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第63講 直線與圓的綜合
必考題型全歸納
題型一：距離的創新定義
例1．（2024·浙江紹興·高三統考期末）費馬點是指三角形內到三角形三個頂點距離之和最小的點，當三角形三個內角均小于120°時，費馬點與三個頂點連線正好三等分費馬點所在的周角，即該點所對的三角形三邊的張角相等均為120°，根據以上性質，已知，P為內一點，記，則的最小值為 ，此時 .
【答案】
【解析】設為坐標原點，由，知，
且為銳角三角形，因此，費馬點F在線段上，設，
則為頂角是120°的等腰三角形，故，
所以；
在中，由正弦定理，得，即，
解得，即此時.
故答案為：；
例2．（2024·全國·高三專題練習）閔氏距離（）是衡量數值點之間距離的一種非常常見的方法，設點、坐標分別為，，則閔氏距離.若點、分別在和的圖像上，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由題意得，設，
因為點A、B分別在函數和的圖象上，
所以，
當且僅當時等號成立.
設，，則，
令，，
所以函數在上單調遞增，在上單調遞減，
所以，即，所以，
即，所以的最小值為.
故選：A.
例3．（2024·全國·高三專題練習）17世紀法國數學家費馬在給朋友的一封信中曾提出一個關于三角形的有趣問題：在三角形所在平面內，求一點，使它到三角形每個頂點的距離之和最小．現已證明：在中，若三個內角均小于，則當點滿足時，點到三角形三個頂點的距離之和最小，點被人們稱為費馬點．根據以上知識，已知為平面內任意一個向量，和是平面內兩個互相垂直的向量，且，則的最小值是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】設，，，
則，
即為點到和點三個點的距離之和，
則△ABC為等腰三角形，如圖，
由費馬點的性質可得，需滿足：點P在y軸上且∠APB＝120°，則∠APO＝60°，
因為|OA|＝|OB|＝2，則，所以點坐標為時，距離之和最小，
最小距離之和為.
故選：B.
變式1．（2024·全國·高三專題練習）閔可夫斯基距離又稱為閔氏距離，是兩組數據間距離的定義.設兩組數據分別為和，這兩組數據間的閔氏距離定義為，其中q表示階數.現有下列四個命題：
①若，則；
②若，其中，則；
③若，其中，則；
④若，其中，則的最小值為.
其中所有真命題的個數是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】對于①：，故①正確.
對于②：，故②錯誤.
對于③：，不妨設，，且均為非負數，所以故③正確.
對于④：構造函數，則，的最小值即兩曲線動點間的最小距離，設與直線平行的切線方程為，聯立 得：，令得，，所以切線方程為：與之間的距離，所以最小值為，故④正確.
故選C.
變式2．（2024·全國·高三專題練習）費馬點是指三角形內到三角形三個頂點距離之和最小的點.當三角形三個內角均小于120°時，費馬點與三個頂點連線正好三等分費馬點所在的周角，即該點所對的三角形三邊的張角相等且均為120°.根據以上性質，.則的最小值為（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】B
【解析】由題意得：的幾何意義為點到點的距離之和的最小值，
因為，，
，
所以，故三角形ABC為等腰直角三角形，，
取的中點，連接，與交于點，連接，故，，
因為，所以，故，則，
故點到三角形三個頂點距離之和最小，即取得最小值，
因為，所以，同理得：，，
，
故的最小值為.
故選：B
變式3．（2024·全國·高三專題練習）點是內部或邊界上的點，若到三個頂點距離之和最小，則稱點是的費馬點（該問題是十七世紀法國數學家費馬提出）.若，，時，點是的費馬點，且已知在軸上，則的大小等于 .
【答案】
【解析】先證明：若到三個頂點距離之和最小，則
如圖將繞點B逆時針旋轉60°得到，則≌，
，所以是等邊三角形，，
，當四點共線時取得最小值，
此時，
同理可得
所以命題得證.
點是的費馬點，且已知在軸上，
，
，
所以，
所以=.
故答案為：
變式4．（2024·全國·高三專題練習）著名數學家華羅庚曾說過：“數形結合百般好，隔裂分家萬事休．”事實上，有很多代數問題可以轉化為幾何問題加以解決，如：可以轉化為平面上點M(x，y)與點N(a，b)的距離．結合上述觀點，可得的最小值為 ．
【答案】
【解析】∵，∴的幾何意義為點到兩定點與的距離之和，設點關于軸的對稱點為，則為，要求的最小值，可轉化為的最小值，利用對稱思想可知，即的最小值為,故答案為.
題型二：切比雪夫距離
例4．（2024·全國·高三專題練習）在平面直角坐標系中，定義為兩點，的“切比雪夫距離”．又設點P及l上任意一點Q，稱d（P，Q）的最小值為點P到直線l的“切比雪夫距離”，記作d（P，l）．給出下列四個命題：①對任意三點A，B，C，都有；②已知點P（3，1）和直線，則；③到原點的“切比雪夫距離”等于1的點的軌跡是正方形．其中正確的序號為 ．
【答案】①②③
【解析】其中①③的討論見后文．
②設點Q是直線上一點，且，則．由，解得，即有，當時，取得最小值；由，解得或，即有，此時的范圍是，無最值．故P，Q兩點的“切比雪夫距離”的最小值為．
綜上，①②③正確．
例5．（2024·全國·高三專題練習）在平面直角坐標系中，定義為兩點、的“切比雪夫距離”．若點P到點（2014，2015）的切比雪夫距離為2，則點P的軌跡長度之和為 ．
【答案】16
【解析】由前文知點P的軌跡是邊長為4的正方形，則軌跡長度之和為16．
例6．（2024·全國·高三專題練習）在平面直角坐標系中,定義為兩點的“切比雪夫距離”，又設點及上任意一點,稱的最小值為點到直線的“切比雪夫距離”記作給出下列四個命題:
①對任意三點，都有
②已知點和直線則
③到原點的“切比雪夫距離”等于的點的軌跡是正方形；
其中真命題的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【答案】D
【解析】① 對任意三點、、，若它們共線，設，、，，，，如圖，結合三角形的相似可得，，為，，，或，，，則；
若，或，對調，可得；
若，，不共線，且三角形中為銳角或鈍角，如圖，
由矩形或矩形，；
則對任意的三點，，，都有，故①正確；
②設點是直線上一點，且，
可得，，
由，解得，即有，
當時，取得最小值；
由，解得或，即有，
的范圍是，無最值；
綜上可得，，兩點的“切比雪夫距離”的最小值為；故②正確；
③由題，到原點的“切比雪夫距離”的距離為1的點滿足，即或，顯然點的軌跡為正方形，故③正確；
故選：D
變式5．（2024·全國·高三專題練習）在平面直角坐標系中，定義為兩點、的“切比雪夫距離”，又設點及直線上任一點，稱的最小值為點到直線的“切比雪夫距離”，記作.
（1）求證：對任意三點、、，都有；
（2）已知點和直線，求；
（3）定點，動點滿足（），請求出點所在的曲線所圍成圖形的面積.
【解析】（1）證明：設，則
，同理可得，
所以，
（2）設為直線上一點，則，
由，解得，即有，當時，取得最小值；
由，解得或，即有，
的范圍是，無最大值，
綜上可得，兩點的最小值為，
所以；
（3）設軌跡上動點為，則，
等價于或，
所以點的軌跡是以為中心，邊長為的正方形，
所以點所在的曲線所圍成圖形的面積為
變式6．（2024·全國·高三專題練習）在平面直角坐標系中，定義為兩點、的“切比雪夫距離”，又設點及直線上任意一點，稱的最小值為點到直線的“切比雪夫距離”，記作，給出下列三個命題：
①對任意三點、、，都有；
②已知點和直線，則；
③定義，動點滿足，則動點的軌跡圍成平面圖形的面積是4；
其中真命題的個數（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【解析】由新定義表示出三點兩兩之間的“切比雪夫距離”，然后根據絕對值的性質判斷①，
由新定義計算出，判斷②，
根據新定義求出的軌跡方程，確定其軌跡，求得軌跡圍成的圖形面積判斷③．①設，則，
，
顯然，同理，
∴，①正確；
②設是直線上任一點，則，
，易知在上是增函數，在上是減函數，∴時，，②錯；
③由得，易知此曲線關于軸，軸，原點都對稱，它是以為頂點的正方形，其轉成圖形面積為，③錯．
故選：B．
變式7．（2024·全國·高三專題練習）在平面直角坐標系中，定義為兩點AB的“切比雪夫距離”，又設點P及上任意一點Q,稱的最小值為點P到直線的“切比雪夫距離”，記作,給出下列三個命題：
①對任意三點A、B、C，都有
②已知點P(2,1)和直線,則
③定點動點P滿足則點P的軌跡與直線(為常數)有且僅有2個公共點.
其中真命題的個數是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】①對任意三點、、，
若它們共線，設，、，、，，如圖，
結合三角形的相似可得,,分別為,,或,,，
則；
若,或,對調，可得；
若它們不共線，且三角形中為銳角或鈍角，如圖，
由矩形或矩形，
；
則對任意的三點，，，都有；
故①正確；
②設點直線一點，且，可得，
由，解得，即有，
當時，取得最小值；
由，解得或，即有，
的范圍是，無最值，
綜上可得，，兩點的“切比雪夫距離”的最小值為，
故②錯誤；
③定點、，動點滿足，
可得不軸上，在線段間成立，
可得，解得，
由對稱性可得也成立，即有兩點滿足條件；
若在第一象限內，滿足即為，為射線，
由對稱性可得在第二象限、第三象限和第四象限也有一條射線，
則點的軌跡與直線為常數）有且僅有2個公共點，
故③正確；
真命題的個數是2，
故選：C．
變式8．（2024·全國·高三專題練習）在平面直線坐標系中,定義為兩點的“切比雪夫距離”，又設點P及上任意一點Q,稱的最小值為點P到直線的“切比雪夫距離”記作給出下列四個命題:（ ）
①對任意三點A、B、C，都有
②已知點P(3,1)和直線則
③到原點的“切比雪夫距離”等于的點的軌跡是正方形；
④定點動點滿足則點P的軌跡與直線(為常數)有且僅有2個公共點．
其中真命題的個數是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【解析】①對任意三點、、，若它們共線，設，、，，
，，如右圖，結合三角形的相似可得，，
為，，，或，，，則，，，；
若，或，對調，可得，，，；
若，，不共線，且三角形中為銳角或鈍角，由矩形或矩形，
，，，；
則對任意的三點，，，都有，，，；故①正確；
設點是直線上一點，且，
可得，，
由，解得，即有，
當時，取得最小值；
由，解得或，即有，
的范圍是，，，．無最值，
綜上可得，，兩點的“切比雪夫距離”的最小值為．
故②正確；
③由題意，到原點的“切比雪夫距離” 等于的點設為，則，
若，則；若，則，故所求軌跡是正方形，則③正確；
④定點、，動點
滿足，，，
可得不軸上，在線段間成立，
可得，解得，
由對稱性可得也成立，即有兩點滿足條件；
若在第一象限內，滿足，，，
即為，為射線，
由對稱性可得在第二象限、第三象限和第四象限也有一條射線，
則點的軌跡與直線為常數）有且僅有2個公共點．
故④正確；
綜上可得，真命題的個數為4個，
故選:.
題型三：曼哈頓距離、折線距離、直角距離問題
例7．（2024·福建泉州·統考模擬預測）人臉識別，是基于人的臉部特征信息進行身份識別的一種生物識別技術．在人臉識別中，主要應用距離測試檢測樣本之間的相似度，常用測量距離的方式有曼哈頓距離和余弦距離．設，，則曼哈頓距離，余弦距離，其中（O為坐標原點）．已知，，則的最大值近似等于（ ）
（參考數據：，．）
A．0.052 B．0.104 C．0.896 D．0.948
【答案】B
【解析】設，
由題意可得：，即，
可知表示正方形，其中，
即點在正方形的邊上運動，
因為，由圖可知：
當取到最小值，即最大，點有如下兩種可能：
①點為點A，則，可得；
②點在線段上運動時，此時與同向，不妨取，
則；
因為，
所以的最大值為.
故選：B.
例8．（2024·安徽·校聯考二模）在平面直角坐標系中，定義兩點間的折線距離，該距離也稱曼哈頓距離．已知點，若，則的最小值與最大值之和為（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】B
【解析】由題意得，．令，
作出所表示的平面區域如圖中實線所示，
則，而表示點到原點的距離的平方，
結合圖形可知的最小值為2，最大值為4，故的最小值與最大值之和為，
故選：B．
例9．（2024·全國·高三專題練習）十九世紀著名德國猶太人數學家赫爾曼閔可夫斯基給出了兩點，的曼哈頓距離為.我們把到三角形三個頂點的曼哈頓距離相等的點叫“好點”，已知三角形的三個頂點坐標為，，，則的“好點”的坐標為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】對于A，設，
則，
所以點不是的“好點”；
對于B，設，
則，
，
所以，
所以點是的“好點”；
對于C，設，
則，
所以點不是的“好點”；
對于D，設，
則，
所以點不是的“好點”.
故選：B.
變式9．（2024·全國·高三專題練習）“曼哈頓距離”也叫“出租車距離”，是19世紀德國猶太人數學家赫爾曼·閔可夫斯基首先提出來的名詞，用來表示兩個點在標準坐標系上的絕對軸距總和，即在直角坐標平面內，若，，則，兩點的“曼哈頓距離”為，下列直角梯形中的虛線可以作為，兩點的“曼哈頓距離”是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】根據題意：，兩點的“曼哈頓距離”為，再結合四個選項可以判斷只有C選項符合題意.
故選：C．
變式10．（2024·全國·高三專題練習）“曼哈頓距離”是19世紀的赫爾曼·閔可夫斯基所創之間，定義如下：在直角坐標平面上任意兩點，的曼哈頓距離為：.在此定義下，已知點，滿足的點M軌跡圍成的圖形面積為（ ）
A．2 B．1 C．4 D．
【答案】A
【解析】設，
因為，所以，
當時，則
當時，，當時，，
當時，，當時，，
當時，，當，，
所以點M的軌跡如圖所示，是一個邊長為的正方形，
所以點M軌跡圍成的圖形面積為，
故選：A
題型四：圓的包絡線問題
例10．（2024·全國·高三專題練習）設直線系M：，則下列命題中是真命題的個數是（ ）
①存在一個直線與所有直線相交；②M中所有直線均經過一個定點；③對于任意實數，存在正n邊形，其所有邊均在M中的直線上；④M中的直線所能圍成的正三角形面積都相等.
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【解析】根據直線系M：，
可得到直線M的距離，
所以所有直線都為圓心為，半徑為1的圓的切線，
對于①：因為直線系為圓的任意切線，所以不存在一個直線與所有直線相交，故①錯誤；
對于②：因為直線系為圓的任意切線，所以該直線系不過定點，故②錯誤；
對于③：對于任意實數，作圓的外切正n邊形，其所有邊都為圓的切線，即為直線系中的直線，故③正確；
對于④：如圖所示：
正和正面積不相等，故④錯誤；
故選：B
例11．（2024·全國·高三專題練習）設直線系（），則下列命題中是真命題的個數是（　　）
①存在一個圓與所有直線相交；
②存在一個圓與所有直線不相交；
③存在一個圓與所有直線相切；
④中所有直線均經過一個定點；
⑤不存在定點不在中的任一條直線上；
⑥對于任意整數，存在正邊形，其所有邊均在中的直線上；
⑦中的直線所能圍成的正三角形面積都相等．
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【解析】根據直線系（）得到，
所有直線都為圓心為，半徑為1的圓的切線．
對于①，可取圓心為，半徑為2的圓，該圓與所有直線相交，所以①正確；
對于②，可取圓心為，半徑為的圓，該圓與所有直線不相交，所以②正確；
對于③，可取圓心為，半徑為1的圓，該圓與所有直線相切，所以③正確；
對于④，所有的直線與一個圓相切，沒有過定點，所以④錯誤；
對于⑤，存在不在中的任一條直線上，所以⑤錯誤；
對于⑥，可取圓的外接正三角形，其所有邊均在中的直線上，所以⑥正確；
對于⑦，可以在圓的三等分點做圓的三條切線，把其中一條切線平移到過另外兩個點中點時，也為正三角形，但是它與圓的外接正三角形的面積不相等，所以⑦錯誤；
故①②③⑥正確，④⑤⑦錯，所以真命題的個數為4個．
故選：B．
例12．（2024·全國·高三專題練習）設直線系，對于下列四個結論：
（1）當直線垂直于軸時，或；
（2）當時，直線傾斜角為；
（3）中所有直線均經過一個定點；
（4）存在定點不在中任意一條直線上．
其中正確的是（ ）
A．①② B．③④ C．②③ D．②④
【答案】D
【解析】，
（1）當直線垂直于軸時，則，解得或或，故（1）錯誤；
（2）當時，直線方程為：，
斜率，即，傾斜角，故（2）正確；
（3）由直線系
可令，消去可得，
故直線系表示圓的切線的集合，故（3）不正確．
（4）因為對任意，存在定點不在直線系中的任意一條上，故（4）正確；
故選：D．
變式11．（多選題）（2024·遼寧葫蘆島·高二校考開學考試）設有一組圓：（）.下列四個命題中真命題的是
A．存在一條定直線與所有的圓均相切
B．存在一條定直線與所有的圓均相交
C．存在一條定直線與所有的圓均不相交
D．所有的圓均不經過原點
【答案】BD
【解析】圓心為，半徑為，
，，，，，圓與圓是內含關系，因此不可能有直線與這兩個圓都相切，從而A錯誤；
易知圓心在直線上，此直線與所有圓都相交，B正確；
若取無窮大，則所有直線都與圓相交，C錯；
將代入圓方程得，即，等式左邊是奇數，右邊是偶數，因此方程無整數解，即原點不在任一圓上，D正確．
故選：BD．
變式12．（多選題）（2024·全國·高二專題練習）已知圓，直線，下面五個命題，其中正確的是（ ）
A．對任意實數與，直線和圓有公共點
B．對任意實數與，直線與圓都相離
C．存在實數與，直線和圓相離
D．對任意實數，必存在實數，使得直線與圓相切
【答案】AD
【解析】AB選項，由題意知圓的圓心為，半徑為，直線的方程可以寫作，過定點，因為點在圓上，所以直線與圓相切或相交，
任意實數與，直線和圓有公共點，A正確，B錯誤；
C選項，由以上分析知不存在實數與，直線和圓相離，C錯誤；
D選項，當直線與圓相切時，點恰好為直線與圓的切點，故直線與直線垂直，①當時，直線與軸垂直，則，即，解得，存在，使得直線與圓相切；
②當時，若直線與直線垂直，則，
直線的斜率為，
所以，即，
此時對任意的，均存在實數，使得，則直線與直線垂直，
綜上所述，對任意實數，必存在實數，使得直線與圓相切，D正確．
故選：AD．
變式13．（2024·全國·高三專題練習）已知直線與圓相切，則滿足條件的直線有（ ）條
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】由于直線和圓相切，故圓心到直線的距離等于半徑，即，（其中），故，或 ，正弦值為的只有在軸正半軸，正弦值為可以在第三或者第四象限，故有種可能，所以選.
題型五：阿波羅尼斯圓問題、反演點問題、阿波羅尼斯球問題
例13．（2024·重慶沙坪壩·高二重慶南開中學校考階段練習）公元前世紀，古希臘數學家阿波羅尼斯結合前人的研究成果，寫出了經典之作《圓錐曲線論》，在此著作第七卷《平面軌跡》中，有眾多關于平面軌跡的問題，例如:平面內到兩定點距離之比等于定值（不為1）的動點軌跡為圓.后來該軌跡被人們稱為阿波羅尼斯圓.已知平面內有兩點和，且該平面內的點P滿足，若點P的軌跡關于直線對稱，則的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】設點的坐標為，因為，則，
即，
所以點的軌跡方程為，
因為點的軌跡關于直線對稱，
所以圓心在此直線上，即，
所以，
當且僅當，即時，等號成立，
所以的最小值是.
故選：B.
例14．（2024·高二單元測試）阿波羅尼斯是古希臘著名數學家，與阿基米德、歐幾里得并稱為亞歷山大時期數學三巨匠，他研究發現：如果一個動點到兩個定點的距離之比為常數（，且），那么點的軌跡為圓，這就是著名的阿波羅尼斯圓．若點到，的距離之比為，則點到直線的距離的最小值為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】設，則，化簡得，
即點的軌跡方程為以為圓心，為半徑的圓，
則點到直線的距離的最小值為圓心到直線的距離減去半徑，
即，點到直線的距離最小值為.
故選：A
例15．（2024·福建泉州·高二統考期末）已知平面內兩個定點，及動點，若（且），則點的軌跡是圓.后世把這種圓稱為阿波羅尼斯圓.已知，，直線，直線，若為，的交點，則的最小值為（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】A
【解析】由已知過定點，
過定點，
因為，，所以，即，
所以點的軌跡是以為直徑的圓，除去點，故圓心為，半徑為3，
則的軌跡方程為，即，易知O、Q在該圓內，
又，
即，
取，則，又，
所以，
所以的最小值為.
故選：A.
變式14．（2024·全國·高二專題練習）阿波羅尼斯是古希臘著名數學家，與歐幾里得、阿基米德被稱為亞歷山大時期數學三巨匠，他對圓錐曲線有深刻且系統的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圓錐曲線》一書中，阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一，指的是：已知動點與兩定點，的距離之比為，那么點的軌跡就是阿波羅尼斯圓．如動點與兩定點，的距離之比為時的阿波羅尼斯圓為．下面，我們來研究與此相關的一個問題：已知圓上的動點和定點，，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如圖，點M在圓上，取點，連接，有，
當點不共線時，，又，因此∽，
則有，當點共線時，有，則，
因此，當且僅當點M是線段BN與圓O的交點時取等號，
所以的最小值為.
故選：C
變式15．（2024·高二單元測試）古希臘數學家阿波羅尼奧斯（約公元首262～公元前190年）的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學成果，著作中有這樣一個命題：平面內與兩定點距離的比為常數k（且）的點的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿波羅尼斯圓．已知 ，，圓上有且僅有一個點 P滿足，則r的取值可以為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】設動點，由，得，整理得，
又點是圓：上有且僅有的一點，所以兩圓相切.
圓的圓心坐標為，半徑為2，
圓C：的圓心坐標為，半徑為r，兩圓的圓心距為3，
當兩圓外切時，，得，
當兩圓內切時，，，得．
故選：A.
變式16．（2024·全國·高三專題練習）如圖，已知平面，，A、B是直線l上的兩點，C、D是平面內的兩點，且，，，，．P是平面上的一動點，且直線PD，PC與平面所成角相等，則二面角的余弦值的最小值是（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【解析】由題意易得PD與平面所成角為，PC與平面所成角為，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴P點軌跡為阿氏圓．
在平面內，以為軸，以的中垂線為軸，建立平面直角坐標系，
則，設，
所以，
整理得：，
所以點P在內的軌跡為以為圓心，以4為半徑的上半圓，
因為平面，，，，
所以，
因為，
所以，
因為平面平面，，
所以二面角的平面角為，
由圖可知，當PB與圓相切時，最大，余弦值最小，
此時，故.
故選：B．
變式17．（2024·全國·高三專題練習）已知三棱錐中，底面為等邊三角形，，，點為的中點，點為的中點.若點、是空間中的兩動點，且，，則（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【解析】建立直角坐標系如圖所示，
，底面為等邊三角形，且.所以OD=2,AO=.B(-，-1，0)，D(0,2,0),C(，-1，0),點為的中點，所以E（，，0）點為的中點，F（- ，- ，0），設M（x,y,z）,，所以 ，所以點M在以（0,0,0）為球心，以1為半徑的球上，同理N也在這個球上，且，所以MN為球的直徑，= .
故選B.
變式18．（2024·全國·高三專題練習）阿波羅尼斯（約公元前年）證明過這樣一個命題：平面內到兩定點距離之比為常數的點的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿氏圓，已知、分別是圓，圓上的動點，是坐標原點，則的最小值是 ．
【答案】
【解析】如圖所示：
取點，設，
則，
在和中，，
所以和相似，且相似比為，
所以，則，
而，
即的最小值為，
所以.
故答案為：.
變式19．（2024·全國·高三專題練習）點為圓：上一動點，為圓：上一動點，為坐標原點，則的最小值為 .
【答案】9
【解析】為圓：上一動點，為圓：上一動點，
為坐標原點，
取，則，
故答案為：9
變式20．（2024·全國·高三專題練習）如圖，在正方體中，，點在線段上，且，點是正方體表面上的一動點，點是空間兩動點，若且，則的最小值為 .
【答案】
【解析】如圖,建立如圖所示的空間直角坐標系
則,，設
由題設
即
也即
由此可知點都是在球心為,半徑為2的球面上
又,故點是球的直徑的兩個端點
所以，
所以
而在正方體的表面上,故當點在正方體的頂點上時,
此時的值最小為
故答案為 ：.
題型六：圓中的垂直問題
例16．（2024·海南·統考模擬預測）已知直線，直線過點且與直線相互垂直，圓，若直線與圓C交于M，N兩點，則 ．
【答案】
【解析】由直線，可得斜率，
因為且直線過點，所以直線的斜率為，
所以的方程為，
又由圓，即，
可得圓的圓心坐標為，半徑為，
則圓心到直線的距離為，
所以弦長.
故答案為：.
例17．（2024·江蘇南通·統考一模）在平面直角坐標系中，圓的方程為．若直線上存在一點，使過所作的圓的兩條切線相互垂直，則實數的取值范圍是 ．
【答案】
【解析】記兩個切點為，則由于，因此四邊形是正方形，，圓標準方程為，，，于是圓心直線的距離不大于，
，解得.
考點：直線和圓的位置關系.
例18．（2024·全國·模擬預測）已知AC，BD為圓的兩條相互垂直的弦，垂足為，則的最大值為 ．
【答案】20
【解析】設圓心到AC，BD的距離分別為m，n．
因為AC，BD相互垂直，所以，
由垂徑定理得，
則，
由，得，當且僅當時等號成立，
故．
故答案為：20
變式21．（2024·全國·高三專題練習）過定點作兩條相互垂直的直線、，設原點到直線、的距離分別為、，則的最大值是 ．
【答案】
【解析】如圖所示：
作交于點，作交于點，
可得四邊形為矩形，
，
故可設，
，其中，
當取最大值1時，取最大值.
故答案為：
變式22．（2024·全國·高三專題練習）過點作兩條相互垂直的直線分別交圓于、和、兩點，則四邊形面積的最大值為 ．
【答案】23
【解析】圓，圓心坐標，半徑，
設圓心到、的距離分別為、，
，則
四邊形的面積為
當且僅當時取等號，
四邊形面積的最大值為23．
故答案為：23．
變式23．（2024·全國·高三專題練習）在平面直角坐標系中，圓.已知過原點且相互垂直的兩條直線和，其中與圓相交于，兩點，與圓相切于點.若，則直線的斜率為 .
【答案】
【解析】設：，：，利用點到直線的距離，列出式子
，求出的值即可.由圓，可知圓心，半徑為.
設直線：，則：，
圓心到直線的距離為，
，
.
圓心到直線的距離為半徑，即，
并根據垂徑定理的應用，可列式得到，
解得.
故答案為：.
題型七：圓的存在性問題
例19．（2024·河南·河南省實驗中學校考模擬預測）已知圓和兩點，.若圓上存在點，使得，則的最大值為 ．
【答案】11
【解析】由題意可得：圓的圓心，半徑，
∵，則點在以為直徑的圓上（不能是兩點），
以為直徑的圓的圓心為，半徑，
注意到圓心到y軸的距離為，即y軸與圓相離，
由題意可得：圓與圓有公共點（由于y軸與圓相離，公共點不可能為），且,
則，即，解得，
故的最大值為11.
故答案為：11.
例20．（2024·內蒙古赤峰·高三赤峰二中校考階段練習）在平面直角坐標系中，已知動圓的方程為，則圓心的軌跡方程為 ．若對于圓上的任意點，在圓：上均存在點，使得，則滿足條件的圓心的軌跡長度為 ．
【答案】
【解析】設圓心的坐標為，故①，②，①×2＋②得：
，故圓心的軌跡方程為；
如圖所示，取圓上一點P，要使最大，則過點P作圓O的切線，
連接并延長交圓M于點，則點離圓O的距離最大，
故要使得對于圓上的任意點，在圓：上均存在點，使得，
則只需要過點作圓的切線，切點為，若此時即可，
當時，，此時，
圓心到直線的距離為，
由勾股定理得：圓心的軌跡長度為.
故答案為：，
例21．（2024·上海普陀·高三上海市晉元高級中學校考階段練習）設點的坐標為，若在圓上存在點，使得，則實數的取值范圍為 ．
【答案】
【解析】當時，點都在圓上，易知在圓上存在點，使得.
當時，要使圓上存在點使得，則的最大值大于或等于時一定存在，而當與圓相切時，取得最大值，此時，則，即，所以實數的取值范圍為．
故答案為：
變式24．（2024·全國·高三專題練習）在平面直角坐標系中，已知點、，若直線上存在點P使得，則實數m的取值范圍為 .
【答案】
【解析】設，因為，
所以，整理得：，
直線上存在點P使得等價于直線與圓有交點，
所以，解得：.
故答案為：.
變式25．（2024·全國·高三專題練習）在中，角所對的邊分別為，，．若，在所在的平面內存在點，使得，則的面積的最大值為 ．
【答案】
【解析】以所在直線為軸，邊的垂直平分線為軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，設，，，，，.
由，得，即①，又，
故②，其中①式可以看作以(0，0)為圓心，半徑為的圓的軌跡方程，②式可以看作以為圓心，半徑為的圓的軌跡方程，
由題意知兩圓有公共點，即點，則③，
又，得④，由③，④得，
因為，所以，
當時，取得最大值，所以的最大值為.
故答案為：.
變式26．（2024·遼寧沈陽·高三沈陽二中校考階段練習）已知點，若圓上存在點滿足3，則實數的取值范圍是 ．
【答案】
【解析】設，則
若3，則即
∴的軌跡是以原點為圓心，以2為半徑的圓，
若圓上存在點滿足3，
則圓和圓有公共點，
解得：
∴實數的取值范圍是．
故答案為：．
變式27．（2024·陜西西安·高三西安鐵一中濱河高級中學校考階段練習）在平面直角坐標系中，圓的方程為，若直線上至少存在一點，使得以該點為圓心，1為半徑的圓與圓有公共點，則的取值范圍是 ．
【答案】
【解析】由可得，
因此圓的圓心為，半徑為1，
若直線上至少存在一點，使得以該點為圓心，1為半徑的圓與圓有公共點，
只需點到直線的距離，
即，解得，
所以的取值范圍是，
故答案為：.
變式28．（2024·全國·高三專題練習）已知圓，點P在直線上，若過點P存在直線與圓C交于A、B兩點，且滿足，則點P橫坐標的取值范圍是 ．
【答案】
【解析】由題，即，故為的中點，即過點P存在直線與圓C交于A、B兩點，且滿足為的中點.考慮當確定，在圓上運動時，的軌跡為與圓相切且半徑為1的圓上.故當為的中點時，的軌跡為以為圓心，內外半徑分別為1，3的圓環內.
故只需分析此圓環與直線相交的部分即可. 易得外圓方程,聯立有,解得或,故點P橫坐標的取值范圍是
故答案為:
變式29．（2024·全國·高三專題練習）在平面直角坐標系xOy中，已知直線和點，動點P滿足，且動點P的軌跡上至少存在兩點到直線l的距離等于，則實數的取值范圍是 .
【答案】
【解析】設點，則，
即，所以動點P的軌跡為以為圓心，為半徑的圓，
要在圓上至少存在兩點到直線的距離等于，
則需圓心到直線的距離，
解得.
故答案為：
變式30．（2024·江西萍鄉·統考二模）已知圓，對直線上一點，在圓上總存在點，使得，則實數的取值范圍為 ．
【答案】
【解析】由題意當是圓切線時，取得最大值，而當時，，
所以由在圓上總存在點，使得，得，
即，解得．
故答案為：．
變式31．（2024·全國·高三專題練習）在平面直角坐標系xOy中，已知點A（1，0），B（3，0），C（0，a），D（0，a+2）.若存在點P，使得|PA|=|PB|，|PC|=|PD|，則實數a的取值范圍是 .
【答案】
【解析】設P（x，y），則由|PA|=|PB|，得，
整理得，即P在以（5，0）為圓心，為半徑的圓上.
又由|PC|=|PD|，知點P在線段CD的垂直平分線y=a+1上
因而問題轉化為直線y=a+1與圓有交點，所以|a+1|≤2，
解得
故答案為：
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21世紀教育網(www.21cnjy.com)第63講 直線與圓的綜合
必考題型全歸納
題型一：距離的創新定義
例1．（2024·浙江紹興·高三統考期末）費馬點是指三角形內到三角形三個頂點距離之和最小的點，當三角形三個內角均小于120°時，費馬點與三個頂點連線正好三等分費馬點所在的周角，即該點所對的三角形三邊的張角相等均為120°，根據以上性質，已知，P為內一點，記，則的最小值為 ，此時 .
例2．（2024·全國·高三專題練習）閔氏距離（）是衡量數值點之間距離的一種非常常見的方法，設點、坐標分別為，，則閔氏距離.若點、分別在和的圖像上，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
例3．（2024·全國·高三專題練習）17世紀法國數學家費馬在給朋友的一封信中曾提出一個關于三角形的有趣問題：在三角形所在平面內，求一點，使它到三角形每個頂點的距離之和最小．現已證明：在中，若三個內角均小于，則當點滿足時，點到三角形三個頂點的距離之和最小，點被人們稱為費馬點．根據以上知識，已知為平面內任意一個向量，和是平面內兩個互相垂直的向量，且，則的最小值是（ ）
A． B．
C． D．
變式1．（2024·全國·高三專題練習）閔可夫斯基距離又稱為閔氏距離，是兩組數據間距離的定義.設兩組數據分別為和，這兩組數據間的閔氏距離定義為，其中q表示階數.現有下列四個命題：
①若，則；
②若，其中，則；
③若，其中，則；
④若，其中，則的最小值為.
其中所有真命題的個數是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
變式2．（2024·全國·高三專題練習）費馬點是指三角形內到三角形三個頂點距離之和最小的點.當三角形三個內角均小于120°時，費馬點與三個頂點連線正好三等分費馬點所在的周角，即該點所對的三角形三邊的張角相等且均為120°.根據以上性質，.則的最小值為（ ）
A．4 B． C． D．
變式3．（2024·全國·高三專題練習）點是內部或邊界上的點，若到三個頂點距離之和最小，則稱點是的費馬點（該問題是十七世紀法國數學家費馬提出）.若，，時，點是的費馬點，且已知在軸上，則的大小等于 .
變式4．（2024·全國·高三專題練習）著名數學家華羅庚曾說過：“數形結合百般好，隔裂分家萬事休．”事實上，有很多代數問題可以轉化為幾何問題加以解決，如：可以轉化為平面上點M(x，y)與點N(a，b)的距離．結合上述觀點，可得的最小值為 ．
題型二：切比雪夫距離
例4．（2024·全國·高三專題練習）在平面直角坐標系中，定義為兩點，的“切比雪夫距離”．又設點P及l上任意一點Q，稱d（P，Q）的最小值為點P到直線l的“切比雪夫距離”，記作d（P，l）．給出下列四個命題：①對任意三點A，B，C，都有；②已知點P（3，1）和直線，則；③到原點的“切比雪夫距離”等于1的點的軌跡是正方形．其中正確的序號為 ．
例5．（2024·全國·高三專題練習）在平面直角坐標系中，定義為兩點、的“切比雪夫距離”．若點P到點（2014，2015）的切比雪夫距離為2，則點P的軌跡長度之和為 ．
例6．（2024·全國·高三專題練習）在平面直角坐標系中,定義為兩點的“切比雪夫距離”，又設點及上任意一點,稱的最小值為點到直線的“切比雪夫距離”記作給出下列四個命題:
①對任意三點，都有
②已知點和直線則
③到原點的“切比雪夫距離”等于的點的軌跡是正方形；
其中真命題的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
變式5．（2024·全國·高三專題練習）在平面直角坐標系中，定義為兩點、的“切比雪夫距離”，又設點及直線上任一點，稱的最小值為點到直線的“切比雪夫距離”，記作.
（1）求證：對任意三點、、，都有；
（2）已知點和直線，求；
（3）定點，動點滿足（），請求出點所在的曲線所圍成圖形的面積.
變式6．（2024·全國·高三專題練習）在平面直角坐標系中，定義為兩點、的“切比雪夫距離”，又設點及直線上任意一點，稱的最小值為點到直線的“切比雪夫距離”，記作，給出下列三個命題：
①對任意三點、、，都有；
②已知點和直線，則；
③定義，動點滿足，則動點的軌跡圍成平面圖形的面積是4；
其中真命題的個數（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
變式7．（2024·全國·高三專題練習）在平面直角坐標系中，定義為兩點AB的“切比雪夫距離”，又設點P及上任意一點Q,稱的最小值為點P到直線的“切比雪夫距離”，記作,給出下列三個命題：
①對任意三點A、B、C，都有
②已知點P(2,1)和直線,則
③定點動點P滿足則點P的軌跡與直線(為常數)有且僅有2個公共點.
其中真命題的個數是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
變式8．（2024·全國·高三專題練習）在平面直線坐標系中,定義為兩點的“切比雪夫距離”，又設點P及上任意一點Q,稱的最小值為點P到直線的“切比雪夫距離”記作給出下列四個命題:（ ）
①對任意三點A、B、C，都有
②已知點P(3,1)和直線則
③到原點的“切比雪夫距離”等于的點的軌跡是正方形；
④定點動點滿足則點P的軌跡與直線(為常數)有且僅有2個公共點．
其中真命題的個數是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
題型三：曼哈頓距離、折線距離、直角距離問題
例7．（2024·福建泉州·統考模擬預測）人臉識別，是基于人的臉部特征信息進行身份識別的一種生物識別技術．在人臉識別中，主要應用距離測試檢測樣本之間的相似度，常用測量距離的方式有曼哈頓距離和余弦距離．設，，則曼哈頓距離，余弦距離，其中（O為坐標原點）．已知，，則的最大值近似等于（ ）
（參考數據：，．）
A．0.052 B．0.104 C．0.896 D．0.948
例8．（2024·安徽·校聯考二模）在平面直角坐標系中，定義兩點間的折線距離，該距離也稱曼哈頓距離．已知點，若，則的最小值與最大值之和為（ ）
A．0 B． C． D．
例9．（2024·全國·高三專題練習）十九世紀著名德國猶太人數學家赫爾曼閔可夫斯基給出了兩點，的曼哈頓距離為.我們把到三角形三個頂點的曼哈頓距離相等的點叫“好點”，已知三角形的三個頂點坐標為，，，則的“好點”的坐標為（ ）
A． B． C． D．
變式9．（2024·全國·高三專題練習）“曼哈頓距離”也叫“出租車距離”，是19世紀德國猶太人數學家赫爾曼·閔可夫斯基首先提出來的名詞，用來表示兩個點在標準坐標系上的絕對軸距總和，即在直角坐標平面內，若，，則，兩點的“曼哈頓距離”為，下列直角梯形中的虛線可以作為，兩點的“曼哈頓距離”是（ ）
A． B．
C． D．
變式10．（2024·全國·高三專題練習）“曼哈頓距離”是19世紀的赫爾曼·閔可夫斯基所創之間，定義如下：在直角坐標平面上任意兩點，的曼哈頓距離為：.在此定義下，已知點，滿足的點M軌跡圍成的圖形面積為（ ）
A．2 B．1 C．4 D．
題型四：圓的包絡線問題
例10．（2024·全國·高三專題練習）設直線系M：，則下列命題中是真命題的個數是（ ）
①存在一個直線與所有直線相交；②M中所有直線均經過一個定點；③對于任意實數，存在正n邊形，其所有邊均在M中的直線上；④M中的直線所能圍成的正三角形面積都相等.
A．0 B．1 C．2 D．3
例11．（2024·全國·高三專題練習）設直線系（），則下列命題中是真命題的個數是（　　）
①存在一個圓與所有直線相交；
②存在一個圓與所有直線不相交；
③存在一個圓與所有直線相切；
④中所有直線均經過一個定點；
⑤不存在定點不在中的任一條直線上；
⑥對于任意整數，存在正邊形，其所有邊均在中的直線上；
⑦中的直線所能圍成的正三角形面積都相等．
A．3 B．4 C．5 D．6
例12．（2024·全國·高三專題練習）設直線系，對于下列四個結論：
（1）當直線垂直于軸時，或；
（2）當時，直線傾斜角為；
（3）中所有直線均經過一個定點；
（4）存在定點不在中任意一條直線上．
其中正確的是（ ）
A．①② B．③④ C．②③ D．②④
變式11．（多選題）（2024·遼寧葫蘆島·高二校考開學考試）設有一組圓：（）.下列四個命題中真命題的是
A．存在一條定直線與所有的圓均相切
B．存在一條定直線與所有的圓均相交
C．存在一條定直線與所有的圓均不相交
D．所有的圓均不經過原點
變式12．（多選題）（2024·全國·高二專題練習）已知圓，直線，下面五個命題，其中正確的是（ ）
A．對任意實數與，直線和圓有公共點
B．對任意實數與，直線與圓都相離
C．存在實數與，直線和圓相離
D．對任意實數，必存在實數，使得直線與圓相切
變式13．（2024·全國·高三專題練習）已知直線與圓相切，則滿足條件的直線有（ ）條
A．1 B．2 C．3 D．4
題型五：阿波羅尼斯圓問題、反演點問題、阿波羅尼斯球問題
例13．（2024·重慶沙坪壩·高二重慶南開中學校考階段練習）公元前世紀，古希臘數學家阿波羅尼斯結合前人的研究成果，寫出了經典之作《圓錐曲線論》，在此著作第七卷《平面軌跡》中，有眾多關于平面軌跡的問題，例如:平面內到兩定點距離之比等于定值（不為1）的動點軌跡為圓.后來該軌跡被人們稱為阿波羅尼斯圓.已知平面內有兩點和，且該平面內的點P滿足，若點P的軌跡關于直線對稱，則的最小值是（ ）
A． B． C． D．
例14．（2024·高二單元測試）阿波羅尼斯是古希臘著名數學家，與阿基米德、歐幾里得并稱為亞歷山大時期數學三巨匠，他研究發現：如果一個動點到兩個定點的距離之比為常數（，且），那么點的軌跡為圓，這就是著名的阿波羅尼斯圓．若點到，的距離之比為，則點到直線的距離的最小值為（ ）
A． B．
C． D．
例15．（2024·福建泉州·高二統考期末）已知平面內兩個定點，及動點，若（且），則點的軌跡是圓.后世把這種圓稱為阿波羅尼斯圓.已知，，直線，直線，若為，的交點，則的最小值為（ ）
A．3 B． C． D．
變式14．（2024·全國·高二專題練習）阿波羅尼斯是古希臘著名數學家，與歐幾里得、阿基米德被稱為亞歷山大時期數學三巨匠，他對圓錐曲線有深刻且系統的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圓錐曲線》一書中，阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一，指的是：已知動點與兩定點，的距離之比為，那么點的軌跡就是阿波羅尼斯圓．如動點與兩定點，的距離之比為時的阿波羅尼斯圓為．下面，我們來研究與此相關的一個問題：已知圓上的動點和定點，，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
變式15．（2024·高二單元測試）古希臘數學家阿波羅尼奧斯（約公元首262～公元前190年）的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學成果，著作中有這樣一個命題：平面內與兩定點距離的比為常數k（且）的點的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿波羅尼斯圓．已知 ，，圓上有且僅有一個點 P滿足，則r的取值可以為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
變式16．（2024·全國·高三專題練習）如圖，已知平面，，A、B是直線l上的兩點，C、D是平面內的兩點，且，，，，．P是平面上的一動點，且直線PD，PC與平面所成角相等，則二面角的余弦值的最小值是（ ）
A． B． C． D．1
變式17．（2024·全國·高三專題練習）已知三棱錐中，底面為等邊三角形，，，點為的中點，點為的中點.若點、是空間中的兩動點，且，，則（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
變式18．（2024·全國·高三專題練習）阿波羅尼斯（約公元前年）證明過這樣一個命題：平面內到兩定點距離之比為常數的點的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿氏圓，已知、分別是圓，圓上的動點，是坐標原點，則的最小值是 ．
變式19．（2024·全國·高三專題練習）點為圓：上一動點，為圓：上一動點，為坐標原點，則的最小值為 .
變式20．（2024·全國·高三專題練習）如圖，在正方體中，，點在線段上，且，點是正方體表面上的一動點，點是空間兩動點，若且，則的最小值為 .
題型六：圓中的垂直問題
例16．（2024·海南·統考模擬預測）已知直線，直線過點且與直線相互垂直，圓，若直線與圓C交于M，N兩點，則 ．
例17．（2024·江蘇南通·統考一模）在平面直角坐標系中，圓的方程為．若直線上存在一點，使過所作的圓的兩條切線相互垂直，則實數的取值范圍是 ．
例18．（2024·全國·模擬預測）已知AC，BD為圓的兩條相互垂直的弦，垂足為，則的最大值為 ．
變式21．（2024·全國·高三專題練習）過定點作兩條相互垂直的直線、，設原點到直線、的距離分別為、，則的最大值是 ．
變式22．（2024·全國·高三專題練習）過點作兩條相互垂直的直線分別交圓于、和、兩點，則四邊形面積的最大值為 ．
變式23．（2024·全國·高三專題練習）在平面直角坐標系中，圓.已知過原點且相互垂直的兩條直線和，其中與圓相交于，兩點，與圓相切于點.若，則直線的斜率為 .
題型七：圓的存在性問題
例19．（2024·河南·河南省實驗中學校考模擬預測）已知圓和兩點，.若圓上存在點，使得，則的最大值為 ．
例20．（2024·內蒙古赤峰·高三赤峰二中校考階段練習）在平面直角坐標系中，已知動圓的方程為，則圓心的軌跡方程為 ．若對于圓上的任意點，在圓：上均存在點，使得，則滿足條件的圓心的軌跡長度為 ．
例21．（2024·上海普陀·高三上海市晉元高級中學校考階段練習）設點的坐標為，若在圓上存在點，使得，則實數的取值范圍為 ．
變式24．（2024·全國·高三專題練習）在平面直角坐標系中，已知點、，若直線上存在點P使得，則實數m的取值范圍為 .
變式25．（2024·全國·高三專題練習）在中，角所對的邊分別為，，．若，在所在的平面內存在點，使得，則的面積的最大值為 ．
變式26．（2024·遼寧沈陽·高三沈陽二中校考階段練習）已知點，若圓上存在點滿足3，則實數的取值范圍是 ．
變式27．（2024·陜西西安·高三西安鐵一中濱河高級中學校考階段練習）在平面直角坐標系中，圓的方程為，若直線上至少存在一點，使得以該點為圓心，1為半徑的圓與圓有公共點，則的取值范圍是 ．
變式28．（2024·全國·高三專題練習）已知圓，點P在直線上，若過點P存在直線與圓C交于A、B兩點，且滿足，則點P橫坐標的取值范圍是 ．
變式29．（2024·全國·高三專題練習）在平面直角坐標系xOy中，已知直線和點，動點P滿足，且動點P的軌跡上至少存在兩點到直線l的距離等于，則實數的取值范圍是 .
變式30．（2024·江西萍鄉·統考二模）已知圓，對直線上一點，在圓上總存在點，使得，則實數的取值范圍為 ．
變式31．（2024·全國·高三專題練習）在平面直角坐標系xOy中，已知點A（1，0），B（3，0），C（0，a），D（0，a+2）.若存在點P，使得|PA|=|PB|，|PC|=|PD|，則實數a的取值范圍是
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