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第87講 二項式定理
知識梳理
知識點1、二項式展開式的特定項、特定項的系數問題
（1）二項式定理
一般地，對于任意正整數，都有：，
這個公式所表示的定理叫做二項式定理，等號右邊的多項式叫做的二項展開式．
式中的做二項展開式的通項，用表示，即通項為展開式的第項：，
其中的系數（r=0，1，2，…，n）叫做二項式系數，
（2）二項式的展開式的特點：
①項數：共有項，比二項式的次數大1；
②二項式系數：第項的二項式系數為，最大二項式系數項居中；
③次數：各項的次數都等于二項式的冪指數．字母降冪排列，次數由到；字母升冪排列，次
數從到，每一項中，，次數和均為；
④項的系數：二項式系數依次是，項的系數是與的系數（包括二項式系
數）．
（3）兩個常用的二項展開式：
①（）
②
（4）二項展開式的通項公式
二項展開式的通項：
公式特點：①它表示二項展開式的第項，該項的二項式系數是；
②字母的次數和組合數的上標相同；
③與的次數之和為．
注意：①二項式的二項展開式的第r+1項和的二項展開式的第r+1項是有區別的，應用二項式定理時，其中的和是不能隨便交換位置的．
②通項是針對在這個標準形式下而言的，如的二項展開式的通項是（只需把看成代入二項式定理）．
2、二項式展開式中的最值問題
（1）二項式系數的性質
①每一行兩端都是，即；其余每個數都等于它“肩上”兩個數的和，即．
②對稱性每一行中，與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數相等，即．
③二項式系數和令，則二項式系數的和為，變形式．
④奇數項的二項式系數和等于偶數項的二項式系數和在二項式定理中，令，
則，
從而得到：．
⑤最大值：
如果二項式的冪指數是偶數，則中間一項的二項式系數最大；
如果二項式的冪指數是奇數，則中間兩項，的二項式系數，相等且最大．
（2）系數的最大項
求展開式中最大的項，一般采用待定系數法．設展開式中各項系數分別為，設第項系數最大，應有，從而解出來．
知識點3、二項式展開式中系數和有關問題
常用賦值舉例：
（1）設，
二項式定理是一個恒等式，即對，的一切值都成立，我們可以根據具體問題的需要靈活選取，的值．
①令，可得：
②令，可得：，即：
（假設為偶數），再結合①可得：
．
（2）若，則
①常數項：令，得．
②各項系數和：令，得．
③奇數項的系數和與偶數項的系數和
（i）當為偶數時，奇數項的系數和為；
偶數項的系數和為．
（可簡記為：為偶數，奇數項的系數和用“中點公式”，奇偶交錯搭配）
（ii）當為奇數時，奇數項的系數和為；
偶數項的系數和為．
（可簡記為：為奇數，偶數項的系數和用“中點公式”，奇偶交錯搭配）
若，同理可得．
注意：常見的賦值為令，或，然后通過加減運算即可得到相應的結果．
必考題型全歸納
題型一：求二項展開式中的參數
例1．（2024·河南鄭州·統考模擬預測）的展開式中的常數項與展開式中的常數項相等，則的值為（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】D
【解析】的展開式中的常數項為，
展開式中的常數項,
所以,即,
故選：D.
例2．（2024·四川成都·成都實外校考模擬預測）已知的展開式中存在常數項，則n的可能取值為（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
【答案】C
【解析】二項式的展開式的通項為，
令，即，由于，故必為的倍數，即的可能取值為.
故選：C
例3．（2024·全國·高三專題練習）展開式中的常數項為－160，則a＝（ ）
A．－1 B．1 C．±1 D．2
【答案】B
【解析】的展開式通項為，
∴令，解得，
∴的展開式的常數項為，
∴
∴
故選：B.
變式1．（2024·全國·高三專題練習）已知的展開式中的常數項為，則實數（ ）
A．2 B．-2 C．8 D．-8
【答案】B
【解析】展開式的通項為：，
取得到常數項為，解得.
故選：B
變式2．（2024·全國·高三專題練習）已知的展開式中第3項是常數項，則（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】A
【解析】的展開式的通項，
當時，
則，解得．
故選：A
【解題方法總結】
在形如的展開式中求的系數，關鍵是利用通項求，則．
題型二：求二項展開式中的常數項
例4．（2024·重慶南岸·高三重慶第二外國語學校校考階段練習）已知，二項式的展開式中所有項的系數和為64，則展開式中的常數項為（ ）
A．36 B．30 C．15 D．10
【答案】C
【解析】令，則可得所有項的系數和為且，解得，
∵的展開式中的通項，
∴當時，展開式中的常數項為.
故選：C
例5．（2024·山西朔州·高三懷仁市第一中學校校考階段練習）二項式的展開式中的常數項為（ ）
A．1792 B．－1792 C．1120 D．－1120
【答案】C
【解析】因為，
令，得，
所以二項式展開式中的常數項為．
故選：C.
例6．（2024·北京房山·高三統考開學考試）的展開式中的常數項是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由題目可知，，
令，解得，
所以當時為常數項，此時，
故選：A
變式3．（2024·貴州貴陽·高三貴陽一中校考開學考試）的展開式中的常數項為（ ）
A．20 B．20 C．－10 D．10
【答案】D
【解析】因為，
的展開式的通項公式為，
令,得，
令,得，
所以的展開式中的常數項為：
.
故選：D
變式4．（2024·全國·高三專題練習）若的展開式中存在常數項，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】的二項展開通式為，
令，則一定是5的倍數，
故選：C.
變式5．（2024·全國·高三對口高考）若展開式中含有常數項，則n的最小值是（ ）
A．2 B．3 C．12 D．10
【答案】A
【解析】，
令，得，則時，取最小值.
故選：A
【解題方法總結】
寫出通項，令指數為零，確定，代入．
題型三：求二項展開式中的有理項
例7．（2024·全國·高三專題練習）在的展開式中，有理項的系數為（ ）
A． B． C．5 D．10
【答案】A
【解析】的通項為 ，
.當為有理項時，r既是奇數又能被3整除，所以，
故展開式中有理項的系數為；
故選：A.
例8．（2024·全國·高考真題）二項式的展開式中系數為有理數的項共有（ ）
A．6項 B．7項 C．8項 D．9項
【答案】D
【解析】二項式的通項，
若要系數為有理數，則，，，且，
即，，易知滿足條件的，
故系數為有理數的項共有9項.
故選：D
例9．（2024·江西南昌·高三統考階段練習）的展開式中所有有理項的系數和為（ ）
A．85 B．29 C． D．
【答案】C
【解析】展開式的通項為：
，其中，
當時為有理項，故有理項系數和為
，
故選：C.
變式6．（2024·四川瀘州·高三四川省瀘縣第四中學校考階段練習）二項式展開式中，有理項共有（ ）項．
A．3 B．4 C．5 D．7
【答案】D
【解析】二項式展開式中，
通項為，其中，
的取值只需滿足，則，
即有理項共有7項，
故選：D.
變式7．（2024·安徽宣城·高三統考期末）在二項式的展開式中，有理項共有（ ）
A．項 B．項 C．項 D．項
【答案】A
【解析】寫出通項公式，然后代入的值：，分別計算判斷是否為有理項.的通項公式為，
可知當時，或或，可得有理項共有項.
故選：A.
變式8．（2024·全國·高三專題練習）若的展開式中有且僅有三個有理項，則正整數的取值為（ ）
A． B．或 C．或 D．
【答案】B
【解析】首先寫出二項展開式的通項公式，由條件可知為整數，然后觀察選項，通過列舉的方法，求得正整數的值.的通項公式是
設其有理項為第項，則的乘方指數為，依題意為整數，
注意到，對照選擇項知、、，
逐一檢驗：時，，不滿足條件；
時，、、，成立；
時，、5、8，成立
故選：B.
【解題方法總結】
先寫出通項，再根據數的整除性確定有理項．
題型四：求二項展開式中的特定項系數
例10．（2024·四川成都·校聯考模擬預測）已知的展開式中第4項與第5項的二項式系數相等，則展開式中的項的系數為（ ）
A．―4 B．84 C．―280 D．560
【答案】B
【解析】因為的展開式中第4項與第5項的二項式系數相等，所以．則
又因為的展開式的通項公式為，
令，所以展開式中的項的系數為．
故選：B.
例11．（2024·海南海口·海南華僑中學校考模擬預測）展開式中的系數為（ ）
A．270 B．240 C．210 D．180
【答案】A
【解析】展開式的通項公式為，
則原展開式中的系數為.
故選：A
例12．（2024·廣東揭陽·高三校考階段練習）的展開式中的系數是（ ）
A．20 B． C．10 D．
【答案】D
【解析】因為,
展開式中的項是,
則展開式中的系數是.
故選:D.
變式9．（2024·河北邢臺·高三邢臺市第二中學校考階段練習）已知的展開式中各項的二項式系數之和為64，則其展開式中的系數為（ ）
A． B．240 C． D．160
【答案】C
【解析】由展開式中各項的二項式系數之和為64，得，得．
∵的展開式的通項公式為，
令，則，所以其展開式中的系數為．
故選：C.
變式10．（2024·全國·高三專題練習）在二項式的展開式中，含的項的二項式系數為（ ）
A．28 B．56 C．70 D．112
【答案】A
【解析】∵二項式的展開式中，通項公式為，
令，求得，可得含的項的二項式系數為，
故選：A.
變式11．（2024·北京·高三專題練習）在二項式的展開式中，含項的二項式系數為（ ）
A．5 B． C．10 D．
【答案】A
【解析】由題設，，
∴當時，.
∴含項的二項式系數.
故選：A.
【解題方法總結】
寫出通項，確定r，代入．
題型五：求三項展開式中的指定項
例13．（2024·全國·高三專題練習）在的展開式中，的系數為 .
【答案】66
【解析】由題意，表示12個因式的乘積，
故當2個因式取x，其余10個因式取1時，可得展開式中含的項，
故的系數為.
故答案為：66.
例14．（2024·山東·高三沂源縣第一中學校聯考開學考試）展開式中含項的系數為 ．
【答案】-160
【解析】變形為，
故通項公式得，
其中的通項公式為，
故通項公式為，其中，，
令，解得，
故.
故答案為：-160
例15．（2024·遼寧·大連二十四中校聯考模擬預測）的展開式中的系數為 （用數字作答）．
【答案】
【解析】因為，
設其展開式的通項公式為：，
令，
得的通項公式為，
令，
所以的展開式中，的系數為，
故答案為：
變式12．（2024·福建三明·高三統考期末）展開式中常數項是 .（答案用數字作答）
【答案】
【解析】的展開式的通項為 ， ,
令,則 或，或 ，
所以常數項為，
故答案為：
變式13．（2024·江蘇·金陵中學校聯考三模）展開式中的常數項為 .
【答案】/6.5625
【解析】可看作7個相乘，要求出常數項，
只需提供一項，提供4項，提供2項，相乘即可求出常數項，
即.
故答案為：
變式14．（2024·湖南岳陽·統考模擬預測）的展開式中，的系數為 ．
【答案】30
【解析】 表示5個因式的乘積，在這5個因式中，有2個因式選 ，其余的3個因式中有一個選，剩下的兩個因式選 ，即可得到含 的項，即可算出答案．
表示5個因式的乘積，
在這5個因式中，有2個因式選 ，其余的3個因式中有一個選，剩下的兩個因式選 ，即可得到含 的項，故含的項系數是.
故答案為：30
變式15．（2024·廣東汕頭·統考三模）展開式中的系數是 .
【答案】
【解析】因為是7個相乘，
的展開式中項可以由4個項、3個項和0個常數項，或3個項、1個項和3個常數項相乘，
所以展開式中的系數是.
故答案為：.
【解題方法總結】
三項式的展開式：
若令，便得到三項式展開式通項公式：
，
其中叫三項式系數．
題型六：求幾個二（多）項式的和（積）的展開式中條件項系數
例16．（2024·廣西百色·高三貴港市高級中學校聯考階段練習）的展開式中的系數為 ．
【答案】90
【解析】的通項，
令，則；
令，則，
故的展開式中的系數為.
故答案為：90．
例17．（2024·河北保定·高三校聯考開學考試）在的展開式中含項的系數是 .
【答案】
【解析】二項式展開式的通項公式為，
令，解得；令，解得.
所以的展開式中含的項為，
所以展開式中含項的系數是.
故答案為：
例18．（2024·江西南昌·高三統考開學考試）展開式中的系數是 .
【答案】5
【解析】由題意知項和展開式中的相乘出現項，
的通項公式為，
分別令可得項的系數為，
故展開式中的系數是，
故答案為：5
變式16．（2024·江蘇蘇州·高三統考開學考試）的展開式常數項是 .（用數字作答）
【答案】7
【解析】展開式第項，
所以展開式中常數項是：，
所以的展開式常數項是7.
故答案為：7
變式17．（2024·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中學校考階段練習）已知多項式，則 .
【答案】16
【解析】令，則，
因為的展開式的通項為，，
所以令可得的展開式中一次項為，令可得的展開式的常數項為1，
又因為的展開式的通項為，，
所以令可得的展開式中一次項為，令可得的展開式的常數項為，
所以.
故答案為：16.
變式18．（2024·陜西商洛·鎮安中學校考模擬預測）的展開式中含項的系數為 ．（用數字作答）
【答案】
【解析】展開式通項為：，
令可得展開式中含項的系數為：；
令可得展開式中含項的系數為：；
展開式中含項的系數為.
故答案為：.
變式19．（2024·河北唐山·高三開灤第二中學校考階段練習）設展開式中的常數項為，則實數的值為 .
【答案】
【解析】的展開式通項為，
，
在的展開式中，令，可得，不合乎題意；
在的展開式中，，
令，可得，
所以，展開式中的常數項為，解得.
故答案為：.
變式20．（2024·安徽亳州·安徽省亳州市第一中學校考模擬預測）展開式中的系數為 .
【答案】56
【解析】展開式中含的項為：．
故答案為：56．
【解題方法總結】
分配系數法
題型七：求二項式系數最值
例19．（2024·山東青島·統考三模）若展開式的所有項的二項式系數和為256，則展開式中系數最大的項的二項式系數為 ．（用數字作答）
【答案】28
【解析】因為展開式的所有項的二項式系數和為，解得，
則展開式為，
可得第項的系數為，
令，即，解得，
所以展開式中第項系數最大，其二項式系數為.
故答案為：28.
例20．（2024·全國·高三專題練習）二項式的展開式中，只有第6項的二項式系數最大，則含的項是 ．
【答案】
【解析】因為二項式的展開式中只有第6項的二項式系數最大，
所以展開式中共有項，，
故展開式的通項為，
令，解得，故展開式中含的項是.
故答案為：．
例21．（2024·人大附中校考三模）已知二項式的展開式中只有第4項的二項式系數最大，且展開式中項的系數為20，則實數的值為 .
【答案】/0.5
【解析】因為二項式的展開式中只有第4項的二項式系數最大，所以，二項式的通項為，令，解得， 所以展開式中項為，，解得.
故答案為：.
變式21．（2024·浙江紹興·統考模擬預測）二項式的展開式中當且僅當第4項的二項式系數最大，則 ，展開式中含的項的系數為 ．
【答案】 6
【解析】第4項的二項式系數為且最大，根據組合數的性質得，，令，所以，則展開式中含的項的系數為.
故答案為：6；.
變式22．（2024·陜西西安·西安中學校考模擬預測）已知的展開式中第4項與第8項的二項式系數相等，則展開式中二項式系數最大的項為 .
【答案】
【解析】由題意得，得，
所以展開式中二項式系數最大的項為第6項，
所以，
故答案為：.
變式23．（2024·湖北·校聯考模擬預測）在的二項展開式中，只有第5項的二項式系數最大，則該二項展開式中的常數項等于 ．
【答案】252
【解析】的二項展開式的中，只有第5項的二項式系數最大，，
通項公式為，令，求得，
可得二項展開式常數項等于，
故答案為：252．
【解題方法總結】
利用二項式系數性質中的最大值求解即可．
題型八：求項的系數最值
例22．（2024·海南海口·海南華僑中學校考一模）在的展開式中，系數最大的項為 .
【答案】
【解析】因為的通項為，的通項為，
∵展開式系數最大的項為，
展開式系數最大的項為，
∴在的展開式中，系數最大的項為.
故答案為：.
例23．（2024·江西吉安·江西省萬安中學校考一模）已知的展開式中，末三項的二項式系數的和等于121，則展開式中系數最大的項為 .（不用計算，寫出表達式即可）
【答案】和
【解析】由題意可得，，所以，解得，
的展開式的通項為
令，解得，
由于，所以或12，
時，；時，，
所以展開式中系數最大的項為和.
故答案為：和
例24．（2024·廣西南寧·南寧三中校考模擬預測）的二項式展開中，系數最大的項為 ．
【答案】
【解析】由題意知：的二項式展開中，各項的系數和二項式系數相等，
因為展開式的通項為，所以時，系數最大，該項為，
故答案為：.
變式24．（2024·全國·高三專題練習）已知的展開式中各項系數之和為64，則該展開式中系數最大的項為 ．
【答案】
【解析】令，則的展開式各項系數之和為，則；
由的展開式通項公式知二項展開式的系數最大項在奇數項，
設二項展開式中第項的系數最大，
則，化簡可得：
經驗證可得，
則該展開式中系數最大的項為.
故答案為: .
變式25．（2024·全國·高三專題練習）若n展開式中前三項的系數和為163，則展開式中系數最大的項為 ．
【答案】5376
【解析】展開式的通項公式為，由題意可得，，解得，
設展開式中項的系數最大，則
解得，
又∵，∴，
故展開式中系數最大的項為.
故答案為：5376.
變式26．（2024·全國·高三專題練習）展開式中只有第6項系數最大，則其常數項為 .
【答案】210
【解析】由已知展開式中只有第6項系數為最大，所以展開式有11項，
所以，即，又展開式的通項為，
令，解得，所以展開式的常數項為.
故答案為：210.
變式27．（2024·安徽蚌埠·高三統考開學考試）若二項式展開式中第4項的系數最大，則的所有可能取值的個數為 .
【答案】4
【解析】因為二項式展開式的通項公式為
由題意可得，即，故，又因為為正整數，所以或9或10或11，故的所有可能取值的個數為4個，
故答案為：4.
【解題方法總結】
有兩種類型問題，一是找是否與二項式系數有關，如有關系，則轉化為二項式系數最值問題；如無關系，則轉化為解不等式組：，注意：系數比較大小．
題型九：求二項展開式中的二項式系數和、各項系數和
例25．（多選題）（2024·全國·高三專題練習）已知，則下列結論正確的是（ ）
A．展開式中所有項的二項式系數的和為
B．展開式中所有奇次項的系數的和為
C．展開式中所有偶次項的系數的和為
D．
【答案】ACD
【解析】對于A，的展開式中所有項的二項式系數的和為，故A正確；
對于B，令，則，
，
所以展開式中所有奇次項的系數的和為，
展開式中所有偶次項的系數的和為，故B錯誤，C正確；
對于D，，，故D正確.
故選：ACD.
例26．（多選題）（2024·重慶南岸·高三重慶市第十一中學校校考階段練習）已知，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【解析】對于A，令，得到，故A正確；
對于B，的通項公式為，
令，得到，
令，得到，
所以，故B錯誤；
對于C，令，得到，故C正確；
對于D，令，則，又因為，
兩式相減得，則，故D正確.
故選：ACD
例27．（多選題）（2024·全國·高三專題練習）已知，則（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【解析】對于A，令，則，所以A正確，
對于B，令，則，
因為，所以，所以B錯誤，
對于C，令，則，
因為，
所以，
所以，所以C正確，
對于D，令，則，
因為 ，所以，所以D正確，
故選：ACD.
變式28．（多選題）（2024·全國·高三專題練習）已知，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【解析】令，可得，A正確.
，所以，B正確.
令，可得①，則，C正確.
令，可得②，①－②可得，
所以，D錯誤.
故選：ABC.
變式29．（多選題）（2024·山東日照·三模）已知，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【解析】由，
令得，故A正確；
由的展開式的通項公式，
得，故B錯誤；
令，得①，
再由，得，故錯誤；
令，得②，
①-②再除以2得，故D正確.
故選：AD
變式30．（多選題）（2024·全國·高三專題練習）設，則下列選項正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【解析】對于A，令，可得，故A正確；
對于B，令得，故B錯誤；
對于C，令得①，
令 得，②，
由①+②再除以2可得，故C正確；
對于D，令得①，
令 得，②，
①-②再除以2可得，故D正確．
故選：ACD．
變式31．（多選題）（2024·河北·統考模擬預測）已知．則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【解析】由，令得，故A正確；
由的展開式的通項公式，得，故B錯誤；
令，得①，再由，得，故C錯誤；
令，得②，①②再除以2得，故D正確；
故選：AD
變式32．（多選題）（2024·全國·校聯考三模）若在中，，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【解析】令，則，故A錯誤；
令，則，故B正確；
由題可得，故C錯誤；
由題，故D正確．
故選：BD.
變式33．（多選題）（2024·全國·高三專題練習）已知，若，則有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【解析】令，則，已知式變為，
解得，
，，
，
，
令，則有，
兩邊對求導得，
再令得，
所以，
故選：BCD．
變式34．（多選題）（2024·全國·高三專題練習）已知，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【解析】由等式右邊最高為項，且不含項，則且，即，故A錯誤，B正確；
所以.
C：等式兩邊同乘，原等式等價于，令，則，正確；
D：，可得：，令，則，錯誤；
故選：BC
變式35．（多選題）（2024·安徽蕪湖·統考模擬預測）已知，下列說法正確的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【解析】對于A，令，則，A正確；
對于B，展開式通項為：，
展開式通項為：，
展開式通項為：，
令，則，又，，，
或，，B錯誤；
對于C，令，則；
令，則；
兩式作和得：，，
又，，C錯誤；
對于D，，，
，
令，則，D正確.
故選：AD.
變式36．（多選題）（2024·福建寧德·統考模擬預測）若，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】令，則，即，故A正確；
令，則，
令，則，
則，故B正確；
，則，令，則，故C錯誤；
由兩邊求導，
得，
令，則，故D正確.
故選：ABD.
變式37．（多選題）（2024·廣西柳州·統考模擬預測）已知，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【解析】因為，
令，得，故A正確；
展開式的通項為 ，則，故B錯誤；
令，得，故C正確；
展開式的通項為，則，其中且，
當為偶數時，；當為奇數時，，
令，可得，故D正確.
故選：ACD.
變式38．（多選題）（2024·全國·高三專題練習）若，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】當時，，故A對；
，B對；
令，則，
∴，故C錯；
對等式兩邊求導，
即
令，則，
∴，故D對，
故選：ABD．
【解題方法總結】
二項展開式二項式系數和：；奇數項與偶數項二項式系數和相等：．
系數和：賦值法，二項展開式的系數表示式：（是系數），令得系數和：．
題型十：求奇數項或偶數項系數和
例28．（2024·北京東城·高三北京二中校考階段練習）設，則 ．（用數字作答）
【答案】
【解析】因為，
令，則①，
令，則②，
∴①－②得，
所以，
故答案為：
例29．（2024·湖南長沙·高三長沙一中校考階段練習）設多項式， 則 .
【答案】
【解析】依題意，令，得到：，令，得到：
，兩式相加可得：，故.
故答案為：
例30．（2024·新疆·高三八一中學校考開學考試）已知，若，則 ．
【答案】1
【解析】令，可得，所以．
令，得；
令，得，
兩式相減求得．
故答案為：1.
變式39．（2024·全國·模擬預測）在的展開式中，的所有奇次冪的系數和為，則其展開式中的常數項為 ．
【答案】
【解析】設，
令得：；令得：；
兩式作差得：，，
；
令得：，即展開式的常數項為.
故答案為：.
變式40．（2024·全國·高三專題練習）已知，則的值為 ．
【答案】78
【解析】令，可得，
令，可得 ①
令，則②
所以②①可得：，
所以，即
故答案為：
變式41．（2024·安徽·高考真題）已知(1－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，則(a0＋a2＋a4)(a1＋a3＋a5)的值等于 ．
【答案】－256
【解析】令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝0，
令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝25＝32，
兩式相加可得2(a0＋a2＋a4)＝32，
兩式相減可得2(a1＋a3＋a5)＝－32，
則a0＋a2＋a4＝16，a1＋a3＋a5＝－16，
所以(a0＋a2＋a4)(a1＋a3＋a5)＝－256.
故答案為：－256
變式42．（2024·全國·高三專題練習）已知的展開式中，奇次項系數的和比偶次項系數的和小，則 ．
【答案】255
【解析】設，且奇次項的系數和為，偶次項的系數和為，
則，，由已知得．
令，得，
即，即，
所以，所以．
所以．
故答案為：
變式43．（2024·全國·高三專題練習）已知，則的值為 .
【答案】313
【解析】令求得，再令求得，兩者結合可得結論．令得，令得，
∴．
故答案為：313．
【解題方法總結】
，令得系數和：①；
令得奇數項系數和減去偶數項系數和：②，聯立①②可求得奇數項系數和與偶數項系數和．
題型十一：整數和余數問題
例31．（2024·河北·高三校聯考期末）除以1000的余數是 ．
【答案】24
【解析】因為
，
所以除以1000的余數是：.
故答案為：24
例32．（2024·全國·高三專題練習）若，則被5除所得的余數為 ．
【答案】1
【解析】由題知時，， ，
故
所以被5除得的余數是1.
故答案為：1.
例33．（2024·浙江金華·模擬預測）除以100的余數是 ．
【答案】1
【解析】
，
,
由于是100的倍數，
故除以100的余數等于，
故答案為：1
變式44．（2024·遼寧沈陽·統考一模）若，則被5除的余數是 ．
【答案】4
【解析】由題知，時，①，
時，②，
由①＋②得，，
故，
所以被5除的余數是4.
故答案為：4.
變式45．（2024·全國·高三專題練習）寫出一個可以使得被100整除的正整數 .
【答案】1（答案不唯一）
【解析】由題意可知，
將利用二項式定理展開得
顯然，能被100整除，
所以，只需是100的整數倍即可；
所以，得
不妨取，得.
故答案為：1
變式46．（2024·全國·高三專題練習）已知能夠被15整除，其中，則 .
【答案】14
【解析】
，
所以，
因為是的整數倍，
所以能夠被15整除，
要使能夠被15整除，
只需要能夠被15整除即可，
因為，
所以.
故答案為：14.
題型十二：近似計算問題
例34．（2024·全國·高三專題練習）用二項式定理估算 .（精確到0.001）
【答案】1.105
【解析】
.
故答案為：1.105
例35．（2024·福建泉州·高三福建省南安國光中學校考階段練習） （精確到0.01）
【答案】30.84
【解析】原式
故答案為：30.84．
例36．（2024·全國·高三專題練習）某同學在一個物理問題計算過程中遇到了對數據的處理，經過思考，他決定采用精確到0.01的近似值，則這個近似值是 .
【答案】
【解析】根據二項式定理可得：
,
故答案為：
變式47．（2024·全國·高三專題練習）的計算結果精確到0.01的近似值是 ．
【答案】1.34
【解析】
故答案為：
變式48．（2024·全國·高三專題練習） （小數點后保留三位小數）．
【答案】1.172
【解析】，
由二項展開式的性質易知，遠小于，依次類推，
故.
故答案為：1.172.
題型十三：證明組合恒等式
例37．（2024·全國·高三專題練習）求證：
【解析】構造發生函數，
由此易發現，中所對應的系數應為恒等式的左端．
所以，
所以
，
所以，
由此可得，所對應的項的系數為，
既左邊等于右邊，則恒等式成立．
例38．（2024·全國·高三專題練習）證明：．
【解析】取函數，，則：
①，
②，
將②用替換n，有：．其中的系數為．
將①，②對應相乘，根據上述形式冪級數乘法定義有：，
其中的系數為，由展開式的唯一性有：，，
因此可得：．
例39．（2024·全國·高三專題練習）證明：．
【解析】由中n取，可得；
由兩邊同乘或除得：．
將以上兩等式兩邊對應相加可得：．
而等式左邊，
所以有．
變式49．（2024·全國·高三專題練習）求證：.
【解析】左邊=
=1=右邊.
即證.
變式50．（2024·全國·高三專題練習）（1）設、，，求證：；
（2）請利用二項式定理證明：.
【解析】證：（1）；
（2）當，時，
,
所以結論成立.
變式51．（2024·江蘇·校聯考模擬預測）對一個量用兩種方法分別算一次，由結果相同而構造等式，這種方法稱為“算兩次”的思想方法.利用這種方法，結合二項式定理，可以得到很多有趣的組合恒等式.
（1）根據恒等式兩邊的系數相同直接寫出一個恒等式，其中；
（2）設，利用上述恒等式證明：.
【解析】（1），
等式左邊的系數為，
右邊的系數這樣產生：
中的1與中的的系數的的積，即，
中的系數與中的系數的的積，即，
中的系數與中的系數的的積，即，
中的系數與中的系數的的積，即，
中的系數與中的系數的的積，即，
所以.
（2）當，且時，，
由（1）得
左邊=，
，
，
，
右邊，
所以.
題型十四：二項式定理與數列求和
例40．（2024·北京·高三強基計劃）設n為正整數，為組合數，則（ ）
A． B．
C． D．前三個答案都不對
【答案】D
【解析】解法一 設題中代數式為M，則
．
解法二 設題中代數式為M，倒序相加可得，
于是．
故選：D.
例41．（2024·全國·高三專題練習）（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，兩邊求導得，
，兩邊乘以后得，
，兩邊求導得，
，
取得.
故選：A
例42．（2024·湖北·高三校聯考階段練習）偉大的數學家歐拉28歲時解決了困擾數學界近一世紀的“巴賽爾級數”難題．當時，，又根據泰勒展開式可以得到，根據以上兩式可求得（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由，兩邊同時除以x，
得，
又
展開式中的系數為，
所以，
所以．
故選：A．
變式52．（2024·重慶永川·重慶市永川北山中學校校考模擬預測）已知，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】依題意，，
當時，，
于是得
.
故選：B
變式53．（2024·湖南邵陽·高三統考期末）已知，展開式中的系數為，則等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵，展開式中的系數為，
∴則
，
故選：B．
變式54．（2024·北京·高三強基計劃）設，對于有序數組，記為中所包含的不同整數的個數，例如．當取遍所有的個有序數組時，的平均值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】利用二項式定理可求平均值或者就的取值分類討論后可求平均值.
解法一 分別計算1，2，3，4的“價值”，可得所求平均值為
．
解法二 按的取值分類．
N 總數
1 4
2 84
3 144
4 24
于是所求平均值為．
故選：C.
題型十五：楊輝三角
例43．（多選題）（2024·海南·海南中學校考三模）“楊輝三角”是二項式系數在三角形中的一種幾何排列，在中國南宋數學家楊輝年所著的《詳解九章算法》一書中就有出現，比歐洲發現早年左右.如圖所示，在“楊輝三角”中，除每行兩邊的數都是外，其余每個數都是其“肩上”的兩個數之和，例如第行的為第行中兩個的和.則下列命題中正確的是（ ）
A．在“楊輝三角”第行中，從左到右第個數是
B．由“第行所有數之和為”猜想：
C．
D．存在，使得為等差數列
【答案】BCD
【解析】對于A，在“楊輝三角”第行中，從左到右第個數是，A錯；
對于B，由二項式系數的性質知，B對；
對于C，由于故C正確；
對于D，取，則，
因為，所以數列為公差為的等差數列，D對.
故選：BCD.
例44．（多選題）（2024·黑龍江哈爾濱·哈爾濱三中校考模擬預測）“楊輝三角”是二項式系數在三角形中的一種幾何排列，在中國南宋數學家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中就有出現.如圖所示，在“楊輝三角”中，除每行兩邊的數都是1外，其余每個數都是其“肩上”的兩個數之和，例如第4行的6為第3行中兩個3的和.則下列命題中正確的是（ ）

A．在第10行中第5個數最大
B．
C．第8行中第4個數與第5個數之比為
D．在楊輝三角中，第行的所有數字之和為
【答案】BC
【解析】對于A：第行是二項式的展開式的系數，
所以第行中第個數最大，故A錯誤；
對于B：
，故B正確；
對于C：第行是二項式的展開式的系數，又展開式的通項為，
所以第個數為，第個數為，所以第個數與第個數之比為，故C正確；
對于D：第行是二項式的展開式的系數，故第行的所有數字之和為，故D錯誤；
故選：BC
例45．（多選題）（2024·河北衡水·高三河北衡水中學校考階段練習）“楊輝三角”是二項式系數在三角形中的一種幾何排列，在中國南宋數學家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中就有出現.如圖所示，在“楊輝三角”中，除每行兩邊的數都是1外，其余每個數都是其“肩上”的兩個數之和，例如第4行的6為第3行中兩個3的和.則下列命題中正確的是（ ）
A．
B．在第2022行中第1011個數最大
C．記“楊輝三角”第行的第i個數為，則
D．第34行中第15個數與第16個數之比為
【答案】AC
【解析】A：所以本選項正確；
B：第2022行是二項式的展開式的系數，故第2022行中第個數最大，所以本選項不正確；
C：“楊輝三角”第行是二項式的展開式系數，
所以，
，
因此本選項正確；
D：第34行是二項式的展開式系數，
所以第15個數與第16個數之比為，因此本選項不正確，
故選：AC
變式55．（多選題）（2024·全國·高三專題練習）如圖給出下列一個由正整數組成的三角形數陣，該三角形數陣的兩腰分別是一個公差為的等差數列和一個公差為的等差數列，每一行是一個公差為的等差數列．我們把這個數陣的所有數從上到下，從左到右依次構成一個數列：、、、、、、、、、、，其前項和為，則下列說法正確的有（ ）（參考公式：）
A． B．第一次出現是
C．在中出現了次 D．
【答案】ACD
【解析】對于A，，且，
故在第行第個，則，A對；
對于B，因為第行最后一個數為，該數為奇數，由，可得，
所以，第一次是出現在第行倒數第個，
因為，即第一次出現是，B錯；
對于C，因為第一次是出現在第行倒數第個，在第行至第行，在每行中各出現一次，
故在中出現了次，C對；
對于D選項，設第行的數字之和為，則，
故
，D對.
故選：ACD
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21世紀教育網(www.21cnjy.com)第87講 二項式定理
知識梳理
知識點1、二項式展開式的特定項、特定項的系數問題
（1）二項式定理
一般地，對于任意正整數，都有：，
這個公式所表示的定理叫做二項式定理，等號右邊的多項式叫做的二項展開式．
式中的做二項展開式的通項，用表示，即通項為展開式的第項：，
其中的系數（r=0，1，2，…，n）叫做二項式系數，
（2）二項式的展開式的特點：
①項數：共有項，比二項式的次數大1；
②二項式系數：第項的二項式系數為，最大二項式系數項居中；
③次數：各項的次數都等于二項式的冪指數．字母降冪排列，次數由到；字母升冪排列，次
數從到，每一項中，，次數和均為；
④項的系數：二項式系數依次是，項的系數是與的系數（包括二項式系
數）．
（3）兩個常用的二項展開式：
①（）
②
（4）二項展開式的通項公式
二項展開式的通項：
公式特點：①它表示二項展開式的第項，該項的二項式系數是；
②字母的次數和組合數的上標相同；
③與的次數之和為．
注意：①二項式的二項展開式的第r+1項和的二項展開式的第r+1項是有區別的，應用二項式定理時，其中的和是不能隨便交換位置的．
②通項是針對在這個標準形式下而言的，如的二項展開式的通項是（只需把看成代入二項式定理）．
2、二項式展開式中的最值問題
（1）二項式系數的性質
①每一行兩端都是，即；其余每個數都等于它“肩上”兩個數的和，即．
②對稱性每一行中，與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數相等，即．
③二項式系數和令，則二項式系數的和為，變形式．
④奇數項的二項式系數和等于偶數項的二項式系數和在二項式定理中，令，
則，
從而得到：．
⑤最大值：
如果二項式的冪指數是偶數，則中間一項的二項式系數最大；
如果二項式的冪指數是奇數，則中間兩項，的二項式系數，相等且最大．
（2）系數的最大項
求展開式中最大的項，一般采用待定系數法．設展開式中各項系數分別為，設第項系數最大，應有，從而解出來．
知識點3、二項式展開式中系數和有關問題
常用賦值舉例：
（1）設，
二項式定理是一個恒等式，即對，的一切值都成立，我們可以根據具體問題的需要靈活選取，的值．
①令，可得：
②令，可得：，即：
（假設為偶數），再結合①可得：
．
（2）若，則
①常數項：令，得．
②各項系數和：令，得．
③奇數項的系數和與偶數項的系數和
（i）當為偶數時，奇數項的系數和為；
偶數項的系數和為．
（可簡記為：為偶數，奇數項的系數和用“中點公式”，奇偶交錯搭配）
（ii）當為奇數時，奇數項的系數和為；
偶數項的系數和為．
（可簡記為：為奇數，偶數項的系數和用“中點公式”，奇偶交錯搭配）
若，同理可得．
注意：常見的賦值為令，或，然后通過加減運算即可得到相應的結果．
必考題型全歸納
題型一：求二項展開式中的參數
例1．（2024·河南鄭州·統考模擬預測）的展開式中的常數項與展開式中的常數項相等，則的值為（ ）
A． B． C．2 D．3
例2．（2024·四川成都·成都實外校考模擬預測）已知的展開式中存在常數項，則n的可能取值為（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
例3．（2024·全國·高三專題練習）展開式中的常數項為－160，則a＝（ ）
A．－1 B．1 C．±1 D．2
變式1．（2024·全國·高三專題練習）已知的展開式中的常數項為，則實數（ ）
A．2 B．-2 C．8 D．-8
變式2．（2024·全國·高三專題練習）已知的展開式中第3項是常數項，則（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【解題方法總結】
在形如的展開式中求的系數，關鍵是利用通項求，則．
題型二：求二項展開式中的常數項
例4．（2024·重慶南岸·高三重慶第二外國語學校校考階段練習）已知，二項式的展開式中所有項的系數和為64，則展開式中的常數項為（ ）
A．36 B．30 C．15 D．10
例5．（2024·山西朔州·高三懷仁市第一中學校校考階段練習）二項式的展開式中的常數項為（ ）
A．1792 B．－1792 C．1120 D．－1120
例6．（2024·北京房山·高三統考開學考試）的展開式中的常數項是（ ）
A． B． C． D．
變式3．（2024·貴州貴陽·高三貴陽一中校考開學考試）的展開式中的常數項為（ ）
A．20 B．20 C．－10 D．10
變式4．（2024·全國·高三專題練習）若的展開式中存在常數項，則（ ）
A． B． C． D．
變式5．（2024·全國·高三對口高考）若展開式中含有常數項，則n的最小值是（ ）
A．2 B．3 C．12 D．10
【解題方法總結】
寫出通項，令指數為零，確定，代入．
題型三：求二項展開式中的有理項
例7．（2024·全國·高三專題練習）在的展開式中，有理項的系數為（ ）
A． B． C．5 D．10
例8．（2024·全國·高考真題）二項式的展開式中系數為有理數的項共有（ ）
A．6項 B．7項 C．8項 D．9項
例9．（2024·江西南昌·高三統考階段練習）的展開式中所有有理項的系數和為（ ）
A．85 B．29 C． D．
變式6．（2024·四川瀘州·高三四川省瀘縣第四中學校考階段練習）二項式展開式中，有理項共有（ ）項．
A．3 B．4 C．5 D．7
變式7．（2024·安徽宣城·高三統考期末）在二項式的展開式中，有理項共有（ ）
A．項 B．項 C．項 D．項
變式8．（2024·全國·高三專題練習）若的展開式中有且僅有三個有理項，則正整數的取值為（ ）
A． B．或 C．或 D．
【解題方法總結】
先寫出通項，再根據數的整除性確定有理項．
題型四：求二項展開式中的特定項系數
例10．（2024·四川成都·校聯考模擬預測）已知的展開式中第4項與第5項的二項式系數相等，則展開式中的項的系數為（ ）
A．―4 B．84 C．―280 D．560
例11．（2024·海南海口·海南華僑中學校考模擬預測）展開式中的系數為（ ）
A．270 B．240 C．210 D．180
例12．（2024·廣東揭陽·高三校考階段練習）的展開式中的系數是（ ）
A．20 B． C．10 D．
變式9．（2024·河北邢臺·高三邢臺市第二中學校考階段練習）已知的展開式中各項的二項式系數之和為64，則其展開式中的系數為（ ）
A． B．240 C． D．160
變式10．（2024·全國·高三專題練習）在二項式的展開式中，含的項的二項式系數為（ ）
A．28 B．56 C．70 D．112
變式11．（2024·北京·高三專題練習）在二項式的展開式中，含項的二項式系數為（ ）
A．5 B． C．10 D．
【解題方法總結】
寫出通項，確定r，代入．
題型五：求三項展開式中的指定項
例13．（2024·全國·高三專題練習）在的展開式中，的系數為 .
例14．（2024·山東·高三沂源縣第一中學校聯考開學考試）展開式中含項的系數為 ．
例15．（2024·遼寧·大連二十四中校聯考模擬預測）的展開式中的系數為 （用數字作答）．
變式12．（2024·福建三明·高三統考期末）展開式中常數項是 .（答案用數字作答）
變式13．（2024·江蘇·金陵中學校聯考三模）展開式中的常數項為 .
變式14．（2024·湖南岳陽·統考模擬預測）的展開式中，的系數為 ．
變式15．（2024·廣東汕頭·統考三模）展開式中的系數是 .
【解題方法總結】
三項式的展開式：
若令，便得到三項式展開式通項公式：
，
其中叫三項式系數．
題型六：求幾個二（多）項式的和（積）的展開式中條件項系數
例16．（2024·廣西百色·高三貴港市高級中學校聯考階段練習）的展開式中的系數為 ．
例17．（2024·河北保定·高三校聯考開學考試）在的展開式中含項的系數是 .
例18．（2024·江西南昌·高三統考開學考試）展開式中的系數是 .
變式16．（2024·江蘇蘇州·高三統考開學考試）的展開式常數項是 .（用數字作答）
變式17．（2024·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中學校考階段練習）已知多項式，則 .
變式18．（2024·陜西商洛·鎮安中學校考模擬預測）的展開式中含項的系數為 ．（用數字作答）
變式19．（2024·河北唐山·高三開灤第二中學校考階段練習）設展開式中的常數項為，則實數的值為 .
變式20．（2024·安徽亳州·安徽省亳州市第一中學校考模擬預測）展開式中的系數為 .
【解題方法總結】
分配系數法
題型七：求二項式系數最值
例19．（2024·山東青島·統考三模）若展開式的所有項的二項式系數和為256，則展開式中系數最大的項的二項式系數為 ．（用數字作答）
例20．（2024·全國·高三專題練習）二項式的展開式中，只有第6項的二項式系數最大，則含的項是 ．
例21．（2024·人大附中校考三模）已知二項式的展開式中只有第4項的二項式系數最大，且展開式中項的系數為20，則實數的值為 .
變式21．（2024·浙江紹興·統考模擬預測）二項式的展開式中當且僅當第4項的二項式系數最大，則 ，展開式中含的項的系數為 ．
變式22．（2024·陜西西安·西安中學校考模擬預測）已知的展開式中第4項與第8項的二項式系數相等，則展開式中二項式系數最大的項為 .
變式23．（2024·湖北·校聯考模擬預測）在的二項展開式中，只有第5項的二項式系數最大，則該二項展開式中的常數項等于 ．
【解題方法總結】
利用二項式系數性質中的最大值求解即可．
題型八：求項的系數最值
例22．（2024·海南海口·海南華僑中學校考一模）在的展開式中，系數最大的項為 .
例23．（2024·江西吉安·江西省萬安中學校考一模）已知的展開式中，末三項的二項式系數的和等于121，則展開式中系數最大的項為 .（不用計算，寫出表達式即可）
例24．（2024·廣西南寧·南寧三中校考模擬預測）的二項式展開中，系數最大的項為 ．
變式24．（2024·全國·高三專題練習）已知的展開式中各項系數之和為64，則該展開式中系數最大的項為 ．
變式25．（2024·全國·高三專題練習）若n展開式中前三項的系數和為163，則展開式中系數最大的項為 ．
變式26．（2024·全國·高三專題練習）展開式中只有第6項系數最大，則其常數項為 .
變式27．（2024·安徽蚌埠·高三統考開學考試）若二項式展開式中第4項的系數最大，則的所有可能取值的個數為 .
【解題方法總結】
有兩種類型問題，一是找是否與二項式系數有關，如有關系，則轉化為二項式系數最值問題；如無關系，則轉化為解不等式組：，注意：系數比較大小．
題型九：求二項展開式中的二項式系數和、各項系數和
例25．（多選題）（2024·全國·高三專題練習）已知，則下列結論正確的是（ ）
A．展開式中所有項的二項式系數的和為
B．展開式中所有奇次項的系數的和為
C．展開式中所有偶次項的系數的和為
D．
例26．（多選題）（2024·重慶南岸·高三重慶市第十一中學校校考階段練習）已知，則（ ）
A． B．
C． D．
例27．（多選題）（2024·全國·高三專題練習）已知，則（ ）
A．
B．
C．
D．
變式28．（多選題）（2024·全國·高三專題練習）已知，則（ ）
A． B．
C． D．
變式29．（多選題）（2024·山東日照·三模）已知，則（ ）
A． B．
C． D．
變式30．（多選題）（2024·全國·高三專題練習）設，則下列選項正確的是（ ）
A． B．
C． D．
變式31．（多選題）（2024·河北·統考模擬預測）已知．則（ ）
A． B．
C． D．
變式32．（多選題）（2024·全國·校聯考三模）若在中，，則（ ）
A． B．
C． D．
變式33．（多選題）（2024·全國·高三專題練習）已知，若，則有（ ）
A．
B．
C．
D．
變式34．（多選題）（2024·全國·高三專題練習）已知，則（ ）
A． B．
C． D．
變式35．（多選題）（2024·安徽蕪湖·統考模擬預測）已知，下列說法正確的有（ ）
A． B．
C． D．
變式36．（多選題）（2024·福建寧德·統考模擬預測）若，則（ ）
A． B．
C． D．
變式37．（多選題）（2024·廣西柳州·統考模擬預測）已知，則（ ）
A． B．
C． D．
變式38．（多選題）（2024·全國·高三專題練習）若，則（ ）
A． B．
C． D．
【解題方法總結】
二項展開式二項式系數和：；奇數項與偶數項二項式系數和相等：．
系數和：賦值法，二項展開式的系數表示式：（是系數），令得系數和：．
題型十：求奇數項或偶數項系數和
例28．（2024·北京東城·高三北京二中校考階段練習）設，則 ．（用數字作答）
例29．（2024·湖南長沙·高三長沙一中校考階段練習）設多項式， 則 .
例30．（2024·新疆·高三八一中學校考開學考試）已知，若，則 ．
變式39．（2024·全國·模擬預測）在的展開式中，的所有奇次冪的系數和為，則其展開式中的常數項為 ．
變式40．（2024·全國·高三專題練習）已知，則的值為 ．
變式41．（2024·安徽·高考真題）已知(1－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，則(a0＋a2＋a4)(a1＋a3＋a5)的值等于 ．
變式42．（2024·全國·高三專題練習）已知的展開式中，奇次項系數的和比偶次項系數的和小，則 ．
變式43．（2024·全國·高三專題練習）已知，則的值為 .
【解題方法總結】
，令得系數和：①；
令得奇數項系數和減去偶數項系數和：②，聯立①②可求得奇數項系數和與偶數項系數和．
題型十一：整數和余數問題
例31．（2024·河北·高三校聯考期末）除以1000的余數是 ．
例32．（2024·全國·高三專題練習）若，則被5除所得的余數為 ．
例33．（2024·浙江金華·模擬預測）除以100的余數是 ．
變式44．（2024·遼寧沈陽·統考一模）若，則被5除的余數是 ．
變式45．（2024·全國·高三專題練習）寫出一個可以使得被100整除的正整數 .
變式46．（2024·全國·高三專題練習）已知能夠被15整除，其中，則 .
題型十二：近似計算問題
例34．（2024·全國·高三專題練習）用二項式定理估算 .（精確到0.001）
例35．（2024·福建泉州·高三福建省南安國光中學校考階段練習） （精確到0.01）
例36．（2024·全國·高三專題練習）某同學在一個物理問題計算過程中遇到了對數據的處理，經過思考，他決定采用精確到0.01的近似值，則這個近似值是 .
變式47．（2024·全國·高三專題練習）的計算結果精確到0.01的近似值是 ．
變式48．（2024·全國·高三專題練習） （小數點后保留三位小數）．
題型十三：證明組合恒等式
例37．（2024·全國·高三專題練習）求證：
例38．（2024·全國·高三專題練習）證明：．
例39．（2024·全國·高三專題練習）證明：．
變式49．（2024·全國·高三專題練習）求證：.
變式50．（2024·全國·高三專題練習）（1）設、，，求證：；
（2）請利用二項式定理證明：.
變式51．（2024·江蘇·校聯考模擬預測）對一個量用兩種方法分別算一次，由結果相同而構造等式，這種方法稱為“算兩次”的思想方法.利用這種方法，結合二項式定理，可以得到很多有趣的組合恒等式.
（1）根據恒等式兩邊的系數相同直接寫出一個恒等式，其中；
（2）設，利用上述恒等式證明：.
題型十四：二項式定理與數列求和
例40．（2024·北京·高三強基計劃）設n為正整數，為組合數，則（ ）
A． B．
C． D．前三個答案都不對
例41．（2024·全國·高三專題練習）（ ）
A． B． C． D．
例42．（2024·湖北·高三校聯考階段練習）偉大的數學家歐拉28歲時解決了困擾數學界近一世紀的“巴賽爾級數”難題．當時，，又根據泰勒展開式可以得到，根據以上兩式可求得（ ）
A． B． C． D．
變式52．（2024·重慶永川·重慶市永川北山中學校校考模擬預測）已知，則（ ）
A． B．
C． D．
變式53．（2024·湖南邵陽·高三統考期末）已知，展開式中的系數為，則等于（ ）
A． B． C． D．
變式54．（2024·北京·高三強基計劃）設，對于有序數組，記為中所包含的不同整數的個數，例如．當取遍所有的個有序數組時，的平均值為（ ）
A． B． C． D．
題型十五：楊輝三角
例43．（多選題）（2024·海南·海南中學校考三模）“楊輝三角”是二項式系數在三角形中的一種幾何排列，在中國南宋數學家楊輝年所著的《詳解九章算法》一書中就有出現，比歐洲發現早年左右.如圖所示，在“楊輝三角”中，除每行兩邊的數都是外，其余每個數都是其“肩上”的兩個數之和，例如第行的為第行中兩個的和.則下列命題中正確的是（ ）
A．在“楊輝三角”第行中，從左到右第個數是
B．由“第行所有數之和為”猜想：
C．
D．存在，使得為等差數列
例44．（多選題）（2024·黑龍江哈爾濱·哈爾濱三中校考模擬預測）“楊輝三角”是二項式系數在三角形中的一種幾何排列，在中國南宋數學家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中就有出現.如圖所示，在“楊輝三角”中，除每行兩邊的數都是1外，其余每個數都是其“肩上”的兩個數之和，例如第4行的6為第3行中兩個3的和.則下列命題中正確的是（ ）

A．在第10行中第5個數最大
B．
C．第8行中第4個數與第5個數之比為
D．在楊輝三角中，第行的所有數字之和為
例45．（多選題）（2024·河北衡水·高三河北衡水中學校考階段練習）“楊輝三角”是二項式系數在三角形中的一種幾何排列，在中國南宋數學家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中就有出現.如圖所示，在“楊輝三角”中，除每行兩邊的數都是1外，其余每個數都是其“肩上”的兩個數之和，例如第4行的6為第3行中兩個3的和.則下列命題中正確的是（ ）
A．
B．在第2022行中第1011個數最大
C．記“楊輝三角”第行的第i個數為，則
D．第34行中第15個數與第16個數之比為
變式55．（多選題）（2024·全國·高三專題練習）如圖給出下列一個由正整數組成的三角形數陣，該三角形數陣的兩腰分別是一個公差為的等差數列和一個公差為的等差數列，每一行是一個公差為的等差數列．我們把這個數陣的所有數從上到下，從左到右依次構成一個數列：、、、、、、、、、、，其前項和為，則下列說法正確的有（ ）（參考公式：）
A． B．第一次出現是
C．在中出現了次 D．
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