資源簡介

第90講 事件的相互獨立性、條件概率與全概率公式
知識梳理
知識點1、條件概率
（一）定義
一般地，設，為兩個事件，且，稱為在事件發生的條件下，事件發生的條件概率．
注意：（1）條件概率中“”后面就是條件；（2）若，表示條件不可能發生，此時用條件概率公式計算就沒有意義了，所以條件概率計算必須在的情況下進行．
（二）性質
（1）條件概率具有概率的性質，任何事件的條件概率都在和1之間，即．
（2）必然事件的條件概率為1，不可能事件的條件概率為．
（3）如果與互斥，則．
注意：（1）如果知道事件發生會影響事件發生的概率，那么；
（2）已知發生，在此條件下發生，相當于發生，要求，相當于把看作新的基本事件空間計算發生的概率，即．
知識點2、相互獨立與條件概率的關系
（一）相互獨立事件的概念及性質
（1）相互獨立事件的概念
對于兩個事件，，如果，則意味著事件的發生不影響事件發生的概率．設，根據條件概率的計算公式，，從而．
由此我們可得：設，為兩個事件，若，則稱事件與事件相互獨立．
（2）概率的乘法公式
由條件概率的定義，對于任意兩個事件與，若，則．我們稱上式為概率的乘法公式．
（3）相互獨立事件的性質
如果事件，互相獨立，那么與，與，與也都相互獨立．
（4）兩個事件的相互獨立性的推廣
兩個事件的相互獨立性可以推廣到個事件的相互獨立性，即若事件，，…，相互獨立，則這個事件同時發生的概率．
（二）事件的獨立性
（1）事件與相互獨立的充要條件是．
（2）當時，與獨立的充要條件是．
（3）如果，與獨立，則成立．
知識點3、全概率公式
（一）全概率公式
（1）；
（2）定理若樣本空間中的事件，，…，滿足：
①任意兩個事件均互斥，即，，；
②；
③，．
則對中的任意事件，都有，且
．
注意：（1）全概率公式是用來計算一個復雜事件的概率，它需要將復雜事件分解成若干簡單事件的概率計算，即運用了“化整為零”的思想處理問題．
（2）什么樣的問題適用于這個公式？所研究的事件試驗前提或前一步驟試驗有多種可能，在這多種可能中均有所研究的事件發生，這時要求所研究事件的概率就可用全概率公式．
（二）貝葉斯公式
（1）一般地，當且時，有
（2）定理若樣本空間中的事件滿足：
①任意兩個事件均互斥，即，，；
②；
③，．
則對中的任意概率非零的事件，都有，
且
注意：（1）在理論研究和實際中還會遇到一類問題，這就是需要根據試驗發生的結果尋找原因，看看導致這一試驗結果的各種可能的原因中哪個起主要作用，解決這類問題的方法就是使用貝葉斯公式．貝葉斯公式的意義是導致事件發生的各種原因可能性的大小，稱之為后驗概率．
（2）貝葉斯公式充分體現了，，，，，之間的轉關系，即，，之間的內在聯系．
必考題型全歸納
題型一：條件概率
例1．（2024·云南大理·統考模擬預測）“狼來了”的故事大家小時候應該都聽說過：小孩第一次喊“狼來了”，大家信了，但去了之后發現沒有狼；第二次喊“狼來了”，大家又信了，但去了之后又發現沒有狼；第三次狼真的來了，但是這個小孩再喊狼來了就沒人信了．從數學的角度解釋這一變化，假設小孩是誠實的，則他出于某種特殊的原因說謊的概率為；小孩是不誠實的，則他說謊的概率是．最初人們不知道這個小孩誠實與否，所以在大家心目中每個小孩是誠實的概率是．已知第一次他說謊了，那么他是誠實的小孩的概率是（ ）
A． B． C． D．
例2．（2024·河北秦皇島·統考模擬預測）已知有兩箱書，第一箱中有3本故事書，2本科技書；第二箱中有2本故事書，3本科技書．隨機選取一箱，再從該箱中隨機取書兩次，每次任取一本，做不放回抽樣，則在第一次取到科技書的條件下，第二次取到的也是科技書的概率為（ ）
A． B． C． D．
例3．（2024·廣西柳州·統考模擬預測）根據歷年的氣象數據，某市5月份發生中度霧霾的概率為0.25，刮四級以上大風的概率為0.4，既發生中度霧霾又刮四級以上大風的概率為0.2，則在刮四級以上大風的情況下，發生中度霧霾的概率為（ ）
A．0.5 B．0.625 C．0.8 D．0.9
變式1．（2024·河南南陽·高三南陽中學校考開學考試）袋子中裝有大小 形狀完全相同的2個白球和2個紅球.現從中不放回地摸取2個球，已知第二次摸到的是紅球，則第一次摸到紅球的概率為（ ）
A． B． C． D．
變式2．（2024·云南曲靖·高三校聯考階段練習）有首歌道“大理三月好風光，蝴蝶泉邊好梳妝”，近年來大理州一直致力開發旅游事業，吸引著大批的游客前往大理旅游.現有甲、乙兩位游客慕名來到大理，準備從蒼山、洱海、大理古城、崇圣寺三塔、蝴蝶泉五個景點中隨機選擇一個景點游玩，記事件為“甲和乙至少一人選擇蝴蝶泉”，事件為“甲和乙選擇的景點不同”，則（ ）
A． B． C．2 D．
變式3．（2024·廣東·高三河源市河源中學校聯考階段練習）從1、2、3、4、5、6、7這7個數中任取5個不同的數，事件：“取出的5個不同的數的中位數是4”，事件：“取出的5個不同的數的平均數是4”，則（ ）
A． B． C． D．
【解題方法總結】
用定義法求條件概率的步驟
（1）分析題意，弄清概率模型；
（2）計算，；
（3）代入公式求．
題型二：相互獨立事件的判斷
例4．（2024·安徽·高三校聯考階段練習）已知A，B，C為三個隨機事件且，，>0，則A，B，C相互獨立是A，B，C兩兩獨立的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
例5．（2024·上海浦東新·高三華師大二附中校考階段練習）已知事件，滿足，，則不能說明事件，相互獨立的是（ ）
A． B．
C． D．
例6．（2024·福建南平·高三福建省政和第一中學校考階段練習）甲箱中有5個紅球，2個白球和3個黑球；乙箱中有4個紅球，3個白球和3個黑球.先從甲箱中隨機取出一球放入乙箱中，分別以，，表示由甲箱中取出的是紅球，白球和黑球的事件；再從乙箱中隨機取出一球，以B表示由乙箱中取出的球是紅球的事件，則下列結論錯誤的是（ ）
A． B．
C．事件B與事件不相互獨立 D．，，兩兩互斥
變式4．（2024·全國·高三專題練習）某家庭有三個孩子，假定生男孩和生女孩是等可能且相互獨立的．記事件A：該家庭既有男孩又有女孩；事件：該家庭最多有一個男孩；事件：該家庭最多有一個女孩；則下列說法中正確的是（ ）
A．事件與事件互斥但不對立 B．事件A與事件互斥且對立
C．事件與事件相互獨立 D．事件A與事件相互獨立
變式5．（2024·全國·高三專題練習）隨著2022年卡塔爾世界杯的舉辦，中國足球也需要重視足球教育．某市為提升學生的足球水平，特地在當地選拔出幾所學校作為足球特色學校，開設了“5人制”“7人制”“9人制”“11人制”四類足球體驗課程．甲、乙兩名同學各自從中任意挑選兩門課程學習，設事件“甲乙兩人所選課程恰有一門相同”，事件“甲乙兩人所選課程完全不同”，事件“甲乙兩人均未選擇‘5人制’課程”，則（ ）
A．A與為對立事件 B．A與互斥 C．A與相互獨立 D．與相互獨立
變式6．（2024·四川宜賓·統考三模）同時拋擲兩枚質地均勻的骰子一次，事件甲表示“第一枚骰子向上的點數為奇數”，事件乙表示“第二枚骰子向上的點數為偶數”，事件丙表示“兩枚骰子向上的點數之和為”，事件丁表示“兩枚骰子向上的點數之和為”，則（ ）
A．事件甲與事件乙互斥 B．
C．事件甲與事件丁相互獨立 D．事件丙與事件丁互為對立事件
【解題方法總結】
判斷事件是否相互獨立的方法
（1）定義法：事件，相互獨立 ．
（2）由事件本身的性質直接判定兩個事件發生是否相互影響．
（3）條件概率法：當時，可用判斷．
題型三：相互獨立事件概率的計算
例7．（2024·天津·校聯考一模）某產品的質量檢驗過程依次為進貨檢驗（IQC）、生產過程檢驗（IPQC）、出貨檢驗（OQC） 三個環節．已知某產品IQC的單獨通過率為，IPQC的單獨通過率為，規定上一類檢驗不通過則不進入下一類檢驗，未通過可修復后再檢驗一次（修復后無需從頭檢驗，通過率不變且每類檢驗最多兩次），且各類檢驗間相互獨立，則一件該產品能進入OQC環節的概率為 ．
例8．（2024·全國·高三專題練習）某次知識競賽規則如下：在主辦方預設的5個問題中，選手若能連續正確回答出兩個問題，即停止答題，晉級下一輪假設某選手正確回答每個問題的概率都是0.8，且每個問題的回答結果相互獨立，則該選手恰好回答了5個問題就晉級下一輪的概率為 .
例9．（2024·全國·高三專題練習）甲、乙兩人輪流投籃，每人每次投一球，約定甲先投且先投中者獲勝，一直到有人獲勝或每人都已投球3次時投籃結束.設甲每次投籃投中的概率為，乙每次投籃投中的概率為，且各次投籃互不影響，則乙獲勝的概率為 .
變式7．（2024·全國·校聯考模擬預測）已知甲、乙、丙三位選手參加某次射擊比賽，比賽規則如下：①每場比賽有兩位選手參加，并決出勝負；②每場比賽獲勝的選手與未參加此場比賽的選手進行下一場的比賽；③在比賽中，若有一位選手首先獲勝兩場，則本次比賽結束，該選手獲得此次射擊比賽第一名.若在每場比賽中，甲勝乙的概率為，甲勝丙的概率為，乙勝丙的概率為，且甲與乙先參加比賽，則甲獲得第一名的概率為 .
變式8．（2024·山東·高三專題練習）無癥狀感染者被認為是新冠肺炎疫情防控的難點之一．國際期刊《自然》雜志中一篇文章指出，30%~60%的新冠感染者無癥狀或者癥狀輕微，但他們傳播病毒的能力并不低，這些無癥狀感染者可能會引起新一輪的疫情大爆發．我們把與病毒攜帶者有過密切接觸的人群稱為密切接觸者．假設每名密切接觸者成為無癥狀感染者的概率均為，那么4名密切接觸者中，至多有2人成為無癥狀感染者的概率為 ．
變式9．（2024·重慶沙坪壩·高三重慶八中校考階段練習）某電視臺的夏日水上闖關節目一共有三關，第一關與第二關的過關率分別為，．只有通過前一關才能進入下一關，每一關都有兩次闖關機會，且通過每關相互獨立．一選手參加該節目，則該選手能進入第三關的概率為 ．
變式10．（2024·浙江·高三專題練習）2019年底，武漢發生“新型冠狀病毒”肺炎疫情，國家衛健委緊急部署，從多省調派醫務工作者前去支援，正值農歷春節舉家團圓之際，他們成為“最美逆行者”．武漢市從2月7日起舉全市之力入戶上門排查確診的新冠肺炎患者 疑似的新冠肺炎患者 無法明確排除新冠肺炎的發熱患者和確診患者的密切接觸者等“四類”人員，強化網格化管理，不落一戶 不漏一人．若在排查期間，某小區有5人被確認為“確診患者的密切接觸者”，現醫護人員要對這5人隨機進行逐一“核糖核酸”檢測，只要出現一例陽性，則將該小區確定為“感染高危小區”．假設每人被確診的概率均為且相互獨立，若當時，至少檢測了4人該小區被確定為“感染高危小區”的概率取得最大值，則 ．
【解題方法總結】
（1）求相互獨立事件同時發生的概率的步驟
①首先確定各事件之間是相互獨立的．
②求出每個事件的概率，再求積．
（2）使用相互獨立事件同時發生的概率計算公式時，要掌握公式的適用條件，即各個事件是相互獨立的．
題型四：相互獨立事件概率的綜合應用
例10．（2024·河南焦作·高三統考開學考試）小李參加某項專業資格考試，一共要考3個科目，若3個科目都合格，則考試直接過關；若都不合格，則考試不過關；若有1個或2相科目合格，則所有不合格的科目需要進行一次補考，補考都合格的考試過關，否則不過關．已知小李每個科目每次考試合格的概率均為p（），且每個科目每次考試的結果互不影響．
(1)記“小李恰有1個科目需要補考”的概率為，求的最大值點．
(2)以（1）中確定的作為p的值．
（ⅰ）求小李這項資格考試過關的概率；
（ⅱ）若每個科目每次考試要繳納20元的費用，將小李需要繳納的費用記為X元，求．
例11．（2024·湖北武漢·華中師大一附中校考模擬預測）某獵人發現在距離他100米處的位置有一只獵物，如果直接射擊，則只射擊一次就擊中獵物的概率為，為了有更大的概率擊中獵物，獵人準備多次射擊.假設每次射擊結果之間相互獨立，獵人每次射擊擊中獵物的概率與他和獵物之間的距離成反比.
(1)如果獵人第一次射擊沒有擊中藥物，則獵人經過調整后進行第二次射擊，但由于獵物受到驚嚇奔跑，使得第二次射擊時獵物和他之間的距離增加了50米；如果第二次射擊仍然沒有擊中獵物，則第三次射擊時獵物和他之間的距離又增加了50米，如此進行下去，每次射擊如果沒有擊中，則下一次射擊時獵物和他之間的距離都會增加50米，當獵人擊中獵物或發現某次射擊擊中的概率小于時就停止射擊，求獵人停止射擊時射擊次數的概率分布列與數學期望.
(2)如果獵人直接連續射擊，由于射擊速度很快，可以認為在射擊期間獵物和獵人之間的距離保持不變，如果希望至少擊中獵物一次的概率超過98%，至少要連續射擊多少次
附:.
例12．（2024·河北滄州·校考三模）甲、乙、丙三人進行臺球比賽，比賽規則如下：先由兩人上場比賽，第三人旁觀，一局結束后，敗者下場作為旁觀者，原旁觀者上場與勝者比賽，按此規則循環下去.若比賽中有人累計獲勝3局，則該人獲得最終勝利，比賽結束，三人經過抽簽決定由甲、乙先上場比賽，丙作為旁觀者.根據以往經驗，每局比賽中，甲、乙比賽甲勝概率為，乙、丙比賽乙勝概率為，丙、甲比賽丙勝概率為，每局比賽相互獨立且每局比賽沒有平局.
(1)比賽完3局時，求甲、乙、丙各旁觀1局的概率；
(2)已知比賽進行5局后結束，求甲獲得最終勝利的概率.
變式11．（2024·貴州·校聯考模擬預測）某校為豐富教職工業余文化活動，在教師節活動中舉辦了“三神杯”比賽，現甲乙兩組進入到決賽階段，決賽采用三局兩勝制決出冠軍，每一局比賽中甲組獲勝的概率為，且甲組最終獲得冠軍的概率為（每局比賽沒有平局）.
(1)求；
(2)已知冠軍獎品為28個籃球，在甲組第一局獲勝后，比賽被迫取消，獎品分配方案是：如果比賽繼續進行下去，按照甲乙兩組各自獲勝的概率分配籃球，請問按此方案，甲組、乙組分別可獲得多少個籃球
變式12．（2024·河南鄭州·統考模擬預測）手工刺繡是中國非物質文化遺產之一，指以手工方式，用針和線把人的設計和制作添加在任何存在的織物上的一種藝術，大致分為繪制白描圖和手工著色、電腦著色，選線、配線和裁布三個環節，簡記為工序A，工序，工序.經過試驗測得小李在這三道工序成功的概率依次為，，.現某單位推出一項手工刺繡體驗活動，報名費30元，成功通過三道工序最終的獎勵金額是200元，為了更好地激勵參與者的興趣，舉辦方推出了一項工序補救服務，可以在著手前付費聘請技術員，若某一道工序沒有成功，可以由技術員完成本道工序.每位技術員只完成其中一道工序，每聘請一位技術員需另付費100元，制作完成后沒有接受技術員補救服務的退還一半的聘請費用.
(1)若小李聘請一位技術員，求他成功完成三道工序的概率；
(2)若小李聘請兩位技術員，求他最終獲得收益的期望值.
變式13．（2024·廣東陽江·高三統考階段練習）部分高校開展基礎學科招生改革試點工作（強基計劃）的校考由試點高校自主命題，校考過程中達到筆試優秀才能進入面試環節.已知兩所大學的筆試環節都設有三門考試科目且每門科目是否達到優秀相互獨立.若某考生報考大學，每門科目達到優秀的概率均為，若該考生報考大學，每門科目達到優秀的概率依次為，，，其中.
(1)若，分別求出該考生報考兩所大學在筆試環節恰好有一門科目達到優秀的概率；
(2)強基計劃規定每名考生只能報考一所試點高校，若以筆試過程中達到優秀科目個數的期望為依據作出決策，該考生更有希望進入大學的面試環節，求的范圍.
【解題方法總結】
1、求復雜事件的概率一般可分三步進行
（1）列出題中涉及的各個事件，并用適當的符號表示它們；
（2）理清各事件之間的關系，恰當地用事件間的“并”“交”表示所求事件；
（3）根據事件之間的關系準確地運用概率公式進行計算．
2、計算事件同時發生的概率常用直接法，當遇到“至少”“至多”問題，考慮逆向思維，考查原事件的對立事件，用間接法處理．
題型五：全概率公式及其應用
例13．（2024·江西·高三校聯考階段練習）某同學喜愛籃球和跑步運動.在暑假期間，該同學下午去打籃球的概率為.若該同學下午去打籃球，則晚上一定去跑步；若下午不去打籃球，則晚上去跑步的概率為.已知該同學在某天晚上去跑步，則下午打過籃球的概率為 .
例14．（2024·江蘇南京·高三統考開學考試）某批麥種中，一等麥種占90%，二等麥種占10%，一、二等麥種種植后所結麥穗含有50粒以上麥粒的概率分別為0.6，0.2，則這批麥種種植后所結麥穗含有50粒以上麥粒的概率為 ．
例15．（2024·湖南長沙·高三周南中學校考階段練習）某籃球隊教練對近兩年隊員甲參加過的100場比賽進行統計：甲在前鋒位置出場20次，其中球隊獲勝14次；中鋒位置出場30次，其中球隊獲勝21次；后衛位置出場50次，其中球隊獲勝40次.用該樣本的頻率估計概率，則甲參加比賽時，該該球隊某場比賽獲勝的概率為 .
變式14．（2024·福建漳州·高三統考開學考試）有一批同一型號的產品，其中甲工廠生產的占，乙工廠生產的占.已知甲、乙兩工廠生產的該型號產品的次品率分別為，，則從這批產品中任取一件是次品的概率是 .
變式15．（2024·江蘇鎮江·高三統考開學考試）現有兩個罐子，1號罐子中裝有3個紅球 2個黑球，2號罐子中裝有4個紅球 2個黑球.現先從1號罐子中隨機取出一個球放入2號罐子，再從2號罐子中取一個球，則從2號罐子中取出的球是紅球的概率為 .
變式16．（2024·福建·校聯考模擬預測）若一個點從三棱柱下底面頂點出發，一次運動中隨機去向相鄰的另一個頂點，則在5次運動后這個點仍停留在下底面的概率是 .
變式17．（2024·上海浦東新·高三上海市實驗學校校考開學考試）已知，則 ．
【解題方法總結】
全概率公式在解題中體現了“化整為零、各個擊破”的轉化思想，可將較為復雜的概率計算分解為一些較為容易的情況分別進行考慮．
題型六：貝葉斯公式及其應用
例16．（2024·河北秦皇島·高三校聯考開學考試）有甲、乙兩個加工廠加工同一型號零件，甲廠加工的次品率為，乙廠加工的次品率為，已知甲乙兩個加工廠加工的零件數分別占當地市場總數的45%，55%，現從當地市場上任意買一件這種型號的零件、則買到的零件是次品，且是甲廠加工的概率為 ．
例17．（2024·福建漳州·高三福建省華安縣第一中學校考開學考試）有3臺車床加工同一型號的零件，第1臺加工的次品率為8%，第2臺加工的次品率為3%，第3臺加工的次品率為2%，加工出來的零件混放在一起．已知第1，2，3臺車床加工的零件數分別占總數的10%，40%，50%，從混放的零件中任取一個零件，如果該零件是次品，那么它是第3臺車床加工出來的概率為 ．
29．（2024·遼寧錦州·統考模擬預測）某考生回答一道有4個選項的選擇題，設會答該題的概率是，并且會答時一定能答對，若不會答，則在4個答案中任選1個.已知該考生回答正確，則他確實會答該題的概率是 .
29．（2024·河南安陽·統考二模）學校給每位教師隨機發了一箱蘋果，李老師將其分為兩份，第1份占總數的40％，次品率為5％，第2份占總數的60％，次品率為4％．若李老師分份之前隨機拿了一個發現是次品后放回，則該蘋果被分到第1份中的概率為 ．
30．（2024·浙江·高三校聯考階段練習）隨著城市經濟的發展，早高峰問題越發嚴重，上班族需要選擇合理的出行方式．某公司員工小明上班出行方式由三種，某天早上他選擇自駕，坐公交車，騎共享單車的概率分別為，而他自駕，坐公交車，騎共享單車遲到的概率分別為，結果這一天他遲到了，在此條件下，他自駕去上班的概率是 ．
31．（2024·天津濱海新·高三大港一中校考階段練習）有三個籠子，里面分別放有兩只雄兔一只雌兔、兩只雄兔兩只雌兔、以及三只雌兔.如果在從一個籠子里拿出一只雄兔之后，那么再從這個籠子里取出雄兔的概率為 .
32．（2024·全國·高三專題練習）某人下午5：00下班，他所積累的資料如表所示
到家時間 5：35~5：39 5：40~5：44 5：45~5：49 5：50~5：54 晚于5：54
乘地鐵到家的概率 0.10 0.25 0.45 0.15 0.05
乘汽車到家的概率 0.30 0.35 0.20 0.10 0.05
某日他拋一枚硬幣決定乘地鐵回家還是乘汽車回家，結果他是5：47到家的，則他是乘地鐵回家的概率為 ．
【解題方法總結】
1、利用貝葉斯公式求概率的步驟
第一步：利用全概率公式計算，即；
第二步：計算，可利用求解；
第三步：代入求解．
2、貝葉斯概率公式反映了條件概率，全概率公式及乘法公式之間的關系，即．
題型七：全概率公式與貝葉斯公式的綜合應用
例18．（2024·福建三明·統考三模）在二十大報告中，體育 健康等關鍵詞被多次提及，促進群眾體育和競技體育全面發展，加快建設體育強國是全面建設社會主義現代化國家的一個重要目標.某校為豐富學生的課外活動，加強學生體質健康，擬舉行羽毛球團體賽，賽制采取局勝制，每局都是單打模式，每隊有名隊員，比賽中每個隊員至多上場一次且是否上場是隨機的，每局比賽結果互不影響.經過小組賽后，最終甲、乙兩隊進入最后的決賽，根據前期比賽的數據統計，甲隊種子選手對乙隊每名隊員的勝率均為，甲隊其余名隊員對乙隊每名隊員的勝率均為.（注：比賽結果沒有平局）
(1)求甲隊最終獲勝且種子選手上場的概率；
(2)已知甲隊獲得最終勝利，求種子選手上場的概率.
例19．（2024·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學校考階段練習）已知外形完全一樣的某品牌電子筆支裝一盒，每盒中的電子筆次品最多一支，每盒電子筆有次品的概率是.
(1)現有一盒電子筆，抽出兩支來檢測.
①求抽出的兩支均是正品的概率；
②已知抽出的兩支是正品，求剩余產品有次品的概率.
(2)已知甲乙兩盒電子筆均有次品，由于某種原因將兩盒筆完全隨機的混合在了一起，現隨機選支電子筆進行檢測，記為選出的支電子筆中次品的數目，求的分布列和期望.
例20．（2024·江蘇南京·南京師大附中校考模擬預測）甲，乙，丙三個廠家生產的手機充電器在某地市場上的占有率分別為25%，35%，40%，其充電器的合格率分別為70%，75%，80%．
(1)當地工商質檢部門隨機抽取3個手機充電器，其中由甲廠生產的手機充電器數目記為，求的概率分布列，期望和方差；
(2)現從三個廠家生產的手機充電器中隨機抽取1個，發現它是不合格品，求它是由甲廠生產的概率．
變式18．（2024·湖南長沙·高三周南中學校考開學考試）英國數學家貝葉斯（1701-1763）在概率論研究方面成就顯著，創立了貝葉斯統計理論，對于統計決策函數、統計推斷等做出了重要貢獻．貝葉斯公式就是他的重大發現，它用來描述兩個條件概率之間的關系.該公式為：設，，…，是一組兩兩互斥的事件，，且，，則對任意的事件，，有，. 現有三臺車床加工同一型號的零件，第臺加工的次品率為，每加工一個零件耗時分鐘，第，臺加工的次品率均為，每加工一個零件分別耗時分鐘和分鐘，加工出來的零件混放在一起.已知第，，臺車床加工的零件數分別占總數的，，.
(1)任取一個零件，計算它是次品的概率；
(2)如果取到的零件是次品，計算加工這個零件耗時（分鐘）的分布列和數學期望.
變式19．（2024·全國·高三專題練習）為提升學生的綜合素養能力，學校積極為學生搭建平臺，組織學生參與各種社團活動.在學校辯論隊活動中，甲同學積極參與.為了更好的了解每個同學的社團參與情況和能力水平，對每位參與辯論隊的同學進行跟蹤記錄.社團老師了解到，甲自加入辯論隊以來參加過100場辯論比賽：甲作為一辯出場20次，其中辯論隊獲勝14次；甲作為二辯出場30次，其中辯論隊獲勝21次；甲作為三辯出場25次，其中辯論隊獲勝20次；甲作為四辯出場25次，其中辯論隊獲勝20次.用該樣本的頻率估計概率，則：
(1)甲參加比賽時，求該辯論隊某場比賽獲勝的概率；
(2)現學校組織6支辯論隊，進行單循環比賽，即任意兩支隊伍均有比賽，規定至少3場獲勝才可晉級.社團老師決定每場比賽均派甲上場，已知甲所在辯論隊順利晉級，記其獲勝的場數為，求的分布列和數學期望.
變式20．（2024·吉林長春·長春市第二中學校考模擬預測）某興趣小組為研究一種地方性疾病與當地居民的衛生習慣（衛生習慣分為良好和不夠良好兩類）的關系，設A=“患有地方性疾病”，B=“衛生習慣良好”.據臨床統計顯示，，，該地人群中衛生習慣良好的概率為.
(1)求和，并解釋所求結果大小關系的實際意義；
(2)為進一步驗證（1）中的判斷，該興趣小組用分層抽樣的方法在該地抽取了一個容量為的樣本，利用獨立性檢驗，計算得.為提高檢驗結論的可靠性，現將樣本容量調整為原來的倍，使得能有99.9%的把握肯定（1）中的判斷，試確定k的最小值.
參考公式及數據：；；.
變式21．（2024·江西宜春·高三統考開學考試）為豐富學生的課外活動，學校羽毛球社團舉行羽毛球團體賽，賽制采取5局3勝制，每局都是單打模式，每隊有5名隊員，比賽中每個隊員至多上場一次且上場順序是隨機的，每局比賽結果互不影響，經過小組賽后，最終甲乙兩隊進入最后的決賽，根據前期比賽的數據統計，甲隊明星隊員對乙隊的每名隊員的勝率均為，甲隊其余4名隊員對乙隊每名隊員的勝率均為.（注：比賽結果沒有平局）
(1)求甲隊明星隊員在前四局比賽中不出場的前提下，甲乙兩隊比賽4局，甲隊最終獲勝的概率；
(2)求甲乙兩隊比賽3局，甲隊獲得最終勝利的概率；
(3)若已知甲乙兩隊比賽3局，甲隊獲得最終勝利，求甲隊明星隊員上場的概率.
40．（2024·湖南長沙·高三長沙一中校考階段練習）新高考數學試卷中有多項選擇題，每道多項選擇題有A，B，C，D這四個選項，四個選項中僅有兩個或三個為正確選項.題目得分規則為：全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.已知測試過程中隨機地從四個選項中作選擇，每個選項是否為正確選項相互獨立.某次多項選擇題專項訓練中，共有道題，正確選項設計如下：第一題正確選項為兩個的概率為，并且規定若第題正確選項為兩個，則第題正確選項為兩個的概率為；若第題正確選項為三個，則第題正確選項為三個的概率為.
(1)求第n題正確選項為兩個的概率；
(2)請根據期望值來判斷：第二題是選一個選項還是選兩個選項，更能獲得較高分.
43．（2024·廣東佛山·校聯考模擬預測）某地區舉行數學核心素養測評，要求以學校為單位參賽，最終學校和學校進入決賽．決賽規則如下：現有甲、乙兩個紙箱，甲箱中有4道選擇題和2道填空題，乙箱中有3道選擇題和3道填空題，決賽由兩個環節組成，環節一：要求兩校每位參賽同學在甲或乙兩個紙箱中隨機抽取兩題作答，作答后放回原箱；環節二：由學校和學校分別派出一名代表進行比賽．兩個環節按照相關比賽規則分別累計得分，以累計得分的高低決定名次．
(1)環節一結束后，采用樣本量比例分配的分層隨機抽樣，如果不知道樣本數據，只知道從學校抽取12人，其答對題目的平均數為1，方差為1，從學校抽取8人，其答對題目的平均數為1.5，方差為0.25，求這20人答對題目的均值與方差；
(2)環節二，學校代表先從甲箱中依次抽取了兩道題目，答題結束后將題目一起放入乙箱中，然后學校代表再從乙箱中抽取題目，已知學校代表從乙箱中抽取的第一題是選擇題，求學校代表從甲箱中取出的是兩道選擇題的概率．
【解題方法總結】
若隨機試驗可以看成分兩個階段進行，且第一階段的各試驗結果具體結果怎樣未知，那么：（1）如果要求的是第二階段某一個結果發生的概率，則用全概率公式；（2）如果第二個階段的某一個結果是已知的，要求的是此結果為第一階段某一個結果所引起的概率，一般用貝葉斯公式
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21世紀教育網(www.21cnjy.com)第90講 事件的相互獨立性、條件概率與全概率公式
知識點1、條件概率
（一）定義
一般地，設，為兩個事件，且，稱為在事件發生的條件下，事件發生的條件概率．
注意：（1）條件概率中“”后面就是條件；（2）若，表示條件不可能發生，此時用條件概率公式計算就沒有意義了，所以條件概率計算必須在的情況下進行．
（二）性質
（1）條件概率具有概率的性質，任何事件的條件概率都在和1之間，即．
（2）必然事件的條件概率為1，不可能事件的條件概率為．
（3）如果與互斥，則．
注意：（1）如果知道事件發生會影響事件發生的概率，那么；
（2）已知發生，在此條件下發生，相當于發生，要求，相當于把看作新的基本事件空間計算發生的概率，即．
知識點2、相互獨立與條件概率的關系
（一）相互獨立事件的概念及性質
（1）相互獨立事件的概念
對于兩個事件，，如果，則意味著事件的發生不影響事件發生的概率．設，根據條件概率的計算公式，，從而．
由此我們可得：設，為兩個事件，若，則稱事件與事件相互獨立．
（2）概率的乘法公式
由條件概率的定義，對于任意兩個事件與，若，則．我們稱上式為概率的乘法公式．
（3）相互獨立事件的性質
如果事件，互相獨立，那么與，與，與也都相互獨立．
（4）兩個事件的相互獨立性的推廣
兩個事件的相互獨立性可以推廣到個事件的相互獨立性，即若事件，，…，相互獨立，則這個事件同時發生的概率．
（二）事件的獨立性
（1）事件與相互獨立的充要條件是．
（2）當時，與獨立的充要條件是．
（3）如果，與獨立，則成立．
知識點3、全概率公式
（一）全概率公式
（1）；
（2）定理若樣本空間中的事件，，…，滿足：
①任意兩個事件均互斥，即，，；
②；
③，．
則對中的任意事件，都有，且
．
注意：（1）全概率公式是用來計算一個復雜事件的概率，它需要將復雜事件分解成若干簡單事件的概率計算，即運用了“化整為零”的思想處理問題．
（2）什么樣的問題適用于這個公式？所研究的事件試驗前提或前一步驟試驗有多種可能，在這多種可能中均有所研究的事件發生，這時要求所研究事件的概率就可用全概率公式．
（二）貝葉斯公式
（1）一般地，當且時，有
（2）定理若樣本空間中的事件滿足：
①任意兩個事件均互斥，即，，；
②；
③，．
則對中的任意概率非零的事件，都有，
且
注意：（1）在理論研究和實際中還會遇到一類問題，這就是需要根據試驗發生的結果尋找原因，看看導致這一試驗結果的各種可能的原因中哪個起主要作用，解決這類問題的方法就是使用貝葉斯公式．貝葉斯公式的意義是導致事件發生的各種原因可能性的大小，稱之為后驗概率．
（2）貝葉斯公式充分體現了，，，，，之間的轉關系，即，，之間的內在聯系．
必考題型全歸納
題型一：條件概率
例1．（2024·云南大理·統考模擬預測）“狼來了”的故事大家小時候應該都聽說過：小孩第一次喊“狼來了”，大家信了，但去了之后發現沒有狼；第二次喊“狼來了”，大家又信了，但去了之后又發現沒有狼；第三次狼真的來了，但是這個小孩再喊狼來了就沒人信了．從數學的角度解釋這一變化，假設小孩是誠實的，則他出于某種特殊的原因說謊的概率為；小孩是不誠實的，則他說謊的概率是．最初人們不知道這個小孩誠實與否，所以在大家心目中每個小孩是誠實的概率是．已知第一次他說謊了，那么他是誠實的小孩的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】設事件表示“小孩誠實”，事件表示“小孩說謊”，
則，，，，
則，
，
故，
故.
故選：D
例2．（2024·河北秦皇島·統考模擬預測）已知有兩箱書，第一箱中有3本故事書，2本科技書；第二箱中有2本故事書，3本科技書．隨機選取一箱，再從該箱中隨機取書兩次，每次任取一本，做不放回抽樣，則在第一次取到科技書的條件下，第二次取到的也是科技書的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】記事件“第一箱中取書”，事件“從第二箱中取書”．事件“第次從箱中取到的書是科技書”，,
則由題意知，，,
,
所以
故選：C
例3．（2024·廣西柳州·統考模擬預測）根據歷年的氣象數據，某市5月份發生中度霧霾的概率為0.25，刮四級以上大風的概率為0.4，既發生中度霧霾又刮四級以上大風的概率為0.2，則在刮四級以上大風的情況下，發生中度霧霾的概率為（ ）
A．0.5 B．0.625 C．0.8 D．0.9
【答案】A
【解析】設發生中度霧霾為事件，刮四級以上大風為事件，
依題意，，，，
則在刮四級以上大風的情況下，發生中度霧霾的概率為.
故選：A
變式1．（2024·河南南陽·高三南陽中學校考開學考試）袋子中裝有大小 形狀完全相同的2個白球和2個紅球.現從中不放回地摸取2個球，已知第二次摸到的是紅球，則第一次摸到紅球的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】設第一次摸到紅球為事件A，第二次摸到紅球為事件，則事件為第一次摸到紅球且第二次摸到紅球，
可得，，
所以.
故選：B.
變式2．（2024·云南曲靖·高三校聯考階段練習）有首歌道“大理三月好風光，蝴蝶泉邊好梳妝”，近年來大理州一直致力開發旅游事業，吸引著大批的游客前往大理旅游.現有甲、乙兩位游客慕名來到大理，準備從蒼山、洱海、大理古城、崇圣寺三塔、蝴蝶泉五個景點中隨機選擇一個景點游玩，記事件為“甲和乙至少一人選擇蝴蝶泉”，事件為“甲和乙選擇的景點不同”，則（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【解析】分別記景點蒼山、洱海、大理古城、崇圣寺三塔、蝴蝶泉分別為a，b，c，d，e.
則事件A包含的樣本點有，共9種情況，
其中“甲和乙選擇的景點不同”有，共8種情況，
所以.
故選：B
變式3．（2024·廣東·高三河源市河源中學校聯考階段練習）從1、2、3、4、5、6、7這7個數中任取5個不同的數，事件：“取出的5個不同的數的中位數是4”，事件：“取出的5個不同的數的平均數是4”，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根據題意，從7個數中任取5個數，則基本事件總數為，
這5個數的中位數是4的基本事件有個，
所以，
其中5個數的平均數都是4的基本事件有
1，2，4，6，7；1，3，4，5，7；2，3，4，5，6，共3種情況，
這3種情況恰好也是的基本事件，
所以，所以，
故選：C
【解題方法總結】
用定義法求條件概率的步驟
（1）分析題意，弄清概率模型；
（2）計算，；
（3）代入公式求．
題型二：相互獨立事件的判斷
例4．（2024·安徽·高三校聯考階段練習）已知A，B，C為三個隨機事件且，，>0，則A，B，C相互獨立是A，B，C兩兩獨立的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】A，B，C相互獨立,則滿足，
且，，；
A，B，C兩兩獨立則滿足，，；
故而A，B，C相互獨立則有A，B，C兩兩獨立，但是A，B，C兩兩獨立不能得出A，B，C相互獨立，故A正確．
故選：A
例5．（2024·上海浦東新·高三華師大二附中校考階段練習）已知事件，滿足，，則不能說明事件，相互獨立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】對于A，擲一枚質地均勻的骰子，事件A為向上的點數不超過4，事件B為向上的點數為4或5，即，，，滿足，但，，所以事件不相互獨立，故A錯誤；
對于B，因為，所以，所以事件相互獨立，故B正確；
對于C，因為，所以，所以事件相互獨立，故C正確；
對于D，因為，所以，整理得，所以事件相互獨立，故D正確；
故選：A
例6．（2024·福建南平·高三福建省政和第一中學校考階段練習）甲箱中有5個紅球，2個白球和3個黑球；乙箱中有4個紅球，3個白球和3個黑球.先從甲箱中隨機取出一球放入乙箱中，分別以，，表示由甲箱中取出的是紅球，白球和黑球的事件；再從乙箱中隨機取出一球，以B表示由乙箱中取出的球是紅球的事件，則下列結論錯誤的是（ ）
A． B．
C．事件B與事件不相互獨立 D．，，兩兩互斥
【答案】A
【解析】依題意，，
又，B正確；
則有
，A錯誤；
又，即，
因此事件與事件不相互獨立，C正確；
顯然事件中的任意兩個事件都不可能同時發生，因此事件兩兩互斥，D正確.
故選：A
變式4．（2024·全國·高三專題練習）某家庭有三個孩子，假定生男孩和生女孩是等可能且相互獨立的．記事件A：該家庭既有男孩又有女孩；事件：該家庭最多有一個男孩；事件：該家庭最多有一個女孩；則下列說法中正確的是（ ）
A．事件與事件互斥但不對立 B．事件A與事件互斥且對立
C．事件與事件相互獨立 D．事件A與事件相互獨立
【答案】D
【解析】生3個小孩的總事件包含（男，男，男），（男，男，女），（男，女，男），（女，男，男），（男，女，女），（女，男，女），（女，女，男），（女，女，女），共8個基本事件，
事件A包含（男，男，女），（男，女，男），（女，男，男），（男，女，女），（女，男，女），（女，女，男），共6個基本事件，
事件B包含（男，女，女），（女，男，女），（女，女，男），（女，女，女），共4個基本事件，
事件C包含（男，男，男），（男，男，女），（男，女，男），（女，男，男），共4個基本事件，
A選項，因為，，所以事件與事件互斥且對立，A錯誤；
B選項，因為，所以事件A與事件B不互斥，不對立，B錯誤；
C選項，因為，所以，又，故，故事件與事件不獨立，C錯誤；
D選項，因為有3個基本事件，所以，又，
所以，D正確.
故選：D
變式5．（2024·全國·高三專題練習）隨著2022年卡塔爾世界杯的舉辦，中國足球也需要重視足球教育．某市為提升學生的足球水平，特地在當地選拔出幾所學校作為足球特色學校，開設了“5人制”“7人制”“9人制”“11人制”四類足球體驗課程．甲、乙兩名同學各自從中任意挑選兩門課程學習，設事件“甲乙兩人所選課程恰有一門相同”，事件“甲乙兩人所選課程完全不同”，事件“甲乙兩人均未選擇‘5人制’課程”，則（ ）
A．A與為對立事件 B．A與互斥 C．A與相互獨立 D．與相互獨立
【答案】C
【解析】依題意甲、乙兩人所選課程有如下情形：①有一門相同，②兩門都相同，③兩門都不相同，故A與互斥不對立，A錯誤；
當甲乙兩人均未選擇“5人制”課程時，兩人可能選的課程有一門相同，A與不互斥，B錯誤；
所以，，，
且，所以，
，即A與相互獨立，與不相互獨立，C正確，D錯誤，
故選：C．
變式6．（2024·四川宜賓·統考三模）同時拋擲兩枚質地均勻的骰子一次，事件甲表示“第一枚骰子向上的點數為奇數”，事件乙表示“第二枚骰子向上的點數為偶數”，事件丙表示“兩枚骰子向上的點數之和為”，事件丁表示“兩枚骰子向上的點數之和為”，則（ ）
A．事件甲與事件乙互斥 B．
C．事件甲與事件丁相互獨立 D．事件丙與事件丁互為對立事件
【答案】C
【解析】用表示第一枚骰子向上的點數，表示第二枚骰子向上的點數，則兩枚骰子的情況用數對表示，
則所有可能情況有，，，，，，
，，，，，，
，，，，，，
，，，，，，
，，，，，，
，，，，，，共個結果，
對于A：顯然事件甲與事件乙可以同時發生，如出現，故事件甲與事件乙不互斥，即A錯誤；
對于B：，故B錯誤；
對于C：記事件甲為，事件丁為，則，，
，
所以，即事件甲與事件丁相互獨立，故C正確；
對于D：事件丙與事件丁不能同時發生，但是可以都不發生，故事件丙與事件丁互為互斥不對立事件，故D錯誤；
故選：C
【解題方法總結】
判斷事件是否相互獨立的方法
（1）定義法：事件，相互獨立 ．
（2）由事件本身的性質直接判定兩個事件發生是否相互影響．
（3）條件概率法：當時，可用判斷．
題型三：相互獨立事件概率的計算
例7．（2024·天津·校聯考一模）某產品的質量檢驗過程依次為進貨檢驗（IQC）、生產過程檢驗（IPQC）、出貨檢驗（OQC） 三個環節．已知某產品IQC的單獨通過率為，IPQC的單獨通過率為，規定上一類檢驗不通過則不進入下一類檢驗，未通過可修復后再檢驗一次（修復后無需從頭檢驗，通過率不變且每類檢驗最多兩次），且各類檢驗間相互獨立，則一件該產品能進入OQC環節的概率為 ．
【答案】/0.9
【解析】設表示第i次通過進貨檢驗，表示第i次通過生產過程檢驗（），C表示該產品能進入出貨檢驗環節，由題意得
．
故答案為：.
例8．（2024·全國·高三專題練習）某次知識競賽規則如下：在主辦方預設的5個問題中，選手若能連續正確回答出兩個問題，即停止答題，晉級下一輪假設某選手正確回答每個問題的概率都是0.8，且每個問題的回答結果相互獨立，則該選手恰好回答了5個問題就晉級下一輪的概率為 .
【答案】/0.04608
【解析】由該選手恰好回答了5個問題就晉級下一輪，說明他第4、第5兩個問題是連續答對的，第3個問題沒有答對，第1和第2兩個問題也沒有全部答對，即他答題結果可能有三種情況：或或，根據獨立事件同時發生的概率公式，可得該選手恰好回答了5個問題就晉級下一輪的概率為
故答案為：0.04608
例9．（2024·全國·高三專題練習）甲、乙兩人輪流投籃，每人每次投一球，約定甲先投且先投中者獲勝，一直到有人獲勝或每人都已投球3次時投籃結束.設甲每次投籃投中的概率為，乙每次投籃投中的概率為，且各次投籃互不影響，則乙獲勝的概率為 .
【答案】
【解析】記“乙獲勝”為事件C，記甲第次投籃投進為事件，乙第次投籃投進為事件，
由互斥事件僅有一個發生的概率與相互獨立事件同時發生的概率計算公式知，
.
故答案：
變式7．（2024·全國·校聯考模擬預測）已知甲、乙、丙三位選手參加某次射擊比賽，比賽規則如下：①每場比賽有兩位選手參加，并決出勝負；②每場比賽獲勝的選手與未參加此場比賽的選手進行下一場的比賽；③在比賽中，若有一位選手首先獲勝兩場，則本次比賽結束，該選手獲得此次射擊比賽第一名.若在每場比賽中，甲勝乙的概率為，甲勝丙的概率為，乙勝丙的概率為，且甲與乙先參加比賽，則甲獲得第一名的概率為 .
【答案】
【解析】因為每場比賽中，甲勝乙的概率為，甲勝丙的概率為，
乙勝丙的概率為，
所以甲選手獲勝的概率是.
故答案為：
變式8．（2024·山東·高三專題練習）無癥狀感染者被認為是新冠肺炎疫情防控的難點之一．國際期刊《自然》雜志中一篇文章指出，30%~60%的新冠感染者無癥狀或者癥狀輕微，但他們傳播病毒的能力并不低，這些無癥狀感染者可能會引起新一輪的疫情大爆發．我們把與病毒攜帶者有過密切接觸的人群稱為密切接觸者．假設每名密切接觸者成為無癥狀感染者的概率均為，那么4名密切接觸者中，至多有2人成為無癥狀感染者的概率為 ．
【答案】
【解析】至多有2人成為無癥狀感染者包括0人成為無癥狀感染者，1人成為無癥狀感染者，2人成為無癥狀感染者三種情況，且每種情況間是互斥的，所以所求概為
故答案為：
變式9．（2024·重慶沙坪壩·高三重慶八中校考階段練習）某電視臺的夏日水上闖關節目一共有三關，第一關與第二關的過關率分別為，．只有通過前一關才能進入下一關，每一關都有兩次闖關機會，且通過每關相互獨立．一選手參加該節目，則該選手能進入第三關的概率為 ．
【答案】.
【解析】該選手闖過第一關的概率為，闖過第二關的概率為，
所以該選手能進入第三關的概率為.
故答案為：.
變式10．（2024·浙江·高三專題練習）2019年底，武漢發生“新型冠狀病毒”肺炎疫情，國家衛健委緊急部署，從多省調派醫務工作者前去支援，正值農歷春節舉家團圓之際，他們成為“最美逆行者”．武漢市從2月7日起舉全市之力入戶上門排查確診的新冠肺炎患者 疑似的新冠肺炎患者 無法明確排除新冠肺炎的發熱患者和確診患者的密切接觸者等“四類”人員，強化網格化管理，不落一戶 不漏一人．若在排查期間，某小區有5人被確認為“確診患者的密切接觸者”，現醫護人員要對這5人隨機進行逐一“核糖核酸”檢測，只要出現一例陽性，則將該小區確定為“感染高危小區”．假設每人被確診的概率均為且相互獨立，若當時，至少檢測了4人該小區被確定為“感染高危小區”的概率取得最大值，則 ．
【答案】
【解析】由題意知，至少檢測了4人該小區被確定為“感染高危小區”的概率
，，
令，解得，故在上單調遞增，
在上單調遞減，故當時，取得最大值．
故答案為：.
【解題方法總結】
（1）求相互獨立事件同時發生的概率的步驟
①首先確定各事件之間是相互獨立的．
②求出每個事件的概率，再求積．
（2）使用相互獨立事件同時發生的概率計算公式時，要掌握公式的適用條件，即各個事件是相互獨立的．
題型四：相互獨立事件概率的綜合應用
例10．（2024·河南焦作·高三統考開學考試）小李參加某項專業資格考試，一共要考3個科目，若3個科目都合格，則考試直接過關；若都不合格，則考試不過關；若有1個或2相科目合格，則所有不合格的科目需要進行一次補考，補考都合格的考試過關，否則不過關．已知小李每個科目每次考試合格的概率均為p（），且每個科目每次考試的結果互不影響．
(1)記“小李恰有1個科目需要補考”的概率為，求的最大值點．
(2)以（1）中確定的作為p的值．
（ⅰ）求小李這項資格考試過關的概率；
（ⅱ）若每個科目每次考試要繳納20元的費用，將小李需要繳納的費用記為X元，求．
【解析】（1）由題意知，，
則，
當時，，
當時，，
所以函數在單調遞增，單調遞減，
所以當時，取最大值，即．
（2）（ⅰ）小李第一次考試3個科目都合格的概率為，
小李第一次考試有2個科目合格，補考1個科目且合格的概率為，
小李第一次考試有1個科目合格，補考2個科目且均合格的概率為，
所以小李這項資格考試過關的概率為．
（ⅱ）X的所有可能取值為60，80，100，
則，，
，
故．
例11．（2024·湖北武漢·華中師大一附中校考模擬預測）某獵人發現在距離他100米處的位置有一只獵物，如果直接射擊，則只射擊一次就擊中獵物的概率為，為了有更大的概率擊中獵物，獵人準備多次射擊.假設每次射擊結果之間相互獨立，獵人每次射擊擊中獵物的概率與他和獵物之間的距離成反比.
(1)如果獵人第一次射擊沒有擊中藥物，則獵人經過調整后進行第二次射擊，但由于獵物受到驚嚇奔跑，使得第二次射擊時獵物和他之間的距離增加了50米；如果第二次射擊仍然沒有擊中獵物，則第三次射擊時獵物和他之間的距離又增加了50米，如此進行下去，每次射擊如果沒有擊中，則下一次射擊時獵物和他之間的距離都會增加50米，當獵人擊中獵物或發現某次射擊擊中的概率小于時就停止射擊，求獵人停止射擊時射擊次數的概率分布列與數學期望.
(2)如果獵人直接連續射擊，由于射擊速度很快，可以認為在射擊期間獵物和獵人之間的距離保持不變，如果希望至少擊中獵物一次的概率超過98%，至少要連續射擊多少次
附:.
【解析】（1）因為獵人每次射擊擊中獵物的概率與他和獵物之間的距離成反比，
設第i次射擊擊中獵物的概率為，獵人和獵物之間的距離為，
則(k為常數)，∵，，∴，
∴，∴，，．
當時，，停止射擊．
設獵人的射擊次數為X，則X的所有取值為1，2，3，4
，，
，，
∴X的分布列為
x 1 2 3 4
P
∴X的數學期望為.
（2）記“第i次射擊擊中獵物”為事件，i=1，2，…，
則n次連續射擊至少擊中獵物一次的概率為，
故，
所以至少要連續射擊5次．
例12．（2024·河北滄州·校考三模）甲、乙、丙三人進行臺球比賽，比賽規則如下：先由兩人上場比賽，第三人旁觀，一局結束后，敗者下場作為旁觀者，原旁觀者上場與勝者比賽，按此規則循環下去.若比賽中有人累計獲勝3局，則該人獲得最終勝利，比賽結束，三人經過抽簽決定由甲、乙先上場比賽，丙作為旁觀者.根據以往經驗，每局比賽中，甲、乙比賽甲勝概率為，乙、丙比賽乙勝概率為，丙、甲比賽丙勝概率為，每局比賽相互獨立且每局比賽沒有平局.
(1)比賽完3局時，求甲、乙、丙各旁觀1局的概率；
(2)已知比賽進行5局后結束，求甲獲得最終勝利的概率.
【解析】（1）由題可知，甲、乙、丙各旁觀1局的概率即為甲、乙、丙各勝1局的概率.
設甲、乙比賽甲勝，乙、丙比賽乙勝，丙、甲比賽丙勝分別為事件，，，則，，相互獨立，
設比賽完3局時，甲、乙、丙各勝1局為事件，則，
則，
所以甲、乙、丙各旁觀1局的概率為.
（2）設甲、乙、丙第局比賽獲勝分別為事件，，，，
設比賽完5局甲獲得最終勝利為事件，則
，
，
，
，
，
，
所以.
所以，已知比賽進行5局后結束，甲獲得最終勝利的概率為 .
變式11．（2024·貴州·校聯考模擬預測）某校為豐富教職工業余文化活動，在教師節活動中舉辦了“三神杯”比賽，現甲乙兩組進入到決賽階段，決賽采用三局兩勝制決出冠軍，每一局比賽中甲組獲勝的概率為，且甲組最終獲得冠軍的概率為（每局比賽沒有平局）.
(1)求；
(2)已知冠軍獎品為28個籃球，在甲組第一局獲勝后，比賽被迫取消，獎品分配方案是：如果比賽繼續進行下去，按照甲乙兩組各自獲勝的概率分配籃球，請問按此方案，甲組、乙組分別可獲得多少個籃球
【解析】（1）令事件：甲組在第局獲勝，.甲組勝的概率為：，
解得.
（2）由題意知，在甲組第一局獲勝的情況下，甲組輸掉比賽事件為：甲組接下來的比賽中連輸兩場，
即，即甲獲勝的概率為，
故甲組、乙組應按照3：1的比例來分配比賽獎品，
即甲組應獲得21個籃球，乙組獲得7個籃球比較合理.
變式12．（2024·河南鄭州·統考模擬預測）手工刺繡是中國非物質文化遺產之一，指以手工方式，用針和線把人的設計和制作添加在任何存在的織物上的一種藝術，大致分為繪制白描圖和手工著色、電腦著色，選線、配線和裁布三個環節，簡記為工序A，工序，工序.經過試驗測得小李在這三道工序成功的概率依次為，，.現某單位推出一項手工刺繡體驗活動，報名費30元，成功通過三道工序最終的獎勵金額是200元，為了更好地激勵參與者的興趣，舉辦方推出了一項工序補救服務，可以在著手前付費聘請技術員，若某一道工序沒有成功，可以由技術員完成本道工序.每位技術員只完成其中一道工序，每聘請一位技術員需另付費100元，制作完成后沒有接受技術員補救服務的退還一半的聘請費用.
(1)若小李聘請一位技術員，求他成功完成三道工序的概率；
(2)若小李聘請兩位技術員，求他最終獲得收益的期望值.
【解析】（1）記事件M為“小李聘請一位技術員成功完成三道工序”，
當技術員完成工序A時，小李成功完成三道工序的概率為：,
當技術員完成工序B時，小李成功完成三道工序的概率為：,
當技術員完成工序C時，小李成功完成三道工序的概率為：,
當技術員沒參與補救時，小李成功完成三道工序的概率為：，
故小李成功完成三道工序的概率為；
（2）設小李最終收益為X，小李聘請兩位技術員參與比賽，
有如下幾種情況：
兩位技術員都參與補救但仍未成功完成三道工序，此時，；
兩位技術員都參與補救并成功完成三道工序，此時，；
只有一位技術員參與補救后成功完成三道工序，此時，;
技術員最終未參與補救仍成功完成三道工序，此時，；
故.
變式13．（2024·廣東陽江·高三統考階段練習）部分高校開展基礎學科招生改革試點工作（強基計劃）的校考由試點高校自主命題，校考過程中達到筆試優秀才能進入面試環節.已知兩所大學的筆試環節都設有三門考試科目且每門科目是否達到優秀相互獨立.若某考生報考大學，每門科目達到優秀的概率均為，若該考生報考大學，每門科目達到優秀的概率依次為，，，其中.
(1)若，分別求出該考生報考兩所大學在筆試環節恰好有一門科目達到優秀的概率；
(2)強基計劃規定每名考生只能報考一所試點高校，若以筆試過程中達到優秀科目個數的期望為依據作出決策，該考生更有希望進入大學的面試環節，求的范圍.
【解析】（1）設該考生報考大學恰好有一門筆試科目優秀為事件，
則；
該考生報考大學恰好有一門筆試科目優秀為事件，
則.
（2）該考生報考大學達到優秀科目的個數設為，則，；
該考生報考大學達到優秀科目的個數設為，則所有可能的取值為，
；
；
；
；
隨機變量的分布列：
；
該考生更有希望進入大學的面試環節，，即，
解得：，的范圍為.
【解題方法總結】
1、求復雜事件的概率一般可分三步進行
（1）列出題中涉及的各個事件，并用適當的符號表示它們；
（2）理清各事件之間的關系，恰當地用事件間的“并”“交”表示所求事件；
（3）根據事件之間的關系準確地運用概率公式進行計算．
2、計算事件同時發生的概率常用直接法，當遇到“至少”“至多”問題，考慮逆向思維，考查原事件的對立事件，用間接法處理．
題型五：全概率公式及其應用
例13．（2024·江西·高三校聯考階段練習）某同學喜愛籃球和跑步運動.在暑假期間，該同學下午去打籃球的概率為.若該同學下午去打籃球，則晚上一定去跑步；若下午不去打籃球，則晚上去跑步的概率為.已知該同學在某天晚上去跑步，則下午打過籃球的概率為 .
【答案】
【解析】設下午打籃球為事件，晚上跑步為事件，易知，，
∴，
∴.
故答案為：
例14．（2024·江蘇南京·高三統考開學考試）某批麥種中，一等麥種占90%，二等麥種占10%，一、二等麥種種植后所結麥穗含有50粒以上麥粒的概率分別為0.6，0.2，則這批麥種種植后所結麥穗含有50粒以上麥粒的概率為 ．
【答案】0.56/
【解析】分別記取到一等麥種和二等麥種分別為事件，所結麥穗含有50粒以上麥粒為事件.
由已知可得，，，，，
由全概率公式可得，.
故答案為：0.56.
例15．（2024·湖南長沙·高三周南中學校考階段練習）某籃球隊教練對近兩年隊員甲參加過的100場比賽進行統計：甲在前鋒位置出場20次，其中球隊獲勝14次；中鋒位置出場30次，其中球隊獲勝21次；后衛位置出場50次，其中球隊獲勝40次.用該樣本的頻率估計概率，則甲參加比賽時，該該球隊某場比賽獲勝的概率為 .
【答案】0.75/
【解析】根據全概率公式可知：
甲參加比賽時，該該球隊某場比賽獲勝的概率為，
故答案為：
變式14．（2024·福建漳州·高三統考開學考試）有一批同一型號的產品，其中甲工廠生產的占，乙工廠生產的占.已知甲、乙兩工廠生產的該型號產品的次品率分別為，，則從這批產品中任取一件是次品的概率是 .
【答案】0.024
【解析】設，分別表示甲、乙廠生產的產品，表示取到次品，
則，，
，，
從中任取一件產品取到次品的概率為：
，
故答案為：0.024．
變式15．（2024·江蘇鎮江·高三統考開學考試）現有兩個罐子，1號罐子中裝有3個紅球 2個黑球，2號罐子中裝有4個紅球 2個黑球.現先從1號罐子中隨機取出一個球放入2號罐子，再從2號罐子中取一個球，則從2號罐子中取出的球是紅球的概率為 .
【答案】
【解析】記1號罐子中取出紅球的事件為，取出黑球的事件為，從2號罐子中取出紅球的事件為，
顯然互斥，，
所以.
故答案為：.
變式16．（2024·福建·校聯考模擬預測）若一個點從三棱柱下底面頂點出發，一次運動中隨機去向相鄰的另一個頂點，則在5次運動后這個點仍停留在下底面的概率是 .
【答案】
【解析】這個點每次運動后的位置，不在上底面，則在下底面，即為對立事件，可記事件“第次運動后這個點停留在下底面”，則“第次運動后這個點停留在上底面”，
設，則，
由題意知，，
則由全概率公式可得，，
則，
即，兩邊同減去可得，，
又已知，
故數列是以為首項，為公比的等比數列，
則，即，
故當時，.
故答案為：.
變式17．（2024·上海浦東新·高三上海市實驗學校校考開學考試）已知，則 ．
【答案】0.74/
【解析】因為，，，
所以，
所以，
所以，
故答案為：0.74.
【解題方法總結】
全概率公式在解題中體現了“化整為零、各個擊破”的轉化思想，可將較為復雜的概率計算分解為一些較為容易的情況分別進行考慮．
題型六：貝葉斯公式及其應用
例16．（2024·河北秦皇島·高三校聯考開學考試）有甲、乙兩個加工廠加工同一型號零件，甲廠加工的次品率為，乙廠加工的次品率為，已知甲乙兩個加工廠加工的零件數分別占當地市場總數的45%，55%，現從當地市場上任意買一件這種型號的零件、則買到的零件是次品，且是甲廠加工的概率為 ．
【答案】
【解析】記為事件“零件為甲廠加工”，為事件“零件為乙廠加工”，為事件“買一個零件為次品”，則，．
所以．
所以．
故答案為:．
例17．（2024·福建漳州·高三福建省華安縣第一中學校考開學考試）有3臺車床加工同一型號的零件，第1臺加工的次品率為8%，第2臺加工的次品率為3%，第3臺加工的次品率為2%，加工出來的零件混放在一起．已知第1，2，3臺車床加工的零件數分別占總數的10%，40%，50%，從混放的零件中任取一個零件，如果該零件是次品，那么它是第3臺車床加工出來的概率為 ．
【答案】
【解析】記事件：車床加工的零件為次品，記事件：第臺車床加工的零件，
則，，，，，，
任取一個零件是次品的概率為
如果該零件是次品，那么它是第3臺車床加工出來的概率為
.
故答案為：.
29．（2024·遼寧錦州·統考模擬預測）某考生回答一道有4個選項的選擇題，設會答該題的概率是，并且會答時一定能答對，若不會答，則在4個答案中任選1個.已知該考生回答正確，則他確實會答該題的概率是 .
【答案】
【解析】設考生會答該題為事件A，不會答為事件B，該考生回答正確為事件C；
則：,,
故答案為：
29．（2024·河南安陽·統考二模）學校給每位教師隨機發了一箱蘋果，李老師將其分為兩份，第1份占總數的40％，次品率為5％，第2份占總數的60％，次品率為4％．若李老師分份之前隨機拿了一個發現是次品后放回，則該蘋果被分到第1份中的概率為 ．
【答案】
【解析】設事件B為“拿的蘋果是次品”，為“拿的蘋果來自第i份”，
則，，，，
所以，
所求概率為．
故答案為：
30．（2024·浙江·高三校聯考階段練習）隨著城市經濟的發展，早高峰問題越發嚴重，上班族需要選擇合理的出行方式．某公司員工小明上班出行方式由三種，某天早上他選擇自駕，坐公交車，騎共享單車的概率分別為，而他自駕，坐公交車，騎共享單車遲到的概率分別為，結果這一天他遲到了，在此條件下，他自駕去上班的概率是 ．
【答案】
【解析】法1：由題意設事件A表示“自駕”，事件B表示“坐公交車”，
事件C表示“騎共享單車”，事件D“表示遲到”，
則；
，
小明遲到了，由貝葉斯公式得他自駕去上班的概率是，
法2：在遲到的條件下，他自駕去上班的概率，
故答案為：．
31．（2024·天津濱海新·高三大港一中校考階段練習）有三個籠子，里面分別放有兩只雄兔一只雌兔、兩只雄兔兩只雌兔、以及三只雌兔.如果在從一個籠子里拿出一只雄兔之后，那么再從這個籠子里取出雄兔的概率為 .
【答案】
【解析】記三個籠子分別為，
若從一個籠子里拿出一只雄兔，則該籠子為的概率為，
該籠子為的概率為，該籠子為的概率為，
故此時再從從這個籠子里取出雄兔的概率為，
故答案為：
32．（2024·全國·高三專題練習）某人下午5：00下班，他所積累的資料如表所示
到家時間 5：35~5：39 5：40~5：44 5：45~5：49 5：50~5：54 晚于5：54
乘地鐵到家的概率 0.10 0.25 0.45 0.15 0.05
乘汽車到家的概率 0.30 0.35 0.20 0.10 0.05
某日他拋一枚硬幣決定乘地鐵回家還是乘汽車回家，結果他是5：47到家的，則他是乘地鐵回家的概率為 ．
【答案】
【解析】設事件H表示“乘地鐵回家”，則事件表示“乘汽車回家”．
到家時間為5：47，屬于區間5：45~5：49，
設事件T表示“到家時間在5：45~5：49之間”，則所求概率為．
易知，，因為他是由擲硬幣決定乘地鐵回家還是乘汽車回家，所以．
由貝葉斯公式得．
故答案為：
【解題方法總結】
1、利用貝葉斯公式求概率的步驟
第一步：利用全概率公式計算，即；
第二步：計算，可利用求解；
第三步：代入求解．
2、貝葉斯概率公式反映了條件概率，全概率公式及乘法公式之間的關系，即．
題型七：全概率公式與貝葉斯公式的綜合應用
例18．（2024·福建三明·統考三模）在二十大報告中，體育 健康等關鍵詞被多次提及，促進群眾體育和競技體育全面發展，加快建設體育強國是全面建設社會主義現代化國家的一個重要目標.某校為豐富學生的課外活動，加強學生體質健康，擬舉行羽毛球團體賽，賽制采取局勝制，每局都是單打模式，每隊有名隊員，比賽中每個隊員至多上場一次且是否上場是隨機的，每局比賽結果互不影響.經過小組賽后，最終甲、乙兩隊進入最后的決賽，根據前期比賽的數據統計，甲隊種子選手對乙隊每名隊員的勝率均為，甲隊其余名隊員對乙隊每名隊員的勝率均為.（注：比賽結果沒有平局）
(1)求甲隊最終獲勝且種子選手上場的概率；
(2)已知甲隊獲得最終勝利，求種子選手上場的概率.
【解析】（1）設事件“種子選手第局上場”，
事件“甲隊最終獲勝且種子選手上場”.
由全概率公式知，
因為每名隊員上場順序隨機，故，
，，.
所以，
所以甲隊最終獲勝且種子選手上場的概率為.
（2）設事件“種子選手未上場”，事件“甲隊獲得勝利”，
，，，
，
因為.
由（1）知，所以.
所以，已知甲隊獲得最終勝利，種子選手上場的概率為.
例19．（2024·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學校考階段練習）已知外形完全一樣的某品牌電子筆支裝一盒，每盒中的電子筆次品最多一支，每盒電子筆有次品的概率是.
(1)現有一盒電子筆，抽出兩支來檢測.
①求抽出的兩支均是正品的概率；
②已知抽出的兩支是正品，求剩余產品有次品的概率.
(2)已知甲乙兩盒電子筆均有次品，由于某種原因將兩盒筆完全隨機的混合在了一起，現隨機選支電子筆進行檢測，記為選出的支電子筆中次品的數目，求的分布列和期望.
【解析】（1）①記事件：該盒有次品；事件：抽出的兩支均是正品；
則，，，
；
②.
（2）由題意知：兩盒筆中共有支正品，支次品，所有可能的取值為，
；；；
的分布列為：
.
例20．（2024·江蘇南京·南京師大附中校考模擬預測）甲，乙，丙三個廠家生產的手機充電器在某地市場上的占有率分別為25%，35%，40%，其充電器的合格率分別為70%，75%，80%．
(1)當地工商質檢部門隨機抽取3個手機充電器，其中由甲廠生產的手機充電器數目記為，求的概率分布列，期望和方差；
(2)現從三個廠家生產的手機充電器中隨機抽取1個，發現它是不合格品，求它是由甲廠生產的概率．
【解析】（1）設“該手機充電器由甲廠生產”為事件，“該手機充電器由乙廠生產”為事件，“該手機充電器由丙廠生產”為事件，“該手機充電器是合格品”為事件，“該手機充電器是不合格品”為事件，
則，，，，，，，，，
的取值為0，1，2，
，
，
所以分布列為
0 1 2 3
且，故，，
答：的期望是，方差是
（2）

答：它是由甲廠生產的概率是．
變式18．（2024·湖南長沙·高三周南中學校考開學考試）英國數學家貝葉斯（1701-1763）在概率論研究方面成就顯著，創立了貝葉斯統計理論，對于統計決策函數、統計推斷等做出了重要貢獻．貝葉斯公式就是他的重大發現，它用來描述兩個條件概率之間的關系.該公式為：設，，…，是一組兩兩互斥的事件，，且，，則對任意的事件，，有，. 現有三臺車床加工同一型號的零件，第臺加工的次品率為，每加工一個零件耗時分鐘，第，臺加工的次品率均為，每加工一個零件分別耗時分鐘和分鐘，加工出來的零件混放在一起.已知第，，臺車床加工的零件數分別占總數的，，.
(1)任取一個零件，計算它是次品的概率；
(2)如果取到的零件是次品，計算加工這個零件耗時（分鐘）的分布列和數學期望.
【解析】（1）設“任取一個零件為次品”，“零件為第臺車床加工”()，
則，且兩兩互斥.
根據題意，
.
由全概率公式，得
.
（2）由題意知，則
，
同理得，
所以加工這個零件耗時的分布列為：
35 32 30
（分鐘）.
變式19．（2024·全國·高三專題練習）為提升學生的綜合素養能力，學校積極為學生搭建平臺，組織學生參與各種社團活動.在學校辯論隊活動中，甲同學積極參與.為了更好的了解每個同學的社團參與情況和能力水平，對每位參與辯論隊的同學進行跟蹤記錄.社團老師了解到，甲自加入辯論隊以來參加過100場辯論比賽：甲作為一辯出場20次，其中辯論隊獲勝14次；甲作為二辯出場30次，其中辯論隊獲勝21次；甲作為三辯出場25次，其中辯論隊獲勝20次；甲作為四辯出場25次，其中辯論隊獲勝20次.用該樣本的頻率估計概率，則：
(1)甲參加比賽時，求該辯論隊某場比賽獲勝的概率；
(2)現學校組織6支辯論隊，進行單循環比賽，即任意兩支隊伍均有比賽，規定至少3場獲勝才可晉級.社團老師決定每場比賽均派甲上場，已知甲所在辯論隊順利晉級，記其獲勝的場數為，求的分布列和數學期望.
【解析】（1）設“甲擔任一辯”；“甲擔任二辯”；“甲擔任三辯”；“甲擔任四辯”；“某場比賽中該辯論隊獲勝"；
則 ，，.
由全概率公式可得：
.
所以甲參加比賽時，該辯論隊某場比賽獲勝的概率是0.75.
（2）設“5場中有場獲勝”“甲所在辯論隊順利晉級”，
，
則，
，
同理可得，
，
則的分布列為：
3 4 5
.
變式20．（2024·吉林長春·長春市第二中學校考模擬預測）某興趣小組為研究一種地方性疾病與當地居民的衛生習慣（衛生習慣分為良好和不夠良好兩類）的關系，設A=“患有地方性疾病”，B=“衛生習慣良好”.據臨床統計顯示，，，該地人群中衛生習慣良好的概率為.
(1)求和，并解釋所求結果大小關系的實際意義；
(2)為進一步驗證（1）中的判斷，該興趣小組用分層抽樣的方法在該地抽取了一個容量為的樣本，利用獨立性檢驗，計算得.為提高檢驗結論的可靠性，現將樣本容量調整為原來的倍，使得能有99.9%的把握肯定（1）中的判斷，試確定k的最小值.
參考公式及數據：；；.
【解析】（1）由題設，，，，
所以，則，可得，
所以，而，
所以，則，
和表示患有該地方性疾病與衛生習慣是否良好的關系.
（2） 不夠良好 良好 總計
患有該病
未患該病
總計
，故.
變式21．（2024·江西宜春·高三統考開學考試）為豐富學生的課外活動，學校羽毛球社團舉行羽毛球團體賽，賽制采取5局3勝制，每局都是單打模式，每隊有5名隊員，比賽中每個隊員至多上場一次且上場順序是隨機的，每局比賽結果互不影響，經過小組賽后，最終甲乙兩隊進入最后的決賽，根據前期比賽的數據統計，甲隊明星隊員對乙隊的每名隊員的勝率均為，甲隊其余4名隊員對乙隊每名隊員的勝率均為.（注：比賽結果沒有平局）
(1)求甲隊明星隊員在前四局比賽中不出場的前提下，甲乙兩隊比賽4局，甲隊最終獲勝的概率；
(2)求甲乙兩隊比賽3局，甲隊獲得最終勝利的概率；
(3)若已知甲乙兩隊比賽3局，甲隊獲得最終勝利，求甲隊明星隊員上場的概率.
【解析】（1）事件“甲乙兩隊比賽4局甲隊最終獲勝”，
事件“甲隊第局獲勝”，其中相互獨立.
又甲隊明星隊員前四局不出場，故，
，所以.
（2）設為甲3局獲得最終勝利，為前3局甲隊明星隊員上場比賽，
由全概率公式知，，
因為每名隊員上場順序隨機，故，
，
所以.
（3）由（2），.
40．（2024·湖南長沙·高三長沙一中校考階段練習）新高考數學試卷中有多項選擇題，每道多項選擇題有A，B，C，D這四個選項，四個選項中僅有兩個或三個為正確選項.題目得分規則為：全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.已知測試過程中隨機地從四個選項中作選擇，每個選項是否為正確選項相互獨立.某次多項選擇題專項訓練中，共有道題，正確選項設計如下：第一題正確選項為兩個的概率為，并且規定若第題正確選項為兩個，則第題正確選項為兩個的概率為；若第題正確選項為三個，則第題正確選項為三個的概率為.
(1)求第n題正確選項為兩個的概率；
(2)請根據期望值來判斷：第二題是選一個選項還是選兩個選項，更能獲得較高分.
【解析】（1）設第n題正確選項為兩個的概率為，則，
當時，有，
因此數列是以為首項，為公比的等比數列，
所以，顯然適合，
故.
（2）由（1）可知：，
設選一個選項的得分為，，
，，
因此，
設選二個選項的得分為，，
，
，
所以，
因為，
所以第二題選一個選項更能獲得較高分.
43．（2024·廣東佛山·校聯考模擬預測）某地區舉行數學核心素養測評，要求以學校為單位參賽，最終學校和學校進入決賽．決賽規則如下：現有甲、乙兩個紙箱，甲箱中有4道選擇題和2道填空題，乙箱中有3道選擇題和3道填空題，決賽由兩個環節組成，環節一：要求兩校每位參賽同學在甲或乙兩個紙箱中隨機抽取兩題作答，作答后放回原箱；環節二：由學校和學校分別派出一名代表進行比賽．兩個環節按照相關比賽規則分別累計得分，以累計得分的高低決定名次．
(1)環節一結束后，采用樣本量比例分配的分層隨機抽樣，如果不知道樣本數據，只知道從學校抽取12人，其答對題目的平均數為1，方差為1，從學校抽取8人，其答對題目的平均數為1.5，方差為0.25，求這20人答對題目的均值與方差；
(2)環節二，學校代表先從甲箱中依次抽取了兩道題目，答題結束后將題目一起放入乙箱中，然后學校代表再從乙箱中抽取題目，已知學校代表從乙箱中抽取的第一題是選擇題，求學校代表從甲箱中取出的是兩道選擇題的概率．
【解析】（1）設學校答對題目的樣本數據為，學校答對題目的樣本數據為，
由題意得，由題意得，
所以這20人答對題目的均值為，
由，得，
由，得，
，
，
這20人答對題目的方差為.
（2）記“學校代表從乙箱中抽取的第一道題是選擇題”，
“學校代表先從甲箱中依次抽取了兩道選擇題”，
“學校代表先從甲箱中依次抽取了一道選擇題，一道填空題”，
“學校代表先從甲箱中依次抽取了兩道填空題”，
易知彼此互斥，，
，，，
，，，
，
.
所以學校代表從甲箱中取出的是兩道選擇題的概率為.
【解題方法總結】
若隨機試驗可以看成分兩個階段進行，且第一階段的各試驗結果具體結果怎樣未知，那么：（1）如果要求的是第二階段某一個結果發生的概率，則用全概率公式；（2）如果第二個階段的某一個結果是已知的，要求的是此結果為第一階段某一個結果所引起的概率，一般用貝葉斯公式
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