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第40講 數列的基本知識與概念
知識梳理
知識點一、數列的概念
（1）數列的定義：按照一定順序排列的一列數稱為數列，數列中的每一個數叫做這個數列的項．
（2）數列與函數的關系：從函數觀點看，數列可以看成以正整數集（或它的有限子集）為定義域的函數當自變量按照從小到大的順序依次取值時所對應的一列函數值．　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　
（3）數列有三種表示法，它們分別是列表法、圖象法和通項公式法．
知識點二、數列的分類
（1）按照項數有限和無限分：
（2）按單調性來分：
知識點三、數列的兩種常用的表示方法
（1）通項公式：如果數列的第項與序號之間的關系可以用一個式子來表示，那么這個公式叫做這個數列的通項公式．　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
（2）遞推公式：如果已知數列的第1項（或前幾項），且從第二項（或某一項）開始的任一項與它的前一項（或前幾項）間的關系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數列的遞推公式．
【解題方法總結】
（1）若數列的前項和為，通項公式為，則
注意：根據求時，不要忽視對的驗證．
（2）在數列中，若最大，則若最小，則
必考題型全歸納
題型一：數列的周期性
例1．（2024·全國·高三專題練習）在數列中，已知，，，且，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由，可得，
因為，所以，整理得，
由于，解得，從而，，
可知，
因為，所以．
故選：C．
例2．（2024·全國·高三專題練習）在數列中，，對所有的正整數都有，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由得，
兩式相加得，
，
是以6為周期的數列，
而，
.
故選：B.
例3．（2024·江西贛州·高三校聯考階段練習）斐波那契數列可以用如下方法定義：，且，若此數列各項除以4的余數依次構成一個新數列，則數列的第100項為（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【解析】由題意有，且，
若此數列各項除以4的余數依次構成一個新數列，
則，，，，，，，，，
則數列是以6為周期的周期數列，
則，
則數列的第100項為3，
故選：．
變式1．（2024·全國·高三對口高考）已知數列中，，則（ ）
A． B． C．2 D．1
【答案】A
【解析】數列中，，
可知，，，
故數列是以3為最小正周期的周期數列，
所以.
故選：A
變式2．（2024·全國·高三對口高考）設函數定義如下，數列滿足，且對任意自然數均有，則的值為（ ）
x 1 2 3 4 5
4 1 3 5 2
A．1 B．2 C．4 D．5
【答案】B
【解析】由對任意自然數均有，且，
可得，，，
，，，
所以數列是項為周期的周期數列，且前四項分別為，
所以.
故選：B.
變式3．（2024·安徽合肥·合肥一六八中學校考模擬預測）在數列中，已知，當時，是的個位數，則（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【解析】因為，當時，是的個位數，
所以，，，，，，，，，，
可知數列中，從第3項開始有，
即當時，的值以6為周期呈周期性變化，
又，
故.
故選：C.
變式4．（2024·北京通州·統考三模）數列中，，則（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】C
【解析】因為，令，則，求得，
令，則，求得，令，則，求得，
令，則，求得，令，則，求得，
令，則，求得，，
所以數列的周期為，則.
故選：C
【解題方法總結】
解決數列周期性問題的方法
先根據已知條件求出數列的前幾項，確定數列的周期，再根據周期性求值．
題型二：數列的單調性
例4．（2024·北京密云·統考三模）設數列的前n項和為，則“對任意，”是“數列為遞增數列”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不是充分也不是必要條件
【答案】A
【解析】數列中，對任意，，
則，
所以數列為遞增數列，充分性成立；
當數列為遞增數列時，，
即，所以，，
如數列不滿足題意，必要性不成立；
所以“對任意，”是“數列為遞增數列”的充分不必要條件.
故選：A
例5．（2024·全國·高三專題練習）已知數列滿足，若存在實數，使單調遞增，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由單調遞增，得，
由，得，
∴.
時，得①，
時，得，即②，
若，②式不成立，不合題意；
若，②式等價為，與①式矛盾，不合題意.
綜上，排除B，C，D.
故選：A
例6．（2024·全國·高三專題練習）已知數列滿足，若數列為單調遞增數列，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由可得，
兩式相減可得，則，
當時，可得滿足上式，故，
所以，
因數列為單調遞增數列，即，
則
整理得，
令，則，
當時，，當時，，
于是得是數列的最大項，即當時，取得最大值，從而得，
所以的取值范圍為．
故選：A
變式5．（2024·天津武清·高三天津市武清區楊村第一中學校考開學考試）數列的通項公式為，則“”是“為遞增數列”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．既不充分也不必要條件 D．充要條件
【答案】B
【解析】由題意得數列為遞增數列等價于對任意恒成立，
即對任意恒成立，
因為，且可以無限接近于0，所以，
所以“”是“為遞增數列”的必要不充分條件，
故選：B
變式6．（2024·全國·高三專題練習）已知數列的通項公式為，則“”是“數列為遞增數列”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】C
【解析】若數列為遞增數列，
則
，
即
由，所以有，
反之，當時，，則數列為遞增數列，
所以“”是“數列為遞增數列”的充要條件，
故選：C.
變式7．（2024·江蘇南通·高三期末）已知數列是遞增數列，且，則實數t的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因為，是遞增數列，
所以，解得，
所以實數t的取值范圍為，
故選：C
變式8．（2024·全國·高三專題練習）已知數列滿足，若是遞增數列，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因為是遞增數列，所以，即．
如圖所示，作出函數和的圖象，
由圖可知，當時，，且．
故當時，，且，
依此類推可得，
滿足是遞增數列，即的取值范圍是．
故選:A.
變式9．（2024·甘肅張掖·高臺縣第一中學校考模擬預測）已知數列為遞減數列，其前n項和，則實數m的取值范圍是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因為，所以數列為遞減數列，
當時，，
故可知當時，單調遞減，
故為遞減數列，只需滿足，即．
故選：A
【解題方法總結】
解決數列的單調性問題的3種方法
作差比較法 根據的符號判斷數列是遞增數列、遞減數列或是常數列
作商比較法 根據與1的大小關系進行判斷
數形結合法 結合相應函數的圖象直觀判斷
題型三：數列的最大（小）項
例7．（2024·湖南邵陽·邵陽市第二中學校考模擬預測）數列和數列的公共項從小到大構成一個新數列，數列滿足：，則數列的最大項等于______.
【答案】/1.75
【解析】數列和數列的公共項從小到大構成一個新數列為：
，該數列為首項為1，公差為的等差數列，
所以，
所以
因為
所以當時，，即，
又，
所以數列的最大項為第二項，其值為.
故答案為：.
例8．（2024·全國·高三專題練習）記為數列的前n項和，若，則的最小值為______．
【答案】
【解析】依題意，數列是首項為1，公比為2的等比數列，則，
于是，令，
則有，
顯然當時，，即，因此當時，數列是遞增的，
又，所以的最小值為.
故答案為：
例9．（2024·全國·高三專題練習）已知數列滿足，，則的最小值為_________
【答案】9
【解析】由已知可得，，
所以當時，有.
則有
，
，
，
，
兩邊分別相加可得，，
所以.
當時，滿足條件.
所以，，
所以.
設，
根據對勾函數的性質可知，當時，單調遞減；當時，單調遞增.
又，，
所以，當或時，有最小值為9.
故答案為：9.
變式10．（2024·全國·高三專題練習）已知正項數列滿足，，，若是唯一的最大項，則k的取值范圍為______．
【答案】
【解析】因為，所以，又，，
所以是首項為64，公比為k的等比數列，則，
則，
因為是唯一的最大項，所以，即，解得，
即k的取值范圍為.
故答案為：.
變式11．（2024·高三課時練習）數列的通項公式為若是中的最大項，則a的取值范圍是______．
【答案】
【解析】當時，單調遞增，
因此時，取得最大值為，
當時，，
因為是中的最大項，
所以解得，
故答案為: .
變式12．（2024·北京·高三北京八中校考階段練習）數列中，，則此數列最大項的值是__________．
【答案】
【解析】設，則該數列當時，取最大值，
又因為，而，
故當或時，此數列取最大項，其值為，，
故此數列最大項的值是：
故答案為：
變式13．（2024·全國·高三專題練習）已知，若數列中最小項為第3項，則______．
【答案】
【解析】因為開口向上，對稱軸為，
則由題意知，
所以．
故答案為：.
變式14．（2024·全國·高三專題練習）已知數列的通項公式為，則的最小值為___________.
【答案】/
【解析】因為，
易知數列為遞增數列，
所以數列的最小項為，即最小值為.
故答案為：
【解題方法總結】
求數列的最大項與最小項的常用方法
（1）將數列視為函數當x∈N*時所對應的一列函數值，根據f（x）的類型作出相應的函數圖象，或利用求函數最值的方法，求出的最值，進而求出數列的最大（小）項．
（2）通過通項公式研究數列的單調性，利用確定最大項，利用確定最小項．
（3）比較法：若有或時，則，則數列是遞增數列，所以數列的最小項為；若有或時，則，則數列是遞減數列，所以數列的最大項為．
題型四：數列中的規律問題
例10．（2024·全國·高三專題練習）分形幾何學是一門以不規則幾何形態為研究對象的幾何學，它的研究對象普遍存在于自然界中，因此又被稱為“大自然的幾何學”．按照如圖1所示的分形規律，可得如圖2所示的一個樹形圖．若記圖2中第n行黑圈的個數為，則（ ）
A．110 B．128 C．144 D．89
【解析】已知表示第n行中的黑圈個數，設表示第n行中的白圈個數，
則由于每個白圈產生下一行的一個白圈和一個黑圈，一個黑圈產生下一行的一個白圈和2個黑圈，
所以，，
又因為，，
所以，；
，；
，；
，；
，；
．
故選：C.
例11．（2024·云南保山·統考二模）我國南宋數學家楊輝126l年所著的《詳解九章算法》一書里出現了如圖所示的表，即楊輝三角，這是數學史上的一個偉大成就.楊輝三角也可以看做是二項式系數在三角形中的一種幾何排列，若去除所有為1的項，其余各項依次構成數列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，則此數列的第56項為（ ）

A．11 B．12 C．13 D．14
【解析】由題意可知：若去除所有的為1的項，則剩下的每一行的個數為1，2，3，4，...，
可以看成構成一個首項為1，公差為1的等差數列，則，
可得當，所有項的個數和為55，第56項為12，
故選：B.
例12．（2024·全國·高三專題練習）古希臘畢達哥拉斯學派的數學家研究過各種多邊形數.如三角形數1，3，6，10，第n個三角形數為.記第n個k邊形數為，以下列出了部分k邊形數中第n個數的表達式：三角形數：；正方形數：；五邊形數：；六邊形數：，可以推測的表達式，由此計算（ ）
A．4020 B．4010 C．4210 D．4120
【解析】由題意可得：，，
，.
由此可歸納，
所以，
故選：B.
變式15．（2024·全國·高三專題練習）古希臘科學家畢達哥拉斯對“形數”進行了深入的研究，若一定數目的點或圓在等距離的排列下可以形成一個等邊三角形，則這樣的數稱為三角形數，如1，3，6，10，15，21，…這些數量的點都可以排成等邊三角形，∴都是三角形數，把三角形數按照由小到大的順序排成的數列叫做三角數列類似地，數1，4，9，16，…叫做正方形數，則在三角數列中，第二個正方形數是（ ）
A．28 B．36 C．45 D．55
【解析】由題意可得，三角數列的通項為，
則三角數列的前若干項為1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，….，
設正方形數按由小到大的順序排成的數列為，則，
其前若干項為1，4，9，16，25，36，49，…，
∴在三角數列中，第二個正方形數是36.
故選：B.
變式16．（2024·全國·高三專題練習）早在3000年前，中華民族的祖先就已經開始用數字來表達這個世界．在《乾坤譜》中，作者對易傳“大衍之數五十”進行了一系列推論，用來解釋中國傳統文化中的太極衍生原理，如圖．該數列從第一項起依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，60，72，…，若記該數列為，則（ ）
A．2018 B．2020 C．2022 D．2024
【解析】由題設中的數據可知數列滿足：，，
故，
故選：B．
變式17．（2024·全國·高三專題練習）觀察下列各式：
；
；
；
；
；
則（ ）
A．28 B．76 C．123 D．10
【解析】設則
通過觀察不難發現：從而
故，
故選：C.
變式18．（2024·全國·高三專題練習）古希臘科學家畢達哥拉斯對“形數”進行了深入的研究，若一定數目的點或圓在等距離的排列下可以形成一個等邊三角形，則這樣的數稱為三角形數，如1，3，6，10，15，21，…這些數量的點都可以排成等邊三角形，∴都是三角形數，把三角形數按照由小到大的順序排成的數列叫做三角數列．類似地，數1，4，9，16，…叫做正方形數，則在三角數列中，第二個正方形數是（ ）
A．36 B．25 C．49 D．64
【解析】由題意可得，三角數列的通項為，則三角數列的前若干項為1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，…，
設正方形數按由小到大的順序排成的數列為，則，其前若干項為1，4，9，16，25，36，49，…，
∴在三角數列中，第二個正方形數是36．
故選：A．
【解題方法總結】
特殊值法、列舉法找規律
題型五：數列的恒成立問題
例13．（2024·全國·高三專題練習）已知數列的通項公式，前n項和是，對于，都有，則k＝______．
【答案】5
【解析】
如圖，為和的圖象，設兩個交點為，，
因為，所以，
因為，，所以，
結合圖象可得，當時，，即，
當時，，即，所以當時，取得最大值，即.
故答案為：5.
例14．（2024·全國·高三專題練習）已知數列滿足，若恒成立，則實數k的最小值為______．
【答案】/1.5
【解析】∵，
∴數列為單調遞減數列，．從而，
即k的最小值為．
故答案為：
例15．（2024·河南鄭州·高三校聯考階段練習）數列滿足(，且)，，對于任意有恒成立，則的取值范圍是___________.
【答案】
【解析】
從而可得
即， 因為，所以.
故答案為：
變式19．（2024·全國·高三專題練習）數列滿足，若不等式恒成立，則實數的取值范圍是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，
∵不等式恒成立，
∴，
解得，
故選：B．
變式20．（2024·河北唐山·高三唐山一中校考階段練習）數列滿足，，若不等式，對任何正整數恒成立，則實數的最小值為
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】依題意，由此可知，所以，所以
，對任何正整數恒成立，即．
考點：數列與不等式．
【解題方法總結】
分離參數，轉化為最值問題．
題型六：遞推數列問題
例16．（2024·全國·高三專題練習）設數列滿足，且，則數列的前2009項之和為______.
【答案】/
【解析】由，得，則
，
，
∴數列是以4為周期的數列，.
由可得，，
.
故答案為：.
例17．（2024·全國·高三專題練習）正項數列中，，，猜想通項公式為_________．
【答案】
【解析】方法一:由得，所以為等差數列，且公差為3，首項為1，故，故，
方法二：由得，，
由此可猜想
故答案為：
例18．（2024·廣東佛山·統考模擬預測）數列滿足，，寫出一個符合上述條件的數列的通項公式______.
【答案】（答案不唯一）
【解析】由得：，
則當時，，，故滿足遞推關系，
又，滿足，
滿足條件的數列的一個通項公式為：.
故答案為：（答案不唯一）.
變式21．（2024·全國·模擬預測）斐波那契數列由意大利數學家斐波那契以兔子繁殖為例引入，故又稱為“兔子數列”，即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，…．在實際生活中，很多花朵（如梅花、飛燕草、萬壽菊等）的瓣數恰是斐波那契數列中的數，斐波那契數列在現代物理及化學等領域也有著廣泛的應用．斐波那契數列滿足：，，則是斐波那契數列中的第______項．
【答案】
【解析】由可得
.
故答案為：.
變式22．（2024·全國·高三專題練習）將一個2021邊形的每個頂點染為紅、藍、綠三種顏色之一，使得相鄰頂點的顏色互不相同．問：有多少種滿足條件的染色方法？
【解析】記一個n邊形的每個頂點染為紅、藍、綠三種顏色之一，使得相鄰頂點的顏色互不相同的方法數為．易知，．
對于任意一個n（）邊形，記順次為這個n邊形的頂點，則對它按題設要求染色，有兩種情況：
①，異色，共有種方法；
②，同色，共有種方法．
因此．
所以
所以，
又，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以. 適合
因此，∴．
變式23．（2024·全國·高三專題練習）已知平面上有n條直線，其中任意兩條不平行，任何三條不共線．問：這些直線把平面分成多少個部分？其中有多少個部分是無界的？
【解析】設k條直線把平面分成的部分為個．顯然．
第條直線與前k條直線共有k個互不相同的交點，它被這k個交點分成段，每段都將它所在的部分一分為二．
因此有．即.
由此遞推公式，累加即得
．該式適合.
故這些直線把平面分成部分．
注意到n條直線中的每條都被另外的條截成n段，其中恰有兩端的兩條射線是無界的，
因此共有2n條射線．被n條直線分成的諸部分中，圍成每個無界區域的邊界折線恰有兩條是射線，
而且每條射線恰是兩個無界區域的公共邊界．所以共有2n個無界部分．
變式24．（2024·全國·高三專題練習）（1）學生甲手里有一枚質地均勻的硬幣，他投擲10次，不連續出現正面的可能情形有多少種？
（2）用1，2，3，4四個數字組成一個6位數，要求不允許兩個1緊挨在一起，那么可以組成多少個不同的6位數？
【解析】（1）設甲投擲次，不連續出現正面的可能情形有種，考慮最后一次投擲：若最后一次呈現反面，則前次有種方法；若最后一次呈現正面，則倒數第二次必是反面，前次有種不同的方法.由加法原理得：，易知其初值，，
則
∴甲投擲次，不連續出現正面的可能情形有種.
（2）設用1，2，3，4四個數字組成符合條件的一個位數，有種方法.
若末位是1，則倒數第二位只能是2，3或4，符合條件的有個；
若末位是2，3或4，則符合條件的有個；
由加法原理得：，又
∴
故用1，2，3，4四個數字可以組成符合條件的不同的6位數有3105個
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知識梳理
知識點一、數列的概念
（1）數列的定義：按照一定順序排列的一列數稱為數列，數列中的每一個數叫做這個數列的項．
（2）數列與函數的關系：從函數觀點看，數列可以看成以正整數集（或它的有限子集）為定義域的函數當自變量按照從小到大的順序依次取值時所對應的一列函數值．　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　
（3）數列有三種表示法，它們分別是列表法、圖象法和通項公式法．
知識點二、數列的分類
（1）按照項數有限和無限分：
（2）按單調性來分：
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（1）通項公式：如果數列的第項與序號之間的關系可以用一個式子來表示，那么這個公式叫做這個數列的通項公式．　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
（2）遞推公式：如果已知數列的第1項（或前幾項），且從第二項（或某一項）開始的任一項與它的前一項（或前幾項）間的關系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數列的遞推公式．
【解題方法總結】
（1）若數列的前項和為，通項公式為，則
注意：根據求時，不要忽視對的驗證．
（2）在數列中，若最大，則若最小，則
必考題型全歸納
題型一：數列的周期性
例1．（2024·全國·高三專題練習）在數列中，已知，，，且，則（ ）
A． B． C． D．
例2．（2024·全國·高三專題練習）在數列中，，對所有的正整數都有，則（ ）
A． B． C． D．
例3．（2024·江西贛州·高三校聯考階段練習）斐波那契數列可以用如下方法定義：，且，若此數列各項除以4的余數依次構成一個新數列，則數列的第100項為（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
變式1．（2024·全國·高三對口高考）已知數列中，，則（ ）
A． B． C．2 D．1
變式2．（2024·全國·高三對口高考）設函數定義如下，數列滿足，且對任意自然數均有，則的值為（ ）
x 1 2 3 4 5
4 1 3 5 2
A．1 B．2 C．4 D．5
變式3．（2024·安徽合肥·合肥一六八中學校考模擬預測）在數列中，已知，當時，是的個位數，則（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
變式4．（2024·北京通州·統考三模）數列中，，則（ ）
A． B． C．2 D．4
【解題方法總結】
解決數列周期性問題的方法
先根據已知條件求出數列的前幾項，確定數列的周期，再根據周期性求值．
題型二：數列的單調性
例4．（2024·北京密云·統考三模）設數列的前n項和為，則“對任意，”是“數列為遞增數列”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不是充分也不是必要條件
例5．（2024·全國·高三專題練習）已知數列滿足，若存在實數，使單調遞增，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
例6．（2024·全國·高三專題練習）已知數列滿足，若數列為單調遞增數列，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
變式5．（2024·天津武清·高三天津市武清區楊村第一中學校考開學考試）數列的通項公式為，則“”是“為遞增數列”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．既不充分也不必要條件 D．充要條件
變式6．（2024·全國·高三專題練習）已知數列的通項公式為，則“”是“數列為遞增數列”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
變式7．（2024·江蘇南通·高三期末）已知數列是遞增數列，且，則實數t的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
變式8．（2024·全國·高三專題練習）已知數列滿足，若是遞增數列，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
變式9．（2024·甘肅張掖·高臺縣第一中學校考模擬預測）已知數列為遞減數列，其前n項和，則實數m的取值范圍是（ ）．
A． B． C． D．
【解題方法總結】
解決數列的單調性問題的3種方法
作差比較法 根據的符號判斷數列是遞增數列、遞減數列或是常數列
作商比較法 根據與1的大小關系進行判斷
數形結合法 結合相應函數的圖象直觀判斷
題型三：數列的最大（小）項
例7．（2024·湖南邵陽·邵陽市第二中學校考模擬預測）數列和數列的公共項從小到大構成一個新數列，數列滿足：，則數列的最大項等于______.
例8．（2024·全國·高三專題練習）記為數列的前n項和，若，則的最小值為______．
例9．（2024·全國·高三專題練習）已知數列滿足，，則的最小值為_________
變式10．（2024·全國·高三專題練習）已知正項數列滿足，，，若是唯一的最大項，則k的取值范圍為______．
變式11．（2024·高三課時練習）數列的通項公式為若是中的最大項，則a的取值范圍是______．
變式12．（2024·北京·高三北京八中校考階段練習）數列中，，則此數列最大項的值是__________．
變式13．（2024·全國·高三專題練習）已知，若數列中最小項為第3項，則______．
變式14．（2024·全國·高三專題練習）已知數列的通項公式為，則的最小值為___________.
【解題方法總結】
求數列的最大項與最小項的常用方法
（1）將數列視為函數當x∈N*時所對應的一列函數值，根據f（x）的類型作出相應的函數圖象，或利用求函數最值的方法，求出的最值，進而求出數列的最大（小）項．
（2）通過通項公式研究數列的單調性，利用確定最大項，利用確定最小項．
（3）比較法：若有或時，則，則數列是遞增數列，所以數列的最小項為；若有或時，則，則數列是遞減數列，所以數列的最大項為．
題型四：數列中的規律問題
例10．（2024·全國·高三專題練習）分形幾何學是一門以不規則幾何形態為研究對象的幾何學，它的研究對象普遍存在于自然界中，因此又被稱為“大自然的幾何學”．按照如圖1所示的分形規律，可得如圖2所示的一個樹形圖．若記圖2中第n行黑圈的個數為，則（ ）
A．110 B．128 C．144 D．89
例11．（2024·云南保山·統考二模）我國南宋數學家楊輝126l年所著的《詳解九章算法》一書里出現了如圖所示的表，即楊輝三角，這是數學史上的一個偉大成就.楊輝三角也可以看做是二項式系數在三角形中的一種幾何排列，若去除所有為1的項，其余各項依次構成數列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，則此數列的第56項為（ ）

A．11 B．12 C．13 D．14
例12．（2024·全國·高三專題練習）古希臘畢達哥拉斯學派的數學家研究過各種多邊形數.如三角形數1，3，6，10，第n個三角形數為.記第n個k邊形數為，以下列出了部分k邊形數中第n個數的表達式：三角形數：；正方形數：；五邊形數：；六邊形數：，可以推測的表達式，由此計算（ ）
A．4020 B．4010 C．4210 D．4120
變式15．（2024·全國·高三專題練習）古希臘科學家畢達哥拉斯對“形數”進行了深入的研究，若一定數目的點或圓在等距離的排列下可以形成一個等邊三角形，則這樣的數稱為三角形數，如1，3，6，10，15，21，…這些數量的點都可以排成等邊三角形，∴都是三角形數，把三角形數按照由小到大的順序排成的數列叫做三角數列類似地，數1，4，9，16，…叫做正方形數，則在三角數列中，第二個正方形數是（ ）
A．28 B．36 C．45 D．55
變式16．（2024·全國·高三專題練習）早在3000年前，中華民族的祖先就已經開始用數字來表達這個世界．在《乾坤譜》中，作者對易傳“大衍之數五十”進行了一系列推論，用來解釋中國傳統文化中的太極衍生原理，如圖．該數列從第一項起依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，60，72，…，若記該數列為，則（ ）
A．2018 B．2020 C．2022 D．2024
變式17．（2024·全國·高三專題練習）觀察下列各式：
；
；
；
；
；
則（ ）
A．28 B．76 C．123 D．10
變式18．（2024·全國·高三專題練習）古希臘科學家畢達哥拉斯對“形數”進行了深入的研究，若一定數目的點或圓在等距離的排列下可以形成一個等邊三角形，則這樣的數稱為三角形數，如1，3，6，10，15，21，…這些數量的點都可以排成等邊三角形，∴都是三角形數，把三角形數按照由小到大的順序排成的數列叫做三角數列．類似地，數1，4，9，16，…叫做正方形數，則在三角數列中，第二個正方形數是（ ）
A．36 B．25 C．49 D．64
【解題方法總結】
特殊值法、列舉法找規律
題型五：數列的恒成立問題
例13．（2024·全國·高三專題練習）已知數列的通項公式，前n項和是，對于，都有，則k＝______．
例14．（2024·全國·高三專題練習）已知數列滿足，若恒成立，則實數k的最小值為______．
例15．（2024·河南鄭州·高三校聯考階段練習）數列滿足(，且)，，對于任意有恒成立，則的取值范圍是___________.
變式19．（2024·全國·高三專題練習）數列滿足，若不等式恒成立，則實數的取值范圍是（　　）
A． B． C． D．
變式20．（2024·河北唐山·高三唐山一中校考階段練習）數列滿足，，若不等式，對任何正整數恒成立，則實數的最小值為
A． B． C． D．
【解題方法總結】
分離參數，轉化為最值問題．
題型六：遞推數列問題
例16．（2024·全國·高三專題練習）設數列滿足，且，則數列的前2009項之和為______.
例17．（2024·全國·高三專題練習）正項數列中，，，猜想通項公式為_________．
例18．（2024·廣東佛山·統考模擬預測）數列滿足，，寫出一個符合上述條件的數列的通項公式______.
變式21．（2024·全國·模擬預測）斐波那契數列由意大利數學家斐波那契以兔子繁殖為例引入，故又稱為“兔子數列”，即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，…．在實際生活中，很多花朵（如梅花、飛燕草、萬壽菊等）的瓣數恰是斐波那契數列中的數，斐波那契數列在現代物理及化學等領域也有著廣泛的應用．斐波那契數列滿足：，，則是斐波那契數列中的第______項．
變式22．（2024·全國·高三專題練習）將一個2021邊形的每個頂點染為紅、藍、綠三種顏色之一，使得相鄰頂點的顏色互不相同．問：有多少種滿足條件的染色方法？
變式23．（2024·全國·高三專題練習）已知平面上有n條直線，其中任意兩條不平行，任何三條不共線．問：這些直線把平面分成多少個部分？其中有多少個部分是無界的？
變式24．（2024·全國·高三專題練習）（1）學生甲手里有一枚質地均勻的硬幣，他投擲10次，不連續出現正面的可能情形有多少種？
（2）用1，2，3，4四個數字組成一個6位數，要求不允許兩個1緊挨在一起，那么可以組成多少個不同的6位數？
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