資源簡(jiǎn)介

第66講 拋物線及其性質(zhì)
知識(shí)梳理
知識(shí)點(diǎn)一、拋物線的定義
平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)和一條定直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線，定點(diǎn)叫拋物線的焦點(diǎn)，定直線叫做拋物線的準(zhǔn)線．
注：若在定義中有，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡為的垂線，垂足為點(diǎn)．
知識(shí)點(diǎn)二、拋物線的方程、圖形及性質(zhì)
拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有4種形式：，，，，其中一次項(xiàng)與對(duì)稱軸一致，一次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)決定開(kāi)口方向
圖形
標(biāo)準(zhǔn) 方程
頂點(diǎn)
范圍 ， ， ， ，
對(duì)稱軸 軸 軸
焦點(diǎn)
離心率
準(zhǔn)線方程
焦半徑
【解題方法總結(jié)】
1、點(diǎn)與拋物線的關(guān)系
（1）在拋物線內(nèi)（含焦點(diǎn)）．
（2）在拋物線上．
（3）在拋物線外．
2、焦半徑
拋物線上的點(diǎn)與焦點(diǎn)的距離稱為焦半徑，若，則焦半徑，．
3、的幾何意義
為焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，即焦準(zhǔn)距，越大，拋物線開(kāi)口越大．
4、焦點(diǎn)弦
若為拋物線的焦點(diǎn)弦，，，則有以下結(jié)論：
（1）．
（2）．
（3）焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式1：，，當(dāng)時(shí)，焦點(diǎn)弦取最小值，即所有焦點(diǎn)弦中通徑最短，其長(zhǎng)度為．
焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式2：（為直線與對(duì)稱軸的夾角）．
（4）的面積公式：（為直線與對(duì)稱軸的夾角）．
5、拋物線的弦
若AB為拋物線的任意一條弦，，弦的中點(diǎn)為，則
（1）弦長(zhǎng)公式：
（2）
（3）直線AB的方程為
（4）線段AB的垂直平分線方程為
6、求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線的快速方法（法）
（1）焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為
（2）焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為
如，即，焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為
7、參數(shù)方程
的參數(shù)方程為（參數(shù)）
8、切線方程和切點(diǎn)弦方程
拋物線的切線方程為，為切點(diǎn)
切點(diǎn)弦方程為，點(diǎn)在拋物線外
與中點(diǎn)弦平行的直線為，此直線與拋物線相離，點(diǎn)（含焦點(diǎn)）是弦AB的中點(diǎn)，中點(diǎn)弦AB的斜率與這條直線的斜率相等，用點(diǎn)差法也可以得到同樣的結(jié)果．
9、拋物線的通徑
過(guò)焦點(diǎn)且垂直于拋物線對(duì)稱軸的弦叫做拋物線的通徑．
對(duì)于拋物線，由，，可得，故拋物線的通徑長(zhǎng)為．
10、弦的中點(diǎn)坐標(biāo)與弦所在直線的斜率的關(guān)系：
11、焦點(diǎn)弦的常考性質(zhì)
已知、是過(guò)拋物線焦點(diǎn)的弦，是的中點(diǎn)，是拋物線的準(zhǔn)線，，為垂足．
（1）以為直徑的圓必與準(zhǔn)線相切，以AF（或BF）為直徑的圓與y軸相切；
（2），
（3）；
（4）設(shè)，為垂足，則、、三點(diǎn)在一條直線上
必考題型全歸納
題型一：拋物線的定義與方程
例1．（2024·福建福州·高三統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）已知點(diǎn)在拋物線C：上，則P到C的準(zhǔn)線的距離為（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
例2．（2024·四川綿陽(yáng)·統(tǒng)考二模）涪江三橋又名綿陽(yáng)富樂(lè)大橋，跨越了涪江和芙蓉溪，是繼東方紅大橋、涪江二橋之后在涪江上修建的第三座大橋，于2004年國(guó)慶全線通車．大橋的拱頂可近似地看作拋物線的一段，若有一只鴿子站在拱頂?shù)哪硞€(gè)位置，它到拋物線焦點(diǎn)的距離為10米，則鴿子到拱頂?shù)淖罡唿c(diǎn)的距離為（ ）
A．6 B． C． D．
例3．（2024·內(nèi)蒙古包頭·高三統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，直線交于，兩點(diǎn)，的準(zhǔn)線交軸于點(diǎn)，若，則的方程為（ ）
A． B． C． D．
變式1．（2024·陜西渭南·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（ ）
A． B． C． D．
變式2．（2024·全國(guó)·高三校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）過(guò)拋物線的焦點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，若直線過(guò)點(diǎn)，且，則拋物線的準(zhǔn)線方程是（ ）
A． B． C． D．
變式3．（2024·廣西防城港·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知點(diǎn)A，B在拋物線上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，且的垂心恰好是此拋物線的焦點(diǎn)F，則直線AB的方程是（ ）
A． B． C． D．
變式4．（2024·四川綿陽(yáng)·高三綿陽(yáng)南山中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校校考階段練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，過(guò)上的一點(diǎn)作的垂線，垂足為，點(diǎn)，與相交于點(diǎn)．若，且的面積為，則的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【解題方法總結(jié)】
求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟為：
（1）先根據(jù)題設(shè)條件及拋物線定義判斷它為拋物線并確定焦點(diǎn)位置：
（2）根據(jù)題目條件列出P的方程
（3）解方程求出P，即得標(biāo)準(zhǔn)方程
題型二：拋物線的軌跡方程
例4．（2024·高三課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)F（1，0），直線，若動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)F和到直線l的距離相等，則點(diǎn)P的軌跡方程是 .
例5．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在平面坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)P和點(diǎn)滿足，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為 ．
例6．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）與點(diǎn)和直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡方程是 ．
變式5．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知?jiǎng)狱c(diǎn)的坐標(biāo)滿足，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為 ．
變式6．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知?jiǎng)狱c(diǎn)到定點(diǎn)與定直線的距離的差為1．則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為 ．
變式7．（2024·遼寧沈陽(yáng)·高三沈陽(yáng)二中校考階段練習(xí)）點(diǎn)，點(diǎn)是軸上的動(dòng)點(diǎn)，線段的中點(diǎn)在軸上，且垂直，則點(diǎn)的軌跡方程為 ．
變式8．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知?jiǎng)訄AP與定圓C：（x+2）2+y2＝1相外切，又與直線x＝1相切，那么動(dòng)圓圓心P的軌跡方程是 ．
變式9．（2024·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）一個(gè)動(dòng)圓與定圓相外切，且與直線相切，則動(dòng)圓圓心的軌跡方程為 ．
變式10．（2024·上海·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)，直線：，兩個(gè)動(dòng)圓均過(guò)點(diǎn)且與相切，其圓心分別為、，若動(dòng)點(diǎn)滿足，則的軌跡方程為 .
變式11．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)、，直線與相交于點(diǎn)，且直線的斜率與直線的斜率之差為，點(diǎn)的軌跡為曲線，則曲線 的軌跡方程為
【解題方法總結(jié)】
常見(jiàn)考題中，會(huì)讓我們利用圓錐曲線的定義求解點(diǎn)P的軌跡方程，這時(shí)候要注意把動(dòng)點(diǎn)P和滿足焦點(diǎn)標(biāo)志的定點(diǎn)連起來(lái)做判斷．焦點(diǎn)往往有以下的特征：（1）關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱的點(diǎn)；（2）標(biāo)記為F的點(diǎn)；（3）圓心；（4）題上提到的定點(diǎn)等等．當(dāng)看到滿足以上的標(biāo)志的時(shí)候要想到曲線的定義，把曲線和滿足焦點(diǎn)特征的點(diǎn)連起來(lái)結(jié)合曲線定義判斷．注意：在求解軌跡方程的題中，要注意x和y的取值范圍．
題型三：與拋物線有關(guān)的距離和最值問(wèn)題
例7．（2024·江蘇無(wú)錫·校聯(lián)考三模）已如，是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)（異于頂點(diǎn)），過(guò)作圓的切線，切點(diǎn)為，則的最小值為 .
例8．（2024·江蘇南通·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為 .
例9．（2024·浙江紹興·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)的最大值為 ．
變式12．（2024·廣西南寧·南寧三中校考模擬預(yù)測(cè)）已知斜率為的直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，且與該拋物線交于兩點(diǎn)，若為該拋物線上一點(diǎn)，為圓上一點(diǎn)，則的最小值為 .
變式13．（2024·山東濰坊·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線，其焦點(diǎn)為F，PQ是過(guò)點(diǎn)F的一條弦，定點(diǎn)A的坐標(biāo)是，當(dāng)取最小值時(shí)，則弦PQ的長(zhǎng)是 .
變式14．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)M為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N為圓上的動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離與點(diǎn)M到點(diǎn)N的距離之和最小值為 ..
變式15．（2024·四川南充·高三四川省南充高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為. 設(shè)線段的中點(diǎn)為則的最小值為 .
變式16．（2024·遼寧大連·育明高中校考一模）已知是拋物線上一點(diǎn)，則的最小值為 .
變式17．（2024·江西南昌·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，則的最小值是 ．
變式18．（2024·上海嘉定·上海市嘉定區(qū)第一中學(xué)校考三模）已知點(diǎn)P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，Q是圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值是 .
變式19．（2024·江西·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知是拋物線上兩點(diǎn)，且，為焦點(diǎn)，則最大值為 .
變式20．（2024·吉林通化·梅河口市第五中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，P到y(tǒng)軸的距離為，到圓上動(dòng)點(diǎn)Q的距離為，則的最小值為 ．
變式21．（2024·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）的最小值為 ．
變式22．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn) 是坐標(biāo)平面內(nèi)一定點(diǎn)， 若拋物線的焦點(diǎn)為， 點(diǎn)是拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)， 則的最小值是 .
變式23．（2024·福建福州·高三福建省福州第八中學(xué)校考階段練習(xí)）已知為拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，為圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，那么點(diǎn)到點(diǎn)的距離與點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離之和的最小值是 .
【解題方法總結(jié)】
拋物線上任意一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離，利用這一定義可以把相等長(zhǎng)度的線段進(jìn)行轉(zhuǎn)化，從而把兩條線段長(zhǎng)度之和的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間的距離問(wèn)題或點(diǎn)到直線的距離問(wèn)題，即在解題中掌握“拋物線的定義及其性質(zhì)”，若求拋物線上的點(diǎn)到定直線（并非準(zhǔn)線）距離的最值問(wèn)題用參數(shù)法或切線法求解．
題型四：拋物線中三角形，四邊形的面積問(wèn)題
例10．（2024·四川樂(lè)山·統(tǒng)考三模）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，過(guò)點(diǎn)F的直線交C于P，Q兩點(diǎn)，于H，若，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則與的面積之比為（ ）
A．6 B．8 C．12 D．16
例11．（2024·山東青島·統(tǒng)考二模）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，與及其準(zhǔn)線依次交于三點(diǎn)（其中點(diǎn)在之間），若，,則的面積是（ ）
A． B． C． D．
例12．（2024·北京·101中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知直線，定點(diǎn)，P是直線上的動(dòng)點(diǎn)，若經(jīng)過(guò)點(diǎn)F，P的圓與l相切，則這個(gè)圓的面積的最小值為（ ）
A． B． C． D．
變式24．（2024·黑龍江大慶·高三肇州縣第二中學(xué)校考階段練習(xí)）已知拋物線，點(diǎn)為拋物線上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)向圓作切線，切點(diǎn)分別為，則四邊形的面積的最小值為（ ）
A．3 B． C． D．
變式25．（2024·貴州·高三統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）已知拋物線的焦點(diǎn)為是拋物線上的一點(diǎn)， 若， 則 (為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積是（ ）
A． B．1 C．2 D．4
變式26．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知拋物線：，點(diǎn)為拋物線上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)向圓：作切線，切點(diǎn)分別為，，則四邊形的面積的最小值為（ ）
A．1 B．2 C． D．
變式27．（2024·江西宜春·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知斜率為的直線過(guò)拋物線：的焦點(diǎn)且與拋物線相交于兩點(diǎn)，過(guò)分別作該拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，，若與的面積之比為2，則的值為（ ）
A． B． C． D．
變式28．（2024·安徽淮南·統(tǒng)考二模）拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，過(guò)點(diǎn)F作傾斜角為的直線與拋物線在x軸上方的部分相交于點(diǎn)A，，垂足為K，若的面積是，則p的值為（ ）
A．1 B．2 C． D．3
【解題方法總結(jié)】
解決此類問(wèn)題經(jīng)常利用拋物線的定義，將拋物線上的點(diǎn)焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，并構(gòu)成直角三角形或直角梯形，從而計(jì)算其面積或面積之比．
題型五：焦半徑問(wèn)題
例13．（2024·江西·高三統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）已知為拋物線：的焦點(diǎn)，，，為上的三點(diǎn)，若，則 .
例14．（2024·福建福州·校考模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)為曲線上一點(diǎn)，若，則點(diǎn)的坐標(biāo)為 ．
例15．（2024·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，若，則 ．
變式29．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）若過(guò)點(diǎn)向拋物線作兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，則 ．
變式30．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，過(guò)拋物線上一點(diǎn)A作的垂線，垂足為，設(shè)，若與相交于點(diǎn)的面積為，則拋物線的方程為 .
變式31．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，過(guò)拋物線的焦點(diǎn)的直線交拋物線與圓于四點(diǎn)，則 .
變式32．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）拋物線，直線l經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F，與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，若，則（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積為 ．
變式33．（2024·河南南陽(yáng)·南陽(yáng)中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）拋物線: 的焦點(diǎn)為,設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線與兩點(diǎn)，且,則 .
變式34．（2024·廣東茂名·茂名市第一中學(xué)校考三模）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，與拋物線及其準(zhǔn)線依次交于三點(diǎn)（其中點(diǎn)在之間），若.則的面積是 .
變式35．（多選題）（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線E：的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線l交x軸于點(diǎn)C，直線m過(guò)C且交E于不同的A，B兩點(diǎn)，B在線段上，點(diǎn)P為A在l上的射影．下列命題正確的是（ ）
A．若，則 B．若P，B，F(xiàn)三點(diǎn)共線，則
C．若，則 D．對(duì)于任意直線m，都有
變式36．（多選題）（2024·廣東惠州·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，直線與拋物線C交于A、B兩點(diǎn)，下面說(shuō)法正確的是（ ）
A．拋物線C的準(zhǔn)線方程為 B．
C．時(shí)， D．
變式37．（多選題）（2024·云南昭通·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知A，B是拋物線：上兩動(dòng)點(diǎn)，為拋物線的焦點(diǎn)，則（ ）
A．直線AB過(guò)焦點(diǎn)F時(shí)，最小值為4
B．直線AB過(guò)焦點(diǎn)F且傾斜角為時(shí)，
C．若AB中點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為2，則最大值為5
D．
變式38．（多選題）（2024·湖南常德·常德市一中校考二模）已知點(diǎn)是拋物線上過(guò)焦點(diǎn)的兩個(gè)不同的點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)為F，則（ ）
A．焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為（4，0） B．
C． D．
變式39．（多選題）（2024·安徽亳州·安徽省亳州市第一中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知為拋物線的焦點(diǎn)，為其準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn).直線與該拋物線交于、兩點(diǎn).則以下描述正確的是（ ）
A．線段的長(zhǎng)為4 B．的面積為
C． D．拋物線在、兩點(diǎn)處的切線交于點(diǎn)
變式40．（多選題）（2024·山東德州·三模）已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，直線與軸交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（ ）
A．若，則 B．
C． D．面積的最小值為16
變式41．（2024·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知F為拋物線的焦點(diǎn)，A，B，C為該拋物線上的三點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，面積分別為 ，若F為的重心，且，則該拋物線的方程為（ ）
A． B．
C． D．
變式42．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過(guò)原點(diǎn)O的動(dòng)直線l交拋物線于另一點(diǎn)P，交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)Q，下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．若O為線段PQ中點(diǎn)，則PF＝1 B．若PF＝4，則OP＝2
C．存在直線l，使得PF⊥QF D．△PFQ面積的最小值為2
變式43．（2024·云南昆明·高三云南省昆明市第十中學(xué)校考開(kāi)學(xué)考試）已知直線與拋物線相切于點(diǎn)，是的焦點(diǎn)，則（ ）
A．6 B．4 C．3 D．2
變式44．（2024·海南·高三海南中學(xué)校考階段練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，若直線與交于，兩點(diǎn)，且，則（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
變式45．（2024·廣東珠海·珠海市斗門區(qū)第一中學(xué)校考三模）已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)，若，則的面積為（ ）
A．4 B． C． D．2
變式46．（2024·上海徐匯·上海市南洋模范中學(xué)校考三模）已知拋物線的焦點(diǎn)與的一個(gè)焦點(diǎn)重合，過(guò)焦點(diǎn)的直線與交于，兩不同點(diǎn)，拋物線在，兩點(diǎn)處的切線相交于點(diǎn)，且的橫坐標(biāo)為4，則弦長(zhǎng)（ ）
A．16 B．26 C．14 D．24
【解題方法總結(jié)】
（1）．
（2）．
（3）．
題型六：拋物線的性質(zhì)
例16．（多選題）（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）關(guān)于拋物線，下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．開(kāi)口向左 B．焦點(diǎn)坐標(biāo)為 C．準(zhǔn)線為 D．對(duì)稱軸為軸
例17．（多選題）（2024·山東日照·高三校聯(lián)考期末）（多選）對(duì)于拋物線上，下列描述正確的是（ ）
A．開(kāi)口向上，焦點(diǎn)為 B．開(kāi)口向上，焦點(diǎn)為
C．焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4 D．準(zhǔn)線方程為
例18．（多選題）（2024·浙江金華·模擬預(yù)測(cè)）已知為拋物線上的三個(gè)點(diǎn)，焦點(diǎn)F是的重心．記直線AB，AC，BC的斜率分別為，則（ ）
A．線段BC的中點(diǎn)坐標(biāo)為
B．直線BC的方程為
C．
D．
變式47．（多選題）（2024·遼寧大連·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，為上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則（ ）
A．的焦點(diǎn)坐標(biāo)為
B．若，則周長(zhǎng)的最小值為
C．若，則的最小值為
D．在軸上不存在點(diǎn)，使得為鈍角
變式48．（多選題）（2024·吉林通化·梅河口市第五中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)A是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，為焦點(diǎn)，，且三點(diǎn)順時(shí)針排列，則（ ）
A．當(dāng)點(diǎn)在軸上時(shí)，
B．當(dāng)點(diǎn)在軸上時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為
C．當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱時(shí)，
D．若，則點(diǎn)A與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱
變式49．（多選題）（2024·湖南長(zhǎng)沙·長(zhǎng)沙一中校考模擬預(yù)測(cè)）拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：由其焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)過(guò)拋物線反射后，沿平行于拋物線對(duì)稱軸的方向射出；反之，平行于拋物線對(duì)稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過(guò)拋物線的焦點(diǎn)．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，一束平行于x軸的光線從點(diǎn)射入，經(jīng)過(guò)拋物線上的點(diǎn)反射后，再經(jīng)拋物線上另一點(diǎn)反射后，沿直線射出，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．
B．點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)在直線上
C．直線與直線相交于點(diǎn)D，則A，O，D三點(diǎn)共線
D．直線與間的距離最小值為4
變式50．（多選題）（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P為C上任意一點(diǎn)，若點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．的最小值為2
B．拋物線C關(guān)于x軸對(duì)稱
C．過(guò)點(diǎn)M與拋物線C有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有且只有一條
D．點(diǎn)P到點(diǎn)M的距離與到焦點(diǎn)F距離之和的最小值為4
變式51．（多選題）（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)F為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)K為點(diǎn)F關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，點(diǎn)M在拋物線C上，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．使得為等腰三角形的點(diǎn)M有且僅有4個(gè)
B．使得為直角三角形的點(diǎn)M有且僅有4個(gè)
C．使得的點(diǎn)M有且僅有4個(gè)
D．使得的點(diǎn)M有且僅有4個(gè)
【解題方法總結(jié)】
在處理拋物線的考題的時(shí)候，要更加注意定義優(yōu)先原則，考察頻率更高，很多問(wèn)題用上拋物線定義可以簡(jiǎn)化計(jì)算
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21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)第66講 拋物線及其性質(zhì)
知識(shí)梳理
知識(shí)點(diǎn)一、拋物線的定義
平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)和一條定直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線，定點(diǎn)叫拋物線的焦點(diǎn)，定直線叫做拋物線的準(zhǔn)線．
注：若在定義中有，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡為的垂線，垂足為點(diǎn)．
知識(shí)點(diǎn)二、拋物線的方程、圖形及性質(zhì)
拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有4種形式：，，，，其中一次項(xiàng)與對(duì)稱軸一致，一次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)決定開(kāi)口方向
圖形
標(biāo)準(zhǔn) 方程
頂點(diǎn)
范圍 ， ， ， ，
對(duì)稱軸 軸 軸
焦點(diǎn)
離心率
準(zhǔn)線方程
焦半徑
【解題方法總結(jié)】
1、點(diǎn)與拋物線的關(guān)系
（1）在拋物線內(nèi)（含焦點(diǎn)）．
（2）在拋物線上．
（3）在拋物線外．
2、焦半徑
拋物線上的點(diǎn)與焦點(diǎn)的距離稱為焦半徑，若，則焦半徑，．
3、的幾何意義
為焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，即焦準(zhǔn)距，越大，拋物線開(kāi)口越大．
4、焦點(diǎn)弦
若為拋物線的焦點(diǎn)弦，，，則有以下結(jié)論：
（1）．
（2）．
（3）焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式1：，，當(dāng)時(shí)，焦點(diǎn)弦取最小值，即所有焦點(diǎn)弦中通徑最短，其長(zhǎng)度為．
焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式2：（為直線與對(duì)稱軸的夾角）．
（4）的面積公式：（為直線與對(duì)稱軸的夾角）．
5、拋物線的弦
若AB為拋物線的任意一條弦，，弦的中點(diǎn)為，則
（1）弦長(zhǎng)公式：
（2）
（3）直線AB的方程為
（4）線段AB的垂直平分線方程為
6、求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線的快速方法（法）
（1）焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為
（2）焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為
如，即，焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為
7、參數(shù)方程
的參數(shù)方程為（參數(shù)）
8、切線方程和切點(diǎn)弦方程
拋物線的切線方程為，為切點(diǎn)
切點(diǎn)弦方程為，點(diǎn)在拋物線外
與中點(diǎn)弦平行的直線為，此直線與拋物線相離，點(diǎn)（含焦點(diǎn)）是弦AB的中點(diǎn)，中點(diǎn)弦AB的斜率與這條直線的斜率相等，用點(diǎn)差法也可以得到同樣的結(jié)果．
9、拋物線的通徑
過(guò)焦點(diǎn)且垂直于拋物線對(duì)稱軸的弦叫做拋物線的通徑．
對(duì)于拋物線，由，，可得，故拋物線的通徑長(zhǎng)為．
10、弦的中點(diǎn)坐標(biāo)與弦所在直線的斜率的關(guān)系：
11、焦點(diǎn)弦的常考性質(zhì)
已知、是過(guò)拋物線焦點(diǎn)的弦，是的中點(diǎn)，是拋物線的準(zhǔn)線，，為垂足．
（1）以為直徑的圓必與準(zhǔn)線相切，以AF（或BF）為直徑的圓與y軸相切；
（2），
（3）；
（4）設(shè)，為垂足，則、、三點(diǎn)在一條直線上
必考題型全歸納
題型一：拋物線的定義與方程
例1．（2024·福建福州·高三統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）已知點(diǎn)在拋物線C：上，則P到C的準(zhǔn)線的距離為（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【解析】拋物線的準(zhǔn)線為，
將代入得，
故P到準(zhǔn)線的距離為2，
故選：C．
例2．（2024·四川綿陽(yáng)·統(tǒng)考二模）涪江三橋又名綿陽(yáng)富樂(lè)大橋，跨越了涪江和芙蓉溪，是繼東方紅大橋、涪江二橋之后在涪江上修建的第三座大橋，于2004年國(guó)慶全線通車．大橋的拱頂可近似地看作拋物線的一段，若有一只鴿子站在拱頂?shù)哪硞€(gè)位置，它到拋物線焦點(diǎn)的距離為10米，則鴿子到拱頂?shù)淖罡唿c(diǎn)的距離為（ ）
A．6 B． C． D．
【答案】B
【解析】如圖所示：
設(shè)鴿子所在位置為點(diǎn)，
因?yàn)樗綊佄锞€焦點(diǎn)的距離為10米，
所以，解得，
則，
所以鴿子到拱頂?shù)淖罡唿c(diǎn)的距離為，
故選：B
例3．（2024·內(nèi)蒙古包頭·高三統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，直線交于，兩點(diǎn)，的準(zhǔn)線交軸于點(diǎn)，若，則的方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由題可設(shè)拋物線的方程為，則準(zhǔn)線方程為，
當(dāng)時(shí)，可得，
可得，又，，
所以，即，
解得，
所以的方程為.
故選：C
變式1．（2024·陜西渭南·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】拋物線的標(biāo)準(zhǔn)形式為，
所以拋物線的焦點(diǎn)在軸的正半軸上，
且，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為.
故選：B
變式2．（2024·全國(guó)·高三校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）過(guò)拋物線的焦點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，若直線過(guò)點(diǎn)，且，則拋物線的準(zhǔn)線方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)，所以直線的方程為.
由得，.
設(shè)，則.
因?yàn)?br/>，
整理得，解得，
所以拋物線的準(zhǔn)線方程是.
故選：D.
變式3．（2024·廣西防城港·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知點(diǎn)A，B在拋物線上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，且的垂心恰好是此拋物線的焦點(diǎn)F，則直線AB的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如圖所示，為的垂心，為焦點(diǎn)，
，垂直平分線段，直線垂直于軸．
設(shè)，，其中，
為垂心，，，
即，解得，
直線的方程為，即．
故選：D．
變式4．（2024·四川綿陽(yáng)·高三綿陽(yáng)南山中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校校考階段練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，過(guò)上的一點(diǎn)作的垂線，垂足為，點(diǎn)，與相交于點(diǎn)．若，且的面積為，則的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】設(shè)點(diǎn)，拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線，
由得：，解得，不妨令點(diǎn)A在第一象限，則，，如圖，
因?yàn)椋瑒t，即有點(diǎn)D到x軸距離，
，解得，
所以的方程為.
故選：C
【解題方法總結(jié)】
求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟為：
（1）先根據(jù)題設(shè)條件及拋物線定義判斷它為拋物線并確定焦點(diǎn)位置：
（2）根據(jù)題目條件列出P的方程
（3）解方程求出P，即得標(biāo)準(zhǔn)方程
題型二：拋物線的軌跡方程
例4．（2024·高三課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)F（1，0），直線，若動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)F和到直線l的距離相等，則點(diǎn)P的軌跡方程是 .
【答案】
【解析】根據(jù)拋物線定義可知，點(diǎn)在以為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線上，
所以，，拋物線方程為.
故答案為：.
例5．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在平面坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)P和點(diǎn)滿足，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為 ．
【答案】
【解析】由題意，
由得，
化簡(jiǎn)得．
故答案為：．
例6．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）與點(diǎn)和直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡方程是 ．
【答案】
【解析】由拋物線的定義可得平面內(nèi)與點(diǎn)和直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡為拋物線，且為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線，
設(shè)拋物線的方程為，
可知，解得，
所以該拋物線方程是，
故答案為：
變式5．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知?jiǎng)狱c(diǎn)的坐標(biāo)滿足，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為 ．
【答案】
【解析】設(shè)直線，則動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離為，動(dòng)點(diǎn)到直線的距離為，又因?yàn)椋?br/>所以動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是以為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線的拋物線，其軌跡方程為．
故答案為：
變式6．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知?jiǎng)狱c(diǎn)到定點(diǎn)與定直線的距離的差為1．則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為 ．
【答案】，（注：也算對(duì)）
【解析】由題意，若時(shí)，問(wèn)題等價(jià)于，
則，化簡(jiǎn)得，
若，也滿足題意.
所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為，.
或者根據(jù)題意有，則，化簡(jiǎn)整理得：.
所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為.
故答案為：，（注：也算對(duì)）
變式7．（2024·遼寧沈陽(yáng)·高三沈陽(yáng)二中校考階段練習(xí)）點(diǎn)，點(diǎn)是軸上的動(dòng)點(diǎn)，線段的中點(diǎn)在軸上，且垂直，則點(diǎn)的軌跡方程為 ．
【答案】
【解析】設(shè)，，則中點(diǎn)坐標(biāo)為，由得，即，
又，
若，則，即，
若，則，重合，直線不存在．
所以軌跡方程是．
故答案為：．
變式8．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知?jiǎng)訄AP與定圓C：（x+2）2+y2＝1相外切，又與直線x＝1相切，那么動(dòng)圓圓心P的軌跡方程是 ．
【答案】y2＝﹣8x
【解析】設(shè)圓心P到直線x＝1的距離等于r，P（x，y ），由題意可得 PC＝1+r，即 ＝1+1﹣x，化簡(jiǎn)可得 y2＝﹣8x.
故答案為：y2＝﹣8x．
變式9．（2024·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）一個(gè)動(dòng)圓與定圓相外切，且與直線相切，則動(dòng)圓圓心的軌跡方程為 ．
【答案】
【解析】由題意可知，圓的圓心為，半徑為，
由于動(dòng)圓與定圓相外切，且與直線相切，
動(dòng)圓圓心到點(diǎn)的距離比它到直線的距離大，
所以，動(dòng)圓圓心到點(diǎn)的距離等于它到直線的距離，
所以，動(dòng)圓圓心的軌跡是以點(diǎn)為圓心，以直線為準(zhǔn)線的拋物線，
設(shè)動(dòng)圓圓心的軌跡方程為，則，可得，
所以，動(dòng)圓圓心的軌跡方程為.
故答案為：.
變式10．（2024·上海·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)，直線：，兩個(gè)動(dòng)圓均過(guò)點(diǎn)且與相切，其圓心分別為、，若動(dòng)點(diǎn)滿足，則的軌跡方程為 .
【答案】
【解析】由拋物線的定義得動(dòng)圓的圓心軌跡方程，設(shè)，，，根據(jù)可得，，利用可求得結(jié)果.由拋物線的定義得動(dòng)圓的圓心軌跡是以為焦點(diǎn)，直線：為準(zhǔn)線的拋物線，其方程為，
設(shè)，，，因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)滿足，
所以，即，，
所以，，因?yàn)椋裕?br/>所以，即的軌跡方程為.
故答案為：
變式11．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)、，直線與相交于點(diǎn)，且直線的斜率與直線的斜率之差為，點(diǎn)的軌跡為曲線，則曲線 的軌跡方程為
【答案】
【解析】設(shè)，由題意可得：，化簡(jiǎn)可得曲線的軌跡方程．設(shè)，由題意可得：，
化為．
曲線的軌跡方程為且．
故答案為：．
【解題方法總結(jié)】
常見(jiàn)考題中，會(huì)讓我們利用圓錐曲線的定義求解點(diǎn)P的軌跡方程，這時(shí)候要注意把動(dòng)點(diǎn)P和滿足焦點(diǎn)標(biāo)志的定點(diǎn)連起來(lái)做判斷．焦點(diǎn)往往有以下的特征：（1）關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱的點(diǎn)；（2）標(biāo)記為F的點(diǎn)；（3）圓心；（4）題上提到的定點(diǎn)等等．當(dāng)看到滿足以上的標(biāo)志的時(shí)候要想到曲線的定義，把曲線和滿足焦點(diǎn)特征的點(diǎn)連起來(lái)結(jié)合曲線定義判斷．注意：在求解軌跡方程的題中，要注意x和y的取值范圍．
題型三：與拋物線有關(guān)的距離和最值問(wèn)題
例7．（2024·江蘇無(wú)錫·校聯(lián)考三模）已如，是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)（異于頂點(diǎn)），過(guò)作圓的切線，切點(diǎn)為，則的最小值為 .
【答案】3
【解析】依題意，設(shè)，有，圓的圓心，半徑，
于是，
因此，表示拋物線上的點(diǎn)到y(tǒng)軸距離與到定點(diǎn)的距離的和，
而點(diǎn)在拋物線內(nèi)，當(dāng)且僅當(dāng)是過(guò)點(diǎn)垂直于y軸的直線與拋物線的交點(diǎn)時(shí)，取得最小值3，所以的最小值為3.
故答案為：3.
例8．（2024·江蘇南通·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為 .
【答案】/
【解析】由題可知，過(guò)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)作直線的垂線交直線于，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線交軸于，交準(zhǔn)線于點(diǎn)，為拋物線焦點(diǎn)，
由，得，所以，如圖所示
則動(dòng)點(diǎn)到軸的距離為
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值，即(此時(shí)為點(diǎn)到直線的距離)，
所以到直線的距離為，
所以，
所以.
所以的最小值為.
故答案為：
例9．（2024·浙江紹興·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)的最大值為 ．
【答案】
【解析】將給定的函數(shù)表達(dá)式變形為，
問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)到點(diǎn)與距離之差的最大值，
而點(diǎn)的軌跡為拋物線，如圖所示，
由A、B的位置知直線必交拋物線于第二象限的一點(diǎn)C，
由三角形兩邊之差小于第三邊可知P位于C時(shí)，才能取得最大值.
.
故答案為：.
變式12．（2024·廣西南寧·南寧三中校考模擬預(yù)測(cè)）已知斜率為的直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，且與該拋物線交于兩點(diǎn)，若為該拋物線上一點(diǎn)，為圓上一點(diǎn)，則的最小值為 .
【答案】/
【解析】由題可知直線的方程為，設(shè)，則
由,消去，整理得，，
所以，
所以，解得，
所以，而圓的圓心,
因?yàn)椋?br/>當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)在同一條直線上取等號(hào)，且點(diǎn)位于點(diǎn)之間，如圖所示：
又，
所以的最小值為.
故答案為：.
變式13．（2024·山東濰坊·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線，其焦點(diǎn)為F，PQ是過(guò)點(diǎn)F的一條弦，定點(diǎn)A的坐標(biāo)是，當(dāng)取最小值時(shí)，則弦PQ的長(zhǎng)是 .
【答案】
【解析】拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線為，
如圖，過(guò)點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，
則，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，
所以當(dāng)取最小值時(shí)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，
當(dāng)時(shí)，，即，
所以，
所以直線的方程為，
聯(lián)立，消得，解得或，
當(dāng)時(shí)，，即，
所以.
故答案為：.
變式14．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)M為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N為圓上的動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離與點(diǎn)M到點(diǎn)N的距離之和最小值為 ..
【答案】
【解析】由題可知，拋物線的準(zhǔn)線方程為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，
由拋物線的定義可知點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離即為，
圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，
故點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離與點(diǎn)M到點(diǎn)N的距離之和，
根據(jù)圓的性質(zhì)可知點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離與點(diǎn)M到點(diǎn)N的距離之和最小值為.
故答案為：.
變式15．（2024·四川南充·高三四川省南充高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為. 設(shè)線段的中點(diǎn)為則的最小值為 .
【答案】
【解析】由題意拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，過(guò)點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，
垂足分別為，，取的中點(diǎn)為，連接，如下圖所示：
點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，易知四邊形為直角梯形，則由拋物線的定義可得
.
即（當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取等號(hào)）
即的最小值為.
故答案為：
變式16．（2024·遼寧大連·育明高中校考一模）已知是拋物線上一點(diǎn)，則的最小值為 .
【答案】/
【解析】由題可知， 過(guò)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)作直線的垂線交直線于，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線交軸于，交準(zhǔn)線于點(diǎn)，為拋物線焦點(diǎn).
由，得，所以，如圖所示
則動(dòng)點(diǎn)到軸的距離為
所以,
當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值，即,( 為點(diǎn)到直線的距離).
所以到直線的距離為
所以，
所以.
所以的最小值為.
故答案為：.
變式17．（2024·江西南昌·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，則的最小值是 ．
【答案】9
【解析】依題意，
因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)為，所以，
①當(dāng)斜率存在時(shí)：因?yàn)橹本€交拋物線于，兩點(diǎn)，所以，
設(shè)過(guò)的直線的直線方程為：，，
由拋物線定義得：，
由消整理得：，
所以，即，
所以；
②當(dāng)不存在時(shí)，直線為，此時(shí)，
所以；
綜上可知，的最小值為：9.
故答案為：9.
變式18．（2024·上海嘉定·上海市嘉定區(qū)第一中學(xué)校考三模）已知點(diǎn)P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，Q是圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值是 .
【答案】/
【解析】拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，
圓的圓心為，半徑，
過(guò)點(diǎn)作垂直準(zhǔn)線，垂足為，由拋物線的定義可知，
設(shè)，則，，
所以，
令，則，
所以，
所以當(dāng)即時(shí)，取到最大值，
所以的最大值為，
因此，，所以的最大值是.
故答案為：.
變式19．（2024·江西·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知是拋物線上兩點(diǎn)，且，為焦點(diǎn)，則最大值為 .
【答案】
【解析】拋物線的焦點(diǎn)，
由題得，，
即，
故
，
即，因?yàn)椋矣嘞液瘮?shù)在內(nèi)單調(diào)遞減，
故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立.
故答案為：.
變式20．（2024·吉林通化·梅河口市第五中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，P到y(tǒng)軸的距離為，到圓上動(dòng)點(diǎn)Q的距離為，則的最小值為 ．
【答案】2
【解析】圓的圓心為，半徑，
拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，
過(guò)點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，
因?yàn)槭菕佄锞€上的動(dòng)點(diǎn)，到軸的距離為，
到圓上動(dòng)點(diǎn)的距離為，
所以，，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立，且點(diǎn)在線段上，
所以，
又，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)為線段與拋物線的交點(diǎn)時(shí)等號(hào)成立，又，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)為線段與拋物線的交點(diǎn)，點(diǎn)為線段與圓的交點(diǎn)時(shí)等號(hào)成立，
所以的最小值為2，
故答案為：2
變式21．（2024·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）的最小值為 ．
【答案】
【解析】易知?jiǎng)狱c(diǎn)的軌跡為拋物線，C的焦點(diǎn)為，設(shè)P到C的準(zhǔn)線的距離為d，，
則，
故的最小值為．
故答案為：.
變式22．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn) 是坐標(biāo)平面內(nèi)一定點(diǎn)， 若拋物線的焦點(diǎn)為， 點(diǎn)是拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)， 則的最小值是 .
【答案】/
【解析】
拋物線的準(zhǔn)線方程為，
過(guò)點(diǎn)作垂直準(zhǔn)線于點(diǎn)，
顯然，當(dāng)平行于軸時(shí)，
取得最小值，此時(shí)，
此時(shí)
故答案為:.
變式23．（2024·福建福州·高三福建省福州第八中學(xué)校考階段練習(xí)）已知為拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，為圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，那么點(diǎn)到點(diǎn)的距離與點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離之和的最小值是 .
【答案】/
【解析】由題可知，拋物線的準(zhǔn)線方程為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，
圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，
設(shè)點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離為，則，故，
所以當(dāng)動(dòng)點(diǎn)位于線段上時(shí)，點(diǎn)到點(diǎn)的距離與點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離之和最小，
此時(shí).
故答案為：.
【解題方法總結(jié)】
拋物線上任意一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離，利用這一定義可以把相等長(zhǎng)度的線段進(jìn)行轉(zhuǎn)化，從而把兩條線段長(zhǎng)度之和的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間的距離問(wèn)題或點(diǎn)到直線的距離問(wèn)題，即在解題中掌握“拋物線的定義及其性質(zhì)”，若求拋物線上的點(diǎn)到定直線（并非準(zhǔn)線）距離的最值問(wèn)題用參數(shù)法或切線法求解．
題型四：拋物線中三角形，四邊形的面積問(wèn)題
例10．（2024·四川樂(lè)山·統(tǒng)考三模）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，過(guò)點(diǎn)F的直線交C于P，Q兩點(diǎn)，于H，若，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則與的面積之比為（ ）
A．6 B．8 C．12 D．16
【答案】C
【解析】依題意，由于H，得，即是正三角形，，
而，則直線的方程為，
由，消去y并整理，得，
令，解得，又準(zhǔn)線，
因此，
所以與的面積之比.
故選：C.
例11．（2024·山東青島·統(tǒng)考二模）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，與及其準(zhǔn)線依次交于三點(diǎn)（其中點(diǎn)在之間），若，,則的面積是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】過(guò)點(diǎn)作垂直于準(zhǔn)線，垂足為，過(guò)點(diǎn)作垂直于準(zhǔn)線，垂足為，
設(shè)準(zhǔn)線與軸相交于點(diǎn)，
如圖，
則，，
在中，，所以，所以，
在中，，
所以，所以.
又軸，，所以.
又拋物線，則,
所以，所以拋物線，點(diǎn).
因?yàn)椋灾本€的斜率，
則直線，
與拋物線方程聯(lián)立,消并化簡(jiǎn)得,
設(shè)點(diǎn)，則，
則.
又直線可化為，
則點(diǎn)到直線的距離,
所以.
故選:B.
例12．（2024·北京·101中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知直線，定點(diǎn)，P是直線上的動(dòng)點(diǎn)，若經(jīng)過(guò)點(diǎn)F，P的圓與l相切，則這個(gè)圓的面積的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根據(jù)題意，設(shè)圓的圓心為，則圓心到的距離等于到直線的距離，
故的軌跡為拋物線，拋物線方程為，
當(dāng)點(diǎn)與原點(diǎn)重合時(shí)，半徑最小為，
此時(shí)，圓心到直線的距離為，
直線與圓有交點(diǎn)，滿足，圓的面積的最小值為.
故選：B
變式24．（2024·黑龍江大慶·高三肇州縣第二中學(xué)校考階段練習(xí)）已知拋物線，點(diǎn)為拋物線上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)向圓作切線，切點(diǎn)分別為，則四邊形的面積的最小值為（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】C
【解析】如圖所示：
設(shè)，，
連接，圓為：，
則，
則，
當(dāng)點(diǎn)時(shí)，的最小值為，
所以，
故選：C
變式25．（2024·貴州·高三統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）已知拋物線的焦點(diǎn)為是拋物線上的一點(diǎn)， 若， 則 (為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積是（ ）
A． B．1 C．2 D．4
【答案】A
【解析】由題可得，因?yàn)椋?br/>所以，，
所以為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積是.
故選：A.
變式26．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知拋物線：，點(diǎn)為拋物線上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)向圓：作切線，切點(diǎn)分別為，，則四邊形的面積的最小值為（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】C
【解析】如圖，連接，圓：，該圓的圓心與拋物線的焦點(diǎn)重合，半徑為1，
則．
又，所以當(dāng)四邊形的面積最小時(shí)，最小．
過(guò)點(diǎn)向拋物線的準(zhǔn)線作垂線，垂足為，則，
當(dāng)點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合時(shí)，最小，此時(shí)．
故．
故選：C
變式27．（2024·江西宜春·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知斜率為的直線過(guò)拋物線：的焦點(diǎn)且與拋物線相交于兩點(diǎn)，過(guò)分別作該拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，，若與的面積之比為2，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如圖所示：
由拋物線：，得，
設(shè)直線：，，，
由得，
所以，，
由已知和拋物線定義知：，
則有，即，
所以
解得，，.
故選：D
變式28．（2024·安徽淮南·統(tǒng)考二模）拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，過(guò)點(diǎn)F作傾斜角為的直線與拋物線在x軸上方的部分相交于點(diǎn)A，，垂足為K，若的面積是，則p的值為（ ）
A．1 B．2 C． D．3
【答案】B
【解析】根據(jù)拋物線的定義可知，，又，，
故是等邊三角形，又的面積是，
故可得，
故.
故選：B.
【解題方法總結(jié)】
解決此類問(wèn)題經(jīng)常利用拋物線的定義，將拋物線上的點(diǎn)焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，并構(gòu)成直角三角形或直角梯形，從而計(jì)算其面積或面積之比．
題型五：焦半徑問(wèn)題
例13．（2024·江西·高三統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）已知為拋物線：的焦點(diǎn)，，，為上的三點(diǎn)，若，則 .
【答案】
【解析】由題意知，設(shè)，，的橫坐標(biāo)分別為，，，
由，得，所以，
由拋物線的定義得.
故答案為：
例14．（2024·福建福州·校考模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)為曲線上一點(diǎn)，若，則點(diǎn)的坐標(biāo)為 ．
【答案】
【解析】由拋物線可得：，
由拋物線的定義可得：，則，
又因?yàn)辄c(diǎn)為曲線上一點(diǎn)，所以，
所以，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.
故答案為：
例15．（2024·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，若，則 ．
【答案】8
【解析】由題意得，，當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，與拋物線只有1個(gè)交點(diǎn)，不合要求，
故設(shè)直線的方程為，不妨設(shè)，
聯(lián)立，可得，易得，
設(shè)，則，
則，
則，
，
由正弦定理得，，
因?yàn)椋?br/>所以，，即，
又由焦半徑公式可知，
則，即，
即，解得，
則，解得，
故，
當(dāng)時(shí)，同理可得到.
故答案為：8
變式29．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）若過(guò)點(diǎn)向拋物線作兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，則 ．
【答案】/
【解析】由題意可得點(diǎn)F的坐標(biāo)為，點(diǎn)不在拋物線上，
設(shè)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為，
∵，即，則，
可得，
所以拋物線C在點(diǎn)A處的切線方程為，則，
又∵切線過(guò)點(diǎn)可，則，得，
同理可得，
即點(diǎn)A，B的坐標(biāo)滿足方程，
所以直線AB的方程為，即，
聯(lián)立方程，消去y并整得，
則，，，
∵，
則
，
且，
所以．
故答案為：.
變式30．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，過(guò)拋物線上一點(diǎn)A作的垂線，垂足為，設(shè)，若與相交于點(diǎn)的面積為，則拋物線的方程為 .
【答案】
【解析】設(shè)，
又，則，
由拋物線的定義得，所以，則，
由得，即，
所以，,
所以，解得：.
故答案為：
變式31．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，過(guò)拋物線的焦點(diǎn)的直線交拋物線與圓于四點(diǎn)，則 .
【答案】1
【解析】拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，可設(shè)直線方程為，直線，與聯(lián)立得：，可得,,
,
答案為1.
變式32．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）拋物線，直線l經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F，與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，若，則（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積為 ．
【答案】
【解析】由題意可知：，結(jié)合焦半徑公式有：，
解得：，故直線AB的方程為：，
與拋物線方程聯(lián)立可得：，
則，
故的面積.
變式33．（2024·河南南陽(yáng)·南陽(yáng)中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）拋物線: 的焦點(diǎn)為,設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線與兩點(diǎn)，且,則 .
【答案】4
【解析】設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，且
由焦半徑公式得，
當(dāng) 時(shí)，
，
的方程為 ，
則，化簡(jiǎn)可得，
，且，所以，
所以 ，
同理，時(shí)，.
故答案為.
變式34．（2024·廣東茂名·茂名市第一中學(xué)校考三模）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，與拋物線及其準(zhǔn)線依次交于三點(diǎn)（其中點(diǎn)在之間），若.則的面積是 .
【答案】/
【解析】過(guò)點(diǎn)作垂直于準(zhǔn)線，垂足為，過(guò)點(diǎn)作垂直于準(zhǔn)線，垂足為，設(shè)準(zhǔn)線與軸相交于點(diǎn)，如圖，
則，
在中，，所以，所以，
故在中，，所以，則.
又軸，，所以，
又拋物線，則，所以，
所以拋物線，點(diǎn).
因?yàn)椋灾本€的斜率，則直線，
與拋物線方程聯(lián)立，消并化簡(jiǎn)得，
易得，設(shè)點(diǎn)，則，
則，
又直線，可化為，
則點(diǎn)到直線的距離，
所以.
故選：B.
變式35．（多選題）（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線E：的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線l交x軸于點(diǎn)C，直線m過(guò)C且交E于不同的A，B兩點(diǎn)，B在線段上，點(diǎn)P為A在l上的射影．下列命題正確的是（ ）
A．若，則 B．若P，B，F(xiàn)三點(diǎn)共線，則
C．若，則 D．對(duì)于任意直線m，都有
【答案】BCD
【解析】解法一：由已知條件可得
由拋物線的對(duì)稱性，不妨設(shè)直線的方程為
依題意，由整理，得
當(dāng)，即時(shí)，由韋達(dá)定理，
得.
對(duì)于選項(xiàng)，因?yàn)橹本€的斜率為，
所以，即
又，所以，解得，所以
所以，
故，故錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)，易得，所以
當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，，
所以
由和，解得，
所以故正確
對(duì)于選項(xiàng)，過(guò)作，垂足為由已知可得，
所以.
又，所以.
由拋物線的定義，得
因此故正確；
對(duì)于選項(xiàng)，因?yàn)椋?br/>所以，又，
故成立.故正確.
故選：BCD.
解法二：對(duì)于選項(xiàng)，假設(shè)成立，則為等腰直角三角形，
，所以為等腰直角三角形，則點(diǎn)在軸上，這與已知條件顯然矛盾，故
故錯(cuò)誤，其他選項(xiàng)同解法一進(jìn)行判斷.
故選：BCD.
變式36．（多選題）（2024·廣東惠州·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，直線與拋物線C交于A、B兩點(diǎn)，下面說(shuō)法正確的是（ ）
A．拋物線C的準(zhǔn)線方程為 B．
C．時(shí)， D．
【答案】BD
【解析】由題意，可得，，準(zhǔn)線，故A錯(cuò)誤；
設(shè)根據(jù)拋物線的定義可得
，則，，
根據(jù)拋物線的定義可得，
當(dāng)時(shí)，，故，故C錯(cuò)誤；
，故D正確；
取AB的中點(diǎn)M，則M為以AB為直徑的圓的圓心，設(shè)，過(guò)M作MN⊥準(zhǔn)線a于N，過(guò)A作⊥準(zhǔn)線a于，過(guò)B作⊥準(zhǔn)線a于，
根據(jù)梯形的性質(zhì)和拋物線的定義可得，
即以AB為直徑的圓與拋物線C的準(zhǔn)線相切，
則O在以AB為直徑的圓的內(nèi)部，故，故B正確.
故選：BD
變式37．（多選題）（2024·云南昭通·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知A，B是拋物線：上兩動(dòng)點(diǎn)，為拋物線的焦點(diǎn)，則（ ）
A．直線AB過(guò)焦點(diǎn)F時(shí)，最小值為4
B．直線AB過(guò)焦點(diǎn)F且傾斜角為時(shí)，
C．若AB中點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為2，則最大值為5
D．
【答案】BC
【解析】對(duì)于A項(xiàng)，過(guò)點(diǎn)分別作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，
過(guò)點(diǎn)分別作軸的垂線，垂足分別為，準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為，
設(shè)直線的傾斜角為，畫圖為：
根據(jù)拋物線的定義：，從圖可知，，
，在中，，
所以，同理，
則
，故當(dāng)時(shí)，
故最小值為，此時(shí)垂直于軸，所以A不正確；
對(duì)于B項(xiàng)，由A可知，，故B正確；
對(duì)于C項(xiàng)，，
當(dāng)且僅當(dāng)直線過(guò)焦點(diǎn)時(shí)等號(hào)成立，所以最大值為5，故C正確；
當(dāng)直線過(guò)焦點(diǎn)時(shí)，，
當(dāng)直線不過(guò)焦點(diǎn)時(shí)，不是定值，
舉例當(dāng)時(shí)，此時(shí)，，
即，，，故D錯(cuò)誤；
故選：BC.
變式38．（多選題）（2024·湖南常德·常德市一中校考二模）已知點(diǎn)是拋物線上過(guò)焦點(diǎn)的兩個(gè)不同的點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)為F，則（ ）
A．焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為（4，0） B．
C． D．
【答案】BD
【解析】由拋物線，可得焦點(diǎn)為，故A錯(cuò)誤；
由焦半徑公式可得，故B正確；
設(shè)直線的方程為，與拋物線的方程聯(lián)立，可得，
則，，故C錯(cuò)誤；
，故D正確．
故選：BD
變式39．（多選題）（2024·安徽亳州·安徽省亳州市第一中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知為拋物線的焦點(diǎn)，為其準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn).直線與該拋物線交于、兩點(diǎn).則以下描述正確的是（ ）
A．線段的長(zhǎng)為4 B．的面積為
C． D．拋物線在、兩點(diǎn)處的切線交于點(diǎn)
【答案】BC
【解析】拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，所以，
由，消去整理得， 解得，，
此時(shí)，，則，，，
即，，或，，
所以或，故A錯(cuò)誤；
因此，
因此原點(diǎn)到直線的距離等于，
所以，故B正確；
，故C正確；
對(duì)于D：不妨取，，由，，則，
則過(guò)的切線方程為，即，
顯然曲線在點(diǎn)處的切線不過(guò)，故D錯(cuò)誤；
故選：BC
變式40．（多選題）（2024·山東德州·三模）已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，直線與軸交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（ ）
A．若，則 B．
C． D．面積的最小值為16
【答案】ACD
【解析】拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線，，
設(shè)直線為，則，即，
，故，，故，
對(duì)選項(xiàng)A：，正確；
對(duì)選項(xiàng)B：，錯(cuò)誤；
對(duì)選項(xiàng)C：，正確；
對(duì)選項(xiàng)D：，
當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，正確；
故選：ACD.
變式41．（2024·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知F為拋物線的焦點(diǎn)，A，B，C為該拋物線上的三點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，面積分別為 ，若F為的重心，且，則該拋物線的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】設(shè)、、三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，，，，，
拋物線的焦點(diǎn)的坐標(biāo)為,
，，
，
、、在拋物線上，，，，
由此可得：，
點(diǎn)是的重心，
，可得,
因此，,解得 （負(fù)值舍去），
故該拋物線的方程為，
故選：．
變式42．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過(guò)原點(diǎn)O的動(dòng)直線l交拋物線于另一點(diǎn)P，交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)Q，下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．若O為線段PQ中點(diǎn)，則PF＝1 B．若PF＝4，則OP＝2
C．存在直線l，使得PF⊥QF D．△PFQ面積的最小值為2
【答案】D
【解析】拋物線的準(zhǔn)線為,焦點(diǎn)F(1,0).
對(duì)于A：若O為PQ中點(diǎn),所以xp=1,所以,故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B：若,則,所以.故B錯(cuò)誤;
對(duì)于C：設(shè),由O、P、Q三點(diǎn)共線，可得，所以,,所以,所以FP與FQ不垂直,故C錯(cuò)誤;
對(duì)于D：,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取等號(hào)，所以△PFQ面積的最小值為2.故D正確.
故選：D.
變式43．（2024·云南昆明·高三云南省昆明市第十中學(xué)校考開(kāi)學(xué)考試）已知直線與拋物線相切于點(diǎn)，是的焦點(diǎn)，則（ ）
A．6 B．4 C．3 D．2
【答案】D
【解析】聯(lián)立方程組，
整理得，
因?yàn)橹本€與拋物線相切，
則，
解得（舍去）或.
設(shè)，則，
故，則.
故選：D.
變式44．（2024·海南·高三海南中學(xué)校考階段練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，若直線與交于，兩點(diǎn)，且，則（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【解析】令，則，故，所以，
所以，故準(zhǔn)線為，則.
故選：B
變式45．（2024·廣東珠海·珠海市斗門區(qū)第一中學(xué)校考三模）已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)，若，則的面積為（ ）
A．4 B． C． D．2
【答案】D
【解析】由，
得，
則，
根據(jù)拋物線的定義知2，
解得，
代入，
得，
所以的面積為.
故選：D.
變式46．（2024·上海徐匯·上海市南洋模范中學(xué)校考三模）已知拋物線的焦點(diǎn)與的一個(gè)焦點(diǎn)重合，過(guò)焦點(diǎn)的直線與交于，兩不同點(diǎn)，拋物線在，兩點(diǎn)處的切線相交于點(diǎn)，且的橫坐標(biāo)為4，則弦長(zhǎng)（ ）
A．16 B．26 C．14 D．24
【答案】A
【解析】由題意可得，，則，拋物線方程為，準(zhǔn)線方程．
由題意，直線AB的斜率存在，設(shè)直線AB的方程為，
設(shè)，其中，
由，得．
在點(diǎn)A處的切線方程為，化簡(jiǎn)得，①
同理可得在點(diǎn)B處的切線為，②
聯(lián)立①②得，由M的橫坐標(biāo)為4，得，
將AB的方程代入拋物線方程，可得，
，得，
，
則．
故選：A．
【解題方法總結(jié)】
（1）．
（2）．
（3）．
題型六：拋物線的性質(zhì)
例16．（多選題）（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）關(guān)于拋物線，下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．開(kāi)口向左 B．焦點(diǎn)坐標(biāo)為 C．準(zhǔn)線為 D．對(duì)稱軸為軸
【答案】AD
【解析】對(duì)選項(xiàng)A，，開(kāi)口向左，故A正確；
對(duì)選項(xiàng)B，，焦點(diǎn)為，故B錯(cuò)誤；
對(duì)選項(xiàng)C，，準(zhǔn)線方程為，故C錯(cuò)誤；
對(duì)選項(xiàng)D，，對(duì)稱軸為軸，故D正確.
故選：AD
例17．（多選題）（2024·山東日照·高三校聯(lián)考期末）（多選）對(duì)于拋物線上，下列描述正確的是（ ）
A．開(kāi)口向上，焦點(diǎn)為 B．開(kāi)口向上，焦點(diǎn)為
C．焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4 D．準(zhǔn)線方程為
【答案】AC
【解析】由拋物線，即，可知拋物線的開(kāi)口向上，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4，準(zhǔn)線方程為．
故選：AC
例18．（多選題）（2024·浙江金華·模擬預(yù)測(cè)）已知為拋物線上的三個(gè)點(diǎn)，焦點(diǎn)F是的重心．記直線AB，AC，BC的斜率分別為，則（ ）
A．線段BC的中點(diǎn)坐標(biāo)為
B．直線BC的方程為
C．
D．
【答案】ABD
【解析】設(shè)，
因?yàn)镕為重心，
所以，設(shè)BC中點(diǎn)，則，
，由重心分中線得，
即，
又因?yàn)锳在拋物線上，所以，所以，即，故A正確；
，
直線，故B正確；
因?yàn)椋裕裕蔆錯(cuò)誤；
，同理，
所以，故D正確．
故選：ABD
變式47．（多選題）（2024·遼寧大連·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，為上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則（ ）
A．的焦點(diǎn)坐標(biāo)為
B．若，則周長(zhǎng)的最小值為
C．若，則的最小值為
D．在軸上不存在點(diǎn)，使得為鈍角
【答案】BCD
【解析】選項(xiàng)A，拋物線，焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，則，焦點(diǎn)，錯(cuò)誤；
選項(xiàng)B，，，，
設(shè)到準(zhǔn)線的距離為，到準(zhǔn)線的距離為，
則的周長(zhǎng)為，正確；
選項(xiàng)C，設(shè)，，則，
當(dāng)時(shí)，的最小值為，正確；
選項(xiàng)D，設(shè)，，，，
，
，不可能為鈍角，正確；
故選：BCD
變式48．（多選題）（2024·吉林通化·梅河口市第五中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)A是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，為焦點(diǎn)，，且三點(diǎn)順時(shí)針排列，則（ ）
A．當(dāng)點(diǎn)在軸上時(shí)，
B．當(dāng)點(diǎn)在軸上時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為
C．當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱時(shí)，
D．若，則點(diǎn)A與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱
【答案】ABC
【解析】因?yàn)椋詾榈冗吶切危?br/>對(duì)于A，當(dāng)點(diǎn)在軸上時(shí)，又三點(diǎn)順時(shí)針排列，所以大致圖像如圖，
此時(shí)所在直線方程為，與聯(lián)立，消去得，
解得或，所以，故A正確；
對(duì)于B，當(dāng)點(diǎn)在軸上時(shí)，又三點(diǎn)順時(shí)針排列，
所以此時(shí)A點(diǎn)在軸下方，且所在直線方程為，
與聯(lián)立，消去得，解得或，
當(dāng)時(shí)，，即A點(diǎn)坐標(biāo)為，故B正確；
對(duì)于C，當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱時(shí)，又三點(diǎn)順時(shí)針排列，
所以此時(shí)A點(diǎn)在軸上方，且所在直線方程為，
與聯(lián)立，消去得，解得或，所以，故C正確；
對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，得A點(diǎn)橫坐標(biāo)為，此時(shí)A點(diǎn)可能在軸上方，也可能在軸下方.
因?yàn)槿c(diǎn)順時(shí)針排列，
所以當(dāng)A點(diǎn)在軸上方時(shí)，可得點(diǎn)A與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱；
當(dāng)A點(diǎn)在軸下方時(shí)，可得此時(shí)點(diǎn)在軸上，點(diǎn)A與點(diǎn)不關(guān)于軸對(duì)稱；故D錯(cuò)誤；
故選：ABC.
變式49．（多選題）（2024·湖南長(zhǎng)沙·長(zhǎng)沙一中校考模擬預(yù)測(cè)）拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：由其焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)過(guò)拋物線反射后，沿平行于拋物線對(duì)稱軸的方向射出；反之，平行于拋物線對(duì)稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過(guò)拋物線的焦點(diǎn)．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，一束平行于x軸的光線從點(diǎn)射入，經(jīng)過(guò)拋物線上的點(diǎn)反射后，再經(jīng)拋物線上另一點(diǎn)反射后，沿直線射出，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．
B．點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)在直線上
C．直線與直線相交于點(diǎn)D，則A，O，D三點(diǎn)共線
D．直線與間的距離最小值為4
【答案】ACD
【解析】由拋物線的光學(xué)性質(zhì)可知，直線AB過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，
設(shè)直線AB的方程為，
將直線AB的方程代入中，得，
所以由韋達(dá)定理得，，所以，故選項(xiàng)A正確；
若點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)在直線上，則，
所以，即，不一定成立，故不合題意，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；
直線與相交于點(diǎn)，所以直線OD的斜率為，
又直線OA的斜率為，所以，所以A，O，D三點(diǎn)共線，故選項(xiàng)C正確；
直線與間的距離，
當(dāng)時(shí)，d取最小值4，故選項(xiàng)D正確；
故選：ACD.
變式50．（多選題）（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P為C上任意一點(diǎn)，若點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．的最小值為2
B．拋物線C關(guān)于x軸對(duì)稱
C．過(guò)點(diǎn)M與拋物線C有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有且只有一條
D．點(diǎn)P到點(diǎn)M的距離與到焦點(diǎn)F距離之和的最小值為4
【答案】CD
【解析】設(shè)，則，，又拋物線的焦點(diǎn)為，
所以，時(shí)，等號(hào)成立．所以的最小值是1，A錯(cuò)；
拋物線的焦點(diǎn)在軸上，拋物線關(guān)于軸對(duì)稱，B錯(cuò)；
易知點(diǎn)在拋物線的內(nèi)部（含有焦點(diǎn)的部分），因此過(guò)與對(duì)稱軸平行的直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，其他直線與拋物線都有兩個(gè)公共點(diǎn)，C正確；
記拋物線的準(zhǔn)線為，準(zhǔn)線方程為，
過(guò)作于，過(guò)作于，則，
，所以當(dāng)三點(diǎn)共線，即與重合時(shí)，最小，最小值為．D正確．
故選：CD．
變式51．（多選題）（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)F為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)K為點(diǎn)F關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，點(diǎn)M在拋物線C上，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．使得為等腰三角形的點(diǎn)M有且僅有4個(gè)
B．使得為直角三角形的點(diǎn)M有且僅有4個(gè)
C．使得的點(diǎn)M有且僅有4個(gè)
D．使得的點(diǎn)M有且僅有4個(gè)
【答案】ABD
【解析】如圖，
由為等腰三角形，若，則有兩個(gè)點(diǎn)；若，則不存在，若，則有兩個(gè)點(diǎn)，則使得為等腰三角形的點(diǎn)有且僅有4個(gè),故A正確；
由中為直角的點(diǎn)有兩個(gè)；為直角的點(diǎn)不存在；為直角的點(diǎn)有兩個(gè)，則使得為直角三角形的點(diǎn)有且僅有4個(gè)，故B正確；
若的在第一象限，可得直線，代入拋物線的方程可得，解得，由對(duì)稱性可得在第四象限只有一個(gè)，則滿足的有且只有2個(gè)，故C錯(cuò)誤；
使得的點(diǎn)在第一象限，可得直線，
代入拋物線的方程，可得，，
可得點(diǎn)有2個(gè)；若在第四象限，由對(duì)稱性可得也有2個(gè)，則使得的點(diǎn)有且只有4個(gè)，故D正確．
故選：ABD
【解題方法總結(jié)】
在處理拋物線的考題的時(shí)候，要更加注意定義優(yōu)先原則，考察頻率更高，很多問(wèn)題用上拋物線定義可以簡(jiǎn)化計(jì)算．
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