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第68講 曲線的軌跡方程
知識梳理
一．直接法求動點(diǎn)的軌跡方程
利用直接法求動點(diǎn)的軌跡方程的步驟如下：
（1）建系：建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系
（2）設(shè)點(diǎn)：設(shè)軌跡上的任一點(diǎn)
（3）列式：列出有限制關(guān)系的幾何等式
（4）代換：將軌跡所滿足的條件用含的代數(shù)式表示，如選用距離和斜率公式等將其轉(zhuǎn)化為的方程式化簡
（5）證明（一般省略）：證明所求方程即為符合條件的動點(diǎn)軌跡方程（對某些特殊值應(yīng)另外補(bǔ)充檢驗(yàn)）．簡記為：建設(shè)現(xiàn)代化，補(bǔ)充說明．
注：若求動點(diǎn)的軌跡，則不但要求出動點(diǎn)的軌跡方程，還要說明軌跡是什么曲線．
二．定義法求動點(diǎn)的軌跡方程
回顧之前所講的第一定義的求解軌跡問題，我們常常需要把動點(diǎn)和滿足焦點(diǎn)標(biāo)志的定點(diǎn)連起來判斷．熟記焦點(diǎn)的特征：（1）關(guān)于坐標(biāo)軸對稱的點(diǎn)；（2）標(biāo)記為的點(diǎn)；（3）圓心；（4）題目提到的定點(diǎn)等等．當(dāng)看到以上的標(biāo)志的時候要想到曲線的定義，把曲線和滿足焦點(diǎn)特征的點(diǎn)連起來結(jié)合曲線定義求解軌跡方程．
三．相關(guān)點(diǎn)法求動點(diǎn)的軌跡方程
如果動點(diǎn)的運(yùn)動是由另外某一點(diǎn)的運(yùn)動引發(fā)的，而該點(diǎn)的運(yùn)動規(guī)律已知，（該點(diǎn)坐標(biāo)滿足某已知曲線方程），則可以設(shè)出，用表示出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，然后把的坐標(biāo)代入已知曲線方程，即可得到動點(diǎn)的軌跡方程．
四．交軌法求動點(diǎn)的軌跡方程
在求動點(diǎn)的軌跡方程時，存在一種求解兩動曲線交點(diǎn)的軌跡問題，這類問題常常可以先解方程組得出交點(diǎn)（含參數(shù)）的坐標(biāo)，再消去參數(shù)得出所求軌跡的方程，該方法經(jīng)常與參數(shù)法并用，和參數(shù)法一樣，通常選變角、變斜率等為參數(shù)．
五．參數(shù)方程法求動點(diǎn)的軌跡方程
動點(diǎn)的運(yùn)動主要是由于某個參數(shù)的變化引起的，可以選參、設(shè)參，然后用這個參數(shù)表示動點(diǎn)的坐標(biāo)，即，再消參.
六．點(diǎn)差法求動點(diǎn)的軌跡方程
圓錐曲線中涉及與弦的中點(diǎn)有關(guān)的軌跡問題可用點(diǎn)差法，其基本方法是把弦的兩端點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓錐曲線方程，兩式相減可得，，，等關(guān)系式，由于弦的中點(diǎn)的坐標(biāo)滿足，且直線的斜率為，由此可求得弦中點(diǎn)的軌跡方程．
必考題型全歸納
題型一：直接法
例1．（2024·甘肅平?jīng)觥じ呷y(tǒng)考期中）動點(diǎn)與定點(diǎn)的連線的斜率之積為，則點(diǎn)的軌跡方程是 .
例2．（2024·湖南長沙·高三長郡中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知圓：，過動點(diǎn)作圓的切線（為切點(diǎn)），使得，則動點(diǎn)的軌跡方程為 .
例3．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知兩條直線和，有一動圓與及都相交，并且、被截在圓內(nèi)的兩條弦長分別是26和24，則動圓圓心的軌跡方程是 ．
變式1．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知平面直角坐標(biāo)系中有兩點(diǎn)，且曲線上的任意一點(diǎn)P都滿足．則曲線的軌跡方程為 .
變式2．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知平面上的動點(diǎn)到點(diǎn)和的距離之比為，則點(diǎn)的軌跡方程為 .
變式3．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知平面上一定點(diǎn)和直線l：x=8，P為該平面上一動點(diǎn)，作PQ⊥l，垂足為Q，且·=0．則動點(diǎn)P的軌跡方程為 ；
題型二：定義法
例4．（2024·全國·高三專題練習(xí)）若，，點(diǎn)P到F1，F(xiàn)2的距離之和為10，則點(diǎn)P的軌跡方程是
例5．（2024·浙江·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知圓與圓內(nèi)切，且圓與直線相切，則圓的圓心的軌跡方程為 ．
例6．（2024·廣東東莞·高三校考階段練習(xí)）已知圓，圓，動圓與圓外切并與圓內(nèi)切，則圓心的軌跡方程為
變式4．（2024·全國·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知的周長是18，，是軸上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)，若，動點(diǎn)滿足.則動點(diǎn)的軌跡方程為 ；
變式5．（2024·全國·高三對口高考）已知動圓P過點(diǎn)，且與圓外切，則動圓P圓心的軌跡方程為 .
變式6．（2024·全國·高三專題練習(xí)）中，A為動點(diǎn)，，且滿足，則A點(diǎn)的軌跡方程為 ．
變式7．（2024·全國·高三專題練習(xí)）一個動圓與圓外切，與圓內(nèi)切，則這個動圓圓心的軌跡方程為 ．
變式8．（2024·全國·高三對口高考）已知，B是圓（F為圓心）上一動點(diǎn).線段AB的垂直平分線交BF于P，則動點(diǎn)P的軌跡方程為 .
變式9．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知定點(diǎn)，圓，過R點(diǎn)的直線交圓于M，N兩點(diǎn)過R點(diǎn)作直線交SM于Q點(diǎn)，求Q點(diǎn)的軌跡方程；
變式10．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知圓，直線，過上的點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，則弦中點(diǎn)的軌跡方程為 .
變式11．（2024·吉林白山·高三撫松縣第一中學(xué)校考階段練習(xí)）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，，點(diǎn)A是直線上一個動點(diǎn)，連接AF并作AF的垂直平分線l，過點(diǎn)A作y軸的垂線交l于點(diǎn)P，則點(diǎn)P的軌跡方程為 ．
變式12．（2024·云南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知圓，直線過點(diǎn)且與圓交于點(diǎn)B，C，線段的中點(diǎn)為D，過的中點(diǎn)E且平行于的直線交于點(diǎn)P．
(1)求動點(diǎn)P的軌跡方程；
題型三：相關(guān)點(diǎn)法
例7．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)P為橢圓上的任意一點(diǎn)，O為原點(diǎn)，M滿足，則點(diǎn)M的軌跡方程為 ．
例8．（2024·福建泉州·高三校考開學(xué)考試）是圓上的動點(diǎn)，點(diǎn)，則線段的中點(diǎn)的軌跡方程是 .
例9．（2024·四川內(nèi)江·高三四川省內(nèi)江市第六中學(xué)校考階段練習(xí)）已知定點(diǎn)和曲線上的動點(diǎn)，則線段的中點(diǎn)的軌跡方程為 ．
變式13．（2024·全國·高考真題）設(shè)P為雙曲線上一動點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，M為線段的中點(diǎn)，則點(diǎn)M的軌跡方程為 ．
變式14．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知的頂點(diǎn)，，頂點(diǎn)A在拋物線上運(yùn)動，則的重心G的軌跡方程為 ．
變式15．（2024·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)過點(diǎn)的直線分別與x軸的正半軸和y軸的正半軸交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)Q與點(diǎn)P關(guān)于y軸對稱，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．若，且，則點(diǎn)P的軌跡方程是 ．
變式16．（2024·全國·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC滿足A(-1，0)，B(1，0)，，，∠ACB的平分線與點(diǎn)P的軌跡相交于點(diǎn)I，存在非零實(shí)數(shù)，使得，則頂點(diǎn)C的軌跡方程為 ．
題型四：交軌法
例10．（2024·貴州銅仁·高三統(tǒng)考期末）已知直線，，當(dāng)任意的實(shí)數(shù)m變化時，直線與的交點(diǎn)的軌跡方程是 ．
例11．（2024·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2，直線與拋物線交于兩點(diǎn)，過點(diǎn)作拋物線的切線，若交于點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡方程為 .
例12．（2024·貴州貴陽·高三貴陽一中校考階段練習(xí)）已知A，B分別為橢圓的左 右頂點(diǎn)，點(diǎn)M，N為橢圓上的兩個動點(diǎn)，滿足線段MN與x軸垂直，則直線MA與NB交點(diǎn)的軌跡方程為 .
變式17．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知是橢圓中垂直于長軸的動弦，是橢圓長軸的兩個端點(diǎn)，則直線和的交點(diǎn)的軌跡方程為 ．
變式18．（2024·全國·高三專題練習(xí)）直線在軸上的截距為且交拋物線于、兩點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)，過點(diǎn)、分別作拋物線對稱軸的平行線與直線交于、兩點(diǎn)．分別過點(diǎn)、作拋物線的切線，則兩條切線的交點(diǎn)的軌跡方程為 ．
變式19．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線C：，焦點(diǎn)為F，過F的直線l交C于A，B兩點(diǎn)，分別作拋物線C在A，B處的切線，且兩切線交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P的軌跡方程為： ．
變式20．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)，，，動圓與直線切于點(diǎn)，分別過點(diǎn)且與圓相切的兩條直線相交于點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡方程為 .
變式21．（2024·全國·高三專題練習(xí)）如圖所示，兩根桿分別繞著定點(diǎn)A和B（AB＝2a）在平面內(nèi)轉(zhuǎn)動，并且轉(zhuǎn)動時兩桿保持互相垂直，則桿的交點(diǎn)P的軌跡方程是 .

變式22．（2024·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過三點(diǎn).
(1)求橢圓的方程；
(2)若過右焦點(diǎn)的直線（斜率不為0）與橢圓交于兩點(diǎn)，求直線與直線的交點(diǎn)的軌跡方程.
變式23．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓C：的離心率為，且經(jīng)過，經(jīng)過定點(diǎn)斜率不為0的直線l交C于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，A，B分別為橢圓C的左，右兩頂點(diǎn).
(1)求橢圓C的方程；
(2)設(shè)直線AE與BF的交點(diǎn)為P，求P點(diǎn)的軌跡方程.
變式24．（2024·山西陽泉·高三統(tǒng)考期末）已知過點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)．
(1)證明：；
(2)設(shè)為拋物線的焦點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)，直線交拋物線與兩點(diǎn)（在軸的同側(cè)），求直線與直線交點(diǎn)的軌跡方程．
變式25．（2024·四川瀘州·高三四川省瀘縣第一中學(xué)校考開學(xué)考試）直線l在x軸上的截距為且交拋物線于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)O為拋物線的頂點(diǎn)，過點(diǎn)A，B分別作拋物線對稱軸的平行線與直線交于C，D兩點(diǎn)．
(1)當(dāng)時，求的大小；
(2)試探究直線AD與直線BC的交點(diǎn)是否為定點(diǎn)，若是，請求出該定點(diǎn)并證明；若不是，請說明理由；
(3)分別過點(diǎn)A，B作拋物線的切線，求兩條切線的交點(diǎn)的軌跡方程．
變式26．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線過點(diǎn)，直線與拋物線C交于A，B兩點(diǎn).
(1)若，求直線l的方程；
(2)過點(diǎn)作直線和，其中交C于M，N兩點(diǎn)，交C于P，Q兩點(diǎn)，M，P位于x軸的同側(cè)，Q，N位于x軸的同側(cè)，求直線MP與直線QN交點(diǎn)的軌跡方程.
變式27．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線的內(nèi)接等邊三角形的面積為（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)）．
（1）試求拋物線的方程；
（2）已知點(diǎn)兩點(diǎn)在拋物線上，是以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的直角三角形．
①求證：直線恒過定點(diǎn)；
②過點(diǎn)作直線的垂線交于點(diǎn)，試求點(diǎn)的軌跡方程，并說明其軌跡是何種曲線．
題型五：參數(shù)法
例13．（2024·全國·高三專題練習(xí)）方程(t為參數(shù))所表示的圓的圓心軌跡方程是 (結(jié)果化為普通方程)
例14．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知，，當(dāng)時，線段的中點(diǎn)軌跡方程為 ．
例15．（2024·云南·高三云南師大附中校考階段練習(xí)）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，，A是上的動點(diǎn)，連接OA，線段OA交于點(diǎn)B，過A作x軸的垂線交x軸于點(diǎn)C，過B作AC的垂線交AC于點(diǎn)D，則點(diǎn)D的軌跡方程為 ．
變式28．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知在中，AB＝8，以AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)O，AB所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，，若，則點(diǎn)P的軌跡方程為 ．
題型六：點(diǎn)差法
例16．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓．
(1)過橢圓的左焦點(diǎn)引橢圓的割線，求截得的弦的中點(diǎn)的軌跡方程；
(2)求斜率為2的平行弦的中點(diǎn)的軌跡方程；
(3)求過點(diǎn)且被平分的弦所在直線的方程．
例17．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓，求斜率為的平行弦中點(diǎn)的軌跡方程.
例18．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知：橢圓，求：
（1）以為中點(diǎn)的弦所在直線的方程；
（2）斜率為2的平行弦中點(diǎn)的軌跡方程．
變式29．（2024·全國·高三專題練習(xí)）斜率為2的平行直線截雙曲線所得弦的中點(diǎn)的軌跡方程是 ．
變式30．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓，一組平行直線的斜率是，當(dāng)它們與橢圓相交時，這些直線被橢圓截得的線段的中點(diǎn)軌跡方程是 ．
變式31．（2024·全國·高三專題練習(xí)）直線l與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，已知直線的斜率為1，則弦AB中點(diǎn)的軌跡方程是 ．
變式32．（2024·全國·高三專題練習(xí)）橢圓，則該橢圓所有斜率為的弦的中點(diǎn)的軌跡方程為 ．
題型七：立體幾何與圓錐曲線的軌跡
例19．（2024·北京·高三強(qiáng)基計(jì)劃）在正方體中，動點(diǎn)M在底面內(nèi)運(yùn)動且滿足，則動點(diǎn)M在底面內(nèi)的軌跡為（ ）
A．圓的一部分 B．橢圓的一部分
C．雙曲線一支的一部分 D．前三個答案都不對
例20．（2024·全國·高三對口高考）如圖，定點(diǎn)A和B都在平面內(nèi)，定點(diǎn)，C是內(nèi)異于A和B的動點(diǎn)，且．那么，動點(diǎn)C在平面內(nèi)的軌跡是（ ）

A．一條線段，但要去掉兩個點(diǎn) B．一個圓，但要去掉兩個點(diǎn)
C．一個橢圓，但要去掉兩個點(diǎn) D．半圓，但要去掉兩個點(diǎn)
例21．（2024·云南保山·統(tǒng)考二模）已知正方體，Q為上底面所在平面內(nèi)的動點(diǎn)，當(dāng)直線與的所成角為45°時，點(diǎn)Q的軌跡為（ ）
A．圓 B．直線 C．拋物線 D．橢圓
變式33．（2024·安徽滁州·安徽省定遠(yuǎn)中學(xué)校考模擬預(yù)測）在正四棱柱中，，，為中點(diǎn)，為正四棱柱表面上一點(diǎn)，且，則點(diǎn)的軌跡的長為（ ）
A． B． C． D．
變式34．（2024·全國·學(xué)軍中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知空間中兩條直線、異面且垂直，平面且，若點(diǎn)到、距離相等，則點(diǎn)在平面內(nèi)的軌跡為（ ）
A．直線 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線
變式35．（2024·江西贛州·統(tǒng)考二模）在棱長為4的正方體中，點(diǎn)滿足，，分別為棱，的中點(diǎn)，點(diǎn)在正方體的表面上運(yùn)動，滿足面，則點(diǎn)的軌跡所構(gòu)成的周長為（ ）
A． B． C． D．
題型八：復(fù)數(shù)與圓錐曲線的軌跡
例22．（2024·遼寧朝陽·統(tǒng)考二模）已知，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)點(diǎn)的軌跡方程為 ．
例23．（2024·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)復(fù)數(shù)滿足，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為，則在復(fù)平面內(nèi)的軌跡方程為 ．
例24．（2024·遼寧錦州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位為純虛數(shù)，則在復(fù)平面內(nèi)，對應(yīng)的點(diǎn)的軌跡為（ ）
A．圓 B．一條線段 C．兩條直線 D．不含端點(diǎn)的4條射線
變式36．（2024·全國·高三專題練習(xí)）復(fù)平面中有動點(diǎn)Z，Z所對應(yīng)的復(fù)數(shù)z滿足，則動點(diǎn)Z的軌跡為（ ）
A．直線 B．線段 C．兩條射線 D．圓
變式37．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知復(fù)數(shù)滿足，則的軌跡為（ ）
A．線段 B．直線
C．橢圓 D．橢圓的一部分
變式38．（2024·全國·高三專題練習(xí)）若復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)的軌跡圍成圖形的面積等于（ ）
A． B． C． D．
變式39．（2024·湖南長沙·高三湖南師大附中校考階段練習(xí)）滿足條件的復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對應(yīng)點(diǎn)的軌跡是（ ）
A．直線 B．圓 C．橢圓 D．拋物線
變式40．（2024·遼寧撫順·高三校聯(lián)考期末）若復(fù)數(shù)滿足.則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)的軌跡為（ ）
A．直線 B．橢圓 C．圓 D．拋物線
題型九：向量與圓錐曲線的軌跡
例25．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知是平面上一定點(diǎn)，是平面上不共線的三個點(diǎn)，動點(diǎn)滿足，，則的軌跡一定通過的（ ）
A．重心 B．外心 C．內(nèi)心 D．垂心
例26．（2024·全國·高三對口高考）O是平面內(nèi)一定點(diǎn)，A，B，C是平面內(nèi)不共線三點(diǎn)，動點(diǎn)P滿足，，則P的軌跡一定通過的（ ）
A．外心 B．垂心 C．內(nèi)心 D．重心
例27．（2024·全國·高三專題練習(xí)）在中，設(shè)，那么動點(diǎn)的軌跡必通過的（ ）
A．垂心 B．內(nèi)心 C．重心 D．外心
變式41．（2024·江蘇·高三統(tǒng)考期末）中，為邊上的高且，動點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡一定過的（ ）
A．外心 B．內(nèi)心 C．垂心 D．重心
變式42．（2024·四川成都·成都市第二十中學(xué)校校考一模）在平面內(nèi)，是兩個定點(diǎn)，是動點(diǎn)，若，則點(diǎn)的軌跡為（ ）
A．圓 B．橢圓 C．拋物線 D．直線
變式43．（2024·安徽·高三蚌埠二中校聯(lián)考階段練習(xí)）在中，，，，角A是銳角，O為的外心．若，其中，則點(diǎn)P的軌跡所對應(yīng)圖形的面積是（ ）
A． B． C． D．
變式44．（2024·全國·高三專題練習(xí)）正三角形OAB的邊長為1，動點(diǎn)C滿足，且，則點(diǎn)C的軌跡是（ ）
A．線段 B．直線 C．射線 D．圓
變式45．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知是平面上的一定點(diǎn)，是平面上不共線的三個點(diǎn)，動點(diǎn)滿足，，則動點(diǎn)的軌跡一定通過的（ ）
A．重心 B．外心 C．內(nèi)心 D．垂心
題型十：利用韋達(dá)定理求軌跡方程
例28．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓的離心率為，點(diǎn)在C上．過C的右焦點(diǎn)F的直線交C于M，N兩點(diǎn)．
(1)求橢圓C的方程；
(2)若動點(diǎn)P滿足，求動點(diǎn)P的軌跡方程．
例29．（2024·湖北武漢·華中師大一附中校考模擬預(yù)測）已知過右焦點(diǎn)的直線交雙曲線于兩點(diǎn)，曲線的左右頂點(diǎn)分別為，虛軸長與實(shí)軸長的比值為．

(1)求曲線的方程；
(2)如圖，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)，求的軌跡方程．
例30．（2024·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)橢圓方程為，過點(diǎn)的直線l交橢圓于點(diǎn)A，B，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P滿足，當(dāng)l繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)時，求動點(diǎn)P的軌跡方程；
變式46．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓C：過點(diǎn)，且橢圓上任意一點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離的最大值為.
(1)求橢圓C的方程；
(2)若直線l與橢圓C交不同于點(diǎn)A的P、Q兩點(diǎn)，以線段PQ為直徑的圓經(jīng)過A，過點(diǎn)A作線段PQ的垂線，垂足為H，求點(diǎn)H的軌跡方程.
變式47．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線與直線．
(1)若直線與雙曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)是線段AB的中點(diǎn)，求直線的方程；
(2)若直線l與雙曲線有唯一的公共點(diǎn)M，過點(diǎn)M且與l垂直的直線分別交x軸、y軸于，兩點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動時，求點(diǎn)的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線．
變式48．（2024·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)不同的兩點(diǎn)A，B在橢圓上運(yùn)動，以線段AB為直徑的圓過坐標(biāo)原點(diǎn)O，過O作，M為垂足．求點(diǎn)M的軌跡方程.
變式49．（2024·浙江·杭州市富陽區(qū)場口中學(xué)高三期末）已知橢圓C的離心率為，其焦點(diǎn)是雙曲線的頂點(diǎn).
(1)寫出橢圓C的方程；
(2)直線l：與橢圓C有唯一的公共點(diǎn)M，過點(diǎn)M作直線l的垂線分別交x軸 y軸于，兩點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動時，求點(diǎn)的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線.
變式50．（2024·廣東·高三階段練習(xí)）已知橢圓的離心率是，其左、右頂點(diǎn)分別是、，且．
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)已知點(diǎn)、是橢圓上異于、的不同兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)是以為直徑的圓和以為直徑的圓的另一個交點(diǎn)，記線段的中點(diǎn)為，若，求動點(diǎn)的軌跡方程．
變式51．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知三角形ABC的三個頂點(diǎn)均在橢圓上，且點(diǎn)A是橢圓短軸的一個端點(diǎn)（點(diǎn)A在y軸正半軸上）.
（1）若三角形ABC的重心是橢圓的右焦點(diǎn)，試求直線BC的方程;
（2）若角A為，AD垂直BC于D，試求點(diǎn)D的軌跡方程
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21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)第68講 曲線的軌跡方程
知識梳理
一．直接法求動點(diǎn)的軌跡方程
利用直接法求動點(diǎn)的軌跡方程的步驟如下：
（1）建系：建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系
（2）設(shè)點(diǎn)：設(shè)軌跡上的任一點(diǎn)
（3）列式：列出有限制關(guān)系的幾何等式
（4）代換：將軌跡所滿足的條件用含的代數(shù)式表示，如選用距離和斜率公式等將其轉(zhuǎn)化為的方程式化簡
（5）證明（一般省略）：證明所求方程即為符合條件的動點(diǎn)軌跡方程（對某些特殊值應(yīng)另外補(bǔ)充檢驗(yàn)）．簡記為：建設(shè)現(xiàn)代化，補(bǔ)充說明．
注：若求動點(diǎn)的軌跡，則不但要求出動點(diǎn)的軌跡方程，還要說明軌跡是什么曲線．
二．定義法求動點(diǎn)的軌跡方程
回顧之前所講的第一定義的求解軌跡問題，我們常常需要把動點(diǎn)和滿足焦點(diǎn)標(biāo)志的定點(diǎn)連起來判斷．熟記焦點(diǎn)的特征：（1）關(guān)于坐標(biāo)軸對稱的點(diǎn)；（2）標(biāo)記為的點(diǎn)；（3）圓心；（4）題目提到的定點(diǎn)等等．當(dāng)看到以上的標(biāo)志的時候要想到曲線的定義，把曲線和滿足焦點(diǎn)特征的點(diǎn)連起來結(jié)合曲線定義求解軌跡方程．
三．相關(guān)點(diǎn)法求動點(diǎn)的軌跡方程
如果動點(diǎn)的運(yùn)動是由另外某一點(diǎn)的運(yùn)動引發(fā)的，而該點(diǎn)的運(yùn)動規(guī)律已知，（該點(diǎn)坐標(biāo)滿足某已知曲線方程），則可以設(shè)出，用表示出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，然后把的坐標(biāo)代入已知曲線方程，即可得到動點(diǎn)的軌跡方程．
四．交軌法求動點(diǎn)的軌跡方程
在求動點(diǎn)的軌跡方程時，存在一種求解兩動曲線交點(diǎn)的軌跡問題，這類問題常常可以先解方程組得出交點(diǎn)（含參數(shù)）的坐標(biāo)，再消去參數(shù)得出所求軌跡的方程，該方法經(jīng)常與參數(shù)法并用，和參數(shù)法一樣，通常選變角、變斜率等為參數(shù)．
五．參數(shù)方程法求動點(diǎn)的軌跡方程
動點(diǎn)的運(yùn)動主要是由于某個參數(shù)的變化引起的，可以選參、設(shè)參，然后用這個參數(shù)表示動點(diǎn)的坐標(biāo)，即，再消參.
六．點(diǎn)差法求動點(diǎn)的軌跡方程
圓錐曲線中涉及與弦的中點(diǎn)有關(guān)的軌跡問題可用點(diǎn)差法，其基本方法是把弦的兩端點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓錐曲線方程，兩式相減可得，，，等關(guān)系式，由于弦的中點(diǎn)的坐標(biāo)滿足，且直線的斜率為，由此可求得弦中點(diǎn)的軌跡方程．
必考題型全歸納
題型一：直接法
例1．（2024·甘肅平?jīng)觥じ呷y(tǒng)考期中）動點(diǎn)與定點(diǎn)的連線的斜率之積為，則點(diǎn)的軌跡方程是 .
【答案】（）
【解析】由題意可知：，則點(diǎn)的軌跡是以為直徑的圓（除外），
即以的中點(diǎn)為圓心，半徑為1的圓，
所以點(diǎn)的軌跡方程是.
故答案為：.
例2．（2024·湖南長沙·高三長郡中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知圓：，過動點(diǎn)作圓的切線（為切點(diǎn)），使得，則動點(diǎn)的軌跡方程為 .
【答案】
【解析】設(shè)，由得，則，即.
故答案為：
例3．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知兩條直線和，有一動圓與及都相交，并且、被截在圓內(nèi)的兩條弦長分別是26和24，則動圓圓心的軌跡方程是 ．
【答案】
【解析】設(shè)圓心的坐標(biāo)為，圓的半徑為，點(diǎn)到、的距離分別為、，
則，，得．
由題意可得：，，即，
化簡得．即．
故答案為：.
變式1．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知平面直角坐標(biāo)系中有兩點(diǎn)，且曲線上的任意一點(diǎn)P都滿足．則曲線的軌跡方程為 .
【答案】
【解析】設(shè)，由題設(shè)有，
整理得到，
故.
故答案為：.
變式2．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知平面上的動點(diǎn)到點(diǎn)和的距離之比為，則點(diǎn)的軌跡方程為 .
【答案】
【解析】設(shè)，因?yàn)閯狱c(diǎn)到點(diǎn)和的距離之比為，
所以，，即：，
所以，即，
所以點(diǎn)的軌跡方程是.
故答案為：
變式3．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知平面上一定點(diǎn)和直線l：x=8，P為該平面上一動點(diǎn)，作PQ⊥l，垂足為Q，且·=0．則動點(diǎn)P的軌跡方程為 ；
【答案】
【解析】設(shè)，則，
由·=0，得，
即，化簡得，
所以點(diǎn)P在橢圓上，即動點(diǎn)P的軌跡方程為．
故答案為：
題型二：定義法
例4．（2024·全國·高三專題練習(xí)）若，，點(diǎn)P到F1，F(xiàn)2的距離之和為10，則點(diǎn)P的軌跡方程是
【答案】
【解析】因?yàn)椋渣c(diǎn)的軌跡是以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)的橢圓，其中，故點(diǎn)P的軌跡方程為.
故答案為：
例5．（2024·浙江·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知圓與圓內(nèi)切，且圓與直線相切，則圓的圓心的軌跡方程為 ．
【答案】
【解析】設(shè)，點(diǎn)到直線的距離為d，
如圖，只能在直線的左側(cè)，則，
因?yàn)閳A的圓心為，半徑為1，
依題意可得，即，化簡可得，
故圓的圓心的軌跡方程為．
故答案為：.
例6．（2024·廣東東莞·高三校考階段練習(xí)）已知圓，圓，動圓與圓外切并與圓內(nèi)切，則圓心的軌跡方程為
【答案】
【解析】設(shè)動圓P的圓心為，半徑為，
由題意得，
所以，
所以點(diǎn)P的軌跡為以為焦點(diǎn)的橢圓，
則，即，，則，
所以動圓圓心的軌跡方程為，
故答案為：
變式4．（2024·全國·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知的周長是18，，是軸上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)，若，動點(diǎn)滿足.則動點(diǎn)的軌跡方程為 ；
【答案】
【解析】由，知點(diǎn)G是的重心，取點(diǎn)，，
不妨設(shè)，，則，，
且，
所以點(diǎn)是以，為焦點(diǎn)的橢圓（除去長軸端點(diǎn)），
設(shè)橢圓的方程是，
則，，于是，即，
從而，點(diǎn)的軌跡方程為：.
故答案為：
變式5．（2024·全國·高三對口高考）已知動圓P過點(diǎn)，且與圓外切，則動圓P圓心的軌跡方程為 .
【答案】，
【解析】定圓的圓心為，與關(guān)于原點(diǎn)對稱，
設(shè)動圓的半徑為，則有，因?yàn)榕c圓外切，
所以，即，
所以點(diǎn)的軌跡是以M，N為焦點(diǎn)的雙曲線的左支，
則，，，
所以軌跡方程為，，即，.
故答案為：，
變式6．（2024·全國·高三專題練習(xí)）中，A為動點(diǎn)，，且滿足，則A點(diǎn)的軌跡方程為 ．
【答案】.
【解析】根據(jù)正弦定理，由，
所以點(diǎn)A點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)的橢圓，不包括兩點(diǎn)，
由，
所以A點(diǎn)的軌跡方程為，
故答案為：.
變式7．（2024·全國·高三專題練習(xí)）一個動圓與圓外切，與圓內(nèi)切，則這個動圓圓心的軌跡方程為 ．
【答案】
【解析】設(shè)動圓圓心為，半徑為，根據(jù)題意知：，，
所以，所以圓心的軌跡為橢圓.
其中，，故，
因?yàn)榻裹c(diǎn)在軸上，故圓心軌跡方程為：.
故答案為：.
變式8．（2024·全國·高三對口高考）已知，B是圓（F為圓心）上一動點(diǎn).線段AB的垂直平分線交BF于P，則動點(diǎn)P的軌跡方程為 .
【答案】．
【解析】由題意，在線段的垂直平分線上，則，
所以，又，
所以在以為焦點(diǎn)，長軸長為2的橢圓上，
，，，則，
所以軌跡方程為．
故答案為：．
變式9．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知定點(diǎn)，圓，過R點(diǎn)的直線交圓于M，N兩點(diǎn)過R點(diǎn)作直線交SM于Q點(diǎn)，求Q點(diǎn)的軌跡方程；
【解析】因?yàn)椋矗裕霃綖椋?br/>如圖，根據(jù)題意可知，
又，所以，故，
又，所以，
故動點(diǎn)的軌跡是以 為焦點(diǎn)，長軸長為4的橢圓，這里，故，
所以點(diǎn)的軌跡方程為：.
變式10．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知圓，直線，過上的點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，則弦中點(diǎn)的軌跡方程為 .
【答案】
【解析】由題意得弦中點(diǎn)為直線和的交點(diǎn)，
設(shè)，則直線的方程為，
又均與圓相切，故，
故四點(diǎn)共圓，且為以為直徑的圓與圓的公共弦.
又以為直徑的圓的方程為，即，
故的方程為與相減，即.
又，所以，
代入有，
化簡得.
當(dāng)時，；當(dāng)時，均滿足方程.
又當(dāng)時，不滿足題意.
綜上點(diǎn)的軌跡方程為，
故答案為：
變式11．（2024·吉林白山·高三撫松縣第一中學(xué)校考階段練習(xí)）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，，點(diǎn)A是直線上一個動點(diǎn)，連接AF并作AF的垂直平分線l，過點(diǎn)A作y軸的垂線交l于點(diǎn)P，則點(diǎn)P的軌跡方程為 ．
【答案】
【解析】如圖，由垂直平分線的性質(zhì)可得，符合拋物線第一定義，拋物線開口向右，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故，點(diǎn)P的軌跡方程為.
故答案為：
變式12．（2024·云南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知圓，直線過點(diǎn)且與圓交于點(diǎn)B，C，線段的中點(diǎn)為D，過的中點(diǎn)E且平行于的直線交于點(diǎn)P．
(1)求動點(diǎn)P的軌跡方程；
【解析】（1）由題意得，，．
因?yàn)镈為中點(diǎn)，所以，即，
又，所以，
又E為的中點(diǎn)，所以，
所以，
所以動點(diǎn)P的軌跡是以，為焦點(diǎn)的橢圓（左、右頂點(diǎn)除外）．
設(shè)動點(diǎn)P的軌跡方程為：，其中，．
則，，，．
故動點(diǎn)P的軌跡方程為：．
題型三：相關(guān)點(diǎn)法
例7．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)P為橢圓上的任意一點(diǎn)，O為原點(diǎn)，M滿足，則點(diǎn)M的軌跡方程為 ．
【答案】.
【解析】設(shè)點(diǎn)，
由得點(diǎn)，而點(diǎn)P為橢圓上的任意一點(diǎn)，
于是得，整理得：，
所以點(diǎn)M的軌跡方程是.
故答案為:
例8．（2024·福建泉州·高三校考開學(xué)考試）是圓上的動點(diǎn)，點(diǎn)，則線段的中點(diǎn)的軌跡方程是 .
【答案】
【解析】設(shè)，則，解得，
即，則，整理得，
故點(diǎn)的軌跡方程是.
故答案為：.
例9．（2024·四川內(nèi)江·高三四川省內(nèi)江市第六中學(xué)校考階段練習(xí)）已知定點(diǎn)和曲線上的動點(diǎn)，則線段的中點(diǎn)的軌跡方程為 ．
【答案】
【解析】設(shè)線段中點(diǎn)為，， 則，
即，
因?yàn)辄c(diǎn)為圓上的點(diǎn)，所以
所以，化簡得：
故答案為：
變式13．（2024·全國·高考真題）設(shè)P為雙曲線上一動點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，M為線段的中點(diǎn)，則點(diǎn)M的軌跡方程為 ．
【答案】
【解析】設(shè)，，
則，即，
又，則，
整理得，
即點(diǎn)M的軌跡方程為.
故答案為：
變式14．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知的頂點(diǎn)，，頂點(diǎn)A在拋物線上運(yùn)動，則的重心G的軌跡方程為 ．
【答案】
【解析】設(shè)，．
由點(diǎn)G為的重心，得，所以．
又在拋物線上，所以，即．
又點(diǎn)A不在直線BC上，所以，即，所以所求軌跡方程為．
故答案為：
變式15．（2024·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)過點(diǎn)的直線分別與x軸的正半軸和y軸的正半軸交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)Q與點(diǎn)P關(guān)于y軸對稱，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．若，且，則點(diǎn)P的軌跡方程是 ．
【答案】
【解析】設(shè)點(diǎn)，則，設(shè)，，則，
，，
，，，
又，，，
，即.
故答案為：.
變式16．（2024·全國·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC滿足A(-1，0)，B(1，0)，，，∠ACB的平分線與點(diǎn)P的軌跡相交于點(diǎn)I，存在非零實(shí)數(shù)，使得，則頂點(diǎn)C的軌跡方程為 ．
【答案】
【解析】設(shè)，因?yàn)椋允堑闹匦模?br/>因?yàn)椋裕?br/>所以, 所以點(diǎn)在的角平分線上，
因?yàn)椤螦CB的平分線與點(diǎn)P的軌跡相交于點(diǎn)I，所以點(diǎn)為的內(nèi)心.
所以點(diǎn)，即，
又，所以與軸平行，又，
所以,
所以點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，長軸長為4的橢圓，，
當(dāng)是橢圓的長軸的端點(diǎn)時，不能構(gòu)成三角形，所以不能取到橢圓的長軸的端點(diǎn)；
當(dāng)是橢圓的短軸的端點(diǎn)時，與已知存在非零實(shí)數(shù)，使得矛盾，所以不能取到橢圓的短軸的端點(diǎn).
又橢圓的焦距為2，所以橢圓的方程為.
所以點(diǎn)的軌跡方程為.
故答案為：
題型四：交軌法
例10．（2024·貴州銅仁·高三統(tǒng)考期末）已知直線，，當(dāng)任意的實(shí)數(shù)m變化時，直線與的交點(diǎn)的軌跡方程是 ．
【答案】
【解析】聯(lián)立兩直線得，將這兩式相乘，消去參數(shù)m，得，
即，可得軌跡方程為．
故答案為：
例11．（2024·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2，直線與拋物線交于兩點(diǎn)，過點(diǎn)作拋物線的切線，若交于點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡方程為 .
【答案】或
【解析】由焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2，可得拋物線.
由可得，故，
故在處的切線方程為，即，
同理在點(diǎn)處的切線方程為，
聯(lián)立，即.
聯(lián)立直線與拋物線方程：，消去得，
由題或.
由韋達(dá)定理，，
得，其中或，故點(diǎn)的軌跡方程為：或.
故答案為：或
例12．（2024·貴州貴陽·高三貴陽一中校考階段練習(xí)）已知A，B分別為橢圓的左 右頂點(diǎn)，點(diǎn)M，N為橢圓上的兩個動點(diǎn)，滿足線段MN與x軸垂直，則直線MA與NB交點(diǎn)的軌跡方程為 .
【答案】
【解析】因?yàn)锳，B分別為橢圓的左 右頂點(diǎn)，所以A(-2，0)，B(2，0)，
設(shè)MA與NB的交點(diǎn)為P，P(x，y)，M(x1，y1)，N(x1，-y1)，
由，，得，，
兩式相乘得∶，化解得.
故答案為：.
變式17．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知是橢圓中垂直于長軸的動弦，是橢圓長軸的兩個端點(diǎn)，則直線和的交點(diǎn)的軌跡方程為 ．
【答案】（）．
【解析】設(shè)，
因?yàn)闄E圓的長軸端點(diǎn)為，
設(shè)直線和的交點(diǎn)為，
因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，，
因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，
兩式相乘得，（）,
因?yàn)椋裕矗?br/>所以，整理得（），
所以直線和的交點(diǎn)的軌跡方程（）.
故答案為：（）.
變式18．（2024·全國·高三專題練習(xí)）直線在軸上的截距為且交拋物線于、兩點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)，過點(diǎn)、分別作拋物線對稱軸的平行線與直線交于、兩點(diǎn)．分別過點(diǎn)、作拋物線的切線，則兩條切線的交點(diǎn)的軌跡方程為 ．
【答案】
【解析】設(shè)點(diǎn)、，
若直線與軸重合，則直線與拋物線只有一個交點(diǎn)，不合乎題意.
設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，可得，
，由韋達(dá)定理，可得，，
顯然拋物線在點(diǎn)處切線斜率存在且不為，
設(shè)其方程為，
由，消去并整理，得，
解得或，因此有，解得，
則拋物線在點(diǎn)處切線方程為，即，
同理拋物線在點(diǎn)處切線方程為，
而，由，解得，，
于是得兩條切線的交點(diǎn)在直線上，
又，所以兩條切線的交點(diǎn)的軌跡方程為．
故答案為：.
變式19．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線C：，焦點(diǎn)為F，過F的直線l交C于A，B兩點(diǎn)，分別作拋物線C在A，B處的切線，且兩切線交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P的軌跡方程為： ．
【答案】
【解析】，
，
由題意知：直線的斜率存在，
設(shè)直線的方程為：，，
聯(lián)立：，得：，
，
又，
過的切線的斜率分別為：，
故過點(diǎn)和點(diǎn)的切線方程為：，
聯(lián)立：，
解得：，，
故點(diǎn)P的軌跡方程為：.
故答案為：.
變式20．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)，，，動圓與直線切于點(diǎn)，分別過點(diǎn)且與圓相切的兩條直線相交于點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡方程為 .
【答案】
【解析】如圖所示：
設(shè)PM，PN分別與圓C相切與R，Q，
由圓的切線長定理得PQ=PR，MR=MB，NQ=NB，
所以PM-PN=RM-QN=MB-NB=2所以點(diǎn)P的軌跡是以M，N為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，且c=3，a=1，
所以點(diǎn)的軌跡方程為
故答案為：
變式21．（2024·全國·高三專題練習(xí)）如圖所示，兩根桿分別繞著定點(diǎn)A和B（AB＝2a）在平面內(nèi)轉(zhuǎn)動，并且轉(zhuǎn)動時兩桿保持互相垂直，則桿的交點(diǎn)P的軌跡方程是 .

【答案】（不唯一）
【解析】如圖，以AB所在直線為x軸，以線段AB的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，
則，，設(shè)，
因?yàn)椋裕?br/>化簡，得，
當(dāng)時，點(diǎn)P與A或B重合，此時y＝0，滿足上式，
故桿的交點(diǎn)P的軌跡方程是.
因?yàn)槿≡c(diǎn)的位置不一樣，所以答案不一樣.
故答案為：（答案不唯一）.
變式22．（2024·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過三點(diǎn).
(1)求橢圓的方程；
(2)若過右焦點(diǎn)的直線（斜率不為0）與橢圓交于兩點(diǎn)，求直線與直線的交點(diǎn)的軌跡方程.
【解析】（1）設(shè)橢圓方程E：+=1
由AC兩點(diǎn)可知：，解得=16，=12，
所以橢圓方程為；
（2）設(shè)，M（，）N（，）
聯(lián)立（3+12my-36=0
直線AM：=
直線BN：=
消去：，
因斜率不為0，該直線方程：.
變式23．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓C：的離心率為，且經(jīng)過，經(jīng)過定點(diǎn)斜率不為0的直線l交C于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，A，B分別為橢圓C的左，右兩頂點(diǎn).
(1)求橢圓C的方程；
(2)設(shè)直線AE與BF的交點(diǎn)為P，求P點(diǎn)的軌跡方程.
【解析】（1）
根據(jù)題意可得，解得，
∴求橢圓C的方程為
（2）根據(jù)題意可得直線AE：，BF：，
由可得，
所以，故，故，
同理，，故，
因?yàn)槿c(diǎn)共線，故共線，
而，
故，整理得到：或，
若，則由可得，這與題設(shè)矛盾，故.
聯(lián)立方程，解得，
∴P點(diǎn)的軌跡方程為
變式24．（2024·山西陽泉·高三統(tǒng)考期末）已知過點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)．
(1)證明：；
(2)設(shè)為拋物線的焦點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)，直線交拋物線與兩點(diǎn)（在軸的同側(cè)），求直線與直線交點(diǎn)的軌跡方程．
【解析】（1）設(shè)，，
因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以,
所以，整理可得，
所以，所以．
（2）設(shè)， ，，
由題意，，
因?yàn)椋裕?br/>又因?yàn)椋?br/>所以，整理得．
因?yàn)樵谳S同側(cè)，所以，同理可得，
所以直線的方程為，同理的方程為，
兩式聯(lián)立代入，可得，
由題意可知交點(diǎn)不能在x軸上，
所以交點(diǎn)的軌跡方程為．
變式25．（2024·四川瀘州·高三四川省瀘縣第一中學(xué)校考開學(xué)考試）直線l在x軸上的截距為且交拋物線于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)O為拋物線的頂點(diǎn)，過點(diǎn)A，B分別作拋物線對稱軸的平行線與直線交于C，D兩點(diǎn)．
(1)當(dāng)時，求的大小；
(2)試探究直線AD與直線BC的交點(diǎn)是否為定點(diǎn)，若是，請求出該定點(diǎn)并證明；若不是，請說明理由；
(3)分別過點(diǎn)A，B作拋物線的切線，求兩條切線的交點(diǎn)的軌跡方程．
【解析】（1）設(shè)直線l的方程為，由，消去x并整理得，
設(shè)，，則，，當(dāng)時，，，
因，，即，
所以．
（2）顯然，當(dāng)軸時，直線AB：，四邊形是矩形，x，y軸分別為其對稱軸，則直線AD與BC交于原點(diǎn)，
當(dāng)直線AB與x軸不垂直時，由（1）知，，且此時，，
，則有，即有，因此點(diǎn)共線，
同理點(diǎn)共線，即直線AD與直線BC交于原點(diǎn)，
所以直線AD與直線BC的交點(diǎn)恒為原點(diǎn)．
（3）由（1）知，，
顯然拋物線在點(diǎn)A處切線斜率存在且不為0，設(shè)其方程為：，
由消去x并整理得：，解得或，
因此有，解得，則拋物線在點(diǎn)A處切線方程為，即，
同理拋物線在點(diǎn)B處切線方程為，
而，由解得，于是得兩條切線的交點(diǎn)在直線上，又，
所以兩條切線的交點(diǎn)的軌跡方程為．
變式26．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線過點(diǎn)，直線與拋物線C交于A，B兩點(diǎn).
(1)若，求直線l的方程；
(2)過點(diǎn)作直線和，其中交C于M，N兩點(diǎn)，交C于P，Q兩點(diǎn)，M，P位于x軸的同側(cè)，Q，N位于x軸的同側(cè)，求直線MP與直線QN交點(diǎn)的軌跡方程.
【解析】（1）∵拋物線過點(diǎn)，
∴，拋物線.
聯(lián)立消去x并整理，得，
設(shè)，，則，.
∵.
∴，
∴（舍去）或，
∴.
∴直線l的方程為或.
（2）設(shè)，，，.
由（1）可知，，.
直線的斜率為，
直線的方程為，
同理，直線的方程為，
聯(lián)立化簡可得，.
，
，
，
.
解得，則直線，的交點(diǎn)在直線上，
∴直線，交點(diǎn)的軌跡方程為.
變式27．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線的內(nèi)接等邊三角形的面積為（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)）．
（1）試求拋物線的方程；
（2）已知點(diǎn)兩點(diǎn)在拋物線上，是以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的直角三角形．
①求證：直線恒過定點(diǎn)；
②過點(diǎn)作直線的垂線交于點(diǎn)，試求點(diǎn)的軌跡方程，并說明其軌跡是何種曲線．
【解析】（1）解依題意，設(shè)，，
則由，得，
即，
因?yàn)椋裕?br/>故，，
則，關(guān)于軸對稱，
所以軸，且，
所以.
因?yàn)椋裕?br/>所以，
故，，
故拋物線的方程為.
（2）①證明 由題意可設(shè)直線的方程為，
，，
由，消去，得，
故，，.
因?yàn)椋?
即.
整理得，
，
即，
得，
所以或.
當(dāng)，即時，
直線的方程為，
過定點(diǎn)，不合題意舍去.
故直線恒過定點(diǎn).
②解 設(shè)，則，即，
得，
即，
即軌跡是以為直徑的圓（除去點(diǎn)）.
題型五：參數(shù)法
例13．（2024·全國·高三專題練習(xí)）方程(t為參數(shù))所表示的圓的圓心軌跡方程是 (結(jié)果化為普通方程)
【答案】
【解析】圓化為，它表示以為圓心，為半徑的圓，
設(shè)圓心坐標(biāo)為，于是得(t為參數(shù))，消去t得：，
所以所求圓心軌跡方程是.
故答案為：
例14．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知，，當(dāng)時，線段的中點(diǎn)軌跡方程為 ．
【答案】
【解析】因?yàn)椋?br/>所以中點(diǎn)坐標(biāo)為，
即，
設(shè)點(diǎn)為線段的中點(diǎn)軌跡上任一點(diǎn)的坐標(biāo)，
，，
，
即當(dāng)時，線段的中點(diǎn)軌跡方程為，
故答案為：
例15．（2024·云南·高三云南師大附中校考階段練習(xí)）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，，A是上的動點(diǎn)，連接OA，線段OA交于點(diǎn)B，過A作x軸的垂線交x軸于點(diǎn)C，過B作AC的垂線交AC于點(diǎn)D，則點(diǎn)D的軌跡方程為 ．
【答案】
【解析】設(shè)
則，
由題意可得，
消參可得：
所以點(diǎn)的軌跡方程為．
故答案為：
變式28．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知在中，AB＝8，以AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)O，AB所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，，若，則點(diǎn)P的軌跡方程為 ．
【答案】
【解析】由題得
，
則，即，
又，為的內(nèi)角，則，則有，故，
由題可設(shè)，，，則，
所以且，則，即.
故答案為：
題型六：點(diǎn)差法
例16．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓．
(1)過橢圓的左焦點(diǎn)引橢圓的割線，求截得的弦的中點(diǎn)的軌跡方程；
(2)求斜率為2的平行弦的中點(diǎn)的軌跡方程；
(3)求過點(diǎn)且被平分的弦所在直線的方程．
【解析】（1）設(shè)弦與橢圓兩交點(diǎn)坐標(biāo)分別為、，
設(shè)，當(dāng)時，．
當(dāng)時，，
兩式相減得，即(*)，
因?yàn)椋?br/>所以，代入上式并化簡得，顯然滿足方程.
所以點(diǎn)P的軌跡方程為（在橢圓內(nèi)部分）．
（2）設(shè)，在（1）中式子里，
將，，代入上式并化簡得點(diǎn)Q的軌跡方程為（在橢圓內(nèi)部分）．
所以，點(diǎn)的軌跡方程（在橢圓內(nèi)部分）.
（3）在（1）中式子里，
將，，代入上式可求得．
所以直線方程為．
例17．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓，求斜率為的平行弦中點(diǎn)的軌跡方程.
【解析】設(shè)弦的兩個端點(diǎn)分別為，的中點(diǎn)為.
則，（1），（2）
得：，
.
又，.
由于弦中點(diǎn)軌跡在已知橢圓內(nèi)，
聯(lián)立
故斜率為的平行弦中點(diǎn)的軌跡方程：
例18．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知：橢圓，求：
（1）以為中點(diǎn)的弦所在直線的方程；
（2）斜率為2的平行弦中點(diǎn)的軌跡方程．
【解析】（1）設(shè)弦的端點(diǎn)，，
可得：， ，
相減可得：，
把，， 代入可得： ．
∴以為中點(diǎn)的弦所在直線的方程為：，化為： ．
（2）設(shè)直線方程為：，弦的端點(diǎn)， ，中點(diǎn)．
聯(lián)立，化為 ，
，化為： ，
∴，化為： ．
得，
∴
變式29．（2024·全國·高三專題練習(xí)）斜率為2的平行直線截雙曲線所得弦的中點(diǎn)的軌跡方程是 ．
【答案】(或).
【解析】設(shè)直線為，與雙曲線交點(diǎn)為，
聯(lián)立雙曲線可得：，則，即或，
所以，故，則弦中點(diǎn)為，
所以弦的中點(diǎn)的軌跡方程為(或).
故答案為：(或)
變式30．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓，一組平行直線的斜率是，當(dāng)它們與橢圓相交時，這些直線被橢圓截得的線段的中點(diǎn)軌跡方程是 ．
【答案】
【解析】設(shè)這組平行直線的方程為，
聯(lián)立方程組，整理得，
由可得，
則，所以它們與橢圓交點(diǎn)的中點(diǎn)坐標(biāo)為，
即這些點(diǎn)均在軌跡上，
即直線被橢圓截得的線段的中點(diǎn)軌跡方程是.
故答案為：．
變式31．（2024·全國·高三專題練習(xí)）直線l與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，已知直線的斜率為1，則弦AB中點(diǎn)的軌跡方程是 ．
【答案】
【解析】設(shè)，，線段AB的中點(diǎn)為，連接（為坐標(biāo)原點(diǎn)）．
由題意知，則，
∴點(diǎn)的軌跡方程為．
又點(diǎn)在橢圓內(nèi)，
∴，
解得：，
故答案為：.
變式32．（2024·全國·高三專題練習(xí)）橢圓，則該橢圓所有斜率為的弦的中點(diǎn)的軌跡方程為 ．
【答案】
【解析】設(shè)斜率為的直線方程為，與橢圓的交點(diǎn)為，
設(shè)中點(diǎn)坐標(biāo)為，則，
所以，兩式相減可得，
，即，
由于在橢圓內(nèi)部，由得，
所以時，即直線與橢圓相切，
此時由解得或，
所以，
所求得軌跡方程為．
故答案為：．
題型七：立體幾何與圓錐曲線的軌跡
例19．（2024·北京·高三強(qiáng)基計(jì)劃）在正方體中，動點(diǎn)M在底面內(nèi)運(yùn)動且滿足，則動點(diǎn)M在底面內(nèi)的軌跡為（ ）
A．圓的一部分 B．橢圓的一部分
C．雙曲線一支的一部分 D．前三個答案都不對
【答案】A
【解析】因?yàn)椋试趫A錐面上，該圓錐以為軸，為頂點(diǎn)，
而M在底面內(nèi)，
故動點(diǎn)M在底面內(nèi)的軌跡是以D為圓心的四分之一圓弧．
故選：A.
例20．（2024·全國·高三對口高考）如圖，定點(diǎn)A和B都在平面內(nèi)，定點(diǎn)，C是內(nèi)異于A和B的動點(diǎn)，且．那么，動點(diǎn)C在平面內(nèi)的軌跡是（ ）

A．一條線段，但要去掉兩個點(diǎn) B．一個圓，但要去掉兩個點(diǎn)
C．一個橢圓，但要去掉兩個點(diǎn) D．半圓，但要去掉兩個點(diǎn)
【答案】B
【解析】連接.
，則，又，
，平面，則平面，
又平面，則，
則動點(diǎn)C在平面內(nèi)的軌跡是以為直徑的圓（去掉兩個點(diǎn)）.
故選：B
例21．（2024·云南保山·統(tǒng)考二模）已知正方體，Q為上底面所在平面內(nèi)的動點(diǎn)，當(dāng)直線與的所成角為45°時，點(diǎn)Q的軌跡為（ ）
A．圓 B．直線 C．拋物線 D．橢圓
【答案】C
【解析】以點(diǎn)D為原點(diǎn)，，，為x，y，z的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)正方體棱長為1，則，設(shè)，
可得，，
因?yàn)橹本€與的所成角為，
則，化簡可得，
所以點(diǎn)Q的軌跡為拋物線.
故選：C.
變式33．（2024·安徽滁州·安徽省定遠(yuǎn)中學(xué)校考模擬預(yù)測）在正四棱柱中，，，為中點(diǎn)，為正四棱柱表面上一點(diǎn)，且，則點(diǎn)的軌跡的長為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】在正四棱柱中，連接，如圖，，平面，
因?yàn)槠矫妫瑒t，又平面，
，則平面，又平面，則，
取中點(diǎn)，連接，在平面內(nèi)過作，交于，顯然，
而平面，則平面，有，
又平面，，于是平面，而平面，因此，
因?yàn)槠矫妫瑥亩矫妫?br/>連接，則點(diǎn)的軌跡為平面與四棱柱的交線，即，
因?yàn)椋从校郑?br/>于是，有，，
所以點(diǎn)的軌跡長為.
故選：A
變式34．（2024·全國·學(xué)軍中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知空間中兩條直線、異面且垂直，平面且，若點(diǎn)到、距離相等，則點(diǎn)在平面內(nèi)的軌跡為（ ）
A．直線 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線
【答案】C
【解析】設(shè)在內(nèi)的射影為，到的距離為，
以與的交點(diǎn)為原點(diǎn)，為軸，為軸，與的公垂線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.
設(shè)，則到的距離為.
過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，
又在內(nèi)的射影為，則，連結(jié),
又，，
所以平面，又平面，
所以，所以，
所以則到的距離為,
因?yàn)辄c(diǎn)到、距離相等，
所以，即，
所以點(diǎn)在平面內(nèi)的軌跡為雙曲線.
故選：C.
變式35．（2024·江西贛州·統(tǒng)考二模）在棱長為4的正方體中，點(diǎn)滿足，，分別為棱，的中點(diǎn)，點(diǎn)在正方體的表面上運(yùn)動，滿足面，則點(diǎn)的軌跡所構(gòu)成的周長為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】延長，交的延長線與，連接，分別交，于，
過點(diǎn)作交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，
因?yàn)槠矫妫矫妫云矫妫?br/>同理可得平面，
因?yàn)椋云矫嫫矫妫?br/>過點(diǎn)作交于點(diǎn)，
連接，則
則平行四邊形（點(diǎn)除外）為點(diǎn)的軌跡所構(gòu)成的圖形，
因?yàn)檎襟w棱長為4，，分別為棱，的中點(diǎn)，，
所以，
因?yàn)椋裕?br/>過點(diǎn)作⊥于點(diǎn)，則，
則由幾何關(guān)系可知，所以，
由勾股定理得，
所以點(diǎn)的軌跡所構(gòu)成的周長為.
故選：D
題型八：復(fù)數(shù)與圓錐曲線的軌跡
例22．（2024·遼寧朝陽·統(tǒng)考二模）已知，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)點(diǎn)的軌跡方程為 ．
【答案】
【解析】∵復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)點(diǎn)，
又，
∴，
即點(diǎn)到點(diǎn)，和的距離之和為6，且兩定點(diǎn)的距離為，
故點(diǎn)的運(yùn)動軌跡是以點(diǎn)為焦點(diǎn)的橢圓，且，
故，
∴復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)點(diǎn)的軌跡方程為：，
故答案為：．
例23．（2024·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)復(fù)數(shù)滿足，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為，則在復(fù)平面內(nèi)的軌跡方程為 ．
【答案】
【解析】因?yàn)榍遥裕?br/>所以在復(fù)平面內(nèi)的軌跡是以和為焦點(diǎn)，為長軸的橢圓，
所以的軌跡方程為
故答案為：
例24．（2024·遼寧錦州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位為純虛數(shù)，則在復(fù)平面內(nèi)，對應(yīng)的點(diǎn)的軌跡為（ ）
A．圓 B．一條線段 C．兩條直線 D．不含端點(diǎn)的4條射線
【答案】D
【解析】由題意可知，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)，
所以，
因?yàn)闉榧兲摂?shù)，
所以，解得或，
故在復(fù)平面內(nèi)，對應(yīng)的點(diǎn)的軌跡為不含端點(diǎn)的4條射線.
故選：D.
變式36．（2024·全國·高三專題練習(xí)）復(fù)平面中有動點(diǎn)Z，Z所對應(yīng)的復(fù)數(shù)z滿足，則動點(diǎn)Z的軌跡為（ ）
A．直線 B．線段 C．兩條射線 D．圓
【答案】A
【解析】設(shè)動點(diǎn)Z坐標(biāo)為，則，所以，即，化簡得：，故動點(diǎn)Z的軌跡為直線.
故選：A
變式37．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知復(fù)數(shù)滿足，則的軌跡為（ ）
A．線段 B．直線
C．橢圓 D．橢圓的一部分
【答案】A
【解析】，根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義知表示點(diǎn)到定點(diǎn)與的距離之和為2，而，故點(diǎn)的軌跡為線段.
故選：A
變式38．（2024·全國·高三專題練習(xí)）若復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)的軌跡圍成圖形的面積等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】復(fù)數(shù)滿足，表示復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為圓心，半徑為3的圓，所以圍成圖形的面積等于.
故選：D
變式39．（2024·湖南長沙·高三湖南師大附中校考階段練習(xí)）滿足條件的復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對應(yīng)點(diǎn)的軌跡是（ ）
A．直線 B．圓 C．橢圓 D．拋物線
【答案】B
【解析】設(shè)，求出，判斷出點(diǎn)的軌跡是圓.設(shè)，由可得：
，
兩邊平方得：，
∴復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對應(yīng)點(diǎn)的軌跡是圓.
故選：B
變式40．（2024·遼寧撫順·高三校聯(lián)考期末）若復(fù)數(shù)滿足.則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)的軌跡為（ ）
A．直線 B．橢圓 C．圓 D．拋物線
【答案】C
【解析】設(shè)復(fù)數(shù)，由題意可得，則，故復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)的軌跡為圓.
故選：C.
題型九：向量與圓錐曲線的軌跡
例25．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知是平面上一定點(diǎn)，是平面上不共線的三個點(diǎn)，動點(diǎn)滿足，，則的軌跡一定通過的（ ）
A．重心 B．外心 C．內(nèi)心 D．垂心
【答案】A
【解析】由題意，當(dāng)時，由于表示邊上的中線所在直線的向量，∴動點(diǎn)的軌跡一定通過的重心，如圖，故選A．
例26．（2024·全國·高三對口高考）O是平面內(nèi)一定點(diǎn)，A，B，C是平面內(nèi)不共線三點(diǎn)，動點(diǎn)P滿足，，則P的軌跡一定通過的（ ）
A．外心 B．垂心 C．內(nèi)心 D．重心
【答案】D
【解析】由題設(shè)，
而所在直線過中點(diǎn)，即與邊上的中線重合，且，
所以P的軌跡一定通過的重心.
故選：D
例27．（2024·全國·高三專題練習(xí)）在中，設(shè)，那么動點(diǎn)的軌跡必通過的（ ）
A．垂心 B．內(nèi)心 C．重心 D．外心
【答案】D
【解析】設(shè)線段的中點(diǎn)為，則、互為相反向量，
所以，，
因?yàn)椋矗?br/>所以，，即，
即，即，
所以，垂直且平分線段，
因此動點(diǎn)的軌跡是的垂直平分線，必通過的外心.
故選：D.
變式41．（2024·江蘇·高三統(tǒng)考期末）中，為邊上的高且，動點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡一定過的（ ）
A．外心 B．內(nèi)心 C．垂心 D．重心
【答案】A
【解析】設(shè)，，
以為原點(diǎn)，、方向?yàn)椤⑤S正方向如圖建立空間直角坐標(biāo)系，
，
，，
則，，，，則，
設(shè)，則，
，
，即，
即點(diǎn)的軌跡方程為，
而直線平分線段，即點(diǎn)的軌跡為線段的垂直平分線，
根據(jù)三角形外心的性質(zhì)可得點(diǎn)的軌跡一定過的外心，
故選：A.
變式42．（2024·四川成都·成都市第二十中學(xué)校校考一模）在平面內(nèi)，是兩個定點(diǎn)，是動點(diǎn)，若，則點(diǎn)的軌跡為（ ）
A．圓 B．橢圓 C．拋物線 D．直線
【答案】A
【解析】設(shè)為線段的中點(diǎn)，.因?yàn)椋裕裕裕?dāng)點(diǎn)在點(diǎn)或時也滿足，所以點(diǎn)的軌跡為以線段為直徑的圓.
故選: A.
變式43．（2024·安徽·高三蚌埠二中校聯(lián)考階段練習(xí)）在中，，，，角A是銳角，O為的外心．若，其中，則點(diǎn)P的軌跡所對應(yīng)圖形的面積是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因?yàn)椋?br/>所以，又角為銳角，所以．
因此，．
由得．
由題意知，點(diǎn)P的軌跡對應(yīng)圖形是邊長為的菱形，．
于是這個菱形的面積．
故選：A．
變式44．（2024·全國·高三專題練習(xí)）正三角形OAB的邊長為1，動點(diǎn)C滿足，且，則點(diǎn)C的軌跡是（ ）
A．線段 B．直線 C．射線 D．圓
【答案】D
【解析】方法一：由題可知：，
又
所以，即
所以點(diǎn)C的軌跡是圓.
方法二：由題可知：，
如圖，以O(shè)為原點(diǎn)OB為x軸，過O點(diǎn)與OB垂直的直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，
所以
設(shè) ，
又
所以
整理得：
所以點(diǎn)C的軌跡是圓.
故選：D.
變式45．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知是平面上的一定點(diǎn)，是平面上不共線的三個點(diǎn)，動點(diǎn)滿足，，則動點(diǎn)的軌跡一定通過的（ ）
A．重心 B．外心 C．內(nèi)心 D．垂心
【答案】B
【解析】設(shè)的中點(diǎn)為，
因?yàn)椋?br/>所以，
即，兩端同時點(diǎn)乘，
所以
，
所以，
所以點(diǎn)在的垂直平分線上，即經(jīng)過的外心.
故選：B.
題型十：利用韋達(dá)定理求軌跡方程
例28．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓的離心率為，點(diǎn)在C上．過C的右焦點(diǎn)F的直線交C于M，N兩點(diǎn)．
(1)求橢圓C的方程；
(2)若動點(diǎn)P滿足，求動點(diǎn)P的軌跡方程．
【解析】（1）由題意，b＝1，，又，解得b＝1，，c＝1．
故橢圓C的方程為．
（2）直線MN的斜率存在時，設(shè)直線MN的方程為．
設(shè)，，．將代入，得．于是，．①
由題意，有，即
．
顯然點(diǎn)不在直線上，∴，從而
．
將式①代入，得，化簡得．
當(dāng)直線MN的斜率不存在時，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意．
故滿足題意的點(diǎn)P的軌跡方程為直線x＝2．
【反思】右焦點(diǎn)關(guān)于橢圓C的極線是其右準(zhǔn)線x＝2，又∵點(diǎn)P滿足，∴動點(diǎn)P在F的極線x＝2上．本題是命題2的逆向應(yīng)用．
例29．（2024·湖北武漢·華中師大一附中校考模擬預(yù)測）已知過右焦點(diǎn)的直線交雙曲線于兩點(diǎn)，曲線的左右頂點(diǎn)分別為，虛軸長與實(shí)軸長的比值為．

(1)求曲線的方程；
(2)如圖，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)，求的軌跡方程．
【解析】（1）由題意得，又，則，曲線的方程為；
（2）設(shè)直線的斜率分別為，直線為，
由，得，
，
，
則
，
，
由于點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為點(diǎn)，，
則直線為，直線為，顯然，
由，得，
即，
則直線的方程為，
由得，即，
當(dāng)時，由對稱性可知在軸上，
此時直線平行于直線，不符合題意，
故的軌跡方程為．
例30．（2024·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)橢圓方程為，過點(diǎn)的直線l交橢圓于點(diǎn)A，B，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P滿足，當(dāng)l繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)時，求動點(diǎn)P的軌跡方程；
【解析】直線l過點(diǎn)，點(diǎn)M在橢圓內(nèi)部，所以直線總與橢圓相交.
當(dāng)?shù)男甭蚀嬖跁r，設(shè)斜率為，則的方程為.
聯(lián)立直線與橢圓的方程，
消去得，
設(shè)、，則，
則，
于是.
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則，
由①÷②得，代入②整理得③
當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r，A、B中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)(0，0)，也滿足方程③，
所以點(diǎn)P的軌跡方程為．
變式46．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓C：過點(diǎn)，且橢圓上任意一點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離的最大值為.
(1)求橢圓C的方程；
(2)若直線l與橢圓C交不同于點(diǎn)A的P、Q兩點(diǎn)，以線段PQ為直徑的圓經(jīng)過A，過點(diǎn)A作線段PQ的垂線，垂足為H，求點(diǎn)H的軌跡方程.
【解析】（1）由題意可得，解得，
所以橢圓方程為.
（2）由題意知，直線的斜率不為0，
則不妨設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立消去得，
，化簡整理得，
設(shè)，則，
因?yàn)橐跃€段為直徑的圓經(jīng)過，所以,
得，
將代入上式，
得，
得，
解得或（舍去）．所以直線的方程為，
則直線恒過點(diǎn)
因?yàn)檫^點(diǎn)做的垂線，垂足為，所以在以為直徑的圓周上，
所以點(diǎn)的軌跡方程為：除去點(diǎn)
變式47．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線與直線．
(1)若直線與雙曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)是線段AB的中點(diǎn)，求直線的方程；
(2)若直線l與雙曲線有唯一的公共點(diǎn)M，過點(diǎn)M且與l垂直的直線分別交x軸、y軸于，兩點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動時，求點(diǎn)的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線．
【解析】（1）設(shè)，
則，
所以，
因?yàn)辄c(diǎn)是線段AB的中點(diǎn)，
所以，
所以，
故，所以直線的斜率為1，
所以，又點(diǎn)在直線上，
所以直線的方程為，
聯(lián)立，化簡可得，
所以或，滿足條件；
所以直線的方程為.
（2）當(dāng)時，直線與雙曲線有兩個交點(diǎn)，不滿足要求，
由已知有且僅有一組解，
所以方程有且只有一個根，又，
所以，
所以，
設(shè)，則，，
因?yàn)椋灾本€的方程為，
令，可得，
令，可得，
又，，所以，，
所以，，
所以軌跡方程為，
所以點(diǎn)軌跡為焦點(diǎn)在軸上，實(shí)軸長為6，虛軸長為的雙曲線挖去點(diǎn).
變式48．（2024·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)不同的兩點(diǎn)A，B在橢圓上運(yùn)動，以線段AB為直徑的圓過坐標(biāo)原點(diǎn)O，過O作，M為垂足．求點(diǎn)M的軌跡方程.
【解析】①若直線AB的斜率不存在，由已知得點(diǎn)M的坐標(biāo)為；
②若直線AB的斜率存在，設(shè)直線AB為，聯(lián)立橢圓，得：，
設(shè)，，則，，
以線段AB為直徑的圓過原點(diǎn)O，即，
所以，
所以，又，故O到AB的距離．
綜合①②，點(diǎn)M的運(yùn)動軌跡為O以為圓心，以1為半徑的圓，軌跡方程為：．
變式49．（2024·浙江·杭州市富陽區(qū)場口中學(xué)高三期末）已知橢圓C的離心率為，其焦點(diǎn)是雙曲線的頂點(diǎn).
(1)寫出橢圓C的方程；
(2)直線l：與橢圓C有唯一的公共點(diǎn)M，過點(diǎn)M作直線l的垂線分別交x軸 y軸于，兩點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動時，求點(diǎn)的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線.
【解析】(1)設(shè)橢圓C的方程為，，由題意，雙曲線的頂點(diǎn)為，故.又，故，故，故橢圓C的方程為
(2)由題意，直線l與橢圓C相切，聯(lián)立得，故，即.設(shè)，則，故，故.所以直線的方程為，即，當(dāng)時，，故，當(dāng)時，，故，故.又，故則，又在上，故，即，由題意可得，故點(diǎn)的軌跡方程為，為橢圓除去4個頂點(diǎn)
變式50．（2024·廣東·高三階段練習(xí)）已知橢圓的離心率是，其左、右頂點(diǎn)分別是、，且．
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)已知點(diǎn)、是橢圓上異于、的不同兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)是以為直徑的圓和以為直徑的圓的另一個交點(diǎn)，記線段的中點(diǎn)為，若，求動點(diǎn)的軌跡方程．
【解析】(1)由題意可得，解得，，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
(2)當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，
設(shè)點(diǎn)、．
聯(lián)立，整理得，
，可得，
則，，
，
因?yàn)椋裕瑒t，
且，則，，
因?yàn)椋?br/>所以，解得或（舍去）．
則直線的方程為，所以直線過定點(diǎn)．
當(dāng)直線的斜率不存在時，設(shè)直線的方程為，其中，
將代入橢圓的方程可得，設(shè)點(diǎn)、，
，，
則，因?yàn)椋獾茫?br/>故直線過定點(diǎn)．
因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，為的中點(diǎn)，所以過線段的中點(diǎn)．
因?yàn)閮蓤A相交，則連心線垂直平分公共弦，所以，，
線段的中點(diǎn)為，則，且點(diǎn)不能與點(diǎn)重合，
所以點(diǎn)在以為直徑的圓上運(yùn)動，且該圓圓心為，半徑為.
故動點(diǎn)的軌跡方程為．
變式51．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知三角形ABC的三個頂點(diǎn)均在橢圓上，且點(diǎn)A是橢圓短軸的一個端點(diǎn)（點(diǎn)A在y軸正半軸上）.
（1）若三角形ABC的重心是橢圓的右焦點(diǎn)，試求直線BC的方程;
（2）若角A為，AD垂直BC于D，試求點(diǎn)D的軌跡方程.
【解析】（1）設(shè)，BC中點(diǎn)為()，F(xiàn)(2，0)，
則有，，
兩式相減，得 ，
即， ①
F(2，0)為三角形重心，所以由，得；由，得，代入①得 ，素以直線BC的方程為.
（2）由AB⊥AC得，所以 ②
設(shè)直線BC方程為，與橢圓方程聯(lián)立消元，得，
所以，， ，
代入②式得，解得(舍)或，
所以，所以直線過定點(diǎn)，
設(shè)，則，即，
所以所求點(diǎn)D的軌跡方程是.
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