資源簡介

第62講 隱圓問題
必考題型全歸納
題型一：隱圓的第一定義：到定點(diǎn)的距離等于定長
例1．（2024·天津北辰·高三天津市第四十七中學(xué)?？计谀┢矫鎯?nèi)，定點(diǎn)，，，滿足，且，動點(diǎn)，滿足，，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
例2．（2024·全國·高一階段練習(xí)）已知是單位向量，，若向量滿足，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
例3．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知單位向量與向量垂直，若向量滿足，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
變式1．（2024·湖北武漢·高二湖北省武昌實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如果圓上總存在兩個(gè)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
變式2．（2024·新疆和田·高二期中）如果圓（x﹣a）2+（y﹣1）2＝1上總存在兩個(gè)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為2，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　　）
A． B．
C．（﹣1，0）∪（0，1） D．（﹣1，1）
變式3．（2024·新疆·高三兵團(tuán)第三師第一中學(xué)校考階段練習(xí)）在平面內(nèi)，定點(diǎn)，，，滿足，，動點(diǎn)，滿足，，則的最大值為 ．
變式4．（2024·安徽池州·高一池州市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在平面內(nèi)，定點(diǎn)與、、滿足，，動點(diǎn)、滿足，，則的最大值為 ．
題型二：隱圓的第二定義：到兩定點(diǎn)距離的平方和為定值
例4．（2024·四川廣元·高二四川省劍閣中學(xué)校校考階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，為兩個(gè)定點(diǎn)，動點(diǎn)在直線上，動點(diǎn)滿足，則的最小值為 ．
例5．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知四點(diǎn)共面，，，，則的最大值為 ．
例6．（2024·浙江金華·高二校聯(lián)考期末）已知圓，點(diǎn)，設(shè)是圓上的動點(diǎn)，令，則的最小值為 ．
變式5．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）正方形與點(diǎn)在同一平面內(nèi)，已知該正方形的邊長為1，且，則的取值范圍為 .
變式6．（2024·上海閔行·高二校考期末）如圖，△是邊長為1的正三角形，點(diǎn)在△所在的平面內(nèi)，且（為常數(shù)），滿足條件的點(diǎn)有無數(shù)個(gè)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 ．
變式7．（2024·全國·高三專題練習(xí)）如圖，是邊長為1的正三角形，點(diǎn)P在所在的平面內(nèi)，且（a為常數(shù)），下列結(jié)論中正確的是
A．當(dāng)時(shí)，滿足條件的點(diǎn)P有且只有一個(gè)
B．當(dāng)時(shí)，滿足條件的點(diǎn)P有三個(gè)
C．當(dāng)時(shí)，滿足條件的點(diǎn)P有無數(shù)個(gè)
D．當(dāng)a為任意正實(shí)數(shù)時(shí)，滿足條件的點(diǎn)總是有限個(gè)
題型三：隱圓的第三定義：到兩定點(diǎn)的夾角為90°
例7．（2024·湖北武漢·高二湖北省武昌實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知圓和點(diǎn)，若圓上存在兩點(diǎn)使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 ．
例8．（2024·江蘇南京·金陵中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知圓C：(x－1)2＋(y－4)2＝10和點(diǎn)M(5，t)，若圓C上存在兩點(diǎn)A，B，使得MA⊥MB，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是
例9．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)，過定點(diǎn)的動直線和過定點(diǎn)的動直線交于點(diǎn)，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
變式8．（2024·陜西西安·高二西安市鐵一中學(xué)?？计谀┰O(shè)，過定點(diǎn)的動直線和過定點(diǎn)的動直線交于點(diǎn)，則的最大值是（ ）
A． B． C．5 D．10
變式9．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)，過定點(diǎn)的動直線和過定點(diǎn)的動直線交于點(diǎn)，則的值為（ ）
A．5 B．10 C． D．
變式10．（2024·全國·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)，動直線：過定點(diǎn)，動直線：過定點(diǎn)，且，交于點(diǎn)，則的最大值是（ ）
A． B． C．5 D．10
變式11．（2024·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)向量，，滿足，，，則的最小值是（ ）
A． B． C． D．1
變式12．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)，，若圓：上存在一點(diǎn)，使得，則實(shí)數(shù)的最大值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
變式13．（2024·江西宜春·高一江西省萬載中學(xué)校考期末）已知，是平面內(nèi)兩個(gè)互相垂直的單位向量，若向量滿足，則的最大值是（ ）
A． B．2 C． D．
變式14．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知是平面內(nèi)兩個(gè)互相垂直的單位向量，若向量滿足，則的最大值是（ ）
A．1 B．2
C． D．
變式15．（2024·湖北武漢·高二校聯(lián)考期中）已知和是平面內(nèi)兩個(gè)單位向量，且，若向量滿足，則的最大值是（ ）
A． B． C． D．
變式16．（2024·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱市第一中學(xué)校校考期中）已知向量，是平面內(nèi)兩個(gè)互相垂直的單位向量，若向量滿足，則的最大值是（ ）
A． B． C． D．
題型四：隱圓的第四定義：邊與對角為定值、對角互補(bǔ)、數(shù)量積定值
例10．（2024·全國·高一專題練習(xí)）設(shè)向量滿足，，，則的最大值等于 .
例11．（2024·全國·高三專題練習(xí)）在邊長為8正方形中，點(diǎn)為的中點(diǎn)，是上一點(diǎn)，且，若對于常數(shù)，在正方形的邊上恰有個(gè)不同的點(diǎn)，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 .
例12．（2024·全國·高三專題練習(xí)）在平面四邊形中，連接對角線，已知，，，，則對角線的最大值為（ ）
A．27 B．16 C．10 D．25
變式17．（2024·全國·高考真題）設(shè)向量滿足，，，則的最大值等于
A．4 B．2 C． D．1
變式18．（2024·全國·高三專題練習(xí)）在平面內(nèi),設(shè)A、B為兩個(gè)不同的定點(diǎn),動點(diǎn)P滿足:(為實(shí)常數(shù))，則動點(diǎn)P的軌跡為（ ）
A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．不能確定
變式19．（2024·全國·高三專題練習(xí)）如圖，梯形中，，，，,和分別為與的中點(diǎn)，對于常數(shù)，在梯形的四條邊上恰好有8個(gè)不同的點(diǎn)，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是
A． B．
C． D．
變式20．（2024·江蘇·高一專題練習(xí)）已知正方形的邊長為4，點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)，如果對于常數(shù)，在正方形的四條邊上，有且只有8個(gè)不同的點(diǎn)，使得成立，那么的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
題型五：隱圓的第五定義：到兩定點(diǎn)距離之比為定值
例13．（2024·四川宜賓·高二四川省宜賓市第四中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，與歐幾里得 阿基米德并稱為亞歷山大時(shí)期數(shù)學(xué)三巨匠，他對圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圓錐曲線》一書，阿波羅尼斯圓就是他的研究成果之一.指的是：已知?jiǎng)狱c(diǎn)與兩定點(diǎn)的距離之比，那么點(diǎn)的軌跡就是阿波羅尼斯圓.已知?jiǎng)狱c(diǎn)的軌跡是阿波羅尼斯圓，其方程為，其中，定點(diǎn)為軸上一點(diǎn)，定點(diǎn)的坐標(biāo)為，若點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
例14．（2024·江西贛州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，與歐幾里得、阿基米德并稱為亞歷山大時(shí)期數(shù)學(xué)三巨匠，他對圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究，阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一，指的是：已知?jiǎng)狱c(diǎn)M與兩定點(diǎn)A，B的距離之比為，那么點(diǎn)M的軌跡就是阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓．已知在平面直角坐標(biāo)系中，圓、點(diǎn)和點(diǎn)，M為圓O上的動點(diǎn)，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
例15．（2024·湖南張家界·高二統(tǒng)考期末）阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，與歐幾里得、阿基米德被稱為亞歷山大時(shí)期數(shù)學(xué)三巨匠，他對圓錐曲線有深刻且系統(tǒng)的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圓錐曲線》一書中，阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一，指的是：已知?jiǎng)狱c(diǎn)與兩定點(diǎn)，的距離之比為，那么點(diǎn)的軌跡就是阿波羅尼斯圓．如動點(diǎn)與兩定點(diǎn)，的距離之比為時(shí)的阿波羅尼斯圓為．下面，我們來研究與此相關(guān)的一個(gè)問題：已知圓上的動點(diǎn)和定點(diǎn)，，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
變式21．（2024·廣東東莞·高三東莞實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考開學(xué)考試）對平面上兩點(diǎn)A、B，滿足的點(diǎn)P的軌跡是一個(gè)圓，這個(gè)圓最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，命名為阿波羅尼斯圓，稱點(diǎn)A，B是此圓的一對阿波羅點(diǎn)．不在圓上的任意一點(diǎn)都可以與關(guān)于此圓的另一個(gè)點(diǎn)組成一對阿波羅點(diǎn)，且這一對阿波羅點(diǎn)與圓心在同一直線上，其中一點(diǎn)在圓內(nèi)，另一點(diǎn)在圓外，系數(shù)只與阿波羅點(diǎn)相對于圓的位置有關(guān)．已知，，，若動點(diǎn)P滿足，則的最小值是 ．
變式22．（2024·上?！じ呷Ｂ?lián)考階段練習(xí)）古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯在他的巨著《圓錐曲線論》中有一個(gè)著名的幾何問題：在平面上給定兩點(diǎn)A、B，動點(diǎn)P滿足（其中是正常數(shù)，且），則P的軌跡是一個(gè)圓，這個(gè)圓稱之為“阿波羅尼斯圓”．現(xiàn)已知兩定點(diǎn)，P是圓上的動點(diǎn)，則的最小值為
變式23．（2024·四川廣安·高二廣安二中?？计谥校┌⒉_尼斯是古希臘著名的數(shù)學(xué)家，對圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究，阿波羅尼斯圓就是他的研究成果之一，指的是：已知?jiǎng)狱c(diǎn)M與兩定點(diǎn)Q，P的距離之比，那么點(diǎn)的軌跡就是阿波羅尼斯圓.已知?jiǎng)狱c(diǎn)的軌跡是阿波羅尼斯圓，其方程為，定點(diǎn)為軸上一點(diǎn)，且，若點(diǎn)，則的最小值為 .
變式24．（2024·河北滄州·?？寄M預(yù)測）阿波羅尼斯是古希臘著名的數(shù)學(xué)家，他對圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圓錐曲線論》一書，阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一，指的是“如果動點(diǎn)與兩定點(diǎn)的距離之比為(，那么點(diǎn)的軌跡就是阿波羅尼斯圓”下面我們來研究與此相關(guān)的一個(gè)問題，已知點(diǎn)為圓上的動點(diǎn)，，則的最小值為 .
變式25．（2024·全國·高三專題練習(xí)）阿波羅尼斯（約公元前年）證明過這樣一個(gè)命題：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之比為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將這個(gè)圓稱為阿氏圓，已知、分別是圓，圓上的動點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，則的最小值是
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21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)第62講 隱圓問題
必考題型全歸納
題型一：隱圓的第一定義：到定點(diǎn)的距離等于定長
例1．（2024·天津北辰·高三天津市第四十七中學(xué)?？计谀┢矫鎯?nèi)，定點(diǎn)，，，滿足，且，動點(diǎn)，滿足，，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由題，則到，，三點(diǎn)的距離相等，所以是的外心.
又，
變形可得，
所以，同理可得，，
所以是的垂心，
所以的外心與垂心重合，
所以是正三角形，且是的中心；
由，解得，
所以的邊長為；
如圖所示，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，
則，，，，
可設(shè)，其中，，而，
即是的中點(diǎn)，則，
，
當(dāng)時(shí)，取得最大值為．
故選：D．
例2．（2024·全國·高一階段練習(xí)）已知是單位向量，，若向量滿足，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】單位向量滿足，即，作，以射線OA，OB分別作為x、y軸非負(fù)半軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，
，設(shè)，則，由得：，
令，即，
，其中銳角滿足，
因此，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以的取值范圍是.
故選：D
例3．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知單位向量與向量垂直，若向量滿足，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由題意不妨設(shè)，設(shè)，則．
∵，∴，即表示圓心為，半徑為1的圓，設(shè)圓心為P，∴．
∵表示圓P上的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離，，∴的取值范圍為，
故選：C．
變式1．（2024·湖北武漢·高二湖北省武昌實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如果圓上總存在兩個(gè)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】問題可轉(zhuǎn)化為圓和圓相交，
兩圓圓心距，
由得，
解得，即.
故選：D
變式2．（2024·新疆和田·高二期中）如果圓（x﹣a）2+（y﹣1）2＝1上總存在兩個(gè)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為2，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　?。?br/>A． B．
C．（﹣1，0）∪（0，1） D．（﹣1，1）
【答案】A
【解析】∵圓（x﹣a）2+（y﹣1）2＝1上總存在兩個(gè)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為2，
∴圓O：x2+y2＝4與圓C：（x﹣a）2+（y﹣1）2＝1相交，
∵|OC|，
由R﹣r＜|OC|＜R+r得：13，
∴，
∴﹣2a＜0或0＜a＜2．
故選A．
變式3．（2024·新疆·高三兵團(tuán)第三師第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在平面內(nèi)，定點(diǎn)，，，滿足，，動點(diǎn)，滿足，，則的最大值為 ．
【答案】
【解析】平面內(nèi)，，，
，，，
可設(shè)，，，，
動點(diǎn)，滿足，，
可設(shè)，，，
，，
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，
的最大值為．
故答案為：．
變式4．（2024·安徽池州·高一池州市第一中學(xué)校考階段練習(xí)）在平面內(nèi)，定點(diǎn)與、、滿足，，動點(diǎn)、滿足，，則的最大值為 ．
【答案】49
【解析】由，可得為的外心，
又，
可得，，即，
即有，，可得為的垂心，
則為的中心，即為正三角形，
由,即有,
解得，的邊長為，
由，可得為中點(diǎn)，
，
設(shè)，則，,
,
當(dāng)時(shí)，最大值為49,
故答案為：49
題型二：隱圓的第二定義：到兩定點(diǎn)距離的平方和為定值
例4．（2024·四川廣元·高二四川省劍閣中學(xué)校校考階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，為兩個(gè)定點(diǎn)，動點(diǎn)在直線上，動點(diǎn)滿足，則的最小值為 ．
【答案】5
【解析】設(shè)點(diǎn)，由得： ，
即，即，
在以為直徑的圓上，不妨設(shè)，，
則，，
，
，其中為輔助角，
令，，則，．
，
令，，，
在，上單調(diào)遞增，
故當(dāng)時(shí)，取得最小值，
再令，，
顯然在，上單調(diào)遞增，
故時(shí)，取得最小值，
綜上，當(dāng)，時(shí)，取得最小值25．
故的最小值為5,
故答案為：5．
例5．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知四點(diǎn)共面，，，，則的最大值為 ．
【答案】10
【解析】設(shè) ，由題意可得： ，
則： ，
ABC構(gòu)成三角形，則：，解得：，
由余弦定理：
，
當(dāng)時(shí)，取得最大值為10.
例6．（2024·浙江金華·高二校聯(lián)考期末）已知圓，點(diǎn)，設(shè)是圓上的動點(diǎn)，令，則的最小值為 ．
【答案】
【解析】設(shè)，，，
，
當(dāng)取得最小值時(shí)，取得最小值，
由圓，則圓心，半徑，
易知，則.
故答案為：.
變式5．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）正方形與點(diǎn)在同一平面內(nèi)，已知該正方形的邊長為1，且，則的取值范圍為 .
【答案】
【解析】如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，
則，
設(shè)點(diǎn)，則由，
得，
整理得，
即點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓，
圓心M到點(diǎn)D的距離為，所以，
所以的取值范圍是.
故答案為：.
變式6．（2024·上海閔行·高二?？计谀┤鐖D，△是邊長為1的正三角形，點(diǎn)在△所在的平面內(nèi)，且（為常數(shù)），滿足條件的點(diǎn)有無數(shù)個(gè)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 ．
【答案】
【解析】以所在的直線為軸，中點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，如圖所示：
則設(shè)則
化簡得即
當(dāng)時(shí)，點(diǎn)不存在；
當(dāng)時(shí)，點(diǎn)只有一個(gè)；
當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓形，有無數(shù)個(gè)；
故答案為：
變式7．（2024·全國·高三專題練習(xí)）如圖，是邊長為1的正三角形，點(diǎn)P在所在的平面內(nèi)，且（a為常數(shù)），下列結(jié)論中正確的是
A．當(dāng)時(shí)，滿足條件的點(diǎn)P有且只有一個(gè)
B．當(dāng)時(shí)，滿足條件的點(diǎn)P有三個(gè)
C．當(dāng)時(shí)，滿足條件的點(diǎn)P有無數(shù)個(gè)
D．當(dāng)a為任意正實(shí)數(shù)時(shí)，滿足條件的點(diǎn)總是有限個(gè)
【答案】C
【解析】以所在直線為軸，中點(diǎn)為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，如圖所示
則，，，
設(shè)，可得，
，，
∵，
∴，
化簡得：，即，
配方，得…（1）
當(dāng)時(shí)，方程（1）的右邊小于0，故不能表示任何圖形；
當(dāng)時(shí)，方程（1）的右邊為0，表示點(diǎn)，恰好是正三角形的重心；
當(dāng)時(shí)，方程（1）的右邊大于0，表示以為圓心，半徑為的圓，
由此對照各個(gè)選項(xiàng)，可得只有C項(xiàng)符合題意.
故選：C．
題型三：隱圓的第三定義：到兩定點(diǎn)的夾角為90°
例7．（2024·湖北武漢·高二湖北省武昌實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考階段練習(xí)）已知圓和點(diǎn)，若圓上存在兩點(diǎn)使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 ．
【答案】
【解析】對于上任意一點(diǎn)，當(dāng)均為圓的切線時(shí)最大，
由題意，，即，此時(shí)為滿足題設(shè)條件的臨界點(diǎn)，
如上圖，若與重合，則，為圓的切線，此時(shí)，
綜上，在臨界點(diǎn)之間移動過程中，有，即，
解得，可得.
故答案為：
例8．（2024·江蘇南京·金陵中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知圓C：(x－1)2＋(y－4)2＝10和點(diǎn)M(5，t)，若圓C上存在兩點(diǎn)A，B，使得MA⊥MB，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是
【答案】[2，6]
【解析】因?yàn)辄c(diǎn)M在圓C外，當(dāng)AM，BM與圓C相切時(shí)，∠AMB最大，要使在圓C上存在兩點(diǎn)A和B，使得MA⊥MB，只需當(dāng)AM，BM與圓C相切時(shí)，
∠AMB≥90°，即∠AMC ≥ 45°，則sin∠AMC＝ ≥ ，解得2≤t≤6.
故答案為：[2，6].
例9．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)，過定點(diǎn)的動直線和過定點(diǎn)的動直線交于點(diǎn)，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由已知可得動直線經(jīng)過定點(diǎn)，
動直線經(jīng)過定點(diǎn)，
且兩條直線互相垂直，且相交于點(diǎn)，
所以，即，
由基本不等式可得，
即，可得，
故選：C.
變式8．（2024·陜西西安·高二西安市鐵一中學(xué)?？计谀┰O(shè)，過定點(diǎn)的動直線和過定點(diǎn)的動直線交于點(diǎn)，則的最大值是（ ）
A． B． C．5 D．10
【答案】C
【解析】
顯然過定點(diǎn)，直線可化成，則經(jīng)過定點(diǎn)，
根據(jù)兩條直線垂直的一般式方程的條件，，
于是直線和直線垂直，又為兩條直線的交點(diǎn)，則，
又，由勾股定理和基本不等式，
，則，
當(dāng)時(shí)，的最大值是.
故選：C
變式9．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)，過定點(diǎn)的動直線和過定點(diǎn)的動直線交于點(diǎn)，則的值為（ ）
A．5 B．10 C． D．
【答案】B
【解析】由題意，動直線經(jīng)過定點(diǎn)，則，
動直線變形得，則，
由得，
∴
，
故選：B．
變式10．（2024·全國·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)，動直線：過定點(diǎn)，動直線：過定點(diǎn)，且，交于點(diǎn)，則的最大值是（ ）
A． B． C．5 D．10
【答案】B
【解析】根據(jù)方程推出，可得，的交點(diǎn)在以為直徑的圓上，可得，再根據(jù)不等式知識可求得結(jié)果.動直線：過定點(diǎn)，動直線：過定點(diǎn)，
因?yàn)?，所以，所以，的交點(diǎn)在以為直徑的圓上，
所以，
設(shè)，則，
所以，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，
所以，即，解得.即，
所以的最大值是.
故選：B
變式11．（2024·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)向量，，滿足，，，則的最小值是（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【解析】建立坐標(biāo)系，以向量，的角平分線所在的直線為軸，使得，的坐標(biāo)分別為，，設(shè)的坐標(biāo)為，
因?yàn)椋?br/>所以，化簡得，
表示以為圓心，為半徑的圓，
則的最小值表示圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的最小值，
因?yàn)閳A到原點(diǎn)的距離為，所以圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的最小值為，
故選：B
變式12．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)，，若圓：上存在一點(diǎn)，使得，則實(shí)數(shù)的最大值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【解析】根據(jù)題意，圓C：x2+y2-8x-8y+31=0，即（x-4）2+（y-4）2=1；
其圓心為（4，4），半徑r=1，
設(shè)AB的中點(diǎn)為M，
又由點(diǎn)A（1-m，0），B（1+m，0），則M（1，0），|AB|=2|m|，
以AB為直徑的圓為（x-1）2+y2=m2，
若圓C：x2+y2-8x-8y+31=0上存在一點(diǎn)P，使得PA⊥PB，則圓C與圓M有公共點(diǎn)，
又由
即有|m|-1≤5且|m|+1≥5，
解可得：4≤|m|≤6，即-6≤m≤-4或4≤m≤6，
即實(shí)數(shù)m的最大值是6；
故選C．
變式13．（2024·江西宜春·高一江西省萬載中學(xué)?？计谀┮阎瞧矫鎯?nèi)兩個(gè)互相垂直的單位向量，若向量滿足，則的最大值是（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【解析】如圖，設(shè)，，，，
則，，
因?yàn)?，故，故?br/>所以在以為直徑的圓上，故的最大值為圓的直徑，
故選：C.
變式14．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知是平面內(nèi)兩個(gè)互相垂直的單位向量，若向量滿足，則的最大值是（ ）
A．1 B．2
C． D．
【答案】C
【解析】設(shè)，且，為線段的中點(diǎn)，
因?yàn)椋裕?br/>則，所以，
所以點(diǎn)在以為圓心，半徑為的圓，所以的最大值即為該圓的直徑，
所以的最大值為.
故選：C.
變式15．（2024·湖北武漢·高二校聯(lián)考期中）已知和是平面內(nèi)兩個(gè)單位向量，且，若向量滿足，則的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如圖所示：
設(shè)，，，
則，，
因?yàn)?，所以，?
所以在以為直徑的圓上.
設(shè)的中點(diǎn)為，因?yàn)楹褪瞧矫鎯?nèi)兩個(gè)單位向量，且，
所以，.
所以.
故選：B
變式16．（2024·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱市第一中學(xué)校?？计谥校┮阎蛄?，是平面內(nèi)兩個(gè)互相垂直的單位向量，若向量滿足，則的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因?yàn)?，是平面?nèi)兩個(gè)互相垂直的單位向量，
故可設(shè)，，，
則，，
因?yàn)?，所以?br/>整理得到，即，
故的最大值為，
故選：B.
題型四：隱圓的第四定義：邊與對角為定值、對角互補(bǔ)、數(shù)量積定值
例10．（2024·全國·高一專題練習(xí)）設(shè)向量滿足，，，則的最大值等于 .
【答案】2
【解析】由題設(shè)，，而，則，
令，則，又，如下圖示：
所以，，則，故共圓，
而，即，故外接圓直徑，
對于，當(dāng)為直徑時(shí)最大，即.
故答案為：2.
例11．（2024·全國·高三專題練習(xí)）在邊長為8正方形中，點(diǎn)為的中點(diǎn)，是上一點(diǎn)，且，若對于常數(shù)，在正方形的邊上恰有個(gè)不同的點(diǎn)，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 .
【答案】
【解析】以AB所在直線為x軸，以AD所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，
則，，
（1）當(dāng)點(diǎn)P在AB上時(shí)，設(shè)，，
∴，，
∴，
∵，
∴．
∴當(dāng)時(shí)有一解，當(dāng)時(shí)有兩解；
（2）當(dāng)點(diǎn)P在AD上時(shí)，設(shè)，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴當(dāng)或時(shí)有一解，當(dāng)時(shí)有兩解；
（3）若P在DC上，設(shè)，，
∴，，
∴，
∵，
∴．
∴當(dāng)時(shí)有一解，當(dāng)時(shí)有兩解；
（4）當(dāng)點(diǎn)P在BC上時(shí)，設(shè)，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴當(dāng)或時(shí)有一解，當(dāng)時(shí)有兩解，
綜上，在正方形的四條邊上有且只有6個(gè)不同的點(diǎn)P，使得成立，那么m的取值范圍是，
故答案為：．
例12．（2024·全國·高三專題練習(xí)）在平面四邊形中，連接對角線，已知，，，，則對角線的最大值為（ ）
A．27 B．16 C．10 D．25
【答案】A
【解析】以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DB,DC分別為x,y軸建立如圖所示直角坐標(biāo)系，則,因?yàn)?，，所以由平面幾何知識得A點(diǎn)軌跡為圓?。ㄒ?yàn)闉槠矫嫠倪呅?，所以取圖中第四象限部分的圓弧），設(shè)圓心為E,則由正弦定理可得圓半徑為，
因此對角線的最大值為
故選：A
變式17．（2024·全國·高考真題）設(shè)向量滿足，，，則的最大值等于
A．4 B．2 C． D．1
【答案】A
【解析】
因?yàn)?，，所?.
如圖所以，設(shè)，則,,.
所以，所以，所以四點(diǎn)共圓.
不妨設(shè)為圓M，因?yàn)?所以.
所以,由正弦定理可得的外接圓即圓M的直徑為.
所以當(dāng)為圓M的直徑時(shí)，取得最大值4.
故選A.
變式18．（2024·全國·高三專題練習(xí)）在平面內(nèi),設(shè)A、B為兩個(gè)不同的定點(diǎn),動點(diǎn)P滿足:(為實(shí)常數(shù))，則動點(diǎn)P的軌跡為（ ）
A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．不能確定
【答案】A
【解析】設(shè)， 以所在直線為軸，的中垂線為軸，建立直角坐標(biāo)系
如圖所示：
則 設(shè)
即，表示圓
故選：A
變式19．（2024·全國·高三專題練習(xí)）如圖，梯形中，，，，,和分別為與的中點(diǎn)，對于常數(shù)，在梯形的四條邊上恰好有8個(gè)不同的點(diǎn)，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】以DC所在直線為x軸，DC的中垂線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，
則梯形的高為,∴A( 1,2),B(1,2),C(2,0),D( 2,0),∴.
1)當(dāng)P在DC上時(shí),設(shè)P(x,0)( 2 x 2),則.
于是，
∴當(dāng)時(shí),方程有一解,當(dāng)時(shí)，λ有兩解；
(2)當(dāng)P在AB上時(shí),設(shè)P(x,2)( 1 x 1),則.
∴，
∴當(dāng)時(shí),方程有一解,當(dāng)時(shí)，λ有兩解；
(3)當(dāng)P在AD上時(shí)，直線AD方程為y=2x+4，
設(shè)P(x,2x+4)( 2于是，
∴當(dāng)或時(shí),方程有一解,當(dāng)時(shí)，方程有兩解；
(4)當(dāng)P在CD上時(shí),由對稱性可知當(dāng)或時(shí)，方程有一解，
當(dāng)時(shí)，方程有兩解；
綜上,若使梯形上有8個(gè)不同的點(diǎn)P滿足成立，
則λ的取值范圍是.
本題選擇D選項(xiàng).
變式20．（2024·江蘇·高一專題練習(xí)）已知正方形的邊長為4，點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)，如果對于常數(shù)，在正方形的四條邊上，有且只有8個(gè)不同的點(diǎn)，使得成立，那么的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如圖所示,
設(shè)的中點(diǎn)為,則,兩式平方相減得,所以,即,所以,
由對稱性可知每個(gè)邊上存在兩個(gè)點(diǎn),所以點(diǎn)在邊的中點(diǎn)和頂點(diǎn)之間,
故,解得,
故選:D
題型五：隱圓的第五定義：到兩定點(diǎn)距離之比為定值
例13．（2024·四川宜賓·高二四川省宜賓市第四中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，與歐幾里得 阿基米德并稱為亞歷山大時(shí)期數(shù)學(xué)三巨匠，他對圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圓錐曲線》一書，阿波羅尼斯圓就是他的研究成果之一.指的是：已知?jiǎng)狱c(diǎn)與兩定點(diǎn)的距離之比，那么點(diǎn)的軌跡就是阿波羅尼斯圓.已知?jiǎng)狱c(diǎn)的軌跡是阿波羅尼斯圓，其方程為，其中，定點(diǎn)為軸上一點(diǎn)，定點(diǎn)的坐標(biāo)為，若點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】設(shè)，，所以，由，
所以，因?yàn)榍?，所以?br/>整理可得，又動點(diǎn)M的軌跡是，所以，
解得，所以，又，
所以，
因?yàn)椋缘淖钚≈担?br/>當(dāng)M在位置或時(shí)等號成立.
故選：D
例14．（2024·江西贛州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，與歐幾里得、阿基米德并稱為亞歷山大時(shí)期數(shù)學(xué)三巨匠，他對圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究，阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一，指的是：已知?jiǎng)狱c(diǎn)M與兩定點(diǎn)A，B的距離之比為，那么點(diǎn)M的軌跡就是阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓．已知在平面直角坐標(biāo)系中，圓、點(diǎn)和點(diǎn)，M為圓O上的動點(diǎn)，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】設(shè)，令，則，
由題知圓是關(guān)于點(diǎn)A、C的阿波羅尼斯圓，且，
設(shè)點(diǎn)，則，
整理得：，
比較兩方程可得：，，，即，，點(diǎn)，
當(dāng)點(diǎn)M位于圖中的位置時(shí)，的值最大，最大為.
故選：B.
例15．（2024·湖南張家界·高二統(tǒng)考期末）阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，與歐幾里得、阿基米德被稱為亞歷山大時(shí)期數(shù)學(xué)三巨匠，他對圓錐曲線有深刻且系統(tǒng)的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圓錐曲線》一書中，阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一，指的是：已知?jiǎng)狱c(diǎn)與兩定點(diǎn)，的距離之比為，那么點(diǎn)的軌跡就是阿波羅尼斯圓．如動點(diǎn)與兩定點(diǎn)，的距離之比為時(shí)的阿波羅尼斯圓為．下面，我們來研究與此相關(guān)的一個(gè)問題：已知圓上的動點(diǎn)和定點(diǎn)，，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如圖，點(diǎn)M在圓上，取點(diǎn)，連接，有，
當(dāng)點(diǎn)不共線時(shí)，，又，因此∽，
則有，當(dāng)點(diǎn)共線時(shí)，有，則，
因此，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)M是線段BN與圓O的交點(diǎn)時(shí)取等號，
所以的最小值為.
故選：C
變式21．（2024·廣東東莞·高三東莞實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？奸_學(xué)考試）對平面上兩點(diǎn)A、B，滿足的點(diǎn)P的軌跡是一個(gè)圓，這個(gè)圓最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，命名為阿波羅尼斯圓，稱點(diǎn)A，B是此圓的一對阿波羅點(diǎn)．不在圓上的任意一點(diǎn)都可以與關(guān)于此圓的另一個(gè)點(diǎn)組成一對阿波羅點(diǎn)，且這一對阿波羅點(diǎn)與圓心在同一直線上，其中一點(diǎn)在圓內(nèi)，另一點(diǎn)在圓外，系數(shù)只與阿波羅點(diǎn)相對于圓的位置有關(guān)．已知，，，若動點(diǎn)P滿足，則的最小值是 ．
【答案】
【解析】
由題意知：，即，
（當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)按順序共線時(shí)取等號），
又，的最小值為；
故答案為：.
變式22．（2024·上?！じ呷Ｂ?lián)考階段練習(xí)）古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯在他的巨著《圓錐曲線論》中有一個(gè)著名的幾何問題：在平面上給定兩點(diǎn)A、B，動點(diǎn)P滿足（其中是正常數(shù)，且），則P的軌跡是一個(gè)圓，這個(gè)圓稱之為“阿波羅尼斯圓”．現(xiàn)已知兩定點(diǎn)，P是圓上的動點(diǎn)，則的最小值為
【答案】
【解析】如圖，在軸上取點(diǎn)，
，，，，
（當(dāng)且僅當(dāng)為與圓交點(diǎn)時(shí)取等號），
.
故答案為：.
變式23．（2024·四川廣安·高二廣安二中?？计谥校┌⒉_尼斯是古希臘著名的數(shù)學(xué)家，對圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究，阿波羅尼斯圓就是他的研究成果之一，指的是：已知?jiǎng)狱c(diǎn)M與兩定點(diǎn)Q，P的距離之比，那么點(diǎn)的軌跡就是阿波羅尼斯圓.已知?jiǎng)狱c(diǎn)的軌跡是阿波羅尼斯圓，其方程為，定點(diǎn)為軸上一點(diǎn)，且，若點(diǎn)，則的最小值為 .
【答案】
【解析】設(shè)，，所以，又，所以.
因?yàn)榍?，所以，整理可得，又動點(diǎn)M的軌跡是，
所以，解得，所以，又，所以，
因?yàn)椋缘淖钚≈禐?，?dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取等.
故答案為：.
變式24．（2024·河北滄州·?？寄M預(yù)測）阿波羅尼斯是古希臘著名的數(shù)學(xué)家，他對圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圓錐曲線論》一書，阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一，指的是“如果動點(diǎn)與兩定點(diǎn)的距離之比為(，那么點(diǎn)的軌跡就是阿波羅尼斯圓”下面我們來研究與此相關(guān)的一個(gè)問題，已知點(diǎn)為圓上的動點(diǎn)，，則的最小值為 .
【答案】
【解析】
假設(shè)存在這樣的點(diǎn)，使得，則，設(shè)點(diǎn)，則，
即，
該圓對照，所以，所以點(diǎn)，
所以.
故答案為：
變式25．（2024·全國·高三專題練習(xí)）阿波羅尼斯（約公元前年）證明過這樣一個(gè)命題：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之比為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將這個(gè)圓稱為阿氏圓，已知、分別是圓，圓上的動點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，則的最小值是 ．
【答案】
【解析】如圖所示：
取點(diǎn)，設(shè)，
則，
在和中，，
所以和相似，且相似比為，
所以，則，
而，
即的最小值為，
所以.
故答案為：
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