資源簡(jiǎn)介

第93講 概率與統(tǒng)計(jì)的綜合應(yīng)用
必考題型全歸納
題型一：決策問題
例1．（2024·甘肅蘭州·高三蘭化一中校考期中）據(jù)悉強(qiáng)基計(jì)劃的校考由試點(diǎn)高校自主命題，校考過程中達(dá)到筆試優(yōu)秀才能進(jìn)入面試環(huán)節(jié)．已知甲、乙兩所大學(xué)的筆試環(huán)節(jié)都設(shè)有三門考試科目且每門科目是否達(dá)到優(yōu)秀相互獨(dú)立．若某考生報(bào)考甲大學(xué)，每門科目達(dá)到優(yōu)秀的概率均為，若該考生報(bào)考乙大學(xué)，每門科目達(dá)到優(yōu)秀的概率依次為，，，其中．
(1)若，分別求出該考生報(bào)考甲、乙兩所大學(xué)在筆試環(huán)節(jié)恰好有一門科目達(dá)到優(yōu)秀的概率；
(2)強(qiáng)基計(jì)劃規(guī)定每名考生只能報(bào)考一所試點(diǎn)高校，若以筆試過程中達(dá)到優(yōu)秀科目個(gè)數(shù)的期望為依據(jù)作出決策，該考生更希望進(jìn)入甲大學(xué)的面試環(huán)節(jié)，求的范圍．
【解析】（1）設(shè)該考生報(bào)考甲大學(xué)恰好有一門筆試科目?jī)?yōu)秀為事件，則；
該考生報(bào)考乙大學(xué)恰好有一門筆試科目?jī)?yōu)秀為事件，則．
（2）該考生報(bào)考甲大學(xué)達(dá)到優(yōu)秀科目的個(gè)數(shù)設(shè)為，
依題意，，則，
該同學(xué)報(bào)考乙大學(xué)達(dá)到優(yōu)秀科目的個(gè)數(shù)設(shè)為，隨機(jī)變量的可能取值為：0，1，2，3．
，
，，
隨機(jī)變量的分布列：
0 1 2 3
，
因?yàn)樵摽忌ＭM(jìn)入甲大學(xué)的面試，則，即，解得，
所以的范圍為：.
例2．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）2022年北京冬奧會(huì)后，由一名高山滑雪運(yùn)動(dòng)員甲組成的專業(yè)隊(duì)，與兩名高山滑雪愛好者乙、丙組成的業(yè)余隊(duì)進(jìn)行友誼比賽，約定賽制如下：業(yè)余隊(duì)中的兩名隊(duì)員輪流與甲進(jìn)行比賽，若甲連續(xù)贏兩場(chǎng)則專業(yè)隊(duì)獲勝；若甲連續(xù)輸兩場(chǎng)則業(yè)余隊(duì)獲勝；若比賽三場(chǎng)還沒有決出勝負(fù)，則視為平局，比賽結(jié)束．已知各場(chǎng)比賽相互獨(dú)立，每場(chǎng)比賽都分出勝負(fù)，且甲與乙比賽，甲贏的概率為，甲與丙比賽，甲贏的概率為，其中．
(1)若第一場(chǎng)比賽，業(yè)余隊(duì)可以安排乙與甲進(jìn)行比賽，也可以安排丙與甲進(jìn)行比賽．請(qǐng)分別計(jì)算兩種安排下業(yè)余隊(duì)獲勝的概率；若以獲勝概率大為最優(yōu)決策，問：業(yè)余隊(duì)第一場(chǎng)應(yīng)該安排乙還是丙與甲進(jìn)行比賽？
(2)為了激勵(lì)專業(yè)隊(duì)和業(yè)余隊(duì)，賽事組織規(guī)定：比賽結(jié)束時(shí)，勝隊(duì)獲獎(jiǎng)金6萬元，負(fù)隊(duì)獲獎(jiǎng)金3萬元；若平局，兩隊(duì)各獲獎(jiǎng)金3.6萬元．在比賽前，已知業(yè)余隊(duì)采用了（1）中的最優(yōu)決策與甲進(jìn)行比賽，設(shè)賽事組織預(yù)備支付的獎(jiǎng)金金額共計(jì)X萬元，求X的數(shù)學(xué)期望的取值范圍．
【解析】（1）第一場(chǎng)比賽，業(yè)余隊(duì)安排乙與甲進(jìn)行比賽，業(yè)余隊(duì)獲勝的概率為：
第一場(chǎng)比賽，業(yè)余隊(duì)安排丙與甲進(jìn)行比賽，業(yè)余隊(duì)獲勝的概率為：
因?yàn)椋裕?br/>所以，業(yè)余隊(duì)第一場(chǎng)應(yīng)該安排乙與甲進(jìn)行比賽．
（2）由已知萬元，或萬元
由（1）知，業(yè)余隊(duì)最優(yōu)決策是第一場(chǎng)應(yīng)該安排乙與甲進(jìn)行比賽．
此時(shí)，業(yè)余隊(duì)獲勝的概率為：
專業(yè)隊(duì)獲勝的概率為
所以，非平局的概率為
平局的概率為
X的分布列為：
X 9 7.2
X的期望為
由，所以數(shù)學(xué)期望的取值范圍為（單位：萬元）
例3．（2024·江西吉安·高三吉安三中校考階段練習(xí)）2020年以來，新冠疫情對(duì)商品線下零售影響很大．某商家決定借助線上平臺(tái)開展銷售活動(dòng)．現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)平臺(tái)供選擇，且當(dāng)每件商品的售價(jià)為元時(shí)，從該商品在兩個(gè)平臺(tái)所有銷售數(shù)據(jù)中各隨機(jī)抽取100天的日銷售量統(tǒng)計(jì)如下，
商品日銷售量（單位：件） 6 7 8 9 10
甲平臺(tái)的天數(shù) 14 26 26 24 10
乙平臺(tái)的天數(shù) 10 25 35 20 10
假設(shè)該商品在兩個(gè)平臺(tái)日銷售量的概率與表格中相應(yīng)日銷售量的頻率相等，且每天的銷售量互不影響，
(1)求“甲平臺(tái)日銷售量不低于8件”的概率，并計(jì)算“從甲平臺(tái)所有銷售數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取3天的日銷售量，其中至少有2天日銷售量不低于8件”的概率；
(2)已知甲平臺(tái)的收費(fèi)方案為：每天傭金60元，且每銷售一件商品，平臺(tái)收費(fèi)30元；乙平臺(tái)的收費(fèi)方案為：每天不收取傭金，但采用分段收費(fèi)，即每天銷售商品不超過8件的部分，每件收費(fèi)40元，超過8件的部分，每件收費(fèi)35元．某商家決定在兩個(gè)平臺(tái)中選擇一個(gè)長(zhǎng)期合作，從日銷售收入（單價(jià)×日銷售量-平臺(tái)費(fèi)用）的期望值較大的角度，你認(rèn)為該商家應(yīng)如何決策？說明理由．
【解析】（1）令事件“甲平臺(tái)日銷售量不低于8件”，
則，
令事件“從甲平臺(tái)所有銷售數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取3天的日銷售量，其中至少有2天日銷售量不低于8件”，
則
（2）設(shè)甲平臺(tái)的日銷售收入為，則的所有可能取值為
所以，的分布列為
所以，，
設(shè)乙平臺(tái)的日銷售收入為，則的所有可能取值為
所以，的分布列為：
所以， .
所以，
令得，令得
所以，當(dāng)時(shí)，選擇甲平臺(tái)；當(dāng)時(shí)，甲乙平臺(tái)均可；當(dāng)時(shí)，選擇乙平臺(tái).
變式1．（2024·江西·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）某學(xué)校舉行“百科知識(shí)”競(jìng)賽，每個(gè)班選派一位學(xué)生代表參加.某班經(jīng)過層層選拔，李明和王華進(jìn)入最后決賽，決賽方式如下：給定個(gè)問題，假設(shè)李明能且只能對(duì)其中個(gè)問題回答正確，王華對(duì)其中任意一個(gè)問題回答正確的概率均為.由李明和王華各自從中隨機(jī)抽取個(gè)問題進(jìn)行回答，而且每個(gè)人對(duì)每個(gè)問題的回答均相互獨(dú)立.
(1)求李明和王華回答問題正確的個(gè)數(shù)均為的概率；
(2)設(shè)李明和王華回答問題正確的個(gè)數(shù)分別為和，求的期望 和方差 ，并由此決策派誰代表該班參加競(jìng)賽更好.
【解析】（1）李明回答問題正確的個(gè)數(shù)為的概率；
王華回答問題正確的個(gè)數(shù)為的概率；
李明和王華回答問題正確的個(gè)數(shù)均為的概率.
（2）由題意知：李明回答問題正確個(gè)數(shù)所有可能的取值為，
，，
，；
王華回答問題正確的個(gè)數(shù)，
，；
，，派李明代表該班參加競(jìng)賽更好.
變式2．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）根據(jù)某地區(qū)氣象水文部門長(zhǎng)期統(tǒng)計(jì)，可知該地區(qū)每年夏季有小洪水的概率為0.25，有大洪水的概率為0.05．今年夏季該地區(qū)某工地有許多大型設(shè)備，遇到大洪水時(shí)要損失60000元，遇到小洪水時(shí)要損失20000元，為保護(hù)設(shè)備，有以下3種方案：
方案1：修建保護(hù)圍墻，建設(shè)費(fèi)為3000元，但圍墻只能防小洪水；
方案2：修建保護(hù)大壩，建設(shè)費(fèi)為7000元，能夠防大洪水；
方案3：不采取措施
工地的領(lǐng)導(dǎo)該如何決策呢？
【解析】用，，分別表示方案1，2，3的損失，
第一方案，建保護(hù)墻，建設(shè)費(fèi)為3000元，但圍墻只能防小洪水，
無大洪水 有大洪水
損失 3000 63000
概率 0.95 0.05
平均損失．
第二方案：建保護(hù)大壩，建設(shè)費(fèi)為7000元，能夠防大洪水，
．
第三方案：不采取措施．
無洪水 有小洪水 有大洪水
損失 0 20000 60000
概率 0.7 0.25 0.05
平均損失．
因?yàn)?br/>綜上，采取方案一較好．
題型二：道路通行問題
例4．（2024·重慶·高三重慶市育才中學(xué)校考階段練習(xí)）月日位于重慶朝天門的來福士廣場(chǎng)開業(yè)，成了網(wǎng)紅城市的又一打卡勝地重慶育才謝家灣校區(qū)與來福士之間的駕車往返所需時(shí)間為，只與道路暢通狀況有關(guān)，對(duì)其容量為的樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如下：
（小時(shí)）
頻數(shù)（次）
以這次駕車往返所需時(shí)間的頻率代替某人次駕車往返所需時(shí)間的概率．
（1）記的期望為，求；
（2）某天有位教師獨(dú)自駕車從謝家校區(qū)返于來福士，記表示這位教師中駕車所用時(shí)間少于的人數(shù)，求X的分布列與．
【解析】（1）P（T＝0.8）0.2，
P（T＝0.9）0.3，
P（T＝1）0.4，
P（T＝1.1）0.1，
∴T的分布列為：
T 0.8 0.9 1 1.1
P 0.2 0.3 0.4 0.1
E（T）＝0.8×0.2+0.9×0.3+1×0.4+1.1×0.1＝0.94，
∴P（T＜E（T））＝P（T＝0.8）+P（T＝0.9）＝0.2+0.3＝0.5．
（2）某天有3位教師獨(dú)自駕車從謝家校區(qū)返于來福士，記X表示這3位教師中駕車所用時(shí)間少于E（T）的人數(shù)，
∴X～B（3，），
∴P（X＝0），
P（X＝1），
P（X＝2），
P（X＝3），
∴X的分布列為：
X 0 1 2 3
P
E（X）＝3．
例5．（2024·湖北·統(tǒng)考一模）交通指數(shù)是指交通擁堵指數(shù)的簡(jiǎn)稱，是綜合反映道路網(wǎng)暢通或擁堵的概念性指數(shù)值，記交通指數(shù)為，其范圍為，分別有五個(gè)級(jí)別：，暢通；，基本暢通；，輕度擁堵；，中度擁堵；，嚴(yán)重?fù)矶?在晚高峰時(shí)段（），從某市交通指揮中心選取了市區(qū)20個(gè)交通路段，依據(jù)其交通指數(shù)數(shù)據(jù)繪制的頻率分布直方圖如圖所示.
(1)求出輕度擁堵、中度擁堵、嚴(yán)重?fù)矶碌穆范蔚膫€(gè)數(shù)；
(2)用分層抽樣的方法從輕度擁堵、中度擁堵、嚴(yán)重?fù)矶碌穆范沃泄渤槿?個(gè)路段，求依次抽取的三個(gè)級(jí)別路段的個(gè)數(shù)；
(3)從(2)中抽取的6個(gè)路段中任取2個(gè)，求至少有1個(gè)路段為輕度擁堵的概率.
【解析】(1)由頻率分布直方圖得，這20個(gè)交通路段中，
輕度擁堵的路段有(0.1＋0.2)×1×20＝6(個(gè))，
中度擁堵的路段有(0.25＋0.2)×1×20＝9(個(gè))，
嚴(yán)重?fù)矶碌穆范斡?0.1＋0.05)×1×20＝3(個(gè)).
(2)由(1)知，擁堵路段共有6＋9＋3＝18(個(gè))，按分層抽樣，從18個(gè)路段抽取6個(gè)，則抽取的三個(gè)級(jí)別路段的個(gè)數(shù)分別為，，，即從交通指數(shù)在[4,6)，[6,8)，[8,10]的路段中分別抽取的個(gè)數(shù)為2,3,1.
(3)記抽取的2個(gè)輕度擁堵路段為，，抽取的3個(gè)中度擁堵路段為，，，抽取的1個(gè)嚴(yán)重?fù)矶侣范螢椋瑒t從這6個(gè)路段中抽取2個(gè)路段的所有可能情況為：
，共15種，其中至少有1個(gè)路段為輕度擁堵的情況為：
，共9種.
所以所抽取的2個(gè)路段中至少有1個(gè)路段為輕度擁堵的概率為.
例6．（2024·四川眉山·高三四川省眉山第一中學(xué)階段練習(xí)）隨著我國(guó)經(jīng)濟(jì)的不斷深入發(fā)展，百姓的生活也不斷的改善，尤其是近幾年汽車進(jìn)入了千家萬戶，這也給城市交通造成了很大的壓力，為此交警部門通過對(duì)交通擁堵的研究提出了交通擁堵指數(shù)這一全新概念，交通擁堵指數(shù)簡(jiǎn)稱交通指數(shù)，是綜合反映道路網(wǎng)暢通或擁堵的概念．記交通指數(shù)為，其范圍為，分別有5個(gè)級(jí)別：暢通；基本暢通；輕度擁堵；中度擁堵；嚴(yán)重?fù)矶拢绺叻鍟r(shí)段（T≥3），從北京市交通指揮中心隨機(jī)選取了五環(huán)以內(nèi)50個(gè)交通路段，依據(jù)交通指數(shù)數(shù)據(jù)繪制的部分頻率分布直方圖如圖所示：
（1）據(jù)此直方圖估算交通指數(shù)T∈[4，8）時(shí)的中位數(shù)和平均數(shù)；
（2）據(jù)此直方圖求出早高峰二環(huán)以內(nèi)的3個(gè)路段至少有兩個(gè)嚴(yán)重?fù)矶碌母怕适嵌嗌伲?br/>（3）某人上班路上所用時(shí)間若暢通時(shí)為20分鐘，基本暢通為30分鐘，輕度擁堵為35分鐘，中度擁堵為45分鐘，嚴(yán)重?fù)矶聻?0分鐘，求此人所用時(shí)間的數(shù)學(xué)期望．
【解析】（1）由直方圖知，時(shí)交通指數(shù)的中位數(shù)為5+1×(0.2/0.24)=35/6
時(shí)交通指數(shù)的平均數(shù)為．
（2）設(shè)事件為“一條路段嚴(yán)重?fù)矶隆保瑒t，
則條路段中至少有兩條路段嚴(yán)重?fù)矶碌母怕蕿椋海?br/>所以條路段中至少有兩條路段嚴(yán)重?fù)矶碌母怕蕿?br/>（3）由題意，所用時(shí)間的分布列如下表：
則，
所以此人經(jīng)過該路段所用時(shí)間的數(shù)學(xué)期望是分鐘．
變式3．（2024·江西·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）“低碳出行”，一種降低“碳”的出行，以低能耗、低污染為基礎(chǔ)，是環(huán)保的深層次體現(xiàn)，在眾多發(fā)達(dá)國(guó)家被廣大民眾接受并執(zhí)行，S市即將投放一批公共自行車以方便市民出行，減少污染，緩解交通擁堵，現(xiàn)先對(duì)100人做了是否會(huì)考慮選擇自行車出行的調(diào)查，結(jié)果如下表.
（1）如果把45周歲以下人群定義為“青年”，完成下列列聯(lián)表，并問你有多少把握認(rèn)為該地區(qū)市民是否考慮單車與他（她）是不是“青年人”有關(guān)
年齡 考慮騎車 不考慮騎車
15以下 6 3
16 6
13 6
14 16
5 9
75以上 1 5
合計(jì) 55 45
騎車 不騎車 合計(jì)
45歲以下
45歲以上
合計(jì) 100
參考：，
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.07 2.70 3.84 5.02 6.63 7.87 10.82
（2）S市為了鼓勵(lì)大家騎自行車上班，為此還專門在幾條平時(shí)比較擁堵的城市主道建有無障礙自行車道，該市市民小明家離上班地點(diǎn)10km，現(xiàn)有兩種.上班方案給他選擇；
方案一：選擇自行車，走無障礙自行車道以19km/h的速度直達(dá)上班地點(diǎn).
方案二：開車以30km/h的速度上班，但要經(jīng)過A、B、C三個(gè)易堵路段，三個(gè)路段堵車的概率分別是，，，且是相互獨(dú)立的，并且每次堵車的時(shí)間都是10分鐘（假設(shè)除了堵車時(shí)間其他時(shí)間都是勻速行駛）
若僅從時(shí)間的角度考慮，請(qǐng)你給小明作一個(gè)選擇，并說明理由.
【解析】（1）根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)填寫2×2列聯(lián)表如下：
騎車 不騎車 合計(jì)
45歲以下 35 15 50
45歲以上 20 30 50
合計(jì) 55 45 100
所以
所以有99.5%的把握認(rèn)為該地區(qū)市民是否考慮單車與他（她）是不是“青年人”有關(guān).
（2）方案一：選擇自行車，走無障礙自行車道以19km/h的速度直達(dá)上班地點(diǎn)，
則所需時(shí)間為：；
方案二：開車以30km/h的速度上班，但要經(jīng)過A、B、C三個(gè)易堵路段，分別令三個(gè)路段堵車記為事件A、B、C，且，，，且A、B、C相互獨(dú)立的，并且每次堵車的時(shí)間都是10分鐘（假設(shè)除了堵車時(shí)間其他時(shí)間都是勻速行駛）
所以在路上遇上堵車的概率為：，
故方案二所需時(shí)間為：.
因?yàn)椋詢H從時(shí)間的角度考慮，應(yīng)選方案二省時(shí)間.
變式4．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某人某天的工作是駕車從地出發(fā)，到兩地辦事，最后返回地，,三地之間各路段行駛時(shí)間及擁堵概率如下表
路段 正常行駛所用時(shí)間（小時(shí)） 上午擁堵概率 下午擁堵概率
1 0．3 0．6
2 0．2 0．7
3 0．3 0．9
若在某路段遇到擁堵，則在該路段行駛時(shí)間需要延長(zhǎng)1小時(shí)．
現(xiàn)有如下兩個(gè)方案：
方案甲：上午從地出發(fā)到地辦事然后到達(dá)地，下午從地辦事后返回地；
方案乙：上午從地出發(fā)到地辦事，下午從地出發(fā)到達(dá)地，辦完事后返回地．
（1）若此人早上8點(diǎn)從地出發(fā)，在各地辦事及午餐的累積時(shí)間為2小時(shí)，且采用方案甲，求他當(dāng)日18點(diǎn)或18點(diǎn)之前能返回地的概率．
（2）甲乙兩個(gè)方案中，哪個(gè)方案有利于辦完事后更早返回地？請(qǐng)說明理由.
【解析】（1）由題可知能按時(shí)返回的充要條件是擁堵路段不超過兩段，則不能按時(shí)返回時(shí)有三段路段擁堵，二者互為對(duì)立事件，記“不能按時(shí)返回為事件”則，
所以能夠按時(shí)返回的概率，
（2）設(shè)某段路正常行駛時(shí)間為,擁堵的概率為，
則該路段行駛時(shí)間的分布列為
行駛時(shí)間
概率
故，
上午路段行駛時(shí)間期望值分別為1．3小時(shí)2．2小時(shí)、3．3小時(shí)，
下午路段行駛時(shí)間期望值分別為1．6小時(shí)2．7小時(shí)3．9小時(shí)，
設(shè)采用甲方案所花費(fèi)總行駛時(shí)間為,則小時(shí)，
設(shè)采用乙方案所花費(fèi)總行駛時(shí)間為Z,則EZ=3．3+2．7+1．6=7．6小時(shí)，
因此采用甲方案能更早返回.
題型三：保險(xiǎn)問題
例7．（2024·廣東湛江·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）某單位有員工50000人，一保險(xiǎn)公司針對(duì)該單位推出一款意外險(xiǎn)產(chǎn)品，每年每位職工只需要交少量保費(fèi)，發(fā)生意外后可一次性獲得若干賠償金.保險(xiǎn)公司把該單位的所有崗位分為，，三類工種，從事三類工種的人數(shù)分布比例如餅圖所示，且這三類工種每年的賠付概率如下表所示：
工種類別
賠付概率
對(duì)于，，三類工種，職工每人每年保費(fèi)分別為元 元 元，出險(xiǎn)后的賠償金額分別為100萬元 100萬元 50萬元，保險(xiǎn)公司在開展此項(xiàng)業(yè)務(wù)過程中的固定支出為每年20萬元.
（1）若保險(xiǎn)公司要求每年收益的期望不低于保費(fèi)的，證明：.
（2）現(xiàn)有如下兩個(gè)方案供單位選擇：方案一：?jiǎn)挝徊慌c保險(xiǎn)公司合作，職工不交保險(xiǎn)，出意外后單位自行拿出與保險(xiǎn)公司提供的等額賠償金賠付給出意外的職工，單位開展這項(xiàng)工作的固定支出為每年35萬元；方案二：?jiǎn)挝慌c保險(xiǎn)公司合作，，，單位負(fù)責(zé)職工保費(fèi)的，職工個(gè)人負(fù)責(zé)，出險(xiǎn)后賠償金由保險(xiǎn)公司賠付，單位無額外專項(xiàng)開支.根據(jù)該單位總支出的差異給出選擇合適方案的建議.
【解析】（1）設(shè)工種A，B，C職工的每份保單保險(xiǎn)公司的效益為隨機(jī)變量X，Y，Z，
則隨機(jī)變量X的分布列為：
X a a﹣100×104
P
隨機(jī)變量Y的分布列為：
Y a a﹣100×104
P
隨機(jī)變量Z的分布列為：
Z b b﹣50×104
P
保險(xiǎn)公司期望收益為，
，
，
根據(jù)要求（a﹣10）×50000×0.6+（a﹣20）×50000×0.3+（b﹣50）×50000×0.1﹣20×104≥（a×50000×0.6+a×50000×0.3+b×50000×0.1）×0.15，
整理可得，
所以得證；
（2）若該企業(yè)不與保險(xiǎn)公司合作，則安全支出，即賠償金的期望值為：
50000（0.6××100×104+0.3××100×104+0.1× ×50×104）
＝；
若該企業(yè)與保險(xiǎn)公司合作，則安全支出，
即保費(fèi)為50000×（0.6×a+0.3×a+0.1×b）×0.8＝，
由，，
所以方案一總支出較少，故選方案一.
例8．（2024·新疆克拉瑪依·統(tǒng)考三模）已知某保險(xiǎn)公司的某險(xiǎn)種的基本保費(fèi)為（單位：元），繼續(xù)購(gòu)買該險(xiǎn)種的投保人稱為續(xù)保人，續(xù)保人本年度的保費(fèi)與其上年度出險(xiǎn)次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下：
上年度出險(xiǎn)次數(shù) 0 1 2 3
保費(fèi)（元）
隨機(jī)調(diào)查了該險(xiǎn)種的400名續(xù)保人在一年內(nèi)的出險(xiǎn)情況，得到下表：
出險(xiǎn)次數(shù) 0 1 2 3
頻數(shù) 280 80 24 12 4
該保險(xiǎn)公司這種保險(xiǎn)的賠付規(guī)定如下：
出險(xiǎn)序次 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次及以上
賠付金額（元） 0
將所抽樣本的頻率視為概率．
（1）求本年度續(xù)保人保費(fèi)的平均值的估計(jì)值；
（2）按保險(xiǎn)合同規(guī)定，若續(xù)保人在本年度內(nèi)出險(xiǎn)3次，則可獲得賠付元；若續(xù)保人在本年度內(nèi)出險(xiǎn)6次，則可獲得賠付元；依此類推，求本年度續(xù)保人所獲賠付金額的平均值的估計(jì)值．
【解析】（1）由題意可得
保費(fèi)（元）
概率 0.7 0.2 0.06 0.03 0.01
本年度續(xù)保人保費(fèi)的平均值的估計(jì)值為
（2）由題意可得
賠償金額（元） 0
概率 0.7 0.2 0.06 0.03 0.01
本年度續(xù)保人所獲賠付金額的平均值的估計(jì)值
例9．（2024·廣東深圳·高三校聯(lián)考期末）已知某保險(xiǎn)公司的某險(xiǎn)種的基本保費(fèi)為（單位：元），繼續(xù)購(gòu)買該險(xiǎn)種的投保人稱為續(xù)保人，續(xù)保人本年度的保費(fèi)與其上年度出險(xiǎn)次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下：
上年度出險(xiǎn)次數(shù) 0 1 2 3 ≥4
保費(fèi)（元）
隨機(jī)調(diào)查了該險(xiǎn)種的名續(xù)保人在一年內(nèi)的出險(xiǎn)情況，得到下表：
出險(xiǎn)次數(shù) 0 1 2 3 ≥4
頻數(shù) 280 80 24 12 4
該保險(xiǎn)公司這種保險(xiǎn)的賠付規(guī)定如下：
出險(xiǎn)序次 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次及以上
賠付金額（元）
將所抽樣本的頻率視為概率.
（1）求本年度續(xù)保人保費(fèi)的平均值的估計(jì)值；
（2）按保險(xiǎn)合同規(guī)定，若續(xù)保人在本年度內(nèi)出險(xiǎn)次，則可獲得賠付元；依此類推，求本年度續(xù)保人所獲賠付金額的平均值的估計(jì)值；
（3）續(xù)保人原定約了保險(xiǎn)公司的銷售人員在上午之間上門簽合同，因?yàn)槔m(xù)保人臨時(shí)有事，外出的時(shí)間在上午之間，請(qǐng)問續(xù)保人在離開前見到銷售人員的概率是多少？
【解析】（1）由題意可得
保費(fèi)（元）
概率 0.7 0.2 0.06 0.03 0.01
本年度續(xù)保人保費(fèi)的平均值的估計(jì)值為
（2）由題意可得
賠償金額（元） 0
概率 0.7 0.2 0.06 0.03 0.01
本年度續(xù)保人所獲賠付金額的平均值的估計(jì)值
（3）設(shè)保險(xiǎn)公司銷售人員到達(dá)的時(shí)間為，續(xù)保人離開的時(shí)間為，看成平面上的點(diǎn)，全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)?br/>則區(qū)域的面積
事件表示續(xù)保人在離開前見到銷售人員，所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)?br/>即圖中的陰影部分，其面積
所以，即續(xù)保人在離開前見到銷售人員的概率是
變式5．（2024·山東濰坊·校聯(lián)考一模）某保險(xiǎn)公司針對(duì)一個(gè)擁有20000人的企業(yè)推出一款意外險(xiǎn)產(chǎn)品，每年每位職工只需要交少量保費(fèi)，發(fā)生意外后可一次性獲得若干賠償金.保險(xiǎn)公司把企業(yè)的所有崗位共分為、、三類工種，從事這三類工種的人數(shù)分別為12000、6000、2000，由歷史數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)出三類工種的賠付頻率如下表（并以此估計(jì)賠付概率）：
工種類別 A B C
賠付頻率
已知、、三類工種職工每人每年保費(fèi)分別為25元、25元、40元，出險(xiǎn)后的賠償金額分別為100萬元、100萬元、50萬元，保險(xiǎn)公司在開展此業(yè)務(wù)的過程中固定支出每年10萬元.
（1）求保險(xiǎn)公司在該業(yè)務(wù)所獲利潤(rùn)的期望值；
（2）現(xiàn)有如下兩個(gè)方案供企業(yè)選擇：
方案1：企業(yè)不與保險(xiǎn)公司合作，職工不交保險(xiǎn)，出意外企業(yè)自行拿出與保險(xiǎn)公司提供的等額賠償金賠償付給出意外的職工，企業(yè)開展這項(xiàng)工作的固定支出為每年12萬元；
方案2：企業(yè)與保險(xiǎn)公司合作，企業(yè)負(fù)責(zé)職工保費(fèi)的，職工個(gè)人負(fù)責(zé)，出險(xiǎn)后賠償金由保險(xiǎn)公司賠付，企業(yè)無額外專項(xiàng)開支.
根據(jù)企業(yè)成本差異給出選擇合適方案的建議.
【解析】（1）設(shè)工種A、B、C職工的每份保單保險(xiǎn)公司的收益為隨機(jī)變量X、Y、Z，則X、Y、Z的分布列為：
X 25 25﹣100×104
P
Y 25 25﹣100×104
P
Z 40 40﹣50×104
P 1
∴E（X）＝25×（1）+（25﹣100×104）15，
E（Y）＝25×（1）+（25﹣100×104）5，
E（Z）＝40×（1）+（40﹣50×104）10，
保險(xiǎn)公司的利潤(rùn)的期望值為12000×15+6000×5﹣2000×10﹣100000＝90000，
∴保險(xiǎn)公司在該業(yè)務(wù)所獲利潤(rùn)的期望值為9萬元．　　　　　　
（2）方案1：企業(yè)不與保險(xiǎn)公司合作，則企業(yè)每年安全支出與固定開支共為：
12000×100×1046000×100×1042000×50×10412×104＝46×104，
方案2：企業(yè)與保 險(xiǎn)公司合作，則企業(yè)支出保險(xiǎn)金額為：
（12000×25+6000×25+2000×40）×0.7＝37.1×104，
46×104＞37.1×104，
建議企業(yè)選擇方案2．
變式6．（2024·全國(guó)·高考真題）購(gòu)買某種保險(xiǎn)，每個(gè)投保人每年度向保險(xiǎn)公司交納保費(fèi)元，若投保人在購(gòu)買保險(xiǎn)的一年度內(nèi)出險(xiǎn)，則可以獲得10 000元的賠償金．假定在一年度內(nèi)有10 000人購(gòu)買了這種保險(xiǎn)，且各投保人是否出險(xiǎn)相互獨(dú)立．已知保險(xiǎn)公司在一年度內(nèi)至少支付賠償金10 000元的概率為．
（Ⅰ）求一投保人在一年度內(nèi)出險(xiǎn)的概率；
（Ⅱ）設(shè)保險(xiǎn)公司開辦該項(xiàng)險(xiǎn)種業(yè)務(wù)除賠償金外的成本為50 000元，為保證盈利的期望不小于0，求每位投保人應(yīng)交納的最低保費(fèi)（單位：元）．
【解析】各投保人是否出險(xiǎn)互相獨(dú)立，且出險(xiǎn)的概率都是，記投保的10 000人中出險(xiǎn)的人數(shù)為，
則．
（Ⅰ）記表示事件：保險(xiǎn)公司為該險(xiǎn)種至少支付10 000元賠償金，則發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng) ，
，
又，
故．
（Ⅱ）該險(xiǎn)種總收入為元，支出是賠償金總額與成本的和．
支出 ，
盈利 ，
盈利的期望為 ，
由知， ，
．
（元）．
故每位投保人應(yīng)交納的最低保費(fèi)為15元．
變式7．（2024·北京豐臺(tái)·高三統(tǒng)考期末）某市醫(yī)療保險(xiǎn)實(shí)行定點(diǎn)醫(yī)療制度，按照“就近就醫(yī)、方便管理”的原則，參加保險(xiǎn)人員可自主選擇四家醫(yī)療保險(xiǎn)定點(diǎn)醫(yī)院和一家社區(qū)醫(yī)院作為本人就診的醫(yī)療機(jī)構(gòu)，若甲、乙、丙、丁4名參加保險(xiǎn)人員所在地區(qū)附近有三家社區(qū)醫(yī)院，并且他們的選擇是等可能的、相互獨(dú)立的
(1)求甲、乙兩人都選擇A社區(qū)醫(yī)院的概率；
(2)求甲、乙兩人不選擇同一家社區(qū)醫(yī)院的概率；
(3)設(shè)4名參加保險(xiǎn)人員中選擇A社區(qū)醫(yī)院的人數(shù)為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．
【解析】（1）甲、乙分別選擇社區(qū)醫(yī)院的概率均為，
甲、乙兩人都選擇社區(qū)的概率.
（2）甲、乙兩人選擇同一家社區(qū)醫(yī)院的概率為，
甲、乙兩人不選擇同一家社區(qū)醫(yī)院的概率.
（3）每個(gè)人選擇社區(qū)醫(yī)院的概率均為，，
則所有可能的取值為，
；；
；；
；
的分布列為：
數(shù)學(xué)期望.
題型四：概率最值問題
例10．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某電子工廠生產(chǎn)一種電子元件，產(chǎn)品出廠前要檢出所有次品.已知這種電子元件次品率為0.01，且這種電子元件是否為次品相互獨(dú)立.現(xiàn)要檢測(cè)3000個(gè)這種電子元件，檢測(cè)的流程是：先將這3000個(gè)電子元件分成個(gè)數(shù)相等的若干組，設(shè)每組有個(gè)電子元件，將每組的個(gè)電子元件串聯(lián)起來，成組進(jìn)行檢測(cè)，若檢測(cè)通過，則本組全部電子元件為正品，不需要再檢測(cè)；若檢測(cè)不通過，則本組至少有一個(gè)電子元件是次品，再對(duì)本組個(gè)電子元件逐一檢測(cè).
（1）當(dāng)時(shí)，估算一組待檢測(cè)電子元件中有次品的概率；
（2）設(shè)一組電子元件的檢測(cè)次數(shù)為，求的數(shù)學(xué)期望；
（3）估算當(dāng)為何值時(shí)，每個(gè)電子元件的檢測(cè)次數(shù)最小，并估算此時(shí)檢測(cè)的總次數(shù)（提示：利用進(jìn)行估算）.
【解析】（1）設(shè)事件：一組待檢測(cè)電子元件中由次品，則事件表示一組待檢測(cè)電子元件中沒有次品；
因?yàn)?br/>所以
（2）依題意，的可能取值為
分布列如下：
1
所以的數(shù)學(xué)期望為：
（3）由（2）可得：每個(gè)元件的平均檢驗(yàn)次數(shù)為：
因?yàn)?br/>當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，檢驗(yàn)次數(shù)最小
此時(shí)總檢驗(yàn)次數(shù)（次）
例11．（2024·江西新余·高三新余市第一中學(xué)校考開學(xué)考試）現(xiàn)如今國(guó)家大力提倡養(yǎng)老社會(huì)化、市場(chǎng)化，老年公寓是其養(yǎng)老措施中的一種能夠滿足老年人的高質(zhì)量、多樣化、專業(yè)化生活及療養(yǎng)需求.某老年公寓負(fù)責(zé)人為了能給老年人提供更加良好的服務(wù)，現(xiàn)對(duì)所入住的 120 名老年人征集意見，該公寓老年人的入住房間類型情況如下表所示：
入住房間的類型 單人間 雙人間 三人間
人數(shù) 36 60 24
(1)若按入住房間的類型采用分層抽樣的方法從這 120 名老年人中隨機(jī)抽取 10 人，再?gòu)倪@10人中隨機(jī)抽取4 人進(jìn)行詢問，記隨機(jī)抽取的4 人中入住單人間的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
(2)記雙人間與三人間為多人間，若在征集意見時(shí)要求把入住單人間的2人和入住多人間的且人組成一組，負(fù)責(zé)人從某組中任選2人進(jìn)行詢問，若選出的2人入住房間類型相同，則該組標(biāo)為，否則該組標(biāo)為.記詢問的某組被標(biāo)為的概率為.
（i）試用含的代數(shù)式表示;
（ii）若一共詢問了5組，用表示恰有3組被標(biāo)為的概率，試求的最大值及此時(shí)的值.
【解析】（1）因?yàn)閱稳碎g、雙人間、三人間入住人數(shù)比為36：60：24，即3：5：2，
所以這10人中，入住單人間、雙人間、三人間的人數(shù)分別為，，，
所以的所有可能取值為0，1，2，3，
，，
，，
所以的分布列為：
0 1 2 3
P
.
（2）（i）從人中任選2人，有種選法，其中入住房間類型相同的有種選法，
所以詢問的某組被標(biāo)為的概率.
（ii）由題意，5組中恰有3組被標(biāo)為的概率
所以
所以當(dāng)時(shí)， ，函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為，
由且，得，
所以當(dāng)時(shí)，5組中恰有3組被標(biāo)為Ⅱ的概率最大，且的最大值為.
例12．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）為落實(shí)立德樹人根本任務(wù)，堅(jiān)持五育并舉全面推進(jìn)素質(zhì)教育，某學(xué)校舉行了乒乓球比賽，其中參加男子乒乓球決賽的12名隊(duì)員來自3個(gè)不同校區(qū)，三個(gè)校區(qū)的隊(duì)員人數(shù)分別是3，4，5.本次決賽的比賽賽制采取單循環(huán)方式，即每名隊(duì)員進(jìn)行11場(chǎng)比賽（每場(chǎng)比賽都采取5局3勝制），最后根據(jù)積分選出最后的冠軍.積分規(guī)則如下：比賽中以或取勝的隊(duì)員積3分，失敗的隊(duì)員積0分；而在比賽中以取勝的隊(duì)員積2分，失敗的隊(duì)員的隊(duì)員積1分.已知第10輪張三對(duì)抗李四，設(shè)每局比賽張三取勝的概率均為.
(1)比賽結(jié)束后冠亞軍(沒有并列)恰好來自不同校區(qū)的概率是多少？
(2)第10輪比賽中，記張三取勝的概率為，求出的最大值點(diǎn).
【解析】（1）根據(jù)題意，比賽結(jié)束后冠亞軍恰好來自不同校區(qū)的概率是；
（2）由題可知，
，
令，得，
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減.
所以的最大值點(diǎn).
變式8．（2024·山東濰坊·高三校考階段練習(xí)）今年5月以來，世界多個(gè)國(guó)家報(bào)告了猴痘病例，非洲地區(qū)猴痘地方性流行國(guó)家較多．9月19日，中國(guó)疾控中心發(fā)布了我國(guó)首例“輸入性猴痘病例”的溯源公告．我國(guó)作為為人民健康負(fù)責(zé)任的國(guó)家，對(duì)可能出現(xiàn)的猴痘病毒防控已提前做出部署，同時(shí)國(guó)家衛(wèi)生健康委員會(huì)同國(guó)家中醫(yī)藥管理局制定了《猴痘診療指南（2022年版）》．此《指南》中指出：①猴痘病人潛伏期5-21天；②既往接種過天花疫苗者對(duì)猴痘病毒存在一定程度的交叉保護(hù)力．據(jù)此，援非中國(guó)醫(yī)療隊(duì)針對(duì)援助的某非洲國(guó)家制定了猴痘病毒防控措施之一是要求與猴痘病毒確診患者的密切接觸者集中醫(yī)學(xué)觀察21天．在醫(yī)學(xué)觀察期結(jié)束后發(fā)現(xiàn)密切接觸者中未接種過天花疫苗者感染病毒的比例較大．對(duì)該國(guó)家200個(gè)接種與未接種天花疫苗的密切接觸者樣本醫(yī)學(xué)觀察結(jié)束后，統(tǒng)計(jì)了感染病毒情況，得到下面的列聯(lián)表：
接種天花疫苗與否/人數(shù) 感染猴痘病毒 未感染猴痘病毒
未接種天花疫苗 30 60
接種天花疫苗 20 90
(1)是否有的把握認(rèn)為密切接觸者感染猴痘病毒與未接種天花疫苗有關(guān)；
(2)以樣本中結(jié)束醫(yī)學(xué)現(xiàn)察的密切接觸者感染猴痘病毒的頻率估計(jì)概率．現(xiàn)從該國(guó)所有結(jié)束醫(yī)學(xué)觀察的密切接觸者中隨機(jī)抽取4人進(jìn)行感染猴痘病毒人數(shù)統(tǒng)計(jì)，求其中至多有1人感染猴痘病毒的概率：
(3)該國(guó)現(xiàn)有一個(gè)中風(fēng)險(xiǎn)村莊，當(dāng)?shù)卣疀Q定對(duì)村莊內(nèi)所有住戶進(jìn)行排查．在排查期間，發(fā)現(xiàn)一戶3口之家與確診患者有過密切接觸，這種情況下醫(yī)護(hù)人員要對(duì)其家庭成員逐一進(jìn)行猴痘病毒檢測(cè)．每名成員進(jìn)行檢測(cè)后即告知結(jié)果，若檢測(cè)結(jié)果呈陽性，則該家庭被確定為“感染高危家庭”．假設(shè)該家庭每個(gè)成員檢測(cè)呈陽性的概率均為且相互獨(dú)立．記：該家庭至少檢測(cè)了2名成員才能確定為“感染高危家庭”的概率為．求當(dāng)為何值時(shí)，最大？附：
0.1 0.05 0.010
2.706 3.841 6.635
【解析】（1）假設(shè)：密切接觸者感染猴痘病毒與未接種天花疫苗無關(guān)，
依題意有，
故假設(shè)不成立，沒有的把握認(rèn)為密切接觸者感染猴痘病毒與未接種天花疫苗有關(guān).
（2）由題意得，該地區(qū)每名密切接觸者感染病毒的概率為，設(shè)隨機(jī)抽取的4人中至多有1人感染病毒為事件，則，
（3）記事件為：檢測(cè)了2名成員確定為“感染高危家庭”；事件為：檢測(cè)了3名成員確定為“感染高危家庭”；則
則，，令，則（舍去）
隨著的變化，的變化如下表：
+ 0
遞增 極大值 遞減
綜上，當(dāng)時(shí)，最大．
變式9．（2024·上海徐匯·上海市南洋模范中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）進(jìn)入冬季，某病毒肆虐，已知感染此病毒的概率為，且每人是否感染這種病毒相互獨(dú)立．
(1)記100個(gè)人中恰有5人感染病毒的概率是，求的最大值點(diǎn)；
(2)為確保校園安全，某校組織該校的6000名師生做病毒檢測(cè)，如果對(duì)每一名師生逐一檢測(cè)，就需要檢測(cè)6000次，但實(shí)際上在檢測(cè)時(shí)都是按人一組分組，然后將各組k個(gè)人的檢測(cè)樣本混合再檢測(cè)．如果混合樣本呈陰性，說明這k個(gè)人全部陰性；如果混合樣本呈陽性，說明其中至少有一人檢測(cè)呈陽性，就需要對(duì)該組每個(gè)人再逐一檢測(cè)一次．當(dāng)p取時(shí)，求k的值，使得總檢測(cè)次數(shù)的期望最少．
【解析】（1）由題意可知：100個(gè)人中恰有5人感染病毒的概率，
則，
令，解得；令，解得；
可知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以的最大值點(diǎn).
（2）若，
按人一組分組，共有組，每組陽性的概率為，
可得每組檢測(cè)次數(shù)的期望為，
設(shè)總檢驗(yàn)次數(shù)為，則，
因?yàn)椋瑒t有：
當(dāng)時(shí)，可得；
當(dāng)時(shí)，可得；
當(dāng)時(shí)，可得；
當(dāng)時(shí)，可得；
當(dāng)時(shí)，可得；
可知，當(dāng)時(shí)，總檢測(cè)次數(shù)的期望最少.
題型五：放回與不放回問題
例13．（2024·湖南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）某中學(xué)為了解學(xué)生課外玩網(wǎng)絡(luò)游戲（俗稱“網(wǎng)游”）的情況，使調(diào)查結(jié)果盡量真實(shí)可靠，決定在高一年級(jí)采取如下“隨機(jī)回答問題”的方式進(jìn)行問卷調(diào)查：一個(gè)袋子中裝有6個(gè)大小相同的小球，其中2個(gè)黑球，4個(gè)紅球，所有學(xué)生從袋子中有放回地隨機(jī)摸球兩次，每次摸出一球，約定“若兩次摸到的球的顏色不同，則按方式①回答問卷，否則按方式②回答問卷”.
方式①：若第一次摸到的是紅球，則在問卷中畫“√”，否則畫“×”.
方式②：若你課外玩網(wǎng)游，則在問卷中畫“√”，否則畫“×”.
當(dāng)所有學(xué)生完成問卷調(diào)查后，統(tǒng)計(jì)畫“√”，畫“×”的比例，用頻率估計(jì)概率.
(1)若高一某班有45名學(xué)生，用X表示其中按方式①回答問卷的人數(shù)，求X的數(shù)學(xué)期望.
(2)若所有調(diào)查問卷中，畫“√”與畫“×”的比例為1∶2，試用所學(xué)概率知識(shí)求該中學(xué)高一年級(jí)學(xué)生課外玩網(wǎng)游的估計(jì)值.（估計(jì)值）
【解析】（1）每次摸到黑球的概率，摸到紅球的概率，
每名學(xué)生兩次摸到的球的顏色不同的概率.
由題意知，高一某班45名學(xué)生按方式①回答問卷的人數(shù)，
所以的數(shù)學(xué)期望.
（2）記事件為“按方式①回答問卷”，事件為“按方式②回答問卷”，事件為“在問卷中畫‘√’號(hào)”.
由（1）知，，，.
由全概率公式，得，
所以，所以.
故由調(diào)查問卷估計(jì)，該中學(xué)高一年級(jí)學(xué)生課外玩網(wǎng)游的估計(jì)值是.
例14．（2024·江蘇南通·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)盒子，甲盒中有3個(gè)紅球和1個(gè)白球，乙盒中有2個(gè)紅球和2個(gè)白球，所有的球除顏色外都相同.某人隨機(jī)選擇一個(gè)盒子，并從中隨機(jī)摸出2個(gè)球觀察顏色后放回，此過程為一次試驗(yàn).重復(fù)以上試驗(yàn)，直到某次試驗(yàn)中摸出2個(gè)紅球時(shí)，停止試驗(yàn).
(1)求一次試驗(yàn)中摸出2個(gè)紅球的概率；
(2)在3次試驗(yàn)后恰好停止試驗(yàn)的條件下，求累計(jì)摸到2個(gè)紅球的概率.
【解析】（1）一次試驗(yàn)摸出2個(gè)紅球的概率為.
（2）記在3次試驗(yàn)后恰好停止試驗(yàn)為事件，累計(jì)摸到2個(gè)紅球?yàn)槭录?br/>∴，，，
∴.
例15．（2024·上海黃浦·高三上海市敬業(yè)中學(xué)校考開學(xué)考試）某公司使用甲、乙兩臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)芯片，已知每天甲機(jī)器生產(chǎn)的芯片占產(chǎn)量的六成，且合格率為；乙機(jī)器生產(chǎn)的芯片占產(chǎn)量的四成，且合格率為，已知兩臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)芯片的質(zhì)量互不影響. 現(xiàn)對(duì)某天生產(chǎn)的芯片進(jìn)行抽樣.
(1)從所有芯片中任意抽取一個(gè)，求該芯片是不合格品的概率；
(2)現(xiàn)采用有放回的方法隨機(jī)抽取3個(gè)芯片，記其中由乙機(jī)器生產(chǎn)的芯片的數(shù)量為，求的分布列以及數(shù)學(xué)期望.
【解析】（1）記事件表示芯片來自甲機(jī)器生產(chǎn)，事件表示芯片來自乙機(jī)器生產(chǎn)，事件表示取到的是合格品；
則
.
（2）由題意得，，
故，
所以的分布列為
0 1 2 3
故.
變式10．（2024·廣東廣州·高三執(zhí)信中學(xué)校考開學(xué)考試）中國(guó)共產(chǎn)黨第二十次全國(guó)代表大會(huì)于2022年10月16日在北京召開，為弘揚(yáng)中國(guó)共產(chǎn)黨百年奮斗的光輝歷程，某校團(tuán)委決定舉辦“中國(guó)共產(chǎn)黨黨史知識(shí)”競(jìng)賽活動(dòng).競(jìng)賽共有A和B兩類試題，每類試題各10題，其中每答對(duì)1道A類試題得10分；每答對(duì)1道B類試題得20分，答錯(cuò)都不得分.每位參加競(jìng)賽的同學(xué)從這兩類試題中共抽出3道題回答（每道題抽后不放回）.已知小明同學(xué)A類試題中有7道題會(huì)作答，而他答對(duì)各道B類試題的概率均為.
(1)若小明同學(xué)在A類試題中只抽1道題作答，求他在這次競(jìng)賽中僅答對(duì)1道題的概率；
(2)若小明只作答A類試題，設(shè)X表示小明答這3道試題的總得分，求X的分布列和期望.
【解析】（1）小明僅答對(duì)1題的概率.
（2）可能的取值為0，10，20，30，
，，
，，
所以X的分布列為
X 0 10 20 30
P
所以.
變式11．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某商場(chǎng)在周年慶活動(dòng)期間為回饋新老顧客，采用抽獎(jiǎng)的形式領(lǐng)取購(gòu)物卡.該商場(chǎng)在一個(gè)紙箱里放15個(gè)小球（除顏色外其余均相同）：3個(gè)紅球、5個(gè)黃球和7個(gè)白球，每個(gè)顧客不放回地從中拿3次，每次拿1個(gè)球，每拿到一個(gè)紅球獲得一張類購(gòu)物卡，每拿到一個(gè)黃球獲得一張類購(gòu)物卡，每拿到一個(gè)白球獲得一張類購(gòu)物卡.
(1)已知某顧客在3次中只有1次抽到白球的條件下，求至多有1次抽到紅球的概率；
(2)設(shè)拿到紅球的次數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
【解析】（1）設(shè)事件：在次中只有次拿到白球，事件：在次中至多次拿到紅球，
則事件：在次中只有次拿到白球，其它兩次至多次拿到紅球，
所以，，
所以.
（2）依題意拿到紅球的次數(shù)為的可能取值為，，，，
所以，，
，，
所以的分布列為：
所以.
題型六：體育比賽問題
例16．（2024·廣東廣州·高三華南師大附中校考階段練習(xí)）最是一年春好處，運(yùn)動(dòng)健兒滿華附.為吸引同學(xué)們積極參與運(yùn)動(dòng)，鼓勵(lì)同學(xué)們持之以恒地參與鍛煉，養(yǎng)成良好的習(xí)慣，弘揚(yáng)“無體育，不華附”的精神理念，2024年3月華附舉辦了春季運(yùn)動(dòng)會(huì).春季運(yùn)動(dòng)會(huì)的集體項(xiàng)目要求每個(gè)學(xué)生在足球繞桿、踢毽子和跳大繩3個(gè)項(xiàng)目中任意選擇一個(gè)參加.來自高三的某學(xué)生為了在此次春季運(yùn)動(dòng)會(huì)中取得優(yōu)秀成績(jī)，決定每天訓(xùn)練一個(gè)集體項(xiàng)目.第一天在3個(gè)項(xiàng)目中任意選一項(xiàng)開始訓(xùn)練，從第二天起，每天都是從前一天沒有訓(xùn)練的2個(gè)項(xiàng)目中任意選一項(xiàng)訓(xùn)練.
(1)若該學(xué)生進(jìn)行了3天的訓(xùn)練，求第三天訓(xùn)練的是“足球繞桿”的概率.
(2)設(shè)該學(xué)生在賽前最后6天訓(xùn)練中選擇“跳大繩”的天數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.
【解析】（1）當(dāng)?shù)谝惶煊?xùn)練的是“足球繞桿”且第三天也是訓(xùn)練“足球繞桿”為事件；
當(dāng)?shù)谝惶煊?xùn)練的不是“足球繞桿”且第三天是訓(xùn)練“足球繞桿”為事件；
由題知，三天的訓(xùn)練過程中，總共的可能情況為種，
所以， ，，
所以，第三天訓(xùn)練的是“足球繞桿”的概率．
（2）由題知，的可能取值為0，1，2，3，
所以，考前最后6天訓(xùn)練中，所有可能的結(jié)果有種，
所以，當(dāng)時(shí)，第一天有兩種選擇，之后每天都有1種選擇，故；
當(dāng)時(shí)，
第一天選擇“跳大繩”，則第二天有2種選擇，之后每天只有1種選擇，共2種選擇；
第二天選擇“跳大繩”，則第一天有2種選擇，第三天2種，后每天只有1種選擇，共4種選擇；
第三天選擇“跳大繩”，則第一天有2種選擇，第二天有1種選擇，第三天1種，第四天有2種選擇，之后每天只有1種選擇，共4種選擇；
第四天選擇“跳大繩”，則第一天有2種選擇，第二天，第三天，第四天，第六天有1種，第五天有2種選擇，共4種選擇；
第五天選擇“跳大繩”，則第一天有2種選擇，第二天，第三天，第四天，第五天有1種，第六天有2種選擇，共4種選擇；
第六天選擇“跳大繩”，則第一天有2種選擇，第二天，第三天，第四天，第五天，第六天都有1種選擇，共2種選擇；
綜上，當(dāng)時(shí)，共有種選擇，
所以，；
當(dāng)時(shí)，
第一天，第三天，第五天，選擇“跳大繩”，有種選擇；
第一天，第三天，第六天，選擇“跳大繩”，有種選擇
第一天，第四天，第六天，選擇“跳大繩”，有種選擇；
第二天，第四天，第六天，選擇“跳大繩”，有種選擇；
所以，當(dāng)時(shí)，共有種選擇，
所以，；
所以，當(dāng)，
所以，的分布列為：
0 1 2 3
所以，．
例17．（2024·湖南婁底·婁底市第三中學(xué)校聯(lián)考三模）冰壺是2022年2月4日至2月20日在中國(guó)舉行的第24屆冬季奧運(yùn)會(huì)的比賽項(xiàng)目之一．冰壺比賽的場(chǎng)地如圖所示，其中左端（投擲線MN的左側(cè)）有一個(gè)發(fā)球區(qū)，運(yùn)動(dòng)員在發(fā)球區(qū)邊沿的投擲線MN將冰壺?cái)S出，使冰壺沿冰道滑行，冰道的右端有一圓形的營(yíng)壘，以場(chǎng)上冰壺最終靜止時(shí)距離營(yíng)壘區(qū)圓心O的遠(yuǎn)近決定勝負(fù)，甲、乙兩人進(jìn)行投擲冰壺比賽，規(guī)定冰壺的重心落在圓O中，得3分，冰壺的重心落在圓環(huán)A中，得2分，冰壺的重心落在圓環(huán)B中，得1分，其余情況均得0分．已知甲、乙投擲冰壺的結(jié)果互不影響，甲、乙得3分的概率分別為，；甲、乙得2分的概率分別為，；甲、乙得1分的概率分別為，．
(1)求甲、乙兩人所得分?jǐn)?shù)相同的概率；
(2)設(shè)甲、乙兩人所得的分?jǐn)?shù)之和為X，求X的分布列和期望．
【解析】（1）由題意知甲得0分的概率為，
乙得0分的概率為，
所以甲、乙兩人所得分?jǐn)?shù)相同的概率為．
（2）X可能取值為0，1，2，3，4，5，6，
則，
，
，
，
，
，
，
所以，隨機(jī)變量X的分布列為：
X 0 1 2 3 4 5 6
P
所以．
例18．（2024·河北保定·統(tǒng)考二模）某學(xué)校為了提高學(xué)生的運(yùn)動(dòng)興趣，增強(qiáng)學(xué)生身體素質(zhì)，該校每年都要進(jìn)行各年級(jí)之間的球類大賽，其中乒乓球大賽在每年“五一”之后舉行，乒乓球大賽的比賽規(guī)則如下：高中三個(gè)年級(jí)之間進(jìn)行單循環(huán)比賽，每個(gè)年級(jí)各派5名同學(xué)按順序比賽（賽前已確定好每場(chǎng)的對(duì)陣同學(xué)），比賽時(shí)一個(gè)年級(jí)領(lǐng)先另一個(gè)年級(jí)兩場(chǎng)就算勝利（即每?jī)蓚€(gè)年級(jí)的比賽不一定打滿5場(chǎng)），若兩個(gè)年級(jí)之間打成則第5場(chǎng)比賽定勝負(fù)．已知高三每位隊(duì)員戰(zhàn)勝高二相應(yīng)對(duì)手的可能性均為，高三每位隊(duì)員戰(zhàn)勝高一相應(yīng)對(duì)手的可能性均為，高二每位隊(duì)員戰(zhàn)勝高一相應(yīng)對(duì)手的可能性均為，且隊(duì)員、年級(jí)之間的勝負(fù)相互獨(dú)立．
(1)求高二年級(jí)與高一年級(jí)比賽時(shí)，高二年級(jí)與高一年級(jí)在前兩場(chǎng)打平的條件下，最終戰(zhàn)勝高一年級(jí)的概率．
(2)若獲勝年級(jí)積3分，被打敗年級(jí)積0分，求高三年級(jí)獲得積分的分布列和期望．
【解析】（1）設(shè)高二年級(jí)與高一年級(jí)在前兩場(chǎng)打平的條件下，最終戰(zhàn)勝高高一年級(jí)的事件為，
則
（2）根據(jù)題意得高三年級(jí)獲得積分的的取值可為0，3，6
的分布列為
0 3 6
變式12．（2024·重慶沙坪壩·高三重慶八中校考開學(xué)考試）2022年卡塔爾世界杯決賽圈共有32支球隊(duì)參加，歐洲球隊(duì)有13支：其中有5支歐洲球隊(duì)闖入8強(qiáng).比賽進(jìn)入淘汰賽階段后，必須要分出勝負(fù).淘汰賽規(guī)則如下：在比賽常規(guī)時(shí)間90分鐘內(nèi)分出勝負(fù)；比賽結(jié)束，若比分相同.則進(jìn)入30分鐘的加時(shí)賽.在加時(shí)賽分出勝負(fù)，比賽結(jié)束，若加時(shí)賽比分依然相同，就要通過點(diǎn)球大戰(zhàn)來分出最后的勝負(fù).點(diǎn)球大戰(zhàn)分為2個(gè)階段，第一階段：共5輪，雙方每輪各派1名球員，依次踢點(diǎn)球，以5輪的總進(jìn)球數(shù)作為標(biāo)準(zhǔn)，5輪合計(jì)踢進(jìn)點(diǎn)球數(shù)更多的球隊(duì)獲得比賽的勝利.如果第一階段的5輪還是平局，則進(jìn)入第二階段：在該階段雙方每輪各派1名球員，依次踢點(diǎn)球，如果在一輪里，雙方都進(jìn)球或者雙方都不進(jìn)球，則繼續(xù)下一輪，直到某一輪里，一方罰進(jìn)點(diǎn)球，另一方?jīng)]罰進(jìn)，比賽結(jié)束，罰進(jìn)點(diǎn)球的一方獲得最終的勝利.
(1)根據(jù)題意填寫下面的列聯(lián)表，并根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，判斷32支決賽圈球隊(duì)“闖入8強(qiáng)”與“是歐洲球隊(duì)”是否有關(guān).
歐洲球隊(duì) 其他球隊(duì) 合計(jì)
闖入強(qiáng)
未闖入強(qiáng)
合計(jì)
(2)甲、乙兩隊(duì)在淘汰賽相遇，經(jīng)過120分鐘比賽未分出勝負(fù)，雙方進(jìn)入點(diǎn)球大戰(zhàn).已知甲隊(duì)球員每輪踢進(jìn)點(diǎn)球的概率為，乙隊(duì)球員每輪踢進(jìn)點(diǎn)球的概率為，每輪每隊(duì)是否進(jìn)球相互獨(dú)立，在點(diǎn)球大戰(zhàn)中，兩隊(duì)前3輪比分為，試求出甲隊(duì)在第二階段第一輪結(jié)束后獲得最終勝利的概率.
參考公式：.
【解析】（1）下面為列聯(lián)表：
歐洲球隊(duì) 其他球隊(duì) 合計(jì)
進(jìn)入強(qiáng)
未進(jìn)入強(qiáng)
合計(jì)
零假設(shè)支決賽圈球隊(duì)闖入8強(qiáng)與是否為歐洲球隊(duì)無關(guān)，
，
根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒有充分證據(jù)推斷不成立，因此可以認(rèn)為成立，
即認(rèn)為“闖入8強(qiáng)”與“是歐洲球隊(duì)”無關(guān).
（2）記“雙方進(jìn)入第二階段比賽”為事件，“第二階段第一輪甲隊(duì)進(jìn)球乙隊(duì)未進(jìn)球”為事件，則“甲隊(duì)在第二階段第一輪結(jié)束后獲得最終勝利”為事件，有，
要進(jìn)入第二階段比賽，即第一階段五輪為平局，比分可能為，則
，，
故.
變式13．（2024·貴州·高三凱里一中校聯(lián)考開學(xué)考試）為了豐富學(xué)生的課外活動(dòng)，某中學(xué)舉辦羽毛球比賽，經(jīng)過三輪的篩選，最后剩下甲、乙兩人進(jìn)行最終決賽，決賽采用五局三勝制，即當(dāng)參賽甲、乙兩位中有一位先贏得三局比賽時(shí)，則該選手獲勝，則比賽結(jié)束.每局比賽皆須分出勝負(fù)，且每局比賽的勝負(fù)不受之前比賽結(jié)果影響.假設(shè)甲在每一局獲勝的概率均為.
(1)若比賽進(jìn)行三局就結(jié)束的概率為，求的最小值；
(2)記（1）中，取得最小值時(shí)，的值為，以作為的值，用表示甲、乙實(shí)際比賽的局?jǐn)?shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.
【解析】（1）三局就結(jié)束比賽的概率為，
由，
當(dāng)；當(dāng)，
所以在上遞減，在上遞增，
所以，當(dāng)時(shí)，取得最小值為.
（2）由（1）知，，
設(shè)實(shí)際比賽局?jǐn)?shù)為，則的可能取值為，
所以，
，
，
的分布列為：
3 4 5
.
題型七：幾何問題
例19．（2024·遼寧沈陽·沈陽市第一二〇中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）某人玩一項(xiàng)有獎(jiǎng)游戲活動(dòng)，其規(guī)則是：有一個(gè)質(zhì)地均勻的正四面體（每個(gè)面均為全等的正三角形的三棱錐），四個(gè)面上分別刻著1，2，3，4，拋擲該正四面體5次，記錄下每次與地面接觸的面上的數(shù)字.
(1)求接觸面上的5個(gè)數(shù)的乘積能被4整除的概率；
(2)若每次拋擲到接觸地面的數(shù)字為3時(shí)獎(jiǎng)勵(lì)200元，否則倒罰100元，
①設(shè)甲出門帶了1000元來參加該游戲，記游戲后甲身上的錢為X元，求；
②若在游戲過程中，甲決定當(dāng)自己贏了的錢一旦不低于300元時(shí)立即結(jié)束游戲，求甲不超過三次就結(jié)束游戲的概率.
【解析】（1）設(shè)事件A=“接觸面上的5個(gè)數(shù)的乘積能被4整除”，不能被4整除的有兩種情況：
（i）5個(gè)數(shù)均為奇數(shù)（1或者3），概率為，
（ii）5個(gè)數(shù)中4個(gè)為奇數(shù)，另一個(gè)為2，概率為，
所以.
（2）①可能的取值為500,800,1100,1400,1700,2000.
記為地面接觸的面上的數(shù)字為3的次數(shù)，
則，且，
，
，故.
②設(shè)事件B=“甲不超過三次就結(jié)束游戲”，分為兩種情況：兩次結(jié)束游戲和三次結(jié)束游戲.
.
例20．（2024·江西·高考真題）如圖，從，，，，，，這6個(gè)點(diǎn)中隨機(jī)選取3個(gè)點(diǎn)．（1）求這3點(diǎn)與原點(diǎn)恰好是正三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)的概率；（2）求這3點(diǎn)與原點(diǎn)共面的概率．
【解析】從這6個(gè)點(diǎn)中隨機(jī)選取3個(gè)點(diǎn)的所有可能結(jié)果是：
軸上取2個(gè)點(diǎn)的有 ，， ，共4種．
軸上取2個(gè)點(diǎn)的有 ，， ， ，共4種．
軸上取2個(gè)點(diǎn)的有 ，， ， ，共4種，
所選取的3個(gè)點(diǎn)在不同坐標(biāo)軸上有 共8種，
因此，從這6個(gè)點(diǎn)中隨機(jī)選取3個(gè)點(diǎn)的所有可能結(jié)果共20種．
（1）選取的這3個(gè)點(diǎn)與原點(diǎn) 恰好是正三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)的所有可能結(jié)果有共2種，
因此，這3個(gè)點(diǎn)與原點(diǎn) 恰好是正三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)的概率為
（2）選取的這3個(gè)點(diǎn)與原點(diǎn) 共面的所有可能結(jié)果有： ，， ， ， ，， ， ， ，， ， 共12種，
因此，這3個(gè)點(diǎn)與原點(diǎn) 共面的概率為.
例21．（2024·河北張家口·高二統(tǒng)考期末）如圖，已知三棱錐的三條側(cè)棱，，兩兩垂直，且，，，三棱錐的外接球半徑.

(1)求三棱錐的側(cè)面積的最大值；
(2)若在底面上，有一個(gè)小球由頂點(diǎn)處開始隨機(jī)沿底邊自由滾動(dòng)，每次滾動(dòng)一條底邊，滾向頂點(diǎn)的概率為，滾向頂點(diǎn)的概率為；當(dāng)球在頂點(diǎn)處時(shí)，滾向頂點(diǎn)的概率為，滾向頂點(diǎn)的概率為；當(dāng)球在頂點(diǎn)處時(shí)，滾向頂點(diǎn)的概率為，滾向頂點(diǎn)的概率為.若小球滾動(dòng)3次，記球滾到頂點(diǎn)處的次數(shù)為，求數(shù)學(xué)期望的值.
【解析】（1）因?yàn)槿龡l側(cè)棱，，兩兩垂直，且，，，且三棱錐的外接球半徑，
則以、、為長(zhǎng)、寬、高的長(zhǎng)方體的體對(duì)角線為外接球的直徑，即，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
所以三棱錐的側(cè)面積，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
即三棱錐的側(cè)面積的最大值為.
（2）依題意的可能取值為、、，
則，，
，
所以.
變式14．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知正四棱錐的底面邊長(zhǎng)和高都為2.現(xiàn)從該棱錐的5個(gè)頂點(diǎn)中隨機(jī)選取3個(gè)點(diǎn)構(gòu)成三角形，設(shè)隨機(jī)變量表示所得三角形的面積.
（1）求概率的值；
（2）求隨機(jī)變量的概率分布及其數(shù)學(xué)期望.
【解析】（1）從5個(gè)頂點(diǎn)中隨機(jī)選取3個(gè)點(diǎn)構(gòu)成三角形，
共有種取法.其中的三角形如，
這類三角形共有個(gè).
因此.
（2）由題意，的可能取值為，2，.
其中的三角形是側(cè)面，這類三角形共有4個(gè)；
其中的三角形有兩個(gè)，和.
因此，.
所以隨機(jī)變量的概率分布列為：
2
所求數(shù)學(xué)期望
.
題型八：彩票問題
例22．（2024·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）在一種稱為“幸運(yùn)35”的福利彩票中，規(guī)定從01，02，…，35這35個(gè)號(hào)碼中任選7個(gè)不同號(hào)碼組成一注，并通過搖獎(jiǎng)機(jī)從這35個(gè)號(hào)碼中搖出7個(gè)不同的號(hào)碼作為特等獎(jiǎng).與特等獎(jiǎng)號(hào)碼僅6個(gè)相同的為一等獎(jiǎng)，僅5個(gè)相同的為二等獎(jiǎng)，僅4個(gè)相同的為三等獎(jiǎng)，其他的情況不得獎(jiǎng)比.為了便于計(jì)算，假定每個(gè)投注號(hào)只有1次中獎(jiǎng)機(jī)會(huì)（只計(jì)獎(jiǎng)金額最大的獎(jiǎng)），該期的每組號(hào)碼均有人買，且彩票無重復(fù)號(hào)碼比.若每注彩票為2元，特等獎(jiǎng)獎(jiǎng)金為100萬元/注，一等獎(jiǎng)獎(jiǎng)金為1萬元/注，二等獎(jiǎng)獎(jiǎng)金為100元/注，三等獎(jiǎng)獎(jiǎng)金為10元/注，試求：
(1)獎(jiǎng)金額X（元）的概率分布；
(2)這一期彩票售完可以為福利事業(yè)籌集多少資金（不計(jì)發(fā)售彩票的費(fèi)用）？
【解析】（1）的可能取值為.
，
，
，
，
所以的分布列為：
（2）可籌集元.
例23．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）中國(guó)福利彩票雙色球游戲規(guī)則是由中華人民共和國(guó)財(cái)政部制定的規(guī)則，是一種聯(lián)合發(fā)行的“樂透型”福利彩票.“雙色球”彩票投注區(qū)分為紅色球號(hào)碼區(qū)和藍(lán)色球號(hào)碼區(qū)，“雙色球”每注投注號(hào)碼由6個(gè)紅色球號(hào)碼和1個(gè)藍(lán)色球號(hào)碼組成，紅色球號(hào)碼從1—33中選擇；藍(lán)色球號(hào)碼從1—16中選擇.“雙色球”獎(jiǎng)級(jí)設(shè)置分為高等獎(jiǎng)和低等獎(jiǎng)，一等獎(jiǎng)和二等獎(jiǎng)為高等獎(jiǎng)，三至六等獎(jiǎng)為低等獎(jiǎng).“雙色球”彩票以投注者所選單注投注號(hào)碼與當(dāng)期開出中獎(jiǎng)號(hào)碼相符的球色和個(gè)數(shù)確定中獎(jiǎng)等級(jí)：
一等獎(jiǎng)：7個(gè)號(hào)碼相符（6個(gè)紅色球號(hào)碼和1個(gè)藍(lán)色球號(hào)碼）（紅色球號(hào)碼順序不限，下同）；
二等獎(jiǎng)：6個(gè)紅色球號(hào)碼相符；
三等獎(jiǎng)：5個(gè)紅色球號(hào)碼和1個(gè)藍(lán)色球號(hào)碼相符；
四等獎(jiǎng)：5個(gè)紅色球號(hào)碼，或4個(gè)紅色球號(hào)碼和1個(gè)藍(lán)色球號(hào)碼相符；
五等獎(jiǎng)：4個(gè)紅色球號(hào)碼，或3個(gè)紅色球號(hào)碼和1個(gè)藍(lán)色球號(hào)碼相符；
六等獎(jiǎng)：1個(gè)藍(lán)色球號(hào)碼相符（有無紅色球號(hào)碼相符均可）.
（1）求中三等獎(jiǎng)的概率（結(jié)果用a表示）；
（2）小王買了一注彩票，在已知小王中了高等獎(jiǎng)的條件下，求小王中二等獎(jiǎng)的概率.
參考數(shù)據(jù)：
【解析】（1）中三等獎(jiǎng)表示6個(gè)中獎(jiǎng)紅色球號(hào)碼選個(gè)，個(gè)有獎(jiǎng)的藍(lán)色號(hào)碼選正確，
有種選法；
隨機(jī)選6個(gè)紅色球號(hào)碼和1個(gè)藍(lán)色球號(hào)有種選法，
所以中三等獎(jiǎng)的概率；
（2）記小王中了高等獎(jiǎng)為事件，小王中二等獎(jiǎng)為事件，
可得，
所以小王中了高等獎(jiǎng)的條件下，求小王中二等獎(jiǎng)的概率小王中二等獎(jiǎng)的概率.
例24．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）現(xiàn)要發(fā)行10000張彩票，其中中獎(jiǎng)金額為2元的彩票1000張，10元的彩票300張，50元的彩票100張，100元的彩票50張，1000元的彩票5張．1張彩票可能中獎(jiǎng)金額的均值是多少元？
【解析】由題意，設(shè)表示1張彩票中獎(jiǎng)的金額，
則，
，
，
，
，
所以的分布列為：
0 2 10 50 100 1000
0.8545 0.1 0.03 0.01 0.005 0.0005
，即1張彩票可能中獎(jiǎng)金額的均值是2元．
變式15．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）某人花2元錢買彩票，他抽中100元獎(jiǎng)的概率是0.1%，抽中10元獎(jiǎng)的概率是1%，抽中1元獎(jiǎng)的概率是20%，假設(shè)各種獎(jiǎng)不能同時(shí)抽中，試求：
(1)此人收益的概率分布；
(2)此人收益的期望值．
【解析】（1）因?yàn)椋?br/>所以收益為0的概率為 ，
所以收益的概率分布為：
收益 0 1 10 100
p
（2）此人收益的期望值為：.
變式16．（2024·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）根據(jù)某個(gè)福利彩票方案，每注彩票號(hào)碼都是從1~37這37個(gè)數(shù)中選取7個(gè)數(shù).如果所選7個(gè)數(shù)與開出的7個(gè)數(shù)一樣（不管排列順序），彩票即中一等獎(jiǎng).
（1）多少注不同號(hào)碼的彩票可有一個(gè)一等獎(jiǎng)？
（2）如果要將一等獎(jiǎng)的中獎(jiǎng)機(jī)會(huì)提高到以上且不超過，可在37個(gè)數(shù)中取幾個(gè)數(shù)？
【解析】（1）根據(jù)某個(gè)福利彩票方案，在1至37這37個(gè)數(shù)字中，選取7個(gè)數(shù)字，
如果選出的7個(gè)數(shù)字與開出的7個(gè)數(shù)字一樣（不管排列順序）即得一等獎(jiǎng)，
注彩票可有一個(gè)一等獎(jiǎng)．
（2），，
則在37個(gè)數(shù)中取6個(gè)數(shù)或31個(gè)數(shù)，中一等獎(jiǎng)的概率為
在37個(gè)數(shù)中取5個(gè)或32個(gè)數(shù)，中一等獎(jiǎng)的概率為
如果要將一等獎(jiǎng)的機(jī)會(huì)提高到以上且不超過，
可在37個(gè)數(shù)中取6個(gè)數(shù)或31個(gè)數(shù)．
題型九：納稅問題
例25．（2024·四川南充·統(tǒng)考一模）自2019年1月1日起，對(duì)個(gè)人所得稅起征點(diǎn)和稅率進(jìn)行調(diào)整.調(diào)整如下：納稅人的工資、薪金所得，以每月全部收入額減去5000元后的余額為應(yīng)納稅所得額．依照個(gè)人所得稅稅率表，調(diào)整前后的計(jì)算方法如表：
個(gè)人所得稅稅率（調(diào)整前） 個(gè)人所得稅稅率（調(diào)整后）
免征額3500元 免征額5000元
級(jí)數(shù) 全月應(yīng)納稅所得額 稅率（%） 級(jí)數(shù) 全月應(yīng)納稅所得額 稅率（%）
1 不超過1500元的部分 3 1 不超過3000元的部分 3
2 超過1500元至4500元的部分 10 2 超過3000元至12000元的部分 10
3 超過4500元至9000元的部分 20 3 超過12000元至25000元的部分 20
… … … … … …
(1)假如李先生某月的工資、薪金等所得稅前收入總和不高于8000元，記x表示總收入，y表示應(yīng)納的稅，試分別求出調(diào)整前和調(diào)整后y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；
(2)某稅務(wù)部門在李先生所在公司利用分層抽樣方法抽取某月100個(gè)不同層次員工的稅前收入，并制成下面的頻數(shù)分布表：
收入 （元）
人數(shù) 30 40 10 8 7 5
先從收入在及的人群中按分層抽樣抽取7人，再?gòu)闹羞x2人作為新納稅法知識(shí)宣講員，求選中的2人收入都在的概率；
【解析】（1）根據(jù)個(gè)人所得稅稅率（調(diào)整前）可知：
；
根據(jù)個(gè)人所得稅稅率（調(diào)整后）可知：
；
（2）與人數(shù)的比例為，
所以中抽取人，記為，中抽取人，記為，
從中任取兩個(gè)，基本事件為：，
，共個(gè)，
其中選中的2人收入都在為，共個(gè)，
所以選中的2人收入都在的概率為.
例26．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）個(gè)人所得稅起征點(diǎn)是個(gè)人所得稅工薪所得減除費(fèi)用標(biāo)準(zhǔn)或免征額，個(gè)稅起征點(diǎn)與個(gè)人稅負(fù)高低的關(guān)系最為直接，因此成為廣大工薪階層關(guān)注的焦點(diǎn).隨著我國(guó)人民收入的逐步增加，國(guó)家稅務(wù)總局綜合考慮人民群眾消費(fèi)支出水平增長(zhǎng)等各方面因素，規(guī)定從2019年1月1日起，我國(guó)實(shí)施個(gè)稅新政.實(shí)施的個(gè)稅新政主要內(nèi)容包括: ①個(gè)稅起征點(diǎn)為元②每月應(yīng)納稅所得額(含稅)收入個(gè)稅起征點(diǎn)專項(xiàng)附加扣除; ③專項(xiàng)附加扣除包括住房、子女教育和贍養(yǎng)老人等.新舊個(gè)稅政策下每月應(yīng)納稅所得額(含稅)計(jì)算方法及其對(duì)應(yīng)的稅率表如下:
舊個(gè)稅稅率表(個(gè)稅起征點(diǎn)元) 新個(gè)稅稅率表(個(gè)稅起征點(diǎn)元)
繳稅級(jí)數(shù) 每月應(yīng)納稅所得額(含稅) 收入個(gè)稅起征點(diǎn) 稅率/% 每月應(yīng)納稅所得額(含稅）收入個(gè)稅起征點(diǎn)專項(xiàng)附加扣除 稅率/%
1 不超過元 不超過元
2 部分超過元至元部分 部分超過元至元部分
3 超過元至元的部分 超過元至元的部分
4 超過元至元的部分 超過元至元的部分
5 超過元至元部分 超過元至元部分
··· ··· ··· ···
隨機(jī)抽取某市名同一收入層級(jí)的無親屬關(guān)系的男性互聯(lián)網(wǎng)從業(yè)者(以下互聯(lián)網(wǎng)從業(yè)者都是指無親屬關(guān)系的男性)的相關(guān)資料，經(jīng)統(tǒng)計(jì)分析，預(yù)估他們2022年的人均月收入為元.統(tǒng)計(jì)資料還表明，他們均符合住房專項(xiàng)扣除，同時(shí)他們每人至多只有一個(gè)符合子女教育扣除的孩子，并且他們之中既不符合子女教育扣除又不符合贍養(yǎng)老人扣除、只符合子女教育扣除但不符合贍養(yǎng)老人扣除、只符合贍養(yǎng)老人扣除但不符合子女教育扣除、既符合子女教育扣除又符合贍養(yǎng)老人扣除的人數(shù)之比是.此外，他們均不符合其他專項(xiàng)附加扣除.新個(gè)稅政策下該市的專項(xiàng)附加扣除標(biāo)準(zhǔn)為:住房元/月，子女教育每孩元/月，贍養(yǎng)老人元/月等.假設(shè)該市該收入層級(jí)的互聯(lián)網(wǎng)從業(yè)者都獨(dú)自享受專項(xiàng)附加扣除，將預(yù)估的該市該收入層級(jí)的互聯(lián)網(wǎng)從業(yè)者的人均月收入視為其個(gè)人月收入.根據(jù)樣本估計(jì)總體的思想，解決下列問題.
（1）按新個(gè)稅方案，設(shè)該市該收入層級(jí)的互聯(lián)網(wǎng)從業(yè)者2022年月繳個(gè)稅為元，求的分布列和數(shù)學(xué)期望;
（2）根據(jù)新舊個(gè)稅方案，估計(jì)從2022年1月開始，經(jīng)過幾個(gè)月，該市該收入層級(jí)的互聯(lián)網(wǎng)從業(yè)者各月少繳的個(gè)稅之和就能購(gòu)買一臺(tái)價(jià)值為元的華為智慧屏巨幕電視
【解析】解:既不符合子女教育扣除也不符合贍養(yǎng)老人扣除的人群每月應(yīng)納稅所得額為元，
月繳個(gè)稅元;
只符合子女教育扣除但不符合贍養(yǎng)老人扣除的人群每月應(yīng)納稅所得額為元，
月繳個(gè)稅元;
只符合贍養(yǎng)老人扣除但不符合子女教育扣除的人群每月應(yīng)納稅所得額為元，
月繳個(gè)稅元;
既符合子女教育扣除又符合贍養(yǎng)老人扣除的人群每月應(yīng)納稅所得額元，
月繳個(gè)稅元.
所以的可能值為，
依題意，上述四類人群的人數(shù)之比是，
所以
，
，
，
所以的分布列為
所以
在舊政策下該收入層級(jí)的互聯(lián)網(wǎng)從業(yè)者2022年每月應(yīng)納稅所得額為元，
其月繳個(gè)稅為元，
由知在新政策下該收入層級(jí)的互聯(lián)網(wǎng)從業(yè)者2022年月繳個(gè)稅為元，
所以該收入層級(jí)的互聯(lián)網(wǎng)從業(yè)者每月少繳的個(gè)稅為元.
設(shè)經(jīng)過個(gè)月，該收入層級(jí)的互聯(lián)網(wǎng)從業(yè)者少繳的個(gè)稅的總和就超過
則
因?yàn)?br/>所以
所以經(jīng)過個(gè)月﹐該收入層級(jí)的互聯(lián)網(wǎng)從業(yè)者就能購(gòu)買一臺(tái)價(jià)值為元的華為智慧屏巨幕電視.
例27．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）隨著改革開放的不斷深入，祖國(guó)不斷富強(qiáng)，人民生活水平逐步提高，為了進(jìn)一步改善民生，2019年1月1日起我國(guó)實(shí)施了個(gè)人所得稅的新政策，新政策的主要內(nèi)容包括：①個(gè)稅起征點(diǎn)為5000元；②每月應(yīng)納稅所得額(含稅)=(收入)-(個(gè)稅起征點(diǎn))-(專項(xiàng)附加扣除)；③專項(xiàng)附加扣除包括贍養(yǎng)老人 子女教育 繼續(xù)教育 大病醫(yī)療等.新個(gè)稅政策下贍養(yǎng)老人的扣除標(biāo)準(zhǔn)為：獨(dú)生子女每月扣除2000元，非獨(dú)生子女與其兄弟姐妹按照每月2000元的標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)偪鄢總€(gè)人的分?jǐn)傤~度不能超過1000元；子女教育的扣除標(biāo)準(zhǔn)為：每個(gè)子女每月扣除1000元(可由父母中的一方扣除，或者父母雙方各扣除500元)稅率表如下：
級(jí)數(shù) 全月應(yīng)納稅所得額 稅率
1 不超過3000元的部分 3%
2 超過3000元至12000元的部分 10%
3 超過12000元至25000元的部分 20%
4 超過25000元至35000元的部分 25%
… … …
（1）稅務(wù)部門在小李所在公司用分層抽樣方法抽取某月100位不同層次員工的稅前收入，并制成如圖的頻率分布直方圖.
（i）請(qǐng)根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)該公司員工稅前收入的中位數(shù)；
（ii）同一組中的數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在區(qū)間中點(diǎn)的值作代表，在不考慮他們的專項(xiàng)附加扣除的情況下，甲 乙兩位同學(xué)用如下兩種方法估計(jì)小李所在的公司員工該月平均納稅，請(qǐng)判斷哪位同學(xué)的方法是正確的，不需說明理由.甲同學(xué)：(元)；乙同學(xué)：先計(jì)算收入的均值(元)，再利用均值計(jì)算平均納稅為：(元)
（2）為研究某城市月薪為20000元群體的納稅情況，現(xiàn)收集了該城市500名公司白領(lǐng)(每人至多1個(gè)孩子)的相關(guān)資料，通過整理數(shù)據(jù)知道：這500人中有一個(gè)孩子符合子女教育專項(xiàng)附加扣除(假定由他們各自全部扣除)的有400人，不符合子女教育專項(xiàng)附加扣除的人有100人，符合子女專項(xiàng)附加扣除的人中有300人也符合贍養(yǎng)老人專項(xiàng)附加扣除，不符合子女專項(xiàng)附加扣除的人中有50人符合贍養(yǎng)老人專項(xiàng)附加扣除，并且他們均不符合其他專項(xiàng)附加扣除(統(tǒng)計(jì)的500人中，任何兩人均不在一個(gè)家庭且為獨(dú)生子女).若他們的月收入均為20000元，依據(jù)樣本估計(jì)總體的思想，試估計(jì)在新個(gè)稅政策下這類人群每月應(yīng)繳納個(gè)稅金額(單位：元)的分布列與期望.
【解析】（1）（i）由頻率分布直方圖知，中位數(shù)落在第二組，不妨設(shè)中位數(shù)為千元，
則有，解得(千元)
估計(jì)該公司員工收入的中位數(shù)為6625千元.
（ii）甲同學(xué)
（2）符合子女教育專項(xiàng)附加扣除且符合贍養(yǎng)老人專項(xiàng)附加扣除的人群月應(yīng)納稅所得額
(含稅)為(元)，
月應(yīng)繳納的個(gè)稅金額為(元)；
符合子女教育專項(xiàng)附加扣除但不符合贍養(yǎng)老人專項(xiàng)附加扣除的人群月應(yīng)納稅所得額(含稅)為(元)，
月應(yīng)繳納的個(gè)稅金額為(元)；
不符合子女教育專項(xiàng)附加扣除但符合贍養(yǎng)老人專項(xiàng)附加扣除的人群月應(yīng)納稅所得額(含稅)為(元)，
月應(yīng)繳納的個(gè)稅金額為(元)；
不符合子女教育專項(xiàng)附加扣除且不符合贍養(yǎng)老人專項(xiàng)附加扣除的人群月應(yīng)納稅所得額(含稅)為(元)，
月應(yīng)繳納的個(gè)稅金額為(元).
所以的所有可能取值為990，1190，1390，1590，
，，，.
的分布列為
990 1190 1390 1590
所以.
變式17．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）企業(yè)在商業(yè)活動(dòng)中有依法納稅的基本義務(wù)，不依法納稅叫做逃稅，是一種違法行為．某地區(qū)有2萬家企業(yè)，政府部門抽取部分企業(yè)統(tǒng)計(jì)其去年的收入，得到下面的頻率分布表．根據(jù)當(dāng)?shù)卣呔C合測(cè)算，企業(yè)應(yīng)繳的稅額約為收入的5%，而去年該地區(qū)企業(yè)實(shí)際繳稅的總額為291億元．
收入（千萬元）
頻率 0.3 0.5 0.12 0.06 0.02
（1）估計(jì)該地區(qū)去年收入大于等于4千萬元的企業(yè)數(shù)量；
（2）估計(jì)該地區(qū)企業(yè)去年的平均收入，并以此估計(jì)該地區(qū)逃稅的企業(yè)數(shù)量；
（3）根據(jù)統(tǒng)計(jì)，該地區(qū)企業(yè)逃稅被查出來的概率為0.3，被查出逃稅的企業(yè)除了要補(bǔ)繳稅款以外，還會(huì)被處以應(yīng)繳稅額倍的罰款，從企業(yè)逃稅的獲益期望考慮，至少定為多少，才能對(duì)逃稅行為起到懲罰作用？
注：每組數(shù)據(jù)以區(qū)間中點(diǎn)值為代表，假設(shè)逃稅的企業(yè)繳稅額為0，未逃稅的企業(yè)都足額繳稅．
【解析】（1）去年收入大于等于4千萬元的頻率為，
所以估計(jì)該地區(qū)去年收入大于等于4千萬元的企業(yè)數(shù)量為．
（2）該地區(qū)企業(yè)去年的平均收入的估計(jì)值為
（千萬元）．
平均繳稅額為（千萬元）（億元），
所以未逃稅的企業(yè)數(shù)量為，
因此，逃稅的企業(yè)數(shù)量為．
（3）設(shè)企業(yè)應(yīng)繳稅額為，企業(yè)逃稅的獲益為，
若該企業(yè)逃稅未被查出，則；
若該企業(yè)逃稅被查出來，則．
由條件知，，
所以，
要對(duì)逃稅行為起到懲罰作用，則需，解得．
所以至少定為3，才能對(duì)逃稅行為起到懲罰作用．
變式18．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，個(gè)人收入的提高，自2019年1月1日起，個(gè)人所得稅起征點(diǎn)和稅率的調(diào)整，調(diào)整如下：納稅人的工資、薪資所得，以每月全部收入額減除5000元后的余額為應(yīng)納稅所得額，依照個(gè)人所得稅稅率表，調(diào)整前后的計(jì)算方法如下表：
個(gè)人所得稅稅率表（調(diào)整前） 個(gè)人所得稅稅率表（調(diào)整后）
免征額3500元 免征額5000元
級(jí)數(shù) 全月應(yīng)納稅所得額 稅率（%） 級(jí)數(shù) 全月應(yīng)納稅所得額 稅率（%）
1 不超過1500元部分 3 1 不超過3000元部分 3
2 超過1500元至4500元的部分 10 2 超過3000元至12000元的部分 10
3 超過4500元至9000元的部分 20 3 超過12000元至25000元的部分 20
… … … … … …
（1）假如小紅某月的工資、薪資等所得稅前收入總和不高于10000元，記表示總收入，表示應(yīng)納的稅，試寫出調(diào)整前后關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式；
（2）某稅務(wù)部門在小紅所在公司利用分層抽樣方法抽取某月100個(gè)不同層次員工的稅前收入，并制成下面的頻數(shù)分布表：
收入（元） [3000，5000） [5000，7000） [7000，9000） [9000，11000） [11000，13000）
人數(shù) 20 40 15 10 5
①先從收入在[3000，5000）及[5000，7000）的人群中按分層抽樣抽取6人，再?gòu)闹羞x3人作為新納稅法知識(shí)宣講員，用表示抽到作為宣講員的收入在[3000，5000）元的人數(shù)，表示抽到作為宣講員的收入在[5000，7000）元的人數(shù)，隨機(jī)變量，求的分布列與數(shù)學(xué)期望；
②小紅該月的工資、薪資等稅前收入為8500元時(shí)，請(qǐng)你幫小紅算一下調(diào)整后小紅的實(shí)際收入比調(diào)整前增加了多少？
【解析】（1）調(diào)整前關(guān)于的表達(dá)式為
調(diào)整后關(guān)于的表達(dá)式為
（2）①由頻數(shù)分布表可知從[3000，5000）及[5000，7000）的人群中抽取6人，其中[3000，5000）占2人，[5000，7000）占4人，再?gòu)倪@6人中選3人，則的取值可能為0，2，
所以；
.
所以其分布列為
0 2
所以.
②由于小紅的工資、薪資等收入為8500元，按調(diào)整前起征點(diǎn)應(yīng)納個(gè)稅為元，按調(diào)整后起征點(diǎn)應(yīng)納個(gè)稅為元，比較兩個(gè)納稅方案可知，按調(diào)整后起征點(diǎn)應(yīng)納個(gè)稅少交305元，即小紅的實(shí)際收入增加了305元.
題型十：疾病問題
例28．（2024·廣西玉林·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）某醫(yī)藥企業(yè)使用新技術(shù)對(duì)某款血液試劑進(jìn)行試生產(chǎn).
(1)在試產(chǎn)初期，該款血液試劑的I批次生產(chǎn)有四道工序，前三道工序的生產(chǎn)互不影響，第四道是檢測(cè)評(píng)估工序，包括智能自動(dòng)檢測(cè)與人工抽檢.已知該款血液試劑在生產(chǎn)中，經(jīng)過前三道工序后的次品率為.第四道工序中智能自動(dòng)檢測(cè)為次品的血液試劑會(huì)被自動(dòng)淘汰，合格的血液試劑進(jìn)入流水線并由工人進(jìn)行抽查檢驗(yàn).
已知批次I的血液試劑智能自動(dòng)檢測(cè)顯示合格率為98%，求工人在流水線進(jìn)行人工抽檢時(shí)，抽檢一個(gè)血液試劑恰為合格品的概率；
(2)已知切比雪夫不等式：設(shè)隨機(jī)變量的期望為，方差為，則對(duì)任意，均有.藥廠宣稱該血液試劑對(duì)檢測(cè)某種疾病的有效率為，現(xiàn)隨機(jī)選擇了100份血液樣本，使用該血液試劑進(jìn)行檢測(cè)，每份血液樣本檢測(cè)結(jié)果相互獨(dú)立，顯示有效的份數(shù)不超過60份，請(qǐng)結(jié)合切比雪夫不等式，通過計(jì)算說明該企業(yè)的宣傳內(nèi)容是否真實(shí)可信.
【解析】（1）設(shè)批次I的血液試劑智能自動(dòng)檢測(cè)合格為事件A，人工抽檢合格為事件，
由已知得，
則工人在流水線進(jìn)行人工抽檢時(shí)，抽檢一個(gè)血液試劑恰為合格品的概率為
.
（2）設(shè)份血液樣本中檢測(cè)有效的份數(shù)為，假設(shè)該企業(yè)關(guān)于此新試劑有效率的宣傳內(nèi)容是客觀真實(shí)的，那么在此假設(shè)下，，
，
由切比雪夫不等式，有，
即在假設(shè)下，100份血液樣本中顯示有效的份數(shù)不超過60份的概率不超過0.04，此概率很小，
據(jù)此我們有理由推斷該企業(yè)的宣傳內(nèi)容不可信.
例29．（2024·江蘇鎮(zhèn)江·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）衛(wèi)生檢疫部門在進(jìn)行病毒檢疫時(shí)常采用“混采檢測(cè)”或“逐一檢測(cè)”的形式進(jìn)行，某興趣小組利用“混采檢測(cè)”進(jìn)行試驗(yàn)，已知6只動(dòng)物中有1只患有某種疾病，需要通過血液化驗(yàn)來確定患病的動(dòng)物，血液化驗(yàn)結(jié)果呈陽性的為患病動(dòng)物，下面是兩種化驗(yàn)方案：
方案甲：將各動(dòng)物的血液逐個(gè)化驗(yàn)，直到查出患病動(dòng)物為止.
方案乙：先取4只動(dòng)物的血液混在一起化驗(yàn)，若呈陽性，則對(duì)這4只動(dòng)物的血液再逐個(gè)化驗(yàn)，直到查出患病動(dòng)物；若不呈陽性，則對(duì)剩下的2只動(dòng)物再逐個(gè)化驗(yàn)，直到查出患病動(dòng)物.
(1)用表示依方案甲所需化驗(yàn)次數(shù)，求變量的期望；
(2)求依方案甲所需化驗(yàn)次數(shù)少于依方案乙所需化驗(yàn)次數(shù)的概率.
【解析】（1）可以取的值有1，2，3，4，5.
，，，，，
，
（2）設(shè)乙方案所需化驗(yàn)的次數(shù)為Y，則Y可以的值有2，3，4.
，
，
，
．
例30．（2024·遼寧·高三東北育才學(xué)校校聯(lián)考開學(xué)考試）某單位有名職工，通過抽驗(yàn)篩查一種疾病的患者．假設(shè)患疾病的人在當(dāng)?shù)厝巳褐械谋壤秊?專家建議隨機(jī)地按（且為的正因數(shù)）人一組分組，然后將各組個(gè)人的血樣混合再化驗(yàn). 如果混管血樣呈陰性，說明這個(gè)人全部陰性；如果混管血樣呈陽性，說明其中至少有一人的血樣呈陽性，就需要對(duì)每個(gè)人再分別化驗(yàn)一次.設(shè)該種方法需要化驗(yàn)的總次數(shù)為.
(1)當(dāng)時(shí)，求的取值范圍并解釋其實(shí)際意義；
(2)現(xiàn)對(duì)混管血樣逐一化驗(yàn)，至化驗(yàn)出陽性樣本時(shí)停止，最多化驗(yàn)次.記為混管的化驗(yàn)次數(shù)，當(dāng)足夠大時(shí)，證明：；
(3)根據(jù)經(jīng)驗(yàn)預(yù)測(cè)本次檢測(cè)時(shí)個(gè)人患病的概率，當(dāng)時(shí)，按照計(jì)算得混管數(shù)量的期望；某次檢驗(yàn)中，試判斷個(gè)人患病的概率為是否合理.（如果，則說明假設(shè)不合理）．
附：若，則，，.
【解析】（1）令，由題意可知，的可能取值有、、、、，
則，
所以，，
因?yàn)椋?br/>所以，
，
令，
可得恒成立，
兩邊取自然對(duì)數(shù)，可得，其中，得，
不妨設(shè)，其中，則，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
所以，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，
因此，，此時(shí)，且，
但由于是的正因數(shù)，
所以，
那么，即，即，故，
其實(shí)際意義為：當(dāng)時(shí)，混檢次數(shù)的期望要比逐個(gè)檢測(cè)的期望大，說明逐個(gè)檢測(cè)較好.
（2）證明：當(dāng)、、、、時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，，
不妨設(shè)，
則，
設(shè)，①
則，②
①②可得，
所以，.
（3）由于服從二項(xiàng)分布，則的可能取值有、、、、，
所以，，解得，
所以，，
同時(shí)，由于足夠大，不妨視，則，則，
則，
則，故，
因此，故有充分的里有認(rèn)為不合理.
變式19．（2024·重慶沙坪壩·高三重慶一中校考階段練習(xí)）某研究小組經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)某種疾病的患病者與未患病者的某項(xiàng)醫(yī)學(xué)指標(biāo)有明顯差異，已知該疾病的患病率為，經(jīng)過大量調(diào)查，得到如圖的患病者和未患病者該指標(biāo)的頻率分布直方圖：

利用該指標(biāo)制定一個(gè)檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)，需要確定臨界值，將該指標(biāo)大于的人判定為陽性，小于或等于的人判定為陰性.將患病者判定為陰性或?qū)⑽椿疾≌吲卸殛栃跃鶠檎`診.假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率.
(1)當(dāng)臨界值時(shí)，已知某人是患病者，求該人被誤診的概率；
(2)當(dāng)時(shí)，求利用該指標(biāo)作為檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)的誤診率的解析式，并求使最小的臨界值.
【解析】（1）患病者被誤診即被判定為陰性的概率為：.
（2）當(dāng)時(shí)，
，
當(dāng)時(shí)，
，
在單調(diào)遞減，所以時(shí)，最小.
變式20．（2024·上海浦東新·高三華師大二附中校考階段練習(xí)）某研究小組經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)某種疾病的患病者與未患病者的某項(xiàng)醫(yī)學(xué)指標(biāo)有明顯差異，經(jīng)過大量調(diào)查，得到如下的患病者和未患病者該指標(biāo)的頻率分布直方圖：

利用該指標(biāo)制定一個(gè)檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)，需要確定臨界值c，將該指標(biāo)大于c的人判定為陽性，小于或等于c的人判定為陰性．此檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)的漏診率是將患病者判定為陰性的概率，記為；誤診率是將未患病者判定為陽性的概率，記為．假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率．
(1)當(dāng)漏診率％時(shí)，求臨界值c和誤診率；
(2)設(shè)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，求的解析式，并求在區(qū)間的最小值．
【解析】（1）依題可知，左邊圖形第一個(gè)小矩形的面積為，所以，
所以，解得：，
．
（2）當(dāng)時(shí)，
；
當(dāng)時(shí)，
,
故，
所以在區(qū)間的最小值為．
變式21．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）概率論中有很多經(jīng)典的不等式，其中最著名的兩個(gè)當(dāng)屬由兩位俄國(guó)數(shù)學(xué)家馬爾科夫和切比雪夫分別提出的馬爾科夫（Markov）不等式和切比雪夫（Chebyshev）不等式．馬爾科夫不等式的形式如下：
設(shè)為一個(gè)非負(fù)隨機(jī)變量，其數(shù)學(xué)期望為，則對(duì)任意，均有，
馬爾科夫不等式給出了隨機(jī)變量取值不小于某正數(shù)的概率上界，闡釋了隨機(jī)變量尾部取值概率與其數(shù)學(xué)期望間的關(guān)系．當(dāng)為非負(fù)離散型隨機(jī)變量時(shí)，馬爾科夫不等式的證明如下：
設(shè)的分布列為其中，則對(duì)任意，，其中符號(hào)表示對(duì)所有滿足的指標(biāo)所對(duì)應(yīng)的求和．
切比雪夫不等式的形式如下：
設(shè)隨機(jī)變量的期望為，方差為，則對(duì)任意，均有
(1)根據(jù)以上參考資料，證明切比雪夫不等式對(duì)離散型隨機(jī)變量成立．
(2)某藥企研制出一種新藥，宣稱對(duì)治療某種疾病的有效率為．現(xiàn)隨機(jī)選擇了100名患者，經(jīng)過使用該藥治療后，治愈的人數(shù)為60人，請(qǐng)結(jié)合切比雪夫不等式通過計(jì)算說明藥廠的宣傳內(nèi)容是否真實(shí)可信．
【解析】（1）法一：對(duì)非負(fù)離散型隨機(jī)變量及正數(shù)使用馬爾科夫不等式，
有．
法二：設(shè)的分布列為
其中，記，則對(duì)任意，
.
（2）設(shè)在100名患者中治愈的人數(shù)為．假設(shè)藥企關(guān)于此新藥有效率的宣傳內(nèi)容是客觀真實(shí)的，
那么在此假設(shè)下，．
由切比雪夫不等式，有．
即在假設(shè)下，100名患者中治愈人數(shù)不超過60人的概率不超過0.04，此概率很小，
據(jù)此我們有理由推斷藥廠的宣傳內(nèi)容不可信．
題型十一：建議問題
例31．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）地區(qū)農(nóng)科所統(tǒng)計(jì)歷年冬小麥每畝產(chǎn)量的數(shù)據(jù)，得到頻率分布直方圖（如圖1），考慮到受市場(chǎng)影響，預(yù)測(cè)該地區(qū)明年冬小麥統(tǒng)一收購(gòu)價(jià)格情況如表1（該預(yù)測(cè)價(jià)格與畝產(chǎn)量互不影響）.
明年冬小麥統(tǒng)一收購(gòu)價(jià)格（單位：元）
概率
表1
假設(shè)圖1中同組的每個(gè)數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值估算，并以頻率估計(jì)概率.
(1)試估計(jì)地區(qū)明年每畝冬小麥統(tǒng)一收購(gòu)總價(jià)為元的概率；
(2)設(shè)地區(qū)明年每畝冬小麥統(tǒng)一收購(gòu)總價(jià)為元，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；
(3)地區(qū)農(nóng)科所研究發(fā)現(xiàn)，若每畝多投入元的成本進(jìn)行某項(xiàng)技術(shù)改良，則可使每畝冬小麥產(chǎn)量平均增加.從廣大種植戶的平均收益角度分析，你是否建議農(nóng)科所推廣該項(xiàng)技術(shù)改良？并說明理由.
【解析】（1）由圖可知，畝產(chǎn)量是的概率約為，
畝產(chǎn)量是的概率約為，畝產(chǎn)量是的概率約為，
估計(jì)地區(qū)明年每畝冬小麥統(tǒng)一收購(gòu)總價(jià)為元的概率為
（2）由題意可知，隨機(jī)變量的可能取值有：、、、、，
，，
，
，，
所以，隨機(jī)變量的分布列如下表所示：
.
（3）建議農(nóng)科所推廣該項(xiàng)技術(shù)改良，
設(shè)增產(chǎn)前每畝冬小麥產(chǎn)量為，增產(chǎn)后每畝冬小麥產(chǎn)量為，則，
設(shè)增產(chǎn)后的每畝動(dòng)漫小麥總價(jià)格為元，分析可知，
所以，增產(chǎn)的會(huì)產(chǎn)生增加的收益為，
故建議農(nóng)科所推廣該項(xiàng)技術(shù)改良.
例32．（2024·北京·高三北京市第一六一中學(xué)校考期中）某校為了鼓勵(lì)學(xué)生熱心公益，服務(wù)社會(huì)，成立了“慈善義工社”.本學(xué)期該校“慈善義工社”為學(xué)生提供了4次參加公益活動(dòng)的機(jī)會(huì)，學(xué)生可通過網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)報(bào)名并參加該活動(dòng).活動(dòng)結(jié)束后，為了解學(xué)生實(shí)際參加這4次活動(dòng)的情況，從全校4000名學(xué)生中隨機(jī)抽取100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下表，其中“√表示參加，“×”表示未參加.
公益活動(dòng) 學(xué)生人數(shù) 第1次 第2次 第3次 第4次
30 × × √ √
20 × √ × √
15 √ √ √ √
12 √ √ √ ×
10 × √ × ×
a √ × × ×
b × × × ×
根據(jù)表中數(shù)據(jù)估計(jì)，該校4000名學(xué)生中約有120名這4次活動(dòng)均未參加.
(1)求的值；
(2)若學(xué)生每次參加公益活動(dòng)可獲得10個(gè)公益積分，任取該校一名學(xué)生，記該生在本學(xué)期活動(dòng)中獲得的公益積分為，以頻率作為概率，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；
(3)如果你是該校“慈善義工社”的負(fù)責(zé)人之一，那么根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，在安排下學(xué)期的公益活動(dòng)時(shí)你會(huì)提出什么改進(jìn)建議？并說明理由.
【解析】（1）依題意，所以.
因?yàn)椋?br/>所以.
（2）可取.
所以隨機(jī)變量的分布列為：
0 10 20 30 40
所以.
（3）答案不唯一，能利用表中數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，合理支撐自己的建議即可.（例如：在舉行公益活動(dòng)前可以先征求學(xué)生的意見，提高參與度.）
例33．（2024·北京東城·高三景山學(xué)校校考開學(xué)考試）汽車租賃公司為了調(diào)查兩種車型的出租情況，現(xiàn)隨機(jī)抽取了這兩種車型各100輛汽車，分別統(tǒng)計(jì)了每輛車某個(gè)星期內(nèi)的出租天數(shù)，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表：
型車
出租天數(shù) 1 2 3 4 5 6 7
車輛數(shù) 5 10 30 35 15 3 2
B型車
出租天數(shù) 1 2 3 4 5 6 7
車輛數(shù) 14 20 20 16 15 10 5
(1)從出租天數(shù)為3天的汽車（僅限兩種車型）中隨機(jī)抽取一輛，估計(jì)這輛汽車恰好是A型車的概率；
(2)根據(jù)這個(gè)星期的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)（用頻率估計(jì)概率），求該公司一輛型車，一輛型車一周內(nèi)合計(jì)出租天數(shù)恰好為4天的概率；
(3)如果兩種車型每輛車每天出租獲得的利潤(rùn)相同，該公司需要從A，B兩種車型中購(gòu)買一輛，請(qǐng)你根據(jù)所學(xué)的統(tǒng)計(jì)知識(shí)，給出建議應(yīng)該購(gòu)買哪一種車型，并說明你的理由.
【解析】（1）出租天數(shù)為3天的汽車型車有30輛，型車20輛．從中隨機(jī)抽取一輛，這輛汽車是型車的概率約為．
（2）設(shè)“事件表示一輛型車在一周內(nèi)出租天數(shù)恰好為天”，
“事件表示一輛型車在一周內(nèi)出租天數(shù)恰好為天”，其中，，2，，7．
則該公司一輛型車，一輛型車一周內(nèi)合計(jì)出租天數(shù)恰好為4天的概率為
．
該公司一輛型車，一輛型車一周內(nèi)合計(jì)出租天數(shù)恰好為4天的概率為．
（3）設(shè)為型車出租的天數(shù)，則的分布列為
1 2 3 4 5 6 7
0.05 0.10 0.30 0.35 0.15 0.03 0.02
設(shè)為型車出租的天數(shù)，則的分布列為
1 2 3 4 5 6 7
0.14 0.20 0.20 0.16 0.15 0.10 0.05
．．
一輛類型的出租車一個(gè)星期出租天數(shù)的平均值為3.62天，類車型一個(gè)星期出租天數(shù)的平均值為3.48天．
從出租天數(shù)的數(shù)據(jù)來看，型車出租天數(shù)為3，4，5占比0.8，型車出租天數(shù)為3，4，5占比0.51，根據(jù)數(shù)據(jù)的集中程度看，型車比型車出租天數(shù)更集中，綜合分析，選擇類型的出租車更加合理．
變式22．（2024·湖北武漢·統(tǒng)考三模）某社區(qū)擬對(duì)該社區(qū)內(nèi)8000人進(jìn)行核酸檢測(cè)，現(xiàn)有以下兩種核酸檢測(cè)方案：
方案一：4人一組，采樣混合后進(jìn)行檢測(cè)；
方案二：2人一組，采樣混合后進(jìn)行檢測(cè)；
若混合樣本檢測(cè)結(jié)果呈陽性，則對(duì)該組所有樣本全部進(jìn)行單個(gè)檢測(cè)；若混合樣本檢測(cè)結(jié)果呈陰性，則不再檢測(cè).
(1)某家庭有6人，在采取方案一檢測(cè)時(shí)，隨機(jī)選2人與另外2名鄰居組成一組，余下4人組成一組，求該家庭6人中甲，乙兩人被分在同一組的概率；
(2)假設(shè)每個(gè)人核酸檢測(cè)呈陽性的概率都是0.01，每個(gè)人核酸檢測(cè)結(jié)果相互獨(dú)立，分別求該社區(qū)選擇上述兩種檢測(cè)方案的檢測(cè)次數(shù)的數(shù)學(xué)期望.以較少檢測(cè)次數(shù)為依據(jù)，你建議選擇哪種方案？
（附：，）
【解析】(1)記該家庭6人中甲，乙兩人被分在同一組為事件A，
則.
(2)每個(gè)人核酸檢測(cè)陽性概率為0.01，則每個(gè)人核酸檢測(cè)呈陰性的概率為0.99，
若選擇方案一進(jìn)行核酸檢測(cè)，記小組4人的檢測(cè)次數(shù)為，則可能取值為1，5，其分布列為：
1 5
P
則選擇方案一，小組4人的檢測(cè)次數(shù)期望為，
于是得該社區(qū)對(duì)8000人核酸檢測(cè)總次數(shù)的期望為，
若選擇方案二，記小組2人的檢測(cè)次數(shù)為，則可能取值為1，3，其分布列為：
1 3
P
，
于是得該社區(qū)8000人進(jìn)行核酸檢測(cè)總次數(shù)的期望，
顯然，所以建議選擇方案一.
變式23．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）機(jī)動(dòng)車輛保險(xiǎn)即汽車保險(xiǎn)（簡(jiǎn)稱車險(xiǎn)），是指對(duì)機(jī)動(dòng)車輛由于自然災(zāi)害或意外事故所造成的人身傷亡或財(cái)產(chǎn)損失負(fù)賠償責(zé)任的一種商業(yè)保險(xiǎn)．機(jī)動(dòng)車輛保險(xiǎn)一般包括交強(qiáng)險(xiǎn)和商業(yè)險(xiǎn)，商業(yè)險(xiǎn)包括基本險(xiǎn)和附加險(xiǎn)兩部分．經(jīng)驗(yàn)表明新車商業(yè)險(xiǎn)保費(fèi)與購(gòu)車價(jià)格有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，下面是隨機(jī)采集的相關(guān)數(shù)據(jù)：
購(gòu)車價(jià)格x（萬元） 5 10 15 20 25 30 35
商業(yè)險(xiǎn)保費(fèi)y（元） 1737 2077 2417 2757 3097 3622 3962
(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，求y關(guān)于x的線性回歸方程（精確到0.01）；
(2)某保險(xiǎn)公司規(guī)定：上一年的出險(xiǎn)次數(shù)決定了下一年的保費(fèi)倍率，上一年沒有出險(xiǎn)，則下一年保費(fèi)倍率為85%，上一年出險(xiǎn)一次，則下一年保費(fèi)倍率為100%，上一年出險(xiǎn)兩次，則下一年保費(fèi)倍率為125%．太原王女士2022年1月購(gòu)買了一輛價(jià)值32萬元的新車．若該車2022年2月已出過一次險(xiǎn)，4月又發(fā)生事故，王女士到汽車維修店詢價(jià)，預(yù)計(jì)修車費(fèi)用為800元，理賠人員建議王女士自費(fèi)維修（即不出險(xiǎn)），你認(rèn)為王女士是否應(yīng)該接受該建議？請(qǐng)說明理由．（假設(shè)車輛2022年與2024年都購(gòu)買相同的商業(yè)險(xiǎn)產(chǎn)品）
參考數(shù)據(jù)：．
參考公式：．
【解析】（1）（萬元），
所以
（2）價(jià)值為32萬元的車輛的商業(yè)車險(xiǎn)保費(fèi)預(yù)報(bào)值為元．
由于該車已出險(xiǎn)一次，若再出險(xiǎn)一次，則保費(fèi)要增加25%，
即保費(fèi)增加元．
因?yàn)椋舫鲭U(xiǎn)，2024年增加的保費(fèi)大于800元，
所以王女士應(yīng)接受理賠專員的建議．
變式24．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）為弘揚(yáng)中華傳統(tǒng)文化，吸收前人在修身 處世 治國(guó) 理政等方面的智慧和經(jīng)驗(yàn)，養(yǎng)浩然正氣，塑高尚人格，不斷提高學(xué)生的人文素質(zhì)和精神境界，某校舉行傳統(tǒng)文化知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng).競(jìng)賽共有“儒”和“道”兩類題，每類各5題.其中每答對(duì)1題“儒”題得10分，答錯(cuò)得0分；每答對(duì)1題“道”題得20分，答錯(cuò)扣5分.每位參加競(jìng)賽的同學(xué)從這兩類題中共抽出4題回答（每個(gè)題抽后不放回），要求“道”題中至少抽2題作答.已知小明同學(xué)“儒”題中有4題會(huì)作答，答對(duì)各個(gè)“道”題的概率均為.
(1)若小明同學(xué)在“儒”題中只抽1題作答，求他在這次競(jìng)賽中得分為35分的概率；
(2)若小明同學(xué)第1題是從“儒”題中抽出并回答正確，根據(jù)得分期望給他建議，應(yīng)從“道”題中抽取幾道題作答？
【解析】（1）記A=“小明在競(jìng)賽中得3”，則A表示“儒”題答錯(cuò)，
“道”題2對(duì)1錯(cuò)，所以
（2）當(dāng)小明選擇從“儒”題中抽取1題，“道”題中抽取2題作答時(shí)，設(shè)4題總得分為X，此時(shí)設(shè)“道”題中答對(duì)的題數(shù)為.則，.
（i）“儒”題中的第二題答對(duì)時(shí)總得分
（ii）“儒”題中的第二題答錯(cuò)時(shí)總得分
此時(shí)小明的總得分期望值
當(dāng)小明選擇從“道”題中抽取3題作答，設(shè)答對(duì)題數(shù)為，4題總得分為Y，則，，，
所以
因?yàn)椋葱∶鲬?yīng)從“道”題中抽取12道題作答.
題型十二：概率與數(shù)列遞推問題
例34．（2024·貴州貴陽·高三貴陽一中校考階段練習(xí)）馬爾科夫鏈?zhǔn)歉怕式y(tǒng)計(jì)中的一個(gè)重要模型，因俄國(guó)數(shù)學(xué)家安德烈·馬爾科夫得名，其過程具備“無記憶”的性質(zhì)，即第次狀態(tài)的概率分布只跟第次的狀態(tài)有關(guān)，與第，，，…次狀態(tài)無關(guān)，即.已知甲盒子中裝有2個(gè)黑球和1個(gè)白球，乙盒子中裝有2個(gè)白球，現(xiàn)從甲、乙兩個(gè)盒子中各任取一個(gè)球交換放入另一個(gè)盒子中，重復(fù)次這樣的操作.記甲盒子中黑球個(gè)數(shù)為，恰有2個(gè)黑球的概率為，恰有1個(gè)黑球的概率為.
(1)求，和，；
(2)證明：為等比數(shù)列（且）；
(3)求的期望（用表示，且）.
【解析】（1）若甲盒取黑，乙盒取白，此時(shí)互換，則甲盒中變?yōu)?黑2白，乙盒為1黑1白，概率為，
若甲盒取白，乙盒取白，此時(shí)互換，則甲盒中變?yōu)?黑1白，乙盒為2白，概率為，
所以，
①當(dāng)甲盒1黑2白，乙盒為1黑1白，概率為，此時(shí)：
若甲盒取黑，乙盒取白，此時(shí)互換，則甲盒中變?yōu)?白，概率為，
若甲盒取黑，乙盒取黑，此時(shí)互換，則甲盒中變?yōu)?黑2白，概率為，
若甲盒取白，乙盒取白，此時(shí)互換，則甲盒中變?yōu)?黑2白，概率為，
若甲盒取白，乙盒取黑，此時(shí)互換，則甲盒中變?yōu)?黑1白，概率為，
②當(dāng)甲盒2黑1白，乙盒為2白，概率為，此時(shí)：
若甲盒取黑，乙盒取白，此時(shí)互換，則甲盒中變?yōu)?黑2白，概率為，
若甲盒取白，乙盒取白，此時(shí)互換，則甲盒中變?yōu)?黑1白，概率為，
綜上可知：，.
（2）經(jīng)過次這樣的操作.記甲盒子恰有2個(gè)黑1白的概率為，恰有1黑2白的概率為，3白的概率為，
①當(dāng)甲盒1黑2白，乙盒為1黑1白，概率為，此時(shí)：
若甲盒取黑，乙盒取白，此時(shí)互換，則甲盒中變?yōu)?白，概率為，
若甲盒取黑，乙盒取黑，此時(shí)互換，則甲盒中變?yōu)?黑2白，概率為，
若甲盒取白，乙盒取白，此時(shí)互換，則甲盒中變?yōu)?黑2白，概率為，
若甲盒取白，乙盒取黑，此時(shí)互換，則甲盒中變?yōu)?黑1白，概率為，
②當(dāng)甲盒2黑1白，乙盒為2白，概率為，此時(shí)：
若甲盒取黑，乙盒取白，此時(shí)互換，則甲盒中變?yōu)?黑2白，概率為，
若甲盒取白，乙盒取白，此時(shí)互換，則甲盒中變?yōu)?黑1白，概率為，
③當(dāng)甲盒中3白，乙盒2黑，概率為，此時(shí)：
若甲盒取白，乙盒取黑，此時(shí)互換，則甲盒中變?yōu)?黑2白，概率為，
故.
，
因此，
因此為等比數(shù)列，且公比為.
（3）由（2）知為等比數(shù)列，且公比為，首項(xiàng)為，
故，所以，
.
例35．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）甲乙兩人輪流擲硬幣，第一局甲先擲，誰先擲出正面誰就勝，上一局的負(fù)者下一局先擲．問：
(1)第一局甲勝的概率；
(2)第局甲勝的概率．
【解析】（1）；
（2）設(shè)第局甲勝的概率為，則，又，用待定系數(shù)法易知．
例36．（2024·河北保定·河北省唐縣第一中學(xué)校考二模）在某個(gè)周末，甲、乙、丙、丁四名同學(xué)相約打臺(tái)球．四人約定游戲規(guī)則：①每輪游戲均將四人分成兩組，進(jìn)行組內(nèi)一對(duì)一對(duì)打；②第一輪甲乙對(duì)打、丙丁對(duì)打；③每輪游戲結(jié)束后，兩名優(yōu)勝者組成優(yōu)勝組在下一輪游戲中對(duì)打，同樣的，兩名失敗者組成敗者組在下一輪游戲中對(duì)打；④每輪比賽均無平局出現(xiàn)．已知甲勝乙、乙勝丙、丙勝丁的概率均為，甲勝丙、乙勝丁的概率均為，甲勝丁的概率為．
(1)設(shè)在前三輪比賽中，甲乙對(duì)打的次數(shù)為隨機(jī)變量X，求X的數(shù)學(xué)期望；
(2)求在第10輪比賽中，甲丙對(duì)打的概率．
【解析】（1）由題可知，甲乙在第一輪對(duì)打，且在第二輪不對(duì)打，所以的可取值為1，2，
，
則，
所以X的數(shù)學(xué)期望.
（2）設(shè)在第輪中，甲乙對(duì)打的概率為，甲丙對(duì)打的概率為，甲丁對(duì)打的概率為，
易知，，，
且，
又，所以，
整理得，
則數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，
即，所以，則，
故在第10輪比賽中，甲丙對(duì)打的概率為．
變式25．（2024·湖北武漢·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）有編號(hào)為1，2，3，...，18，19，20的20個(gè)箱子，第一個(gè)箱子有2個(gè)黃球1個(gè)綠球，其余箱子均為2個(gè)黃球2個(gè)綠球，現(xiàn)從第一個(gè)箱子中取出一個(gè)球放入第二個(gè)箱子，再?gòu)牡诙€(gè)箱子中取出一個(gè)球放入第三個(gè)箱子，以此類推，最后從第19個(gè)箱子取出一個(gè)球放入第20個(gè)箱子，記為從第個(gè)箱子中取出黃球的概率.
(1)求；
(2)求.
【解析】（1）從第二個(gè)箱子取出黃球的概率，
從第三個(gè)箱子取出黃球的概率；
（2）由題意可知，，
即，又，
.
變式26．（2024·江西·校聯(lián)考二模）文具盒里裝有7支規(guī)格一致的圓珠筆，其中4支黑筆，3支紅筆.某學(xué)校甲、乙、丙三位教師共需取出3支紅筆批閱試卷，每次從文具盒中隨機(jī)取出一支筆，若取出的是紅筆，則不放回；若取出的是黑筆，則放回文具盒，繼續(xù)抽取，直至將3支紅筆全部抽出.
(1)在第2次取出黑筆的前提下，求第1次取出紅筆的概率；
(2)抽取3次后，記取出紅筆的數(shù)量為，求隨機(jī)變量的分布列；
(3)因?qū)W校臨時(shí)工作安排，甲教師不再參與閱卷，記恰好在第n次抽取中抽出第2支紅筆的概率為，求的通項(xiàng)公式.
【解析】（1）根據(jù)題意，記事件A：第1次取出紅筆；事件B：第2次取出黑筆，
則，
所以在第2次取出黑筆的前提下，第1次取出紅筆的概率為.
（2）由題意，隨機(jī)變量可能取值為，
可得，，
，，
所以隨機(jī)變量分布列為：
0 1 2 3
（3）由題意知：前n－1次取了1次紅筆，第n次取紅筆，
則
.
變式27．（2024·吉林·通化市第一中學(xué)校校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）2022年12月18日，第二十二屆男足世界杯決賽在梅西率領(lǐng)的阿根廷隊(duì)與姆巴佩率領(lǐng)的法國(guó)隊(duì)之間展開，法國(guó)隊(duì)在上半場(chǎng)落后兩球的情況下，下半場(chǎng)連進(jìn)兩球，2比2戰(zhàn)平進(jìn)入加時(shí)賽，加時(shí)賽兩隊(duì)各進(jìn)一球（比分3∶3）再次戰(zhàn)平，在隨后的點(diǎn)球大戰(zhàn)中，阿根廷隊(duì)發(fā)揮出色，最終贏得了比賽的勝利，時(shí)隔36年再次成功奪得世界杯冠軍，梅西如愿以償，成功捧起大力神杯．
(1)法國(guó)隊(duì)與阿根廷隊(duì)實(shí)力相當(dāng)，在比賽前很難預(yù)測(cè)誰勝誰負(fù)．賽前有3人對(duì)比賽最終結(jié)果進(jìn)行了預(yù)測(cè)，假設(shè)每人預(yù)測(cè)正確的概率均為，求預(yù)測(cè)正確的人數(shù)X的分布列和期望；
(2)足球的傳接配合非常重要，傳接球訓(xùn)練也是平常訓(xùn)練的重要項(xiàng)目，梅西和其他4名隊(duì)友在某次傳接球的訓(xùn)練中，假設(shè)球從梅西腳下開始，等可能地隨機(jī)傳向另外4人中的1人，接球者接到球后再等可能地隨機(jī)傳向另外4人中的1人，如此不停地傳下去，假設(shè)傳出的球都能接住，記第n次傳球之前球在梅西腳下的概率為，求．
【解析】（1）因?yàn)椋琗可能的取值為0，1，2，3，
，，
故X的分布列為：
X 0 1 2 3
P
故．
（2）第n次傳球之前球在梅西腳下的概率為，易得，，
則當(dāng)時(shí)，第次傳球之前球在梅西腳下的概率為，第次傳球之前球不在梅西腳下的概率為，
故，即，
又因?yàn)椋?br/>所以是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，
所以，．
變式28．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某中學(xué)舉辦了詩詞大會(huì)選拔賽，共有兩輪比賽，第一輪是詩詞接龍，第二輪是飛花令．第一輪給每位選手提供5個(gè)詩詞接龍的題目，選手從中抽取2個(gè)題目，主持人說出詩詞的上句，若選手在10秒內(nèi)正確回答出下句可得10分，若不能在10秒內(nèi)正確回答出下句得0分．
(1)已知某位選手會(huì)5個(gè)詩詞接龍題目中的3個(gè)，求該選手在第一輪得分的數(shù)學(xué)期望；
(2)已知恰有甲、乙、丙、丁四個(gè)團(tuán)隊(duì)參加飛花令環(huán)節(jié)的比賽，每一次由四個(gè)團(tuán)隊(duì)中的一個(gè)回答問題，無論答題對(duì)錯(cuò)，該團(tuán)隊(duì)回答后由其他團(tuán)隊(duì)搶答下一問題，且其他團(tuán)隊(duì)有相同的機(jī)會(huì)搶答下一問題．記第n次回答的是甲的概率為，若．
①求P2，P3；
②證明：數(shù)列為等比數(shù)列，并比較第7次回答的是甲和第8次回答的是甲的可能性的大小．
【解析】（1）設(shè)該選手答對(duì)的題目個(gè)數(shù)為，該選手在第一輪的得分為，則，
易知的所有可能取值為0，1，2，
則，
，
，
故的分布列為
0 1 2
P
則，
所以．
（2）①由題意可知，第一次是甲回答，第二次甲不回答，∴，則．
②由第n次回答的是甲的概率為，得當(dāng)n≥2時(shí)，第次回答的是甲的概第93講 概率與統(tǒng)計(jì)的綜合應(yīng)用
必考題型全歸納
題型一：決策問題
例1．（2024·甘肅蘭州·高三蘭化一中校考期中）據(jù)悉強(qiáng)基計(jì)劃的校考由試點(diǎn)高校自主命題，校考過程中達(dá)到筆試優(yōu)秀才能進(jìn)入面試環(huán)節(jié)．已知甲、乙兩所大學(xué)的筆試環(huán)節(jié)都設(shè)有三門考試科目且每門科目是否達(dá)到優(yōu)秀相互獨(dú)立．若某考生報(bào)考甲大學(xué)，每門科目達(dá)到優(yōu)秀的概率均為，若該考生報(bào)考乙大學(xué)，每門科目達(dá)到優(yōu)秀的概率依次為，，，其中．
(1)若，分別求出該考生報(bào)考甲、乙兩所大學(xué)在筆試環(huán)節(jié)恰好有一門科目達(dá)到優(yōu)秀的概率；
(2)強(qiáng)基計(jì)劃規(guī)定每名考生只能報(bào)考一所試點(diǎn)高校，若以筆試過程中達(dá)到優(yōu)秀科目個(gè)數(shù)的期望為依據(jù)作出決策，該考生更希望進(jìn)入甲大學(xué)的面試環(huán)節(jié)，求的范圍．
例2．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）2022年北京冬奧會(huì)后，由一名高山滑雪運(yùn)動(dòng)員甲組成的專業(yè)隊(duì)，與兩名高山滑雪愛好者乙、丙組成的業(yè)余隊(duì)進(jìn)行友誼比賽，約定賽制如下：業(yè)余隊(duì)中的兩名隊(duì)員輪流與甲進(jìn)行比賽，若甲連續(xù)贏兩場(chǎng)則專業(yè)隊(duì)獲勝；若甲連續(xù)輸兩場(chǎng)則業(yè)余隊(duì)獲勝；若比賽三場(chǎng)還沒有決出勝負(fù)，則視為平局，比賽結(jié)束．已知各場(chǎng)比賽相互獨(dú)立，每場(chǎng)比賽都分出勝負(fù)，且甲與乙比賽，甲贏的概率為，甲與丙比賽，甲贏的概率為，其中．
(1)若第一場(chǎng)比賽，業(yè)余隊(duì)可以安排乙與甲進(jìn)行比賽，也可以安排丙與甲進(jìn)行比賽．請(qǐng)分別計(jì)算兩種安排下業(yè)余隊(duì)獲勝的概率；若以獲勝概率大為最優(yōu)決策，問：業(yè)余隊(duì)第一場(chǎng)應(yīng)該安排乙還是丙與甲進(jìn)行比賽？
(2)為了激勵(lì)專業(yè)隊(duì)和業(yè)余隊(duì)，賽事組織規(guī)定：比賽結(jié)束時(shí)，勝隊(duì)獲獎(jiǎng)金6萬元，負(fù)隊(duì)獲獎(jiǎng)金3萬元；若平局，兩隊(duì)各獲獎(jiǎng)金3.6萬元．在比賽前，已知業(yè)余隊(duì)采用了（1）中的最優(yōu)決策與甲進(jìn)行比賽，設(shè)賽事組織預(yù)備支付的獎(jiǎng)金金額共計(jì)X萬元，求X的數(shù)學(xué)期望的取值范圍．
例3．（2024·江西吉安·高三吉安三中校考階段練習(xí)）2020年以來，新冠疫情對(duì)商品線下零售影響很大．某商家決定借助線上平臺(tái)開展銷售活動(dòng)．現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)平臺(tái)供選擇，且當(dāng)每件商品的售價(jià)為元時(shí)，從該商品在兩個(gè)平臺(tái)所有銷售數(shù)據(jù)中各隨機(jī)抽取100天的日銷售量統(tǒng)計(jì)如下，
商品日銷售量（單位：件） 6 7 8 9 10
甲平臺(tái)的天數(shù) 14 26 26 24 10
乙平臺(tái)的天數(shù) 10 25 35 20 10
假設(shè)該商品在兩個(gè)平臺(tái)日銷售量的概率與表格中相應(yīng)日銷售量的頻率相等，且每天的銷售量互不影響，
(1)求“甲平臺(tái)日銷售量不低于8件”的概率，并計(jì)算“從甲平臺(tái)所有銷售數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取3天的日銷售量，其中至少有2天日銷售量不低于8件”的概率；
(2)已知甲平臺(tái)的收費(fèi)方案為：每天傭金60元，且每銷售一件商品，平臺(tái)收費(fèi)30元；乙平臺(tái)的收費(fèi)方案為：每天不收取傭金，但采用分段收費(fèi)，即每天銷售商品不超過8件的部分，每件收費(fèi)40元，超過8件的部分，每件收費(fèi)35元．某商家決定在兩個(gè)平臺(tái)中選擇一個(gè)長(zhǎng)期合作，從日銷售收入（單價(jià)×日銷售量-平臺(tái)費(fèi)用）的期望值較大的角度，你認(rèn)為該商家應(yīng)如何決策？說明理由．
變式1．（2024·江西·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）某學(xué)校舉行“百科知識(shí)”競(jìng)賽，每個(gè)班選派一位學(xué)生代表參加.某班經(jīng)過層層選拔，李明和王華進(jìn)入最后決賽，決賽方式如下：給定個(gè)問題，假設(shè)李明能且只能對(duì)其中個(gè)問題回答正確，王華對(duì)其中任意一個(gè)問題回答正確的概率均為.由李明和王華各自從中隨機(jī)抽取個(gè)問題進(jìn)行回答，而且每個(gè)人對(duì)每個(gè)問題的回答均相互獨(dú)立.
(1)求李明和王華回答問題正確的個(gè)數(shù)均為的概率；
(2)設(shè)李明和王華回答問題正確的個(gè)數(shù)分別為和，求的期望 和方差 ，并由此決策派誰代表該班參加競(jìng)賽更好.
變式2．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）根據(jù)某地區(qū)氣象水文部門長(zhǎng)期統(tǒng)計(jì)，可知該地區(qū)每年夏季有小洪水的概率為0.25，有大洪水的概率為0.05．今年夏季該地區(qū)某工地有許多大型設(shè)備，遇到大洪水時(shí)要損失60000元，遇到小洪水時(shí)要損失20000元，為保護(hù)設(shè)備，有以下3種方案：
方案1：修建保護(hù)圍墻，建設(shè)費(fèi)為3000元，但圍墻只能防小洪水；
方案2：修建保護(hù)大壩，建設(shè)費(fèi)為7000元，能夠防大洪水；
方案3：不采取措施
工地的領(lǐng)導(dǎo)該如何決策呢？
題型二：道路通行問題
例4．（2024·重慶·高三重慶市育才中學(xué)校考階段練習(xí)）月日位于重慶朝天門的來福士廣場(chǎng)開業(yè)，成了網(wǎng)紅城市的又一打卡勝地重慶育才謝家灣校區(qū)與來福士之間的駕車往返所需時(shí)間為，只與道路暢通狀況有關(guān)，對(duì)其容量為的樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如下：
（小時(shí)）
頻數(shù)（次）
以這次駕車往返所需時(shí)間的頻率代替某人次駕車往返所需時(shí)間的概率．
（1）記的期望為，求；
（2）某天有位教師獨(dú)自駕車從謝家校區(qū)返于來福士，記表示這位教師中駕車所用時(shí)間少于的人數(shù)，求X的分布列與．
例5．（2024·湖北·統(tǒng)考一模）交通指數(shù)是指交通擁堵指數(shù)的簡(jiǎn)稱，是綜合反映道路網(wǎng)暢通或擁堵的概念性指數(shù)值，記交通指數(shù)為，其范圍為，分別有五個(gè)級(jí)別：，暢通；，基本暢通；，輕度擁堵；，中度擁堵；，嚴(yán)重?fù)矶?在晚高峰時(shí)段（），從某市交通指揮中心選取了市區(qū)20個(gè)交通路段，依據(jù)其交通指數(shù)數(shù)據(jù)繪制的頻率分布直方圖如圖所示.
(1)求出輕度擁堵、中度擁堵、嚴(yán)重?fù)矶碌穆范蔚膫€(gè)數(shù)；
(2)用分層抽樣的方法從輕度擁堵、中度擁堵、嚴(yán)重?fù)矶碌穆范沃泄渤槿?個(gè)路段，求依次抽取的三個(gè)級(jí)別路段的個(gè)數(shù)；
(3)從(2)中抽取的6個(gè)路段中任取2個(gè)，求至少有1個(gè)路段為輕度擁堵的概率.
例6．（2024·四川眉山·高三四川省眉山第一中學(xué)階段練習(xí)）隨著我國(guó)經(jīng)濟(jì)的不斷深入發(fā)展，百姓的生活也不斷的改善，尤其是近幾年汽車進(jìn)入了千家萬戶，這也給城市交通造成了很大的壓力，為此交警部門通過對(duì)交通擁堵的研究提出了交通擁堵指數(shù)這一全新概念，交通擁堵指數(shù)簡(jiǎn)稱交通指數(shù)，是綜合反映道路網(wǎng)暢通或擁堵的概念．記交通指數(shù)為，其范圍為，分別有5個(gè)級(jí)別：暢通；基本暢通；輕度擁堵；中度擁堵；嚴(yán)重?fù)矶拢绺叻鍟r(shí)段（T≥3），從北京市交通指揮中心隨機(jī)選取了五環(huán)以內(nèi)50個(gè)交通路段，依據(jù)交通指數(shù)數(shù)據(jù)繪制的部分頻率分布直方圖如圖所示：
（1）據(jù)此直方圖估算交通指數(shù)T∈[4，8）時(shí)的中位數(shù)和平均數(shù)；
（2）據(jù)此直方圖求出早高峰二環(huán)以內(nèi)的3個(gè)路段至少有兩個(gè)嚴(yán)重?fù)矶碌母怕适嵌嗌伲?br/>（3）某人上班路上所用時(shí)間若暢通時(shí)為20分鐘，基本暢通為30分鐘，輕度擁堵為35分鐘，中度擁堵為45分鐘，嚴(yán)重?fù)矶聻?0分鐘，求此人所用時(shí)間的數(shù)學(xué)期望．
變式3．（2024·江西·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）“低碳出行”，一種降低“碳”的出行，以低能耗、低污染為基礎(chǔ)，是環(huán)保的深層次體現(xiàn)，在眾多發(fā)達(dá)國(guó)家被廣大民眾接受并執(zhí)行，S市即將投放一批公共自行車以方便市民出行，減少污染，緩解交通擁堵，現(xiàn)先對(duì)100人做了是否會(huì)考慮選擇自行車出行的調(diào)查，結(jié)果如下表.
（1）如果把45周歲以下人群定義為“青年”，完成下列列聯(lián)表，并問你有多少把握認(rèn)為該地區(qū)市民是否考慮單車與他（她）是不是“青年人”有關(guān)
年齡 考慮騎車 不考慮騎車
15以下 6 3
16 6
13 6
14 16
5 9
75以上 1 5
合計(jì) 55 45
騎車 不騎車 合計(jì)
45歲以下
45歲以上
合計(jì) 100
參考：，
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.07 2.70 3.84 5.02 6.63 7.87 10.82
（2）S市為了鼓勵(lì)大家騎自行車上班，為此還專門在幾條平時(shí)比較擁堵的城市主道建有無障礙自行車道，該市市民小明家離上班地點(diǎn)10km，現(xiàn)有兩種.上班方案給他選擇；
方案一：選擇自行車，走無障礙自行車道以19km/h的速度直達(dá)上班地點(diǎn).
方案二：開車以30km/h的速度上班，但要經(jīng)過A、B、C三個(gè)易堵路段，三個(gè)路段堵車的概率分別是，，，且是相互獨(dú)立的，并且每次堵車的時(shí)間都是10分鐘（假設(shè)除了堵車時(shí)間其他時(shí)間都是勻速行駛）
若僅從時(shí)間的角度考慮，請(qǐng)你給小明作一個(gè)選擇，并說明理由.
變式4．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某人某天的工作是駕車從地出發(fā)，到兩地辦事，最后返回地，,三地之間各路段行駛時(shí)間及擁堵概率如下表
路段 正常行駛所用時(shí)間（小時(shí)） 上午擁堵概率 下午擁堵概率
1 0．3 0．6
2 0．2 0．7
3 0．3 0．9
若在某路段遇到擁堵，則在該路段行駛時(shí)間需要延長(zhǎng)1小時(shí)．
現(xiàn)有如下兩個(gè)方案：
方案甲：上午從地出發(fā)到地辦事然后到達(dá)地，下午從地辦事后返回地；
方案乙：上午從地出發(fā)到地辦事，下午從地出發(fā)到達(dá)地，辦完事后返回地．
（1）若此人早上8點(diǎn)從地出發(fā)，在各地辦事及午餐的累積時(shí)間為2小時(shí)，且采用方案甲，求他當(dāng)日18點(diǎn)或18點(diǎn)之前能返回地的概率．
（2）甲乙兩個(gè)方案中，哪個(gè)方案有利于辦完事后更早返回地？請(qǐng)說明理由.
題型三：保險(xiǎn)問題
例7．（2024·廣東湛江·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）某單位有員工50000人，一保險(xiǎn)公司針對(duì)該單位推出一款意外險(xiǎn)產(chǎn)品，每年每位職工只需要交少量保費(fèi)，發(fā)生意外后可一次性獲得若干賠償金.保險(xiǎn)公司把該單位的所有崗位分為，，三類工種，從事三類工種的人數(shù)分布比例如餅圖所示，且這三類工種每年的賠付概率如下表所示：
工種類別
賠付概率
對(duì)于，，三類工種，職工每人每年保費(fèi)分別為元 元 元，出險(xiǎn)后的賠償金額分別為100萬元 100萬元 50萬元，保險(xiǎn)公司在開展此項(xiàng)業(yè)務(wù)過程中的固定支出為每年20萬元.
（1）若保險(xiǎn)公司要求每年收益的期望不低于保費(fèi)的，證明：.
（2）現(xiàn)有如下兩個(gè)方案供單位選擇：方案一：?jiǎn)挝徊慌c保險(xiǎn)公司合作，職工不交保險(xiǎn)，出意外后單位自行拿出與保險(xiǎn)公司提供的等額賠償金賠付給出意外的職工，單位開展這項(xiàng)工作的固定支出為每年35萬元；方案二：?jiǎn)挝慌c保險(xiǎn)公司合作，，，單位負(fù)責(zé)職工保費(fèi)的，職工個(gè)人負(fù)責(zé)，出險(xiǎn)后賠償金由保險(xiǎn)公司賠付，單位無額外專項(xiàng)開支.根據(jù)該單位總支出的差異給出選擇合適方案的建議.
例8．（2024·新疆克拉瑪依·統(tǒng)考三模）已知某保險(xiǎn)公司的某險(xiǎn)種的基本保費(fèi)為（單位：元），繼續(xù)購(gòu)買該險(xiǎn)種的投保人稱為續(xù)保人，續(xù)保人本年度的保費(fèi)與其上年度出險(xiǎn)次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下：
上年度出險(xiǎn)次數(shù) 0 1 2 3
保費(fèi)（元）
隨機(jī)調(diào)查了該險(xiǎn)種的400名續(xù)保人在一年內(nèi)的出險(xiǎn)情況，得到下表：
出險(xiǎn)次數(shù) 0 1 2 3
頻數(shù) 280 80 24 12 4
該保險(xiǎn)公司這種保險(xiǎn)的賠付規(guī)定如下：
出險(xiǎn)序次 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次及以上
賠付金額（元） 0
將所抽樣本的頻率視為概率．
（1）求本年度續(xù)保人保費(fèi)的平均值的估計(jì)值；
（2）按保險(xiǎn)合同規(guī)定，若續(xù)保人在本年度內(nèi)出險(xiǎn)3次，則可獲得賠付元；若續(xù)保人在本年度內(nèi)出險(xiǎn)6次，則可獲得賠付元；依此類推，求本年度續(xù)保人所獲賠付金額的平均值的估計(jì)值．
例9．（2024·廣東深圳·高三校聯(lián)考期末）已知某保險(xiǎn)公司的某險(xiǎn)種的基本保費(fèi)為（單位：元），繼續(xù)購(gòu)買該險(xiǎn)種的投保人稱為續(xù)保人，續(xù)保人本年度的保費(fèi)與其上年度出險(xiǎn)次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下：
上年度出險(xiǎn)次數(shù) 0 1 2 3 ≥4
保費(fèi)（元）
隨機(jī)調(diào)查了該險(xiǎn)種的名續(xù)保人在一年內(nèi)的出險(xiǎn)情況，得到下表：
出險(xiǎn)次數(shù) 0 1 2 3 ≥4
頻數(shù) 280 80 24 12 4
該保險(xiǎn)公司這種保險(xiǎn)的賠付規(guī)定如下：
出險(xiǎn)序次 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次及以上
賠付金額（元）
將所抽樣本的頻率視為概率.
（1）求本年度續(xù)保人保費(fèi)的平均值的估計(jì)值；
（2）按保險(xiǎn)合同規(guī)定，若續(xù)保人在本年度內(nèi)出險(xiǎn)次，則可獲得賠付元；依此類推，求本年度續(xù)保人所獲賠付金額的平均值的估計(jì)值；
（3）續(xù)保人原定約了保險(xiǎn)公司的銷售人員在上午之間上門簽合同，因?yàn)槔m(xù)保人臨時(shí)有事，外出的時(shí)間在上午之間，請(qǐng)問續(xù)保人在離開前見到銷售人員的概率是多少？
變式5．（2024·山東濰坊·校聯(lián)考一模）某保險(xiǎn)公司針對(duì)一個(gè)擁有20000人的企業(yè)推出一款意外險(xiǎn)產(chǎn)品，每年每位職工只需要交少量保費(fèi)，發(fā)生意外后可一次性獲得若干賠償金.保險(xiǎn)公司把企業(yè)的所有崗位共分為、、三類工種，從事這三類工種的人數(shù)分別為12000、6000、2000，由歷史數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)出三類工種的賠付頻率如下表（并以此估計(jì)賠付概率）：
工種類別 A B C
賠付頻率
已知、、三類工種職工每人每年保費(fèi)分別為25元、25元、40元，出險(xiǎn)后的賠償金額分別為100萬元、100萬元、50萬元，保險(xiǎn)公司在開展此業(yè)務(wù)的過程中固定支出每年10萬元.
（1）求保險(xiǎn)公司在該業(yè)務(wù)所獲利潤(rùn)的期望值；
（2）現(xiàn)有如下兩個(gè)方案供企業(yè)選擇：
方案1：企業(yè)不與保險(xiǎn)公司合作，職工不交保險(xiǎn)，出意外企業(yè)自行拿出與保險(xiǎn)公司提供的等額賠償金賠償付給出意外的職工，企業(yè)開展這項(xiàng)工作的固定支出為每年12萬元；
方案2：企業(yè)與保險(xiǎn)公司合作，企業(yè)負(fù)責(zé)職工保費(fèi)的，職工個(gè)人負(fù)責(zé)，出險(xiǎn)后賠償金由保險(xiǎn)公司賠付，企業(yè)無額外專項(xiàng)開支.
根據(jù)企業(yè)成本差異給出選擇合適方案的建議.
變式6．（2024·全國(guó)·高考真題）購(gòu)買某種保險(xiǎn)，每個(gè)投保人每年度向保險(xiǎn)公司交納保費(fèi)元，若投保人在購(gòu)買保險(xiǎn)的一年度內(nèi)出險(xiǎn)，則可以獲得10 000元的賠償金．假定在一年度內(nèi)有10 000人購(gòu)買了這種保險(xiǎn)，且各投保人是否出險(xiǎn)相互獨(dú)立．已知保險(xiǎn)公司在一年度內(nèi)至少支付賠償金10 000元的概率為．
（Ⅰ）求一投保人在一年度內(nèi)出險(xiǎn)的概率；
（Ⅱ）設(shè)保險(xiǎn)公司開辦該項(xiàng)險(xiǎn)種業(yè)務(wù)除賠償金外的成本為50 000元，為保證盈利的期望不小于0，求每位投保人應(yīng)交納的最低保費(fèi)（單位：元）．
變式7．（2024·北京豐臺(tái)·高三統(tǒng)考期末）某市醫(yī)療保險(xiǎn)實(shí)行定點(diǎn)醫(yī)療制度，按照“就近就醫(yī)、方便管理”的原則，參加保險(xiǎn)人員可自主選擇四家醫(yī)療保險(xiǎn)定點(diǎn)醫(yī)院和一家社區(qū)醫(yī)院作為本人就診的醫(yī)療機(jī)構(gòu)，若甲、乙、丙、丁4名參加保險(xiǎn)人員所在地區(qū)附近有三家社區(qū)醫(yī)院，并且他們的選擇是等可能的、相互獨(dú)立的
(1)求甲、乙兩人都選擇A社區(qū)醫(yī)院的概率；
(2)求甲、乙兩人不選擇同一家社區(qū)醫(yī)院的概率；
(3)設(shè)4名參加保險(xiǎn)人員中選擇A社區(qū)醫(yī)院的人數(shù)為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．
題型四：概率最值問題
例10．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某電子工廠生產(chǎn)一種電子元件，產(chǎn)品出廠前要檢出所有次品.已知這種電子元件次品率為0.01，且這種電子元件是否為次品相互獨(dú)立.現(xiàn)要檢測(cè)3000個(gè)這種電子元件，檢測(cè)的流程是：先將這3000個(gè)電子元件分成個(gè)數(shù)相等的若干組，設(shè)每組有個(gè)電子元件，將每組的個(gè)電子元件串聯(lián)起來，成組進(jìn)行檢測(cè)，若檢測(cè)通過，則本組全部電子元件為正品，不需要再檢測(cè)；若檢測(cè)不通過，則本組至少有一個(gè)電子元件是次品，再對(duì)本組個(gè)電子元件逐一檢測(cè).
（1）當(dāng)時(shí)，估算一組待檢測(cè)電子元件中有次品的概率；
（2）設(shè)一組電子元件的檢測(cè)次數(shù)為，求的數(shù)學(xué)期望；
（3）估算當(dāng)為何值時(shí)，每個(gè)電子元件的檢測(cè)次數(shù)最小，并估算此時(shí)檢測(cè)的總次數(shù)（提示：利用進(jìn)行估算）.
例11．（2024·江西新余·高三新余市第一中學(xué)校考開學(xué)考試）現(xiàn)如今國(guó)家大力提倡養(yǎng)老社會(huì)化、市場(chǎng)化，老年公寓是其養(yǎng)老措施中的一種能夠滿足老年人的高質(zhì)量、多樣化、專業(yè)化生活及療養(yǎng)需求.某老年公寓負(fù)責(zé)人為了能給老年人提供更加良好的服務(wù)，現(xiàn)對(duì)所入住的 120 名老年人征集意見，該公寓老年人的入住房間類型情況如下表所示：
入住房間的類型 單人間 雙人間 三人間
人數(shù) 36 60 24
(1)若按入住房間的類型采用分層抽樣的方法從這 120 名老年人中隨機(jī)抽取 10 人，再?gòu)倪@10人中隨機(jī)抽取4 人進(jìn)行詢問，記隨機(jī)抽取的4 人中入住單人間的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
(2)記雙人間與三人間為多人間，若在征集意見時(shí)要求把入住單人間的2人和入住多人間的且人組成一組，負(fù)責(zé)人從某組中任選2人進(jìn)行詢問，若選出的2人入住房間類型相同，則該組標(biāo)為，否則該組標(biāo)為.記詢問的某組被標(biāo)為的概率為.
（i）試用含的代數(shù)式表示;
（ii）若一共詢問了5組，用表示恰有3組被標(biāo)為的概率，試求的最大值及此時(shí)的值.
例12．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）為落實(shí)立德樹人根本任務(wù)，堅(jiān)持五育并舉全面推進(jìn)素質(zhì)教育，某學(xué)校舉行了乒乓球比賽，其中參加男子乒乓球決賽的12名隊(duì)員來自3個(gè)不同校區(qū)，三個(gè)校區(qū)的隊(duì)員人數(shù)分別是3，4，5.本次決賽的比賽賽制采取單循環(huán)方式，即每名隊(duì)員進(jìn)行11場(chǎng)比賽（每場(chǎng)比賽都采取5局3勝制），最后根據(jù)積分選出最后的冠軍.積分規(guī)則如下：比賽中以或取勝的隊(duì)員積3分，失敗的隊(duì)員積0分；而在比賽中以取勝的隊(duì)員積2分，失敗的隊(duì)員的隊(duì)員積1分.已知第10輪張三對(duì)抗李四，設(shè)每局比賽張三取勝的概率均為.
(1)比賽結(jié)束后冠亞軍(沒有并列)恰好來自不同校區(qū)的概率是多少？
(2)第10輪比賽中，記張三取勝的概率為，求出的最大值點(diǎn).
變式8．（2024·山東濰坊·高三校考階段練習(xí)）今年5月以來，世界多個(gè)國(guó)家報(bào)告了猴痘病例，非洲地區(qū)猴痘地方性流行國(guó)家較多．9月19日，中國(guó)疾控中心發(fā)布了我國(guó)首例“輸入性猴痘病例”的溯源公告．我國(guó)作為為人民健康負(fù)責(zé)任的國(guó)家，對(duì)可能出現(xiàn)的猴痘病毒防控已提前做出部署，同時(shí)國(guó)家衛(wèi)生健康委員會(huì)同國(guó)家中醫(yī)藥管理局制定了《猴痘診療指南（2022年版）》．此《指南》中指出：①猴痘病人潛伏期5-21天；②既往接種過天花疫苗者對(duì)猴痘病毒存在一定程度的交叉保護(hù)力．據(jù)此，援非中國(guó)醫(yī)療隊(duì)針對(duì)援助的某非洲國(guó)家制定了猴痘病毒防控措施之一是要求與猴痘病毒確診患者的密切接觸者集中醫(yī)學(xué)觀察21天．在醫(yī)學(xué)觀察期結(jié)束后發(fā)現(xiàn)密切接觸者中未接種過天花疫苗者感染病毒的比例較大．對(duì)該國(guó)家200個(gè)接種與未接種天花疫苗的密切接觸者樣本醫(yī)學(xué)觀察結(jié)束后，統(tǒng)計(jì)了感染病毒情況，得到下面的列聯(lián)表：
接種天花疫苗與否/人數(shù) 感染猴痘病毒 未感染猴痘病毒
未接種天花疫苗 30 60
接種天花疫苗 20 90
(1)是否有的把握認(rèn)為密切接觸者感染猴痘病毒與未接種天花疫苗有關(guān)；
(2)以樣本中結(jié)束醫(yī)學(xué)現(xiàn)察的密切接觸者感染猴痘病毒的頻率估計(jì)概率．現(xiàn)從該國(guó)所有結(jié)束醫(yī)學(xué)觀察的密切接觸者中隨機(jī)抽取4人進(jìn)行感染猴痘病毒人數(shù)統(tǒng)計(jì)，求其中至多有1人感染猴痘病毒的概率：
(3)該國(guó)現(xiàn)有一個(gè)中風(fēng)險(xiǎn)村莊，當(dāng)?shù)卣疀Q定對(duì)村莊內(nèi)所有住戶進(jìn)行排查．在排查期間，發(fā)現(xiàn)一戶3口之家與確診患者有過密切接觸，這種情況下醫(yī)護(hù)人員要對(duì)其家庭成員逐一進(jìn)行猴痘病毒檢測(cè)．每名成員進(jìn)行檢測(cè)后即告知結(jié)果，若檢測(cè)結(jié)果呈陽性，則該家庭被確定為“感染高危家庭”．假設(shè)該家庭每個(gè)成員檢測(cè)呈陽性的概率均為且相互獨(dú)立．記：該家庭至少檢測(cè)了2名成員才能確定為“感染高危家庭”的概率為．求當(dāng)為何值時(shí)，最大？附：
0.1 0.05 0.010
2.706 3.841 6.635
變式9．（2024·上海徐匯·上海市南洋模范中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）進(jìn)入冬季，某病毒肆虐，已知感染此病毒的概率為，且每人是否感染這種病毒相互獨(dú)立．
(1)記100個(gè)人中恰有5人感染病毒的概率是，求的最大值點(diǎn)；
(2)為確保校園安全，某校組織該校的6000名師生做病毒檢測(cè)，如果對(duì)每一名師生逐一檢測(cè)，就需要檢測(cè)6000次，但實(shí)際上在檢測(cè)時(shí)都是按人一組分組，然后將各組k個(gè)人的檢測(cè)樣本混合再檢測(cè)．如果混合樣本呈陰性，說明這k個(gè)人全部陰性；如果混合樣本呈陽性，說明其中至少有一人檢測(cè)呈陽性，就需要對(duì)該組每個(gè)人再逐一檢測(cè)一次．當(dāng)p取時(shí)，求k的值，使得總檢測(cè)次數(shù)的期望最少．
題型五：放回與不放回問題
例13．（2024·湖南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）某中學(xué)為了解學(xué)生課外玩網(wǎng)絡(luò)游戲（俗稱“網(wǎng)游”）的情況，使調(diào)查結(jié)果盡量真實(shí)可靠，決定在高一年級(jí)采取如下“隨機(jī)回答問題”的方式進(jìn)行問卷調(diào)查：一個(gè)袋子中裝有6個(gè)大小相同的小球，其中2個(gè)黑球，4個(gè)紅球，所有學(xué)生從袋子中有放回地隨機(jī)摸球兩次，每次摸出一球，約定“若兩次摸到的球的顏色不同，則按方式①回答問卷，否則按方式②回答問卷”.
方式①：若第一次摸到的是紅球，則在問卷中畫“√”，否則畫“×”.
方式②：若你課外玩網(wǎng)游，則在問卷中畫“√”，否則畫“×”.
當(dāng)所有學(xué)生完成問卷調(diào)查后，統(tǒng)計(jì)畫“√”，畫“×”的比例，用頻率估計(jì)概率.
(1)若高一某班有45名學(xué)生，用X表示其中按方式①回答問卷的人數(shù)，求X的數(shù)學(xué)期望.
(2)若所有調(diào)查問卷中，畫“√”與畫“×”的比例為1∶2，試用所學(xué)概率知識(shí)求該中學(xué)高一年級(jí)學(xué)生課外玩網(wǎng)游的估計(jì)值.（估計(jì)值）
例14．（2024·江蘇南通·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)盒子，甲盒中有3個(gè)紅球和1個(gè)白球，乙盒中有2個(gè)紅球和2個(gè)白球，所有的球除顏色外都相同.某人隨機(jī)選擇一個(gè)盒子，并從中隨機(jī)摸出2個(gè)球觀察顏色后放回，此過程為一次試驗(yàn).重復(fù)以上試驗(yàn)，直到某次試驗(yàn)中摸出2個(gè)紅球時(shí)，停止試驗(yàn).
(1)求一次試驗(yàn)中摸出2個(gè)紅球的概率；
(2)在3次試驗(yàn)后恰好停止試驗(yàn)的條件下，求累計(jì)摸到2個(gè)紅球的概率.
例15．（2024·上海黃浦·高三上海市敬業(yè)中學(xué)校考開學(xué)考試）某公司使用甲、乙兩臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)芯片，已知每天甲機(jī)器生產(chǎn)的芯片占產(chǎn)量的六成，且合格率為；乙機(jī)器生產(chǎn)的芯片占產(chǎn)量的四成，且合格率為，已知兩臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)芯片的質(zhì)量互不影響. 現(xiàn)對(duì)某天生產(chǎn)的芯片進(jìn)行抽樣.
(1)從所有芯片中任意抽取一個(gè)，求該芯片是不合格品的概率；
(2)現(xiàn)采用有放回的方法隨機(jī)抽取3個(gè)芯片，記其中由乙機(jī)器生產(chǎn)的芯片的數(shù)量為，求的分布列以及數(shù)學(xué)期望.
變式10．（2024·廣東廣州·高三執(zhí)信中學(xué)校考開學(xué)考試）中國(guó)共產(chǎn)黨第二十次全國(guó)代表大會(huì)于2022年10月16日在北京召開，為弘揚(yáng)中國(guó)共產(chǎn)黨百年奮斗的光輝歷程，某校團(tuán)委決定舉辦“中國(guó)共產(chǎn)黨黨史知識(shí)”競(jìng)賽活動(dòng).競(jìng)賽共有A和B兩類試題，每類試題各10題，其中每答對(duì)1道A類試題得10分；每答對(duì)1道B類試題得20分，答錯(cuò)都不得分.每位參加競(jìng)賽的同學(xué)從這兩類試題中共抽出3道題回答（每道題抽后不放回）.已知小明同學(xué)A類試題中有7道題會(huì)作答，而他答對(duì)各道B類試題的概率均為.
(1)若小明同學(xué)在A類試題中只抽1道題作答，求他在這次競(jìng)賽中僅答對(duì)1道題的概率；
(2)若小明只作答A類試題，設(shè)X表示小明答這3道試題的總得分，求X的分布列和期望.
變式11．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某商場(chǎng)在周年慶活動(dòng)期間為回饋新老顧客，采用抽獎(jiǎng)的形式領(lǐng)取購(gòu)物卡.該商場(chǎng)在一個(gè)紙箱里放15個(gè)小球（除顏色外其余均相同）：3個(gè)紅球、5個(gè)黃球和7個(gè)白球，每個(gè)顧客不放回地從中拿3次，每次拿1個(gè)球，每拿到一個(gè)紅球獲得一張類購(gòu)物卡，每拿到一個(gè)黃球獲得一張類購(gòu)物卡，每拿到一個(gè)白球獲得一張類購(gòu)物卡.
(1)已知某顧客在3次中只有1次抽到白球的條件下，求至多有1次抽到紅球的概率；
(2)設(shè)拿到紅球的次數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
題型六：體育比賽問題
例16．（2024·廣東廣州·高三華南師大附中校考階段練習(xí)）最是一年春好處，運(yùn)動(dòng)健兒滿華附.為吸引同學(xué)們積極參與運(yùn)動(dòng)，鼓勵(lì)同學(xué)們持之以恒地參與鍛煉，養(yǎng)成良好的習(xí)慣，弘揚(yáng)“無體育，不華附”的精神理念，2024年3月華附舉辦了春季運(yùn)動(dòng)會(huì).春季運(yùn)動(dòng)會(huì)的集體項(xiàng)目要求每個(gè)學(xué)生在足球繞桿、踢毽子和跳大繩3個(gè)項(xiàng)目中任意選擇一個(gè)參加.來自高三的某學(xué)生為了在此次春季運(yùn)動(dòng)會(huì)中取得優(yōu)秀成績(jī)，決定每天訓(xùn)練一個(gè)集體項(xiàng)目.第一天在3個(gè)項(xiàng)目中任意選一項(xiàng)開始訓(xùn)練，從第二天起，每天都是從前一天沒有訓(xùn)練的2個(gè)項(xiàng)目中任意選一項(xiàng)訓(xùn)練.
(1)若該學(xué)生進(jìn)行了3天的訓(xùn)練，求第三天訓(xùn)練的是“足球繞桿”的概率.
(2)設(shè)該學(xué)生在賽前最后6天訓(xùn)練中選擇“跳大繩”的天數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.
例17．（2024·湖南婁底·婁底市第三中學(xué)校聯(lián)考三模）冰壺是2022年2月4日至2月20日在中國(guó)舉行的第24屆冬季奧運(yùn)會(huì)的比賽項(xiàng)目之一．冰壺比賽的場(chǎng)地如圖所示，其中左端（投擲線MN的左側(cè)）有一個(gè)發(fā)球區(qū)，運(yùn)動(dòng)員在發(fā)球區(qū)邊沿的投擲線MN將冰壺?cái)S出，使冰壺沿冰道滑行，冰道的右端有一圓形的營(yíng)壘，以場(chǎng)上冰壺最終靜止時(shí)距離營(yíng)壘區(qū)圓心O的遠(yuǎn)近決定勝負(fù)，甲、乙兩人進(jìn)行投擲冰壺比賽，規(guī)定冰壺的重心落在圓O中，得3分，冰壺的重心落在圓環(huán)A中，得2分，冰壺的重心落在圓環(huán)B中，得1分，其余情況均得0分．已知甲、乙投擲冰壺的結(jié)果互不影響，甲、乙得3分的概率分別為，；甲、乙得2分的概率分別為，；甲、乙得1分的概率分別為，．
(1)求甲、乙兩人所得分?jǐn)?shù)相同的概率；
(2)設(shè)甲、乙兩人所得的分?jǐn)?shù)之和為X，求X的分布列和期望．
例18．（2024·河北保定·統(tǒng)考二模）某學(xué)校為了提高學(xué)生的運(yùn)動(dòng)興趣，增強(qiáng)學(xué)生身體素質(zhì)，該校每年都要進(jìn)行各年級(jí)之間的球類大賽，其中乒乓球大賽在每年“五一”之后舉行，乒乓球大賽的比賽規(guī)則如下：高中三個(gè)年級(jí)之間進(jìn)行單循環(huán)比賽，每個(gè)年級(jí)各派5名同學(xué)按順序比賽（賽前已確定好每場(chǎng)的對(duì)陣同學(xué)），比賽時(shí)一個(gè)年級(jí)領(lǐng)先另一個(gè)年級(jí)兩場(chǎng)就算勝利（即每?jī)蓚€(gè)年級(jí)的比賽不一定打滿5場(chǎng)），若兩個(gè)年級(jí)之間打成則第5場(chǎng)比賽定勝負(fù)．已知高三每位隊(duì)員戰(zhàn)勝高二相應(yīng)對(duì)手的可能性均為，高三每位隊(duì)員戰(zhàn)勝高一相應(yīng)對(duì)手的可能性均為，高二每位隊(duì)員戰(zhàn)勝高一相應(yīng)對(duì)手的可能性均為，且隊(duì)員、年級(jí)之間的勝負(fù)相互獨(dú)立．
(1)求高二年級(jí)與高一年級(jí)比賽時(shí)，高二年級(jí)與高一年級(jí)在前兩場(chǎng)打平的條件下，最終戰(zhàn)勝高一年級(jí)的概率．
(2)若獲勝年級(jí)積3分，被打敗年級(jí)積0分，求高三年級(jí)獲得積分的分布列和期望．
變式12．（2024·重慶沙坪壩·高三重慶八中校考開學(xué)考試）2022年卡塔爾世界杯決賽圈共有32支球隊(duì)參加，歐洲球隊(duì)有13支：其中有5支歐洲球隊(duì)闖入8強(qiáng).比賽進(jìn)入淘汰賽階段后，必須要分出勝負(fù).淘汰賽規(guī)則如下：在比賽常規(guī)時(shí)間90分鐘內(nèi)分出勝負(fù)；比賽結(jié)束，若比分相同.則進(jìn)入30分鐘的加時(shí)賽.在加時(shí)賽分出勝負(fù)，比賽結(jié)束，若加時(shí)賽比分依然相同，就要通過點(diǎn)球大戰(zhàn)來分出最后的勝負(fù).點(diǎn)球大戰(zhàn)分為2個(gè)階段，第一階段：共5輪，雙方每輪各派1名球員，依次踢點(diǎn)球，以5輪的總進(jìn)球數(shù)作為標(biāo)準(zhǔn)，5輪合計(jì)踢進(jìn)點(diǎn)球數(shù)更多的球隊(duì)獲得比賽的勝利.如果第一階段的5輪還是平局，則進(jìn)入第二階段：在該階段雙方每輪各派1名球員，依次踢點(diǎn)球，如果在一輪里，雙方都進(jìn)球或者雙方都不進(jìn)球，則繼續(xù)下一輪，直到某一輪里，一方罰進(jìn)點(diǎn)球，另一方?jīng)]罰進(jìn)，比賽結(jié)束，罰進(jìn)點(diǎn)球的一方獲得最終的勝利.
(1)根據(jù)題意填寫下面的列聯(lián)表，并根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，判斷32支決賽圈球隊(duì)“闖入8強(qiáng)”與“是歐洲球隊(duì)”是否有關(guān).
歐洲球隊(duì) 其他球隊(duì) 合計(jì)
闖入強(qiáng)
未闖入強(qiáng)
合計(jì)
(2)甲、乙兩隊(duì)在淘汰賽相遇，經(jīng)過120分鐘比賽未分出勝負(fù)，雙方進(jìn)入點(diǎn)球大戰(zhàn).已知甲隊(duì)球員每輪踢進(jìn)點(diǎn)球的概率為，乙隊(duì)球員每輪踢進(jìn)點(diǎn)球的概率為，每輪每隊(duì)是否進(jìn)球相互獨(dú)立，在點(diǎn)球大戰(zhàn)中，兩隊(duì)前3輪比分為，試求出甲隊(duì)在第二階段第一輪結(jié)束后獲得最終勝利的概率.
參考公式：.
變式13．（2024·貴州·高三凱里一中校聯(lián)考開學(xué)考試）為了豐富學(xué)生的課外活動(dòng)，某中學(xué)舉辦羽毛球比賽，經(jīng)過三輪的篩選，最后剩下甲、乙兩人進(jìn)行最終決賽，決賽采用五局三勝制，即當(dāng)參賽甲、乙兩位中有一位先贏得三局比賽時(shí)，則該選手獲勝，則比賽結(jié)束.每局比賽皆須分出勝負(fù)，且每局比賽的勝負(fù)不受之前比賽結(jié)果影響.假設(shè)甲在每一局獲勝的概率均為.
(1)若比賽進(jìn)行三局就結(jié)束的概率為，求的最小值；
(2)記（1）中，取得最小值時(shí)，的值為，以作為的值，用表示甲、乙實(shí)際比賽的局?jǐn)?shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.
題型七：幾何問題
例19．（2024·遼寧沈陽·沈陽市第一二〇中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）某人玩一項(xiàng)有獎(jiǎng)游戲活動(dòng)，其規(guī)則是：有一個(gè)質(zhì)地均勻的正四面體（每個(gè)面均為全等的正三角形的三棱錐），四個(gè)面上分別刻著1，2，3，4，拋擲該正四面體5次，記錄下每次與地面接觸的面上的數(shù)字.
(1)求接觸面上的5個(gè)數(shù)的乘積能被4整除的概率；
(2)若每次拋擲到接觸地面的數(shù)字為3時(shí)獎(jiǎng)勵(lì)200元，否則倒罰100元，
①設(shè)甲出門帶了1000元來參加該游戲，記游戲后甲身上的錢為X元，求；
②若在游戲過程中，甲決定當(dāng)自己贏了的錢一旦不低于300元時(shí)立即結(jié)束游戲，求甲不超過三次就結(jié)束游戲的概率.
例20．（2024·江西·高考真題）如圖，從，，，，，，這6個(gè)點(diǎn)中隨機(jī)選取3個(gè)點(diǎn)．（1）求這3點(diǎn)與原點(diǎn)恰好是正三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)的概率；（2）求這3點(diǎn)與原點(diǎn)共面的概率．
例21．（2024·河北張家口·高二統(tǒng)考期末）如圖，已知三棱錐的三條側(cè)棱，，兩兩垂直，且，，，三棱錐的外接球半徑.

(1)求三棱錐的側(cè)面積的最大值；
(2)若在底面上，有一個(gè)小球由頂點(diǎn)處開始隨機(jī)沿底邊自由滾動(dòng)，每次滾動(dòng)一條底邊，滾向頂點(diǎn)的概率為，滾向頂點(diǎn)的概率為；當(dāng)球在頂點(diǎn)處時(shí)，滾向頂點(diǎn)的概率為，滾向頂點(diǎn)的概率為；當(dāng)球在頂點(diǎn)處時(shí)，滾向頂點(diǎn)的概率為，滾向頂點(diǎn)的概率為.若小球滾動(dòng)3次，記球滾到頂點(diǎn)處的次數(shù)為，求數(shù)學(xué)期望的值.
變式14．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知正四棱錐的底面邊長(zhǎng)和高都為2.現(xiàn)從該棱錐的5個(gè)頂點(diǎn)中隨機(jī)選取3個(gè)點(diǎn)構(gòu)成三角形，設(shè)隨機(jī)變量表示所得三角形的面積.
（1）求概率的值；
（2）求隨機(jī)變量的概率分布及其數(shù)學(xué)期望.
題型八：彩票問題
例22．（2024·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）在一種稱為“幸運(yùn)35”的福利彩票中，規(guī)定從01，02，…，35這35個(gè)號(hào)碼中任選7個(gè)不同號(hào)碼組成一注，并通過搖獎(jiǎng)機(jī)從這35個(gè)號(hào)碼中搖出7個(gè)不同的號(hào)碼作為特等獎(jiǎng).與特等獎(jiǎng)號(hào)碼僅6個(gè)相同的為一等獎(jiǎng)，僅5個(gè)相同的為二等獎(jiǎng)，僅4個(gè)相同的為三等獎(jiǎng)，其他的情況不得獎(jiǎng)比.為了便于計(jì)算，假定每個(gè)投注號(hào)只有1次中獎(jiǎng)機(jī)會(huì)（只計(jì)獎(jiǎng)金額最大的獎(jiǎng)），該期的每組號(hào)碼均有人買，且彩票無重復(fù)號(hào)碼比.若每注彩票為2元，特等獎(jiǎng)獎(jiǎng)金為100萬元/注，一等獎(jiǎng)獎(jiǎng)金為1萬元/注，二等獎(jiǎng)獎(jiǎng)金為100元/注，三等獎(jiǎng)獎(jiǎng)金為10元/注，試求：
(1)獎(jiǎng)金額X（元）的概率分布；
(2)這一期彩票售完可以為福利事業(yè)籌集多少資金（不計(jì)發(fā)售彩票的費(fèi)用）？
例23．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）中國(guó)福利彩票雙色球游戲規(guī)則是由中華人民共和國(guó)財(cái)政部制定的規(guī)則，是一種聯(lián)合發(fā)行的“樂透型”福利彩票.“雙色球”彩票投注區(qū)分為紅色球號(hào)碼區(qū)和藍(lán)色球號(hào)碼區(qū)，“雙色球”每注投注號(hào)碼由6個(gè)紅色球號(hào)碼和1個(gè)藍(lán)色球號(hào)碼組成，紅色球號(hào)碼從1—33中選擇；藍(lán)色球號(hào)碼從1—16中選擇.“雙色球”獎(jiǎng)級(jí)設(shè)置分為高等獎(jiǎng)和低等獎(jiǎng)，一等獎(jiǎng)和二等獎(jiǎng)為高等獎(jiǎng)，三至六等獎(jiǎng)為低等獎(jiǎng).“雙色球”彩票以投注者所選單注投注號(hào)碼與當(dāng)期開出中獎(jiǎng)號(hào)碼相符的球色和個(gè)數(shù)確定中獎(jiǎng)等級(jí)：
一等獎(jiǎng)：7個(gè)號(hào)碼相符（6個(gè)紅色球號(hào)碼和1個(gè)藍(lán)色球號(hào)碼）（紅色球號(hào)碼順序不限，下同）；
二等獎(jiǎng)：6個(gè)紅色球號(hào)碼相符；
三等獎(jiǎng)：5個(gè)紅色球號(hào)碼和1個(gè)藍(lán)色球號(hào)碼相符；
四等獎(jiǎng)：5個(gè)紅色球號(hào)碼，或4個(gè)紅色球號(hào)碼和1個(gè)藍(lán)色球號(hào)碼相符；
五等獎(jiǎng)：4個(gè)紅色球號(hào)碼，或3個(gè)紅色球號(hào)碼和1個(gè)藍(lán)色球號(hào)碼相符；
六等獎(jiǎng)：1個(gè)藍(lán)色球號(hào)碼相符（有無紅色球號(hào)碼相符均可）.
（1）求中三等獎(jiǎng)的概率（結(jié)果用a表示）；
（2）小王買了一注彩票，在已知小王中了高等獎(jiǎng)的條件下，求小王中二等獎(jiǎng)的概率.
參考數(shù)據(jù)：
例24．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）現(xiàn)要發(fā)行10000張彩票，其中中獎(jiǎng)金額為2元的彩票1000張，10元的彩票300張，50元的彩票100張，100元的彩票50張，1000元的彩票5張．1張彩票可能中獎(jiǎng)金額的均值是多少元？
變式15．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）某人花2元錢買彩票，他抽中100元獎(jiǎng)的概率是0.1%，抽中10元獎(jiǎng)的概率是1%，抽中1元獎(jiǎng)的概率是20%，假設(shè)各種獎(jiǎng)不能同時(shí)抽中，試求：
(1)此人收益的概率分布；
(2)此人收益的期望值．
變式16．（2024·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）根據(jù)某個(gè)福利彩票方案，每注彩票號(hào)碼都是從1~37這37個(gè)數(shù)中選取7個(gè)數(shù).如果所選7個(gè)數(shù)與開出的7個(gè)數(shù)一樣（不管排列順序），彩票即中一等獎(jiǎng).
（1）多少注不同號(hào)碼的彩票可有一個(gè)一等獎(jiǎng)？
（2）如果要將一等獎(jiǎng)的中獎(jiǎng)機(jī)會(huì)提高到以上且不超過，可在37個(gè)數(shù)中取幾個(gè)數(shù)？
題型九：納稅問題
例25．（2024·四川南充·統(tǒng)考一模）自2019年1月1日起，對(duì)個(gè)人所得稅起征點(diǎn)和稅率進(jìn)行調(diào)整.調(diào)整如下：納稅人的工資、薪金所得，以每月全部收入額減去5000元后的余額為應(yīng)納稅所得額．依照個(gè)人所得稅稅率表，調(diào)整前后的計(jì)算方法如表：
個(gè)人所得稅稅率（調(diào)整前） 個(gè)人所得稅稅率（調(diào)整后）
免征額3500元 免征額5000元
級(jí)數(shù) 全月應(yīng)納稅所得額 稅率（%） 級(jí)數(shù) 全月應(yīng)納稅所得額 稅率（%）
1 不超過1500元的部分 3 1 不超過3000元的部分 3
2 超過1500元至4500元的部分 10 2 超過3000元至12000元的部分 10
3 超過4500元至9000元的部分 20 3 超過12000元至25000元的部分 20
… … … … … …
(1)假如李先生某月的工資、薪金等所得稅前收入總和不高于8000元，記x表示總收入，y表示應(yīng)納的稅，試分別求出調(diào)整前和調(diào)整后y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；
(2)某稅務(wù)部門在李先生所在公司利用分層抽樣方法抽取某月100個(gè)不同層次員工的稅前收入，并制成下面的頻數(shù)分布表：
收入 （元）
人數(shù) 30 40 10 8 7 5
先從收入在及的人群中按分層抽樣抽取7人，再?gòu)闹羞x2人作為新納稅法知識(shí)宣講員，求選中的2人收入都在的概率；
例26．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）個(gè)人所得稅起征點(diǎn)是個(gè)人所得稅工薪所得減除費(fèi)用標(biāo)準(zhǔn)或免征額，個(gè)稅起征點(diǎn)與個(gè)人稅負(fù)高低的關(guān)系最為直接，因此成為廣大工薪階層關(guān)注的焦點(diǎn).隨著我國(guó)人民收入的逐步增加，國(guó)家稅務(wù)總局綜合考慮人民群眾消費(fèi)支出水平增長(zhǎng)等各方面因素，規(guī)定從2019年1月1日起，我國(guó)實(shí)施個(gè)稅新政.實(shí)施的個(gè)稅新政主要內(nèi)容包括: ①個(gè)稅起征點(diǎn)為元②每月應(yīng)納稅所得額(含稅)收入個(gè)稅起征點(diǎn)專項(xiàng)附加扣除; ③專項(xiàng)附加扣除包括住房、子女教育和贍養(yǎng)老人等.新舊個(gè)稅政策下每月應(yīng)納稅所得額(含稅)計(jì)算方法及其對(duì)應(yīng)的稅率表如下:
舊個(gè)稅稅率表(個(gè)稅起征點(diǎn)元) 新個(gè)稅稅率表(個(gè)稅起征點(diǎn)元)
繳稅級(jí)數(shù) 每月應(yīng)納稅所得額(含稅) 收入個(gè)稅起征點(diǎn) 稅率/% 每月應(yīng)納稅所得額(含稅）收入個(gè)稅起征點(diǎn)專項(xiàng)附加扣除 稅率/%
1 不超過元 不超過元
2 部分超過元至元部分 部分超過元至元部分
3 超過元至元的部分 超過元至元的部分
4 超過元至元的部分 超過元至元的部分
5 超過元至元部分 超過元至元部分
··· ··· ··· ···
隨機(jī)抽取某市名同一收入層級(jí)的無親屬關(guān)系的男性互聯(lián)網(wǎng)從業(yè)者(以下互聯(lián)網(wǎng)從業(yè)者都是指無親屬關(guān)系的男性)的相關(guān)資料，經(jīng)統(tǒng)計(jì)分析，預(yù)估他們2022年的人均月收入為元.統(tǒng)計(jì)資料還表明，他們均符合住房專項(xiàng)扣除，同時(shí)他們每人至多只有一個(gè)符合子女教育扣除的孩子，并且他們之中既不符合子女教育扣除又不符合贍養(yǎng)老人扣除、只符合子女教育扣除但不符合贍養(yǎng)老人扣除、只符合贍養(yǎng)老人扣除但不符合子女教育扣除、既符合子女教育扣除又符合贍養(yǎng)老人扣除的人數(shù)之比是.此外，他們均不符合其他專項(xiàng)附加扣除.新個(gè)稅政策下該市的專項(xiàng)附加扣除標(biāo)準(zhǔn)為:住房元/月，子女教育每孩元/月，贍養(yǎng)老人元/月等.假設(shè)該市該收入層級(jí)的互聯(lián)網(wǎng)從業(yè)者都獨(dú)自享受專項(xiàng)附加扣除，將預(yù)估的該市該收入層級(jí)的互聯(lián)網(wǎng)從業(yè)者的人均月收入視為其個(gè)人月收入.根據(jù)樣本估計(jì)總體的思想，解決下列問題.
（1）按新個(gè)稅方案，設(shè)該市該收入層級(jí)的互聯(lián)網(wǎng)從業(yè)者2022年月繳個(gè)稅為元，求的分布列和數(shù)學(xué)期望;
（2）根據(jù)新舊個(gè)稅方案，估計(jì)從2022年1月開始，經(jīng)過幾個(gè)月，該市該收入層級(jí)的互聯(lián)網(wǎng)從業(yè)者各月少繳的個(gè)稅之和就能購(gòu)買一臺(tái)價(jià)值為元的華為智慧屏巨幕電視
例27．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）隨著改革開放的不斷深入，祖國(guó)不斷富強(qiáng)，人民生活水平逐步提高，為了進(jìn)一步改善民生，2019年1月1日起我國(guó)實(shí)施了個(gè)人所得稅的新政策，新政策的主要內(nèi)容包括：①個(gè)稅起征點(diǎn)為5000元；②每月應(yīng)納稅所得額(含稅)=(收入)-(個(gè)稅起征點(diǎn))-(專項(xiàng)附加扣除)；③專項(xiàng)附加扣除包括贍養(yǎng)老人 子女教育 繼續(xù)教育 大病醫(yī)療等.新個(gè)稅政策下贍養(yǎng)老人的扣除標(biāo)準(zhǔn)為：獨(dú)生子女每月扣除2000元，非獨(dú)生子女與其兄弟姐妹按照每月2000元的標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)偪鄢總€(gè)人的分?jǐn)傤~度不能超過1000元；子女教育的扣除標(biāo)準(zhǔn)為：每個(gè)子女每月扣除1000元(可由父母中的一方扣除，或者父母雙方各扣除500元)稅率表如下：
級(jí)數(shù) 全月應(yīng)納稅所得額 稅率
1 不超過3000元的部分 3%
2 超過3000元至12000元的部分 10%
3 超過12000元至25000元的部分 20%
4 超過25000元至35000元的部分 25%
… … …
（1）稅務(wù)部門在小李所在公司用分層抽樣方法抽取某月100位不同層次員工的稅前收入，并制成如圖的頻率分布直方圖.
（i）請(qǐng)根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)該公司員工稅前收入的中位數(shù)；
（ii）同一組中的數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在區(qū)間中點(diǎn)的值作代表，在不考慮他們的專項(xiàng)附加扣除的情況下，甲 乙兩位同學(xué)用如下兩種方法估計(jì)小李所在的公司員工該月平均納稅，請(qǐng)判斷哪位同學(xué)的方法是正確的，不需說明理由.甲同學(xué)：(元)；乙同學(xué)：先計(jì)算收入的均值(元)，再利用均值計(jì)算平均納稅為：(元)
（2）為研究某城市月薪為20000元群體的納稅情況，現(xiàn)收集了該城市500名公司白領(lǐng)(每人至多1個(gè)孩子)的相關(guān)資料，通過整理數(shù)據(jù)知道：這500人中有一個(gè)孩子符合子女教育專項(xiàng)附加扣除(假定由他們各自全部扣除)的有400人，不符合子女教育專項(xiàng)附加扣除的人有100人，符合子女專項(xiàng)附加扣除的人中有300人也符合贍養(yǎng)老人專項(xiàng)附加扣除，不符合子女專項(xiàng)附加扣除的人中有50人符合贍養(yǎng)老人專項(xiàng)附加扣除，并且他們均不符合其他專項(xiàng)附加扣除(統(tǒng)計(jì)的500人中，任何兩人均不在一個(gè)家庭且為獨(dú)生子女).若他們的月收入均為20000元，依據(jù)樣本估計(jì)總體的思想，試估計(jì)在新個(gè)稅政策下這類人群每月應(yīng)繳納個(gè)稅金額(單位：元)的分布列與期望.
變式17．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）企業(yè)在商業(yè)活動(dòng)中有依法納稅的基本義務(wù)，不依法納稅叫做逃稅，是一種違法行為．某地區(qū)有2萬家企業(yè)，政府部門抽取部分企業(yè)統(tǒng)計(jì)其去年的收入，得到下面的頻率分布表．根據(jù)當(dāng)?shù)卣呔C合測(cè)算，企業(yè)應(yīng)繳的稅額約為收入的5%，而去年該地區(qū)企業(yè)實(shí)際繳稅的總額為291億元．
收入（千萬元）
頻率 0.3 0.5 0.12 0.06 0.02
（1）估計(jì)該地區(qū)去年收入大于等于4千萬元的企業(yè)數(shù)量；
（2）估計(jì)該地區(qū)企業(yè)去年的平均收入，并以此估計(jì)該地區(qū)逃稅的企業(yè)數(shù)量；
（3）根據(jù)統(tǒng)計(jì)，該地區(qū)企業(yè)逃稅被查出來的概率為0.3，被查出逃稅的企業(yè)除了要補(bǔ)繳稅款以外，還會(huì)被處以應(yīng)繳稅額倍的罰款，從企業(yè)逃稅的獲益期望考慮，至少定為多少，才能對(duì)逃稅行為起到懲罰作用？
注：每組數(shù)據(jù)以區(qū)間中點(diǎn)值為代表，假設(shè)逃稅的企業(yè)繳稅額為0，未逃稅的企業(yè)都足額繳稅．
變式18．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，個(gè)人收入的提高，自2019年1月1日起，個(gè)人所得稅起征點(diǎn)和稅率的調(diào)整，調(diào)整如下：納稅人的工資、薪資所得，以每月全部收入額減除5000元后的余額為應(yīng)納稅所得額，依照個(gè)人所得稅稅率表，調(diào)整前后的計(jì)算方法如下表：
個(gè)人所得稅稅率表（調(diào)整前） 個(gè)人所得稅稅率表（調(diào)整后）
免征額3500元 免征額5000元
級(jí)數(shù) 全月應(yīng)納稅所得額 稅率（%） 級(jí)數(shù) 全月應(yīng)納稅所得額 稅率（%）
1 不超過1500元部分 3 1 不超過3000元部分 3
2 超過1500元至4500元的部分 10 2 超過3000元至12000元的部分 10
3 超過4500元至9000元的部分 20 3 超過12000元至25000元的部分 20
… … … … … …
（1）假如小紅某月的工資、薪資等所得稅前收入總和不高于10000元，記表示總收入，表示應(yīng)納的稅，試寫出調(diào)整前后關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式；
（2）某稅務(wù)部門在小紅所在公司利用分層抽樣方法抽取某月100個(gè)不同層次員工的稅前收入，并制成下面的頻數(shù)分布表：
收入（元） [3000，5000） [5000，7000） [7000，9000） [9000，11000） [11000，13000）
人數(shù) 20 40 15 10 5
①先從收入在[3000，5000）及[5000，7000）的人群中按分層抽樣抽取6人，再?gòu)闹羞x3人作為新納稅法知識(shí)宣講員，用表示抽到作為宣講員的收入在[3000，5000）元的人數(shù)，表示抽到作為宣講員的收入在[5000，7000）元的人數(shù)，隨機(jī)變量，求的分布列與數(shù)學(xué)期望；
②小紅該月的工資、薪資等稅前收入為8500元時(shí)，請(qǐng)你幫小紅算一下調(diào)整后小紅的實(shí)際收入比調(diào)整前增加了多少？
題型十：疾病問題
例28．（2024·廣西玉林·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）某醫(yī)藥企業(yè)使用新技術(shù)對(duì)某款血液試劑進(jìn)行試生產(chǎn).
(1)在試產(chǎn)初期，該款血液試劑的I批次生產(chǎn)有四道工序，前三道工序的生產(chǎn)互不影響，第四道是檢測(cè)評(píng)估工序，包括智能自動(dòng)檢測(cè)與人工抽檢.已知該款血液試劑在生產(chǎn)中，經(jīng)過前三道工序后的次品率為.第四道工序中智能自動(dòng)檢測(cè)為次品的血液試劑會(huì)被自動(dòng)淘汰，合格的血液試劑進(jìn)入流水線并由工人進(jìn)行抽查檢驗(yàn).
已知批次I的血液試劑智能自動(dòng)檢測(cè)顯示合格率為98%，求工人在流水線進(jìn)行人工抽檢時(shí)，抽檢一個(gè)血液試劑恰為合格品的概率；
(2)已知切比雪夫不等式：設(shè)隨機(jī)變量的期望為，方差為，則對(duì)任意，均有.藥廠宣稱該血液試劑對(duì)檢測(cè)某種疾病的有效率為，現(xiàn)隨機(jī)選擇了100份血液樣本，使用該血液試劑進(jìn)行檢測(cè)，每份血液樣本檢測(cè)結(jié)果相互獨(dú)立，顯示有效的份數(shù)不超過60份，請(qǐng)結(jié)合切比雪夫不等式，通過計(jì)算說明該企業(yè)的宣傳內(nèi)容是否真實(shí)可信.
例29．（2024·江蘇鎮(zhèn)江·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）衛(wèi)生檢疫部門在進(jìn)行病毒檢疫時(shí)常采用“混采檢測(cè)”或“逐一檢測(cè)”的形式進(jìn)行，某興趣小組利用“混采檢測(cè)”進(jìn)行試驗(yàn)，已知6只動(dòng)物中有1只患有某種疾病，需要通過血液化驗(yàn)來確定患病的動(dòng)物，血液化驗(yàn)結(jié)果呈陽性的為患病動(dòng)物，下面是兩種化驗(yàn)方案：
方案甲：將各動(dòng)物的血液逐個(gè)化驗(yàn)，直到查出患病動(dòng)物為止.
方案乙：先取4只動(dòng)物的血液混在一起化驗(yàn)，若呈陽性，則對(duì)這4只動(dòng)物的血液再逐個(gè)化驗(yàn)，直到查出患病動(dòng)物；若不呈陽性，則對(duì)剩下的2只動(dòng)物再逐個(gè)化驗(yàn)，直到查出患病動(dòng)物.
(1)用表示依方案甲所需化驗(yàn)次數(shù)，求變量的期望；
(2)求依方案甲所需化驗(yàn)次數(shù)少于依方案乙所需化驗(yàn)次數(shù)的概率.
例30．（2024·遼寧·高三東北育才學(xué)校校聯(lián)考開學(xué)考試）某單位有名職工，通過抽驗(yàn)篩查一種疾病的患者．假設(shè)患疾病的人在當(dāng)?shù)厝巳褐械谋壤秊?專家建議隨機(jī)地按（且為的正因數(shù)）人一組分組，然后將各組個(gè)人的血樣混合再化驗(yàn). 如果混管血樣呈陰性，說明這個(gè)人全部陰性；如果混管血樣呈陽性，說明其中至少有一人的血樣呈陽性，就需要對(duì)每個(gè)人再分別化驗(yàn)一次.設(shè)該種方法需要化驗(yàn)的總次數(shù)為.
(1)當(dāng)時(shí)，求的取值范圍并解釋其實(shí)際意義；
(2)現(xiàn)對(duì)混管血樣逐一化驗(yàn)，至化驗(yàn)出陽性樣本時(shí)停止，最多化驗(yàn)次.記為混管的化驗(yàn)次數(shù)，當(dāng)足夠大時(shí)，證明：；
(3)根據(jù)經(jīng)驗(yàn)預(yù)測(cè)本次檢測(cè)時(shí)個(gè)人患病的概率，當(dāng)時(shí)，按照計(jì)算得混管數(shù)量的期望；某次檢驗(yàn)中，試判斷個(gè)人患病的概率為是否合理.（如果，則說明假設(shè)不合理）．
附：若，則，，.
變式19．（2024·重慶沙坪壩·高三重慶一中校考階段練習(xí)）某研究小組經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)某種疾病的患病者與未患病者的某項(xiàng)醫(yī)學(xué)指標(biāo)有明顯差異，已知該疾病的患病率為，經(jīng)過大量調(diào)查，得到如圖的患病者和未患病者該指標(biāo)的頻率分布直方圖：

利用該指標(biāo)制定一個(gè)檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)，需要確定臨界值，將該指標(biāo)大于的人判定為陽性，小于或等于的人判定為陰性.將患病者判定為陰性或?qū)⑽椿疾≌吲卸殛栃跃鶠檎`診.假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率.
(1)當(dāng)臨界值時(shí)，已知某人是患病者，求該人被誤診的概率；
(2)當(dāng)時(shí)，求利用該指標(biāo)作為檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)的誤診率的解析式，并求使最小的臨界值.
變式20．（2024·上海浦東新·高三華師大二附中校考階段練習(xí)）某研究小組經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)某種疾病的患病者與未患病者的某項(xiàng)醫(yī)學(xué)指標(biāo)有明顯差異，經(jīng)過大量調(diào)查，得到如下的患病者和未患病者該指標(biāo)的頻率分布直方圖：

利用該指標(biāo)制定一個(gè)檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)，需要確定臨界值c，將該指標(biāo)大于c的人判定為陽性，小于或等于c的人判定為陰性．此檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)的漏診率是將患病者判定為陰性的概率，記為；誤診率是將未患病者判定為陽性的概率，記為．假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率．
(1)當(dāng)漏診率％時(shí)，求臨界值c和誤診率；
(2)設(shè)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，求的解析式，并求在區(qū)間的最小值．
變式21．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）概率論中有很多經(jīng)典的不等式，其中最著名的兩個(gè)當(dāng)屬由兩位俄國(guó)數(shù)學(xué)家馬爾科夫和切比雪夫分別提出的馬爾科夫（Markov）不等式和切比雪夫（Chebyshev）不等式．馬爾科夫不等式的形式如下：
設(shè)為一個(gè)非負(fù)隨機(jī)變量，其數(shù)學(xué)期望為，則對(duì)任意，均有，
馬爾科夫不等式給出了隨機(jī)變量取值不小于某正數(shù)的概率上界，闡釋了隨機(jī)變量尾部取值概率與其數(shù)學(xué)期望間的關(guān)系．當(dāng)為非負(fù)離散型隨機(jī)變量時(shí)，馬爾科夫不等式的證明如下：
設(shè)的分布列為其中，則對(duì)任意，，其中符號(hào)表示對(duì)所有滿足的指標(biāo)所對(duì)應(yīng)的求和．
切比雪夫不等式的形式如下：
設(shè)隨機(jī)變量的期望為，方差為，則對(duì)任意，均有
(1)根據(jù)以上參考資料，證明切比雪夫不等式對(duì)離散型隨機(jī)變量成立．
(2)某藥企研制出一種新藥，宣稱對(duì)治療某種疾病的有效率為．現(xiàn)隨機(jī)選擇了100名患者，經(jīng)過使用該藥治療后，治愈的人數(shù)為60人，請(qǐng)結(jié)合切比雪夫不等式通過計(jì)算說明藥廠的宣傳內(nèi)容是否真實(shí)可信．
題型十一：建議問題
例31．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）地區(qū)農(nóng)科所統(tǒng)計(jì)歷年冬小麥每畝產(chǎn)量的數(shù)據(jù)，得到頻率分布直方圖（如圖1），考慮到受市場(chǎng)影響，預(yù)測(cè)該地區(qū)明年冬小麥統(tǒng)一收購(gòu)價(jià)格情況如表1（該預(yù)測(cè)價(jià)格與畝產(chǎn)量互不影響）.
明年冬小麥統(tǒng)一收購(gòu)價(jià)格（單位：元）
概率
表1
假設(shè)圖1中同組的每個(gè)數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值估算，并以頻率估計(jì)概率.
(1)試估計(jì)地區(qū)明年每畝冬小麥統(tǒng)一收購(gòu)總價(jià)為元的概率；
(2)設(shè)地區(qū)明年每畝冬小麥統(tǒng)一收購(gòu)總價(jià)為元，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；
(3)地區(qū)農(nóng)科所研究發(fā)現(xiàn)，若每畝多投入元的成本進(jìn)行某項(xiàng)技術(shù)改良，則可使每畝冬小麥產(chǎn)量平均增加.從廣大種植戶的平均收益角度分析，你是否建議農(nóng)科所推廣該項(xiàng)技術(shù)改良？并說明理由.
例32．（2024·北京·高三北京市第一六一中學(xué)校考期中）某校為了鼓勵(lì)學(xué)生熱心公益，服務(wù)社會(huì)，成立了“慈善義工社”.本學(xué)期該校“慈善義工社”為學(xué)生提供了4次參加公益活動(dòng)的機(jī)會(huì)，學(xué)生可通過網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)報(bào)名并參加該活動(dòng).活動(dòng)結(jié)束后，為了解學(xué)生實(shí)際參加這4次活動(dòng)的情況，從全校4000名學(xué)生中隨機(jī)抽取100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下表，其中“√表示參加，“×”表示未參加.
公益活動(dòng) 學(xué)生人數(shù) 第1次 第2次 第3次 第4次
30 × × √ √
20 × √ × √
15 √ √ √ √
12 √ √ √ ×
10 × √ × ×
a √ × × ×
b × × × ×
根據(jù)表中數(shù)據(jù)估計(jì)，該校4000名學(xué)生中約有120名這4次活動(dòng)均未參加.
(1)求的值；
(2)若學(xué)生每次參加公益活動(dòng)可獲得10個(gè)公益積分，任取該校一名學(xué)生，記該生在本學(xué)期活動(dòng)中獲得的公益積分為，以頻率作為概率，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；
(3)如果你是該校“慈善義工社”的負(fù)責(zé)人之一，那么根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，在安排下學(xué)期的公益活動(dòng)時(shí)你會(huì)提出什么改進(jìn)建議？并說明理由.
例33．（2024·北京東城·高三景山學(xué)校校考開學(xué)考試）汽車租賃公司為了調(diào)查兩種車型的出租情況，現(xiàn)隨機(jī)抽取了這兩種車型各100輛汽車，分別統(tǒng)計(jì)了每輛車某個(gè)星期內(nèi)的出租天數(shù)，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表：
型車
出租天數(shù) 1 2 3 4 5 6 7
車輛數(shù) 5 10 30 35 15 3 2
B型車
出租天數(shù) 1 2 3 4 5 6 7
車輛數(shù) 14 20 20 16 15 10 5
(1)從出租天數(shù)為3天的汽車（僅限兩種車型）中隨機(jī)抽取一輛，估計(jì)這輛汽車恰好是A型車的概率；
(2)根據(jù)這個(gè)星期的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)（用頻率估計(jì)概率），求該公司一輛型車，一輛型車一周內(nèi)合計(jì)出租天數(shù)恰好為4天的概率；
(3)如果兩種車型每輛車每天出租獲得的利潤(rùn)相同，該公司需要從A，B兩種車型中購(gòu)買一輛，請(qǐng)你根據(jù)所學(xué)的統(tǒng)計(jì)知識(shí)，給出建議應(yīng)該購(gòu)買哪一種車型，并說明你的理由.
變式22．（2024·湖北武漢·統(tǒng)考三模）某社區(qū)擬對(duì)該社區(qū)內(nèi)8000人進(jìn)行核酸檢測(cè)，現(xiàn)有以下兩種核酸檢測(cè)方案：
方案一：4人一組，采樣混合后進(jìn)行檢測(cè)；
方案二：2人一組，采樣混合后進(jìn)行檢測(cè)；
若混合樣本檢測(cè)結(jié)果呈陽性，則對(duì)該組所有樣本全部進(jìn)行單個(gè)檢測(cè)；若混合樣本檢測(cè)結(jié)果呈陰性，則不再檢測(cè).
(1)某家庭有6人，在采取方案一檢測(cè)時(shí)，隨機(jī)選2人與另外2名鄰居組成一組，余下4人組成一組，求該家庭6人中甲，乙兩人被分在同一組的概率；
(2)假設(shè)每個(gè)人核酸檢測(cè)呈陽性的概率都是0.01，每個(gè)人核酸檢測(cè)結(jié)果相互獨(dú)立，分別求該社區(qū)選擇上述兩種檢測(cè)方案的檢測(cè)次數(shù)的數(shù)學(xué)期望.以較少檢測(cè)次數(shù)為依據(jù)，你建議選擇哪種方案？
（附：，）
變式23．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）機(jī)動(dòng)車輛保險(xiǎn)即汽車保險(xiǎn)（簡(jiǎn)稱車險(xiǎn)），是指對(duì)機(jī)動(dòng)車輛由于自然災(zāi)害或意外事故所造成的人身傷亡或財(cái)產(chǎn)損失負(fù)賠償責(zé)任的一種商業(yè)保險(xiǎn)．機(jī)動(dòng)車輛保險(xiǎn)一般包括交強(qiáng)險(xiǎn)和商業(yè)險(xiǎn)，商業(yè)險(xiǎn)包括基本險(xiǎn)和附加險(xiǎn)兩部分．經(jīng)驗(yàn)表明新車商業(yè)險(xiǎn)保費(fèi)與購(gòu)車價(jià)格有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，下面是隨機(jī)采集的相關(guān)數(shù)據(jù)：
購(gòu)車價(jià)格x（萬元） 5 10 15 20 25 30 35
商業(yè)險(xiǎn)保費(fèi)y（元） 1737 2077 2417 2757 3097 3622 3962
(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，求y關(guān)于x的線性回歸方程（精確到0.01）；
(2)某保險(xiǎn)公司規(guī)定：上一年的出險(xiǎn)次數(shù)決定了下一年的保費(fèi)倍率，上一年沒有出險(xiǎn)，則下一年保費(fèi)倍率為85%，上一年出險(xiǎn)一次，則下一年保費(fèi)倍率為100%，上一年出險(xiǎn)兩次，則下一年保費(fèi)倍率為125%．太原王女士2022年1月購(gòu)買了一輛價(jià)值32萬元的新車．若該車2022年2月已出過一次險(xiǎn)，4月又發(fā)生事故，王女士到汽車維修店詢價(jià)，預(yù)計(jì)修車費(fèi)用為800元，理賠人員建議王女士自費(fèi)維修（即不出險(xiǎn)），你認(rèn)為王女士是否應(yīng)該接受該建議？請(qǐng)說明理由．（假設(shè)車輛2022年與2024年都購(gòu)買相同的商業(yè)險(xiǎn)產(chǎn)品）
參考數(shù)據(jù)：．
參考公式：．
變式24．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）為弘揚(yáng)中華傳統(tǒng)文化，吸收前人在修身 處世 治國(guó) 理政等方面的智慧和經(jīng)驗(yàn)，養(yǎng)浩然正氣，塑高尚人格，不斷提高學(xué)生的人文素質(zhì)和精神境界，某校舉行傳統(tǒng)文化知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng).競(jìng)賽共有“儒”和“道”兩類題，每類各5題.其中每答對(duì)1題“儒”題得10分，答錯(cuò)得0分；每答對(duì)1題“道”題得20分，答錯(cuò)扣5分.每位參加競(jìng)賽的同學(xué)從這兩類題中共抽出4題回答（每個(gè)題抽后不放回），要求“道”題中至少抽2題作答.已知小明同學(xué)“儒”題中有4題會(huì)作答，答對(duì)各個(gè)“道”題的概率均為.
(1)若小明同學(xué)在“儒”題中只抽1題作答，求他在這次競(jìng)賽中得分為35分的概率；
(2)若小明同學(xué)第1題是從“儒”題中抽出并回答正確，根據(jù)得分期望給他建議，應(yīng)從“道”題中抽取幾道題作答？
題型十二：概率與數(shù)列遞推問題
例34．（2024·貴州貴陽·高三貴陽一中校考階段練習(xí)）馬爾科夫鏈?zhǔn)歉怕式y(tǒng)計(jì)中的一個(gè)重要模型，因俄國(guó)數(shù)學(xué)家安德烈·馬爾科夫得名，其過程具備“無記憶”的性質(zhì)，即第次狀態(tài)的概率分布只跟第次的狀態(tài)有關(guān)，與第，，，…次狀態(tài)無關(guān)，即.已知甲盒子中裝有2個(gè)黑球和1個(gè)白球，乙盒子中裝有2個(gè)白球，現(xiàn)從甲、乙兩個(gè)盒子中各任取一個(gè)球交換放入另一個(gè)盒子中，重復(fù)次這樣的操作.記甲盒子中黑球個(gè)數(shù)為，恰有2個(gè)黑球的概率為，恰有1個(gè)黑球的概率為.
(1)求，和，；
(2)證明：為等比數(shù)列（且）；
(3)求的期望（用表示，且）.
例35．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）甲乙兩人輪流擲硬幣，第一局甲先擲，誰先擲出正面誰就勝，上一局的負(fù)者下一局先擲．問：
(1)第一局甲勝的概率；
(2)第局甲勝的概率．
例36．（2024·河北保定·河北省唐縣第一中學(xué)校考二模）在某個(gè)周末，甲、乙、丙、丁四名同學(xué)相約打臺(tái)球．四人約定游戲規(guī)則：①每輪游戲均將四人分成兩組，進(jìn)行組內(nèi)一對(duì)一對(duì)打；②第一輪甲乙對(duì)打、丙丁對(duì)打；③每輪游戲結(jié)束后，兩名優(yōu)勝者組成優(yōu)勝組在下一輪游戲中對(duì)打，同樣的，兩名失敗者組成敗者組在下一輪游戲中對(duì)打；④每輪比賽均無平局出現(xiàn)．已知甲勝乙、乙勝丙、丙勝丁的概率均為，甲勝丙、乙勝丁的概率均為，甲勝丁的概率為．
(1)設(shè)在前三輪比賽中，甲乙對(duì)打的次數(shù)為隨機(jī)變量X，求X的數(shù)學(xué)期望；
(2)求在第10輪比賽中，甲丙對(duì)打的概率．
變式25．（2024·湖北武漢·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）有編號(hào)為1，2，3，...，18，19，20的20個(gè)箱子，第一個(gè)箱子有2個(gè)黃球1個(gè)綠球，其余箱子均為2個(gè)黃球2個(gè)綠球，現(xiàn)從第一個(gè)箱子中取出一個(gè)球放入第二個(gè)箱子，再?gòu)牡诙€(gè)箱子中取出一個(gè)球放入第三個(gè)箱子，以此類推，最后從第19個(gè)箱子取出一個(gè)球放入第20個(gè)箱子，記為從第個(gè)箱子中取出黃球的概率.
(1)求；
(2)求.
變式26．（2024·江西·校聯(lián)考二模）文具盒里裝有7支規(guī)格一致的圓珠筆，其中4支黑筆，3支紅筆.某學(xué)校甲、乙、丙三位教師共需取出3支紅筆批閱試卷，每次從文具盒中隨機(jī)取出一支筆，若取出的是紅筆，則不放回；若取出的是黑筆，則放回文具盒，繼續(xù)抽取，直至將3支紅筆全部抽出.
(1)在第2次取出黑筆的前提下，求第1次取出紅筆的概率；
(2)抽取3次后，記取出紅筆的數(shù)量為，求隨機(jī)變量的分布列；
(3)因?qū)W校臨時(shí)工作安排，甲教師不再參與閱卷，記恰好在第n次抽取中抽出第2支紅筆的概率為，求的通項(xiàng)公式.
變式27．（2024·吉林·通化市第一中學(xué)校校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）2022年12月18日，第二十二屆男足世界杯決賽在梅西率領(lǐng)的阿根廷隊(duì)與姆巴佩率領(lǐng)的法國(guó)隊(duì)之間展開，法國(guó)隊(duì)在上半場(chǎng)落后兩球的情況下，下半場(chǎng)連進(jìn)兩球，2比2戰(zhàn)平進(jìn)入加時(shí)賽，加時(shí)賽兩隊(duì)各進(jìn)一球（比分3∶3）再次戰(zhàn)平，在隨后的點(diǎn)球大戰(zhàn)中，阿根廷隊(duì)發(fā)揮出色，最終贏得了比賽的勝利，時(shí)隔36年再次成功奪得世界杯冠軍，梅西如愿以償，成功捧起大力神杯．
(1)法國(guó)隊(duì)與阿根廷隊(duì)實(shí)力相當(dāng)，在比賽前很難預(yù)測(cè)誰勝誰負(fù)．賽前有3人對(duì)比賽最終結(jié)果進(jìn)行了預(yù)測(cè)，假設(shè)每人預(yù)測(cè)正確的概率均為，求預(yù)測(cè)正確的人數(shù)X的分布列和期望；
(2)足球的傳接配合非常重要，傳接球訓(xùn)練也是平常訓(xùn)練的重要項(xiàng)目，梅西和其他4名隊(duì)友在某次傳接球的訓(xùn)練中，假設(shè)球從梅西腳下開始，等可能地隨機(jī)傳向另外4人中的1人，接球者接到球后再等可能地隨機(jī)傳向另外4人中的1人，如此不停地傳下去，假設(shè)傳出的球都能接住，記第n次傳球之前球在梅西腳下的概率為，求．
變式28．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某中學(xué)舉辦了詩詞大會(huì)選拔賽，共有兩輪比賽，第一輪是詩詞接龍，第二輪是飛花令．第一輪給每位選手提供5個(gè)詩詞接龍的題目，選手從中抽取2個(gè)題目，主持人說出詩詞的上句，若選手在10秒內(nèi)正確回答出下句可得10分，若不能在10秒內(nèi)正確回答出下句得0分．
(1)已知某位選手會(huì)5個(gè)詩詞接龍題目中的3個(gè)，求該選手在第一輪得分的數(shù)學(xué)期望；
(2)已知恰有甲、乙、丙、丁四個(gè)團(tuán)隊(duì)參加飛花令環(huán)節(jié)的比賽，每一次由四個(gè)團(tuán)隊(duì)中的一個(gè)回答問題，無論答題對(duì)錯(cuò)，該團(tuán)隊(duì)回答后由其他團(tuán)隊(duì)搶答下一問題，且其他團(tuán)隊(duì)有相同的機(jī)會(huì)搶答下一問題．記第n次回答的是甲的概率為，若．
①求P2，P3；
②證明：數(shù)列為等比數(shù)列，并比較第7次回答的是甲和第8次回答的是甲的可能性的大小．
題型十三：硬幣問題
例37．（2024·河北張家口·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）同學(xué)甲進(jìn)行一種闖關(guān)游戲，該游戲共設(shè)兩個(gè)關(guān)卡，闖關(guān)規(guī)則如下：每個(gè)關(guān)卡前需先投擲一枚硬幣，若正面朝上，則順利進(jìn)入闖關(guān)界面，可以開始闖關(guān)游戲；若反面朝上，游戲直接終止，甲同學(xué)在每次進(jìn)入闖關(guān)界面后能夠成功通過關(guān)卡的概率均為，且第一關(guān)是否成功通過都不影響第二關(guān)的進(jìn)行．
(1)同學(xué)甲在游戲終止時(shí)成功通過兩個(gè)關(guān)卡的概率；
(2)同學(xué)甲成功通過關(guān)卡的個(gè)數(shù)為，求的分布列．
例38．（2024·江西·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）草莓具有較高的營(yíng)養(yǎng)價(jià)值 醫(yī)療價(jià)值和生態(tài)價(jià)值.草莓漿果芳香多汁，營(yíng)養(yǎng)豐富，素有“水果皇后”的美稱.某草莓園統(tǒng)計(jì)了最近100天的草莓日銷售量（單位：千克），數(shù)據(jù)如下所示.
銷售量區(qū)間 天數(shù)
20
25
10
40
5
(1)求a的值及這100天草莓日銷售量的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表）.
(2)該草莓的售價(jià)為60元每千克，為了增加草莓銷售量，該草莓園推出“玩游戲，送優(yōu)惠”活動(dòng)，有以下兩種游戲方案供顧客二選一.

游戲一：不透明盒子里裝有2個(gè)紅球，4個(gè)黑球，顧客從中不放回摸出3個(gè)球，每摸出一個(gè)紅球每千克草莓優(yōu)惠3元，摸出黑球不優(yōu)惠.
游戲二：一張紙板共畫了11個(gè)同心圓，圓心處標(biāo)記數(shù)字0，從內(nèi)到外的圓環(huán)內(nèi)依次標(biāo)記數(shù)字1到10，在圓心處有一顆骰子，顧客拋擲硬幣決定骰子從圓心向外環(huán)移動(dòng)，若擲出的硬幣正面向上，則骰子向外移動(dòng)一環(huán)（如：從圓心移動(dòng)到標(biāo)上數(shù)字1的環(huán)內(nèi)）；若擲出的硬幣反面向上，則骰子向外移動(dòng)兩環(huán)（如：從標(biāo)上數(shù)字1的環(huán)內(nèi)移動(dòng)到標(biāo)上數(shù)字3的環(huán)內(nèi)）.顧客重復(fù)擲硬幣直到骰子移到標(biāo)上數(shù)字9的環(huán)就可以獲得“九折優(yōu)惠券”，或移到標(biāo)上數(shù)字10的環(huán)就游戲結(jié)束無優(yōu)惠.有兩個(gè)孩子對(duì)于選擇哪個(gè)游戲可以獲得更大優(yōu)惠出現(xiàn)了分歧，你能幫助他們判斷嗎？
例39．（2024·全國(guó)·長(zhǎng)郡中學(xué)校聯(lián)考二模）某公司有員工140人，為調(diào)查員工對(duì)薪酬待遇的滿意度，現(xiàn)隨機(jī)抽取了15人，通過問卷調(diào)查，有3人對(duì)薪酬不滿意.
(1)試估計(jì)公司中對(duì)薪酬不滿意的人數(shù)；
(2)從15名調(diào)查對(duì)象中抽取2人，用表示其中對(duì)薪酬不滿意的人數(shù)，試求的數(shù)學(xué)期望；
(3)實(shí)際上，由于問題比較敏感，被調(diào)查者為了保護(hù)自己的隱私往往會(huì)做出相反的回答，導(dǎo)致調(diào)查數(shù)據(jù)失真.為此對(duì)調(diào)查方法進(jìn)行優(yōu)化，現(xiàn)向15名調(diào)查對(duì)象提供兩個(gè)問題：
問題A：你對(duì)公司薪酬是否不滿意？
問題B：現(xiàn)場(chǎng)拋一枚硬幣，是否正面朝上？
在一個(gè)密閉房間里有一個(gè)箱子，箱子中放入大小相同的10個(gè)小球，其中黑色小球7個(gè)，白色小球3個(gè)，每位調(diào)查對(duì)象進(jìn)入房間后，從箱子中摸出一個(gè)小球后放回，若是黑球，則回答問題A，若是白球，則拋硬幣完成問題B.若有6人回答“是”，試用全概率公式估計(jì)公司中對(duì)薪酬不滿意的人數(shù).
變式29．（2024·安徽滁州·安徽省定遠(yuǎn)中學(xué)校考二模）中學(xué)階段，數(shù)學(xué)中的“對(duì)稱性”不僅體現(xiàn)在平面幾何、立體幾何、解析幾何和函數(shù)圖象中，還體現(xiàn)在概率問題中．例如，甲乙兩人進(jìn)行比賽，若甲每場(chǎng)比賽獲勝概率均為，且每場(chǎng)比賽結(jié)果相互獨(dú)立，則由對(duì)稱性可知，在5場(chǎng)比賽后，甲獲勝次數(shù)不低于3場(chǎng)的概率為．現(xiàn)甲乙兩人分別進(jìn)行獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，每人拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣．
(1)若兩人各拋擲3次，求拋擲結(jié)果中甲正面朝上次數(shù)大于乙正面朝上次數(shù)的概率；
(2)若甲拋擲次，乙拋擲n次，，求拋擲結(jié)果中甲正面朝上次數(shù)大于乙正面朝上次數(shù)的概率．
變式30．（2024·河北·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）小明和小紅進(jìn)行拋擲硬幣比賽，規(guī)定小明和小紅每人拋6次.小明得分規(guī)則為每連續(xù)拋擲次結(jié)果相同則得分（規(guī)定連續(xù)拋擲結(jié)果不同不得分，如正反正反正反不得分，正正反正反反得4分），小紅每拋擲一次正面結(jié)果則得2分，得分高者獲勝.
(1)求小紅得8分的概率；
(2)求小明得分的分布列和期望，并比較兩人誰獲勝的概率大？
題型十四：自主選科問題
例40．（2024·陜西咸陽·武功縣普集高級(jí)中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）新高考取消文理分科，采用選科模式，這賦予了學(xué)生充分的自由選擇權(quán)．新高考地區(qū)某校為了解本校高一年級(jí)將來高考選考?xì)v史的情況，隨機(jī)選取了100名高一學(xué)生，將他們某次歷史測(cè)試成績(jī)（滿分100分）按照，，，，分成5組，制成如圖所示的頻率分布直方圖．
(1)求圖中a的值并估計(jì)這100名學(xué)生本次歷史測(cè)試成績(jī)的中位數(shù)．
(2)據(jù)調(diào)查，本次歷史測(cè)試成績(jī)不低于60分的學(xué)生，高考將選考?xì)v史科目；成績(jī)低于60分的學(xué)生，高考將不選考?xì)v史科目．按分層抽樣的方法從測(cè)試成績(jī)?cè)冢膶W(xué)生中選取5人，再?gòu)倪@5人中任意選取2人，求這2人中至少有1人高考選考?xì)v史科目的概率．
例41．（2024·山西臨汾·高三統(tǒng)考期中）山西省高考綜合改革從2022年秋季入學(xué)的高一年級(jí)學(xué)生開始實(shí)施，新高考將實(shí)行“3＋1＋2”模式，其中3表示語文、數(shù)學(xué)、外語三科必選，1表示從物理、歷史兩科中選擇一科，2表示從化學(xué)、生物學(xué)、思想政治、地理四科中選擇兩科.相應(yīng)的，高校在招生時(shí)可對(duì)特定專業(yè)設(shè)置具體的選修科目要求.現(xiàn)從某中學(xué)2022年高一年級(jí)所有學(xué)生中隨機(jī)抽取20人進(jìn)行選科情況調(diào)查，得到如下統(tǒng)計(jì)表：
序號(hào) 選科情況 序號(hào) 選科情況 序號(hào) 選科情況 序號(hào) 選科情況
1 史化生 6 物化政 11 史地政 16 物化地
2 物化地 7 物化生 12 物化地 17 物化政
3 物化地 8 史生地 13 物生地 18 物化地
4 史生地 9 史化地 14 物化地 19 史化地
5 史地政 10 史化政 15 物地政 20 史地政
(1)請(qǐng)創(chuàng)建列聯(lián)表，依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為學(xué)生“選擇化學(xué)科目”與“選擇物理科目”有關(guān)聯(lián).
(2)某高校在其人工智能方向?qū)I(yè)甲的招生簡(jiǎn)章中明確要求，考生必須選擇物理，且在化學(xué)和生物學(xué)2門中至少選修1門，方可報(bào)名.現(xiàn)從該中學(xué)高一新生中隨機(jī)抽取4人，設(shè)具備這所高校專業(yè)甲報(bào)名資格的人數(shù)為，用樣本的頻率估計(jì)概率，求的分布列與期望.
附：
0.100 0.050 0.010 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
例42．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）2014年9月教育部發(fā)布關(guān)于深化考試招生制度改革的實(shí)施意見，部分省份先行改革實(shí)踐，目前，全國(guó)多數(shù)省份進(jìn)入新高考改革．改革后，考生的高考總成績(jī)由語文、數(shù)學(xué)、外語3門全國(guó)統(tǒng)一考試科目成績(jī)和3門選擇性科目成績(jī)組成．
方案一：選擇性考試科目學(xué)生可以從思想政治、歷史、地理、物理、化學(xué)、生物6門科目中任選3門參加選擇性考試．
方案二：3門選擇性科目由學(xué)生先從物理、歷史2門科目中任選1門，再?gòu)乃枷胝巍⒌乩怼⒒瘜W(xué)、生物4門科目中任選2門參加選擇性考試．
(1)某省執(zhí)行方案一，甲同學(xué)對(duì)選擇性科目的選擇是隨機(jī)的，求甲同學(xué)在選擇物理科目的條件下，選擇化學(xué)科目的概率；
(2)某省執(zhí)行方案二，為調(diào)查學(xué)生的選科情況，從某校高二年級(jí)抽取了10名同學(xué)，其中有6名首選物理，4名首選歷史，現(xiàn)從這10名同學(xué)中再選3名同學(xué)做進(jìn)一步調(diào)查，將其中首選歷史的人數(shù)記作X，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望．
變式31．（2024·湖北黃石·大冶市第一中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）目前，全國(guó)多數(shù)省份已經(jīng)開始了新高考改革．改革后，考生的高考總成績(jī)由語文、數(shù)學(xué)、外語3門全國(guó)統(tǒng)一考試科目成績(jī)和3門選擇性科目成績(jī)組成．注：甲、乙兩名同學(xué)對(duì)選擇性科目的選擇是隨機(jī)的．
(1)A省規(guī)定：選擇性考試科目學(xué)生可以從思想政治、歷史、地理、物理、化學(xué)、生物6門科目中任選3門參加選擇性考試．求甲同學(xué)在選擇物理科目的條件下，選擇化學(xué)科目的概率；
(2)B省規(guī)定：3門選擇性科目由學(xué)生首先從物理科目和歷史科目中任選1門，再?gòu)乃枷胝巍⒌乩怼⒒瘜W(xué)、生物4門科目中任選2門．
①求乙同學(xué)同時(shí)選擇物理科目和化學(xué)科目的概率；
②為調(diào)查學(xué)生的選科情況，從某校高二年級(jí)抽取了10名同學(xué)，其中有6名首選物理，4名首選歷史．現(xiàn)從這10名同學(xué)中再選3名同學(xué)做進(jìn)一步調(diào)查．將其中首選歷史的人數(shù)記作X，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望．
變式32．（2024·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）新高考按照“”的模式設(shè)置，其中“3”為全國(guó)統(tǒng)考科目語文、數(shù)學(xué)、外語，所有考生必考；“1”為首選科目，考生須在物理、歷史兩科中選擇一科；“2”為再選科目，考生可在化學(xué)、生物、政治、地理四科中選擇兩科．某校為了解該校考生的選科情況，從首選科目為物理的考生中隨機(jī)抽取12名（包含考生甲和考生乙）進(jìn)行調(diào)查．假設(shè)考生選擇每個(gè)科目的可能性相等，且他們的選擇互不影響．
(1)求考生甲和考生乙都選擇了地理作為再選科目的概率．
(2)已知抽取的這12名考生中，女生有3名．從這12名考生中隨機(jī)抽取3名，記X為抽取到的女生人數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望．
變式33．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在新的高考改革形式下，江蘇、遼寧、廣東、河北、湖南、湖北、福建、重慶八個(gè)省市在2021年首次實(shí)施“3+1+2”模式新高考．為了適應(yīng)新高考模式，在2021年1月23日至1月25日進(jìn)行了“八省聯(lián)考”，考完后，網(wǎng)上流傳很多種對(duì)各地考生考試成績(jī)的評(píng)價(jià)，對(duì)12種組合的選擇也產(chǎn)生不同的質(zhì)疑．為此，某校隨機(jī)抽一名考生小明（語文、數(shù)學(xué)、英語、物理、政治、生物的組合）在高一選科前某兩次六科對(duì)應(yīng)成績(jī)進(jìn)行分析，借此成績(jī)進(jìn)行相應(yīng)的推斷．表1是小明同學(xué)高一選科前兩次測(cè)試成績(jī)（滿分100分）：
表1
語文 數(shù)學(xué) 英語 物理 政治 生物
第一次 87 92 91 92 85 93
第二次 82 94 95 88 94 87
（1）從小明同學(xué)第一次測(cè)試的科目中隨機(jī)抽取1科，求該科成績(jī)大于90分的概率；
（2）從小明同學(xué)第一次測(cè)試和第二次測(cè)試的科目中各隨機(jī)抽取1科，記X為抽取的2科中成績(jī)大于90分的科目數(shù)量，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E（X）；
（3）現(xiàn)有另一名同學(xué)兩次測(cè)試成績(jī)（滿分100分）及相關(guān)統(tǒng)計(jì)信息如表2所示：
表2
語文 數(shù)學(xué) 英語 物理 政治 生物 6科成績(jī)均值 6科成績(jī)方差
第一次 a1 a2 a3 a4 a5 a6 x1 D1
第二次 b1 b2 b3 b4 b5 b6 x2 D2
將每科兩次測(cè)試成績(jī)的均值作為該科的總評(píng)成績(jī)，這6科總評(píng)成績(jī)的方差為D3．有一種觀點(diǎn)認(rèn)為：若x1＝x2，D1＜D2，能推出D1≤D3≤D2．則有理由認(rèn)為“八省聯(lián)考”考生成績(jī)與選科有關(guān)，否則沒有理由否定12種選科模式的不合理性，即新高考模式12種選科模式是可取的．假設(shè)這種觀點(diǎn)是正確的，通過表2內(nèi)容，你認(rèn)為新高考模式12種組合選科模式是否可取？
題型十五：高爾頓板問題
例43．（2024·全國(guó)·高二課堂例題）如圖是一塊高爾頓板的示意圖．在一塊木板上釘著若干排相互平行但相互錯(cuò)開的圓柱形小木釘，小木釘之間留有適當(dāng)?shù)目障蹲鳛橥ǖ溃懊鎿跤幸粔K玻璃．將小球從頂端放入，小球下落的過程中，每次碰到小木釘后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中.格子從左到右分別編號(hào)為0，1，2，…，10，用X表示小球最后落入格子的號(hào)碼，求X的分布列.

例44．（2024·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱市第一二二中學(xué)校校考開學(xué)考試）如圖所示的高爾頓板，小球從通道口落下，第1次與第2層中間的小木塊碰撞，以的概率向左或向右滾下，依次經(jīng)過6次與小木塊碰撞，最后掉入編號(hào)為1，2…，7的球槽內(nèi).

(1)若進(jìn)行一次以上試驗(yàn)，求小球落入6號(hào)槽的概率；
(2)小明同學(xué)利用該圖中的高爾頓板來到社團(tuán)文化節(jié)上進(jìn)行盈利性“抽獎(jiǎng)”活動(dòng)，8元可以玩一次游戲，小球掉入號(hào)球槽得到的獎(jiǎng)金為元，其中
（i）求的分布列；
（ii）很多同學(xué)參加了游戲，你覺得小明同學(xué)能盈利嗎？
例45．（2024·河北唐山·高二開灤第一中學(xué)校考期末）如圖是一塊高爾頓板示意圖，在一塊木板上釘著若干排相互平行但相互錯(cuò)開的圓柱形小木釘，小木釘之間留有適當(dāng)?shù)目障蹲鳛橥ǖ溃懊鎿跤幸粔K玻璃．將小球從頂端放入，小球下落的過程中，每次碰到小木釘后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子從左到右分別編號(hào)為0，1，2．3…，10，用X表示小球最后落入格子的號(hào)碼，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

變式34．（2024·全國(guó)·高二專題練習(xí)）高爾頓板是英國(guó)生物統(tǒng)計(jì)學(xué)家高爾頓設(shè)計(jì)用來研究隨機(jī)現(xiàn)象的模型，在一塊木板上釘著若干排相互平行但相互錯(cuò)開的圓柱形小木塊，小木塊之間留有適當(dāng)?shù)目障蹲鳛橥ǖ溃懊鎿跤幸粔K玻璃，讓一個(gè)小球從高爾頓板上方的通道口落下，小球在下落的過程中與層層小木塊碰撞，且等可能向左或向右滾下，最后掉入高爾頓板下方的某一球槽內(nèi).如圖1所示的高爾頓板有層小木塊，小球從通道口落下，第一次與第層中間的小木塊碰撞，以的概率向左或向右滾下，依次經(jīng)過次與小木塊碰撞，最后掉入編號(hào)為、、、的球槽內(nèi).例如小球要掉入號(hào)球槽，則在次碰撞中有次向右次向左滾下.

(1)如圖1，進(jìn)行一次高爾頓板試驗(yàn)，試比較小球落入號(hào)球槽、號(hào)球槽的概率大小；
(2)小明改進(jìn)了高爾頓板（如圖2），首先將小木塊減少至層，且小球在下落的過程中與小木塊碰撞一次時(shí)，有的概率向左，的概率向右滾下，小球共經(jīng)過次碰撞后，最后掉入編號(hào)為、、、的球槽內(nèi).小明準(zhǔn)備利用改進(jìn)后的高爾頓板進(jìn)行盈利性“抽獎(jiǎng)”活動(dòng)，只需付費(fèi)元就可以玩一次游戲，小球掉入號(hào)球槽得到的獎(jiǎng)金為元，其中.你覺得小明能盈利嗎？請(qǐng)說明理由.
變式35．（2024·全國(guó)·高二專題練習(xí)）高爾頓板是英國(guó)生物統(tǒng)計(jì)學(xué)家高爾頓設(shè)計(jì)用來研究隨機(jī)現(xiàn)象的模型，在一塊木板上釘著若干排相互平行但相互錯(cuò)開的圓柱形小木塊，小木塊之間留有適當(dāng)?shù)目障蹲鳛橥ǖ溃懊鎿跤幸粔K玻璃．讓一個(gè)小球從高爾頓板上方的通道口落下，小球在下落的過程中，每次碰到小木釘后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的球槽內(nèi)．球槽從左到右分別編號(hào)為．

(1)若進(jìn)行一次高爾頓板試驗(yàn)，求這個(gè)小球掉入號(hào)球槽的概率；
(2)小明同學(xué)在研究了高爾頓板后，利用該圖中的高爾頓板來到社團(tuán)文化節(jié)上進(jìn)行盈利性“抽獎(jiǎng)”活動(dòng)，元可以玩一次高爾頓板游戲，小球掉入號(hào)球槽得到的獎(jiǎng)金為元，其中．
①求的分布列；
②高爾頓板游戲火爆進(jìn)行，很多同學(xué)參加了游戲，你覺得小明同學(xué)能盈利嗎？
題型十六：自主招生問題
例46．（2024·江西南昌·高二南昌市八一中學(xué)校考期末）某高校在今年的自主招生考試中制定了如下的規(guī)則：筆試階段，考生從6道備選試題中一次性抽取3道題，并獨(dú)立完成所抽取的3道題，至少正確完成其中2道試題則可以進(jìn)入面試．已知考生甲能正確完成6道試題中的4道題，另外2道題不能完成．
(1)求考生甲能通過筆試進(jìn)入面試的概率；
(2)記所抽取的三道題中考生甲能正確完成的題數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．
例47．（2024·全國(guó)·高二專題練習(xí)）在某大學(xué)舉行的自主招生考試中，隨機(jī)抽取了100名考生的成績(jī)（單位：分），并把所得數(shù)據(jù)列成了如下所示的頻數(shù)分布表：
組別
頻數(shù) 5 18 28 26 17 6
(1)求抽取樣本的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表）；
(2)已知這次考試共有2000名考生參加，如果近似地認(rèn)為這次成績(jī)服從正態(tài)分布（其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差），且規(guī)定82.7分是復(fù)試線，那么在這2000名考生中，能進(jìn)入復(fù)試的有多少人？（附：，若，則，）．
例48．（2024·江蘇揚(yáng)州·高三校考階段練習(xí)）自主招生和強(qiáng)基計(jì)劃是高校選拔錄取工作改革的重要環(huán)節(jié).自主招生是學(xué)生通過高校組織的筆試和面試之后，可以得到相應(yīng)的降分政策.2020年1月，教育部決定2020年起不再組織開展高校自主招生工作，而是在部分一流大學(xué)建設(shè)高校開展基礎(chǔ)學(xué)科招生改革試點(diǎn)（也稱強(qiáng)基計(jì)劃）.下表是某高校從2018年起至2022年通過自主招生或強(qiáng)基計(jì)劃在部分專業(yè)的招生人數(shù)：
年份 數(shù)學(xué) 物理 化學(xué) 總計(jì)
2018 4 7 6 17
2019 5 8 5 18
2020 6 9 5 20
2021 8 7 6 21
2022 9 8 6 23
請(qǐng)根據(jù)表格回答下列問題：
(1)統(tǒng)計(jì)表明招生總數(shù)和年份間有較強(qiáng)的線性關(guān)系.記為年份與的差，為當(dāng)年數(shù)學(xué)、物理和化學(xué)的招生總?cè)藬?shù)，試用最小二乘法建立關(guān)于的線性回歸方程，并以此預(yù)測(cè)年的數(shù)學(xué)、物理和化學(xué)的招生總?cè)藬?shù)（結(jié)果四舍五入保留整數(shù)）；
(2)在強(qiáng)基計(jì)劃實(shí)施的首年，為了保證招生錄取結(jié)果的公平公正，該校招生辦對(duì)年強(qiáng)基計(jì)劃錄取結(jié)果進(jìn)行抽檢.此次抽檢從這名學(xué)生中隨機(jī)選取位學(xué)生進(jìn)行評(píng)審.記選取到數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生人數(shù)為，求隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望；
(3)經(jīng)統(tǒng)計(jì)該校學(xué)生的本科學(xué)習(xí)年限占比如下：四年畢業(yè)的占，五年畢業(yè)的占，六年畢業(yè)的占.現(xiàn)從到年間通過上述方式被該校錄取的學(xué)生中隨機(jī)抽取1名，若該生是數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生，求該生恰好在年畢業(yè)的概率.
附：為回歸方程，，．
變式36．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某高中在招高一新生時(shí)，有統(tǒng)一考試招生和自主招生兩種方式．參加自主招生的同學(xué)必須依次進(jìn)行“語文”“數(shù)學(xué)”“科學(xué)”三科的考試，若語文達(dá)到優(yōu)秀，則得1分，若數(shù)學(xué)達(dá)到優(yōu)秀，則得2分，若科學(xué)達(dá)到優(yōu)秀，則得3分，若各科未達(dá)到優(yōu)秀，則不得分．已知小明三科考試都達(dá)到優(yōu)秀的概率為，至少一科考試優(yōu)秀的概率為，數(shù)學(xué)考試達(dá)到優(yōu)秀的概率為，語文考試達(dá)到優(yōu)秀的概率大于科學(xué)考試達(dá)到優(yōu)秀的概率，且小明各科達(dá)到優(yōu)秀與否相互獨(dú)立．
(1)求小明語文考試達(dá)到優(yōu)秀的概率；
(2)求小明三科考試所得總分的分布列和期望．
變式37．（2024·陜西西安·統(tǒng)考二模）某高校自主招生考試中，所有去面試的考生全部參加了“語言表達(dá)能力”和“競(jìng)爭(zhēng)與團(tuán)隊(duì)意識(shí)”兩個(gè)科目的測(cè)試，成績(jī)分別為、、、、五個(gè)等級(jí)，某考場(chǎng)考生的兩科測(cè)試成績(jī)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如圖，其中“語言表達(dá)能力”成績(jī)等級(jí)為的考生有10人．
（1）求該考場(chǎng)考生中“競(jìng)爭(zhēng)與團(tuán)隊(duì)意識(shí)”科目成績(jī)等級(jí)為的人數(shù)；
（2）已知等級(jí)、、、、分別對(duì)應(yīng)5分，4分，3分，2分，1分．求該考場(chǎng)學(xué)生“語言表達(dá)能力”科目的平均分．
題型十七：順序排位問題
例49．（2024·湖南邵陽·邵陽市第二中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）為了豐富學(xué)生的課外活動(dòng)，學(xué)校羽毛球社團(tuán)舉行羽毛球個(gè)人賽，有甲、乙、丙、丁四位同學(xué)參加，甲與其他三人各進(jìn)行一場(chǎng)比賽，共進(jìn)行三場(chǎng)比賽，而且三場(chǎng)比賽相互獨(dú)立.根據(jù)甲最近分別與乙、丙、丁比賽的情況，得到如下統(tǒng)計(jì)表：
乙 丙 丁
比賽的次數(shù) 60 60 50
甲獲勝的次數(shù) 20 30 40
以上表中的頻率作為概率，求解下列問題.
(1)如果甲按照第一場(chǎng)與乙比賽、第二場(chǎng)與丙比賽、第三場(chǎng)與丁比賽的順序進(jìn)行比賽.
（ⅰ）求甲至少勝一場(chǎng)的概率；
（ⅱ）如果甲勝一場(chǎng)得2分，負(fù)一場(chǎng)得0分，設(shè)甲的得分為，求的分布列與期望；
(2)記“甲與乙、丙、丁進(jìn)行三場(chǎng)比賽中甲連勝二場(chǎng)”的概率為，那么以什么樣的出場(chǎng)順序才能使概率最大，并求出的最大值.
例50．（2024·新疆烏魯木齊·統(tǒng)考二模）2022年的男足世界杯在卡塔爾舉辦，參賽的32支球隊(duì)共分為8個(gè)小組，每個(gè)小組有4支球隊(duì)，小組賽采取單循環(huán)賽制，即每支球隊(duì)都要和同組的其他3支球隊(duì)各比賽一場(chǎng).每場(chǎng)比賽獲勝的球隊(duì)積3分，負(fù)隊(duì)積0分.若打平則雙方各積1分，三輪比賽結(jié)束后，積分從多到少排名靠前的2支球隊(duì)小組出線（如果積分相等，還要按照其他規(guī)則來排名）.已知甲、乙、丙、丁4支球隊(duì)分在同一個(gè)組，且甲隊(duì)與乙、丙、丁3支球隊(duì)比賽獲勝的概率分別為，，，與三支球隊(duì)打平的概率均為，每場(chǎng)比賽的結(jié)果相互獨(dú)立.
(1)某人對(duì)甲隊(duì)的三輪小組賽結(jié)果進(jìn)行了預(yù)測(cè)，他認(rèn)為三場(chǎng)都會(huì)是平局，記隨機(jī)變量X＝“結(jié)果預(yù)測(cè)正確的場(chǎng)次”，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；
(2)假設(shè)各隊(duì)先后對(duì)陣順序完全隨機(jī)，記甲隊(duì)至少連續(xù)獲勝兩場(chǎng)的概率為p，那么甲隊(duì)在第二輪比賽對(duì)陣哪個(gè)對(duì)手時(shí)，p的取值最大，這個(gè)最大值是多少？
例51．（2024·北京·高三專題練習(xí)）周末李夢(mèng)提出和父親 母親 弟弟進(jìn)行羽毛球比賽，李夢(mèng)與他們?nèi)烁鬟M(jìn)行一場(chǎng)比賽，共進(jìn)行三場(chǎng)比賽，而且三場(chǎng)比賽相互獨(dú)立.根據(jù)李夢(mèng)最近分別與父親 母親 弟弟比賽的情況，得到如下統(tǒng)計(jì)表：
父親 母親 弟弟
比賽的次數(shù) 50 60 40
李夢(mèng)獲勝的次數(shù) 10 30 32
以上表中的頻率作為概率，求解下列問題.
(1)如果按照第一場(chǎng)與父親比賽 第二場(chǎng)與母親比賽 第三場(chǎng)與弟弟比賽的順序進(jìn)行比賽.
（i）求李夢(mèng)連勝三場(chǎng)的概率；
（ii）如果李夢(mèng)勝一場(chǎng)得1分，負(fù)一場(chǎng)得0分，設(shè)李夢(mèng)的得分為X，求X的分布列與期望；
(2)記“與父親 母親 弟弟三場(chǎng)比賽中李夢(mèng)連勝二場(chǎng)”的概率為p，此概率p與父親，母親，弟弟出場(chǎng)的順序是否有關(guān)？如果有關(guān)，什么樣的出場(chǎng)順序使概率p最大（不必計(jì)算）？如果無關(guān)，請(qǐng)給出簡(jiǎn)要說明.
變式38．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）文淵中學(xué)計(jì)劃在2024年2月舉行趣味運(yùn)動(dòng)會(huì)，其中設(shè)置“夾球接力跑”項(xiàng)目，需要男同學(xué)和女同學(xué)一起合作完成．高一（15）班代表隊(duì)共派出3個(gè)小組（編號(hào)為，，）角逐該項(xiàng)目，每個(gè)小組由1名男生和2名女生組成，其中男生單獨(dú)完成該項(xiàng)目的概率為0.6，女生單獨(dú)完成該項(xiàng)目的概率為（）．假設(shè)他們參加比賽的機(jī)會(huì)互不影響，記每個(gè)小組能完成比賽的人數(shù)為．
(1)證明：在的概率分布中，最大；
(2)如果比賽當(dāng)天天氣出現(xiàn)異常，則將臨時(shí)更改比賽規(guī)則：每個(gè)代表隊(duì)每次指派一個(gè)小組，比賽時(shí)間一分鐘，如果一分鐘內(nèi)不能完成，則重新指派另一組參賽．高一（15）班代表隊(duì)的領(lǐng)隊(duì)了解后發(fā)現(xiàn)，小組能順利完成比賽的概率為（），且各個(gè)小組能否完成比賽相互獨(dú)立．在更改比賽規(guī)則后，領(lǐng)隊(duì)如何安排小組的出場(chǎng)順序能使指派的小組個(gè)數(shù)的均值最小？請(qǐng)給出證明．
變式39．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）猜歌名游戲是根據(jù)歌曲的主旋律制成的鈴聲來猜歌名，該游戲中有，，三類歌曲.嘉賓甲參加猜歌名游戲，需從三類歌曲中各隨機(jī)選一首，自主選擇猜歌順序，只有猜對(duì)當(dāng)前歌曲的歌名才有資格猜下一首，并且獲得本歌曲對(duì)應(yīng)的獎(jiǎng)勵(lì)基金.假設(shè)甲猜對(duì)每類歌曲的歌名相互獨(dú)立，猜對(duì)三類歌曲的概率及猜對(duì)時(shí)獲得相應(yīng)的獎(jiǎng)勵(lì)基金如下表：
歌曲類別
猜對(duì)的概率 0.8 0.5
獲得的獎(jiǎng)勵(lì)基金額/元 1000 2000 3000
(1)求甲按“，，”的順序猜歌名，至少猜對(duì)兩首歌名的概率；
(2)若，設(shè)甲按“，，”的順序猜歌名獲得的獎(jiǎng)勵(lì)基金總額為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望；
(3)寫出的一個(gè)值，使得甲按“，，”的順序猜歌名比按“，，”的順序猜歌名所得獎(jiǎng)勵(lì)基金的期望高.（結(jié)論不要求證明）
變式40．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某中學(xué)2022年10月舉行了2022“翱翔杯”秋季運(yùn)動(dòng)會(huì)，其中有“夾球跑”和“定點(diǎn)投籃”兩個(gè)項(xiàng)目，某班代表隊(duì)共派出1男（甲同學(xué)）2女（乙同學(xué)和丙同學(xué)）三人參加這兩個(gè)項(xiàng)目，其中男生單獨(dú)完成“夾球跑”的概率為0.6，女生單獨(dú)完成“夾球跑”的概率為（）．假設(shè)每個(gè)同學(xué)能否完成“夾球跑”互不影響，記這三名同學(xué)能完成“夾球跑”的人數(shù)為．
(1)證明：在的概率分布中，最大．
(2)對(duì)于“定點(diǎn)投籃”項(xiàng)目，比賽規(guī)則如下：該代表隊(duì)先指派一人上場(chǎng)投籃，如果投中，則比賽終止，如果沒有投中，則重新指派下一名同學(xué)繼續(xù)投籃，如果三名同學(xué)均未投中，比賽也終止．該班代表隊(duì)的領(lǐng)隊(duì)了解后發(fā)現(xiàn)，甲、乙、丙三名同學(xué)投籃命中的概率依次為（，2，3），每位同學(xué)能否命中相互獨(dú)立．請(qǐng)幫領(lǐng)隊(duì)分析如何安排三名同學(xué)的出場(chǎng)順序，才能使得該代表隊(duì)出場(chǎng)投籃人數(shù)的均值最小？并給出證明．
變式41．（2024·福建泉州·高三校聯(lián)考期中）中國(guó)乒乓球隊(duì)是中國(guó)體育軍團(tuán)的王牌之師，屢次在國(guó)際大賽上爭(zhēng)金奪銀，被體育迷們習(xí)慣地稱為“夢(mèng)之隊(duì)”.小明是一名乒乓球運(yùn)動(dòng)愛好者，為提高乒乓球水平，決定在假期針對(duì)乒乓球技術(shù)的五個(gè)基本因素：弧線、力量、速度、旋轉(zhuǎn)和落點(diǎn)進(jìn)行訓(xùn)練.假設(shè)小明每天進(jìn)行多次分項(xiàng)（將五個(gè)因素分別對(duì)應(yīng)五項(xiàng)，一次練一項(xiàng)）訓(xùn)練，為增加趣味性，計(jì)劃每次（從第二次起）都是從上次未訓(xùn)練的四個(gè)項(xiàng)目中等可能地隨機(jī)選一項(xiàng)訓(xùn)練.
(1)若某天在五個(gè)項(xiàng)目中等可能地隨機(jī)選一項(xiàng)開始訓(xùn)練，求第三次訓(xùn)練的是“弧線”的概率；
(2)若某天僅進(jìn)行了6次訓(xùn)練，五個(gè)項(xiàng)目均有訓(xùn)練，且第1次訓(xùn)練的是“旋轉(zhuǎn)”，前后訓(xùn)練項(xiàng)不同視為不同的訓(xùn)練順序，設(shè)變量為6次訓(xùn)練中“旋轉(zhuǎn)”項(xiàng)訓(xùn)練的次數(shù)，求的分布列及期望.
題型十八：博彩問題
例52．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）馬爾科夫鏈?zhǔn)歉怕式y(tǒng)計(jì)中的一個(gè)重要模型，也是機(jī)器學(xué)習(xí)和人工智能的基石，在強(qiáng)化學(xué)習(xí)、自然語言處理、金融領(lǐng)域、天氣預(yù)測(cè)等方面都有著極其廣泛的應(yīng)用．其數(shù)學(xué)定義為：假設(shè)我們的序列狀態(tài)是…，，，，，…，那么時(shí)刻的狀態(tài)的條件概率僅依賴前一狀態(tài)，即．
現(xiàn)實(shí)生活中也存在著許多馬爾科夫鏈，例如著名的賭徒模型．
假如一名賭徒進(jìn)入賭場(chǎng)參與一個(gè)賭博游戲，每一局賭徒賭贏的概率為，且每局賭贏可以贏得1元，每一局賭徒賭輸?shù)母怕蕿椋屹€輸就要輸?shù)?元．賭徒會(huì)一直玩下去，直到遇到如下兩種情況才會(huì)結(jié)束賭博游戲：一種是手中賭金為0元，即賭徒輸光；一種是賭金達(dá)到預(yù)期的B元，賭徒停止賭博．記賭徒的本金為，賭博過程如下圖的數(shù)軸所示．
當(dāng)賭徒手中有n元（，）時(shí)，最終輸光的概率為，請(qǐng)回答下列問題：
(1)請(qǐng)直接寫出與的數(shù)值．
(2)證明是一個(gè)等差數(shù)列，并寫出公差d．
(3)當(dāng)時(shí)，分別計(jì)算，時(shí)，的數(shù)值，并結(jié)合實(shí)際，解釋當(dāng)時(shí)，的統(tǒng)計(jì)含義．
例53．（2024·全國(guó)·高二專題練習(xí)）公元年，法國(guó)一位著名的統(tǒng)計(jì)學(xué)家德梅赫(Demere)向另一位著名的數(shù)學(xué)家帕斯卡(B.Pascal)提請(qǐng)了一個(gè)問題，帕斯卡和費(fèi)馬(Fermat)討論了這個(gè)問題，后來惠更斯(C.Huygens)也加入了討論，這三位當(dāng)時(shí)全歐洲乃至全世界最優(yōu)秀的科學(xué)家都給出了正確的解答.該問題如下：設(shè)兩名賭徒約定誰先贏局，誰便贏得全部賭注元.每局甲贏的概率為，乙贏的概率為，且每局賭博相互獨(dú)立.在甲贏了局，乙贏了局時(shí)，賭博意外終止.賭注該怎么分才合理？這三位數(shù)學(xué)家給出的答案是：如果出現(xiàn)無人先贏局則賭博意外終止的情況，甲、乙便按照賭博再繼續(xù)進(jìn)行下去各自贏得全部賭注的概率之比分配賭注.
（1）規(guī)定如果出現(xiàn)無人先贏局則賭博意外終止的情況，甲、乙便按照賭博再繼續(xù)進(jìn)行下去各自贏得全部賭注的概率之比分配賭注.若，，，，，則甲應(yīng)分得多少賭注？
（2）記事件為“賭博繼續(xù)進(jìn)行下去乙贏得全部賭注”，試求當(dāng)，，時(shí)賭博繼續(xù)進(jìn)行下去甲贏得全部賭注的概率，并判斷當(dāng)時(shí)，事件是否為小概率事件，并說明理由.規(guī)定：若隨機(jī)事件發(fā)生的概率小于，則稱該隨機(jī)事件為小概率事件.
例54．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）公元1651年，法國(guó)學(xué)者德梅赫向數(shù)學(xué)家帕斯卡請(qǐng)教了一個(gè)問題：設(shè)兩名賭徒約定誰先贏滿4局，誰便贏得全部賭注元，已知每局甲贏的概率為，乙贏的概率為，且每局賭博相互獨(dú)立，在甲贏了2局且乙贏了1局后，賭博意外終止，則賭注該怎么分才合理？帕斯卡先和費(fèi)爾馬討論了這個(gè)問題，后來惠更斯也加入了討論，這三位當(dāng)時(shí)歐洲乃至全世界著名的數(shù)學(xué)家給出的分配賭注的方案是：如果出現(xiàn)無人先贏4局且賭博意外終止的情況，則甲、乙按照賭博再繼續(xù)進(jìn)行下去各自贏得全部賭注的概率之比分配賭注．（友情提醒：珍愛生命，遠(yuǎn)離賭博）
（1）若，甲 乙賭博意外終止，則甲應(yīng)分得多少元賭注？
（2）若，求賭博繼續(xù)進(jìn)行下去甲贏得全部賭注的概率，并判斷“賭博繼續(xù)進(jìn)行下去乙贏得全部賭注”是否為小概率事件（發(fā)生概率小于的隨機(jī)事件稱為小概率事件）．
變式42．（2024·湖南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）公元1651年，法國(guó)一位著名的統(tǒng)計(jì)學(xué)家德梅赫向另一位著名的數(shù)學(xué)家帕斯卡提請(qǐng)了一個(gè)問題，帕斯卡和費(fèi)馬討論了這個(gè)問題，后來惠更斯也加入了討論，這三位當(dāng)時(shí)全歐洲乃至全世界最優(yōu)秀的科學(xué)家都給出了正確的解答該問題如下：設(shè)兩名賭徒約定誰先贏局，誰便贏得全部賭注元.每局甲贏的概率為，乙贏的概率為，且每局賭博相互獨(dú)立.在甲贏了局，乙贏了局時(shí)，賭博意外終止賭注該怎么分才合理？這三位數(shù)學(xué)家給出的答案是：如果出現(xiàn)無人先贏局則賭博意外終止的情況，甲、乙便按照賭博再繼續(xù)進(jìn)行下去各自贏得全部賭注的概率之比分配賭注.
（1）甲、乙賭博意外終止，若，則甲應(yīng)分得多少賭注？
（2）記事件為“賭博繼續(xù)進(jìn)行下去乙贏得全部賭注”，試求當(dāng)時(shí)賭博繼續(xù)進(jìn)行下去甲贏得全部賭注的概率，并判斷當(dāng)時(shí)，事件是否為小概率事件，并說明理由.規(guī)定：若隨機(jī)事件發(fā)生的概率小于0.05，則稱該隨機(jī)事件為小概率事件.
變式43．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）一個(gè)摸球游戲，規(guī)則如下：在一不透明的紙盒中，裝有6個(gè)大小相同、顏色各異的玻璃球．參加者交費(fèi)1元可玩1次游戲，從中有放回地摸球3次．參加者預(yù)先指定盒中的某一種顏色的玻璃球，然后摸球．當(dāng)所指定的玻璃球不出現(xiàn)時(shí)，游戲費(fèi)被沒收；當(dāng)所指定的玻璃球出現(xiàn)1次，2次，3次時(shí)，參加者可相應(yīng)獲得游戲費(fèi)的0倍，1倍，倍的獎(jiǎng)勵(lì)（），且游戲費(fèi)仍退還給參加者．記參加者玩1次游戲的收益為元．
（1）求概率的值；
（2）為使收益的數(shù)學(xué)期望不小于0元，求的最小值．
（注：概率學(xué)源于賭博，請(qǐng)自覺遠(yuǎn)離不正當(dāng)?shù)挠螒颍。?br/>21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)

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