資源簡(jiǎn)介

第88講 隨機(jī)事件、頻率與概率
知識(shí)梳理
知識(shí)點(diǎn)1、隨機(jī)試驗(yàn)
我們把對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的實(shí)現(xiàn)和對(duì)它的觀察稱為隨機(jī)試驗(yàn)，簡(jiǎn)稱試驗(yàn)，常用字母表示．
我們感興趣的是具有以下特點(diǎn)的隨機(jī)試驗(yàn)：
（1）試驗(yàn)可以在相同條件下重復(fù)進(jìn)行；
（2）試驗(yàn)的所有可能結(jié)果是明確可知的，并且不止一個(gè)；
（3）每次試驗(yàn)總是恰好出現(xiàn)這些可能結(jié)果中的一個(gè)，但事先不能確定出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果．
知識(shí)點(diǎn)2、樣本空間
我們把隨機(jī)試驗(yàn)的每個(gè)可能的基本結(jié)果稱為樣本點(diǎn)，全體樣本點(diǎn)的集合稱為試驗(yàn)的樣本空間，一般地，用．．表示樣本空間，用表示樣本點(diǎn)，如果一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)有個(gè)可能結(jié)果，，…，，則稱樣本空間為有限樣本空間．
知識(shí)點(diǎn)3、隨機(jī)事件、確定事件
（1）一般地，隨機(jī)試驗(yàn)中的每個(gè)隨機(jī)事件都可以用這個(gè)試驗(yàn)的樣本空間的子集來表示，為了敘述方便，我們將樣本空間的子集稱為隨機(jī)事件，簡(jiǎn)稱事件，并把只包含一個(gè)樣本點(diǎn)的事件稱為基本事件．當(dāng)且僅當(dāng)中某個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)時(shí)，稱為事件發(fā)生．
（2）作為自身的子集，包含了所有的樣本點(diǎn)，在每次試驗(yàn)中總有一個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生，所以總會(huì)發(fā)生，我們稱為必然事件．
（3）空集不包含任何樣本點(diǎn)，在每次試驗(yàn)中都不會(huì)發(fā)生，我們稱為為不可能事件．
（4）確定事件：必然事件和不可能事件統(tǒng)稱為相對(duì)隨機(jī)事件的確定事件．
知識(shí)點(diǎn)4、事件的關(guān)系與運(yùn)算
①包含關(guān)系：一般地，對(duì)于事件和事件，如果事件發(fā)生，則事件一定發(fā)生，這時(shí)稱事件包含事件（或者稱事件包含于事件），記作或者．與兩個(gè)集合的包含關(guān)系類比，可用下圖表示：
不可能事件記作，任何事件都包含不可能事件．
②相等關(guān)系：一般地，若且，稱事件與事件相等．與兩個(gè)集合的并集類比，可用下圖表示：
③并事件（和事件）：若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件發(fā)生或事件發(fā)生，則稱此事件為事件與事件的并事件（或和事件），記作（或）．與兩個(gè)集合的并集類比，可用下圖表示：
④交事件（積事件）：若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件發(fā)生且事件發(fā)生，則稱此事件為事件A與事件B的交事件（或積事件），記作（或）．與兩個(gè)集合的交集類比，可用下圖表示：
知識(shí)點(diǎn)5、互斥事件與對(duì)立事件
（1）互斥事件：在一次試驗(yàn)中，事件和事件不能同時(shí)發(fā)生，即，則稱事件與事件互斥，可用下圖表示：
如果，，…，中任何兩個(gè)都不可能同時(shí)發(fā)生，那么就說事件，．．，…，彼此互斥．
（2）對(duì)立事件：若事件和事件在任何一次實(shí)驗(yàn)中有且只有一個(gè)發(fā)生，即不發(fā)生，則稱事件和事件互為對(duì)立事件，事件的對(duì)立事件記為．
（3）互斥事件與對(duì)立事件的關(guān)系
①互斥事件是不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件，而對(duì)立事件除要求這兩個(gè)事件不同時(shí)發(fā)生外，還要求二者之一必須有一個(gè)發(fā)生．
②對(duì)立事件是互斥事件的特殊情況，而互斥事件未必是對(duì)立事件，即“互斥”是“對(duì)立”的必要不充分條件，而“對(duì)立”則是“互斥”的充分不必要條件．
知識(shí)點(diǎn)6、概率與頻率
（1）頻率：在次重復(fù)試驗(yàn)中，事件發(fā)生的次數(shù)稱為事件發(fā)生的頻數(shù)，頻數(shù)與總次數(shù)的比值，叫做事件發(fā)生的頻率．
（2）概率：在大量重復(fù)盡心同一試驗(yàn)時(shí)，事件發(fā)生的頻率總是接近于某個(gè)常數(shù)，并且在它附近擺動(dòng)，這時(shí)，就把這個(gè)常數(shù)叫做事件的概率，記作．
（3）概率與頻率的關(guān)系：對(duì)于給定的隨機(jī)事件，由于事件發(fā)生的頻率隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加穩(wěn)定于概率，因此可以用頻率來估計(jì)概率．
必考題型全歸納
題型一：隨機(jī)事件與樣本空間
例1．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知集合A是集合B的真子集，則下列關(guān)于非空集合A，B的四個(gè)命題：
①若任取，則是必然事件；
②若任取，則是不可能事件；
③若任取，則是隨機(jī)事件；
④若任取，則是必然事件．
其中正確的命題有（　　）
A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)
例2．（2024·全國·高三專題練習(xí)）以下事件是隨機(jī)事件的是（ ）
A．標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水加熱到，必會(huì)沸騰 B．走到十字路口，遇到紅燈
C．長和寬分別為的矩形，其面積為 D．實(shí)系數(shù)一元一次方程必有一實(shí)根
例3．（2024·全國·高三專題練習(xí)）袋中裝有形狀與質(zhì)地相同的個(gè)球，其中黑色球個(gè)，記為，白色球個(gè)，記為，從袋中任意取個(gè)球，請(qǐng)寫出該隨機(jī)試驗(yàn)一個(gè)不等可能的樣本空間： .
變式1．（2024·全國·高一專題練習(xí)）將一枚硬幣拋三次，觀察其正面朝上的次數(shù)，該試驗(yàn)樣本空間為 .
變式2．（2024·高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)樣本空間Ω＝{1，2，3}，則Ω的不同事件的總數(shù)是 .
變式3．（2024·全國·高一專題練習(xí)）從含有件次品的件產(chǎn)品中任取件，觀察其中次品數(shù)，其樣本空間為 ．
【解題方法總結(jié)】
確定樣本空間的方法
（1）必須明確事件發(fā)生的條件．
（2）根據(jù)題意，按一定的次序列出問題的答案．特別要注意結(jié)果出現(xiàn)的機(jī)會(huì)是均等的，按規(guī)律去寫，要做到既不重復(fù)也不遺漏．
題型二：隨機(jī)事件的關(guān)系與運(yùn)算
例4．（2024·全國·高三專題練習(xí)）端午節(jié)是我國傳統(tǒng)節(jié)日，記事件“甲端午節(jié)來寶雞旅游”， 記事件“乙端午節(jié)來寶雞旅游”，且，，假定兩人的行動(dòng)相互之間沒有影響，則（ ）
A． B． C． D．
例5．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知事件與事件互斥，記事件為事件對(duì)立事件.若，，則（ ）
A． B． C． D．
例6．（2024·全國·高三專題練習(xí)）對(duì)空中飛行的飛機(jī)連續(xù)射擊兩次，每次發(fā)射一枚炮彈，設(shè)事件A表示隨機(jī)事件“兩枚炮彈都擊中飛機(jī)”，事件B表示隨機(jī)事件“兩枚炮彈都未擊中飛機(jī)”，事件C表示隨機(jī)事件“恰有一枚炮彈擊中飛機(jī)”，事件D表示隨機(jī)事件“至少有一枚炮彈擊中飛機(jī)”，則下列關(guān)系不正確的是（　　）
A． B．
C． D．
變式4．（2024·全國·高三專題練習(xí)）某家族有兩種遺傳性狀，該家族某成員出現(xiàn)性狀的概率為，出現(xiàn)性狀的概率為，兩種性狀都不出現(xiàn)的概率為，則該成員兩種性狀都出現(xiàn)的概率為（ ）
A． B． C． D．
變式5．（2024·上海長寧·統(tǒng)考一模）擲兩顆骰子，觀察擲得的點(diǎn)數(shù)；設(shè)事件A為：至少一個(gè)點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)；事件B為：點(diǎn)數(shù)之和是偶數(shù)；事件A的概率為，事件B的概率為；則是下列哪個(gè)事件的概率（ ）
A．兩個(gè)點(diǎn)數(shù)都是偶數(shù) B．至多有一個(gè)點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)
C．兩個(gè)點(diǎn)數(shù)都是奇數(shù) D．至多有一個(gè)點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)
變式6．（2024·全國·高三專題練習(xí)）如圖，甲、乙兩個(gè)元件串聯(lián)構(gòu)成一段電路，設(shè)“甲元件故障”，“乙元件故障”，則表示該段電路沒有故障的事件為（ ）
A． B． C． D．
變式7．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知，，若，則（ ）
A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4
【解題方法總結(jié)】
事件的關(guān)系運(yùn)算策略
（1）互斥事件是不可能同時(shí)發(fā)生的事件，但也可以同時(shí)不發(fā)生．
（2）進(jìn)行事件的運(yùn)算時(shí)，一是要緊扣運(yùn)算的定義，二是要全面考慮同一條件下的試驗(yàn)可能出現(xiàn)的全部結(jié)果，必要時(shí)可列出全部的試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行分析．也可類比集合的關(guān)系和運(yùn)用Venn圖分析事件．
題型三：頻率與概率
例7．（2024·陜西西安·西安市大明宮中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）在一個(gè)口袋中放有個(gè)白球和個(gè)紅球，這些球除顏色外都相同，某班50名學(xué)生分別從口袋中每次摸一個(gè)球，記錄顏色后放回，每人連續(xù)摸10次，其中摸到白球的次數(shù)共152次，以頻率估計(jì)概率，若從口袋中隨機(jī)摸1個(gè)球，則摸到紅球概率的估計(jì)值為 ．（小數(shù)點(diǎn)后保留一位小數(shù)）
例8．（2024·全國·高三對(duì)口高考）下列說法：①設(shè)有一批產(chǎn)品，其次品率為0.05，則從中任取200件，必有10件次品；②做100次拋硬幣的試驗(yàn)，有51次出現(xiàn)正面.因此出現(xiàn)正面的概率是0.51；③隨機(jī)事件A的概率是頻率的穩(wěn)定值；④隨機(jī)事件A的概率趨近于0，即趨近于0，則A是不可能事件；⑤拋擲骰子100次，得點(diǎn)數(shù)是1的結(jié)果是18次，則出現(xiàn)1點(diǎn)的頻率是；⑥隨機(jī)事件的頻率就是這個(gè)事件發(fā)生的概率；其中正確的有 .
例9．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）在對(duì)于一些敏感性問題調(diào)查時(shí)，被調(diào)查者往往不愿意給正確答復(fù)，因此需要特別的調(diào)查方法．調(diào)查人員設(shè)計(jì)了一個(gè)隨機(jī)化裝置，在其中裝有形狀、大小、質(zhì)地完全相同的個(gè)黑球和個(gè)白球，每個(gè)被調(diào)查者隨機(jī)從該裝置中抽取一個(gè)球，若摸到黑球則需要如實(shí)回答問題一：你公歷生日是奇數(shù)嗎？若摸到白球則如實(shí)回答問題二：你是否在考試中做過弊．若人中有人回答了“是”，人回答了“否”．則問題二“考試是否做過弊”回答“是”的百分比為（以人的頻率估計(jì)概率） ．
變式8．（2024·全國·高三對(duì)口高考）已知某運(yùn)動(dòng)員每次投籃命中的概率都為，現(xiàn)采用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)該運(yùn)動(dòng)員三次投籃恰有兩次命中的概率：先由計(jì)算器產(chǎn)生到之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，指定、、、表示命中，、、、、9、0表示不命中，再以每三個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，代表三次投籃的結(jié)果，經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了如下組隨機(jī)數(shù)：


據(jù)此估計(jì)，該運(yùn)動(dòng)員三次投籃恰有兩次命中的概率為 .
變式9．（2024·全國·高三專題練習(xí)）一家藥物公司試驗(yàn)一種新藥，在500個(gè)病人中試驗(yàn)，其中307人有明顯療效，120人有療效但療效一般，剩余的人無療效，則沒有明顯療效的頻率是 ．
變式10．（2024·全國·高三專題練習(xí)）若隨機(jī)事件A在n次試驗(yàn)中發(fā)生了m次，則當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)n很大時(shí)，可以用事件A發(fā)生的頻率來估計(jì)事件A的概率，即 ．
變式11．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知小張每次射擊命中十環(huán)的概率都為40%，現(xiàn)采用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)小張三次射擊恰有兩次命中十環(huán)的概率，先由計(jì)算器產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，指定2，4，6，8表示命中十環(huán)，0，1，3，5，7，9表示未命中十環(huán)，再以每三個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，代表三次射擊的結(jié)果，經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了如下20組隨機(jī)數(shù)：據(jù)此估計(jì)，小張三次射擊恰有兩次命中十環(huán)的概率約為 .
變式12．（2024·廣東廣州·高三鐵一中學(xué)校考階段練習(xí)）長時(shí)間玩手機(jī)可能影響視力．據(jù)調(diào)查，某校學(xué)生大約有40%的人近視，而該校大約有20%的學(xué)生每天玩手機(jī)超過1小時(shí)，這些人的近視率約為50%．現(xiàn)從每天玩手機(jī)不超過1小時(shí)的學(xué)生中任意調(diào)查一名學(xué)生，則他近視的概率約為 ．
變式13．（2024·上海浦東新·高三華師大二附中校考階段練習(xí)）袋中有10個(gè)球，其中有m個(gè)紅球，n個(gè)藍(lán)球，有放回地隨機(jī)抽取1000次，其中有597次取到紅球，403 次取到藍(lán)球，則其中紅球最有可能有 個(gè)．
【解題方法總結(jié)】
（1）概率與頻率的關(guān)系
（2）隨機(jī)事件概率的求法
題型四：生活中的概率
例10．（2024·全國·高三專題練習(xí)）某購物網(wǎng)站開展一種商品的預(yù)約購買，規(guī)定每個(gè)手機(jī)號(hào)只能預(yù)約一次，預(yù)約后通過搖號(hào)的方式?jīng)Q定能否成功購買到該商品.規(guī)則如下：（ⅰ）搖號(hào)的初始中簽率為；（ⅱ）當(dāng)中簽率不超過時(shí)，可借助“好友助力”活動(dòng)增加中簽率，每邀請(qǐng)到一位好友參與“好友助力”活動(dòng)可使中簽率增加.為了使中簽率超過，則至少需要邀請(qǐng) 位好友參與到“好友助力”活動(dòng).
例11．（2024·江西吉安·江西省泰和中學(xué)校考一模）設(shè)有外形完全相同的兩個(gè)箱子，甲箱中有99個(gè)白球，1個(gè)黑球，乙箱中有1個(gè)白球，99個(gè)黑球.隨機(jī)地抽取一箱，再從取出的一箱中抽取一球，結(jié)果取得白球，我們可以認(rèn)為這球是從 箱中取出的.
例12．（2024·全國·高三專題練習(xí)）有以下說法:
①一年按365天計(jì)算,兩名學(xué)生的生日相同的概率是;②買彩票中獎(jiǎng)的概率為0.001,那么買1 000張彩票就一定能中獎(jiǎng);③乒乓球賽前,決定誰先發(fā)球,抽簽方法是從1~10共10個(gè)數(shù)字中各抽取1個(gè),再比較大小,這種抽簽方法是公平的;④昨天沒有下雨,則說明“昨天氣象局的天氣預(yù)報(bào)降水概率是90%”是錯(cuò)誤的.
根據(jù)我們所學(xué)的概率知識(shí),其中說法正確的序號(hào)是 .
【解題方法總結(jié)】
概率和頻率的關(guān)系：概率可看成頻率在理論上的穩(wěn)定值，它從數(shù)量上反映了隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小，它是頻率的科學(xué)抽象，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)越來越多時(shí)頻率向概率靠近，只要次數(shù)足夠多，所得頻率就近似地當(dāng)作隨機(jī)事件的概率．
題型五：互斥事件與對(duì)立事件
例13．（2024·四川眉山·仁壽一中校考模擬預(yù)測(cè)）袋中裝有紅球3個(gè)、白球2個(gè)、黑球1個(gè)，從中任取2個(gè)，則互斥而不對(duì)立的兩個(gè)事件是（ ）
A．至少有一個(gè)白球；都是白球 B．至少有一個(gè)白球；至少有一個(gè)紅球
C．至少有一個(gè)白球；紅 黑球各一個(gè) D．恰有一個(gè)白球；一個(gè)白球一個(gè)黑球
例14．（2024·全國·高三專題練習(xí)）從裝有2個(gè)紅球和2個(gè)黑球的口袋內(nèi)任取兩個(gè)球，那么互斥而不對(duì)立的事件是（ ）
A．至少有一個(gè)黑球與都是黑球
B．至少有一個(gè)黑球與至少有一個(gè)紅球
C．恰有一個(gè)黑球與恰有兩個(gè)黑球
D．至少有一個(gè)黑球與都是紅球
例15．（2024·四川宜賓·統(tǒng)考三模）拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子一次，事件1表示“骰子向上的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”，事件2表示“骰子向上的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”，事件3表示“骰子向上的點(diǎn)數(shù)大于3”，事件4表示“骰子向上的點(diǎn)數(shù)小于3”則（ ）
A．事件1與事件3互斥 B．事件1與事件2互為對(duì)立事件
C．事件2與事件3互斥 D．事件3與事件4互為對(duì)立事件
變式14．（2024·廣西柳州·柳州高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）從數(shù)學(xué)必修一、二和政治必修一、二共四本書中任取兩本書，那么互斥而不對(duì)立的兩個(gè)事件是（ ）
A．至少有一本政治與都是數(shù)學(xué) B．至少有一本政治與都是政治
C．至少有一本政治與至少有一本數(shù)學(xué) D．恰有1本政治與恰有2本政治
變式15．（2024·全國·高二）袋內(nèi)分別有紅 白 黑球個(gè)，從中任取2個(gè)，則互斥而不對(duì)立的兩個(gè)事件是（ ）
A．至少有一個(gè)白球；都是白球 B．至少有一個(gè)白球；至少有一個(gè)紅球
C．恰有一個(gè)白球；一個(gè)白球一個(gè)黑球 D．至少有一個(gè)白球；紅 黑球各一個(gè)
變式16．（多選題）（2024·全國·高三專題練習(xí)）從1，2，3，，9中任取三個(gè)不同的數(shù)，則在下述事件中，是互斥但不是對(duì)立事件的有（ ）
A．“三個(gè)都為偶數(shù)”和“三個(gè)都為奇數(shù)” B．“至少有一個(gè)奇數(shù)”和“至多有一個(gè)奇數(shù)”
C．“至少有一個(gè)奇數(shù)”和“三個(gè)都為偶數(shù)” D．“一個(gè)偶數(shù)兩個(gè)奇數(shù)”和“兩個(gè)偶數(shù)一個(gè)奇數(shù)”
【解題方法總結(jié)】
1、準(zhǔn)確把握互斥事件與對(duì)立事件的概念：①互斥事件是不可能同時(shí)發(fā)生的事件，但也可以同時(shí)不發(fā)生；②對(duì)立事件是特殊的互斥事件，特殊在對(duì)立的兩個(gè)事件不可能都不發(fā)生，既有且僅有一個(gè)發(fā)生．
2、判別互斥事件、對(duì)立事件一般用定義判斷，不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件為互斥事件；兩個(gè)事件，若有且僅有一個(gè)發(fā)生，則這兩個(gè)事件為對(duì)立事件，對(duì)立事件一定是互斥事件．
題型六：利用互斥事件與對(duì)立事件計(jì)算概率
例16．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知事件，，兩兩互斥，若，，，則 ．
例17．（2024·全國·高三專題練習(xí)）在一次運(yùn)動(dòng)會(huì)上，某單位派出了名主力隊(duì)員和名替隊(duì)員組成代表隊(duì)參加比賽.如果隨機(jī)抽派名隊(duì)員上場(chǎng)，則主力隊(duì)員多于替補(bǔ)隊(duì)員的概率為 .
例18．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）甲、乙兩人下棋，甲獲勝的概率是，和棋的概率是，則甲不輸?shù)母怕蕿? ．
變式17．（2024·四川眉山·高三校考開學(xué)考試）一個(gè)盒子內(nèi)裝有若干個(gè)大小相同的紅球、白球和黑球，從中摸出1個(gè)球，若摸出紅球的概率是0.45，摸出白球的概率是0.25，那么從盒中摸出1個(gè)球，摸出黑球或紅球的概率是 ．
變式18．（2024·福建廈門·廈門一中校考模擬預(yù)測(cè)）某商場(chǎng)舉行抽獎(jiǎng)活動(dòng)，箱子里有10個(gè)大小一樣的小球，其中紅色的5個(gè)，黃色的3個(gè)，藍(lán)色的2個(gè)，現(xiàn)從中任意取出3個(gè)，則其中至少含有兩種不同顏色的小球的概率為 .
變式19．（2024·福建·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）若一個(gè)點(diǎn)從三棱柱下底面頂點(diǎn)出發(fā)，一次運(yùn)動(dòng)中隨機(jī)去向相鄰的另一個(gè)頂點(diǎn)，則在5次運(yùn)動(dòng)后這個(gè)點(diǎn)仍停留在下底面的概率是 .
變式20．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）位于數(shù)軸上的粒子A每次向左或向右移動(dòng)一個(gè)單位長度，若前一次向左移動(dòng)一個(gè)單位長度，則后一次向右移動(dòng)一個(gè)單位長度的概率為，若前一次向右移動(dòng)一個(gè)單位長度，則后一次向右移動(dòng)一個(gè)單位長度的概率為，若粒子A第一次向右移動(dòng)一個(gè)單位長度的概率為，則粒子A第二次向左移動(dòng)的概率為 .
變式21．（2024·四川成都·石室中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）若三個(gè)元件、、按照如圖的方式連接成一個(gè)系統(tǒng)，每個(gè)元件是否正常工作不受其他元件的影響，當(dāng)元件正常工作且、中至少有一個(gè)正常工作時(shí)，系統(tǒng)就正常工作，若元件、正常工作的概率依次為、，且這個(gè)系統(tǒng)正常工作的概率為，則元件正常工作的概率為 .

【解題方法總結(jié)】
求復(fù)雜的互斥事件的概率的兩種方法
（1）直接法，將所求事件的概率分解為一些彼此互斥的事件的概率的和，運(yùn)用互斥事件的概率求和公式計(jì)算．
（2）間接法，先求此事件的對(duì)立事件的概率，再用公式，即運(yùn)用逆向思維（正難則反）．特別是“至多”“至少”型題目，用間接法求解就顯得較簡(jiǎn)便
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21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)第88講 隨機(jī)事件、頻率與概率
知識(shí)梳理
知識(shí)點(diǎn)1、隨機(jī)試驗(yàn)
我們把對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的實(shí)現(xiàn)和對(duì)它的觀察稱為隨機(jī)試驗(yàn)，簡(jiǎn)稱試驗(yàn)，常用字母表示．
我們感興趣的是具有以下特點(diǎn)的隨機(jī)試驗(yàn)：
（1）試驗(yàn)可以在相同條件下重復(fù)進(jìn)行；
（2）試驗(yàn)的所有可能結(jié)果是明確可知的，并且不止一個(gè)；
（3）每次試驗(yàn)總是恰好出現(xiàn)這些可能結(jié)果中的一個(gè)，但事先不能確定出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果．
知識(shí)點(diǎn)2、樣本空間
我們把隨機(jī)試驗(yàn)的每個(gè)可能的基本結(jié)果稱為樣本點(diǎn)，全體樣本點(diǎn)的集合稱為試驗(yàn)的樣本空間，一般地，用．．表示樣本空間，用表示樣本點(diǎn)，如果一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)有個(gè)可能結(jié)果，，…，，則稱樣本空間為有限樣本空間．
知識(shí)點(diǎn)3、隨機(jī)事件、確定事件
（1）一般地，隨機(jī)試驗(yàn)中的每個(gè)隨機(jī)事件都可以用這個(gè)試驗(yàn)的樣本空間的子集來表示，為了敘述方便，我們將樣本空間的子集稱為隨機(jī)事件，簡(jiǎn)稱事件，并把只包含一個(gè)樣本點(diǎn)的事件稱為基本事件．當(dāng)且僅當(dāng)中某個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)時(shí)，稱為事件發(fā)生．
（2）作為自身的子集，包含了所有的樣本點(diǎn)，在每次試驗(yàn)中總有一個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生，所以總會(huì)發(fā)生，我們稱為必然事件．
（3）空集不包含任何樣本點(diǎn)，在每次試驗(yàn)中都不會(huì)發(fā)生，我們稱為為不可能事件．
（4）確定事件：必然事件和不可能事件統(tǒng)稱為相對(duì)隨機(jī)事件的確定事件．
知識(shí)點(diǎn)4、事件的關(guān)系與運(yùn)算
①包含關(guān)系：一般地，對(duì)于事件和事件，如果事件發(fā)生，則事件一定發(fā)生，這時(shí)稱事件包含事件（或者稱事件包含于事件），記作或者．與兩個(gè)集合的包含關(guān)系類比，可用下圖表示：
不可能事件記作，任何事件都包含不可能事件．
②相等關(guān)系：一般地，若且，稱事件與事件相等．與兩個(gè)集合的并集類比，可用下圖表示：
③并事件（和事件）：若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件發(fā)生或事件發(fā)生，則稱此事件為事件與事件的并事件（或和事件），記作（或）．與兩個(gè)集合的并集類比，可用下圖表示：
④交事件（積事件）：若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件發(fā)生且事件發(fā)生，則稱此事件為事件A與事件B的交事件（或積事件），記作（或）．與兩個(gè)集合的交集類比，可用下圖表示：
知識(shí)點(diǎn)5、互斥事件與對(duì)立事件
（1）互斥事件：在一次試驗(yàn)中，事件和事件不能同時(shí)發(fā)生，即，則稱事件與事件互斥，可用下圖表示：
如果，，…，中任何兩個(gè)都不可能同時(shí)發(fā)生，那么就說事件，．．，…，彼此互斥．
（2）對(duì)立事件：若事件和事件在任何一次實(shí)驗(yàn)中有且只有一個(gè)發(fā)生，即不發(fā)生，則稱事件和事件互為對(duì)立事件，事件的對(duì)立事件記為．
（3）互斥事件與對(duì)立事件的關(guān)系
①互斥事件是不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件，而對(duì)立事件除要求這兩個(gè)事件不同時(shí)發(fā)生外，還要求二者之一必須有一個(gè)發(fā)生．
②對(duì)立事件是互斥事件的特殊情況，而互斥事件未必是對(duì)立事件，即“互斥”是“對(duì)立”的必要不充分條件，而“對(duì)立”則是“互斥”的充分不必要條件．
知識(shí)點(diǎn)6、概率與頻率
（1）頻率：在次重復(fù)試驗(yàn)中，事件發(fā)生的次數(shù)稱為事件發(fā)生的頻數(shù)，頻數(shù)與總次數(shù)的比值，叫做事件發(fā)生的頻率．
（2）概率：在大量重復(fù)盡心同一試驗(yàn)時(shí)，事件發(fā)生的頻率總是接近于某個(gè)常數(shù)，并且在它附近擺動(dòng)，這時(shí)，就把這個(gè)常數(shù)叫做事件的概率，記作．
（3）概率與頻率的關(guān)系：對(duì)于給定的隨機(jī)事件，由于事件發(fā)生的頻率隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加穩(wěn)定于概率，因此可以用頻率來估計(jì)概率．
必考題型全歸納
題型一：隨機(jī)事件與樣本空間
例1．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知集合A是集合B的真子集，則下列關(guān)于非空集合A，B的四個(gè)命題：
①若任取，則是必然事件；
②若任取，則是不可能事件；
③若任取，則是隨機(jī)事件；
④若任取，則是必然事件．
其中正確的命題有（　　）
A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)
【答案】C
【解析】因?yàn)榧螦是集合B的真子集，所以集合A中的元素都在集合B中，集合B中存在元素不是集合A中的元素，作出其韋恩圖如圖：
對(duì)于①：集合A中的任何一個(gè)元素都是集合B中的元素，任取，則是必然事件，故①正確；
對(duì)于②：任取，則是隨機(jī)事件，故②不正確；
對(duì)于③：因?yàn)榧螦是集合B的真子集，
集合B中存在元素不是集合A中的元素，
集合B中也存在集合A中的元素，
所以任取，則是隨機(jī)事件，故③正確；
對(duì)于④：因?yàn)榧螦中的任何一個(gè)元素都是集合B中的元素，
任取，則是必然事件，故④正確；
所以①③④正確，正確的命題有3個(gè)．
故選：C．
例2．（2024·全國·高三專題練習(xí)）以下事件是隨機(jī)事件的是（ ）
A．標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水加熱到，必會(huì)沸騰 B．走到十字路口，遇到紅燈
C．長和寬分別為的矩形，其面積為 D．實(shí)系數(shù)一元一次方程必有一實(shí)根
【答案】B
【解析】A．標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水加熱到100℃必會(huì)沸騰，是必然事件；故本選項(xiàng)不符合題意；
B．走到十字路口，遇到紅燈，是隨機(jī)事件；故本選項(xiàng)符合題意；
C．長和寬分別為的矩形，其面積為是必然事件；故本選項(xiàng)不符合題意；
D．實(shí)系數(shù)一元一次方程必有一實(shí)根，是必然事件．故本選項(xiàng)不符合題意．
故選：B．
例3．（2024·全國·高三專題練習(xí)）袋中裝有形狀與質(zhì)地相同的個(gè)球，其中黑色球個(gè)，記為，白色球個(gè)，記為，從袋中任意取個(gè)球，請(qǐng)寫出該隨機(jī)試驗(yàn)一個(gè)不等可能的樣本空間： .
【答案】（答案不唯一）
【解析】從袋中任取個(gè)球，
共有如下情況.
其中一個(gè)不等可能的樣本空間為，
此樣本空間中兩個(gè)黑球的情況有1個(gè)，一黑一白的情況有2個(gè)，是不等可能的樣本空間.
故答案為：.(答案不唯一)
變式1．（2024·全國·高一專題練習(xí)）將一枚硬幣拋三次，觀察其正面朝上的次數(shù)，該試驗(yàn)樣本空間為 .
【答案】
【解析】因?yàn)閷⒁幻队矌艗伻危湔娉系拇螖?shù)可能為，
所以該試驗(yàn)樣本空間為.
故答案為：.
變式2．（2024·高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)樣本空間Ω＝{1，2，3}，則Ω的不同事件的總數(shù)是 .
【答案】8
【解析】集合{1，2，3}的子集個(gè)數(shù)為，所以Ω的不同事件的總數(shù)是8，
故答案為：8
變式3．（2024·全國·高一專題練習(xí)）從含有件次品的件產(chǎn)品中任取件，觀察其中次品數(shù)，其樣本空間為 ．
【答案】
【解析】由分析可知取出的件產(chǎn)品的次品個(gè)數(shù)為，，，，，
所以樣本空間為，
故答案為：.
【解題方法總結(jié)】
確定樣本空間的方法
（1）必須明確事件發(fā)生的條件．
（2）根據(jù)題意，按一定的次序列出問題的答案．特別要注意結(jié)果出現(xiàn)的機(jī)會(huì)是均等的，按規(guī)律去寫，要做到既不重復(fù)也不遺漏．
題型二：隨機(jī)事件的關(guān)系與運(yùn)算
例4．（2024·全國·高三專題練習(xí)）端午節(jié)是我國傳統(tǒng)節(jié)日，記事件“甲端午節(jié)來寶雞旅游”， 記事件“乙端午節(jié)來寶雞旅游”，且，，假定兩人的行動(dòng)相互之間沒有影響，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】依題意，且、相互獨(dú)立，
所以.
故選：A.
例5．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知事件與事件互斥，記事件為事件對(duì)立事件.若，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因?yàn)槭录c事件互斥，所以，
所以.
故選：B
例6．（2024·全國·高三專題練習(xí)）對(duì)空中飛行的飛機(jī)連續(xù)射擊兩次，每次發(fā)射一枚炮彈，設(shè)事件A表示隨機(jī)事件“兩枚炮彈都擊中飛機(jī)”，事件B表示隨機(jī)事件“兩枚炮彈都未擊中飛機(jī)”，事件C表示隨機(jī)事件“恰有一枚炮彈擊中飛機(jī)”，事件D表示隨機(jī)事件“至少有一枚炮彈擊中飛機(jī)”，則下列關(guān)系不正確的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】“至少有一枚炮彈擊中飛機(jī)”包含兩種情況:一種是恰有一枚炮彈擊中飛機(jī)，
另一種是兩枚炮彈都擊中飛機(jī).所以，，
“恰有一枚炮彈擊中飛機(jī)”指第一枚擊中第二枚沒擊中或第一枚沒擊中第二枚擊中，
所以，
又包含該試驗(yàn)的所有樣本點(diǎn)，為必然事件，
而事件表示“兩個(gè)炮彈都擊中飛機(jī)或者都沒擊中飛機(jī)”，所以.
故選：D
變式4．（2024·全國·高三專題練習(xí)）某家族有兩種遺傳性狀，該家族某成員出現(xiàn)性狀的概率為，出現(xiàn)性狀的概率為，兩種性狀都不出現(xiàn)的概率為，則該成員兩種性狀都出現(xiàn)的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】設(shè)該家族某成員出現(xiàn)性狀為事件，出現(xiàn)性狀為事件，
則兩種性狀都不出現(xiàn)為事件，兩種性狀都出現(xiàn)為事件，
所以，，，
所以，，
又因?yàn)椋?br/>所以，，
故選：B
變式5．（2024·上海長寧·統(tǒng)考一模）擲兩顆骰子，觀察擲得的點(diǎn)數(shù)；設(shè)事件A為：至少一個(gè)點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)；事件B為：點(diǎn)數(shù)之和是偶數(shù)；事件A的概率為，事件B的概率為；則是下列哪個(gè)事件的概率（ ）
A．兩個(gè)點(diǎn)數(shù)都是偶數(shù) B．至多有一個(gè)點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)
C．兩個(gè)點(diǎn)數(shù)都是奇數(shù) D．至多有一個(gè)點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)
【答案】D
【解析】由題意，事件為：兩個(gè)點(diǎn)數(shù)都為奇數(shù)，
由概率指的是事件的對(duì)立事件的概率，
則事件的對(duì)立事件為：至少有一個(gè)點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)，或者至多有一個(gè)點(diǎn)數(shù)為奇數(shù).
故選：D.
變式6．（2024·全國·高三專題練習(xí)）如圖，甲、乙兩個(gè)元件串聯(lián)構(gòu)成一段電路，設(shè)“甲元件故障”，“乙元件故障”，則表示該段電路沒有故障的事件為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因甲、乙兩個(gè)元件串聯(lián)，線路沒有故障，即甲、乙都沒有故障.即事件和同時(shí)發(fā)生，即事件發(fā)生.
故選：C.
變式7．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知，，若，則（ ）
A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4
【答案】A
【解析】由于，所以.
故選：A
【解題方法總結(jié)】
事件的關(guān)系運(yùn)算策略
（1）互斥事件是不可能同時(shí)發(fā)生的事件，但也可以同時(shí)不發(fā)生．
（2）進(jìn)行事件的運(yùn)算時(shí)，一是要緊扣運(yùn)算的定義，二是要全面考慮同一條件下的試驗(yàn)可能出現(xiàn)的全部結(jié)果，必要時(shí)可列出全部的試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行分析．也可類比集合的關(guān)系和運(yùn)用Venn圖分析事件．
題型三：頻率與概率
例7．（2024·陜西西安·西安市大明宮中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）在一個(gè)口袋中放有個(gè)白球和個(gè)紅球，這些球除顏色外都相同，某班50名學(xué)生分別從口袋中每次摸一個(gè)球，記錄顏色后放回，每人連續(xù)摸10次，其中摸到白球的次數(shù)共152次，以頻率估計(jì)概率，若從口袋中隨機(jī)摸1個(gè)球，則摸到紅球概率的估計(jì)值為 ．（小數(shù)點(diǎn)后保留一位小數(shù)）
【答案】0.7
【解析】由題意可知：一共摸500次，其中摸到白球的次數(shù)共152次，摸到紅球的次數(shù)共348次，
所以摸到紅球概率的估計(jì)值為.
故答案為：0.7
例8．（2024·全國·高三對(duì)口高考）下列說法：①設(shè)有一批產(chǎn)品，其次品率為0.05，則從中任取200件，必有10件次品；②做100次拋硬幣的試驗(yàn)，有51次出現(xiàn)正面.因此出現(xiàn)正面的概率是0.51；③隨機(jī)事件A的概率是頻率的穩(wěn)定值；④隨機(jī)事件A的概率趨近于0，即趨近于0，則A是不可能事件；⑤拋擲骰子100次，得點(diǎn)數(shù)是1的結(jié)果是18次，則出現(xiàn)1點(diǎn)的頻率是；⑥隨機(jī)事件的頻率就是這個(gè)事件發(fā)生的概率；其中正確的有 .
【答案】③⑤
【解析】概率指的是無窮次試驗(yàn)中，出現(xiàn)的某種事件的頻率總在一個(gè)固定的值的附近波動(dòng)，這個(gè)固定的值就是概率.
①通過概率定義可以分析出，出現(xiàn)的事件是在一個(gè)固定值波動(dòng)，并不是一個(gè)確定的值，則本題中從該批產(chǎn)品中任取200件，應(yīng)該是10件次品左右，不一定出現(xiàn)10件次品，錯(cuò)誤；
②100次拋硬幣的試驗(yàn)并不是無窮多次試驗(yàn)，出現(xiàn)的頻率也不是概率，事實(shí)上硬幣只有兩個(gè)面，每個(gè)面出現(xiàn)的概率是相等的，所以因此出現(xiàn)正面的概率是0.5，錯(cuò)誤；
③隨機(jī)事件的概率是通過多次試驗(yàn)，算出頻率后來估計(jì)它的概率的，當(dāng)試驗(yàn)的次數(shù)多了，這個(gè)頻率就越來越接近概率，所以隨機(jī)事件A的概率是頻率的穩(wěn)定值，正確；
④隨機(jī)事件A的概率趨近于0，說明事件A發(fā)生的可能性很小，但并不表示不會(huì)發(fā)生，錯(cuò)誤；
⑤拋擲骰子100次，得點(diǎn)數(shù)是1的結(jié)果是18次，則出現(xiàn)1點(diǎn)的頻率是，正確；
⑥根據(jù)概率的定義，隨機(jī)事件的頻率只是這個(gè)事件發(fā)生的概率的近似值，它并不等于概率，錯(cuò)誤；
綜上，正確的說法有③⑤.
故答案為：③⑤
例9．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）在對(duì)于一些敏感性問題調(diào)查時(shí)，被調(diào)查者往往不愿意給正確答復(fù)，因此需要特別的調(diào)查方法．調(diào)查人員設(shè)計(jì)了一個(gè)隨機(jī)化裝置，在其中裝有形狀、大小、質(zhì)地完全相同的個(gè)黑球和個(gè)白球，每個(gè)被調(diào)查者隨機(jī)從該裝置中抽取一個(gè)球，若摸到黑球則需要如實(shí)回答問題一：你公歷生日是奇數(shù)嗎？若摸到白球則如實(shí)回答問題二：你是否在考試中做過弊．若人中有人回答了“是”，人回答了“否”．則問題二“考試是否做過弊”回答“是”的百分比為（以人的頻率估計(jì)概率） ．
【答案】/
【解析】由題意可知，每名調(diào)查者從袋子中抽到個(gè)白球或黑球的概率均為，
所以，人中回答第一個(gè)問題的人數(shù)為，則另外人回答了第二個(gè)問題，
在摸到黑球的前提下，回答“是”的概率為，即摸到黑球且回答“是”的人數(shù)為，
則摸到白球且回答“是”的人數(shù)為，
所以，問題二“考試是否做過弊”且回答“是”的百分比為.
故答案為：.
變式8．（2024·全國·高三對(duì)口高考）已知某運(yùn)動(dòng)員每次投籃命中的概率都為，現(xiàn)采用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)該運(yùn)動(dòng)員三次投籃恰有兩次命中的概率：先由計(jì)算器產(chǎn)生到之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，指定、、、表示命中，、、、、9、0表示不命中，再以每三個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，代表三次投籃的結(jié)果，經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了如下組隨機(jī)數(shù)：


據(jù)此估計(jì)，該運(yùn)動(dòng)員三次投籃恰有兩次命中的概率為 .
【答案】/
【解析】組隨機(jī)數(shù)中表示三次投籃恰好有兩次命中的是、、、、，
其頻率為，以此估計(jì)該運(yùn)動(dòng)員三次投籃恰有兩次命中的概率為.
故答案為：
變式9．（2024·全國·高三專題練習(xí)）一家藥物公司試驗(yàn)一種新藥，在500個(gè)病人中試驗(yàn)，其中307人有明顯療效，120人有療效但療效一般，剩余的人無療效，則沒有明顯療效的頻率是 ．
【答案】0.386/
【解析】由題意可得沒有明顯療效的人數(shù)為，
所以沒有明顯療效的頻率為，
故答案為：0.386
變式10．（2024·全國·高三專題練習(xí)）若隨機(jī)事件A在n次試驗(yàn)中發(fā)生了m次，則當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)n很大時(shí)，可以用事件A發(fā)生的頻率來估計(jì)事件A的概率，即 ．
【答案】
【解析】在相同的條件下，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，事件發(fā)生的頻率會(huì)在隨機(jī)事件發(fā)生的概率
附近擺動(dòng)并趨于穩(wěn)定，這個(gè)性質(zhì)成為頻率的穩(wěn)定性.因此，可以用事件A發(fā)生的
頻率來估計(jì)事件A的概率，即.
故答案為：
變式11．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知小張每次射擊命中十環(huán)的概率都為40%，現(xiàn)采用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)小張三次射擊恰有兩次命中十環(huán)的概率，先由計(jì)算器產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，指定2，4，6，8表示命中十環(huán)，0，1，3，5，7，9表示未命中十環(huán)，再以每三個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，代表三次射擊的結(jié)果，經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了如下20組隨機(jī)數(shù)：據(jù)此估計(jì)，小張三次射擊恰有兩次命中十環(huán)的概率約為 .
【答案】0.3
【解析】由題意，隨機(jī)數(shù)組421，292，274，632，478，663共6個(gè)，表示恰有兩次命中十環(huán)，
所以概率為．
故答案為：0.3．
變式12．（2024·廣東廣州·高三鐵一中學(xué)校考階段練習(xí)）長時(shí)間玩手機(jī)可能影響視力．據(jù)調(diào)查，某校學(xué)生大約有40%的人近視，而該校大約有20%的學(xué)生每天玩手機(jī)超過1小時(shí)，這些人的近視率約為50%．現(xiàn)從每天玩手機(jī)不超過1小時(shí)的學(xué)生中任意調(diào)查一名學(xué)生，則他近視的概率約為 ．
【答案】0.375
【解析】設(shè)該學(xué)校人數(shù)為，依題意得，近視的人數(shù)為，玩手機(jī)超過1小時(shí)的人有，近視人數(shù)為，于是玩手機(jī)小于1小時(shí)但又近視的人數(shù)為，玩手機(jī)小于1小時(shí)的總?cè)藬?shù)為，這類人的近視率約為.
故答案為：
變式13．（2024·上海浦東新·高三華師大二附中校考階段練習(xí)）袋中有10個(gè)球，其中有m個(gè)紅球，n個(gè)藍(lán)球，有放回地隨機(jī)抽取1000次，其中有597次取到紅球，403 次取到藍(lán)球，則其中紅球最有可能有 個(gè)．
【答案】6
【解析】.
所以紅球最有可能有6個(gè).
故答案為：
【解題方法總結(jié)】
（1）概率與頻率的關(guān)系
（2）隨機(jī)事件概率的求法
題型四：生活中的概率
例10．（2024·全國·高三專題練習(xí)）某購物網(wǎng)站開展一種商品的預(yù)約購買，規(guī)定每個(gè)手機(jī)號(hào)只能預(yù)約一次，預(yù)約后通過搖號(hào)的方式?jīng)Q定能否成功購買到該商品.規(guī)則如下：（ⅰ）搖號(hào)的初始中簽率為；（ⅱ）當(dāng)中簽率不超過時(shí)，可借助“好友助力”活動(dòng)增加中簽率，每邀請(qǐng)到一位好友參與“好友助力”活動(dòng)可使中簽率增加.為了使中簽率超過，則至少需要邀請(qǐng) 位好友參與到“好友助力”活動(dòng).
【答案】
【解析】因?yàn)閾u號(hào)的初始中簽率為，所以要使中簽率超過，需要增加中簽率，
因?yàn)槊垦?qǐng)到一位好友參與“好友助力”活動(dòng)可使中簽率增加，
所以至少需要邀請(qǐng)，所以至少需要邀請(qǐng)15位好友參與到“好友助力”活動(dòng).
故答案為：
例11．（2024·江西吉安·江西省泰和中學(xué)校考一模）設(shè)有外形完全相同的兩個(gè)箱子，甲箱中有99個(gè)白球，1個(gè)黑球，乙箱中有1個(gè)白球，99個(gè)黑球.隨機(jī)地抽取一箱，再從取出的一箱中抽取一球，結(jié)果取得白球，我們可以認(rèn)為這球是從 箱中取出的.
【答案】甲.
【解析】分別求出甲箱中取到白球的概率和乙箱中取到白球的概率，由此進(jìn)行判斷．甲箱有99個(gè)白球1個(gè)黑球，
隨機(jī)地取出一球，得白球的可能性是，
乙箱中有1個(gè)白球和99個(gè)黑球，從中任取一球，得白球的可能性是，
由此看到，這一白球從甲箱中抽出的概率比從乙箱中抽出的概率大得多．
既然在一次抽樣中抽得白球，當(dāng)然可以認(rèn)為是由概率大的箱子中抽出的．
我們作出推斷是從甲箱中抽出的．
故答案為：甲
例12．（2024·全國·高三專題練習(xí)）有以下說法:
①一年按365天計(jì)算,兩名學(xué)生的生日相同的概率是;②買彩票中獎(jiǎng)的概率為0.001,那么買1 000張彩票就一定能中獎(jiǎng);③乒乓球賽前,決定誰先發(fā)球,抽簽方法是從1~10共10個(gè)數(shù)字中各抽取1個(gè),再比較大小,這種抽簽方法是公平的;④昨天沒有下雨,則說明“昨天氣象局的天氣預(yù)報(bào)降水概率是90%”是錯(cuò)誤的.
根據(jù)我們所學(xué)的概率知識(shí),其中說法正確的序號(hào)是 .
【答案】①③
【解析】根據(jù)“概率的意義”求解,買彩票中獎(jiǎng)的概率0.001,并不意味著買1 000張彩票一定能中獎(jiǎng),只有當(dāng)買彩票的數(shù)量非常大時(shí),我們可以看成大量買彩票的重復(fù)試驗(yàn),中獎(jiǎng)的次數(shù)為;
昨天氣象局的天氣預(yù)報(bào)降水概率是90%,是指可能性非常大,并不一定會(huì)下雨.
說法②④是錯(cuò)誤的，而利用概率知識(shí)可知①③是正確的.
故答案為①③．
【解題方法總結(jié)】
概率和頻率的關(guān)系：概率可看成頻率在理論上的穩(wěn)定值，它從數(shù)量上反映了隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小，它是頻率的科學(xué)抽象，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)越來越多時(shí)頻率向概率靠近，只要次數(shù)足夠多，所得頻率就近似地當(dāng)作隨機(jī)事件的概率．
題型五：互斥事件與對(duì)立事件
例13．（2024·四川眉山·仁壽一中校考模擬預(yù)測(cè)）袋中裝有紅球3個(gè)、白球2個(gè)、黑球1個(gè)，從中任取2個(gè)，則互斥而不對(duì)立的兩個(gè)事件是（ ）
A．至少有一個(gè)白球；都是白球 B．至少有一個(gè)白球；至少有一個(gè)紅球
C．至少有一個(gè)白球；紅 黑球各一個(gè) D．恰有一個(gè)白球；一個(gè)白球一個(gè)黑球
【答案】C
【解析】對(duì)于A，至少有一個(gè)白球和都是白球的兩個(gè)事件能同時(shí)發(fā)生，不是互斥事件，A不是；
對(duì)于B，至少有一個(gè)白球和至少有一個(gè)紅球的兩個(gè)事件能同時(shí)發(fā)生，不是互斥事件，B不是；
對(duì)于C，至少有一個(gè)白球和紅、黑球各一個(gè)的兩個(gè)事件不能同時(shí)發(fā)生但能同時(shí)不發(fā)生，是互斥而不對(duì)立的兩個(gè)事件，C是；
對(duì)于D，恰有一個(gè)白球和一個(gè)白球一個(gè)黑球的兩個(gè)事件能同時(shí)發(fā)生，不是互斥事件，D不是.
故選：C
例14．（2024·全國·高三專題練習(xí)）從裝有2個(gè)紅球和2個(gè)黑球的口袋內(nèi)任取兩個(gè)球，那么互斥而不對(duì)立的事件是（ ）
A．至少有一個(gè)黑球與都是黑球
B．至少有一個(gè)黑球與至少有一個(gè)紅球
C．恰有一個(gè)黑球與恰有兩個(gè)黑球
D．至少有一個(gè)黑球與都是紅球
【答案】C
【解析】對(duì)于：事件：“至少有一個(gè)黑球”與事件：“都是黑球”可以同時(shí)發(fā)生，如：兩個(gè)都是黑球，這兩個(gè)事件不是互斥事件，不正確；
對(duì)于：事件：“至少有一個(gè)黑球”與事件：“至少有一個(gè)紅球”可以同時(shí)發(fā)生，如：一個(gè)紅球一個(gè)黑球，不正確；
對(duì)于：事件：“恰好有一個(gè)黑球”與事件：“恰有兩個(gè)黑球”不能同時(shí)發(fā)生，但從口袋中任取兩個(gè)球時(shí)還有可能是兩個(gè)都是紅球，兩個(gè)事件是互斥事件但不是對(duì)立事件，正確；
對(duì)于：事件：“至少有一個(gè)黑球”與“都是紅球”不能同時(shí)發(fā)生，但一定會(huì)有一個(gè)發(fā)生，
這兩個(gè)事件是對(duì)立事件，不正確；
故選：.
例15．（2024·四川宜賓·統(tǒng)考三模）拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子一次，事件1表示“骰子向上的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”，事件2表示“骰子向上的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”，事件3表示“骰子向上的點(diǎn)數(shù)大于3”，事件4表示“骰子向上的點(diǎn)數(shù)小于3”則（ ）
A．事件1與事件3互斥 B．事件1與事件2互為對(duì)立事件
C．事件2與事件3互斥 D．事件3與事件4互為對(duì)立事件
【答案】B
【解析】由題可知，事件1可表示為：,事件2可表示為：,
事件3可表示為：,事件4可表示為：,
因?yàn)椋允录?與事件3不互斥，A錯(cuò)誤；
因?yàn)闉椴豢赡苁录瑸楸厝皇录?br/>所以事件1與事件2互為對(duì)立事件，B正確；
因?yàn)椋允录?與事件3不互斥，C錯(cuò)誤；
因?yàn)闉椴豢赡苁录粸楸厝皇录?br/>所以事件3與事件4不互為對(duì)立事件，D錯(cuò)誤；
故選：B.
變式14．（2024·廣西柳州·柳州高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）從數(shù)學(xué)必修一、二和政治必修一、二共四本書中任取兩本書，那么互斥而不對(duì)立的兩個(gè)事件是（ ）
A．至少有一本政治與都是數(shù)學(xué) B．至少有一本政治與都是政治
C．至少有一本政治與至少有一本數(shù)學(xué) D．恰有1本政治與恰有2本政治
【答案】D
【解析】從裝有2本數(shù)學(xué)和2本政治的四本書內(nèi)任取2本書，
可能的結(jié)果有：“兩本政治”，“兩本數(shù)學(xué)”，“一本數(shù)學(xué)一本政治”，
“至少有一本政治”包含事件：“兩本政治”，“一本數(shù)學(xué)一本政治”.
對(duì)于A，事件“至少有一本政治”與事件“都是數(shù)學(xué)”是對(duì)立事件，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，事件“至少有一本政治”包含事件“都是政治”，兩個(gè)事件是包含關(guān)系，不是互斥事件，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，事件“至少有一本數(shù)學(xué)”包含事件：“兩本數(shù)學(xué)”，“一本數(shù)學(xué)一本政治”，因此兩個(gè)事件都包含事件“一本數(shù)學(xué)一本政治”，不是互斥事件，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，“恰有1本政治”表示事件“一本數(shù)學(xué)一本政治”，與事件“恰有2本政治”是互斥事件，但是不對(duì)立，故D正確.
故選:D.
變式15．（2024·全國·高二）袋內(nèi)分別有紅 白 黑球個(gè)，從中任取2個(gè)，則互斥而不對(duì)立的兩個(gè)事件是（ ）
A．至少有一個(gè)白球；都是白球 B．至少有一個(gè)白球；至少有一個(gè)紅球
C．恰有一個(gè)白球；一個(gè)白球一個(gè)黑球 D．至少有一個(gè)白球；紅 黑球各一個(gè)
【答案】D
【解析】對(duì)于A，“至少有一個(gè)白球”說明有白球，白球的個(gè)數(shù)可能為1或2，
而“都是白球”說明兩個(gè)全是白球，這兩個(gè)事件可以同時(shí)發(fā)生，故A中事件不是互斥的；
對(duì)于B，當(dāng)兩球一個(gè)白球一個(gè)紅球時(shí)，“至少有一個(gè)白球”與“至少有一個(gè)紅球”均發(fā)生，故不互斥；
對(duì)于C，“恰有一個(gè)白球”，表示黑球個(gè)數(shù)為0或1，即可能是一個(gè)白球和一個(gè)黑球，
這與“一個(gè)白球一個(gè)黑球”不互斥；
對(duì)于D，“至少一個(gè)白球”發(fā)生時(shí)，“紅 黑球各一個(gè)”不會(huì)發(fā)生，故二者互斥，
從袋中任取2個(gè)也可能是兩個(gè)紅球，即二者可能都不發(fā)生，故二者不對(duì)立，
故選：D
變式16．（多選題）（2024·全國·高三專題練習(xí)）從1，2，3，，9中任取三個(gè)不同的數(shù)，則在下述事件中，是互斥但不是對(duì)立事件的有（ ）
A．“三個(gè)都為偶數(shù)”和“三個(gè)都為奇數(shù)” B．“至少有一個(gè)奇數(shù)”和“至多有一個(gè)奇數(shù)”
C．“至少有一個(gè)奇數(shù)”和“三個(gè)都為偶數(shù)” D．“一個(gè)偶數(shù)兩個(gè)奇數(shù)”和“兩個(gè)偶數(shù)一個(gè)奇數(shù)”
【答案】AD
【解析】從1~9中任取三數(shù)，按這三個(gè)數(shù)的奇偶性分類，有四種情況：
（1）三個(gè)均為奇數(shù)；（2）兩個(gè)奇數(shù)一個(gè)偶數(shù)；（3）一個(gè)奇數(shù)兩個(gè)偶數(shù)；（4）三個(gè)均為偶數(shù)，所以選項(xiàng)A、D是互斥但不是對(duì)立事件，選項(xiàng)C是對(duì)立事件，選項(xiàng)B不是互斥事件.
故選：AD.
【解題方法總結(jié)】
1、準(zhǔn)確把握互斥事件與對(duì)立事件的概念：①互斥事件是不可能同時(shí)發(fā)生的事件，但也可以同時(shí)不發(fā)生；②對(duì)立事件是特殊的互斥事件，特殊在對(duì)立的兩個(gè)事件不可能都不發(fā)生，既有且僅有一個(gè)發(fā)生．
2、判別互斥事件、對(duì)立事件一般用定義判斷，不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件為互斥事件；兩個(gè)事件，若有且僅有一個(gè)發(fā)生，則這兩個(gè)事件為對(duì)立事件，對(duì)立事件一定是互斥事件．
題型六：利用互斥事件與對(duì)立事件計(jì)算概率
例16．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知事件，，兩兩互斥，若，，，則 ．
【答案】
【解析】因?yàn)槭录瑑蓛苫コ猓?br/>所以，
因?yàn)椋裕?br/>又因?yàn)椋裕?br/>故答案為：.
例17．（2024·全國·高三專題練習(xí)）在一次運(yùn)動(dòng)會(huì)上，某單位派出了名主力隊(duì)員和名替隊(duì)員組成代表隊(duì)參加比賽.如果隨機(jī)抽派名隊(duì)員上場(chǎng)，則主力隊(duì)員多于替補(bǔ)隊(duì)員的概率為 .
【答案】
【解析】將主力隊(duì)員上場(chǎng)的人數(shù)記為，
則，，
則所求概率為
.
故答案為：
例18．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）甲、乙兩人下棋，甲獲勝的概率是，和棋的概率是，則甲不輸?shù)母怕蕿? ．
【答案】
【解析】記甲獲勝為事件A，和棋為事件B.
易知A，B互斥，
所以，甲不輸?shù)母怕蕿椋?br/>故答案為：
變式17．（2024·四川眉山·高三校考開學(xué)考試）一個(gè)盒子內(nèi)裝有若干個(gè)大小相同的紅球、白球和黑球，從中摸出1個(gè)球，若摸出紅球的概率是0.45，摸出白球的概率是0.25，那么從盒中摸出1個(gè)球，摸出黑球或紅球的概率是 ．
【答案】0.75
【解析】因?yàn)橐粋€(gè)盒子內(nèi)裝有若干個(gè)大小相同的紅球、白球和黑球，則從中摸出1個(gè)球，
摸出紅球，白球和黑球的事件兩兩互斥，
又摸出紅球的概率是0.45，摸出白球的概率是0.25，
所以摸出黑球的概率是，
所以從盒中摸出1個(gè)球，摸出黑球或紅球的概率是，
故答案為：.
變式18．（2024·福建廈門·廈門一中校考模擬預(yù)測(cè)）某商場(chǎng)舉行抽獎(jiǎng)活動(dòng)，箱子里有10個(gè)大小一樣的小球，其中紅色的5個(gè)，黃色的3個(gè)，藍(lán)色的2個(gè)，現(xiàn)從中任意取出3個(gè)，則其中至少含有兩種不同顏色的小球的概率為 .
【答案】
【解析】由題意，取出3個(gè)為同一種顏色有種取法，
10個(gè)大小一樣的小球任取3個(gè)球有種取法，
所以至少含有兩種不同顏色的小球的概率為.
故答案為：
變式19．（2024·福建·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）若一個(gè)點(diǎn)從三棱柱下底面頂點(diǎn)出發(fā)，一次運(yùn)動(dòng)中隨機(jī)去向相鄰的另一個(gè)頂點(diǎn)，則在5次運(yùn)動(dòng)后這個(gè)點(diǎn)仍停留在下底面的概率是 .
【答案】
【解析】這個(gè)點(diǎn)每次運(yùn)動(dòng)后的位置，不在上底面，則在下底面，即為對(duì)立事件，可記事件“第次運(yùn)動(dòng)后這個(gè)點(diǎn)停留在下底面”，則“第次運(yùn)動(dòng)后這個(gè)點(diǎn)停留在上底面”，
設(shè)，則，
由題意知，，
則由全概率公式可得，，
則，
即，兩邊同減去可得，，
又已知，
故數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，
則，即，
故當(dāng)時(shí)，.
故答案為：.
變式20．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）位于數(shù)軸上的粒子A每次向左或向右移動(dòng)一個(gè)單位長度，若前一次向左移動(dòng)一個(gè)單位長度，則后一次向右移動(dòng)一個(gè)單位長度的概率為，若前一次向右移動(dòng)一個(gè)單位長度，則后一次向右移動(dòng)一個(gè)單位長度的概率為，若粒子A第一次向右移動(dòng)一個(gè)單位長度的概率為，則粒子A第二次向左移動(dòng)的概率為 .
【答案】
【解析】由題意知粒子A第一次向右移動(dòng)一個(gè)單位長度的概率為，
那么粒子A第一次向左移動(dòng)一個(gè)單位長度的概率為，
故粒子A第一次向右移動(dòng)，第二次向左移動(dòng)的概率為；
粒子A第一次向左移動(dòng)，第二次向左移動(dòng)的概率為；
故所求的概率，
故答案為：
變式21．（2024·四川成都·石室中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）若三個(gè)元件、、按照如圖的方式連接成一個(gè)系統(tǒng)，每個(gè)元件是否正常工作不受其他元件的影響，當(dāng)元件正常工作且、中至少有一個(gè)正常工作時(shí)，系統(tǒng)就正常工作，若元件、正常工作的概率依次為、，且這個(gè)系統(tǒng)正常工作的概率為，則元件正常工作的概率為 .

【答案】/
【解析】設(shè)元件正常工作的概率為，系統(tǒng)正常工作，當(dāng)且僅當(dāng)正常工作，、中至少有一個(gè)正常工作，
由題意可得，系統(tǒng)正常工作的概率為，解得.
故答案為：.
【解題方法總結(jié)】
求復(fù)雜的互斥事件的概率的兩種方法
（1）直接法，將所求事件的概率分解為一些彼此互斥的事件的概率的和，運(yùn)用互斥事件的概率求和公式計(jì)算．
（2）間接法，先求此事件的對(duì)立事件的概率，再用公式，即運(yùn)用逆向思維（正難則反）．特別是“至多”“至少”型題目，用間接法求解就顯得較簡(jiǎn)便
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