資源簡介

第72講 垂直弦問題
知識(shí)梳理
1、過橢圓的右焦點(diǎn)作兩條互相垂直的弦，．若弦，的中點(diǎn)分別為，，那么直線恒過定點(diǎn)．
2、過橢圓的長軸上任意一點(diǎn)作兩條互相垂直的弦，．若弦，的中點(diǎn)分別為，，那么直線恒過定點(diǎn)．
3、過橢圓的短軸上任意一點(diǎn)作兩條互相垂直的弦，．若弦，的中點(diǎn)分別為，，那么直線恒過定點(diǎn)．
4、過橢圓內(nèi)的任意一點(diǎn)作兩條互相垂直的弦，．若弦，的中點(diǎn)分別為，，那么直線恒過定點(diǎn)．
5、以為直角定點(diǎn)的橢圓內(nèi)接直角三角形的斜邊必過定點(diǎn)
6、以上頂點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的橢圓內(nèi)接直角三角形的斜邊必過定點(diǎn)，且定點(diǎn)在軸上．
7、以右頂點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的橢圓內(nèi)接直角三角形的斜邊必過定點(diǎn)，且定點(diǎn)在軸上．
8、以為直角定點(diǎn)的拋物線內(nèi)接直角三角形的斜邊必過定點(diǎn)，
9、以為直角定點(diǎn)的雙曲線內(nèi)接直角三角形的斜邊必過定點(diǎn)
必考題型全歸納
題型一：橢圓內(nèi)接直角三角形的斜邊必過定點(diǎn)
例1．（2024·遼寧沈陽·高二東北育才學(xué)校校考階段練習(xí)）已知點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足：∠APB=2θ，且|PA||PB|cos2θ=1.（P不在線段AB上）
(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；
(2)過橢圓的上頂點(diǎn)作互相垂直的兩條直線分別交橢圓于另外一點(diǎn)P、Q，試問直線PQ是否經(jīng)過定點(diǎn)，若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，說明理由.
【解析】（1）①當(dāng)點(diǎn)P在x軸上且在線段AB外時(shí)，
設(shè)，則，，
由，
所以，故；
②當(dāng)點(diǎn)P不在x軸上時(shí)，在△PAB中，
所以，
∴，即動(dòng)點(diǎn)P在以A、B為兩焦點(diǎn)的橢圓上，
方程為：且；
由①②知：動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為：；
（2）顯然兩直線斜率存在，設(shè)AP：y=kx+1，代入橢圓方程得，
所以，代替k同理可得，
直線PQ：，化簡得；
令x=0，得，故直線PQ過定點(diǎn).
例2．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，，短軸長為2.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程及離心率；
(2)M，D分別為橢圓C的左 右頂點(diǎn)，過M點(diǎn)作兩條互相垂直的直線MA，MB交橢圓于A，B兩點(diǎn)，直線AB是否過定點(diǎn)？并求出面積的最大值.
【解析】（1）由題意得：
，
故可知
橢圓方程為：，離心率為：
（2）M，D分別為橢圓C的左 右頂點(diǎn)
又由（1）可知： 設(shè)直線AB的方程為：，，
聯(lián)立方程可得：
有韋達(dá)定理可知：，
又
又
展開后整理得：，解得：或（舍去）
直線恒過定點(diǎn)
令
則
由對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性可知：
所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)
此時(shí)的最大值為：
例3．（2024·云南曲靖·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知為圓上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線段為垂足，若點(diǎn)滿足.
(1)求點(diǎn)的軌跡方程；
(2)設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線，過點(diǎn)作曲線的兩條互相垂直的弦，兩條弦的中點(diǎn)分別為，過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為點(diǎn)，是否存在定點(diǎn)，使得為定值？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.
【解析】（1）由題意得，設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)，
因?yàn)椋裕瑒t，
因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，所以，則，即，
所以點(diǎn)軌跡方程為.
（2）①若兩條互相垂直的弦所在直線的斜率均存在，則可設(shè)直線，
聯(lián)立，得，
設(shè)直線與曲線兩交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，則，
；
直線，
同理可得：，
設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，
則當(dāng)直線斜率存在時(shí)，由得，
，即直線恒過點(diǎn)；
當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，由得，則，
則直線恒過點(diǎn)；
②若兩條互相垂直的弦所在直線中有一條斜率不存在，則直線為軸，恒過，
綜上：直線恒過點(diǎn)
在以中點(diǎn)為圓心，為直徑的圓上，
取，則為定值；
存在點(diǎn)，使得為定值.
變式1．（2024·上海青浦·統(tǒng)考一模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓，過右焦點(diǎn)作兩條互相垂直的弦AB，CD，設(shè)AB，CD中點(diǎn)分別為，．
(1)寫出橢圓右焦點(diǎn)的坐標(biāo)及該橢圓的離心率；
(2)證明：直線MN必過定點(diǎn)，并求出此定點(diǎn)坐標(biāo)；
(3)若弦AB，CD的斜率均存在，求面積的最大值．
【解析】（1）由橢圓方程可知：，，所以
右焦點(diǎn)坐標(biāo)，該橢圓的離心率；
（2）證明：斜率均存在，
設(shè)，直線AB方程為，
則，
聯(lián)立，
則有，
將上式中換為，可得，
若，則直線MN斜率不存在，此時(shí)直線MN過點(diǎn)，
下證動(dòng)直線MN過定點(diǎn)，
若直線MN斜率存在，則，
直線MN方程為，
令得，所以此時(shí)直線MN也過定點(diǎn)，
當(dāng)兩條直線其中一條斜率不存在，一條直線斜率為0時(shí)，
不妨設(shè)斜率不存在，斜率為0，
此時(shí)，
則直線的方程為，過點(diǎn)，
綜上，動(dòng)直線MN過定點(diǎn)；
（3）由（2）可知直線MN過定點(diǎn)，
，
令，
，
因?yàn)椋栽谏线f減，
所以時(shí)，取得最大值，此時(shí).
變式2．（2024·天津河北·高三天津外國語大學(xué)附屬外國語學(xué)校校考階段練習(xí)）設(shè)分別是橢圓的左 右焦點(diǎn)，是上一點(diǎn)，與軸垂直.直線與的另一個(gè)交點(diǎn)為，且直線的斜率為.
(1)求橢圓的離心率；
(2)設(shè)是橢圓的上頂點(diǎn)，過任作兩條互相垂直的直線分別交橢圓于兩點(diǎn)，證明直線過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo).
【解析】（1）由題意知，點(diǎn)在第一象限，是上一點(diǎn)且與軸垂直，
的橫坐標(biāo)為.當(dāng)時(shí)，，即.
又直線的斜率為，所以，
即，即
則，解得或（舍去），
即.
（2）已知是橢圓的上頂點(diǎn)，則，
由（1）知，解得，
所以，橢圓的方程為，
設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立可得，
所以，
又，
，
化簡整理有，得或.
當(dāng)時(shí)，直線經(jīng)過點(diǎn)，不滿足題意；.
當(dāng)時(shí)滿足方程中，
故直線經(jīng)過軸上定點(diǎn).
變式3．（2024·全國·高二專題練習(xí)）設(shè)分別是圓的左 右焦點(diǎn)，M是C上一點(diǎn)，與x軸垂直.直線與C的另一個(gè)交點(diǎn)為N，且直線MN的斜率為
(1)求橢圓C的離心率.
(2)設(shè)是橢圓C的上頂點(diǎn)，過D任作兩條互相垂直的直線分別交橢圓C于A B兩點(diǎn)，過點(diǎn)D作線段AB的垂線，垂足為Q，判斷在y軸上是否存在定點(diǎn)R，使得的長度為定值？并證明你的結(jié)論.
【解析】（1）由題意知，點(diǎn)在第一象限.是上一點(diǎn)且與軸垂直，
的橫坐標(biāo)為.當(dāng)時(shí)，，即.
又直線的斜率為，所以，
即，即，
則，解得或（舍去），即.
（2）已知是橢圓的上頂點(diǎn)，則，橢圓的方程為，
易得直線AB的斜率必然存在，設(shè)直線的方程為，
由可得
所以，
又，.
，
化簡整理有，得或.
當(dāng)時(shí)，直線經(jīng)過點(diǎn)，不滿足題意；
當(dāng)時(shí)滿足方程中，故直線經(jīng)過軸上定點(diǎn).
又為過點(diǎn)作線段的垂線的垂足，故在以為直徑的圓上，取的中點(diǎn)為，則為定值，且
變式4．（2024·云南昆明·高二統(tǒng)考期中）已知橢圓，直線被橢圓截得的線段長為.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過橢圓的右頂點(diǎn)作互相垂直的兩條直線.分別交橢圓于兩點(diǎn)（點(diǎn)不同于橢圓的右頂點(diǎn)），證明：直線過定點(diǎn).
【解析】（1）根據(jù)題意，設(shè)直線與題意交于兩點(diǎn).不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，
又長為，∴，∴
∴，故的標(biāo)準(zhǔn)方程為
（2）顯然直線的斜率存在且不為0，
設(shè)，由得，
∴，同理可得
當(dāng)時(shí)，，
所以直線的方程為
整理得，所以直線
當(dāng)時(shí)，直線的方程為，直線也過點(diǎn)
所以直線過定點(diǎn).
題型二：雙曲線內(nèi)接直角三角形的斜邊必過定點(diǎn)
例4．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）已知雙曲線C：經(jīng)過點(diǎn)，且雙曲線C的右頂點(diǎn)到一條漸近線的距離為．
(1)求雙曲線C的方程；
(2)過點(diǎn)P分別作兩條互相垂直的直線PA，PB與雙曲線C交于A，B兩點(diǎn)（A，B兩點(diǎn)均與點(diǎn)P不重合），設(shè)直線AB：，試求和之間滿足的關(guān)系式．
【解析】（1）已知雙曲線C：經(jīng)過點(diǎn)，
則，
右頂點(diǎn)為，不妨取漸近線為，即，
則，
從而可解得，
所以雙曲線C的方程為；
（2）設(shè)，
聯(lián)立，消得，
則，
則，
，
，
因?yàn)椋瑒t，
即，
即，
即，
整理得，
所以.
例5．（2024·江蘇南京·高二校考開學(xué)考試）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，動(dòng)點(diǎn)Р與定點(diǎn)F(2，0)的距離和它到定直線l：的距離之比是常數(shù)，記P的軌跡為曲線E.
(1)求曲線E的方程；
(2)設(shè)過點(diǎn)A(，0)兩條互相垂直的直線分別與曲線E交于點(diǎn)M，N(異于點(diǎn)A)，求證：直線MN過定點(diǎn).
【解析】（1）設(shè)P(x，y)，
因?yàn)镻與定點(diǎn)F(2，0)的距離和它到定直線l：的距離之比是常數(shù)，
所以，
化簡得，
所以曲線E的方程為.
（2）設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，
當(dāng)直線MN斜率不存在，直線AM，AN分別為，，
分別聯(lián)立，解得M(，)，N(，－)，
此時(shí)直線MN的方程為，過點(diǎn)(，0)；
當(dāng)直線MN斜率存在時(shí)設(shè)其方程為，()
由，消去y得，
所以，即，
，，
因?yàn)锳M⊥AN，
所以，即，
即，
即，
將，代入化簡得：，
所以或，
當(dāng)時(shí)，直線MN方程為(不符合題意舍去)，
當(dāng)時(shí)，直線MN方程為，MN恒過定點(diǎn)(，0)，
綜上所述直線MN過定點(diǎn)(，0).
例6．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線，經(jīng)過雙曲線上的點(diǎn)作互相垂直的直線AM AN分別交雙曲線于M N兩點(diǎn).設(shè)線段AM AN的中點(diǎn)分別為B C，直線OB OC（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的斜率都存在且它們的乘積為.
(1)求雙曲線的方程；
(2)過點(diǎn)A作（D為垂足），請(qǐng)問：是否存在定點(diǎn)E，使得為定值？若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.
【解析】（1）設(shè) ，線段AM AN的中點(diǎn)分別為 ，
由已知，得；
兩式相減，得，即①
根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)及斜率公式，得
，，，.代入①，
得②同理，得③，②③相乘，得.
∵，，∴④
由，與④聯(lián)立，得，，
雙曲線的方程為：.
（2）①當(dāng)時(shí)，設(shè)，，，，
由AM AN互相垂直，得，
由解得（此時(shí)無實(shí)數(shù)解，故舍去），或（此時(shí)M N至少一個(gè)點(diǎn)與A重合，與條件不符，故舍去）.綜上，此時(shí)無符合條件的解.
②當(dāng)不成立時(shí)，設(shè)直線，
代入得，且
∵
∴，即，
解得：或.
當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)，與條件不符，舍去.
∴ ，，過定點(diǎn)
∴ AP中點(diǎn)，由于（D為垂足），故.
綜上所述，存在定點(diǎn)，使得為定值.
題型三：拋物線內(nèi)接直角三角形的斜邊必過定點(diǎn)
例7．（2024·江蘇泰州·高二靖江高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，斜率為1的直線l經(jīng)過F，且與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，．
(1)求拋物線C的方程；
(2)過拋物線C上一點(diǎn)作兩條互相垂直的直線與拋物線C相交于兩點(diǎn)（異于點(diǎn)P），證明：直線恒過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo)．
【解析】（1）設(shè)，
由題意知，則直線l方程為，
代入，得，，
∴，
由拋物線定義，知，，
∴，∴，
∴拋物線的方程為.
（2）證明：在拋物線上，，
由題意，直線的斜率不為0，設(shè)直線的方程為，
設(shè)，
由，得 ，
則，且，
又，
，
由題意，可知, ,
故，
故，
整理得 ，即，
或，即或．
若，則 ，
此時(shí)直線過定點(diǎn)，不合題意；
若，則，
此時(shí)直線過定點(diǎn)，符合題意，
綜上，直線過異于P點(diǎn)的定點(diǎn)．
例8．（2024·內(nèi)蒙古巴彥淖爾·高二校考階段練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)恰在拋物線的準(zhǔn)線上．
(1)求拋物線的方程；
(2)是拋物線上橫坐標(biāo)為的點(diǎn)，過點(diǎn)作互相垂直的兩條直線分別交拋物線于兩點(diǎn)，證明直線恒經(jīng)過某一定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．
【解析】（1）由已知得，設(shè)，則中點(diǎn)為，
關(guān)于直線對(duì)稱，
點(diǎn)R在直線l上，
，解得，即．
又由，得直線的斜率，
，解得，
∴．
（2）證明：設(shè)直線的方程為，、均不與M重合，
由得，
，．
由（1）得，
，，
又由得，即，
∴，
∴，
∴，∴，
∴，∴，
直線的方程為，即，
∴直線恒過定點(diǎn)．
例9．（2024·江西吉安·高二吉安一中校考階段練習(xí)）已知拋物線，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)是C的焦點(diǎn)，M是C上一點(diǎn)，，．
(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)設(shè)點(diǎn)在C上，過Q作兩條互相垂直的直線，分別交C于A，B兩點(diǎn)（異于Q點(diǎn)）．證明：直線恒過定點(diǎn)．
【解析】（1）由，可得，
代入．
解得或（舍），
所以拋物線的方程為：．
（2）解:由題意可得，直線的斜率不為0，
設(shè)直線的方程為，設(shè)，
由，得，從而，
則．
所以，
，
∵，
∴，
故，
整理得．即，
從而或，
即或．
若，則，過定點(diǎn)，與Q點(diǎn)重合，不符合；
若，則，過定點(diǎn)．
綜上，直線過異于Q點(diǎn)的定點(diǎn)．
變式5．（2024·浙江·高三專題練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)也是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，如圖，過點(diǎn)任作兩條互相垂直的直線，，分別交拋物線于，，，四點(diǎn)，，分別為，的中點(diǎn).
(1)求的值；
(2)求證：直線過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)設(shè)直線交拋物線于，兩點(diǎn)，試求的最小值.
【解析】（1）橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，
由于拋物線的焦點(diǎn)也是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，
故，即，；
（2）由（1）知，拋物線的方程為，
設(shè)，，，，
由題意，直線的斜率存在且
設(shè)直線的方程為，
代入可得，
則，
故，
故的中點(diǎn)坐標(biāo)為，
由，設(shè)直線的方程為，
代入可得，
則，
故，
可得的中點(diǎn)坐標(biāo)為，
令得，
此時(shí)，
故直線過點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，，
所以，，，三點(diǎn)共線，
所以直線過定點(diǎn).
（3）設(shè)，
由題意直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，
代入可得，
則，，
，
故，當(dāng)即直線垂直軸時(shí)，取得最小值.
變式6．（2024·四川綿陽·高二校考階段練習(xí)）已知拋物線：的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，且．
（1）求拋物線的方程；
（2）過拋物線上一點(diǎn)作兩條互相垂直的弦和，試問直線是否過定點(diǎn)，若是，求出該定點(diǎn)；若不是，請(qǐng)說明理由．
【解析】（1），解得：
故拋物線C的方程為：..
（2）由題可得，直線的斜率不為
設(shè)直線：，，
聯(lián)立，得：，
，..
由，則，即
于是
，所以
或.
當(dāng)時(shí)，
直線：，恒過定點(diǎn)，不合題意，舍去.
當(dāng)，，直線：，恒過定點(diǎn)
綜上可知，直線恒過定點(diǎn).
變式7．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線：的焦點(diǎn)為，直線與軸的交點(diǎn)為，與拋物線的交點(diǎn)為，且．
（1）求拋物線的方程；
（2）過拋物線上一點(diǎn)作兩條互相垂直的弦和，試問直線是否過定點(diǎn)，若是，求出該定點(diǎn)；若不是，請(qǐng)說明理由．
【解析】（1）設(shè)，代入得：，即
由得：，解得：或（舍去）
故拋物線C的方程為：.
（2）由題可得，直線的斜率不為
設(shè)直線：，，
聯(lián)立，得：，
，，
由，則，即.
于是
，所以
或
當(dāng)時(shí)，
直線：，恒過定點(diǎn)，不合題意，舍去.
當(dāng)，，直線：，恒過定點(diǎn)
綜上可知，直線恒過定點(diǎn)
變式8．（2024·云南曲靖·高二校考期末）已知點(diǎn)與點(diǎn)的距離比它的直線的距離小2．
(1)求點(diǎn)的軌跡方程；
(2)是點(diǎn)軌跡上互相垂直的兩條弦，問：直線是否經(jīng)過軸上一定點(diǎn)，若經(jīng)過，求出該點(diǎn)坐標(biāo)；若不經(jīng)過，說明理由．
【解析】（1）（1）由題意知?jiǎng)狱c(diǎn)到的距離比它到直線的距離小2，
即動(dòng)點(diǎn)到的距離與它到直線的距離相等，
由拋物線定義可知?jiǎng)狱c(diǎn)的軌跡為以為焦點(diǎn)的拋物線，
則點(diǎn)的軌跡方程為；
（2）（2）法一：由題意知直線的斜率顯然不能為0，
設(shè)直線的方程為，，
聯(lián)立方程，消去，可得，即，
，，
由題意知，即，則，
故， ，，直線的方程為，
故直線過定點(diǎn)，且定點(diǎn)坐標(biāo)為；
法二：假設(shè)存在定點(diǎn)，設(shè)定點(diǎn)，
， ， 故，
在拋物線上，即代入上式，可得，
故，三點(diǎn)共線， ，，
假設(shè)成立，直線經(jīng)過軸的定點(diǎn)，坐標(biāo)為．
題型四：橢圓兩條互相垂直的弦中點(diǎn)所在直線過定點(diǎn)
例10．（2024·福建龍巖·統(tǒng)考一模）雙曲線：的左右頂點(diǎn)分別為，，動(dòng)直線垂直的實(shí)軸，且交于不同的兩點(diǎn)，直線與直線的交點(diǎn)為.
（1）求點(diǎn)的軌跡的方程；
（2）過點(diǎn)作的兩條互相垂直的弦，，證明：過兩弦，中點(diǎn)的直線恒過定點(diǎn).
【解析】（1）因?yàn)椋?br/>設(shè) 則且①，
因?yàn)閯?dòng)直線交雙曲線于不同的兩點(diǎn)，所以且，
因?yàn)橹本€的方程為②，
直線的方程為③，
②③得，
把①代入上式得，化簡得，
所以點(diǎn)的軌跡的方程為.
（2）依題意得直線與直線斜率均存在且不為0，
設(shè)直線的方程為，則直線的方程為，
聯(lián)立得，
則，設(shè)，
，，
所以的中點(diǎn)，
同理的中點(diǎn)，
所以直線的斜率為，
所以直線的方程為，
整理得，
所以直線恒過定點(diǎn)，即過兩弦中點(diǎn)的直線恒過定點(diǎn).
例11．（2024·全國·高二期末）已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，拋物線與橢圓有相同的焦點(diǎn)，點(diǎn)P為拋物線與橢圓在第一象限的交點(diǎn)，且．
(1)求橢圓的方程；
(2)過F作兩條斜率不為0且互相垂直的直線分別交橢圓于A，B和C，D，線段AB的中點(diǎn)為M，線段CD的中點(diǎn)為N，證明：直線過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．
【解析】（1）拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故.
設(shè)，由拋物線定義得：點(diǎn)P到直線的距離為t.
，由余弦定理，得.
整理，得，解得或（舍去）.
由橢圓定義，得，
，
∴橢圓的方程為；
（2）設(shè)，
聯(lián)立，
即，
，代入直線方程得，
，
同理可得，
，
，
令，得，
所以直線MN過定點(diǎn).
例12．（2024·上海閔行·高二閔行中學(xué)校考期末）在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，，已知平行四邊形兩條對(duì)角線的長度之和等于4．
(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；
(2)過作互相垂直的兩條直線、，與動(dòng)點(diǎn)的軌跡交于、，與動(dòng)點(diǎn)的軌跡交于點(diǎn)、，、的中點(diǎn)分別為、；證明：直線恒過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)；
(3)在（2）的條件下，求四邊形面積的最小值．
【解析】（1）
取點(diǎn)，則有，所以四邊形是平行四邊形，
所以，因?yàn)椋裕?br/>所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡為橢圓（左右頂點(diǎn)除外），所以，，
所以，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為．
（2）當(dāng)垂直于軸時(shí)，的中點(diǎn)，
直線為軸，與橢圓，無交點(diǎn)，不合題意，
當(dāng)直線不垂直于軸時(shí)，不妨設(shè)直線的方程為，
，，
由，得，
所以△，
所以，，
所以，
所以，
因?yàn)椋源妫茫?br/>所以直線的斜率為，
所以直線的方程為，
由橢圓的對(duì)稱性得，若存在這樣的定點(diǎn)必在軸上，
令，則，
所以，
所以直線恒過定點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，，，
所以直線恒過定點(diǎn)，
綜上所述，直線恒過定點(diǎn)．
（3）由（2）得，，
所以
，
同理可得，
所以四邊形的面積，
令，則，
所以，
因?yàn)椋裕?br/>當(dāng)，即時(shí)，，所以，
所以四邊形的面積最小值為．
變式9．（2024·上海浦東新·高三上海市洋涇中學(xué)校考階段練習(xí)）已知橢圓的離心率為，橢圓截直線所得線段的長度為．過作互相垂直的兩條直線、，直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，、的中點(diǎn)分別為、．
(1)求橢圓的方程；
(2)證明：直線恒過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)；
(3)求四邊形面積的最小值．
【解析】（1）由題意得橢圓過點(diǎn)，
，
解得，，，
；
（2）當(dāng)直線、斜率均存在且不為0時(shí)，
設(shè)，，
則，，，
由，，
得，，
，
由，，
得，，
可得，
① 當(dāng)時(shí)，
直線的斜率為，
直線的方程為，
化簡得，過定點(diǎn)，
② 當(dāng)時(shí)，
直線的方程為，過點(diǎn)，
當(dāng)直線、斜率一個(gè)不存在一個(gè)為0時(shí)，、的中點(diǎn)坐標(biāo)分別為、時(shí)．直線的方程為，過點(diǎn)，
綜上，直線恒過定點(diǎn)；
（3）當(dāng)直線或斜率一個(gè)不存在一個(gè)為0時(shí)，，
當(dāng)直線、斜率均存在時(shí)且不為0時(shí)，
由（2）得
，
，
，
當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，
綜上，四邊形面積的最小值為.
變式10．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓上任意一點(diǎn)到橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為，且離心率為．
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)設(shè)為的左頂點(diǎn)，過點(diǎn)作兩條互相垂直的直線分別與交于兩點(diǎn)，證明：直線經(jīng)過定點(diǎn)，并求這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)．
【解析】（1）由橢圓定義知：，解得：，
又離心率，，，
橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.
（2）由（1）知：；
當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)，，，
由得：，
則，解得：，
，，
，，
即，
，
即，
整理可得：，或；
當(dāng)時(shí)，直線恒過點(diǎn)，不合題意；
當(dāng)時(shí)，直線，恒過定點(diǎn)；
當(dāng)直線斜率不存在且恒過時(shí)，即，
由得：，，滿足題意；
綜上所述：直線恒過定點(diǎn).
題型五：雙曲線兩條互相垂直的弦中點(diǎn)所在直線過定點(diǎn)
例13．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）已知雙曲線C的右焦點(diǎn)F，半焦距c=2，點(diǎn)F到直線的距離為，過點(diǎn)F作雙曲線C的兩條互相垂直的弦AB，CD，設(shè)AB，CD的中點(diǎn)分別為M，N.
(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)證明：直線MN必過定點(diǎn)，并求出此定點(diǎn)的坐標(biāo).
【解析】（1）依題意，c=2，，解得，
所以雙曲線的方程為：.
（2）點(diǎn)，當(dāng)直線AB不垂直于坐標(biāo)軸時(shí)，設(shè)直線AB的方程為：，，，
由消去x并整理得：，顯然，
則，有，于是得弦AB中點(diǎn)，
因，同理可得點(diǎn)，
當(dāng)直線MN不垂直于x軸時(shí)，直線MN的斜率，
因此，直線MN的方程為：，化簡得，
于是得直線MN恒過定點(diǎn)，
當(dāng)直線MN垂直于x軸時(shí)，由得，直線MN：過定點(diǎn)，
則當(dāng)直線AB不垂直于坐標(biāo)軸時(shí)，直線MN恒過定點(diǎn)，
當(dāng)AB垂直于x軸，即k=0時(shí)，則弦AB的中點(diǎn)M與F重合，弦CD的中點(diǎn)N與原點(diǎn)重合，此時(shí)MN為x軸，直線MN過，
當(dāng)AB垂直于y軸時(shí)，則弦AB的中點(diǎn)M為原點(diǎn)，弦CD中點(diǎn)N與F重合，此時(shí)直線MN為x軸，直線MN也過點(diǎn)，
所以直線MN恒過定點(diǎn).
例14．（2024·黑龍江·黑龍江實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考三模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知?jiǎng)狱c(diǎn)到點(diǎn)的距離與它到直線的距離之比為．記點(diǎn)的軌跡為曲線．
(1)求曲線的方程；
(2)過點(diǎn)作兩條互相垂直的直線，.交曲線于，兩點(diǎn)，交曲線于，兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，線段的中點(diǎn)為．證明：直線過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo)．
【解析】（1）設(shè)，根據(jù)題意可得，
化簡得曲線的方程為.
（2）證明：設(shè)，，
①若直線，都存且不為零，
設(shè)直線的方程為，則直線的方程為，
由，得，
當(dāng)時(shí)，這個(gè)方程變?yōu)橹挥幸唤猓?br/>直線與曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，不合題意，
當(dāng)時(shí)，，
直線與曲線恒有兩個(gè)交點(diǎn)，
由韋達(dá)定理， ，
故線段的中點(diǎn)為，
同理，線段的中點(diǎn)為，
若，則，
直線的方程為，
即，
此時(shí)，直線恒過點(diǎn)．
若，則，或，，直線的方程為，
此時(shí)直線也過點(diǎn)，
②若直線，中其中一條的斜率為，另一條的斜率不存在，
不妨設(shè)的斜率為，則直線：，：x＝2，
此時(shí)，直線的方程為，
此時(shí)，直線也過點(diǎn)，
綜上，直線恒過點(diǎn)．
例15．（2024·山西大同·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知雙曲線：的右焦點(diǎn)為，半焦距，點(diǎn)到右準(zhǔn)線的距離為，過點(diǎn)作雙曲線的兩條互相垂直的弦，，設(shè)，的中點(diǎn)分別為，.
（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）證明：直線必過定點(diǎn)，并求出此定點(diǎn)坐標(biāo).
【解析】（1）由題設(shè)可得，，所以，.
所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）證明：點(diǎn)，設(shè)過點(diǎn)的弦所在的直線方程為，，，
則有.
聯(lián)立，可得.
因?yàn)橄遗c雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，所以，
所以，所以.
（1）當(dāng)時(shí)，點(diǎn)即是點(diǎn)，此時(shí)，直線為軸.
（2）當(dāng)時(shí)，將上式點(diǎn)坐標(biāo)中的換成，同理可得.
①當(dāng)直線不垂直于軸時(shí)，
直線的斜率，
其方程，化簡得，
所以直線過定點(diǎn)；
②當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，，此時(shí)，，直線也過定點(diǎn).
綜上所述，直線過定點(diǎn).
變式11．（2024·貴州·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線的一條漸近線方程為，焦點(diǎn)到漸近線的距離為.
(1)求的方程；
(2)過雙曲線的右焦點(diǎn)作互相垂直的兩條弦（斜率均存在）、.兩條弦的中點(diǎn)分別為、，那么直線是否過定點(diǎn) 若不過定點(diǎn)，請(qǐng)說明原因；若過定點(diǎn)，請(qǐng)求出定點(diǎn)坐標(biāo).
【解析】（1）設(shè)雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，
依題意漸近線方程為，即，
有，
解得，
；
（2）由（1）可知右焦點(diǎn)，
設(shè)直線：，，，
由聯(lián)立直線與雙曲線，
化簡得，，
故，，
，
又，則，
同理可得：
，
，
化簡得，
故直線過定點(diǎn).
題型六：拋物線兩條互相垂直的弦中點(diǎn)所在直線過定點(diǎn)
例16．（2024·全國·高二專題練習(xí)）已知拋物線：焦點(diǎn)為，為上的動(dòng)點(diǎn)，位于的上方區(qū)域，且的最小值為3.
(1)求的方程；
(2)過點(diǎn)作兩條互相垂直的直線和，交于，兩點(diǎn)，交于，兩點(diǎn)，且，分別為線段和的中點(diǎn).直線是否恒過一個(gè)定點(diǎn) 若是，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，說明理由.
【解析】（1）拋物線：焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，
設(shè)到的距離為，因?yàn)槲挥诘纳戏絽^(qū)域，
根據(jù)拋物線的定義可知（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），
又的最小值為，所以，解得，
所以拋物線：.
（2）依題意直線和的斜率均存在且不為，
設(shè)直線的方程為，則直線的方程為，，，
聯(lián)立方程得，消去并整理得，
則，則，，
所以，
因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，同理，
所以直線的方程為，
整理得，所以直線恒過點(diǎn).
例17．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知一個(gè)邊長為的等邊三角形的一個(gè)頂點(diǎn)位于原點(diǎn)，另外兩個(gè)頂點(diǎn)在拋物線上.
(1)求拋物線的方程；
(2)過點(diǎn)作兩條互相垂直的直線和，交拋物線于、兩點(diǎn)，交拋物線于，兩點(diǎn)，若線段的中點(diǎn)為，線段的中點(diǎn)為，證明：直線過定點(diǎn)．
【解析】（1）由對(duì)稱性可知等邊三角形的頂點(diǎn)在上，
代入得：，解得：，
所以拋物線方程為：；
（2）由題意知和斜率均存在，，設(shè)直線方程為，
則直線方程為，
由聯(lián)立得：，
設(shè)，則，
故，同理得
故直線MN方程為
整理得：，故直線MN過定點(diǎn)
例18．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，過焦點(diǎn)F且垂直于x軸的直線交C于H，I兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，的周長為．
(1)求拋物線C的方程；
(2)過點(diǎn)F作拋物線C的兩條互相垂直的弦AB，DE，設(shè)弦AB，DE的中點(diǎn)分別為P，Q，試判斷直線PQ是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)．求出其坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由．
【解析】（1）由題意，在中代入，得，解得，
所以．
由勾股定理得|，
則的周長為，解得，
故拋物線C的方程為．
（2）由題意可知，直線AB的斜率存在，且不為0．
設(shè)直線AB的方程為，，．
聯(lián)立消去x，得，，
則，從而．
因?yàn)镻是弦AB的中點(diǎn)，所以，同理可得．
當(dāng)，即時(shí)，直線PQ的斜率，
則直線PQ的方程為，即．
故直線PQ過定點(diǎn)；
當(dāng)，即時(shí)，直線PQ的方程為，也過點(diǎn)．
綜上所述，直線PQ過定點(diǎn)．
變式12．（2024·山西·高二校聯(lián)考期末）已知拋物線C：（），過點(diǎn)作兩條互相垂直的直線和，交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，交拋物線C于D，E兩點(diǎn)，拋物線C上一點(diǎn)到焦點(diǎn)F的距離為3．
(1)求拋物線C的方程；
(2)若線段AB的中點(diǎn)為M，線段DE的中點(diǎn)為N，求證：直線MN過定點(diǎn)．
【解析】(1)到焦點(diǎn)F的距離為3，則準(zhǔn)線為，，
拋物線方程為．
(2)由題意知和斜率均存在，，設(shè)直線方程為，
則直線方程為，
由聯(lián)立得，
設(shè)，則，
故，同理得
故直線MN方程為
整理得，故直線MN過定點(diǎn)
變式13．（2024·全國·高三專題練習(xí)）動(dòng)圓P與直線相切，點(diǎn)在動(dòng)圓上．
(1)求圓心P的軌跡Q的方程；
(2)過點(diǎn)F作曲線O的兩條互相垂直的弦AB，CD，設(shè)AB，CD的中點(diǎn)分別為M，N，求證：直線MN必過定點(diǎn)．
【解析】（1）設(shè)，根據(jù)題意，有，化簡，得，
即圓心P的軌跡Q的方程為．
（2）由題意，知直線AB的斜率存在且不為0．
設(shè)直線，
代入，得，所以．
因?yàn)镸是線段AB的中點(diǎn)，所以．
因?yàn)椋詫Ⅻc(diǎn)M坐標(biāo)中的k換成，即得．
當(dāng)，即時(shí)，直線；
當(dāng)時(shí)．直線．
整理，得，所以直線MN過定點(diǎn)．
綜上所述，不論k為何值，直線MN必過定點(diǎn)．
變式14．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M在拋物線C上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，是以為底邊的等腰三角形，且的面積為．
(1)求拋物線C的方程．
(2)過點(diǎn)F作拋物線C的兩條互相垂直的弦，，設(shè)弦，的中點(diǎn)分別為P，Q，試判斷直線是否過定點(diǎn)．若是，求出所過定點(diǎn)的坐標(biāo)；若否，請(qǐng)說明理由．
【解析】（1）由題意可知．
因?yàn)槭且詾榈走叺牡妊切危裕?br/>因?yàn)榈拿娣e為，所以，解得．
故拋物線C的方程為．
（2）由題意可知，直線的斜率存在，且不為0．
設(shè)直線的方程為，，．
聯(lián)立，整理得，，
則，從而．
因?yàn)镻是弦的中點(diǎn)，所以，
同理可得．
當(dāng)，即時(shí)，直線的斜率，
則直線的方程為，即．
故直線過定點(diǎn)．
當(dāng)，即時(shí)，直線的方程為，且過點(diǎn)．
綜上，直線過定點(diǎn)．
變式15．（2024·安徽滁州·高二校考開學(xué)考試）在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)點(diǎn)，直線，點(diǎn)P在直線l上移動(dòng)，R是線段PF與y軸的交點(diǎn)，也是PF的中點(diǎn)．，．
(1)求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡的方程E；
(2)過點(diǎn)F作兩條互相垂直的曲線E的弦AB、CD，設(shè)AB、CD的中點(diǎn)分別為M，N．求直線MN過定點(diǎn)R的坐標(biāo)．
【解析】（1）∵直線的方程為，點(diǎn)R是線段FP的中點(diǎn)且，
∴RQ是線段FP的垂直平分線,
∵, ∴是點(diǎn)Q到直線l的距離,
∵點(diǎn)Q在線段FP的垂直平分線，∴,
則動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡E是以F為焦點(diǎn)，l為準(zhǔn)線的拋物線，但不能和原點(diǎn)重合，
即動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡的方程為.
（2）設(shè)，，由題意直線AB斜率存在且不為0，設(shè)直線AB的方程為，
由已知得，兩式作差可得，即，則，
代入可得，即點(diǎn)M的坐標(biāo)為，
同理設(shè)，，直線的方程為，
由已知得，兩式作差可得，即，
則，代入可得，即點(diǎn)的坐標(biāo)為，
則直線MN的斜率為，
即方程為，整理得，
故直線MN恒過定點(diǎn).
變式16．（2024·福建福州·高二校考期中）在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知點(diǎn)，P是動(dòng)點(diǎn)，且三角形POQ的三邊所在直線的斜率滿足.
(1)求點(diǎn)P的軌跡C的方程；
(2)過F作傾斜角為60°的直線L，交曲線C于A，B兩點(diǎn)，求△AOB的面積；
(3)過點(diǎn)任作兩條互相垂直的直線，分別交軌跡 C 于點(diǎn)A，B和M，N，設(shè)線段AB，MN的中點(diǎn)分別為E，F(xiàn).，求證：直線EF恒過一定點(diǎn).
【解析】（1）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則，
由，得，整理得點(diǎn)P的軌跡的方程為：
（2）設(shè)，由得：
，
（3）證明：設(shè)點(diǎn)A,B的坐標(biāo)為，則點(diǎn)E的坐標(biāo)為.
由題意可設(shè)直線的方程為，
由，消去y得，
，∵直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，
，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為，由題知，直線的斜率為，同理可得F的坐標(biāo)為.
當(dāng)時(shí)，有.此時(shí)直線EF的斜率為：
∴直線EF的方程為，
整理得，恒過定點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，直線EF的方程為，也過點(diǎn).
綜上所述，直線EF恒過定點(diǎn).
變式17．（2024·寧夏銀川·高二銀川一中校考期末）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，拋物線的焦點(diǎn)與橢圓的右焦點(diǎn)重合，點(diǎn)為拋物線與橢圓在第一象限的交點(diǎn)，且.
(1)求橢圓的方程；
(2)過作兩條斜率不為且互相垂直的直線分別交橢圓于、和、，線段的中點(diǎn)為，線段的中點(diǎn)為，證明：直線過軸上一定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).
【解析】（1）拋物線焦點(diǎn)為，故，易知點(diǎn)，
設(shè)點(diǎn)，其中，，且，
，整理可得，
即，，解得，所以，，
所以，，則，，
因此，橢圓的方程為.
（2）設(shè)直線的方程為，其中，設(shè)點(diǎn)、，
聯(lián)立，
，所以，，
，故點(diǎn)，
同理可得點(diǎn)，
所以，，
所以，直線的方程為，即，
因此，直線過定點(diǎn).
變式18．（2024·湖南·高三階段練習(xí)）如圖，已知拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸正半軸上，準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為．過點(diǎn)作圓的兩條切線，兩切點(diǎn)分別為，，且．
（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）如圖，過拋物線的焦點(diǎn)任作兩條互相垂直的直線，，分別交拋物線于，兩點(diǎn)和，兩點(diǎn)，，分別為線段和的中點(diǎn)，求面積的最小值．
【解析】（1）由對(duì)稱性知，軸，設(shè)與軸的交點(diǎn)為，則．在中，；（2）設(shè)直線的斜率為，由過：．代入點(diǎn)
，同理可得點(diǎn)：過定點(diǎn)的面積：（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）的面積的最小值為．
試題解析：（1）由對(duì)稱性知，軸，設(shè)與軸的交點(diǎn)為，則．
連，則中，，則
因?yàn)闉閳A的切線，則．由射影定理，得，則
因?yàn)閳A心的坐標(biāo)為，則，所以，即，得．
所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為
（2）設(shè)直線的斜率為，因?yàn)檫^焦點(diǎn)，則直線的方程為．代入，得
．設(shè)點(diǎn)，，則．因?yàn)闉榫€段的中點(diǎn)，則點(diǎn)
因?yàn)椋瑒t直線的方程為．同理可得點(diǎn)
直線的方程為，即，顯然過定點(diǎn)
設(shè)的面積為，與軸的交點(diǎn)為，則
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．所以的面積的最小值為
題型七：內(nèi)接直角三角形范圍與最值問題
例19．（2024·江西·高二校聯(lián)考開學(xué)考試）設(shè)橢圓的兩焦點(diǎn)為，，為橢圓上任意一點(diǎn)，點(diǎn)到原點(diǎn)最大距離為2，若到橢圓右頂點(diǎn)距離為.
(1)求橢圓的方程.
(2)設(shè)橢圓的上、下頂點(diǎn)分別為、，過作兩條互相垂直的直線交橢圓于、，問直線是否經(jīng)過定點(diǎn)？如果是，請(qǐng)求出定點(diǎn)坐標(biāo)，并求出面積的最大值.如果不是，請(qǐng)說明理由.
【解析】（1）∵點(diǎn)到原點(diǎn)最大距離為2，故，
∵到橢圓右頂點(diǎn)距離為，∴，
解得：或5（舍去5），
∴橢圓的方程為.
（2）設(shè)：，聯(lián)立，
得：，
∴，，
∵，∴，
即
，
利用韋達(dá)定理代入化簡得：，
解得：（舍去）或，
∴直線過定點(diǎn)，
此時(shí)，，
，
令，上式①，
而，∴①，
∴面積的最大值為.
例20．（2024·上海·高二專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓，過右焦點(diǎn)作兩條互相垂直的弦AB，CD，設(shè)AB，CD中點(diǎn)分別為，.
(1)寫出橢圓右焦點(diǎn)的坐標(biāo)及該橢圓的離心率；
(2)證明：直線MN必過定點(diǎn)，并求出此定點(diǎn)坐標(biāo)；
(3)若弦AB，CD的斜率均存在，求面積的最大值.
【解析】（1）由橢圓的方程，可得，可得，所以，即右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，離心率,所以橢圓右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，離心率.
（2）證明：當(dāng)直線AB，CD的斜率存在且不為0時(shí)，
設(shè)直線AB的方程為，
設(shè)聯(lián)立，
整理可得：，
可得，，
所以AB的中點(diǎn)，
同理可得的坐標(biāo)，即，
當(dāng)，的橫坐標(biāo)不相等時(shí)，則，
所以MN的方程為，
整理可得
所以直線恒過定點(diǎn).
當(dāng)，的橫坐標(biāo)相等時(shí)，，即時(shí)，則軸，
且此時(shí)MN的方程為，顯然也過，
可證得直線MN必過定點(diǎn).
（3）由（2）可得直線MN必過的定點(diǎn)，
可得
，
設(shè)，則，
在上單調(diào)遞減，所以，
所以面積的最大值為.
例21．（2024·江蘇南通·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知橢圓的離心率為，左、右頂點(diǎn)分別為A，，上頂點(diǎn)為，坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離為.
(1)求橢圓的方程；
(2)過A點(diǎn)作兩條互相垂直的直線，與橢圓交于，兩點(diǎn)，求面積的最大值.
【解析】（1）由已知可得，解得，，，，
所以橢圓的方程為.
（2）設(shè)的直線方程為，，，
聯(lián)立方程整理得，
所以，
因?yàn)椋?br/>所以，
即.
所以.
整理得，解得或（舍去），
所以
所以，
令，
則，
此時(shí)最大值為.
題型八：兩條互相垂直的弦中點(diǎn)范圍與最值問題
例22．（2024·新疆·統(tǒng)考二模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線G的準(zhǔn)線方程為.
(1)求拋物線G的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過拋物線的焦點(diǎn)F作互相垂直的兩條直線和，與拋物線交于P，Q兩點(diǎn)，與拋物線交于C，D兩點(diǎn)，M，N分別是線段PQ，CD的中點(diǎn)，求△FMN面積的最小值.
【解析】（1）設(shè)拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為，其中，
由題意得，解得，則焦點(diǎn)，
故拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）,由題意知直線的斜率都存在且不為，
設(shè)直線的方程為,
則直線的方程為,
由得，則，
所以,
所以,
所以.
用替換可得，所以.
所以
,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)等號(hào)成立，
所以面積的最小值為16.
例23．（2024·廣東珠海·高三校考開學(xué)考試）已知拋物線，點(diǎn)為其焦點(diǎn)，直線與拋物線交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，．
(1)求拋物線的方程；
(2)過軸上一動(dòng)點(diǎn)作互相垂直的兩條直線，與拋物線分別相交于點(diǎn)和，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，求的最小值．
【解析】（1）
直線方程為，將其代入拋物線可得，
由已知得，解得，
故拋物線的方程為．
（2）
因?yàn)椋糁本€分別與兩坐標(biāo)軸垂直，
則直線中有一條與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，不合題意，
所以直線的斜率均存在且不為0．設(shè)直線的斜率為，
則直線的方程為．
聯(lián)立，得，則，
設(shè)，
則，設(shè)，則，則，
所以，同理可得，
故，
當(dāng)且僅當(dāng)且，即時(shí)等號(hào)成立，
故的最小值為6
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21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)第72講 垂直弦問題
知識(shí)梳理
1、過橢圓的右焦點(diǎn)作兩條互相垂直的弦，．若弦，的中點(diǎn)分別為，，那么直線恒過定點(diǎn)．
2、過橢圓的長軸上任意一點(diǎn)作兩條互相垂直的弦，．若弦，的中點(diǎn)分別為，，那么直線恒過定點(diǎn)．
3、過橢圓的短軸上任意一點(diǎn)作兩條互相垂直的弦，．若弦，的中點(diǎn)分別為，，那么直線恒過定點(diǎn)．
4、過橢圓內(nèi)的任意一點(diǎn)作兩條互相垂直的弦，．若弦，的中點(diǎn)分別為，，那么直線恒過定點(diǎn)．
5、以為直角定點(diǎn)的橢圓內(nèi)接直角三角形的斜邊必過定點(diǎn)
6、以上頂點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的橢圓內(nèi)接直角三角形的斜邊必過定點(diǎn)，且定點(diǎn)在軸上．
7、以右頂點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的橢圓內(nèi)接直角三角形的斜邊必過定點(diǎn)，且定點(diǎn)在軸上．
8、以為直角定點(diǎn)的拋物線內(nèi)接直角三角形的斜邊必過定點(diǎn)，
9、以為直角定點(diǎn)的雙曲線內(nèi)接直角三角形的斜邊必過定點(diǎn)
必考題型全歸納
題型一：橢圓內(nèi)接直角三角形的斜邊必過定點(diǎn)
例1．（2024·遼寧沈陽·高二東北育才學(xué)校校考階段練習(xí)）已知點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足：∠APB=2θ，且|PA||PB|cos2θ=1.（P不在線段AB上）
(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；
(2)過橢圓的上頂點(diǎn)作互相垂直的兩條直線分別交橢圓于另外一點(diǎn)P、Q，試問直線PQ是否經(jīng)過定點(diǎn)，若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，說明理由.
例2．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，，短軸長為2.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程及離心率；
(2)M，D分別為橢圓C的左 右頂點(diǎn)，過M點(diǎn)作兩條互相垂直的直線MA，MB交橢圓于A，B兩點(diǎn)，直線AB是否過定點(diǎn)？并求出面積的最大值.
例3．（2024·云南曲靖·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知為圓上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線段為垂足，若點(diǎn)滿足.
(1)求點(diǎn)的軌跡方程；
(2)設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線，過點(diǎn)作曲線的兩條互相垂直的弦，兩條弦的中點(diǎn)分別為，過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為點(diǎn)，是否存在定點(diǎn)，使得為定值？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.
變式1．（2024·上海青浦·統(tǒng)考一模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓，過右焦點(diǎn)作兩條互相垂直的弦AB，CD，設(shè)AB，CD中點(diǎn)分別為，．
(1)寫出橢圓右焦點(diǎn)的坐標(biāo)及該橢圓的離心率；
(2)證明：直線MN必過定點(diǎn)，并求出此定點(diǎn)坐標(biāo)；
(3)若弦AB，CD的斜率均存在，求面積的最大值．
變式2．（2024·天津河北·高三天津外國語大學(xué)附屬外國語學(xué)校校考階段練習(xí)）設(shè)分別是橢圓的左 右焦點(diǎn)，是上一點(diǎn)，與軸垂直.直線與的另一個(gè)交點(diǎn)為，且直線的斜率為.
(1)求橢圓的離心率；
(2)設(shè)是橢圓的上頂點(diǎn)，過任作兩條互相垂直的直線分別交橢圓于兩點(diǎn)，證明直線過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo).
變式3．（2024·全國·高二專題練習(xí)）設(shè)分別是圓的左 右焦點(diǎn)，M是C上一點(diǎn)，與x軸垂直.直線與C的另一個(gè)交點(diǎn)為N，且直線MN的斜率為
(1)求橢圓C的離心率.
(2)設(shè)是橢圓C的上頂點(diǎn)，過D任作兩條互相垂直的直線分別交橢圓C于A B兩點(diǎn)，過點(diǎn)D作線段AB的垂線，垂足為Q，判斷在y軸上是否存在定點(diǎn)R，使得的長度為定值？并證明你的結(jié)論.
變式4．（2024·云南昆明·高二統(tǒng)考期中）已知橢圓，直線被橢圓截得的線段長為.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過橢圓的右頂點(diǎn)作互相垂直的兩條直線.分別交橢圓于兩點(diǎn)（點(diǎn)不同于橢圓的右頂點(diǎn)），證明：直線過定點(diǎn).
題型二：雙曲線內(nèi)接直角三角形的斜邊必過定點(diǎn)
例4．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）已知雙曲線C：經(jīng)過點(diǎn)，且雙曲線C的右頂點(diǎn)到一條漸近線的距離為．
(1)求雙曲線C的方程；
(2)過點(diǎn)P分別作兩條互相垂直的直線PA，PB與雙曲線C交于A，B兩點(diǎn)（A，B兩點(diǎn)均與點(diǎn)P不重合），設(shè)直線AB：，試求和之間滿足的關(guān)系式．
例5．（2024·江蘇南京·高二校考開學(xué)考試）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，動(dòng)點(diǎn)Р與定點(diǎn)F(2，0)的距離和它到定直線l：的距離之比是常數(shù)，記P的軌跡為曲線E.
(1)求曲線E的方程；
(2)設(shè)過點(diǎn)A(，0)兩條互相垂直的直線分別與曲線E交于點(diǎn)M，N(異于點(diǎn)A)，求證：直線MN過定點(diǎn).
例6．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線，經(jīng)過雙曲線上的點(diǎn)作互相垂直的直線AM AN分別交雙曲線于M N兩點(diǎn).設(shè)線段AM AN的中點(diǎn)分別為B C，直線OB OC（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的斜率都存在且它們的乘積為.
(1)求雙曲線的方程；
(2)過點(diǎn)A作（D為垂足），請(qǐng)問：是否存在定點(diǎn)E，使得為定值？若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.
題型三：拋物線內(nèi)接直角三角形的斜邊必過定點(diǎn)
例7．（2024·江蘇泰州·高二靖江高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，斜率為1的直線l經(jīng)過F，且與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，．
(1)求拋物線C的方程；
(2)過拋物線C上一點(diǎn)作兩條互相垂直的直線與拋物線C相交于兩點(diǎn)（異于點(diǎn)P），證明：直線恒過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo)．
例8．（2024·內(nèi)蒙古巴彥淖爾·高二校考階段練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)恰在拋物線的準(zhǔn)線上．
(1)求拋物線的方程；
(2)是拋物線上橫坐標(biāo)為的點(diǎn)，過點(diǎn)作互相垂直的兩條直線分別交拋物線于兩點(diǎn)，證明直線恒經(jīng)過某一定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．
例9．（2024·江西吉安·高二吉安一中校考階段練習(xí)）已知拋物線，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)是C的焦點(diǎn)，M是C上一點(diǎn)，，．
(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)設(shè)點(diǎn)在C上，過Q作兩條互相垂直的直線，分別交C于A，B兩點(diǎn)（異于Q點(diǎn)）．證明：直線恒過定點(diǎn)．
變式5．（2024·浙江·高三專題練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)也是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，如圖，過點(diǎn)任作兩條互相垂直的直線，，分別交拋物線于，，，四點(diǎn)，，分別為，的中點(diǎn).
(1)求的值；
(2)求證：直線過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)設(shè)直線交拋物線于，兩點(diǎn)，試求的最小值.
變式6．（2024·四川綿陽·高二校考階段練習(xí)）已知拋物線：的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，且．
（1）求拋物線的方程；
（2）過拋物線上一點(diǎn)作兩條互相垂直的弦和，試問直線是否過定點(diǎn)，若是，求出該定點(diǎn)；若不是，請(qǐng)說明理由．
變式7．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線：的焦點(diǎn)為，直線與軸的交點(diǎn)為，與拋物線的交點(diǎn)為，且．
（1）求拋物線的方程；
（2）過拋物線上一點(diǎn)作兩條互相垂直的弦和，試問直線是否過定點(diǎn)，若是，求出該定點(diǎn)；若不是，請(qǐng)說明理由．
變式8．（2024·云南曲靖·高二校考期末）已知點(diǎn)與點(diǎn)的距離比它的直線的距離小2．
(1)求點(diǎn)的軌跡方程；
(2)是點(diǎn)軌跡上互相垂直的兩條弦，問：直線是否經(jīng)過軸上一定點(diǎn)，若經(jīng)過，求出該點(diǎn)坐標(biāo)；若不經(jīng)過，說明理由．
題型四：橢圓兩條互相垂直的弦中點(diǎn)所在直線過定點(diǎn)
例10．（2024·福建龍巖·統(tǒng)考一模）雙曲線：的左右頂點(diǎn)分別為，，動(dòng)直線垂直的實(shí)軸，且交于不同的兩點(diǎn)，直線與直線的交點(diǎn)為.
（1）求點(diǎn)的軌跡的方程；
（2）過點(diǎn)作的兩條互相垂直的弦，，證明：過兩弦，中點(diǎn)的直線恒過定點(diǎn).
例11．（2024·全國·高二期末）已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，拋物線與橢圓有相同的焦點(diǎn)，點(diǎn)P為拋物線與橢圓在第一象限的交點(diǎn)，且．
(1)求橢圓的方程；
(2)過F作兩條斜率不為0且互相垂直的直線分別交橢圓于A，B和C，D，線段AB的中點(diǎn)為M，線段CD的中點(diǎn)為N，證明：直線過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．
例12．（2024·上海閔行·高二閔行中學(xué)校考期末）在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，，已知平行四邊形兩條對(duì)角線的長度之和等于4．
(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；
(2)過作互相垂直的兩條直線、，與動(dòng)點(diǎn)的軌跡交于、，與動(dòng)點(diǎn)的軌跡交于點(diǎn)、，、的中點(diǎn)分別為、；證明：直線恒過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)；
(3)在（2）的條件下，求四邊形面積的最小值．
變式9．（2024·上海浦東新·高三上海市洋涇中學(xué)校考階段練習(xí)）已知橢圓的離心率為，橢圓截直線所得線段的長度為．過作互相垂直的兩條直線、，直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，、的中點(diǎn)分別為、．
(1)求橢圓的方程；
(2)證明：直線恒過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)；
(3)求四邊形面積的最小值．
變式10．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓上任意一點(diǎn)到橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為，且離心率為．
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)設(shè)為的左頂點(diǎn)，過點(diǎn)作兩條互相垂直的直線分別與交于兩點(diǎn)，證明：直線經(jīng)過定點(diǎn)，并求這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)．
題型五：雙曲線兩條互相垂直的弦中點(diǎn)所在直線過定點(diǎn)
例13．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）已知雙曲線C的右焦點(diǎn)F，半焦距c=2，點(diǎn)F到直線的距離為，過點(diǎn)F作雙曲線C的兩條互相垂直的弦AB，CD，設(shè)AB，CD的中點(diǎn)分別為M，N.
(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)證明：直線MN必過定點(diǎn)，并求出此定點(diǎn)的坐標(biāo).
例14．（2024·黑龍江·黑龍江實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考三模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知?jiǎng)狱c(diǎn)到點(diǎn)的距離與它到直線的距離之比為．記點(diǎn)的軌跡為曲線．
(1)求曲線的方程；
(2)過點(diǎn)作兩條互相垂直的直線，.交曲線于，兩點(diǎn)，交曲線于，兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，線段的中點(diǎn)為．證明：直線過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo)．
例15．（2024·山西大同·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知雙曲線：的右焦點(diǎn)為，半焦距，點(diǎn)到右準(zhǔn)線的距離為，過點(diǎn)作雙曲線的兩條互相垂直的弦，，設(shè)，的中點(diǎn)分別為，.
（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）證明：直線必過定點(diǎn)，并求出此定點(diǎn)坐標(biāo).
變式11．（2024·貴州·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線的一條漸近線方程為，焦點(diǎn)到漸近線的距離為.
(1)求的方程；
(2)過雙曲線的右焦點(diǎn)作互相垂直的兩條弦（斜率均存在）、.兩條弦的中點(diǎn)分別為、，那么直線是否過定點(diǎn) 若不過定點(diǎn)，請(qǐng)說明原因；若過定點(diǎn)，請(qǐng)求出定點(diǎn)坐標(biāo).
題型六：拋物線兩條互相垂直的弦中點(diǎn)所在直線過定點(diǎn)
例16．（2024·全國·高二專題練習(xí)）已知拋物線：焦點(diǎn)為，為上的動(dòng)點(diǎn)，位于的上方區(qū)域，且的最小值為3.
(1)求的方程；
(2)過點(diǎn)作兩條互相垂直的直線和，交于，兩點(diǎn)，交于，兩點(diǎn)，且，分別為線段和的中點(diǎn).直線是否恒過一個(gè)定點(diǎn) 若是，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，說明理由.
例17．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知一個(gè)邊長為的等邊三角形的一個(gè)頂點(diǎn)位于原點(diǎn)，另外兩個(gè)頂點(diǎn)在拋物線上.
(1)求拋物線的方程；
(2)過點(diǎn)作兩條互相垂直的直線和，交拋物線于、兩點(diǎn)，交拋物線于，兩點(diǎn)，若線段的中點(diǎn)為，線段的中點(diǎn)為，證明：直線過定點(diǎn)．
例18．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，過焦點(diǎn)F且垂直于x軸的直線交C于H，I兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，的周長為．
(1)求拋物線C的方程；
(2)過點(diǎn)F作拋物線C的兩條互相垂直的弦AB，DE，設(shè)弦AB，DE的中點(diǎn)分別為P，Q，試判斷直線PQ是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)．求出其坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由．
變式12．（2024·山西·高二校聯(lián)考期末）已知拋物線C：（），過點(diǎn)作兩條互相垂直的直線和，交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，交拋物線C于D，E兩點(diǎn)，拋物線C上一點(diǎn)到焦點(diǎn)F的距離為3．
(1)求拋物線C的方程；
(2)若線段AB的中點(diǎn)為M，線段DE的中點(diǎn)為N，求證：直線MN過定點(diǎn)．
變式13．（2024·全國·高三專題練習(xí)）動(dòng)圓P與直線相切，點(diǎn)在動(dòng)圓上．
(1)求圓心P的軌跡Q的方程；
(2)過點(diǎn)F作曲線O的兩條互相垂直的弦AB，CD，設(shè)AB，CD的中點(diǎn)分別為M，N，求證：直線MN必過定點(diǎn)．
變式14．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M在拋物線C上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，是以為底邊的等腰三角形，且的面積為．
(1)求拋物線C的方程．
(2)過點(diǎn)F作拋物線C的兩條互相垂直的弦，，設(shè)弦，的中點(diǎn)分別為P，Q，試判斷直線是否過定點(diǎn)．若是，求出所過定點(diǎn)的坐標(biāo)；若否，請(qǐng)說明理由．
變式15．（2024·安徽滁州·高二校考開學(xué)考試）在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)點(diǎn)，直線，點(diǎn)P在直線l上移動(dòng)，R是線段PF與y軸的交點(diǎn)，也是PF的中點(diǎn)．，．
(1)求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡的方程E；
(2)過點(diǎn)F作兩條互相垂直的曲線E的弦AB、CD，設(shè)AB、CD的中點(diǎn)分別為M，N．求直線MN過定點(diǎn)R的坐標(biāo)．
變式16．（2024·福建福州·高二校考期中）在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知點(diǎn)，P是動(dòng)點(diǎn)，且三角形POQ的三邊所在直線的斜率滿足.
(1)求點(diǎn)P的軌跡C的方程；
(2)過F作傾斜角為60°的直線L，交曲線C于A，B兩點(diǎn)，求△AOB的面積；
(3)過點(diǎn)任作兩條互相垂直的直線，分別交軌跡 C 于點(diǎn)A，B和M，N，設(shè)線段AB，MN的中點(diǎn)分別為E，F(xiàn).，求證：直線EF恒過一定點(diǎn).
變式17．（2024·寧夏銀川·高二銀川一中校考期末）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，拋物線的焦點(diǎn)與橢圓的右焦點(diǎn)重合，點(diǎn)為拋物線與橢圓在第一象限的交點(diǎn)，且.
(1)求橢圓的方程；
(2)過作兩條斜率不為且互相垂直的直線分別交橢圓于、和、，線段的中點(diǎn)為，線段的中點(diǎn)為，證明：直線過軸上一定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).
變式18．（2024·湖南·高三階段練習(xí)）如圖，已知拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸正半軸上，準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為．過點(diǎn)作圓的兩條切線，兩切點(diǎn)分別為，，且．
（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）如圖，過拋物線的焦點(diǎn)任作兩條互相垂直的直線，，分別交拋物線于，兩點(diǎn)和，兩點(diǎn)，，分別為線段和的中點(diǎn)，求面積的最小值．
題型七：內(nèi)接直角三角形范圍與最值問題
例19．（2024·江西·高二校聯(lián)考開學(xué)考試）設(shè)橢圓的兩焦點(diǎn)為，，為橢圓上任意一點(diǎn)，點(diǎn)到原點(diǎn)最大距離為2，若到橢圓右頂點(diǎn)距離為.
(1)求橢圓的方程.
(2)設(shè)橢圓的上、下頂點(diǎn)分別為、，過作兩條互相垂直的直線交橢圓于、，問直線是否經(jīng)過定點(diǎn)？如果是，請(qǐng)求出定點(diǎn)坐標(biāo)，并求出面積的最大值.如果不是，請(qǐng)說明理由.
例20．（2024·上海·高二專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓，過右焦點(diǎn)作兩條互相垂直的弦AB，CD，設(shè)AB，CD中點(diǎn)分別為，.
(1)寫出橢圓右焦點(diǎn)的坐標(biāo)及該橢圓的離心率；
(2)證明：直線MN必過定點(diǎn)，并求出此定點(diǎn)坐標(biāo)；
(3)若弦AB，CD的斜率均存在，求面積的最大值.
例21．（2024·江蘇南通·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知橢圓的離心率為，左、右頂點(diǎn)分別為A，，上頂點(diǎn)為，坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離為.
(1)求橢圓的方程；
(2)過A點(diǎn)作兩條互相垂直的直線，與橢圓交于，兩點(diǎn)，求面積的最大值.
題型八：兩條互相垂直的弦中點(diǎn)范圍與最值問題
例22．（2024·新疆·統(tǒng)考二模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線G的準(zhǔn)線方程為.
(1)求拋物線G的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過拋物線的焦點(diǎn)F作互相垂直的兩條直線和，與拋物線交于P，Q兩點(diǎn)，與拋物線交于C，D兩點(diǎn)，M，N分別是線段PQ，CD的中點(diǎn)，求△FMN面積的最小值.
例23．（2024·廣東珠海·高三校考開學(xué)考試）已知拋物線，點(diǎn)為其焦點(diǎn)，直線與拋物線交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，．
(1)求拋物線的方程；
(2)過軸上一動(dòng)點(diǎn)作互相垂直的兩條直線，與拋物線分別相交于點(diǎn)和，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，求的最小值
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