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第61講 圓中的范圍與最值
知識梳理
1、涉及與圓有關的最值，可借助圖形性質，利用數形結合求解．一般地：
（1）形如的最值問題，可轉化為動直線斜率的最值問題．
（2）形如的最值問題，可轉化為動直線截距的最值問題．
（3）形如的最值問題，可轉化為曲線上的點到點（a，b）的距離平方的最值問題.
2、解決圓中的范圍與最值問題常用的策略：
（1）數形結合
（2）多與圓心聯系
（3）參數方程
（4）代數角度轉化成函數值域問題
必考題型全歸納
題型一：斜率型
例1．（2024·江蘇·高二專題練習）已知點在圓上運動，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】看作圓上的點到點的直線的斜率的相反數.
當經過點的直線與上半圓相切時，切線斜率最小，
設切線方程為，所以圓心到切線的距離等于半徑，故，解得 故當時，切線斜率最小，此時最大，最大值為，
故選：C
例2．（多選題）（2024·浙江嘉興·高二校考階段練習）已知點在圓上運動，則下列選項正確的是（ ）
A．的最大值為，最小值為
B．的最大值為，最小值為；
C．的最大值為，最小值為；
D．的最大值為，最小值為；
【答案】BC
【解析】（1）設，整理得，則表示點與點連線的斜率．
當該直線與圓相切時，取得最大值與最小值，所以，解得，
所以的最大值為，最小值為；
（2）設，整理得，則表示直線在軸上的截距．
當該直線與圓相切時，取得最大值與最小值，所以，解得，
的最大值為，最小值為．
故選：BC.
例3．（2024·全國·高三專題練習）已知為圓：上任意一點，則的最大值為 .
【答案】
【解析】
由于，故表示和連線的斜率，設，如圖所示，當與圓相切時，取得最大值，
設此時，即，又圓心，半徑為1，故，解得，
故的最大值為.
故答案為：.
變式1．（2024·重慶沙坪壩·高二重慶南開中學校考階段練習）已知為圓C：上任意一點，且點．
（1）求的最大值和最小值．
（2）求的最大值和最小值．
（3）求的最大值和最小值．
【解析】（1）圓C：，如圖所示，連接QC交圓C于AB兩點，當M與A重合時取得最小值，
即，
與B重合時取得最大值即，故最大值為，最小值為；
（2）易知，由圖形知當與圓C相切時取得最值，如圖所示.
可設，則C到其距離為，解得，
故最大值為，最小值為
（3）設，如圖所示，即過點M的直線的截距，如圖所示，當該直線與圓相切時截距取得最值.圓心C到該直線的距離為，所以或9，故最大值為9，最小值為1.
題型二：直線型
例4．（2024·全國·高三專題練習）點是圓上的動點，則的最大值是 .
【答案】
【解析】由，則，當且僅當時等號成立，
∴的最大值是.
故答案為：.
例5．（2024·江西吉安·寧岡中學校考一模）已知點是圓上的動點，則的最大值為（ ）
A． B． C．6 D．5
【答案】A
【解析】由，令，則，
所以當時，的最大值為.
故選：A
例6．（2024·全國·高三專題練習）已知點是圓：上的一動點，若圓經過點，則的最大值與最小值之和為（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】C
【解析】因為圓：經過點，
．又，所以，
可看成是直線在軸上的截距.如圖所示，
當直線與圓相切時，縱截距取得最大值或最小值，此時，解得，
所以的最大值為，最小值為，故的最大值與最小值之和為.
故選：C．
題型三：距離型
例7．（2024·黑龍江佳木斯·高二佳木斯一中校考期中）阿波羅尼斯是古希臘著名數學家，與歐幾里得、阿基米德被稱為亞歷山大時期數學三巨匠，他對圓錐曲線有深刻而系統的研究，阿波羅尼斯圓就是他的研究成果之一，指的是：已知動點與兩個定點,的距離之比為（，且），那么點的軌跡就是阿波羅尼斯圓．若平面內兩定點,間的距離為，動點滿足，則的最大值為
【答案】/
【解析】由題可知,
不妨設：
所以有，
因為
得，整理得，得，
顯然，得，解得：
有=
因為，
所以當時，有最大值為
故答案為：
例8．（2024·江蘇宿遷·高二校考階段練習）已知為圓上任意一點，且．
(1)求的最大值和最小值；
(2)若，求的最大值和最小值；
(3)若，求的最大值和最小值．
【解析】（1）因為，即在圓外，
圓的圓心，半徑，
，
因為，即，
所以的最大值為，最小值為；
（2）圓的圓心，半徑，
令可得，即圓和直線總有公共點求的最大值和最小值，
即，解得，
所以的最大值為，最小值為；
（3），
令，
當即時，
此時點在圓外，所以，求的最大值和最小值轉化為求
圓與圓總有公共點求的最大值和最小值，而
兩圓心的距離為，
當兩圓外切時，解得，此時，
當兩圓內切時，兩圓心的距離，所以只能圓在圓的內部，
所以，解得，此時，
所以的最大值為，最小值為．
例9．（2024·高一課時練習）已知點在直線上運動，求的最小值及取得最小值時點的坐標．
【解析】因為，可看作定點與直線上任意一點距離的平方，所以距離最小值即是點到直線的距離，
由點到直線的距離公式可得最小值為；
此時直線與直線垂直，所以直線的方程為，即，
由得，即.
故的最小值為，此時點P的坐標為.
變式2．（2024·高二課時練習）已知點在直線上運動，則取得最小值時點的坐標為 ．
【答案】
【解析】轉化為直線上的點到點的距離的平方，
又點到直線的距離最小，
過點且與直線垂直的直線為
因此兩直線聯立，，解得
故點的坐標為
變式3．（2024·全國·高二專題練習）已知為圓上任意一點．則的最大值為
【答案】/
【解析】圓即，
故圓心，半徑為，
又表示圓C上的點M到點的距離，
故其最大值為，
故答案為：
變式4．（2024·全國·高三專題練習）已知平面向量，，，滿足，，，則的最小值為（ ）
A．1 B． C．3 D．
【答案】A
【解析】因為，，
所以，
所以對任意都恒成立，
所以.
不妨設又.
當，設，
所以，
所以，
所以，
所以對應的點的軌跡是以為圓心，以2為半徑的圓，
所以可以看成是到的距離，
所以的最小值為.
當時，同理可得的最小值為1.
故選：A
變式5．（2024·廣東東莞·高一東莞高級中學校考階段練習）已知點，點在圓上運動，則的最大值為（ ）
A．22 B．26 C．30 D．32
【答案】C
【解析】設點,點在圓上運動,滿足,且,
當時,取得最大值是;
故選:.
題型四：周長面積型
例10．（2024·江蘇·高二假期作業）已知兩點，，點是圓上任意一點，則面積的最大值為 ，最小值為 .
【答案】
【解析】因為兩點，，
所以直線的方程為：，即，，
圓，其圓心為，半徑，
圓心到直線的距離，
點到直線的距離最大值為，距離最小值為，
所以面積的最大值；
面積的最小值.
故答案為：；.
例11．（2024·全國·高二專題練習）已知圓，點M為直線上一個動點，過點M作圓C的兩條切線，切點分別為A，B，則四邊形周長的最小值為（ ）
A．8 B． C． D．
【答案】A
【解析】圓的圓心坐標為，半徑為，
因為過點M作圓C的兩條切線，切點分別為A，B，
所以有，，
因此有，
要想四邊形周長最小，只需最小，即當時，
此時，此時，
即最小值為，
故選：A
例12．（2024·全國·模擬預測）已知直線：與圓：相交于不同兩點，，位于直線異側兩點，都在圓上運動，則四邊形面積的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】圓：可以化為標準方程，
則其圓心為，半徑，
則直線與圓心的距離，
故由勾股定理可得半弦長為，
所以.
又，兩點位于直線異側且都在圓上運動，
所以四邊形的面積可以看作是和的面積之和，
則當為弦的垂直平分線（即為圓的直徑）時，兩三角形的面積之和最大，
即四邊形的面積最大，
最大面積.
故選：A.
變式6．（2024·甘肅慶陽·高二校考期末）已知圓的方程為，點是直線上的一個動點，過點作圓的兩條切線、，、為切點，則四邊形的面積的最小值為
【答案】
【解析】由圓，得到圓心，半徑
由題意可得：，，，
，
在中，由勾股定理可得：，
當最小時，最小，此時所求的面積也最小，
點是直線上的動點，
當時，有最小值，此時，
所求四邊形的面積的最小值為；
故答案為：
變式7．（2024·高二課時練習）已知，，點為圓上任意一點，則面積的最大值為（ ）
A．5 B． C． D．
【答案】D
【解析】圓的圓心，半徑，直線的方程為：，
于是點到直線：的距離，而點在圓上，
因此點到直線距離的最大值為，又，
所以面積的最大值為.
故選：D
題型五：數量積型
例13．（2024·河南南陽·高二統考階段練習）已知點為橢圓上任意一點，是圓上兩點，且，則的最大值是 .
【答案】24
【解析】設圓的圓心為，則，橢圓的右焦點坐標也為，
且是圓的一條直徑，因此
，
因為點是橢圓的右焦點，點在橢圓上，
所以，所以，
即，所以的最大值為24.
故答案為：24.
例14．（2024·全國·高三專題練習）已知直線與圓相切于點，設直線與軸的交點為，點為圓上的動點，則的最大值為 ．
【答案】
【解析】圓的圓心的為，因為直線與圓相切于點則
所以得，所以，，
所以直線方程為，圓的方程為，所以，，
的中點，
則
因為，
所以
故，所以的最大值為
故答案為：
例15．（2024·江蘇南京·高一校考期中）已知點，點為圓上的動點，則的最大值為 .
【答案】
【解析】圓的標準方程為：，圓心為，半徑為，
，
當點動到點時，取得最大值，即為在上的投影，
.
故答案為：.
變式8．（2024·全國·高一專題練習）在邊長為4的正方形中，動圓Q的半徑為1、圓心在線段（含端點）上運動，點P是圓Q上及其內部的動點，則的取值范圍是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】建立如圖所示的平面直角坐標系，
由數量積的幾何意義可知：等于與在上的投影的乘積，
故當在上的投影最大時，數量積最大，此時點在以為圓心的圓的最上端處，此時投影為，故數量積為，
故當在上的投影最小時，數量積最小，此時點在以為圓心的圓的最下端處，此時投影為，故數量積為,
故，
故選：A
變式9．（2024·內蒙古呼和浩特·高一呼市二中校考階段練習）在邊長為2的正六邊形ABCDEF中，動圓的半徑為1、圓心在線段CD（含端點）上運動，點P是圓Q上及其內部的動點，則的取值范圍是（ ）
A．. B． C． D．
【答案】A
【解析】由，
可得為與在方向上的投影之積.
正六邊形ABCDEF中，以D為圓心的圓與DE交于M，
過M作于，設以C為圓心的圓與垂直的
切線與圓切于點N與延長線交點為，
則在方向上的投影最小值為，最大值為,
又，，
則，
則的取值范圍是.
故選：A
變式10．（2024·山東聊城·高一山東聊城一中校考期中）已知正六邊形ABCDEF的邊長為2，圓O的圓心為正六邊形的中心，半徑為1，若點P在正六邊形的邊上運動，MN為圓O的直徑，則的取值范圍是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】記圓心為，則，
因為互為相反向量，
所以，
因為正六邊形ABCDEF的邊長為2，為正六邊形的中心，
所以當與正六邊形頂點重合時，有最大值2，
當在正六邊形邊上的中點處時，有最小值，此時.
所以.
故選：B
題型六：坐標與角度型
例16．（2024·浙江麗水·高二校聯考開學考試）已知點P在圓M：上，點，，則最小和最大時分別為（ ）
A．0°和60° B．15°和75° C．30°和90° D．45°和135°
【答案】B
【解析】
如圖所示，當與圓相切時對應的最大和最小，設最小時切于，最大時切于，
由，可得，所以，同理得
由點，，可知，
所以，
.
故選：B.
例17．（2024·高二單元測試）已知圓C：(x﹣1)2+y2=1，點P(x0，y0)在直線x﹣y+1=0上運動.若C上存在點Q，使∠CPQ=30°，則x0的取值范圍是 .
【答案】
【解析】
如圖圓，在直線上，
若圓存在點，使得，
當在直線上運動，極端情況，與圓相切，.
在中，，所以.
所以以為圓心，為半徑的圓與直線交于，兩點.
符合條件的點在線段之間.
所以或.
故的取值范圍為.
故答案為：
例18．（2024·全國·高三專題練習）已知，滿足，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】點在圓上，,
則，
如圖，當與圓相切時，取得最小值，所以，此時點.
故選：C
變式11．（2024·浙江嘉興·高二校考階段練習）若圓）與圓交于A、B兩點，則tan∠ANB的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】可化為，
故圓N的圓心為，半徑為，
由題意可知：AB為圓M與圓N的公共弦，且圓M的半徑為1，
所以且，故，
當的坐標為時，，
在△NAB中，，
又，在上單調遞減，
故為銳角，且當時，最大，
又在上單調遞增，
所以當最大時，取得最大值，且最大值為，
故選：D
變式12．（2024·全國·高三專題練習）動圓M經過坐標原點，且半徑為1，則圓心M的橫縱坐標之和的最大值為（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】C
【解析】設動圓圓心，半徑為1，動圓M經過坐標原點，可得,即，
，當且僅當時取等號，即，
則圓心M的橫縱坐標之和的最大值為
故選：C
變式13．（2024·全國·模擬預測）已知圓，圓是以圓上任意一點為圓心，1為半徑的圓．圓與圓交于，兩點，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】在中，．如圖所示：
當公共弦最大，即為圓的直徑時，
最大，又可得為銳角，即取得最大值．
此時，則．
故選：D
題型七：長度型
例19．（2024·全國·高三專題練習）已知圓及點，點P、Q分別是直線和圓C上的動點，則的最小值為 .
【答案】3
【解析】作出點A關于直線的對稱點，如圖：
設點，則有，解得，即，而C(2，0)
由圓的性質知：圓外點P與圓C上點Q距離滿足(當且僅當Q是線段PC與圓C的交點時取“=”)，
連接交直線于點O，P為直線上任意一點，連(線段PC交圓C于點Q)，
則，當且僅當點P在線段上，即與點O重合時取“=”，
所以的最小值為3.
故答案為：3
例20．（2024·湖北·高二沙市中學校聯考期中）已知直線與圓交于兩點，且，則的最大值為 .
【答案】/
【解析】的幾何意義為點到直線的距離之和，其最大值是的中點到直線的距離的2倍.
由題可知，為等邊三角形，則，
∴AB中點的軌跡是以原點為圓心，為半徑的圓，
故點到直線的最大距離為，
∴的最大值為，
∴的最大值為＝.
故答案為：.
例21．（2024·上海普陀·高二上海市晉元高級中學校考期末）已知為圓上的兩點，且，設為弦的中點，則的最大值為 .
【答案】15
【解析】注意到，
則，又，
則，又由垂徑定理可知，，則.
故P點軌跡是以M為圓心，半徑為1的圓.
注意到，表示P到直線距離的5倍，又圓上一點到距離的最大值為：，
則的最大值為15.
故答案為：15
變式14．（2024·上海靜安·高二校考期末）已知實數滿足，，則的最大值為 .
【答案】/
【解析】設圓，直線，，，
則，都在圓上，
∵，
，
∴△MON是等邊三角形，∴．
表示和到直線的距離和，
由圖形得只有當、都在直線的下方時，該距離之和才會取得最大值．
取、的中點，過作，垂足為，則，
∵為等邊三角形，為的中點，∴，
則在圓上運動，
則當MN∥l時，到直線距離的最大值為，
∴的最大值為．
故答案為：
變式15．（2024·全國·高三專題練習）古希臘數學家阿波羅尼斯在他的巨著《圓錐曲線論》中有一個著名的幾何問題：在平面上給定兩點A、B，動點P滿足（其中是正常數，且），則P的軌跡是一個圓，這個圓稱之為“阿波羅尼斯圓”．現已知兩定點，P是圓上的動點，則的最小值為
【答案】
【解析】如圖，在軸上取點，
，，，，
（當且僅當為與圓交點時取等號），
.
故答案為：.
變式16．（2024·全國·高二期中）已知圓是以點和點為直徑的圓，點為圓上的動點，若點，點，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由題設，知：且，即圓的半徑為4，
∴圓：，
如上圖，坐標系中則，
∴，即△△，故，
∴，在△中，
∴要使最大，共線且最大值為的長度.
∴.
故選：A
變式17．（2024·四川成都·高二成都七中校考開學考試）已知，是曲線上兩個不同的點，，則的最大值與最小值的比值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】化簡得，
由，得.
因為，所以或.
當時，；當時，.
所以方程表示的曲線為圓的左半部分和圓的右半部分.
根據圓的性質知：當A，B分別與圖中的M，N重合時，取得最大值，且最大值為6；
當A，B為圖中E，F，G，H四點中的某兩點時，取得最小值，且最小值為.故的最大值與最小值的比值是.
故選：B.
變式18．（2024·全國·高三專題練習）在中，，，點在內部，，則的最小值為 ．
【答案】2
【解析】因為，，所以.
在中，由正弦定理得：（R為的外接圓半徑），所以，解得：.
如圖所示：設的外接圓的圓心為O，建立如圖示的坐標系.
設E為AC的中點，所以，.
所以點M的軌跡為：，可寫出（為參數）.
因為點在內部，所以（其中滿足，）.
所以
因為滿足，，所以，
所以當時最小.
故答案為：2
變式19．（2024·河南許昌·高二禹州市高級中學校考階段練習）已知點P在直線上運動，點E是圓上的動點，點F是圓上的動點，則的最大值為（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】D
【解析】如圖所示，
圓的圓心為，半徑為3，
圓關于直線的對稱圓為圓B，其中設圓心B坐標為，
則 ，解得：，
故圓B的圓心為，半徑為1，
由于此時圓心A與圓心B的距離為：，
大于兩圓的半徑之和，所以兩圓相離，此時點的對稱點為，且，所以，在P點運動過程中，當P，B，A，，F五點共線時，且在圓B左側，點F在圓A右側時，最大，最大值為
故選：D.
題型八：方程中的參數
例22．（2024·全國·高三專題練習）如圖，在直角梯形中，，點M在以為直徑的半圓上，且滿足，則的最大值為（ ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】D
【解析】
如圖，以為原點建立直角坐標系，設中點為，易得，則中點，，
故以為直徑的圓的方程為，過作軸平行線交軸于，交半圓于，則，設，
則，又，
故，則，其中，
顯然當時，取最大值.
故選：D.
例23．（2024·全國·高三專題練習）已知，，，，則面積的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】設點，因為，所以，
點的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，
又直線的方程為：，，圓心到直線的距離，所以到直線的距離最大值為
則面積的最大值為.
故選：.
例24．（2024·河南開封·高三通許縣第一高級中學校考階段練習）已知點，點為圓上一動點，則的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因為點為圓上一動點，故設，
則，
令，則，
即，則，
其中為輔助角，，
則，整理得，
故的最大值為，
故選：A
變式20．（2024·福建龍巖·高二福建省龍巖第一中學校考階段練習）已知過點的動直線與圓交于兩點，過分別作的切線，兩切線交于點.若動點，則的最小值為 ．
【答案】
【解析】如下圖所示，連接、，則、，所以四邊形對角互補，則、、、四點在以為直徑的圓上.
設，則該圓的圓心為，半徑為，則該圓的方程為
，又該圓和圓的交點弦即為，故直線所在的方程為，整理得，又因為點在直線上，故，即點的軌跡為，又因為的坐標為，因為，所以在圓上運動，故的最小值為到直線的距離減去半徑，即，即的最小值為.
故答案為：
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知識梳理
1、涉及與圓有關的最值，可借助圖形性質，利用數形結合求解．一般地：
（1）形如的最值問題，可轉化為動直線斜率的最值問題．
（2）形如的最值問題，可轉化為動直線截距的最值問題．
（3）形如的最值問題，可轉化為曲線上的點到點（a，b）的距離平方的最值問題.
2、解決圓中的范圍與最值問題常用的策略：
（1）數形結合
（2）多與圓心聯系
（3）參數方程
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例1．（2024·江蘇·高二專題練習）已知點在圓上運動，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
例2．（多選題）（2024·浙江嘉興·高二校考階段練習）已知點在圓上運動，則下列選項正確的是（ ）
A．的最大值為，最小值為
B．的最大值為，最小值為；
C．的最大值為，最小值為；
D．的最大值為，最小值為；
例3．（2024·全國·高三專題練習）已知為圓：上任意一點，則的最大值為 .
變式1．（2024·重慶沙坪壩·高二重慶南開中學校考階段練習）已知為圓C：上任意一點，且點．
（1）求的最大值和最小值．
（2）求的最大值和最小值．
（3）求的最大值和最小值．
題型二：直線型
例4．（2024·全國·高三專題練習）點是圓上的動點，則的最大值是 .
例5．（2024·江西吉安·寧岡中學校考一模）已知點是圓上的動點，則的最大值為（ ）
A． B． C．6 D．5
例6．（2024·全國·高三專題練習）已知點是圓：上的一動點，若圓經過點，則的最大值與最小值之和為（ ）
A．4 B． C． D．
題型三：距離型
例7．（2024·黑龍江佳木斯·高二佳木斯一中校考期中）阿波羅尼斯是古希臘著名數學家，與歐幾里得、阿基米德被稱為亞歷山大時期數學三巨匠，他對圓錐曲線有深刻而系統的研究，阿波羅尼斯圓就是他的研究成果之一，指的是：已知動點與兩個定點,的距離之比為（，且），那么點的軌跡就是阿波羅尼斯圓．若平面內兩定點,間的距離為，動點滿足，則的最大值為
例8．（2024·江蘇宿遷·高二校考階段練習）已知為圓上任意一點，且．
(1)求的最大值和最小值；
(2)若，求的最大值和最小值；
(3)若，求的最大值和最小值．
例9．（2024·高一課時練習）已知點在直線上運動，求的最小值及取得最小值時點的坐標．
變式2．（2024·高二課時練習）已知點在直線上運動，則取得最小值時點的坐標為 ．
變式3．（2024·全國·高二專題練習）已知為圓上任意一點．則的最大值為
變式4．（2024·全國·高三專題練習）已知平面向量，，，滿足，，，則的最小值為（ ）
A．1 B． C．3 D．
變式5．（2024·廣東東莞·高一東莞高級中學校考階段練習）已知點，點在圓上運動，則的最大值為（ ）
A．22 B．26 C．30 D．32
題型四：周長面積型
例10．（2024·江蘇·高二假期作業）已知兩點，，點是圓上任意一點，則面積的最大值為 ，最小值為 .
例11．（2024·全國·高二專題練習）已知圓，點M為直線上一個動點，過點M作圓C的兩條切線，切點分別為A，B，則四邊形周長的最小值為（ ）
A．8 B． C． D．
例12．（2024·全國·模擬預測）已知直線：與圓：相交于不同兩點，，位于直線異側兩點，都在圓上運動，則四邊形面積的最大值為（ ）
A． B． C． D．
變式6．（2024·甘肅慶陽·高二校考期末）已知圓的方程為，點是直線上的一個動點，過點作圓的兩條切線、，、為切點，則四邊形的面積的最小值為
變式7．（2024·高二課時練習）已知，，點為圓上任意一點，則面積的最大值為（ ）
A．5 B． C． D．
題型五：數量積型
例13．（2024·河南南陽·高二統考階段練習）已知點為橢圓上任意一點，是圓上兩點，且，則的最大值是 .
例14．（2024·全國·高三專題練習）已知直線與圓相切于點，設直線與軸的交點為，點為圓上的動點，則的最大值為 ．
例15．（2024·江蘇南京·高一校考期中）已知點，點為圓上的動點，則的最大值為 .
變式8．（2024·全國·高一專題練習）在邊長為4的正方形中，動圓Q的半徑為1、圓心在線段（含端點）上運動，點P是圓Q上及其內部的動點，則的取值范圍是（ ）．
A． B． C． D．
變式9．（2024·內蒙古呼和浩特·高一呼市二中校考階段練習）在邊長為2的正六邊形ABCDEF中，動圓的半徑為1、圓心在線段CD（含端點）上運動，點P是圓Q上及其內部的動點，則的取值范圍是（ ）
A．. B． C． D．
變式10．（2024·山東聊城·高一山東聊城一中校考期中）已知正六邊形ABCDEF的邊長為2，圓O的圓心為正六邊形的中心，半徑為1，若點P在正六邊形的邊上運動，MN為圓O的直徑，則的取值范圍是（ ）

A． B． C． D．
題型六：坐標與角度型
例16．（2024·浙江麗水·高二校聯考開學考試）已知點P在圓M：上，點，，則最小和最大時分別為（ ）
A．0°和60° B．15°和75° C．30°和90° D．45°和135°
例17．（2024·高二單元測試）已知圓C：(x﹣1)2+y2=1，點P(x0，y0)在直線x﹣y+1=0上運動.若C上存在點Q，使∠CPQ=30°，則x0的取值范圍是 .
例18．（2024·全國·高三專題練習）已知，滿足，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
變式11．（2024·浙江嘉興·高二校考階段練習）若圓）與圓交于A、B兩點，則tan∠ANB的最大值為（ ）
A． B． C． D．
變式12．（2024·全國·高三專題練習）動圓M經過坐標原點，且半徑為1，則圓心M的橫縱坐標之和的最大值為（ ）
A．1 B．2 C． D．
變式13．（2024·全國·模擬預測）已知圓，圓是以圓上任意一點為圓心，1為半徑的圓．圓與圓交于，兩點，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
題型七：長度型
例19．（2024·全國·高三專題練習）已知圓及點，點P、Q分別是直線和圓C上的動點，則的最小值為 .
例20．（2024·湖北·高二沙市中學校聯考期中）已知直線與圓交于兩點，且，則的最大值為 .
例21．（2024·上海普陀·高二上海市晉元高級中學校考期末）已知為圓上的兩點，且，設為弦的中點，則的最大值為 .
變式14．（2024·上海靜安·高二校考期末）已知實數滿足，，則的最大值為 .
變式15．（2024·全國·高三專題練習）古希臘數學家阿波羅尼斯在他的巨著《圓錐曲線論》中有一個著名的幾何問題：在平面上給定兩點A、B，動點P滿足（其中是正常數，且），則P的軌跡是一個圓，這個圓稱之為“阿波羅尼斯圓”．現已知兩定點，P是圓上的動點，則的最小值為
變式16．（2024·全國·高二期中）已知圓是以點和點為直徑的圓，點為圓上的動點，若點，點，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
變式17．（2024·四川成都·高二成都七中校考開學考試）已知，是曲線上兩個不同的點，，則的最大值與最小值的比值是（ ）
A． B． C． D．
變式18．（2024·全國·高三專題練習）在中，，，點在內部，，則的最小值為 ．
變式19．（2024·河南許昌·高二禹州市高級中學校考階段練習）已知點P在直線上運動，點E是圓上的動點，點F是圓上的動點，則的最大值為（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
題型八：方程中的參數
例22．（2024·全國·高三專題練習）如圖，在直角梯形中，，點M在以為直徑的半圓上，且滿足，則的最大值為（ ）
A．2 B．3 C． D．
例23．（2024·全國·高三專題練習）已知，，，，則面積的最大值為（ ）
A． B． C． D．
例24．（2024·河南開封·高三通許縣第一高級中學校考階段練習）已知點，點為圓上一動點，則的最大值是（ ）
A． B． C． D．
變式20．（2024·福建龍巖·高二福建省龍巖第一中學校考階段練習）已知過點的動直線與圓交于兩點，過分別作的切線，兩切線交于點.若動點，則的最小值為
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