資源簡介

第64講 橢圓及其性質(zhì)
知識梳理
知識點一：橢圓的定義
平面內(nèi)與兩個定點的距離之和等于常數(shù)（）的點的軌跡叫做橢圓，這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點的距離叫做橢圓的焦距，記作，定義用集合語言表示為：
注意：當(dāng)時，點的軌跡是線段；
當(dāng)時，點的軌跡不存在．
知識點二：橢圓的方程、圖形與性質(zhì)
橢圓的方程、圖形與性質(zhì)所示．
焦點的位置 焦點在軸上 焦點在軸上
圖形
標(biāo)準(zhǔn)方程
統(tǒng)一方程
參數(shù)方程
第一定義 到兩定點的距離之和等于常數(shù)2，即（）
范圍 且 且
頂點 、 、 、 、
軸長 長軸長，短軸長 長軸長，短軸長
對稱性 關(guān)于軸、軸對稱，關(guān)于原點中心對稱
焦點 、 、
焦距
離心率
準(zhǔn)線方程
點和橢圓 的關(guān)系
切線方程 （為切點） （為切點）
對于過橢圓上一點的切線方程，只需將橢圓方程中換為，換為可得
切點弦所在的直線方程
焦點三角形面積 ①，（為短軸的端點） ② ③ 焦點三角形中一般要用到的關(guān)系是
焦半徑 左焦半徑： 又焦半徑： 上焦半徑： 下焦半徑：
焦半徑最大值，最小值
通徑 過焦點且垂直于長軸的弦叫通徑：通徑長=（最短的過焦點的弦）
弦長公式 設(shè)直線與橢圓的兩個交點為，，， 則弦長 （其中是消后關(guān)于的一元二次方程的的系數(shù)，是判別式）
【解題方法總結(jié)】
（1）過橢圓的焦點與橢圓的長軸垂直的直線被橢圓所截得的線段稱為橢圓的通徑，其長為．
①橢圓上到中心距離最小的點是短軸的兩個端點，到中心距離最大的點是長軸的兩個端點．
②橢圓上到焦點距離最大和最小的點是長軸的兩個端點．
距離的最大值為，距離的最小值為．
（2）橢圓的切線
①橢圓上一點處的切線方程是；
②過橢圓外一點，所引兩條切線的切點弦方程是；
③橢圓 與直線 相切的條件是．
必考題型全歸納
題型一：橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程
例1．（2024·高二課時練習(xí)）已知橢圓C上任意一點都滿足關(guān)系式，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為 .
【答案】
【解析】由題可知橢圓C的焦點在x軸上，其坐標(biāo)分別為，，
故，，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
故答案為：.
例2．（2024·山東青島·統(tǒng)考三模）已知橢圓的長軸長為，它的一個焦點與拋物線的焦點重合，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ．
【答案】
【解析】拋物線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得，焦點坐標(biāo)為，
∵拋物線焦點與橢圓的一個焦點重合，∴橢圓焦點在軸，
設(shè)橢圓方程為，（），
則由焦點坐標(biāo)和長軸長知，，∴，
∴，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
故答案為：.
例3．（2024·全國·高二專題練習(xí)）已知橢圓的左、右焦點為，且過點則橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為 ．
【答案】
【解析】由題知：，①
又橢圓經(jīng)過點，
所以，②
又，③
聯(lián)立解得：，
故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.
故答案為：.
變式1．（2024·浙江紹興·紹興一中校考模擬預(yù)測）已知橢圓E：（），F(xiàn)是E的左焦點，過E的上頂點A作AF的垂線交E于點B.若直線AB的斜率為，的面積為，則E的標(biāo)準(zhǔn)方程為 .
【答案】
【解析】設(shè)O為坐標(biāo)原點，直線AB交x軸于點C，如圖所示：
由題意知：，直線AB的斜率為，即，
所以，.
由橢圓的性質(zhì)知：，，則，所以，，
則，故直線AB的方程為.
聯(lián)立，解得：或，
所以，故，
則，解得：.
又，所以，即，則E的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
故答案為：.
變式2．（2024·全國·高二專題練習(xí)）已知橢圓焦點在軸，它與橢圓有相同離心率且經(jīng)過點，則橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為 .
【答案】
【解析】橢圓的離心率為，
設(shè)所求橢圓方程為，
則，從而，，
又，∴，
∴所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
故答案為： .
變式3．（2024·北京·高二北大附中校考期末）與雙曲線有相同焦點，且長軸長為 6 的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為 .
【答案】
【解析】即，焦點為，
橢圓長軸，即，故短半軸，故橢圓方程為.
故答案為：.
變式4．（2024·福建福州·高二福建省福州屏東中學(xué)校考期末）已知橢圓：的左、右焦點分別為，，過坐標(biāo)原點的直線交E于P，Q兩點，且，且，，則的標(biāo)準(zhǔn)方程為 .
【答案】
【解析】連接，因為，
所以四邊形是平行四邊形，
所以，，
又，所以四邊形為矩形，
設(shè)
則由題意得，解得，
則，則標(biāo)準(zhǔn)方程為，
故答案為：.
變式5．（2024·山東青島·高二青島二中校考期中）過點，且與橢圓有相同的焦點的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程是 ．
【答案】
【解析】由題意設(shè)橢圓的方程為，，
將點代入，，
整理可得：，
解得或（舍，
所以橢圓的方程為：，
故答案為：．
變式6．（2024·浙江麗水·高三校考期中）我們把焦點在同一條坐標(biāo)軸上，且離心率相同的橢圓叫做“相似橢圓”.若橢圓，則以橢圓E的焦點為頂點的相似橢圓F的標(biāo)準(zhǔn)方程為 .
【答案】
【解析】∵橢圓E的離心率為，
且設(shè)橢圓F的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，
∴橢圓F的，即橢圓F的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
故答案為：.
變式7．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓C：(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，左、右頂點分別為M，N，過F2的直線l交C于A，B兩點（異于M、N），的周長為，且直線AM與AN的斜率之積為，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為 .
【答案】
【解析】由的周長為,可知,解得 ,
由直線AM與AN的斜率之積為,可得，
所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
故答案為：
變式8．（2024·高二課時練習(xí)）已知橢圓的焦點在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過和兩點，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 .
【答案】
【解析】設(shè)所求橢圓方程為：(，，)將和的坐標(biāo)代入方程得：
，解得，
所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.
故答案為：.
【解題方法總結(jié)】
（1）定義法：根據(jù)橢圓定義，確定的值，再結(jié)合焦點位置，直接寫出橢圓方程.
（2）待定系數(shù)法：根據(jù)橢圓焦點是在軸還是軸上，設(shè)出相應(yīng)形式的標(biāo)準(zhǔn)方程，然后根據(jù)條件列出的方程組，解出，從而求得標(biāo)準(zhǔn)方程.
注意：①如果橢圓的焦點位置不能確定，可設(shè)方程為.
②與橢圓共焦點的橢圓可設(shè)為.
③與橢圓有相同離心率的橢圓，可設(shè)為（，焦點在軸上）或（，焦點在軸上）.
題型二：橢圓方程的充要條件
例4．（2024·全國·高三對口高考）若是任意實數(shù)，方程表示的曲線不可能是（ ）
A．圓 B．拋物線 C．橢圓 D．雙曲線
【答案】B
【解析】對于A，當(dāng)時，由得，方程表示圓，故A正確；
對于B，當(dāng)是第一象限角時，，不會是拋物線方程；
當(dāng)是第二象限角時，，不會是拋物線方程；
當(dāng)是第三象限角時，，不成立，不會是拋物線方程；
當(dāng)是第四象限角時，，不會是拋物線方程；
當(dāng)?shù)慕堑慕K邊落在軸正半軸上時，，，得，不是拋物線方程；
當(dāng)?shù)慕堑慕K邊落在軸正半軸上時，，，得，不是拋物線方程；
當(dāng)?shù)慕堑慕K邊落在軸負(fù)半軸上時，，，得不成立；
當(dāng)?shù)慕堑慕K邊落在軸負(fù)半軸上時，，，得不成立；故B錯誤；
對于C，當(dāng)時，由，得，方程表示焦點在y軸上的橢圓，故C正確；
對于D，當(dāng)時，由，得，方程表示焦點在x軸上的雙曲線，故D正確；
故選：B.
例5．（2024·上海徐匯·位育中學(xué)校考三模）已知，則方程所表示的曲線為，則以下命題中正確的是（ ）
A．當(dāng)時，曲線表示焦點在軸上的橢圓
B．當(dāng)曲線表示雙曲線時，的取值范圍是
C．當(dāng)時，曲線表示一條直線
D．存在，使得曲線為等軸雙曲線
【答案】A
【解析】對于A，當(dāng)時，，，，
表示焦點在軸上的橢圓，即曲線表示焦點在軸上的橢圓，A正確；
對于B，若曲線表示雙曲線，則，解得：或，
即實數(shù)的取值范圍為，B錯誤；
對于C，當(dāng)時，曲線，即，
即曲線表示兩條直線，C錯誤；
對于D，若曲線為等軸雙曲線，則，解集為，
不存在，使得曲線為等軸雙曲線，D錯誤.
故選：A.
例6．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知方程，其中．現(xiàn)有四位同學(xué)對該方程進(jìn)行了判斷，提出了四個命題：
甲：可以是圓的方程； 乙：可以是拋物線的方程；
丙：可以是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； 丁：可以是雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．
其中，真命題有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】C
【解析】因為方程，其中，
所以當(dāng)時，方程為，即是圓的方程，故方程可以是圓的方程；
當(dāng)時，方程為，即是拋物線的方程，故方程可以是拋物線的方程；
當(dāng)時，方程為，即是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，故方程可以是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
若方程為雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，則有，這與矛盾，故方程不可以是雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
所以真命題有3個.
故選：C.
變式9．（2024·全國·高三專題練習(xí)）“，”是“方程表示的曲線為橢圓”的（ ）
A．充要條件 B．必要不充分條件
C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】D
【解析】[解法一]
方程即方程，表示橢圓的充分必要條件是,
顯然“，”是“”既不充分也不必要條件，
故“，”是“方程表示的曲線為橢圓”的既不充分也不必要條件，
[解法二]
當(dāng)時，滿足“，”，此時題中方程可化為：,表示的曲線是圓而不是橢圓，當(dāng)時，不滿足“，”，只是題中方程可化為：,表示中心在原點，半長軸為1，半短軸為的橢圓，
故：“，”是“方程表示的曲線為橢圓”的既不充分也不必要條件，
故選：
變式10．（2024·云南楚雄·高三統(tǒng)考期末）已知曲線，則“”是“曲線C是橢圓”的（ ）
A．充要條件 B．充分不必要條件
C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】C
【解析】若曲線是橢圓，則有：
解得：，且
故“”是“曲線C是橢圓”的必要不充分條件
故選：C
變式11．（2024·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)為實數(shù)，則曲線：不可能是（ ）
A．拋物線 B．雙曲線 C．圓 D．橢圓
【答案】A
【解析】對A：因為曲線C的方程中都是二次項，所以根據(jù)拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的特征曲線C不可能是拋物線，故選項A正確；
對B：當(dāng)時，曲線C為雙曲線，故選項B錯誤；
對C：當(dāng)時，曲線C為圓，故選項C錯誤；
對D：當(dāng)且時，曲線C為橢圓，故選項D錯誤；
故選：A.
變式12．（2024·廣西欽州·高三校考階段練習(xí)）“”是方程“表示橢圓”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分又不必要條
【答案】B
【解析】若方程表示橢圓，則有
因此且，
故“”是“方程表示橢圓”的必要不充分條件．
故選：B
【解題方法總結(jié)】
表示橢圓的充要條件為：；
表示雙曲線方程的充要條件為：；
表示圓方程的充要條件為：.
題型三：橢圓中焦點三角形的周長與面積及其他問題
例7．（2024·貴州黔東南·高三校考階段練習(xí)）已知點，是橢圓上關(guān)于原點對稱的兩點，，分別是橢圓的左、右焦點，若，則（ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
【答案】C
【解析】因為,
所以四邊形是平行四邊形.
所以.
由橢圓的定義得.
所以.
故選：C
例8．（2024·北京·高三強基計劃）如圖，過橢圓的右焦點作一條直線，交橢圓于A，B兩點，則的內(nèi)切圓面積可能是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】記的周長為l，面積為S，內(nèi)切圓半徑為r．易知．
由于，故．
設(shè)的內(nèi)切圓面積為，則，
于是選項A符合題意．
故選：A.
例9．（2024·江西·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知橢圓為兩個焦點，為橢圓上一點，若的周長為4，則（ ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】D
【解析】設(shè)橢圓的焦距為，則，
的周長為，解得，
故選：D
變式13．（2024·河南·高三階段練習(xí)）已知分別為橢圓的兩個焦點，且的離心率為為橢圓上的一點，則的周長為（ ）
A．6 B．9 C．12 D．15
【答案】C
【解析】因為的離心率為，且，所以，解得，則，所以的周長為.
故選：C
變式14．（2024·全國·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知橢圓的左頂點為A，上頂點為B，左、右焦點分別為，，延長交橢圓E于點P．若點A到直線的距離為，的周長為16，則橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由題意，得，，，則直線的方程為，
所以點A到直線的距離①．
由的周長為16，得，即a+c=8②，
聯(lián)立①②，解得③．
因為，所以④．
聯(lián)立②④，解得a=6，c=2，所以，
故橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為是.
故選：B．
變式15．（2024·廣東梅州·統(tǒng)考三模）已知橢圓的左、右焦點分別為，，過點的直線與橢圓的一個交點為，若，則的面積為（ ）
A． B． C．4 D．
【答案】D
【解析】橢圓中，，由及橢圓定義得，
因此為等腰三角形，底邊上的高，
所以的面積為.
故選：D
變式16．（2024·廣東廣州·高三華南師大附中校考開學(xué)考試）橢圓的兩焦點分別為 ，是橢圓上一點，當(dāng)?shù)拿娣e取得最大值時，（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，所以，
所以，則當(dāng)最大時，面積最大，
此時點位于橢圓的上下端點，
則，因為，所以，
所以.
故選：C.
變式17．（2024·河南開封·統(tǒng)考三模）已知點是橢圓上一點，橢圓的左、右焦點分別為、，且，則的面積為（ ）
A．6 B．12 C． D．
【答案】C
【解析】由橢圓，得，，.
設(shè)，，
∴，在中，由余弦定理可得：，
可得，得，
故.
故選：C.
變式18．（2024·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)為橢圓的兩個焦點，點在上，若，則（ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
【答案】B
【解析】方法一：因為，所以，
從而，所以．
故選：B.
方法二：
因為，所以，由橢圓方程可知，，
所以，又，平方得：
，所以．
故選：B.
變式19．（2024·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)O為坐標(biāo)原點，為橢圓的兩個焦點，點 P在C上，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】方法一：設(shè)，所以，
由，解得：，
由橢圓方程可知，，
所以，，解得：，
即，因此．
故選：B．
方法二：因為①，，
即②，聯(lián)立①②，
解得：，
而，所以，
即．
故選：B．
方法三：因為①，，
即②，聯(lián)立①②，解得：，
由中線定理可知，，易知，解得：．
故選：B．
變式20．（2024·湖南長沙·長郡中學(xué)校考模擬預(yù)測）若橢圓的離心率為，兩個焦點分別為，，為橢圓上異于頂點的任意一點，點是的內(nèi)心，連接并延長交于點，則（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】A
【解析】
如圖，連接，，設(shè)到軸距離為，到軸距離為，
則
設(shè)△內(nèi)切圓的半徑為，則，
∴
不妨設(shè)，則，
∴，
因為橢圓的離心率為，
∴，
故選：A.
變式21．（2024·云南昆明·昆明一中校考模擬預(yù)測）已知橢圓的左、右焦點分別為，，直線與橢圓C交于A，B兩點，若，則的面積等于（ ）
A．18 B．10 C．9 D．6
【答案】C
【解析】據(jù)題意，四邊形是矩形，設(shè)，，
則有，，由此可得，
所以的面積是，
又的面積與的面積相等，所以的面積等于9.
故選：C．
變式22．（2024·貴州黔西·校考一模）設(shè)橢圓的左、右焦點分別為，，離心率為．P是C上一點，且．若的面積為2，則（ ）
A．1 B．2 C． D．4
【答案】B
【解析】設(shè)，，由，的面積為2，
可得，∴①
由離心率為，可得，代入①式，可得.
故選：B.
變式23．（2024·云南昆明·昆明市第三中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知橢圓的左、右焦點分別為為橢圓上一點，且，若關(guān)于平分線的對稱點在橢圓上，則的面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】設(shè)橢圓的長半軸為，則
設(shè)關(guān)于平分線的對稱點為Q，
由橢圓對稱性及角平分線性質(zhì)可知P，，Q三點共線且
又因為，所以是正三角形，
設(shè)，
由橢圓定義可得，，
又，
所以，
所以，即，，
所以的面積.
故選：C.
變式24．（2024·四川綿陽·高三綿陽南山中學(xué)實驗學(xué)校校考階段練習(xí)）在橢圓中，已知焦距為2，橢圓上的一點與兩個焦點的距離的和等于4，且，則的面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由題可知，焦距，則，又橢圓上的一點與兩個焦點的距離的和等于4，
即，所以，
在中，，
由余弦定理得：，
整理得，所以，則，故的面積.
故選：D.
變式25．（2024·河北唐山·統(tǒng)考三模）已知橢圓的兩個焦點分別為，點為上異于長軸端點的任意一點，的角平分線交線段于點，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因為的角平分線交線段于點，
所以，
所以由正弦定理得，，
又因為，，
所以，即，不妨設(shè)，如圖：
則，解得，
所以，
由題意，，所以，
故選：D
【解題方法總結(jié)】
焦點三角形的問題常用定義與解三角形的知識來解決，對于涉及橢圓上點到橢圓兩焦點將距離問題常用定義，即.
題型四：橢圓上兩點距離的最值問題
例10．（2024·湖南·校聯(lián)考二模）已知分別為橢圓的兩個焦點，為橢圓上一點，則的最大值為（ ）
A．64 B．16 C．8 D．4
【答案】B
【解析】，
因為橢圓上的點滿足，
當(dāng)點為的延長線與的交點時，取得最大值，最大值為．
所以的最大值為16．
故選：B．
例11．（2024·云南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，P是橢圓上的任意一點，則的最大值為（ ）
A．9 B．16 C．25 D．50
【答案】C
【解析】由題意，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，
所以，即，故最大值為.
故選：C
例12．（2024·河南·高三期末）已知是橢圓上的動點，且與的四個頂點不重合，分別是橢圓的左、右焦點，若點在的平分線上，且，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
如圖所示，延長交的延長線于點，
點在橢圓上，由橢圓的性質(zhì)可知，
因為分別是橢圓的左、右焦點，
所以點的坐標(biāo)為、點的坐標(biāo)為，
因為點是的角平分線上的一點，
所以，
又，則,
所以，
則，，
又因為點為線段的中點，
所以為的中位線，
即，
當(dāng)點在橢圓右頂點時，取最大值，最大值為6，
當(dāng)點在橢圓左頂點時，取最小值，最小值為2，
當(dāng)點在橢圓上頂點或下頂點時，，
又因為點是橢圓上的動點，且與的四個頂點不重合，
則的取值范圍為，
結(jié)合函數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得，的取值范圍是，
故選：A.
變式26．（2024·重慶沙坪壩·高三重慶八中校考階段練習(xí)）已知是橢圓的兩個焦點，點在上，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】設(shè)，，則，，又，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，.
故選：C.
變式27．（2024·全國·高三專題練習(xí)）若橢圓C：，則該橢圓上的點到焦點距離的最大值為（　　）
A．3 B．2＋
C．2 D．＋1
【答案】A
【解析】由題意知，距離的最大值為；
故選：A.
變式28．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知點在橢圓上運動，點在圓上運動，則的最大值為（ ）
A． B． C．5 D．6
【答案】B
【解析】設(shè)圓的圓心為，則，
設(shè)，則，
所以
，當(dāng)且僅當(dāng)時取得最大值，
所以．
故選：B．
【解題方法總結(jié)】
利用幾何意義進(jìn)行轉(zhuǎn)化.
題型五：橢圓上兩線段的和差最值問題
例13．（2024·北京·高三強基計劃）設(shè)實數(shù)x，y滿足，則的最小值為（ ）
A． B．
C． D．前三個答案都不對
【答案】C
【解析】點是橢圓上的點，設(shè)，如圖．
記題中代數(shù)式為M，則，
等號當(dāng)點E，A，P依次共線時取得．
因此所求最小值為．
故選：C.
例14．（2024·甘肅定西·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知橢圓C：的左、右焦點分別為，，A是C上一點，，則的最大值為（ ）
A．7 B．8 C．9 D．11
【答案】A
【解析】
設(shè)橢圓的半焦距為，則，，
如圖，連接，則，
而，當(dāng)且僅當(dāng)共線且在中間時等號成立，
故的最大值為.
故選：A.
例15．（2024·江蘇·統(tǒng)考三模）已知F為橢圓C：的右焦點，P為C上一點，Q為圓M：上一點，則PQ＋PF的最大值為（ ）
A．3 B．6
C． D．
【答案】D
【解析】圓M：的圓心為，
設(shè)橢圓的左焦點為，如下圖，由橢圓的定義知，，
所以，所以
，
當(dāng)且僅當(dāng)三點在一條直線上時取等，
，，，.
故選：D．
變式29．（2024·河北·高三河北衡水中學(xué)校考階段練習(xí)）若平面向量滿足，若，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵，則，且，
不妨設(shè)，則，
由，即，
故點的軌跡為以為焦點的橢圓，
∴，
則，當(dāng)且僅當(dāng)點為的延長線與橢圓的交點時等號成立，
，當(dāng)且僅當(dāng)點為的延長線與橢圓的交點時等號成立，
即，故.
故選：D.
變式30．（2024·廣東·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知橢圓的左焦點為是上一點，，則的最大值為（ ）
A．7 B．8 C．9 D．11
【答案】C
【解析】因為，所以在橢圓內(nèi)部，
設(shè)橢圓的右焦點為，由橢圓，得，
由橢圓的定義可得，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)是射線與橢圓的交點時取等號．
故選：C.
變式31．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知點P為橢圓上任意一點，點M、N分別為和上的點，則的最大值為（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【解析】設(shè)圓和圓的圓心分別為,半徑分別為.
則橢圓的焦點為.
又,，，
故，
當(dāng)且僅當(dāng)分別在的延長線上時取等號.
此時最大值為.
故選：C.
變式32．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知，分別為橢圓的兩個焦點，P為橢圓上一點，則的最大值為（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】B
【解析】橢圓上的點P滿足，
當(dāng)點P為的延長線與C的交點時，
達(dá)到最大值，最大值為．
故選：B
變式33．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓外一點A(5，6)，l為橢圓的左準(zhǔn)線，P為橢圓上動點，點P到l的距離為d，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如圖，設(shè)F為橢圓的左焦點，可知其坐標(biāo)為F(－3，0)，根據(jù)圓錐曲線的統(tǒng)一定義有：＝e＝，即，所以，可知當(dāng)P、F、A三點共線且P在線段AF上時，最小，最小值＝10．故的最小值為10．
故選：B．
變式34．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓的右焦點為，為橢圓上一動點，定點，則的最小值為（ ）
A．1 B．－1 C． D．
【答案】A
【解析】設(shè)橢圓的左焦點為，則，可得，
所以，
如圖所示，當(dāng)且僅當(dāng)，，三點共線（點在線段上）時，
此時取得最小值，
又由橢圓，可得且，所以，所以的最小值為1．
故選：A．
【解題方法總結(jié)】
在解析幾何中，我們會遇到最值問題，這種問題，往往是考察我們定義．求解最值問題的過程中，如果發(fā)現(xiàn)動點在圓錐曲線上，要思考并用上圓錐曲線的定義，往往問題能迎刃而解．
題型六：離心率的值及取值范圍
方向1：利用橢圓定義去轉(zhuǎn)換
例16．（2024·四川成都·高三成都市錦江區(qū)嘉祥外國語高級中學(xué)校考開學(xué)考試）如圖，某同學(xué)用兩根木條釘成十字架，制成一個橢圓儀.木條中間挖一道槽，在另一活動木條的處鉆一個小孔，可以容納筆尖，各在一條槽內(nèi)移動，可以放松移動以保證與的長度不變，當(dāng)各在一條槽內(nèi)移動時，處筆尖就畫出一個橢圓.已知，且在右頂點時，恰好在點，則的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由題意知與的長度不變，已知，
設(shè)，則，
當(dāng)滑動到位置處時，點在上頂點或下頂點，則短半軸長，
當(dāng)在右頂點時，恰好在點，則長半軸長，
故離心率為.
故選：D.
例17．（2024·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)橢圓的一個焦點為，點為橢圓內(nèi)一點，若橢圓上存在一點，使得，則橢圓的離心率的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】記橢圓的左焦點為，連接，則即所以橢圓的圓心率的取值范圍是.
故選：A.
例18．（2024·安徽·高三安徽省宿松中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）已知橢圓C的左右焦點分別為，，P，Q為C上兩點，，若，則C的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】設(shè)，則，，.
在中得：，即.
因此，，，
在中得：，故，所以.
故選：D
變式35．（2024·湖北·高三孝感高中校聯(lián)考開學(xué)考試）如圖，已知圓柱底面半徑為2，高為3，是軸截面，分別是母線上的動點（含端點），過與軸截面垂直的平面與圓柱側(cè)面的交線是圓或橢圓，當(dāng)此交線是橢圓時，其離心率的取值范圍是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】當(dāng)與行時，交線接近是一個圓，離心率接近0；
當(dāng)時，交線是一個長軸最大的橢圓，
此時長軸長為，解得，
又短半軸長為，則焦距的一半為，
所以離心率，
所以離心率的取值范圍是.
故選：A
變式36．（2024·湖北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，分別是橢圓（）的左，右焦點，M，N是橢圓C上兩點，且，，則橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】連接，設(shè)，則，，，
在中，即，
，，，
，，
在中，，即，
，，又，.
故選：C.
變式37．（2024·重慶巴南·統(tǒng)考一模）橢圓的左右焦點為，，點P為橢圓上不在坐標(biāo)軸上的一點，點M，N滿足，，若四邊形的周長等于，則橢圓C的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因為，所以點為線段的中點，
因為，所以，
即，所以點為線段的中點，
又因點為線段的中點，
所以且，且，
所以四邊形的周長為，
又因點P為橢圓上不在坐標(biāo)軸上的一點，所以，
所以，即，
故橢圓C的離心率為.
故選：C.
變式38．（2024·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第六中學(xué)校校考三模）已知M，N是橢圓上關(guān)于原點O對稱的兩點，P是橢圓C上異于的點，且的最大值是，則橢圓C的離心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由題意知M，N是橢圓上關(guān)于原點O對稱的兩點，
故
,
由橢圓的范圍可知，
故的最大值為，則，
即橢圓C的離心率是，
故選：C
方向2：利用與建立一次二次方程不等式
變式39．（2024·四川綿陽·高三鹽亭中學(xué)校考階段練習(xí)）橢圓 的左、右焦點分別為 ，焦距為 ，若直線 與橢圓 的一個交點為 在 軸上方，滿足 ，則該橢圓的 離心率為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由直線可知：過定點，斜率，即，
則，解得，
又因為，可得，
結(jié)合橢圓的定義可得，整理得.
故選：A.
變式40．（2024·廣東深圳·高三校考階段練習(xí)）已知橢圓E：的右焦點為，左頂點為，若E上的點P滿足軸，，則E的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】設(shè)，則直線：，由，得，即，
而，，由，得，即，
有，又，因此，
所以E的離心率為.
故選：A
變式41．（2024·廣東廣州·高三華南師大附中校考階段練習(xí)）已知為坐標(biāo)原點，是橢圓上一點，F(xiàn)為右焦點.延長，交橢圓于，兩點，，，則橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】設(shè)橢圓的左焦點，連接，，，，
由橢圓的對稱性可知四邊形為平行四邊形，
因為,所以，所以可得四邊形為矩形，
因為，所以，
設(shè)，則，由橢圓的定義可知，
，，
在中，，即，整理可得：，
所以可得，
在△中，，即，
所以離心率，
故選：A
變式42．（2024·河南開封·校考模擬預(yù)測）已知橢圓，，分別是的左頂點和上頂點，是的左焦點，若，則的離心率為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由題意作出圖形，如下圖所示：
可知：，，，
在中可得：，
在中可得：，
所以
化簡得：
因為，所以①，
又，所以①整理可得：，
即，解得，
又，所以，
故選：C.
變式43．（2024·山東泰安·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知橢圓的左、右焦點分別是，斜率為的直線經(jīng)過左焦點且交于兩點（點在第一象限），設(shè)△的內(nèi)切圓半徑為的內(nèi)切圓半徑為，若，則橢圓的離心率的值為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】如圖所示，由橢圓定義可得，，
設(shè)△的面積為，的面積為，因為，
所以，即①，
設(shè)直線，則聯(lián)立橢圓方程與直線，
可得，
所以②，③，
聯(lián)立①②③得，，整理得，所以．
故選：D
變式44．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知橢圓的左頂點為，右焦點為F，B為橢圓上一點，，，則橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】依題意，，因為，所以，
所以，因為，所以，
所以，因為，
所以，解得.
故選：D.
變式45．（2024·湖北荊州·沙市中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知橢圓，為其左焦點，直線與橢圓交于點，，且．若，則橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】設(shè)橢圓的右焦點為，連接，，故四邊形為平行四邊形，
設(shè)，，則，，
，，
中，，
整理得到，即，故.
故選：A
方向3：利用最大頂角滿足
變式46．（2024·四川成都·高三樹德中學(xué)校考開學(xué)考試）已知、是橢圓的兩個焦點，滿足的點M總在橢圓內(nèi)部，則橢圓離心率的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】設(shè)橢圓的半長軸長、半短軸長、半焦距分別為，
，
點的軌跡是以原點為圓心，半焦距為半徑的圓，
又點總在橢圓內(nèi)部，
該圓內(nèi)含于橢圓，即，，
，．
故選：A．
變式47．（2024·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)、是橢圓的左、右焦點，若橢圓外存在點使得，則橢圓的離心率的取值范圍______．
【答案】
【解析】設(shè)點，易知，，則，
故點的軌跡為圓，由題意可知，圓與橢圓相交，
由圖可知，即，可得，又因為，故．
故答案為：．
變式48．（2024·北京豐臺二中高三階段練習(xí)）已知，分別是某橢圓的兩個焦點，若該橢圓上存在點使得（，是已知數(shù)），則該橢圓離心率的取值范圍是________.
【答案】
【解析】根據(jù)橢圓的幾何意義可知
橢圓的離心率最小值為
根據(jù)橢圓離心率的取值范圍可知
故答案為：
變式49．（2024·廣東·廣州市真光中學(xué)高三開學(xué)考試）已知橢圓的左、右焦點分別為，，若橢圓上存在一點使得，則該橢圓離心率的取值范圍是________．
【答案】
【解析】由橢圓的定義可知：，
在△中，由余弦定理得：，
所以，
又，即，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，
故，
所以，，解得：.
故答案為：
方向4：坐標(biāo)法
變式50．（2024·云南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知橢圓：的左、右焦點分別為，（如圖），過的直線交于，兩點，且軸，，則的離心率為（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】設(shè)橢圓的半焦距為，
由題意可得：，則，
因為，則，解得，
即，且點在橢圓上，
則，整理得，解得，即.
故選：A.
變式51．（2024·湖北武漢·華中師大一附中校考模擬預(yù)測）已知橢圓的左焦點為，離心率為．傾斜角為的直線與交于兩點，并且滿足，則的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】設(shè)，則，由，
消去，得，
注意到，則.于是，
同理，. 因此.
的傾斜角為，∴直線的斜率，
根據(jù)弦長公式，可得.
由，可得，故.
．
故選：A
變式52．（2024·廣東佛山·校考模擬預(yù)測）已知橢圓的下焦點為，右頂點為，直線交橢圓于另一點，且，則橢圓的離心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由得，所以，
把代入橢圓得，化簡得，
則橢圓的離心率為.
故選：C.
變式53．（2024·上海浦東新·華師大二附中校考模擬預(yù)測）設(shè)是橢圓的上頂點，是上的一個動點．當(dāng)運動到下頂點時，取得最大值，則的離心率的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】設(shè)，，因為，，
所以，，
由題意知當(dāng)時，取得最大值，所以，可得，即，則．
故選：B．
變式54．（2024·安徽·高三宿城一中校聯(lián)考階段練習(xí)）已知橢圓C：（）的左焦點為，過左焦點作傾斜角為的直線交橢圓于A，B兩點，且，則橢圓C的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】設(shè)，，，過點所作直線的傾斜角為，所以該直線斜率為，
所以直線方程可寫為，聯(lián)立方程，
可得，，
根據(jù)韋達(dá)定理：，，
因為，即，所以，
所以，
即，所以，聯(lián)立，
可得，.
故選：C
變式55．（2024·浙江溫州·樂清市知臨中學(xué)校考二模）已知橢圓的右焦點為，過右焦點作傾斜角為的直線交橢圓于兩點，且，則橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】設(shè)，，，過點做傾斜角為的直線斜率，
直線方程為，聯(lián)立方程，
可得，
根據(jù)韋達(dá)定理：，，
因為，即，所以，
所以，
即，所以，聯(lián)立，
可得，.
故選：C.
變式56．（2024·湖南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知橢圓的左，右焦點為，離心率為，又點是橢圓上異于長軸端點的兩點，且滿足，若，則（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】C
【解析】因為橢圓的離心率為，
所以，，橢圓方程為，
因為，
所以點共線，
因為，則，
設(shè)，由橢圓的定義得，
又因為，，
所以，解得，即，
所以在上、下頂點處，不妨設(shè)，
則，
聯(lián)立，解得或，
則，
因為，
所以，
故選：C．
變式57．（2024·湖南邵陽·邵陽市第二中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知，是橢圓的左、右焦點，是的上頂點，點在過且斜率為的直線上，為等腰三角形，，則的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由題意可知：，，，直線的方程為：，
由，點在第三象限，，則，
代入直線方程中得整理得，
則，∴橢圓的離心率.
故選：B.
變式58．（2024·全國·高三對口高考）在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的焦距為，以原點O為圓心，a為半徑作圓O，過點作圓O的兩切線互相垂直，則該橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由題意，在圓O外，兩條切線的斜率必存在，
令一條切線為，另一條切線為，
所以，，則，可得，
所以.
故選：D
變式59．（2024·四川瀘州·高三四川省瀘縣第一中學(xué)校考開學(xué)考試）已知分別是橢圓的左、右焦點，是上一點且與軸垂直，直線與的另一個交點為，若，則的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
不妨設(shè)在第一象限，由題意，的橫坐標(biāo)為，
令，解得，即.
設(shè)，又，，，
由可得：，解得，
又在橢圓上，即，
整理得，解得.
故選：A
方向5：找?guī)缀侮P(guān)系，利用余弦定理
變式60．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓的右焦點為，過坐標(biāo)原點的直線與橢圓交于兩點，點位于第一象限，直線與橢圓另交于點，且，若，，則橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如圖，設(shè)橢圓的左焦點為，連接，所以四邊形為平行四邊形．
設(shè)，則．
因為，所以，
又因為，所以，所以．
在中，，
由余弦定理得，
所以，所以．
故選：B.
變式61．（2024·江蘇·高三江蘇省前黃高級中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)點、分別為橢圓：的左右焦點，點，在橢圓上，若，，則橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
由題意可知，，
設(shè)，
則，
則,，
∴在中，由余弦定理得.
故選：A
變式62．（2024·湖南衡陽·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知橢圓的左 右焦點分別為、，過作直線與橢圓相交于、兩點，，且，則橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如圖所示，設(shè)，，設(shè)，則，
在中，，
由橢圓定義可知，，
，解得，
所以，，
在中，可得，
在中，由余弦定理可得，
，
，即0，
解得，所以橢圓離心率.
故選：D.
變式63．（2024·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知橢圓的左焦點為，若橢圓上存在點P，使得線段與直線垂直垂足為Q，若，則橢圓C的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】設(shè)C的右焦點為，線段與直線垂直，
所以的斜率為，所以，
設(shè)，則，故，
在中，由余弦定理得，，
所以
所以，
所以，
又因為，
所以橢圓C的離心率為.
故選:A．
變式64．（2024·江西南昌·校聯(lián)考二模）已知橢圓的左、右焦點分別為，，直線經(jīng)過點交于 ，兩點，點在上，，，，則的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】分別取，關(guān)于軸的對稱點，，連接，，，，
由以及橢圓的對稱性及幾何知識可得，且關(guān)于y軸對稱，
則關(guān)于原點對稱，則四邊形是平行四邊形，
所以，，
又，所以，所以是等邊三角形，
又的周長為，
所以，，
中，由余弦定理，
得，整理得，
所以，
故選：B.
變式65．（2024·海南海口·海南華僑中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知，分別是橢圓：（）的左，右焦點，是上的一點，若，且，則的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】在中，，
設(shè)，由題意知,，
由余弦定理得,，
由橢圓定義知，則離心率.
故選:C.
方向6：找?guī)缀侮P(guān)系，利用正弦定理
變式66．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知，分別為橢圓的兩個焦點，P是橢圓E上的點，，且，則橢圓E的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由題意及正弦定理得：，
令，則，，可得，
所以橢圓的離心率為：.
故選：B
變式67．（2024·全國·高三專題練習(xí)（理））已知橢圓＝1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，且|F1F2|＝2c，若橢圓上存在點M使得中，，則該橢圓離心率的取值范圍為(　　)
A．(0，－1) B． C． D．(－1,1)
【答案】D
【解析】由正弦定理可得：,結(jié)合題意可得，所以，根據(jù)橢圓的定義可得，所以，，易知.
因為為橢圓上一點，所以，即，
整理得，所以，解得.故選D.
變式68．（2024·全國·高三專題練習(xí)）過橢圓的左、右焦點，作傾斜角分別為和的兩條直線，．若兩條直線的交點P恰好在橢圓上，則橢圓的離心率為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】在中，由正弦定理可得
所以，
所以該橢圓的離心率，
故選：C．
變式69．（2024·江蘇·揚州中學(xué)高三開學(xué)考試）已知橢圓的左、右焦點分別為，，若橢圓上存在點（異于長軸的端點），使得，則該橢圓離心率的取值范圍是______．
【答案】
【解析】由已知，得，由正弦定理，得，
所以．
由橢圓的幾何性質(zhì)，知，
所以且，
所以且，
即且，
結(jié)合，可解得．
故答案為：.
變式70．（2024·全國·高三專題練習(xí)）過橢圓的左、右焦點，作傾斜角分別為和的兩條直線，．若兩條直線的交點P恰好在橢圓上，則橢圓的離心率為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】在中，由正弦定理可得
所以，
所以該橢圓的離心率，
故選：C．
方向7：利用基本不等式
變式71．（2024·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)橢圓的右焦點為，橢圓上的兩點，關(guān)于原點對你，且滿足，，則橢圓的離心率的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如圖所示：
設(shè)橢圓的左焦點，由橢圓的對稱性可知，四邊形為平行四邊形，
又，即，所以四邊形為矩形，，
設(shè)，，在直角中，，，
得，所以，令，得，
又，得，所以，
所以 ，即，所以
所以橢圓的離心率的取值范圍為，
故選：B
變式72．（2024·江蘇南京·高三階段練習(xí)）設(shè)、分別是橢圓：的左、右焦點，是橢圓準(zhǔn)線上一點，的最大值為60°，則橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由題意可設(shè)直線，的傾斜角分別為，，
由橢圓的對稱性不妨設(shè)為第一象限的點，即，
則，，因為，
所以
，
所以，則，解得，
故選：A.
變式73．（2024·山西運城·高三期末（理））已知點為橢圓的左頂點，為坐標(biāo)原點，過橢圓的右焦點F作垂直于x軸的直線l，若直線l上存在點P滿足，則橢圓離心率的最大值______________.
【答案】
【解析】由對稱性不妨設(shè)P在x軸上方，設(shè)，，
∴
當(dāng)且僅當(dāng)取等號，
∵直線l上存在點P滿足
∴
即，
∴，即，
所以，
故橢圓離心率的最大值為.
故答案為：.
變式74．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知F是橢圓的一個焦點，若直線與橢圓相交于A，B兩點，且，記橢圓的離心率為e，則的取值范圍是___________.
【答案】；
【解析】設(shè)為橢圓的另一焦點，如圖，連接，
根據(jù)橢圓和直線的對稱性，可得四邊形為平行四邊形，
又因為，所以.
在中，，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，
即，
又因為，所以，
又因為，故.
故答案為：.
方向8：利用焦半徑的取值范圍為．
變式75．（2024·全國·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓上存在點，使得，其中、分別為橢圓的左、右焦點，則該橢圓的離心率取值范圍是________．
【答案】
【解析】設(shè)橢圓的焦距為，由橢圓的定義可得，
解得，，
由題意可得，解得，又，所以，
所以橢圓離心率的取值范圍是．
故答案為：.
變式76．（2024·廣西南寧·二模（理））已知橢圓的左、右焦點分別為，，若橢圓上存在一點使，則該橢圓的離心率的取值范圍是______.
【答案】
【解析】設(shè)點的橫坐標(biāo)為，，
則由橢圓的定義可得，
，由題意可得，
，
，，
則該橢圓的離心率的取值范圍是，，
故答案為：，．
變式77．（2024·河南·信陽高中高三期末（文））若橢圓上存在一點，使得，其中分別是的左、右焦點，則的離心率的取值范圍為______.
【答案】
【解析】，，
又，，
解得，則.
故答案為
變式78．（2024·四川省瀘縣第二中學(xué)模擬預(yù)測（文））已知橢圓的左右焦點為，若橢圓C上恰好有6個不同的點P，使得為等腰三角形，則橢圓C的離心率的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】法一：顯然，是短軸端點時，，滿足為等腰三角形，因此由對稱性，還有四個點在四個象限內(nèi)各有一個，
設(shè)是第一象限內(nèi)使得為等腰三角形的點，
若，則，又，
消去整理得：，
解得(舍去)或，
由得，
所以，即，
若，則，又，
消去整理得：，
解得或，舍去．
所以，
所以，即，
時，，是等邊三角形，只能是短軸端點，只有2個，不合題意．
綜上，的范圍是．
法二：①當(dāng)點與短軸的頂點重合時，構(gòu)成以為底邊的等腰三角形，此種情況有2個滿足條件的；
②當(dāng)構(gòu)成以為一腰的等腰三角形時，根據(jù)橢圓的對稱性，只要在第一象限內(nèi)的橢圓上恰好有一點滿足為等腰三角形即可，則或
當(dāng)時，則，即，則，
當(dāng)時，則有，則，
綜上所述，橢圓的離心率取值范圍是.
故選：A.
變式79．（2024·陜西西安·統(tǒng)考三模）已知橢圓：的左，右焦點分別為，，若橢圓上一點Р到焦點的最大距離為7，最小距離為3，則橢圓C的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】設(shè)橢圓的半焦距為，若橢圓上一點，則，且，
又，，
則
由于，所以，
于是可得，，所以橢圓C的離心率.
故選：B.
變式80．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知，分別是橢圓C：的左 右焦點，B是橢圓C的上頂點，P是橢圓C上任意一點，且C的焦距大于短軸長，若的最大值是的最小值的倍，則橢圓C的離心率為（ ）
A． B． C．或 D．
【答案】D
【解析】依題意得，
設(shè)，則，
由題意知，故，
又，所以當(dāng)時，取得最大值.
因為，
所以，
因為，
所以當(dāng)或時，取得最小值，為，
又的最大值是的最小值的倍，
所以，即，
又，所以，得或.
又不滿足，滿足，所以，
故選：D.
方向9：利用橢圓第三定義．
變式81．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓C：（），點A，B為長軸的兩個端點，若在橢圓上存在點P，使，則橢圓的離心率的取值范圍是______．
【答案】
【解析】由題可知，，設(shè)，
由點P在橢圓上，得，
所以，
可得，
所以．
故答案為：.
變式82．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知直線與橢圓交于兩點，是橢圓上異于的一點．若橢圓的離心率的取值范圍是，則直線，斜率之積的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】設(shè)，
由直線與橢圓交于兩點可知兩點關(guān)于原點對稱，
所以且，
由題意知：，兩式相減得：
，
即，
又，
由橢圓的離心率的取值范圍是，
即，
所以，
即，
故選：D.
變式83．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·校聯(lián)考三模）下列結(jié)論：①若方程表示橢圓，則實數(shù)k的取值范圍是；②雙曲線與橢圓的焦點相同．③M是雙曲線上一點，點，分別是雙曲線左右焦點，若，則或1．④直線與橢圓C：交于P，Q兩點，A是橢圓上任一點（與P，Q不重合），已知直線AP與直線AQ的斜率之積為，則橢圓C的離心率為．錯誤的個數(shù)是（ ）
A．4個 B．3個 C．2個 D．1個
【答案】B
【解析】①若方程表示橢圓，則，解得或，故①錯誤；
②雙曲線化成標(biāo)準(zhǔn)方程為，焦點坐標(biāo)為，橢圓的焦點坐標(biāo)為，不相同，故②錯誤；
③雙曲線中，
因為M是雙曲線上一點，點，分別是雙曲線左右焦點，
所以由雙曲線的定義得，若，則或1，
而雙曲線上的點到焦點距離的最小值為，所以舍去，所以，故③錯誤；
④設(shè)，因為A是橢圓上任一點，所以，所以，
又因為直線與橢圓C：交于P，Q兩點，所以設(shè)，，所以，
因為直線AP與直線AQ的斜率之積為，
所以，
所以，所以，又，所以，故④正確；
綜上，錯誤的有3個.
故選：B.
變式84．（2024·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知直線與橢圓交于兩點，若點恰為弦的中點，則橢圓的離心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】依題意，直線的斜率為，設(shè)，則，且，
由兩式相減得：，于是，
解得，此時橢圓，顯然點在橢圓內(nèi)，符合要求，
所以橢圓的離心率.
故選：A
變式85．（2024·河南新鄉(xiāng)·新鄉(xiāng)市第一中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知橢圓的左頂點為，點是橢圓上關(guān)于軸對稱的兩點.若直線的斜率之積為，則的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由題意，橢圓的左頂點為，
因為點是橢圓上關(guān)于軸對稱的兩點，可設(shè)，則，
所以，可得，
又因為，即，
代入可得，所以離心率為.
故選：D.
【解題方法總結(jié)】
求離心率的本質(zhì)就是探究之間的數(shù)量關(guān)系，知道中任意兩者間的等式關(guān)系或不等關(guān)系便可求解出的值或其范圍.具體方法為方程法、不等式法、定義法和坐標(biāo)法.
題型七：橢圓的簡單幾何性質(zhì)問題
例19．（2024·甘肅隴南·高三統(tǒng)考期中）已知雙曲線 的一個焦點是，橢圓 的焦距等于 ，則 ．
【答案】5
【解析】因為雙曲線的一個焦點是，
所以，得，
又橢圓 的焦距等于，
所以，得.
故答案為：5
例20．（2024·上海崇明·上海市崇明中學(xué)校考模擬預(yù)測）若拋物線的焦點恰好是橢圓的右焦點，則 .
【答案】4
【解析】拋物線的焦點為，
橢圓的右焦點為：，
所以，解得：.
故答案為：.
例21．（2024·浙江嘉興·校考模擬預(yù)測）已知橢圓的左、右焦點分別為點、，若橢圓上頂點為點，且為等腰直角三角形，則 .
【答案】8
【解析】橢圓，故，為等腰直角三角形，故，
故，即，.
故答案為：
變式86．（2024·四川南充·高三統(tǒng)考期中）已知點、，動點滿足：直線的斜率與直線的斜率之積為，則的取值范圍為 ．
【答案】
【解析】因為點，，，
所以，，
所以，即，
所以，
由，可知，
所以，即.
所以的取值范圍為.
故答案為：.
變式87．（2024·全國·高三專題練習(xí)）若為橢圓上的一點，，分別是橢圓的左、右焦點，則的最大值為 .
【答案】/
【解析】易知當(dāng)點為橢圓與軸的交點時，最大，
因為橢圓方程為，
所以，，
此時，，
滿足，
所以為等腰直角三角形，所以．
故答案為：
變式88．（2024·全國·高三專題練習(xí)）AB是平面上長度為4的一條線段，P是平面上一個動點，且，M是AB的中點，則的取值范圍是 ．
【答案】
【解析】由題設(shè)，，則P的軌跡是以為焦點，長軸長為6的橢圓，
若，，則P的軌跡方程為.
所以的范圍為，即.
故答案為：
變式89．（2024·云南·云南師大附中校考模擬預(yù)測）如圖所示，在圓錐內(nèi)放入兩個大小不同的球，，使得它們分別與圓錐的側(cè)面和平面都相切，平面分別與球，相切于點，.數(shù)學(xué)家GerminalDandelin利用這個模型證明了平面與圓錐側(cè)面的交線為橢圓，，為此橢圓的兩個焦點，這兩個球也被稱為Dandelin雙球.若球，的半徑分別為6和3，球心距離，則此橢圓的長軸長為 .

【答案】
【解析】過切點E，F(xiàn)作出雙球模型的軸截面，設(shè)球分別與圓錐的同一條母線切于A，B兩點，
有，過作于點C，則四邊形是矩形，
于是，，又，從而，
設(shè)直線AB與平面的交點為P，則有，，
所以橢圓的長軸長.
故答案為：
變式90．（2024·全國·高三專題練習(xí)）2022年神舟接力騰飛，中國空間站全面建成，我們的“太空之家”遨游蒼穹．太空中飛船與空間站的對接，需要經(jīng)過多次變軌．某飛船升空后的初始運行軌道是以地球的中心為一個焦點的橢圓，其遠(yuǎn)地點（長軸端點中離地面最遠(yuǎn)的點）到地面的距離為，近地點（長軸端點中離地面最近的點）到地面的距離為，地球的半徑為R，則該橢圓的短軸長為 （用，，R表示）．
【答案】
【解析】設(shè)橢圓的長半軸長為a，短半軸長為b，半焦距為c，
由題意可知，，
所以．
所以，所以．
故答案為：.
【解題方法總結(jié)】
標(biāo)準(zhǔn)方程
圖形
性質(zhì) 焦點 ， ，
焦距
范圍 ， ，
對稱性 關(guān)于軸、軸和原點對稱
頂點 ， ，
軸 長軸長，短軸長
離心率 （注：離心率越小越圓，越大越扁）
題型八：利用第一定義求解軌跡
例22．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知是橢圓中垂直于長軸的動弦，是橢圓長軸的兩個端點，則直線和的交點的軌跡方程為 ．
【答案】（）．
【解析】設(shè)，
因為橢圓的長軸端點為，
設(shè)直線和的交點為，
因為三點共線，所以，，
因為三點共線，所以，
兩式相乘得，（）,
因為，所以，即，
所以，整理得（），
所以直線和的交點的軌跡方程（）.
故答案為：（）.
例23．（2024·廣東東莞·高三校考階段練習(xí)）已知圓，圓，動圓與圓外切并與圓內(nèi)切，則圓心的軌跡方程為
【答案】
【解析】設(shè)動圓P的圓心為，半徑為，
由題意得，
所以，
所以點P的軌跡為以為焦點的橢圓，
則，即，，則，
所以動圓圓心的軌跡方程為，
故答案為：
例24．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知點P為橢圓上的任意一點，O為原點，M滿足，則點M的軌跡方程為 ．
【答案】.
【解析】設(shè)點，
由得點，而點P為橢圓上的任意一點，
于是得，整理得：，
所以點M的軌跡方程是.
故答案為:
變式91．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知平面上一定點和直線l：x=8，P為該平面上一動點，作PQ⊥l，垂足為Q，且·=0．則動點P的軌跡方程為 ；
【答案】
【解析】設(shè)，則，
由·=0，得，
即，化簡得，
所以點P在橢圓上，即動點P的軌跡方程為．
故答案為：
變式92．（2024·全國·高三專題練習(xí)）一個動圓與圓外切，與圓內(nèi)切，則這個動圓圓心的軌跡方程為 ．
【答案】
【解析】設(shè)動圓圓心為，半徑為，根據(jù)題意知：，，
所以，所以圓心的軌跡為橢圓.
其中，，故，
因為焦點在軸上，故圓心軌跡方程為：.
故答案為：.
變式93．（2024·全國·高三對口高考）已知，B是圓（F為圓心）上一動點.線段AB的垂直平分線交BF于P，則動點P的軌跡方程為 .
【答案】．
【解析】由題意，在線段的垂直平分線上，則，
所以，又，
所以在以為焦點，長軸長為2的橢圓上，
，，，則，
所以軌跡方程為．
故答案為：．
變式94．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知圓：，圓：，動圓與圓外切并且與圓內(nèi)切，圓心的軌跡為曲線，則曲線的方程為____________.
【答案】()．
【解析】由圓，圓得到，半徑，，半徑，
設(shè)動圓的半徑為，∵圓在圓內(nèi)，∴動圓只能在內(nèi)與圓內(nèi)切，不能是在動圓內(nèi)，即：，
∵動圓與圓外切，∴，∵動圓與圓內(nèi)切，∴，
∴，即到和到的距離之和為定值，
∴是以、為焦點的橢圓，且，，所以，
∴動圓圓心的軌跡方程為，
又圓過點，橢圓也過點，而點顯然不在圓上，
所以所求軌跡方程為：.
故答案為：.
變式95．（2024·全國·高三專題練習(xí)（理））設(shè)F1，F(xiàn)2為橢圓的左、右焦點，A為橢圓上任意一點，過焦點F1向∠F1AF2的外角平分線作垂線，垂足為D，則點D的軌跡方程是________．
【答案】x2＋y2＝4
【解析】
由題意，延長F1D，F(xiàn)2A并交于點B，易證Rt△ABD≌Rt△AF1D，則|F1D|＝|BD|，|F1A|＝|AB|，又O為F1F2的中點，連接OD，則OD∥F2B，從而可知|OD|＝|F2B|＝(|AF1|＋|AF2|)＝2，設(shè)點D的坐標(biāo)為(x，y)，則x2＋y2＝4.
故答案為：
變式96．（2024·全國·高三專題練習(xí)（理））如圖，已知△ABC的兩頂點坐標(biāo)，，圓E是△ABC的內(nèi)切圓，在邊AC，BC，AB上的切點分別為P，Q，R，|CP|=2，動點C的軌跡方程為___________.
【答案】
【解析】由題意結(jié)合切線長定理可得，，，
所以，
所以動點C的軌跡是以，為焦點的橢圓（不在x軸上），
且該橢圓滿足，，所以，
所以該橢圓方程為.
故答案為：.
變式97．（2024·全國·高三專題練習(xí)）一動圓與圓：內(nèi)切，且與圓：外切，則動圓圓心的軌跡方程是______．
【答案】
【解析】由題意，圓：的圓心為，半徑為，
圓：的圓心為，半徑為，
設(shè)動圓的圓心，半徑為，
動圓與圓：內(nèi)切，與圓：外切，
所以，，
所以，
所以的軌跡是以原點為中心，焦點在軸上的橢圓，且，，
所以，
橢圓的方程為.
故答案為：．
變式98．（2024·遼寧·沈陽二中高三階段練習(xí)（理））一動圓與圓外切，與圓內(nèi)切，則動圓圓心的軌跡方程為___________.
【答案】
【解析】設(shè)動圓半徑為，根據(jù)題意知：，，故.
故軌跡為橢圓，，，故，故軌跡方程為：.
故答案為：.
變式99．（2024·江西宜春·高三階段練習(xí)（文））已知定點,直線相交于點，且它們的斜率之積為，則動點的軌跡方程為_______．
【答案】
【解析】設(shè)點，
動點的軌跡方程為
變式100．（2024·廣東湛江·一模（理））已知圓，點，點為動點，以線段為直徑的圓內(nèi)切于圓，則動點的軌跡方程是______．
【答案】
【解析】設(shè)的中點為，切點為，連，，則三點共線，且，
取關(guān)于軸的對稱點，連，根據(jù)中位線的性質(zhì)有．且當(dāng)在時也滿足題意.
所以點的軌跡是以，為焦點，長軸長為6的橢圓．其中，，，則動點的軌跡方程是．
故答案為：．
【解題方法總結(jié)】
常見考題中，會讓我們利用圓錐曲線的定義求解點P的軌跡方程，這時候要注意把動點P和滿足焦點標(biāo)志的定點連起來做判斷． 焦點往往有以下的特征：（1）關(guān)于坐標(biāo)軸對稱的點；（2）標(biāo)記為F的點；（3）圓心；（4）題上提到的定點等等．當(dāng)看到滿足以上的標(biāo)志的時候要想到曲線的定義，把曲線和滿足焦點特征的點連起來結(jié)合曲線定義判斷．注意：在求解軌跡方程的題中，要注意x和y的取值范圍.
本資料陳飛老師主編，可聯(lián)系微信：renbenjiaoyu2 ,加入陳老師高中數(shù)學(xué)永久QQ資料群下載（群內(nèi)99%以上資料為純word解析版），群內(nèi)資料每周持續(xù)更新！
高一資料群內(nèi)容：
1、高一上學(xué)期同步講義（word+PDF）
2、高一下學(xué)期同步講義（word+PDF）
3、寒暑假預(yù)習(xí)講義（word+PDF）
4、專題分類匯編（純word解析版）
5、全國名校期中期末考試卷（純word解析版）
6、期中期末考試串講（word+PDF）
…………………………………………
更多內(nèi)容不斷完善
高二資料群內(nèi)容：
1、高二上學(xué)期同步講義（word+PDF）
2、高二下學(xué)期同步講義（word+PDF）
3、寒暑假預(yù)習(xí)講義（word+PDF）
4、專題分類匯編（純word解析版）
5、全國名校期中期末考試卷（純word解析版）
6、期中期末考試串講（word+PDF）
…………………………………………
更多內(nèi)容不斷完善
高三資料群內(nèi)容：
1、高三大一輪復(fù)習(xí)講義（word+PDF）
2、高三二輪沖刺講義（word+PDF）
3、高三三輪押題（純word解析版）
4、高考真題分類匯編（純word解析版）
5、專題分類匯編（純word解析版）
6、圓錐曲線專題（word+PDF）
7、導(dǎo)數(shù)專題（word+PDF）
8、全國名校期中期末一模二模（純word解析版）
…………………………………………
更多內(nèi)容不斷完善
21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)第64講 橢圓及其性質(zhì)
知識梳理
知識點一：橢圓的定義
平面內(nèi)與兩個定點的距離之和等于常數(shù)（）的點的軌跡叫做橢圓，這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點的距離叫做橢圓的焦距，記作，定義用集合語言表示為：
注意：當(dāng)時，點的軌跡是線段；
當(dāng)時，點的軌跡不存在．
知識點二：橢圓的方程、圖形與性質(zhì)
橢圓的方程、圖形與性質(zhì)所示．
焦點的位置 焦點在軸上 焦點在軸上
圖形
標(biāo)準(zhǔn)方程
統(tǒng)一方程
參數(shù)方程
第一定義 到兩定點的距離之和等于常數(shù)2，即（）
范圍 且 且
頂點 、 、 、 、
軸長 長軸長，短軸長 長軸長，短軸長
對稱性 關(guān)于軸、軸對稱，關(guān)于原點中心對稱
焦點 、 、
焦距
離心率
準(zhǔn)線方程
點和橢圓 的關(guān)系
切線方程 （為切點） （為切點）
對于過橢圓上一點的切線方程，只需將橢圓方程中換為，換為可得
切點弦所在的直線方程
焦點三角形面積 ①，（為短軸的端點） ② ③ 焦點三角形中一般要用到的關(guān)系是
焦半徑 左焦半徑： 又焦半徑： 上焦半徑： 下焦半徑：
焦半徑最大值，最小值
通徑 過焦點且垂直于長軸的弦叫通徑：通徑長=（最短的過焦點的弦）
弦長公式 設(shè)直線與橢圓的兩個交點為，，， 則弦長 （其中是消后關(guān)于的一元二次方程的的系數(shù)，是判別式）
【解題方法總結(jié)】
（1）過橢圓的焦點與橢圓的長軸垂直的直線被橢圓所截得的線段稱為橢圓的通徑，其長為．
①橢圓上到中心距離最小的點是短軸的兩個端點，到中心距離最大的點是長軸的兩個端點．
②橢圓上到焦點距離最大和最小的點是長軸的兩個端點．
距離的最大值為，距離的最小值為．
（2）橢圓的切線
①橢圓上一點處的切線方程是；
②過橢圓外一點，所引兩條切線的切點弦方程是；
③橢圓 與直線 相切的條件是．
必考題型全歸納
題型一：橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程
例1．（2024·高二課時練習(xí)）已知橢圓C上任意一點都滿足關(guān)系式，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為 .
例2．（2024·山東青島·統(tǒng)考三模）已知橢圓的長軸長為，它的一個焦點與拋物線的焦點重合，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ．
例3．（2024·全國·高二專題練習(xí)）已知橢圓的左、右焦點為，且過點則橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為 ．
變式1．（2024·浙江紹興·紹興一中校考模擬預(yù)測）已知橢圓E：（），F(xiàn)是E的左焦點，過E的上頂點A作AF的垂線交E于點B.若直線AB的斜率為，的面積為，則E的標(biāo)準(zhǔn)方程為 .
變式2．（2024·全國·高二專題練習(xí)）已知橢圓焦點在軸，它與橢圓有相同離心率且經(jīng)過點，則橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為 .
變式3．（2024·北京·高二北大附中校考期末）與雙曲線有相同焦點，且長軸長為 6 的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為 .
變式4．（2024·福建福州·高二福建省福州屏東中學(xué)校考期末）已知橢圓：的左、右焦點分別為，，過坐標(biāo)原點的直線交E于P，Q兩點，且，且，，則的標(biāo)準(zhǔn)方程為 .
變式5．（2024·山東青島·高二青島二中校考期中）過點，且與橢圓有相同的焦點的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程是 ．
變式6．（2024·浙江麗水·高三校考期中）我們把焦點在同一條坐標(biāo)軸上，且離心率相同的橢圓叫做“相似橢圓”.若橢圓，則以橢圓E的焦點為頂點的相似橢圓F的標(biāo)準(zhǔn)方程為 .
變式7．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓C：(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，左、右頂點分別為M，N，過F2的直線l交C于A，B兩點（異于M、N），的周長為，且直線AM與AN的斜率之積為，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為 .
變式8．（2024·高二課時練習(xí)）已知橢圓的焦點在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過和兩點，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 .
【解題方法總結(jié)】
（1）定義法：根據(jù)橢圓定義，確定的值，再結(jié)合焦點位置，直接寫出橢圓方程.
（2）待定系數(shù)法：根據(jù)橢圓焦點是在軸還是軸上，設(shè)出相應(yīng)形式的標(biāo)準(zhǔn)方程，然后根據(jù)條件列出的方程組，解出，從而求得標(biāo)準(zhǔn)方程.
注意：①如果橢圓的焦點位置不能確定，可設(shè)方程為.
②與橢圓共焦點的橢圓可設(shè)為.
③與橢圓有相同離心率的橢圓，可設(shè)為（，焦點在軸上）或（，焦點在軸上）.
題型二：橢圓方程的充要條件
例4．（2024·全國·高三對口高考）若是任意實數(shù)，方程表示的曲線不可能是（ ）
A．圓 B．拋物線 C．橢圓 D．雙曲線
例5．（2024·上海徐匯·位育中學(xué)校考三模）已知，則方程所表示的曲線為，則以下命題中正確的是（ ）
A．當(dāng)時，曲線表示焦點在軸上的橢圓
B．當(dāng)曲線表示雙曲線時，的取值范圍是
C．當(dāng)時，曲線表示一條直線
D．存在，使得曲線為等軸雙曲線
例6．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知方程，其中．現(xiàn)有四位同學(xué)對該方程進(jìn)行了判斷，提出了四個命題：
甲：可以是圓的方程； 乙：可以是拋物線的方程；
丙：可以是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； 丁：可以是雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．
其中，真命題有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
變式9．（2024·全國·高三專題練習(xí)）“，”是“方程表示的曲線為橢圓”的（ ）
A．充要條件 B．必要不充分條件
C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件
變式10．（2024·云南楚雄·高三統(tǒng)考期末）已知曲線，則“”是“曲線C是橢圓”的（ ）
A．充要條件 B．充分不必要條件
C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件
變式11．（2024·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)為實數(shù)，則曲線：不可能是（ ）
A．拋物線 B．雙曲線 C．圓 D．橢圓
變式12．（2024·廣西欽州·高三校考階段練習(xí)）“”是方程“表示橢圓”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分又不必要條
【解題方法總結(jié)】
表示橢圓的充要條件為：；
表示雙曲線方程的充要條件為：；
表示圓方程的充要條件為：.
題型三：橢圓中焦點三角形的周長與面積及其他問題
例7．（2024·貴州黔東南·高三校考階段練習(xí)）已知點，是橢圓上關(guān)于原點對稱的兩點，，分別是橢圓的左、右焦點，若，則（ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
例8．（2024·北京·高三強基計劃）如圖，過橢圓的右焦點作一條直線，交橢圓于A，B兩點，則的內(nèi)切圓面積可能是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
例9．（2024·江西·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知橢圓為兩個焦點，為橢圓上一點，若的周長為4，則（ ）
A．2 B．3 C． D．
變式13．（2024·河南·高三階段練習(xí)）已知分別為橢圓的兩個焦點，且的離心率為為橢圓上的一點，則的周長為（ ）
A．6 B．9 C．12 D．15
變式14．（2024·全國·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知橢圓的左頂點為A，上頂點為B，左、右焦點分別為，，延長交橢圓E于點P．若點A到直線的距離為，的周長為16，則橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）
A． B．
C． D．
變式15．（2024·廣東梅州·統(tǒng)考三模）已知橢圓的左、右焦點分別為，，過點的直線與橢圓的一個交點為，若，則的面積為（ ）
A． B． C．4 D．
變式16．（2024·廣東廣州·高三華南師大附中校考開學(xué)考試）橢圓的兩焦點分別為 ，是橢圓上一點，當(dāng)?shù)拿娣e取得最大值時，（ ）
A． B． C． D．
變式17．（2024·河南開封·統(tǒng)考三模）已知點是橢圓上一點，橢圓的左、右焦點分別為、，且，則的面積為（ ）
A．6 B．12 C． D．
變式18．（2024·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)為橢圓的兩個焦點，點在上，若，則（ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
變式19．（2024·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)O為坐標(biāo)原點，為橢圓的兩個焦點，點 P在C上，，則（ ）
A． B． C． D．
變式20．（2024·湖南長沙·長郡中學(xué)校考模擬預(yù)測）若橢圓的離心率為，兩個焦點分別為，，為橢圓上異于頂點的任意一點，點是的內(nèi)心，連接并延長交于點，則（ ）
A．2 B． C．4 D．
變式21．（2024·云南昆明·昆明一中校考模擬預(yù)測）已知橢圓的左、右焦點分別為，，直線與橢圓C交于A，B兩點，若，則的面積等于（ ）
A．18 B．10 C．9 D．6
變式22．（2024·貴州黔西·校考一模）設(shè)橢圓的左、右焦點分別為，，離心率為．P是C上一點，且．若的面積為2，則（ ）
A．1 B．2 C． D．4
變式23．（2024·云南昆明·昆明市第三中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知橢圓的左、右焦點分別為為橢圓上一點，且，若關(guān)于平分線的對稱點在橢圓上，則的面積為（ ）
A． B． C． D．
變式24．（2024·四川綿陽·高三綿陽南山中學(xué)實驗學(xué)校校考階段練習(xí)）在橢圓中，已知焦距為2，橢圓上的一點與兩個焦點的距離的和等于4，且，則的面積為（ ）
A． B． C． D．
變式25．（2024·河北唐山·統(tǒng)考三模）已知橢圓的兩個焦點分別為，點為上異于長軸端點的任意一點，的角平分線交線段于點，則（ ）
A． B． C． D．
【解題方法總結(jié)】
焦點三角形的問題常用定義與解三角形的知識來解決，對于涉及橢圓上點到橢圓兩焦點將距離問題常用定義，即.
題型四：橢圓上兩點距離的最值問題
例10．（2024·湖南·校聯(lián)考二模）已知分別為橢圓的兩個焦點，為橢圓上一點，則的最大值為（ ）
A．64 B．16 C．8 D．4
例11．（2024·云南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，P是橢圓上的任意一點，則的最大值為（ ）
A．9 B．16 C．25 D．50
例12．（2024·河南·高三期末）已知是橢圓上的動點，且與的四個頂點不重合，分別是橢圓的左、右焦點，若點在的平分線上，且，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
變式26．（2024·重慶沙坪壩·高三重慶八中校考階段練習(xí)）已知是橢圓的兩個焦點，點在上，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
變式27．（2024·全國·高三專題練習(xí)）若橢圓C：，則該橢圓上的點到焦點距離的最大值為（　　）
A．3 B．2＋
C．2 D．＋1
變式28．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知點在橢圓上運動，點在圓上運動，則的最大值為（ ）
A． B． C．5 D．6
【解題方法總結(jié)】
利用幾何意義進(jìn)行轉(zhuǎn)化.
題型五：橢圓上兩線段的和差最值問題
例13．（2024·北京·高三強基計劃）設(shè)實數(shù)x，y滿足，則的最小值為（ ）
A． B．
C． D．前三個答案都不對
例14．（2024·甘肅定西·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知橢圓C：的左、右焦點分別為，，A是C上一點，，則的最大值為（ ）
A．7 B．8 C．9 D．11
例15．（2024·江蘇·統(tǒng)考三模）已知F為橢圓C：的右焦點，P為C上一點，Q為圓M：上一點，則PQ＋PF的最大值為（ ）
A．3 B．6
C． D．
變式29．（2024·河北·高三河北衡水中學(xué)校考階段練習(xí)）若平面向量滿足，若，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
變式30．（2024·廣東·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知橢圓的左焦點為是上一點，，則的最大值為（ ）
A．7 B．8 C．9 D．11
變式31．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知點P為橢圓上任意一點，點M、N分別為和上的點，則的最大值為（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
變式32．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知，分別為橢圓的兩個焦點，P為橢圓上一點，則的最大值為（ ）
A．2 B． C．4 D．
變式33．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓外一點A(5，6)，l為橢圓的左準(zhǔn)線，P為橢圓上動點，點P到l的距離為d，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
變式34．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓的右焦點為，為橢圓上一動點，定點，則的最小值為（ ）
A．1 B．－1 C． D．
【解題方法總結(jié)】
在解析幾何中，我們會遇到最值問題，這種問題，往往是考察我們定義．求解最值問題的過程中，如果發(fā)現(xiàn)動點在圓錐曲線上，要思考并用上圓錐曲線的定義，往往問題能迎刃而解．
題型六：離心率的值及取值范圍
方向1：利用橢圓定義去轉(zhuǎn)換
例16．（2024·四川成都·高三成都市錦江區(qū)嘉祥外國語高級中學(xué)校考開學(xué)考試）如圖，某同學(xué)用兩根木條釘成十字架，制成一個橢圓儀.木條中間挖一道槽，在另一活動木條的處鉆一個小孔，可以容納筆尖，各在一條槽內(nèi)移動，可以放松移動以保證與的長度不變，當(dāng)各在一條槽內(nèi)移動時，處筆尖就畫出一個橢圓.已知，且在右頂點時，恰好在點，則的離心率為（ ）
A． B． C． D．
例17．（2024·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)橢圓的一個焦點為，點為橢圓內(nèi)一點，若橢圓上存在一點，使得，則橢圓的離心率的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
例18．（2024·安徽·高三安徽省宿松中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）已知橢圓C的左右焦點分別為，，P，Q為C上兩點，，若，則C的離心率為（ ）
A． B． C． D．
變式35．（2024·湖北·高三孝感高中校聯(lián)考開學(xué)考試）如圖，已知圓柱底面半徑為2，高為3，是軸截面，分別是母線上的動點（含端點），過與軸截面垂直的平面與圓柱側(cè)面的交線是圓或橢圓，當(dāng)此交線是橢圓時，其離心率的取值范圍是（ ）

A． B． C． D．
變式36．（2024·湖北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，分別是橢圓（）的左，右焦點，M，N是橢圓C上兩點，且，，則橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
變式37．（2024·重慶巴南·統(tǒng)考一模）橢圓的左右焦點為，，點P為橢圓上不在坐標(biāo)軸上的一點，點M，N滿足，，若四邊形的周長等于，則橢圓C的離心率為（ ）
A． B． C． D．
變式38．（2024·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第六中學(xué)校校考三模）已知M，N是橢圓上關(guān)于原點O對稱的兩點，P是橢圓C上異于的點，且的最大值是，則橢圓C的離心率是（ ）
A． B． C． D．
方向2：利用與建立一次二次方程不等式
變式39．（2024·四川綿陽·高三鹽亭中學(xué)校考階段練習(xí)）橢圓 的左、右焦點分別為 ，焦距為 ，若直線 與橢圓 的一個交點為 在 軸上方，滿足 ，則該橢圓的 離心率為（ ）
A． B．
C． D．
變式40．（2024·廣東深圳·高三校考階段練習(xí)）已知橢圓E：的右焦點為，左頂點為，若E上的點P滿足軸，，則E的離心率為（ ）
A． B． C． D．
變式41．（2024·廣東廣州·高三華南師大附中校考階段練習(xí)）已知為坐標(biāo)原點，是橢圓上一點，F(xiàn)為右焦點.延長，交橢圓于，兩點，，，則橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
變式42．（2024·河南開封·校考模擬預(yù)測）已知橢圓，，分別是的左頂點和上頂點，是的左焦點，若，則的離心率為（ ）
A． B．
C． D．
變式43．（2024·山東泰安·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知橢圓的左、右焦點分別是，斜率為的直線經(jīng)過左焦點且交于兩點（點在第一象限），設(shè)△的內(nèi)切圓半徑為的內(nèi)切圓半徑為，若，則橢圓的離心率的值為（ ）
A． B．
C． D．
變式44．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知橢圓的左頂點為，右焦點為F，B為橢圓上一點，，，則橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
變式45．（2024·湖北荊州·沙市中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知橢圓，為其左焦點，直線與橢圓交于點，，且．若，則橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
方向3：利用最大頂角滿足
變式46．（2024·四川成都·高三樹德中學(xué)校考開學(xué)考試）已知、是橢圓的兩個焦點，滿足的點M總在橢圓內(nèi)部，則橢圓離心率的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
變式47．（2024·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)、是橢圓的左、右焦點，若橢圓外存在點使得，則橢圓的離心率的取值范圍______．
變式48．（2024·北京豐臺二中高三階段練習(xí)）已知，分別是某橢圓的兩個焦點，若該橢圓上存在點使得（，是已知數(shù)），則該橢圓離心率的取值范圍是________.
變式49．（2024·廣東·廣州市真光中學(xué)高三開學(xué)考試）已知橢圓的左、右焦點分別為，，若橢圓上存在一點使得，則該橢圓離心率的取值范圍是________．
方向4：坐標(biāo)法
變式50．（2024·云南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知橢圓：的左、右焦點分別為，（如圖），過的直線交于，兩點，且軸，，則的離心率為（ ）

A． B． C． D．
變式51．（2024·湖北武漢·華中師大一附中校考模擬預(yù)測）已知橢圓的左焦點為，離心率為．傾斜角為的直線與交于兩點，并且滿足，則的離心率為（ ）
A． B． C． D．
變式52．（2024·廣東佛山·校考模擬預(yù)測）已知橢圓的下焦點為，右頂點為，直線交橢圓于另一點，且，則橢圓的離心率是（ ）
A． B． C． D．
變式53．（2024·上海浦東新·華師大二附中校考模擬預(yù)測）設(shè)是橢圓的上頂點，是上的一個動點．當(dāng)運動到下頂點時，取得最大值，則的離心率的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
變式54．（2024·安徽·高三宿城一中校聯(lián)考階段練習(xí)）已知橢圓C：（）的左焦點為，過左焦點作傾斜角為的直線交橢圓于A，B兩點，且，則橢圓C的離心率為（ ）
A． B． C． D．
變式55．（2024·浙江溫州·樂清市知臨中學(xué)校考二模）已知橢圓的右焦點為，過右焦點作傾斜角為的直線交橢圓于兩點，且，則橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
變式56．（2024·湖南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知橢圓的左，右焦點為，離心率為，又點是橢圓上異于長軸端點的兩點，且滿足，若，則（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
變式57．（2024·湖南邵陽·邵陽市第二中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知，是橢圓的左、右焦點，是的上頂點，點在過且斜率為的直線上，為等腰三角形，，則的離心率為（ ）
A． B． C． D．
變式58．（2024·全國·高三對口高考）在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的焦距為，以原點O為圓心，a為半徑作圓O，過點作圓O的兩切線互相垂直，則該橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
變式59．（2024·四川瀘州·高三四川省瀘縣第一中學(xué)校考開學(xué)考試）已知分別是橢圓的左、右焦點，是上一點且與軸垂直，直線與的另一個交點為，若，則的離心率為（ ）
A． B． C． D．
方向5：找?guī)缀侮P(guān)系，利用余弦定理
變式60．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓的右焦點為，過坐標(biāo)原點的直線與橢圓交于兩點，點位于第一象限，直線與橢圓另交于點，且，若，，則橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
變式61．（2024·江蘇·高三江蘇省前黃高級中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)點、分別為橢圓：的左右焦點，點，在橢圓上，若，，則橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
變式62．（2024·湖南衡陽·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知橢圓的左 右焦點分別為、，過作直線與橢圓相交于、兩點，，且，則橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
變式63．（2024·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知橢圓的左焦點為，若橢圓上存在點P，使得線段與直線垂直垂足為Q，若，則橢圓C的離心率為（ ）
A． B． C． D．
變式64．（2024·江西南昌·校聯(lián)考二模）已知橢圓的左、右焦點分別為，，直線經(jīng)過點交于 ，兩點，點在上，，，，則的離心率為（ ）
A． B． C． D．
變式65．（2024·海南海口·海南華僑中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知，分別是橢圓：（）的左，右焦點，是上的一點，若，且，則的離心率為（ ）
A． B． C． D．
方向6：找?guī)缀侮P(guān)系，利用正弦定理
變式66．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知，分別為橢圓的兩個焦點，P是橢圓E上的點，，且，則橢圓E的離心率為（ ）
A． B． C． D．
變式67．（2024·全國·高三專題練習(xí)（理））已知橢圓＝1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，且|F1F2|＝2c，若橢圓上存在點M使得中，，則該橢圓離心率的取值范圍為(　　)
A．(0，－1) B． C． D．(－1,1)
變式68．（2024·全國·高三專題練習(xí)）過橢圓的左、右焦點，作傾斜角分別為和的兩條直線，．若兩條直線的交點P恰好在橢圓上，則橢圓的離心率為（ ）
A． B．
C． D．
變式69．（2024·江蘇·揚州中學(xué)高三開學(xué)考試）已知橢圓的左、右焦點分別為，，若橢圓上存在點（異于長軸的端點），使得，則該橢圓離心率的取值范圍是______．
變式70．（2024·全國·高三專題練習(xí)）過橢圓的左、右焦點，作傾斜角分別為和的兩條直線，．若兩條直線的交點P恰好在橢圓上，則橢圓的離心率為（ ）
A． B．
C． D．
方向7：利用基本不等式
變式71．（2024·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)橢圓的右焦點為，橢圓上的兩點，關(guān)于原點對你，且滿足，，則橢圓的離心率的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
變式72．（2024·江蘇南京·高三階段練習(xí)）設(shè)、分別是橢圓：的左、右焦點，是橢圓準(zhǔn)線上一點，的最大值為60°，則橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
變式73．（2024·山西運城·高三期末（理））已知點為橢圓的左頂點，為坐標(biāo)原點，過橢圓的右焦點F作垂直于x軸的直線l，若直線l上存在點P滿足，則橢圓離心率的最大值______________.
變式74．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知F是橢圓的一個焦點，若直線與橢圓相交于A，B兩點，且，記橢圓的離心率為e，則的取值范圍是___________.
方向8：利用焦半徑的取值范圍為．
變式75．（2024·全國·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓上存在點，使得，其中、分別為橢圓的左、右焦點，則該橢圓的離心率取值范圍是________．
變式76．（2024·廣西南寧·二模（理））已知橢圓的左、右焦點分別為，，若橢圓上存在一點使，則該橢圓的離心率的取值范圍是______.
變式77．（2024·河南·信陽高中高三期末（文））若橢圓上存在一點，使得，其中分別是的左、右焦點，則的離心率的取值范圍為______.
變式78．（2024·四川省瀘縣第二中學(xué)模擬預(yù)測（文））已知橢圓的左右焦點為，若橢圓C上恰好有6個不同的點P，使得為等腰三角形，則橢圓C的離心率的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
變式79．（2024·陜西西安·統(tǒng)考三模）已知橢圓：的左，右焦點分別為，，若橢圓上一點Р到焦點的最大距離為7，最小距離為3，則橢圓C的離心率為（ ）
A． B． C． D．
變式80．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知，分別是橢圓C：的左 右焦點，B是橢圓C的上頂點，P是橢圓C上任意一點，且C的焦距大于短軸長，若的最大值是的最小值的倍，則橢圓C的離心率為（ ）
A． B． C．或 D．
方向9：利用橢圓第三定義．
變式81．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓C：（），點A，B為長軸的兩個端點，若在橢圓上存在點P，使，則橢圓的離心率的取值范圍是______．
變式82．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知直線與橢圓交于兩點，是橢圓上異于的一點．若橢圓的離心率的取值范圍是，則直線，斜率之積的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
變式83．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·校聯(lián)考三模）下列結(jié)論：①若方程表示橢圓，則實數(shù)k的取值范圍是；②雙曲線與橢圓的焦點相同．③M是雙曲線上一點，點，分別是雙曲線左右焦點，若，則或1．④直線與橢圓C：交于P，Q兩點，A是橢圓上任一點（與P，Q不重合），已知直線AP與直線AQ的斜率之積為，則橢圓C的離心率為．錯誤的個數(shù)是（ ）
A．4個 B．3個 C．2個 D．1個
變式84．（2024·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知直線與橢圓交于兩點，若點恰為弦的中點，則橢圓的離心率是（ ）
A． B． C． D．
變式85．（2024·河南新鄉(xiāng)·新鄉(xiāng)市第一中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知橢圓的左頂點為，點是橢圓上關(guān)于軸對稱的兩點.若直線的斜率之積為，則的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【解題方法總結(jié)】
求離心率的本質(zhì)就是探究之間的數(shù)量關(guān)系，知道中任意兩者間的等式關(guān)系或不等關(guān)系便可求解出的值或其范圍.具體方法為方程法、不等式法、定義法和坐標(biāo)法.
題型七：橢圓的簡單幾何性質(zhì)問題
例19．（2024·甘肅隴南·高三統(tǒng)考期中）已知雙曲線 的一個焦點是，橢圓 的焦距等于 ，則 ．
例20．（2024·上海崇明·上海市崇明中學(xué)校考模擬預(yù)測）若拋物線的焦點恰好是橢圓的右焦點，則 .
例21．（2024·浙江嘉興·校考模擬預(yù)測）已知橢圓的左、右焦點分別為點、，若橢圓上頂點為點，且為等腰直角三角形，則 .
變式86．（2024·四川南充·高三統(tǒng)考期中）已知點、，動點滿足：直線的斜率與直線的斜率之積為，則的取值范圍為 ．
變式87．（2024·全國·高三專題練習(xí)）若為橢圓上的一點，，分別是橢圓的左、右焦點，則的最大值為 .
變式88．（2024·全國·高三專題練習(xí)）AB是平面上長度為4的一條線段，P是平面上一個動點，且，M是AB的中點，則的取值范圍是 ．
變式89．（2024·云南·云南師大附中校考模擬預(yù)測）如圖所示，在圓錐內(nèi)放入兩個大小不同的球，，使得它們分別與圓錐的側(cè)面和平面都相切，平面分別與球，相切于點，.數(shù)學(xué)家GerminalDandelin利用這個模型證明了平面與圓錐側(cè)面的交線為橢圓，，為此橢圓的兩個焦點，這兩個球也被稱為Dandelin雙球.若球，的半徑分別為6和3，球心距離，則此橢圓的長軸長為 .

變式90．（2024·全國·高三專題練習(xí)）2022年神舟接力騰飛，中國空間站全面建成，我們的“太空之家”遨游蒼穹．太空中飛船與空間站的對接，需要經(jīng)過多次變軌．某飛船升空后的初始運行軌道是以地球的中心為一個焦點的橢圓，其遠(yuǎn)地點（長軸端點中離地面最遠(yuǎn)的點）到地面的距離為，近地點（長軸端點中離地面最近的點）到地面的距離為，地球的半徑為R，則該橢圓的短軸長為 （用，，R表示）．
【解題方法總結(jié)】
標(biāo)準(zhǔn)方程
圖形
性質(zhì) 焦點 ， ，
焦距
范圍 ， ，
對稱性 關(guān)于軸、軸和原點對稱
頂點 ， ，
軸 長軸長，短軸長
離心率 （注：離心率越小越圓，越大越扁）
題型八：利用第一定義求解軌跡
例22．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知是橢圓中垂直于長軸的動弦，是橢圓長軸的兩個端點，則直線和的交點的軌跡方程為 ．
例23．（2024·廣東東莞·高三校考階段練習(xí)）已知圓，圓，動圓與圓外切并與圓內(nèi)切，則圓心的軌跡方程為
例24．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知點P為橢圓上的任意一點，O為原點，M滿足，則點M的軌跡方程為 ．
變式91．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知平面上一定點和直線l：x=8，P為該平面上一動點，作PQ⊥l，垂足為Q，且·=0．則動點P的軌跡方程為 ；
變式92．（2024·全國·高三專題練習(xí)）一個動圓與圓外切，與圓內(nèi)切，則這個動圓圓心的軌跡方程為 ．
變式93．（2024·全國·高三對口高考）已知，B是圓（F為圓心）上一動點.線段AB的垂直平分線交BF于P，則動點P的軌跡方程為 .
變式94．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知圓：，圓：，動圓與圓外切并且與圓內(nèi)切，圓心的軌跡為曲線，則曲線的方程為____________.
變式95．（2024·全國·高三專題練習(xí)（理））設(shè)F1，F(xiàn)2為橢圓的左、右焦點，A為橢圓上任意一點，過焦點F1向∠F1AF2的外角平分線作垂線，垂足為D，則點D的軌跡方程是________．
變式96．（2024·全國·高三專題練習(xí)（理））如圖，已知△ABC的兩頂點坐標(biāo)，，圓E是△ABC的內(nèi)切圓，在邊AC，BC，AB上的切點分別為P，Q，R，|CP|=2，動點C的軌跡方程為___________.
變式97．（2024·全國·高三專題練習(xí)）一動圓與圓：內(nèi)切，且與圓：外切，則動圓圓心的軌跡方程是______．
變式98．（2024·遼寧·沈陽二中高三階段練習(xí)（理））一動圓與圓外切，與圓內(nèi)切，則動圓圓心的軌跡方程為___________.
變式99．（2024·江西宜春·高三階段練習(xí)（文））已知定點,直線相交于點，且它們的斜率之積為，則動點的軌跡方程為_______．
變式100．（2024·廣東湛江·一模（理））已知圓，點，點為動點，以線段為直徑的圓內(nèi)切于圓，則動點的軌跡方程是______．
【解題方法總結(jié)】
常見考題中，會讓我們利用圓錐曲線的定義求解點P的軌跡方程，這時候要注意把動點P和滿足焦點標(biāo)志的定點連起來做判斷． 焦點往往有以下的特征：（1）關(guān)于坐標(biāo)軸對稱的點；（2）標(biāo)記為F的點；（3）圓心；（4）題上提到的定點等等．當(dāng)看到滿足以上的標(biāo)志的時候要想到曲線的定義，把曲線和滿足焦點特征的點連起來結(jié)合曲線定義判斷．注意：在求解軌跡方程的題中，要注意x和y的取值范圍
本資料陳飛老師主編，可聯(lián)系微信：renbenjiaoyu2 ,加入陳老師高中數(shù)學(xué)永久QQ資料群下載（群內(nèi)99%以上資料為純word解析版），群內(nèi)資料每周持續(xù)更新！
高一資料群內(nèi)容：
1、高一上學(xué)期同步講義（word+PDF）
2、高一下學(xué)期同步講義（word+PDF）
3、寒暑假預(yù)習(xí)講義（word+PDF）
4、專題分類匯編（純word解析版）
5、全國名校期中期末考試卷（純word解析版）
6、期中期末考試串講（word+PDF）
…………………………………………
更多內(nèi)容不斷完善
高二資料群內(nèi)容：
1、高二上學(xué)期同步講義（word+PDF）
2、高二下學(xué)期同步講義（word+PDF）
3、寒暑假預(yù)習(xí)講義（word+PDF）
4、專題分類匯編（純word解析版）
5、全國名校期中期末考試卷（純word解析版）
6、期中期末考試串講（word+PDF）
…………………………………………
更多內(nèi)容不斷完善
高三資料群內(nèi)容：
1、高三大一輪復(fù)習(xí)講義（word+PDF）
2、高三二輪沖刺講義（word+PDF）
3、高三三輪押題（純word解析版）
4、高考真題分類匯編（純word解析版）
5、專題分類匯編（純word解析版）
6、圓錐曲線專題（word+PDF）
7、導(dǎo)數(shù)專題（word+PDF）
8、全國名校期中期末一模二模（純word解析版）
…………………………………………
更多內(nèi)容不斷完善
21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)

展開更多......

收起↑