資源簡介

第92講 兩點分布、二項分布、超幾何分布與正態分布
知識梳理
知識點一．兩點分布
1、若隨機變量服從兩點分布，即其分布列為
0 1
其中，則稱離散型隨機變量服從參數為的兩點分布．其中稱為成功概率．
注意：
（1）兩點分布的試驗結果只有兩個可能性，且其概率之和為；
（2）兩點分布又稱分布、伯努利分布，其應用十分廣泛．
2、兩點分布的均值與方差：若隨機變量服從參數為的兩點分布，則，．
知識點二．次獨立重復試驗
1、定義
一般地，在相同條件下重復做的次試驗稱為次獨立重復試驗．
注意：獨立重復試驗的條件：①每次試驗在同樣條件下進行；②各次試驗是相互獨立的；③每次試驗都只有兩種結果，即事件要么發生，要么不發生．
2、特點
（1）每次試驗中，事件發生的概率是相同的；
（2）每次試驗中的事件是相互獨立的，其實質是相互獨立事件的特例．
知識點三．二項分布
1、定義
一般地，在次獨立重復試驗中，用表示事件發生的次數，設每次試驗中事件發生的概率為，不發生的概率，那么事件恰好發生次的概率是（，，，…，）
于是得到的分布列
… …
… …
由于表中第二行恰好是二項式展開式
各對應項的值，稱這樣的離散型隨機變量服從參數為，的二項分布，記作，并稱為成功概率．
注意：由二項分布的定義可以發現，兩點分布是一種特殊的二項分布，即時的二項分布，所以二項分布可以看成是兩點分布的一般形式．
2、二項分布的適用范圍及本質
（1）適用范圍：
①各次試驗中的事件是相互獨立的；
②每次試驗只有兩種結果：事件要么發生，要么不發生；
③隨機變量是這次獨立重復試驗中事件發生的次數．
（2）本質：二項分布是放回抽樣問題，在每次試驗中某一事件發生的概率是相同的．
3、二項分布的期望、方差
若，則，．
知識點四．超幾何分布
1、定義
在含有件次品的件產品中，任取件，其中恰有件次品，則事件發生的概率為，，1，2，…，，其中，且，，，，，稱分布列為超幾何分布列．如果隨機變量的分布列為超幾何分布列，則稱隨機變量服從超幾何分布．
0 1 …
…
2、超幾何分布的適用范圍件及本質
（1）適用范圍：
①考察對象分兩類；
②已知各類對象的個數；
③從中抽取若干個個體，考察某類個體個數的概率分布．
（2）本質：超幾何分布是不放回抽樣問題，在每次試驗中某一事件發生的概率是不相同的．
知識點四、正態曲線
1、定義：我們把函數，（其中是樣本均值，是樣本標準差）的圖象稱為正態分布密度曲線，簡稱正態曲線．正態曲線呈鐘形，即中間高，兩邊低．
2、正態曲線的性質
（1）曲線位于軸上方，與軸不相交；
（2）曲線是單峰的，它關于直線對稱；
（3）曲線在處達到峰值（最大值）；
（4）曲線與軸之間的面積為1；
（5）當一定時，曲線的位置由確定，曲線隨著的變化而沿軸平移，如圖甲所示：
（6）當一定時，曲線的形狀由確定．越小，曲線越“高瘦”，表示總體的分布越集中；越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散，如圖乙所示：：
　
甲 乙
知識點五、正態分布
1、定義
隨機變量落在區間的概率為，即由正態曲線，過點和點的兩條軸的垂線，及軸所圍成的平面圖形的面積，如下圖中陰影部分所示，就是落在區間的概率的近似值．
一般地，如果對于任何實數，，隨機變量滿足，則稱隨機變量服從正態分布．正態分布完全由參數，確定，因此正態分布常記作．如果隨機變量服從正態分布，則記為．
其中，參數是反映隨機變量取值的平均水平的特征數，可以用樣本的均值去估計；是衡量隨機變量總體波動大小的特征數，可以用樣本的標準差去估計．
2、原則
若，則對于任意的實數，為下圖中陰影部分的面積，對于固定的和而言，該面積隨著的減小而變大．這說明越小，落在區間的概率越大，即集中在周圍的概率越大
特別地，有；；．
由，知正態總體幾乎總取值于區間之內．而在此區間以外取值的概率只有，通常認為這種情況在一次試驗中幾乎不可能發生，即為小概率事件．在實際應用中，通常認為服從于正態分布的隨機變量只取之間的值，并簡稱之為原則．
【解題方法總結】
1、超幾何分布和二項分布的區別
（1）超幾何分布需要知道總體的容量，而二項分布不需要；
（2）超幾何分布是“不放回”抽取，在每次試驗中某一事件發生的概率是不相同的；
而二項分布是“有放回”抽取（獨立重復），在每次試驗中某一事件發生的概率是相同的.
2、在解決有關問題時，通常認為服從正態分布的隨機變量只取之間的值．如果服從正態分布的隨機變量的某些取值超出了這個范圍就說明出現了意外情況．
3、求正態變量在某區間內取值的概率的基本方法：
（1）根據題目中給出的條件確定與的值．
（2）將待求問題向，，這三個區間進行轉化；
（3）利用在上述區間的概率、正態曲線的對稱性和曲線與x軸之間的面積為1求出最后結果．
4、假設檢驗的思想
（1）統計中假設檢驗的基本思想：根據小概率事件在一次試驗中幾乎不可能發生的原則和從總體中抽測的個體的數值，對事先所作的統計假設作出判斷：是拒絕假設，還是接受假設．
（2）若隨機變量ξ服從正態分布，則ξ落在區間內的概率為，亦即落在區間之外的概率為，此為小概率事件．如果此事件發生了，就說明不服從正態分布．
（3）對于小概率事件要有一個正確的理解：
小概率事件是指發生的概率小于的事件．對于這類事件來說，在大量重復試驗中，平均每試驗大約次，才發生1次，所以認為在一次試驗中該事件是幾乎不可能發生的．不過應注意兩點：一是這里的“幾乎不可能發生”是針對“一次試驗”來說的，如果試驗次數多了，該事件當然是很可能發生的；二是當我們運用“小概率事件幾乎不可能發生的原理”進行推斷時，也有犯錯的可能性．
必考題型全歸納
題型一：兩點分布
例1．（2024·江蘇鎮江·高三江蘇省鎮江第一中學校考階段練習）若隨機變量服從兩點分布，其中，分別為隨機變量的均值與方差，則下列結論不正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】隨機變量服從兩點分布，其中，，
，
，
在A中，，故A正確；
在B中，，故B正確；
在C中，，故C錯誤；
在D中，，故D正確.
故選：C.
例2．（2024·全國·高三專題練習）設隨機變量服從兩點分布，若，則（ ）
A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7
【答案】D
【解析】由題意得，
因為，
所以解得，
所以，
故選：D
例3．（2024·全國·高三專題練習）有一個盒子里有1個紅球，現將（）個黑球放入盒子后，再從盒子里隨機取一球，記取到的紅球個數為個，則隨著（）的增加，下列說法正確的是（ ）
A．減小，增加 B．增加，減小
C．增加，增加 D．減小，減小
【答案】D
【解析】取到紅球個數服從兩點分布，其中，
所以，顯然隨著n的增大而減小.
，
記，
，
當時，，故在上單調遞減，
則當時，隨著n的增大而減小.
故選：D.
變式1．（2024·全國·高三專題練習）已知離散型隨機變量的分布列服從兩點分布，且，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因為的分布列服從兩點分布，所以，
因為，所以
故選：C
變式2．（2024·北京·高三專題練習）某高校“植物營養學專業”學生將雞冠花的株高增量作為研究對象，觀察長效肥和緩釋肥對農作物影響情況.其中長效肥、緩釋肥、未施肥三種處理下的雞冠花分別對應1,2,3三組.觀察一段時間后，分別從1,2,3三組隨機抽取40株雞冠花作為樣本，得到相應的株高增量數據整理如下表.
株高增量（單位：厘米）
第1組雞冠花株數 9 20 9 2
第2組雞冠花株數 4 16 16 4
第3組雞冠花株數 13 12 13 2
假設用頻率估計概率，且所有雞冠花生長情況相互獨立.
(1)從第1組所有雞冠花中隨機選取1株，估計株高增量為厘米的概率；
(2)分別從第1組，第2組，第3組的所有雞冠花中各隨機選取1株，記這3株雞冠花中恰有株的株高增量為厘米，求的分布列和數學期望；
(3)用“”表示第組雞冠花的株高增量為，“”表示第組雞冠花的株高增量為厘米，，直接寫出方差，，的大小關系.（結論不要求證明）
【解析】（1）設事件為“從第1組所有雞冠花中隨機選取1株，株高增量為厘米”，
根據題中數據，第1組所有雞冠花中，有20株雞冠花增量為厘米,
所以估計為；
（2）設事件為“從第2組所有雞冠花中隨機選取1株，株高增量為厘米”，
設事件為“從第3組所有雞冠花中隨機選取1株，株高增量為厘米”，
根據題中數據，估計為， 估計為，
根據題意，隨機變量的所有可能取值為0,1,2.3，且
；
；
；
，
則的分布列為：
0 1 2 3
所以.
（3）
理由如下：
，所以；
，所以；
，所以；
所以.
變式3．（2024·全國·高三專題練習）某工廠生產某種電子產品，每件產品不合格的概率均為，現工廠為提高產品聲譽，要求在交付用戶前每件產品都通過合格檢驗，已知該工廠的檢驗儀器一次最多可檢驗件該產品，且每 件產品檢驗合格與否相互獨立．若每件產品均檢驗一次，所需檢驗費用較多，該工廠提出以下檢 驗方案：將產品每個一組進行分組檢驗，如果某一組產品檢驗合格，則說明該組內產品均合格，若檢驗不合格，則說明該組內有不合格產品，再對該組內每一件產品單獨進行檢驗，如此，每一組產品只需檢驗次或次．設該工廠生產件該產品，記每件產品的平均檢驗次 數為．
（1）求的分布列及其期望；
（2）（i）試說明，當越小時，該方案越合理，即所需平均檢驗次數越少；
（ii）當時，求使該方案最合理時的值及件該產品的平均檢驗次數．
【解析】（1）由題，的可能取值為 和
，故的分布列為
由記，因為，
所以 在上單調遞增 ，
故越小，越小，即所需平均檢驗次數越少，該方案越合理
記
當且取最小值時，該方案最合理，
因為，，
所以時平均檢驗次數最少，約為次．
變式4．（2024·全國·高三專題練習）某單位有員工50000人，一保險公司針對該單位推出一款意外險產品，每年每位職工只需要交少量保費，發生意外后可一次性獲得若干賠償金.保險公司把該單位的所有崗位分為，，三類工種，從事三類工種的人數分布比例如餅圖所示，且這三類工種每年的賠付概率如下表所示：
工種類別
賠付概率
對于，，三類工種，職工每人每年保費分別為元 元 元，出險后的賠償金額分別為100萬元 100萬元 50萬元，保險公司在開展此項業務過程中的固定支出為每年20萬元.
(1)若保險公司要求每年收益的期望不低于保費的，證明：.
(2)現有如下兩個方案供單位選擇：方案一：單位不與保險公司合作，職工不交保險，出意外后單位自行拿出與保險公司提供的等額賠償金賠付給出意外的職工，單位開展這項工作的固定支出為每年35萬元；方案二：單位與保險公司合作，，，單位負責職工保費的，職工個人負責，出險后賠償金由保險公司賠付，單位無額外專項開支.根據該單位總支出的差異給出選擇合適方案的建議.
【解析】（1）設工種，，對應職工的每份保單保險公司的收益分別為隨機變量，，（單位：元），則，，的分布列分別為
，
，
.
所以
，
整理得.
（2）方案一：單位不與保險公司合作，則單位每年賠償金支出的期望與固定開支共為
（元）.
方案二：單位與保險公司合作，則單位支出金額為
（元）.
因為，所以建議單位選擇方案二.
變式5．（2024·全國·高三專題練習）為考察本科生基本學術規范和基本學術素養，某大學決定對各學院本科畢業論文進行抽檢，初步方案是本科畢業論文抽檢每年進行一次，抽檢對象為上一學年度授予學士學位的論文，初評階段，每篇論文送位同行專家進行評審，位專家中有位以上（含位）專家評議意見為“不合格”的畢業論文，將認定為“存在問題畢業論文”.位專家中有位專家評議意見為“不合格”，將再送位同行專家（不同于前位）進行復評.復評階段，位復評專家中有位以上（含位）專家評議意見為“不合格”，將認定為“存在問題畢業論文”.每位專家，判定每篇論文“不合格”的概率均為，且各篇畢業論文是否被判定為“不合格”相互獨立.
(1)若，求每篇畢業論文被認定為“存在問題畢業論文”的概率是多少；
(2)學校擬定每篇論文需要復評的評審費用為元，不需要復評的評審費用為元，則每篇論文平均評審費用的最大值是多少？
【解析】（1）設每篇畢業論文被認定為“存在問題畢業論文”為事件，
則，
，；
（2）設每篇文章的評審費用為元，則的可能取值為，，
則，；
.
令，，則.
當時，，在上單調遞增，
當時，，在上單調遞減，
的最大值為，每篇論文平均評審費用的最大值是元.
題型二：次獨立重復試驗
例4．（2024·全國·高三專題練習）為落實立德樹人根本任務，堅持五育并舉全面推進素質教育，某學校舉行了乒乓球比賽，其中參加男子乒乓球決賽的12名隊員來自3個不同校區，三個校區的隊員人數分別是3，4，5.本次決賽的比賽賽制采取單循環方式，即每名隊員進行11場比賽（每場比賽都采取5局3勝制），最后根據積分選出最后的冠軍.積分規則如下：比賽中以或取勝的隊員積3分，失敗的隊員積0分；而在比賽中以取勝的隊員積2分，失敗的隊員的隊員積1分.已知第10輪張三對抗李四，設每局比賽張三取勝的概率均為.
(1)比賽結束后冠亞軍(沒有并列)恰好來自不同校區的概率是多少？
(2)第10輪比賽中，記張三取勝的概率為，求出的最大值點.
【解析】（1）根據題意，比賽結束后冠亞軍恰好來自不同校區的概率是；
（2）由題可知，
，
令，得，
當時，，在上單調遞增；
當時，，在上單調遞減.
所以的最大值點.
例5．（2024·全國·高三專題練習）甲 乙兩人參加一個游戲，該游戲設有獎金256元，誰先贏滿5局，誰便贏得全部的獎金，已知每局游戲乙贏的概率為，甲贏的概率為，每局游戲相互獨立，在乙贏了3局甲贏了1局的情況下，游戲設備出現了故障，游戲被迫終止，則獎金應該如何分配才為合理？有專家提出如下的獎金分配方案：如果出現無人先贏5局且游戲意外終止的情況，則甲 乙按照游戲再繼續進行下去各自贏得全部獎金的概率之比分配獎金.記事件A為“游戲繼續進行下去甲獲得全部獎金”，試求當游戲繼續進行下去，甲獲得全部獎金的概率，并判斷當時，事件A是否為小概率事件，并說明理由.（注：若隨機事件發生的概率小于，則稱隨機事件為小概率事件）
【解析】設游戲繼續進行Y局甲獲得全部獎金，則最后一局必然甲贏.
由題知，當時，甲以贏，所以，
當時，甲以贏，所以，
甲獲得全部獎金的概率，
所以，
所以，
，，
在上單調遞減，
所以，
故事件A是小概率事件.
例6．（2024·河南信陽·高三信陽高中校考階段練習）一款擊鼓小游戲的規則如下：每盤游戲都需擊鼓三次，每次擊鼓要么出現一次音樂，要么不出現音樂；每盤游戲擊鼓三次后，出現三次音樂獲得分，出現兩次音樂獲得分，出現一次音樂獲得50分，沒有出現音樂則獲得分，設備次擊鼓出現音樂的概率為.且各次擊鼓出現音樂相互獨立.
(1)若一盤游戲中僅出現一次音樂的概率為，求的最大值點；
(2)玩過這款游戲的許多人都發現，若干盤游戲后，與最初的分數相比，分數沒有增加反而減少了.設每盤游戲的得分為隨機變量；請運用概率統計的相關知識分析分數減少的原因.
【解析】（1）由題可知，一盤游戲中僅出現一次音樂的概率為
，
，由得，或(舍)，
當時，；當時，，
∴在上單調遞增，在上單調遞減，
∴當時，有最大值，即的最大值點；
（2）由題可設每盤游戲的得分為隨機變量，則的可能值為，
，
，
所以，
令，則，
所以在單調遞增；
∴，故有，
這說明每盤游戲平均得分是負分，由概率統計的相關知識可知：
許多人經過若干盤游戲后，與最初的分數相比，分數沒有增加反而會減少.
變式6．（2024·江蘇南通·高三統考開學考試）現有甲、乙兩個盒子，甲盒中有3個紅球和1個白球，乙盒中有2個紅球和2個白球，所有的球除顏色外都相同.某人隨機選擇一個盒子，并從中隨機摸出2個球觀察顏色后放回，此過程為一次試驗.重復以上試驗，直到某次試驗中摸出2個紅球時，停止試驗.
(1)求一次試驗中摸出2個紅球的概率；
(2)在3次試驗后恰好停止試驗的條件下，求累計摸到2個紅球的概率.
【解析】（1）一次試驗摸出2個紅球的概率為.
（2）記在3次試驗后恰好停止試驗為事件，累計摸到2個紅球為事件，
∴，，，
∴.
變式7．（2024·福建莆田·高三校考開學考試）甲、乙兩名運動員進行五局三勝制的乒乓球比賽，先贏得3局的運動員獲勝，并結束比賽．設各局比賽的結果相互獨立，每局比賽甲贏的概率為，乙贏的概率為．
(1)求甲獲勝的概率；
(2)設為結束比賽所需要的局數，求隨機變量的分布列及數學期望．
【解析】（1）依題意，比賽三局且甲獲勝的概率為，
比賽四局且甲獲勝的概率為，
比賽五局且甲獲勝的概率為，
所以甲獲勝的概率為．
（2）隨機變量的取值為3，4，5，
則，
，
，
所以隨機變量的分布列為：
3 4 5
則隨機變量的數學期望為．
變式8．（2024·福建漳州·高三統考開學考試）甲、乙兩選手進行一場體育競技比賽，采用局n勝制（當一選手先贏下n局比賽時，該選手獲勝，比賽結束）.已知每局比賽甲獲勝的概率為p，乙獲勝的概率為.
(1)若，，比賽結束時的局數為X，求X的分布列與數學期望；
(2)若比對甲更有利，求p的取值范圍.
【解析】（1）依題意得，隨機變量所有可能取值為，
可得，，
所以隨機變量的分布列為
2 3
所以的數學期望.
（2）解法一：若采用3局2勝制，甲最終獲勝的概率為，
若采用5局3勝制，甲最終獲勝的概率為：
，
若采用5局3勝制比采用3局2勝制對甲更有利，則，
即
，
解得.
解法二：采用3局2勝制，不妨設賽滿3局，用表示3局比賽中甲獲勝的局數，則，
甲最終獲勝的概率為：
，
采用5局3勝制，不妨設賽滿5局，用表示5局比賽中甲獲勝的局數，則，
甲最終獲勝的概率為：
，
若采用5局3勝制比采用3局2勝制對甲更有利，則，
即
，
解得.
變式9．（2024·全國·高三專題練習）某企業包裝產品時，要求把2件優等品和(，且)件一等品裝在同一個箱子中，質檢員從某箱子中摸出兩件產品進行檢驗，若抽取到的兩件產品等級相同則該箱產品記為，否則該箱產品記為.
(1)試用含的代數式表示某箱產品抽檢被記為的概率；
(2)設抽檢5箱產品恰有3箱被記為的概率為，求當為何值時，取得最大值，并求出最大值.
【解析】（1）從件正品中任選兩個，有種選法，其中等級相同有種選法，
∴某箱產品抽檢被記為的概率
.
（2）由題意，一箱產品抽檢被記為的概率為，
則抽檢5箱產品恰有3箱被記為的概率為
，
所以
，
所以當時，，函數單調遞增，
當時，，函數單調遞減，
所以當時，取得最大值，最大值為.
此時，，且，解得，
∴當時，抽檢5箱產品恰有3箱被記為B的概率最大，最大值為.
【解題方法總結】
（1）在解復雜的題目時，可利用“正難則反”的思想，通過考查原事件的對立事件來求其概率．
（2）運用獨立重復試驗的概率公式求概率，首先要分析問題中涉及的試驗是否為次獨立重復試驗，若不符合條件，則不能應用公式求解；在求次獨立重復試驗中事件恰好發生次的概率時，首先要確定好和的值，再準確利用公式求概率．
（3）解決這類實際問題往往需把所求的概率的事件分拆為若干個事件，而這每個事件均為獨立重復試驗．
題型三：二項分布
例7．（2024·福建莆田·高三校考開學考試）已知隨機變量服從二項分布，則 .
【答案】
【解析】表示做了4次獨立實驗，每次試驗成功概率為，
，
故答案為：
例8．（2024·江蘇常州·高三常州高級中學校考開學考試）設隨機變量，記，．在研究的最大值時，某學習小組發現并證明了如下正確結論：若為正整數，當時，，此時這兩項概率均為最大值；若不為正整數，則當且僅當取的整數部分時，取最大值．某同學重復投擲一枚質地均勻的骰子并實時記錄點數1出現的次數．當投擲到第20次時，記錄到此時點數1出現4次，若繼續再進行80次投擲試驗，則在這100次投擲試驗中，點數1總共出現的次數為 的概率最大．
【答案】17
【解析】繼續再進行80次投擲試驗，出現點數為1次數服從二項分布，
由，結合題中結論可知，時概率最大，即后面80次中出現13次點數1的概率最大，
加上前面20次中的4次，所以出現17次的概率最大.
故答案為：17.
例9．（2024·黑龍江佳木斯·高三校考開學考試）設隨機變量，若，則p的值為 .
【答案】
【解析】，由于，
所以，
故答案為：
變式10．（2024·全國·高三對口高考）假設某型號的每一架飛機的引擎在飛行中出現故障的概率為，且各引擎是否有故障是獨立的，如有至少50%的引擎能正常運行，飛機就可成功飛行，若使4引擎飛機比2引擎飛機更為安全，則p的取值范圍是 ．
【答案】
【解析】由已知可得，飛機引擎運行正常的個數，
所以4引擎飛機正常運行的概率為.
2引擎飛機正常運行的概率為.
所以，.
因為4引擎飛機比2引擎飛機更為安全，所以，
即.
因為，所以.
故答案為：.
變式11．（2024·湖南常德·高三常德市一中校考階段練習）一個袋子中裝有大小相同的球，其中有個黃球，個白球，從中隨機地摸出個球作為樣本，用表示樣本中黃球的個數.
(1)若采取不放回摸球，當，，，時，求的分布列；
(2)若采取有放回摸球，當，，，時，用樣本中黃球的比例估計總體黃球的比例，求誤差不超過的概率(用分數表示).
【解析】（1）對于不放回摸球，各次試驗的結果不獨立，服從超幾何分布，
且，，
則，，，
則分布列為
0 1 2
（2）對于有放回摸球，各次試驗結果相互獨立，且每次摸到黃球的概率為，服從二項分布，即，且，，
樣本中黃球的比例為一個隨機變量，用樣本中黃球的比例估計總體黃球的比例誤差不超過的概率
.
變式12．（2024·四川遂寧·高三射洪中學校考階段練習）“雙減”政策執行以來，中學生有更多的時間參加志愿服務和體育鍛煉等課后活動.某校為了解學生課后活動的情況，從全校學生中隨機選取人，統計了他們一周參加課后活動的時間（單位：小時），分別位于區間，，，，，，用頻率分布直方圖表示如下，假設用頻率估計概率，且每個學生參加課后活動的時間相互獨立.
(1)估計全校學生一周參加課后活動的時間位于區間的概率；
(2)從全校學生中隨機選取人，記表示這人一周參加課后活動的時間在區間的人數，求的分布列和數學期望.
【解析】（1）由頻率分布直方圖知：人中，一周參加課后活動的事件位于區間的頻率為，
用頻率估計概率，全校學生一周參加課后活動的時間位于區間的概率為.
（2）用頻率估計概率，從全校學生中隨機抽取人，則該人一周參加課后活動的事件在區間的概率，，
則所有可能的取值為，
；；；；
的分布列為：
數學期望.
變式13．（2024·廣東·高三校聯考階段練習）甲、乙兩位同學決定進行一次投籃比賽，他們每次投中的概率均為P，且每次投籃相互獨立，經商定共設定5個投籃點，每個投籃點投球一次，確立的比賽規則如下：甲分別在5個投籃點投球，且每投中一次可獲得1分；乙按約定的投籃點順序依次投球，如投中可繼續進行下一次投籃，如沒有投中，投籃中止，且每投中一次可獲得2分.按累計得分高低確定勝負．
(1)若乙得6分的概率，求；
(2)由（1）問中求得的值，判斷甲、乙兩位選手誰獲勝的可能性大？
【解析】（1）若乙得6分，則需乙前3個投籃投中，第4個投籃未中，
其概率為，又，
故，解得；
（2）設為甲累計獲得的分數，則，所以，
設為乙累計獲得的分數，則的可能取值為0，2，4，6，8，10，
，，
，，
，，
所以的分布列為：
0
所以，
因為，所以甲獲勝的可能性大
變式14．（2024·浙江·高三校聯考階段練習）艾倫·麥席森·圖靈提出的圖靈測試，指測試者與被測試者在隔開的情況下，通過一些裝置（如鍵盤）向被測試者隨意提問．已知在某一輪圖靈測試中有甲、乙、丙、丁4名測試者，每名測試者向一臺機器（記為）和一個人（記為）各提出一個問題，并根據機器和人的作答來判斷誰是機器，若機器能讓至少一半的測試者產生誤判，則機器通過本輪的圖靈測試．假設每名測試者提問相互獨立，且甲、乙、丙、丁四人之間的提問互不相同，而每名測試者有的可能性會向和問同一個題．當同一名測試者提出的兩個問題相同時，機器被誤判的可能性為，當同一名測試者提的兩個問題不相同時，機器被誤判的可能性為．

(1)當回答一名測試者的問題時，求機器被誤判的概率；
(2)按現有設置程序，求機器通過本輪圖靈測試的概率．
【解析】（1）用表示事件“測試者提出的兩個問題相同”，表示事件“測試者對機器產生誤判”，則
．
（2）設為4名測試者中產生誤判的人數，由（1）可知，，
若機器通過本輪的圖靈測試，則4名測試者中至少有2名產生誤判，所以機器通過圖靈測試的概率
．
變式15．（2024·廣西玉林·高三校聯考開學考試）某醫藥企業使用新技術對某款血液試劑進行試生產.
(1)在試產初期，該款血液試劑的I批次生產有四道工序，前三道工序的生產互不影響，第四道是檢測評估工序，包括智能自動檢測與人工抽檢.已知該款血液試劑在生產中，經過前三道工序后的次品率為.第四道工序中智能自動檢測為次品的血液試劑會被自動淘汰，合格的血液試劑進入流水線并由工人進行抽查檢驗.
已知批次I的血液試劑智能自動檢測顯示合格率為98%，求工人在流水線進行人工抽檢時，抽檢一個血液試劑恰為合格品的概率；
(2)已知切比雪夫不等式：設隨機變量的期望為，方差為，則對任意，均有.藥廠宣稱該血液試劑對檢測某種疾病的有效率為，現隨機選擇了100份血液樣本，使用該血液試劑進行檢測，每份血液樣本檢測結果相互獨立，顯示有效的份數不超過60份，請結合切比雪夫不等式，通過計算說明該企業的宣傳內容是否真實可信.
【解析】（1）設批次I的血液試劑智能自動檢測合格為事件A，人工抽檢合格為事件，
由已知得，
則工人在流水線進行人工抽檢時，抽檢一個血液試劑恰為合格品的概率為
.
（2）設份血液樣本中檢測有效的份數為，假設該企業關于此新試劑有效率的宣傳內容是客觀真實的，那么在此假設下，，
，
由切比雪夫不等式，有，
即在假設下，100份血液樣本中顯示有效的份數不超過60份的概率不超過0.04，此概率很小，
據此我們有理由推斷該企業的宣傳內容不可信.
變式16．（2024·全國·高三專題練習）袋中有8個白球 2個黑球，從中隨機地連續抽取3次，每次取1個球.求：
(1)有放回抽樣時，取到黑球的個數的分布列 數學期望和方差；
(2)不放回抽樣時，取到黑球的個數的分布列 數學期望和方差.
【解析】（1）有放回抽樣時，取到的黑球數可能的取值為.又由于每次取到黑球的概率均為，3次取球可以看成3次獨立重復試驗，則.
；；；
.
因此，的分布列為
0 1 2 3
.
（2）不放回抽樣時，取到的黑球數可能的取值為，且有：
；；.
因此，的分布列為
0 1 2
.
變式17．（2024·吉林長春·高三長春外國語學校校考開學考試）第四屆應急管理普法知識競賽線上啟動儀式在3月21日上午舉行，為普及應急管理知識，某高校開展了“應急管理普法知識競賽”活動，現從參加該競賽的學生中隨機抽取100名，統計他們的成績（滿分100分），其中成績不低于80分的學生被評為“普法王者”，將數據整理后繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)若該校參賽人數達20000人，請估計其中有多少名“普法王者”；
(2)隨機從該高校參加競賽的學生中抽取3名學生，記其中“普法王者”人數為，用頻率估計概率，請你寫出的分布列.
【解析】（1）由頻率分布直方圖可知，，
解得，成績不低于80分的學生被評為“普法王者”，
則“普法王者”的頻率為，
則該校參賽人數達20000人中“普法王者”人數為.
（2）隨機從該高校參加競賽的學生中抽取3名學生，記其中“普法王者”人數為，
則的取值為0，1，2，3，
由（1）知，從中任取一人是“普法王者”的概率為，不是“普法王者”的概率為，
則，，
，；
故的分布列為：
0 1 2 3
變式18．（2024·四川攀枝花·統考三模）某企業從生產的一批產品中抽取個作為樣本，測量這些產品的一項質量指標值，由測量結果制成如圖所示的頻率分布直方圖．
(1)求這件產品質量指標值的樣本平均數（同一組數據用該區間的中點值作代表）和中位數；
(2)已知某用戶從該企業購買了件該產品，用表示這件產品中質量指標值位于內的產品件數，用頻率代替概率，求的分布列和數學期望．
【解析】（1）由已知得．
因為．設中位數為，則，
則，解得．
（2）因為購買一件產品，其質量指標值位于內的概率為，所，
，，
，，
所以的分布為
所以，．
【解題方法總結】
1、二項分布求解隨機變量涉及“至少”“至多”問題的取值概率，其實質是求在某一取值范圍內的概率，一般轉化為幾個互斥事件發生的概率的和，或者利用對立事件求概率．
2、二項分布的簡單應用是求次獨立重復試驗中事件恰好發生次的概率．解題的一般思路是：
（1）根據題意設出隨機變量；
（2）分析出隨機變量服從二項分布；
（3）找到參數，；
（4）寫出二項分布的分布列；
（5）將值代入求解概率．
題型四：超幾何分布
例10．（2024·全國·高三對口高考）廠家在產品出廠前，需對產品做檢驗，廠家將一批產品發給商家時，商家按合同規定也需隨機抽取一定數量的產品做檢驗，以決定是否接收這批產品．若廠家發給商家20件產品，其中有3件不合格，按合同規定該商家從中任取2件，都進行檢驗，只有2件都合格時才接收這批產品，否則拒收．則該商家拒收這批產品的概率是 ．
【答案】
【解析】依題意，這20件產品中有件合格品，
所以該商家接收這批產品的概率為，
故商家拒收這批產品的概率為.
故答案為：.
例11．（2024·山東棗莊·統考二模）一個袋子中有100個大小相同的球，其中有40個黃球，60個白球．采取不放回摸球，從中隨機摸出22個球作為樣本，用X表示樣本中黃球的個數．當最大時， ．
【答案】
【解析】不放回的摸球，每次實驗結果不獨立，為超幾何分布
，
最大時，即最大，
超幾何分布最大項問題，利用比值求最大項
設
則
令
故當時，嚴格增加，
當時，嚴格下降，
即時取最大值，
此題中，
根據超幾何分布的期望公式可得，
故答案為：17.8
例12．（2024·上海浦東新·高三上海市建平中學校考階段練習）莫高窟坐落在甘肅的敦煌，它是世界上現存規模最大、內容最豐富的佛教藝術勝地，每年都會吸引來自世界各地的游客參觀旅游．已知購買莫高窟正常參觀套票可以參觀8個開放洞窟，在這8個洞窟中莫高窟九層樓96號窟、莫高窟三層樓16號窟、藏經洞17號窟被譽為最值得參觀的洞窟．根據疫情防控的需要，莫高窟改為極速參觀模式，游客需從套票包含的開放洞窟中隨機選擇4個進行參觀，所有選擇中至少包含2個最值得參觀洞窟的概率是 ．
【答案】/0.5
【解析】已知8個開放洞窟中有3個最值得參觀，隨機選擇4個進行參觀，至少包含2個最值得參觀洞窟包括2個或3個兩種情況.
所求概率為.
故答案為：.
變式19．（2024·高三課時練習）袋中裝有10個除顏色外完全一樣的黑球和白球，已知從袋中任意摸出2個球，至少得到1個白球的概率是．現從該袋中任意摸出3個球，記得到白球的個數為X，則E(X)= ．
【答案】/
【解析】設袋中有個黑球，則白球有，
由題意可得：，解得或（舍去），
故X的可能取值有，則有：
，
可得X的分布列為：
X 0 1 2 3
P
故.
故答案為：.
變式20．（2024·陜西商洛·陜西省丹鳳中學校考模擬預測）某乒乓球隊訓練教官為了檢驗學員某項技能的水平，隨機抽取100名學員進行測試，并根據該項技能的評價指標，按分成8組，得到如圖所示的頻率分布直方圖．

(1)求a的值，并估計該項技能的評價指標的中位數（精確到0.1）；
(2)若采用分層抽樣的方法從評價指標在和內的學員中隨機抽取12名，再從這12名學員中隨機抽取5名學員，記抽取到學員的該項技能的評價指標在內的學員人數為，求的分布列與數學期望．
【解析】（1）由直方圖可知，
解得．
因為，
，
所以學員該項技能的評價指標的中位數在內．
設學員該項技能的評價指標的中位數為，則，
解得．
（2）由題意可知抽取的12名學員中該項技能的評價指標在內的有4名，在內的有8名．
由題意可知的所有可能取值為．
，，
，，
，
則的分布列為
0 1 2 3 4
變式21．（2024·湖南益陽·高三統考階段練習）某公司生產一種電子產品，每批產品進入市場之前，需要對其進行檢測，現從某批產品中隨機抽取9箱進行檢測，其中有5箱為一等品.
(1)若從這9箱產品中隨機抽取3箱，求至少有2箱是一等品的概率；
(2)若從這9箱產品中隨機抽取3箱，記表示抽到一等品的箱數，求的分布列和期望.
【解析】（1）設從這9箱產品中隨機抽取的3箱產品中至少有2箱是一等品的事件為，則，
因此從這9箱產品中隨機抽取3箱，求至少有2箱是一等品的概率為.
（2）由題意可知的所有可能取值為，由超幾何分布概率公式得
，，，，
所以的分布列為：
0 1 2 3
所以.
變式22．（2024·陜西·高三校聯考階段練習）人工智能（AI）是當今科技領域最熱門的話題之一，某學校組織學生參加以人工智能（AI）為主題的知識競賽，為了解該校學生在該知識競賽中的情況，現采用隨機抽樣的方法抽取了600名學生進行調查，分數分布在450～950分之間，根據調查的結果繪制的學生分數頻率分布直方圖如圖所示．將分數不低于850分的學生稱為“最佳選手”．

(1)求頻率分布直方圖中a的值，并估計該校學生分數的中位數；
(2)現采用分層抽樣的方法從分數落在，內的兩組學生中抽取7人，再從這7人中隨機抽取3人，記被抽取的3名學生中屬于“最佳選手”的學生人數為隨機變量，求的分布列及數學期望．
【解析】（1）由題意知，
解得，
分數段對應的頻率為0.1，對應的頻率為0.35，對應的頻率為0.25，
設中位數為x，則．
由，解得．
（2）由題意知從分數段對應的學生中抽取5人，
從對應的學生中抽取2人，隨機變量的所有可能取值為0，1，2．
則，
，
，
隨機變量X的分布列為
0 1 2
所以．
變式23．（2024·河北衡水·河北衡水中學校考一模）溫室是以采光覆蓋材料作為全部或部分圍護結構材料，具有透光、避雨、保溫、控溫等功能，可在冬季或其他不適宜露地植物生長的季節供栽培植物的建筑，而溫室蔬菜種植技術是一種比較常見的技術，它具有較好的保溫性能，使人們在任何時間都可吃到反季節的蔬菜，深受大眾喜愛.溫室蔬菜生長和蔬菜產品衛生質量要求的溫室內土壤、灌溉水、環境空氣等環境質量指標，其溫室蔬菜產地環境質量等級劃定如表所示.
環境質量等級 土壤各單項或綜合質量指數 灌溉水各單項或綜合質量指數 環境空氣各單項或綜合質量指數 等級名稱
清潔
尚清潔
超標
各環境要素的綜合質量指數超標，灌溉水、環境空氣可認為污染，土壤則應做進一步調研，若確對其所影響的植物（生長發育、可食部分超標或用作飲料部分超標）或周圍環境（地下水、地表水、大氣等）有危害，方能確定為污染.某鄉政府計劃對所管轄的甲、乙、丙、丁、戊、已、庚、辛，共個村發展溫室蔬菜種植，對各村試驗溫室蔬菜壞境產地質量監測得到的相關數據如下：

(1)若從這個村中隨機抽取個進行調查，求抽取的個村應對土壤做進一步調研的概率；
(2)現有一技術人員在這個村中隨機選取個進行技術指導，記為技術員選中村的環境空氣等級為尚清潔的個數，求的分布列和數學期望.
【解析】（1）由折線圖可知：應對土壤做進一步調研的村共個，
從個村中隨機抽取個進行調查，基本事件總數有個；
其中抽取的個村應對土壤做進一步調研的基本事件個數有個，
所求概率.
（2）由折線圖可知：環境空氣等級為尚清潔的村共有個，則所有可能的取值為，
；；；；
的分布列為：
數學期望.
【解題方法總結】
1、隨機變量是否服從超幾何分布的判斷
若隨機變量X服從超幾何分布，則滿足如下條件：(1)該試驗是不放回地抽取次；(2)隨機變量表示抽取到的次品件數(或類似事件)，反之亦然．
2、求超幾何分布的分布列的步驟
（1）驗證隨機變量服從超幾何分布，并確定參數，，的值；
（2）根據超幾何分布的概率計算公式計算出隨機變量取每一個值時的概率；
（3）列出分布列．
題型五：二項分布與超幾何分布的綜合應用
例13．（2024·全國·高三專題練習）2020年五一期間，銀泰百貨舉辦了一次有獎促銷活動，消費每超過600元(含600元)，均可抽獎一次，抽獎方案有兩種，顧客只能選擇其中的一種.方案一：從裝有10個形狀 大小完全相同的小球(其中紅球2個，白球1個，黑球7個)的抽獎盒中，一次性摸出3個球其中獎規則為：若摸到2個紅球和1個白球，享受免單優惠；若摸出2個紅球和1個黑球則打5折；若摸出1個白球2個黑球，則打7折；其余情況不打折.方案二：從裝有10個形狀 大小完全相同的小球(其中紅球3個，黑球7個)的抽獎盒中，有放回每次摸取1球，連摸3次，每摸到1次紅球，立減200元.
（1）若兩個顧客均分別消費了600元，且均選擇抽獎方案一，試求兩位顧客均享受免單優惠的概率；
（2）若某顧客消費恰好滿1000元，試從概率角度比較該顧客選擇哪一種抽獎方案更合算？
【解析】（1）選擇方案一若享受到免單優惠，則需要摸出三個紅球，
設顧客享受到免單優惠為事件，則，
所以兩位顧客均享受到免單的概率為；
（2）若選擇方案一，設付款金額為元，則可能的取值為、、、.
，，
，.
故的分布列為，
所以（元）.
若選擇方案二，設摸到紅球的個數為，付款金額為，則，
由已知可得，故，
所以（元）.
因為，所以該顧客選擇第二種抽獎方案更合算.
例14．（2024·全國·高三專題練習）4月23日是聯合國教科文組織確定的“世界讀書日”．為了解某地區高一學生閱讀時間的分配情況，從該地區隨機抽取了500名高一學生進行在線調查，得到了這500名學生的日平均閱讀時間（單位：小時），并將樣本數據分成，，，，，，，，九組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖．
(1)從這500名學生中隨機抽取一人，日平均閱讀時間在內的概率；
(2)為進一步了解這500名學生數字媒體閱讀時間和紙質圖書閱讀時間的分配情況，從日平均閱讀時間在，，三組內的學生中，采用分層抽樣的方法抽取了10人，現從這10人中隨機抽取3人，記日平均閱讀時間在內的學生人數為X，求X的分布列和數學期望；
(3)以樣本的頻率估計概率，從該地區所有高一學生中隨機抽取10名學生，用表示這10名學生中恰有k名學生日平均閱讀時間在內的概率，其中，1，2，…，10．當最大時，寫出k的值．（只需寫出結論）
【解析】（1）由頻率分布直方圖得：
，
解得，，所以日平均閱讀時間在內的概率為0.20；
（2）由頻率分布直方圖得：
這500名學生中日平均閱讀時間在，，，，，三組內的學生人數分別為：人，人，人，
若采用分層抽樣的方法抽取了10人，
則從日平均閱讀時間在，內的學生中抽取：人，
現從這10人中隨機抽取3人，則的可能取值為0，1，2，3，
，
，
，
，
的分布列為：
0 1 2 3
數學期望.
（3），理由如下：
由頻率分布直方圖得學生日平均閱讀時間在內的概率為0.50，從該地區所有高一學生中隨機抽取10名學生，恰有k名學生日平均閱讀時間在內的分布列服從二項分布，，由組合數的性質可得時最大.
例15．（2024·全國·鎮海中學校聯考模擬預測）某學校從全體師生中隨機抽取30位男生、30位女生、12位教師一起參加社會實踐活動.
(1)假設30位男生身高均不相同，記其身高的第80百分位數為，從學校全體男生中隨機選取3人，記為3人中身高不超過的人數，以頻率估計概率求的分布列及數學期望；
(2)從參加社會實踐活動的72人中一次性隨機選出30位，記被選出的人中恰好有個男生的概率為，求使得取得最大值的的值.
【解析】（1）所有可能的取值為，且.
；
；
；
.
故的分布列為
0 1 2 3
0.008 0.096 0.384 0.512
所以.
（2）設事件為“被選出的人中恰好有位男生”，
則30個人中剩下個人為女生或者老師，事件包含樣本點的個數為，
所以.
所以，解得.
所以，
故當時，最大.
變式24．（2024·福建福州·福州三中校考模擬預測）某市為了傳承發展中華優秀傳統文化，組織該市中學生進行了一次數學知識競賽.為了解學生對相關知識的掌握情況，隨機抽取100名學生的競賽成績（單位：分），并以此為樣本繪制了如下頻率分布直方圖.

(1)求該100名學生競賽成績的中位數；（結果保留整數）
(2)從競賽成績在的兩組的學生中，采用分層抽樣的方法抽取了10人，現從這10人中隨機抽取3人，記競賽成績在的學生人數為，求的分布列和數學期望；
(3)以樣本的頻率估計概率，從隨機抽取20名學生，用表示這20名學生中恰有名學生競賽成績在內的概率，其中．當最大時，求.
【解析】（1）由直方圖可知成績在，，，的頻率和為，而成績在的頻率為，
則抽取的100名學生成績的中位數在內，設中位數為x，則，
解得，所以該100名學生競賽成績的中位數約為；
（2）由頻率分布直方圖可得：競賽成績在，兩組的頻率之比為，
則10人中競賽成績在的人數為人；在的人數為人；
則X所有可能的取值為0，1，2，3，
于是，，
，，
所以X的分布列為：
X 0 1 2 3
P
數學期望為；
（3）用頻率估計概率，競賽成績在內的概率，
則，
．
令，解得，
當且僅當時取等號，即，
當時，，當時，，
所以當或，最大.
【解析】（1）設為事件：“在一輪比賽中，教師甲獲得優秀獎”，則事件發生的所有情況有：
所以．
則強化訓練后，教師甲在一輪比賽中可獲得“優秀獎”的概率為：
，
因為每輪比賽結果互不影響，所以進行4輪比賽可看作4重伯努利試驗．
用表示教師甲在4輪比賽中獲得“優秀獎”的次數，則．
，故教師甲不能進入復賽．
變式25．（2024·甘肅·統考一模）“稻草很輕，但是他迎著風仍然堅韌，這就是生命的力量，意志的力量”“當你為未來付出踏踏實實努力的時候，那些你覺得看不到的人和遇不到的風景都終將在你生命里出現”……當讀到這些話時，你會切身體會到讀書破萬卷給予我們的力量．為了解某普通高中學生的閱讀時間，從該校隨機抽取了名學生進行調查，得到了這名學生一周的平均閱讀時間（單位：小時），并將樣本數據分成九組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖．
(1)求的值；
(2)為進一步了解這名學生閱讀時間的分配情況，從周平均閱讀時間在，，三組內的學生中，采用分層抽樣的方法抽取了人，現從這人中隨機抽取人，記周平均閱讀時間在內的學生人數為，求的分布列和數學期望；
(3)以樣本的頻率估計概率，從該校所有學生中隨機抽取名學生，用表示這名學生中恰有名學生周平均閱讀時間在內的概率，其中．當最大時，寫出的值．
【解析】（1），.
（2）由頻率分布直方圖可得：周平均閱讀時間在，，三組的頻率之比為，
人中，周平均閱讀時間在的人數為人；在的人數為人；在的人數為人；
則所有可能的取值為，
；；；；
的分布列為：
數學期望.
（3）用頻率估計概率，從該校所有學生中隨機抽取名學生，周平均閱讀時間在內的概率；
則，
若最大，則最大，當時，取得最大值.
變式26．（2024·內蒙古·高三校考期末）電視傳媒公司為了解某地區電視觀眾對某類體育節目的收視情況，隨機抽取了名觀眾進行調查．如圖是根據調查結果繪制的觀眾日均收看該體育節目時間的頻率分布直方圖：將日均收看該體育節目時間不低于分鐘的觀眾稱為“體育迷”．將上述調查所得到的頻率視為概率．
(1)現在從該地區大量電視觀眾中，采用隨機抽樣方法每次抽取名觀眾，抽取次，記被抽取的名觀眾中的“體育迷”人數為．若每次抽取的結果是相互獨立的，求的分布列及數學期望．
(2)用分層抽樣的方法從這名“體育迷”中抽取名觀眾，再從抽取的抽取名觀眾中隨機抽取名，表示抽取的是“體育迷”的人數，求的分布列．
【解析】（1）“體育迷”對應的頻率為：，
用頻率估計概率，可知從該地區大量電視觀眾中，隨機抽取名觀眾，該觀眾是“體育迷”的概率為，則；
所有可能的取值為，
；；；；
的分布列為：
數學期望.
（2）根據分層抽樣原則知：抽取的人中，有“體育迷”人，非“體育迷”體育迷人，則所有可能的取值為，
；；；
的分布列為：
【解題方法總結】
超幾何分布和二項分布的區別
（1）超幾何分布需要知道總體的容量，而二項分布不需要；
（2）超幾何分布是“不放回”抽取，在每次試驗中某一事件發生的概率是不相同的；
而二項分布是“有放回”抽取（獨立重復），在每次試驗中某一事件發生的概率是相同的.
題型六：正態密度函數
例16．（2024·全國·高三競賽）已知兩個連續型隨機變量X，Y滿足條件，且服從標準正態分布．設函數，則的圖像大致為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】或，因為，
所以或，即或，
或或
因為服從標準正態分布，所以根據對稱性可知，所以函數關于對稱，故排除AC；
當時，，，所以或,因為，其中，，，根據原則可知，，所以排除B；
故選：D
例17．（2024·全國·高三專題練習）設隨機變量的正態分布密度函數為，，則參數，的值分別是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【解析】由正態分布密度函數表達式知，.
故選：D.
例18．（2024·河南信陽·高三河南宋基信陽實驗中學校考開學考試）某市期末教學質量檢測，甲、乙、丙三科考試成績近似服從正態分布，則由如圖曲線可得下列說法中正確的是（ ）
A．甲學科總體的均值最小
B．乙學科總體的方差及均值都居中
C．丙學科總體的方差最大
D．甲、乙、丙的總體的均值不相同
【答案】C
【解析】由題中圖象可知三科總體的平均數(均值)相等由正態密度曲線的性質,可知σ越大,正態曲線越扁平,σ越小,正態曲線越尖陡,故三科總體的標準差從小到大依次為甲、乙、丙.
故選:C.
變式27．（2024·全國·高三專題練習）已知連續型隨機變量Xi~N(ui，σi2)(i=1，2，3)，其正態曲線如圖所示，則下列結論正確的是（ ）
A．P(X1≤μ2)B．P(X2≥μ2)>P(X3≥μ3)
C．P(X1≤μ2)D．P(μi﹣2σi≤Xi≤μi+2σi)=P(μi+1﹣2σi+1≤Xi+1≤μi+1+2σi+1)(i=1，2)
【答案】D
【解析】對于A：P(X1≤μ2)是第一條正態分布密度函數圖象在第二條虛線左側與x軸圍成的部分，
P(X2≤μ1)是第二條正態分布密度函數圖象在第一條虛線左側與x軸圍成的部分，
故由圖象可知P(X1≤μ2)>P(X2≤μ1)，故A錯誤；
對于B：P(X2≥μ2)=，P(X3≥μ3)=，則P(X2≥μ2)=P(X3≥μ3)，故B錯誤；
對于C：與A分析同理，P(X1≤μ2)>P(X2≤μ3)，故C錯誤；
對于D：由于概率表示曲線和x軸圍成的部分，與是i還是i+1無關，
故P(μi﹣2σi≤Xi≤μi+2σi)=P(μi+1﹣2σi+1≤Xi+1≤μi+1+2σi+1)(i=1，2)成立，故D正確.
故選：D.
變式28．（2024·上海浦東新·高三上海市建平中學校考開學考試）某物理量的測量結果服從正態分布，下列結論中不正確的是（ ）
A．越大，該物理量在一次測量中在的概率越大
B．越小，該物理量在一次測量中大于10的概率為0.5
C．越大，該物理量在一次測量中小于9.99與大于10.01的概率相等
D．越小，該物理量在一次測量中落在與落在的概率相等
【答案】A
【解析】為數據的方差，所以越大，數據在均值附近越分散，所以測量結果落在內的概率越小，故A錯誤;
由正態分布密度曲線的對稱性可知該物理量一次測量大于10的概率為0.5，故B正確；
由正態分布密度曲線的對稱性可知該物理量一次測量結果大于10.01的概率與小于9.99的概率相等，故C正確；
由正態分布密度曲線的對稱性可知，該物理量在一次測量中落在與落在的概率相等，故D正確.
故選：A.
【解題方法總結】
求正態曲線的兩個方法
（1）圖解法：明確頂點坐標即可，橫坐標為樣本的均值，縱坐標為．
（2）待定系數法：求出，便可．
題型七：正態曲線的性質
例19．（2024·貴州貴陽·高三貴陽一中校考階段練習）若隨機變量，則下列選項錯誤的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】根據隨機變量可知正態分布曲線的對稱軸為，均值為2，方差為4，
所以，故A正確，，故B正確，
，C正確，
，故D錯誤，
故選：D
例20．（2024·湖北荊州·高三石首市第一中學校考階段練習）某校高二年級1600名學生參加期末統考，已知數學成績（滿分150分）．統計結果顯示數學考試成績在80分到120分之間的人數約為總人數的．則此次統考中數學成績不低于120分的學生人數約為（ ）
A．80 B．100 C．120 D．200
【答案】D
【解析】由題意可知：成績，則其正態曲線關于直線對稱，
又因為成績在80分到120分之間的人數約占總人數的，
由對稱性知：成績不低于120分的學生約為總人數的，
所以此次考試成績不低于120分的學生約有：人．
故選：D．
例21．（2024·吉林長春·高三長春外國語學校校考開學考試）隨機變量服從正態分布，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由隨機變量服從正態分布，其正態分布分布曲線的對稱軸為直線，
則，，
，且，，
所以，
當且僅當，即時，取等號.
故選：D.
變式29．（2024·江蘇南通·高三海安高級中學校考階段練習）南沿江高鐵即將開通，某小區居民前往高鐵站有①，②兩條路線可走，路線①穿過市區，路程較短但交通擁擠，經測算所需時間（單位為分鐘）服從正態分布；路線②騎共享單車到地鐵站，乘地鐵前往，路程長，但意外阻塞較少，經測算所需時間（單位為分鐘）服從正態分布.該小區的甲乙兩人分別有分鐘與分鐘可用，要使兩人按時到達車站的可能性更大，則甲乙選擇的路線分別為（ ）
A．① ① B．① ② C．② ① D．② ②
【答案】C
【解析】由正態分布的區間概率知，
，
令路線①所需時間，路線②所需時間
對于甲：有分鐘可走，
走第一條路線：故，
走第二條路線：則，
所以，所以應選擇路線②；
對于乙：有分鐘可走，
走第二條路線：
走第一條路線：則，
所以，所以選擇路線①.
故選：C
變式30．（2024·全國·高三專題練習）已知隨機變量X服從正態分布，下列四個命題：
甲：；乙：；
丙：；丁：
如果有且只有一個是假命題，那么該命題是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】D
【解析】因為、均等價于，
由題意可得：乙、丙均為真命題，且，
對于甲：因為，故甲為真命題；
對于丁：因為，故丁為假命題；
故選：D.
變式31．（2024·全國·模擬預測）已知隨機變量，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由題設可知，服從均值為，標準差的正態分布，服從均值為，標準差的正態分布.
事件“”的概率僅與正數有關，且越大，該事件的概率越大，因此：
和分別等價于和，故后者的概率更大，A正確，B錯誤；
和分別等價于和，兩者概率相同，C錯誤，D錯誤；
故選：A.
題型八：正態曲線概率的計算
例22．（2024·全國·高三對口高考）設，且，那么的值是（ ）
A．p B． C． D．
【答案】C
【解析】∵，正態曲線關于對稱，
∴.
故選：C.
例23．（2024·重慶·高三校聯考開學考試）已知隨機變量，隨機變量，若，，則（ ）
A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4
【答案】C
【解析】因為，，，
所以，
解得或（舍），
由，則，
所以.
故選：C.
例24．（2024·廣東·統考模擬預測）研究人員采取普查的方式調查某市國企普通職工的收入情況，記被調查的職工的收入為X，統計分析可知，則（ ）
參考數據：若，則，，.
A．0.8186 B．0.9759 C．0.74 D．0.84
【答案】D
【解析】依題意，，
所以
.
故選：D.
變式32．（2024·河北·統考模擬預測）山東煙臺某地種植的蘋果按果徑（單位：）的大小分級，其中的蘋果為特級，且該地種植的蘋果果徑．若在某一次采摘中，該地果農采摘了2萬個蘋果，則其中特級蘋果的個數約為（ ）（參考數據：，．，）
A．3000 B．13654 C．16800 D．19946
【答案】C
【解析】由，得，
，
，
所以，
所以特級蘋果的個數約為個.
故選：C.
變式33．（2024·西藏林芝·校考模擬預測）據統計，在某次聯考中，考生數學單科分數X服從正態分布，考生共50000人，估計數學單科分數在130～150分的學生人數約為（ ）
（附：若隨機變量服從正態分布，則，，）
A．1070 B．2140 C．4280 D．6795
【答案】A
【解析】由題設
，
所以數學單科分數在130～150分的學生人數約為人.
故選：A
變式34．（2024·全國·高三專題練習）已知，則，，.今有一批數量龐大的零件.假設這批零件的某項質量指標引單位：毫米）服從正態分布，現從中隨機抽取N個，這N個零件中恰有K個的質量指標ξ位于區間.若，試以使得最大的N值作為N的估計值，則N為（ ）
A．45 B．53 C．54 D．90
【答案】B
【解析】由已知可得，.
又，
所以，，.
設，
則，
所以，，所以.
，
所以，，所以.
所以，以使得最大的N值作為N的估計值，則N為.
故選：B.
變式35．（2024·全國·高三專題練習）法國數學家龐加萊是個喜歡吃面包的人，他每天都會到同一家面包店購買一個面包．該面包店的面包師聲稱自己所出售的面包的平均質量是1000g，上下浮動不超過50g．這句話用數學語言來表達就是：每個面包的質量服從期望為1000g，標準差為50g的正態分布．假設面包師的說法是真實的，記隨機購買一個面包的質量為X，若，則買一個面包的質量大于900g的概率為（ ）
（附：①隨機變量服從正態分布，則，，；）
A．0.84135 B．0.97225
C．0.97725 D．0.99865
【答案】C
【解析】由題意得，
故面包的質量大于900g的概率為.
故選：C
變式36．（2024·全國·高三專題練習）某小區有1000戶居民，各戶每月的用電量近似服從正態分布，則用電量在320度以上的居民戶數估計約為（ ）（參考數據：若隨機變量服從正態分布，則，，）
A．17 B．23 C．34 D．46
【答案】B
【解析】若隨機變量服從正態分布，
則，
.
因為這1000戶中用電量在320度以上的居民戶數估計約為，
即在這1000戶中，用電量在320度以上的用戶數約為23.
故選：B.
變式37．（2024·寧夏銀川·六盤山高級中學校考三模）已知函數在R上單調遞增的概率為，且隨機變量．則等于（ ）
[附：若，則，
．]
A．0.1359 B．0.1587 C．0.2718 D．0.3413
【答案】A
【解析】使在R上單調遞增的充要條件是，即，故.
由于隨機變量，則，即，即，.
故，
，
所以
．
故選：A．
變式38．（2024·江蘇鎮江·高三統考開學考試）已知隨機變量服從正態分布，若，則等于（ ）
A．0.484 B．0.439 C．0.878 D．0.939
【答案】B
【解析】因為，
所以.
故選：B.
變式39．（2024·重慶南岸·高三重慶市第十一中學校校考階段練習）設隨機變量服從正態分布，若，則（ ）
A．0.8 B．0.7 C．0.9 D．0.2
【答案】A
【解析】由于，所以，
所以.
故選：A
變式40．（2024·云南昆明·高三昆明一中校考階段練習）已知隨機變量服從正態分布，如果，則（ ）
A．0.3413 B．0.6826 C．0.1581 D．0.0794
【答案】A
【解析】∵隨機變量服從正態分布，∴正態曲線關于對稱，
∴，
.
故選：A.
【解題方法總結】
1、正態分布下兩類常見的概率計算
（1）利用正態分布密度曲線的對稱性研究相關概率問題，涉及的知識主要是正態曲線關于直線對稱，曲線與軸之間的面積為1．
（2）利用原則求概率問題時，要注意把給出的區間或范圍與正態變量的，進行對比聯系，確定它們屬于，，中的哪一個．
2、正態總體在某個區間內取值概率的求解策略
（1）充分利用正態曲線對稱性和曲線與軸之間面積為1．
（2）熟記，，的值．
題型九：根據正態曲線的對稱性求參數
例25．（2024·上海長寧·高三上海市延安中學校考開學考試）已知隨機變量，若，則實數的值為 .
【答案】1
【解析】由隨機變量，且，
所以與關于對稱，
即，解得；
故答案為：1
例26．（2024·上海寶山·上海交大附中校考三模）隨機變量，，若，那么實數的值為 .
【答案】
【解析】，，，，
，，解得：.
故答案為：.
例27．（2024·湖北襄陽·襄陽四中校考模擬預測）已知隨機變量，且，則的最小值為 .
【答案】8
【解析】由隨機變量，且知關于對稱，
故，由不等式，得當且僅當時取等號，
的最小值為8.
故答案為：8
變式41．（2024·吉林白山·撫松縣第一中學校考模擬預測）已知隨機變量，則的最小值為 ．
【答案】/
【解析】因為隨機變量，且，
所以，則，
因為，所以，
則，
當且僅當，即時取等號，
所以的最小值為.
故答案為：
變式42．（2024·重慶·統考三模）已知隨機變量，若，則 ．
【答案】/
【解析】由已知可得，，
根據正態分布的對稱性可得，，
所以，.
故答案為：.
變式43．（2024·遼寧沈陽·沈陽市第一二〇中學校考模擬預測）某工廠生產一批零件（單位：），其尺寸服從正態分布，且，，則 ．
【答案】16
【解析】∵，，
∴，∴.
故答案為：16
變式44．（2024·遼寧朝陽·朝陽市第一高級中學校考模擬預測）若隨機變量服從正態分布，且，則的值是 ．
【答案】/
【解析】因為隨機變量服從正態分布，且，
所以，
因為，，
所以，
故答案為：
變式45．（2024·山東青島·統考二模）某市高三年級男生的身高（單位：）近似服從正態分布，已知，若.寫出一個符合條件的的值為 .
【答案】（中的任意一個數均可）
【解析】 因為，且,
則,且，
故若，則.
故答案為:（中的任意一個數均可）.
變式46．（2024·黑龍江齊齊哈爾·高三統考期末）在某項測量中，測得變量．ξ在內取值的概率為，則ξ在內取值的概率為 ．
【答案】0.4/
【解析】因為ξ符合正態分布，所以曲線的對稱軸是，
因為ξ在內取值的概率為0.8，
所以ξ在內取值的概率為0.4．
故答案為：0.4.
【解題方法總結】
①；
②；
③若，則．
特別提醒：正態曲線，并非都關于軸對稱，只有標準正態分布曲線才關于軸對稱．
題型十：正態分布的實際應用
例28．（2024·全國·高三專題練習）某校數學組老師為了解學生數學學科核心素養整體發展水平，組織本校8000名學生進行針對性檢測（檢測分為初試和復試），并隨機抽取了100名學生的初試成績，繪制了頻率分布直方圖，如圖所示．

(1)根據頻率分布直方圖，求樣本平均數的估計值和80%分位數;
(2)若所有學生的初試成績近似服從正態分布，其中為樣本平均數的估計值，．初試成績不低于90分的學生才能參加復試，試估計能參加復試的人數;
(3)復試共三道題，規定：全部答對獲得一等獎;答對兩道題獲得二等獎;答對一道題獲得三等獎;全部答錯不獲獎．已知某學生進入了復試，他在復試中前兩道題答對的概率均為，第三道題答對的概率為．若他獲得一等獎的概率為，設他獲得二等獎的概率為，求的最小值．
附：若隨機變量服從正態分布，則，
【解析】（1）設樣本平均數的估計值為
則．
解得．所以樣本平均數的估計值為62．
前三組的頻率和為，
前四組的頻率和為，
第四組的頻率為，
所以分位數為.
（2）因為學生的初試成績近似服從正態分布，其中．
所以．所以．
所以估計能參加復試的人數為．
（3）由該學生獲一等獎的概率為可知：．
則．
令．
．
當時，;當時，．
所以在區間上是減函數，在區間上是增函數．
所以．所以的最小值為．
例29．（2024·重慶沙坪壩·高三重慶南開中學校考階段練習）某地區舉行專業技能考試，共有8000人參加，分為初試和復試，初試通過后方可參加復試．為了解考生的考試情況，隨機抽取了100名考生的初試成績繪制成如圖所示的樣本頻率分布直方圖．

(1)根據頻率分布直方圖，估計樣本的平均數；
(2)若所有考生的初試成績近似服從正態分布，其中為樣本平均數的估計值，，試估計所有考生中初試成績不低于80分的人數；
(3)復試共四道題，前兩道題考生每題答對得5分，答錯得0分，后兩道題考生每題答對得10分，答錯得0分，四道題的總得分為考生的復試成績．已知某考生進入復試，他在復試中前兩題每道題能答對的概率均為，后兩題每道題能答對的概率均為，且每道題回答正確與否互不影響．記該考生的復試成績為，求.
附：若隨機變量服從正態分布，則：，，.
【解析】（1）由題意得，樣本平均數的估計值為
.
（2）以為學生初試成績服從正態分布，其中，，
則，
所以，
所以估計初試成績不低于80分的人數為人.
（3）由題意得，，
，
所以.
例30．（2024·山東·高三校聯考開學考試）零件的精度幾乎決定了產品的質量，越精密的零件其精度要求也會越高.某企業為了提高零件產品質量，質檢部門隨機抽查了100個零件的直徑進行了統計整理，得到數據如下表：
零件直徑（單位：厘米）
零件個數 10 25 30 25 10
已知零件的直徑可視為服從正態分布，，分別為這100個零件的直徑的平均數及方差（同一組區間的直徑尺寸用該組區間的中點值代表）.
(1)分別求，的值；
(2)試估計這批零件直徑在的概率；
(3)隨機抽查2000個零件，估計在這2000個零件中，零件的直徑在的個數.
參考數據：；若隨機變量，則，，.
【解析】（1）由平均數與方差的計算公式分別得：
故，.
（2）設表示零件直徑，則，即.
，
由對稱性得， ，即.
同理，，
，即.
.
故這批零件直徑在的概率為0.8186.
（3）由（2）知，，
所以在這2000個零件中，零件的直徑在的有個.
變式47．（2024·山東臨沂·高三校聯考開學考試）在“飛彩鐫流年”文藝匯演中，諸位參賽者一展風采，奉上了一場舞與樂的盛宴．現從2000位參賽者中隨機抽取40位幸運嘉賓，統計他們的年齡數據，得樣本平均數．
(1)若所有參賽者年齡X服從正態分布，請估計參賽者年齡在30歲以上的人數；
(2)若該文藝匯演對所有參賽者的表演作品進行評級，每位參賽者只有一個表演作品且每位參賽者作品有的概率評為A類，的概率評為B類，每位參賽者作品的評級結果相互獨立．記上述40位幸運嘉賓的作品中恰有2份A類作品的概率為，求的極大值點；
(3)以（2）中確定的作為a的值，記上述幸運嘉賓的作品中的A類作品數為Y，若對這些幸運嘉賓進行頒獎，現有兩種頒獎方式：甲：A類作品參賽者獲得1000元現金，B類作品參賽者獲得100元現金；乙：A類作品參賽者獲得3000元現金，B類作品參賽者不獲得現金獎勵．根據獎金期望判斷主辦方選擇何種頒獎方式，成本可能更低．
附：若，則．
【解析】（1）因為，
則.
所以參賽者年齡在30歲以上的人數約為（人）.
（2）記，設， 其中為的極大值點.
依題意可得，
則，
令，因為，故，
所以當時，，當時，，
所以在上單調遞增，在上單調遞減，
所以在上單調遞增，在上單調遞減，
所以的極大值點；
（3）由題意知.
記分別為甲、乙兩種頒獎方式各自所發獎金總額，
因為.
所以，
所以.
故選擇甲方式成本更低.
變式48．（2024·福建廈門·廈門一中校考二模）法國數學家龐加萊是個喜歡吃面包的人，他每天都會到同一家面包店購買一個面包.該面包店的面包師聲稱自己所出售的面包的平均質量是，上下浮動不超過.這句話用數學語言來表達就是：每個面包的質量服從期望為，標準差為的正態分布.
(1)已知如下結論：若，從X的取值中隨機抽取個數據，記這k個數據的平均值為Y，則隨機變量，利用該結論解決下面問題.
（i）假設面包師的說法是真實的，隨機購買25個面包，記隨機購買25個面包的平均值為Y，求；
（ii）龐加萊每天都會將買來的面包稱重并記錄，25天后，得到的數據都落在上，并經計算25個面包質量的平均值為.龐加萊通過分析舉報了該面包師，從概率角度說明龐加萊舉報該面包師的理由；
(2)假設有兩箱面包（面包除顏色外，其他都一樣），已知第一箱中共裝有6個面包，其中黑色面包有2個；第二箱中共裝有8個面包，其中黑色面包有3個.現隨機挑選一箱，然后從該箱中隨機取出2個面包.求取出黑色面包個數的分布列及數學期望.
附：①隨機變量服從正態分布，則，，；
②通常把發生概率小于的事件稱為小概率事件，小概率事件基本不會發生.
【解析】（1）（i）因為，所以，因為，所以，因為，
所以；
（ii）由第一問知，龐加萊計算25個面包質量的平均值為978.72g，，而，為小概率事件，小概率事件基本不會發生，這就是龐加萊舉報該面包師的理由；
（2）設取出黑色面包個數為隨機變量，則的可能取值為0，1，2.
則，
，故分布列為：
0 1 2
其中數學期望.
變式49．（2024·廣東江門·高三統考階段練習）為深入學習黨的二十大精神，某學校團委組織了“青 春向黨百年路，奮進學習二十大”知識競賽活動，并從 中抽取了200 份試卷進行調查，這200 份試卷的成績（卷 面共100分）頻率分布直方圖如右圖所示．
(1)用樣本估計總體，求此次知識競賽的平均分（同一組中的數據用該組區間的中點值為代表）．
(2)可以認為這次競賽成績 X 近似地服從正態分布 N，2 （用樣本平均數和標準差 s 分別作為 、 的近似值），已知樣本標準差 s 7.36 ，如有84%的學生的競賽 成績高于學校期望的平均分，則學校期望的平均分約為多少？（結果取整數）
(3)從得分區間80，90 和90，100 的試卷中用分層抽樣的方法抽取10份試卷，再從這 10份樣本中隨機抽測3份試卷，若已知抽測的3份試卷來自于不同區間，求抽測3份試卷有2份來自區間80，90 的概率．
參考數據：若 X ~N ，2 ，則 P X 0.68 ，P 2 X 2 0.95 ， P 3 X 3 0.99 .
【解析】（1）由頻率分布直方圖可知，
平均分；
（2）由（1）可知
設學校期望的平均分約為m，則，
因為，，
所以，即，
所以學校期望的平均分約為73分；
（3）由頻率分布直方圖可知，分數在和的頻率分別為0.35和0.15，
那么按照分層抽樣，抽取10人，其中分數在，應抽取人，
分數在應抽取人，
記事件：抽測的3份試卷來自于不同區間；事件B:取出的試卷有2份來自區間80，90 ，
則，，
則．
所以抽測3份試卷有2份來自區間80，90 的概率為.
變式50．（2024·全國·高三專題練習）2022年中國共產黨第二十次全國代表大會勝利召開之際，結合鞏固深化“不忘初心、牢記使命”主題教育成果，在全體黨員中繼續開展黨史學習教育．為了配合這次學黨史活動，某地組織全體黨員干部參加黨史知識競賽，現從參加入員中隨機抽取100人，并對他們的分數進行統計，得到如圖所示的頻率分布直方圖．
(1)現從這100人中隨機抽取2人，記其中得分不低于80分的人數為，試求隨機變量的分布列及期望．
(2)由頻率分布直方圖，可以認為該地參加黨史知識競賽人員的分數X服從正態分布，其中近似為樣本平均數，近似為樣本方差，經計算．現從所有參加黨史知識競賽的人員中隨機抽取500人，且參加黨史知識競賽的人員的分數相互獨立，試問這500名參賽者的分數不低于82.3的人數最有可能是多少
參考數據：，，，．
【解析】（1）100人中得分不低于80分的人數為，
隨機變量可能的取值為0，1，2．
又，，，
則的分布列為：
0 1 2
P
．
（2）．
，
∴
，
每位參賽者分數不低于82.3的概率為0.15865，記500位參賽者中分數不低于82.3的人數為隨機變量，則，其中，
所以恰好有k個參賽者的分數不低于82.3的概率為，．
由，得．
所以當時，，
當時，，
由此可知，在這500名參賽者中分數不低于82.3的人數最有可能是79．
變式51．（2024·全國·高三專題練習）N95型口罩是新型冠狀病毒的重要防護用品，它對空氣動力學直徑的顆粒的過濾效率達到95%以上．某防護用品生產廠生產的N95型口罩對空氣動力學直徑的顆粒的過濾效率服從正態分布．
(1)當質檢員隨機抽檢10只口罩，測量出一只口罩對空氣動力學直徑的顆粒的過濾效率為93．6%時，他立即要求停止生產，檢查設備和工人工作情況．請你根據所學知識，判斷該質檢員的要求是否有道理，并說明判斷的依據．
(2)該廠將對空氣動力學直徑的顆粒的過濾效率達到95．1%以上的N95型口罩定義為“優質品”．
（ⅰ）求該企業生產的一只口罩為“優質品”的概率；
（ⅱ）該企業生產了1000只這種N95型口罩，且每只口罩互相獨立，記為這1000只口罩中“優質品”的件數，當為多少時可能性最大（即概率最大）？
【答案】(1)生產的口罩出現過濾效果在之外的值，發生的可能性很小，一旦發生，應該停止生產
(2)（ⅰ）；（ⅱ）當時，取得最大值
【解析】
（1）已知過濾效率服從．而，所以，則，即生產的口罩出現過濾效果在之外的值，發生的可能性很小，一旦發生，應該停止生產．
（2）（ⅰ）不妨記“N95口罩的過濾效果”為，則一只口罩為“優質品”的概率為
．
（ⅱ）依題意，記，，則
．
問題等價于求當取何值時取得最大值．
（解法1）由化簡得
即，從而，解得．
（解法2）由于對，，
因此：當時，；
當時，；
當時，．
由以上分析知，在上單調遞增，在上單調遞減．
代入數據得，而是正整數，所以且，故當時，取得最大值．
【反思】
由于，記，，因此最可能成功次數．所以當時，取得最大值．
題型十一：標準正態分布的應用
例31．（2024·全國·高三專題練習）2024年3月某學校舉辦了春季科技體育節，其中安排的女排賽事共有12個班級作為參賽隊伍，本次比賽啟用了新的排球用球已知這種球的質量指標（單位：g）服從正態分布，其中，.比賽賽制采取單循環方式，即每支球隊進行11場比賽，最后靠積分選出最后冠軍，積分規則如下（比賽采取5局3勝制）：比賽中以3：0或3：1取勝的球隊積3分，負隊積0分；而在比賽中以3：2取勝的球隊積2分，負隊積1分.9輪過后，積分榜上的前2名分別為1班排球隊和2班排球隊，1班排球隊積26分，2班排球隊積22分.第10輪1班排球隊對抗3班排球隊，設每局比賽1班排球隊取勝的概率為.
(1)令，則，且，求，并證明：；
(2)第10輪比賽中，記1班排球隊3：1取勝的概率為，求出的最大值點，并以作為的值，解決下列問題.
（ⅰ）在第10輪比賽中，1班排球隊所得積分為，求的分布列；
（ⅱ）已知第10輪2班排球隊積3分，判斷1班排球隊能否提前一輪奪得冠軍（第10輪過后，無論最后一輪即第11輪結果如何，1班排球隊積分最多）？若能，求出相應的概率；若不能，請說明理由.
參考數據：，則，，.
【解析】（1），又，
所以.
因為，根據正態曲線對稱性，，
又因為，所以.
（2），
.
令，得.
當時，，在上為增函數；
當時，，在上為減函數.
所以的最大值點，從而.
（ⅰ）的可能取值為3，2，1，0.
，，
，，
所以的分布列為
3 2 1 0
（ⅱ）若，則1班10輪后的總積分為29分，2班即便第10輪和第11輪都積3分，
則11輪過后的總積分是28分，，所以，1班如果第10輪積3分，
則可提前一輪奪得冠軍，其概率為.
例32．（2024·全國·高三專題練習）《山東省高考改革試點方案》規定：年高考總成績由語文、數學、外語三門統考科目和思想政治、歷史、地理、物理、化學、生物六門選考科目組成，將每門選考科目的考生原始成績從高到低劃分為、、、、、、、共8個等級，參照正態分布原則，確定各等級人數所占比例分別為、、、、、、、，選擇科目成績計入考生總成績時，將至等級內的考生原始成績，依照（、分別為正態分布的均值和標準差）分別轉換到、、、、、、、八個分數區間，得到考生的等級成績．如果山東省年某次學業水平模擬考試物理科目的原始成績，．
(1)若規定等級、、、、、為合格，、為不合格，需要補考，估計這次學業水平模擬考試物理合格線的最低原始分是多少；
(2)現隨機抽取了該省名參加此次物理學科學業水平測試的原始分，若這些學生的原始分相互獨立，記為被抽到的原始分不低于分的學生人數，求的數學期望和方差．
附：當時，，．
【解析】（1）由題意可知，學業水平模擬考試物理科目合格的比例為，
由且，可得，
由，可得，
估計這次學業水平模擬考試物理合格線的最低原始分為分.
（2）若，則，，
由題意可知，
，.
例33．（2024·全國·高三專題練習）2021年某地在全國志愿服務信息系統注冊登記志愿者8萬多人，2020年7月份以來，共完成1931個志愿服務項目，8900多名志愿者開展志愿服務活動累計超過150萬小時，為了了解此地志愿者對志愿服務的認知和參與度，隨機調查了500名志愿者每月的志愿服務時長(單位：小時)，并繪制如圖所示的頻率分布直方圖．
(1)估計這500名志愿者每月志愿服務時長的樣本平均數和樣本方差(同一組中的數據用該組數據區間的中間值代表)；
(2)由直方圖可以認為，目前該地志愿者每月服務時長X服從正態分布，其中近似為樣本平均數，近似為樣本方差.一般正態分布的概率都可以轉化為標準正態分布的概率進行計算：若，令，則，且．
(i)利用直方圖得到的正態分布，求；
(ii)從該地隨機抽取20名志愿者，記Z表示這20名志愿者中每月志愿服務時長超過10小時的人數，求(結果精確到0.001)，以及Z的數學期望(結果精確到0.01)．
參考數據：，，，，.若，則，，.
【解析】（1），
．
（2）(i)由題意并結合(1)可知，，，
∴，∴．
(ii)由(ⅰ)可知，，
∴，
∴，．
變式52．（2024·全國·高三專題練習）已知某高校共有10000名學生，其圖書館閱覽室共有994個座位，假設學生是否去自習是相互獨立的，且每個學生在每天的晚自習時間去閱覽室自習的概率均為0.1．
（1）將每天的晚自習時間去閱覽室自習的學生人數記為，求的期望和方差；
（2）18世紀30年代，數學家棣莫弗發現，當比較大時，二項分布可視為正態分布．此外，如果隨機變量，令，則．當時，對于任意實數，記．已知下表為標準正態分布表（節選），該表用于查詢標準正態分布對應的概率值．例如當時，由于，則先在表的最左列找到數字0.1（位于第三行），然后在表的最上行找到數字0.06（位于第八列），則表中位于第三行第八列的數字0.5636便是的值．
0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09
0.0 0.5000 0.5040 0.5080 0.5120 0.5160 0.5199 0.5239 0.5279 0.5319 0.5359
0.1 0.5398 0.5438 0.5478 0.5517 0.5557 0.5596 0.5636 0.5675 0.5714 0.5753
0.2 0.5793 0.5832 0.5871 0.5910 0.5948 0.5987 0.6026 0.6064 0.6103 0.6141
0.3 0.6179 0.6217 0.6255 0.6293 0.6331 0.6368 0.6404 0.6443 0.6480 0.6517
0.4 0.6554 0.6591 0.6628 0.6664 0.6700 0.6736 0.6772 0.6808， 0.6844 0.6879
0.5 0.6915 0.6950 0.6985 0.7019 0.7054 0.7088 0.7123 0.7157' 0.7190 0.7224
①求在晚自習時間閱覽室座位不夠用的概率；
②若要使在晚自習時間閱覽室座位夠用的概率高于0.7，則至少需要添加多少個座位？
【解析】（1）由題意可得，隨機變量X服從二項分布，
則，
，
（2）①由于（1）中二項分布的n值增大，
故可以認為隨機變量X服從二項分布，
由（1）可得，，
可得，則，
則，
由標準正態分布性質可得，，
故，
故，
在晚自習時間閱覽室座位不夠用的概率為；
②查表可得，，則，
即，
又，
故座位數至少要1016個，
，
故閱覽室座位至少需要添加22個．
變式53．（2024·全國·高三專題練習）2020年某地在全國志愿服務信息系統注冊登記志愿者8萬多人．2019年7月份以來，共完成1931個志愿服務項目，8900多名志愿者開展志愿服務活動累計超過150萬小時．為了了解此地志愿者對志愿服務的認知和參與度，隨機調查了500名志愿者每月的志愿服務時長（單位：小時），并繪制如圖所示的頻率分布直方圖．
（1）求這500名志愿者每月志愿服務時長的樣本平均數和樣本方差（同一組中的數據用該組區間的中間值代表）；
（2）由直方圖可以認為，目前該地志愿者每月服務時長服從正態分布，其中近似為樣本平均數，近似為樣本方差．一般正態分布的概率都可以轉化為標準正態分布的概率進行計算：若，令，則，且．
（ⅰ）利用直方圖得到的正態分布，求；
（ⅱ）從該地隨機抽取20名志愿者，記表示這20名志愿者中每月志愿服務時長超過10小時的人數，求（結果精確到0.001）以及的數學期望．
參考數據：，．若，則．
【解析】（1）．
．
（2）（ⅰ）由題知，，所以，．
所以．
（ⅱ）由（ⅰ）知，可得．
．
故的數學期望．
變式54．（2024·福建·高三統考階段練習）近一段時間來，由于受非洲豬瘟的影響，各地豬肉價格普遍上漲，生豬供不應求.各大養豬場正面臨巨大挑戰.目前各項針對性政策措施對于生豬整體產量恢復、激發養殖戶積極性的作用正在逐步顯現.現有甲、乙兩個規模一致的大型養豬場，均養有1萬頭豬，將其中重量（kg）在內的豬分為三個成長階段如下表.
豬生長的三個階段
階段 幼年期 成長期 成年期
重量（Kg）
根據以往經驗，兩個養豬場豬的體重X均近似服從正態分布.由于我國有關部門加強對大型養豬場即將投放市場的成年期豬的監控力度，高度重視成年期豬的質量保證，為了養出健康的成年活豬，甲、乙兩養豬場引入兩種不同的防控及養殖模式.已知甲、乙兩個養豬場內一頭成年期豬能通過質檢合格的概率分別為，.
（1）試估算甲養豬場三個階段豬的數量；
（2）已知甲養豬場出售一頭成年期的豬，若為健康合格的豬，則可盈利600元，若為不合格的豬，則虧損100元；乙養豬場出售一頭成年期的豬，若為健康合格的豬，則可盈利500元，若為不合格的豬，則虧損200元.
（ⅰ）記Y為甲、乙養豬場各出售一頭成年期豬所得的總利潤，求隨機變量Y的分布列；
（ⅱ）假設兩養豬場均能把成年期豬售完，求兩養豬場的總利潤期望值.
（參考數據：若，，，）
【解析】（1）由于豬的體重X近似服從正態分布，
設各階段豬的數量分別為
（頭）；
同理，
（頭）
所以，甲養豬場有幼年期豬215頭，成長期豬9544頭，成年期豬215頭；
（2）依題意，甲、乙兩個養豬場內一頭成年期豬能通過質檢合格的概率分別為
隨機變量Y可能取值為.
，，
所以Y的分布列為：
1100 400
P
所以（元）
由于各養豬場均有215頭成年期豬，一頭豬出售的利潤總和的期望為785元，
則總利潤期望為（元）.
變式55．（2024·全國·高三專題練習）為了解市高三數學復習備考情況，該市教研機構組織了一次檢測考試，并隨機抽取了部分高三理科學生數學成績繪制如圖所示的頻率分布直方圖.
（1）根據頻率分布直方圖，估計該市此次檢測理科數學的平均成績；（精確到個位）
（2）研究發現，本次檢測的理科數學成績近似服從正態分布（，約為19.3）.
①按以往的統計數據，理科數學成績能達到升一本分數要求的同學約占，據此估計本次檢測成績達到升一本的理科數學成績大約是多少分？（精確到個位）
②已知市理科考生約有10000名，某理科學生此次檢測數學成績為107分，則該學生全市排名大約是多少名？
（說明：表示的概率，用來將非標準正態分布化為標準正態分布，即，從而利用標準正態分布表，求時的概率，這里,相應于的值是指總體取值小于的概率，即.參考數據：，，）.
【解析】（1）該市此次檢測理科數學成績平均成績約為：
（分）.
（2）①記本次考試成績達到升一本的理科數學成績約為，
根據題意，，
即.
由，得
解得，
所以本次考試成績達到升一本的理科數學成績約為117分.
②，
所以理科數學成績為107分時，大約排在名
21世紀教育網(www.21cnjy.com)第92講 兩點分布、二項分布、超幾何分布與正態分布
知識梳理
知識點一．兩點分布
1、若隨機變量服從兩點分布，即其分布列為
0 1
其中，則稱離散型隨機變量服從參數為的兩點分布．其中稱為成功概率．
注意：
（1）兩點分布的試驗結果只有兩個可能性，且其概率之和為；
（2）兩點分布又稱分布、伯努利分布，其應用十分廣泛．
2、兩點分布的均值與方差：若隨機變量服從參數為的兩點分布，則，．
知識點二．次獨立重復試驗
1、定義
一般地，在相同條件下重復做的次試驗稱為次獨立重復試驗．
注意：獨立重復試驗的條件：①每次試驗在同樣條件下進行；②各次試驗是相互獨立的；③每次試驗都只有兩種結果，即事件要么發生，要么不發生．
2、特點
（1）每次試驗中，事件發生的概率是相同的；
（2）每次試驗中的事件是相互獨立的，其實質是相互獨立事件的特例．
知識點三．二項分布
1、定義
一般地，在次獨立重復試驗中，用表示事件發生的次數，設每次試驗中事件發生的概率為，不發生的概率，那么事件恰好發生次的概率是（，，，…，）
于是得到的分布列
… …
… …
由于表中第二行恰好是二項式展開式
各對應項的值，稱這樣的離散型隨機變量服從參數為，的二項分布，記作，并稱為成功概率．
注意：由二項分布的定義可以發現，兩點分布是一種特殊的二項分布，即時的二項分布，所以二項分布可以看成是兩點分布的一般形式．
2、二項分布的適用范圍及本質
（1）適用范圍：
①各次試驗中的事件是相互獨立的；
②每次試驗只有兩種結果：事件要么發生，要么不發生；
③隨機變量是這次獨立重復試驗中事件發生的次數．
（2）本質：二項分布是放回抽樣問題，在每次試驗中某一事件發生的概率是相同的．
3、二項分布的期望、方差
若，則，．
知識點四．超幾何分布
1、定義
在含有件次品的件產品中，任取件，其中恰有件次品，則事件發生的概率為，，1，2，…，，其中，且，，，，，稱分布列為超幾何分布列．如果隨機變量的分布列為超幾何分布列，則稱隨機變量服從超幾何分布．
0 1 …
…
2、超幾何分布的適用范圍件及本質
（1）適用范圍：
①考察對象分兩類；
②已知各類對象的個數；
③從中抽取若干個個體，考察某類個體個數的概率分布．
（2）本質：超幾何分布是不放回抽樣問題，在每次試驗中某一事件發生的概率是不相同的．
知識點四、正態曲線
1、定義：我們把函數，（其中是樣本均值，是樣本標準差）的圖象稱為正態分布密度曲線，簡稱正態曲線．正態曲線呈鐘形，即中間高，兩邊低．
2、正態曲線的性質
（1）曲線位于軸上方，與軸不相交；
（2）曲線是單峰的，它關于直線對稱；
（3）曲線在處達到峰值（最大值）；
（4）曲線與軸之間的面積為1；
（5）當一定時，曲線的位置由確定，曲線隨著的變化而沿軸平移，如圖甲所示：
（6）當一定時，曲線的形狀由確定．越小，曲線越“高瘦”，表示總體的分布越集中；越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散，如圖乙所示：：
　
甲 乙
知識點五、正態分布
1、定義
隨機變量落在區間的概率為，即由正態曲線，過點和點的兩條軸的垂線，及軸所圍成的平面圖形的面積，如下圖中陰影部分所示，就是落在區間的概率的近似值．
一般地，如果對于任何實數，，隨機變量滿足，則稱隨機變量服從正態分布．正態分布完全由參數，確定，因此正態分布常記作．如果隨機變量服從正態分布，則記為．
其中，參數是反映隨機變量取值的平均水平的特征數，可以用樣本的均值去估計；是衡量隨機變量總體波動大小的特征數，可以用樣本的標準差去估計．
2、原則
若，則對于任意的實數，為下圖中陰影部分的面積，對于固定的和而言，該面積隨著的減小而變大．這說明越小，落在區間的概率越大，即集中在周圍的概率越大
特別地，有；；．
由，知正態總體幾乎總取值于區間之內．而在此區間以外取值的概率只有，通常認為這種情況在一次試驗中幾乎不可能發生，即為小概率事件．在實際應用中，通常認為服從于正態分布的隨機變量只取之間的值，并簡稱之為原則．
【解題方法總結】
1、超幾何分布和二項分布的區別
（1）超幾何分布需要知道總體的容量，而二項分布不需要；
（2）超幾何分布是“不放回”抽取，在每次試驗中某一事件發生的概率是不相同的；
而二項分布是“有放回”抽取（獨立重復），在每次試驗中某一事件發生的概率是相同的.
2、在解決有關問題時，通常認為服從正態分布的隨機變量只取之間的值．如果服從正態分布的隨機變量的某些取值超出了這個范圍就說明出現了意外情況．
3、求正態變量在某區間內取值的概率的基本方法：
（1）根據題目中給出的條件確定與的值．
（2）將待求問題向，，這三個區間進行轉化；
（3）利用在上述區間的概率、正態曲線的對稱性和曲線與x軸之間的面積為1求出最后結果．
4、假設檢驗的思想
（1）統計中假設檢驗的基本思想：根據小概率事件在一次試驗中幾乎不可能發生的原則和從總體中抽測的個體的數值，對事先所作的統計假設作出判斷：是拒絕假設，還是接受假設．
（2）若隨機變量ξ服從正態分布，則ξ落在區間內的概率為，亦即落在區間之外的概率為，此為小概率事件．如果此事件發生了，就說明不服從正態分布．
（3）對于小概率事件要有一個正確的理解：
小概率事件是指發生的概率小于的事件．對于這類事件來說，在大量重復試驗中，平均每試驗大約次，才發生1次，所以認為在一次試驗中該事件是幾乎不可能發生的．不過應注意兩點：一是這里的“幾乎不可能發生”是針對“一次試驗”來說的，如果試驗次數多了，該事件當然是很可能發生的；二是當我們運用“小概率事件幾乎不可能發生的原理”進行推斷時，也有犯錯的可能性．
必考題型全歸納
題型一：兩點分布
例1．（2024·江蘇鎮江·高三江蘇省鎮江第一中學校考階段練習）若隨機變量服從兩點分布，其中，分別為隨機變量的均值與方差，則下列結論不正確的是（ ）
A． B．
C． D．
例2．（2024·全國·高三專題練習）設隨機變量服從兩點分布，若，則（ ）
A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7
例3．（2024·全國·高三專題練習）有一個盒子里有1個紅球，現將（）個黑球放入盒子后，再從盒子里隨機取一球，記取到的紅球個數為個，則隨著（）的增加，下列說法正確的是（ ）
A．減小，增加 B．增加，減小
C．增加，增加 D．減小，減小
變式1．（2024·全國·高三專題練習）已知離散型隨機變量的分布列服從兩點分布，且，則（ ）
A． B． C． D．
變式2．（2024·北京·高三專題練習）某高校“植物營養學專業”學生將雞冠花的株高增量作為研究對象，觀察長效肥和緩釋肥對農作物影響情況.其中長效肥、緩釋肥、未施肥三種處理下的雞冠花分別對應1,2,3三組.觀察一段時間后，分別從1,2,3三組隨機抽取40株雞冠花作為樣本，得到相應的株高增量數據整理如下表.
株高增量（單位：厘米）
第1組雞冠花株數 9 20 9 2
第2組雞冠花株數 4 16 16 4
第3組雞冠花株數 13 12 13 2
假設用頻率估計概率，且所有雞冠花生長情況相互獨立.
(1)從第1組所有雞冠花中隨機選取1株，估計株高增量為厘米的概率；
(2)分別從第1組，第2組，第3組的所有雞冠花中各隨機選取1株，記這3株雞冠花中恰有株的株高增量為厘米，求的分布列和數學期望；
(3)用“”表示第組雞冠花的株高增量為，“”表示第組雞冠花的株高增量為厘米，，直接寫出方差，，的大小關系.（結論不要求證明）
變式3．（2024·全國·高三專題練習）某工廠生產某種電子產品，每件產品不合格的概率均為，現工廠為提高產品聲譽，要求在交付用戶前每件產品都通過合格檢驗，已知該工廠的檢驗儀器一次最多可檢驗件該產品，且每 件產品檢驗合格與否相互獨立．若每件產品均檢驗一次，所需檢驗費用較多，該工廠提出以下檢 驗方案：將產品每個一組進行分組檢驗，如果某一組產品檢驗合格，則說明該組內產品均合格，若檢驗不合格，則說明該組內有不合格產品，再對該組內每一件產品單獨進行檢驗，如此，每一組產品只需檢驗次或次．設該工廠生產件該產品，記每件產品的平均檢驗次 數為．
（1）求的分布列及其期望；
（2）（i）試說明，當越小時，該方案越合理，即所需平均檢驗次數越少；
（ii）當時，求使該方案最合理時的值及件該產品的平均檢驗次數．
變式4．（2024·全國·高三專題練習）某單位有員工50000人，一保險公司針對該單位推出一款意外險產品，每年每位職工只需要交少量保費，發生意外后可一次性獲得若干賠償金.保險公司把該單位的所有崗位分為，，三類工種，從事三類工種的人數分布比例如餅圖所示，且這三類工種每年的賠付概率如下表所示：
工種類別
賠付概率
對于，，三類工種，職工每人每年保費分別為元 元 元，出險后的賠償金額分別為100萬元 100萬元 50萬元，保險公司在開展此項業務過程中的固定支出為每年20萬元.
(1)若保險公司要求每年收益的期望不低于保費的，證明：.
(2)現有如下兩個方案供單位選擇：方案一：單位不與保險公司合作，職工不交保險，出意外后單位自行拿出與保險公司提供的等額賠償金賠付給出意外的職工，單位開展這項工作的固定支出為每年35萬元；方案二：單位與保險公司合作，，，單位負責職工保費的，職工個人負責，出險后賠償金由保險公司賠付，單位無額外專項開支.根據該單位總支出的差異給出選擇合適方案的建議.
變式5．（2024·全國·高三專題練習）為考察本科生基本學術規范和基本學術素養，某大學決定對各學院本科畢業論文進行抽檢，初步方案是本科畢業論文抽檢每年進行一次，抽檢對象為上一學年度授予學士學位的論文，初評階段，每篇論文送位同行專家進行評審，位專家中有位以上（含位）專家評議意見為“不合格”的畢業論文，將認定為“存在問題畢業論文”.位專家中有位專家評議意見為“不合格”，將再送位同行專家（不同于前位）進行復評.復評階段，位復評專家中有位以上（含位）專家評議意見為“不合格”，將認定為“存在問題畢業論文”.每位專家，判定每篇論文“不合格”的概率均為，且各篇畢業論文是否被判定為“不合格”相互獨立.
(1)若，求每篇畢業論文被認定為“存在問題畢業論文”的概率是多少；
(2)學校擬定每篇論文需要復評的評審費用為元，不需要復評的評審費用為元，則每篇論文平均評審費用的最大值是多少？
題型二：次獨立重復試驗
例4．（2024·全國·高三專題練習）為落實立德樹人根本任務，堅持五育并舉全面推進素質教育，某學校舉行了乒乓球比賽，其中參加男子乒乓球決賽的12名隊員來自3個不同校區，三個校區的隊員人數分別是3，4，5.本次決賽的比賽賽制采取單循環方式，即每名隊員進行11場比賽（每場比賽都采取5局3勝制），最后根據積分選出最后的冠軍.積分規則如下：比賽中以或取勝的隊員積3分，失敗的隊員積0分；而在比賽中以取勝的隊員積2分，失敗的隊員的隊員積1分.已知第10輪張三對抗李四，設每局比賽張三取勝的概率均為.
(1)比賽結束后冠亞軍(沒有并列)恰好來自不同校區的概率是多少？
(2)第10輪比賽中，記張三取勝的概率為，求出的最大值點.
例5．（2024·全國·高三專題練習）甲 乙兩人參加一個游戲，該游戲設有獎金256元，誰先贏滿5局，誰便贏得全部的獎金，已知每局游戲乙贏的概率為，甲贏的概率為，每局游戲相互獨立，在乙贏了3局甲贏了1局的情況下，游戲設備出現了故障，游戲被迫終止，則獎金應該如何分配才為合理？有專家提出如下的獎金分配方案：如果出現無人先贏5局且游戲意外終止的情況，則甲 乙按照游戲再繼續進行下去各自贏得全部獎金的概率之比分配獎金.記事件A為“游戲繼續進行下去甲獲得全部獎金”，試求當游戲繼續進行下去，甲獲得全部獎金的概率，并判斷當時，事件A是否為小概率事件，并說明理由.（注：若隨機事件發生的概率小于，則稱隨機事件為小概率事件）
例6．（2024·河南信陽·高三信陽高中校考階段練習）一款擊鼓小游戲的規則如下：每盤游戲都需擊鼓三次，每次擊鼓要么出現一次音樂，要么不出現音樂；每盤游戲擊鼓三次后，出現三次音樂獲得分，出現兩次音樂獲得分，出現一次音樂獲得50分，沒有出現音樂則獲得分，設備次擊鼓出現音樂的概率為.且各次擊鼓出現音樂相互獨立.
(1)若一盤游戲中僅出現一次音樂的概率為，求的最大值點；
(2)玩過這款游戲的許多人都發現，若干盤游戲后，與最初的分數相比，分數沒有增加反而減少了.設每盤游戲的得分為隨機變量；請運用概率統計的相關知識分析分數減少的原因.
變式6．（2024·江蘇南通·高三統考開學考試）現有甲、乙兩個盒子，甲盒中有3個紅球和1個白球，乙盒中有2個紅球和2個白球，所有的球除顏色外都相同.某人隨機選擇一個盒子，并從中隨機摸出2個球觀察顏色后放回，此過程為一次試驗.重復以上試驗，直到某次試驗中摸出2個紅球時，停止試驗.
(1)求一次試驗中摸出2個紅球的概率；
(2)在3次試驗后恰好停止試驗的條件下，求累計摸到2個紅球的概率.
變式7．（2024·福建莆田·高三校考開學考試）甲、乙兩名運動員進行五局三勝制的乒乓球比賽，先贏得3局的運動員獲勝，并結束比賽．設各局比賽的結果相互獨立，每局比賽甲贏的概率為，乙贏的概率為．
(1)求甲獲勝的概率；
(2)設為結束比賽所需要的局數，求隨機變量的分布列及數學期望．
變式8．（2024·福建漳州·高三統考開學考試）甲、乙兩選手進行一場體育競技比賽，采用局n勝制（當一選手先贏下n局比賽時，該選手獲勝，比賽結束）.已知每局比賽甲獲勝的概率為p，乙獲勝的概率為.
(1)若，，比賽結束時的局數為X，求X的分布列與數學期望；
(2)若比對甲更有利，求p的取值范圍.
變式9．（2024·全國·高三專題練習）某企業包裝產品時，要求把2件優等品和(，且)件一等品裝在同一個箱子中，質檢員從某箱子中摸出兩件產品進行檢驗，若抽取到的兩件產品等級相同則該箱產品記為，否則該箱產品記為.
(1)試用含的代數式表示某箱產品抽檢被記為的概率；
(2)設抽檢5箱產品恰有3箱被記為的概率為，求當為何值時，取得最大值，并求出最大值.
【解題方法總結】
（1）在解復雜的題目時，可利用“正難則反”的思想，通過考查原事件的對立事件來求其概率．
（2）運用獨立重復試驗的概率公式求概率，首先要分析問題中涉及的試驗是否為次獨立重復試驗，若不符合條件，則不能應用公式求解；在求次獨立重復試驗中事件恰好發生次的概率時，首先要確定好和的值，再準確利用公式求概率．
（3）解決這類實際問題往往需把所求的概率的事件分拆為若干個事件，而這每個事件均為獨立重復試驗．
題型三：二項分布
例7．（2024·福建莆田·高三校考開學考試）已知隨機變量服從二項分布，則 .
例8．（2024·江蘇常州·高三常州高級中學校考開學考試）設隨機變量，記，．在研究的最大值時，某學習小組發現并證明了如下正確結論：若為正整數，當時，，此時這兩項概率均為最大值；若不為正整數，則當且僅當取的整數部分時，取最大值．某同學重復投擲一枚質地均勻的骰子并實時記錄點數1出現的次數．當投擲到第20次時，記錄到此時點數1出現4次，若繼續再進行80次投擲試驗，則在這100次投擲試驗中，點數1總共出現的次數為 的概率最大．
例9．（2024·黑龍江佳木斯·高三校考開學考試）設隨機變量，若，則p的值為 .
變式10．（2024·全國·高三對口高考）假設某型號的每一架飛機的引擎在飛行中出現故障的概率為，且各引擎是否有故障是獨立的，如有至少50%的引擎能正常運行，飛機就可成功飛行，若使4引擎飛機比2引擎飛機更為安全，則p的取值范圍是 ．
變式11．（2024·湖南常德·高三常德市一中校考階段練習）一個袋子中裝有大小相同的球，其中有個黃球，個白球，從中隨機地摸出個球作為樣本，用表示樣本中黃球的個數.
(1)若采取不放回摸球，當，，，時，求的分布列；
(2)若采取有放回摸球，當，，，時，用樣本中黃球的比例估計總體黃球的比例，求誤差不超過的概率(用分數表示).
變式12．（2024·四川遂寧·高三射洪中學校考階段練習）“雙減”政策執行以來，中學生有更多的時間參加志愿服務和體育鍛煉等課后活動.某校為了解學生課后活動的情況，從全校學生中隨機選取人，統計了他們一周參加課后活動的時間（單位：小時），分別位于區間，，，，，，用頻率分布直方圖表示如下，假設用頻率估計概率，且每個學生參加課后活動的時間相互獨立.
(1)估計全校學生一周參加課后活動的時間位于區間的概率；
(2)從全校學生中隨機選取人，記表示這人一周參加課后活動的時間在區間的人數，求的分布列和數學期望.
變式13．（2024·廣東·高三校聯考階段練習）甲、乙兩位同學決定進行一次投籃比賽，他們每次投中的概率均為P，且每次投籃相互獨立，經商定共設定5個投籃點，每個投籃點投球一次，確立的比賽規則如下：甲分別在5個投籃點投球，且每投中一次可獲得1分；乙按約定的投籃點順序依次投球，如投中可繼續進行下一次投籃，如沒有投中，投籃中止，且每投中一次可獲得2分.按累計得分高低確定勝負．
(1)若乙得6分的概率，求；
(2)由（1）問中求得的值，判斷甲、乙兩位選手誰獲勝的可能性大？
變式14．（2024·浙江·高三校聯考階段練習）艾倫·麥席森·圖靈提出的圖靈測試，指測試者與被測試者在隔開的情況下，通過一些裝置（如鍵盤）向被測試者隨意提問．已知在某一輪圖靈測試中有甲、乙、丙、丁4名測試者，每名測試者向一臺機器（記為）和一個人（記為）各提出一個問題，并根據機器和人的作答來判斷誰是機器，若機器能讓至少一半的測試者產生誤判，則機器通過本輪的圖靈測試．假設每名測試者提問相互獨立，且甲、乙、丙、丁四人之間的提問互不相同，而每名測試者有的可能性會向和問同一個題．當同一名測試者提出的兩個問題相同時，機器被誤判的可能性為，當同一名測試者提的兩個問題不相同時，機器被誤判的可能性為．

(1)當回答一名測試者的問題時，求機器被誤判的概率；
(2)按現有設置程序，求機器通過本輪圖靈測試的概率．
變式15．（2024·廣西玉林·高三校聯考開學考試）某醫藥企業使用新技術對某款血液試劑進行試生產.
(1)在試產初期，該款血液試劑的I批次生產有四道工序，前三道工序的生產互不影響，第四道是檢測評估工序，包括智能自動檢測與人工抽檢.已知該款血液試劑在生產中，經過前三道工序后的次品率為.第四道工序中智能自動檢測為次品的血液試劑會被自動淘汰，合格的血液試劑進入流水線并由工人進行抽查檢驗.
已知批次I的血液試劑智能自動檢測顯示合格率為98%，求工人在流水線進行人工抽檢時，抽檢一個血液試劑恰為合格品的概率；
(2)已知切比雪夫不等式：設隨機變量的期望為，方差為，則對任意，均有.藥廠宣稱該血液試劑對檢測某種疾病的有效率為，現隨機選擇了100份血液樣本，使用該血液試劑進行檢測，每份血液樣本檢測結果相互獨立，顯示有效的份數不超過60份，請結合切比雪夫不等式，通過計算說明該企業的宣傳內容是否真實可信.
變式16．（2024·全國·高三專題練習）袋中有8個白球 2個黑球，從中隨機地連續抽取3次，每次取1個球.求：
(1)有放回抽樣時，取到黑球的個數的分布列 數學期望和方差；
(2)不放回抽樣時，取到黑球的個數的分布列 數學期望和方差.
變式17．（2024·吉林長春·高三長春外國語學校校考開學考試）第四屆應急管理普法知識競賽線上啟動儀式在3月21日上午舉行，為普及應急管理知識，某高校開展了“應急管理普法知識競賽”活動，現從參加該競賽的學生中隨機抽取100名，統計他們的成績（滿分100分），其中成績不低于80分的學生被評為“普法王者”，將數據整理后繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)若該校參賽人數達20000人，請估計其中有多少名“普法王者”；
(2)隨機從該高校參加競賽的學生中抽取3名學生，記其中“普法王者”人數為，用頻率估計概率，請你寫出的分布列.
變式18．（2024·四川攀枝花·統考三模）某企業從生產的一批產品中抽取個作為樣本，測量這些產品的一項質量指標值，由測量結果制成如圖所示的頻率分布直方圖．
(1)求這件產品質量指標值的樣本平均數（同一組數據用該區間的中點值作代表）和中位數；
(2)已知某用戶從該企業購買了件該產品，用表示這件產品中質量指標值位于內的產品件數，用頻率代替概率，求的分布列和數學期望．
【解題方法總結】
1、二項分布求解隨機變量涉及“至少”“至多”問題的取值概率，其實質是求在某一取值范圍內的概率，一般轉化為幾個互斥事件發生的概率的和，或者利用對立事件求概率．
2、二項分布的簡單應用是求次獨立重復試驗中事件恰好發生次的概率．解題的一般思路是：
（1）根據題意設出隨機變量；
（2）分析出隨機變量服從二項分布；
（3）找到參數，；
（4）寫出二項分布的分布列；
（5）將值代入求解概率．
題型四：超幾何分布
例10．（2024·全國·高三對口高考）廠家在產品出廠前，需對產品做檢驗，廠家將一批產品發給商家時，商家按合同規定也需隨機抽取一定數量的產品做檢驗，以決定是否接收這批產品．若廠家發給商家20件產品，其中有3件不合格，按合同規定該商家從中任取2件，都進行檢驗，只有2件都合格時才接收這批產品，否則拒收．則該商家拒收這批產品的概率是 ．
例11．（2024·山東棗莊·統考二模）一個袋子中有100個大小相同的球，其中有40個黃球，60個白球．采取不放回摸球，從中隨機摸出22個球作為樣本，用X表示樣本中黃球的個數．當最大時， ．
例12．（2024·上海浦東新·高三上海市建平中學校考階段練習）莫高窟坐落在甘肅的敦煌，它是世界上現存規模最大、內容最豐富的佛教藝術勝地，每年都會吸引來自世界各地的游客參觀旅游．已知購買莫高窟正常參觀套票可以參觀8個開放洞窟，在這8個洞窟中莫高窟九層樓96號窟、莫高窟三層樓16號窟、藏經洞17號窟被譽為最值得參觀的洞窟．根據疫情防控的需要，莫高窟改為極速參觀模式，游客需從套票包含的開放洞窟中隨機選擇4個進行參觀，所有選擇中至少包含2個最值得參觀洞窟的概率是 ．
變式19．（2024·高三課時練習）袋中裝有10個除顏色外完全一樣的黑球和白球，已知從袋中任意摸出2個球，至少得到1個白球的概率是．現從該袋中任意摸出3個球，記得到白球的個數為X，則E(X)= ．
變式20．（2024·陜西商洛·陜西省丹鳳中學校考模擬預測）某乒乓球隊訓練教官為了檢驗學員某項技能的水平，隨機抽取100名學員進行測試，并根據該項技能的評價指標，按分成8組，得到如圖所示的頻率分布直方圖．

(1)求a的值，并估計該項技能的評價指標的中位數（精確到0.1）；
(2)若采用分層抽樣的方法從評價指標在和內的學員中隨機抽取12名，再從這12名學員中隨機抽取5名學員，記抽取到學員的該項技能的評價指標在內的學員人數為，求的分布列與數學期望．
變式21．（2024·湖南益陽·高三統考階段練習）某公司生產一種電子產品，每批產品進入市場之前，需要對其進行檢測，現從某批產品中隨機抽取9箱進行檢測，其中有5箱為一等品.
(1)若從這9箱產品中隨機抽取3箱，求至少有2箱是一等品的概率；
(2)若從這9箱產品中隨機抽取3箱，記表示抽到一等品的箱數，求的分布列和期望.
變式22．（2024·陜西·高三校聯考階段練習）人工智能（AI）是當今科技領域最熱門的話題之一，某學校組織學生參加以人工智能（AI）為主題的知識競賽，為了解該校學生在該知識競賽中的情況，現采用隨機抽樣的方法抽取了600名學生進行調查，分數分布在450～950分之間，根據調查的結果繪制的學生分數頻率分布直方圖如圖所示．將分數不低于850分的學生稱為“最佳選手”．

(1)求頻率分布直方圖中a的值，并估計該校學生分數的中位數；
(2)現采用分層抽樣的方法從分數落在，內的兩組學生中抽取7人，再從這7人中隨機抽取3人，記被抽取的3名學生中屬于“最佳選手”的學生人數為隨機變量，求的分布列及數學期望．
變式23．（2024·河北衡水·河北衡水中學校考一模）溫室是以采光覆蓋材料作為全部或部分圍護結構材料，具有透光、避雨、保溫、控溫等功能，可在冬季或其他不適宜露地植物生長的季節供栽培植物的建筑，而溫室蔬菜種植技術是一種比較常見的技術，它具有較好的保溫性能，使人們在任何時間都可吃到反季節的蔬菜，深受大眾喜愛.溫室蔬菜生長和蔬菜產品衛生質量要求的溫室內土壤、灌溉水、環境空氣等環境質量指標，其溫室蔬菜產地環境質量等級劃定如表所示.
環境質量等級 土壤各單項或綜合質量指數 灌溉水各單項或綜合質量指數 環境空氣各單項或綜合質量指數 等級名稱
清潔
尚清潔
超標
各環境要素的綜合質量指數超標，灌溉水、環境空氣可認為污染，土壤則應做進一步調研，若確對其所影響的植物（生長發育、可食部分超標或用作飲料部分超標）或周圍環境（地下水、地表水、大氣等）有危害，方能確定為污染.某鄉政府計劃對所管轄的甲、乙、丙、丁、戊、已、庚、辛，共個村發展溫室蔬菜種植，對各村試驗溫室蔬菜壞境產地質量監測得到的相關數據如下：

(1)若從這個村中隨機抽取個進行調查，求抽取的個村應對土壤做進一步調研的概率；
(2)現有一技術人員在這個村中隨機選取個進行技術指導，記為技術員選中村的環境空氣等級為尚清潔的個數，求的分布列和數學期望.
【解題方法總結】
1、隨機變量是否服從超幾何分布的判斷
若隨機變量X服從超幾何分布，則滿足如下條件：(1)該試驗是不放回地抽取次；(2)隨機變量表示抽取到的次品件數(或類似事件)，反之亦然．
2、求超幾何分布的分布列的步驟
（1）驗證隨機變量服從超幾何分布，并確定參數，，的值；
（2）根據超幾何分布的概率計算公式計算出隨機變量取每一個值時的概率；
（3）列出分布列．
題型五：二項分布與超幾何分布的綜合應用
例13．（2024·全國·高三專題練習）2020年五一期間，銀泰百貨舉辦了一次有獎促銷活動，消費每超過600元(含600元)，均可抽獎一次，抽獎方案有兩種，顧客只能選擇其中的一種.方案一：從裝有10個形狀 大小完全相同的小球(其中紅球2個，白球1個，黑球7個)的抽獎盒中，一次性摸出3個球其中獎規則為：若摸到2個紅球和1個白球，享受免單優惠；若摸出2個紅球和1個黑球則打5折；若摸出1個白球2個黑球，則打7折；其余情況不打折.方案二：從裝有10個形狀 大小完全相同的小球(其中紅球3個，黑球7個)的抽獎盒中，有放回每次摸取1球，連摸3次，每摸到1次紅球，立減200元.
（1）若兩個顧客均分別消費了600元，且均選擇抽獎方案一，試求兩位顧客均享受免單優惠的概率；
（2）若某顧客消費恰好滿1000元，試從概率角度比較該顧客選擇哪一種抽獎方案更合算？
例14．（2024·全國·高三專題練習）4月23日是聯合國教科文組織確定的“世界讀書日”．為了解某地區高一學生閱讀時間的分配情況，從該地區隨機抽取了500名高一學生進行在線調查，得到了這500名學生的日平均閱讀時間（單位：小時），并將樣本數據分成，，，，，，，，九組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖．
(1)從這500名學生中隨機抽取一人，日平均閱讀時間在內的概率；
(2)為進一步了解這500名學生數字媒體閱讀時間和紙質圖書閱讀時間的分配情況，從日平均閱讀時間在，，三組內的學生中，采用分層抽樣的方法抽取了10人，現從這10人中隨機抽取3人，記日平均閱讀時間在內的學生人數為X，求X的分布列和數學期望；
(3)以樣本的頻率估計概率，從該地區所有高一學生中隨機抽取10名學生，用表示這10名學生中恰有k名學生日平均閱讀時間在內的概率，其中，1，2，…，10．當最大時，寫出k的值．（只需寫出結論）
例15．（2024·全國·鎮海中學校聯考模擬預測）某學校從全體師生中隨機抽取30位男生、30位女生、12位教師一起參加社會實踐活動.
(1)假設30位男生身高均不相同，記其身高的第80百分位數為，從學校全體男生中隨機選取3人，記為3人中身高不超過的人數，以頻率估計概率求的分布列及數學期望；
(2)從參加社會實踐活動的72人中一次性隨機選出30位，記被選出的人中恰好有個男生的概率為，求使得取得最大值的的值.
變式24．（2024·福建福州·福州三中校考模擬預測）某市為了傳承發展中華優秀傳統文化，組織該市中學生進行了一次數學知識競賽.為了解學生對相關知識的掌握情況，隨機抽取100名學生的競賽成績（單位：分），并以此為樣本繪制了如下頻率分布直方圖.

(1)求該100名學生競賽成績的中位數；（結果保留整數）
(2)從競賽成績在的兩組的學生中，采用分層抽樣的方法抽取了10人，現從這10人中隨機抽取3人，記競賽成績在的學生人數為，求的分布列和數學期望；
(3)以樣本的頻率估計概率，從隨機抽取20名學生，用表示這20名學生中恰有名學生競賽成績在內的概率，其中．當最大時，求.
變式25．（2024·甘肅·統考一模）“稻草很輕，但是他迎著風仍然堅韌，這就是生命的力量，意志的力量”“當你為未來付出踏踏實實努力的時候，那些你覺得看不到的人和遇不到的風景都終將在你生命里出現”……當讀到這些話時，你會切身體會到讀書破萬卷給予我們的力量．為了解某普通高中學生的閱讀時間，從該校隨機抽取了名學生進行調查，得到了這名學生一周的平均閱讀時間（單位：小時），并將樣本數據分成九組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖．
(1)求的值；
(2)為進一步了解這名學生閱讀時間的分配情況，從周平均閱讀時間在，，三組內的學生中，采用分層抽樣的方法抽取了人，現從這人中隨機抽取人，記周平均閱讀時間在內的學生人數為，求的分布列和數學期望；
(3)以樣本的頻率估計概率，從該校所有學生中隨機抽取名學生，用表示這名學生中恰有名學生周平均閱讀時間在內的概率，其中．當最大時，寫出的值．
變式26．（2024·內蒙古·高三校考期末）電視傳媒公司為了解某地區電視觀眾對某類體育節目的收視情況，隨機抽取了名觀眾進行調查．如圖是根據調查結果繪制的觀眾日均收看該體育節目時間的頻率分布直方圖：將日均收看該體育節目時間不低于分鐘的觀眾稱為“體育迷”．將上述調查所得到的頻率視為概率．
(1)現在從該地區大量電視觀眾中，采用隨機抽樣方法每次抽取名觀眾，抽取次，記被抽取的名觀眾中的“體育迷”人數為．若每次抽取的結果是相互獨立的，求的分布列及數學期望．
(2)用分層抽樣的方法從這名“體育迷”中抽取名觀眾，再從抽取的抽取名觀眾中隨機抽取名，表示抽取的是“體育迷”的人數，求的分布列．
【解題方法總結】
超幾何分布和二項分布的區別
（1）超幾何分布需要知道總體的容量，而二項分布不需要；
（2）超幾何分布是“不放回”抽取，在每次試驗中某一事件發生的概率是不相同的；
而二項分布是“有放回”抽取（獨立重復），在每次試驗中某一事件發生的概率是相同的.
題型六：正態密度函數
例16．（2024·全國·高三競賽）已知兩個連續型隨機變量X，Y滿足條件，且服從標準正態分布．設函數，則的圖像大致為（ ）
A．B．C．D．
例17．（2024·全國·高三專題練習）設隨機變量的正態分布密度函數為，，則參數，的值分別是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
例18．（2024·河南信陽·高三河南宋基信陽實驗中學校考開學考試）某市期末教學質量檢測，甲、乙、丙三科考試成績近似服從正態分布，則由如圖曲線可得下列說法中正確的是（ ）
A．甲學科總體的均值最小
B．乙學科總體的方差及均值都居中
C．丙學科總體的方差最大
D．甲、乙、丙的總體的均值不相同
變式27．（2024·全國·高三專題練習）已知連續型隨機變量Xi~N(ui，σi2)(i=1，2，3)，其正態曲線如圖所示，則下列結論正確的是（ ）
A．P(X1≤μ2)B．P(X2≥μ2)>P(X3≥μ3)
C．P(X1≤μ2)D．P(μi﹣2σi≤Xi≤μi+2σi)=P(μi+1﹣2σi+1≤Xi+1≤μi+1+2σi+1)(i=1，2)
變式28．（2024·上海浦東新·高三上海市建平中學校考開學考試）某物理量的測量結果服從正態分布，下列結論中不正確的是（ ）
A．越大，該物理量在一次測量中在的概率越大
B．越小，該物理量在一次測量中大于10的概率為0.5
C．越大，該物理量在一次測量中小于9.99與大于10.01的概率相等
D．越小，該物理量在一次測量中落在與落在的概率相等
【解題方法總結】
求正態曲線的兩個方法
（1）圖解法：明確頂點坐標即可，橫坐標為樣本的均值，縱坐標為．
（2）待定系數法：求出，便可．
題型七：正態曲線的性質
例19．（2024·貴州貴陽·高三貴陽一中校考階段練習）若隨機變量，則下列選項錯誤的是（ ）
A． B．
C． D．
例20．（2024·湖北荊州·高三石首市第一中學校考階段練習）某校高二年級1600名學生參加期末統考，已知數學成績（滿分150分）．統計結果顯示數學考試成績在80分到120分之間的人數約為總人數的．則此次統考中數學成績不低于120分的學生人數約為（ ）
A．80 B．100 C．120 D．200
例21．（2024·吉林長春·高三長春外國語學校校考開學考試）隨機變量服從正態分布，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
變式29．（2024·江蘇南通·高三海安高級中學校考階段練習）南沿江高鐵即將開通，某小區居民前往高鐵站有①，②兩條路線可走，路線①穿過市區，路程較短但交通擁擠，經測算所需時間（單位為分鐘）服從正態分布；路線②騎共享單車到地鐵站，乘地鐵前往，路程長，但意外阻塞較少，經測算所需時間（單位為分鐘）服從正態分布.該小區的甲乙兩人分別有分鐘與分鐘可用，要使兩人按時到達車站的可能性更大，則甲乙選擇的路線分別為（ ）
A．① ① B．① ② C．② ① D．② ②
變式30．（2024·全國·高三專題練習）已知隨機變量X服從正態分布，下列四個命題：
甲：；乙：；
丙：；丁：
如果有且只有一個是假命題，那么該命題是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
變式31．（2024·全國·模擬預測）已知隨機變量，則（ ）
A． B．
C． D．
題型八：正態曲線概率的計算
例22．（2024·全國·高三對口高考）設，且，那么的值是（ ）
A．p B． C． D．
例23．（2024·重慶·高三校聯考開學考試）已知隨機變量，隨機變量，若，，則（ ）
A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4
例24．（2024·廣東·統考模擬預測）研究人員采取普查的方式調查某市國企普通職工的收入情況，記被調查的職工的收入為X，統計分析可知，則（ ）
參考數據：若，則，，.
A．0.8186 B．0.9759 C．0.74 D．0.84
變式32．（2024·河北·統考模擬預測）山東煙臺某地種植的蘋果按果徑（單位：）的大小分級，其中的蘋果為特級，且該地種植的蘋果果徑．若在某一次采摘中，該地果農采摘了2萬個蘋果，則其中特級蘋果的個數約為（ ）（參考數據：，．，）
A．3000 B．13654 C．16800 D．19946
變式33．（2024·西藏林芝·校考模擬預測）據統計，在某次聯考中，考生數學單科分數X服從正態分布，考生共50000人，估計數學單科分數在130～150分的學生人數約為（ ）
（附：若隨機變量服從正態分布，則，，）
A．1070 B．2140 C．4280 D．6795
變式34．（2024·全國·高三專題練習）已知，則，，.今有一批數量龐大的零件.假設這批零件的某項質量指標引單位：毫米）服從正態分布，現從中隨機抽取N個，這N個零件中恰有K個的質量指標ξ位于區間.若，試以使得最大的N值作為N的估計值，則N為（ ）
A．45 B．53 C．54 D．90
變式35．（2024·全國·高三專題練習）法國數學家龐加萊是個喜歡吃面包的人，他每天都會到同一家面包店購買一個面包．該面包店的面包師聲稱自己所出售的面包的平均質量是1000g，上下浮動不超過50g．這句話用數學語言來表達就是：每個面包的質量服從期望為1000g，標準差為50g的正態分布．假設面包師的說法是真實的，記隨機購買一個面包的質量為X，若，則買一個面包的質量大于900g的概率為（ ）
（附：①隨機變量服從正態分布，則，，；）
A．0.84135 B．0.97225
C．0.97725 D．0.99865
變式36．（2024·全國·高三專題練習）某小區有1000戶居民，各戶每月的用電量近似服從正態分布，則用電量在320度以上的居民戶數估計約為（ ）（參考數據：若隨機變量服從正態分布，則，，）
A．17 B．23 C．34 D．46
變式37．（2024·寧夏銀川·六盤山高級中學校考三模）已知函數在R上單調遞增的概率為，且隨機變量．則等于（ ）
[附：若，則，
．]
A．0.1359 B．0.1587 C．0.2718 D．0.3413
變式38．（2024·江蘇鎮江·高三統考開學考試）已知隨機變量服從正態分布，若，則等于（ ）
A．0.484 B．0.439 C．0.878 D．0.939
變式39．（2024·重慶南岸·高三重慶市第十一中學校校考階段練習）設隨機變量服從正態分布，若，則（ ）
A．0.8 B．0.7 C．0.9 D．0.2
變式40．（2024·云南昆明·高三昆明一中校考階段練習）已知隨機變量服從正態分布，如果，則（ ）
A．0.3413 B．0.6826 C．0.1581 D．0.0794
【解題方法總結】
1、正態分布下兩類常見的概率計算
（1）利用正態分布密度曲線的對稱性研究相關概率問題，涉及的知識主要是正態曲線關于直線對稱，曲線與軸之間的面積為1．
（2）利用原則求概率問題時，要注意把給出的區間或范圍與正態變量的，進行對比聯系，確定它們屬于，，中的哪一個．
2、正態總體在某個區間內取值概率的求解策略
（1）充分利用正態曲線對稱性和曲線與軸之間面積為1．
（2）熟記，，的值．
題型九：根據正態曲線的對稱性求參數
例25．（2024·上海長寧·高三上海市延安中學校考開學考試）已知隨機變量，若，則實數的值為 .
例26．（2024·上海寶山·上海交大附中校考三模）隨機變量，，若，那么實數的值為 .
例27．（2024·湖北襄陽·襄陽四中校考模擬預測）已知隨機變量，且，則的最小值為 .
變式41．（2024·吉林白山·撫松縣第一中學校考模擬預測）已知隨機變量，則的最小值為 ．
變式42．（2024·重慶·統考三模）已知隨機變量，若，則 ．
變式43．（2024·遼寧沈陽·沈陽市第一二〇中學校考模擬預測）某工廠生產一批零件（單位：），其尺寸服從正態分布，且，，則 ．
變式44．（2024·遼寧朝陽·朝陽市第一高級中學校考模擬預測）若隨機變量服從正態分布，且，則的值是 ．
變式45．（2024·山東青島·統考二模）某市高三年級男生的身高（單位：）近似服從正態分布，已知，若.寫出一個符合條件的的值為 .
變式46．（2024·黑龍江齊齊哈爾·高三統考期末）在某項測量中，測得變量．ξ在內取值的概率為，則ξ在內取值的概率為 ．
【解題方法總結】
①；
②；
③若，則．
特別提醒：正態曲線，并非都關于軸對稱，只有標準正態分布曲線才關于軸對稱．
題型十：正態分布的實際應用
例28．（2024·全國·高三專題練習）某校數學組老師為了解學生數學學科核心素養整體發展水平，組織本校8000名學生進行針對性檢測（檢測分為初試和復試），并隨機抽取了100名學生的初試成績，繪制了頻率分布直方圖，如圖所示．

(1)根據頻率分布直方圖，求樣本平均數的估計值和80%分位數;
(2)若所有學生的初試成績近似服從正態分布，其中為樣本平均數的估計值，．初試成績不低于90分的學生才能參加復試，試估計能參加復試的人數;
(3)復試共三道題，規定：全部答對獲得一等獎;答對兩道題獲得二等獎;答對一道題獲得三等獎;全部答錯不獲獎．已知某學生進入了復試，他在復試中前兩道題答對的概率均為，第三道題答對的概率為．若他獲得一等獎的概率為，設他獲得二等獎的概率為，求的最小值．
附：若隨機變量服從正態分布，則，
例29．（2024·重慶沙坪壩·高三重慶南開中學校考階段練習）某地區舉行專業技能考試，共有8000人參加，分為初試和復試，初試通過后方可參加復試．為了解考生的考試情況，隨機抽取了100名考生的初試成績繪制成如圖所示的樣本頻率分布直方圖．

(1)根據頻率分布直方圖，估計樣本的平均數；
(2)若所有考生的初試成績近似服從正態分布，其中為樣本平均數的估計值，，試估計所有考生中初試成績不低于80分的人數；
(3)復試共四道題，前兩道題考生每題答對得5分，答錯得0分，后兩道題考生每題答對得10分，答錯得0分，四道題的總得分為考生的復試成績．已知某考生進入復試，他在復試中前兩題每道題能答對的概率均為，后兩題每道題能答對的概率均為，且每道題回答正確與否互不影響．記該考生的復試成績為，求.
附：若隨機變量服從正態分布，則：，，.
例30．（2024·山東·高三校聯考開學考試）零件的精度幾乎決定了產品的質量，越精密的零件其精度要求也會越高.某企業為了提高零件產品質量，質檢部門隨機抽查了100個零件的直徑進行了統計整理，得到數據如下表：
零件直徑（單位：厘米）
零件個數 10 25 30 25 10
已知零件的直徑可視為服從正態分布，，分別為這100個零件的直徑的平均數及方差（同一組區間的直徑尺寸用該組區間的中點值代表）.
(1)分別求，的值；
(2)試估計這批零件直徑在的概率；
(3)隨機抽查2000個零件，估計在這2000個零件中，零件的直徑在的個數.
參考數據：；若隨機變量，則，，.
變式47．（2024·山東臨沂·高三校聯考開學考試）在“飛彩鐫流年”文藝匯演中，諸位參賽者一展風采，奉上了一場舞與樂的盛宴．現從2000位參賽者中隨機抽取40位幸運嘉賓，統計他們的年齡數據，得樣本平均數．
(1)若所有參賽者年齡X服從正態分布，請估計參賽者年齡在30歲以上的人數；
(2)若該文藝匯演對所有參賽者的表演作品進行評級，每位參賽者只有一個表演作品且每位參賽者作品有的概率評為A類，的概率評為B類，每位參賽者作品的評級結果相互獨立．記上述40位幸運嘉賓的作品中恰有2份A類作品的概率為，求的極大值點；
(3)以（2）中確定的作為a的值，記上述幸運嘉賓的作品中的A類作品數為Y，若對這些幸運嘉賓進行頒獎，現有兩種頒獎方式：甲：A類作品參賽者獲得1000元現金，B類作品參賽者獲得100元現金；乙：A類作品參賽者獲得3000元現金，B類作品參賽者不獲得現金獎勵．根據獎金期望判斷主辦方選擇何種頒獎方式，成本可能更低．
附：若，則．
變式48．（2024·福建廈門·廈門一中校考二模）法國數學家龐加萊是個喜歡吃面包的人，他每天都會到同一家面包店購買一個面包.該面包店的面包師聲稱自己所出售的面包的平均質量是，上下浮動不超過.這句話用數學語言來表達就是：每個面包的質量服從期望為，標準差為的正態分布.
(1)已知如下結論：若，從X的取值中隨機抽取個數據，記這k個數據的平均值為Y，則隨機變量，利用該結論解決下面問題.
（i）假設面包師的說法是真實的，隨機購買25個面包，記隨機購買25個面包的平均值為Y，求；
（ii）龐加萊每天都會將買來的面包稱重并記錄，25天后，得到的數據都落在上，并經計算25個面包質量的平均值為.龐加萊通過分析舉報了該面包師，從概率角度說明龐加萊舉報該面包師的理由；
(2)假設有兩箱面包（面包除顏色外，其他都一樣），已知第一箱中共裝有6個面包，其中黑色面包有2個；第二箱中共裝有8個面包，其中黑色面包有3個.現隨機挑選一箱，然后從該箱中隨機取出2個面包.求取出黑色面包個數的分布列及數學期望.
附：①隨機變量服從正態分布，則，，；
②通常把發生概率小于的事件稱為小概率事件，小概率事件基本不會發生.
變式49．（2024·廣東江門·高三統考階段練習）為深入學習黨的二十大精神，某學校團委組織了“青 春向黨百年路，奮進學習二十大”知識競賽活動，并從 中抽取了200 份試卷進行調查，這200 份試卷的成績（卷 面共100分）頻率分布直方圖如右圖所示．
(1)用樣本估計總體，求此次知識競賽的平均分（同一組中的數據用該組區間的中點值為代表）．
(2)可以認為這次競賽成績 X 近似地服從正態分布 N，2 （用樣本平均數和標準差 s 分別作為 、 的近似值），已知樣本標準差 s 7.36 ，如有84%的學生的競賽 成績高于學校期望的平均分，則學校期望的平均分約為多少？（結果取整數）
(3)從得分區間80，90 和90，100 的試卷中用分層抽樣的方法抽取10份試卷，再從這 10份樣本中隨機抽測3份試卷，若已知抽測的3份試卷來自于不同區間，求抽測3份試卷有2份來自區間80，90 的概率．
參考數據：若 X ~N ，2 ，則 P X 0.68 ，P 2 X 2 0.95 ， P 3 X 3 0.99 .
變式50．（2024·全國·高三專題練習）2022年中國共產黨第二十次全國代表大會勝利召開之際，結合鞏固深化“不忘初心、牢記使命”主題教育成果，在全體黨員中繼續開展黨史學習教育．為了配合這次學黨史活動，某地組織全體黨員干部參加黨史知識競賽，現從參加入員中隨機抽取100人，并對他們的分數進行統計，得到如圖所示的頻率分布直方圖．
(1)現從這100人中隨機抽取2人，記其中得分不低于80分的人數為，試求隨機變量的分布列及期望．
(2)由頻率分布直方圖，可以認為該地參加黨史知識競賽人員的分數X服從正態分布，其中近似為樣本平均數，近似為樣本方差，經計算．現從所有參加黨史知識競賽的人員中隨機抽取500人，且參加黨史知識競賽的人員的分數相互獨立，試問這500名參賽者的分數不低于82.3的人數最有可能是多少
參考數據：，，，．
變式51．（2024·全國·高三專題練習）N95型口罩是新型冠狀病毒的重要防護用品，它對空氣動力學直徑的顆粒的過濾效率達到95%以上．某防護用品生產廠生產的N95型口罩對空氣動力學直徑的顆粒的過濾效率服從正態分布．
(1)當質檢員隨機抽檢10只口罩，測量出一只口罩對空氣動力學直徑的顆粒的過濾效率為93．6%時，他立即要求停止生產，檢查設備和工人工作情況．請你根據所學知識，判斷該質檢員的要求是否有道理，并說明判斷的依據．
(2)該廠將對空氣動力學直徑的顆粒的過濾效率達到95．1%以上的N95型口罩定義為“優質品”．
（ⅰ）求該企業生產的一只口罩為“優質品”的概率；
（ⅱ）該企業生產了1000只這種N95型口罩，且每只口罩互相獨立，記為這1000只口罩中“優質品”的件數，當為多少時可能性最大（即概率最大）？
題型十一：標準正態分布的應用
例31．（2024·全國·高三專題練習）2024年3月某學校舉辦了春季科技體育節，其中安排的女排賽事共有12個班級作為參賽隊伍，本次比賽啟用了新的排球用球已知這種球的質量指標（單位：g）服從正態分布，其中，.比賽賽制采取單循環方式，即每支球隊進行11場比賽，最后靠積分選出最后冠軍，積分規則如下（比賽采取5局3勝制）：比賽中以3：0或3：1取勝的球隊積3分，負隊積0分；而在比賽中以3：2取勝的球隊積2分，負隊積1分.9輪過后，積分榜上的前2名分別為1班排球隊和2班排球隊，1班排球隊積26分，2班排球隊積22分.第10輪1班排球隊對抗3班排球隊，設每局比賽1班排球隊取勝的概率為.
(1)令，則，且，求，并證明：；
(2)第10輪比賽中，記1班排球隊3：1取勝的概率為，求出的最大值點，并以作為的值，解決下列問題.
（ⅰ）在第10輪比賽中，1班排球隊所得積分為，求的分布列；
（ⅱ）已知第10輪2班排球隊積3分，判斷1班排球隊能否提前一輪奪得冠軍（第10輪過后，無論最后一輪即第11輪結果如何，1班排球隊積分最多）？若能，求出相應的概率；若不能，請說明理由.
參考數據：，則，，.
例32．（2024·全國·高三專題練習）《山東省高考改革試點方案》規定：年高考總成績由語文、數學、外語三門統考科目和思想政治、歷史、地理、物理、化學、生物六門選考科目組成，將每門選考科目的考生原始成績從高到低劃分為、、、、、、、共8個等級，參照正態分布原則，確定各等級人數所占比例分別為、、、、、、、，選擇科目成績計入考生總成績時，將至等級內的考生原始成績，依照（、分別為正態分布的均值和標準差）分別轉換到、、、、、、、八個分數區間，得到考生的等級成績．如果山東省年某次學業水平模擬考試物理科目的原始成績，．
(1)若規定等級、、、、、為合格，、為不合格，需要補考，估計這次學業水平模擬考試物理合格線的最低原始分是多少；
(2)現隨機抽取了該省名參加此次物理學科學業水平測試的原始分，若這些學生的原始分相互獨立，記為被抽到的原始分不低于分的學生人數，求的數學期望和方差．
附：當時，，．
例33．（2024·全國·高三專題練習）2021年某地在全國志愿服務信息系統注冊登記志愿者8萬多人，2020年7月份以來，共完成1931個志愿服務項目，8900多名志愿者開展志愿服務活動累計超過150萬小時，為了了解此地志愿者對志愿服務的認知和參與度，隨機調查了500名志愿者每月的志愿服務時長(單位：小時)，并繪制如圖所示的頻率分布直方圖．
(1)估計這500名志愿者每月志愿服務時長的樣本平均數和樣本方差(同一組中的數據用該組數據區間的中間值代表)；
(2)由直方圖可以認為，目前該地志愿者每月服務時長X服從正態分布，其中近似為樣本平均數，近似為樣本方差.一般正態分布的概率都可以轉化為標準正態分布的概率進行計算：若，令，則，且．
(i)利用直方圖得到的正態分布，求；
(ii)從該地隨機抽取20名志愿者，記Z表示這20名志愿者中每月志愿服務時長超過10小時的人數，求(結果精確到0.001)，以及Z的數學期望(結果精確到0.01)．
參考數據：，，，，.若，則，，.
變式52．（2024·全國·高三專題練習）已知某高校共有10000名學生，其圖書館閱覽室共有994個座位，假設學生是否去自習是相互獨立的，且每個學生在每天的晚自習時間去閱覽室自習的概率均為0.1．
（1）將每天的晚自習時間去閱覽室自習的學生人數記為，求的期望和方差；
（2）18世紀30年代，數學家棣莫弗發現，當比較大時，二項分布可視為正態分布．此外，如果隨機變量，令，則．當時，對于任意實數，記．已知下表為標準正態分布表（節選），該表用于查詢標準正態分布對應的概率值．例如當時，由于，則先在表的最左列找到數字0.1（位于第三行），然后在表的最上行找到數字0.06（位于第八列），則表中位于第三行第八列的數字0.5636便是的值．
0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09
0.0 0.5000 0.5040 0.5080 0.5120 0.5160 0.5199 0.5239 0.5279 0.5319 0.5359
0.1 0.5398 0.5438 0.5478 0.5517 0.5557 0.5596 0.5636 0.5675 0.5714 0.5753
0.2 0.5793 0.5832 0.5871 0.5910 0.5948 0.5987 0.6026 0.6064 0.6103 0.6141
0.3 0.6179 0.6217 0.6255 0.6293 0.6331 0.6368 0.6404 0.6443 0.6480 0.6517
0.4 0.6554 0.6591 0.6628 0.6664 0.6700 0.6736 0.6772 0.6808， 0.6844 0.6879
0.5 0.6915 0.6950 0.6985 0.7019 0.7054 0.7088 0.7123 0.7157' 0.7190 0.7224
①求在晚自習時間閱覽室座位不夠用的概率；
②若要使在晚自習時間閱覽室座位夠用的概率高于0.7，則至少需要添加多少個座位？
變式53．（2024·全國·高三專題練習）2020年某地在全國志愿服務信息系統注冊登記志愿者8萬多人．2019年7月份以來，共完成1931個志愿服務項目，8900多名志愿者開展志愿服務活動累計超過150萬小時．為了了解此地志愿者對志愿服務的認知和參與度，隨機調查了500名志愿者每月的志愿服務時長（單位：小時），并繪制如圖所示的頻率分布直方圖．
（1）求這500名志愿者每月志愿服務時長的樣本平均數和樣本方差（同一組中的數據用該組區間的中間值代表）；
（2）由直方圖可以認為，目前該地志愿者每月服務時長服從正態分布，其中近似為樣本平均數，近似為樣本方差．一般正態分布的概率都可以轉化為標準正態分布的概率進行計算：若，令，則，且．
（ⅰ）利用直方圖得到的正態分布，求；
（ⅱ）從該地隨機抽取20名志愿者，記表示這20名志愿者中每月志愿服務時長超過10小時的人數，求（結果精確到0.001）以及的數學期望．
參考數據：，．若，則．
變式54．（2024·福建·高三統考階段練習）近一段時間來，由于受非洲豬瘟的影響，各地豬肉價格普遍上漲，生豬供不應求.各大養豬場正面臨巨大挑戰.目前各項針對性政策措施對于生豬整體產量恢復、激發養殖戶積極性的作用正在逐步顯現.現有甲、乙兩個規模一致的大型養豬場，均養有1萬頭豬，將其中重量（kg）在內的豬分為三個成長階段如下表.
豬生長的三個階段
階段 幼年期 成長期 成年期
重量（Kg）
根據以往經驗，兩個養豬場豬的體重X均近似服從正態分布.由于我國有關部門加強對大型養豬場即將投放市場的成年期豬的監控力度，高度重視成年期豬的質量保證，為了養出健康的成年活豬，甲、乙兩養豬場引入兩種不同的防控及養殖模式.已知甲、乙兩個養豬場內一頭成年期豬能通過質檢合格的概率分別為，.
（1）試估算甲養豬場三個階段豬的數量；
（2）已知甲養豬場出售一頭成年期的豬，若為健康合格的豬，則可盈利600元，若為不合格的豬，則虧損100元；乙養豬場出售一頭成年期的豬，若為健康合格的豬，則可盈利500元，若為不合格的豬，則虧損200元.
（ⅰ）記Y為甲、乙養豬場各出售一頭成年期豬所得的總利潤，求隨機變量Y的分布列；
（ⅱ）假設兩養豬場均能把成年期豬售完，求兩養豬場的總利潤期望值.
（參考數據：若，，，）
變式55．（2024·全國·高三專題練習）為了解市高三數學復習備考情況，該市教研機構組織了一次檢測考試，并隨機抽取了部分高三理科學生數學成績繪制如圖所示的頻率分布直方圖.
（1）根據頻率分布直方圖，估計該市此次檢測理科數學的平均成績；（精確到個位）
（2）研究發現，本次檢測的理科數學成績近似服從正態分布（，約為19.3）.
①按以往的統計數據，理科數學成績能達到升一本分數要求的同學約占，據此估計本次檢測成績達到升一本的理科數學成績大約是多少分？（精確到個位）
②已知市理科考生約有10000名，某理科學生此次檢測數學成績為107分，則該學生全市排名大約是多少名？
（說明：表示的概率，用來將非標準正態分布化為標準正態分布，即，從而利用標準正態分布表，求時的概率，這里,相應于的值是指總體取值小于的概率，即.參考數據：，，）
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