資源簡(jiǎn)介

第69講 直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系
知識(shí)梳理
知識(shí)點(diǎn)一、直線(xiàn)和曲線(xiàn)聯(lián)立
（1）橢圓與直線(xiàn)相交于兩點(diǎn)，設(shè)，
，
橢圓與過(guò)定點(diǎn)的直線(xiàn)相交于兩點(diǎn)，設(shè)為，如此消去，保留，構(gòu)造的方程如下：，
注意：
①如果直線(xiàn)沒(méi)有過(guò)橢圓內(nèi)部一定點(diǎn)，是不能直接說(shuō)明直線(xiàn)與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)的，一般都需要擺出，滿(mǎn)足此條件，才可以得到韋達(dá)定理的關(guān)系．
②焦點(diǎn)在軸上的橢圓與直線(xiàn)的關(guān)系，雙曲線(xiàn)與直線(xiàn)的關(guān)系和上述形式類(lèi)似，不在贅述．
（2）拋物線(xiàn)與直線(xiàn)相交于兩點(diǎn)，設(shè)，
聯(lián)立可得，時(shí)，
特殊地，當(dāng)直線(xiàn)過(guò)焦點(diǎn)的時(shí)候，即，，因?yàn)闉橥◤降臅r(shí)候也滿(mǎn)足該式，根據(jù)此時(shí)A、B坐標(biāo)來(lái)記憶．
拋物線(xiàn)與直線(xiàn)相交于兩點(diǎn)，設(shè)，
聯(lián)立可得，時(shí)，
注意：在直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的問(wèn)題中，設(shè)直線(xiàn)的時(shí)候選擇形式多思考分析，往往可以降低計(jì)算量．開(kāi)口向上選擇正設(shè)；開(kāi)口向右，選擇反設(shè)；注意不可完全生搬硬套，具體情況具體分析．
總結(jié)：韋達(dá)定理連接了題干條件與方程中的參數(shù)，所以我們?cè)谔幚砝缦蛄繂?wèn)題，面積問(wèn)題，三點(diǎn)共線(xiàn)問(wèn)題，角度問(wèn)題等常考內(nèi)容的時(shí)候，要把題目中的核心信息，轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)表達(dá)，轉(zhuǎn)化為可以使用韋達(dá)定理的形式，這也是目前考試最常考的方式．
知識(shí)點(diǎn)二、根的判別式和韋達(dá)定理
與聯(lián)立，兩邊同時(shí)乘上即可得到，為了方便敘述，將上式簡(jiǎn)記為．該式可以看成一個(gè)關(guān)于的一元二次方程，判別式為可簡(jiǎn)單記．
同理和聯(lián)立，為了方便敘述，將上式簡(jiǎn)記為，，可簡(jiǎn)記．
與C相離；與C相切；與C相交．
注意：（1）由韋達(dá)定理寫(xiě)出，，注意隱含條件．
（2）求解時(shí)要注意題干所有的隱含條件，要符合所有的題意．
（3）如果是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，只需要把，互換位置即可．
（4）直線(xiàn)和雙曲線(xiàn)聯(lián)立結(jié)果類(lèi)似，焦點(diǎn)在x軸的雙曲線(xiàn)，只要把換成即可；
焦點(diǎn)在y軸的雙曲線(xiàn)，把換成即可，換成即可．
（5）注意二次曲線(xiàn)方程和二次曲線(xiàn)方程往往不能通過(guò)聯(lián)立消元，利用判斷根的關(guān)系，因?yàn)榇饲闆r下往往會(huì)有增根，根據(jù)題干的隱含條件可以舍去增根（一般為交點(diǎn)橫縱坐標(biāo)的范圍限制），所以在遇到兩條二次曲線(xiàn)交點(diǎn)問(wèn)題的時(shí)候，使用畫(huà)圖的方式分析，或者解方程組，真正算出具體坐標(biāo)．
知識(shí)點(diǎn)三、弦長(zhǎng)公式
設(shè)，根據(jù)兩點(diǎn)距離公式．
（1）若在直線(xiàn)上，代入化簡(jiǎn)，得；
（2）若所在直線(xiàn)方程為，代入化簡(jiǎn)，得
（3）構(gòu)造直角三角形求解弦長(zhǎng)，．其中為直線(xiàn)斜率，為直線(xiàn)傾斜角．
注意：（1）上述表達(dá)式中，當(dāng)為，時(shí)，；
（2）直線(xiàn)上任何兩點(diǎn)距離都可如上計(jì)算，不是非得直線(xiàn)和曲線(xiàn)聯(lián)立后才能用．
（3）直線(xiàn)和曲線(xiàn)聯(lián)立后化簡(jiǎn)得到的式子記為，判別式為，時(shí)，，利用求根公式推導(dǎo)也很方便，使用此方法在解題化簡(jiǎn)的時(shí)候可以大大提高效率．
（4）直線(xiàn)和圓相交的時(shí)候，過(guò)圓心做直線(xiàn)的垂線(xiàn)，利用直角三角形的關(guān)系求解弦長(zhǎng)會(huì)更加簡(jiǎn)單．
（5）直線(xiàn)如果過(guò)焦點(diǎn)可以考慮焦點(diǎn)弦公式以及焦長(zhǎng)公式．
知識(shí)點(diǎn)四、已知弦的中點(diǎn)，研究的斜率和方程
（1）是橢圓的一條弦，中點(diǎn)，則的斜率為，
運(yùn)用點(diǎn)差法求的斜率；設(shè)，，，都在橢圓上，
所以，兩式相減得
所以
即，故
（2）運(yùn)用類(lèi)似的方法可以推出；若是雙曲線(xiàn)的弦，中點(diǎn)，則；若曲線(xiàn)是拋物線(xiàn)，則．
必考題型全歸納
題型一：直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系
例1．（2024·全國(guó)·高三對(duì)口高考）已知橢圓的兩焦點(diǎn)為，，點(diǎn)滿(mǎn)足，則直線(xiàn)與橢圓C的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為（ ）
A．0 B．1 C．2 D．不確定，與P點(diǎn)的位置有關(guān)
例2．（2024·全國(guó)·高三對(duì)口高考）若直線(xiàn)被圓所截的弦長(zhǎng)不小于2，則l與下列曲線(xiàn)一定有公共點(diǎn)的是（ ）
A． B．
C． D．
例3．（2024·重慶·統(tǒng)考二模）已知點(diǎn)和雙曲線(xiàn)，過(guò)點(diǎn)且與雙曲線(xiàn)只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線(xiàn)有（ ）
A．2條 B．3條 C．4條 D．無(wú)數(shù)條
變式1．（1999·全國(guó)·高考真題）給出下列曲線(xiàn)方程：
①；
②；
③；
④．
其中與直線(xiàn)有交點(diǎn)的所有曲線(xiàn)方程是（ ）
A．①③ B．②④ C．①②③ D．②③④
變式2．（2024·遼寧沈陽(yáng)·統(tǒng)考一模）命題p：直線(xiàn)與拋物線(xiàn)有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，命題q：直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相切，則命題p是命題q的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．非充分非必要條件
變式3．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)，使它與拋物線(xiàn)僅有一個(gè)公共點(diǎn)，這樣的直線(xiàn)有（ ）
A．1條 B．2條 C．3條 D．4條
【解題方法總結(jié)】
（1）直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)的判定：通常的方法是直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)方程聯(lián)立方程消元后得到一元二次方程，其中；另一方面就是數(shù)形結(jié)合，如直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，可通過(guò)判定直線(xiàn)的斜率與雙曲線(xiàn)漸近線(xiàn)的斜率的大小得到．
（2）直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)只有一個(gè)公共點(diǎn)則直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)平行，或直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸平行，或直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)相切．
題型二：中點(diǎn)弦問(wèn)題
方向1：求中點(diǎn)弦所在直線(xiàn)方程問(wèn)題；
例4．（2024·新疆伊犁·高二統(tǒng)考期末）過(guò)橢圓內(nèi)一點(diǎn)引一條恰好被點(diǎn)平分的弦，則這條弦所在直線(xiàn)的方程是
例5．（2024·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓C：，圓O：，直線(xiàn)l與圓O相切于第一象限的點(diǎn)A，與橢圓C交于P，Q兩點(diǎn)，與x軸正半軸交于點(diǎn)B．若，則直線(xiàn)l的方程為 ．
例6．（2024·陜西榆林·高二統(tǒng)考期末）已知為雙曲線(xiàn)上兩點(diǎn)，且線(xiàn)段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則直線(xiàn)的斜率為 .
變式4．（2024·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）雙曲線(xiàn)的一條弦的中點(diǎn)為，則此弦所在的直線(xiàn)方程為 .
變式5．（2024·陜西寶雞·高二校聯(lián)考期末）拋物線(xiàn)：與直線(xiàn)交于，兩點(diǎn)，且的中點(diǎn)為，則的斜率為 .
變式6．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）已知拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，準(zhǔn)線(xiàn)為，直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于兩點(diǎn)，若線(xiàn)段的中點(diǎn)為，則直線(xiàn)的方程為 ．
方向2：求弦中點(diǎn)的軌跡方程問(wèn)題；
變式7．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）直線(xiàn)l與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，已知直線(xiàn)的斜率為1，則弦AB中點(diǎn)的軌跡方程是 ．
變式8．（2024·上海浦東新·高二上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校校考期末）已知橢圓內(nèi)有一點(diǎn)，弦過(guò)點(diǎn)，則弦中點(diǎn)的軌跡方程是 .
變式9．（2024·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）斜率為2的平行直線(xiàn)截雙曲線(xiàn)所得弦的中點(diǎn)的軌跡方程是 ．
變式10．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）直線(xiàn)（是參數(shù)）與拋物線(xiàn)的相交弦是，則弦的中點(diǎn)軌跡方程是 .
變式11．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)橢圓方程為，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)交橢圓于點(diǎn)A、B，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P滿(mǎn)足，當(dāng)l繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)時(shí)，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程．
方向3：對(duì)稱(chēng)問(wèn)題
變式12．（2024·江蘇·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知橢圓的焦距為，左右焦點(diǎn)分別為、，圓與圓相交，且交點(diǎn)在橢圓E上，直線(xiàn)與橢圓E交于A、B兩點(diǎn)，且線(xiàn)段AB的中點(diǎn)為M，直線(xiàn)OM的斜率為．
(1)求橢圓E的方程；
(2)若，試問(wèn)E上是否存在P、Q兩點(diǎn)關(guān)于l對(duì)稱(chēng)，若存在，求出直線(xiàn)PQ的方程，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
變式13．（2024·江蘇南通·高二統(tǒng)考期中）已知橢圓的離心率為e，且過(guò)點(diǎn)和．
(1)求橢圓C的方程；
(2)若橢圓C上有兩個(gè)不同點(diǎn)A，B關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，求．
變式14．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓C：上，直線(xiàn)l：與C交于A，B兩點(diǎn)，且線(xiàn)段AB的中點(diǎn)為M，直線(xiàn)OM的斜率為．
(1)求C的方程；
(2)若，試問(wèn)C上是否存在P，Q兩點(diǎn)關(guān)于l對(duì)稱(chēng)，若存在，求出P，Q的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
變式15．（2024·上海浦東新·高二上海南匯中學(xué)校考期中）已知曲線(xiàn)C的方程是，其中，，直線(xiàn)l的方程是．
(1)請(qǐng)根據(jù)a的不同取值，判斷曲線(xiàn)C是何種圓錐曲線(xiàn)；
(2)若直線(xiàn)l交曲線(xiàn)C于兩點(diǎn)M，N，且線(xiàn)段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，求a的值；
(3)若，試問(wèn)曲線(xiàn)C上是否存在不同的兩點(diǎn)A，B，使得A，B關(guān)于直線(xiàn)l對(duì)稱(chēng)，并說(shuō)明理由．
變式16．（2024·江蘇·高二假期作業(yè)）雙曲線(xiàn)C的離心率為，且與橢圓有公共焦點(diǎn)．
（1）求雙曲線(xiàn)C的方程．
（2）雙曲線(xiàn)C上是否存在兩點(diǎn)A，B關(guān)于點(diǎn)（4，1）對(duì)稱(chēng)？若存在，求出直線(xiàn)AB的方程；若不存在，說(shuō)明理由．
變式17．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）已知直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)交于A，B兩點(diǎn)，且線(xiàn)段AB恰好被點(diǎn)平分.
(1)求直線(xiàn)l的方程；
(2)拋物線(xiàn)上是否存在點(diǎn)C和D，使得C，D關(guān)于直線(xiàn)l對(duì)稱(chēng) 若存在，求出直線(xiàn)CD的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
變式18．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知拋物線(xiàn)C：的焦點(diǎn)為F，直線(xiàn)l：與拋物線(xiàn)C交于A，B兩點(diǎn).
(1)若，求的面積；
(2)若拋物線(xiàn)C上存在兩個(gè)不同的點(diǎn)M，N關(guān)于直線(xiàn)l對(duì)稱(chēng)，求a的取值范圍.
方向4：斜率之積問(wèn)題
變式19．（2024·云南昭通·高二校考期中）已知斜率為的直線(xiàn)與橢圓交于兩點(diǎn)，線(xiàn)段的中點(diǎn)為，直線(xiàn)（為坐標(biāo)原點(diǎn)）的斜率為，則（ ）
A． B． C． D．
變式20．（2024·江西·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知直線(xiàn)過(guò)橢圓C；的一個(gè)焦點(diǎn)，與C交于A，B兩點(diǎn)，與平行的直線(xiàn)與C交于M，N兩點(diǎn)，若AB的中點(diǎn)為P，MN的中點(diǎn)為Q，且PQ的斜率為，則C的方程為（　　）
A． B．
C． D．
變式21．（2024·江西贛州·高二統(tǒng)考期末）橢圓，M，N是橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩動(dòng)點(diǎn)，P為橢圓上任意一點(diǎn)，直線(xiàn)，的斜率分別為，，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
變式22．（2024·山西晉中·高二校考階段練習(xí)）過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與橢圓相交于，兩點(diǎn)，設(shè)線(xiàn)段的中點(diǎn)為，若直線(xiàn)的斜率為，直線(xiàn)（為原點(diǎn)）的斜率為，則等于（ ）.
A． B．2 C． D．
變式23．（2024·浙江寧波·高二校聯(lián)考期末）過(guò)雙曲線(xiàn)內(nèi)一點(diǎn)且斜率為的直線(xiàn)交雙曲線(xiàn)于兩點(diǎn)，弦恰好被平分，則雙曲線(xiàn)的離心率為（ ）
A． B． C． D．
變式24．（2024·福建泉州·高二校考期中）過(guò)雙曲線(xiàn)：（，）的焦點(diǎn)且斜率不為0的直線(xiàn)交于A，兩點(diǎn)，為中點(diǎn)，若，則的離心率為（ ）
A． B．2 C． D．
變式25．（2024·江西·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線(xiàn)C：的左，右焦點(diǎn)分別是，，其中，過(guò)右焦點(diǎn)的直線(xiàn)l與雙曲線(xiàn)的右支交與A，B兩點(diǎn)，則下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（ ）
A．弦AB的最小值為
B．若，則三角形的周長(zhǎng)
C．若AB的中點(diǎn)為M，且AB的斜率為k，則
D．若直線(xiàn)AB的斜率為，則雙曲線(xiàn)的離心率
【解題方法總結(jié)】
直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)相交所得弦中點(diǎn)問(wèn)題，是解析幾何的重要內(nèi)容之一，也是高考的一個(gè)熱點(diǎn)問(wèn)題．這類(lèi)問(wèn)題一般有以下3種類(lèi)型：（1）求中點(diǎn)弦所在直線(xiàn)方程問(wèn)題；（2）求弦中點(diǎn)的軌跡方程問(wèn)題；（3）對(duì)稱(chēng)問(wèn)題，但凡涉及到弦的中點(diǎn)斜率的問(wèn)題．首先要考慮是點(diǎn)差法．
即設(shè)出弦的端點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)端點(diǎn)在曲線(xiàn)上，結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式，尋找中點(diǎn)坐標(biāo)與弦的斜率之間的聯(lián)系．除此之外，最好也記住如下結(jié)論：
在橢圓中，中點(diǎn)弦的斜率為，滿(mǎn)足．
在雙曲線(xiàn)中，中點(diǎn)弦的斜率為，滿(mǎn)足．（其中為原點(diǎn)與弦中點(diǎn)連線(xiàn)的斜率）．
在拋物線(xiàn)中，中點(diǎn)弦的斜率為，滿(mǎn)足（為中點(diǎn)縱坐標(biāo)）．
題型三：弦長(zhǎng)問(wèn)題
例7．（2024·陜西西安·西安市大明宮中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知直線(xiàn)與圓相切，且交橢圓于兩點(diǎn)，若，則 ．
例8．（2024·全國(guó)·高三對(duì)口高考）已知橢圓，過(guò)左焦點(diǎn)作傾斜角為的直線(xiàn)交橢圓于、兩點(diǎn)，則弦的長(zhǎng)為 ．
例9．（2024·廣西南寧·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知橢圓的左焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)且傾斜角為的直線(xiàn)與橢圓相交于兩點(diǎn)，則 ．
變式26．（2024·安徽滁州·校考模擬預(yù)測(cè)）已知直線(xiàn)與橢圓在第二象限交于兩點(diǎn)，且與軸、軸分別交于兩點(diǎn)，若，，則的方程為 ．
變式27．（2024·湖北黃岡·浠水縣第一中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）在生活中，我們經(jīng)常看到橢圓，比如放在太陽(yáng)底下的籃球， 在地面上的影子就可能是一個(gè)橢圓. 已知影子橢圓，C的上頂點(diǎn)為A，兩個(gè)焦點(diǎn)為，，離心率為．過(guò)且垂直于的直線(xiàn)與C交于D，E兩點(diǎn)，，則的最小值是 ．
變式28．（2024·福建龍巖·福建省龍巖第一中學(xué)校考三模）如圖，，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，A，C在橢圓上且關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)（點(diǎn)A在第一象限），延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)B，若，則直線(xiàn)AC的方程為 .

變式29．（2024·江蘇蘇州·校聯(lián)考三模）已知雙曲線(xiàn)，過(guò)其右焦點(diǎn)的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)交于、兩點(diǎn)，已知，若這樣的直線(xiàn)有條，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .
變式30．（2024·貴州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)，分別在雙曲線(xiàn)的左支與右支上，且點(diǎn)，與點(diǎn)共線(xiàn)，若，則 .
變式31．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）過(guò)雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)作傾斜角為30°的直線(xiàn)l，直線(xiàn)l與雙曲線(xiàn)交于不同的兩點(diǎn)A，B，則AB的長(zhǎng)為 ．
變式32．（2024·湖南長(zhǎng)沙·周南中學(xué)校考二模）根據(jù)拋物線(xiàn)的光學(xué)性質(zhì)，從拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)發(fā)出的光，經(jīng)拋物線(xiàn)反射后光線(xiàn)都平行于拋物線(xiàn)的軸，已知拋物線(xiàn)，若從點(diǎn)Q（3，2）發(fā)射平行于x軸的光射向拋物線(xiàn)的A點(diǎn)，經(jīng)A點(diǎn)反射后交拋物線(xiàn)于B點(diǎn)，則 .
變式33．（2024·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)與軸的交點(diǎn)為，過(guò)焦點(diǎn)的直線(xiàn)分別與拋物線(xiàn)交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在第一象限），，直線(xiàn)的傾斜角為銳角，且滿(mǎn)足，則 .
變式34．（2024·人大附中校考三模）已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F的直線(xiàn)與該拋物線(xiàn)交于A，B兩點(diǎn)，，AB的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為4，則 ．
【解題方法總結(jié)】
在弦長(zhǎng)有關(guān)的問(wèn)題中，一般有三類(lèi)問(wèn)題：
（1）弦長(zhǎng)公式：．
（2）與焦點(diǎn)相關(guān)的弦長(zhǎng)計(jì)算，利用定義；
（3）涉及到面積的計(jì)算問(wèn)題．
題型四：面積問(wèn)題
方向1：三角形問(wèn)題
例10．（2024·江西景德鎮(zhèn)·統(tǒng)考三模）設(shè)橢圓的左 右頂點(diǎn)分別為，且焦距為.點(diǎn)在橢圓上且異于兩點(diǎn)，若直線(xiàn)與的斜率之積為.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過(guò)點(diǎn)作不與軸重合的直線(xiàn)與橢圓相交于兩點(diǎn)，直線(xiàn)的方程為：，過(guò)點(diǎn)作垂直于直線(xiàn)，交于點(diǎn).求面積的最大值.
例11．（2024·河北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知拋物線(xiàn)C：上一點(diǎn)到焦點(diǎn)F的距離為．
(1)求拋物線(xiàn)C的方程；
(2)過(guò)點(diǎn)F的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)C交于兩點(diǎn)，直線(xiàn)與圓E：的另一交點(diǎn)分別為為坐標(biāo)原點(diǎn)，求與面積之比的最小值．
例12．（2024·河南·高三校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）橢圓的左右頂點(diǎn)分別為是栯圓上一點(diǎn)，．
(1)求橢圓方程；
(2)動(dòng)直線(xiàn)交橢圓于兩點(diǎn)，求面積取最大時(shí)的的值．
變式35．（2024·山東青島·高三統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，直線(xiàn)，的斜率之積為4，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為.
(1)求的方程；
(2)直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，與交于，兩點(diǎn)，線(xiàn)段中點(diǎn)為第一象限，且縱坐 為，求的面積.
變式36．（2024·貴州貴陽(yáng)·高三貴陽(yáng)一中校考開(kāi)學(xué)考試）已知點(diǎn)在橢圓C：上，點(diǎn)在橢圓C內(nèi).設(shè)點(diǎn)A，B為C的短軸的上、下端點(diǎn)，直線(xiàn)AM，BM分別與橢圓C相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，且EA，EB的斜率之積為.
(1)求橢圓C的方程；
(2)記，分別為，的面積，若，求m的值.
變式37．（2024·河南開(kāi)封·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)在橢圓上，直線(xiàn)交于，兩點(diǎn)，直線(xiàn)，的斜率之和為0．
(1)求直線(xiàn)的斜率；
(2)求的面積的最大值（為坐標(biāo)原點(diǎn)）．
變式38．（2024·廣東佛山·高三統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）設(shè)動(dòng)點(diǎn)M與定點(diǎn)的距離和M到定直線(xiàn)l：的距離的比是．
(1)求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程，并說(shuō)明軌跡的形狀；
(2)當(dāng)時(shí)，記動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為，動(dòng)直線(xiàn)m與拋物線(xiàn)：相切，且與曲線(xiàn)交于點(diǎn)A，B．求面積的最大值．
方向2：四邊形問(wèn)題
變式39．（2024·浙江·高三浙江省普陀中學(xué)校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）類(lèi)似于圓的垂徑定理，橢圓：（）中有如下性質(zhì)：不過(guò)橢圓中心的一條弦的中點(diǎn)為，當(dāng)，斜率均存在時(shí)，，利用這一結(jié)論解決如下問(wèn)題：已知橢圓：，直線(xiàn)與橢圓交于，兩點(diǎn)，且，其中為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)求點(diǎn)的軌跡方程；
(2)過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)交橢圓于，兩點(diǎn)，使，求四邊形的面積.
變式40．（2024·湖北恩施·校考模擬預(yù)測(cè)）已知是橢圓的左右焦點(diǎn)，以為直徑的圓和橢圓在第一象限的交點(diǎn)為，若三角形的面積為1，其內(nèi)切圓的半徑為．
(1)求橢圓的方程；
(2)已知A是橢圓的上頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，點(diǎn)在第二象限，直線(xiàn)分別與軸交于，求四邊形面積的最大值．
變式41．（2024·四川成都·四川省成都市玉林中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）如圖．已知圓，圓．動(dòng)圓與這兩個(gè)圓均內(nèi)切．

(1)求圓心的軌跡的方程；
(2)若、是曲線(xiàn)上的兩點(diǎn)，是曲線(xiàn)C上位于直線(xiàn)兩側(cè)的動(dòng)點(diǎn)．若直線(xiàn)的斜率為，求四邊形面積的最大值．
變式42．（2024·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的離心率為，拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)與相交，所得弦長(zhǎng)為.
(1)求的方程；
(2)若在上，且，分別以為切點(diǎn)，作的切線(xiàn)相交于點(diǎn)，點(diǎn)恰好在上，直線(xiàn)分別交軸于兩點(diǎn).求四邊形面積的取值范圍.
變式43．（2024·山東濰坊·三模）已知橢圓的離心率為，且過(guò)點(diǎn)．
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若動(dòng)直線(xiàn)：與橢圓交于兩點(diǎn)，且在坐標(biāo)平面內(nèi)存在兩個(gè)定點(diǎn)，使得（定值），其中分別是直線(xiàn)的斜率，分別是直線(xiàn)的斜率．
①求的值；
②求四邊形面積的最大值．
變式44．（2024·江蘇南京·南京師大附中校考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓，橢圓．點(diǎn)為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，直線(xiàn)與橢圓交于，兩點(diǎn)，且．
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)以點(diǎn)為切點(diǎn)作橢圓的切線(xiàn)，與橢圓交于，兩點(diǎn)，問(wèn)：四邊形的面積是否為定值？若是，求出該定值；若不是，求出面積的取值范圍．
變式45．（2024·安徽黃山·屯溪一中校考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的離心率為，左、右焦點(diǎn)分別為，直線(xiàn)與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，且的周長(zhǎng)最大值為8．

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)如圖，P，Q是橢圓C上的兩點(diǎn)，且直線(xiàn)與的斜率之積為（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），D為射線(xiàn)上一點(diǎn)，且，線(xiàn)段與橢圓C交于點(diǎn)E，，求四邊形的面積．
變式46．（2024·山東·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知圓為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，為過(guò)點(diǎn)的圓的切線(xiàn)，以為準(zhǔn)線(xiàn)的拋物線(xiàn)恒過(guò)點(diǎn)，拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，記焦點(diǎn)的軌跡為．
(1)求的方程；
(2)過(guò)動(dòng)點(diǎn)的兩條直線(xiàn)均與曲線(xiàn)相切，切點(diǎn)分別為，且的斜率之積為，求四邊形面積的取值范圍．
變式47．（2024·山西朔州·懷仁市第一中學(xué)校校考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)在橢圓上，且滿(mǎn)足
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過(guò)點(diǎn)且斜率不為零的直線(xiàn)與橢圓相交于兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)分別作直線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足分別為點(diǎn)，求四邊形面積的最大值.
【解題方法總結(jié)】
三角形的面積處理方法：底·高（通常選弦長(zhǎng)做底，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為高）
四邊形或多個(gè)圖形面積的關(guān)系的轉(zhuǎn)化：分析圖形的底和高中是否存在“同底”或“等高”的特點(diǎn)（尤其是有平行條件的時(shí)候），可將面積的關(guān)系轉(zhuǎn)化，降低計(jì)算量．特殊的，對(duì)角線(xiàn)互相垂直的四邊形，面積=對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)度乘積的一半
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21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)第69講 直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系
知識(shí)梳理
知識(shí)點(diǎn)一、直線(xiàn)和曲線(xiàn)聯(lián)立
（1）橢圓與直線(xiàn)相交于兩點(diǎn)，設(shè)，
，
橢圓與過(guò)定點(diǎn)的直線(xiàn)相交于兩點(diǎn)，設(shè)為，如此消去，保留，構(gòu)造的方程如下：，
注意：
①如果直線(xiàn)沒(méi)有過(guò)橢圓內(nèi)部一定點(diǎn)，是不能直接說(shuō)明直線(xiàn)與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)的，一般都需要擺出，滿(mǎn)足此條件，才可以得到韋達(dá)定理的關(guān)系．
②焦點(diǎn)在軸上的橢圓與直線(xiàn)的關(guān)系，雙曲線(xiàn)與直線(xiàn)的關(guān)系和上述形式類(lèi)似，不在贅述．
（2）拋物線(xiàn)與直線(xiàn)相交于兩點(diǎn)，設(shè)，
聯(lián)立可得，時(shí)，
特殊地，當(dāng)直線(xiàn)過(guò)焦點(diǎn)的時(shí)候，即，，因?yàn)闉橥◤降臅r(shí)候也滿(mǎn)足該式，根據(jù)此時(shí)A、B坐標(biāo)來(lái)記憶．
拋物線(xiàn)與直線(xiàn)相交于兩點(diǎn)，設(shè)，
聯(lián)立可得，時(shí)，
注意：在直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的問(wèn)題中，設(shè)直線(xiàn)的時(shí)候選擇形式多思考分析，往往可以降低計(jì)算量．開(kāi)口向上選擇正設(shè)；開(kāi)口向右，選擇反設(shè)；注意不可完全生搬硬套，具體情況具體分析．
總結(jié)：韋達(dá)定理連接了題干條件與方程中的參數(shù)，所以我們?cè)谔幚砝缦蛄繂?wèn)題，面積問(wèn)題，三點(diǎn)共線(xiàn)問(wèn)題，角度問(wèn)題等常考內(nèi)容的時(shí)候，要把題目中的核心信息，轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)表達(dá)，轉(zhuǎn)化為可以使用韋達(dá)定理的形式，這也是目前考試最常考的方式．
知識(shí)點(diǎn)二、根的判別式和韋達(dá)定理
與聯(lián)立，兩邊同時(shí)乘上即可得到，為了方便敘述，將上式簡(jiǎn)記為．該式可以看成一個(gè)關(guān)于的一元二次方程，判別式為可簡(jiǎn)單記．
同理和聯(lián)立，為了方便敘述，將上式簡(jiǎn)記為，，可簡(jiǎn)記．
與C相離；與C相切；與C相交．
注意：（1）由韋達(dá)定理寫(xiě)出，，注意隱含條件．
（2）求解時(shí)要注意題干所有的隱含條件，要符合所有的題意．
（3）如果是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，只需要把，互換位置即可．
（4）直線(xiàn)和雙曲線(xiàn)聯(lián)立結(jié)果類(lèi)似，焦點(diǎn)在x軸的雙曲線(xiàn)，只要把換成即可；
焦點(diǎn)在y軸的雙曲線(xiàn)，把換成即可，換成即可．
（5）注意二次曲線(xiàn)方程和二次曲線(xiàn)方程往往不能通過(guò)聯(lián)立消元，利用判斷根的關(guān)系，因?yàn)榇饲闆r下往往會(huì)有增根，根據(jù)題干的隱含條件可以舍去增根（一般為交點(diǎn)橫縱坐標(biāo)的范圍限制），所以在遇到兩條二次曲線(xiàn)交點(diǎn)問(wèn)題的時(shí)候，使用畫(huà)圖的方式分析，或者解方程組，真正算出具體坐標(biāo)．
知識(shí)點(diǎn)三、弦長(zhǎng)公式
設(shè)，根據(jù)兩點(diǎn)距離公式．
（1）若在直線(xiàn)上，代入化簡(jiǎn)，得；
（2）若所在直線(xiàn)方程為，代入化簡(jiǎn)，得
（3）構(gòu)造直角三角形求解弦長(zhǎng)，．其中為直線(xiàn)斜率，為直線(xiàn)傾斜角．
注意：（1）上述表達(dá)式中，當(dāng)為，時(shí)，；
（2）直線(xiàn)上任何兩點(diǎn)距離都可如上計(jì)算，不是非得直線(xiàn)和曲線(xiàn)聯(lián)立后才能用．
（3）直線(xiàn)和曲線(xiàn)聯(lián)立后化簡(jiǎn)得到的式子記為，判別式為，時(shí)，，利用求根公式推導(dǎo)也很方便，使用此方法在解題化簡(jiǎn)的時(shí)候可以大大提高效率．
（4）直線(xiàn)和圓相交的時(shí)候，過(guò)圓心做直線(xiàn)的垂線(xiàn)，利用直角三角形的關(guān)系求解弦長(zhǎng)會(huì)更加簡(jiǎn)單．
（5）直線(xiàn)如果過(guò)焦點(diǎn)可以考慮焦點(diǎn)弦公式以及焦長(zhǎng)公式．
知識(shí)點(diǎn)四、已知弦的中點(diǎn)，研究的斜率和方程
（1）是橢圓的一條弦，中點(diǎn)，則的斜率為，
運(yùn)用點(diǎn)差法求的斜率；設(shè)，，，都在橢圓上，
所以，兩式相減得
所以
即，故
（2）運(yùn)用類(lèi)似的方法可以推出；若是雙曲線(xiàn)的弦，中點(diǎn)，則；若曲線(xiàn)是拋物線(xiàn)，則．
必考題型全歸納
題型一：直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系
例1．（2024·全國(guó)·高三對(duì)口高考）已知橢圓的兩焦點(diǎn)為，，點(diǎn)滿(mǎn)足，則直線(xiàn)與橢圓C的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為（ ）
A．0 B．1 C．2 D．不確定，與P點(diǎn)的位置有關(guān)
【答案】A
【解析】因?yàn)椋裕?br/>由可得，
所以，
所以直線(xiàn)與橢圓C的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為0.
故選：A.
例2．（2024·全國(guó)·高三對(duì)口高考）若直線(xiàn)被圓所截的弦長(zhǎng)不小于2，則l與下列曲線(xiàn)一定有公共點(diǎn)的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由題意，圓的圓心為，半徑為.
設(shè)直線(xiàn)方程為，直線(xiàn)到圓心的距離為，
由弦長(zhǎng)公式得，所以.
由點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式得，，即.
對(duì)于選項(xiàng)A，直線(xiàn)到該圓圓心的距離為，
取，滿(mǎn)足條件，而，直線(xiàn)與圓沒(méi)有公共點(diǎn)，故A排除；
對(duì)于選項(xiàng)B，當(dāng)時(shí)，對(duì)于直線(xiàn)有，，，
聯(lián)立橢圓方程得，所以必有公共點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓方程得，
，
所以必有公共點(diǎn)；故B正確；
對(duì)于選項(xiàng)C，聯(lián)立直線(xiàn)與拋物線(xiàn)方程得，
若時(shí)，則，有解；
若時(shí)，，取，則，方程無(wú)解，此時(shí)無(wú)公共點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)D，當(dāng)時(shí)，對(duì)于直線(xiàn)有，，，
聯(lián)立雙曲線(xiàn)方程得，
取，則直線(xiàn)：，與雙曲線(xiàn)不存在公共點(diǎn)，故D排除.
故選：B.
例3．（2024·重慶·統(tǒng)考二模）已知點(diǎn)和雙曲線(xiàn)，過(guò)點(diǎn)且與雙曲線(xiàn)只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線(xiàn)有（ ）
A．2條 B．3條 C．4條 D．無(wú)數(shù)條
【答案】A
【解析】由題意可得，雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為，點(diǎn)是雙曲線(xiàn)的頂點(diǎn).
①若直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，直線(xiàn)的方程為，此時(shí)，直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)只有一個(gè)公共點(diǎn)，合乎題意；
②若直線(xiàn)的斜率存在，則當(dāng)直線(xiàn)平行于漸近線(xiàn)時(shí)，直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)只有一個(gè)公共點(diǎn).
若直線(xiàn)的斜率為，則直線(xiàn)的方程為，此時(shí)直線(xiàn)為雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)，不合乎題意.
綜上所述，過(guò)點(diǎn)與雙曲線(xiàn)只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線(xiàn)共有條.
故選：A.
變式1．（1999·全國(guó)·高考真題）給出下列曲線(xiàn)方程：
①；
②；
③；
④．
其中與直線(xiàn)有交點(diǎn)的所有曲線(xiàn)方程是（ ）
A．①③ B．②④ C．①②③ D．②③④
【答案】D
【解析】直線(xiàn)和的斜率都是
兩直線(xiàn)平行，不可能有交點(diǎn)；
把直線(xiàn)與聯(lián)立消去得，，直線(xiàn)與②中的曲線(xiàn)有交點(diǎn)；
把直線(xiàn)與聯(lián)立消去得，，直線(xiàn)與③中的曲線(xiàn)有交點(diǎn)；
把直線(xiàn)與聯(lián)立消去得，，直線(xiàn)與④中的曲線(xiàn)有交點(diǎn)．
故選：D．
變式2．（2024·遼寧沈陽(yáng)·統(tǒng)考一模）命題p：直線(xiàn)與拋物線(xiàn)有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，命題q：直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相切，則命題p是命題q的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．非充分非必要條件
【答案】C
【解析】∵拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為軸，
∴一條直線(xiàn)與拋物線(xiàn)有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則該直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相切或者該直線(xiàn)與軸垂直，
∵直線(xiàn)存在斜率，與軸不垂直，
∴“直線(xiàn)與拋物線(xiàn)有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)”等價(jià)于“直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相切”，則命題p是命題q的充要條件.
故選：C.
變式3．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)，使它與拋物線(xiàn)僅有一個(gè)公共點(diǎn)，這樣的直線(xiàn)有（ ）
A．1條 B．2條 C．3條 D．4條
【答案】B
【解析】當(dāng)直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，直線(xiàn)，代入拋物線(xiàn)方程可，故直線(xiàn)與拋物線(xiàn)有兩個(gè)交點(diǎn)．不滿(mǎn)足要求，
當(dāng)直線(xiàn)的斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)的方程為，
由，消得，，
當(dāng)時(shí)，解得，直線(xiàn)與拋物線(xiàn)有且只有一個(gè)交點(diǎn)，符合題意；
當(dāng)時(shí)，由，可得，
即當(dāng)時(shí)，符合題意．綜上，滿(mǎn)足條件的直線(xiàn)有2條．
故選：B.
【解題方法總結(jié)】
（1）直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)的判定：通常的方法是直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)方程聯(lián)立方程消元后得到一元二次方程，其中；另一方面就是數(shù)形結(jié)合，如直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，可通過(guò)判定直線(xiàn)的斜率與雙曲線(xiàn)漸近線(xiàn)的斜率的大小得到．
（2）直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)只有一個(gè)公共點(diǎn)則直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)平行，或直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸平行，或直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)相切．
題型二：中點(diǎn)弦問(wèn)題
方向1：求中點(diǎn)弦所在直線(xiàn)方程問(wèn)題；
例4．（2024·新疆伊犁·高二統(tǒng)考期末）過(guò)橢圓內(nèi)一點(diǎn)引一條恰好被點(diǎn)平分的弦，則這條弦所在直線(xiàn)的方程是
【答案】
【解析】橢圓即，
設(shè)弦的兩端點(diǎn)分別為,，,，則，
則，，
兩式作差可得：，
．
直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，
這條弦所在直線(xiàn)的方程是，
即．
故答案為：．
例5．（2024·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓C：，圓O：，直線(xiàn)l與圓O相切于第一象限的點(diǎn)A，與橢圓C交于P，Q兩點(diǎn)，與x軸正半軸交于點(diǎn)B．若，則直線(xiàn)l的方程為 ．
【答案】
【解析】取中點(diǎn)，連接,由于,所以,進(jìn)而 ,
設(shè)，設(shè)直線(xiàn)上任意一點(diǎn)，
由于是圓的切線(xiàn)，所以,所以，
令 則，所以，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得 ，
設(shè),則，兩式相減可得，
所以 ,又，,
所以，解得，進(jìn)而
故直線(xiàn)l的方程為，即，
故答案為：
例6．（2024·陜西榆林·高二統(tǒng)考期末）已知為雙曲線(xiàn)上兩點(diǎn)，且線(xiàn)段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則直線(xiàn)的斜率為 .
【答案】/2.25
【解析】設(shè)，
則
兩式相減得，
由線(xiàn)段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，
即，
.
故答案為：
變式4．（2024·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）雙曲線(xiàn)的一條弦的中點(diǎn)為，則此弦所在的直線(xiàn)方程為 .
【答案】
【解析】由雙曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性可得此弦所在的直線(xiàn)斜率存在，
設(shè)弦的兩端分別為，，
則有，兩式相減得，
所以，
又因?yàn)橄业闹悬c(diǎn)為，所以，
故直線(xiàn)斜率，
則所求直線(xiàn)方程為，整理得，
由得，
，故該直線(xiàn)滿(mǎn)足題意，
故答案為：
變式5．（2024·陜西寶雞·高二校聯(lián)考期末）拋物線(xiàn)：與直線(xiàn)交于，兩點(diǎn)，且的中點(diǎn)為，則的斜率為 .
【答案】
【解析】已知的中點(diǎn)為，設(shè)，兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，
則，可得，
即，
即
又，
所以.
故答案為：.
變式6．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）已知拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，準(zhǔn)線(xiàn)為，直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于兩點(diǎn)，若線(xiàn)段的中點(diǎn)為，則直線(xiàn)的方程為 ．
【答案】
【解析】因?yàn)閽佄锞€(xiàn)的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，準(zhǔn)線(xiàn)為，
所以易得拋物線(xiàn)的方程為，
設(shè)，
因?yàn)榫€(xiàn)段的中點(diǎn)為，
故，
則，由，
兩式相減得，所以，
故直線(xiàn)的方程為，即．
故答案為：.
方向2：求弦中點(diǎn)的軌跡方程問(wèn)題；
變式7．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）直線(xiàn)l與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，已知直線(xiàn)的斜率為1，則弦AB中點(diǎn)的軌跡方程是 ．
【答案】
【解析】設(shè)，，線(xiàn)段AB的中點(diǎn)為，連接（為坐標(biāo)原點(diǎn)）．
由題意知，則，
∴點(diǎn)的軌跡方程為．
又點(diǎn)在橢圓內(nèi)，
∴，
解得：，
故答案為：.
變式8．（2024·上海浦東新·高二上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校校考期末）已知橢圓內(nèi)有一點(diǎn)，弦過(guò)點(diǎn)，則弦中點(diǎn)的軌跡方程是 .
【答案】
【解析】設(shè)，中點(diǎn)，
則，相減得，
斜率存在時(shí)，
∴，
又是中點(diǎn)，且直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，
所以，化簡(jiǎn)得，
斜率不存在時(shí)，方程為，中點(diǎn)為適合上述方程．
∴點(diǎn)的軌跡方程是．
故答案為：．
變式9．（2024·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）斜率為2的平行直線(xiàn)截雙曲線(xiàn)所得弦的中點(diǎn)的軌跡方程是 ．
【答案】(或).
【解析】設(shè)直線(xiàn)為，與雙曲線(xiàn)交點(diǎn)為，
聯(lián)立雙曲線(xiàn)可得：，則，即或，
所以，故，則弦中點(diǎn)為，
所以弦的中點(diǎn)的軌跡方程為(或).
故答案為：(或)
變式10．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）直線(xiàn)（是參數(shù)）與拋物線(xiàn)的相交弦是，則弦的中點(diǎn)軌跡方程是 .
【答案】
【解析】設(shè)，中點(diǎn)，
則.
，
過(guò)定點(diǎn)，
.
又，（1），（2）
得：，
. 于是，即.
又弦中點(diǎn)軌跡在已知拋物線(xiàn)內(nèi)，
聯(lián)立
故弦的中點(diǎn)軌跡方程是
變式11．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)橢圓方程為，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)交橢圓于點(diǎn)A、B，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P滿(mǎn)足，當(dāng)l繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)時(shí)，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程．
【解析】直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，設(shè)其斜率為k，則的方程為
記、
，化簡(jiǎn)得，，
所以，，
于是
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為則，消去參數(shù)k得③
當(dāng)k不存在時(shí)，A、B中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，也滿(mǎn)足方程③，
所以點(diǎn)P的軌跡方程為
方向3：對(duì)稱(chēng)問(wèn)題
變式12．（2024·江蘇·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知橢圓的焦距為，左右焦點(diǎn)分別為、，圓與圓相交，且交點(diǎn)在橢圓E上，直線(xiàn)與橢圓E交于A、B兩點(diǎn)，且線(xiàn)段AB的中點(diǎn)為M，直線(xiàn)OM的斜率為．
(1)求橢圓E的方程；
(2)若，試問(wèn)E上是否存在P、Q兩點(diǎn)關(guān)于l對(duì)稱(chēng)，若存在，求出直線(xiàn)PQ的方程，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【解析】（1）因?yàn)閳A與圓相交，且交點(diǎn)在橢圓上，所以，，
設(shè)，，的中點(diǎn)，
，①－② ，
，
，
則橢圓E的方程：；
（2）假設(shè)存在P、Q兩點(diǎn)關(guān)于l對(duì)稱(chēng)，設(shè)直線(xiàn)PQ的方程為，
，，PQ中點(diǎn)，
，
，
，，即，
由N在l上，，此時(shí)，
故存在P、Q兩點(diǎn)關(guān)于l對(duì)稱(chēng)，直線(xiàn)PQ的方程為．
變式13．（2024·江蘇南通·高二統(tǒng)考期中）已知橢圓的離心率為e，且過(guò)點(diǎn)和．
(1)求橢圓C的方程；
(2)若橢圓C上有兩個(gè)不同點(diǎn)A，B關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，求．
【解析】（1）由題意知：，∴
，∴，所以橢圓；
（2）法一 設(shè)及AB中點(diǎn)，由題意知
，，以上兩式相減得：，
可化為：即，故，
又∵M(jìn)在直線(xiàn)上，所以，解得：，
即，直線(xiàn)，化簡(jiǎn)為：
聯(lián)立 整理得：，由韋達(dá)定理知
由弦長(zhǎng)公式得：．
法二 設(shè)直線(xiàn)，
聯(lián)立， 整理得：
，則中點(diǎn)，滿(mǎn)足直線(xiàn)方程，解得
所以AB：
聯(lián)立 整理得：，由韋達(dá)定理知
由弦長(zhǎng)公式得：．
變式14．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓C：上，直線(xiàn)l：與C交于A，B兩點(diǎn)，且線(xiàn)段AB的中點(diǎn)為M，直線(xiàn)OM的斜率為．
(1)求C的方程；
(2)若，試問(wèn)C上是否存在P，Q兩點(diǎn)關(guān)于l對(duì)稱(chēng)，若存在，求出P，Q的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【解析】（1）設(shè)，則
∵在橢圓上，則
兩式相減得，整理得
∴，即，則
又∵點(diǎn)在橢圓C：上，則
聯(lián)立解得
∴橢圓C的方程為
（2）不存在，理由如下：
假定存在P，Q兩點(diǎn)關(guān)于l：對(duì)稱(chēng)，設(shè)直線(xiàn)PQ與直線(xiàn)l的交點(diǎn)為N，則N為線(xiàn)段PQ的中點(diǎn)，連接ON
∵，則，即
由（1）可得，則，即直線(xiàn)
聯(lián)立方程，解得
即
∵，則在橢圓C外
∴假定不成立，不存在P，Q兩點(diǎn)關(guān)于l對(duì)稱(chēng)
變式15．（2024·上海浦東新·高二上海南匯中學(xué)校考期中）已知曲線(xiàn)C的方程是，其中，，直線(xiàn)l的方程是．
(1)請(qǐng)根據(jù)a的不同取值，判斷曲線(xiàn)C是何種圓錐曲線(xiàn)；
(2)若直線(xiàn)l交曲線(xiàn)C于兩點(diǎn)M，N，且線(xiàn)段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，求a的值；
(3)若，試問(wèn)曲線(xiàn)C上是否存在不同的兩點(diǎn)A，B，使得A，B關(guān)于直線(xiàn)l對(duì)稱(chēng)，并說(shuō)明理由．
【解析】（1），即，
當(dāng)時(shí)，曲線(xiàn)表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓；
當(dāng)時(shí)，曲線(xiàn)表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線(xiàn)；
（2）設(shè)，，，
則，，
兩式相減得到：，
即，故，
故的中點(diǎn)為，代入直線(xiàn)得到，
解得或（舍），故.
（3）假設(shè)存在，直線(xiàn)方程為，雙曲線(xiàn)方程為，
設(shè)，，中點(diǎn)為，則，，
兩式相減得到，
即，，又，
解得，.
此時(shí)直線(xiàn)方程為：，即，
，化簡(jiǎn)得到，方程無(wú)解，故不存在.
變式16．（2024·江蘇·高二假期作業(yè)）雙曲線(xiàn)C的離心率為，且與橢圓有公共焦點(diǎn)．
（1）求雙曲線(xiàn)C的方程．
（2）雙曲線(xiàn)C上是否存在兩點(diǎn)A，B關(guān)于點(diǎn)（4，1）對(duì)稱(chēng)？若存在，求出直線(xiàn)AB的方程；若不存在，說(shuō)明理由．
【解析】（1）橢圓：，
所以雙曲線(xiàn).
所以雙曲線(xiàn)的方程為.
（2）畫(huà)出圖象如下圖所示，設(shè)，
，
兩式相減并化簡(jiǎn)得，即，
所以直線(xiàn)的方程為.
變式17．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）已知直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)交于A，B兩點(diǎn)，且線(xiàn)段AB恰好被點(diǎn)平分.
(1)求直線(xiàn)l的方程；
(2)拋物線(xiàn)上是否存在點(diǎn)C和D，使得C，D關(guān)于直線(xiàn)l對(duì)稱(chēng) 若存在，求出直線(xiàn)CD的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
【解析】（1）依題意，直線(xiàn)l的斜率存在，且不為0，設(shè)直線(xiàn)l的方程為，即，
由消去x得：，
，設(shè)，則有，
由，得，于是直線(xiàn)l的方程，即，
所以直線(xiàn)l的方程為.
（2）假設(shè)拋物線(xiàn)上存在點(diǎn)C，D滿(mǎn)足條件，由（1）設(shè)直線(xiàn)的方程為，
由消去x得：，有，解得，
設(shè)，則，于是線(xiàn)段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，
顯然點(diǎn)在直線(xiàn)上，即，解得，
所以?huà)佄锞€(xiàn)上不存在點(diǎn)C，D，使得C，D關(guān)于直線(xiàn)l對(duì)稱(chēng).
變式18．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知拋物線(xiàn)C：的焦點(diǎn)為F，直線(xiàn)l：與拋物線(xiàn)C交于A，B兩點(diǎn).
(1)若，求的面積；
(2)若拋物線(xiàn)C上存在兩個(gè)不同的點(diǎn)M，N關(guān)于直線(xiàn)l對(duì)稱(chēng)，求a的取值范圍.
【解析】（1）拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，
時(shí)，直線(xiàn)，
聯(lián)立，可得，
設(shè)，，，，
則，．
，
點(diǎn)到直線(xiàn)的距離距離，
的面積．
（2）∵點(diǎn)，關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，∴直線(xiàn)的斜率為，
∴可設(shè)直線(xiàn)的方程為，
聯(lián)立，整理可得，
由，可得，
設(shè)，，，，則，
故的中點(diǎn)為，
∵點(diǎn)，關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，∴的中點(diǎn)，在直線(xiàn)上，
∴，得，∵，∴．
綜上，的取值范圍為．
方向4：斜率之積問(wèn)題
變式19．（2024·云南昭通·高二校考期中）已知斜率為的直線(xiàn)與橢圓交于兩點(diǎn)，線(xiàn)段的中點(diǎn)為，直線(xiàn)（為坐標(biāo)原點(diǎn)）的斜率為，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】設(shè)點(diǎn)，則，
因?yàn)椋傻茫?br/>又因?yàn)椋?
故選：D.
變式20．（2024·江西·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知直線(xiàn)過(guò)橢圓C；的一個(gè)焦點(diǎn)，與C交于A，B兩點(diǎn)，與平行的直線(xiàn)與C交于M，N兩點(diǎn)，若AB的中點(diǎn)為P，MN的中點(diǎn)為Q，且PQ的斜率為，則C的方程為（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】設(shè)，
則，兩式作差得
所以
若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則，同理，所以O(shè)，P，Q三點(diǎn)共線(xiàn)，
即，所以，又過(guò)點(diǎn)，即橢圓的焦點(diǎn)，所以
解得，所以C的方程為
故選：C
變式21．（2024·江西贛州·高二統(tǒng)考期末）橢圓，M，N是橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩動(dòng)點(diǎn)，P為橢圓上任意一點(diǎn)，直線(xiàn)，的斜率分別為，，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】設(shè)，
則，
兩式相減并化簡(jiǎn)得，
而，所以，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.
故選：A
變式22．（2024·山西晉中·高二校考階段練習(xí)）過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與橢圓相交于，兩點(diǎn)，設(shè)線(xiàn)段的中點(diǎn)為，若直線(xiàn)的斜率為，直線(xiàn)（為原點(diǎn)）的斜率為，則等于（ ）.
A． B．2 C． D．
【答案】D
【解析】設(shè)，
由于在橢圓上，
所以，
兩式相減并化簡(jiǎn)得，
即.
故選：D
變式23．（2024·浙江寧波·高二校聯(lián)考期末）過(guò)雙曲線(xiàn)內(nèi)一點(diǎn)且斜率為的直線(xiàn)交雙曲線(xiàn)于兩點(diǎn)，弦恰好被平分，則雙曲線(xiàn)的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由題意可得，且，
又因?yàn)椋?br/>所以，
即有，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以.
故選：C.
變式24．（2024·福建泉州·高二校考期中）過(guò)雙曲線(xiàn)：（，）的焦點(diǎn)且斜率不為0的直線(xiàn)交于A，兩點(diǎn)，為中點(diǎn)，若，則的離心率為（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【解析】不妨設(shè)過(guò)雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)且斜率不為0的直線(xiàn)為，令
由，整理得
則，
則，由，可得
則有，即，則雙曲線(xiàn)的離心率
故選：D
變式25．（2024·江西·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線(xiàn)C：的左，右焦點(diǎn)分別是，，其中，過(guò)右焦點(diǎn)的直線(xiàn)l與雙曲線(xiàn)的右支交與A，B兩點(diǎn)，則下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（ ）
A．弦AB的最小值為
B．若，則三角形的周長(zhǎng)
C．若AB的中點(diǎn)為M，且AB的斜率為k，則
D．若直線(xiàn)AB的斜率為，則雙曲線(xiàn)的離心率
【答案】D
【解析】A.AB的最小值為通徑為，故A正確；
B.由雙曲線(xiàn)的定義得，得，所以三角形的周長(zhǎng)，故B正確；
C.設(shè)，，則，兩式相減得，則，則，則，故C正確；
D若直線(xiàn)AB的斜率為，所以∴∴∴，所以選D不正確.
故選：D
【解題方法總結(jié)】
直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)相交所得弦中點(diǎn)問(wèn)題，是解析幾何的重要內(nèi)容之一，也是高考的一個(gè)熱點(diǎn)問(wèn)題．這類(lèi)問(wèn)題一般有以下3種類(lèi)型：（1）求中點(diǎn)弦所在直線(xiàn)方程問(wèn)題；（2）求弦中點(diǎn)的軌跡方程問(wèn)題；（3）對(duì)稱(chēng)問(wèn)題，但凡涉及到弦的中點(diǎn)斜率的問(wèn)題．首先要考慮是點(diǎn)差法．
即設(shè)出弦的端點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)端點(diǎn)在曲線(xiàn)上，結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式，尋找中點(diǎn)坐標(biāo)與弦的斜率之間的聯(lián)系．除此之外，最好也記住如下結(jié)論：
在橢圓中，中點(diǎn)弦的斜率為，滿(mǎn)足．
在雙曲線(xiàn)中，中點(diǎn)弦的斜率為，滿(mǎn)足．（其中為原點(diǎn)與弦中點(diǎn)連線(xiàn)的斜率）．
在拋物線(xiàn)中，中點(diǎn)弦的斜率為，滿(mǎn)足（為中點(diǎn)縱坐標(biāo)）．
題型三：弦長(zhǎng)問(wèn)題
例7．（2024·陜西西安·西安市大明宮中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知直線(xiàn)與圓相切，且交橢圓于兩點(diǎn)，若，則 ．
【答案】/
【解析】設(shè)直線(xiàn)，
直線(xiàn)與圓相切，
，
將直線(xiàn)方程與橢圓方程聯(lián)立，得，
所以，因?yàn)椋?br/>所以，
由對(duì)稱(chēng)性，不妨取，
故答案為：.
例8．（2024·全國(guó)·高三對(duì)口高考）已知橢圓，過(guò)左焦點(diǎn)作傾斜角為的直線(xiàn)交橢圓于、兩點(diǎn)，則弦的長(zhǎng)為 ．
【答案】
【解析】在橢圓中，，，則，故點(diǎn)，
設(shè)點(diǎn)、，由題意可知，直線(xiàn)的方程為，即，
聯(lián)立可得，，
由韋達(dá)定理可得，，
所以，.
故答案為：.
例9．（2024·廣西南寧·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知橢圓的左焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)且傾斜角為的直線(xiàn)與橢圓相交于兩點(diǎn)，則 ．
【答案】
【解析】已知橢圓，，則，
所以橢圓的左焦點(diǎn)為,
因?yàn)橹本€(xiàn)傾斜角為，所以直線(xiàn)的斜率，則直線(xiàn)的方程為.
聯(lián)立，消去，整理得，
解得．．
故答案為：.
變式26．（2024·安徽滁州·校考模擬預(yù)測(cè)）已知直線(xiàn)與橢圓在第二象限交于兩點(diǎn)，且與軸、軸分別交于兩點(diǎn)，若，，則的方程為 ．
【答案】
【解析】設(shè)，線(xiàn)段的中點(diǎn)為，
由，兩式相減可得，即，
又由，則，
設(shè)直線(xiàn)的方程為，可得，
所以，所以，所以，解得，
因?yàn)椋裕傻茫獾茫?br/>所以直線(xiàn)的方程為.
故答案為：.
變式27．（2024·湖北黃岡·浠水縣第一中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）在生活中，我們經(jīng)常看到橢圓，比如放在太陽(yáng)底下的籃球， 在地面上的影子就可能是一個(gè)橢圓. 已知影子橢圓，C的上頂點(diǎn)為A，兩個(gè)焦點(diǎn)為，，離心率為．過(guò)且垂直于的直線(xiàn)與C交于D，E兩點(diǎn)，，則的最小值是 ．
【答案】
【解析】∵橢圓的離心率為，
∴，∴，
∴橢圓的方程為，
不妨設(shè)左焦點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，如圖所示，
∵，
∴，
∴為正三角形，
∵過(guò)且垂直于的直線(xiàn)與C交于D，E兩點(diǎn)，為線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)，
∴直線(xiàn)的斜率為，斜率倒數(shù)為，
直線(xiàn)的方程：，
代入橢圓方程，整理得：，
，
∴，
∴ ， 得，
∵為線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，，
∴
則，
當(dāng)且僅當(dāng)
故答案為：.
變式28．（2024·福建龍巖·福建省龍巖第一中學(xué)校考三模）如圖，，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，A，C在橢圓上且關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)（點(diǎn)A在第一象限），延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)B，若，則直線(xiàn)AC的方程為 .

【答案】
【解析】連接，，
，，
四邊形為平行四邊形，
.
設(shè)直線(xiàn)的斜率為k，
，直線(xiàn)的方程為.
聯(lián)立方程，得，整理得，
點(diǎn)A在第一象限，
，同理可得.
，得，
，則，直線(xiàn)AC的方程為.
變式29．（2024·江蘇蘇州·校聯(lián)考三模）已知雙曲線(xiàn)，過(guò)其右焦點(diǎn)的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)交于、兩點(diǎn)，已知，若這樣的直線(xiàn)有條，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .
【答案】
【解析】記，若直線(xiàn)與軸重合，此時(shí)，；
若直線(xiàn)軸時(shí)，將代入雙曲線(xiàn)方程可得，此時(shí)，
當(dāng)時(shí)，則，此時(shí)，；當(dāng)，可得，則，
所以，雙曲線(xiàn)的實(shí)軸長(zhǎng)和通徑長(zhǎng)不可能同時(shí)為；
當(dāng)直線(xiàn)與軸不重合時(shí)，記，則點(diǎn)，
設(shè)直線(xiàn)的方程為，其中，設(shè)點(diǎn)、，
聯(lián)立可得，
由題意可得，可得，
，
由韋達(dá)定理可得，，
所以，
，即，
所以，關(guān)于的方程由四個(gè)不等的實(shí)數(shù)解.
當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，可得，
可得，整理可得，因?yàn)椋獾茫?br/>當(dāng)時(shí)，即當(dāng)，可得，
可得，整理可得，可得.
綜上所述，.
故答案為：.
變式30．（2024·貴州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)，分別在雙曲線(xiàn)的左支與右支上，且點(diǎn)，與點(diǎn)共線(xiàn)，若，則 .
【答案】
【解析】因?yàn)椋O(shè)，，
由雙曲線(xiàn)定義可得，所以，
即，，即.
故答案為：.
變式31．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）過(guò)雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)作傾斜角為30°的直線(xiàn)l，直線(xiàn)l與雙曲線(xiàn)交于不同的兩點(diǎn)A，B，則AB的長(zhǎng)為 ．
【答案】
【解析】雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)為，所以直線(xiàn)l的方程為．由，得．設(shè)，，則，，
所以．
故答案為：
變式32．（2024·湖南長(zhǎng)沙·周南中學(xué)校考二模）根據(jù)拋物線(xiàn)的光學(xué)性質(zhì)，從拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)發(fā)出的光，經(jīng)拋物線(xiàn)反射后光線(xiàn)都平行于拋物線(xiàn)的軸，已知拋物線(xiàn)，若從點(diǎn)Q（3，2）發(fā)射平行于x軸的光射向拋物線(xiàn)的A點(diǎn)，經(jīng)A點(diǎn)反射后交拋物線(xiàn)于B點(diǎn)，則 .
【答案】
【解析】由條件可知AQ與x軸平行，令，可得，故A點(diǎn)坐標(biāo)為，
因?yàn)?經(jīng)過(guò)拋物線(xiàn)焦點(diǎn)，所以 方程為，
整理得，聯(lián)立，得，，所以，
又，所以，，
所以.
故答案為：.
變式33．（2024·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)與軸的交點(diǎn)為，過(guò)焦點(diǎn)的直線(xiàn)分別與拋物線(xiàn)交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在第一象限），，直線(xiàn)的傾斜角為銳角，且滿(mǎn)足，則 .
【答案】12
【解析】如圖，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，由拋物線(xiàn)的定義可知點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離，故，
同理，則，故，，則，
可得，則，所以.
故答案為：12.
變式34．（2024·人大附中校考三模）已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F的直線(xiàn)與該拋物線(xiàn)交于A，B兩點(diǎn)，，AB的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為4，則 ．
【答案】
【解析】由拋物線(xiàn)定義知：，而AB的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為4，即，
所以，即.
故答案為：
【解題方法總結(jié)】
在弦長(zhǎng)有關(guān)的問(wèn)題中，一般有三類(lèi)問(wèn)題：
（1）弦長(zhǎng)公式：．
（2）與焦點(diǎn)相關(guān)的弦長(zhǎng)計(jì)算，利用定義；
（3）涉及到面積的計(jì)算問(wèn)題．
題型四：面積問(wèn)題
方向1：三角形問(wèn)題
例10．（2024·江西景德鎮(zhèn)·統(tǒng)考三模）設(shè)橢圓的左 右頂點(diǎn)分別為，且焦距為.點(diǎn)在橢圓上且異于兩點(diǎn)，若直線(xiàn)與的斜率之積為.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過(guò)點(diǎn)作不與軸重合的直線(xiàn)與橢圓相交于兩點(diǎn)，直線(xiàn)的方程為：，過(guò)點(diǎn)作垂直于直線(xiàn)，交于點(diǎn).求面積的最大值.
【解析】（1）由題意知：，，設(shè)，
則，，
又，，，
橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.
（2）
設(shè)直線(xiàn)，，則，
由得：，
顯然，，，
，又，
直線(xiàn)方程為：，
令，則，
直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)；
而，
則，
令，有在上單調(diào)遞增，
則，即時(shí) ，取最小值4，
于是當(dāng)時(shí)，，
所以面積的最大值是.
例11．（2024·河北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知拋物線(xiàn)C：上一點(diǎn)到焦點(diǎn)F的距離為．
(1)求拋物線(xiàn)C的方程；
(2)過(guò)點(diǎn)F的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)C交于兩點(diǎn)，直線(xiàn)與圓E：的另一交點(diǎn)分別為為坐標(biāo)原點(diǎn)，求與面積之比的最小值．
【解析】（1）依題意得，解得，所以?huà)佄锞€(xiàn)方程為.
（2）拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，直線(xiàn)與軸不重合，
設(shè)直線(xiàn)的方程為，
由消去并化簡(jiǎn)得，，
設(shè)，則，
所以，
所以.
，由，而，
故解得.同理可求得.
，
同理，
所以
，
故當(dāng)時(shí)，取得最小值為.
例12．（2024·河南·高三校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）橢圓的左右頂點(diǎn)分別為是栯圓上一點(diǎn)，．
(1)求橢圓方程；
(2)動(dòng)直線(xiàn)交橢圓于兩點(diǎn)，求面積取最大時(shí)的的值．
【解析】（1）在橢圓中，，而在橢圓上，且，
因此，解得，顯然，則，
所以橢圓方程為.
（2）直線(xiàn)與橢圓交于兩點(diǎn)，則，
把代入方程得：，由橢圓的對(duì)稱(chēng)性知，
點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，
當(dāng)時(shí)，得的面積，
令，
求導(dǎo)得，
由，得，
當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)或時(shí)，，
因此函數(shù)在上遞增，在上遞減，
而，
，顯然，
于是當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，此時(shí)面積取得最大值，
所以當(dāng)面積取最大時(shí)，.
變式35．（2024·山東青島·高三統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，直線(xiàn)，的斜率之積為4，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為.
(1)求的方程；
(2)直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，與交于，兩點(diǎn)，線(xiàn)段中點(diǎn)為第一象限，且縱坐 為，求的面積.
【解析】（1）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，
因?yàn)椋裕?br/>化簡(jiǎn)得：
所以的方程為：.
（2）當(dāng)直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，顯然不符合題意；
設(shè)，，直線(xiàn)方程為，
與聯(lián)立得：，
由且，解得且，
由韋達(dá)定理得，
因?yàn)榫€(xiàn)段中點(diǎn)在第一象限，且縱坐標(biāo)為，
所以，
解得或（舍去），
所以直線(xiàn)為，
所以，
所以，
點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，
所以.
變式36．（2024·貴州貴陽(yáng)·高三貴陽(yáng)一中校考開(kāi)學(xué)考試）已知點(diǎn)在橢圓C：上，點(diǎn)在橢圓C內(nèi).設(shè)點(diǎn)A，B為C的短軸的上、下端點(diǎn)，直線(xiàn)AM，BM分別與橢圓C相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，且EA，EB的斜率之積為.
(1)求橢圓C的方程；
(2)記，分別為，的面積，若，求m的值.
【解析】（1）設(shè)，依題意，，
可得，整理可得，
又橢圓C過(guò)點(diǎn)，所以，故橢圓C的方程為；
（2）依題意，可知AM：，代入橢圓方程，
整理得，從而得到，
又BM：，代入橢圓方程，
整理得，從而得到，
所以，
，
則
,
由于，所以，解得.
變式37．（2024·河南開(kāi)封·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)在橢圓上，直線(xiàn)交于，兩點(diǎn)，直線(xiàn)，的斜率之和為0．
(1)求直線(xiàn)的斜率；
(2)求的面積的最大值（為坐標(biāo)原點(diǎn)）．
【解析】（1）由題意得，解得，
代入橢圓方程中，，解得或6（舍去），
故，
當(dāng)直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，此時(shí)有對(duì)稱(chēng)性可知，直線(xiàn)，的斜率之和不為0，舍去；
設(shè)，聯(lián)立橢圓方程得，，
則，則，
設(shè)，則，
，
故，
即，故，
即，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)直線(xiàn)，
顯然直線(xiàn)恒過(guò)，矛盾，
當(dāng)時(shí)，經(jīng)檢驗(yàn)，滿(mǎn)足題意，
故直線(xiàn)的斜率為1；
（2）設(shè)，聯(lián)立橢圓方程得，，
，解得，
，
點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，
故
，
故當(dāng)，即時(shí)，取得最大值，最大值為.
變式38．（2024·廣東佛山·高三統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）設(shè)動(dòng)點(diǎn)M與定點(diǎn)的距離和M到定直線(xiàn)l：的距離的比是．
(1)求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程，并說(shuō)明軌跡的形狀；
(2)當(dāng)時(shí)，記動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為，動(dòng)直線(xiàn)m與拋物線(xiàn)：相切，且與曲線(xiàn)交于點(diǎn)A，B．求面積的最大值．
【解析】（1）設(shè)，則，
化簡(jiǎn)得，，
當(dāng)時(shí)，，軌跡為一條直線(xiàn)；
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)軌跡為焦點(diǎn)在軸上的橢圓；
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)軌跡為焦點(diǎn)在軸上的雙曲線(xiàn)；
綜上：當(dāng)時(shí)，軌跡方程為，軌跡為一條直線(xiàn)，
當(dāng)時(shí)，軌跡方程為，軌跡為焦點(diǎn)在軸上的橢圓；
當(dāng)時(shí)，軌跡方程為，軌跡為焦點(diǎn)在軸上的雙曲線(xiàn)；
（2）當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)直線(xiàn)斜率不存在時(shí)，又與相切，故此時(shí)直線(xiàn)，此時(shí)三點(diǎn)共線(xiàn)，不合要求，舍去，
設(shè)直線(xiàn)，聯(lián)立得，
由得，顯然，
聯(lián)立得，，
由，結(jié)合，解得，
設(shè)，
則，
設(shè)直線(xiàn)與軸交于點(diǎn)，則，
則
，
將代入得，
因?yàn)椋睿瑒t，
，
設(shè)，則設(shè)，則
，，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
故在處取得極大值，也是最大值，
故最大值為.
圓錐曲線(xiàn)中最值或范圍問(wèn)題的常見(jiàn)解法：
（1）幾何法，若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用幾何法來(lái)解決；
（2）代數(shù)法，若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)某種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值或范圍．
方向2：四邊形問(wèn)題
變式39．（2024·浙江·高三浙江省普陀中學(xué)校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）類(lèi)似于圓的垂徑定理，橢圓：（）中有如下性質(zhì)：不過(guò)橢圓中心的一條弦的中點(diǎn)為，當(dāng)，斜率均存在時(shí)，，利用這一結(jié)論解決如下問(wèn)題：已知橢圓：，直線(xiàn)與橢圓交于，兩點(diǎn)，且，其中為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)求點(diǎn)的軌跡方程；
(2)過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)交橢圓于，兩點(diǎn)，使，求四邊形的面積.
【解析】（1）設(shè)，因?yàn)椋?br/>，代入橢圓得：，
點(diǎn)的軌跡方程為：.
（2）
設(shè)，由（1）則，
①當(dāng)直線(xiàn)不與坐標(biāo)軸重合時(shí)，由，知為中點(diǎn)，
，
直線(xiàn)：，
代入橢圓：的方程得：
即：，設(shè)，，
由根與系數(shù)關(guān)系，
，
設(shè)表示點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，表示點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，
；
它法：利用比例關(guān)系轉(zhuǎn)化：，酌情給分.
②當(dāng)直線(xiàn)與坐標(biāo)軸重合時(shí)，
不妨取，，，
或，，，
綜上所述：四邊形的面積是.
變式40．（2024·湖北恩施·校考模擬預(yù)測(cè)）已知是橢圓的左右焦點(diǎn)，以為直徑的圓和橢圓在第一象限的交點(diǎn)為，若三角形的面積為1，其內(nèi)切圓的半徑為．
(1)求橢圓的方程；
(2)已知A是橢圓的上頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，點(diǎn)在第二象限，直線(xiàn)分別與軸交于，求四邊形面積的最大值．
【解析】（1）由題意知，則，
又，
則，
又，
解得，
所以橢圓的方程為.
（2）設(shè)直線(xiàn)的方程為
聯(lián)立方程組，可得，
則，
直線(xiàn)的方程：，所以，同理，
，
，
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，四邊形的面積最大，最大值為4．
變式41．（2024·四川成都·四川省成都市玉林中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）如圖．已知圓，圓．動(dòng)圓與這兩個(gè)圓均內(nèi)切．

(1)求圓心的軌跡的方程；
(2)若、是曲線(xiàn)上的兩點(diǎn)，是曲線(xiàn)C上位于直線(xiàn)兩側(cè)的動(dòng)點(diǎn)．若直線(xiàn)的斜率為，求四邊形面積的最大值．
【解析】（1）如圖，設(shè)動(dòng)圓與兩個(gè)已知圓的切點(diǎn)分別為，
由，，
所以點(diǎn)的軌跡是以M，N為焦點(diǎn)的橢圓，
所以，
所以點(diǎn)的軌跡方程為：；
（2）設(shè)，，直線(xiàn)的方程為，代入中，
整理得，，
解得，，，
四邊形的面積，
當(dāng)時(shí)，，所以四邊形面積的最大值為；
變式42．（2024·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的離心率為，拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)與相交，所得弦長(zhǎng)為.
(1)求的方程；
(2)若在上，且，分別以為切點(diǎn)，作的切線(xiàn)相交于點(diǎn)，點(diǎn)恰好在上，直線(xiàn)分別交軸于兩點(diǎn).求四邊形面積的取值范圍.
【解析】（1）由題知過(guò)點(diǎn)，則，解得，
.
（2）設(shè)直線(xiàn)的方程為，
聯(lián)立，得，
，
則，而，則，
故以為切點(diǎn)的切線(xiàn)為，即，
同理以為切點(diǎn)的切線(xiàn)為，則，
由，故兩式作差得：，所以，
兩式求和得：，
所以點(diǎn)由在橢圓上，即.
點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，
所以，，
，
而、在上遞增且恒正，
則在上遞增，.
變式43．（2024·山東濰坊·三模）已知橢圓的離心率為，且過(guò)點(diǎn)．
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若動(dòng)直線(xiàn)：與橢圓交于兩點(diǎn)，且在坐標(biāo)平面內(nèi)存在兩個(gè)定點(diǎn)，使得（定值），其中分別是直線(xiàn)的斜率，分別是直線(xiàn)的斜率．
①求的值；
②求四邊形面積的最大值．
【解析】（1）由題意得，
解得，
則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）①設(shè)，
把與橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程聯(lián)立，
消去，可得，
注意到為方程的兩根，
故有恒等式，
則，
同理，把與橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程聯(lián)立，
消去，可得，
注意到為方程的兩根，
故有恒等式，
則，
則，
所以，
若為定值，則必有，
計(jì)算可得或，
故．
②不妨設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離分別是，
因?yàn)椋?br/>所以，
四邊形面積
（當(dāng)時(shí)取等號(hào)），
所以四邊形面積的最大值是．
變式44．（2024·江蘇南京·南京師大附中校考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓，橢圓．點(diǎn)為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，直線(xiàn)與橢圓交于，兩點(diǎn)，且．
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)以點(diǎn)為切點(diǎn)作橢圓的切線(xiàn)，與橢圓交于，兩點(diǎn)，問(wèn)：四邊形的面積是否為定值？若是，求出該定值；若不是，求出面積的取值范圍．
【解析】（1）設(shè)，，，因?yàn)椋裕?br/>因?yàn)辄c(diǎn)為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，所以，從而
即，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）
法一：設(shè)，，
當(dāng)直線(xiàn)的斜率存在時(shí)，設(shè)為，則直線(xiàn)的方程為
，即，
，即，代入得直線(xiàn)的方程為
聯(lián)立 ，消去得
注意到化簡(jiǎn)得
又，
所以點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為
所以點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為
故
當(dāng)直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，即，若，則：，
則，，，，
所以
同理可得，若，
綜上，四邊形的面積為定值．
法二：設(shè)，，
當(dāng)直線(xiàn)的斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)的方程為
，
注意到化簡(jiǎn)得，
原點(diǎn)到直線(xiàn)的高為，
又因?yàn)椋c(diǎn)是的中點(diǎn)，所以點(diǎn)到直線(xiàn)的距離等于點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，
由對(duì)稱(chēng)性可知，，所以點(diǎn)到直線(xiàn)的距離等于點(diǎn)到直線(xiàn)的距離的三倍，故．
當(dāng)斜率不存在時(shí)，同法一．
變式45．（2024·安徽黃山·屯溪一中校考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的離心率為，左、右焦點(diǎn)分別為，直線(xiàn)與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，且的周長(zhǎng)最大值為8．

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)如圖，P，Q是橢圓C上的兩點(diǎn)，且直線(xiàn)與的斜率之積為（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），D為射線(xiàn)上一點(diǎn)，且，線(xiàn)段與橢圓C交于點(diǎn)E，，求四邊形的面積．
【解析】（1）設(shè)與軸的交點(diǎn)為，
由題意可知，
則，
當(dāng)過(guò)右焦點(diǎn)時(shí)，的周長(zhǎng)取最大值，所以，
因?yàn)闄E圓的離心率為，所以，
所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程
（2）設(shè)，因P，Q均在橢圓上，則.
又，則.
由可得，
則四邊形面積為.
當(dāng)直線(xiàn)PQ斜率為0時(shí)，易知，又，則.
根據(jù)對(duì)稱(chēng)性不妨取，，由得，
則，得此時(shí)；
當(dāng)直線(xiàn)斜率不為0時(shí)，設(shè)的方程為，將直線(xiàn)方程與橢圓方程聯(lián)立有：
，消去x得：.
，
由韋達(dá)定理，有.
所以
，，
代入可得，解得，
，
又原點(diǎn)到直線(xiàn)PQ距離為，則此時(shí).
綜上可得，，四邊形面積為.
變式46．（2024·山東·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知圓為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，為過(guò)點(diǎn)的圓的切線(xiàn)，以為準(zhǔn)線(xiàn)的拋物線(xiàn)恒過(guò)點(diǎn)，拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，記焦點(diǎn)的軌跡為．
(1)求的方程；
(2)過(guò)動(dòng)點(diǎn)的兩條直線(xiàn)均與曲線(xiàn)相切，切點(diǎn)分別為，且的斜率之積為，求四邊形面積的取值范圍．
【解析】（1）分別過(guò)作的垂線(xiàn)，垂足分別為，連接，
由拋物線(xiàn)的定義，可得，則．
因?yàn)椋越裹c(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓，
其中，
所以?huà)佄锞€(xiàn)的焦點(diǎn)的軌跡方程為
（2）設(shè)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)的斜率為，則方程為，
聯(lián)立方程組，消得，，
整理得，
，即，所以點(diǎn)在方程為的圓上．
設(shè)點(diǎn)在橢圓上，則，則，
由知，滿(mǎn)足：
則，即，故，
從而得切線(xiàn)的方程為
整理得，點(diǎn)滿(mǎn)足方程，則，
同理可得
即點(diǎn)滿(mǎn)足方程，所以的方程為．
消得，
，，
．
設(shè)，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，
；
．
所以．
變式47．（2024·山西朔州·懷仁市第一中學(xué)校校考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)在橢圓上，且滿(mǎn)足
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過(guò)點(diǎn)且斜率不為零的直線(xiàn)與橢圓相交于兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)分別作直線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足分別為點(diǎn)，求四邊形面積的最大值.
【解析】（1）由和，可得，
可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
將點(diǎn)代入橢圓方程可得，解得，
故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
（2）
由（1）知點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,0)，設(shè)直線(xiàn)的方程為，
點(diǎn)，
聯(lián)立方程消去后整理為，
有，
，
由，
有，
四邊形的面積為，
令，可得，
令，
有，
可得函數(shù)單調(diào)遞減，有，
可知當(dāng)時(shí)，四邊形的面積的最大值為.
【解題方法總結(jié)】
三角形的面積處理方法：底·高（通常選弦長(zhǎng)做底，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為高）
四邊形或多個(gè)圖形面積的關(guān)系的轉(zhuǎn)化：分析圖形的底和高中是否存在“同底”或“等高”的特點(diǎn)（尤其是有平行條件的時(shí)候），可將面積的關(guān)系轉(zhuǎn)化，降低計(jì)算量．特殊的，對(duì)角線(xiàn)互相垂直的四邊形，面積=對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)度乘積的一半
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