資源簡介

第86講 排列與組合
知識梳理
知識點1、排列與排列數
（1）定義：從個不同元素中取出個元素排成一列，叫做從個不同元素中取出個元素的一個排列．從個不同元素中取出個元素的所有排列的個數，叫做從個不同元素中取出個元素的排列數，用符號表示．
（2）排列數的公式：．
特例：當時，；規定：．
（3）排列數的性質：
①；②；③．
（4）解排列應用題的基本思路：
通過審題，找出問題中的元素是什么，是否與順序有關，有無特殊限制條件（特殊位置，特殊元素）．
注意：排列數公式的兩種不同表達形式本質是一樣的，但作用略有不同，常用于具體數字計算；而在進行含字母算式化簡或證明時，多用．
知識點2、組合與組合數
（1）定義：從個不同元素中取出個元素并成一組，叫做從個不同元素中取出個元素的一個組合．從個不同元素中取出個元素的所有組合的個數，叫做從個不同元素中取出個元素的組合數，用符號表示．
（2）組合數公式及其推導
求從個不同元素中取出個元素的排列數，可以按以下兩步來考慮：
第一步，先求出從這個不同元素中取出個元素的組合數；
第二步，求每一個組合中個元素的全排列數；
根據分步計數原理，得到；
因此．
這里，，且，這個公式叫做組合數公式．因為，所以組合數公式還可表示為：．特例：．
注意：組合數公式的推導方法是一種重要的解題方法！在以后學習排列組合的混合問題時，一般都是按先取后排（先組合后排列）的順序解決問題．公式常用于具體數字計算，常用于含字母算式的化簡或證明．
（3）組合數的主要性質：①；②．
（4）組合應用題的常見題型：
①“含有”或“不含有”某些元素的組合題型
②“至少”或“最多”含有幾個元素的題型
知識點3、排列和組合的區別
組合：取出的元素地位平等，沒有不同去向和分工．
排列：取出的元素地位不同，去向、分工或職位不同．
注意：排列、組合都是研究事物在某種給定的模式下所有可能的配置數目問題，它們之間的主要區別在于是否要考慮選出元素的先后順序，不需要考慮順序的是組合問題，需要考慮順序的是排列問題．排列是在組合的基礎上對入選的元素進行排隊，因此，分析解決排列組合綜合問題的基本思維是“先組合，后排列”．
知識點4、解決排列組合綜合問題的一般過程
1、認真審題，確定要做什么事；
2、確定怎樣做才能完成這件事，即采取分步還是分類或是分步與分類同時進行，弄清楚分多少類及多少步；
3、確定每一步或每一類是排列（有序）問題還是組合（無序）問題，元素總數是多少及取出多少個元素；
4、解決排列組合綜合性問題，往往類與步交叉，因此必須掌握一些常用的解題策略．
【解題方法總結】
1、如圖，在圓中，將圓分等份得到個區域，，，，，現取種顏色對這個區域涂色，要求每相鄰的兩個區域涂不同的兩種顏色，則涂色的方案有種．
2、錯位排列公式
3、數字排列問題的解題原則、常用方法及注意事項
（1）解題原則：排列問題的本質是“元素”占“位子”問題，有限制條件的排列問題的限制條件主要表現在某元素不排在某個位子上，或某個位子不排某些元素，解決該類排列問題的方法主要是按“優先”原則，即優先排特殊元素或優先滿足特殊位子，若一個位子安排的元素影響到另一個位子的元素個數時，應分類討論．
4、定位、定元的排列問題，一般都是對某個或某些元素加以限制，被限制的元素通常稱為特殊元素，被限制的位置稱為特殊位置．這一類問題通常以三種途徑考慮：
（1）以元素為主考慮，這時，一般先解決特殊元素的排法問題，即先滿足特殊元素，再安排其他元素；
（2）以位置為主考慮，這時，一般先解決特殊位置的排法問題，即先滿足特殊位置，再考慮其他位置；
（3）用間接法解題，先不考慮限制條件，計算出排列總數，再減去不符合要求的排列數．
5、解決相鄰問題的方法是“捆綁法”，其模型為將n個不同元素排成一排，其中某k個元素排在相鄰位置上，求不同排法種數的方法是：先將這k個元素“捆綁在一起”，看成一個整體，當作一個元素同其他元素一起排列，共有種排法；然后再將“捆綁”在一起的元素“內部”進行排列，共有種排法．根據分步乘法計數原理可知，符合條件的排法共有種．
6、解決不相鄰問題的方法為“插空法”，其模型為將個不同元素排成一排，其中某個元素互不相鄰（），求不同排法種數的方法是：先將（）個元素排成一排，共有種排法；然后把個元素插入個空隙中，共有種排法．根據分步乘法計數原理可知，符合條件的排法共有·種．
必考題型全歸納
題型一：排列數與組合數的推導、化簡和計算
例1．（2024·全國·高三專題練習）若，則實數的值為（ ）
A． B． C．1或3 D．
【答案】C
【解析】因為，所以或，解得或，
故選：C
例2．（2024·全國·高三專題練習）（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
.
故選：B.
例3．（2024·甘肅蘭州·統考一模），則等于 ．
【答案】10
【解析】因為，解得或，
且，所以.
故答案為：10.
變式1．（2024·全國·高三專題練習）
【答案】/
【解析】.
故答案為：.
變式2．（2024·全國·高三專題練習） ．
【答案】0
【解析】.
故答案為：0.
變式3．（2024·高三課時練習）已知，則 .
【答案】2或3
【解析】，
，又，
所以或.
故答案為：2或3.
變式4．（2024·河北衡水·高三衡水市第二中學期末）若，則
【答案】
【解析】由組合數的性質可得，解得，
又因為，所以或，
解得（舍去）或，
所以，
故答案為：
變式5．（2024·全國·高三對口高考）計算的值為 .
【答案】466
【解析】依題意，，解得，而，于是得，
所以，原式.
故答案為：466
題型二：直接法
例4．（2024·江蘇·高三校聯考開學考試）甲、乙、丙等六人相約到電影院觀看電影《封神榜》，恰好買到了六張連號的電影票．若甲、乙兩人必須坐在丙的同一側，則不同的坐法種數為（ ）
A．360 B．480 C．600 D．720
【答案】B
【解析】由題意，甲、乙、丙等六人的全排列，共有種不同的排法，
其中甲、乙、丙三人的全排列有種不同的排法，
其中甲、乙在丙的同側有：甲乙丙、乙甲丙、丙甲乙，丙乙甲，共4種排法，
所以甲、乙兩人必須坐在丙的同一側，則不同的坐法種數為種.
故選：B.
例5．（2024·重慶·高三統考階段練習）雅禮女籃一直是雅禮中學的一張靚麗的名片，在剛剛結束的2022到2024賽季中國高中籃球聯賽女子組總決賽中，雅禮中學女籃隊員們敢打敢拼，最終獲得了冠軍．在頒獎儀式上，女籃隊員12人（其中1人為隊長），教練組3人，站成一排照相，要求隊長必須站中間，教練組三人要求相鄰并站在邊上，總共有多少種站法（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】選擇左右兩邊其中一邊將教練組3人捆綁看作一個整體安排共有種排法，
將剩余的11名隊員全排列共有，
由分步乘法計數原理可得總的站法有，
故選:B.
例6．（2024·全國·高三專題練習）有五名志愿者參加社區服務，共服務星期六、星期天兩天，每天從中任選兩人參加服務，則恰有1人連續參加兩天服務的選擇種數為（ ）
A．120 B．60 C．40 D．30
【答案】B
【解析】不妨記五名志愿者為，假設連續參加了兩天社區服務，再從剩余的4人抽取2人各參加星期六與星期天的社區服務，共有種方法，
同理：連續參加了兩天社區服務，也各有種方法，
所以恰有1人連續參加了兩天社區服務的選擇種數有種.
故選：B.
變式6．（2024·全國·高三對口高考）要排出某班一天中語文，數學，政治，英語，體育，藝術6門課各一節的課程表，要求數學課排在前3節，英語課不排在第6節，則不同的排法種數為（ ）
A．24 B．72 C．144 D．288
【答案】D
【解析】數學課排在前3節，英語課不排在第6節，
∴先排數學課有種排法，再排最后一節有種排法，剩余的有種排法，
∴根據分步計數原理知，共有種排法．
故選：D．
變式7．（2024·全國·高三對口高考）運輸公司從5名男司機，4名女司機中選派出3名男司機，2名女司機，到，，，，這五個不同地區執行任務，要求地只能派男司機，地只能派女司機，則不同的方案種數是（ ）
A．360 B．720 C．1080 D．2160
【答案】D
【解析】第一步，先從5名男司機，4名女司機中選派出3名男司機，2名女司機，共有種方法，
第二步，從抽取到的司機中，派1名男司機去地，派一名女司機去地，共有種方法，
第三步，剩下3名司機隨機去，，三地，共有種方法，
故不同方案種數為，
故選：D
變式8．（2024·全國·高三對口高考）從編號為1，2，3，4，5的5個球中任取4個，放在編號為A，B，C，D的4個盒子里，每盒一球，且2號球不能放在B盒中的不同的方法數是（ ）
A．24 B．48 C．54 D．96
【答案】D
【解析】先在編號為1，3，4，5的4個球中任取1個放在B盒中，
再將余下的3個球與2號球放在一起，從中選3個球放在編號為
A，C，D的3個盒子中，每盒一球，即可完成題目要求.
則符合題給要求的不同的方法數為
故選：D
變式9．（2024·陜西·高三校聯考階段練習）甲、乙兩個家庭周末到附近景區游玩，其中甲家庭有2個大人和2個小孩，乙家庭有2個大人和3個小孩，他們9人在景區門口站成一排照相，要求每個家庭的成員要站在一起，且同一家庭的大人不能相鄰，則所有不同站法的種數為（ ）
A．144 B．864 C．1728 D．2880
【答案】C
【解析】甲家庭的站法有種，乙家庭的站法有種，
最后將兩個家庭的整體全排列，有種站法，
則所有不同站法的種數為．
故選：C
題型三：間接法
例7．（2024·全國·高三專題練習）個點將半圓分成段弧，以個點（包括個端點）為頂點的三角形中鈍角三角形有（　　）個
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根據題意，如圖：在10個點中，任意三點不共線，
在其中任取3個點，可以組成個三角形，
其中沒有銳角三角形，直角三角形是包含點和余下的8點任意取一個構成的三角形，有8個，則鈍角三角形有個．
故選：B．
例8．（2024·湖北武漢·高二校聯考期末）甲 乙 丙 丁四位同學決定去黃鶴樓 東湖 漢口江灘游玩，每人只能去一個地方，漢口江灘一定要有人去，則不同游覽方案的種數為（ ）
A．65 B．73 C．70 D．60.
【答案】A
【解析】根據題意，甲、乙、丙、丁四位同學決定去黃鶴樓 東湖 漢口江灘游玩，且每人只能去一個地方，
則每人有3種選擇，則4人一共有種情況，
若漢口江灘沒人去，即四位同學選擇了黃鶴樓 東湖，
每人有2種選擇方法，則4人一共有種情況，
故漢口江灘一定要有人去有種情況，
故選：A．
例9．（2024·湖南長沙·雅禮中學校聯考二模）從正360邊形的頂點中取若干個，依次連接，構成的正多邊形的個數為（ ）
A．360 B．630 C．1170 D．840
【答案】B
【解析】從360的約數中去掉1和2，其余的約數均可作為正多邊形的邊數，
設從360個頂點中選出個構成正多邊形，這樣的正多邊形有個，
因此所求的正多邊形的個數就是360的所有約數之和減去360和180，
考慮到，
因此所求正多邊形的個數為.
故選：B.
變式10．（2024·全國·高三專題練習）將7個人從左到右排成一排，若甲、乙、丙3人中至多有2人相鄰，且甲不站在最右端，則不同的站法有（ ）．
A．1860種 B．3696種 C．3600種 D．3648種
【答案】D
【解析】7個人從左到右排成一排，共有種不同的站法，其中甲、乙、丙3個都相鄰有種不同的站法，甲站在最右端有種不同的站法，甲、乙、丙3個相鄰且甲站最右端有種不同的站法，故甲、乙、丙3人中至多有2人相鄰，且甲不站在最右端，不同的站法有種不同的站法.
故選：D
題型四：捆綁法
例10．（2024·四川內江·高三期末）甲、乙、丙、丁、戊5名同學站成一排參加文藝匯演，若甲和乙相鄰，丙不站在兩端，則不同的排列方式共有（ ）
A．12種 B．24種 C．36種 D．48種
【答案】B
【解析】將甲和乙看作一個整體，有種方法，
將丁、戊和甲乙的整體首先安排到兩端，則有種方法，
再安排丙和剩余的人，有有種方法，
根據分步乘法計數原理可得不同的排列方式有：種．
故選：B．
例11．（2024·江西宜春·高三統考開學考試）“基礎學科拔尖學生培養試驗計劃”簡稱“珠峰計劃”，是國家為回應“錢學森之問”而推出的一項人才培養計劃，旨在培養中國自己的學術大師.浙江大學 復旦大學 武漢大學 中山大學均有開設數學學科拔尖學生培養基地.已知某班級有共5位同學從中任選一所學校作為奮斗目標，每所學校至少有一位同學選擇，則同學選擇浙江大學的不同方法共有（ ）
A．24種 B．60種 C．96種 D．240種
【答案】B
【解析】5位同學選擇4所學校，每所學校至少有一位同學選擇，則有兩位同學選擇了同一所學校，已知同學選擇浙江大學，
當有兩位同學選擇了浙江大學時，則這4 位同學在4所大學中分別選了一所，共種選法；
當只有A同學選擇了浙江大學時，則這4 位同學在其余3所大學中選擇，每所學校至少有一位同學選擇，則有兩位同學選擇了同一所學校，共種選法；
所以同學選擇浙江大學的不同方法共有種.
故選：B
例12．（2024·全國·高三專題練習）某個單位安排7位員工在“五·一”假期中1日至7日值班，每天安排1人值班，且每人值班1天，若7位員工中的甲、乙排在相鄰的兩天，丙不排在5月1日，丁不排在5月7日，則不同的安排方案共有（ ）
A．504種 B．960種 C．1008種 D．1200種
【答案】C
【解析】依題意，滿足甲、乙兩人值班安排在相鄰兩天的方法共有（種），
其中滿足甲、乙兩人值班安排在相鄰兩天且丙在5月1日值班的方法共有（種）；
滿足甲、乙兩人值班安排在相鄰兩天且丁在5月7日值班的方法共有(種)；
滿足甲、乙兩人值班安排在相鄰兩天且丙在5月1日值班，丁在5月7日值班的方法共有(種).
因此滿足題意的方法共有(種).
故選：C.
變式11．（2024·全國·高三專題練習）2024年春節在北京工作的五個家庭，開車搭伴一起回老家過年，若五輛車分別為，五輛車隨機排成一排，則車與車相鄰，車與車不相鄰的排法有（ ）
A．36種 B．42種 C．48種 D．60種
【答案】A
【解析】將車與車捆在一起當一個元素使用，有種捆法，
將除車外的個元素全排，有種排法，
將車插入，不與車相鄰，又種插法，
故共有種排法.
故選：A
變式12．（2024·全國·高三專題練習）為慶祝廣益中學建校130周年，高二年級派出甲 乙 丙 丁 戊5名老師參加“130周年辦學成果展”活動，活動結束后5名老師排成一排合影留念，要求甲、乙兩人不相鄰且丙、丁兩人必須相鄰，則排法共有（ ）種.
A．40 B．24 C．20 D．12
【答案】B
【解析】由題意得，5名代表排成一排合影留念，要求甲、乙兩人不相鄰且丙、丁兩人必須相鄰，
先令丙、丁兩人相鄰用捆綁法，再把丙、丁與戊排列在一起，最后插空令甲、乙兩人不相鄰,則不同的排法共有種.
故選：.
題型五：插空法
例13．（2024·湖北·高三孝感高中校聯考開學考試）已知來自甲、乙、丙三個學校的5名學生參加演講比賽，其中三個學校的學生人數分別為1、2、2.現要求相同學校的學生的演講順序不相鄰，則不同的演講順序的種數為（ ）
A．40 B．36 C．56 D．48
【答案】D
【解析】設這5個人分別為：ABCDE，則要求B與C和D與E的演講順序都不能相鄰.
第一類：A在BC中間，此時再把D與E插空到這3人中間，
此時的不同的演講順序有
第二類：A不在BC中間，此時先考慮B與C和D與E，分別將他們看成兩個人的整體，再將他們的順序應相間排列，最后考慮A，此時的不同的演講順序有
綜上可得：總共有48種不同的演講順序，
故選：D.
例14．（2024·黑龍江佳木斯·高三校考開學考試）甲、乙、丙、丁、戊五人排成一排，甲和乙不相鄰，排法種數為（　　）
A．12 B．36 C．48 D．72
【答案】D
【解析】先排丙、丁、戊三人，共有種排法，
甲和乙不相鄰，再將甲、乙插空，
共有種排法，故排法種數為．
故選：D
例15．（2024·遼寧沈陽·高三沈陽二十中校考開學考試）五聲音階是中國古樂基本音階，故有成語“五音不全”，中國古樂中的五聲音階依次為：宮、商、角、徵、羽，若把這五個音階全用上，排成一個五個音階的音序，且要求宮、羽兩音階不相鄰且在角音階的同側，則可排成不同的音序種數為（ ）
A．72 B．28 C．24 D．32
【答案】D
【解析】若角音階排在兩端，則宮、羽兩音階一定在角音階的同側，此時有種；
若角音階排在正中間，則不可能出現宮、羽兩音階不相鄰且在角音階的同側的情況；
若角音階排在第二或第四個位置上，則有種排法.
根據分類加法計數原理可得共有種排法.
故選：D
變式13．（2024·全國·高三對口高考）2位男生和3位女生共5位同學站成一排．若男生甲不站兩端，3位女生中有且只有兩位女生相鄰，則不同排法的種數為（ ）
A．36 B．42 C．48 D．60
【答案】C
【解析】女生任選兩人捆綁看作，并與余下女生排成一排有種方法，所成排中有3個空，
若兩男生不相鄰，則男生甲排在之間的位置上，另一男生在兩端任選一個位置有種；
若兩男生相鄰，則有種排法，再插入之間的位置上只有一種方法；
綜上，不同排法共有種.
故選：C
變式14．（2024·陜西西安·西北工業大學附屬中學校考模擬預測）某校舉行文藝匯演，甲、乙、丙等6名同學站成一排演唱歌曲，若甲、乙不相鄰，丙不在兩端，則不同的排列方式共有（ ）
A．72種 B．144種 C．288種 D．432種
【答案】C
【解析】除甲乙丙外的三個人排一排有種排法，此時將甲乙插空有種排法，這時甲乙包括剩下三個人形成了6個空，去掉首尾的，則丙有4種排法，
共有，
故選：C
變式15．（2024·四川·校聯考模擬預測）北京地處中國北部 華北平原北部，東與天津毗連，其余方向均與河北相鄰，是世界著名古都，也是國務院批復確定的中國政治中心 文化中心 國際交往中心 科技創新中心.為了感受這座古今中外聞名的城市，某學生決定在高考后游覽北京，計劃6天游覽故宮 八達嶺長城 頤和園 “水立方” “鳥巢” 798藝術區 首都博物館7個景點，如果每天至少游覽一個景點，且“水立方”和“鳥巢”在同一天游覽，故宮和八達嶺長城不在相鄰兩天游覽，那么不同的游覽順序共有（ ）
A．120種 B．240種 C．480種 D．960種
【答案】D
【解析】順序排列分2步進行，（1）將“水立方”和“鳥巢”看成一個整體，與頤和園 798藝術區 首都博物館全排列，有種情況，
（2）排好后，有5個空位可用，在其中任選2個，安排故宮和八達嶺長城，有種情況，則有種不同的游覽順序.
故選：D.
變式16．（2024·湖北襄陽·襄陽四中校考模擬預測）一排有8個座位，有3人各不相鄰而坐，則不同的坐法共有（ ）
A．120種 B．60種 C．40種 D．20種
【答案】A
【解析】依題意，把3人連同他的座位一起插入另5個座位形成的6個空隙中，有種.
故選：A
題型六：定序問題（先選后排）
例16．（2024·全國·高三專題練習）滿足，且的有序數組共有（ ）個.
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵數組中數字的大小確定，從1到9共9個數任取4個數得一個有序數組，所有個數為．
故選：A．
例17．（2024·高二課時練習）已知，則滿足的有序數組共有（ ）個
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】所有有序數組 中,滿足的
有序數組 中包含個0，另外兩個數在或中選擇，每個位置有2種選擇，由乘法計數原理得不同的種數為
故選：A.
例18．（2024·山西朔州·高二懷仁市第一中學校校考期中）五人并排站在一排，如果A，B必須相鄰且B在A的右邊，那么不同的排法種數有（ ）
A．60種 B．48種 C．36種 D．24種
【答案】D
【解析】根據題意，分2步進行分析：
①，必須相鄰且在的左邊，將看成一個整體，有1種順序，
②將整體與、、全排列，有種情況，
則有種排法；
故選：D．
變式17．（2024·全國·高三專題練習）DNA是形成所有生物體中染色體的一種雙股螺旋線分子，由稱為堿基的化學成分組成它看上去就像是兩條長長的平行螺旋狀鏈，兩條鏈上的堿基之間由氫鍵相結合．在DNA中只有4種類型的堿基，分別用A、C、G和T表示，DNA中的堿基能夠以任意順序出現兩條鏈之間能形成氫鍵的堿基或者是A-T，或者是C-G，不會出現其他的聯系因此，如果我們知道了兩條鏈中一條鏈上堿基的順序，那么我們也就知道了另一條鏈上堿基的順序．如圖所示為一條DNA單鏈模型示意圖，現在某同學想在堿基T和堿基C之間插入3個堿基A，2個堿基C和1個堿基T，則不同的插入方式的種數為（ ）
A．20 B．40 C．60 D．120
【答案】C
【解析】依題意可知，不同的插入方式的種數為.
故選：C
變式18．（2024·江蘇揚州·高三校考期末）花燈，又名“彩燈”“燈籠”，是中國傳統農業時代的文化產物，兼具生活功能與藝術特色.如圖，現有懸掛著的6盞不同的花燈需要取下，每次取1盞，則不同取法總數為_________
【答案】
【解析】由題意，對6盞不同的花燈進行取下，
先對6盞不同的花燈進行全排列，共有種方法，
因為取花燈每次只取一盞，而且只能從下往上取，
所以必須除去重復的排列順序，即先取上方的順序，
故共有取法總數為：.
故答案為：
變式19．（2024·全國·高三專題練習）某公司在元宵節組織了一次猜燈謎活動，主持人事先將10條不同燈謎分別裝在了如圖所示的10個燈籠中，猜燈謎的職員每次只能任選每列最下面的一個燈籠中的謎語來猜（無論猜中與否，選中的燈籠就拿掉），則這10條燈謎依次被選中的所有不同順序方法數為____________.（用數字作答）
【答案】
【解析】一共有10條燈謎，共有種方法，由題意可知而其中按2，3，3，2組成的4列相對位置不變，所以結合倍縮法可知共有種，也即是這10條燈謎依次被選中的所有不同順序方法有種
故答案為：.
變式20．（2024·高二課時練習）7人排隊，其中甲、乙、丙3人順序一定，共有__不同的排法.
【答案】840
【解析】根據題意，假設有7個位置，對應7個人，
先在7個位置中任取4個，安排除甲、乙、丙之外的4人，有種情況，
由于甲、乙、丙3人順序一定，在剩余3個位置安排3人即可，有1種情況，
則共有種不同的排法；
故答案為：840.
題型七：列舉法
例19．（2024·全國·高三專題練習）數論領域的四平方和定理最早由歐拉提出，后被拉格朗日等數學家證明．四平方和定理的內容是：任意正整數都可以表示為不超過四個自然數的平方和，例如正整數．設，其中a，b，c，d均為自然數，則滿足條件的有序數組的個數是（ ）
A．28 B．24 C．20 D．16
【答案】A
【解析】顯然a，b，c，d均為不超過5的自然數，下面進行討論．
最大數為5的情況：
①，此時共有種情況；
最大數為4的情況：
②，此時共有種情況；
③，此時共有種情況．
當最大數為3時，，故沒有滿足題意的情況．
綜上，滿足條件的有序數組的個數是．
故選：A
例20．（2024·浙江寧波·高二校聯考期末）已知字母，，各有兩個，現將這6個字母排成一排，若有且僅有一組字母相鄰（如），則不同的排法共有（ ）種
A．36 B．30 C．24 D．16
【答案】A
【解析】有且僅有一組字母相鄰，這組字母有三種情況：.
當相鄰的這組字母為時，將6個位置編成1-6號，
若在1號和2號，則3號和5號字母相同，4號和6號字母相同，有2種排法；
若在2號和3號，則1號和5號字母相同，4號和6號字母相同，有2種排法；
若在3號和4號，則1號和2號字母不相同，5號和6號字母不相同，有種排法；
若在4號和5號，則2號和6號字母相同，1號和3號字母相同，有2種排法；
若在5號和6號，則1號和3號字母相同，2號和4號字母相同，有2種排法，
即相鄰的字母為時，共有種排法.
同理，相鄰的字母為時，也都有12種排法，故共有種排法.
故選：A.
例21．（2024·全國·高三專題練習）某人設計一項單人游戲，規則如下：先將一棋子放在如圖所示正方形（邊長為2個單位）的頂點處，然后通過擲骰子來確定棋子沿正方形的邊按逆時針方向行走了幾個單位，如果擲出的點數為，則棋子就按逆時針方向行走個單位，一直循環下去.則某人拋擲三次骰子后棋子恰好又回到起點處的所有不同走法共有（ ）
A．21種 B．22種 C．25種 D．27種
【答案】D
【解析】由題意，正方形的周長為8，拋擲三次骰子的點數之和為8或16，
①點數之和為8的情況有：；；；；，排列方法共有種；
②點數之和為16的情況有：；，排列方法共有種.
所以，拋擲三次骰子后棋子恰好又回到起點處的所有不同走法共有種.
故選：D.
變式21．（2024·海南海口·統考一模）形如45132這樣的數稱為“波浪數”，即十位上的數字，千位上的數字均比與它們各自相鄰的數字大，則由1，2，3，4，5可組成數字不重復的五位“波浪數”的個數為
A．20 B．18 C．16 D．11
【答案】C
【解析】此“波浪數”中，十位數字，千位數字必有5、另一數是3或4；
是4時“波浪數”有；
另一數3時4、5必須相鄰即45132；45231；13254；23154四種．
則由1，2，3，4，5可構成數字不重復的五位“波浪數”個數為16，
故選C．
變式22．（2024·全國·高三專題練習）工人在安裝一個正六邊形零件時，需要固定如圖所示的六個位置的螺栓.若按一定順序將每個螺栓固定緊，但不能連續固定相鄰的2個螺栓.則不同的固定螺栓方式的種數是________．
【答案】60
【解析】根據題意，第一個可以從6個釘里任意選一個，共有6種選擇方法，并且是機會相等的，若第一個選1號釘的時候，第二個可以選3,4,5號釘，依次選下去，可以得到共有10種方法，所以總共有種方法，故答案是60.
題型八：多面手問題
例22．（2024·全國·高三專題練習）我校去年11月份，高二年級有10人參加了赴日本交流訪問團，其中3人只會唱歌，2人只會跳舞，其余5人既能唱歌又能跳舞．現要從中選6人上臺表演，3人唱歌，3人跳舞，有（ ）種不同的選法．
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根據題意可按照只會跳舞的人中入選的人數分類處理．
第一類個只會跳舞的都不選，則從既能唱歌又能跳舞的5人中選擇3人來跳舞，接著從剩余的5人中選擇3人唱歌，故有種；
第二類個只會跳舞的有人入選，有種，再從從既能唱歌又能跳舞的5人中選擇2人來跳舞，有種，再從剩余的6人中選擇3人唱歌，有種，故有種；
第三類個只會跳舞的全入選，有種，再從從既能唱歌又能跳舞的5人中選擇1人來跳舞，有種，再從剩余的7人中選擇3人唱歌，有種，有種，
所以共有種不同的選法，
故選：A．
例23．（2024·全國·高三專題練習）某國際旅行社現有11名對外翻譯人員，其中有5人只會英語，4人只會法語，2人既會英語又會法語，現從這11人中選出4人當英語翻譯，4人當法語翻譯，則共有（ ）種不同的選法
A．225 B．185 C．145 D．110
【答案】B
【解析】根據題意，按“2人既會英語又會法語”的參與情況分成三類．
①“2人既會英語又會法語”不參加，這時有種；
②“2人既會英語又會法語”中有一人入選，
這時又有該人參加英文或日文翻譯兩種可能，
因此有種；
③“2人既會英語又會法語”中兩個均入選，
這時又分三種情況：兩個都譯英文、兩個都譯日文、兩人各譯一個語種，
因此有種．
綜上分析，共可開出種．
故選：B．
例24．（2024·全國·高三專題練習）“賽龍舟”是端午節的習俗之一，也是端午節最重要的節日民俗活動之一，在我國南方普遍存在端午節臨近，某單位龍舟隊欲參加今年端午節龍舟賽，參加訓練的8名隊員中有3人只會劃左槳，3人只會劃右槳，2人既會劃左槳又會劃右槳．現要選派劃左槳的3人、劃右槳的3人共6人去參加比賽，則不同的選派方法共有（ ）
A．26種 B．30種 C．37種 D．42種
【答案】C
【解析】根據題意，設只會劃左槳的3人，只會劃右槳的3人，既會劃左槳又會劃右槳的2人，據此分3種情況討論：
①從中選3人劃左槳，劃右槳的在（）中剩下的人中選取，有種選法，
②從中選2人劃左槳，中選1人劃左槳，劃右槳的在（）中選取，有種選法，
③從中選1人劃左槳，中2人劃左槳，中3人劃右槳，有種選法，
則有種不同的選法．
故選：C．
變式23．（2024·全國·高三專題練習）某龍舟隊有9名隊員，其中3人只會劃左舷，4人只會劃右舷，2人既會劃左舷又會劃右舷．現要選派劃左舷的3人、右舷的3人共6人去參加比賽，則不同的選派方法共有（ ）
A．56種 B．68種
C．74種 D．92種
【答案】D
【解析】根據劃左舷中有“多面手”人數的多少進行分類：劃左舷中沒有“多面手”的選派方法有 種，有一個“多面手”的選派方法有種，有兩個“多面手”的選派方法有種，即共有(種)不同的選派方法．
故選：D
題型九：錯位排列
例25．（2024·重慶沙坪壩·高二重慶八中校考期末）“數獨九宮格”原創者是18世紀的瑞士數學家歐拉，它的游戲規則很簡單，將1到9這九個自然數填到如圖所示的小九宮格的9個空格里，每個空格填一個數，且9個空格的數字各不相間，若中間空格已填數字5，且只填第二行和第二列，并要求第二行從左至右及第二列從上至下所填的數字都是從大到小排列的，則不同的填法種數為（ ）
A．72 B．108 C．144 D．196
【答案】C
【解析】按題意5的上方和左邊只能從1，2，3，4中選取，5的下方和右邊只能從6，7，8，9中選取．因此填法總數為．
故選：C.
例26．（2024·全國·高三專題練習）編號為1、2、3、4、5的5個人分別去坐編號為1、2、3、4、5的五個座位，其中有且只有兩個人的編號與座位號一致的坐法有（ ）
A．10種 B．20種 C．30種 D．60種
【答案】B
【解析】先選擇兩個編號與座位號一致的人，方法數有，
另外三個人編號與座位號不一致，方法數有，
所以不同的坐法有種.
故選：B
例27．（2024·全國·高三專題練習）將編號為、、、、、的小球放入編號為、、、、、的六個盒子中，每盒放一球，若有且只有兩個盒子的編號與放入的小球的編號相同，則不同的放法種數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根據題意，分以下兩步進行：
（1）在個小球中任選個放入相同編號的盒子里，有種選法，假設選出的個小球的編號為、；
（2）剩下的個小球要放入與其編號不一致的盒子里，
對于編號為的小球，有個盒子可以放入，假設放入的是號盒子.
則對于編號為的小球，有個盒子可以放入，
對于編號為、的小球，只有種放法.
綜上所述，由分步乘法計數原理可知，不同的放法種數為種.
故選：B.
變式24．（2024·廣東廣州·高二廣州奧林匹克中學校考階段練習）將編號為1 2 3 4 5 6的六個小球放入編號為1 2 3 4 5 6的六個盒子里，每個盒子放一個小球，若有且只有三個盒子的編號與放入的小球編號相同，則不同的方法總數是（ ）
A．20 B．40 C．120 D．240
【答案】B
【解析】第一步，先選取3個盒子，放入編號相同的3個球，方法數為，第二步剩下的3個盒子放入編號不同的小球，有2種方法，所以總方法數為．
故選：B．
題型十：涂色問題
例28．（2024·全國·高三專題練習）如圖，一個地區分為5個行政區域，現給該地區的5個區域涂色，要求相鄰區域不得使用同一種顏色，現有4種顏色可供選擇，則不同的涂色方法共有 種.
【答案】72
【解析】觀察圖形知，2區與4區不相鄰，3區與5區不相鄰，且不相鄰的區域可用同1種顏色涂色，因此計算涂色方法可用3色和4色，
使用3種顏色，則2區與4區同色，3區與5區必同色，涂2區與4區有4種方法，
涂3區與5區有3種方法，涂1區有2種方法，則涂色方法有（種）；
使用4種顏色，選取同色的方案有2種，涂同色的兩塊有4種方法，涂另外3塊依次有3，2，1種方法，
則涂色方法有（種），
所以不同的涂色方法共有（種）.
故答案為：72
例29．（2024·全國·高三專題練習）對正方體的6個面進行涂色，有5種不同的顏色可供選擇.要求每個面只涂一種顏色，且有公共棱的兩個面不同色，則總的涂色方法個數為 （填寫數字）
【答案】780
【解析】按上，前，右，后，下，左6個面的順序涂色，
（1）前后同色時，
①上下同色有種涂色方法，
②上下不同色有種涂色方法；
（2）前后不同色時，
①上下同色有種涂色方法，
②上下不同色有種涂色方法.
總的涂色方法個數為
故答案為；780 .
例30．（2024·重慶·統考模擬預測）某城市休閑公園管理人員擬對一塊圓環區域進行改造封閉式種植鮮花，該圓環區域被等分為5個部分，每個部分從紅、黃、紫三種顏色的鮮花中選取一種進行栽植．要求相鄰區域不能用同種顏色的鮮花，總的栽植方案有 種．

【答案】30
【解析】若只用兩種顏色的鮮花，則1，3位置的顏色相同，2，4位置的顏色相同，
即可得1，4位置的顏色不同，則5位置無顏色可選，不合題意；
故必用3種顏色的鮮花，則1，2的栽植方案有種，已用兩種顏色，第三種顏色可能在3，4，5，可得：
（i）若第三種顏色在3或5，有如下兩種可能：
①3，5的顏色相同，則4的顏色有兩種可能，栽植方案有種；
②3，5的顏色不相同，則4的顏色必和1的顏色相同，栽植方案有種；
栽植方案共有種；
（ⅱ）若第三種顏色在4，則3的顏色必和1的顏色相同，5的顏色必和2的顏色相同，栽植方案共有種；
綜上所述：總的栽植方案有種.
故答案為：30.
變式25．（2024·安徽·校聯考模擬預測）數學課上，老師出了一道智力游戲題.如圖所示，平面直角坐標系中有一個3乘3方格圖（小正方形邊長為1），一共有十六個紅色的格點，游戲規則是每一步可以改變其中一個點的顏色（只能由紅變綠或綠變紅），如將其中任何一個點由紅色改成綠色，則這個點周圍與之相鄰的點也要從原來的顏色變成另外一種顏色，比如選擇變成綠色，則與之相鄰的，，，四個點也要變成綠色，那么最少需要 步，才能使得位于直線上的四個點變成綠色，而其他點都是紅色.
【答案】4
【解析】由題意可知，需要使，，，變成綠色，其他點都是紅色，
第一步：變成綠色，則，也變成綠色；
第二步：變成綠色，則，變成紅色，，變成綠色；
第三步：變成綠色，則，變成紅色，，變成綠色；
第四步：變成綠色，則，變成紅色.
故答案為：4.
變式26．（2024·全國·高三專題練習）如圖，現要對某公園的4個區域進行綠化，有5種不同顏色的花卉可供選擇，要求有公共邊的兩個區域不能用同一種顏色的花卉，共有 種不同的綠化方案（用數字作答）.
【答案】180
【解析】如圖：
A B D
C
從A開始擺放花卉，A有5種顏色花卉擺放方法，
B有4種顏色花卉擺放方法，C有3種顏色花卉擺放方法；
由D區與B，C花卉顏色不一樣，與A區花卉顏色可以同色也可以不同色，
則D有3種顏色花卉擺放方法.
故共有種涂色方法.
故答案為：180
變式27．（2024·全國·高三專題練習）七巧板是古代勞動人民智慧的結晶.如圖是某同學用木板制作的七巧板，它包括5個等腰直角三角形 一個正方形和一個平行四邊形.若用四種顏色給各板塊涂色，要求正方形板塊單獨一色，其余板塊兩塊一種顏色，而且有公共邊的板塊不同色，則不同的涂色方案有 種.
【答案】
【解析】由題意，一共4種顏色，板塊需單獨一色，剩下6個板塊中每2個區域涂同一種顏色.
又板塊兩兩有公共邊不能同色，故板塊必定涂不同顏色.
①當板塊與板塊同色時，則板塊與板塊或板塊分別同色，共2種情況；
②當板塊與板塊同色時，則板塊只能與同色，板塊只能與同色，共1種情況.
又板塊顏色可排列，故共種.
故答案為：
變式28．（2024·全國·高三專題練習）用四種不同的顏色為正六邊形（如圖）中的六塊區域涂色，要求有公共邊的區域涂不同顏色，一共有 種不同的涂色方法．
【答案】
【解析】如圖，記六個區域的涂色數為，若涂色相同，則相當于5個區域涂色，記5個區域涂色數為，
同理只有4個區域時涂色數記為，易知，
．
變式29．（2024·全國·高三專題練習）如圖，用4種不同的顏色給圖中的8個區域涂色，每種顏色至少使用一次，每個區域僅涂一種顏色，且相鄰區域所涂顏色互不相同，則區域，，，和，，，分別各涂2種不同顏色的涂色方法共有 種；區域，，，和，，，分別各涂4種不同顏色的涂色方法共有 種.
【答案】 24 216
【解析】，同色，所以先涂有：，再涂有種，所以共有：種.
先涂共有：種，設四種顏色為，假設涂的顏色分別為，則涂色情況如下：
，，，共9種，所以：種.
故答案為：24；216.
題型十一：分組問題
例31．（2024·全國·高三專題練習）貴陽一中體育節中，乒乓球球單打12強中有4個種子選手，將這12人平均分成3個組（每組4個人）、則4個種子選手恰好被分在同一組的分法有（ ）
A．21 B．42 C．35 D．70
【答案】C
【解析】4個種子選手分在同一組，即剩下的8人平均分成2組，方法有種，
故選:C．
例32．（2024·高二課時練習）把10個蘋果分成三堆，要求每堆至少1個，至多5個，則不同的分法共有（　　）
A．4種 B．5種 C．6種 D．7種
【答案】A
【解析】分類：三堆中“最多”的一堆為5個，其他兩堆總和為5，每堆最至少1個，只有2種分法．
三堆中“最多”的一堆為4個，其他兩堆總和為6，每堆最至少1個，只有2種分法．
三堆中“最多”的一堆為3個，那是不可能的．
考點：本題主要考查分類計數原理的應用．
例33．（2024·福建泉州·高二校聯考期中）在《爸爸去哪兒》第二季第四期中，村長給6位“萌娃”布置一項搜尋空投食物的任務．已知：①食物投擲地點有遠、近兩處；②由于Grace年紀尚小，所以要么不參與該項任務，但此時另需一位小孩在大本營陪同，要么參與搜尋近處投擲點的食物；③所有參與搜尋任務的小孩須被均分成兩組，一組去遠處，一組去近處，那么不同的搜尋方案有（ ）
A．25種 B．30種 C．40種 D．50種
【答案】C
【解析】就Grace的實際參與情況進行分類計數：
第一類，Grace不參與該項任務，則滿足題意的不同搜尋方案有種：
第二類，Grace參與搜尋近處投擲點的食物，則滿足題意的不同搜尋方案有種，
因此由加法計數原理得知，滿足題意的不同搜尋方案有30+10=40(種)，
故選：C.
變式30．（2024·全國·高二專題練習）將12個不同的物體分成3組，每組4個，則不同的分法種數為（ ）.
A．34650 B．5940 C．495 D．5775
【答案】D
【解析】不同的分法種數為.
故選：D.
變式31．（2024·全國·高二專題練習）某中學要給三個班級補發8套教具，先將其分成3堆，其中一堆4套，另兩堆每堆2套，則不同的分堆方法種數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由條件可知，8套教具，分成4，2，2，共有種分法．
故選：C．
變式32．（2024·福建廈門·高三廈門雙十中學校考階段練習）將6名同學分成兩個學習小組，每組至少兩人，則不同的分組方法共有___________種.
【答案】25
【解析】由題知，6人分為兩組共有兩種分法：
（1）一組2人，一組4人：這種分法數為種；
（2）兩組均為3人：這種分法數為種，
所以，由分類加法原理可得共有25種分法.
故答案為：25
題型十二：分配問題
例34．（2024·全國·高三專題練習）按下列要求分配6本不同的書.
（1）分成三份，1份1本，1份2本，1份3本，有 種不同的分配方式；
（2）甲 乙 丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本，有 種不同的分配方式；
（3）平均分成三份，每份2本，有 種不同的分配方式；
（4）平均分配給甲 乙 丙三人，每人2本，有 種不同的分配方式；
（5）分成三份，1份4本，另外兩份每份1本，有 種不同的分配方式；
（6）甲 乙 丙三人中，一人得4本，另外兩人每人得1本，有 種不同的分配方式；
（7）甲得1本，乙得1本，丙得4本，有 種不同的分配方式.
【答案】 60 360 15 90 15 90 30
【解析】（1）先從6本書中選1本，有種分配方法，再從剩余5本書中選擇2本，有種分配方法，剩余的是3本書，有種分配方法.所以總共有（種）分配方法.
（2）在（1）的結論下，將這三份書分給甲 乙 丙三人，有（種）分配方法.
（3）先從6本書中選2本，有種分配方法，再從剩余4本書中選擇2本，有種分配方法，剩余的就是2本書，有種分配方法，所以共有種分配方法.但是，該過程有重復，設6本書分別為A，B，C，D，E，F，若三個步驟分別選出的是，，，則所有情況為，，，，，，則需去除重復的情況.
綜上，不同的分配方式共有（種）.
（4）結合（3）可知，將這三份書分別分給甲 乙 丙三人，分配方法的種數為.
（5）先從6本書中選4本，有種分配方法，再從剩余的2本書中選1本，有種分配方法，最后還剩1本書，因為在最后2本書的選擇中發生了重復，所以總共有（種）分配方法.
（6）結合（5）可知，將這三份書分別分給甲 乙 丙三人，則分配方法共有（種）.
（7）完成該事件，分三步，甲選1本，有種選法，乙從余下的5本書中選1本，有種選法，余下的4本書留給丙，有種選法.所以總共有（種）選法.
故答案為：60；360；15；90；15；90；30
例35．（2024·全國·高三專題練習）將9名大學生志愿者安排在星期五、星期六及星期日3天參加社區公益活動，每天分別安排3人，每人參加一次，則不同的安排方案共有 種．（用數字作答）
【答案】1680
【解析】先選出3人安排周五，有種選法，再從剩下的6人中選出3人安排在周六，有種選法，最后剩下的3人為一組安排在周日，有種選法．
可知不同的安排方案共有（種）．
故答案為：1680
例36．（2024·全國·高三專題練習）現計劃安排A，B，C，D，E五名教師教這六門課程，每名教師至少教一門課程，每門課程只配一名教師，且教師A不教“圍棋”，教師B只能教一門課程，則滿足條件的課程安排的種數為 ．
【答案】1140
【解析】當A只教1門時，先排A任教的科目，有種；
再從剩下5門中排B的任教科目，有種；
接下來剩余的4門中必有2門為同一名老師任教，分三組，然后全排列，共有種分法．
所以當A只教1門時，共有（種）排法．
當A教2門時，先選A任教的科目，有種，接下來剩余4科分別由B，C，D，E四名老師任教，有種．
所以當A教2門時，共有（種）排法．
綜上，滿足條件的課程安排的種數為．
故答案為：1140
變式33．（2024·四川瀘州·高三四川省瀘縣第四中學校考開學考試）綿陽中學食堂，以其花樣繁多的飯菜種類和令人難忘的色香味使大批學子醉倒在它的餐盤之下，學子們不約而同地將其命名為“遠航大酒樓”．“遠航大酒樓”共三層樓，5名高一新同學相約到食堂就餐，為看盡食堂所有美食種類，他們打算分為三組去往不同的樓層．其中甲同學不去二樓，則一共有 種不同的分配方式．
【答案】100
【解析】若甲1個人一組，其它兩組人數為1、3或2、2，不同的分配方式有種；
若甲和另外1個人兩人一組，其它兩組人數為1、2，不同的分配方式有種；
若甲和另外2個人三人一組，其它兩組人數為1、1，不同的分配方式有種；
共有種分配方式，
故答案為：100.
變式34．（2024·福建福州·高三福建省福州第一中學校考開學考試）為了貫徹落實中央新疆工作座談會和全國對口支援新疆工作會議精神，促進邊疆少數民族地區教育事業的發展，某市派出了包括甲、乙在內的5名專家型教師援疆，現將這5名教師分配到新疆的A、B、C、D四所學校，要求每所學校至少安排一位教師，則在甲志愿者被安排到A學校有 種安排方法．
【答案】60
【解析】將這5名教師分配到新疆的，，，共4所學校，每所學校至少1人，
則先分組后排列，5名教師分成四組，則為1，1，1，2.
若甲作為單獨的一位被安排到學校，則有種情況；
若甲是一組兩人中的一位且被安排到學校，則有種情況，
共有種情況.
故答案為：60.
變式35．（2024·重慶沙坪壩·高三重慶一中校考階段練習）8個完全相同的球放入編號1，2，3的三個空盒中，要求放入后3個盒子不空且數量均不同，則有 種放法.
【答案】12
【解析】共兩類分組方法：將8個完全相同的小球分為1，2，5三堆或1，3，4 三堆.
每類都將三堆不同個數的球放入編號1，2，3的三個空盒中，有種方法，
故共有種方法.
故答案為：12.
變式36．（2024·吉林長春·高三長春外國語學校校考開學考試）為了落實立德樹人的根本任務，踐行五育并舉，某校開設三門德育校本課程，現有甲 乙 丙 丁四位同學參加校本課程的學習，每位同學僅報一門，每門至少有一位同學參加，則不同的報名方法有 .
【答案】36
【解析】根據題意，甲、乙、丙、丁四位同學選，，三門德育校本課程，
每位同學僅報一門，每門至少有一位同學參加，需要分三組，則三組人數為1、1、2，此時有種.
故答案為：．
題型十三：隔板法
例37．（2024·云南紅河·統考三模）某校將個三好學生名額分配到高三年級的個班，每班至少個名額，則共有多少種不同的分配方案（ ）
A．15 B．20 C．10 D．30
【答案】C
【解析】采用“隔板法”，6個名額之間有5個空，隔2塊板就可以分成3份，每份至少一個名額，故共有種方案.
故選：.
例38．（2024·全國·校聯考模擬預測）學校決定把個參觀航天博物館的名額給三（1） 三（2） 三（3） 三（4）四個班級.要求每個班分別的名額不比班級序號少，即三（1）班至少個名額，三（2）班至少個名額，……，則分配方案有（ ）
A．種 B．種 C．種 D．種
【答案】B
【解析】根據題意，先在編號為 的個班級中分別分配 個名額，
編號為的班級里不分配；再將剩下的個名額分配個班級里，每個班級里至少一個，
由隔板法可得共種放法，即可得符合題目要求的方法共種.
故選：B.
例39．（2024·高二課時練習）現有9個相同的球要放到3個不同的盒子里，每個盒子至少一個球，各盒子中球的個數互不相同，則不同放法的種數是（ ）
A．28 B．24 C．18 D．16
【答案】C
【解析】把9個球分成3組，每組個數不相同，分法（按球的個數）為：126，135，234共三種，然后每組球放到3個盒子中有種方法，方法數為．
故選：C．
變式37．（2024·江蘇蘇州·高二吳縣中學校考期中）學校有6個優秀學生名額，要求分配到高一、高二、高三，每個年級至少1個名額，則有（ ）種分配方案．
A．135 B．10 C．75 D．120
【答案】B
【解析】“學生名額”是相同元素，故相同元素分配分組問題，用“隔板法”，
故有，
故選：B.
變式38．（2024·全國·高二期末）方程的正整數解共有（ ）組
A．165 B．120 C．38 D．35
【答案】A
【解析】如圖，將12個完全相同的球排成一列，
在它們之間形成的11個空隙中任選三個插入三塊隔板，把球分成四組，每一種分法所得球的數目依次是、、、，顯然滿足，故是方程的一組解，
反之，方程的每一組解都對應著一種在12個球中插入隔板的方式，
故方程的正整數解的數目為：，
故選：A.
題型十四：數字排列
例40．（2024·全國·高三專題練習）用0，1，2，3，4可以組成沒有重復數字的四位偶數的個數為（ ）
A．36 B．48 C．60 D．72
【答案】C
【解析】當個位數為0時，有個，
當個位數為2或4時，有個，
所以無重復數字的四位偶數有24+36=60個，
故選：C.
例41．（2024·全國·高二專題練習）用數字、、組成五位數，且數字、、至少都出現一次，這樣的五位數共有（ ）個
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】首先考慮全部的情況，即每個數位均有種選擇，共有個，
其中包含數字全部相同只有種情況，
還有只含有個數字的共有個，
因此，滿足條件的五位數的個數為個.
故選：B.
例42．（2024·北京·高二北京八中校考期末）用三個數字組成一個四位數，要求每個數字至少出現一次，共可組成個不同的四位數__________（用數字作答）.
【答案】36
【解析】已知用三個數字組成一個四位數且每個數字至少出現一次，
所以包含一下三種形式：
①兩個1，一個2，一個3；
②一個1，兩個2，一個3；
③一個1，一個2，兩個3.
其余情況①可以組成種情況.
同理情況②③均可以組成種情況.
因此一共可以組成個不同數字.
故答案為：
變式39．（2024·全國·高三專題練習）用數字0，1，2，3，4，5組成沒有重復數字的四位數，其中個位 十位和百位上的數字之和為偶數的四位數共有___________.個（用數字作答）.
【答案】
【解析】當個位、十位和百位上的數字為3個偶數的有：種；
當個位、十位和百位上的數字為1個偶數2個奇數的有：種，
根據分類計數原理得到共有個．
故答案為：．
變式40．（2024·全國·高三專題練習）用數字1，2，3，4，5，6，7，8，9組成沒有重復數字，且至多有一個數字是奇數的四位數，這樣的四位數一共有___________個．（用數字作答）
【答案】504
【解析】當四個數字中沒有奇數時，則這樣的四位數有種，
當四個數字中有一個奇數時，則從5個奇數中選一個奇數，再從4個偶數中選3個數，然后對這4個數排列即可，所以有種，
所以由分類加法原理可得共有種，
故答案為：504
題型十五：幾何問題
例43．（2024·全國·高三專題練習）從正方體的8個頂點中選取4個作為頂點，可得到四面體的個數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】從正方體的8個頂點中選取4個頂點有種，
正方體表面四點共面不能構成四面體有種，
正方體的六個對角面四點共面不能構成四面體有種，
所以可得到的四面體的個數為種，
故選：A
例44．（2024·高二課時練習）一只螞蟻從正四面體的頂點出發，沿著正四面體的棱爬行，每秒爬一條棱，每次爬行的方向是隨機的，則螞蟻第1秒后到點，第4秒后又回到點的不同爬行路線有（ ）
A．6條 B．7條 C．8條 D．9條
【答案】B
【解析】根據已知，可作出下圖，由圖知，不同的爬行路線有7條.
故選：B
例45．（2024·全國·高三專題練習）如圖，一只螞蟻從點出發沿著水平面的線條爬行到點，再由點沿著置于水平面的正方體的棱爬行至頂點，則它可以爬行的不同的最短路徑有（ ）條
A．40 B．60 C．80 D．120
【答案】B
【解析】螞蟻從到需要走五段路，其中三縱二豎，共有條路徑，從到共有條路徑，根據分步計數乘法原理可知，螞蟻從到可以爬行的不同的最短路徑有條，故選B.
考點：分步計數乘法原理.
變式41．（2024·全國·高二專題練習）凸八邊形的對角線有（ ）條
A．20 B．28 C．48 D．56
【答案】A
【解析】凸八邊形過每一個頂點有5條對角線，故共有條
故選：A
變式42．（2024·全國·高三專題練習）已知分子是一種由60個碳原子構成的分子，它形似足球，因此又名足球烯，是單純由碳原子結合形成的穩定分子，它具有60個頂點和若干個面，.各個面的形狀為正五邊形或正六邊形，結構如圖.已知其中正六邊形的面為20個，則正五邊形的面為（ ）個.
A．10 B．12
C．16 D．20
【答案】B
【解析】由結構圖知：每個頂點同時在3個面內，
所以五邊形面數為個，
故選B.
變式43．（2024·高二課時練習）設凸n (n≥3)棱錐中任意兩個頂點的連線段的條數為f(n)，則f(n＋1)－f(n)＝(　　)
A．n－1 B．n
C．n＋1 D．n＋2
【答案】C
【解析】 ,故選C.
題型十六：分解法模型與最短路徑問題
例46．（2024·全國·高三專題練習）有一種走“方格迷宮”游戲，游戲規則是每次水平或豎直走動一個方格，走過的方格不能重復，只要有一個方格不同即為不同走法．現有如圖的方格迷宮，圖中的實線不能穿過，則從入口走到出口共有多少種不同走法？
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】B
【解析】如圖，①從入口﹣1﹣3﹣5﹣6﹣0﹣出口，
②從入口﹣1﹣3﹣4﹣6﹣0﹣出口，
③從入口﹣1﹣3﹣4﹣7﹣8﹣9﹣10﹣6﹣0﹣出口，
④從入口﹣1﹣3﹣4﹣9﹣10﹣6﹣0﹣出口，
⑤從入口﹣2﹣3﹣4﹣6﹣0﹣出口，
⑥從入口﹣2﹣3﹣5﹣6﹣0﹣出口，
⑦從入口﹣2﹣3﹣4﹣7﹣8﹣9﹣10﹣6﹣0﹣出口，
⑧從入口﹣2﹣3﹣4﹣9﹣10﹣6﹣0﹣出口，
共有8種，
故選：B．
例47．（2024·全國·高三專題練習）夏老師從家到學校，可以選擇走錦繡路、楊高路、張楊路或者浦東大道，由于夏老師不知道楊高路有一段在修路導致第一天上班就遲到了，所以夏老師決定以后要繞開那段維修的路，如圖，假設夏老師家在處，學校在處，段正在修路要繞開，則夏老師從家到學校的最短路徑有（ ）條．
A．23 B．24 C．25 D．26
【答案】D
【解析】由到的最短路徑需要向右走四段路，向上走三段路，所以有條路，
由到的最短路徑需要向右走兩段路，向上走一段路，所以有條路，
由到的最短路徑需要向右走一段路，向上走兩段路，所以有條路，
所以由到不經過的最短路徑有.
故選：D.
例48．（2024·廣東惠州·高三校考期末）如圖，某城市的街區由12個全等的矩形組成（實線表示馬路），CD段馬路由于正在維修，暫時不通，則從A到B的最短路徑有（ ）
A．23 條 B．24 條 C．25條 D．26 條
【答案】D
【解析】先假設是實線，
則從到，向上次，向右次，最短路徑有條，
其中經過的，即先從到，然后到，最后到的最短路徑有條，
所以，當不通時，最短路徑有條.
故選：D
變式44．（2024·全國·高三專題練習）方形是中國古代城市建筑最基本的形態，它體現的是中國文化中以綱常倫理為代表的社會生活規則，中國古代的建筑家善于使用木制品和竹制品制作各種方形建筑.如圖，用大小相同的竹棍構造一個大正方體（由個大小相同的小正方體構成），若一只螞蟻從點出發，沿著竹棍到達點，則螞蟻選擇的不同的最短路徑共有（ ）
A．種 B．種
C．種 D．種
【答案】D
【解析】由題意可知，從到最少需要步完成，其中有步是橫向的，步是縱向的，步是豎向的，
則螞蟻選擇的不同的最短路徑共有種.
故選：D.
變式45．（2024·高二課時練習）一植物園的參觀路徑如圖所示，若要全部參觀并且路線不重復，則不同的參觀路線共有（ ）
A．6種 B．8種
C．36種 D．48種
【答案】D
【解析】如圖所示，由題意知在A點可先參觀區域1，也可先參觀區域2或3，選定一個區域后可以按逆時針參觀，也可以按順時針參觀，所以第一步可以從6個路口任選一個，有6種結果，參觀完第一個區域后，選擇下一步走法，有4種結果，參觀完第二個區域，只剩下最后一個區域，有2種走法，根據分步乘法計數原理，共有6×4×2＝48(種)不同的參觀路線．
故選：D
變式46．（2024·廣東惠州·高二校考期中）下圖是某項工程的網絡圖(單位:天)，則從開始節點①到終止節點⑧的路徑共有（ ）
A．14條 B．12條 C．9條 D．7條
【答案】B
【解析】由圖可知，由①④有3條路徑，由④⑥有2條路徑，由⑥⑧有2條路徑，根據分步乘法計算原理可得從①⑧共有條路徑.
故選：B
變式47．（多選題）（2024·全國·高三專題練習）如圖，在某城市中，M，N兩地之間有整齊的方格形道路網，其中是道路網中位于一條對角線上的5個交匯處，今在道路網M，N處的甲、乙兩人分別要到N，M處，他們分別隨機地選擇一條沿街的最短路徑，以相同的速度同時出發，直到到達N，M處為止，則（ ）
A．甲從M到達N處的走法有70種
B．甲從M必須經過到達N處的走法有12種
C．若甲、乙兩人途中在處相遇，則共有144種走法
D．若甲、乙兩人在行走途中會相遇，則共有1810種走法
【答案】AD
【解析】甲由道路網M處出發，隨機地選擇一條沿街的最短路徑到達N處需走8步，共有種走法，故A正確；
甲由道路網M處出發，隨機地選擇一條沿街的最短路徑到達處需走4步，有種走法，
從處沿街的最短路徑到達N處需走4步，有種走法，所以共有種走法，故B錯誤；
由B可知，甲從M必須經過到達N處的走法有36種，同理乙從N必須經過到達M處的走法也有36種，
則甲、乙兩人在處相遇，共有種走法，故C錯誤；
甲、乙兩人沿最短路徑行走，只可能在處相遇，他們在處相遇的走法有種，
則，故D正確．
故選：AD．
變式48．（2024·高二課時練習） 5400的正約數有______個
【答案】48
【解析】由，所以5400的正約數一定是由2的冪與3的冪和5的冪相乘的結果，
設正約數為，其中取值為0，1，2，3共有4種；取值為0，1，2，3共有4種；取值為0，1，2共有3種；
所以正約數個數為．
故答案為：48
變式49．（2024·上海嘉定·高二校考期中）正整數2022有______個不同的正約數．
【答案】
【解析】因為，
故所有的正約數有：個.
故答案為：.
題型十七：排隊問題
例49．（2024·全國·高三專題練習）街頭籃球比賽后，紅、黃兩隊共名隊員（紅隊人，黃隊人）合照，要求人站成一排，紅隊人中有且只有名隊員相鄰，則不同排隊的方法共有（ ）
A．種 B．種 C．種 D．種
【答案】A
【解析】由題意，分三步進行分析：
①將名紅隊隊員分成組，有種分組方法，將人的一組看成一個元素，考慮人之間的順序，有種情況；
②將黃隊的人全排列，有種排法，排好后，有個空位；
③在個空位中任選個，安排名紅隊隊員分成的兩個組，有種方法，
則人站成一排照相，名紅隊隊員中有且只有兩人相鄰的站法有種，
故選：A.
例50．（2024·全國·高三專題練習）七輛汽車排成一縱隊，要求甲車、乙車、丙車均不排隊頭或隊尾且各不相鄰，則排法有（ ）
A．48種 B．72種 C．90種 D．144種
【答案】D
【解析】由題意得，甲車，乙車、丙車均不排隊頭或隊尾，且各不相鄰，所以甲、乙、丙只能在第二位、第四位、第六位，共有種排法，其他車輛任意排列，所以總排法有種．
故選：D．
例51．（2024·山西朔州·高二校考階段練習）名成人帶兩個小孩排隊上山，小孩不排在一起也不排在頭尾，則不同的排法種數有（ ）
A．種 B．種 C．種 D．種
【答案】A
【解析】首先5名大人先排隊，共有種，然后把兩個小孩插進中間的4個空中，共有種排法，根據乘法原理，共有種，故選A.
變式50．（2024·全國·高二專題練習）3名男生，4名女生，按照不同的要求排隊，求不同的排隊方法數．
(1)選5名同學排成一排；
(2)全體站成一排，甲、乙不在兩端；
(3)全體站成一排，甲不在最左端，乙不在最右端；
(4)全體站成一排，男生站在一起、女生站在一起；
(5)全體站成一排，男生排在一起；
(6)全體站成一排，男生彼此不相鄰；
(7)全體站成一排，男生各不相鄰、女生各不相鄰；
(8)全體站成一排，甲、乙中間有2個人；
(9)排成前后兩排，前排3人，后排4人；
(10)全體站成一排，乙不能站在甲左邊，丙不能站在乙左邊．
【解析】（1）無條件的排列問題，排法有種；
（2）先安排甲乙在中間有 種，再安排余下的5人有 種，共有排法有種；
（3）排法有種，其中是甲在左端或乙在右端的排法，是甲在左端且乙在右端的排法；
（4）把男生看成一個整體共有 種，再把女生看成一個整體有 種，再把這兩個整體全排列，共有種排法；
（5）即把所有男生視為一個整體，與4名女生組成五個元素全排列，共有種排法；
（6）即不相鄰問題（插空法）：先排女生共種排法，男生在五個空中安插，有種排法，故共有種排法；
（7）對比（6），讓女生插空，共有種排法；
（8）（捆綁法）任取2人與甲、乙組成一個整體，與余下3個元素全排列，故共有種排法；
（9）分步完成共有種排法；
（10）由于乙不能站在甲左邊，丙不能站在乙左邊，故3人只能按甲、乙、丙這一種順序排列，
7人的全排列共有種，甲、乙、丙3人全排列有種，而3人按甲、乙、丙順序排列是全排列中的一種，所以共有種排法.
題型十八：構造法模型和遞推模型
例52．（2024·天津河東·高二統考期末）九連環是一種流傳于我國民間的傳統智力玩具.它用九個圓環相連成串，以解開為勝.它在中國有近兩千年的歷史，《紅樓夢》中有林黛玉巧解九連環的記載.周邦彥也留下關于九連環的名句“縱妙手、能解連環.”九連環有多種玩法，在某種玩法中:已知解下1個圓環最少需要移動圓環1次，解下2個圓環最少需要移動圓環 2 次，記 為解下個圓環需要移動圓環的最少次數，且，則解下 8 個圓環所需要移動圓環的最 少次數為（ ）
A．30 B．90 C．170 D．341
【答案】C
【解析】由題，，所以.
故選.：C
例53．（2024·福建福州·高三統考期中）三名籃球運動員甲、乙、丙進行傳球訓練，由丙開始傳，經過次傳遞后，球又被傳回給丙，則不同的傳球方式共有（ ）
A．4種 B．10種
C．12種 D．22種
【答案】B
【解析】根據題意，設在第次傳球后（），有種情況球在丙手中，
即經過次傳遞后，球又被傳回給丙，而前次傳球中，每次傳球都有種方法，
則前次傳球的不同的傳球方法共有種，
那么在第次傳球后，球不在丙手中的情況有種情況，即球在乙或甲手中，只有在這些情況時，在第次傳球后，球才會被傳回丙，即；
易得，則，，.
故選：B．
例54．（多選題）（2024·河北滄州·高二滄縣中學校考階段練習）跳格游戲：如圖，人從格子外只能進入第1個格子，在格子中每次可向前跳1格或2格，那么下面說法正確的是（ ）
A．進入第二個格子走法有2種
B．進入第二個格子走法有1種
C．進入第三個格子走法有2種
D．進入第八個格子走法有21種
【答案】BCD
【解析】設跳到第格的方法有，則達到第格的方法有兩類，
第一種方法是從第個格子向右跳一格到達第格，方法數為，
第二種方法是從第向右跳兩格到達第格，方法數是，則，
結合條件及數列的遞推關系可得到數列的前8項分別是,
A錯誤，BCD正確.
故選：.
變式51．（2024·福建泉州·高二福建省永春第一中學校考階段練習）馬路上有編號為1，2，3，4，5，6，7，8，9的九盞路燈，現要關掉其中的3盞，但不能關掉相鄰的2盞，也不能關掉兩端的2盞，滿足條件的關燈方法有______種.
【答案】10
【解析】根據題意，因為關掉3盞路燈不能是兩端2盞，也不能相鄰，
則需要用插空法分析：
先將亮的6盞燈排成一列，除去2端，有5個符合條件的空位，
在5個空位中，任選3個，安排熄滅的燈，有種情況，
即有10種關燈方法.
故答案為：10．
變式52．（2024·浙江·高三競賽）馬路上有編號為1，2，，2011的2011只路燈.為節約用電，要求關閉其中的300只燈，但不能同時關閉相鄰兩只，也不能關閉兩端的路燈.則滿足條件的關燈方法共有______.（用組合數符合表示）.
【答案】
【解析】問題等價于在1711只路燈中插入300只暗燈.所以，共有種關燈方法.
故答案為
題型十九：環排問題
例55．（2024·全國·高三專題練習）21個人按照以下規則表演節目：他們圍坐成一圈，按順序從1到3循環報數，報數字“3”的人出來表演節目，并且表演過的人不再參加報數．那么在僅剩兩個人沒有表演過節目的時候，共報數的次數為（ ）
A．19 B．38 C．51 D．57
【答案】D
【解析】當倒數第個人出來表演節目時，一共報數了次.
故選：D
例56．（2024·全國·高三專題練習）A，B，C，D，E，F六人圍坐在一張圓桌周圍開會，A是會議的中心發言人，必須坐最北面的椅子，B，C二人必須坐相鄰的兩把椅子，其余三人坐剩余的三把椅子，則不同的座次有（ ）
A．60種 B．48種 C．30種 D．24種
【答案】B
【解析】首先，A是會議的中心發言人，必須坐最北面的椅子，
考慮B、C兩人的情況，只能選擇相鄰的兩個座位，位置可以互換，
根據排列數的計算公式，得到，，接下來，考慮其余三人的情況，
其余位置可以互換，可得種，最后根據分步計數原理，得到種，
故選B.
例57．（2024·江蘇蘇州·高二昆山震川高級中學校考期中）現有8個人圍成一圈玩游戲，其中甲、乙、丙三人不全相鄰的排法種數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】8個人圍成一圈,有種.
其中甲、乙、丙三人相鄰，看做一個整體，由.
所以甲、乙、丙三人不全相鄰的排法種數為.
故答案為：D
變式53．（2024·內蒙古赤峰·高二赤峰二中校考階段練習）如圖，某傘廠生產的太陽傘的傘篷是由太陽光的七種顏色組成，七種顏色分別涂在傘篷的八個區域內，且恰有一種顏色涂在相對區域內，則不同顏色圖案的此類太陽傘最多有（ ）.
A．40320種 B．5040種 C．20160種 D．2520種
【答案】D
【解析】先從7種顏色中任意選擇一種，涂在相對的區域內，有種方法，
再將剩余的6種顏色全部涂在剩余的6個區域內，共有種方法，
由于圖形是軸對稱圖形，所以上述方法正好重復一次，
所以不同的涂色方法，共有種不同的涂法.
故選：D.
變式54．（2024·全國·高三專題練習）5個女孩與6個男孩圍成一圈，任意2個女孩中間至少站1個男孩，則不同排法有______種（填數字）．
【答案】86400
【解析】因為任意2個女孩中間至少站1個男孩，則有且僅有2個男孩站在一起，
先把5個女孩排成一個圈，這是個圓形排列，因此排法共有(種)，
把6個男孩按2，1，1，1，1分成5組有種分法，
最后把5組男孩放入5個女孩構成圓排列的5個間隔中有種方法，而站在一起的兩個男孩有順序性，有2種站法，
所以，由分步乘法計數原理得，不同的排法共有(種).
故答案為：86400
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21世紀教育網(www.21cnjy.com)第86講 排列與組合
知識梳理
知識點1、排列與排列數
（1）定義：從個不同元素中取出個元素排成一列，叫做從個不同元素中取出個元素的一個排列．從個不同元素中取出個元素的所有排列的個數，叫做從個不同元素中取出個元素的排列數，用符號表示．
（2）排列數的公式：．
特例：當時，；規定：．
（3）排列數的性質：
①；②；③．
（4）解排列應用題的基本思路：
通過審題，找出問題中的元素是什么，是否與順序有關，有無特殊限制條件（特殊位置，特殊元素）．
注意：排列數公式的兩種不同表達形式本質是一樣的，但作用略有不同，常用于具體數字計算；而在進行含字母算式化簡或證明時，多用．
知識點2、組合與組合數
（1）定義：從個不同元素中取出個元素并成一組，叫做從個不同元素中取出個元素的一個組合．從個不同元素中取出個元素的所有組合的個數，叫做從個不同元素中取出個元素的組合數，用符號表示．
（2）組合數公式及其推導
求從個不同元素中取出個元素的排列數，可以按以下兩步來考慮：
第一步，先求出從這個不同元素中取出個元素的組合數；
第二步，求每一個組合中個元素的全排列數；
根據分步計數原理，得到；
因此．
這里，，且，這個公式叫做組合數公式．因為，所以組合數公式還可表示為：．特例：．
注意：組合數公式的推導方法是一種重要的解題方法！在以后學習排列組合的混合問題時，一般都是按先取后排（先組合后排列）的順序解決問題．公式常用于具體數字計算，常用于含字母算式的化簡或證明．
（3）組合數的主要性質：①；②．
（4）組合應用題的常見題型：
①“含有”或“不含有”某些元素的組合題型
②“至少”或“最多”含有幾個元素的題型
知識點3、排列和組合的區別
組合：取出的元素地位平等，沒有不同去向和分工．
排列：取出的元素地位不同，去向、分工或職位不同．
注意：排列、組合都是研究事物在某種給定的模式下所有可能的配置數目問題，它們之間的主要區別在于是否要考慮選出元素的先后順序，不需要考慮順序的是組合問題，需要考慮順序的是排列問題．排列是在組合的基礎上對入選的元素進行排隊，因此，分析解決排列組合綜合問題的基本思維是“先組合，后排列”．
知識點4、解決排列組合綜合問題的一般過程
1、認真審題，確定要做什么事；
2、確定怎樣做才能完成這件事，即采取分步還是分類或是分步與分類同時進行，弄清楚分多少類及多少步；
3、確定每一步或每一類是排列（有序）問題還是組合（無序）問題，元素總數是多少及取出多少個元素；
4、解決排列組合綜合性問題，往往類與步交叉，因此必須掌握一些常用的解題策略．
【解題方法總結】
1、如圖，在圓中，將圓分等份得到個區域，，，，，現取種顏色對這個區域涂色，要求每相鄰的兩個區域涂不同的兩種顏色，則涂色的方案有種．
2、錯位排列公式
3、數字排列問題的解題原則、常用方法及注意事項
（1）解題原則：排列問題的本質是“元素”占“位子”問題，有限制條件的排列問題的限制條件主要表現在某元素不排在某個位子上，或某個位子不排某些元素，解決該類排列問題的方法主要是按“優先”原則，即優先排特殊元素或優先滿足特殊位子，若一個位子安排的元素影響到另一個位子的元素個數時，應分類討論．
4、定位、定元的排列問題，一般都是對某個或某些元素加以限制，被限制的元素通常稱為特殊元素，被限制的位置稱為特殊位置．這一類問題通常以三種途徑考慮：
（1）以元素為主考慮，這時，一般先解決特殊元素的排法問題，即先滿足特殊元素，再安排其他元素；
（2）以位置為主考慮，這時，一般先解決特殊位置的排法問題，即先滿足特殊位置，再考慮其他位置；
（3）用間接法解題，先不考慮限制條件，計算出排列總數，再減去不符合要求的排列數．
5、解決相鄰問題的方法是“捆綁法”，其模型為將n個不同元素排成一排，其中某k個元素排在相鄰位置上，求不同排法種數的方法是：先將這k個元素“捆綁在一起”，看成一個整體，當作一個元素同其他元素一起排列，共有種排法；然后再將“捆綁”在一起的元素“內部”進行排列，共有種排法．根據分步乘法計數原理可知，符合條件的排法共有種．
6、解決不相鄰問題的方法為“插空法”，其模型為將個不同元素排成一排，其中某個元素互不相鄰（），求不同排法種數的方法是：先將（）個元素排成一排，共有種排法；然后把個元素插入個空隙中，共有種排法．根據分步乘法計數原理可知，符合條件的排法共有·種．
必考題型全歸納
題型一：排列數與組合數的推導、化簡和計算
例1．（2024·全國·高三專題練習）若，則實數的值為（ ）
A． B． C．1或3 D．
例2．（2024·全國·高三專題練習）（ ）
A． B． C． D．
例3．（2024·甘肅蘭州·統考一模），則等于 ．
變式1．（2024·全國·高三專題練習）
變式2．（2024·全國·高三專題練習） ．
變式3．（2024·高三課時練習）已知，則 .
變式4．（2024·河北衡水·高三衡水市第二中學期末）若，則
變式5．（2024·全國·高三對口高考）計算的值為 .
題型二：直接法
例4．（2024·江蘇·高三校聯考開學考試）甲、乙、丙等六人相約到電影院觀看電影《封神榜》，恰好買到了六張連號的電影票．若甲、乙兩人必須坐在丙的同一側，則不同的坐法種數為（ ）
A．360 B．480 C．600 D．720
例5．（2024·重慶·高三統考階段練習）雅禮女籃一直是雅禮中學的一張靚麗的名片，在剛剛結束的2022到2024賽季中國高中籃球聯賽女子組總決賽中，雅禮中學女籃隊員們敢打敢拼，最終獲得了冠軍．在頒獎儀式上，女籃隊員12人（其中1人為隊長），教練組3人，站成一排照相，要求隊長必須站中間，教練組三人要求相鄰并站在邊上，總共有多少種站法（ ）
A． B． C． D．
例6．（2024·全國·高三專題練習）有五名志愿者參加社區服務，共服務星期六、星期天兩天，每天從中任選兩人參加服務，則恰有1人連續參加兩天服務的選擇種數為（ ）
A．120 B．60 C．40 D．30
變式6．（2024·全國·高三對口高考）要排出某班一天中語文，數學，政治，英語，體育，藝術6門課各一節的課程表，要求數學課排在前3節，英語課不排在第6節，則不同的排法種數為（ ）
A．24 B．72 C．144 D．288
變式7．（2024·全國·高三對口高考）運輸公司從5名男司機，4名女司機中選派出3名男司機，2名女司機，到，，，，這五個不同地區執行任務，要求地只能派男司機，地只能派女司機，則不同的方案種數是（ ）
A．360 B．720 C．1080 D．2160
變式8．（2024·全國·高三對口高考）從編號為1，2，3，4，5的5個球中任取4個，放在編號為A，B，C，D的4個盒子里，每盒一球，且2號球不能放在B盒中的不同的方法數是（ ）
A．24 B．48 C．54 D．96
變式9．（2024·陜西·高三校聯考階段練習）甲、乙兩個家庭周末到附近景區游玩，其中甲家庭有2個大人和2個小孩，乙家庭有2個大人和3個小孩，他們9人在景區門口站成一排照相，要求每個家庭的成員要站在一起，且同一家庭的大人不能相鄰，則所有不同站法的種數為（ ）
A．144 B．864 C．1728 D．2880
題型三：間接法
例7．（2024·全國·高三專題練習）個點將半圓分成段弧，以個點（包括個端點）為頂點的三角形中鈍角三角形有（　　）個
A． B． C． D．
例8．（2024·湖北武漢·高二校聯考期末）甲 乙 丙 丁四位同學決定去黃鶴樓 東湖 漢口江灘游玩，每人只能去一個地方，漢口江灘一定要有人去，則不同游覽方案的種數為（ ）
A．65 B．73 C．70 D．60.
例9．（2024·湖南長沙·雅禮中學校聯考二模）從正360邊形的頂點中取若干個，依次連接，構成的正多邊形的個數為（ ）
A．360 B．630 C．1170 D．840
變式10．（2024·全國·高三專題練習）將7個人從左到右排成一排，若甲、乙、丙3人中至多有2人相鄰，且甲不站在最右端，則不同的站法有（ ）．
A．1860種 B．3696種 C．3600種 D．3648種
題型四：捆綁法
例10．（2024·四川內江·高三期末）甲、乙、丙、丁、戊5名同學站成一排參加文藝匯演，若甲和乙相鄰，丙不站在兩端，則不同的排列方式共有（ ）
A．12種 B．24種 C．36種 D．48種
例11．（2024·江西宜春·高三統考開學考試）“基礎學科拔尖學生培養試驗計劃”簡稱“珠峰計劃”，是國家為回應“錢學森之問”而推出的一項人才培養計劃，旨在培養中國自己的學術大師.浙江大學 復旦大學 武漢大學 中山大學均有開設數學學科拔尖學生培養基地.已知某班級有共5位同學從中任選一所學校作為奮斗目標，每所學校至少有一位同學選擇，則同學選擇浙江大學的不同方法共有（ ）
A．24種 B．60種 C．96種 D．240種
例12．（2024·全國·高三專題練習）某個單位安排7位員工在“五·一”假期中1日至7日值班，每天安排1人值班，且每人值班1天，若7位員工中的甲、乙排在相鄰的兩天，丙不排在5月1日，丁不排在5月7日，則不同的安排方案共有（ ）
A．504種 B．960種 C．1008種 D．1200種
變式11．（2024·全國·高三專題練習）2024年春節在北京工作的五個家庭，開車搭伴一起回老家過年，若五輛車分別為，五輛車隨機排成一排，則車與車相鄰，車與車不相鄰的排法有（ ）
A．36種 B．42種 C．48種 D．60種
變式12．（2024·全國·高三專題練習）為慶祝廣益中學建校130周年，高二年級派出甲 乙 丙 丁 戊5名老師參加“130周年辦學成果展”活動，活動結束后5名老師排成一排合影留念，要求甲、乙兩人不相鄰且丙、丁兩人必須相鄰，則排法共有（ ）種.
A．40 B．24 C．20 D．12
題型五：插空法
例13．（2024·湖北·高三孝感高中校聯考開學考試）已知來自甲、乙、丙三個學校的5名學生參加演講比賽，其中三個學校的學生人數分別為1、2、2.現要求相同學校的學生的演講順序不相鄰，則不同的演講順序的種數為（ ）
A．40 B．36 C．56 D．48
例14．（2024·黑龍江佳木斯·高三校考開學考試）甲、乙、丙、丁、戊五人排成一排，甲和乙不相鄰，排法種數為（　　）
A．12 B．36 C．48 D．72
例15．（2024·遼寧沈陽·高三沈陽二十中校考開學考試）五聲音階是中國古樂基本音階，故有成語“五音不全”，中國古樂中的五聲音階依次為：宮、商、角、徵、羽，若把這五個音階全用上，排成一個五個音階的音序，且要求宮、羽兩音階不相鄰且在角音階的同側，則可排成不同的音序種數為（ ）
A．72 B．28 C．24 D．32
變式13．（2024·全國·高三對口高考）2位男生和3位女生共5位同學站成一排．若男生甲不站兩端，3位女生中有且只有兩位女生相鄰，則不同排法的種數為（ ）
A．36 B．42 C．48 D．60
變式14．（2024·陜西西安·西北工業大學附屬中學校考模擬預測）某校舉行文藝匯演，甲、乙、丙等6名同學站成一排演唱歌曲，若甲、乙不相鄰，丙不在兩端，則不同的排列方式共有（ ）
A．72種 B．144種 C．288種 D．432種
變式15．（2024·四川·校聯考模擬預測）北京地處中國北部 華北平原北部，東與天津毗連，其余方向均與河北相鄰，是世界著名古都，也是國務院批復確定的中國政治中心 文化中心 國際交往中心 科技創新中心.為了感受這座古今中外聞名的城市，某學生決定在高考后游覽北京，計劃6天游覽故宮 八達嶺長城 頤和園 “水立方” “鳥巢” 798藝術區 首都博物館7個景點，如果每天至少游覽一個景點，且“水立方”和“鳥巢”在同一天游覽，故宮和八達嶺長城不在相鄰兩天游覽，那么不同的游覽順序共有（ ）
A．120種 B．240種 C．480種 D．960種
變式16．（2024·湖北襄陽·襄陽四中校考模擬預測）一排有8個座位，有3人各不相鄰而坐，則不同的坐法共有（ ）
A．120種 B．60種 C．40種 D．20種
題型六：定序問題（先選后排）
例16．（2024·全國·高三專題練習）滿足，且的有序數組共有（ ）個.
A． B． C． D．
例17．（2024·高二課時練習）已知，則滿足的有序數組共有（ ）個
A． B． C． D．
例18．（2024·山西朔州·高二懷仁市第一中學校校考期中）五人并排站在一排，如果A，B必須相鄰且B在A的右邊，那么不同的排法種數有（ ）
A．60種 B．48種 C．36種 D．24種
變式17．（2024·全國·高三專題練習）DNA是形成所有生物體中染色體的一種雙股螺旋線分子，由稱為堿基的化學成分組成它看上去就像是兩條長長的平行螺旋狀鏈，兩條鏈上的堿基之間由氫鍵相結合．在DNA中只有4種類型的堿基，分別用A、C、G和T表示，DNA中的堿基能夠以任意順序出現兩條鏈之間能形成氫鍵的堿基或者是A-T，或者是C-G，不會出現其他的聯系因此，如果我們知道了兩條鏈中一條鏈上堿基的順序，那么我們也就知道了另一條鏈上堿基的順序．如圖所示為一條DNA單鏈模型示意圖，現在某同學想在堿基T和堿基C之間插入3個堿基A，2個堿基C和1個堿基T，則不同的插入方式的種數為（ ）
A．20 B．40 C．60 D．120
變式18．（2024·江蘇揚州·高三校考期末）花燈，又名“彩燈”“燈籠”，是中國傳統農業時代的文化產物，兼具生活功能與藝術特色.如圖，現有懸掛著的6盞不同的花燈需要取下，每次取1盞，則不同取法總數為_________
變式19．（2024·全國·高三專題練習）某公司在元宵節組織了一次猜燈謎活動，主持人事先將10條不同燈謎分別裝在了如圖所示的10個燈籠中，猜燈謎的職員每次只能任選每列最下面的一個燈籠中的謎語來猜（無論猜中與否，選中的燈籠就拿掉），則這10條燈謎依次被選中的所有不同順序方法數為____________.（用數字作答）
變式20．（2024·高二課時練習）7人排隊，其中甲、乙、丙3人順序一定，共有__不同的排法.
題型七：列舉法
例19．（2024·全國·高三專題練習）數論領域的四平方和定理最早由歐拉提出，后被拉格朗日等數學家證明．四平方和定理的內容是：任意正整數都可以表示為不超過四個自然數的平方和，例如正整數．設，其中a，b，c，d均為自然數，則滿足條件的有序數組的個數是（ ）
A．28 B．24 C．20 D．16
例20．（2024·浙江寧波·高二校聯考期末）已知字母，，各有兩個，現將這6個字母排成一排，若有且僅有一組字母相鄰（如），則不同的排法共有（ ）種
A．36 B．30 C．24 D．16
例21．（2024·全國·高三專題練習）某人設計一項單人游戲，規則如下：先將一棋子放在如圖所示正方形（邊長為2個單位）的頂點處，然后通過擲骰子來確定棋子沿正方形的邊按逆時針方向行走了幾個單位，如果擲出的點數為，則棋子就按逆時針方向行走個單位，一直循環下去.則某人拋擲三次骰子后棋子恰好又回到起點處的所有不同走法共有（ ）
A．21種 B．22種 C．25種 D．27種
變式21．（2024·海南海口·統考一模）形如45132這樣的數稱為“波浪數”，即十位上的數字，千位上的數字均比與它們各自相鄰的數字大，則由1，2，3，4，5可組成數字不重復的五位“波浪數”的個數為
A．20 B．18 C．16 D．11
變式22．（2024·全國·高三專題練習）工人在安裝一個正六邊形零件時，需要固定如圖所示的六個位置的螺栓.若按一定順序將每個螺栓固定緊，但不能連續固定相鄰的2個螺栓.則不同的固定螺栓方式的種數是________．
題型八：多面手問題
例22．（2024·全國·高三專題練習）我校去年11月份，高二年級有10人參加了赴日本交流訪問團，其中3人只會唱歌，2人只會跳舞，其余5人既能唱歌又能跳舞．現要從中選6人上臺表演，3人唱歌，3人跳舞，有（ ）種不同的選法．
A． B． C． D．
例23．（2024·全國·高三專題練習）某國際旅行社現有11名對外翻譯人員，其中有5人只會英語，4人只會法語，2人既會英語又會法語，現從這11人中選出4人當英語翻譯，4人當法語翻譯，則共有（ ）種不同的選法
A．225 B．185 C．145 D．110
例24．（2024·全國·高三專題練習）“賽龍舟”是端午節的習俗之一，也是端午節最重要的節日民俗活動之一，在我國南方普遍存在端午節臨近，某單位龍舟隊欲參加今年端午節龍舟賽，參加訓練的8名隊員中有3人只會劃左槳，3人只會劃右槳，2人既會劃左槳又會劃右槳．現要選派劃左槳的3人、劃右槳的3人共6人去參加比賽，則不同的選派方法共有（ ）
A．26種 B．30種 C．37種 D．42種
變式23．（2024·全國·高三專題練習）某龍舟隊有9名隊員，其中3人只會劃左舷，4人只會劃右舷，2人既會劃左舷又會劃右舷．現要選派劃左舷的3人、右舷的3人共6人去參加比賽，則不同的選派方法共有（ ）
A．56種 B．68種
C．74種 D．92種
題型九：錯位排列
例25．（2024·重慶沙坪壩·高二重慶八中校考期末）“數獨九宮格”原創者是18世紀的瑞士數學家歐拉，它的游戲規則很簡單，將1到9這九個自然數填到如圖所示的小九宮格的9個空格里，每個空格填一個數，且9個空格的數字各不相間，若中間空格已填數字5，且只填第二行和第二列，并要求第二行從左至右及第二列從上至下所填的數字都是從大到小排列的，則不同的填法種數為（ ）
A．72 B．108 C．144 D．196
例26．（2024·全國·高三專題練習）編號為1、2、3、4、5的5個人分別去坐編號為1、2、3、4、5的五個座位，其中有且只有兩個人的編號與座位號一致的坐法有（ ）
A．10種 B．20種 C．30種 D．60種
例27．（2024·全國·高三專題練習）將編號為、、、、、的小球放入編號為、、、、、的六個盒子中，每盒放一球，若有且只有兩個盒子的編號與放入的小球的編號相同，則不同的放法種數為（ ）
A． B． C． D．
變式24．（2024·廣東廣州·高二廣州奧林匹克中學校考階段練習）將編號為1 2 3 4 5 6的六個小球放入編號為1 2 3 4 5 6的六個盒子里，每個盒子放一個小球，若有且只有三個盒子的編號與放入的小球編號相同，則不同的方法總數是（ ）
A．20 B．40 C．120 D．240
題型十：涂色問題
例28．（2024·全國·高三專題練習）如圖，一個地區分為5個行政區域，現給該地區的5個區域涂色，要求相鄰區域不得使用同一種顏色，現有4種顏色可供選擇，則不同的涂色方法共有 種.
例29．（2024·全國·高三專題練習）對正方體的6個面進行涂色，有5種不同的顏色可供選擇.要求每個面只涂一種顏色，且有公共棱的兩個面不同色，則總的涂色方法個數為 （填寫數字）
例30．（2024·重慶·統考模擬預測）某城市休閑公園管理人員擬對一塊圓環區域進行改造封閉式種植鮮花，該圓環區域被等分為5個部分，每個部分從紅、黃、紫三種顏色的鮮花中選取一種進行栽植．要求相鄰區域不能用同種顏色的鮮花，總的栽植方案有 種．

變式25．（2024·安徽·校聯考模擬預測）數學課上，老師出了一道智力游戲題.如圖所示，平面直角坐標系中有一個3乘3方格圖（小正方形邊長為1），一共有十六個紅色的格點，游戲規則是每一步可以改變其中一個點的顏色（只能由紅變綠或綠變紅），如將其中任何一個點由紅色改成綠色，則這個點周圍與之相鄰的點也要從原來的顏色變成另外一種顏色，比如選擇變成綠色，則與之相鄰的，，，四個點也要變成綠色，那么最少需要 步，才能使得位于直線上的四個點變成綠色，而其他點都是紅色.
變式26．（2024·全國·高三專題練習）如圖，現要對某公園的4個區域進行綠化，有5種不同顏色的花卉可供選擇，要求有公共邊的兩個區域不能用同一種顏色的花卉，共有 種不同的綠化方案（用數字作答）.
變式27．（2024·全國·高三專題練習）七巧板是古代勞動人民智慧的結晶.如圖是某同學用木板制作的七巧板，它包括5個等腰直角三角形 一個正方形和一個平行四邊形.若用四種顏色給各板塊涂色，要求正方形板塊單獨一色，其余板塊兩塊一種顏色，而且有公共邊的板塊不同色，則不同的涂色方案有 種.
變式28．（2024·全國·高三專題練習）用四種不同的顏色為正六邊形（如圖）中的六塊區域涂色，要求有公共邊的區域涂不同顏色，一共有 種不同的涂色方法．
變式29．（2024·全國·高三專題練習）如圖，用4種不同的顏色給圖中的8個區域涂色，每種顏色至少使用一次，每個區域僅涂一種顏色，且相鄰區域所涂顏色互不相同，則區域，，，和，，，分別各涂2種不同顏色的涂色方法共有 種；區域，，，和，，，分別各涂4種不同顏色的涂色方法共有 種.
題型十一：分組問題
例31．（2024·全國·高三專題練習）貴陽一中體育節中，乒乓球球單打12強中有4個種子選手，將這12人平均分成3個組（每組4個人）、則4個種子選手恰好被分在同一組的分法有（ ）
A．21 B．42 C．35 D．70
例32．（2024·高二課時練習）把10個蘋果分成三堆，要求每堆至少1個，至多5個，則不同的分法共有（　　）
A．4種 B．5種 C．6種 D．7種
例33．（2024·福建泉州·高二校聯考期中）在《爸爸去哪兒》第二季第四期中，村長給6位“萌娃”布置一項搜尋空投食物的任務．已知：①食物投擲地點有遠、近兩處；②由于Grace年紀尚小，所以要么不參與該項任務，但此時另需一位小孩在大本營陪同，要么參與搜尋近處投擲點的食物；③所有參與搜尋任務的小孩須被均分成兩組，一組去遠處，一組去近處，那么不同的搜尋方案有（ ）
A．25種 B．30種 C．40種 D．50種
變式30．（2024·全國·高二專題練習）將12個不同的物體分成3組，每組4個，則不同的分法種數為（ ）.
A．34650 B．5940 C．495 D．5775
變式31．（2024·全國·高二專題練習）某中學要給三個班級補發8套教具，先將其分成3堆，其中一堆4套，另兩堆每堆2套，則不同的分堆方法種數為（ ）
A． B． C． D．
變式32．（2024·福建廈門·高三廈門雙十中學校考階段練習）將6名同學分成兩個學習小組，每組至少兩人，則不同的分組方法共有___________種.
題型十二：分配問題
例34．（2024·全國·高三專題練習）按下列要求分配6本不同的書.
（1）分成三份，1份1本，1份2本，1份3本，有 種不同的分配方式；
（2）甲 乙 丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本，有 種不同的分配方式；
（3）平均分成三份，每份2本，有 種不同的分配方式；
（4）平均分配給甲 乙 丙三人，每人2本，有 種不同的分配方式；
（5）分成三份，1份4本，另外兩份每份1本，有 種不同的分配方式；
（6）甲 乙 丙三人中，一人得4本，另外兩人每人得1本，有 種不同的分配方式；
（7）甲得1本，乙得1本，丙得4本，有 種不同的分配方式.
例35．（2024·全國·高三專題練習）將9名大學生志愿者安排在星期五、星期六及星期日3天參加社區公益活動，每天分別安排3人，每人參加一次，則不同的安排方案共有 種．（用數字作答）
例36．（2024·全國·高三專題練習）現計劃安排A，B，C，D，E五名教師教這六門課程，每名教師至少教一門課程，每門課程只配一名教師，且教師A不教“圍棋”，教師B只能教一門課程，則滿足條件的課程安排的種數為 ．
變式33．（2024·四川瀘州·高三四川省瀘縣第四中學校考開學考試）綿陽中學食堂，以其花樣繁多的飯菜種類和令人難忘的色香味使大批學子醉倒在它的餐盤之下，學子們不約而同地將其命名為“遠航大酒樓”．“遠航大酒樓”共三層樓，5名高一新同學相約到食堂就餐，為看盡食堂所有美食種類，他們打算分為三組去往不同的樓層．其中甲同學不去二樓，則一共有 種不同的分配方式．
變式34．（2024·福建福州·高三福建省福州第一中學校考開學考試）為了貫徹落實中央新疆工作座談會和全國對口支援新疆工作會議精神，促進邊疆少數民族地區教育事業的發展，某市派出了包括甲、乙在內的5名專家型教師援疆，現將這5名教師分配到新疆的A、B、C、D四所學校，要求每所學校至少安排一位教師，則在甲志愿者被安排到A學校有 種安排方法．
變式35．（2024·重慶沙坪壩·高三重慶一中校考階段練習）8個完全相同的球放入編號1，2，3的三個空盒中，要求放入后3個盒子不空且數量均不同，則有 種放法.
變式36．（2024·吉林長春·高三長春外國語學校校考開學考試）為了落實立德樹人的根本任務，踐行五育并舉，某校開設三門德育校本課程，現有甲 乙 丙 丁四位同學參加校本課程的學習，每位同學僅報一門，每門至少有一位同學參加，則不同的報名方法有 .
題型十三：隔板法
例37．（2024·云南紅河·統考三模）某校將個三好學生名額分配到高三年級的個班，每班至少個名額，則共有多少種不同的分配方案（ ）
A．15 B．20 C．10 D．30
例38．（2024·全國·校聯考模擬預測）學校決定把個參觀航天博物館的名額給三（1） 三（2） 三（3） 三（4）四個班級.要求每個班分別的名額不比班級序號少，即三（1）班至少個名額，三（2）班至少個名額，……，則分配方案有（ ）
A．種 B．種 C．種 D．種
例39．（2024·高二課時練習）現有9個相同的球要放到3個不同的盒子里，每個盒子至少一個球，各盒子中球的個數互不相同，則不同放法的種數是（ ）
A．28 B．24 C．18 D．16
變式37．（2024·江蘇蘇州·高二吳縣中學校考期中）學校有6個優秀學生名額，要求分配到高一、高二、高三，每個年級至少1個名額，則有（ ）種分配方案．
A．135 B．10 C．75 D．120
變式38．（2024·全國·高二期末）方程的正整數解共有（ ）組
A．165 B．120 C．38 D．35
題型十四：數字排列
例40．（2024·全國·高三專題練習）用0，1，2，3，4可以組成沒有重復數字的四位偶數的個數為（ ）
A．36 B．48 C．60 D．72
例41．（2024·全國·高二專題練習）用數字、、組成五位數，且數字、、至少都出現一次，這樣的五位數共有（ ）個
A． B． C． D．
例42．（2024·北京·高二北京八中校考期末）用三個數字組成一個四位數，要求每個數字至少出現一次，共可組成個不同的四位數__________（用數字作答）.
變式39．（2024·全國·高三專題練習）用數字0，1，2，3，4，5組成沒有重復數字的四位數，其中個位 十位和百位上的數字之和為偶數的四位數共有___________.個（用數字作答）.
變式40．（2024·全國·高三專題練習）用數字1，2，3，4，5，6，7，8，9組成沒有重復數字，且至多有一個數字是奇數的四位數，這樣的四位數一共有___________個．（用數字作答）
題型十五：幾何問題
例43．（2024·全國·高三專題練習）從正方體的8個頂點中選取4個作為頂點，可得到四面體的個數為（ ）
A． B． C． D．
例44．（2024·高二課時練習）一只螞蟻從正四面體的頂點出發，沿著正四面體的棱爬行，每秒爬一條棱，每次爬行的方向是隨機的，則螞蟻第1秒后到點，第4秒后又回到點的不同爬行路線有（ ）
A．6條 B．7條 C．8條 D．9條
例45．（2024·全國·高三專題練習）如圖，一只螞蟻從點出發沿著水平面的線條爬行到點，再由點沿著置于水平面的正方體的棱爬行至頂點，則它可以爬行的不同的最短路徑有（ ）條
A．40 B．60 C．80 D．120
變式41．（2024·全國·高二專題練習）凸八邊形的對角線有（ ）條
A．20 B．28 C．48 D．56
變式42．（2024·全國·高三專題練習）已知分子是一種由60個碳原子構成的分子，它形似足球，因此又名足球烯，是單純由碳原子結合形成的穩定分子，它具有60個頂點和若干個面，.各個面的形狀為正五邊形或正六邊形，結構如圖.已知其中正六邊形的面為20個，則正五邊形的面為（ ）個.
A．10 B．12
C．16 D．20
變式43．（2024·高二課時練習）設凸n (n≥3)棱錐中任意兩個頂點的連線段的條數為f(n)，則f(n＋1)－f(n)＝(　　)
A．n－1 B．n
C．n＋1 D．n＋2
題型十六：分解法模型與最短路徑問題
例46．（2024·全國·高三專題練習）有一種走“方格迷宮”游戲，游戲規則是每次水平或豎直走動一個方格，走過的方格不能重復，只要有一個方格不同即為不同走法．現有如圖的方格迷宮，圖中的實線不能穿過，則從入口走到出口共有多少種不同走法？
A．6 B．8 C．10 D．12
例47．（2024·全國·高三專題練習）夏老師從家到學校，可以選擇走錦繡路、楊高路、張楊路或者浦東大道，由于夏老師不知道楊高路有一段在修路導致第一天上班就遲到了，所以夏老師決定以后要繞開那段維修的路，如圖，假設夏老師家在處，學校在處，段正在修路要繞開，則夏老師從家到學校的最短路徑有（ ）條．
A．23 B．24 C．25 D．26
例48．（2024·廣東惠州·高三校考期末）如圖，某城市的街區由12個全等的矩形組成（實線表示馬路），CD段馬路由于正在維修，暫時不通，則從A到B的最短路徑有（ ）
A．23 條 B．24 條 C．25條 D．26 條
變式44．（2024·全國·高三專題練習）方形是中國古代城市建筑最基本的形態，它體現的是中國文化中以綱常倫理為代表的社會生活規則，中國古代的建筑家善于使用木制品和竹制品制作各種方形建筑.如圖，用大小相同的竹棍構造一個大正方體（由個大小相同的小正方體構成），若一只螞蟻從點出發，沿著竹棍到達點，則螞蟻選擇的不同的最短路徑共有（ ）
A．種 B．種
C．種 D．種
變式45．（2024·高二課時練習）一植物園的參觀路徑如圖所示，若要全部參觀并且路線不重復，則不同的參觀路線共有（ ）
A．6種 B．8種
C．36種 D．48種
變式46．（2024·廣東惠州·高二校考期中）下圖是某項工程的網絡圖(單位:天)，則從開始節點①到終止節點⑧的路徑共有（ ）
A．14條 B．12條 C．9條 D．7條
變式47．（多選題）（2024·全國·高三專題練習）如圖，在某城市中，M，N兩地之間有整齊的方格形道路網，其中是道路網中位于一條對角線上的5個交匯處，今在道路網M，N處的甲、乙兩人分別要到N，M處，他們分別隨機地選擇一條沿街的最短路徑，以相同的速度同時出發，直到到達N，M處為止，則（ ）
A．甲從M到達N處的走法有70種
B．甲從M必須經過到達N處的走法有12種
C．若甲、乙兩人途中在處相遇，則共有144種走法
D．若甲、乙兩人在行走途中會相遇，則共有1810種走法
甲、乙兩人沿最短路徑行走，只可能在處相遇，他們在處相遇的走法有種，
則，故D正確．
故選：AD．
變式48．（2024·高二課時練習） 5400的正約數有______個
變式49．（2024·上海嘉定·高二校考期中）正整數2022有______個不同的正約數．
題型十七：排隊問題
例49．（2024·全國·高三專題練習）街頭籃球比賽后，紅、黃兩隊共名隊員（紅隊人，黃隊人）合照，要求人站成一排，紅隊人中有且只有名隊員相鄰，則不同排隊的方法共有（ ）
A．種 B．種 C．種 D．種
例50．（2024·全國·高三專題練習）七輛汽車排成一縱隊，要求甲車、乙車、丙車均不排隊頭或隊尾且各不相鄰，則排法有（ ）
A．48種 B．72種 C．90種 D．144種
例51．（2024·山西朔州·高二校考階段練習）名成人帶兩個小孩排隊上山，小孩不排在一起也不排在頭尾，則不同的排法種數有（ ）
A．種 B．種 C．種 D．種
變式50．（2024·全國·高二專題練習）3名男生，4名女生，按照不同的要求排隊，求不同的排隊方法數．
(1)選5名同學排成一排；
(2)全體站成一排，甲、乙不在兩端；
(3)全體站成一排，甲不在最左端，乙不在最右端；
(4)全體站成一排，男生站在一起、女生站在一起；
(5)全體站成一排，男生排在一起；
(6)全體站成一排，男生彼此不相鄰；
(7)全體站成一排，男生各不相鄰、女生各不相鄰；
(8)全體站成一排，甲、乙中間有2個人；
(9)排成前后兩排，前排3人，后排4人；
(10)全體站成一排，乙不能站在甲左邊，丙不能站在乙左邊．
題型十八：構造法模型和遞推模型
例52．（2024·天津河東·高二統考期末）九連環是一種流傳于我國民間的傳統智力玩具.它用九個圓環相連成串，以解開為勝.它在中國有近兩千年的歷史，《紅樓夢》中有林黛玉巧解九連環的記載.周邦彥也留下關于九連環的名句“縱妙手、能解連環.”九連環有多種玩法，在某種玩法中:已知解下1個圓環最少需要移動圓環1次，解下2個圓環最少需要移動圓環 2 次，記 為解下個圓環需要移動圓環的最少次數，且，則解下 8 個圓環所需要移動圓環的最 少次數為（ ）
A．30 B．90 C．170 D．341
例53．（2024·福建福州·高三統考期中）三名籃球運動員甲、乙、丙進行傳球訓練，由丙開始傳，經過次傳遞后，球又被傳回給丙，則不同的傳球方式共有（ ）
A．4種 B．10種
C．12種 D．22種
例54．（多選題）（2024·河北滄州·高二滄縣中學校考階段練習）跳格游戲：如圖，人從格子外只能進入第1個格子，在格子中每次可向前跳1格或2格，那么下面說法正確的是（ ）
A．進入第二個格子走法有2種
B．進入第二個格子走法有1種
C．進入第三個格子走法有2種
D．進入第八個格子走法有21種
變式51．（2024·福建泉州·高二福建省永春第一中學校考階段練習）馬路上有編號為1，2，3，4，5，6，7，8，9的九盞路燈，現要關掉其中的3盞，但不能關掉相鄰的2盞，也不能關掉兩端的2盞，滿足條件的關燈方法有______種.
變式52．（2024·浙江·高三競賽）馬路上有編號為1，2，，2011的2011只路燈.為節約用電，要求關閉其中的300只燈，但不能同時關閉相鄰兩只，也不能關閉兩端的路燈.則滿足條件的關燈方法共有______.（用組合數符合表示）.
題型十九：環排問題
例55．（2024·全國·高三專題練習）21個人按照以下規則表演節目：他們圍坐成一圈，按順序從1到3循環報數，報數字“3”的人出來表演節目，并且表演過的人不再參加報數．那么在僅剩兩個人沒有表演過節目的時候，共報數的次數為（ ）
A．19 B．38 C．51 D．57
例56．（2024·全國·高三專題練習）A，B，C，D，E，F六人圍坐在一張圓桌周圍開會，A是會議的中心發言人，必須坐最北面的椅子，B，C二人必須坐相鄰的兩把椅子，其余三人坐剩余的三把椅子，則不同的座次有（ ）
A．60種 B．48種 C．30種 D．24種
例57．（2024·江蘇蘇州·高二昆山震川高級中學校考期中）現有8個人圍成一圈玩游戲，其中甲、乙、丙三人不全相鄰的排法種數為（ ）
A． B． C． D．
變式53．（2024·內蒙古赤峰·高二赤峰二中校考階段練習）如圖，某傘廠生產的太陽傘的傘篷是由太陽光的七種顏色組成，七種顏色分別涂在傘篷的八個區域內，且恰有一種顏色涂在相對區域內，則不同顏色圖案的此類太陽傘最多有（ ）.
A．40320種 B．5040種 C．20160種 D．2520種
變式54．（2024·全國·高三專題練習）5個女孩與6個男孩圍成一圈，任意2個女孩中間至少站1個男孩，則不同排法有______種（填數字）
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