資源簡介

第67講 圓錐曲線離心率題型全歸納
知識梳理
求離心率范圍的方法
一、建立不等式法：
1、利用曲線的范圍建立不等關系．
2、利用線段長度的大小建立不等關系．為橢圓的左、右焦點，為橢圓上的任意一點，；為雙曲線的左、右焦點，為雙曲線上的任一點，．
3、利用角度長度的大小建立不等關系．為橢圓的左、右焦點，為橢圓上的動點，若，則橢圓離心率的取值范圍為．
4、利用題目不等關系建立不等關系．
5、利用判別式建立不等關系．
6、利用與雙曲線漸近線的斜率比較建立不等關系．
7、利用基本不等式，建立不等關系．
二、函數法：
1、根據題設條件，如曲線的定義、等量關系等條件建立離心率和其他一個變量的函數關系式；
2、通過確定函數的定義域；
3、利用函數求值域的方法求解離心率的范圍．
三、坐標法：
由條件求出坐標代入曲線方程建立等量關系．
必考題型全歸納
題型一：建立關于和的一次或二次方程與不等式
例1．（2024·全國·高三專題練習）在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓與雙曲線共焦點，雙曲線實軸的兩頂點將橢圓的長軸三等分，兩曲線的交點與兩焦點共圓，則雙曲線的離心率為（ ）
A． B．2 C． D．
例2．（2024·湖南·高三校聯考階段練習）已知橢圓的左、右焦點分別為，經過的直線交橢圓于兩點，為坐標原點，且，則橢圓的離心率為 .
例3．（2024·海南海口·高三統考期中）已知雙曲線的左頂點為A，右焦點為，過點A的直線l與圓相切，與C交于另一點B，且，則C的離心率為（ ）
A．3 B． C．2 D．
變式1．（2024·貴州·校聯考模擬預測）已知右焦點為的橢圓：上的三點，，滿足直線過坐標原點，若于點，且，則的離心率是（ ）
A． B． C． D．
變式2．（2024·福建龍巖·福建省龍巖第一中學校考模擬預測）已知雙曲線：的右焦點為，過分別作的兩條漸近線的平行線與交于，兩點，若，則的離心率為
變式3．（2024·湖北·高三校聯考階段練習）雙曲線的左焦點為F，直線與雙曲線C的右支交于點D，A，B為線段的兩個三等分點，且（O為坐標原點），則雙曲線C的離心率為 .
變式4．（2024·河南開封·統考模擬預測）已知是雙曲線的右頂點，點在上，為的左焦點，若的面積為，則的離心率為 ．
變式5．（2024·遼寧沈陽·東北育才學校校考一模）如圖，在底面半徑為1，高為6的圓柱內放置兩個球，使得兩個球與圓柱側面相切，且分別與圓柱的上下底面相切.一個與兩球均相切的平面斜截圓柱側面，得到的截線是一個橢圓.則該橢圓的離心率為 .

變式6．（2024·陜西西安·校考三模）已知雙曲線：的左焦點為，過的直線與圓相切于點，與雙曲線的右支交于點，若，則雙曲線的離心率為 .
變式7．（2024·河北·高三校聯考期末）雙曲線：的左焦點為，右頂點為，過且垂直于軸的直線交的漸近線于點，恰為的角平分線，則的離心率為 ．
題型二：圓錐曲線第一定義
例4．（2024·湖南株洲·高三校考階段練習）已知分別為雙曲線的左、右焦點，過原點的直線與交于兩點（點A在第一象限），延長交于點，若，則雙曲線的離心率為 ．
例5．（2024·山西大同·高三統考開學考試）已知橢圓的左、右焦點分別為，，點為上關于坐標原點對稱的兩點，且，且四邊形的面積為，則的離心率為 ．
例6．（2024·全國·高三專題練習）已知橢圓的上、下焦點分別為、，焦距為，與坐標軸不垂直的直線過且與橢圓交于、兩點，點為線段的中點，若，則橢圓的離心率為 ．
變式8．（2024·全國·高三專題練習），是橢圓E：的左，右焦點，點M為橢圓E上一點，點N在x軸上，滿足，，則橢圓E的離心率為 .
變式9．（2024·四川巴中·高三統考開學考試）已知雙曲線的左、右焦點分別為，過斜率為的直線與的右支交于點，若線段恰被軸平分，則的離心率為（ ）
A． B． C．2 D．3
變式10．（2024·內蒙古赤峰·高三統考開學考試）已知，分別為雙曲線Ε：的左、右焦點，過原點O的直線l與E交于A，B兩點（點A在第一象限），延長交E于點C，若，，則雙曲線E的離心率為（ ）
A． B．2 C． D．
變式11．（2024·廣東·高三校聯考階段練習）已知雙曲線C：（，），斜率為的直線l過原點O且與雙曲線C交于P，Q兩點，且以PQ為直徑的圓經過雙曲線的一個焦點，則雙曲線C的離心率為（ ）
A． B． C． D．
變式12．（2024·河南·統考模擬預測）已知雙曲線的上焦點為，點P在雙曲線的下支上，若，且的最小值為7，則雙曲線E的離心率為（ ）
A．2或 B．3或 C．2 D．3
變式13．（2024·全國·高三專題練習）雙曲線具有光學性質，從雙曲線一個焦點發出的光線經過雙曲線鏡面反射，其反射光線的反向延長線經過雙曲線的另一個焦點.若雙曲線的左 右焦點分別為，從發出的光線經過圖中的A，B兩點反射后，分別經過點C和D，且，則E的離心率為（ ）

A． B． C． D．
變式14．（2024·甘肅酒泉·統考三模）已知雙曲線的右焦點為，過點的直線與雙曲線的右支交于，兩點，且，點關于原點的對稱點為點，若，則雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C． D．
變式15．（2024·山西呂梁·統考二模）已知雙曲線：（，）的左、右焦點分別為，，直線與交于，兩點，，且的面積為，則的離心率是（ ）
A． B． C．2 D．3
題型三：圓錐曲線第二定義
例7．（2024·全國·高三專題練習）古希臘數學家歐幾里得在《幾何原本》中描述了圓錐曲線的共性，并給出了圓錐曲線的統一定義，他指出，平面內到定點的距離與到定直線的距離的比是常數的點的軌跡叫做圓錐曲線；當時，軌跡為橢圓；當時，軌跡為拋物線；當時，軌跡為雙曲線.則方程表示的圓錐曲線的離心率等于（ ）
A． B． C． D．5
例8．（2024·北京石景山·高三專題練習）已知雙曲線的左、右焦點分別為，為左支上一點，到左準線的距離為，若、、成等比數列，則其離心率的取值范圍是（ ）
A．， B．， C．， D．，
例9．（2024·全國·高三專題練習）已知雙曲線的右焦點為，過且斜率為的直線交于、兩點，若，則的離心率為（ ）
A． B． C． D．
題型四：圓錐曲線第三定義（斜率之積）
例10．（2024·云南曲靖·高三校聯考階段練習）已知雙曲線：虛軸的一個頂點為，直線與交于，兩點，若的垂心在的一條漸近線上，則的離心率為 .
例11．（2024·陜西西安·西安市大明宮中學校考模擬預測）已知橢圓C：的焦距為2c，左焦點為F，直線l與C相交于A，B兩點，點P是線段AB的中點，P的橫坐標為．若直線l與直線PF的斜率之積等于，則C的離心率為 ．
例12．（2024·山東濟南·高三統考開學考試）已知橢圓：的上頂點為，兩個焦點為，，線段的垂直平分線過點，則橢圓的離心率為 ．
變式16．（2024·山東青島·高三統考期末）已知雙曲線與直線相交于，兩點，點為雙曲線上的一個動點，記直線，的斜率分別為，，若，且雙曲線的右焦點到其一條漸近線的距離為1，則雙曲線的離心率為 ．
變式17．（2024·山東·高三校聯考開學考試）如圖，A，分別是橢圓的左、右頂點，點在以為直徑的圓上（點異于A，兩點），線段與橢圓交于另一點，若直線的斜率是直線的斜率的4倍，則橢圓的離心率為（ ）

A． B． C． D．
題型五：利用數形結合求解
例13．（2024·廣西·模擬預測）如圖1所示，雙曲線具有光學性質：從雙曲線右焦點發出的光線經過雙曲線鏡面反射，其反射光線的反向延長線經過雙曲線的左焦點.若雙曲線的左 右焦點分別為，從發出的光線經過圖2中的兩點反射后，分別經過點和，且，，則雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C． D．
例14．（2024·河北秦皇島·高三校聯考開學考試）已知是橢圓的兩個焦點，點在上，若的離心率，則使為直角三角形的點有（ ）個
A．2 B．4 C．6 D．8
例15．（2024·湖北武漢·高三武漢市第六中學校聯考階段練習）過雙曲線的左焦點F作的一條切線，設切點為T，該切線與雙曲線E在第一象限交于點A，若，則雙曲線E的離心率為（ ）
A． B． C． D．
變式18．（2024·云南昆明·高三昆明一中校考階段練習）已知點是橢圓上的一點，是的兩個焦點，若，則橢圓的離心率的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
題型六：利用正弦定理
例16．（2024·全國·高三專題練習）已知，分別為橢圓的兩個焦點，P是橢圓E上的點，，且，則橢圓E的離心率為（ ）
A． B． C． D．
例17．（2024·全國·高三專題練習）過橢圓的左、右焦點，作傾斜角分別為和的兩條直線，．若兩條直線的交點P恰好在橢圓上，則橢圓的離心率為（ ）
A． B．
C． D．
例18．（2024·江蘇·揚州中學高三開學考試）已知橢圓的左、右焦點分別為，，若橢圓上存在點（異于長軸的端點），使得，則該橢圓離心率的取值范圍是______．
變式19．（2024·廣西南寧·南寧市武鳴區武鳴高級中學校考二模）設、分別為橢圓的左、右焦點，橢圓上存在點M，，，使得離心率，則e取值范圍為 ．
變式20．（2024·江西吉安·高三吉安一中校考開學考試）點P是雙曲線：（，）和圓：的一個交點，且，其中，是雙曲線的兩個焦點，則雙曲線的離心率為 ．
變式21．（2024·全國·高三專題練習）已知橢圓與雙曲線共焦點，F1、F2分別為左、右焦點，曲線與在第一象限交點為，且離心率之積為1.若，則該雙曲線的離心率為 .
題型七：利用余弦定理
例19．（2024·福建福州·高三福建省福州第八中學校考階段練習）已知雙曲線的左、右焦點分別為，P是C右支上一點，線段與C的左支交于點M．若，且，則的離心率為 ．
例20．（2024·江蘇淮安·高三統考開學考試）橢圓的左、右焦點分別為，上頂點為A，直線與橢圓C交于另一點B，若，則橢圓C的離心率為 ．
例21．（2024·河北唐山·模擬預測）已知是橢圓的左，右焦點，上兩點滿足，則的離心率為 ．
變式22．（2024·廣東湛江·高三校聯考階段練習）已知雙曲線的離心率為2，左、右頂點分別為，右焦點為，點在的右支上，且滿足，則（ ）
A． B．1 C． D．2
變式23．（2024·河南·校聯考二模）已知雙曲線的左、右焦點分別是，，P是雙曲線C上的一點，且，，，則雙曲線C的離心率是（ ）
A．7 B． C． D．
變式24．（2024·浙江·高三校聯考階段練習）已知橢圓的左、右焦點分別為，，點在上，且，直線與交于另一點，與軸交于點，若，則的離心率為（ ）
A． B． C． D．
變式25．（2024·江西撫州·高三黎川縣第二中學校考開學考試）已知雙曲線C：的右焦點F的坐標為，點P在第一象限且在雙曲線C的一條漸近線上，O為坐標原點，若，，則雙曲線C的離心率為（ ）
A． B．2 C． D．3
變式26．（2024·廣西百色·高三貴港市高級中學校聯考階段練習）已知橢圓C：的左、右焦點分別為，，點P在C上，若，，則C的離心率為 ．
變式27．（2024·廣東深圳·高三校聯考期中）設，是雙曲線C：的左、右焦點，過的直線與C的左、右兩支分別交于A，B兩點，點M在x軸上，，平分，則C的離心率為（ ）
A． B．
C． D．
變式28．（2024·云南·高三云南師大附中校考階段練習）已知雙曲線C：的左、右焦點分別為，，O為坐標原點，過作C的一條漸近線的垂線，垂足為M，且，則C的離心率為（ ）
A． B．2 C． D．
題型八：內切圓問題
例22．（2024·四川成都·高三成都七中校考階段練習）雙曲線其左、右焦點分別為，傾斜角為的直線與雙曲線H在第一象限交于點P，設內切圓半徑為r，若，則雙曲線H的離心率的取值范圍為 .
例23．（2024·全國·高三對口高考）橢圓的四個頂點構成菱形的內切圓恰好過焦點，則橢圓的離心率 ．
例24．（2024·廣東深圳·校考二模）已知橢圓的左 右焦點分別為 ，P為橢圓上一點（異于左右頂點），的內切圓半徑為r，若r的最大值為，則橢圓的離心率為 .
變式29．（2024·湖南長沙·高三長沙一中校考階段練習）雙曲線的左，右焦點分別為，，右支上有一點M，滿足，的內切圓與y軸相切，則雙曲線C的離心率為 ．
變式30．（2024·全國·高三專題練習）已知橢圓的左、右焦點分別為，，點是上一點，點是直線與軸的交點，的內切圓與相切于點，若，則橢圓的離心率 ．
變式31．（2024·全國·高三專題練習）已知橢圓：的左、右焦點分別是，，斜率為的直線經過左焦點且交C于A，B兩點（點A在第一象限），設的內切圓半徑為，的內切圓半徑為，若，則橢圓的離心率 ．
變式32．（2024·福建泉州·高三校考階段練習）已知橢圓的左、右焦點分別是，，斜率為的直線經過左焦點且交于，兩點（點在第一象限），設的內切圓半徑為，的內切圓半徑為，若，則橢圓的離心率 ．
變式33．（2024·山東聊城·統考一模）是橢圓的兩個焦點，是橢圓上異于頂點的一點，是的內切圓圓心，若的面積等于的面積的3倍，則橢圓的離心率為 .
題型九：橢圓與雙曲線共焦點
例25．（2024·全國·高三專題練習）橢圓與雙曲線共焦點，，它們在第一象限的交點為，設，橢圓與雙曲線的離心率分別為，，則（ ）
A． B．
C． D．
例26．（2024·全國·高三專題練習）橢圓與雙曲線共焦點，，它們的交點對兩公共焦點，張的角為.橢圓與雙曲線的離心率分別為，，則
A． B．
C． D．
例27．（多選題）（2024·全國·高三專題練習）如圖，P是橢圓與雙曲線在第一象限的交點，且共焦點的離心率分別為，則下列結論不正確的是（ ）
A． B．若，則
C．若，則的最小值為2 D．
變式34．（多選題）（2024·全國·高三專題練習）如圖，是橢圓與雙曲線（）在第一象限的交點，且共焦點的離心率分別為，則下列結論正確的是（ ）
A．
B．若，則
C．若，則的最小值為2
D．
變式35．（多選題）（2024·全國·高三專題練習）如圖，是橢圓與雙曲線在第一象限的交點，且共焦點的離心率分別為，則下列結論正確的是（ ）
A． B．若，則
C．若，則的最小值為2 D．
變式36．（2024·新疆·統考三模）在中，，，，橢圓和雙曲線以A，B為公共焦點且都經過點C，則與的離心率之和為 ．
題型十：利用最大頂角
例28．（2024·全國·高二課時練習）已知橢圓：，點，是長軸的兩個端點，若橢圓上存在點，使得，則該橢圓的離心率的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
例29．（2024·全國·高二專題練習）設A，B是橢圓C：長軸的兩個端點，若C上存在點M滿足∠AMB=120°，則橢圓C的離心率的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
例30．（2024·全國·模擬預測）已知橢圓，點是上任意一點，若圓上存在點、，使得，則的離心率的取值范圍是( )
A． B． C． D．
變式37．（2024·四川成都·高三樹德中學校考開學考試）已知、是橢圓的兩個焦點，滿足的點M總在橢圓內部，則橢圓離心率的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
題型十一：基本不等式
例31．（2024·全國·高三專題練習）設橢圓的右焦點為，橢圓上的兩點，關于原點對你，且滿足，，則橢圓的離心率的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
例32．（2024·江蘇南京·高三階段練習）設、分別是橢圓：的左、右焦點，是橢圓準線上一點，的最大值為60°，則橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
例33．（2024·山西運城·高三期末）已知點為橢圓的左頂點，為坐標原點，過橢圓的右焦點F作垂直于x軸的直線l，若直線l上存在點P滿足，則橢圓離心率的最大值______________.
題型十二：已知范圍
例34．（2024·四川省南充市白塔中學高三開學考試）已知、分別為橢圓的左、右焦點，為右頂點，為上頂點，若在線段上（不含端點）存在不同的兩點，使得，則橢圓的離心率的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
例35．（2024·全國·高二專題練習）已知，是橢圓：的左右焦點，若橢圓上存在一點使得，則橢圓的離心率的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
例36．（2024·全國·高三開學考試）設，分別是橢圓的左 右焦點，若橢圓E上存在點P滿足，則橢圓E離心率的取值范圍（ ）
A． B． C． D．
題型十三：
例37．（2024·江蘇·海安縣實驗中學高二階段練習）已知橢圓：的左、右焦點分別為，，若橢圓上存在一點，使得，則橢圓的離心率的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
例38．（2024·浙江湖州·高二期中）已知橢圓的左右焦點分別為F1，F2，離心率為e，若橢圓上存在點P，使得，則該離心率e的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
例39．（2024·全國·高二課時練習）已知橢圓上存在點，使得，其中，分別為橢圓的左、右焦點，則該橢圓的離心率的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
題型十四：中點弦
例40．（2024·全國·高三開學考試）已知雙曲線與斜率為1的直線交于A，B兩點，若線段AB的中點為，則C的離心率（ ）
A． B． C． D．
例41．（2024·全國·高三專題練習）已知橢圓：的左焦點為，過作一條傾斜角為的直線與橢圓交于，兩點，為線段的中點，若（為坐標原點），則橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
例42．（2024·全國·高三專題練習）已知橢圓()的右焦點為，離心率為，過點的直線交橢圓于，兩點，若的中點為，則直線的斜率為（ ）
A． B． C． D．1
題型十五：已知焦點三角形兩底角
例43．（2024·廣西·江南中學高二階段練習）已知，分別是橢圓：的左右兩個焦點，若在上存在點使，且滿足，則橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
例44．（多選題）（2024·湖南·高二期末）已知雙曲線的左、右焦點分別為，雙曲線上存在點（點不與左、右頂點重合），使得，則雙曲線的離心率的可能取值為 （ ）
A． B． C． D．2
例45．（2024·全國·高三專題練習）已知雙曲線的左 右焦點分別為，為雙曲線右支上的一點，若在以為直徑的圓上，且，則該雙曲線離心率的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
題型十六：利用漸近線的斜率
例46．（2024·云南紅河·高三開遠市第一中學校校考開學考試）已知雙曲線的右焦點為，直線與雙曲線交于兩點，與雙曲線的漸近線交于兩點，若，則雙曲線的離心率是 ．
例47．（2024·四川內江·高三期末）已知雙曲線的左右焦點分別為、，過點的直線與雙曲線的漸近線交于兩點，點在第一象限，兩點到軸的距離之和為，若以為直徑的圓過線段的中點，則雙曲線的離心率的平方為 ．
例48．（2024·河南信陽·高三信陽高中校考階段練習）已知雙曲線的一條漸近線被圓截得的弦長為，則雙曲線的離心率為 .
變式38．（2024·全國·鎮海中學校聯考模擬預測）已知是雙曲線的左焦點，是的右頂點，過點作軸的垂線交雙曲線的一條漸近線于點，連接交另一條漸近線于點.若，則雙曲線的離心率為 .
變式39．（2024·四川成都·校考模擬預測）已知雙曲線的左 右焦點分別為，點是的一條漸近線上的兩點，且（為坐標原點），．若為的左頂點，且，則雙曲線的離心率為
變式40．（2024·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第六中學校校考三模）已知，分別為雙曲線C：的左、右焦點，過作C的兩條漸近線的平行線，與漸近線交于兩點.若，則C的離心率為 .
變式41．（2024·山東菏澤·高三統考期末）已知為原點，雙曲線上有一點，過作兩條漸近線的平行線，且與兩漸近線的交點分別為，平行四邊形的面積為1，則雙曲線的離心率為 ．
變式42．（2024·全國·高三專題練習）已知F是橢圓：（）的右焦點，A為橢圓的下頂點，雙曲線：（，）與橢圓共焦點，若直線與雙曲線的一條漸近線平行，，的離心率分別為，，則的最小值為 ．
變式43．（2024·安徽安慶·安慶一中校考三模）過雙曲線：的右焦點作雙曲線一條漸近線的垂線，垂足為，且與另一條漸近線交于點，若，則雙曲線的離心率是（ ）
A． B．或 C． D．
變式44．（2024·江西九江·統考一模）已知雙曲線()，過點作的一條漸近線的垂線，垂足為，過點作軸的垂線交于點，若與的面積相等(為坐標原點)，則的離心率為（ ）
A． B． C． D．
變式45．（2024·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學校考階段練習）已知為雙曲線的一個焦點，過平行于的一條漸近線的直線交于點，（為坐標原點），則雙曲線的離心率為 .
題型十七：坐標法
例49．（2024·陜西咸陽·武功縣普集高級中學校考模擬預測）雙曲線：的左 右焦點分別為，，過作的垂線，交雙曲線于，兩點，是雙曲線的右頂點，連接，，并延長分別交軸于點，.若點在以為直徑的圓上，則雙曲線的離心率為 .
例50．（2024·安徽·高三校聯考階段練習）如圖，橢圓：()的右焦點為F，離心率為e，點P是橢圓上第一象限內任意一點且，，．若，則離心率e的最小值是 ．

例51．（2024·山東·高三校聯考階段練習）已知雙曲線（，），直線的斜率為，且過點，直線與軸交于點，點在的右支上，且滿足，則的離心率為（ ）
A． B．2
C． D．
變式46．（2024·全國·高三專題練習）已知橢圓：的右焦點為，過點作傾斜角為的直線交橢圓于、兩點，弦的垂直平分線交軸于點P，若，則橢圓的離心率 ．
變式47．（2024·湖南永州·統考一模）已知橢圓的左、右焦點分別是，點是橢圓上位于第一象限的一點，且與軸平行，直線與的另一個交點為，若，則的離心率為（ ）
A． B． C． D．
變式48．（2024·四川南充·高三四川省南充高級中學校考階段練習）已知雙曲線的左右焦點點關于一條漸近線的對稱點在另一條漸近線上，則雙曲線C的離心率是（ ）
A． B． C．2 D．3
變式49．（2024·重慶沙坪壩·高三重慶一中校考開學考試）設分別為橢圓的左右焦點，M為橢圓上一點，直線分別交橢圓于點A，B，若，則橢圓離心率為（ ）
A． B． C． D．
變式50．（2024·安徽·高三宿城一中校聯考階段練習）已知橢圓C：（）的左焦點為，過左焦點作傾斜角為的直線交橢圓于A，B兩點，且，則橢圓C的離心率為（ ）
A． B． C． D．
變式51．（2024·福建廈門·廈門一中校考模擬預測）已知為雙曲線：的右焦點，平行于軸的直線分別交的漸近線和右支于點，，且，，則的離心率為（ ）
A． B． C． D．
變式52．（2024·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中學校考階段練習）設橢圓的左焦點為，為坐標原點，過且斜率為的直線交橢圓于，兩點（在軸上方）.關于軸的對稱點為，連接并延長交軸于點，若，，成等比數列，則橢圓的離心率的值為（ ）
A． B． C． D．
變式53．（2024·陜西商洛·高三陜西省山陽中學校聯考階段練習）已知雙曲線的右焦點為，以坐標原點為圓心，線段為半徑作圓，與的右支的一個交點為A，若，則的離心率為（ ）
A． B．2 C． D．
題型十八：利用焦半徑的取值范圍
例52．（2024·全國·高三專題練習）已知雙曲線的左 右焦點分別為.若雙曲線的右支上存在點，使，則雙曲線的離心率的取值范圍為___________.
例53．（2024·吉林長春·二模）已知雙曲線的左、右焦點分別為，，點P在雙曲線的右支上，且，則雙曲線離心率的取值范圍是　　
A． B． C． D．
例54．（2024·江蘇·金沙中學高二階段練習）設雙曲線的焦距為，左、右焦點分別是，，點P在C的右支上，且，則C的離心率的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
變式54．（2024·全國·高三專題練習）在平面直角坐標系中，橢圓上存在點，使得，其中、分別為橢圓的左、右焦點，則該橢圓的離心率取值范圍是________．
變式55．（2024·河南·信陽高中高三期末）若橢圓上存在一點，使得，其中分別是的左、右焦點，則的離心率的取值范圍為______.
題型十九：四心問題
例55．（2024·全國·校聯考模擬預測）已知雙曲線的左、右焦點分別為，，M是雙曲線C右支上一點，記的重心為G，內心為I．若，則雙曲線C的離心率為 ．
例56．（2024·全國·高三專題練習）已知，分別為橢圓的左 右焦點，點P在第一象限內，，G為重心，且滿足，線段交橢圓C于點M，若，則橢圓C的離心率為 .
例57．（2024·全國·高三專題練習）已知坐標平面xOy中，點，分別為雙曲線的左、右焦點，點M在雙曲線C的左支上，與雙曲線C的一條漸近線交于點D，且D為的中點，點I為的外心，若O、I、D三點共線，則雙曲線C的離心率為 ．
變式56．（2024·全國·高三專題練習）已知點分別為雙曲線的左、右焦點，點A，B在C的右支上，且點恰好為的外心，若，則C的離心率為 .
變式57．（2024·山西太原·高三山西大附中校考開學考試）已知雙曲線的左 右焦點分別為，離心率為2，焦點到漸近線的距離為.過作直線交雙曲線的右支于兩點，若分別為與的內心，則的取值范圍為 .
變式58．（2024·全國·高三專題練習）在平面直角坐標系中，橢圓E以兩坐標軸為對稱軸，左，右頂點分別為A，B，點P為第一象限內橢圓上的一點，P關于x軸的對稱點為Q，過P作橢圓的切線，若，且的垂心恰好為坐標原點O，記橢圓E的離心率為e，則的值為
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21世紀教育網(www.21cnjy.com)第67講 圓錐曲線離心率題型全歸納
知識梳理
一、建立不等式法：
1、利用曲線的范圍建立不等關系．
2、利用線段長度的大小建立不等關系．為橢圓的左、右焦點，為橢圓上的任意一點，；為雙曲線的左、右焦點，為雙曲線上的任一點，．
3、利用角度長度的大小建立不等關系．為橢圓的左、右焦點，為橢圓上的動點，若，則橢圓離心率的取值范圍為．
4、利用題目不等關系建立不等關系．
5、利用判別式建立不等關系．
6、利用與雙曲線漸近線的斜率比較建立不等關系．
7、利用基本不等式，建立不等關系．
二、函數法：
1、根據題設條件，如曲線的定義、等量關系等條件建立離心率和其他一個變量的函數關系式；
2、通過確定函數的定義域；
3、利用函數求值域的方法求解離心率的范圍．
三、坐標法：
由條件求出坐標代入曲線方程建立等量關系．
必考題型全歸納
題型一：建立關于和的一次或二次方程與不等式
例1．（2024·全國·高三專題練習）在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓與雙曲線共焦點，雙曲線實軸的兩頂點將橢圓的長軸三等分，兩曲線的交點與兩焦點共圓，則雙曲線的離心率為（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【解析】設雙曲線的實半軸長為a，由雙曲線實軸的兩頂點將橢圓的長軸三等分，可得橢圓的長半軸為3a，半焦距為c，設P為橢圓與雙曲線在第一象限的交點，設，，則，可得，
由題意P在以為直徑的圓上，所以，
所以可得，即離心率，
故選：C
例2．（2024·湖南·高三校聯考階段練習）已知橢圓的左、右焦點分別為，經過的直線交橢圓于兩點，為坐標原點，且，則橢圓的離心率為 .
【答案】/
【解析】因為，所以，
即，
所以，所以.
設，則，所以，
由得，
所以，所以，
在中，由，
得，所以.
故答案為: .
例3．（2024·海南海口·高三統考期中）已知雙曲線的左頂點為A，右焦點為，過點A的直線l與圓相切，與C交于另一點B，且，則C的離心率為（ ）
A．3 B． C．2 D．
【答案】A
【解析】顯然圓的圓心為，半徑為，令直線l與圓相切的切點為，連接，
則，有，而，又，因此，解得，
所以雙曲線C的離心率為.
故選：A
變式1．（2024·貴州·校聯考模擬預測）已知右焦點為的橢圓：上的三點，，滿足直線過坐標原點，若于點，且，則的離心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】設橢圓左焦點為，連接 ，，，
設，，結合橢圓對稱性得，
由橢圓定義得，，則.
因為，，
則四邊形為平行四邊形，
則，而，故，
則，即，
整理得，在中，，
即，即，
∴，故.
故選：A
變式2．（2024·福建龍巖·福建省龍巖第一中學校考模擬預測）已知雙曲線：的右焦點為，過分別作的兩條漸近線的平行線與交于，兩點，若，則的離心率為
【答案】/
【解析】如圖所示：
設直線方程為與雙曲線方程聯立，
解得，
因為，
所以，
即，即，
解得，
故答案為：
變式3．（2024·湖北·高三校聯考階段練習）雙曲線的左焦點為F，直線與雙曲線C的右支交于點D，A，B為線段的兩個三等分點，且（O為坐標原點），則雙曲線C的離心率為 .
【答案】
【解析】由題意得，取中點，連接，設雙曲線C的右焦點為，連接，
因為，所以，
又A，B為線段的兩個三等分點，所以，即為的中點，
又為的中點，所以，故，
設，則，又，
由勾股定理得，則，
由雙曲線定義得，即①，
在Rt中，由勾股定理得，
即②，
由①得，兩邊平方得，
解得或（負值舍去），
將代入②得，故離心率為.
故答案為：
變式4．（2024·河南開封·統考模擬預測）已知是雙曲線的右頂點，點在上，為的左焦點，若的面積為，則的離心率為 ．
【答案】
【解析】由題設知：，則，
所以且，易知：，
又，故，且，
所以，則，
化簡得，解得或（舍），
綜上，，故，則離心率為.
故答案為：
變式5．（2024·遼寧沈陽·東北育才學校校考一模）如圖，在底面半徑為1，高為6的圓柱內放置兩個球，使得兩個球與圓柱側面相切，且分別與圓柱的上下底面相切.一個與兩球均相切的平面斜截圓柱側面，得到的截線是一個橢圓.則該橢圓的離心率為 .

【答案】
【解析】如圖所示：
由題意可得，所以，
又因為，結合可知
，
所以，而，即，
所以，所以離心率.
故答案為：.
變式6．（2024·陜西西安·校考三模）已知雙曲線：的左焦點為，過的直線與圓相切于點，與雙曲線的右支交于點，若，則雙曲線的離心率為 .
【答案】
【解析】由題知，記右焦點為，過做如圖所示，
與圓相切，
，，
，，
為中點，，
故，且相似比為，
即，，
，
，，
在雙曲線中，有，
，
，，
為直角三角形，
，
即，
化簡可得，上式兩邊同時平方，將代入可得，
則，即離心率.
故答案為：
變式7．（2024·河北·高三校聯考期末）雙曲線：的左焦點為，右頂點為，過且垂直于軸的直線交的漸近線于點，恰為的角平分線，則的離心率為 ．
【答案】2
【解析】設，作出圖像，如下圖：
根據題意易知，且，又，
所以由勾股定理可得：，
又恰為的角平分線，
所以根據角平分線性質定理可得：，
，又，
，
，即，
，即，
又，
所以解得：.
故答案為：.
題型二：圓錐曲線第一定義
例4．（2024·湖南株洲·高三校考階段練習）已知分別為雙曲線的左、右焦點，過原點的直線與交于兩點（點A在第一象限），延長交于點，若，則雙曲線的離心率為 ．
【答案】
【解析】由題意關于原點對稱，又也關于原點對稱，所以四邊形是平行四邊形，所以，所以為等邊三角形，
則，則，由雙曲線的定義，得，
所以，則．
故答案為：．
例5．（2024·山西大同·高三統考開學考試）已知橢圓的左、右焦點分別為，，點為上關于坐標原點對稱的兩點，且，且四邊形的面積為，則的離心率為 ．
【答案】
【解析】因為點為上關于坐標原點對稱的兩點，且，
所以四邊形為矩形，即，
所以，
由橢圓定義與勾股定理知：，
所以，所以，所以，
即C的離心率為．
故答案為：
例6．（2024·全國·高三專題練習）已知橢圓的上、下焦點分別為、，焦距為，與坐標軸不垂直的直線過且與橢圓交于、兩點，點為線段的中點，若，則橢圓的離心率為 ．
【答案】/
【解析】因為點為線段的中點，，則，
所以，為等腰直角三角形，
設，則，
由橢圓的定義可得，
所以，，
所以，，
由勾股定理可得，即，
整理可得，因此，該橢圓的離心率為.
故答案為：.
變式8．（2024·全國·高三專題練習），是橢圓E：的左，右焦點，點M為橢圓E上一點，點N在x軸上，滿足，，則橢圓E的離心率為 .
【答案】
【解析】因為，
所以，則是的角平分線，
所以，
又因為，
所以，設，
由橢圓定義得，
即，解得，
則，
則，
所以，則，
故答案為：
變式9．（2024·四川巴中·高三統考開學考試）已知雙曲線的左、右焦點分別為，過斜率為的直線與的右支交于點，若線段恰被軸平分，則的離心率為（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】C
【解析】如圖，設交y軸與A，A為的中點，
因為O為的中點，故為的中位線，
則，而，則,
因為直線的斜率為，故中，，
故設，則，
結合雙曲線定義以及P在雙曲線右支上，即有，
則，
故選：C
變式10．（2024·內蒙古赤峰·高三統考開學考試）已知，分別為雙曲線Ε：的左、右焦點，過原點O的直線l與E交于A，B兩點（點A在第一象限），延長交E于點C，若，，則雙曲線E的離心率為（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】A
【解析】結合雙曲線的對稱性可知，，，
所以為等邊三角形，則，則.
由雙曲線的定義，得，所以，，
則.
故選：A
變式11．（2024·廣東·高三校聯考階段練習）已知雙曲線C：（，），斜率為的直線l過原點O且與雙曲線C交于P，Q兩點，且以PQ為直徑的圓經過雙曲線的一個焦點，則雙曲線C的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】設雙曲線C的左焦點，右焦點為，P為第二象限上的點，
連接PF，，QF，，
根據雙曲線的性質和直線l的對稱性知，四邊形為平行四邊形.
因為以PQ為直徑的圓經過雙曲線的一個焦點，
所以，即四邊形為矩形，
由直線l的斜率為，得，
又，則是等邊三角形，所以.
在中，，則，故，
又由雙曲線定義知，所以，
則.
故選：B.
變式12．（2024·河南·統考模擬預測）已知雙曲線的上焦點為，點P在雙曲線的下支上，若，且的最小值為7，則雙曲線E的離心率為（ ）
A．2或 B．3或 C．2 D．3
【答案】D
【解析】設雙曲線的下焦點為，可知，
則，即，
則，
當且僅當三點共線時，等號成立，
由題意可得，且，
因為在上單調遞增，且，
所以方程，且，解得，
則，所以雙曲線E的離心率為.
故選：D.
變式13．（2024·全國·高三專題練習）雙曲線具有光學性質，從雙曲線一個焦點發出的光線經過雙曲線鏡面反射，其反射光線的反向延長線經過雙曲線的另一個焦點.若雙曲線的左 右焦點分別為，從發出的光線經過圖中的A，B兩點反射后，分別經過點C和D，且，則E的離心率為（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由題意知延長則必過點,如圖：
由雙曲線的定義知，
又因為，所以，
因為，所以，
設，則，因此，
從而由得，所以，
則，，，
又因為，所以，
即，即，
故選：B.
變式14．（2024·甘肅酒泉·統考三模）已知雙曲線的右焦點為，過點的直線與雙曲線的右支交于，兩點，且，點關于原點的對稱點為點，若，則雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】設雙曲線的左焦點為，連接，，，如圖所示，
又因為，所以，
所以四邊形為矩形，
設，則，
由雙曲線的定義可得：，，
又因為為直角三角形，
所以，即，解得，
所以，，
又因為為直角三角形，，
所以，即：，
所以，即.
故選：D.
變式15．（2024·山西呂梁·統考二模）已知雙曲線：（，）的左、右焦點分別為，，直線與交于，兩點，，且的面積為，則的離心率是（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】B
【解析】如圖，若在第一象限，因為，所以，
由圖形的對稱性知四邊形為矩形，因為的面積為，所以，
又因為，所以，，
在中，，解得．
故選：B
題型三：圓錐曲線第二定義
例7．（2024·全國·高三專題練習）古希臘數學家歐幾里得在《幾何原本》中描述了圓錐曲線的共性，并給出了圓錐曲線的統一定義，他指出，平面內到定點的距離與到定直線的距離的比是常數的點的軌跡叫做圓錐曲線；當時，軌跡為橢圓；當時，軌跡為拋物線；當時，軌跡為雙曲線.則方程表示的圓錐曲線的離心率等于（ ）
A． B． C． D．5
【答案】B
【解析】因為，
所以，
表示點到定點的距離與到定直線的距離比為，
所以.
故選：B
例8．（2024·北京石景山·高三專題練習）已知雙曲線的左、右焦點分別為，為左支上一點，到左準線的距離為，若、、成等比數列，則其離心率的取值范圍是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】D
【解析】，
，即①，
又②．
由①②解得：，，
又在焦點三角形中：，
即：，即，
解得：，
又，
，
故選：D．
例9．（2024·全國·高三專題練習）已知雙曲線的右焦點為，過且斜率為的直線交于、兩點，若，則的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】設雙曲線的右準線為，
過、分別作于，于，于，
如圖所示：
因為直線的斜率為，
所以直線的傾斜角為，
∴，，
由雙曲線的第二定義得：，
又∵，
∴，
∴
故選：B
題型四：圓錐曲線第三定義（斜率之積）
例10．（2024·云南曲靖·高三校聯考階段練習）已知雙曲線：虛軸的一個頂點為，直線與交于，兩點，若的垂心在的一條漸近線上，則的離心率為 .
【答案】
【解析】如圖，設的垂心為，則有,
不妨設,則，
因為在漸近線上，所以，
直線與交于，兩點，
所以，解得，
所以
又因為,
所以，
整理得，，所以，
故答案為: .
例11．（2024·陜西西安·西安市大明宮中學校考模擬預測）已知橢圓C：的焦距為2c，左焦點為F，直線l與C相交于A，B兩點，點P是線段AB的中點，P的橫坐標為．若直線l與直線PF的斜率之積等于，則C的離心率為 ．
【答案】/
【解析】，
設，
因為點P是線段AB的中點，P的橫坐標為，
所以，
則，
由直線l與C相交于A，B兩點，
得，
兩式相減得，
即，
所以，
即，所以，
則，
所以，
所以離心率.
故答案為：.
例12．（2024·山東濟南·高三統考開學考試）已知橢圓：的上頂點為，兩個焦點為，，線段的垂直平分線過點，則橢圓的離心率為 ．
【答案】/
【解析】
如圖，設的垂直平分線與交于點，
由題，，，，則，
，，
，
，化簡得，，
由，解得，
，即.
故答案為：.
變式16．（2024·山東青島·高三統考期末）已知雙曲線與直線相交于，兩點，點為雙曲線上的一個動點，記直線，的斜率分別為，，若，且雙曲線的右焦點到其一條漸近線的距離為1，則雙曲線的離心率為 ．
【答案】
【解析】設點，，，則且，
兩式相減，得，所以，
因為，所以，所以，
所以雙曲線的漸近線方程為，即，
因為焦點到漸近線的距離為，
所以，可得，又因為，所以，
所以雙曲線的離心率.
故答案為：
變式17．（2024·山東·高三校聯考開學考試）如圖，A，分別是橢圓的左、右頂點，點在以為直徑的圓上（點異于A，兩點），線段與橢圓交于另一點，若直線的斜率是直線的斜率的4倍，則橢圓的離心率為（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】設，易知，
則，，
又，
所以.
故選：C
題型五：利用數形結合求解
例13．（2024·廣西·模擬預測）如圖1所示，雙曲線具有光學性質：從雙曲線右焦點發出的光線經過雙曲線鏡面反射，其反射光線的反向延長線經過雙曲線的左焦點.若雙曲線的左 右焦點分別為，從發出的光線經過圖2中的兩點反射后，分別經過點和，且，，則雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如圖，由，有，
可得，可得，有.
在Rt中，由，
不妨設，則，由勾股定理得，
又由雙曲線的定義可得，，
根據可得，
解得，所以，
在Rt中，，可得，
故雙曲線的離心率為.
故選：B.
例14．（2024·河北秦皇島·高三校聯考開學考試）已知是橢圓的兩個焦點，點在上，若的離心率，則使為直角三角形的點有（ ）個
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】D
【解析】由可得，即，可得，
因此以為直徑作圓與必有四個不同的交點，
因此中以的三角形有四個，
除此之外以為直角，為直角的各有兩個，
所以存在使為直角三角形的點共有8個.
故選：D
例15．（2024·湖北武漢·高三武漢市第六中學校聯考階段練習）過雙曲線的左焦點F作的一條切線，設切點為T，該切線與雙曲線E在第一象限交于點A，若，則雙曲線E的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】令雙曲線的右焦點為，半焦距為c，取線段中點，連接，
因為切圓于，則，有，
因為，則有，，
而為的中點，于是，即，，
在中，，整理得，
所以雙曲線E的離心率.
故選：C
變式18．（2024·云南昆明·高三昆明一中校考階段練習）已知點是橢圓上的一點，是的兩個焦點，若，則橢圓的離心率的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由已知，以為直徑的圓與橢圓相交，所以，
所以，
故選：D.
題型六：利用正弦定理
例16．（2024·全國·高三專題練習）已知，分別為橢圓的兩個焦點，P是橢圓E上的點，，且，則橢圓E的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由題意及正弦定理得：，
令，則，，可得，
所以橢圓的離心率為：.
故選：B
例17．（2024·全國·高三專題練習）過橢圓的左、右焦點，作傾斜角分別為和的兩條直線，．若兩條直線的交點P恰好在橢圓上，則橢圓的離心率為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】在中，由正弦定理可得
所以，
所以該橢圓的離心率，
故選：C．
例18．（2024·江蘇·揚州中學高三開學考試）已知橢圓的左、右焦點分別為，，若橢圓上存在點（異于長軸的端點），使得，則該橢圓離心率的取值范圍是______．
【答案】
【解析】由已知，得，由正弦定理，得，
所以．
由橢圓的幾何性質，知，
所以且，
所以且，
即且，
結合，可解得．
故答案為：.
變式19．（2024·廣西南寧·南寧市武鳴區武鳴高級中學校考二模）設、分別為橢圓的左、右焦點，橢圓上存在點M，，，使得離心率，則e取值范圍為 ．
【答案】
【解析】由，，設，，在中，由正弦定理有：，
離心率，則：解得：，
由于，得，
顯然成立，
由有，即，得，
所以橢圓離心率取值范圍為．
故答案為：.
變式20．（2024·江西吉安·高三吉安一中校考開學考試）點P是雙曲線：（，）和圓：的一個交點，且，其中，是雙曲線的兩個焦點，則雙曲線的離心率為 ．
【答案】/
【解析】
由題中條件知，圓的直徑是雙曲線的焦距，則，
∴，，，
．
故答案為：
變式21．（2024·全國·高三專題練習）已知橢圓與雙曲線共焦點，F1、F2分別為左、右焦點，曲線與在第一象限交點為，且離心率之積為1.若，則該雙曲線的離心率為 .
【答案】
【解析】設焦距為2c
在三角形PF1F2中，根據正弦定理可得
因為，代入可得
，所以
在橢圓中，
在雙曲線中，
所以
即
所以
因為橢圓與雙曲線的離心率乘積為1
即 ，即
所以
化簡得，等號兩邊同時除以
得，因為 即為雙曲線離心率
所以若雙曲線離心率為e，則上式可化為
由一元二次方程求根公式可求得
因為雙曲線中
所以
題型七：利用余弦定理
例19．（2024·福建福州·高三福建省福州第八中學校考階段練習）已知雙曲線的左、右焦點分別為，P是C右支上一點，線段與C的左支交于點M．若，且，則的離心率為 ．
【答案】
【解析】因為點是右支上一點，線段與的左支交于點，且，，
所以為等邊三角形，所以
由雙曲線定義得，
又由，解得，
則且，
在中，由余弦定理得，
整理得，所以雙曲線的離心率為.
故答案為：.
例20．（2024·江蘇淮安·高三統考開學考試）橢圓的左、右焦點分別為，上頂點為A，直線與橢圓C交于另一點B，若，則橢圓C的離心率為 ．
【答案】
【解析】由橢圓的性質可得，設，在中根據余弦定理結合橢圓的定義可得，
即，
整理可得，即，故.
又，故，，
故，即，，
故，故離心率.
故答案為：
例21．（2024·河北唐山·模擬預測）已知是橢圓的左，右焦點，上兩點滿足，則的離心率為 ．
【答案】
【解析】如圖，
因為，所以可設，
又，所以，
由橢圓定義，，即，
又，即B點為短軸端點，
所以在中，
，
又在中，，
解得或（舍去）.
故答案為：
變式22．（2024·廣東湛江·高三校聯考階段練習）已知雙曲線的離心率為2，左、右頂點分別為，右焦點為，點在的右支上，且滿足，則（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】A
【解析】由題意得，，則，，
由雙曲線的對稱性，不妨設點在第一象限，
當時，，得，則，即，
所以，，
，
在中，由余弦定理得，
因為為銳角，所以，
所以，
故選：A
變式23．（2024·河南·校聯考二模）已知雙曲線的左、右焦點分別是，，P是雙曲線C上的一點，且，，，則雙曲線C的離心率是（ ）
A．7 B． C． D．
【答案】B
【解析】設雙曲線C的半焦距為，由題意，點P在雙曲線C的右支上，，，由余弦定理得，解得，即，，根據雙曲線定義得，解得，故雙曲線C的離心率.
故選：B
變式24．（2024·浙江·高三校聯考階段練習）已知橢圓的左、右焦點分別為，，點在上，且，直線與交于另一點，與軸交于點，若，則的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如圖，因為，所以點是的中點，
連接，由，得，
設，則，，．
由余弦定理得，
即，整理得，
則，故．
故選：D
變式25．（2024·江西撫州·高三黎川縣第二中學校考開學考試）已知雙曲線C：的右焦點F的坐標為，點P在第一象限且在雙曲線C的一條漸近線上，O為坐標原點，若，，則雙曲線C的離心率為（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】B
【解析】由題意知點P在第一象限且在雙曲線C：的一條漸近線上，
設漸近線的傾斜角為，則，即，
結合，可得，
結合題意可知，故，
又，，
在中利用余弦定理得，
即，
即，即，
故，解得或（舍去），
故選：B
變式26．（2024·廣西百色·高三貴港市高級中學校聯考階段練習）已知橢圓C：的左、右焦點分別為，，點P在C上，若，，則C的離心率為 ．
【答案】/
【解析】，，O是的中點，所以，
故由得，
因為，，所以，
在中，，
在中，，
∴，即，
則，離心率為．
故答案為：
變式27．（2024·廣東深圳·高三校聯考期中）設，是雙曲線C：的左、右焦點，過的直線與C的左、右兩支分別交于A，B兩點，點M在x軸上，，平分，則C的離心率為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
可知，，得
設，則，由雙曲線的定義可知：.
因為平分，所以，故，
又，
即有，，，，，
在，中，由余弦定理可得，
，，
由，
可得.
故選：C.
變式28．（2024·云南·高三云南師大附中校考階段練習）已知雙曲線C：的左、右焦點分別為，，O為坐標原點，過作C的一條漸近線的垂線，垂足為M，且，則C的離心率為（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【解析】雙曲線C的左焦點，漸近線的方程為，
由點到直線的距離公式可得，
由勾股定理得，
在中，，所以，
在中，，，，
，
由余弦定理得，
化簡得，即，因此，雙曲線C的離心率為，
故選：C
題型八：內切圓問題
例22．（2024·四川成都·高三成都七中校考階段練習）雙曲線其左、右焦點分別為，傾斜角為的直線與雙曲線H在第一象限交于點P，設內切圓半徑為r，若，則雙曲線H的離心率的取值范圍為 .
【答案】
【解析】設內切圓與分別相切于點，則，
且，
所以，因為直線的傾斜角為，
所以，所以，
因為，
由雙曲線的定義可知，，所以，
即，所以，
過點作軸于點，設，
則，
由雙曲線的焦半徑公式可得：，
則，因為，所以，
則，即，化簡可得：，
則雙曲線H的離心率的取值范圍為，
故答案為：.
例23．（2024·全國·高三對口高考）橢圓的四個頂點構成菱形的內切圓恰好過焦點，則橢圓的離心率 ．
【答案】
【解析】由題設，內切圓半徑為，故，
所以，則，即，
所以，（舍），故.
故答案為：.
例24．（2024·廣東深圳·校考二模）已知橢圓的左 右焦點分別為 ，P為橢圓上一點（異于左右頂點），的內切圓半徑為r，若r的最大值為，則橢圓的離心率為 .
【答案】/.
【解析】設內切圓的圓心為，連接，
，
由題意可得：，
所以當取到最大值時，有最大值，且最大值為，
所以，整理可得：，
兩邊同時平方可得：，
所以，所以，解得：或（舍去）.
故答案為：
變式29．（2024·湖南長沙·高三長沙一中校考階段練習）雙曲線的左，右焦點分別為，，右支上有一點M，滿足，的內切圓與y軸相切，則雙曲線C的離心率為 ．
【答案】/
【解析】內切圓Q分別與，，，軸切于點S，T，N，P
則四邊形、都為正方形，
設內切圓半徑為，由圓的切線性質，
則，則 ，①
又因為，②
且雙曲線定義得，，③
由①、②、③得，
所以，
從而，
由勾股定理，，所以，解得．
故答案為：
變式30．（2024·全國·高三專題練習）已知橢圓的左、右焦點分別為，，點是上一點，點是直線與軸的交點，的內切圓與相切于點，若，則橢圓的離心率 ．
【答案】
【解析】
設內切圓與AM切于Q，與切于P，由切線性質知，，，
由對稱性知，
所以，即，
所以，
所以.
故答案為：
變式31．（2024·全國·高三專題練習）已知橢圓：的左、右焦點分別是，，斜率為的直線經過左焦點且交C于A，B兩點（點A在第一象限），設的內切圓半徑為，的內切圓半徑為，若，則橢圓的離心率 ．
【答案】
【解析】如圖所示，由橢圓定義可得，，
設的面積為，的面積為，因為，
所以，即，
設直線，則聯立橢圓方程與直線，可得
，
由韋達定理得：，
又，即
化簡可得，即，
即時，有.
故答案為：
變式32．（2024·福建泉州·高三校考階段練習）已知橢圓的左、右焦點分別是，，斜率為的直線經過左焦點且交于，兩點（點在第一象限），設的內切圓半徑為，的內切圓半徑為，若，則橢圓的離心率 ．
【答案】
【解析】如圖所示，由橢圓定義可得，，
設的面積為，的面積為，因為，
所以，，即，
設直線，則聯立橢圓方程與直線，可得
，
所以，，
令，則，
當時，有.
故答案為：
變式33．（2024·山東聊城·統考一模）是橢圓的兩個焦點，是橢圓上異于頂點的一點，是的內切圓圓心，若的面積等于的面積的3倍，則橢圓的離心率為 .
【答案】/0.5
【解析】
由于橢圓關于原點對稱，不妨設點在軸上方.設點縱坐標為，點縱坐標為，內切圓半徑為，橢圓長軸長為，焦距為，
則，得，又，
即，又，化簡得，即，
解得，可得離心率為.
故答案為：.
題型九：橢圓與雙曲線共焦點
例25．（2024·全國·高三專題練習）橢圓與雙曲線共焦點，，它們在第一象限的交點為，設，橢圓與雙曲線的離心率分別為，，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】設橢圓的長軸長為，雙曲線的實軸長為，交點到兩焦點的距離分別為，焦距為，利用余弦定理得到，再根據橢圓和雙曲線的定義，得到，代入求解.設橢圓的長軸長為，雙曲線的實軸長為，
交點到兩焦點的距離分別為，焦距為，
則，
又，，故，，
所以，
化簡得，
即 .
故選：B
例26．（2024·全國·高三專題練習）橢圓與雙曲線共焦點，，它們的交點對兩公共焦點，張的角為.橢圓與雙曲線的離心率分別為，，則
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】設橢圓的長半軸為,雙曲線的實半軸為,半焦距為,設,,,橢圓與雙曲線的離心率分別為，
,由余弦定理可得，,即,即 ①,
在橢圓中，由定義得, ①化簡可得,即,等式兩邊同除,得,即 ②
在雙曲線中，由定義得,①化簡可得,即,等式兩邊同除,得,即 ③
聯立②③得,即,
故選B
例27．（多選題）（2024·全國·高三專題練習）如圖，P是橢圓與雙曲線在第一象限的交點，且共焦點的離心率分別為，則下列結論不正確的是（ ）
A． B．若，則
C．若，則的最小值為2 D．
【答案】ACD
【解析】依題意，，解得，A不正確；
令，由余弦定理得： ，
當時，，即，因此，B正確；
當時，，即，有，
而，則有，解得，C不正確；
，
，于是得，
解得，而，因此，D不正確.
故選：ACD
變式34．（多選題）（2024·全國·高三專題練習）如圖，是橢圓與雙曲線（）在第一象限的交點，且共焦點的離心率分別為，則下列結論正確的是（ ）
A．
B．若，則
C．若，則的最小值為2
D．
【答案】AB
【解析】對A：由橢圓和雙曲線的定義：，故，故A正確；
對B：在中，由余弦定理：
即，故時，，故B正確；
對C：時，，由（當且僅當時等號成立），
，所以等號取不到，故C錯誤；
對D：對△，將其視作是橢圓中的焦點三角形，
則由余弦定理可得，
解得，故 ，
同理，將△視作雙曲線中的焦點三角形，則，
則，故D錯誤.
故選：AB.
變式35．（多選題）（2024·全國·高三專題練習）如圖，是橢圓與雙曲線在第一象限的交點，且共焦點的離心率分別為，則下列結論正確的是（ ）
A． B．若，則
C．若，則的最小值為2 D．
【答案】ABD
【解析】由橢圓和雙曲線的定義得：，解得，，A正確；
在中，由余弦定理得：，
整理得，，即，
當時，，即，B正確；
當時，，，
當且僅當時取“=”，而，C不正確；
在橢圓中，，即，
在雙曲線中，，即，
于是得，而，則，D正確.
故選：ABD
變式36．（2024·新疆·統考三模）在中，，，，橢圓和雙曲線以A，B為公共焦點且都經過點C，則與的離心率之和為 ．
【答案】/
【解析】如圖所示，
在△ABC中，由，，，得，
所以，
由題意可得橢圓與雙曲線的焦距為，
又因為橢圓的，雙曲線的，
所以兩個曲線的離心率之和為：，
故答案為：.
題型十：利用最大頂角
例28．（2024·全國·高二課時練習）已知橢圓：，點，是長軸的兩個端點，若橢圓上存在點，使得，則該橢圓的離心率的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】如圖：
當P在上頂點時，最大，此時，
則，
所以，
即，，
所以，
則，
所以橢圓的離心率的取值范圍是，
故選：A
例29．（2024·全國·高二專題練習）設A，B是橢圓C：長軸的兩個端點，若C上存在點M滿足∠AMB=120°，則橢圓C的離心率的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】當橢圓的焦點在軸上時，
由橢圓的對稱性得,所以，
所以，
所以橢圓的離心率，
因為橢圓的離心率.
當橢圓的焦點在軸上時，同理可得.
綜合得.
故選：B
例30．（2024·全國·模擬預測）已知橢圓，點是上任意一點，若圓上存在點、，使得，則的離心率的取值范圍是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】連接，當不為橢圓的上、下頂點時，設直線、分別與圓切于點A、B，，
∵存在、使得，∴，即，
又，∴，
連接，則，∴．
又是上任意一點，則，
又，∴，
則由，得，
又，∴．
故選：C．
變式37．（2024·四川成都·高三樹德中學校考開學考試）已知、是橢圓的兩個焦點，滿足的點M總在橢圓內部，則橢圓離心率的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】設橢圓的半長軸長、半短軸長、半焦距分別為，
，
點的軌跡是以原點為圓心，半焦距為半徑的圓，
又點總在橢圓內部，
該圓內含于橢圓，即，，
，．
故選：A．
題型十一：基本不等式
例31．（2024·全國·高三專題練習）設橢圓的右焦點為，橢圓上的兩點，關于原點對你，且滿足，，則橢圓的離心率的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如圖所示：
設橢圓的左焦點，由橢圓的對稱性可知，四邊形為平行四邊形，
又，即，所以四邊形為矩形，，
設，，在直角中，，，
得，所以，令，得，
又，得，所以，
所以 ，即，所以
所以橢圓的離心率的取值范圍為，
故選：B
例32．（2024·江蘇南京·高三階段練習）設、分別是橢圓：的左、右焦點，是橢圓準線上一點，的最大值為60°，則橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由題意可設直線，的傾斜角分別為，，
由橢圓的對稱性不妨設為第一象限的點，即，
則，，因為，
所以
，
所以，則，解得，
故選：A.
例33．（2024·山西運城·高三期末）已知點為橢圓的左頂點，為坐標原點，過橢圓的右焦點F作垂直于x軸的直線l，若直線l上存在點P滿足，則橢圓離心率的最大值______________.
【答案】
【解析】由對稱性不妨設P在x軸上方，設，，
∴
當且僅當取等號，
∵直線l上存在點P滿足
∴
即，
∴，即，
所以，
故橢圓離心率的最大值為.
故答案為：.
題型十二：已知范圍
例34．（2024·四川省南充市白塔中學高三開學考試）已知、分別為橢圓的左、右焦點，為右頂點，為上頂點，若在線段上（不含端點）存在不同的兩點，使得，則橢圓的離心率的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】易知點、、、，則線段的方程為，
在線段上取一點，滿足，則，
，，
所以，，
整理可得，
由題意可知，關于的方程在時有兩個不等的實根，
則，可得，可得，
所以，.
故選：D.
例35．（2024·全國·高二專題練習）已知，是橢圓：的左右焦點，若橢圓上存在一點使得，則橢圓的離心率的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】設點，
，因為，
所以，即，
結合可得，所以.
故選：B.
例36．（2024·全國·高三開學考試）設，分別是橢圓的左 右焦點，若橢圓E上存在點P滿足，則橢圓E離心率的取值范圍（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】設，由橢圓的方程可得，，，
則，即，
由P在橢圓上可得，所以，
所以可得，所以，
由，所以，整理可得：，，
可得：.
故選：B
題型十三：
例37．（2024·江蘇·海安縣實驗中學高二階段練習）已知橢圓：的左、右焦點分別為，，若橢圓上存在一點，使得，則橢圓的離心率的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】在中，由正弦定理可得,
又由，即，即,
設點，可得，
則，解得，
由橢圓的幾何性質可得，即，
整理得，解得或，
又由，所以橢圓的離心率的取值范圍是.
故選：C.
例38．（2024·浙江湖州·高二期中）已知橢圓的左右焦點分別為F1，F2，離心率為e，若橢圓上存在點P，使得，則該離心率e的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】令 ，則根據橢圓的焦半徑公式可得 ，
所以根據題意可得 ，
整理可得 ，
所以 ，因為P在橢圓上，
所以 ，即，
因為 ，所以，
即 ，解得 ，
而橢圓離心率范圍為 ，故 .
故選：A
例39．（2024·全國·高二課時練習）已知橢圓上存在點，使得，其中，分別為橢圓的左、右焦點，則該橢圓的離心率的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由橢圓的定義得，又∵，∴，，
而，當且僅當點在橢圓右頂點時等號成立，
即，即，則，即.
故選：D．
題型十四：中點弦
例40．（2024·全國·高三開學考試）已知雙曲線與斜率為1的直線交于A，B兩點，若線段AB的中點為，則C的離心率（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】法一：設，則，
所以，又AB的中點為，
所以，所以，由題意知，
所以，即，則C的離心率.故A，B，D錯誤.
故選：C.
法二：直線AB過點，斜率為1，所以其方程為，即，
代入并整理得，
因為為線段AB的中點，所以，整理得，
所以C的離心率.故A，B，D錯誤.
故選：C.
例41．（2024·全國·高三專題練習）已知橢圓：的左焦點為，過作一條傾斜角為的直線與橢圓交于，兩點，為線段的中點，若（為坐標原點），則橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】設，，，由題意得，，兩式相減，得，因為為線段的中點，且直線的傾斜角為，所以．設，則，過作軸，垂足為，則，，由題易知位于第二象限，所以，所以，得，所以，所以．
故選：B
例42．（2024·全國·高三專題練習）已知橢圓()的右焦點為，離心率為，過點的直線交橢圓于，兩點，若的中點為，則直線的斜率為（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【解析】設，，則的中點坐標為，
由題意可得，，
將，的坐標的代入橢圓的方程：，
作差可得，
所以，
又因為離心率，，所以，
所以，即直線的斜率為，
故選：A.
題型十五：已知焦點三角形兩底角
例43．（2024·廣西·江南中學高二階段練習）已知，分別是橢圓：的左右兩個焦點，若在上存在點使，且滿足，則橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】在中，且滿足，所以，，所以、，所以，所以；
故選：B
例44．（多選題）（2024·湖南·高二期末）已知雙曲線的左、右焦點分別為，雙曲線上存在點（點不與左、右頂點重合），使得，則雙曲線的離心率的可能取值為 （ ）
A． B． C． D．2
【答案】BC
【解析】∵，則離心率，則排除A；
記，，，
則，
由正弦定理結合分比定理可知：，
則，
所以B，C是正確的，D不正確.
故選：BC.
例45．（2024·全國·高三專題練習）已知雙曲線的左 右焦點分別為，為雙曲線右支上的一點，若在以為直徑的圓上，且，則該雙曲線離心率的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】在以為直徑的圓上，，
，，，，
由雙曲線定義知：，即，
；
，，，
則，，
即雙曲線離心率的取值范圍為.
故選：D.
題型十六：利用漸近線的斜率
例46．（2024·云南紅河·高三開遠市第一中學校校考開學考試）已知雙曲線的右焦點為，直線與雙曲線交于兩點，與雙曲線的漸近線交于兩點，若，則雙曲線的離心率是 ．
【答案】/
【解析】由雙曲線方程可得其漸近線方程為：，
直線
為雙曲線的通徑，則
由得，則，
由得，則
由得：
即
所以，
所以離心率
故答案為：
例47．（2024·四川內江·高三期末）已知雙曲線的左右焦點分別為、，過點的直線與雙曲線的漸近線交于兩點，點在第一象限，兩點到軸的距離之和為，若以為直徑的圓過線段的中點，則雙曲線的離心率的平方為 ．
【答案】
【解析】由題意可設：直線，，，中點，
兩點到軸的距離之和為，；
由得：，，
以為直徑的圓的方程為，，
解得：或（舍）；
，解得：；
，
，即，.
故答案為：.
例48．（2024·河南信陽·高三信陽高中校考階段練習）已知雙曲線的一條漸近線被圓截得的弦長為，則雙曲線的離心率為 .
【答案】/
【解析】雙曲線的漸近線的方程為.
圓的標準方程為：，
故該圓的圓心為，半徑為2，
而圓心到漸近線的距離為，
故漸近線被該圓截得的弦長為，
整理得到：或，
而，故，故離心率為.
故答案為：.
變式38．（2024·全國·鎮海中學校聯考模擬預測）已知是雙曲線的左焦點，是的右頂點，過點作軸的垂線交雙曲線的一條漸近線于點，連接交另一條漸近線于點.若，則雙曲線的離心率為 .
【答案】2
【解析】如下圖所示：
易知，則過點作軸的垂線方程為，
不妨設與漸近線交于點，則可得，
又可得，為的中點，即；
又在另一條漸近線上，即，解得；
所以雙曲線的離心率為.
故答案為：2
變式39．（2024·四川成都·校考模擬預測）已知雙曲線的左 右焦點分別為，點是的一條漸近線上的兩點，且（為坐標原點），．若為的左頂點，且，則雙曲線的離心率為
【答案】
【解析】設雙曲線的焦距為，因為，所以，所以關于原點對稱，又，所以四邊形為平行四邊形，
又，所以四邊形為矩形，因為以為直徑的圓的方程為，
不妨設所在的漸近線方程為，則，
由，解得或，不妨設，
因為為雙曲線的左頂點，所以，
所以，
又，由余弦定理得，
即，整理得，
所以離心率．
故答案為：．
變式40．（2024·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第六中學校校考三模）已知，分別為雙曲線C：的左、右焦點，過作C的兩條漸近線的平行線，與漸近線交于兩點.若，則C的離心率為 .
【答案】/
【解析】根據雙曲線C：的對稱性以及其兩條漸近線關于x軸對稱，
不妨設M在第一象限，
可知點關于x軸對稱，則，
設，則，
即，則，
由題意得直線的方程為，
聯立，即得，故,
則，
所以C的離心率為，
故答案為：
變式41．（2024·山東菏澤·高三統考期末）已知為原點，雙曲線上有一點，過作兩條漸近線的平行線，且與兩漸近線的交點分別為，平行四邊形的面積為1，則雙曲線的離心率為 ．
【答案】
【解析】設，則，漸近線方程為，點P到直線距離為，由及得，所以平行四邊形OBPA面積為離心率為
變式42．（2024·全國·高三專題練習）已知F是橢圓：（）的右焦點，A為橢圓的下頂點，雙曲線：（，）與橢圓共焦點，若直線與雙曲線的一條漸近線平行，，的離心率分別為，，則的最小值為 ．
【答案】
【解析】設的半焦距為c（），則，又，
所以，又直線與的一條漸近線平行，
所以，所以，
所以，
所以，
所以，
又，
當且僅當，即，時等號成立，
即的最小值為．
故答案為：
變式43．（2024·安徽安慶·安慶一中校考三模）過雙曲線：的右焦點作雙曲線一條漸近線的垂線，垂足為，且與另一條漸近線交于點，若，則雙曲線的離心率是（ ）
A． B．或 C． D．
【答案】B
【解析】
如圖①，當時，設，則，設，雙曲線的漸近線方程為，所以，在中，，設
，，，因為，所以，
又，所以，所以，，，，
則，則，且
即，解得，所以
如圖②，當時，設，，設，則，，在中，，
設，，，因為，所以，
又，所以，所以，，，，
則，，，所以
，則，所以
，即，解得，所以.
故選：B
變式44．（2024·江西九江·統考一模）已知雙曲線()，過點作的一條漸近線的垂線，垂足為，過點作軸的垂線交于點，若與的面積相等(為坐標原點)，則的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】與的面積相等，為的中點，
故為等腰直角三角形，
，，，
即，，，
故選：C．
變式45．（2024·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學校考階段練習）已知為雙曲線的一個焦點，過平行于的一條漸近線的直線交于點，（為坐標原點），則雙曲線的離心率為 .
【答案】
【解析】設點坐標為，過作一條與平行的直線交于點，
則根據題意有，
解得：，
雙曲線的離心率，
雙曲線的離心率為，
同理坐標是或者作一條與平行的直線也可以得到離心率為.
故答案為：.
題型十七：坐標法
例49．（2024·陜西咸陽·武功縣普集高級中學校考模擬預測）雙曲線：的左 右焦點分別為，，過作的垂線，交雙曲線于，兩點，是雙曲線的右頂點，連接，，并延長分別交軸于點，.若點在以為直徑的圓上，則雙曲線的離心率為 .
【答案】
【解析】由得，
不妨設，而，
所以直線的方程為，
令得，則，同理可求得，
所以以為直徑的圓的方程為，
將代入上式得：
，
即，則.
故答案為：
例50．（2024·安徽·高三校聯考階段練習）如圖，橢圓：()的右焦點為F，離心率為e，點P是橢圓上第一象限內任意一點且，，．若，則離心率e的最小值是 ．

【答案】
【解析】∵點P是上第一象限內任意一點且，∴，設直線OP的斜率為k，則．
由可得，故，∴，
∵，故，
∴，解得，
∵對任意的恒成立，故，
整理得到對任意的恒成立，
故只需，即，即，故離心率e最小值為．
故答案為：
例51．（2024·山東·高三校聯考階段練習）已知雙曲線（，），直線的斜率為，且過點，直線與軸交于點，點在的右支上，且滿足，則的離心率為（ ）
A． B．2
C． D．
【答案】D
【解析】由題意知直線的方程為，令，得，所以．
又因為，不妨設，所以有，
解得，所以，將其代入雙曲線方程，
化簡得，解得或（舍去），
所以的離心率．
故選：D.
變式46．（2024·全國·高三專題練習）已知橢圓：的右焦點為，過點作傾斜角為的直線交橢圓于、兩點，弦的垂直平分線交軸于點P，若，則橢圓的離心率 ．
【答案】/0.5
【解析】因為傾斜角為的直線過點，
設直線的方程為: , ,
線段的中點,
聯立 ，化為，
，
，
的垂直平分線為:,
令 , 解得 ,.
,
,則 ,
橢圓的離心率為,
故答案為:.
變式47．（2024·湖南永州·統考一模）已知橢圓的左、右焦點分別是，點是橢圓上位于第一象限的一點，且與軸平行，直線與的另一個交點為，若，則的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由令，得，
由于與軸平行，且在第一象限，所以.
由于，
所以，
即，將點坐標代入橢圓的方程得，
，
，
所以離心率.
故選：B
變式48．（2024·四川南充·高三四川省南充高級中學校考階段練習）已知雙曲線的左右焦點點關于一條漸近線的對稱點在另一條漸近線上，則雙曲線C的離心率是（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】C
【解析】雙曲線的右焦點,
設點關于一條漸近線的對稱點為，
由題意知，，解得.
又知，解得，
所以，即，
所以雙曲線C的離心率是
故選：C.
變式49．（2024·重慶沙坪壩·高三重慶一中校考開學考試）設分別為橢圓的左右焦點，M為橢圓上一點，直線分別交橢圓于點A，B，若，則橢圓離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如下圖所示：
易知，不妨設，，易知，由可得，即
同理由可得；
將兩點代入橢圓方程可得；
即，又，整理得
解得，
所以離心率；
故選：D
變式50．（2024·安徽·高三宿城一中校聯考階段練習）已知橢圓C：（）的左焦點為，過左焦點作傾斜角為的直線交橢圓于A，B兩點，且，則橢圓C的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】設，，，過點所作直線的傾斜角為，所以該直線斜率為，
所以直線方程可寫為，聯立方程，
可得，，
根據韋達定理：，，
因為，即，所以，
所以，
即，所以，聯立，
可得，.
故選：C
變式51．（2024·福建廈門·廈門一中校考模擬預測）已知為雙曲線：的右焦點，平行于軸的直線分別交的漸近線和右支于點，，且，，則的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】雙曲線：的漸近線方程為.
設，聯立方程組，解得.
因為，所以，即，可得.
又因為點在雙曲線上，所以，
將代入，可得，
由，所以，所以，即，
化簡得，則，所以雙曲線的離心率為.
故選：B.
變式52．（2024·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中學校考階段練習）設橢圓的左焦點為，為坐標原點，過且斜率為的直線交橢圓于，兩點（在軸上方）.關于軸的對稱點為，連接并延長交軸于點，若，，成等比數列，則橢圓的離心率的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如圖所示：
設分別以OF，EF，OE為底，高為h，
則，
因為，，成等比數列，
所以，即，
設直線AB的方程為：，
聯立，消去y得，
由韋達定理得：，
直線BD的方程為：，
令得，，則，
則，即為，
則，即，
即，
解得，則，
故選：D
變式53．（2024·陜西商洛·高三陜西省山陽中學校聯考階段練習）已知雙曲線的右焦點為，以坐標原點為圓心，線段為半徑作圓，與的右支的一個交點為A，若，則的離心率為（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【解析】由題意可知，且為銳角，
故，
而，故，
將代入中，
得，結合整理得，
即，解得或,
由于雙曲線離心率，故舍去，
故，
故選：D
題型十八：利用焦半徑的取值范圍
例52．（2024·全國·高三專題練習）已知雙曲線的左 右焦點分別為.若雙曲線的右支上存在點，使，則雙曲線的離心率的取值范圍為___________.
【答案】
【解析】依題意，點在雙曲線的右支，P不與雙曲線頂點重合，
在中，由正弦定理得：
，因，于是得，
而點P在雙曲線M的右支上，即，從而有，
點P在雙曲線M的右支上運動，并且異于頂點，于是有，
因此，而，整理得，即，
解得，又，故有，
所以雙曲線M的離心率的取值范圍為.
故答案為：
例53．（2024·吉林長春·二模）已知雙曲線的左、右焦點分別為，，點P在雙曲線的右支上，且，則雙曲線離心率的取值范圍是　　
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由雙曲線定義可知，，，結合 可得，從而，又因為雙曲線的離心率大于 ，所以雙曲線離心率的取值范圍為，故選B.
例54．（2024·江蘇·金沙中學高二階段練習）設雙曲線的焦距為，左、右焦點分別是，，點P在C的右支上，且，則C的離心率的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由條件得，所以，即，
又因為，所以，
即，得，
又，所以．
故選：C
變式54．（2024·全國·高三專題練習）在平面直角坐標系中，橢圓上存在點，使得，其中、分別為橢圓的左、右焦點，則該橢圓的離心率取值范圍是________．
【答案】
【解析】設橢圓的焦距為，由橢圓的定義可得，
解得，，
由題意可得，解得，又，所以，
所以橢圓離心率的取值范圍是．
故答案為：.
變式55．（2024·河南·信陽高中高三期末）若橢圓上存在一點，使得，其中分別是的左、右焦點，則的離心率的取值范圍為______.
【答案】
【解析】，，
又，，
解得，則.
故答案為
題型十九：四心問題
例55．（2024·全國·校聯考模擬預測）已知雙曲線的左、右焦點分別為，，M是雙曲線C右支上一點，記的重心為G，內心為I．若，則雙曲線C的離心率為 ．
【答案】2
【解析】如圖，連接MG，MI并延長，與分別交于點O，D，
設雙曲線C的焦距為2c，由題意，得，
因為，且G為重心，則，所以，
因為I為的內心，所以MD為的平分線，
所以，所以，
又，所以，，
設的內切圓半徑為r，則M到x軸的距離為3r，
因為，，
所以，所以，所以雙曲線C的離心率．
故答案為：2．
例56．（2024·全國·高三專題練習）已知，分別為橢圓的左 右焦點，點P在第一象限內，，G為重心，且滿足，線段交橢圓C于點M，若，則橢圓C的離心率為 .
【答案】/
【解析】因為G為△重心，是中線且滿足，
即，故,
所以，
且，，又，
，
在△中應用余弦定理得,
所以，則.
故答案為: .
例57．（2024·全國·高三專題練習）已知坐標平面xOy中，點，分別為雙曲線的左、右焦點，點M在雙曲線C的左支上，與雙曲線C的一條漸近線交于點D，且D為的中點，點I為的外心，若O、I、D三點共線，則雙曲線C的離心率為 ．
【答案】
【解析】由題意知，雙曲線的漸近線方程為，，
不妨設點在第二象限，則，
由D為的中點，O、I、D三點共線知直線OD垂直平分，
則，有，且，
解得，，所以，
將即，代入雙曲線的方程，
得，化簡可得，即；
當點M在第三象限時，同理可得．
故答案為：.
變式56．（2024·全國·高三專題練習）已知點分別為雙曲線的左、右焦點，點A，B在C的右支上，且點恰好為的外心，若，則C的離心率為 .
【答案】
【解析】取的中點為C，連接BC、、，如圖所示：
因為，所以，
又C為的中點，所以為等腰三角形且，
因為點恰好為的外心，所以點在直線BC上，且，
由雙曲線的定義知，則，
所以為等邊三角形，則，
在中，即，化簡得，
同時除以可得，解得或(舍去).
故答案為：
變式57．（2024·山西太原·高三山西大附中校考開學考試）已知雙曲線的左 右焦點分別為，離心率為2，焦點到漸近線的距離為.過作直線交雙曲線的右支于兩點，若分別為與的內心，則的取值范圍為 .
【答案】
【解析】設半焦距為，
由題意知，
，
所以，
所以，
雙曲線.
記的內切圓與邊，，分別相切于點，
則橫坐標相等，
則，，，
由，
即，
得，
即，
記的橫坐標為，
則，
于是，得，
同理內心的橫坐標也為，則軸.
設直線的傾斜角為，
則，
在中，
，
由于直線與的右支有2個交點，且一條漸近線的斜率為，傾斜角為，
可得，
即，
可得的范圍是.
故答案為：.
變式58．（2024·全國·高三專題練習）在平面直角坐標系中，橢圓E以兩坐標軸為對稱軸，左，右頂點分別為A，B，點P為第一象限內橢圓上的一點，P關于x軸的對稱點為Q，過P作橢圓的切線，若，且的垂心恰好為坐標原點O，記橢圓E的離心率為e，則的值為 .
【答案】
【解析】設橢圓方程為，則，
設，故，
因為的垂心恰好為坐標原點O，
所以，，即，
即，，
下面證明橢圓在處的切線方程斜率為，理由如下：
因為時，故切線的斜率存在，設切線方程為，
代入橢圓方程得：，
由，化簡得：
，
即，
因為點在橢圓上，所以，，
所以，即，
即，解得：，
所以，化簡得：，即，設，
同除以得：，
即，故，
因為點在橢圓上，所以，
即，即，
因為，所以，即，
將代入中，可得：，即
所以，
設橢圓方程為，此時，
同理可得：，
此時橢圓在處的切線方程斜率為，
所以，化簡得：，設，
同除以得：，
即，故，
因為點在橢圓上，所以，
即，即，
因為，所以，即，
將代入中，可得：，
所以（舍去）；
故答案為：
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