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第38講 向量中的隱圓
知識梳理
技巧一．向量極化恒等式推出的隱圓
乘積型：
定理：平面內，若為定點，且,則的軌跡是以為圓心為半徑的圓
證明：由，根據極化恒等式可知，，所以，的軌跡是以為圓心為半徑的圓．
技巧二．極化恒等式和型：
定理：若為定點，滿足,則的軌跡是以中點為圓心，為半徑的圓。
證明：，所以，即的軌跡是以中點為圓心，為半徑的圓．
技巧三．定冪方和型
若為定點，，則的軌跡為圓．
證明：
．
技巧四．與向量模相關構成隱圓
坐標法妙解
必考題型全歸納
題型一：數量積隱圓
例1．（2024·上海松江·校考模擬預測）在中，.為所在平面內的動點，且，若，則給出下面四個結論：
①的最小值為；②的最小值為；
③的最大值為；④的最大值為8.
其中，正確結論的個數是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】如圖，以為原點，所在的直線分別為軸，建立平面直角坐標系，
則，
因為，所以設，則
，，
所以，
所以，即（為任意角），
所以
（其中），
所以的最大值為，最小值為，
所以①③錯誤，
因為，
所以
（其中）
因為，
所以，
所以，
所以的最小值為，最大值為14，
所以②正確，④錯誤，
故選：A
例2．（2024·全國·高三專題練習）若正的邊長為4，為所在平面內的動點，且，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由題知，
以為坐標原點，以所在直線為軸建立平面直角坐標系，如圖，

則，，
由題意設，
則，
，
，
，
，
可得.
故選：D
例3．（2024·山東菏澤·高一統考期中）在中，AC＝5，BC＝12，∠C＝90°.P為所在平面內的動點，且PC＝2，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】在中，以直角頂點為原點，射線分別為軸非負半軸，建立平面直角坐標系，如圖，

令角的始邊為射線，終邊經過點，由，得，而，
于是，
因此
，其中銳角由確定，
顯然，則，
所以的取值范圍是.
故選：D
變式1．（2024·全國·高三專題練習）已知是邊長為的等邊三角形，其中心為O，P為平面內一點，若，則的最小值是
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】作出圖像如下圖所示，取的中點為D，則，因為，則P在以O為圓心，以1為半徑的圓上，
則.又為圓O上的點P到D的距離，則，
∴的最小值為.
故選：A.
變式2．（2024·北京·高三專題練習）為等邊三角形，且邊長為，則與的夾角大小為，若，，則的最小值為___________.
【答案】
【解析】因為是邊長為的等邊三角形，且，則為的中點，故，
以點為坐標原點，、分別為、軸的正方向建立如下圖所示的平面直角坐標系，
則、、，設點，
，，
所以，，當且僅當時，等號成立，
因此，的最小值為.
故答案為：.
變式3．（2024·全國·高三專題練習）已知圓，點，M、N為圓O上兩個不同的點，且若，則的最小值為______.
【答案】/
【解析】解法1：如圖，因為，所以，故四邊形為矩形，
設的中點為S，連接，則，
所以，
又為直角三角形，所以，故①，
設，則由①可得，
整理得：，
從而點S的軌跡為以為圓心，為半徑的圓，
顯然點P在該圓內部，所以，
因為，所以 ；
解法2：如圖，因為,所以，
故四邊形為矩形，由矩形性質，，
所以，從而，
故Q點的軌跡是以O為圓心，為半徑的圓，
顯然點P在該圓內，所以.
故答案為： .
題型二：平方和隱圓
例4．（2024·全國·高三專題練習）已知是單位向量，滿足，則的最大值為________．
【答案】
【解析】依題意，可為與x軸、y軸同向的單位向量，設
化簡得：
運用輔助角公式得：
，
即得：，
故；
故答案為：
例5．（2024·上海·高三專題練習）已知平面向量、滿足，，設，則________.
【答案】
【解析】因為且，所以；
又因為，所以；
由，所以；
根據可知：，
左端取等號時：三點共線且在線段外且靠近點；右端取等號時，三點共線且在線段外且靠近點，
所以，所以.
故答案為：.
例6．（2024·江蘇·高二專題練習）在平面直角坐標系中，已知點，，圓，若圓上存在點，使得，則實數的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】先求出動點M的軌跡是圓D,再根據圓D和圓C相交或相切，得到a的取值范圍.設，則，
所以，
所以點M的軌跡是一個圓D,
由題得圓C和圓D相交或相切，
所以，
所以.
故選：B
變式4．（2024·江蘇·高二專題練習）在平面直角坐標系中，已知直線與點，若直線上存在點滿足（為坐標原點），則實數的取值范圍是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】設 ，
∵直線與點，直線上存在點滿足，
∴，
整理,得 ①，
∵直線 上存在點M,滿足，
∴方程①有解，
∴，
解得： ，
故選D.
變式5．（2024·寧夏吳忠·高二吳忠中學校考階段練習）設，，O為坐標原點，點P滿足，若直線上存在點Q使得，則實數k的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】設，
，
，即．
點P的軌跡為以原點為圓心，2為半徑的圓面．
若直線上存在點Q使得，
則PQ為圓的切線時最大，
，即．
圓心到直線的距離，
或．
故選：C．
變式6．（2024·江西吉安·高三吉安三中校考階段練習）在平面直角坐標系xOy中，已知圓C：，點，若圓C上存在點M，滿足，則點M的縱坐標的取值范圍是___________.
【答案】
【解析】解析：設，
因為，所以，
化簡得，
則圓C：與圓：有公共點，
將兩圓方程相減可得兩圓公共弦所在直線方程為
代入可得，
故答案為：.
題型三：定冪方和隱圓
例7．（2024·湖南長沙·高一長沙一中校考期末）已知點，，直線：上存在點，使得成立，則實數的取值范圍是______.
【答案】
【解析】由題意得：直線，
因此直線經過定點；
設點坐標為，；，
化簡得：，
因此點為與直線的交點．
所以應當滿足圓心到直線的距離小于等于半徑
解得：
故答案為
例8．（2024·浙江·高三期末）已如平面向量、、，滿足，，，，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如下圖所示，作，，，取的中點，連接，
以點為圓心，為半徑作圓，
，，，
所以，為等邊三角形，
為的中點，，所以，的底邊上的高為，
，，
所以，，
所以，
，
由圓的幾何性質可知，當、、三點共線且為線段上的點時，
的面積取得最大值，此時，的底邊上的高取最大值，即，則，
因此，的最大值為.
故選：B.
例9．（2024·河北衡水·高三河北衡水中學校考期中）已知平面單位向量，的夾角為60°，向量滿足，若對任意的，記的最小值為M，則M的最大值為
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由推出，所以，如圖，終點的軌跡是以為半徑的圓，設，，，，所以表示的距離，顯然當時最小，M的最大值為圓心到的距離加半徑，即，
故選：A
變式7．（2024·江蘇·高三專題練習）已知，是兩個單位向量，與，共面的向量滿足，則的最大值為（ ）
A． B．2 C． D．1
【答案】C
【解析】由平面向量數量積的性質及其運算得，設，
則，則點C在以AB為直徑的圓O周上運動，由圖知：當DC⊥AB時，|DC|≥|DC′|，設，利用三角函數求的最值．由得：，即，
設，
則，
則點C在以AB為直徑的圓O上運動，
由圖知：當DC⊥AB時，|DC|≥|DC′|，
設，
則，
所以當時，|DC|取最大值，
故選：C．
變式8．（2024·浙江舟山·高一舟山中學校考階段練習）已知、、是平面向量，是單位向量． 若，， 則的最大值為_______．
【答案】
【解析】因為，則，即，
因為，即，
作，，，，則，
，則，
固定點，則為的中點，則點在以線段為直徑的圓上，
點在以點為圓心，為半徑的圓上，如下圖所示：
，
設，則，
因為，，
故
，
當時，等號成立，即的最大值為.
故答案為：.
變式9．（2024·四川達州·高二四川省大竹中學校考期中）已知，，是平面向量，是單位向量.若非零向量與的夾角為，向量滿足，則的最小值是_______．
【答案】
【解析】由得，，
故，或或，
設，，以O為原點，的方向為x軸正方向，建立如圖所示坐標系，
則，令，則，，
由，或或，
得B點在以為圓心，為半徑的圓上，
又非零向量與的夾角為，則設的起點為原點，則終點在不含端點的兩條射線，上，
則的幾何意義等價于圓上的點到射線上的點的距離，則其最小值為圓心到直線的距離減去半徑，不妨以為例，
則的最小值為
故答案為：
變式10．（2024·全國·高三專題練習）已知平面向量、、、，滿足，，，，若，則的最大值是_________.
【答案】
【解析】因為，即，可得，
設，，則，則，
設，則，
因為，，則或，
因為，則或，
令，則或，
根據對稱性，可只考慮，
由，
記點、、，則，，
所以，，
當且僅當點為線段與圓的交點時，等號成立，
所以，
.
故答案為：.
變式11．（2024·河南南陽·南陽中學校考模擬預測）已知是平面向量，，若非零向量與的夾角為，向量滿足，則的最小值是__________.
【答案】/
【解析】設，則由得，可得，
由得，
因此，表示圓上的點到直線上的點的距離；
故其最小值為圓心到直線的距離減去半徑1，即.
故答案為：
題型四：與向量模相關構成隱圓
例10．（2024·遼寧大連·大連二十四中校考模擬預測）已知是平面內的三個單位向量，若，則的最小值是__________．
【答案】
【解析】均為單位向量且，不妨設，，且，
，，
，
的幾何意義表示的是點到和兩點的距離之和的2倍，
點在單位圓內，點在單位圓外，
則點到和兩點的距離之和的最小值即為和兩點間距離，
所求最小值為.
故答案為：.
例11．（2024·上海·高三專題練習）已知、、、都是平面向量，且，若，則的最小值為____________．
【答案】
【解析】
作圖，，則，，
因為，所以起點在原點，終點在以B為圓心，1為半徑的圓上；
同理，，所以起點在原點，終點在以C為圓心，1為半徑的圓上，
所以的最小值則為，
因為，，當，，三點共線時，，所以.
故答案為：.
例12．（2024·上海金山·統考二模）已知、、、都是平面向量，且，若，則的最小值為__________.
【答案】/
【解析】如圖，設，，，，，
則點在以為圓心，以為半徑的圓上，點在以為圓心，以為半徑的圓上，
，所以點在射線上，
所以，
作點關于射線對稱的點，則，且，
所以（當且僅當點三點共線時取等號）
所以的最小值為，
故答案為：.
變式12．（2024·全國·高三專題練習）已知線段是圓的一條動弦，且，若點為直線上的任意一點，則的最小值為__________.
【答案】
【解析】如圖，為直線上的任意一點，
過圓心作，連接，由，
可得，
由，當共線時取等號，
又是的中點，所以，
所以.
則此時，
的最小值為.
故答案為：
變式13．（2024·全國·高三專題練習）已知為坐標原點，，B在直線上，，動點M滿足，則的最小值為__________.
【答案】/
【解析】設，
因為，所以，
因為，所以，
，
整理得，
可得點在以為圓心，半徑為的圓上，
，當時，
可得，即
圓心在在直線上，
過做的垂線，當垂足為圓心點時，長度最小，的長度也最小，
且長度最小值為，此時的最小值為.
故答案為：.
變式14．（2024·全國·高三專題練習）已知是單位向量，.若向量滿足，則||的最大值是________.
【答案】/
【解析】法一　由，得.
如圖所示，分別作,作，
由于是單位向量,則四邊形OACB是邊長為1的正方形，所以,
作，則,
所以點P在以C為圓心，1為半徑的圓上.
由圖可知，當點O，C，P三點共線且點P在點P1處時，||取得最大值,
故||的最大值是,
故答案為：
法二　由，得，
建立如圖所示的平面直角坐標系，則，
設 ，由，
得 ，
所以點C在以(1,1)為圓心，1為半徑的圓上.
所以
故答案為：
變式15．（2024·新疆·高三新疆兵團第二師華山中學校考階段練習）已知是、是單位向量，，若向量滿足，則的最大值為______
【答案】/
【解析】由、是單位向量，且，則可設，，，
所以，
向量滿足，
，
即，
它表示圓心為，半徑為的圓，
又表示圓上的點到坐標原點的距離，因為，
所以．
故答案為：．
變式16．（2024·全國·高三專題練習）已知是平面內兩個互相垂直的單位向量，若向量 滿足，則的最大值是_________．
【答案】
【解析】因為是平面內兩個互相垂直的單位向量，
故不妨設，設，
由得：，
即，即，
則的終點在以為圓心，半徑為的圓上，
故的最大值為，
故答案為：
變式17．（2024·全國·高三專題練習）已知平面向量滿足：與的夾角為，記是的最大值，則的最小值是__________．
【答案】
【解析】如圖，
設為AB中點，令，
則 ①，
因為，
故有，
②，
由①②得，從而，
因為，所以，即點C在以AB為直徑的圓E上.
，
，
當且僅當時，即時等號成立.
故答案為：
變式18．（2024·全國·高三專題練習）已知向量，滿足，，則的最大值為___________.
【答案】5
【解析】令，
，
，
，
令，
設，則
，，
令，
若函數存在極值點，則是函數的唯一極值點，
顯然，函數在取得最值，
，
故答案為：5.
變式19．（2024·全國·高三專題練習）已知向量滿足，則的最大值為________．
【答案】
【解析】設，以OA所在的直線為x軸，O為坐標原點建立平面直角坐標系，
∵
則A(4,0)，B(2,2)，設C(x,y)，
∵，∴，
即，∴點C在以(3,1)為圓心，1為半徑的圓上，
表示點A，C的距離，即圓上的點與A(4,0)的距離，
∵圓心到A的距離為，
∴的最大值為.
故答案為：.
變式20．（2024·全國·高三專題練習）設，為單位向量，則的最大值是________
【答案】
【解析】依題意，為單位向量，設，
則
，
當且僅當，即時等號成立.
故答案為：
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21世紀教育網(www.21cnjy.com)第38講 向量中的隱圓
知識梳理
技巧一．向量極化恒等式推出的隱圓
乘積型：
定理：平面內，若為定點，且,則的軌跡是以為圓心為半徑的圓
證明：由，根據極化恒等式可知，，所以，的軌跡是以為圓心為半徑的圓．
技巧二．極化恒等式和型：
定理：若為定點，滿足,則的軌跡是以中點為圓心，為半徑的圓。
證明：，所以，即的軌跡是以中點為圓心，為半徑的圓．
技巧三．定冪方和型
若為定點，，則的軌跡為圓．
證明：
．
技巧四．與向量模相關構成隱圓
坐標法妙解
必考題型全歸納
題型一：數量積隱圓
例1．（2024·上海松江·校考模擬預測）在中，.為所在平面內的動點，且，若，則給出下面四個結論：
①的最小值為；②的最小值為；
③的最大值為；④的最大值為8.
其中，正確結論的個數是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
例2．（2024·全國·高三專題練習）若正的邊長為4，為所在平面內的動點，且，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
例3．（2024·山東菏澤·高一統考期中）在中，AC＝5，BC＝12，∠C＝90°.P為所在平面內的動點，且PC＝2，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
變式1．（2024·全國·高三專題練習）已知是邊長為的等邊三角形，其中心為O，P為平面內一點，若，則的最小值是
A． B． C． D．
變式2．（2024·北京·高三專題練習）為等邊三角形，且邊長為，則與的夾角大小為，若，，則的最小值為___________.
變式3．（2024·全國·高三專題練習）已知圓，點，M、N為圓O上兩個不同的點，且若，則的最小值為______.
題型二：平方和隱圓
例4．（2024·全國·高三專題練習）已知是單位向量，滿足，則的最大值為________．
例5．（2024·上海·高三專題練習）已知平面向量、滿足，，設，則________.
例6．（2024·江蘇·高二專題練習）在平面直角坐標系中，已知點，，圓，若圓上存在點，使得，則實數的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
變式4．（2024·江蘇·高二專題練習）在平面直角坐標系中，已知直線與點，若直線上存在點滿足（為坐標原點），則實數的取值范圍是（　　）
A． B．
C． D．
變式5．（2024·寧夏吳忠·高二吳忠中學校考階段練習）設，，O為坐標原點，點P滿足，若直線上存在點Q使得，則實數k的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
變式6．（2024·江西吉安·高三吉安三中校考階段練習）在平面直角坐標系xOy中，已知圓C：，點，若圓C上存在點M，滿足，則點M的縱坐標的取值范圍是___________.
題型三：定冪方和隱圓
例7．（2024·湖南長沙·高一長沙一中校考期末）已知點，，直線：上存在點，使得成立，則實數的取值范圍是______.
例8．（2024·浙江·高三期末）已如平面向量、、，滿足，，，，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
例9．（2024·河北衡水·高三河北衡水中學校考期中）已知平面單位向量，的夾角為60°，向量滿足，若對任意的，記的最小值為M，則M的最大值為
A． B． C． D．
變式7．（2024·江蘇·高三專題練習）已知，是兩個單位向量，與，共面的向量滿足，則的最大值為（ ）
A． B．2 C． D．1
變式8．（2024·浙江舟山·高一舟山中學校考階段練習）已知、、是平面向量，是單位向量． 若，， 則的最大值為_______．
變式9．（2024·四川達州·高二四川省大竹中學校考期中）已知，，是平面向量，是單位向量.若非零向量與的夾角為，向量滿足，則的最小值是_______．
變式10．（2024·全國·高三專題練習）已知平面向量、、、，滿足，，，，若，則的最大值是_________.
變式11．（2024·河南南陽·南陽中學校考模擬預測）已知是平面向量，，若非零向量與的夾角為，向量滿足，則的最小值是__________.
題型四：與向量模相關構成隱圓
例10．（2024·遼寧大連·大連二十四中校考模擬預測）已知是平面內的三個單位向量，若，則的最小值是__________．
例11．（2024·上海·高三專題練習）已知、、、都是平面向量，且，若，則的最小值為____________．
例12．（2024·上海金山·統考二模）已知、、、都是平面向量，且，若，則的最小值為__________.
變式12．（2024·全國·高三專題練習）已知線段是圓的一條動弦，且，若點為直線上的任意一點，則的最小值為__________.
變式13．（2024·全國·高三專題練習）已知為坐標原點，，B在直線上，，動點M滿足，則的最小值為__________.
變式14．（2024·全國·高三專題練習）已知是單位向量，.若向量滿足，則||的最大值是________.
變式15．（2024·新疆·高三新疆兵團第二師華山中學校考階段練習）已知是、是單位向量，，若向量滿足，則的最大值為______
變式16．（2024·全國·高三專題練習）已知是平面內兩個互相垂直的單位向量，若向量 滿足，則的最大值是_________．
變式17．（2024·全國·高三專題練習）已知平面向量滿足：與的夾角為，記是的最大值，則的最小值是__________．
變式18．（2024·全國·高三專題練習）已知向量，滿足，，則的最大值為___________.
變式19．（2024·全國·高三專題練習）已知向量滿足，則的最大值為________．
變式20．（2024·全國·高三專題練習）設，為單位向量，則的最大值是________
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5、專題分類匯編（純word解析版）
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