資源簡(jiǎn)介

第70講 弦長(zhǎng)問(wèn)題
知識(shí)梳理
1、弦長(zhǎng)公式的兩種形式
①若，是直線與圓錐曲線的兩個(gè)交點(diǎn)，且由兩方程消去后得到一元二次方程，則．
②若，是直線與圓錐曲線的兩個(gè)交點(diǎn)，且由兩方程消去后得到一元二次方程，則．
必考題型全歸納
題型一：弦長(zhǎng)問(wèn)題
例1．（2024·陜西西安·西安市大明宮中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知直線與圓相切，且交橢圓于兩點(diǎn)，若，則 ．
【答案】/
【解析】設(shè)直線，
直線與圓相切，
，
將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，得，
所以，因?yàn)椋?br/>所以，
由對(duì)稱性，不妨取，
故答案為：.
例2．（2024·全國(guó)·高三對(duì)口高考）已知橢圓，過(guò)左焦點(diǎn)作傾斜角為的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，則弦的長(zhǎng)為 ．
【答案】
【解析】在橢圓中，，，則，故點(diǎn)，
設(shè)點(diǎn)、，由題意可知，直線的方程為，即，
聯(lián)立可得，，
由韋達(dá)定理可得，，
所以，.
故答案為：.
例3．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓，的上頂點(diǎn)為A，兩個(gè)焦點(diǎn)為，，離心率為．過(guò)且垂直于的直線與交于，兩點(diǎn)，的周長(zhǎng)是13，則 ．
【答案】6
【解析】如圖，連接，
因?yàn)榈碾x心率為，所以，即，
所以，
因?yàn)椋詾榈冗吶切危?br/>又，所以直線為線段的垂直平分線，
所以，，
則的周長(zhǎng)為，
，
而，所以直線的方程為，
代入橢圓的方程，得，
設(shè)，，則，
所以，
故答案為：6.
變式1．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知雙曲線：，若直線的傾斜角為60°，且與雙曲線C的右支交于M，N兩點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)P，若，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為 .
【答案】
【解析】雙曲線雙曲線：的漸近線方程為，
而直線的傾斜角為60°，則直線的斜率為，可設(shè)直線的方程為，
與雙曲線方程聯(lián)立，化簡(jiǎn)可得，
由，得或．
設(shè)，，則，，
則，所以，
，解得：（舍去）或，
所以直線的方程為，令，可得.
故點(diǎn)P的坐標(biāo)為.
故答案為：.
變式2．（2024·貴州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)，分別在雙曲線的左支與右支上，且點(diǎn)，與點(diǎn)共線，若，則 .
【答案】
【解析】因?yàn)椋O(shè)，，
由雙曲線定義可得，所以，
即，，即.
故答案為：.
變式3．（2024·四川巴中·高三統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：過(guò)焦點(diǎn)的光線經(jīng)拋物線反射后得到的光線平行于拋物線的對(duì)稱軸；反之，平行于拋物線對(duì)稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過(guò)拋物線的焦點(diǎn)．已知拋物線的焦點(diǎn)為，一條平行于軸的光線從點(diǎn)射出，經(jīng)過(guò)拋物線上的點(diǎn)反射后，再經(jīng)拋物線上的另一點(diǎn)射出，則 ．
【答案】
【解析】如圖，由題意可知軸，，
將代入中得，即,
又，則，故的方程為，聯(lián)立，
可得，解得，或（此時(shí)C與B關(guān)于x軸對(duì)稱，不合題意），
則，故，
故答案為：.
變式4．（2024·河南鄭州·高三鄭州外國(guó)語(yǔ)學(xué)校校考階段練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，若，則 ．
【答案】8
【解析】由題意得，，當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，與拋物線只有1個(gè)交點(diǎn)，不合要求，
故設(shè)直線的方程為，不妨設(shè)，
聯(lián)立，可得，易得，
設(shè)，則，
則，
則，
，
由正弦定理得，，
因?yàn)椋?br/>所以，，即，
又由焦半徑公式可知，
則，即，
即，解得，
則，解得，
故，
當(dāng)時(shí)，同理可得到.
故答案為：8
變式5．（2024·新疆喀什·校考模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線C兩條準(zhǔn)線之間的距離為1，離心率為2，直線l經(jīng)過(guò)C的右焦點(diǎn)，且與C相交于A、B兩點(diǎn).
(1)求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若直線l與該雙曲線的漸近線垂直，求AB的長(zhǎng)度.
【解析】（1）因?yàn)橹本€l經(jīng)過(guò)C的右焦點(diǎn)，
所以該雙曲線的焦點(diǎn)在橫軸上，
因?yàn)殡p曲線C兩條準(zhǔn)線之間的距離為1，
所以有，
又因?yàn)殡x心率為2，
所以有代入中，可得，
∴C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；
（2）
由上可知：該雙曲線的漸近線方程為，
所以直線l的斜率為，由于雙曲線和兩條直線都關(guān)于y軸對(duì)稱，
所以兩條直線與雙曲線的相交弦相等.
又因?yàn)橹本€斜率的絕對(duì)值小于漸近線斜率的絕對(duì)值，
所以直線與雙曲線交于左右兩支，因此不妨設(shè)直線l的斜率為，
方程為與雙曲線方程聯(lián)立為：
，
設(shè)，則有，
變式6．（2024·湖南邵陽(yáng)·高三湖南省邵東市第三中學(xué)校考階段練習(xí)）已知拋物線的準(zhǔn)線方程是.
(1)求拋物線的方程；
(2)設(shè)直線與拋物線相交于，兩點(diǎn)，若，求實(shí)數(shù)k的值.
【解析】（1）因?yàn)閽佄锞€的準(zhǔn)線方程為，
所以 ， 解得，
所以拋物線的方程為.
（2）如圖，
設(shè)，.
將代入，
消去整理得 .
當(dāng)時(shí)，
， .
，
化簡(jiǎn)得：，解得，
經(jīng)檢驗(yàn)，此時(shí)，故.
題型二：長(zhǎng)度和問(wèn)題
例4．（2024·寧夏銀川·銀川一中校考一模）如圖所示，由半橢圓和兩個(gè)半圓、組成曲線，其中點(diǎn)依次為的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)為的下頂點(diǎn)，點(diǎn)依次為的左、右焦點(diǎn)．若點(diǎn)分別為曲線的圓心．
(1)求的方程；
(2)若過(guò)點(diǎn)作兩條平行線分別與和交與和，求的最小值．
【解析】（1）由兩圓的方程知：圓心分別為，，即，，
，解得：，.
（2）由題意知：；
，由對(duì)稱性可知：為橢圓截直線的弦長(zhǎng)，
設(shè)，其與橢圓交于點(diǎn)和
由得：，則
，，
，
當(dāng)時(shí)，取得最小值，的最小值為.
例5．（2024·河南安陽(yáng)·安陽(yáng)一中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）定義：一般地，當(dāng)且時(shí)，我們把方程表示的橢圓稱為橢圓的相似橢圓．已知橢圓，橢圓（且）是橢圓的相似橢圓，點(diǎn)為橢圓上異于其左、右頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)．
(1)當(dāng)時(shí)，若與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線恰好相交于點(diǎn)，直線的斜率分別為，求的值；
(2)當(dāng)（e為橢圓的離心率）時(shí)，設(shè)直線與橢圓交于點(diǎn)，直線與橢圓交于點(diǎn)，求的值．
【解析】（1）設(shè)，則直線的方程為，即，
記，則的方程為，
將其代入橢圓的方程，消去，得，
因?yàn)橹本€與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，
所以，即，
將代入上式，整理得，
同理可得，，
所以為關(guān)于的方程的兩根，
所以，．
又點(diǎn)在橢圓上，
所以，
所以．
（2）由橢圓，得其離心率，
所以當(dāng)，即時(shí)，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
所以，，，恰好為橢圓的左、右焦點(diǎn)，
易知直線的斜率均存在且不為，
所以，
因?yàn)樵跈E圓上，所以，即，
所以．
設(shè)直線的斜率為，則直線的斜率為，
所以直線的方程為．
由，得，
設(shè)，則，，
所以
，
同理可得，
所以．
例6．（2024·江西九江·統(tǒng)考一模）如圖，已知橢圓()的左右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)為上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(非左右頂點(diǎn))，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，且的周長(zhǎng)為，面積的最大值為2．

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若橢圓的長(zhǎng)軸端點(diǎn)為，且與的離心率相等，為與異于的交點(diǎn)，直線交于兩點(diǎn)，證明：為定值．
【解析】（1）的周長(zhǎng)為，由橢圓的定義得，即，
又面積的最大值為2，，即，
，，，解得，
橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）由（1）可知，，橢圓的離心率，
設(shè)橢圓的方程為，則有，，解得，
橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
設(shè)，，，點(diǎn)在曲線上，，
依題意，可設(shè)直線，的斜率分別為，
則的方程分別為，，
于是，
聯(lián)立方程組，消去整理，得，
，，
，
同理可得：，
，，
為定值.
變式7．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓的離心率為，且點(diǎn)在橢圓上.
(1)求橢圓的方程；
(2)過(guò)橢圓右焦點(diǎn)作兩條互相垂直的弦AB與CD，求的取值范圍.
【解析】（1）∵，所以.
設(shè)橢圓方程為，將代入，得.
故橢圓方程為.
（2）①當(dāng)兩條弦中一條斜率為0時(shí)，另一條弦的斜率不存在，
易得其中一條弦為長(zhǎng)軸，另一條弦長(zhǎng)為橢圓的通徑為，即；
②當(dāng)兩條弦斜率均存在且不為0時(shí)，設(shè)，，
設(shè)直線的方程為，則直線的方程為，
將直線的方程代入橢圓方程中，并整理得：
，
∴，，
∴，
同理，，
∴，
令，則，
∴，
∵，∴，
∴，∴，
∴，∴.
綜合②可知，的取值范圍為.
題型三：長(zhǎng)度差問(wèn)題
例7．（2024·浙江·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，直線與交于，兩點(diǎn)（異于坐標(biāo)原點(diǎn)）．
(1)若，證明：直線過(guò)定點(diǎn)．
(2)已知，直線在直線的右側(cè)，，與之間的距離，交于，兩點(diǎn)，試問(wèn)是否存在，使得？若存在，求的值；若不存在，說(shuō)明理由．
【解析】（1）證明：將點(diǎn)代入，得，即．
聯(lián)立得，
由，設(shè)，，則，．
因?yàn)椋院愠闪ⅲ瑒t，
所以的方程為，故直線過(guò)定點(diǎn)．
（2）聯(lián)立得，則
且，即，
，
設(shè)，同理可得．
因?yàn)橹本€在的右側(cè)，所以，則，即．
所以，即，解得，
因?yàn)椋詽M足條件的存在，.
例8．（2024·云南保山·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知拋物線：的焦點(diǎn)為橢圓：的右焦點(diǎn)F，點(diǎn)P為拋物線與橢圓在第一象限的交點(diǎn)，且.
(1)求橢圓的方程；
(2)若直線l過(guò)點(diǎn)F，交拋物線于A，C兩點(diǎn)，交橢圓于B，D兩點(diǎn)（A，B，C，D依次排序），且，求直線l的方程.
【解析】（1）由拋物線可知：，
故由得：，故，則，
則對(duì)于有：，解得，
故橢圓方程為：；
（2）過(guò)點(diǎn)的直線的斜率不存在時(shí)，，，，
所以直線在點(diǎn)的右側(cè)，與兩曲線的交點(diǎn)順序變成A，B，D，C的順序，
不滿足題意，如下圖；
所以過(guò)點(diǎn)的直線的斜率存在，
故設(shè)直線的斜率為k，則直線方程為，
聯(lián)立拋物線方程：，整理得： ，
設(shè) ，則，
故 ，
聯(lián)立，整理得，
設(shè)，則，
則
，
又，
即，整理得 ，
解得，因?yàn)椋?br/>且A，B，C，D依次排序，所以，如下圖，
故，故直線的方程為.
綜上，直線的方程為.
題型四：長(zhǎng)度商問(wèn)題
例9．（2024·重慶·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線的離心率是，點(diǎn)是雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，且點(diǎn)到雙曲線的一條漸近線的距離是2.
(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.
(2)設(shè)點(diǎn)在直線上，過(guò)點(diǎn)作兩條直線，直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，直線與雙曲線交于兩點(diǎn).若直線與直線的傾斜角互補(bǔ)，證明：.
【解析】（1）根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性，不妨設(shè)，其漸近線方程為，
因?yàn)榻裹c(diǎn)到雙曲線的一條漸近線的距離是2.
所以，
因?yàn)殡p曲線的離心率是，
所以，，解得
所以，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）證明：由題意可知直線的斜率存在，設(shè)，
直線.
聯(lián)立整理得，
所以，.
故.
設(shè)直線的斜率為，同理可得.
因?yàn)橹本€與直線的傾斜角互補(bǔ)，
所以，所以，
則，即，
所以.
例10．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知圓：，圓：，圓與圓、圓外切，
(1)求圓心的軌跡方程
(2)若過(guò)點(diǎn)且斜率的直線與交與兩點(diǎn)，線段的垂直平分線交軸與點(diǎn)，證明的值是定值.
【解析】（1）因?yàn)閳AC與圓A、圓B外切，
設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)，圓C半徑為，
則，，
所以<4，
所以點(diǎn)C的軌跡是雙曲線的一支，
又，，，
所以其軌跡方程為；
（2）設(shè)直線為，
聯(lián)立，消去y得：，
所以，
設(shè)MN中點(diǎn)坐標(biāo)為G，則，
所以，
，
直線GP的方程為:，
，
所以，
所以=1.
例11．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)F與x軸垂直的直線與雙曲線C交于M，N兩點(diǎn)，且.
(1)求C的方程；
(2)過(guò)點(diǎn)的直線與雙曲線C的左 右兩支分別交于D，E兩點(diǎn)，與雙曲線C的兩條漸近線分別交于G，H兩點(diǎn)，若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【解析】（1）由題意得，
解得
故C的方程為.
（2）顯然直線率存在，設(shè)直線的方程為，，，
聯(lián)立，得，
因?yàn)榕c雙曲線C的左，右兩支分別交于D，E兩點(diǎn)，
故，
解得，
此時(shí)有.
，
，
由，解得，同理可得，
所以.
因?yàn)椋?
因?yàn)椋剩?br/>故實(shí)數(shù)的取值范圍是.
變式8．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知雙曲線C的漸近線方程為，右焦點(diǎn)到漸近線的距離為.
（1）求雙曲線C的方程；
（2）過(guò)F作斜率為k的直線交雙曲線于A、B兩點(diǎn)，線段AB的中垂線交x軸于D，求證：為定值.
【解析】（1）設(shè)雙曲線方程為
由題知
雙曲線方程為：
（2）設(shè)直線l的方程為代入
整理得，設(shè)
所以：
由弦長(zhǎng)公式得：
設(shè)AB的中點(diǎn)
則， 代入l得：
AB的垂直平分線方程為
令y=0得，即，所以：為定值.
變式9．（2024·河南鄭州·鄭州外國(guó)語(yǔ)學(xué)校校考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的左 右焦點(diǎn)分別為，且.過(guò)右焦點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，的周長(zhǎng)為.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過(guò)原點(diǎn)作一條垂直于的直線交于兩點(diǎn)，求的取值范圍.
【解析】（1）由，得，
又的周長(zhǎng)為，即，
，
橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）設(shè)，
當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，得；
當(dāng)直線的斜率不為0時(shí)，設(shè)直線，直線，
聯(lián)立直線和橢圓的方程，并消去整理得
，
.
由根與系數(shù)的關(guān)系得，
所以.
聯(lián)立直線和橢圓的方程，并消去整理得
，由根與系數(shù)的關(guān)系得，
，
所以.
令，則
不妨設(shè)
，
，
，
，
綜上可得，的取值范圍為.
變式10．（2024·陜西·統(tǒng)考一模）在橢圓C：，，過(guò)點(diǎn)與的直線的斜率為．
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)設(shè)F為橢圓C的右焦點(diǎn)，P為直線上任意一點(diǎn)，過(guò)F作PF的垂線交橢圓C于M，N兩點(diǎn)，當(dāng)取最大值時(shí)，求直線MN的方程．
【解析】（1）過(guò)點(diǎn)與的直線的斜率為，所以，即，
又，即，解得，．
所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是．
（2）如圖所示，
由題知，設(shè)點(diǎn)，則直線FP的斜率為．
當(dāng)時(shí)，直線MN的斜率，直線MN的方程是；
當(dāng)時(shí)，直線MN的方程是，也符合的形式，
將直線MN的方程代入橢圓方程得，且，
設(shè)，，則，，
所以
．
又，令，則，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，由，解得，
即當(dāng)時(shí)取最大值時(shí)，此時(shí)直線MN的方程為或．
變式11．（2024·廣東佛山·華南師大附中南海實(shí)驗(yàn)高中校考模擬預(yù)測(cè)）在橢圓）中，，過(guò)點(diǎn)與的直線的斜率為.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)設(shè)為橢圓的右焦點(diǎn)，為直線上任意一點(diǎn)，過(guò)作的垂線交橢圓于兩點(diǎn)，求的最大值.
【解析】（1）過(guò)點(diǎn)與的直線的斜率為，
所以，即，
又，即，解得，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是.
（2）由題知，作出圖形如圖所示
設(shè)點(diǎn)，則直線的斜率為.
當(dāng)時(shí)，直線的斜率，直線的方程是；
當(dāng)時(shí)，直線的方程是，也符合的形式，
將直線的方程代入橢圓方程得
，且，
設(shè)，則.
所以
又，令，則
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，
由，解得，
所以的最大值為.
變式12．（2024·安徽·高三安徽省馬鞍山市第二十二中學(xué)校聯(lián)考階段練面直角坐標(biāo)系中，為動(dòng)點(diǎn)，與直線垂直，垂足位于第一象限，與直線垂直，垂足位于第四象限，且，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為.
(1)求的方程；
(2)已知點(diǎn)，，設(shè)點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，的角平分線為直線，過(guò)點(diǎn)作的垂線，垂足為，交于另一點(diǎn)，求的最大值.
【解析】（1）由題意設(shè)，由點(diǎn)到直線距離公式得
，，
∴，
∴，又∵垂足位于第一象限，
垂足位于第四象限，，
∴的軌跡方程為.
（2）由對(duì)稱性，不妨設(shè)在第一象限，設(shè)，則，
設(shè)直線的斜率為，記，由為的角平分線，
則有，
其中，，，，
∴，
同理得：，代入中，
∴，化簡(jiǎn)得：.
將代入，中，
解得：，，
∴，，
設(shè)直線的方程為，將代入，
解得：，
∴直線的方程為，，
由點(diǎn)到直線距離公式得：.
由直線的斜率為，設(shè)直線的方程為，
將點(diǎn)代入，解得：，
∴直線的方程為，將其與聯(lián)立得：
，
設(shè)，則，，
由可知，，
由均值不等式，，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，
∵，故，
∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.
∴的最大值為.
變式13．（2024·四川南充·高三四川省南充高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）已知，為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)．且，P為橢圓上一點(diǎn)，．
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過(guò)右焦點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，若的中點(diǎn)為為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線交直線于點(diǎn)．求的最大值．
【解析】（1）依題意，解得，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）依題意可知直線與軸不重合，設(shè)直線的方程為，
，，，
設(shè)，則，
，
.
.
的中點(diǎn)為，則，即，
直線的方程為，
令，得，即，
而，所以，
所以，
令，則，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.
所以的最大值為.
變式14．（2024·海南海口·高三統(tǒng)考期中）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)M，N在拋物線上，且.
(1)證明：直線過(guò)定點(diǎn)；
(2)設(shè)C在點(diǎn)M，N處的切線相交于點(diǎn)P，求的取值范圍.
【解析】（1）由題意可設(shè)直線的方程為：，，
聯(lián)立拋物線方程，
所以，
又，
化簡(jiǎn)得，
解之得，即直線為：，顯然過(guò)定點(diǎn)；
（2）由拋物線，
則點(diǎn)的切線方程分別為，
易知，聯(lián)立切線方程可得，
結(jié)合（1）可知，∴，
故，，
由弦長(zhǎng)公式及（1）可得，
所以，
易知，
即的取值范圍為.
變式15．（2024·四川綿陽(yáng)·統(tǒng)考三模）過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于點(diǎn)，（在第一象限），且當(dāng)直線的傾斜角為時(shí)，.
(1)求拋物線的方程；
(2)若，延長(zhǎng)交拋物線于點(diǎn)，延長(zhǎng)交軸于點(diǎn)，求的值.
【解析】（1）由題意直線l的斜率 ，所以l得方程為 ，
聯(lián)立方程 ，解得 ， ，
由弦長(zhǎng)公式得： ，
，解得 ， 拋物線方程為 ；
（2）由（1）知：拋物線方程為，設(shè) ，直線l的方程為 ，顯然 時(shí)存在的，
如圖：
聯(lián)立方程 ，得 ， ，① ，
直線MB的方程為： ，即 ，
， ②，
直線PN的方程為： ，
令 得 ， ，
， ，
由①②得： ；
綜上，拋物線方程為， .
變式16．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知拋物線C：上的點(diǎn)到其焦點(diǎn)F的距離為2．
(1)求拋物線C的方程；
(2)已知點(diǎn)D在直線l：上，過(guò)點(diǎn)D作拋物線C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，直線AB與直線l交于點(diǎn)M，過(guò)拋物線C的焦點(diǎn)F作直線AB的垂線交直線l于點(diǎn)N，當(dāng)|MN|最小時(shí)，求的值．
【解析】（1）因?yàn)辄c(diǎn)，在拋物線C：上，
所以，拋物線的準(zhǔn)線方程為，
由拋物線的定義得：，解得，即拋物線C的方程為；
（2）由題意可設(shè)，，，
因?yàn)椋裕矗?br/>故，整理得，
設(shè)點(diǎn)，同理可得，
則直線AB方程為：，
令得，即點(diǎn)，
因?yàn)橹本€NF與直線AB垂直，
所以直線NF方程為：，
令得，即點(diǎn)，
∴，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，時(shí)上式等號(hào)成立，
聯(lián)立，得，
∴，，，
，
∴．
變式17．（2024·廣東揭陽(yáng)·高三校考階段練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)F關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)恰好在y軸上．
(1)求拋物線E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)直線與拋物線E交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與x軸交于點(diǎn)C，若，求的最大值．
【解析】（1）由題意得，設(shè)F關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則，解得，
∴拋物線E的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
（2）由可得，設(shè)，，則，，
∴，
，∴線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則線段AB的垂直平分線方程為，令，得，故，
又，得．
∴，令，
則，，∴，
易知函數(shù)在 上單調(diào)遞增，∴當(dāng)時(shí)，取得最小值，
此時(shí)，故的最大值為．
變式18．（2024·四川內(nèi)江·高三四川省內(nèi)江市第六中學(xué)校考階段練習(xí)）已知橢圓與拋物線有一個(gè)相同的焦點(diǎn)，橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2p．
(1)求橢圓與拋物線的方程；
(2)P為拋物線上一點(diǎn)，為橢圓的左焦點(diǎn)，直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，直線與拋物線交于P，Q兩點(diǎn)，求的最大值．
【解析】（1）由題意， ，又 ， ，
拋物線方程為： ，橢圓方程為 ；
（2）由（1）知： ，由題意 的斜率不為0，
設(shè)直線 的方程為： ，直線 的方程為： ， ，
聯(lián)立方程 ，得： ，
；
聯(lián)立方程 ，得 ，
，
又點(diǎn)P是 的交點(diǎn)， ，得 ，
點(diǎn)P在拋物線上， ， ， ，
，考察函數(shù) ，
是增函數(shù)， ，
，即最大值為 ；
綜上，拋物線方程為： ，橢圓方程為， 的最大值為 .
題型五：長(zhǎng)度積問(wèn)題
例12．（2024·山東·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知拋物線，為的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線與交于，兩點(diǎn)，且在，兩點(diǎn)處的切線交于點(diǎn)，當(dāng)與軸垂直時(shí)，．
(1)求的方程；
(2)證明：．
【解析】（1）由題意知，將代入，解得，
所以當(dāng)與軸垂直時(shí)，，所以，
故拋物線的方程為．
（2）
證明：法一：根據(jù)題意知直線的斜率存在，，
設(shè)直線的方程為，，，
聯(lián)立得，
所以，，．
對(duì)求導(dǎo)，得，
所以，所以．
由得所以．
當(dāng)時(shí)，根據(jù)對(duì)稱性得，，所以；
當(dāng)時(shí)，，所以，
所以，所以，即．
綜上，．
法二：根據(jù)題意知直線的斜率存在，，
設(shè)直線的方程為，，，
聯(lián)立得，所以，，．
對(duì)求導(dǎo)，得，由得所以．
因?yàn)椋?br/>所以．
又，所以．
例13．（2024·浙江·校考模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線：，過(guò)其焦點(diǎn)F的直線與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，與橢圓交于C、D兩點(diǎn)，其中．
(1)求拋物線方程；
(2)是否存在直線，使得是與的等比中項(xiàng)，若存在，請(qǐng)求出AB的方程及；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【解析】（1）設(shè)直線的方程為，，
由得，
則，
，
，
又，
所以，
又，
所以，
所以拋物線方程為；
（2）由（1）可知：，
所以，
設(shè)，
由得，
則，
所以，
若是與的等比中項(xiàng)，
則，
即，
所以，即，
所以，
因?yàn)椋?br/>所以，
所以方程無(wú)解，
所以不存在直線，使得是與的等比中項(xiàng)．
例14．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓的離心率為，且直線被橢圓截得的弦長(zhǎng)為．
(1)求橢圓的方程；
(2)以橢圓的長(zhǎng)軸為直徑作圓，過(guò)直線上的動(dòng)點(diǎn)作圓的兩條切線，設(shè)切點(diǎn)為，若直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，，求的取值范圍．
【解析】（1）直線，經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，被橢圓截得的弦長(zhǎng)為，可得．
又，，解得：，，，
橢圓的方程為．
（2）由（1）可得：圓的方程為：．
設(shè)，則以為直徑的圓的方程為：，
與相減可得：直線的方程為：，
設(shè)，，，，聯(lián)立，化為：，
，則，，
故．
又圓心到直線的距離，
，
，
令，則，
，可得，可得：．
變式19．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，為上一點(diǎn)，且當(dāng)軸時(shí)，.
(1)求的方程；
(2)設(shè)在點(diǎn)處的切線交軸于點(diǎn)，證明：.
【解析】（1）由題意知，，得，
當(dāng)軸時(shí)，設(shè)，
代入橢圓方程，得，解得，即，
由橢圓的定義知，，又，
所以，由，解得，
故橢圓C的方程為；
（2）當(dāng)切線斜率不存在時(shí)，切線方程為，此時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)Q重合，等式成立；
當(dāng)切線斜率為0時(shí)，切線與x軸不相交，不符合題意；
當(dāng)切線斜率存在時(shí)，設(shè)，
由，得，則，
所以切線的斜率為，得切線方程為，
即，
整理得，
即，所以切線方程為，
令，得，即，
由(1)知，，
則，
，
又，得，
所以，
，
所以，即，即證.
變式20．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓：的離心率為，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線，與交于兩點(diǎn)，且．
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，且，，交于點(diǎn)，求的取值范圍．
【解析】（1）由橢圓的離心率為，得，即①，
將代入橢圓方程得，則，
由，得，即②，
由①②并結(jié)合，得，，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
（2）①當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，直線的方程為，此時(shí)，，所以；
②當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的斜率為0，此時(shí)，，所以；
③當(dāng)直線的斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)直線的方程為（），
聯(lián)立，整理得．
設(shè)，，
則，，
所以
．
因?yàn)椋钥捎锰鎿Q表達(dá)式中的得，
所以．
令，因?yàn)椋裕?br/>所以，
因?yàn)椋?則，所以；
綜上所述：的取值范圍為．
變式21．（2024·湖南岳陽(yáng)·高三校考階段練習(xí)）已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，左，右焦點(diǎn)分別為，，為坐標(biāo)原點(diǎn)，且．
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)設(shè)A為橢圓的右頂點(diǎn)，直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，以為直徑的圓過(guò)點(diǎn)A，求的最大值．
【解析】（1）根據(jù)題意可得解得，，
所以橢圓的方程為．
（2）
由(1)得，設(shè)直線的方程為，，，，
聯(lián)立，得，
所以，
，,
，
，
因?yàn)橐詾橹睆降膱A過(guò)點(diǎn)A，故，所以，
所以，所以，
所以，所以，
解得或舍去，
當(dāng)時(shí)，，且，點(diǎn)A到MN的距離為，
所以，
化簡(jiǎn)得，
令，則，
，
由對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性知，在上單調(diào)遞增，
即時(shí)取得最小值，此時(shí).
變式22．（2024·廣東·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知橢圓的焦距為2，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)．
(1)求橢圓C的方程；
(2)經(jīng)過(guò)橢圓右焦點(diǎn)F且斜率為的動(dòng)直線l與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，試問(wèn)x軸上是否存在異于點(diǎn)F的定點(diǎn)T，使恒成立？若存在，求出T點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由．
【解析】（1）由橢圓的焦距為2，故，則，
又由橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，代入得，解得，
所以橢圓的方程為．
（2）根據(jù)題意，直線l的斜率顯然不為零，令，
由橢圓右焦點(diǎn)，故可設(shè)直線l的方程為，
聯(lián)立方程組，整理得，
則，
設(shè)，，且，
設(shè)存在點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，由，可得，
又因?yàn)椋?br/>所以，所以，
所以直線和關(guān)于軸對(duì)稱，其傾斜角互補(bǔ)，即有，
則，所以，
所以，整理得，
即，即，
解得，符合題意，即存在點(diǎn)滿足題意．
題型六：長(zhǎng)度的范圍與最值問(wèn)題
例15．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)也是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，與的公共弦長(zhǎng)為．
(1)求橢圓的方程；
(2)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)作斜率為的直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)作垂直于的直線交軸于點(diǎn)，試求的取值范圍．
【解析】（1）拋物線的焦點(diǎn)為，
由題意可得 ①
由與關(guān)于軸對(duì)稱，可得與的公共點(diǎn)為，
可得②
由①②解得，，
即有橢圓的方程為；
（2）設(shè)，，代入橢圓方程，可得，
設(shè)，，，，則，，
即有 ，
由為中點(diǎn)，可得，又的斜率為，
即有 ，令，可得，
即有
可得
又
，
即有 ，
由，可得 ，
即有 ，
則有的取值范圍為．
例16．（2024·黑龍江佳木斯·高三校考開(kāi)學(xué)考試）已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)在橢圓上，且使得的點(diǎn)恰有兩個(gè)，動(dòng)點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最大值為．
(1)求橢圓的方程；
(2)如圖，以橢圓的長(zhǎng)軸為直徑作圓，過(guò)直線上的動(dòng)點(diǎn)作圓的兩條切線，設(shè)切點(diǎn)分別為，，若直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，，求弦長(zhǎng)的取值范圍．
【解析】（1）設(shè)半焦距為，由使得的點(diǎn)恰有兩個(gè)可得，
動(dòng)點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最大值為，可得，即，
所以橢圓的方程是.
（2）圓的方程為，設(shè)直線上動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)為.
設(shè)，連接OA，
因?yàn)橹本€為切線，故，否則直線垂直于軸，則與直線平行，
若，則，故，
故直線的方程為：，
整理得到：；
當(dāng)時(shí)，若，直線的方程為：；若，則直線的方程為：，
滿足.
故直線的方程為，同理直線的方程為，
又在直線和上，即，
故直線的方程為.
聯(lián)立，消去得，
設(shè)，．
則，
從而
，
又，從而，所以.
例17．（2024·陜西咸陽(yáng)·校考三模） 已知雙曲線的離心率為，過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)且垂直于軸的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，且.
(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若直線：與雙曲線的左、右兩支分別交于兩點(diǎn)，與雙曲線的漸近線分別交于兩點(diǎn)，求的取值范圍.
【解析】（1）由題可知，，解得，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
（2）由題可知，直線與雙曲線的左、右兩支分別交于兩點(diǎn)，
聯(lián)立消去，得，
所以，解得，
且，
所以
.
聯(lián)立可得，同理可得，
所以，
所以，
其中，則，所以.
變式23．（2024·湖南長(zhǎng)沙·高三湖南師大附中校考階段練習(xí)）設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)，分別是雙曲線的左右頂點(diǎn)，且橢圓的右頂點(diǎn)到雙曲線的漸近線的距離為.
(1)求橢圓的方程；
(2)是否存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓恒有兩個(gè)交點(diǎn)，且？若存在，寫出該圓的方程，并求的取值范圍，若不存在，說(shuō)明理由.
【解析】（1）由題意得：，
故，
雙曲線漸的近線方程為，
故橢圓右頂點(diǎn)到雙曲線漸近線距離為，
因?yàn)椋獾茫海?br/>故，
所以橢圓方程為；
（2）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線為，
聯(lián)立與，得：
，
由得：，
設(shè)，
則，
因?yàn)椋裕?br/>其中
，
整理得：，
將代入中，解得：，
又，解得：，綜上：或，
原點(diǎn)到直線的距離為，
則存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓恒有兩個(gè)交點(diǎn)，且，
該圓的半徑即為，故圓的方程為，
當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，此時(shí)直線的方程為，
與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)為，或，，
此時(shí)，滿足要求，
經(jīng)驗(yàn)證，此時(shí)圓上的切線在軸上的截距滿足或，
綜上：存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓恒有兩個(gè)交點(diǎn)，且；
，
將代入上式，
令，則，
因?yàn)椋瑒t，
所以，
因?yàn)椋裕?br/>故當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為，
又，
當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，此時(shí)，
綜上：的取值范圍為.
變式24．（2024·安徽滁州·安徽省定遠(yuǎn)中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的左 右焦點(diǎn)分別為，離心率為，過(guò)左焦點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)（不在軸上），的周長(zhǎng)為.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若點(diǎn)在橢圓上，且為坐標(biāo)原點(diǎn)），求的取值范圍.
【解析】（1）由的周長(zhǎng)為，得，即，
又離心率，所以，，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）由（1）知的坐標(biāo)為，
①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，，，則；
②當(dāng)直線的斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)直線的方程為且，
聯(lián)立，得，
設(shè)，，則，，
，
設(shè)點(diǎn)，則，即，代入橢圓方程得，
解得，，所以，
所以，
又，所以的取值范圍是.
綜上所述，的取值范圍是.
變式25．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓的離心率為，焦距為，過(guò)的左焦點(diǎn)的直線與相交于、兩點(diǎn)，與直線相交于點(diǎn)．
(1)若，求證：；
(2)過(guò)點(diǎn)作直線的垂線與相交于、兩點(diǎn)，與直線相交于點(diǎn)．求的最大值．
【解析】（1）證明：設(shè)、，因?yàn)闄E圓的焦距為，所以，解得．
又因?yàn)闄E圓的離心率，所以，所以，
所以橢圓的方程為.
因?yàn)橹本€經(jīng)過(guò)、，，
所以，直線的方程為，
設(shè)點(diǎn)、，聯(lián)立可得，
由，得，.
所以，
，
因此，.
（2）證明：若直線、中兩條直線分別與兩條坐標(biāo)軸垂直，則其中有一條必與直線平行，不合乎題意，
所以，直線的斜率存在且不為零，設(shè)直線方程為，
則直線方程為，其中．
聯(lián)立可得，
設(shè)、，則，
由韋達(dá)定理可得，，
易知且，將代入直線的方程可得，即點(diǎn)，
所以
，
同理可得，
所以
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
因此，的最大值為.
變式26．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為，，且，的雙曲線的頂點(diǎn)，雙曲線的一條漸近線方程為，設(shè)P為該雙曲線上異于頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，直線，的斜率分別為，，且直線和與橢圓的交點(diǎn)分別為A，B和C，D．
(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)證明：直線，的斜率之積·為定值；
(3)求的取值范圍．
【解析】（1）設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由題意知，且，
即，
所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；
（2）設(shè)點(diǎn)，由題可知，則，，
所以，
而由點(diǎn)在雙曲線上，可知，即有，
從而，故；
（3）由上可知，且，且不能同時(shí)取或，
所以可設(shè)直線的方程為，則直線的方程為，
把直線的方程為代入橢圓方程，
整理得，
設(shè)，，則有，，
因此，
同理可得，
因此，又，
所以，所以，
所以的取值范圍為.
變式27．（2024·江蘇南京·校考二模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到直線的距離之比為．
(1)求點(diǎn)的軌跡的方程；
(2)過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線與交于A，B兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與軸交于點(diǎn)，求的取值范圍．
【解析】（1）設(shè)，由題意，
因?yàn)椋裕?br/>即，兩邊平方并整理得．
故點(diǎn)的軌跡的方程為；
（2）設(shè)直線方程為，
聯(lián)立，消并整理得，，顯然，
設(shè)，，則，，
又，可得線段中點(diǎn)坐標(biāo)為，
所以線段中垂線的方程為，
令，可得，
對(duì)于直線，令，可得，
所以
又，
所以，
令，則，
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，
所以，故．
變式28．（2024·江蘇南通·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的左、右頂點(diǎn)是雙曲線的頂點(diǎn)，的焦點(diǎn)到的漸近線的距離為.直線與相交于A，B兩點(diǎn)，.
(1)求證：
(2)若直線l與相交于P，Q兩點(diǎn)，求的取值范圍.
【解析】（1）由題意得橢圓焦點(diǎn)坐標(biāo)為，雙曲線漸近線方程為，
所以，解得，所以的方程為，
由，消y得，
所以得，
設(shè)，，則，
所以
，
化簡(jiǎn)得，得證；
（2）由消x，得，
所以，即，
結(jié)合，及，可得，
設(shè)，，則，
所以，
所以，
設(shè)，由，得，所以，
所以，
所以.
變式29．（2024·廣東深圳·高三校聯(lián)考期中）已知點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，總滿足關(guān)系式：.
(1)點(diǎn)的軌跡是什么曲線？寫出它的方程；
(2)設(shè)圓，直線與圓O相切且與點(diǎn)的軌跡交于不同兩點(diǎn)，當(dāng)且時(shí)，求弦長(zhǎng)的取值范圍.
【解析】（1）由關(guān)系式，結(jié)合橢圓的定義，
點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓.
∴ ，
∴點(diǎn)M的方程為.
（2）由題意，聯(lián)立方程，則
設(shè)，，
則，,
因直線與圓相切，且，
∴ ，
，
， ①
②
將①代入②.
因?yàn)椋?
變式30．（2024·四川遂寧·統(tǒng)考三模）已知橢圓的左、右頂點(diǎn)為，點(diǎn)是橢圓的上頂點(diǎn)，直線與圓相切，且橢圓的離心率為
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若點(diǎn)在橢圓上，過(guò)左焦點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)（不在軸上）且(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，求的取值范圍．
【解析】（1）由題設(shè)因?yàn)椋?br/>所以：
，所以，
所以橢圓方程為
（2）由（1）知的坐標(biāo)為，
①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，，，則；
②當(dāng)直線的斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)直線的方程為且，
聯(lián)立，得，
設(shè)，，則，，
，
設(shè)點(diǎn)，則，即，代入橢圓方程得，
解得，，所以，
所以，
又，所以的取值范圍是．
綜上所述，的取值范圍是．
變式31．（2024·江西宜春·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓:過(guò)點(diǎn)，且離心率為.
(1)求橢圓的方程；
(2)過(guò)點(diǎn)且互相垂直的直線,分別交橢圓于,兩點(diǎn)及兩點(diǎn).求的取值范圍.
【解析】（1）橢圓:過(guò)點(diǎn)，且離心率為
所以，解得，所以橢圓的方程為；
（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，則直線：，代入橢圓方程得，
所以；直線：，代入橢圓方程得，所以，
所以；
當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，同理可得；
當(dāng)直線,的斜率均存在，不妨設(shè)直線的方程為，則直線的方程為，，
則，消去得，
恒成立，所以，
所以
；
同理可得，將換成可得
所以，
綜上所述，的取值范圍是.
變式32．（2024·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學(xué)校考階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與動(dòng)點(diǎn)到定直線的距離的比值為，記動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為曲線C.
(1)求曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程.
(2)若動(dòng)直線l與曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，且（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求弦長(zhǎng)的取值范圍.
【解析】（1）由題意得，，兩邊平方化簡(jiǎn)得，
即可整理得曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
（2）i.當(dāng)直線l的斜率k不存在時(shí)，由橢圓對(duì)稱性有，又，故為等腰直角三角形，
故，代入方程有，
則弦長(zhǎng)；
ii.當(dāng)直線l的斜率k存在時(shí)，設(shè)直線l為，聯(lián)立橢圓消y得，
∴，，
由，
即
，整理得.
從而
.
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，
綜上，弦長(zhǎng)的取值范圍為.
變式33．（2024·湖北·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓過(guò)點(diǎn).
(1)若橢圓E的離心率，求b的取值范圍；
(2)已知橢圓E的離心率，M，N為橢圓E上不同兩點(diǎn)，若經(jīng)過(guò)M，N兩點(diǎn)的直線與圓相切，求線段的最大值.
【解析】（1）∵在橢圓，∴，有，所以，
又∵，所以，∵，∴；
（2）由（1）可知，又，
所以，橢圓.
因?yàn)橹本€與相切，故.
若直線的斜率不存在，不妨設(shè)直線為：，代入橢圓方程可得此時(shí)線段.
若直線的斜率存在，可設(shè)直線的方程為：.
由直線與相切，故，可得：.
聯(lián)立得，所以，
線段.
又因?yàn)椋?
當(dāng)且僅當(dāng)，故當(dāng)時(shí)，的最大值為2.
綜上所述：當(dāng)時(shí)，線段的最大值2.
變式34．（2024·黑龍江哈爾濱·高三哈師大附中校考期末）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)P在橢圓E上，，且．
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)直線與橢圓E相交于A，B兩點(diǎn)，與圓相交于C，D兩點(diǎn)，求的取值范圍．
【解析】（1）因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上．所以，又因?yàn)閨，所以 ， ，
因?yàn)椋裕郑?br/>解得，，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
（2）設(shè)，，
聯(lián)立直線與橢圓的方程： ，整理可得．
，有， ，
所以弦長(zhǎng) ，
圓的圓心到直線的距離為 ， 所以 ，
所以 ，
由，得，則 ，
所以以的取值范圍為.
變式35．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓：（）的短軸長(zhǎng)為4，離心率為．點(diǎn)為圓：上任意一點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)．
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)記線段與橢圓交點(diǎn)為，求的取值范圍．
【解析】（1）由題意可知：，， ，則，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：；
（2）由題意可知：，
設(shè)，則，
∴，
由，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
∴的取值范圍；
題型七：長(zhǎng)度的定值問(wèn)題
例18．（2024·遼寧沈陽(yáng)·高三沈陽(yáng)二中校考階段練習(xí)）如圖，已知橢圓，的左右焦點(diǎn)是雙曲線的左右頂點(diǎn)，的離心率為．點(diǎn)在上（異于兩點(diǎn)），過(guò)點(diǎn)和分別作直線交橢圓于和點(diǎn)．
(1)求證：為定值；
(2)求證：為定值．
【解析】（1）由題意知：，，雙曲線的，
又雙曲線離心率，，，；
設(shè)，，，則，
，
即為定值.
（2）設(shè)直線的方程分別為，，，，
由（1）知：，
由得：，
，，
；
同理可得：，
，
即為定值．
例19．（2024·北京順義·高三牛欄山一中校考期中）橢圓．
(1)點(diǎn)是橢圓上任意一點(diǎn)，求點(diǎn)與點(diǎn)兩點(diǎn)之間距離的最大值和最小值；
(2)和分別為橢圓的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)．為橢圓上第三象限點(diǎn)．直線與軸交于點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)．求．
【解析】（1）設(shè)，，則，，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.
（2）如圖所示：過(guò)點(diǎn)作軸于，過(guò)點(diǎn)作軸于，設(shè)，
例20．（2024·吉林松原·高三前郭爾羅斯縣第五中學(xué)校考期末）已知橢圓C的右焦點(diǎn)與拋物線E：的焦點(diǎn)F重合，且橢圓C的離心率為．
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．
(2)過(guò)點(diǎn)F的直線l交橢圓C于M，N兩點(diǎn)，交拋物線E于P，Q兩點(diǎn)，是否存在實(shí)數(shù)，使得為定值？若存在，求出這個(gè)定值和λ的值；若不存在，說(shuō)明理由．
【解析】（1）拋物線E：的焦點(diǎn)，設(shè)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為，由右焦點(diǎn)得橢圓C的半焦距，
又橢圓C的離心率 ，所以，，
所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.
（2）如圖所示：
當(dāng)過(guò)點(diǎn)F的直線l的斜率為0時(shí)，其與拋物線E只有一個(gè)交點(diǎn)，不符合題意，∴直線l的斜率不為0，
設(shè)直線，，聯(lián)立方程組，
消去x，得，
所以 ， ，
所以
.
聯(lián)立方程組，消去x，得，
設(shè)，則，，
所以，
所以 ，
令 ，得 .
當(dāng)時(shí)， ，
即存在.使 為定值.
變式36．（2024·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線E：的焦點(diǎn)關(guān)于其準(zhǔn)線的對(duì)稱點(diǎn)為，橢圓C：的左，右焦點(diǎn)分別是，，且與E有一個(gè)共同的焦點(diǎn)，線段的中點(diǎn)是C的左頂點(diǎn)．過(guò)點(diǎn)的直線l交C于A，B兩點(diǎn)，且線段AB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)M．
(1)求C的方程；
(2)證明：．
【解析】（1）拋物線E的焦點(diǎn)關(guān)于其準(zhǔn)線的對(duì)稱點(diǎn)為，
所以，即．
因?yàn)闄E圓C與拋物線E有一個(gè)共同的焦點(diǎn)，所以，，
所以線段的中點(diǎn)為，所以，．
故C的方程為．
（2）由題意知，直線l的斜率存在，設(shè)為k．
當(dāng)時(shí)，點(diǎn)A，B恰為橢圓C的左、右頂點(diǎn)，y軸為線段AB的垂直平分線，
，，，則．
當(dāng)時(shí)，直線l的方程為，設(shè)，，線段AB的中點(diǎn)為，．
聯(lián)立，消去y，得，
則，，
所以，
則．
由題意知，線段AB的垂直平分線的方程為，
令，得，
則．
又，
所以．
綜上，．
變式37．（2024·天津紅橋·統(tǒng)考一模）設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，離心率，長(zhǎng)軸為4，且過(guò)橢圓右焦點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)．
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若，其中為坐標(biāo)原點(diǎn)，求直線的斜率；
(3)若是橢圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的弦，且，判斷是否為定值？若是定值，請(qǐng)求出，若不是定值，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【解析】（1）由離心率，長(zhǎng)軸為4，得， ，
所以，
故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：．
（2）由（1）得橢圓的右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，
設(shè)直線的方程為：，直線與橢圓交于兩點(diǎn)，，
由得，，
則，，
所以，
因?yàn)椋?br/>所以，即，
解得，
故直線的斜率為．
（3）是定值，理由如下，
由（2）得：直線的方程為：，直線與橢圓交于兩點(diǎn)，，
，，
則
，
由是橢圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的弦，設(shè)，，直線的斜率為，
則，
由得，，且，
得，
所以，為定值．
變式38．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線與橢圓交于兩點(diǎn)（在軸上方），且，設(shè)點(diǎn)在軸上的射影為點(diǎn)，的面積為，拋物線的焦點(diǎn)與橢圓的焦點(diǎn)重合，斜率為的直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn)與橢圓交于兩，點(diǎn)，與拋物線交于兩點(diǎn).
(1)求橢圓及拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)是否存在常數(shù)，使為常數(shù)？若存在，求的值；若不存在，說(shuō)明理由.
【解析】（1）由題意可設(shè)，可得，
所以，所以，，
所以，所以，
點(diǎn)P坐標(biāo)代入橢圓方程得，所以橢圓C方程為，
所以，即，所以拋物線E方程為.
（2）設(shè).
直線l的方程為，與橢圓C的方程聯(lián)立得，
則恒成立，所以
則.
直線l的方程為，與拋物線E的方程聯(lián)立得.
.
.
要使為常數(shù)，則，得.
故存在，使為常數(shù).
變式39．（2024·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，.過(guò)的直線l交C的右支于M，N兩點(diǎn)，當(dāng)l垂直于x軸時(shí)，M，N到C的一條漸近線的距離之和為.
(1)求C的方程；
(2)證明：為定值.
【解析】（1）根據(jù)題意有，C的一條漸近線方程為，
將代入C的方程有，，
所以M，N到直線的距離之和為，
所以，C的方程為.
（2）
方法1：當(dāng)l垂直于x軸時(shí)，由（1）可知，，
且由雙曲的定義可知，故.
當(dāng)l不垂直于x軸時(shí)，由雙曲線的定義可知，，
故.
設(shè)，代入C的方程有：，
設(shè)，，則，，
所以，
所以.
綜上，的值為6.
方法2：當(dāng)l垂直于x軸時(shí)，由（1）可知，，
且由雙曲的定義可知，
故.
當(dāng)l不垂直于x軸時(shí)，設(shè)，
代入C的方程有：.
設(shè)，，則，，
所以.
綜上，的值為6.
變式40．（2024·安徽淮北·統(tǒng)考二模）已知拋物線的焦點(diǎn)和橢圓的右焦點(diǎn)重合，過(guò)點(diǎn)任意作直線分別交拋物線于，交橢圓于.當(dāng)垂直于軸時(shí)，.
(1)求和的方程；
(2)是否存在常數(shù)，使為定值？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
【解析】（1）由已知可得，的方程為，
代入拋物線方程可得，，解得，所以.
由題意知，得，
所以，拋物線方程是.
所以直線的方程為，焦點(diǎn)，所以.
將直線的方程代入橢圓方程可得，，解得，
所以.
由已知可得，，解得，
所以，橢圓的方程為.
（2）
假設(shè)存在常數(shù)，使為定值.
設(shè)直線的方程為：，設(shè)，，
聯(lián)立方程，消化簡(jiǎn)得.
則恒成立，且，
所以.
設(shè)，，
聯(lián)立方程，消化簡(jiǎn)得.
則恒成立，且，
所以，.
所以，.
因?yàn)闉槎ㄖ担?br/>所以有，所以.
所以，假設(shè)成立.
所以，存在常數(shù)，使為定值.
變式41．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，連接橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)所成的四邊形的周長(zhǎng)為.
(1)求橢圓的方程和離心率；
(2)已知過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)且與直線垂直的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，求的值.
【解析】（1）根據(jù)題意，
所以，
橢圓頂點(diǎn)圍成的四邊形周長(zhǎng)為：，
所以，
又因?yàn)椋?br/>所以，，
故橢圓方程為：，
橢圓離心率為.
（2）①當(dāng)直線PQ斜率不存在時(shí)，
|PQ|，|MN|，
此時(shí).
②當(dāng)直線PQ斜率為0時(shí)，
|PQ|，|MN|，
此時(shí).
③當(dāng)直線PQ斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)直線PQ:，直線MN：
聯(lián)立
所以
所以，
所以，
PQ
同理可得，.
此時(shí).
綜上所述，的值為.
變式42．（2024·北京順義·高三北京市順義區(qū)第一中學(xué)校考期中）已知橢圓C：的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，且離心率為.
(1)求橢圓C的方程；
(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)且斜率為k的直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)D.求證：為定值.
【解析】（1）由題設(shè)可得，
設(shè)橢圓的半焦距為，則，故，故，
故橢圓的方程為：.
（2）當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，而，故，故.
當(dāng)時(shí)，直線的方程為，，
由可得，
此時(shí)，
，，
且.
的中垂線的方程為：，
令，則，故，
故.
變式43．（2024·天津河北·高三統(tǒng)考期末）已知橢圓點(diǎn)，且離心率，F(xiàn)為橢圓C的左焦點(diǎn).
(1)求橢圓C的方程；
(2)設(shè)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F的直線l交橢圓C于P，Q兩點(diǎn)，，連接OT與PQ交于點(diǎn)H.
①若，求；
②求的值.
【解析】（1）由題意可得，解得,
橢圓C的方程為.
（2）①當(dāng)時(shí)，即，直線的斜率為，
∴直線的斜率為，則直線的方程，
聯(lián)立方程，消去得：，解得，
∴.
②∵，則直線的斜率為，
當(dāng)時(shí)，則直線l與x軸垂直，點(diǎn)H即為點(diǎn)F，則；
當(dāng)時(shí)，則直線的斜率為，則直線的方程，
聯(lián)立方程，消去得：，顯然，
設(shè)，則，
∴線段的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，
∵直線的方程為，聯(lián)立方程，解得，
即點(diǎn)H為線段的中點(diǎn)，則；
綜上所述：.
變式44．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓E：．焦距為2c，，左、右焦點(diǎn)分別為，．在橢圓E上任取一點(diǎn)，的周長(zhǎng)為．
(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)設(shè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為Q．過(guò)右焦點(diǎn)作與直線PQ垂直的直線交橢圓E于A，B兩點(diǎn)，求的取值范圍；
(3)若過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓E交于C，D兩點(diǎn)，求的值．
【解析】（1）焦距為2c，，可得，
又的周長(zhǎng)為，所以，即，
所以可得
所以橢圓的方程為：；
（2）設(shè),
當(dāng)直線的斜率為0時(shí),得:,,
當(dāng)直線的斜率不為0時(shí),設(shè)直線,
直線,
聯(lián)立直線和橢圓的方程，并消去整理得:
,
由韋達(dá)定理得:
,
聯(lián)立直線和橢圓的方程,并消去整理得:
由韋達(dá)定理得:
所以.
令,則
，，所以，所以當(dāng)即時(shí)，取得最小值，，
綜上,的取值范圍為.
（3）
因?yàn)榕c橢圓E交于C，D兩點(diǎn)，而在直線上，
設(shè)直線CD的參數(shù)方程為，代入橢圓中可得，
設(shè)C，D的參數(shù)分別為，，
所以，
所以;
所以的值為．
變式45．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓的長(zhǎng)軸是短軸的2倍，且右焦點(diǎn)為，點(diǎn)B在橢圓上，且點(diǎn)C為點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)．
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若點(diǎn)B在第一象限且為等邊三角形，求該等邊三角形的邊長(zhǎng)；
(3)設(shè)P為橢圓E上異于B，C的任意一點(diǎn)，直線與x軸分別交于點(diǎn)M，N，判斷是否為定值？若是，求出定值；若不是，說(shuō)明理由.
【解析】（1）長(zhǎng)軸是短軸的2倍，且右焦點(diǎn)為,
所以，
因?yàn)椋?br/>所以，解得：，
故，
橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；
（2）若點(diǎn)B在第一象限且為等邊三角形，
設(shè)，，
則，
又，故，
該等邊三角形的邊長(zhǎng)為；
（3）是定值4，理由如下：
因?yàn)镻為橢圓E上異于B，C的任意一點(diǎn)，
所以直線的斜率存在，
設(shè)，，則，，，
則，
則直線，
令得：，則，
直線，
令得：，則，
所以
因?yàn)椋?br/>所以，
故，
故是定值，為4.
變式46．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知雙曲線C以為漸近線，其上焦點(diǎn)F坐標(biāo)為.
(1)求雙曲線C的方程；
(2)不平行于坐標(biāo)軸的直線l過(guò)F與雙曲線C交于兩點(diǎn)，的中垂線交y軸于點(diǎn)T，問(wèn)是否為定值，若是，請(qǐng)求出定值，若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.
【解析】（1）因?yàn)殡p曲線C以為漸近線，
設(shè)雙曲線方程為，即,
∵，∴，即：，
∴，∴，即.,
所以雙曲線C的方程為：.
（2）由題意可知直線l一定有斜率存在，設(shè)直線l：，，，
，
化簡(jiǎn)得：，，
此方程的兩根為，則，
∴
.，
中點(diǎn)M坐標(biāo)為，即，
∴PQ中垂線方程為：，
令，∴，∴，
則，
∴，即為定值，定值為.
變式47．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓長(zhǎng)軸的頂點(diǎn)與雙曲線實(shí)軸的頂點(diǎn)相同，且的右焦點(diǎn)到的漸近線的距離為．
(1)求與的方程；
(2)若直線的傾斜角是直線的傾斜角的倍，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，與交于、兩點(diǎn)，與交于、兩點(diǎn)，求．
【解析】（1）由題意可得，則．
因?yàn)榈臐u近線方程為，即，
橢圓的右焦點(diǎn)為，由題意可得，，解得，
故橢圓的方程為，雙曲線的方程為．
（2）設(shè)直線的傾斜角為，
所以，直線的斜率為，
所以直線的方程為，
聯(lián)立得，則，
設(shè)、，則，，
所以,
聯(lián)立可得，，
設(shè)點(diǎn)、，則，，
所以，，故．
變式48．（2024·山東青島·高三統(tǒng)考期末）已知橢圓的左，右頂點(diǎn)分別為，上，下頂點(diǎn)分別為，四邊形的內(nèi)切圓的面積為，其離心率；拋物線的焦點(diǎn)與橢圓的右焦點(diǎn)重合.斜率為k的直線l過(guò)拋物線的焦點(diǎn)且與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，與拋物線交于C，D兩點(diǎn).
(1)求橢圓及拋物線的方程；
(2)是否存在常數(shù)，使得為一個(gè)與k無(wú)關(guān)的常數(shù)？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
【解析】（1）由橢圓可知：，
所以直線的方程為：，即，
因?yàn)樗倪呅蔚膬?nèi)切圓的面積為，所以原點(diǎn)O到直線的距離為，
即①，因?yàn)殡x心率，所以②，又③，
由①②③可得：，所以橢圓的方程為：，
因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)與橢圓的右焦點(diǎn)重合，
所以，所以，從而拋物線的方程為：.
（2）由（1）知：拋物線焦點(diǎn)為．由題意，設(shè)直線l：，
設(shè)，，，，
由可得：，
所以，
所以
，
由可得：，所以，
因?yàn)橹本€l過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，所以，
所以，
設(shè)，則，
由可得：.
變式49．（2024·遼寧·新民市第一高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考一模）如圖，，，，是拋物線：上的四個(gè)點(diǎn)（，在軸上方，，在軸下方），已知直線與的斜率分別為和2，且直線與相交于點(diǎn)．
(1)若點(diǎn)的橫坐標(biāo)為6，則當(dāng)?shù)拿娣e取得最大值時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．
(2)試問(wèn)是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【解析】（1）由題可知，點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線的方程為，
則的長(zhǎng)度為定值．
將直線平移到與拋物線相切，切點(diǎn)為，此時(shí)的面積取得最大值．
設(shè)切線的方程為，聯(lián)立方程組
消去整理得．
，解得，
將代入，
解得，，故點(diǎn)的坐標(biāo)為．
（2）設(shè)，則直線的方程為，
聯(lián)立方程組消去整理得，
則，．
同理可得，，．
，，
，，
所以．
故是定值，且該定值為2
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21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)第70講 弦長(zhǎng)問(wèn)題
知識(shí)梳理
1、弦長(zhǎng)公式的兩種形式
①若，是直線與圓錐曲線的兩個(gè)交點(diǎn)，且由兩方程消去后得到一元二次方程，則．
②若，是直線與圓錐曲線的兩個(gè)交點(diǎn)，且由兩方程消去后得到一元二次方程，則．
必考題型全歸納
題型一：弦長(zhǎng)問(wèn)題
例1．（2024·陜西西安·西安市大明宮中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知直線與圓相切，且交橢圓于兩點(diǎn)，若，則 ．
例2．（2024·全國(guó)·高三對(duì)口高考）已知橢圓，過(guò)左焦點(diǎn)作傾斜角為的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，則弦的長(zhǎng)為 ．
例3．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓，的上頂點(diǎn)為A，兩個(gè)焦點(diǎn)為，，離心率為．過(guò)且垂直于的直線與交于，兩點(diǎn)，的周長(zhǎng)是13，則 ．
變式1．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知雙曲線：，若直線的傾斜角為60°，且與雙曲線C的右支交于M，N兩點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)P，若，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為 .
變式2．（2024·貴州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)，分別在雙曲線的左支與右支上，且點(diǎn)，與點(diǎn)共線，若，則 .
變式3．（2024·四川巴中·高三統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：過(guò)焦點(diǎn)的光線經(jīng)拋物線反射后得到的光線平行于拋物線的對(duì)稱軸；反之，平行于拋物線對(duì)稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過(guò)拋物線的焦點(diǎn)．已知拋物線的焦點(diǎn)為，一條平行于軸的光線從點(diǎn)射出，經(jīng)過(guò)拋物線上的點(diǎn)反射后，再經(jīng)拋物線上的另一點(diǎn)射出，則 ．
變式4．（2024·河南鄭州·高三鄭州外國(guó)語(yǔ)學(xué)校校考階段練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，若，則 ．
變式5．（2024·新疆喀什·校考模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線C兩條準(zhǔn)線之間的距離為1，離心率為2，直線l經(jīng)過(guò)C的右焦點(diǎn)，且與C相交于A、B兩點(diǎn).
(1)求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若直線l與該雙曲線的漸近線垂直，求AB的長(zhǎng)度.
變式6．（2024·湖南邵陽(yáng)·高三湖南省邵東市第三中學(xué)校考階段練習(xí)）已知拋物線的準(zhǔn)線方程是.
(1)求拋物線的方程；
(2)設(shè)直線與拋物線相交于，兩點(diǎn)，若，求實(shí)數(shù)k的值.
題型二：長(zhǎng)度和問(wèn)題
例4．（2024·寧夏銀川·銀川一中校考一模）如圖所示，由半橢圓和兩個(gè)半圓、組成曲線，其中點(diǎn)依次為的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)為的下頂點(diǎn)，點(diǎn)依次為的左、右焦點(diǎn)．若點(diǎn)分別為曲線的圓心．
(1)求的方程；
(2)若過(guò)點(diǎn)作兩條平行線分別與和交與和，求的最小值．
例5．（2024·河南安陽(yáng)·安陽(yáng)一中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）定義：一般地，當(dāng)且時(shí)，我們把方程表示的橢圓稱為橢圓的相似橢圓．已知橢圓，橢圓（且）是橢圓的相似橢圓，點(diǎn)為橢圓上異于其左、右頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)．
(1)當(dāng)時(shí)，若與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線恰好相交于點(diǎn)，直線的斜率分別為，求的值；
(2)當(dāng)（e為橢圓的離心率）時(shí)，設(shè)直線與橢圓交于點(diǎn)，直線與橢圓交于點(diǎn)，求的值．
例6．（2024·江西九江·統(tǒng)考一模）如圖，已知橢圓()的左右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)為上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(非左右頂點(diǎn))，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，且的周長(zhǎng)為，面積的最大值為2．

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若橢圓的長(zhǎng)軸端點(diǎn)為，且與的離心率相等，為與異于的交點(diǎn)，直線交于兩點(diǎn)，證明：為定值．
變式7．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓的離心率為，且點(diǎn)在橢圓上.
(1)求橢圓的方程；
(2)過(guò)橢圓右焦點(diǎn)作兩條互相垂直的弦AB與CD，求的取值范圍.
題型三：長(zhǎng)度差問(wèn)題
例7．（2024·浙江·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，直線與交于，兩點(diǎn)（異于坐標(biāo)原點(diǎn)）．
(1)若，證明：直線過(guò)定點(diǎn)．
(2)已知，直線在直線的右側(cè)，，與之間的距離，交于，兩點(diǎn)，試問(wèn)是否存在，使得？若存在，求的值；若不存在，說(shuō)明理由．
例8．（2024·云南保山·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知拋物線：的焦點(diǎn)為橢圓：的右焦點(diǎn)F，點(diǎn)P為拋物線與橢圓在第一象限的交點(diǎn)，且.
(1)求橢圓的方程；
(2)若直線l過(guò)點(diǎn)F，交拋物線于A，C兩點(diǎn)，交橢圓于B，D兩點(diǎn)（A，B，C，D依次排序），且，求直線l的方程.
題型四：長(zhǎng)度商問(wèn)題
例9．（2024·重慶·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線的離心率是，點(diǎn)是雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，且點(diǎn)到雙曲線的一條漸近線的距離是2.
(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.
(2)設(shè)點(diǎn)在直線上，過(guò)點(diǎn)作兩條直線，直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，直線與雙曲線交于兩點(diǎn).若直線與直線的傾斜角互補(bǔ)，證明：.
例10．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知圓：，圓：，圓與圓、圓外切，
(1)求圓心的軌跡方程
(2)若過(guò)點(diǎn)且斜率的直線與交與兩點(diǎn)，線段的垂直平分線交軸與點(diǎn)，證明的值是定值.
例11．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)F與x軸垂直的直線與雙曲線C交于M，N兩點(diǎn)，且.
(1)求C的方程；
(2)過(guò)點(diǎn)的直線與雙曲線C的左 右兩支分別交于D，E兩點(diǎn)，與雙曲線C的兩條漸近線分別交于G，H兩點(diǎn)，若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
變式8．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知雙曲線C的漸近線方程為，右焦點(diǎn)到漸近線的距離為.
（1）求雙曲線C的方程；
（2）過(guò)F作斜率為k的直線交雙曲線于A、B兩點(diǎn)，線段AB的中垂線交x軸于D，求證：為定值.
變式9．（2024·河南鄭州·鄭州外國(guó)語(yǔ)學(xué)校校考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的左 右焦點(diǎn)分別為，且.過(guò)右焦點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，的周長(zhǎng)為.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過(guò)原點(diǎn)作一條垂直于的直線交于兩點(diǎn)，求的取值范圍.
變式10．（2024·陜西·統(tǒng)考一模）在橢圓C：，，過(guò)點(diǎn)與的直線的斜率為．
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)設(shè)F為橢圓C的右焦點(diǎn)，P為直線上任意一點(diǎn)，過(guò)F作PF的垂線交橢圓C于M，N兩點(diǎn)，當(dāng)取最大值時(shí)，求直線MN的方程．
變式11．（2024·廣東佛山·華南師大附中南海實(shí)驗(yàn)高中校考模擬預(yù)測(cè)）在橢圓）中，，過(guò)點(diǎn)與的直線的斜率為.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)設(shè)為橢圓的右焦點(diǎn)，為直線上任意一點(diǎn)，過(guò)作的垂線交橢圓于兩點(diǎn)，求的最大值.
變式12．（2024·安徽·高三安徽省馬鞍山市第二十二中學(xué)校聯(lián)考階段練面直角坐標(biāo)系中，為動(dòng)點(diǎn)，與直線垂直，垂足位于第一象限，與直線垂直，垂足位于第四象限，且，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為.
(1)求的方程；
(2)已知點(diǎn)，，設(shè)點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，的角平分線為直線，過(guò)點(diǎn)作的垂線，垂足為，交于另一點(diǎn)，求的最大值.
變式13．（2024·四川南充·高三四川省南充高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）已知，為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)．且，P為橢圓上一點(diǎn)，．
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過(guò)右焦點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，若的中點(diǎn)為為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線交直線于點(diǎn)．求的最大值．
變式14．（2024·海南海口·高三統(tǒng)考期中）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)M，N在拋物線上，且.
(1)證明：直線過(guò)定點(diǎn)；
(2)設(shè)C在點(diǎn)M，N處的切線相交于點(diǎn)P，求的取值范圍.
變式15．（2024·四川綿陽(yáng)·統(tǒng)考三模）過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于點(diǎn)，（在第一象限），且當(dāng)直線的傾斜角為時(shí)，.
(1)求拋物線的方程；
(2)若，延長(zhǎng)交拋物線于點(diǎn)，延長(zhǎng)交軸于點(diǎn)，求的值.
變式16．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知拋物線C：上的點(diǎn)到其焦點(diǎn)F的距離為2．
(1)求拋物線C的方程；
(2)已知點(diǎn)D在直線l：上，過(guò)點(diǎn)D作拋物線C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，直線AB與直線l交于點(diǎn)M，過(guò)拋物線C的焦點(diǎn)F作直線AB的垂線交直線l于點(diǎn)N，當(dāng)|MN|最小時(shí)，求的值．
變式17．（2024·廣東揭陽(yáng)·高三校考階段練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)F關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)恰好在y軸上．
(1)求拋物線E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)直線與拋物線E交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與x軸交于點(diǎn)C，若，求的最大值．
變式18．（2024·四川內(nèi)江·高三四川省內(nèi)江市第六中學(xué)校考階段練習(xí)）已知橢圓與拋物線有一個(gè)相同的焦點(diǎn)，橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2p．
(1)求橢圓與拋物線的方程；
(2)P為拋物線上一點(diǎn)，為橢圓的左焦點(diǎn)，直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，直線與拋物線交于P，Q兩點(diǎn)，求的最大值．
題型五：長(zhǎng)度積問(wèn)題
例12．（2024·山東·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知拋物線，為的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線與交于，兩點(diǎn)，且在，兩點(diǎn)處的切線交于點(diǎn)，當(dāng)與軸垂直時(shí)，．
(1)求的方程；
(2)證明：．
例13．（2024·浙江·校考模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線：，過(guò)其焦點(diǎn)F的直線與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，與橢圓交于C、D兩點(diǎn)，其中．
(1)求拋物線方程；
(2)是否存在直線，使得是與的等比中項(xiàng)，若存在，請(qǐng)求出AB的方程及；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
例14．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓的離心率為，且直線被橢圓截得的弦長(zhǎng)為．
(1)求橢圓的方程；
(2)以橢圓的長(zhǎng)軸為直徑作圓，過(guò)直線上的動(dòng)點(diǎn)作圓的兩條切線，設(shè)切點(diǎn)為，若直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，，求的取值范圍．
變式19．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，為上一點(diǎn)，且當(dāng)軸時(shí)，.
(1)求的方程；
(2)設(shè)在點(diǎn)處的切線交軸于點(diǎn)，證明：.
變式20．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓：的離心率為，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線，與交于兩點(diǎn)，且．
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，且，，交于點(diǎn)，求的取值范圍．
變式21．（2024·湖南岳陽(yáng)·高三校考階段練習(xí)）已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，左，右焦點(diǎn)分別為，，為坐標(biāo)原點(diǎn)，且．
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)設(shè)A為橢圓的右頂點(diǎn)，直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，以為直徑的圓過(guò)點(diǎn)A，求的最大值．
變式22．（2024·廣東·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知橢圓的焦距為2，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)．
(1)求橢圓C的方程；
(2)經(jīng)過(guò)橢圓右焦點(diǎn)F且斜率為的動(dòng)直線l與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，試問(wèn)x軸上是否存在異于點(diǎn)F的定點(diǎn)T，使恒成立？若存在，求出T點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由．
題型六：長(zhǎng)度的范圍與最值問(wèn)題
例15．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)也是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，與的公共弦長(zhǎng)為．
(1)求橢圓的方程；
(2)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)作斜率為的直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)作垂直于的直線交軸于點(diǎn)，試求的取值范圍．
例16．（2024·黑龍江佳木斯·高三校考開(kāi)學(xué)考試）已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)在橢圓上，且使得的點(diǎn)恰有兩個(gè)，動(dòng)點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最大值為．
(1)求橢圓的方程；
(2)如圖，以橢圓的長(zhǎng)軸為直徑作圓，過(guò)直線上的動(dòng)點(diǎn)作圓的兩條切線，設(shè)切點(diǎn)分別為，，若直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，，求弦長(zhǎng)的取值范圍．
例17．（2024·陜西咸陽(yáng)·校考三模） 已知雙曲線的離心率為，過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)且垂直于軸的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，且.
(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若直線：與雙曲線的左、右兩支分別交于兩點(diǎn)，與雙曲線的漸近線分別交于兩點(diǎn)，求的取值范圍.
變式23．（2024·湖南長(zhǎng)沙·高三湖南師大附中校考階段練習(xí)）設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)，分別是雙曲線的左右頂點(diǎn)，且橢圓的右頂點(diǎn)到雙曲線的漸近線的距離為.
(1)求橢圓的方程；
(2)是否存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓恒有兩個(gè)交點(diǎn)，且？若存在，寫出該圓的方程，并求的取值范圍，若不存在，說(shuō)明理由.
變式24．（2024·安徽滁州·安徽省定遠(yuǎn)中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的左 右焦點(diǎn)分別為，離心率為，過(guò)左焦點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)（不在軸上），的周長(zhǎng)為.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若點(diǎn)在橢圓上，且為坐標(biāo)原點(diǎn)），求的取值范圍.
變式25．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓的離心率為，焦距為，過(guò)的左焦點(diǎn)的直線與相交于、兩點(diǎn)，與直線相交于點(diǎn)．
(1)若，求證：；
(2)過(guò)點(diǎn)作直線的垂線與相交于、兩點(diǎn)，與直線相交于點(diǎn)．求的最大值．
變式26．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為，，且，的雙曲線的頂點(diǎn)，雙曲線的一條漸近線方程為，設(shè)P為該雙曲線上異于頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，直線，的斜率分別為，，且直線和與橢圓的交點(diǎn)分別為A，B和C，D．
(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)證明：直線，的斜率之積·為定值；
(3)求的取值范圍．
變式27．（2024·江蘇南京·校考二模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到直線的距離之比為．
(1)求點(diǎn)的軌跡的方程；
(2)過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線與交于A，B兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與軸交于點(diǎn)，求的取值范圍．
變式28．（2024·江蘇南通·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的左、右頂點(diǎn)是雙曲線的頂點(diǎn)，的焦點(diǎn)到的漸近線的距離為.直線與相交于A，B兩點(diǎn)，.
(1)求證：
(2)若直線l與相交于P，Q兩點(diǎn)，求的取值范圍.
變式29．（2024·廣東深圳·高三校聯(lián)考期中）已知點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，總滿足關(guān)系式：.
(1)點(diǎn)的軌跡是什么曲線？寫出它的方程；
(2)設(shè)圓，直線與圓O相切且與點(diǎn)的軌跡交于不同兩點(diǎn)，當(dāng)且時(shí)，求弦長(zhǎng)的取值范圍.
變式30．（2024·四川遂寧·統(tǒng)考三模）已知橢圓的左、右頂點(diǎn)為，點(diǎn)是橢圓的上頂點(diǎn)，直線與圓相切，且橢圓的離心率為
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若點(diǎn)在橢圓上，過(guò)左焦點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)（不在軸上）且(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，求的取值范圍．
變式31．（2024·江西宜春·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓:過(guò)點(diǎn)，且離心率為.
(1)求橢圓的方程；
(2)過(guò)點(diǎn)且互相垂直的直線,分別交橢圓于,兩點(diǎn)及兩點(diǎn).求的取值范圍.
變式32．（2024·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學(xué)校考階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與動(dòng)點(diǎn)到定直線的距離的比值為，記動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為曲線C.
(1)求曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程.
(2)若動(dòng)直線l與曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，且（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求弦長(zhǎng)的取值范圍.
變式33．（2024·湖北·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓過(guò)點(diǎn).
(1)若橢圓E的離心率，求b的取值范圍；
(2)已知橢圓E的離心率，M，N為橢圓E上不同兩點(diǎn)，若經(jīng)過(guò)M，N兩點(diǎn)的直線與圓相切，求線段的最大值.
變式34．（2024·黑龍江哈爾濱·高三哈師大附中校考期末）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)P在橢圓E上，，且．
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)直線與橢圓E相交于A，B兩點(diǎn)，與圓相交于C，D兩點(diǎn)，求的取值范圍．
變式35．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓：（）的短軸長(zhǎng)為4，離心率為．點(diǎn)為圓：上任意一點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)．
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)記線段與橢圓交點(diǎn)為，求的取值范圍．
題型七：長(zhǎng)度的定值問(wèn)題
例18．（2024·遼寧沈陽(yáng)·高三沈陽(yáng)二中校考階段練習(xí)）如圖，已知橢圓，的左右焦點(diǎn)是雙曲線的左右頂點(diǎn)，的離心率為．點(diǎn)在上（異于兩點(diǎn)），過(guò)點(diǎn)和分別作直線交橢圓于和點(diǎn)．
(1)求證：為定值；
(2)求證：為定值．
例19．（2024·北京順義·高三牛欄山一中校考期中）橢圓．
(1)點(diǎn)是橢圓上任意一點(diǎn)，求點(diǎn)與點(diǎn)兩點(diǎn)之間距離的最大值和最小值；
(2)和分別為橢圓的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)．為橢圓上第三象限點(diǎn)．直線與軸交于點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)．求．
例20．（2024·吉林松原·高三前郭爾羅斯縣第五中學(xué)校考期末）已知橢圓C的右焦點(diǎn)與拋物線E：的焦點(diǎn)F重合，且橢圓C的離心率為．
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．
(2)過(guò)點(diǎn)F的直線l交橢圓C于M，N兩點(diǎn)，交拋物線E于P，Q兩點(diǎn)，是否存在實(shí)數(shù)，使得為定值？若存在，求出這個(gè)定值和λ的值；若不存在，說(shuō)明理由．
變式36．（2024·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線E：的焦點(diǎn)關(guān)于其準(zhǔn)線的對(duì)稱點(diǎn)為，橢圓C：的左，右焦點(diǎn)分別是，，且與E有一個(gè)共同的焦點(diǎn)，線段的中點(diǎn)是C的左頂點(diǎn)．過(guò)點(diǎn)的直線l交C于A，B兩點(diǎn)，且線段AB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)M．
(1)求C的方程；
(2)證明：．
變式37．（2024·天津紅橋·統(tǒng)考一模）設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，離心率，長(zhǎng)軸為4，且過(guò)橢圓右焦點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)．
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若，其中為坐標(biāo)原點(diǎn)，求直線的斜率；
(3)若是橢圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的弦，且，判斷是否為定值？若是定值，請(qǐng)求出，若不是定值，請(qǐng)說(shuō)明理由．
變式38．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線與橢圓交于兩點(diǎn)（在軸上方），且，設(shè)點(diǎn)在軸上的射影為點(diǎn)，的面積為，拋物線的焦點(diǎn)與橢圓的焦點(diǎn)重合，斜率為的直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn)與橢圓交于兩，點(diǎn)，與拋物線交于兩點(diǎn).
(1)求橢圓及拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)是否存在常數(shù)，使為常數(shù)？若存在，求的值；若不存在，說(shuō)明理由.
變式39．（2024·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，.過(guò)的直線l交C的右支于M，N兩點(diǎn)，當(dāng)l垂直于x軸時(shí)，M，N到C的一條漸近線的距離之和為.
(1)求C的方程；
(2)證明：為定值.
變式40．（2024·安徽淮北·統(tǒng)考二模）已知拋物線的焦點(diǎn)和橢圓的右焦點(diǎn)重合，過(guò)點(diǎn)任意作直線分別交拋物線于，交橢圓于.當(dāng)垂直于軸時(shí)，.
(1)求和的方程；
(2)是否存在常數(shù)，使為定值？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
變式41．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，連接橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)所成的四邊形的周長(zhǎng)為.
(1)求橢圓的方程和離心率；
(2)已知過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)且與直線垂直的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，求的值.
變式42．（2024·北京順義·高三北京市順義區(qū)第一中學(xué)校考期中）已知橢圓C：的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，且離心率為.
(1)求橢圓C的方程；
(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)且斜率為k的直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)D.求證：為定值.
變式43．（2024·天津河北·高三統(tǒng)考期末）已知橢圓點(diǎn)，且離心率，F(xiàn)為橢圓C的左焦點(diǎn).
(1)求橢圓C的方程；
(2)設(shè)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F的直線l交橢圓C于P，Q兩點(diǎn)，，連接OT與PQ交于點(diǎn)H.
①若，求；
②求的值.
變式44．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓E：．焦距為2c，，左、右焦點(diǎn)分別為，．在橢圓E上任取一點(diǎn)，的周長(zhǎng)為．
(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)設(shè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為Q．過(guò)右焦點(diǎn)作與直線PQ垂直的直線交橢圓E于A，B兩點(diǎn)，求的取值范圍；
(3)若過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓E交于C，D兩點(diǎn)，求的值．
變式45．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓的長(zhǎng)軸是短軸的2倍，且右焦點(diǎn)為，點(diǎn)B在橢圓上，且點(diǎn)C為點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)．
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若點(diǎn)B在第一象限且為等邊三角形，求該等邊三角形的邊長(zhǎng)；
(3)設(shè)P為橢圓E上異于B，C的任意一點(diǎn)，直線與x軸分別交于點(diǎn)M，N，判斷是否為定值？若是，求出定值；若不是，說(shuō)明理由.
變式46．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知雙曲線C以為漸近線，其上焦點(diǎn)F坐標(biāo)為.
(1)求雙曲線C的方程；
(2)不平行于坐標(biāo)軸的直線l過(guò)F與雙曲線C交于兩點(diǎn)，的中垂線交y軸于點(diǎn)T，問(wèn)是否為定值，若是，請(qǐng)求出定值，若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.
變式47．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓長(zhǎng)軸的頂點(diǎn)與雙曲線實(shí)軸的頂點(diǎn)相同，且的右焦點(diǎn)到的漸近線的距離為．
(1)求與的方程；
(2)若直線的傾斜角是直線的傾斜角的倍，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，與交于、兩點(diǎn)，與交于、兩點(diǎn)，求．
變式48．（2024·山東青島·高三統(tǒng)考期末）已知橢圓的左，右頂點(diǎn)分別為，上，下頂點(diǎn)分別為，四邊形的內(nèi)切圓的面積為，其離心率；拋物線的焦點(diǎn)與橢圓的右焦點(diǎn)重合.斜率為k的直線l過(guò)拋物線的焦點(diǎn)且與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，與拋物線交于C，D兩點(diǎn).
(1)求橢圓及拋物線的方程；
(2)是否存在常數(shù)，使得為一個(gè)與k無(wú)關(guān)的常數(shù)？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
變式49．（2024·遼寧·新民市第一高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考一模）如圖，，，，是拋物線：上的四個(gè)點(diǎn)（，在軸上方，，在軸下方），已知直線與的斜率分別為和2，且直線與相交于點(diǎn)．
(1)若點(diǎn)的橫坐標(biāo)為6，則當(dāng)?shù)拿娣e取得最大值時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．
(2)試問(wèn)是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由
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