資源簡介

第91講 離散型隨機變量的分布列與數字特征
知識梳理
知識點一．離散型隨機變量的分布列
1、隨機變量
在隨機試驗中，我們確定了一個對應關系，使得每一個試驗結果都用一個確定的數字表示．在這個對應關系下，數字隨著試驗結果的變化而變化．像這種隨著試驗結果變化而變化的變量稱為隨機變量．隨機變量常用字母，，，，…表示．
注意：
（1）一般地，如果一個試驗滿足下列條件：①試驗可以在相同的情形下重復進行；②試驗的所有可能結果是明確可知的，并且不止一個；③每次試驗總是恰好出現這些可能結果中的一個，但在一次試驗之前不能確定這次試驗會出現哪個結果．這種試驗就是隨機試驗．
（2）有些隨機試驗的結果雖然不具有數量性質，但可以用數來表示．如擲一枚硬幣，表示反面向上，表示正面向上．
（3）隨機變量的線性關系：若是隨機變量，，是常數，則也是隨機變量．
2、離散型隨機變量
對于所有取值可以一一列出來的隨機變量，稱為離散型隨機變量．
注意：
（1）本章研究的離散型隨機變量只取有限個值．
（2）離散型隨機變量與連續型隨機變量的區別與聯系：①如果隨機變量的可能取值是某一區間內的一切值，這樣的變量就叫做連續型隨機變量；②離散型隨機變量與連續型隨機變量都是用變量表示隨機試驗的結果，但離散型隨機變量的結果可以按一定的次序一一列出，而連續型隨機變量的結果不能一一列出．
3、離散型隨機變量的分布列的表示
一般地，若離散型隨機變量可能取的不同值為，取每一個值的概率，以表格的形式表示如下：
我們將上表稱為離散型隨機變量的概率分布列，簡稱為的分布列．有時為了簡單起見，也用等式，表示的分布列．
4、離散型隨機變量的分布列的性質
根據概率的性質，離散型隨機變量的分布列具有如下性質：
（1），；（2）．
注意：
①性質（2）可以用來檢查所寫出的分布列是否有誤，也可以用來求分布列中的某些參數．
②隨機變量所取的值分別對應的事件是兩兩互斥的，利用這一點可以求相關事件的概率．
知識點二．離散型隨機變量的均值與方差
1、均值
若離散型隨機變量的分布列為
稱為隨機變量的均值或數學期望，它反映了離散型隨機變量取值的平均水平．
注意：（1）均值刻畫的是取值的“中心位置”，這是隨機變量的一個重要特征；
（2）根據均值的定義，可知隨機變量的分布完全確定了它的均值．但反過來，兩個不同的分布可以有相同的均值．這表明分布描述了隨機現象的規律，從而也決定了隨機變量的均值．而均值只是刻畫了隨機變量取值的“中心位置”這一重要特征，并不能完全決定隨機變量的性質．
2、均值的性質
（1）（為常數）．
（2）若，其中為常數，則也是隨機變量，且．
（3）．
（4）如果相互獨立，則．
3、方差
若離散型隨機變量的分布列為
則稱為隨機變量的方差，并稱其算術平方根為隨機變量的標準差．
注意：（1）描述了相對于均值的偏離程度，而是上述偏離程度的加權平均，刻畫了隨機變量與其均值的平均偏離程度．隨機變量的方差和標準差均反映了隨機變量取值偏離于均值的平均程度．方差或標準差越小，則隨機變量偏離于均值的平均程度越??；
（2）標準差與隨機變量有相同的單位，而方差的單位是隨機變量單位的平方．
4、方差的性質
（1）若，其中為常數，則也是隨機變量，且．
（2）方差公式的變形：．
必考題型全歸納
題型一：離散型隨機變量
例1．（2024·高二課時練習）下列敘述中，是離散型隨機變量的為（　?。?br/>A．將一枚質地均勻的硬幣擲五次，出現正面和反面向上的次數之和
B．某人早晨在車站等出租車的時間
C．連續不斷地射擊，首次命中目標所需要的次數
D．袋中有個黑球個紅球，任取個，取得一個紅球的可能性
【答案】C
【解析】對于A，擲硬幣只有正面向上和反面向上兩種結果，則擲五次，出現正面和反面向上的次數之和為，是常量，A錯誤；
對于B，等出租車的事件是隨機變量，但無法一一列出，不是離散型隨機變量，B錯誤；
對于C，連續不斷地射擊，首次命中目標所需要的次數是有限個或可列舉的無限多個，是離散型隨機變量，C正確；
對于D，事件發生的可能性不是隨機變量，D錯誤.
故選：C.
例2．（2024·全國·高三專題練習）袋中有大小相同質地均勻的5個白球、3個黑球，從中任取2個，則可以作為隨機變量的是（ ）
A．至少取到1個白球 B．取到白球的個數
C．至多取到1個白球 D．取到的球的個數
【答案】B
【解析】根據離散型隨機變量的定義，能夠一一列出的只能是B選項，
其中A、C選項是事件，D選項取到球的個數是個，ACD錯誤；
故選：B.
例3．（2024·全國·高三專題練習）下面是離散型隨機變量的是（ ）
A．電燈泡的使用壽命
B．小明射擊1次，擊中目標的環數
C．測量一批電阻兩端的電壓，在10V~20V之間的電壓值
D．一個在軸上隨機運動的質點，它在軸上的位置
【答案】B
【解析】對于A，電燈泡的使用壽命是變量，但無法將其取值一一列舉出來，故A不符題意；
對于B，小明射擊1次，擊中目標的環數是變量，且其取值為，故X為離散型隨機變量，故B符合題意；
對于C，測量一批電阻兩端的電壓，在10V~20V之間的電壓值是變量，但無法一一列舉出X的所有取值，故X不是離散型隨機變量，故C不符題意；
對于D，一個在軸上隨機運動的質點，它在軸上的位置是變量，但無法一一列舉出其所有取值，故X不是離散型隨機變量，故D不符題意.
故選：B.
變式1．（2024·全國·高三專題練習）甲、乙兩人下象棋，贏了得3分，平局得1分，輸了得0分，共下三局．用表示甲的得分，則表示（ ）
A．甲贏三局
B．甲贏一局輸兩局
C．甲、乙平局三次
D．甲贏一局輸兩局或甲、乙平局三次
【答案】D
【解析】甲、乙兩人下象棋，贏了得3分，平局得1分，輸了得0分，
所以有兩種情況，即甲贏一局輸兩局或甲、乙平局三次．
故選：D．
變式2．（2024·全國·高三專題練習）對一批產品逐個進行檢測,第一次檢測到次品前已檢測的產品個數為ξ,則ξ=k表示的試驗結果為(　　)
A．第k-1次檢測到正品,而第k次檢測到次品
B．第k次檢測到正品,而第k+1次檢測到次品
C．前k-1次檢測到正品,而第k次檢測到次品
D．前k次檢測到正品,而第k+1次檢測到次品
【答案】D
【解析】由題意表示第一次檢測到次品前已檢測的產品個數為，因此前次檢測到的都是正品，第次檢測的是一件次品.
故選D.
變式3．（2024·浙江·高三專題練習）袋中有大小相同的紅球6個，白球5個，從袋中每次任意取出一個球，直到取出的球是白色為止，所需要的取球次數為隨機變量X，則X的可能取值為(　　)
A．1,2，…，6 B．1,2，…，7 C．1,2，…，11 D．1,2,3…
【答案】B
【解析】從袋中每次任意取出一個球，直到取出的球是白色為止，所需要的取球次數為隨機變量X，則有可能第一次取出球，也有可能取完6個紅球后才取出白球.
題型二：求離散型隨機變量的分布列
例4．（2024·全國·高三對口高考）數字1，2，3，4任意排成一列，如果數字k恰好出現在第k個位置上，則稱有一個“巧合”，求“巧合”個數的分布列 ．
【答案】
0 1 2 4
P
【解析】的可能取值是0、1、2、4，
，，
，.
的分布列為：
0 1 2 4
P
故答案為：
0 1 2 4
P
例5．（2024·全國·高三對口高考）假如一段樓梯有11個臺階，現規定每步只能跨1個或2個臺階，則某人走完這段樓梯的單階步數的分布列是 ．
【答案】
1 3 5 7 9 11
P
【解析】據題意，的可能取值為1，3，5，7，9，11，
＝1時，還需走5個兩階，共六步走完，所以共有種不同的走法；
同理，＝3時，有種；＝5時，有種；＝7時，有種；
＝9時，有種；＝11時，有1種，
所以，走完這段樓梯共有6＋35＋56＋36＋10＋1＝144種不同的走法．
，，，
，，，
的分布列如下：
1 3 5 7 9 11
P
故答案為：
1 3 5 7 9 11
P
例6．（2024·全國·高三對口高考）一個均勻小正方體的六個面中，三個面上標以數0，兩個面上標以數1，一個面上標以數2，將這個小正方體拋擲2次，則向上的數之積的分布列是 ．
【答案】
0 1 2 4
P
【解析】將這個小正方體拋擲1次，則向上的數為0的概率為；向上的數為1的概率為；向上的數為2的概率為．
將這個小正方體拋擲2次，向上的數之積可能為，
，，
，，
則的分布列是
0 1 2 4
P
故答案為：
0 1 2 4
P
變式4．（2024·全國·高三對口高考）甲、乙、丙三人按下面的規則進行乒乓球比賽：第一局由甲、乙參加而丙輪空，以后每一局由前一局的獲勝者與輪空者進行比賽，而前一局的失敗者輪空．比賽按這種規則一直進行到其中一人連勝兩局或打滿6局時停止．設在每局中參賽者勝負的概率均為，且各局勝負相互獨立．則比賽停止時已打局數的分布列是 ．
【答案】
2 3 4 5 6
P
【解析】分別記為甲、乙、丙在第局獲勝，則.
由已知，可取.
表示事件“甲連勝兩局”或“乙連勝兩局”，
所以.
表示事件“甲勝丙勝丙勝”或“乙勝丙勝丙勝”，
所以.
表示事件“甲勝丙勝乙勝乙勝”或“乙勝丙勝甲勝甲勝”，
所以.
表示事件“甲勝丙勝乙勝甲勝甲勝”或“乙勝丙勝甲勝乙勝乙勝”，
所以.
表示事件“甲勝丙勝乙勝甲勝丙勝丙勝”或“乙勝丙勝甲勝乙勝丙勝丙勝”或“甲勝丙勝乙勝甲勝丙勝乙勝”或“乙勝丙勝甲勝乙勝丙勝甲勝”，
所以.
所以，的分布列是
2 3 4 5 6
P
.
故答案為：
2 3 4 5 6
P
.
變式5．（2024·全國·高考真題）從裝有3個紅球，2個白球的袋中隨機取出2個球，設其中有個紅球，則隨機變量的概率分布為： ．
0 1 2
【答案】見解析
【解析】根據題意由等可能事件的概率計算公式可知：
，
故答案為：
0 1 2
變式6．（2024·全國·高三專題練習）設隨機變量的分布為，則 ．
【答案】/0.4/
【解析】由題意知，的分布為，
所以，解得，
所以，
故答案為：．
變式7．（2024·全國·高三專題練習）將3個小球任意地放入4個大玻璃杯中，一個杯子中球的最多個數記為X，則X的分布列是 .
【答案】
X 1 2 3
P
【解析】由題意知X的可能取值為1，2，3
； ；
故答案為：
X 1 2 3
P
變式8．（2024·全國·高三專題練習）設ξ為隨機變量，從棱長為1的正方體的12條棱中任取兩條，當兩條棱相交時，ξ＝0；當兩條棱平行時，ξ的值為兩條棱之間的距離；當兩條棱異面時，ξ＝1，則隨機變量ξ的分布列為 ．
【答案】
ξ 0 1
P
【解析】正方體的12條棱中任取兩條共有種情況，若兩條棱相交，則交點必在正方體的頂點處，過任意一個頂點的棱有3條，共有對相交棱，若兩條棱平行，則它們的距離為1或，而距離為的共有6對，ξ的可能取值為0，1，，分別求出其概率即可.ξ的可能取值為0，1，.
若兩條棱相交，則交點必在正方體的頂點處，過任意一個頂點的棱有3條，所以
P(ξ＝0)＝＝，
若兩條棱平行，則它們的距離為1或，而距離為的共有6對，
則P(ξ＝)＝＝，
P(ξ＝1)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝)＝1－－＝，
所以隨機變量ξ的分布列為：
ξ 0 1
P
故答案為：
ξ 0 1
P
【解題方法總結】
求解離散型隨機變量分布列的步驟：
（1）審題
（2）計算
計算隨機變量取每一個值的概率
（3）列表
列出分布列，并檢驗概率之和是否為.
（4）求解
根據均值、方差公式求解其值.
題型三：離散型隨機變量的分布列的性質
例7．（2024·江西吉安·高三江西省泰和中學校考階段練習）已知隨機變量X服從兩點分布，且，，那么 .
【答案】
【解析】由題意可知，解得.
故答案為：.
例8．（2024·全國·高三專題練習）設隨機變量的分布列如下：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
給出下列四個結論：
①當為等差數列時，；
②當為等差數列時，公差；
③當數列滿足時，；
④當數列滿足時，時，.
其中所有正確結論的序號是 .
【答案】①③④
【解析】由題意可得：，且,，，2，，10，
對①：當為等差數列時，則，
可得，故，①正確；
對②：當為等差數列時,由①知，所以，
由于,，所以，解得：，故②錯誤；
對③：當數列滿足，2，時，滿足，，，2，，10，
則，
可得,，③正確；
對④：當數列滿足，2，時，則，
可得，,3，時,所以，
由于，所以，
因此，
由于，所以，因此，
當也符合，故，④正確．
故答案為：①③④
例9．（2024·全國·高三對口高考）某一隨機變量的概率分布如下表，且，則的值為 ．
0 1 2 3
P 0.2 m n 0.3
【答案】0.3/
【解析】由已知得：，
解得，故．
故答案為：0.3．
變式9．（2024·河南·校聯考模擬預測）已知隨機變量X的所有可能取值為1，2，3，其分布列為
1 2 3
若，則 .
【答案】
【解析】因為,①
且,②，
所以①②可得，，
故答案為：.
變式10．（2024·全國·高三專題練習）設隨機變量的概率分布列為
0 1
則常數 ．
【答案】
【解析】由題意得且
所以，
解得．
故答案為：
變式11．（2024·全國·高三專題練習）設隨機變量的分布列，則 .
【答案】
【解析】因為，可得，解得，
因此.
故答案為：.
變式12．（2024·上?！そy考模擬預測）隨機變量的分布列如下列表格所示，其中為的數學期望，則 .
1 2 3 4 5
0.1 0.2 0.3 0.1
【答案】0
【解析】根據概率的性質可得解得，
所以，
所以.
故答案為:0.
變式13．（2024·廣東汕頭·高三統考開學考試）已知等差數列的公差為，隨機變量滿足，則的取值范圍為 .
【答案】
【解析】由題意可知，可得，
由可得，解得，
綜合可得，的取值范圍為.
故答案為：
變式14．（2024·全國·高三專題練習）已知離散型隨機變量X的分布列為
X 0 2 a
P 0.2 0.4 b
若，則正整數a＝ ．
【答案】1
【解析】0.2＋0.4＋b＝1，得，所以，則，
正整數a＝1；
故答案為：1.
【解題方法總結】
離散型隨機變量的分布列性質的應用
（1）利用“總概率之和為”可以求相關參數的取值范圍或值；
（2）利用“隨機變量在某一范圍內的概率等于它取這個范圍內各個值的概率之和”求特定事件的概率；
（3）可以根據性質及，判斷所求的分布列是否正確．
題型四：離散型隨機變量的均值
例10．（2024·貴州黔東南·高三校考階段練習）2022年10月16日至22日中共二十大在北京召開，二十大報告指出，必須堅持科技是第一生產力，人才是第一資源，創新是第一動力，這其實是我黨的一貫政策．某材料學博士畢業時恰逢國家大力倡導“開辟發展新領域新賽道，不斷塑造發展新動能新優勢”，于是同一幫志同道合的博士同學，在老家創辦新材料公司，專注于二氧化硅、碳纖維增強陶瓷基、樹脂基三大類復合材料的研發與生產，預計到今年年底這三大類復合材料盈利100萬元的概率分別為0.8，0.5，0.4，若三大類復合材料到今年年底是否盈利100萬元相互獨立，記三大類復合材料有X類到今年年底盈利100萬元，則的數學期望 ．
【答案】
【解析】記三大類復合材料有X類到今年年底盈利100萬元，則，
，
，
，
，
則的分布列為：
故答案為：1.7
例11．（2024·上海寶山·高三上海交大附中?？茧A段練習）一個袋中裝有5個球，編號為1，2，3，4，5，從中任取3個，用X表示取出的3個球中最大編號，則 ．
【答案】4.5
【解析】從中任取3個球，共有，，，，，，，，，10中情況，
所以可能取值為，
，，，
所以.
故答案為：.
例12．（2024·全國·高三專題練習）現要發行10000張彩票，其中中獎金額為2元的彩票1000張，10元的彩票300張，50元的彩票100張，100元的彩票50張，1000元的彩票5張.1張彩票中獎金額的均值是 元.
【答案】2
【解析】設每張彩票的中獎金額為隨機變量，則.
由題意可知，，，，，，
所以.
所以，的分布列為
0 2 10 50 100 1000
0.8545 0.1 0.03 0.01 0.005 0.0005
所以，.
故答案為：2.
變式15．（2024·上海普陀·曹楊二中?？寄M預測）一個盒子里有1個紅球和2個綠球，每次拿一個，不放回，拿出紅球即停，設拿出綠球的個數為，則 .
【答案】
【解析】由題意，隨機變量的所有可能取值為，
則；；，
所以期望為.
故答案為：.
變式16．（2024·寧夏石嘴山·高三平羅中學校考階段練習）某同學在上學的路上要經過3個十字路口，在每個路口是否遇到紅燈相互獨立，設該同學在三個路口遇到紅燈的概率分別為，，.
(1)求該同學在上學路上恰好遇到一個紅燈的概率；
(2)若該同學在上學路上每遇到1個紅燈，到校打卡時間就會比規定打卡時間晚48秒，記該同學某天到校打卡時間比規定時間晚秒，求X的分布列和數學期望.
【解析】（1）記A={該同學在上學路上恰好遇到一個紅燈},
.
（2）的可能取值為，
,
,
,
X的分布列為：
X 0 48 96 144
P
.
變式17．（2024·陜西商洛·高三陜西省山陽中學校聯考階段練習）小李參加某項專業資格考試，一共要考3個科目，若3個科目都合格，則考試直接過關；若都不合格，則考試不過關；若有1個或2相科目合格，則所有不合格的科目需要進行一次補考，補考都合格的考試過關，否則不過關．已知小李每個科目每次考試合格的概率均為p（），且每個科目每次考試的結果互不影響．
(1)記“小李恰有1個科目需要補考”的概率為，求的最大值點．
(2)以（1）中確定的作為p的值．
（?。┣笮±钸@項資格考試過關的概率；
（ⅱ）若每個科目每次考試要繳納20元的費用，將小李需要繳納的費用記為X元，求．
【解析】（1）由題意知，，
則，
當時，，
當時，，
所以函數在單調遞增，單調遞減，
所以當時，取最大值，即．
（2）（ⅰ）小李第一次考試3個科目都合格的概率為，
小李第一次考試有2個科目合格，補考1個科目且合格的概率為，
小李第一次考試有1個科目合格，補考2個科目且均合格的概率為，
所以小李這項資格考試過關的概率為．
（ⅱ）X的所有可能取值為60，80，100，
則，，
，
故．
變式18．（2024·河南開封·高三通許縣第一高級中學?？茧A段練習）有一種雙人游戲，游戲規則如下：一個袋子中有大小和質地相同的5個小球，其中有3個白色小球，2個紅色小球，每次游戲雙方從袋中輪流摸出1個小球，摸后不放回，摸到第2個紅球的人獲勝，同時結束該次游戲，并把摸出的球重新放回袋中，準備下一次游戲，且本次游戲中輸掉的人在下一次游戲中先摸球．小胡和小張準備玩這種游戲，約定玩3次，第一次游戲由小胡先摸球．
(1)在第一次游戲中，求在小胡第一輪摸到白球的情況下，小胡獲勝的概率；
(2)記3次游戲中小胡獲勝的次數為X，求X的分布列和數學期望．
【解析】（1）記小胡“第一輪摸到白球”為事件A，“小胡獲勝”為事件B，
則，，
故；
（2）記一次游戲中“先摸球者獲勝”為事件C，
則，
則X的可能取值為，
則，，
,
，
故X的分布列為：
X 0 1 2 3
P
故.
變式19．（2024·河北保定·統考二模）某學校為了提高學生的運動興趣，增強學生身體素質，該校每年都要進行各年級之間的球類大賽，其中乒乓球大賽在每年“五一”之后舉行，乒乓球大賽的比賽規則如下：高中三個年級之間進行單循環比賽，每個年級各派5名同學按順序比賽（賽前已確定好每場的對陣同學），比賽時一個年級領先另一個年級兩場就算勝利（即每兩個年級的比賽不一定打滿5場），若兩個年級之間打成則第5場比賽定勝負．已知高三每位隊員戰勝高二相應對手的可能性均為，高三每位隊員戰勝高一相應對手的可能性均為，高二每位隊員戰勝高一相應對手的可能性均為，且隊員、年級之間的勝負相互獨立．
(1)求高二年級與高一年級比賽時，高二年級與高一年級在前兩場打平的條件下，最終戰勝高一年級的概率．
(2)若獲勝年級積3分，被打敗年級積0分，求高三年級獲得積分的分布列和期望．
【解析】（1）設高二年級與高一年級在前兩場打平的條件下，最終戰勝高高一年級的事件為，
則
（2）根據題意得高三年級獲得積分的的取值可為0，3，6
的分布列為
0 3 6
變式20．（2024·福建龍巖·統考二模）為了豐富孩子們的校園生活，某校團委牽頭，發起體育運動和文化項目比賽，經過角逐，甲、乙兩人進入最后的決賽．決賽先進行兩天，每天實行三局兩勝制，即先贏兩局的人獲得該天勝利，此時該天比賽結束．若甲、乙兩人中的一方能連續兩天勝利，則其為最終冠軍；若前兩天甲、乙兩人各贏一天，則第三天只進行一局附加賽，該附加賽的獲勝方為最終冠軍設每局比賽甲獲勝的概率為，每局比賽的結果沒有平局且結果互相獨立．
(1)記第一天需要進行的比賽局數為X，求X的分布列及；
(2)記一共進行的比賽局數為Y，求．
【解析】（1）可能取值為2，3．
所以的分布列如下：
2 3
∴．
（2）前兩天中每一天甲以2：0獲勝的的概率均為；
乙以2：0獲勝的的概率均為
甲以2：1獲勝的的概率均為
乙以2：1獲勝的的概率均為
∴
即獲勝方前兩天比分為和，或者和再加附加賽
甲獲勝的概率為，
乙獲勝的概率為
∴
∴．
題型五：離散型隨機變量的方差
例13．（2024·吉林長春·高三長春外國語學校?？奸_學考試）設隨機變量的分布列如下：其中成等差數列，若，則方差 .
-1 0 1
【答案】
【解析】成等差數列，,由變量的分布列，
知：，解得，
.
故答案為：
例14．（2024·全國·高三專題練習）離散型隨機變量X的分布為：
0 1 2 4 5
若離散型隨機變量Y滿足，則下列結果正確的為 ．
①；②；③；④．
【答案】①③
【解析】由離散型隨機變量X的分布列的性質，可得，
則，
，
所以①③正確；
又由離散型隨機變量Y滿足，所以，
，所以②④錯誤，
故答案為：①③．
例15．（2024·全國·高三專題練習）甲、乙兩種零件某次性能測評的分值，的分布如下，則性能更穩定的零件是 ．
8 9 10
P 0.3 0.2 0.5
8 9 10
P 0.2 0.4 0.4
【答案】乙
【解析】由題意知：，
，
所以，
，
因為，所以乙更穩定．
故答案為:乙．
變式21．（2024·全國·高三專題練習）已知離散型隨機變量的分布如下表：
0 2
P a b
若隨機變量的期望值，則 ．
【答案】11
【解析】由表中數據得：，解得，
又，，
所以，
所以．
故答案為：11．
變式22．（2024·全國·高三對口高考）隨機變量的分布列如下表：
n n＋1 n＋2
P a b c
其中a，b，c成等差數列，則的最大值為 .
【答案】
【解析】依題意，，，
所以，，
所以，
所以
，
所以當時，有最大值.
故答案為：．
變式23．（2024·全國·高三對口高考）隨機變量X的分布列如表所示，若，則 .
X －1 0 1
P a b
【答案】5
【解析】依題意可得，解得，
所以，
所以.
故答案為：5.
變式24．（2024·北京西城·高三北京市第三十五中學?？奸_學考試）為了解某中學高一年級學生身體素質情況，對高一年級的(1)班(8)班進行了抽測，采取如下方式抽樣：每班隨機各抽10名學生進行身體素質監測.經統計，每班10名學生中身體素質監測成績達到優秀的人數散點圖如下（軸表示對應的班號，軸表示對應的優秀人數）：

(1)若用散點圖預測高一年級學生身體素質情況，從高一年級學生中任意抽測1人，求該生身體素質監測成績達到優秀的概率；
(2)若從以上統計的高一（2）班和高一（4）班的學生中各抽出1人，設表示2人中身體素質監測成績達到優秀的人數，求的分布列及其數學期望；
(3)假設每個班學生身體素質優秀的概率與該班隨機抽到的10名學生的身體素質優秀率相等.現在從每班中分別隨機抽取1名同學，用“”表示第班抽到的這名同學身體素質優秀，“”表示第班抽到的這名同學身體素質不是優秀（）．寫出方差的大小關系（不必寫出證明過程）．
【解析】（1）從高一年級（1）班~（8）班學生中抽測了80人，
其中身體素質檢測成績優秀的人數有人，所以，優秀的概率是
因為是隨機抽樣，所以用樣本估計總體，可知從高一年級學生中任意抽測一人，
該生身體素質檢測成績達到優秀的概率是
（2）因為高一（2）班抽出的10名同學中，身體素質監測成績達到優秀的人數有6人，不優秀的有4人，
因為高一（4）班抽出的10名同學中，身體素質監測成績達到優秀的人數有4人，不優秀的有6人，
所以從中抽出2人，的可能取值為
，，，
所以的分布列為
數學期望
（3），
理由：由于
且服從二點分布，所以，
由于在單調遞減，
所以.
變式25．（2024·遼寧沈陽·高三遼寧實驗中學校考階段練習）甲乙兩人進行一場乒乓球比賽.已知每局甲勝的概率為0.6，乙勝的概率為0.4，甲乙約定比賽采取“3局2勝制”.
(1)求這場比賽甲獲勝的概率；
(2)這場比賽甲所勝局數的數學期望（保留兩位有效數字）；
(3)根據（2）的結論，計算這場比賽甲所勝局數的方差.
【解析】（1）甲勝利的情況有：勝勝；敗勝勝；勝敗勝.
甲勝概率為：.
則甲勝利的概率為.
（2）設甲所勝的局數為，.
，，
，
則分布列為：
0 1 2
0.16 0.192 0.648
所以.
（3）.
變式26．（2024·浙江·高三專題練習）已知隨機變量X的分布列為
X 0 1 x
P p
若，
(1)求的值;
(2)若，求的值.
【解析】（1）由題意可得：，解得，
所以.
（2）因為，則，
所以.
變式27．（2024·重慶沙坪壩·高三重慶一中校考階段練習）巴蜀中學進行90周年校慶知識競賽，參賽的同學需要從10道題中隨機地抽取4道來回答，競賽規則規定：每題回答正確得10分，回答不正確得分.
(1)已知甲同學每題回答正確的概率均為0.8，且各題回答正確與否相互之間沒有影響，記甲的總得分為，求的期望和方差；
(2)已知乙同學能正確回答10道題中的6道，記乙的總得分為，求的分布列.
【解析】（1）設甲答對題目的數目為，則，所以，
所以；
.
（2）設乙答對題目的數目為，則服從參數為，，的超幾何分布，
且，
所以，，
，，
，
所以的概率分布為
0 20 40
變式28．（2024·河南·襄城高中校聯考三模）小王去自動取款機取款，發現自己忘記了6位密碼的最后一位數字，他決定從0~9中不重復地隨機選擇1個進行嘗試，直到輸對密碼，或者輸錯三次銀行卡被鎖定為止．
(1)求小王的該銀行卡被鎖定的概率；
(2)設小王嘗試輸入該銀行卡密碼的次數為X，求X的分布列、數學期望及方差．
【解析】（1）設“小王的該銀行卡被鎖定”為事件A，
則．
（2）由題意，X的所有可能取值為1，2，3，
則，，，
所以X的分布列為
X 1 2 3
P
所以數學期望，
方差．
變式29．（2024·福建寧德·高三福建省寧德第一中學?？茧A段練習）甲、乙兩個學校進行體育比賽，比賽共設三個項目，每個項目勝方得10分，負方得0分，沒有平局.三個項目比賽結束后，總得分高的學校獲得冠軍，已知甲學校在三個項目中獲勝的概率分別為0.5，0.4，0.8，各項目的比賽結果相互獨立.
(1)求甲學校獲得冠軍的概率；
(2)用表示乙學校的總得分，求的分布列與期望.
(3)設用表示甲學校的總得分，比較和的大?。ㄖ苯訉懗鼋Y果）.
【解析】（1）甲學校在三個項目中獲勝的概率分別為0.5，0.4，0.8，可以得到兩個學校每場比賽獲勝的概率如下表：
第一場比賽 第二場比賽 第三場比賽
甲學校獲勝概率 0.5 0.4 0.8
乙學校獲勝概率 0.5 0.6 0.2
甲學校要獲得冠軍，需要在3場比賽中至少獲勝2場，
①甲學校3場全勝，概率為：，
②甲學校3場獲勝2場敗1場，概率為：，
所以甲學校獲得冠軍的概率為：；
（2）乙學校的總得分的可能取值為：0，10，20，30，其概率分別為：
，
，
，
，
則的分布列為：
0 10 20 30
0.16 0.44 0.34 0.06
的期望；
（3）甲學校的總得分的可能取值為：0，10，20，30，其概率分別為：
，
，
，
，
則的分布列為：
0 10 20 30
0.06 0.34 0.44 0.16
的期望；
故，
由（2）可得，
故.
變式30．（2024·全國·高三專題練習）概率論中有很多經典的不等式，其中最著名的兩個當屬由兩位俄國數學家馬爾科夫和切比雪夫分別提出的馬爾科夫（Markov）不等式和切比雪夫（Chebyshev）不等式．馬爾科夫不等式的形式如下：
設為一個非負隨機變量，其數學期望為，則對任意，均有，
馬爾科夫不等式給出了隨機變量取值不小于某正數的概率上界，闡釋了隨機變量尾部取值概率與其數學期望間的關系．當為非負離散型隨機變量時，馬爾科夫不等式的證明如下：
設的分布列為其中，則對任意，，其中符號表示對所有滿足的指標所對應的求和．
切比雪夫不等式的形式如下：
設隨機變量的期望為，方差為，則對任意，均有
(1)根據以上參考資料，證明切比雪夫不等式對離散型隨機變量成立．
(2)某藥企研制出一種新藥，宣稱對治療某種疾病的有效率為．現隨機選擇了100名患者，經過使用該藥治療后，治愈的人數為60人，請結合切比雪夫不等式通過計算說明藥廠的宣傳內容是否真實可信．
【解析】（1）法一：對非負離散型隨機變量及正數使用馬爾科夫不等式，
有．
法二：設的分布列為
其中，記，則對任意，
.
（2）設在100名患者中治愈的人數為．假設藥企關于此新藥有效率的宣傳內容是客觀真實的，
那么在此假設下，．
由切比雪夫不等式，有．
即在假設下，100名患者中治愈人數不超過60人的概率不超過0.04，此概率很小，
據此我們有理由推斷藥廠的宣傳內容不可信．
【解題方法總結】
均值與方差性質的應用若是隨機變量，則一般仍是隨機變量，在求的期望和方差時，熟練應用期望和方差的性質，可以避免再求的分布列帶來的繁瑣運算．
題型六：決策問題
例16．（2024·河北·統考模擬預測）為切實做好新冠疫情防控工作，有效、及時地控制和消除新冠肺炎的危害，增加學生對新冠肺炎預防知識的了解，某校舉辦了一次“新冠疫情”知識競賽.競賽分個人賽和團體賽兩種.個人賽參賽方式為：組委會采取電腦出題的方式，從題庫中隨機出10道題，編號為，，，，，，電腦依次出題，參賽選手按規則作答，每答對一道題得10分，答錯得0分.團體賽以班級為單位，各班參賽人數必須為3的倍數，且不少于18人，團體賽分預賽和決賽兩個階段，其中預賽階段各班可從以下兩種參賽方案中任選一種參賽：
方案一：將班級選派的名參賽選手每3人一組，分成組，電腦隨機分配給同一組的3名選手一道相同的試題，3人均獨立答題，若這3人中至少有2人回答正確，則該小組順利出線；若這個小組都順利出線，則該班級晉級決賽.
方案二：將班級選派的名參賽選手每人一組，分成3組，電腦隨機分配給同一組的名選手一道相同的試題，每人均獨立答題，若這個人都回答正確，則該小組順利出線；若這3個小組中至少有2個小組順利出線，則該班級晉級決賽.
(1)郭靖同學參加了個人賽，已知郭靖同學答對題庫中每道題的概率均為，每次作答結果相互獨立，且他不會主動放棄任何一次作答機會，求郭靖同學得分的數學期望與方差；
(2)在團體賽預賽中，假設A班每位參賽選手答對試題的概率均為常數，A班為使晉級團體賽決賽的可能性更大，應選擇哪種參賽方式？請說明理由.
【解析】（1）設郭靖同學答對的題目數為X，得分為Y，則，
由題意可知,
則;
.
（2）設A班選擇方案一和方案二晉級團體賽決賽的概率分別為，
當選擇方案一時，小組里3人中至少有2人回答正確的概率為，
故；
當選擇方案二時，一個小組順利出線的概率為，則小組沒有出線的概率為，
故；
故，
令，
則
，
因為，所以，
故，
則，即，
故為單調增函數，
因為，
由于各班參賽人數必須為3的倍數，且不少于18人，即，
此時
故A班為使晉級團體賽決賽的可能性更大，應選擇方案一參賽.
例17．（2024·云南曲靖·高三校聯考階段練習）從2024年起，云南省高考數學試卷中增加了多項選擇題（第9-12題是四道多選題，每題有四個選項，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分）.在某次模擬考試中，每道多項選題的正確答案是兩個選項的概率為，正確答案是三個選項的概率為（其中）.現甲乙兩名學生獨立解題.
(2)對于第12題，甲同學只能正確地判斷出其中的一個選項是符合題意的，乙同學只能正確地判斷出其中的一個選項是不符合題意的，作答時，應選擇幾個選項才有希望得到更理想的成績，請你幫助甲或者乙做出決策（只需選擇幫助一人做出決策即可）.
【解析】（1）由題意知：甲比乙多得13分的情況包含：
：甲四道全對；乙一道全對，一道部分選對，兩道選錯，即甲得20分，乙得7分.
：甲三道全對，一道部分選對；乙兩道部分選對，兩道選錯，即甲得17分，乙得4分.
：甲三道全對，一道選錯；乙一道部分選對，三道選錯，即甲得15分，乙得2分.
.
.
.
.
（2）若為甲出方案.
則甲可能的選項個數為：1，2，3.
記表示選1個選項的得分，則期望為.
記表示選2個選項的得分，則得分可能為0，2，5，
，
，
此時期望為.
記表示選3個選項的得分，則得分可能為0，5
，
，
此時期望為.
∵，.
∴甲應選擇1個選項才有希望得到更理想的成績.
若為乙出方案.
則乙可能的選項個數為：1，2，3.
記表示選1個選項的得分，類比甲的情況，則
記表示選2個選項的得分，則得分可能為0，2，5，
此時.
記表示選3個選項的得分，則得分可能為0，5，此時.
∵.
∴當時，乙應選擇2個選項才有希望得到更理想的成績.
當時，乙應選擇3個選項才有希望得到更理想的成績，
當時，乙應選擇2或3個選項都有希望得到更理想的成績.
例18．（2024·河南·校聯考模擬預測）某水果店的草莓每盒進價20元，售價30元，草莓保鮮度為兩天，若兩天之內未售出，以每盒10元的價格全部處理完.店長為了決策每兩天的進貨量，統計了本店過去40天草莓的日銷售量（單位：十盒），獲得如下數據：
日銷售量/十盒 7 8 9 10
天數 8 12 16 4
假設草莓每日銷量相互獨立，且銷售量的分布規律保持不變，將頻率視為概率.
(1)記每兩天中銷售草莓的總盒數為X（單位：十盒），求X的分布列和數學期望；
(2)以兩天內銷售草莓獲得利潤較大為決策依據，在每兩天進16十盒，17十盒兩種方案中應選擇哪種？
【解析】（1）日銷售量為7盒、8盒、9盒、10盒的概率依次為：，
根據題意可得：的所有可能取值為14，15，16，17，18，19，20，
，，
，，
，，
，
所以的分布列為：
14 15 16 17 18 19 20
所以；
（2）當每兩天進16十盒時，利潤為，
當每兩天進17十盒時，利潤為，
，所以每兩天進17十盒利潤較大，故應該選擇每兩天進17十盒．
變式31．（2024·江西上饒·校聯考模擬預測）甲乙兩家公司要進行公開招聘，招聘分為筆試和面試，通過筆試后才能進入面試環節．已知甲、乙兩家公司的筆試環節都設有三門考試科目且每門科目是否通過相互獨立，若小明報考甲公司，每門科目通過的概率均為；報考乙公司，每門科目通過的概率依次為，，其中．
(1)若，分別求出小明報考甲、乙兩公司在筆試環節恰好通過一門科目的概率；
(2)招聘規則要求每人只能報考一家公司，若以筆試過程中通過科目數的數學期望為依據作決策，當小明更希望通過乙公司的筆試時，求的取值范圍．
【解析】（1）設小明報考甲公司恰好通過一門筆試科目為事件A，
小明報考乙公司恰好通過一門筆試科目為事件，
根據題意可得，
.
（2）設小明報考甲公司通過的科目數為X，報考乙公司通過的科目數為，
根據題意可知，，則，
，
，
，
，
則隨機變量的分布列為
Y 0 1 2 3
P
，
若，則，
故，即的取值范圍是
變式32．（2024·廣西·校聯考模擬預測）某公司計劃購買2臺機器，該種機器使用三年后即被淘汰，機器有一易損零件，在購進機器時，可以額外購買這種零件作為備件，每個200元，在機器使用期間，如果備件不足再購買，則每個500元，現需決策在購買機器時應同時購買幾個易損零件，為此搜集并整理了100臺這種機器在三年使用期內更換的易損零件數，得到其頻數分布圖（如圖所示）．若將這100臺機器在三年內更換的易損零件數的頻率視為1臺機器在三年內更換的易損零件數發生的概率，記表示2臺機器三年內共需更換的易損零件數，表示購買2臺機器的同時購買的易損零件數．
(1)求的分布；
(2)以購買易損零件所需費用的期望值為決策依據，在與18之中選其一，應選用哪個？并說明理由．
【解析】（1）由柱狀圖并以頻率代替概率可得，一臺機器在三年內需更換的易損零件數為8，9，10的概率分別為0.3，0.4，0.3，
則，，
，，
，
所以隨機變量的分布列為
16 17 18 19 20
0.09 0.24 0.34 0.24 0.09
（2）記表示2臺機器在購買易損零件上所需的費用（單位：元），
當時，可得
當時，可得
因為，所以當時所需費用的期望值小于時所需費用的期望值，
故應選．
變式33．（2024·廣東佛山·華南師大附中南海實驗高中?？寄M預測）人工智能是研究用于模擬和延伸人類智能的技術科學，被認為是21世紀最重要的尖端科技之一，其理論和技術正在日益成熟，應用領域也在不斷擴大.人工智能背后的一個基本原理：首先確定先驗概率，然后通過計算得到后驗概率，使先驗概率得到修正和校對，再根據后驗概率做出推理和決策.基于這一基本原理，我們可以設計如下試驗模型；有完全相同的甲、乙兩個袋子，袋子有形狀和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9個紅球和1個白球乙袋中有2個紅球和8個白球.從這兩個袋子中選擇一個袋子，再從該袋子中等可能摸出一個球，稱為一次試驗.若多次試驗直到摸出紅球，則試驗結束.假設首次試驗選到甲袋或乙袋的概率均為（先驗概率）.
(1)求首次試驗結束的概率；
(2)在首次試驗摸出白球的條件下，我們對選到甲袋或乙袋的概率（先驗概率）進行調整.
①求選到的袋子為甲袋的概率，
②將首次試驗摸出的白球放回原來袋子，繼續進行第二次試驗時有如下兩種方案；方案一，從原來袋子中摸球；方案二，從另外一個袋子中摸球.請通過計算，說明選擇哪個方案第二次試驗結束的概率更大.
【解析】（1）設試驗一次，“取到甲袋”為事件，“取到乙袋”為事件，“試驗結果為紅球”為事件，“試驗結果為白球”為事件，
（1）.
所以試驗一次結果為紅球的概率為.
（2）①因為，是對立事件，，
所以，
所以選到的袋子為甲袋的概率為.
②由①得，
所以方案一中取到紅球的概率為：
，
方案二中取到紅球的概率為：
，
因為，所以方案二中取到紅球的概率更大.
變式34．（2024·陜西西安·陜西師大附中?？寄M預測）強基計劃校考由試點高校自主命題，?？歼^程中通過筆試后才能進入面試環節．已知甲、乙兩所大學的筆試環節都設有三門考試科目且每門科目是否通過相互獨立，若某考生報考甲大學，每門科目通過的概率均為；該考生報考乙大學，每門科目通過的概率依次為，，m，其中．
(1)若，分別求出該考生報考甲、乙兩所大學在筆試環節恰好通過一門科目的概率；
(2)強基計劃規定每名考生只能報考一所試點高校，若以筆試過程中通過科目數的數學期望為依據作決策，當該考生更希望通過乙大學的筆試時，求m的取值范圍．
【解析】（1）設該考生報考甲大學恰好通過一門筆試科目為事件，該考生報考乙大學恰好通過一門筆試科目為事件，
根據題意可得，.
（2）設該考生報考甲大學通過的科目數為X，報考乙大學通過的科目數為，
根據題意可知，，則，
，
，
，
，
則隨機變量的分布列為
Y 0 1 2 3
P
，
若，則，故，即的取值范圍是.
變式35．（2024·全國·高三專題練習）某公司計劃購買2臺機器，該種機器使用三年后即被淘汰，機器有一易損零件，在購進機器時，可以額外購買這種零件作為備件，每個200元，在機器使用期間，如果備件不足再購買，則每個500元，現需決策在購買機器時應同時購買幾個易損零件，為此搜集并整理了100臺這種機器在三年使用期內更換的易損零件數，得到其頻數分布圖（如圖所示）.若將這100臺機器在三年內更換的易損零件數的頻率視為1臺機器在三年內更換的易損零件數發生的概率，記X表示2臺機器三年內共需更換的易損零件數，n表示購買2臺機器的同時購買的易損零件數.求X的期望；
【解析】由柱狀圖并以頻率代替概率可得，
一臺機器在三年內需更換的易損零件數為8，9，10，11的概率分別為，
可取，
，
，
，
，
，
，
，
所以的分布列為
16 17 18 19 20 21 22
期望
.
變式36．（2024·湖北·高三湖北省紅安縣第一中學校聯考階段練習）為貫徹落實黨的二十大精神，促進群眾體育全面發展.奮進中學舉行了趣味運動會，有一個項目是“沙包擲準”，具體比賽規則是：選手站在如圖（示意圖）所示的虛線處，手持沙包隨機地擲向前方的三個箱子中的任意一個，每名選手擲5個大小形狀質量相同 編號不同的沙包.規定：每次沙包投進1號 2號 3號箱分別可得3分 4分 5分，沒有投中計0分.每名選手將累計得分作為最終成績.
(1)已知某位選手獲得了17分，求該選手5次投擲的沙包進入不同箱子的方法數；
(2)賽前參賽選手經過一段時間的練習，選手每次投中1號 2號 3號箱的概率依次為.已知選手每次賽前已經決定5次投擲的目標箱且比賽中途不變更投擲目標.假設各次投擲結果相互獨立，且投擲時不會出現末中目標箱而誤中其它箱的情況.
（i）若以比賽結束時累計得分數作為決策的依據，你建議選手選擇幾號箱？
（ii）假設選手得了23分，請你幫設計一種可能贏的投擲方案，并計算該方案獲勝的概率.
【解析】（1）設5次投擲投中1號次，2號次，3號次，未投中次，
則，
解得或或或
不同的方法數.
（2）（i）設選手選擇1號 2號 3號箱作為目標箱，5次投中的次數依次為，
最終的得分分別為.則
建議選手選擇1號箱.
（ii）方案一：連續5次選擇投擲3號箱
最終獲勝的概率為.
方案二：前4次均選擇投擲3號箱，第5次投2號箱
最終獲勝的概率為
變式37．（2024·全國·高三專題練習）某服裝加工廠為了提高市場競爭力，對其中一臺生產設備提出了甲 乙兩個改進方案：甲方案是引進一臺新的生產設備，需一次性投資1900萬元，年生產能力為30萬件；乙方案是將原來的設備進行升級改造，需一次性投入700萬元，年生產能力為20萬件.根據市場調查與預測，該產品的年銷售量的頻率分布直方圖如圖所示，無論是引進新生產設備還是改造原有的生產設備，設備的使用年限均為6年，該產品的銷售利潤為15元/件（不含一次性設備改進投資費用）.
(1)根據年銷售量的頻率分布直方圖，估算年銷量的平均數（同一組中的數據用該組區間的中點值作代表）；
(2)將年銷售量落入各組的頻率視為概率，各組的年銷售量用該組區間的中點值作年銷量的估計值，并假設每年的銷售量相互獨立.
①根據頻率分布直方圖估計年銷售利潤不低于270萬元的概率；
②若以該生產設備6年的凈利潤的期望值作為決策的依據，試判斷該服裝廠應選擇哪個方案.（6年的凈利潤=6年銷售利潤-設備改進投資費用）
【解析】（1）年銷量的平均數（萬件）.
（2）①該產品的銷售利潤為15元/件，
由題意得只有當年銷售量不低于18萬件時年銷售利潤才不低于270萬，
所以年銷售利潤不低于270萬的概率.
②設甲方案的年銷售量為X萬件，由（1）可知甲方案的年銷售量的期望，
所以甲方案6年的凈利潤的期望值為（萬元）.
設乙方案的年銷售量為Y萬件，則乙方案的年銷售量的分布列為
Y 12 16 20
P 0.05 0.35 0.6
所以乙方案的年銷售量期望（萬件），
所以乙方案6年的凈利潤的期望值為（萬元），
因為乙方案的凈利潤的期望值大于甲方案的凈利潤的期望值，
所以企業應該選擇乙方案.
【解題方法總結】
均值與方差在決策中的應用
（1）隨機變量的均值反映了隨機變量取值的平均水平，方差反映了隨機變量穩定于均值的程度，它們從整體和全局上刻畫了隨機變量，是實際生產中用于方案取舍的重要理論依據．一般先比較均值，若均值相同，再用方差來決定．
（2）兩種應用策略
①當均值不同時，兩個隨機變量取值的水平可見分歧，可對問題作出判斷．
②若兩隨機變量均值相同或相差不大，則可通過分析兩變量的方差來研究隨機變量的離散程度或者穩定程度，進而進行決策
21世紀教育網(www.21cnjy.com)第91講 離散型隨機變量的分布列與數字特征
知識梳理
知識點一．離散型隨機變量的分布列
1、隨機變量
在隨機試驗中，我們確定了一個對應關系，使得每一個試驗結果都用一個確定的數字表示．在這個對應關系下，數字隨著試驗結果的變化而變化．像這種隨著試驗結果變化而變化的變量稱為隨機變量．隨機變量常用字母，，，，…表示．
注意：
（1）一般地，如果一個試驗滿足下列條件：①試驗可以在相同的情形下重復進行；②試驗的所有可能結果是明確可知的，并且不止一個；③每次試驗總是恰好出現這些可能結果中的一個，但在一次試驗之前不能確定這次試驗會出現哪個結果．這種試驗就是隨機試驗．
（2）有些隨機試驗的結果雖然不具有數量性質，但可以用數來表示．如擲一枚硬幣，表示反面向上，表示正面向上．
（3）隨機變量的線性關系：若是隨機變量，，是常數，則也是隨機變量．
2、離散型隨機變量
對于所有取值可以一一列出來的隨機變量，稱為離散型隨機變量．
注意：
（1）本章研究的離散型隨機變量只取有限個值．
（2）離散型隨機變量與連續型隨機變量的區別與聯系：①如果隨機變量的可能取值是某一區間內的一切值，這樣的變量就叫做連續型隨機變量；②離散型隨機變量與連續型隨機變量都是用變量表示隨機試驗的結果，但離散型隨機變量的結果可以按一定的次序一一列出，而連續型隨機變量的結果不能一一列出．
3、離散型隨機變量的分布列的表示
一般地，若離散型隨機變量可能取的不同值為，取每一個值的概率，以表格的形式表示如下：
我們將上表稱為離散型隨機變量的概率分布列，簡稱為的分布列．有時為了簡單起見，也用等式，表示的分布列．
4、離散型隨機變量的分布列的性質
根據概率的性質，離散型隨機變量的分布列具有如下性質：
（1），；（2）．
注意：
①性質（2）可以用來檢查所寫出的分布列是否有誤，也可以用來求分布列中的某些參數．
②隨機變量所取的值分別對應的事件是兩兩互斥的，利用這一點可以求相關事件的概率．
知識點二．離散型隨機變量的均值與方差
1、均值
若離散型隨機變量的分布列為
稱為隨機變量的均值或數學期望，它反映了離散型隨機變量取值的平均水平．
注意：（1）均值刻畫的是取值的“中心位置”，這是隨機變量的一個重要特征；
（2）根據均值的定義，可知隨機變量的分布完全確定了它的均值．但反過來，兩個不同的分布可以有相同的均值．這表明分布描述了隨機現象的規律，從而也決定了隨機變量的均值．而均值只是刻畫了隨機變量取值的“中心位置”這一重要特征，并不能完全決定隨機變量的性質．
2、均值的性質
（1）（為常數）．
（2）若，其中為常數，則也是隨機變量，且．
（3）．
（4）如果相互獨立，則．
3、方差
若離散型隨機變量的分布列為
則稱為隨機變量的方差，并稱其算術平方根為隨機變量的標準差．
注意：（1）描述了相對于均值的偏離程度，而是上述偏離程度的加權平均，刻畫了隨機變量與其均值的平均偏離程度．隨機變量的方差和標準差均反映了隨機變量取值偏離于均值的平均程度．方差或標準差越小，則隨機變量偏離于均值的平均程度越?。?br/>（2）標準差與隨機變量有相同的單位，而方差的單位是隨機變量單位的平方．
4、方差的性質
（1）若，其中為常數，則也是隨機變量，且．
（2）方差公式的變形：．
必考題型全歸納
題型一：離散型隨機變量
例1．（2024·高二課時練習）下列敘述中，是離散型隨機變量的為（　?。?br/>A．將一枚質地均勻的硬幣擲五次，出現正面和反面向上的次數之和
B．某人早晨在車站等出租車的時間
C．連續不斷地射擊，首次命中目標所需要的次數
D．袋中有個黑球個紅球，任取個，取得一個紅球的可能性
例2．（2024·全國·高三專題練習）袋中有大小相同質地均勻的5個白球、3個黑球，從中任取2個，則可以作為隨機變量的是（ ）
A．至少取到1個白球 B．取到白球的個數
C．至多取到1個白球 D．取到的球的個數
例3．（2024·全國·高三專題練習）下面是離散型隨機變量的是（ ）
A．電燈泡的使用壽命
B．小明射擊1次，擊中目標的環數
C．測量一批電阻兩端的電壓，在10V~20V之間的電壓值
D．一個在軸上隨機運動的質點，它在軸上的位置
變式1．（2024·全國·高三專題練習）甲、乙兩人下象棋，贏了得3分，平局得1分，輸了得0分，共下三局．用表示甲的得分，則表示（ ）
A．甲贏三局
B．甲贏一局輸兩局
C．甲、乙平局三次
D．甲贏一局輸兩局或甲、乙平局三次
變式2．（2024·全國·高三專題練習）對一批產品逐個進行檢測,第一次檢測到次品前已檢測的產品個數為ξ,則ξ=k表示的試驗結果為(　　)
A．第k-1次檢測到正品,而第k次檢測到次品
B．第k次檢測到正品,而第k+1次檢測到次品
C．前k-1次檢測到正品,而第k次檢測到次品
D．前k次檢測到正品,而第k+1次檢測到次品
變式3．（2024·浙江·高三專題練習）袋中有大小相同的紅球6個，白球5個，從袋中每次任意取出一個球，直到取出的球是白色為止，所需要的取球次數為隨機變量X，則X的可能取值為(　　)
A．1,2，…，6 B．1,2，…，7 C．1,2，…，11 D．1,2,3…
題型二：求離散型隨機變量的分布列
例4．（2024·全國·高三對口高考）數字1，2，3，4任意排成一列，如果數字k恰好出現在第k個位置上，則稱有一個“巧合”，求“巧合”個數的分布列 ．
例5．（2024·全國·高三對口高考）假如一段樓梯有11個臺階，現規定每步只能跨1個或2個臺階，則某人走完這段樓梯的單階步數的分布列是 ．
例6．（2024·全國·高三對口高考）一個均勻小正方體的六個面中，三個面上標以數0，兩個面上標以數1，一個面上標以數2，將這個小正方體拋擲2次，則向上的數之積的分布列是 ．
變式4．（2024·全國·高三對口高考）甲、乙、丙三人按下面的規則進行乒乓球比賽：第一局由甲、乙參加而丙輪空，以后每一局由前一局的獲勝者與輪空者進行比賽，而前一局的失敗者輪空．比賽按這種規則一直進行到其中一人連勝兩局或打滿6局時停止．設在每局中參賽者勝負的概率均為，且各局勝負相互獨立．則比賽停止時已打局數的分布列是 ．
變式5．（2024·全國·高考真題）從裝有3個紅球，2個白球的袋中隨機取出2個球，設其中有個紅球，則隨機變量的概率分布為： ．
0 1 2
變式6．（2024·全國·高三專題練習）設隨機變量的分布為，則 ．
變式7．（2024·全國·高三專題練習）將3個小球任意地放入4個大玻璃杯中，一個杯子中球的最多個數記為X，則X的分布列是 .
變式8．（2024·全國·高三專題練習）設ξ為隨機變量，從棱長為1的正方體的12條棱中任取兩條，當兩條棱相交時，ξ＝0；當兩條棱平行時，ξ的值為兩條棱之間的距離；當兩條棱異面時，ξ＝1，則隨機變量ξ的分布列為 ．
【解題方法總結】
求解離散型隨機變量分布列的步驟：
（1）審題
（2）計算
計算隨機變量取每一個值的概率
（3）列表
列出分布列，并檢驗概率之和是否為.
（4）求解
根據均值、方差公式求解其值.
題型三：離散型隨機變量的分布列的性質
例7．（2024·江西吉安·高三江西省泰和中學校考階段練習）已知隨機變量X服從兩點分布，且，，那么 .
例8．（2024·全國·高三專題練習）設隨機變量的分布列如下：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
給出下列四個結論：
①當為等差數列時，；
②當為等差數列時，公差；
③當數列滿足時，；
④當數列滿足時，時，.
其中所有正確結論的序號是 .
例9．（2024·全國·高三對口高考）某一隨機變量的概率分布如下表，且，則的值為 ．
0 1 2 3
P 0.2 m n 0.3
變式9．（2024·河南·校聯考模擬預測）已知隨機變量X的所有可能取值為1，2，3，其分布列為
1 2 3
若，則 .
變式10．（2024·全國·高三專題練習）設隨機變量的概率分布列為
0 1
則常數 ．
變式11．（2024·全國·高三專題練習）設隨機變量的分布列，則 .
變式12．（2024·上?！そy考模擬預測）隨機變量的分布列如下列表格所示，其中為的數學期望，則 .
1 2 3 4 5
0.1 0.2 0.3 0.1
變式13．（2024·廣東汕頭·高三統考開學考試）已知等差數列的公差為，隨機變量滿足，則的取值范圍為 .
變式14．（2024·全國·高三專題練習）已知離散型隨機變量X的分布列為
X 0 2 a
P 0.2 0.4 b
若，則正整數a＝ ．
【解題方法總結】
離散型隨機變量的分布列性質的應用
（1）利用“總概率之和為”可以求相關參數的取值范圍或值；
（2）利用“隨機變量在某一范圍內的概率等于它取這個范圍內各個值的概率之和”求特定事件的概率；
（3）可以根據性質及，判斷所求的分布列是否正確．
題型四：離散型隨機變量的均值
例10．（2024·貴州黔東南·高三?？茧A段練習）2022年10月16日至22日中共二十大在北京召開，二十大報告指出，必須堅持科技是第一生產力，人才是第一資源，創新是第一動力，這其實是我黨的一貫政策．某材料學博士畢業時恰逢國家大力倡導“開辟發展新領域新賽道，不斷塑造發展新動能新優勢”，于是同一幫志同道合的博士同學，在老家創辦新材料公司，專注于二氧化硅、碳纖維增強陶瓷基、樹脂基三大類復合材料的研發與生產，預計到今年年底這三大類復合材料盈利100萬元的概率分別為0.8，0.5，0.4，若三大類復合材料到今年年底是否盈利100萬元相互獨立，記三大類復合材料有X類到今年年底盈利100萬元，則的數學期望 ．
例11．（2024·上海寶山·高三上海交大附中?？茧A段練習）一個袋中裝有5個球，編號為1，2，3，4，5，從中任取3個，用X表示取出的3個球中最大編號，則 ．
例12．（2024·全國·高三專題練習）現要發行10000張彩票，其中中獎金額為2元的彩票1000張，10元的彩票300張，50元的彩票100張，100元的彩票50張，1000元的彩票5張.1張彩票中獎金額的均值是 元.
變式15．（2024·上海普陀·曹楊二中?？寄M預測）一個盒子里有1個紅球和2個綠球，每次拿一個，不放回，拿出紅球即停，設拿出綠球的個數為，則 .
變式16．（2024·寧夏石嘴山·高三平羅中學?？茧A段練習）某同學在上學的路上要經過3個十字路口，在每個路口是否遇到紅燈相互獨立，設該同學在三個路口遇到紅燈的概率分別為，，.
(1)求該同學在上學路上恰好遇到一個紅燈的概率；
(2)若該同學在上學路上每遇到1個紅燈，到校打卡時間就會比規定打卡時間晚48秒，記該同學某天到校打卡時間比規定時間晚秒，求X的分布列和數學期望.
變式17．（2024·陜西商洛·高三陜西省山陽中學校聯考階段練習）小李參加某項專業資格考試，一共要考3個科目，若3個科目都合格，則考試直接過關；若都不合格，則考試不過關；若有1個或2相科目合格，則所有不合格的科目需要進行一次補考，補考都合格的考試過關，否則不過關．已知小李每個科目每次考試合格的概率均為p（），且每個科目每次考試的結果互不影響．
(1)記“小李恰有1個科目需要補考”的概率為，求的最大值點．
(2)以（1）中確定的作為p的值．
（?。┣笮±钸@項資格考試過關的概率；
（ⅱ）若每個科目每次考試要繳納20元的費用，將小李需要繳納的費用記為X元，求．
變式18．（2024·河南開封·高三通許縣第一高級中學?？茧A段練習）有一種雙人游戲，游戲規則如下：一個袋子中有大小和質地相同的5個小球，其中有3個白色小球，2個紅色小球，每次游戲雙方從袋中輪流摸出1個小球，摸后不放回，摸到第2個紅球的人獲勝，同時結束該次游戲，并把摸出的球重新放回袋中，準備下一次游戲，且本次游戲中輸掉的人在下一次游戲中先摸球．小胡和小張準備玩這種游戲，約定玩3次，第一次游戲由小胡先摸球．
(1)在第一次游戲中，求在小胡第一輪摸到白球的情況下，小胡獲勝的概率；
(2)記3次游戲中小胡獲勝的次數為X，求X的分布列和數學期望．
變式19．（2024·河北保定·統考二模）某學校為了提高學生的運動興趣，增強學生身體素質，該校每年都要進行各年級之間的球類大賽，其中乒乓球大賽在每年“五一”之后舉行，乒乓球大賽的比賽規則如下：高中三個年級之間進行單循環比賽，每個年級各派5名同學按順序比賽（賽前已確定好每場的對陣同學），比賽時一個年級領先另一個年級兩場就算勝利（即每兩個年級的比賽不一定打滿5場），若兩個年級之間打成則第5場比賽定勝負．已知高三每位隊員戰勝高二相應對手的可能性均為，高三每位隊員戰勝高一相應對手的可能性均為，高二每位隊員戰勝高一相應對手的可能性均為，且隊員、年級之間的勝負相互獨立．
(1)求高二年級與高一年級比賽時，高二年級與高一年級在前兩場打平的條件下，最終戰勝高一年級的概率．
(2)若獲勝年級積3分，被打敗年級積0分，求高三年級獲得積分的分布列和期望．
變式20．（2024·福建龍巖·統考二模）為了豐富孩子們的校園生活，某校團委牽頭，發起體育運動和文化項目比賽，經過角逐，甲、乙兩人進入最后的決賽．決賽先進行兩天，每天實行三局兩勝制，即先贏兩局的人獲得該天勝利，此時該天比賽結束．若甲、乙兩人中的一方能連續兩天勝利，則其為最終冠軍；若前兩天甲、乙兩人各贏一天，則第三天只進行一局附加賽，該附加賽的獲勝方為最終冠軍設每局比賽甲獲勝的概率為，每局比賽的結果沒有平局且結果互相獨立．
(1)記第一天需要進行的比賽局數為X，求X的分布列及；
(2)記一共進行的比賽局數為Y，求．
題型五：離散型隨機變量的方差
例13．（2024·吉林長春·高三長春外國語學校校考開學考試）設隨機變量的分布列如下：其中成等差數列，若，則方差 .
-1 0 1
例14．（2024·全國·高三專題練習）離散型隨機變量X的分布為：
0 1 2 4 5
若離散型隨機變量Y滿足，則下列結果正確的為 ．
①；②；③；④．
例15．（2024·全國·高三專題練習）甲、乙兩種零件某次性能測評的分值，的分布如下，則性能更穩定的零件是 ．
8 9 10
P 0.3 0.2 0.5
8 9 10
P 0.2 0.4 0.4
變式21．（2024·全國·高三專題練習）已知離散型隨機變量的分布如下表：
0 2
P a b
若隨機變量的期望值，則 ．
變式22．（2024·全國·高三對口高考）隨機變量的分布列如下表：
n n＋1 n＋2
P a b c
其中a，b，c成等差數列，則的最大值為 .
變式23．（2024·全國·高三對口高考）隨機變量X的分布列如表所示，若，則 .
X －1 0 1
P a b
變式24．（2024·北京西城·高三北京市第三十五中學校考開學考試）為了解某中學高一年級學生身體素質情況，對高一年級的(1)班(8)班進行了抽測，采取如下方式抽樣：每班隨機各抽10名學生進行身體素質監測.經統計，每班10名學生中身體素質監測成績達到優秀的人數散點圖如下（軸表示對應的班號，軸表示對應的優秀人數）：

(1)若用散點圖預測高一年級學生身體素質情況，從高一年級學生中任意抽測1人，求該生身體素質監測成績達到優秀的概率；
(2)若從以上統計的高一（2）班和高一（4）班的學生中各抽出1人，設表示2人中身體素質監測成績達到優秀的人數，求的分布列及其數學期望；
(3)假設每個班學生身體素質優秀的概率與該班隨機抽到的10名學生的身體素質優秀率相等.現在從每班中分別隨機抽取1名同學，用“”表示第班抽到的這名同學身體素質優秀，“”表示第班抽到的這名同學身體素質不是優秀（）．寫出方差的大小關系（不必寫出證明過程）．
變式25．（2024·遼寧沈陽·高三遼寧實驗中學校考階段練習）甲乙兩人進行一場乒乓球比賽.已知每局甲勝的概率為0.6，乙勝的概率為0.4，甲乙約定比賽采取“3局2勝制”.
(1)求這場比賽甲獲勝的概率；
(2)這場比賽甲所勝局數的數學期望（保留兩位有效數字）；
(3)根據（2）的結論，計算這場比賽甲所勝局數的方差.
變式26．（2024·浙江·高三專題練習）已知隨機變量X的分布列為
X 0 1 x
P p
若，
(1)求的值;
(2)若，求的值.
變式27．（2024·重慶沙坪壩·高三重慶一中校考階段練習）巴蜀中學進行90周年校慶知識競賽，參賽的同學需要從10道題中隨機地抽取4道來回答，競賽規則規定：每題回答正確得10分，回答不正確得分.
(1)已知甲同學每題回答正確的概率均為0.8，且各題回答正確與否相互之間沒有影響，記甲的總得分為，求的期望和方差；
(2)已知乙同學能正確回答10道題中的6道，記乙的總得分為，求的分布列.
變式28．（2024·河南·襄城高中校聯考三模）小王去自動取款機取款，發現自己忘記了6位密碼的最后一位數字，他決定從0~9中不重復地隨機選擇1個進行嘗試，直到輸對密碼，或者輸錯三次銀行卡被鎖定為止．
(1)求小王的該銀行卡被鎖定的概率；
(2)設小王嘗試輸入該銀行卡密碼的次數為X，求X的分布列、數學期望及方差．
變式29．（2024·福建寧德·高三福建省寧德第一中學?？茧A段練習）甲、乙兩個學校進行體育比賽，比賽共設三個項目，每個項目勝方得10分，負方得0分，沒有平局.三個項目比賽結束后，總得分高的學校獲得冠軍，已知甲學校在三個項目中獲勝的概率分別為0.5，0.4，0.8，各項目的比賽結果相互獨立.
(1)求甲學校獲得冠軍的概率；
(2)用表示乙學校的總得分，求的分布列與期望.
(3)設用表示甲學校的總得分，比較和的大?。ㄖ苯訉懗鼋Y果）.
變式30．（2024·全國·高三專題練習）概率論中有很多經典的不等式，其中最著名的兩個當屬由兩位俄國數學家馬爾科夫和切比雪夫分別提出的馬爾科夫（Markov）不等式和切比雪夫（Chebyshev）不等式．馬爾科夫不等式的形式如下：
設為一個非負隨機變量，其數學期望為，則對任意，均有，
馬爾科夫不等式給出了隨機變量取值不小于某正數的概率上界，闡釋了隨機變量尾部取值概率與其數學期望間的關系．當為非負離散型隨機變量時，馬爾科夫不等式的證明如下：
設的分布列為其中，則對任意，，其中符號表示對所有滿足的指標所對應的求和．
切比雪夫不等式的形式如下：
設隨機變量的期望為，方差為，則對任意，均有
(1)根據以上參考資料，證明切比雪夫不等式對離散型隨機變量成立．
(2)某藥企研制出一種新藥，宣稱對治療某種疾病的有效率為．現隨機選擇了100名患者，經過使用該藥治療后，治愈的人數為60人，請結合切比雪夫不等式通過計算說明藥廠的宣傳內容是否真實可信．
【解題方法總結】
均值與方差性質的應用若是隨機變量，則一般仍是隨機變量，在求的期望和方差時，熟練應用期望和方差的性質，可以避免再求的分布列帶來的繁瑣運算．
題型六：決策問題
例16．（2024·河北·統考模擬預測）為切實做好新冠疫情防控工作，有效、及時地控制和消除新冠肺炎的危害，增加學生對新冠肺炎預防知識的了解，某校舉辦了一次“新冠疫情”知識競賽.競賽分個人賽和團體賽兩種.個人賽參賽方式為：組委會采取電腦出題的方式，從題庫中隨機出10道題，編號為，，，，，，電腦依次出題，參賽選手按規則作答，每答對一道題得10分，答錯得0分.團體賽以班級為單位，各班參賽人數必須為3的倍數，且不少于18人，團體賽分預賽和決賽兩個階段，其中預賽階段各班可從以下兩種參賽方案中任選一種參賽：
方案一：將班級選派的名參賽選手每3人一組，分成組，電腦隨機分配給同一組的3名選手一道相同的試題，3人均獨立答題，若這3人中至少有2人回答正確，則該小組順利出線；若這個小組都順利出線，則該班級晉級決賽.
方案二：將班級選派的名參賽選手每人一組，分成3組，電腦隨機分配給同一組的名選手一道相同的試題，每人均獨立答題，若這個人都回答正確，則該小組順利出線；若這3個小組中至少有2個小組順利出線，則該班級晉級決賽.
(1)郭靖同學參加了個人賽，已知郭靖同學答對題庫中每道題的概率均為，每次作答結果相互獨立，且他不會主動放棄任何一次作答機會，求郭靖同學得分的數學期望與方差；
(2)在團體賽預賽中，假設A班每位參賽選手答對試題的概率均為常數，A班為使晉級團體賽決賽的可能性更大，應選擇哪種參賽方式？請說明理由.
例17．（2024·云南曲靖·高三校聯考階段練習）從2024年起，云南省高考數學試卷中增加了多項選擇題（第9-12題是四道多選題，每題有四個選項，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分）.在某次模擬考試中，每道多項選題的正確答案是兩個選項的概率為，正確答案是三個選項的概率為（其中）.現甲乙兩名學生獨立解題.
(2)對于第12題，甲同學只能正確地判斷出其中的一個選項是符合題意的，乙同學只能正確地判斷出其中的一個選項是不符合題意的，作答時，應選擇幾個選項才有希望得到更理想的成績，請你幫助甲或者乙做出決策（只需選擇幫助一人做出決策即可）.
例18．（2024·河南·校聯考模擬預測）某水果店的草莓每盒進價20元，售價30元，草莓保鮮度為兩天，若兩天之內未售出，以每盒10元的價格全部處理完.店長為了決策每兩天的進貨量，統計了本店過去40天草莓的日銷售量（單位：十盒），獲得如下數據：
日銷售量/十盒 7 8 9 10
天數 8 12 16 4
假設草莓每日銷量相互獨立，且銷售量的分布規律保持不變，將頻率視為概率.
(1)記每兩天中銷售草莓的總盒數為X（單位：十盒），求X的分布列和數學期望；
(2)以兩天內銷售草莓獲得利潤較大為決策依據，在每兩天進16十盒，17十盒兩種方案中應選擇哪種？
變式31．（2024·江西上饒·校聯考模擬預測）甲乙兩家公司要進行公開招聘，招聘分為筆試和面試，通過筆試后才能進入面試環節．已知甲、乙兩家公司的筆試環節都設有三門考試科目且每門科目是否通過相互獨立，若小明報考甲公司，每門科目通過的概率均為；報考乙公司，每門科目通過的概率依次為，，其中．
(1)若，分別求出小明報考甲、乙兩公司在筆試環節恰好通過一門科目的概率；
(2)招聘規則要求每人只能報考一家公司，若以筆試過程中通過科目數的數學期望為依據作決策，當小明更希望通過乙公司的筆試時，求的取值范圍．
變式32．（2024·廣西·校聯考模擬預測）某公司計劃購買2臺機器，該種機器使用三年后即被淘汰，機器有一易損零件，在購進機器時，可以額外購買這種零件作為備件，每個200元，在機器使用期間，如果備件不足再購買，則每個500元，現需決策在購買機器時應同時購買幾個易損零件，為此搜集并整理了100臺這種機器在三年使用期內更換的易損零件數，得到其頻數分布圖（如圖所示）．若將這100臺機器在三年內更換的易損零件數的頻率視為1臺機器在三年內更換的易損零件數發生的概率，記表示2臺機器三年內共需更換的易損零件數，表示購買2臺機器的同時購買的易損零件數．
(1)求的分布；
(2)以購買易損零件所需費用的期望值為決策依據，在與18之中選其一，應選用哪個？并說明理由．
變式33．（2024·廣東佛山·華南師大附中南海實驗高中?？寄M預測）人工智能是研究用于模擬和延伸人類智能的技術科學，被認為是21世紀最重要的尖端科技之一，其理論和技術正在日益成熟，應用領域也在不斷擴大.人工智能背后的一個基本原理：首先確定先驗概率，然后通過計算得到后驗概率，使先驗概率得到修正和校對，再根據后驗概率做出推理和決策.基于這一基本原理，我們可以設計如下試驗模型；有完全相同的甲、乙兩個袋子，袋子有形狀和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9個紅球和1個白球乙袋中有2個紅球和8個白球.從這兩個袋子中選擇一個袋子，再從該袋子中等可能摸出一個球，稱為一次試驗.若多次試驗直到摸出紅球，則試驗結束.假設首次試驗選到甲袋或乙袋的概率均為（先驗概率）.
(1)求首次試驗結束的概率；
(2)在首次試驗摸出白球的條件下，我們對選到甲袋或乙袋的概率（先驗概率）進行調整.
①求選到的袋子為甲袋的概率，
②將首次試驗摸出的白球放回原來袋子，繼續進行第二次試驗時有如下兩種方案；方案一，從原來袋子中摸球；方案二，從另外一個袋子中摸球.請通過計算，說明選擇哪個方案第二次試驗結束的概率更大.
變式34．（2024·陜西西安·陜西師大附中?？寄M預測）強基計劃?？加稍圏c高校自主命題，?？歼^程中通過筆試后才能進入面試環節．已知甲、乙兩所大學的筆試環節都設有三門考試科目且每門科目是否通過相互獨立，若某考生報考甲大學，每門科目通過的概率均為；該考生報考乙大學，每門科目通過的概率依次為，，m，其中．
(1)若，分別求出該考生報考甲、乙兩所大學在筆試環節恰好通過一門科目的概率；
(2)強基計劃規定每名考生只能報考一所試點高校，若以筆試過程中通過科目數的數學期望為依據作決策，當該考生更希望通過乙大學的筆試時，求m的取值范圍．
變式35．（2024·全國·高三專題練習）某公司計劃購買2臺機器，該種機器使用三年后即被淘汰，機器有一易損零件，在購進機器時，可以額外購買這種零件作為備件，每個200元，在機器使用期間，如果備件不足再購買，則每個500元，現需決策在購買機器時應同時購買幾個易損零件，為此搜集并整理了100臺這種機器在三年使用期內更換的易損零件數，得到其頻數分布圖（如圖所示）.若將這100臺機器在三年內更換的易損零件數的頻率視為1臺機器在三年內更換的易損零件數發生的概率，記X表示2臺機器三年內共需更換的易損零件數，n表示購買2臺機器的同時購買的易損零件數.求X的期望；
變式36．（2024·湖北·高三湖北省紅安縣第一中學校聯考階段練習）為貫徹落實黨的二十大精神，促進群眾體育全面發展.奮進中學舉行了趣味運動會，有一個項目是“沙包擲準”，具體比賽規則是：選手站在如圖（示意圖）所示的虛線處，手持沙包隨機地擲向前方的三個箱子中的任意一個，每名選手擲5個大小形狀質量相同 編號不同的沙包.規定：每次沙包投進1號 2號 3號箱分別可得3分 4分 5分，沒有投中計0分.每名選手將累計得分作為最終成績.
(1)已知某位選手獲得了17分，求該選手5次投擲的沙包進入不同箱子的方法數；
(2)賽前參賽選手經過一段時間的練習，選手每次投中1號 2號 3號箱的概率依次為.已知選手每次賽前已經決定5次投擲的目標箱且比賽中途不變更投擲目標.假設各次投擲結果相互獨立，且投擲時不會出現末中目標箱而誤中其它箱的情況.
（i）若以比賽結束時累計得分數作為決策的依據，你建議選手選擇幾號箱？
（ii）假設選手得了23分，請你幫設計一種可能贏的投擲方案，并計算該方案獲勝的概率.
變式37．（2024·全國·高三專題練習）某服裝加工廠為了提高市場競爭力，對其中一臺生產設備提出了甲 乙兩個改進方案：甲方案是引進一臺新的生產設備，需一次性投資1900萬元，年生產能力為30萬件；乙方案是將原來的設備進行升級改造，需一次性投入700萬元，年生產能力為20萬件.根據市場調查與預測，該產品的年銷售量的頻率分布直方圖如圖所示，無論是引進新生產設備還是改造原有的生產設備，設備的使用年限均為6年，該產品的銷售利潤為15元/件（不含一次性設備改進投資費用）.
(1)根據年銷售量的頻率分布直方圖，估算年銷量的平均數（同一組中的數據用該組區間的中點值作代表）；
(2)將年銷售量落入各組的頻率視為概率，各組的年銷售量用該組區間的中點值作年銷量的估計值，并假設每年的銷售量相互獨立.
①根據頻率分布直方圖估計年銷售利潤不低于270萬元的概率；
②若以該生產設備6年的凈利潤的期望值作為決策的依據，試判斷該服裝廠應選擇哪個方案.（6年的凈利潤=6年銷售利潤-設備改進投資費用）
【解題方法總結】
均值與方差在決策中的應用
（1）隨機變量的均值反映了隨機變量取值的平均水平，方差反映了隨機變量穩定于均值的程度，它們從整體和全局上刻畫了隨機變量，是實際生產中用于方案取舍的重要理論依據．一般先比較均值，若均值相同，再用方差來決定．
（2）兩種應用策略
①當均值不同時，兩個隨機變量取值的水平可見分歧，可對問題作出判斷．
②若兩隨機變量均值相同或相差不大，則可通過分析兩變量的方差來研究隨機變量的離散程度或者穩定程度，進而進行決策
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