合乎題意；
故，故A錯誤；
對任意的，，且有，可得，
此時，數列為單調遞減數列，則，
結合可得，
結合數列的單調性可得
故，
，
∴，
故B正確；
是數列 中的最大值,故CD錯誤
故選：B.
變式50．（2024·黑龍江哈爾濱·高三尚志市尚志中學校考期中）設等比數列的公比為，其前項和為，前項積為，且滿足條件，，，則下列選項錯誤的是（ ）
A． B．
C．是數列中的最大項 D．
【答案】D
【解析】等比數列的公比為，若，則，
由，可得，則數列各項均為正值，
若，當時，由則恒成立，顯然不適合，故，且，，故正確；
因為，所以，故正確；
根據，可知是數列中的最大項，故正確；
由等比數列的性質可得，
所以，故錯誤．
故選：．
變式51．（2024·全國·高三專題練習）設等比數列的公比為，其前項之積為，并且滿足條件：，，，給出下列結論：①；② ；③是數列中的最大項；④使成立的最大自然數等于4039；其中正確結論的序號為（ ）
A．①② B．①③ C．①③④ D．①②③④
【答案】B
【解析】，，，
，．
，故①正確；
，，故②不正確；
，是數列中的最大項，故③正確；
，，
使成立的最大自然數等于4038，故④不正確．
正確結論的序號是①③．
故選：B．
變式52．（2024·全國·高三專題練習）已知數列的前n項和為，，，.
(1)求；
(2)設，數列的前n項和為，若，都有成立，求實數的范圍.
【解析】（1），.
，，.
又，，，數列的奇數項，偶數項分別是以2，4為首項，4為公差的等差數列.
當時，；當時，.
綜上，，
（2）方法一：，
.
，.
方法二：，
，
，
，
∴時，為遞增數列，
時，為遞減數列，
若，都有成立，只需使，則且，則.
變式53．（2024·上海·高三專題練習）已知數列是首項與公比都為的等比數列，其中，且，且是遞增數列，求的范圍.
【解析】因為數列是首項與公比都為的等比數列，所以.
因為是遞增數列，所以，即.
當時，，，符合題意；
當，，若，則恒成立，
因為，所以.
綜上，或.
變式54．（2024·上海寶山·高一上海交大附中校考階段練習）已知正數數列滿足，且對恒成立，則的范圍為______.
【答案】
【解析】因為，所以，
所以
因為，所以，即對恒成立，
對恒成立，因為，所以，
又因為是正數數列，所以，所以的取值范圍為.
故答案為：
變式55．（2024·湖北武漢·統考模擬預測）已知等比數列的各項均為正數，公比為q，前n項和，若對于任意正整數n有，則q的范圍為____________.
【答案】
【解析】對于任意正整數n有，
當時，，符合要求，
當時，，
且，，
，
，
綜上可得，.
故答案為：
變式56．（2024·北京東城·北京市第五中學校考模擬預測）若三角形三邊成等比數列，則公比q的范圍是_____.
【答案】；
【解析】設三邊：、、、則由三邊關系：兩短邊和大于第三邊，即
（1）當時，等價于解二次不等式：，
由于方程兩根為：，
故得且，
即
（2）當時，為最大邊，即得，
解之得或且
即
綜合（1）（2），得：
故答案為：
題型九：等比數列的實際應用
例25．（2024·廣東廣州·廣州市培正中學校考模擬預測）某牧場今年初牛的存欄數為1200，預計以后每年存欄數的增長率為，且在每年年底賣出100頭牛.設牧場從今年起每年年初的計劃存欄數依次為數列，且滿足遞推公式：為數列的前項和，則__________（答案精確到1）.
【答案】9920
【解析】由題知，，
，
，
，
，
由得，
則，解得，
所以，
則是以為首項，為公比的等比數列，
因
，
所以.
故答案為：
例26．（2024·湖南長沙·長沙市明德中學校考三模）中國古代數學著作《增減算法統宗》中有這樣一段記載：“三百七十八里關，初行健步不為難，次日腳痛減一半，如此六日過其關.” 則此人在第六天行走的路程是__________里（用數字作答）.
【答案】6
【解析】將這個人行走的路程依次排成一列得等比數列，
，其公比，令數列的前n項和為，
則，而，
因此，解得，
所以此人在第六天行走的路程（里）.
故答案為：6
例27．（2024·遼寧大連·育明高中校考一模）某高中圖書館為畢業生提供網上閱讀服務，其中電子閱覽系統的登錄碼由學生的屆別+班級+學號+特別碼構成.這個特別碼與如圖數表有關，數表構成規律是：第一行數由正整數從小到大排列得到，下一行數由前一行每兩個相鄰數的和寫在這兩個數正中間下方得到.以此類推特別碼是學生屆別數對應表中相應行的自左向右第一個數的個位數字，如：1997屆3班21號學生的登陸碼為1997321*.（*為表中第1997行第一個數的個位數字）.若已知某畢業生的登錄碼為201*2138，則可以推斷該畢業生是______屆2班13號學生.
【答案】
【解析】根據圖表可得，第行的前兩個數之差為，
設第行的第一個數為，則，即
兩邊同時除以，可得，且，
所以數列是首項為，公差為的等差數列，所以，
所以，
因為的個位數分別為，所以的個位數呈現周期性變化，且周期為，
因為，所以，
若時，則，
因為，所以的個位數是，故的個位數為；
若時，則，
因為，所以的個位數是，故的個位數為；
若時，則，
因為，所以的個位數是，故的個位數為；
若時，則，
因為，所以的個位數是，故的個位數為，
同理可得：的個位數為，的個位數為，的個位數為，
的個位數為，的個位數為，的個位數為，
所以某畢業生的登錄碼為201*2138，則，
故推斷該畢業生是屆2班13號學生.
故答案為：.
變式57．（2024·陜西西安·陜西師大附中校考模擬預測）如圖，已知在扇形OAB中，半徑，，圓內切于扇形OAB（圓和，，弧AB均相切），作圓與圓，，相切，再作圓與圓，，相切，以此類推.設圓，圓…的面積依次為，…，那么__________．
【答案】
【解析】如圖，設圓與弧AB相切于點D，
圓，圓與OA分別切于點C，E，則，.
設圓，圓，圓，…，圓的半徑分別為，，，…，.
因為，所以.在中，，
則，即，解得.
在中，，
則，即，解得.
同理可得，，
所以是以為首項，以為公比的等比數列.
又圓的面積為，
所以面積，，，…，構成一個以為首項，以為公比的等比數列，
則.
故答案為：.
變式58．（2024·陜西寶雞·高三寶雞中學校考階段練習）“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”出自《莊子·天下》，其中蘊含著數列的相關知識，已知長度為4的線段，取的中點C，以為直徑作圓（如圖①），該圓的面積為，在圖①中取的中點D，以為直徑作圓（如圖②），圖②中所有圓的面積之和為，以此類推，則________．
【答案】
【解析】由題意可知，，后一個圓的半徑為前一個圓半徑的一半，
故各圓的面積成以為首項，為公比的等比數列，
故，
故答案為：
變式59．（2024·全國·高三專題練習）是無理數的近似值，被稱為黃金比值.我們把腰與底的長度比為黃金比值的等腰三角形稱為黃金三角形.如圖，是頂角為，底的第一個黃金三角形，是頂角為的第二個黃金三角形，是頂角為的第三個黃金三角形，是頂角為的第四個黃金三角形，則第個黃金三角形的腰長為________（寫出關于表達式即可）.
【答案】
【解析】第一個黃金三角形：的底為，由可得腰長；
第二個黃金三角形：的底為，由可得腰長；
第三個黃金三角形：的底為，由可得腰長；
第四個黃金三角形：的底為，由，可得腰長，
故答案為：.
變式60．（2024·全國·校聯考三模）88鍵鋼琴從左到右各鍵的音的頻率組成一個遞增的等比數列．若中音A（左起第49個鍵）的頻率為，鋼琴上最低音的頻率為，則左起第61個鍵的音的頻率為___________．
【答案】880
【解析】設等比數列的公比為，則，所以，
則左起第61個鍵的音的頻率為．
故答案為：880
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21世紀教育網(www.21cnjy.com)第42講 等比數列及其前n項和
知識梳理
知識點一．等比數列的有關概念
（1）定義：如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一常數（不為零），那么這個數列就叫做等比數列．這個常數叫做等比數列的公比，通常用字母表示，定義的表達式為．
（2）等比中項：如果，，成等比數列，那么叫做與的等比中項．
即是與的等比中項 ，，成等比數列 ．
知識點二．等比數列的有關公式
（1）等比數列的通項公式
設等比數列的首項為，公比為，則它的通項公式．
推廣形式：
（2）等比數列的前n項和公式
等比數列的公比為，其前項和為
注①等比數列的前項和公式有兩種形式，在求等比數列的前項和時，首先要判斷公比是否為1，再由的情況選擇相應的求和公式，當不能判斷公比是否為1時，要分與兩種情況討論求解．
②已知（項數），則利用求解；已知，則利用求解．
③，為關于的指數型函數，且系數與常數互為相反數．
知識點三．等比數列的性質
（1）等比中項的推廣．
若時，則，特別地，當時，．
（2）①設為等比數列，則（為非零常數），，仍為等比數列．
②設與為等比數列，則也為等比數列．
（3）等比數列的單調性（等比數列的單調性由首項與公比決定）．
當或時，為遞增數列；
當或時，為遞減數列．
（4）其他衍生等比數列．
若已知等比數列，公比為，前項和為，則：
①等間距抽取
為等比數列，公比為．
②等長度截取
為等比數列，公比為（當時，不為偶數）．
【解題方法總結】
（1）若，則．
（2）若，（項數相同）是等比數列，則，，，，仍是等比數列．
（3）在等比數列中，等距離取出若干項也構成一個等比數列，即為
等比數列，公比為．
（4）公比不為－1的等比數列的前項和為，則，，仍成等比數列，其公比為．
（5）為等比數列，若，則成等比數列．
（6）當，時，是成等比數列的充要條件，此時．
（7）有窮等比數列中，與首末兩項等距離的兩項的積相等．特別地，若項數為奇數時，還等于中間
項的平方．
（8）若為正項等比數列，則為等差數列．
（9）若為等差數列，則為等比數列．
（10）若既是等差數列又是等比數列是非零常數列．
必考題型全歸納
題型一：等比數列的基本運算
例1．（2024·北京·高三匯文中學校考階段練習）在等比數列中，，，則等于（ ）
A．9 B．72 C．9或70 D．9或
例2．（2024·全國·高三專題練習）已知遞增的等比數列中，前3項的和為7，前3項的積為8，則的值為（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
例3．（2024·浙江溫州·樂清市知臨中學校考模擬預測）已知等比數列的前n項和為，公比為q，且，則（ ）
A． B． C． D．
變式1．（2024·四川遂寧·射洪中學校考模擬預測）在等比數列中，若，，則公比q應為（ ）
A． B． C． D．－2
變式2．（2024·全國·高三專題練習）設等比數列的各項均為正數，前n項和，若，，則（ ）
A． B． C．15 D．40
變式3．（2024·全國·高三對口高考）已知數列是等比數列，，則該數列的以及依次為（ ）
A．682， B．， C．682，或 D．，或
變式4．（2024·江西撫州·統考模擬預測）已知正項等比數列{}的前n項和為，若，則=（ ）
A．64 B．81 C．128 D．192
變式5．（2024·江西·校聯考模擬預測）已知等比數列的前4項和為，，則（ ）
A． B． C．1 D．2
【解題方法總結】
等比數列基本量運算的解題策略
（1）等比數列基本量的運算是等比數列中的一類基本問題，等比數列中有五個量，，，，，
一般可以“知三求二”，通過列方程（組）便可迎刃而解．
（2）等比數列的前項和公式涉及對公比的分類討論：
當時，；當時，．
題型二：等比數列的判定與證明
例4．（2024·全國·高三專題練習）甲、乙兩個容器中分別盛有濃度為10％，20％的某種溶液500ml，同時從甲、乙兩個容器中取出100ml溶液，將其倒入對方的容器并攪勻，這稱為一次調和．記，，經次調和后，甲、乙兩個容器的溶液濃度分別為，．
(1)試用，表示，．
(2)證明：數列是等比數列，并求出，的通項．
例5．（2024·全國·高三專題練習）已知數列滿足，，其中為的前n項和．證明：
(1)是等比數列．
(2)．
例6．（2024·安徽亳州·蒙城第一中學校聯考模擬預測）甲、乙、丙三個小學生相互拋沙包，第一次由甲拋出，每次拋出時，拋沙包者等可能的將沙包拋給另外兩個人中的任何一個，設第（）次拋沙包后沙包在甲手中的方法數為，在丙手中的方法數為.
(1)求證：數列為等比數列，并求出的通項；
(2)求證：當n為偶數時，.
變式6．（2024·廣東東莞·校考三模）已知數列和，，，.
(1)求證數列是等比數列；
(2)求數列的前項和.
變式7．（2024·全國·高三專題練習）設數列的首項，且，
記.
(1)求；
(2)判斷數列是否為等比數列，并證明你的結論；
(3)求.
變式8．（2024·全國·高三專題練習）已知數列、滿足，，，，且，.
(1)求證：是等比數列；
(2)若是遞增數列，求實數的取值范圍.
變式9．（2024·全國·高三專題練習）數列的前和滿足 ，
(1)求的值及與的關系；
(2)求證：是等比數列，并求出的通項公式.
變式10．（2024·云南·校聯考三模）已知數列有遞推關系，，記，若數列的遞推式形如（且），也即分子中不再含有常數項.
(1)求實數的值；
(2)證明：為等比數列，并求其首項和公比.
變式11．（2024·福建廈門·統考模擬預測）已知數列滿足．
(1)證明是等比數列；
(2)若，求的前項和．
變式12．（2024·山東濰坊·三模）已知數列和滿足．
(1)證明：和都是等比數列；
(2)求的前項和．
【解題方法總結】
等比數列的判定方法
定義法 若（為非零常數，或（為非零常數且，），則是等比數列
中項公式法 若數列中，且，則是等比數列
通項公式法 若數列的通項公式可寫成（均為非零常數，），則是等比數列
前項和公式法 若數列的前項和（為非零常數，），則是等比數列
題型三：等比數列項的性質應用
例7．（2024·全國·高三對口高考）已知等比數列的前n項和為，則__________.
例8．（2024·山東泰安·統考二模）若m，n是函數的兩個不同零點，且m，n，這三個數可適當排序后成等差數列，也可適當排序后成等比數列，則__________.
例9．（2024·全國·高三專題練習）已知數列中，，，且、是函數的兩個零點，則___________.
變式13．（2024·高三課時練習）已知等比數列的公比，該數列前9項的乘積為1，則______．
變式14．（2024·江西·校聯考二模）在正項等比數列中，與是方程 的兩個根，則_________ .
變式15．（2024·全國·高三專題練習）等比數列中，，，則公比q的值為_____________.
變式16．（2024·全國·高三專題練習）在和之間插入三個數，使這五個數組成正項等比數列，則中間三個數的積等于_____________.
變式17．（2024·四川成都·高三四川省成都市玉林中學校考階段練習）若數列是等比數列，且，則__________．
變式18．（2024·全國·高三專題練習）已知正項數列是公比不等于1的等比數列，且，若，則__________.
變式19．（2024·四川成都·統考二模）已知等比數列的首項為，且，則__________.
變式20．（2024·重慶·高三階段練習）在等比數列中，，則______________．
【解題方法總結】
（1）在解決等比數列的有關問題時，要注意挖掘隱含條件、利用性質，特別是性質“若，則．”，可以減少運算量，提高解題速度．
（2）在應用相應性質解題時，要注意性質成立的前提條件，有時需要進行適當變形．此外，解題時注意設而不求思想的運用．
題型四：等比數列前n項和的性質
例10．（2024·全國·高三對口高考）已知數列為等比數列，為其前n項和.若，，則的值為__________.
例11．（2024·河北滄州·統考模擬預測）已知等比數列的前項和為，若，，則______.
例12．（2024·高三課時練習）已知是正項等比數列的前n項和，，則的最小值為______．
變式21．（2024·全國·高三專題練習）已知數列是等比數列，是其前項和，且，，則______.
變式22．（2024·全國·高三專題練習）設正項等比數列的前項和為，若，則的值為______.
變式23．（2024·全國·高三專題練習）設正項等比數列的前項和為，且，則公比__________.
變式24．（2024·重慶·高三統考階段練習）已知等比數列的前項和為，，，則___________.
變式25．（2024·全國·高三專題練習）已知正項等比數列的前項和為，若，，則，的等差中項為__________.
變式26．（2024·江西南昌·南昌十中校考模擬預測）已知等比數列的前項和為，若，，則的值為_______
【解題方法總結】
（1）等比數列中，所有奇數項之和與所有偶數項之和具有的性質，設公比為．
①若共有項，則；②若共有項，．
（2）等比數列中，表示它的前項和．當時，有也成等比數列，公比為．
題型五：求數列的通項
例13．（2024·廣西玉林·統考三模）記數列的前n項和為，已知向量，，若，且，則通項為________．
例14．（2024·內蒙古包頭·高三統考期末）已知數列和滿足，，，.則數列的通項______.
例15．（2024·上海浦東新·高三校考開學考試）設冪函數，數列滿足：，且（），則數列的通項__．
變式27．（2024·江蘇·高三專題練習）寫出一個滿足前5項的和為31，且遞減的等比數列的通項___________．
變式28．（2024·山西太原·統考模擬預測）已知數列的前項和為且滿足，則數列的通項_______．
變式29．（2024·上海·高三專題練習）數列的前項和為，則數列的通項___________．
變式30．（2024·內蒙古包頭·高三統考期中）已知數列{}的通項與前n項和之間滿足關系則=__________
變式31．（2024·上海·高三專題練習）數列的通項的通項，由與中公共項，并按原順序組成一個新的數列，求的前項和.
【解題方法總結】
（1）等比數列的通項公式
設等比數列的首項為，公比為，則它的通項公式．
推廣形式：
（2）等比數列的前n項和公式
等比數列的公比為，其前項和為
題型六：奇偶項求和問題的討論
例16．（2024·湖南長沙·長郡中學校聯考模擬預測）已知數列滿足，且
(1)設，求數列的通項公式；
(2)設數列的前n項和為，求使得不等式成立的n的最小值．
例17．（2024·河北·模擬預測）已知數列滿足，
(1)記，證明：數列為等比數列；
(2)記，求數列的前項和．
例18．（2024·山東濟寧·統考二模）已知數列的前項和為，且．
(1)求數列的通項公式;
(2)若，求數列的前項和．
變式32．（2024·天津南開·統考二模）設為等比數列，為公差不為零的等差數列，且，，.
(1)求和的通項公式；
(2)記的前項和為，的前項和為，證明：；
(3)記，求.
變式33．（2024·湖南邵陽·統考三模）記為等差數列{}的前n項和，已知，數列{}滿足.
(1)求數列{}與數列{}的通項公式；
(2)數列{}滿足，n為偶數，求{}前2n項和.
變式34．（2024·全國·高三專題練習）已知各項為正數的等比數列滿足.
(1)求數列的通項公式；
(2)設，，求數列的前2n項和.
變式35．（2024·湖南長沙·長沙市實驗中學校考三模）已知數列滿足：，且對任意的，
(1)求，的值，并證明數列是等比數列；
(2)設，求數列的前項和.
變式36．（2024·全國·高三專題練習）已知數列滿足，，記，求數列的通項公式．
【解題方法總結】
求解等比數列的前項和，要準確地記住求和公式，并合理選取公式，尤其是要注意其項數的值；對于奇偶項通項不統一問題要注意分類討論．主要是從為奇數、偶數進行分類．
題型七：等差數列與等比數列的綜合應用
例19．（2024·全國·高三專題練習）已知數列為等差數列，，，前項和為，數列滿足，求證：
(1)數列為等差數列；
(2)數列中任意三項均不能構成等比數列.
例20．（2024·遼寧錦州·高三渤海大學附屬高級中學校考期末）在等差數列中，．
(1)求等差數列的通項公式；
(2)設數列是首項為1，公比為2的等比數列，求數列的前項和．
例21．（2024·全國·高三專題練習）已知為等差數列的前項和，且，___________.在①，，成等比數列，②，③數列為等差數列，這三個條件中任選一個填入橫線，使得條件完整，并解答：
(1)求；
(2)若，求數列的前項和.
注：如果選擇多個條件分別解答，則按第一個解答計分.
變式37．（2024·四川資陽·統考一模）已知等比數列的前項和為，且，，（其中）成等差數列．問：，，是否成等差數列？并說明理由．
變式38．（2024·江蘇·高考真題）已知是等差數列，是公比為q的等比數列，，，記為數列的前n項和.
(1)若（m，k是大于2正整數），求證：；
(2)若（i是某一正整數），求證：q是整數，且數列中每一項都是數列中的項；
(3)是否存在這樣的正數q，使等比數列中有三項成等差數列？若存在，寫出一個q的值，并加以說明；若不存在，請說明理由.
變式39．（2024·河南開封·高三校考階段練習）公差不為0的等差數列中，，且成等比數列.
(1)求數列的通項公式；
(2)若為等差數列的前項和，求使成立的的最大值.
變式40．（2024·全國·高三專題練習）已知是遞增的等比數列，且，．
(1)求數列的通項公式；
(2)在與之間插入個數，使這個數組成一個公差為的等差數列，在數列中是否存在項（其中成等差數列）成等比數列.若存在，求出這樣的項；若不存在，請說明理由．
變式41．（2024·全國·高三專題練習）設數列的前n項和為，，，.
(1)證明：為等差數列；
(2)設，在和之間插入n個數，使這個數構成公差為的等差數列，求的前n項和.
【解題方法總結】
（1）等差數列與等比數列的相互轉化：等差數列通過指數運算轉化為正項等比數列，正項等比數列通過對數運算轉化為等差數列．
（2）等差數列和等比數列的交匯，若一個數列既是等差數列又是等比數列，則該數列為非零常數數列．
題型八：等比數列的范圍與最值問題
例22．（2024·上海閔行·上海市七寶中學校考二模）已知數列為等比數列，首項，公比，則下列敘述不正確的是（ ）
A．數列的最大項為 B．數列的最小項為
C．數列為嚴格遞增數列 D．數列為嚴格遞增數列
例23．（2024·全國·高三專題練習）設是公比為的等比數列，其前項的積為，并且滿足條件：，，．給出下列結論：①；②；③；④使成立的最小的自然數n等于199．其中正確結論的編號是（ ）
A．①②③ B．①④ C．②③④ D．①③④
例24．（2024·廣西·統考模擬預測）已知正項等比數列滿足，則取最大值時的值為（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
變式42．（2024·陜西西安·統考三模）已知數列是無窮等比數列，若，則數列的前n項和（ ）．
A．無最大值，有最小值 B．有最大值，有最小值
C．有最大值，無最小值 D．無最大值，無最小值
變式43．（2024·全國·高三專題練習）已知數列滿足，，則數列是（　　）
A．遞增數列 B．遞減數列 C．常數列 D．不能確定
變式44．（2024·全國·高三專題練習）已知是遞增的等比數列，且，則其公比滿足（ ）
A． B．
C． D．
變式45．（2024·貴州銅仁·高三統考期末）已知等比數列的各項均為正數且公比大于1，前n項積為，且，則使得的n的最小值為（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
變式46．（2024·全國·高三專題練習）設無窮等比數列的前項和為，若，則（ ）
A．為遞減數列 B．為遞增數列
C．數列有最大項 D．數列有最小項
變式47．（2024·全國·高三專題練習）設等比數列的公比為q，其前n項和為，并且滿足條件，則下列結論正確的是（ ）
A． B． C． D．的最大值為
變式48．（2024·全國·高三專題練習）設等比數列的公比為，其前項和為，前項積為，并滿足條件，，則下列結論正確的是（ ）
A． B．是數列中的最大值
C． D．數列無最大值
變式49．（2024·江西贛州·高三校聯考階段練習）設公比為的等比數列的前項和為，前項積為，且，，，則下列結論正確的是（ ）
A． B．
C．是數列中的最大值 D．數列無最大值
變式50．（2024·黑龍江哈爾濱·高三尚志市尚志中學校考期中）設等比數列的公比為，其前項和為，前項積為，且滿足條件，，，則下列選項錯誤的是（ ）
A． B．
C．是數列中的最大項 D．
變式51．（2024·全國·高三專題練習）設等比數列的公比為，其前項之積為，并且滿足條件：，，，給出下列結論：①；② ；③是數列中的最大項；④使成立的最大自然數等于4039；其中正確結論的序號為（ ）
A．①② B．①③ C．①③④ D．①②③④
變式52．（2024·全國·高三專題練習）已知數列的前n項和為，，，.
(1)求；
(2)設，數列的前n項和為，若，都有成立，求實數的范圍.
變式53．（2024·上海·高三專題練習）已知數列是首項與公比都為的等比數列，其中，且，且是遞增數列，求的范圍.
變式54．（2024·上海寶山·高一上海交大附中校考階段練習）已知正數數列滿足，且對恒成立，則的范圍為______.
變式55．（2024·湖北武漢·統考模擬預測）已知等比數列的各項均為正數，公比為q，前n項和，若對于任意正整數n有，則q的范圍為____________.
變式56．（2024·北京東城·北京市第五中學校考模擬預測）若三角形三邊成等比數列，則公比q的范圍是_____.
題型九：等比數列的實際應用
例25．（2024·廣東廣州·廣州市培正中學校考模擬預測）某牧場今年初牛的存欄數為1200，預計以后每年存欄數的增長率為，且在每年年底賣出100頭牛.設牧場從今年起每年年初的計劃存欄數依次為數列，且滿足遞推公式：為數列的前項和，則__________（答案精確到1）.
例26．（2024·湖南長沙·長沙市明德中學校考三模）中國古代數學著作《增減算法統宗》中有這樣一段記載：“三百七十八里關，初行健步不為難，次日腳痛減一半，如此六日過其關.” 則此人在第六天行走的路程是__________里（用數字作答）.
例27．（2024·遼寧大連·育明高中校考一模）某高中圖書館為畢業生提供網上閱讀服務，其中電子閱覽系統的登錄碼由學生的屆別+班級+學號+特別碼構成.這個特別碼與如圖數表有關，數表構成規律是：第一行數由正整數從小到大排列得到，下一行數由前一行每兩個相鄰數的和寫在這兩個數正中間下方得到.以此類推特別碼是學生屆別數對應表中相應行的自左向右第一個數的個位數字，如：1997屆3班21號學生的登陸碼為1997321*.（*為表中第1997行第一個數的個位數字）.若已知某畢業生的登錄碼為201*2138，則可以推斷該畢業生是______屆2班13號學生.
變式57．（2024·陜西西安·陜西師大附中校考模擬預測）如圖，已知在扇形OAB中，半徑，，圓內切于扇形OAB（圓和，，弧AB均相切），作圓與圓，，相切，再作圓與圓，，相切，以此類推.設圓，圓…的面積依次為，…，那么__________．
變式58．（2024·陜西寶雞·高三寶雞中學校考階段練習）“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”出自《莊子·天下》，其中蘊含著數列的相關知識，已知長度為4的線段，取的中點C，以為直徑作圓（如圖①），該圓的面積為，在圖①中取的中點D，以為直徑作圓（如圖②），圖②中所有圓的面積之和為，以此類推，則________．
變式59．（2024·全國·高三專題練習）是無理數的近似值，被稱為黃金比值.我們把腰與底的長度比為黃金比值的等腰三角形稱為黃金三角形.如圖，是頂角為，底的第一個黃金三角形，是頂角為的第二個黃金三角形，是頂角為的第三個黃金三角形，是頂角為的第四個黃金三角形，則第個黃金三角形的腰長為________（寫出關于表達式即可）.
變式60．（2024·全國·校聯考三模）88鍵鋼琴從左到右各鍵的音的頻率組成一個遞增的等比數列．若中音A（左起第49個鍵）的頻率為，鋼琴上最低音的頻率為，則左起第61個鍵的音的頻率為___________
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